Dualitätstheorie

Dualitätstheorie
Bachelorarbeit
Philipp Schönbauer
WS 2011/12
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Ordnungen und Verbände
2
2.1
Ordnungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Distributive Verbände
2
2.3
Kohärente Verbände
2.4
Boolsche Algebren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5
Heyting Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6
Closure Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.7
Fortsetzungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Topologische Konzepte
12
3.1
Allgemeine Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2
Kohärente topologische Räume
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3
Geordnete topologische Räume
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.4
Bitopologische Räume
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4 Distributive Verbände
19
4.1
Distributive und kohärente Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.2
Distributive Verbände und kohärente Räume
23
4.3
Distributive Verbände und pairwise Stone Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.4
Distributive Verbände und Priestley Spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.5
Zusammenhänge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5 Boolsche Algebren
5.1
Boolschen Algebren und Stone Space
5.2
Boolsche Erweiterungen
(Stone Duality II)
(Priestley Duality)
(Stone Duality I) .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
6 Closure Algebren
35
7 Heyting Algebren
(Esakia Duality)
38
7.1
Heyting Algebren und Esakia Spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Heyting Algebren und pairwise Esakia Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
40
7.3
Heyting Algebren und kohärente Esakia Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
A Kategorientheorie
42
B Die Kategorien RVerb und NTop
45
B.1
Reguläre Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
B.2
Nüchterne topologische Räume
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Die Dualität
47
D Übersicht der Kategorien
52
E Übersicht der Äquivalenzen und Dualitäten
52
1
1
Einleitung
Das Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion von topologischen Repräsentationen einiger algebraischer Strukturen im Sinne von kategorientheoretischen Dualitäten. Die dazu notwendigen Begrie der Kategorientheorie
sind im Anhang zu nden und stammen hauptsächlich aus [4]. Auÿerdem bendet sich im Anhang der Beweis der Dualität von regulären Verbänden und nüchternen topologischen Räumen, welche die Grundlage
für weite Teile dieser Arbeit bildet.
In Kapitel 2 werden die benötigten algebraischen Begrie und Kategorien deniert und einige einfache
Resultate bewiesen. Jene algebraische Denitionen, welche schon für die Dualität zwischen regulären Verbänden und nüchternen topologischen Räumen verwendet wurden, werden nicht mehr deniert, sondern
sind im Anhang zu nden. Das Kapitel 3 enthält zu Beginn einige allgemeine Denitionen und Resultate
der Topologie sowie grundlegende Notationen welche im Zuge der Arbeit sehr zweckmäÿig sein werden. Im
weiteren ist das Kapitel dann der Denition jener topologischen Kategorien gewidmet, welche später für die
Dualitäten von Bedeutung sein werden. Hier teilt sich das Kapitel im wesentlichen in drei Teile. Im ersten
Teil wird der Begri der kohärenten Räume, so wie Verallgemeinerungen davon, eingeführt, im zweiten Teil
werden geordnete topologische Räume besprochen und der dritte Teil ist dem Begri der bitopologischen
Räume gewidmet. In den Kapitel 4 bis 7 werden schlieÿlich die topologischen Repräsentationen hergeleitet.
Die Gliederung der Arbeit richtet sich hier nach den algebraischen Strukturen, für welche Dualitäten bewiesen werden. In Kapitel 4 werden drei Dualitäten für distributive Verbände bewiesen. Darunter ist eine
Dualität mittels kohärenter topologischer Räume (die Stone Duality), eine Dualität mittels einer speziellen
Teilkategorie der bitopologischen Räume und zuletzt eine Dualität mittels einer Teilkategorie der geordneten
topologischen Räume (die Priestley Duality). In Kapitel 5 wird die Stone Duality eingeschränkt um eine
topologische Dualität von boolschen Algebren und Stone Spaces zu erhalten (ebenfalls Stone Duality genannt). Die Stone Duality wird in Kapitel 6 erweitert, um eine Dualität für closure Algebren zu erhalten.
Schlieÿlich werden in Kapitel 7 Dualitäten für Heyting Algebren hergeleitet. Hier werden analog zu Kapitel 4
drei Dualitäten bewiesen, eine über eine Teilkategorie der kohärenten Räume (die Esakia Duality), einer über
eine Teilkategorie der bitopologischen Räume und eine über eine Teilkategorie der geordneten topologischen
Räume.
Die Stone Dualitäten wurden erstmals von M.H. Stone 1936 bzw. 1937 bewiesen. Eine gute und sehr
ausführliche Aufbereitung ndet sich z.B. in [3]. Die Priestley Duality wurde erstmals von Priestley im
Jahre 1970 in [5] hergeleitet. Die Dualitäten von distributiven Verbänden bzw. Heyting Algebren mittels
bitopologischer Räume stammt aus [1]. Die Dualität von closure Algebren sowie die Esakia Duality gehen
zurück auf [2]
2
Ordnungen und Verbände
2.1
Ordnungen
Denition 2.1.
Sei
X
eine Menge. Eine transitive und reexive Relation auf
Relation zusätzlich antisymmetrisch, so heiÿt sie
•
•
•
X
heiÿt
Quasiordnung. Ist die
pX, ¤q eine quasigeordnete Menge und B „ X .
Wir denieren die Mengen ÓB : tx P X : Dy P B : x ¤ y u sowie ÒB : tx P X : Dy P B : x ¥ y u.
Ist B „ Y „ X so schreiben wir auch Ó Y B : tx P Y : Dy P B : x ¤ y u und Ò Y B : tx P Y : Dy P
B : x ¥ y u. Für x P X sei Òx : Ò txu und Óx : Ó txu.
B heiÿt Upset, falls B ÒB , und Downset, falls B ÓB .
Wir bezeichen mit uppX q die Menge der Upsets und mit downpX q die Menge der Downsets von X .
Eine Abbildung f zwischen zwei quasi geordneten Mengen pX, ¤q und pY, ¤q heiÿt stark isoton, falls
f ordnungserhaltend ist und für alle x P X und y P Y mit f pxq ¤ y ein x1 P X existiert, sodass x1 ¥ x
1
und f px q y .
Denition 2.2.
•
Halbordnung.
Sei
2
Lemma 2.3. Für eine Abbildung f
äquivalent:
1.
2.
3.
f
:X
ÑY
zwischen zwei quasigeordneten Mengen sind folgende Aussagen
ist stark isoton.
Für alle x P X gilt f pÒx q Ò f pxq.
Für alle y P Y gilt f 1 pÓy q Ó f 1 pyq.
Ist f bijektiv, so ist folgende Aussage ebenfalls äquivalent:
1
1
1
4. Für alle x, x P X gilt: x ¤ x ðñ f pxq ¤ f px q.
Beweis. ”1. ô 2.” Es gilt: f
ist stark isoton
ðñ
f pxq ¤ y
ô Dx1 P X : x1 ¥ x und f px1 q y ðñ py P
Ò f pxq ô y P f pÒx qq
”1. ô 3.” Esgilt: f ist stark isoton ðñ f pxq ¤ y ô Dx1 P X :
Óy ô x P Ó f pyq .
”1. ô 4.” Es gilt: f ist stark isoton ðñ pf pxq ¤ y ô Dx1 P X :
y ô x ¤ f 1 py qq ðñ pf pxq ¤ f px1 q ô x ¤ x1 q.
2.2
x1
¥ x und f px1 q y ðñ
x1
¥ x und f px1 q yq ðñ pf pxq ¤
f pxq
P
Distributive Verbände
Denition 2.4.
Sei
A
•
Dann bezeichne
•
Für
B
ein Verband.
IdlpAq
die Menge aller Ideale von
A.
„ A sei IpB q das kleinste Ideal, dass B enthält, d.h.
IpB q :
£
P p q
I
„
I Idl A
B I
•
•
•
•
„ IdlpAq sei š S : Ip” S q
Ein F „ A heiÿt Filter, falls
1. 1 P F , 0 R F .
2. Für alle a, b P F ist auch a ^ b P F .
3. Für alle a P F und b ¥ a ist auch b P F .
Ein Filter F heiÿt prim, falls aus a _ b P F folgt, dass entweder a P F oder b P F .
Ein Filter F heiÿt maximal, falls es keinen echt gröÿern Filter G ‰ F gibt. Ein maximaler Filter heiÿt
Für
S
auch
Ultralter.
„ A, dann heiÿt B Teilverband von A, falls 0, 1 P B und für alle x, y P B auch x ^ y P B sowie
P B.
š
• Ein a P A heiÿt
S ¥ a eine endliche Teilmenge T „ S existiert,
š endlich, falls für alle S „ A mit
sodass auch
T ¥ a. Wir bezeichnen die Menge der endlichen Elemente von A mit K pAq.
š
”
Lemma 2.5. Sei A ein Verband und S „ IdlpAq. Dann ist S tx P A : Dy1 , y2 , ... , yn P S : x ¤
n
š
yi u.
•
Ist B
x_y
i 1
3
Beweis.
Bezeichne
š
J
die rechte Seite der behaupteten Gleichung. Wie man leicht sieht, ist dann
J
ein Ideal.
”
š
š
”
„
J . Andererseits gilt S „ S . Da S ein Ideal ist, folgt für y1 , ... , yn P S , dass auch
n
n
š
š
š
š
š
š
yi P S und für x ¤
yi folgt weiters x P S . Also gilt auch J „ S , und damit J S .
Also folgt
S
i1
Lemma 2.6. Sei A ein distributiver Verband. Dann ist pIdlpAq, „q ein Verband.
i 1
Beweis.
Da
IdlpAq
mit der Teilmengenrelation gerichtet, und der Schnitt beliebig vieler Ideal wieder ein
„ IdlpAq das Ideal “ S das Inmum und š S das Supremum ist. Auÿerdem sind
t0u, A P IdlpAq und t0u „ I „ A für alle Ideale I P IdlpAq, also sind t0u bzw. A das kleinste bzw. gröÿte
Element. Insgesamt ist daher Idl pAq ein Verband.
Bemerkung 2.7. Tatsächlich ist IdlpAq sogar ein kohärenter Verband (siehe Denition 2.13). Der Beweis
Ideal ist, folgt, dass für
S
hiervon benötigt allerdings wesentlich mehr Vorarbeit und wird in Abschnitt 4.1 geführt.
Satz 2.8. Seien A und B distributive Verbände, f : A Ñ B ein Verbandshomomorphismus und I ein Ideal.
Dann ist auch f 1 pI q ein Ideal. Ist I ein Primideal, dann auch f 1 pI q.
Die selbe Aussage gilt für Filter.
Wir zeigen die Aussage für Ideale, für Filter verläuft der Beweis analog. Sei also I P Idl pB q ein Ideal.
0 f p0q P I folgt 0 P f 1 pI q. Für a, b P f 1 pI q folgt f paq, f pbq P I und daher f paq_f pbq f pa_bq P I ,
1 pI q. Ist a P f 1 pI q und b ¤ a so folgt f pbq ¤ f paq und daher f pbq P I , also b P f 1 pI q.
also a _ b P f
1 pI q. Dann folgt f pa ^ bq f paq ^ f pbq P I , daher f paq P I oder
Sei I ein Primideal und a ^ b P f
1
f pbq P I . Also folgt a P f pI q oder b P f 1 pI q.
Beweis.
Wegen
Lemma 2.9. Sei A ein distributiver Verband, F „ A ein Filter, I „ A ein Ideal und F X I H. Dann gibt
es ein Ideal J … I , sodass J X F H und J ist ein maximales Ideal disjunkt zu F , d.h. ist K ein Ideal,
K … J und K X F H, dann ist K J .
Beweis.
Sei
U
tJ P IdlpAq : J … I,”J X F Hu H und A „ U eine bezüglich der Teilmengenrelation
I : tJ : J P Au ein Ideal, mit I X F H und I … A für alle A P A. Also
totalgeordnete Menge. Dann ist
P U eine obere Schranke für A und nach dem Lemma von Zorn gibt es maximale Elemente in U .
Lemma 2.10. Sei A ein distributiver Verband, F „ A ein Filter, I „ A ein Ideal, F X I H und I
ist
I
maximales Ideal disjunkt zu F . Dann ist I prim.
Da 1 P F folgt 1R I .
a ^ b P I , Ja : IpI Y tauq
Beweis.
Sei
und
Jb : IpI
ein
Y tbuq. Wir zeigen als erstes, dass
R : ti _ pa ^ xq : i P I, x P Au Ja
!
R ein Ideal ist. Weiters gilt für alle i P I , dass i i _ pa ^ 0q P R und daher I „ R
0 _ pa ^ aq P R. Also folgt R … Ja . Andererseits folgt für i P I und x P A, dass a ^ x P Ja und
daher auch i _ pa ^ xq P Ja , also R „ Ja .
Als nächstes zeigen wir, dass entweder Ja oder Jb disjunkt zu F ist. Nehmen wir an, dass Ja X F H Jb X F
und wählen wir i _ pa ^ xq P Ja X F und j _ pb ^ y q P Jb X F . Nun folgt, da F ein Filter und I ein Ideal ist,
Man sieht leicht, dass
sowie
a
der Widerspruch:
F
Q pi _ pa ^ xqq ^ pj _ pb ^ yqq pi ^ j q _ pi ^ b ^ yq _ pj ^ a ^ xq _ ploaomo
^ obn ^x ^ yq P I
Also sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit
Ja X F
Folgende zwei Lemmata sind oft nützlich:
4
PI
H. Dann ist Ja I und daher a P I .
Lemma 2.11. Sind A und B Verbände und
morphismus, falls f stark isoton ist.
f :A
Ñ B bijektiv, dann ist f
genau dann ein Verbandsiso-
Beweis. ” ñ ” Sei f ein Verbandsisomorphismus und x P A, y P B mit f pxq ¤ y. Wegen der Bijektivität
1
1
1 ein Verbandshomomorphismus ist, folgt, dass f px1 q y ¥ f pxq
gibt es x P A sodass f px q y und weil f
1
impliziert x ¤ x . Also ist f stark isoton.
” ð ” Sei f stark isoton. Dann ist B f pAq f pÒ0 q Ò f p0q und daher f p0q 0, sowie tf p1qu f pÒ1 q Ò f p1q, also f p1q 1. Es ist weiters x ¤ y genau dann, wenn y P Òx , genau dann, wenn f py q P
f pÒx q Ò f pxq, also genau dann, wenn f pxq ¤ f py q. Damit sind f und f 1 Verbandshomomorphismen und
daher f ein Verbandsisomorphismus.
pSi qni1
Lemma 2.12. Sei A ein distributiver Verband und
Teilmengen von A. Dann gilt:
n ©
ª
p
i 1
n
©
p
ª
Si q Si q n
© ª
t
ª
t
i 1
Beweis.
i 1
n
©
eine Familie von endlichen und nicht leeren
φi : φ P
φi : φ P
i 1
n
¹
i 1
n
¹
Si u
Si u
i 1
n 1 ist die Aussage
: x P S1 u : y P S2 u Aussage für 1 ¤ k n
Wir beweisen die erste Aussage per Induktion, die zweite folgt analog. Für
™
™
™ ™
™ ™
n 2 folgt
S1 _ S2 tp S1 q _ y : y P S2 u t
™
tx _ y : x P S1 , y P S2 u ™tφ1 _ φ2 : φ P S1 S2 u. Sei nun n ¡ 2
x
bewiesen. Für jedes x P Sn sei Sn1 : tx _ y : y P Sn1 u. Dann folgt
trivial. Für
n
© ª
t
φi : φ P
i 1
n
¹
Si u i 1
©
P
n 2
ª ©
©
©
©
Si q _
© ©
p
i 1
n
ª
P
x Sn
n
ª2
Si P
p
Snx1 q
und die
Snx 1
u
Induktionsannahme
Snx1
© ©
Si q _
©
i 1
p
n
¹2
i 1
Si q _ p
i 1
φi : φ P
p
P
n
2
ª
x Sn
t
i 1
x Sn
1
© nª
tx _ y
Sn1 _ xq
x Sn
©
p
Si q
i 1
2.3
Kohärente Verbände
Denition 2.13.
Ein vollständiger Verband
A
heiÿt
kohärent, falls
a P A existiert
„ K pAq, sodass a š S .
2. K pAq „ A ist ein Teilverband (nicht notwendigerweise vollständig).
Sind A, B kohärente Verbände und f : A Ñ B ein vollständiger Verbandshomomorphismus, dann heiÿt f
kohärent, falls f pK pAqq „ K pB q. Wir bezeichnen mit KohVerb die Kategorie der kohärenten Verbände,
1. Jedes Element ist Supremum einer Menge von endlichen Elementen, d.h. für alle
S
zusammen mit kohärenten Verbandshomomorphismen.
5
Lemma 2.14. Ein vollständiger Verband A ist genau dann kohärent, falls
1.
Für alle a P A existiert S „ K pAq, sodass a š
S.
21 . 1 P K pAq
22 .
Für alle x, y P K pAq ist auch x ^ y P K pAq
Beweis.
x^y
Ist
A
P K pAq.
kohärent, so ist
K pAq
ein Teilverband und damit
1
P K pAq sowie für alle x, y P K pAq auch
Seien andererseits die Bedingungen dieses Satzes erfüllt. Oensichtlich ist
0
endlich. Auÿerdem folgt aus
P A endlich, dass auch x _ y endlich ist. Damit ist K pAq ein Teilverband.
Lemma 2.15. Sind A, B kohärente Verbände und f : A Ñ B bijektiv, dann ist f
x, y
sisomorphismus genau dann, wenn f stark isoton ist.
Beweis.
Die kohärenten Verbände
A
und
dann ein Verbandsisomorphismus, wenn
f
B
ein kohärenter Verband-
sind auch distributive Verände. Nach Lemma 2.11 ist
f
genau
stark isoton ist. Insbesondere sind kohärente Verbandsisomorphis-
mus auch Verbandsisomorphismen und daher ist die starke Isotonie notwendig. Sei umgekehrt
f
stark isoton,
š
š
„ A so gilt für alle s P S , š
dass
S ¥ s und daher f p S q ¥ f psq.
š
š
Also folgt auch f p
Sq ¥
f pS q. Andererseits gibt es füršt ¥
f pS q ein a P A, sodass
šf paq t, und
wegen f paq ¥ f psq folgt a ¥ s für alle s P S . Also folgt a ¥
S
und folglich t f paq ¥ f p
S q. Insgesamt
š
š
š
ist also f p
S q die kleinste obere Schranke für f pS q und daher f p S q f pS q, also ist f vollständig.
also ein Verbandsisomorphismus. Ist
S
Wendet man die selbe Überlegeung auf
f 1
an, so erhält man, dass auch
ein vollständiger Verbandsisomorphismus. Die Kohärenz von
f
und
f 1
f 1
vollständig ist. Also ist
f
folgt jetzt einfach dadurch, dass die
Eigenschaft eines Elementes endlich zu sein, von vollständigen Verbandsisomorphismen erhalten wird.
2.4
Boolsche Algebren
Lemma 2.16. Sind x, a, b drei Elemente eines distributiven Verbandes A, dann existiert höchstens ein
P A, sodass x ^ y a und x _ y b.
y
P A mit den Eigenschaften. Dann folgt
y y ^ px _ y q y ^ b y ^ px _ ỹ q py ^ xq _ py ^ỹ q
a_py ^ ỹq y ^ ỹ
wobei der letzte Schritt aus a ¤ y und a ¤ ỹ , und daher auch a ¤ y ^ ỹ , folgt. Genauso folgt ỹ y ^ ỹ
und damit y ỹ .
Denition 2.17. Sei A ein distributiver Verband und a P A. Gibt es ein Element b P A mit der Eigenschaft,
dass a ^ b 0 und a _ b 1, so heiÿt b das Komplement von a und wird mit a bezeichnet.
Das vorhergende Lemma zeigt also, dass jedes a P A maximal ein Komplement besitzt.
Denition 2.18. Ein distributiver Verband A heiÿt boolsche Algebra, falls jedes a P A ein Komplement
Beweis.
Seien
y, ỹ
besitzt. Wir bezeichnen die Kategorie der boolschen Algebren, zusammen mit Verbandshomomorphismen,
mit
Bool.
Beispiel 2.19. Beispiele für boolsche Algebren.
1. Das einfachste Beispiel einer boolschen Algebra ist der
Z2 .
2. Weiters wird jede mengentheoretische Algebra zu einer boolschen Algebra, wenn man als unäre Operation die Komplementbildung nimmt. Aus der Stone Duality I wird sogar folgen, dass alle boolschen
Algebren isomorph zu einer mengentheoretischen Algebra sind.
6
Bemerkung 2.20.
Auf mengentheoretischen Algebren ist also die Komplementbildung im Sinne von boolschen
Algebren durch Komplementbildung
c
im mengentheoretischen Sinne gegeben. Wir werden diese aber im
Kontext von boolschen Algebren meistens trotzdem mit
bezeichnen.
Denition 2.21. Ist A eine boolsche Algebra und B „ A, so heiÿt B Teilalgebra
abgeschlossener Teilverband von A ist.
von
A,
falls
B
ein unter
Lemma 2.22. a ist das gröÿte Element b, sodass b ^ a 0 und das kleinste Element c, sodass c _ a 1.
Beweis. Ist b ^ a 0, so folgt b b ^ 1 b ^ pa _ a q pb ^ aq _ pb ^ a q b ^ a , also b ¤ a . Die zweite
Aussage sieht man analog.
Korollar 2.23. Es gilt a a. Insbesondere ist : A Ñ A eine Bijektion. Weiters gilt: a ¤ b ðñ a ¥ b
sowie die De Morgan'schen Gesetze: pa ^ bq a _ b und pa _ bq a ^ b für alle a, b P A
Beweis. Es ist a ^ a 0 und a _ a 1. Also folgt a a .
Die De Morgan'schen Gesetze sieht man ebenfalls mit Lemma 2.16. Es gilt pa ^ bq^pa _ b q pa ^ a ^
bq _ pa ^ b ^ b q 0 und pa ^ bq _ pa _ b q pa _ a _ bq ^ pa _ b _ b q 1 und daher pa ^ bq a _ b .
Das zweite Gesetz sieht man genauso.
b ðñ a ¥ b .
Korollar 2.24. Ein Verbandshomomorphismus f : A Ñ B zwischen boolschen Algebren erhält automatisch
Weiters gilt
a¤b
ðñ a _ b b ðñ
a ^ b
die unäre Operation.
Beweis.
a P A. Dann folgt f paq^ f pa q f pa ^ a q f p0q 0 und f paq_ f pa q f pa _ a q f p1q 1,
f pa q f paq .
Sei
und daher
Lemma 2.25. Sei A eine boolsche Algebra. Dann ist I
x P I u ein Filter ist.
„ A genau dann ein echtes Ideal, falls I : tx
:
I „ A ein echtes Ideal. Dann ist 0 P I und 1 R I und damit 1 0 P I und 0 1 R I . Für
alle a, b P I folgt a , b P I , daher auch a _ b P I und damit pa _ b q a ^ b P I . Ist a P I und b ¥ a
so folgt a P I und b ¤ a . Also b P I und daher b P I . Also ist I ein Filter. Die andere Richtung sieht
Beweis.
Sei
man genauso.
Lemma 2.26. Sei A eine boolsche Algebra und I „ A. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1.
I
ist ein Primideal.
2.
I
ist ein maximales Ideal.
4.
Für alle x P A gilt entweder x P I oder x P I .
I ist ein Primlter.
5.
I
6.
Für alle x P A gilt entweder x P I oder x P I .
3.
ist ein maximaler Filter.
Beweis. ”1. ñ 3.” Sei I
x P I .
”3. ñ 2.”
Widerspruch
ein Primideal. Dann gilt für jedes
Sei J ‰ I ein echtes
x _ x 1 P J .
Ideal und
x P J zI .
x P A,
Dann ist
x
dass
x ^ x
0 P I und daher x P I oder
P I und daher auch x P J . Also folgt der
”2. ñ 1.” Folgt aus Lemma 2.10 angewandt auf den Filter F t1u.
”1. ô 4.” I ist genau dann prim, wenn aus a ^ b P I folgt, dass a P I oder b P I . Das ist äquivalent
dass aus pa ^ bq a _ b P I folgt, dass a P I oder b P I , also genau dann, wenn I prim ist.
”4. ô 5. ô 6.” Folgt analog zu ”1. ô 2. ô 3.”.
7
dazu,
2.5
Heyting Algebren
P A. Gibt es ein gröÿtes Element x P A, sodass
a Ñ b bezeichnet.
Denition 2.28. Ein distributiver Verband A heiÿt Heyting Algebra, falls für alle a, b P A das PseudoDenition 2.27.
a ^ x ¤ b,
so heiÿt
komplement von
a
Sei
x
A
ein distributiver Verband und
a, b
Pseudokomplement von a bezüglich b
bezüglich
b
und wird mit
existiert. Wir bezeichnen die Kategorie der Heyting Algebren zusammen mit
Verbandshomomorphismen mit
Heyt.
Lemma 2.29. Jede boolsche Algebra ist eine Heyting Algebra. Die Pseudokomplemente sind dabei gegeben
durch a Ñ b a _ b.
Beweis. Es ist pa _ bq ^ a b ^ a ¤ b. Sei andererseits a ^ x ¤ b. Dann folgt x _ a pa ^ xq _ a ¤ b _ a
und daher insbesondere x ¤ a _ b.
2.6
Closure Algebren
Denition 2.30. Sei A eine boolsche Algebra.
Abschlussoperator, falls für alle x, y P A gilt
1.
2.
3.
Eine unäre Operation
:A
Ñ
A, x
ÞÑ
x
x
heiÿt
00
x ¤ x
x¤y
impliziert
x
x
5. px _ y q x _ y
ein Abschlussoperator auf A ist.
Das Paar pA, q heiÿt closure Algebra, falls A eine boolsche Algebra und
. Ein Element x P A heiÿt
Für einen Abschlussoperator denieren wir den Interioroperator
über x : x
abgeschlossen, falls x x, und oen, falls x x. Ist B „ A so bezeichnet B : tx : x P B u und
B : tx : x P B u.
Denition 2.31. Sind pA, q und pB, q zwei closure Algeberen und f : A Ñ B eine Abbildung, dann heiÿt
f closure Algebrenhomomorphismus, falls f ein Verbandshomomorphismus ist und für alle x P A gilt, dass
f px q f pxq . Wir bezeichnen die Kategorie der closure Algebren mit closure Algebrenhomomorphismus
4.
mit
x
¤ y
CloAlg.
Lemma 2.32. Sei ein Abschlussoperator auf einer boolschen Algebra A. Dann gilt
1. a minpÒa X A q für alle a P A. Insbesondere ist der Abschlussoperator eindeutig über die Menge
der abgeschlossenen Elemente festgelegt.
impliziert x ^ y P A und x _ y P A
2. x, y P A
Es ist a P A oen genau dann, wenn a abgeschlossen ist. Insbesondere ist A A
Beweis. 1. Es folgt unmittelbar, dass a P Òa X A . Ist d P Òa X A , so folgt a ¤ d d. Also folgt die
3.
Behauptung.
px _ yq x _ y x _ y, also x _ y P A . Auÿerdem ist px ^ yq ¤ x und px ^ yq ¤ y ,
und daher px ^ y q ¤ px ^ y q ¤ x ^ y x ^ y .
2. Es gilt
3. Folgt unmittelbar.
Folgender Satz gibt eine präzise Charakterisierung jener Teilmengen
als Mengen der abgeschlossenen Elemente auftreten können.
8
T
einer boolschen Algebra
A,
welche
Satz 2.33. Sei A eine boolsche Algebra und T „ A nicht leer. Dann gibt es genau dann einen closure
Operator auf A mit A T , falls T ein Teilverband von A ist und für alle a P A die Menge Òa X T ein
Minimum besitzt.
Beweis. ” ñ ” Folgt sofort aus vorigem Lemma.
” ð ” Sei : A Ñ A deniert über a : minpÒa X T q. Da T ein Teilverband ist, folgt 0 P T und damit
0 0. Auÿerdem gilt: x ¤ x , sowie x ¤ y ùñ x ¤ y und x x für alle x, y P A. Weiters gilt für
P T folgt px _ yq ¤ x _ y . Ist andererseits d P T mit
alle x, y P A, dass x _ y ¤ x _ y . Da x _ y
px _ yq ¤ d ¤ x _ y , so folgt x ¤ d und y ¤ d und daher x ¤ d und y ¤ d, also x _ y ¤ d. Daher
gilt auch px _ y q x _ y .
2.7
Fortsetzungssätze
In diesem Abschnitt werden einige Resultate bewiesen, die sich mit der Fortsetzbarkeit von Funktionen
zu Homomorphismen beschäftigen, welche zuvor nur auf Teilmengen deniert sind. Bis zum Ende dieses
Abschnittes bezeichne
Denition 2.34.
C
immer eine der Kategorien
pA, ¤q P Obj pC q und B „ A so sei
Ist
£
rB sC : tE
Die Menge
B
einfach nur
heiÿt
dicht
Lemma 2.35.
Beweis.
sowie
von
C -dicht
A.
in
: B
„ E „ A, E ist Teilverband (Teilalgebra) von Au.
A, falls rB sC
A. Falls klar ist welche Kategorie gemeint ist, so heiÿt B auch
in
rB sC
ist der kleinste Teilverband (die kleinste Teilalgebra) von A, die B enthält.
0, 1 P rB sC . Weiters sieht man leicht, dass mit x, y P rB sC auch immer x ^ y P rB sC
Bool, auch x P rB sC . Also ist rB sC ein Teilverband (eine Teilalgebra)
Denition von rB sC folgt damit die Aussage.
Oensichtlich ist
x_y
A.
Bool oder DVerb.
P rB sC
Aus der
und, im Falle
Satz 2.36. Sei A P Obj pC q und B „ A nichtleer. Dann gilt:
In
n ©
ª
rB sDVerb t p
DVerb :
i 1
n
©
Ri q :
H Ri „ B Y t0, 1u,
#Ri
8, n ¥ 1u
ª
Ri q :
H Ri „ B Y t0, 1u,
#Ri
8, n ¥ 1u
©
Ri q :
H Ri „ B Y B ,
#Ri
8, n ¥ 1u
ª
Ri q :
H Ri „ B Y B ,
#Ri
8, n ¥ 1u
t p
In
i 1
n
ª
rB sBool t p
Bool :
i 1
n
©
t p
i 1
Insbesondere gilt rB sBool rB Y B sDVerb .
Beweis.
Wir zeigen jeweis nur die erste Gleichheit. Die zweite folgt analog.
Wir beginnen mit
rB sVerb
DVerb.
ein Verband ist,
X
„
Bezeichne
D.
X
die rechte Seite der Gleichung, so folgt oenbar, da
Auÿerdem ist
0, 1
Verbandsoperationen abgeschlossen ist. Oensichtlich
9
P
X.
ist X
Es reicht daher zu zeigen, dass
unter
_ abgeschlossen. Dass X
X
D :
unter den
auch unter
^
abgeschlossen ist, folgt aus Lemma 2.12:
n ©
ª
p
Ri q ^
i 1
m ©
ª
p
Tj q ª
j 1
"
ª
¤¤
¤¤
©
2
©
φk : φ P t
k 1
©
tp
©
Ri q ^ p
Ri : i 1, ... , nu t
©
*
Tj : j
1, ... , mu
Tj qu
1 i n
1 j m
ª ©
¤¤
¤¤
pRi Y Tj q
1 i n
1 j m
Im Falle
Bool bezeichne X wieder die rechte Seite. Es folgt wieder unmittelbar X „ D und wir müssen noch
nachweisen, dass
ist. Da
B
X
X unter _ und ^ abgeschlossen
P B Y B und daher 0 x ^ x P X , sowie 1 x _ x P X . Es
schon eine boolsche Algebra ist. Es folgt wie vorher, dass
nicht leer ist, gibt es
x
mit
bleibt die Abgeschlossenheit unter
n ©
ª
i 1
Ti q
x, x
zu zeigen:
n ª
©
p
Ti q n
ª ©
i 1
t
i 1
φi : φ P
n
¹
Ti u P X
i 1
rB sBool rB Y B sBool … rB Y B sDVerb . Aus den eben bewiesenen Darstellungen von
rB sDVerb und rB sBool folgt aber sofort rB Y B sBool „ rB Y B sDVerb und damit insgesamt rB sBool rB Y B sDVerb
Satz 2.37. Seien A, B P Obj pC q, h, k P M orC pA, B q und X „ A. Gilt dann h|X k|X , so folgt h|rX s k |rX s .
Beweis. Es sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit X dicht in A. Bezeichne ξ : h|X k|X , M : tϕ P
M orpA, B q : ϕ|X ξ u und Y : tx P A : @ϕ, ψ P M : ϕpxq ψ pxqu. Oenbar ist 0, 1 P Y . Sind x, y P Y so
folgt für alle ϕ, ψ P M , dass ϕpx _ y q ϕpxq _ ϕpy q ψ pxq _ ψ py q ψ px _ y q und damit x _ y P Y . Analog
sieht man auch x ^ y P Y und im Falle Bool auch x P Y . Also ist Y … X ein Teilverband (eine Teilalgebra)
von A und da X dicht in A ist, folgt Y A.
Satz 2.38. (Extension Theorem) Seien A, B P Obj pC q und X „ A C -dicht. Sei weiters f : X Ñ B eine
Funktion. Dann besitzt f genau dann eine Fortsetzung zu einem Verbandshomomorphismus g : A Ñ B , falls
für alle endlichen Teilmengen U, V „ X mit U Y V H (es darf aber U H oder V H gelten) gilt:
™
š
™
š
1. In DVerb:
U ¤ V ùñ
f pU q ¤ f pV q.
™
™
™
™
2. In Bool: p
U q ^ p V q 0 ùñ p f pU qq ^ p f pV q q 0.
Schlieÿlich folgt
C
C
In diesem Fall ist g eindeutig.
Es gelte zusätzlich t0, 1u „ X . Dann ist die Fortsetzung ein Isomorphismus genau dann, wenn f injektiv
ist, f pX q C -dicht in B ist und f 1 : Y Ñ X ebenfalls die Voraussetzungen 1. bzw. 2. erfüllt.
Beweis.
Die Bedingung 1. bzw. 2. sind sicherlich in beiden Fällen notwendig.
DVerb auch hinreichend ist. Falls 0 P X folgt mit U t0u und V H:
t0u ¤ 0 ùñ f p0q ™tf p0qu ¤ 0, also f p0q 0, und mit U H und V t1u folgt analog auch f p1q 1.
Sei nun X̃ : X Y t0, 1u und f˜ : X̃ Ñ B deniert über f˜pxq f pxq für x P X , f˜p0q 0 und f˜p1q 1. Man
™
Wir zeigen, dass 1. im Falle
X̃ und f˜ die Bedingung 1. erfüllen. Also nehmen wir ohne Beschränkung der
0, 1 P X .
šn ™
šn ™
Sei nun g : A Ñ B deniert über g p
Si q : ši1 ™f pSi q für
alle endlichen nichtleeren Teilmengen
i1
šm
™
n
Si von X . Um zu sehen, dass g wohldeniert ist, sei i1 Si j 1 Tj , wobei Si , Tj „ X endliche
±m
™
šm
Teilmengen sind. Dann gilt für alle i 1, ... , n und φ P
Si ¤ j 1 φj . Also folgt wegen der
j 1 Tj , dass
™
šm
Annahme des Satzes, dass
f pSi q ¤ j 1 f pφj q, und daher
sieht leicht, dass dann auch
Allgemeinheit an, dass
10
n ©
ª
p
f pSi qq ¤
m
© ª
i 1
šm
t
f pφj q : φ P
j 1
m
¹
Tj u j 1
m ©
ª
™
šn ™
f Tj
f Si , also insgesamt
j 1
i 1
auch überall deniert und oensichtlich gilt g X
Wegen Satz 2.36 ist
g
p qq ¤
p
p qq
f pTj qq
šm
™
šn ™
f Tj
f Si .
j 1
i 1
f . Man überprüft nun leicht, dass
p p qq p p qq
| g mit den Verbandsoperationen _ und ^ verträglich ist. Weiters ist g p0q 0 und g p1q 1. Also ist g ein
Genauso zeigt man
p
p
j 1
Verbandshomomorphismus.
Wir zeigen nun den Fall Bool. Dazu denieren wir eine Funktion f˜ : X Y X Ñ f pX q Y f pX q über
˜
˜
f pxq f pxq für x P X , und f pxq f px q für x P X . Diese Funktion ist wohldeniert, denn für x P
X X X gilt mit U tx, x u und V H, dass f pxq ^ f px q 0, und mit U H und V tx, x u folgt
f pxq _ f px q 1, also f px q f pxq . Aus Satz 2.36 folgt, dass rX Y X sDVerb rX sBool A und nach
dem ersten Beweisteil gibt es eine Fortsetzung von f˜ zu einem Verbandshomomorphismus auf A.
Die Eindeutigkeit folgt sofort aus Satz 2.37.
pIsoq als Abkürzung für die drei Bedingungen: f ist injektiv, f pX q ist C -dicht in B
Ñ X erfüllt ebenfalls die Bedingung 1. bzw. 2.. Wir zeigen nun im Falle DVerb die Aussage
über Isomorphismen. Als Erstes beweisen wir, dass pIsoq notwendig ist. Dass die Injektivität von f notwendig
Im Folgenden steht
und
f 1 : Y
f 1 . Also muss f 1 die Bedingung 1. des
M „ f pX q, dass M f pf 1 pM qq. Also sind
alle endlichen, nicht leeren Teilmengen von f pX q von der Form f pU q für eine endliche, nicht leere Teilmenge
U von X . Auÿerdem folgt aus 0, 1 P X zwingend f p0q 0 und f p1q 1, also 0, 1 P f pX q. Mit der Denition
von g und Satz 2.36 folgt, dass g pAq rf pX qsDVerb , also ist g pAq DVerb-dicht in A.
1 Fortsetzungen zu Homomorphismen g : A Ñ B bzw.
Sei umgekehrt pIsoq erfüllt. Dann haben f bzw. f
šn ™
g̃ : B Ñ A. Für alle x P A gibt
es endliche, nicht leere Teilmengen Si „ X , i 1, ... , n, sodass x Si
i1
šn ™
šn ™
šn ™ 1
šn ™
und es folgt g̃ g pxq g̃ g p i1
Si q g̃ p i1 f pSi qq i1 f f pSi q i1 Si x. Analog
1 und damit ist g ein Isomorphismus.
folgt auch g g̃ py q y für alle y P B und insgesamt folgt g g̃
ist, ist klar. Hat
g
eine Inverse, so ist diese eine Fortsetzung von
Satz erfüllen. Aus der Injektivität folgt nun für alle Teilmengen
Zuletzt zeigen wir die Aussage über Isomorphismen im Fall
Bool. Die Notwendigkeit der Injektivität von
f 1 die Bedingung 2. erfüllt, folgt wie zuvor. Weiters liegt X bzw. f pX q genau dann Bool-dicht,
bzw. f pX q Y f pX q Verb-dicht liegt. Also ist g die eindeutige Fortsetzung von dem oben
wenn X Y X
denierten f˜ : X Y X Ñ f pX Y X q f pX q Y f pX q zu einem Verbandsisomorphismus von X nach B .
Mit dem zuvor bewiesenen folgt, dass f pX q Y f pX q Verb-dicht ist.
Wir zeigen nun, dass pIsoq im Fall Bool hinreichend ist. Sei also f : X Ñ f pX q bijektiv. Mit den
1 . Wir
Voraussetzungen pIsoq erhalten wir Fortsetzungen g : A Ñ B bzw. h : B Ñ A von f bzw. f
zeigen als Erstes, dass f˜ g |X YX : X Y X Ñ f pX q Y f pX q bijektiv ist und die Inverse h|f pX qYf pX q
mit x y und f˜pxq f˜pyq. Dies ist oenbar
besitzt. Surjektivität von f˜ ist klar. Seien x, y P X Y X
nur möglich, wenn x P X und y P X
oder umgekehrt. Nehmen wir x P X an, so folgt f pxq f py q
1
˜
und weiters x f
pf pxqq hpf pxqq hpf py q q hpf py qq y y. Also ist f bijektiv und hat
als Inverse h|f pX qYf pX q . Weiters sind X Y X bzw. f pX Y X q DVerb-dicht in A bzw. B . Die Tatsache,
dass h|f pX qYf pX q die Bedingung 1. erfüllt folgt nun notwendiger Weise, denn der Homomorphismus h ist
eine Fortsetzung von h|f pX qYf pX q und eine solche kann nur existieren, falls die Bedingung 1. erfüllt ist.
Insgesamt erhalten wir nun über die schon bewiesene Aussage über Isomorphismen im Fall DVerb, dass g
f
und, dass
ein Isomorphismus ist.
Hilfreich ist oft folgende Variante des Fortsetzungssatzes:
Korollar 2.39. Seien A, B boolsche Algebren, X „ A ein Booldichter Teilverband und f : X Ñ B ein
Verbandshomomorphismus. Dann gibt es eine eindeutige Fortsetzung von f zu einem Verbandshomomorphismus g : A Ñ B .
™
™ ™
š Beweis.
™ Seien
šU, V „ X endliche Teilmengen, U Y V H und p U q^p V q p U q^p V q 0. Dann
folgt
™U
¤
f pU q
g : A Ñ B.
folgt
V,
und da die Suprema und Inma in
X
existieren und
f
ein Verbandshomomorphismus ist,
¤ š f pV q, und daher p™ f pU qq ^ p™ f pV q q 0. Also gibt es eine eindeutige Fortsetzung
11
3
Topologische Konzepte
3.1
Allgemeine Topologie
Denition 3.1.
•
•
Sei
X
ein topologischer Raum und
Eine gleichzeitig oene und abgeschlossene Menge wird auch als
Wir bezeichnen weiters mit
clopen Mengen von
•
•
•
Ωp X )
X.
Wie gehabt bezeichnet
oenen Mengen von
•
„ X.
Y
X.
clopen
das System der oenen Mengen und
bezeichnet.
KΩpX q
das System der kompakten
ApX q, KpX q und C pX ) die Systeme der abgeschlossenen, kompakten, bzw.
ΩpX q die Topologie auf X , so bezeichnet T |Y die Spurtopologie auf Y .
“
Die Saturation von Y ist deniert als SatpY q :
tU P ΩpX q : Y „ U u.
Die Quasiordnung ¤T , deniert über x ¤T y ðñ x P ty u, heiÿt die von der Topologie induzierte
T
Ist
Quasiordnung.
Lemma 3.2. Es ist x ¤T y genau dann, wenn für alle oenen Mengen U gilt: x P U
ist ¤T genau dann eine Halbordnung, wenn die Topologie T0 ist.
Beweis.
ùñ y P U . Weiters
Folgt sofort aus der Denition.
Denition 3.3.
• X
heiÿt
Sei
X
ein topologischer Raum.
total unzusammenhängend,
falls die einpunktigen Mengen die einzigen zusammenhängenden
Mengen sind.
• X heiÿt
y R A.
• X
heiÿt
total separiert, falls für alle x, y P X
mit
xy
eine clopen Menge
A
existiert, mit
xPA
und
nulldimensional, falls die clopen Mengen eine Basis bilden.
Lemma 3.4. Für topologische Räume gelten folgende Implikationen:
Beweis.
2.
T2
1.
total unzusammenhängend
2.
total separiert
3.
T0 und nulldimensional
1. Da
ùñ
ùñ
ùñ
T1
:ngend
T2 und total unzusammenha
T3 und total separiert
txu immer zusammenhängend ist, folgt txu txu für alle x, und damit T1 .
A „ X und x, y P A mit x y , dann gibt es eine clopen Menge B „ X mit x P B
folgt sofort. Ist
R B . Also ist A nicht zusammenhängend.
A abgeschlossen und x R A dann gibt es eine clopen Menge U mit x P U „ Ac . Also folgt T3 . Mit
A ty u für beliebiges y x folgt auch total separiert.
und
y
3. Ist
Folgender topologischer Satz wird in verschiedenen Stellen der Arbeit verwendet.
Satz 3.5. (Alexander's Subbasis Lemma) Sei pX, T q ein topologischer Raum und C eine Subbasis von T .
Wenn jede Überdeckung von X mit Mengen aus C eine endliche Teilüberdeckung besitzt, dann ist X kompakt.
12
Beweis.
Nehmen wir an, dass
X
X : tU
nicht kompakt ist. Dann ist das System
„T
:
¤
U
X, EM „ U : M endlich,
¤
M Xu
Y „ X linear geordnet,
q X . Sei M”„ ” Y eine endliche Teilmenge. Dann gibt es U P Y, sodass M „ U ,
M X . Also folgt Y P X und Y hat eine obere Schranke in X.
nicht leer. Wir suchen mit Hilfe des Lemmas von Zorn maximale Elemente. Ist
” ”
Y
”
p
so ist oenbar
und daher ist
Sei nun
U
P X ein maximales Element. Würde das System der Subbasismengen in U ganz X überdecken,
so hätte es nach Vorausetzung eine endliche Teilüberdeckung, was aber der Denition von
3.2
”
U
widerspricht.
pU X C q X . Sei nun x P X zp”pU X C qq. Da U eine Überdeckung von X ist, gibt es ein U P U ,
sodass x P U . Da C eine Subbasis von pX, T q ist, gibt es weiters C1 , ... , Cn P C , sodass x P C1 X ... X Cn „ U .
”
Wegen x R
pU X C q ist Ci R U X C , und daher Ci R U . Aus”der Maximalität von U folgt, dass es
für i 1, ... , n endliche Teilmengen Mi „ U gibt, sodass Ci Y
Mi X . Es folgt der Widerspruch
” ”
U Y t Mi : i 1, ... , nu X , und daher hat U eine endliche Teilüberdeckung.
Also folgt
Kohärente topologische Räume
Die Denition von kohärenten topologischen Räumen ist bewusst so gewählt, dass sich sehr schnell eine
Dualität zu kohärenten Verbänden ergibt (siehe Abschnitt 4.2). Zusammen mit der deutlich aufwendiger
zu beweisenden Äquivalenz der Kategorien der kohärenten und distributiven Verbänden (siehe Abschnitt
4.1) ergibt sich schlieÿlich die Dualität
Stone Duality
KohTop DVerb,
welche in Anerkennung an M.H. Stone auch
genannt wird. Historisch war dies die erste bedeutende Dualität zwischen Kategorien, welche
entwickelt werden konnte.
Die kohärenten Esakia Spaces bilden eine Teilkategorie, welche dual zu Heyting Algebren ist, und die
Kategorie der Stone Spaces bildet wiederum eine Teilkategorie, welche sich als dual zu der Kategorie der
boolschen Algebren erweisen wird. Diese Dualität wird in der Literatur ebenfalls Stone Duality genannt.
Kohärente topologische Räume
Denition 3.6.
Ein nüchterner topologischer Raum
kohärente Räume und
f : X
ÑY
X
heiÿt
kohärent, falls ΩpX q kohärent ist. Sind X , Y
f kohärent, falls Ωpf q kohärent ist.
eine stetige Funktion, dann heiÿt
Wir bezeichnen die Kategorie der kohärenten Räume zusammen mit kohärenten stetigen Funktionen mit
KohTop.
Lemma 3.7. Seien X und
Funktion. Dann gilt:1
nüchterne topologische Räume, U
P ΩpX q
und f : X
Ñ
Y
eine stetige
ðñ U
ist kompakt.
ist kompakt.
X ist kohärent. ðñ KΩpX q ist unter endlicher Schnittbildung abgeschlossen.
'
%
KΩpX q bildet eine Basis von ΩpX q.
f ist kohärent. ðñ Urbilder kompakter oener Mengen sind kompakt.
U
Beweis.
ist endlich.
Y
$
'
&X
Folgt sofort aus der Denition.
Eine Teilmenge Y „ X eines kohärenten topologischen Raumes heiÿt kohärente Teilmenge,
Y , versehen mit der Spurtopologie, ein kohärenter Raum ist und U P KΩpX q impliziert U X Y P KΩpY q.
c
Weiters heiÿt Y doppelt kohärente Teilmenge, falls Y und Y kohärent sind.
Denition 3.8.
falls
1 Die
Aussage U ist endlich bezieht sich auf
U
als Element des Verbandes
Mächtigkeit gemeint.
13
ΩpX q;
ist also nicht im Sinne von endlicher
Kohärente Esakia Spaces
Denition 3.9.
pX, T ) heiÿt kohärenter Esakia Space, falls für alle
pX, T q und pY, Oq zwei kohärente
kohärenter Esakia Homomorphismus, falls für alle x P X
Ein kohärenter topologischer Raum
doppelt kohärenten Teilmengen
A„X
auch
A
doppelt kohärent ist. Sind
f : X Ñ Y stetig, so heiÿt f
f pSatpxqq Satpf pxqq. Wir bezeichnen
Esakia Spaces und
gilt, dass
mit kohärenten Esakia Homomorphismen mit
die Kategorie der kohärenten Esakia Spaces zusammen
KohEsa.
Stone Spaces
Denition 3.10.
Ein kompakter topologischer Hausdorraum heiÿt
Mengen eine Basis für
X
bilden. Wir bezeichnen mit
Stone
Stone Space, falls die kompakten oenen
die Kategorie der Stone Spaces mit stetigen
Abbildungen.
Folgender Satz gibt verschiedene alternative Charakterisierungen von Stone Spaces.
Satz 3.11. Sei X ein topologischer Raum. Dann ist X genau dann ein Stone Space, falls eine der folgenden
äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
1.
X
ist Hausdor und kohärent.
2.
X
ist kompakt, T0 und nulldimensional.
3.
X
ist kompakt und total separiert.
4.
X
ist kompakt, Hausdor und total unzusammenhängend.
Beweis. ” Stone Space ô 1.” folgt sofort aus der Denition.
”1.
ñ 2.” Kohärente Räume sind nüchtern und daher T0 . Auÿerdem sind sie per Denitionem kompakt
und nulldimensional.
”2. ñ 1.” Sei X
kompakt,
T0
und nulldimensional. Wegen Lemma 3.4 folgt, dass
X
Hausdor ist. Auÿer-
dem sind die kompakten oenen Mengen genau die clopen Mengen. Diese sind unter endlicher Schnittbildung
X kohärent.
”2. ñ 3. ñ 4.” Folgt sofort aus Lemma 3.4.
”4. ñ 3.” Für x P X sei C pxq die Menge der
abgeschlossen. Also ist
trennen lassen, d.h.
Punkte, welche sich nicht durch eine clopen Menge von
x
P X : EA P KΩpX q : y P A, x R Au
Dann ist x P C pxq und C pxq ist abgeschlossen, denn nach Denition von C pxq gibt es für y P X zC pxq eine
clopen Menge A mit y P A und x R A, und, wieder mit der Denition von C pxq, ist daher A X C pxq H.
Daher ist A eine oene Umgebung von y mit A „ X zC pxq.
Wir wollen zeigen, dass C pxq txu. Nehmen wir dazu an, dass C pxq aus mehr als einem Punkt besteht.
Da X total unzusammenhängend ist, ist dann C pxq nicht zusammenhängend und es gibt abgeschlossene,
disjunkte und nicht leere Teilmengen A, B „ C pxq, sodass A Y B C pxq. Da C pxq abgeschlossen in X ist,
sind auch
A
und
B
C pxq : ty
abgeschlossen in
X.
Weil
X
kompakt und Hausdor ist, ist
X
normal, daher gibt es ein
„ X , sodass A „ U „ U „ B c .
c
c
c
Nun gilt für den Rand B U U X U von U, dass B U X C pxq U X U X C pxq H, denn es gilt U X A H
und U X B H. Also gibt es für jedes y P B U eine clopen Menge Vy , sodass y P Vy aber x R Vy . Dann ist
tVy : y P BU }”eine
oene Überdeckung von B U , und da B U kompakt ist gibt es endlich viele y1 , ... , yn P B U ,
n
sodass B U „
V
i1 y : V . Als endliche Vereinigung von clopen Mengen ist V clopen, und aus x R V folgt
V X C pxq H. Jetzt ist W : U zV U zV oen und abgeschlossen in X , und es ist W X C pxq A. Nun
oenes
U
i
folgt der Widerspruch: denn sowohl
W
also auch
Wc
sind clopen und haben beide nicht leeren Schnitt mit
C pxq, müssten also beide x enthalten.
”3. ñ 2.” Nach Lemma 3.4 ist X Hausdor und daher auch T0 . Um zu sehen, dass X nulldimensional
ist, sei U „ X oen und x P U . Wir müssen eine clopen Menge V nden, sodass x P V „ U . Da X total
14
separiert ist, gibt es zu jedem
y
P U c eine clopen Menge Vy mit x R Vy und y P Vy . Also ist tVy
eine oene Überdeckung der kompakten Menge
Sei
“n
V :
c
i1 Vyi .
Dann ist
xPV
„ U , und V
U
c
und hat daher eine endliche Teilüberdeckung
ist als endlicher Schnitt von clopen Mengen clopen.
Es sind also Stone Spaces immer kohärente Räume. Sind
kompakt und oen, so ist
f 1 pK q
Spaces kohärent. Insgesamt ist also
3.3
: y P U cu
Vy1 , ... Vyn .
X, Y
Stone Spaces,
f :X
ÑY
stetig und
K
„Y
ebenfalls kompakt. Daher sind alle stetigen Funktionen zwischen Stone
Stone eine echte Teilkategorie von KohTop.
Geordnete topologische Räume
Geordnete topologische Räume bilden eine alternative Möglichkeit zur dualen Beschreibung von algebraischen
Kategorien. Insbesondere die Priestley Duality zwischen distributiven Verbänden und Priestley Spaces ist
oft angenehmer zu handhaben als die Stone Duality. Tatsächlich sind die Kategorien der Priestley Spaces
und der kohärenten topologischen Räume eng miteinander verwandt und bilden sogar isomorphe Kategorien.
Die Esakia Spaces schlieÿlich werden sich, wie die kohärenten Esakia Spaces, als dual zu Heyting Algebren
erweisen.
Denition 3.12.
Ein
quasigeordneter (halbgeordneter) topologischer Raum
ist ein topologischer Raum
pX, T q zusammen mit einer Quasiordnung (Halbordnung) ¤ auf X . Für einen quasigeordneten topologischen
Raum denieren wir die Mengen upΩpX q, upApX q, upKpX q bzw. upC pX q als die oenen, abgeschlossenen, kompakten, bzw. clopen Upsets von X . Analog bezeichne downΩpX q, downApX q, downKpX q bzw.
downC pX q die oenen, abgeschlossenen, kompakten, bzw. clopen Downsets von X .
Priestley Spaces
Denition 3.13. Sei pX, T , ¤q ein quasigeordneter topologischer Raum. Dann heiÿt X quasi Priestley
Space, falls X ein Stone Space ist, und für alle x, y P X mit x ¦ y ein clopen Upset A P upC pX q existiert,
sodass
xPA
und
y
R A.
Priestley Space, falls ¤ eine Halbordnung auf X ist.
Wir bezeichnen mit QPries (bzw. Pries) die Kategorie der quasi Priestley Spaces (bzw. Priestley Spaces)
X
heiÿt
mit stetigen, ordnungserhaltenden Abbildungen.
Lemma 3.14. Sei pX, T , ¤q ein quasi Priestley Space. Dann gilt:
1.
Ist A „ X abgeschlossen, so sind auch ÒA und ÓA abgeschlossen.
2.
Jedes oene Upset (Downset) ist Vereinigung von clopen Upsets (Downsets).
3.
Jedes abgeschlossene Upset (Downset) ist Schnitt von clopen Upsets (Downsets).
4.
Ist pX, T , ¤q ein Priestley Space, dann bildet das System upC pX q Y downC pX q eine Subbasis der
Topologie T .
¦ x sei Ayx P upC pX q mit y P Ayx und x R Ayx “
1. + 3. Wir zeigen, dass für abgeschlossenes A gilt ÒA tB P upC pX q : A „ B u : S . Da für Upsets
B aus A „ B folgt, dass auchÒA ”
„ B , ist ÒA „ S . Sei andererseits x P pÒA qc . Dann gilt für alle y P A,
y
y
dass y ¦ x und y P Ax . Daher ist
”tAxy : y P Au eine oene Überdeckung von A. Da A kompakt ist, gibt
es endlich viele y1 , ... , yn mit A „
tAx : i 1, ... , nu : Bx P upC pX q. Wegen x R Bx folgt x R S und
c
da x P pÒA q beliebig war, folgt ÒA S . Daher ist ÒA der Schnitt von clopen Upsets und insbesondere
abgeschlossen. Also folgt 1. (für ÒA ) und 3. (für abgeschlossene Upsets). Der Beweis von 1. (für ÓA ) bzw. 3.
Beweis.
Für
y
i
(für abgeschlossene Downsets) verläuft analog.
2. Wegen
upApX q
tU c
: U
P downΩpX qu und downApX q tU c
über Komplementbildung.
15
: U
P upΩpX qu folgt die Aussage
P ΩpX q eine oene Menge und x P U . Da ¤ eine Halbordnung ist, ist für alle y P U c die Menge
#
pAyx qc
falls y ¦ x
Vy :
x
Ay
falls y ¤ x
x
wohldeniert, denn aus y ¤ x und x y folgt x ¦ y und damit ist Ay deniert. Weiters gilt Vy P upC pX qY
c
c
downC pX q, sowie x P Vy und y R Vy . Also ist ”
tVny : y P U u eine oene Überdeckung
der kompakten Menge
“n
U c und daher gibt es y1 , ... , yn P U c , sodass i1 Vyc … U c . Also ist x P i1 Vy : V „ U , wobei V ein
endlicher Schnitt von Mengen aus upC pX qY downC pX q ist. Also bildet upC pX qY downC pX q eine Subbasis
4. Sei
U
i
i
der Topologie.
Lemma 3.15. Ist pX, T , ¤q ein halbgeordneter topologischer Raum, dann ist X genau dann ein Priestley
Space, falls X kompakt ist und für alle x, y P X mit x ¦ y ein clopen Upset A P upC pX q existiert, sodass
x P A und y R A.
Beweis. ” ñ ” folgt sofort.
”ð”X
ist nach Satz 3.11 genau dann ein Stone Space, falls
x, y P X , x y und
A mit x P A und y R A.
ist erfüllt. Sei nun
clopen Upset
X
kompakt und total separiert ist. Ersteres
ohne Beschränkung der Allgemeinheit
x
¦ y. Dann existiert ein
Folgender Satz gibt eine alternative Beschreibung für Priestley Spaces mittels einer auf den ersten Blick
Strong Priestley Separation Axiom genannt.
Satz 3.16. Sei pX, T , ¤q ein halbgeordneter topologischer Hausdorraum. Dann ist X genau dann ein Priestley Space, falls X kompakt ist und für alle abgeschlossenen Mengen A, B „ X mit ÒA X ÓB H ein clopen
Upset U existiert, sodass A „ U und B „ U c .
Beweis. ” ñ ” Da nach Lemma 3.14 die Mengen ÒA und ÓB abgeschlossen sind, sei ohne Beschränkung
stärkeren Bedingung. Die Bedingung in dem Satz wird
Ò
Ó
„ t
P
¦
p q
P
A
A ein Upset und B
B”ein Downset. Es sei für y x wieder Ayx upC X mit
y
Ayx : y A . Da A kompakt ist gibt es y1 , ... , yn A,
x” Ax . Sei nun x B . Dann ist A
yi
1, ... , n
: Dx . Damit ist Dx ein clopen Upset. Nun gilt für alle x B , dass
Ax : i ”
c
x D
,
und
daher
B
D
:
B . Da B kompakt ist, gibt
x “ x
”x
“ es endlich viele x1 , ... , xm , sodass
B
Dxi c : i 1, ... , n
Dxi : i 1, ... , n c . Mit U :
Dxi : i 1, ... , n folgt: U ist als
endlicher Schnitt von clopen Upsets ein clopen Upset, und A
U und B U c .
der Allgemeinheit
P
R
„ t
y Ayx und
sodass A
R
„ tp
u
„ tp q
P u
up t
q
” ð ” Sei x, y
P
P u
uq
„
P
t
„
u
P X und x ¦ y. Mit A txu und B tyu sind A und B abgeschlossen, und ÒA XÓB H.
U mit x P U und y P U c .
Also gibt es ein Upset
Esakia Spaces
Denition 3.17.
pliziert
Ein (quasi) Priestley Space
ÓA P KΩpX q. Sind X und Y
Esakia Homomorphismus, falls f
pX, T , ¤q heiÿt (quasi) Esakia Space, falls A P KΩpX q imf : X Ñ Y eine Abbildung, so heiÿt f
zwei quasi Esakia Spaces und
stetig und stark isoton ist. Wir bezeichnen die Kategorie der Esakia Spaces
Esa (bzw. QEsa).
Lemma 3.18. Sei pX, T , ¤q ein quasigeordneter Stone Space. Dann ist X genau dann ein quasi Esakia
Space, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Für alle x P X ist Òx abgeschlossen.
2. Für alle U P KΩpX q ist ÓU P KΩpX q.
Beweis. ” ñ ” 1. folgt aus Lemma 3.14, 2. folgt aus der Denition.
(bzw. quasi Esakia Spaces) zusammen mit Esakia Homomorphismen mit
” ð ” Seien x, y P X und x ¦ y . Wir müssen zeigen, dass es ein clopen Upset U P upC pX q gibt, mit
x P U und y R U . Es ist Òx abgeschlossen und y R Òx . Da X normal ist gibt es eine oene Menge V , sodass
y P V und V XÒx H. Da KΩpX q eine Basis bildet, sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit V P KΩpX q.
c
Es folgt, dass auch ÓV P KΩpX q und y P ÓV sowie ÓV X Òx H. Also ist U pÓV q die gewünschte
Menge.
16
3.4
Bitopologische Räume
Eine ganz anderer Ansatz Dualitäten zu gewinnen verwendet den Begri der bitopologischen Räume.
Eine Tripel pX, T1 , T2 q heiÿt bitopologischer Raum, falls T1 und T2 Topologien auf X sind.
pX, T1 , T2 q und pY, O1 , O2 q zwei bitopologische Räume und f : X Ñ Y , dann heiÿt f bistetig, falls
f : pX, T1 q Ñ pY, O1 q und f : pX, T2 q Ñ pY, O2 q stetig sind.
Denition 3.20. Für einen bitopologischen Raum pX, T1 , T2 q bezeichne für i, j P t1, 2u, i j
• Ωi pX q : Ti
• Ai pX q das System der bezüglich Ti abgeschlossenen Teilmengen von X .
• Ki pX q das System der bezüglich Ti kompakten Teilmengen von X .
• Ci pX q das System der bezüglich Ti clopen Teilmengen von X , d.h Ci pX q Ωi pX q X Ai pX q.
• Di pX q das System der bezüglich Ti oenen und bezüglich Tj abgeschlossenen Mengen, d.h Di pX q Ωi pX q X Aj pX q.
• T1 _ T2 die gröbste Topologie, welche T1 und T2 enthält.
Denition 3.19.
Sind
Bitopologische Räume sind also denitionsgemäÿ lediglich zwei Topologien auf der selben Grundmenge.
Interessant wird diese Begrisbildung erst durch die Verallgemeinerung von topologischen Begrien, wie
den Trennungsaxiomen, Kompaktheit, ect., auf bitopologische Räume. Hier sind in sämtlichen Fällen unterschiedliche Möglichkeiten denkbar. Zwei einfache Möglichkeiten Begrie der Topologie zu verallgemeinern
sind folgendermaÿen gegeben:
Ist E eine topologische Eigenschaft, so heiÿt der Raum pX, T1 , T2 q bi E , falls pX, T1 q
pX, T2 q beide E sind, und pX, T1 , T2 q heiÿt join E , falls pX, T1 _ T2 q E ist.
Denition 3.21.
und
Für unsere Zwecke stellt sich in den meisten Fällen keine dieser Möglichkeiten als sinnvoll heraus, wohl
aber der Begri
paarweise E
pX, T1 , T2 q ein bitoplogischer Raum.
Der Raum pX, T1 , T2 q heiÿt paarweise T0 , falls für alle x, y P X ein U P T1 Y T2 existiert mit x P U und
y R U , oder x R U und y P U .
Der Raum pX, T1 , T2 q heiÿt paarweise T1 , falls für alle x, y P X ein U P T1 Y T2 existiert mit x P U und
y R U.
Der Raum pX, T1 , T2 q heiÿt paarweise T2 (oder paarweise Hausdor ), falls für alle x, y P X Mengen
U, V P T1 Y T2 existieren mit x P U , y P V und U X V H.
Der Raum pX, T1 , T2 q heiÿt paarweise nulldimensional, falls D1 pX q T1 X A2 pX q eine Basis für T1
bildet, und D2 pX q T2 X A1 pX q eine Basis für T2 bildet.
Eine Teilmenge A „ X heiÿt paarweise kompakt, falls für alle Überdeckungen tUi : i P I u „ T1 Y T2
Denition 3.22.
•
•
•
•
•
zu sein:
Sei
eine endliche Teilüberdeckung existiert.
•
Eine Teilmenge
A„X
heiÿt
paarweise clopen, falls A und Ac
beide paarweise kompakt sind.
Lemma 3.23. Für einen bitopologischen Raum pX, T1 , T2 q gilt: D1 pX q tU c
Beweis.
: U
Folgt unmittelbar aus der Denition.
Lemma 3.24. Sei pX, T1 , T2 q paarweise nulldimensional. Dann sind äquivalent:
17
P D2 pX qu.
pX, T1 , T2 q ist paarweise Hausdor.
2. pX, T1 , T2 q ist join-Hausdor.
3. pX, T1 , T2 q ist bi-T0 .
4. pX, T1 q ist T0
5. pX, T2 q ist T0
6. Für alle x, y P X mit x y existieren disjunkte Mengen U P T1 und V P T2 , sodass x P U und y P V ,
oder x P V und y P U .
Beweis. Sei O : T1 _ T2
”1. ñ 2.” ist oensichtlich.
”2. ñ 3.” Seien x, y P X mit x y . Da pX, Oq Hausdor ist, existieren Mengen U, V P O, sodass x P U ,
y P V und U X V H. Da pX, T1 , T2 q paarweise nulldimensional ist, ist D1 pX q eine Basis für pX, T1 q und
D2 pX q eine Basis für pX, T2 q. Nach Denition von O ist daher das System D1 pX q Y D2 pX q eine Subbasis
für O und daher tM X N : M P D1 pX q, N P D2 pX qu eine Basis für O . Also existieren U1 , V1 P D1 pX q
und U2 , V2 P D2 pX q sodass x P U1 X U2 „ U und y P V1 X V2 „ V . Wir zeigen, dass pX, T1 q ein T0 -Raum
ist: Falls y R U1 , so ist U1 P T1 eine oene Menge, die x und y trennt. Falls y P U1 folgt y R U2 und daher
y P U1 X U2c P D1 pX q „ T1 . Wegen x P U2 ist weiters x R U1 X U2c . Insgesamt erfüllt also pX, T1 q das T0
Axiom. Den Raum pX, T2 q behandelt man genauso.
”3. ñ 4.” ist oensichtlich.
”3. ñ 5.” ist oensichtlich.
”4. ñ 6.” Seien x y P X und U P T1 mit x P U und y R U . Da pX, T1 , T2 q paarweise nulldimensional
c
c
ist, existiert V P D1 pX q mit x P V „ U . Es folgt V und V sind disjunkt, V P T1 und V P T2 , sowie x P V
c
und y P V .
”5. ñ 6.” Beweis verläuft analog.
”6. ñ 1.” ist oensichtlich.
Es ist eine direkte Konsequenz von Alexander's Subbasis Lemma, dass pX, T1 , T2 q genau dann paarweise
kompakt ist, falls pX, T1 , T2 q join-kompakt ist. Oensichtlich folgt dann auch, dass pX, T1 , T2 q bi-kompakt
1.
ist, wobei hier nicht die Umkehrung gilt. Der nächste Satz gibt eine oft hilfreiche Charakterisierung von
paarweise kompakten Räumen:
Satz 3.25. Ein bitopologischer Raum pX, T1 , T2 q ist genau dann paarweise kompakt, falls A1 pX q „ K2 pX q
und A2 pX q „ K1 pX q.
Beweis. ” ñ ” Wir zeigen A1 pX q „ K2 pX q. Sei A P”A1 pX q und tUi : i P I u „ T2
eine bezüglich T2 oene
: i P I u „ T1 Y T2 eine”Überdeckung von X . Da
c
pX, T1 , T2 q paarweise
kompakt ist, existieren endlich viele i1 , ... , in P I sodass A Y tUij : j 1, ... , nu X
”
und damit
tUij : j 1, ... , nu … A. Also existiert eine endliche Teilüberdeckung, d.h. A ist kompakt
bezüglich T2 und damit A1 pX q „ K2 pX q. Dass A2 pX q „ K1 pX q ist, sieht man genauso.
”
”
” ð ” Sei tUi : i P I u „ T1 und tVj : j P J u „ T2 mit U : tUi : i P I u und V : tVj :
j P J u, und sodass U Y V X . Um zu zeigen, dass X paarweise kompakt ist, müssen wir eine endliche
c
c
Teilüberdeckung konstruieren. Da U P T1 folgt U P A1 pX q „ K2 pX q, also ist U kompakt bezüglich T2 .
”
c
Weiters ist V tVj : j P J u … U eine bezüglich T2 oene Überdeckung. Also existieren j1 , ... , jn P J
”
p : tVj : k 1, ... , nu … U c . Also ist Vp c „ U und damit tUi : i P I u eine bezüglich T1 oene
sodass V
k
p . Da wegen Vp c P A2 pX q „ K1 pX q die Menge Vp kompakt ist bezüglich T1 existieren
Überdeckung von V
p c „ tUj : k 1, ... , mu : U
p . Wir erhalten daher wegen Vp Y U
p X
endlich viele i1 , ... , im P I , sodass V
k
Überdeckung von
A.
Wegen
Ac
P T1 ist nun Ac Y tUi
eine endliche Teilüberdeckung.
18
Pairwise Stone Spaces
Denition 3.26.
Der Raum
pX, T1 , T2 q heiÿt pairwise Stone Space, falls er paarweise Hausdor, paarweise
nulldimensional und paarweise kompakt ist.
PStone sei die Kategorie der pairwise Stone Spaces, zusammen
mit bistetigen Abbildungen als Morphismen.
Pairwise Esakia Spaces
pX, T , Oq heiÿt pairwise Esakia Space falls für alle paarweise
clopen Mengen A auch A paarweise clopen ist. Sind pX, T1 , T2 q und pY, O1 , O2 q zwei pairwise Esakia Spaces
und f : X Ñ Y , dann heiÿt f pairwise Esakia Homomorphismus, falls f bistetig ist und für alle x P X gilt,
T
O
dass f ptxu q tf pxqu
. Wie bezeichnen die Kategorie der pairwise Esakia Spaces mit pairwise Esakia
Denition 3.27.
Ein pairwise Stone Space
T
2
2
Homomorphismen mit
4
PEsa.
Distributive Verbände
4.1
Distributive und kohärente Verbände
Als Vorbereitung auf den Beweis der Dualitäten von distributiven Verbänden und verschiedenen topologischen Kategorien, wird in diesem Abschnitt die Äquivalenz der Kategorie
und der Kategorie
KohVerb der kohärenten Verbände hergeleitet.
Wir beginnen mit der Konstruktion eines Funktors
Denition 4.1.
DVerb der distributiven Verbände
K : KohVerb Ñ DVerb:
A bezeichne weiterhin K pAq den distributiven Verband der
B ein weiterer kohärenter Verband und f : A Ñ B ein kohärenter VerbandshomoK pf q : f |K pAq : K pAq Ñ K pB q.
Für einen kohärenten Verband
endlichen Elemente. Ist
morphismus, so sei
Korollar 4.2.
Beweis.
K : KohVerb Ñ DVerb
Denitionsgemäÿ bildet
K
ist ein Funktor.
kohärente Verbände auf distributive Verbände ab. Weiters erhält für alle
f : A Ñ B die Einschränkung f |K pAq oensichtlich ebenfalls Suprema
f |K pAq : K pAq Ñ K pB q. Also ist K pf q ein Verbandshomomorphismus.
kohärenten Verbandshomomorphismen
und Inma, und nach Denition gilt
Man sieht nun, dass
K
ein Funktor ist.
A die Beziehung zwischen A und K pIdlpAqq,
IdlpK pB qq.
Die nächsten beiden Lemmata zeigen für distributive Verbände
und für kohärente Verbände
B
die Beziehung zwischen
B
und
Ÿ
Lemma 4.3. Sei A ein distributiver Verband. Dann ist die Abbildung žp.q : A Ñ K pIdlpAqq ein Verbandsisomorphismus. Insbesondere ist K pIdlpAqq ein distributiver Verband und die endlichen Elemente von IdlpAq
sind genau die Hauptideale von A.
Wir zeigen als Erstes, dass die endlichen Elemente von Idl pAq genau die Hauptideale von A sind.
š
” ñ ” Sei
Es ist I tÓx : x P I u und daher existieren endlich viele x1 , ... , xn P I
šnI P IdlpAq endlich.
šn
sodass I i1 Óx i Ó p i1 xi q. Also ist I ein Hauptideal.
š
” ð ” Sei umgekehrt a P A und S „ IdlpAq mit S … Óa . Dann folgt
Beweis.
aP
ª
S
ùñ Dyi P Ji , Ji P S, i 1, ..., n,
sodass a ¤
n
ª
i 1
ùñ a P
n
ª
Ji
i 1
n
ª
ùñ Óa „
Ji
i 1
19
yi
Óa endlich.
Also ist
Ÿ
ž . :A
p q Ñ K pIdlpAqq eine Bijektion und oensichtlich gilt x ¤ y ðñ
Óx „ Óy . Also ist p q stark isoton, und daher ein Verbandsisomorphismus. Insbesondere ist K pIdlpAqq ein
Nach dem eben gezeigten ist nun
Ÿ
ž .
distributiver Verband.
Lemma 4.4. Sei B ein kohärenter Verband. Dann ist die Abbildung
K pB q : k ¤ xu ein kohärenter Verbandsisomorphismus.
ΓB : B
Ñ IdlpK pB qq, ΓB pxq tk P
P B die Menge
dass ΓB bijektiv
š ΓB pxq tatsächlich ein Ideal auf K pB q. Um zu sehen,
š
I Ú
p
I
q
für
alle
I
P
Idl
p
K
p
A
qq
.
Sei
k
P
K
p
A
q
,
k
¤
I
.
Da
k endlichšist,
B
n
x
und
damit
k
P
I
.
Sei
umgekehrt
k
P
I
.
Dann
folgt
sofort
kš
¤ I.
folgt Dx1 , ..., xn P I : k ¤
i1 i
š
Óa Also ist I ΓB p
I
q
. Daraus folgt unmittelbar die Surjektivität. Die Injektivität folgt über a š
š
š
š
š
ΓB p Óa q ΓB paq. Also gilt für a b, dass
ΓB paq ΓB pbq und daher auch ΓB paq ΓB pbq.
Damit haben wir die Bijektivität von ΓB gezeigt. Wegen x ¤ y ðñ ΓB pxq „ ΓB py q ist ΓB stark isoton
Beweis.
Für alle
x
ist, zeigen wir zuerst
und folglich ein kohärenter Verbandsisomorphismus.
Wir konstruieren nun den Funktor
Idl : DVerb Ñ KohVerb.
Die nächsten beiden Sätze liefern nun
die entscheidenen Aussagen zur Konstruktion des Funktors. Der folgende Satz bildet die Grundlage für
die Arbeitsweise auf den Objekten, der darauf folgende Satz die Grundlage für die Arbeitsweise auf den
Morphismen.
Proposition 4.5. Sei A ein distributiver Verband. Dann ist pIdlpAq, „q ein kohärenter Verband.
Beweis.
IdlpAq ein Verband ist. Weiters besitzt IdlpAq beliebige Suprema. Wir
IdlpAq. Dazu sei U pAq : tB „ A : x P B, y ¤ x ùñ y P B u.
vollständiger Teilverband. Wir zeigen als nächstes, dass I|U pAq : U pAq Ñ Idl pAq
Es wurde bereits gezeigt, dass
zeigen nun die unendliche Distributivität von
Dann ist
U
„ PpAq2 ein
beliebige Suprema und endliche Inma erhält.
”
“
„ U pAq. Dann ist
š Ip Mq tI P Idl
”pAq :
M „ I u. Nun gilt für allešB P M oenbar IpB q „ Ip Mq, ”
also folgt auch
t
I
p
B
q
:
B
P
M
u
„
I
p
Mq.
š
Auf der anderen Seite ist
t
I
p
B
q
:
B
P
M
u
ein Ideal mit
M
„
t
I
p
B
q
:
B
P
M
u
. Also folgt auch
”
š
”
š
š
Ip Mq „ tIpB q : B P Mu und damit Ip Mq tIpB q : B P Mu IpMq.
Um zu sehen, dass I endliche Inma erhält seien B, C P U pAq und I : IpB X C q. Es ist B X C „ IpB qX
IpC q, und IpB q X IpC q ist ein Ideal. Da I das kleinste Ideal ist, dass B X C enthält, folgt I „ IpB q X IpC q.
”
Um zu sehen, dass
Sei nun
I
”M
beliebige Suprema erhält, sei
@b P B ùñ a ^ b P I u
Da für alle c P C und b P B gilt, dass b ^ c ¤ b P B und b ^ c ¤ c P C , folgt auch b ^ c P B X C . Also ist
C „ J . Als nächstes zeigen wir, dass J ein Ideal ist. Sind a, b P J so gilt für alle s P B , dass s ^ a P I und
s ^ b P I . Also folgt auch ps ^ aq _ ps ^ bq s ^ pa _ bq P I für alle s P B und daher a _ b P J . Ist a P J und
b ¤ a so folgt für alle s P B , dass s ^ b ¤ s ^ a P I und damit s ^ b P I , also b P J . Da oenbar auch 0 P J
ist, ist
J
J : ta P A :
ein Ideal.
Sei weiters
K : ta P A :
@t P J : a ^ t P I u
Es folgt analog zu oben, dass B „ K und dass K ein Ideal ist. Nun gilt nach Denition von K für
d P J X K , dass d d ^ d P I , also ist J X K „ I . Auÿerdem impliziert B X C „ J X K , dass auch
IpB q X IpC q „ J X K , da J X K ein Ideal ist. Damit folgt IpB q X IpC q „ J X K „ I IpB X C q und daher
insgesamt IpB q X IpC q IpB X C q.
2 PpAq
bezeichnet wieder die Potenzmenge von
A
20
Um die unendliche Distributivität zu sehen, sei
I
X
ª
S
„ IdlpAq und I P IdlpAq. Dann folgt
S
¤
I X Ip S q
¤
IpI X S q
¤
Ip pJ X I qq
P
J S
ª
P
ª
J S
P
IpJ
X Iq
pJ X I q
J S
IdlpAq ein vollständiger Verband. Weiters wurdešschon oben gezeigt, dass K pIdlpAqq ein Teilverband
IdlpAq ist. Auÿerdem gilt für I P IdlpAq, dass I tÓx : x P I u und damit lässt sich I als Supremum
einer Menge endlicher Elemente schreiben. Insgesamt ist also Idl pAq ein kohärenter Verband.
Also ist
von
von
Proposition 4.6. Seien A, B kohärente Verbände und f : K pAq Ñ K pB q ein Verbandshomomorphismus.
Dann gibt es genau einen vollständigen Verbandshomomorphismus g : A Ñ B , sodass f g|K pAq . Dieser ist
automatisch kohärent und gegeben durch
für alle x P A.
g pxq ª
tf paq : a P K pAq, a ¤ xu
Mit C : K pAq und D : K pB q sind C und D distributive Verbände und es gilt A Idl pC q und B IdlpDq. Es reicht daher die Aussage für Idlpš
C q und IdlpDq zu beweisen. Sei also š
f : K pIdlpC qq Ñ K pIdlpDqq
ein Verbandshomomorphismus und g pI q t
f
p
J
q
:
J
P
K
p
Idl
p
C
qq
,
J
„
I
u
tf pÓx q ”
: x P I u.
”
Wir zeigen als Erstes, dass g pI q t
f
pÓ
x
q
:
x
P
I
u
. Dazu reicht es zu zeigen, dass
tf pÓx q : x P I u
”
ein Ideal ist. Es ist 0 P f pÓ0 q „
tf pÓx q : x P I u. Ist a P ”tf pÓx q : x P ”I u und b ¤ a so gibt es
x P I”mit a P f pÓx q. Da f pÓx q ein Ideal ist, folgt b P f pÓx q und damit b P tf pÓx q : x P I u. Sind
a, b P tf pÓx q : Ÿx P I u, so gibt
” es x, y P I mit a P f pÓx q und b P f pÓy q. Dann ist a _ b f pÓx q _ f pÓy q f pÓx _ Óy q f pžpx _ y qq P tf pÓx q : x P I u.
Als nächstes zeigen wir g |K pIdlpC qq f . Es gilt für x, y P C , dass x ¤ y genau dann, wenn Óx „ Óy . Also
”
folgt aus x ¤ y , dass f pÓx q „ f pÓy q, und damit g pÓy q tf pÓx q : x ¤ yu „ f pÓy q. Auÿerdem gilt wegen
”
y P Óy oensichtlich auch tf pÓx q : x ¤ y u … f pÓy q, und damit insgesamt f pÓ y q g pÓ y q
Um zu sehen, dass g beliebige Suprema erhält, sei S „ Idl pC q. Wir müssen zeigen, dass
Beweis.
ª
ðñ
ª¤
P P
g pS q g p
”„”
Da
I
x
P S impliziert I „ š S , folgt für alle I P S
¤
P
¤
f pÓ xq „
x I
¤
f pÓ xq I Sx I
x
ª
Pš S
Pš S
Sq
f pÓ xq
f pÓ xq
Da die rechte Seite der Relation ein Ideal ist, folgt damit auch:
ª¤
P P
I Sx I
”
¤
f pÓ xq „
x
Pš S
f pÓ xq
… ” Sei y P š S . Dann gibt es xi P Ii , Ii P S, i 1, ..., n sodass y ¤ šni1 xi : x und f pÓ yq „ f pÓ xq.
21
Daher bleibt noch zu zeigen, dass
f pÓ xq „
š
”
P
I S
P f pÓ z q.
z I
f pÓ xq f pÓ px1 _ ... _ xn qq
f ppÓ x1 q _ ... _ pÓ xn qq
f pÓ x1 q _ ... _ f pÓ xn q
¤
¤
„ f pÓ zq _ ... _ f pÓ zq
„
P
z I1
ª¤
P P
P
z In
f pÓ z q
I Sz I
Um zu sehen, dass
g
I, J
endliche Inma erhält seien
ª
g pI q ^ g pJ q p
P IdlpC q. Dann folgt:
f pÓ xqq ^ p
P
P
f pÓ y qq
y J
x I
ª
ª
pf pÓ xq ^ f pÓ yqq
P P
x I, y J
ª
P P
f ppÓ xq ^ pÓ y qq
x I, y J
ª
PX
f pÓ xq
x I J
gpI X J q
Also ist g ein vollständiger Verbandshomomorphismus. Schlieÿlich folgt die Kohärenz von g sofort aus
g pK pIdlpC qqq f pK pIdlpC qqq „ K pIdlpDqq.
Um die Eindeutigkeit zu zeigen, seien g, h : Idl pC q Ñ Idl pD q mit den im Satz beschriebenen Eigenschaften und sei I P Idl pC q.
g pI q g p
ª
P
Ó xq x I
ª
P
g pÓ xq x I
ª
P
hpÓ xq hpI q
x I
A und B distributive Verbände und f : A Ñ B ein Verbandshomomorphismus, so haben wir bereits
Ó p.q : A Ñ K pIdlpAqq ein Verbandsisomorphismus ist. Also ist Ó p.q f Ó p.q1 : K pIdlpAqq Ñ
K pIdlpB qq ebenfalls ein Verbandshomomorphismus. Daher macht folgende Denition Sinn:
Sind
gesehen, dass
Für einen distributiven Verband A sei Idl pAq wie gehabt der kohärente Verband der Ideale
A. Ist B ein weiterer distributiver Verband und f : A Ñ B ein Verbandshomomorphismus, dann sei
Idlpf q die eindeutige Fortsetzung von f˜ Ó p.q f Ó p.q1 : K pIdlpAqq Ñ K pIdlpB qq zu einem vollständigen
Verbandshomomorphismus von Idl pAq nach Idl pB q.
Denition 4.7.
von
Damit haben wir insgesamt folgenden Satz hergleitet:
Satz 4.8. K : KohVerb Ñ DVerb und Idl
Äquivalenz KohVerbDVerb. Weiters gilt:
1.
2.
: DVerb
Ñ KohVerb sind Funktoren. Sie begründen die
Für jeden distributiven Verband A ist Ó p.q : A Ñ K pIdlpAqq, x ÞÑ ÓŸx ein Verbandsisomorphismus. Er
hat die bei einer Äquivalenz geforderte Kommutativitätseigenschaft žp.q f K pIdlpf qq Ó p.q für alle
Verbandshomomorphismen f : A Ñ B .
Für jeden kohärenten Verband B ist ΓB : B Ñ IdlpK pB qq, ΓB pxq tk P K pB q : k ¤ xu ein kohärenter
Verbandsisomorphismus. Er hat die bei einer Äquivalenz geforderte Kommutativitätseigenschaft ΓC g IdlpK pg qq ΓB für alle kohärenten Verbandshomomorphismen g : B Ñ C .
22
Beweis.
Man überprüft leicht, dass
K
und
Idl
Funktoren sind.
Ó p.q ein Verbandsisomorphismus ist. Auÿerdem gilt nach KonŸ
Ÿ
struktion žp.q f K pIdl pf qq žp.q . Die Kommutativitätseigenschaft von ΓB folgt aus K pΓB qpbq ΓB pbq tk P K pB q : k ¤ bu Ó K pBq b für alle b P K pB q, und daher K pΓB q Ó K pBq p.q zusammen mit Lemma A.8.
Weiters haben wir bereits gezeigt, dass
Es bleibt die Bijektivität der Funktoren auf den Morphismen zu zeigen. Die Injektivität von
Bijektivität von
K
f : IdlpAq
Idl
folgt
Ñ IdlpB q ein kohärenter Homomorphismus. Es ist dann g Ó B p.q1 f Ó A p.q : A Ñ B ein Verbandshomomorphismus und es gilt Idlpgq f .
sofort. Für die Surjektivität sei
auf den Morphismen folgt sofort aus der Existenz- bzw. Eindeutigkeitsaussage von
Satz 4.6.
4.2
Distributive Verbände und kohärente Räume
Um die Dualität
DVerb KohTop zu zeigen, werden
DVerbKohVerb folgt
Zusammen mit der Äquivalenz
(Stone Duality II)
wir die Dualität
KohVerb
KohTop herleiten.
dann die gewünschte Dualität.
B ein distributiver Verband. Nach dem vorhergehenden Abschnitt bildet dann IdlpB q einen kohärenten
I P IdlpB q zwei namentlich verwandte Begrisbildungen, zum Einen die
Primelemente des Verbands Idl pB q, zum Anderen die Primideale des Verbandes B . Glücklicherweise für
Sei
Verband. Damit haben wir für
unsere Notation haben wir aber:
Lemma 4.9. Sei B ein distributiver Verband. Dann sind die Primelemente von IdlpB q genau die Primideale
von B .
Beweis.
Sei
I
P IdlpB q. Dann gilt:
#
B und.....d.....ddd...............
X K „ I ùñ J „ I oder K „ I
#
1RI
und........d..d.............
I ist P rimideal ðñ
b ^ c P I ùñ b P I oder c P I
Oensichtlich ist I B genau dann, wenn 1 R I .
” ñ ” Sei I P IdlpB q ein Primelement und seien weiters b, c P B mit b ^ c P I ðñ Ób X Óc „ I . Dann
folgt Ób „ I oder Óc „ I , und damit b P I oder c P I . Also ist I auch ein Primideal.
” ð ” Sei umgekehrt I ein Primideal und seien J, K P IdlpB q mit J X K „ I und J † I . Sei weiters
b P J zI . Dann folgt für c P K , dass b ^ c P J X K P I , und damit auch c P I . Also ist K „ I und daher I ein
I ist P rimelement
ðñ
I
J
Primelement.
Eine wichtige Konsequenz ist nun folgender Satz.
Proposition 4.10. Jeder kohärente Verband ist regulär.
Sei B ein distributiver Verband und A Idl pB q ein kohärenter Verband. Seien weiters I, J P A
† J und b P I zJ . Anwendung von Lemma 2.9 auf den Filter F : Òb und das Ideal J impliziert die
Existenz eines maximalen Ideals K P A, sodass K X F H und J „ K . Wegen Lemma 2.10 ist K ein
Primideal und daher wegen Lemma 4.9 ein Primelement von A, und weiters ÓK „ A ein primes Hauptideal
von A. Also gibt es einen Punkt p auf A mit ker ppq ÓK . Es folgt ppI q 1 0 ppJ q.
Beweis.
mit
I
Satz 4.11. Die Funktoren Ω und pt, eingeschränkt auf die entsprechenden Teilkategorien, begründen eine
Dualität zwischen der Kategorie KohVerb der kohärenten Verbänden mit kohärenten Homomorphismen
zwischen ihnen und der Kategorie KohTop der kohärenten topologischen Räume mit kohärenten stetigen
Funktionen zwischen ihnen.
23
Beweis.
KohTop eine Teilkategorie von NTop und der obige Satz zeigt, dass KohVerb
RVerb ist. Weiters bildet Ω denitionsgemäÿ genau die kohärente Räume auf kohä-
Denitionsgemäÿ ist
eine Teilkategorie von
rente Verbände ab und genau die kohärenten stetigen Funktionen auf kohärente Verbandshomomorphismen.
Also sind
Ω
und
pt
Cofunktoren zwischen
Einschränkung der Dualität
KohVerb
NTop RVerb.
und
KohTop.
Die Dualität folgt jetzt sofort über
Wenn wir die bis jetzt hergeleiteten Ergebnisse zusammenfassen, erhalten wir folgende berühmte Dualität
zwischen distributiven Verbänden und kohärenten topologischen Räumen:
Satz 4.12. (Stone Duality II) 3 Die Funktoren pt Idl : DVerb Ñ KohTop und KΩ : KohTop Ñ DVerb
begründen eine Dualität zwischen der Kategorie DVerb der distributiven Verbände und der Kategorie KohTop
der kohärenten Topologien und kohärenten stetigen Funktionen zwischen Ihnen. Genauer gilt:
1.
2.
3.
4.
Die Dualität sendet einen distributiven Verband A auf den Raum pt IdlpAq der Punkte auf seinen
Idealen.
Umgekehrt sendet die Dualität einen kohärenten Raum auf den distributiven Verband seiner kompakten
und oenen Mengen.
Für alle A P Obj pDVerbq ist ζA : K pΦIdlpAq q ÓA p.q : A Ñ KΩpt IdlpAq ein Isomorphismus.
Er hat die in der Dualität geforderte Kommutativitätseigenschaft ζB f KΩpt Idlpf q ζA für alle
Isomorphismen f : A Ñ B .
1
Für alle X P Obj pKohTopq ist νX : ptpΓ
ΩX q ΨX : X Ñ pt IdlKΩpX q ein Homöomorphismus.
Er hat die in der Dualität geforderte Kommutativitätseigenschaft νY g pt IdlKΩpgq νX für alle
kohärenten Abbildungen g : X Ñ Y .
Beweis.
lenz
Die Dualität folgt sofort aus der Verknüpfung der Dualität
KohVerbDVerb
KohTop KohVerb
mit der Äquiva-
zusammen mit Korollar A.10.
1. und 2. sind klar.
3. und 4. Folgen aus Lemma A.9.
Bis zum Ende dieses Abschnittes soll nun die Dualität auf eine einfachere und ihre allgemein übliche Form
gebracht werden. Wir beginnen mit folgender Überlegung:
p P ptpIdlpAqq eines distributiven Verbandes A hat ein primes Hauptideal von IdlpAq als Kern,
IdlpAq (also ein Primideal von A) als Supremum. Umgekehrt ist für
jedes Primideal I „ A die Menge ÓIdlpAq pI q ein primes Hauptideal auf Idl pAq und daher Kern eines Punktes.
š
Also ist die Abbildung αA : ptpIdl pAqq Ñ tI P Idl pAq : I P rimideal u : p ÞÑ
kerppq eine Bijektion.
Ein Punkt
dieses wiederum ein Primelement von
Denition 4.13.
Seien
A
und
B
distributive Verbände.
specpAq : tI P Idlpš
Aq : I P rimidealu von A bezeichne die Menge der Primideale und
Ñ specpAq : p ÞÑ kerppq die kanonische Bijektion. Wir versehen specpAq mit der
Topologie, sodass αA ein Homöomorphismus wird.
1. Das Spektrum
αA : pt IdlpAq
eindeutigen
2. Für einen Homomorphismus
f :AÑB
denieren wir
1
specpf q : specpB q Ñ specpAq : αA ppt Idlqpf q α
B
Satz 4.14. Mit diesen Denitionen wird spec : DVerb Ñ KohTop zu einem Cofunktor. Er induziert
zusammen mit KΩ ebenfalls Stone Duality II. Dabei gilt:
3 Abweichend
von der Reihenfolge in dieser Arbeit, wird diese Dualität mit Stone Duality II bezeichnet und die im nächsten
Kapitel hergeleitete Dualität mit Stone Duality I. Die Reihenfolge bezieht sich auf die chronologische Reihenfolge der erste
Veröentlichungen der Dualitäten. Die Stone Duality I wurde erstmals 1936, die Stone Duality II 1937, von M.H. Stone bewiesen.
24
1.
2.
3.
4.
Die oenen Mengen von specpAq sind gegeben durch tJ P specpAq : J
‡ I u für ein Ideal I .
Die kompakten oenen Mengen von specpAq sind gegeben durch ηA paq : tJ P specpAq : a R J u für ein
a P A.
Die Abbildung ηA : A Ñ KΩspecpAq ist ein Isomorphismus. Er besitzt die in der Dualität geforderte
Kommutativitätseigenschaft: ηB f KΩspecpf q ηA für alle f P M orpA, B q.
Sind A und B distributive Verbände und f : A Ñ B ein Verbandshomomorphismus, so ist specpf q f 1 : specpB q Ñ specpAq
Beweis.
Die Tatsache, dass
spec
ein Cofunktor ist und zusammen mit
KΩ
die Stone Duality II induziert,
ist eine direkte Konsequenz von Lemma A.11.
1. Die oenen Mengen von
specpAq
sind von der Form
ª
αA ptp P pt IdlpAq : ppI q 1uq t
kerppq : p P pt IdlpAq, ppI q 1u
tJ P specpAq : J ‡ I u
für ein Ideal
I
von
A.
C DVerb, D KohTop, S pt Idl, T KΩ und
αA . Also folgt, dass KΩpαA1 q ζA ein Isomorphismus mit der geforderten Kommutativitätseigenschaft
3. Wir sind in der Situation von Lemma A.11, wobei
ξA
ist. Es folgt:
1 q ζA paq αA |KΩppt IdlpAqq pK pΦIdlpAq qqpÓa q
KΩpαA
αA ΦIdlpAq pÓa q
αA ptp P ptpIdlpAqq : ppÓa q 1uq
tJ P specpAq : a R J u
ηA paq
2. Folgt nun sofort aus 3.
4. Es gilt für
aPA
f paq tI P specpB q : f paq R I u
tI P specpB q : a R f 1 pI qu
tI P specpB q : f 1 pI q P ηA paqu
pf 1 q1 pηA paqq
1 q1 als Abbildung von PpspecpAqq nach PpspecpB qq aufgefasst wird. Da die Mengen ηA paq eine
wobei (f
1 : specpB q Ñ specpAq stetig.
Basis bilden, ist insbesondere f
1 pηA paqq. Da ηA eine Bijektion ist, folgt
Andererseits gilt auch ηB f paq KΩspecpf q ηA paq pspecpf qq
specpf q1 |KΩspecpAq pf 1 q1 |KΩspecpAq : KΩspecpAq Ñ KΩspecpB q, und wegen der Stetigkeit sind diese
1 stetig sind, sind specpf q1
Einschränkungen Verbandshomomorphismen. Da sowohl specpf q als auch f
1 q1 vollständige Verbandshomomorphismen von ΩspecpAq nach ΩspecpB q. Weil ΩspecpAq ein kound pf
härenter Verband ist, lassen sich Verbandshomomorphismen von KΩspecpAq nach KΩspecpB q eindeutig zu
1 und
vollständigen Verbandshomomorphismen von ΩspecpAq nach ΩspecpB q fortsetzten. Also sind specpf q
1 1
pf q identische vollständige Verbandshomomorphismen. Da specpAq und specpB q nüchtern sind, gibt es
1 specpf q1 pf 1 q1 , und zwangsläug
genau eine stetige Funktion g : specpB q Ñ specpAq, sodass g
1
g specpf q f .
ηB
25
4.3
Distributive Verbände und pairwise Stone Spaces
In diesem Abschnitt soll die Repräsentation distributiver Verbände mittels bitopologischer Räume diskutiert
werden. Wir werden zeigen, dass diese Repräsentation über eine Dualität der Kategorien
DVerb und PStone
gegeben ist. Im Hinblick auf die bereits bewiesene Dualität mit kohärenter Topologien gibt es dafür nun zwei
mögliche Beweiswege: Es ist entweder die Dualität direkt zu beweisen, oder (äquivalent dazu) zu zeigen, dass
PStone und KohTop äquivalente Kategorien sind. Wir werden im Folgenden den zweiten Weg gehen. Wie
sich zeigen wird, sind die Kategorien PStone und KohTop sogar isomorph.
Die nächsten beiden Lemmata sichern, dass wir im Anschluss einen Funktor
F : PStone Ñ KohTop
denieren können.
Proposition 4.15. Sei pX, T1 , T2 q ein pairwise Stone Space. Dann ist pX, T1 q ein kohärenter Raum. Es gilt
insbesondere, dass KΩ1 pX q D1 pX q.
Beweis.
Wir führen den Beweis in mehreren Schritten:
pX, T1 , T2 q paarweise kompakt ist, folgt, dass auch pX, T1 q kompakt ist.
KΩ1 pX q=D1 pX q. Nach Satz 3.25 ist A2 pX q „ K1 pX q und daher D1 pX q T1 X
A2 pX q „ T1 X K1 pX q KΩ1 pX q. Sei andererseits U P KΩ1 pX q. Da pX, T1 , T2 q paarweise nulldimensional
ist, bildet D1 pX q eine Basis von T1 . Daher lässt sich U als Vereinigung von Mengen aus D1 pX q darstellen.
Da U kompakt ist, lässt sich U auch als Vereinigung von endlich vielen Mengen aus D1 pX q darstellen. Da
D1 pX q unter endlicher Vereinigungsbildung abgeschlossen ist, folgt U P D1 pX q.
3. KΩ1 pX q ist unter endlicher Schnittbildung abgeschlossen, da D1 pX q dies ist. Weiters bildet D1 pX q,
und damit auch KΩ1 pX q, eine Basis der Topologie T1 .
4. Wir zeigen, dass X nüchtern ist. Dazu sei A P A1 pX q eine bezüglich T1 abgeschlossene, nicht leere
T
für alle x P A. Dann gibt es zu jedem x P A ein
und irreduzible Menge. Nehmen wir an, dass A txu
T
y P A, sodass y R txu und daher gibt es eine Basismenge Uxy P KΩ1 pX q, sodass x R Uxy und y P Uxy .
T
y
y c
y
y
Sei nun Vx : pUx q . Es folgt x P Vx für alle y R txu , und damit ist tVx : x, y P A, y R txu u
1. Da
2. Wir zeigen, dass
1
1
T1
eine oene Überdeckung von
A.
Da
A
kompakt ist, gibt es endlich viele
1
x1 , ..., xn
und
y1 , ... , yn ,
sodass
„ ”tVxy : i 1, ... , nu. Nun sind alle Vxy abgeschlossen, und, da A irreduzibel ist, folgt, dass A „ Vxy
y
für ein i P t1, ... , nu. Nun folgt der Widerspruch: yi R Vx . Also ist A der Abschluss eines seiner Punkte. Dass
A
i
i
i
i
i
i
i
i
dieser Punkt eindeutig ist, folgt, da nach Denition
X
paarweise nulldimensional und paarweise Hausdor
pX, T1 q T0 ist.
Proposition 4.16. Seien pX, T1 , T2 q und pY, O1 , O2 q zwei pairwise Stone Spaces. Ist f
dann ist f : pX, T1 q Ñ pY, O1 q kohärent.
ist, und nach Lemma 3.24 daher
Beweis.
:X
ÑY
bistetig,
Nach Lemma 4.15 folgt:
U
f
und damit ist
P KΩ1 pY q ùñ
ùñ
ùñ
Abbildung
f :X
P D1 pY q Ω1 pY q X A2 pY q
f 1 pU q P Ω1 pX q X A2 pX q D1 pX q
f 1 pU q P KΩ1 pX q
kohärent.
Nun können wir den Funktor
Denition 4.17.
U
F : PStone Ñ KohTop
Für einen pairwise Stone Space
ÑY
sei
Fpf q : f.
Die obigen Ergebnisse zeigen, dass
F
pX, T1 , T2 q sei FpX, T1 , T2 q : pX, T1 q und für eine bistetige
tatsächlich ein Funktor ist. Für die Gegenrichtung benötigen wir
noch zwei Sätze. Wir denieren zuerst eine Abbildung
um einen Funktor
wie folgt denieren:
G : KohTop Ñ PStone
handelt:
26
G
und weisen im Anschluss nach, dass es sich dabei
Denition 4.18.
wobei
O
pX, T q bezeichne GpX, T q den bitopologischen Raum pX, T , Oq,
r Tr q ein weiterer kohä∆ tU c : U P KΩpX qu erzeugte Topologie ist. Ist pX,
r
r
f : pX, T q Ñ pX, T q eine kohärente Abbildung, so sei Gpf q : f .
Für einen kohärenten Raum
die von dem System
renter Raum, und
Proposition 4.19. Mit der Notation von Denition 4.18 gilt: GpX, T q pX, T , Oq ist ein pairwise Stone
Space. Auÿerdem gilt: D1 pX q KΩ1 pX q und D2 pX q ∆.
Beweis.
Wir führen den Beweis in mehreren Schritten.
pX, T , Oq paarweise kompakt ist. Dazu müssen wir zeigen, dass jede Überdeckung von
T YO eine endliche Teilüberdeckung hat. Da (X, T q kohärent ist, ist KΩpX, T q KΩ1 pX q
eine Basis der Topologie T . Weiters ist ∆ endlich Schnittstabil, und es ist X P ∆, also bildet ∆ eine Basis
von pX, O q. Also reicht es Überdeckungen von Mengen aus KΩ1 pX qY ∆ zu betrachten. Durch Übergang auf
c
c
Komplemente ist paarweise kompakt äquivalent dazu, dass jedes System U „ tU : U P KΩ1 pX qu Y tU :
U P ∆u KΩ1 pX q Y ∆ mit der endlichen Schnitteigenschaft auch nicht leeren Gesamtdurchschnitt hat.
Es ist ∆ „ A1 pX q und damit U „ KΩ1 pX q Y A1 pX q. Bezeichne nun
1. Wir zeigen, dass
X
mit Mengen aus
X : tV
„ KΩ1 pX q Y A1 pX q : V … U und V hat die endliche Schnitteigenschaftu
Wir wollen mit Hilfe des Lemmas von Zorn maximale Elemente in
Oensichtlich ist
X
nicht leer. Ist
Y„X
X (bzg. der Teilmengenrelation) nden.
eine bezüglich der Teilmengenrelation linear geordnete Menge und
„ ” Y“eine endliche Teilmenge, so”gibt es V P Y, sodass W „ V und da V die endliche
” Schnitteigenschaft
hat, folgt
W H. Also hat auch Y die endliche Schnitteigenschaft und damit ist Y P X. Es hat also
W
jede linear geordnete Menge eine obere Schranke in
V
X und daher existieren maximale Elemente in X. Sei nun
ein solches maximales Element.
Sei
C :
“
tA : A P V X A1 pX qu der Schnitt aller bezüglich T
abgeschlossenen Mengen in
System abgeschlossener Mengen die endliche Schnitteigenschaft hat, und
X
V.
Weil dieses
kompakt ist, folgt, dass
C
nicht
leer ist.
C P V . Dazu zeigen wir, dass das System V Y tC u die endliche Schnitteigenschaft
“
“hat.
M „ V X KΩ1 pX q und N „ V X A1 pX q endliche Teilmengen von V und sei M : M und N : N .
Weil (X, T q kohärent ist, ist KΩ1 pX q endlich Schnittstabil und daher M P KΩ1 pX q. Aus der Maximalität von
V folgt daher, dass M P V . Weiters ist oenbar N … C . Bezüglich der Topologie T gilt nun: M ist kompakt,
und für alle A P V X A1 pX q sind die Mengen M X A bezüglich der Spurtopologie abgeschlossen in M und haben
“
“
“
die endliche Schnitteigenschaft. Also folgt auch, dass M X tA : A P V X A1 pX qu M X C MX N XC
nicht leer ist. Also gilt V „ V Y tC u P X. Da V maximal in X ist, folgt C P V .
Als nächstes zeigen wir, dass C bezüglich der Topologie T irreduzibel ist. Sei dazu C A Y B mit
A, B P A1 pX q. Wir wollen zeigen, dass A C oder B C gilt. Nehmen wir an, dass sowohl V Y tAu als
auch V Y tB u nicht die endliche Schnitteigenschaft besitzen. Dann wählen wir A1 , ... , An , B1 , ... , Bm P V
“
sodass A X
tAi : i 1, ... ,“nu H und B X “tBi : i 1, ... , mu H. Dann folgt der Widerspruch:
“
C X tAi : i 1, ... , nu X tBi : i 1, ... , mu H. Also hat V X tAu oder V X tB u die endliche
Schnitteigenschaft, und folglich, da V maximal ist, A P V oder B P V . Aus der Denition von C folgt damit
A C oder B C . Also ist C irreduzibel.
T
für ein x P C . Nun gilt x P A für alle A P V X A1 pX q, da immer
Da pX, T ) nüchtern ist, folgt C txu
Wir zeigen, dass
Seien
„ A. Auÿerdem“folgt für
pX q, dass U X C U X txuT H. Da U oen ist, folgt x P U .
“ alle U P V X KΩ1“
Also ist auch x P
V „ U , und damit ist U nicht leer.
2. Wir zeigen, dass D1 pX q KΩ1 pX q. Nach der Denition von O folgt, dass KΩ1 pX q „ A2 pX q. Da auch
KΩ1 pX q „ T folgt KΩ1 pX q „ A2 pX q X T D1 pX q. Andererseits gilt nach Satz 3.25, dass A2 pX q „ K1 pX q
und damit D1 pX q A2 pX q X T „ K1 pX q X T KΩ1 pX q. Also folgt KΩ1 pX q D1 pX q.
3. Wir zeigen, dass D2 pX q ∆. Es gilt:
U P ∆ ðñ U c P KΩ1 pX q D1 pX q T X A2 pX q
ðñ U P A1 pX q X O D2 pX q
Also ∆ D2 pX q.
C
27
4. Da
KΩ1 pX q
mit Punkt 3., dass
eine Basis von
T
bildet, und, nach Denition,
pX, T , Oq paarweise nulldimensional ist.
∆
eine Basis von
O
bildet, folgt zusammen
pX, T ) nüchtern ist, ist er insbesondere T0 . Nach Lemma 3.24 ist pX, T , Oq paarweise T0 .
Proposition 4.20. Seien pX, T q und pY, Oq zwei kohärente Räume und f : X Ñ Y eine kohärente Abbildung. Dann ist f : GpX, T q Ñ GpY, Oq bistetig.
Beweis. Da f kohärent ist, ist f : pX, T q Ñ pY, Oq stetig. Sei andererseits U P D2 pY q tU c : U P KΩ1 pY qu,
1 pU c q P KΩ1 pX q, da f kohärent ist.
wobei die letzte Gleichheit aus Proposition 4.19 folgt. Dann ist f
1
1
c c
Also folgt f
pU q pf pU qq P D2 pX q „ Ω2 pY q. Da D2 pY q ein Basis für Ω2 pY q bildet, folgt, dass
f : pX, Ω2 pX qq Ñ pY, Ω2 pY qq stetig ist.
Satz 4.21. Die Funktoren G : KohTop Ñ PStone und F : PStone Ñ KohTop begründen eine Isomorphie
5. Da
der Kategorien der kohärenten Räume und der pairwise Stone Spaces.
Beweis.
F und G Funktoren sind.
rq, wobei O
r die von tU c : U P KΩpX, T qu tU c : U P
GFpX, T , Oq GpX, T q pX, T , O
D1 pX, T , Oqu D2 pX, T , Oq erzeugte Topologie ist. Dabei folgt die erste Gleichheit aus Proposition 4.19
r und damit
und die zweite aus Lemma 3.23. Also erzeugt D2 pX, T , O q sowohl die Topologie O als auch O
r.
folgt O O
Oensichtlich gilt auch FGpX, T q pX, T q. Die anderen Punkte einer Isomorphie folgen nun sofort.
Die obigen Sätze zeigen, dass
Es ist weiters
4.4
Distributive Verbände und Priestley Spaces
(Priestley Duality)
Wir gehen hier ähnlich zum vorhergehenden Kapitel vor: Wie werden zeigen, dass die Kategorie
isomorph zu der Kategorie
PStone
Pries
ist. Als Erstes beweisen wir ein kurzes Lemma über die induzierten
Halbordnungen der beiden Topologien eines bitopologischen Raumes:
Lemma 4.22. Sei pX, T , Oq ein paarweise nulldimensionaler bitopologischer Raum und sei
induzierte Ordnung, sowie ¤O die von O induzierte Ordnung. Dann folgt ¤T ¥O .
Beweis.
Da
pX, T , Oq paarweise nulldimensional ist, folgt, dass D1 pX q ist eine Basis für T
O bildet. Dann folgt für alle x, y P X :
x ¤T y ðñ @U P T : px P U ùñ y P U q
ðñ @U P D1 pX q : px P U ùñ y P U q
ðñ @U P D1 pX q : py P U c ùñ x P U c q
ðñ @V P D2 pX q : py P V ùñ x P V q
ðñ @V P O : py P V ùñ x P V q
ðñ y ¤O x
¤T
die von T
und
D2 pX q
ist
eine Basis für
Die nächsten beiden Lemmata zeigen, wie wir einen Funktor
S : PStone Ñ Pries
denieren können.
Proposition 4.23. Sei pX, T1 , T2 q ein pairwise Stone Space und sei T : T1 _ T2 und ¤:¤T . Dann ist
pX, T , ¤q ein Priestley Space. Auÿerdem gilt:
1. upΩpX, T , ¤q = T
2. downΩpX, T , ¤q O
3. upApX, T , ¤q A2 pX q
4. downApX, T , ¤q A1 pX q
1
28
5.
6.
upC pX, T , ¤q D1 pX q
downC pX, T , ¤q D2 pX q
Beweis.
Also ist
Da
Da
¤T
pX, T1 , T2 q paarweise Hausdor ist, folgt mit Lemma 3.24, dass pX, T1 q das T0 -Axiom erfüllt.
eine Halbordnung auf X.
pX, T1 , T2 q
1
paarweise kompakt ist, hat jede Überdeckung von Mengen aus
T,
Teilüberdeckung. Dieses System ist eine Subbasis von
T1
Y T2
eine endliche
und mit Alexander's Subbasis Lemma ist
pX, T q
kompakt.
P X und x ¦ y. Nach der Denition der induzierten Ordnung ¤¤T heiÿt das, dass x R tyu .
Daher existiert ein U P D1 pX q, sodass x P U und y R U . Nun folgt für beliebige a, b P X mit a ¤ b und
a P U , dass auch b P U . Damit ist U ein ¤-Upset. Auÿerdem ist bezüglich T1 die Menge U oen, und mit
c
Lemma 3.23 ist bezüglich T2 die Menge U oen. Also ist U ein clopen Upset in pX, T q. Damit folgt, dass
pX, T , ¤q ein Priestley Space ist.
Sei nun
T
x, y
1
Wir beweisen nun die Punkte 1. - 6.:
D1 pX q „ upC pX, T”, ¤q.
A
P
upC
p
X,
T
,
¤q
. Wir zeigen, dass A tU P D1 pX q : U „ Au. Oensichtlich ist
”
A … tU P D1 pX q : U „ Au. Sei nun x P A. Da A ein ¤-Upset ist, folgt für alle y R A, dass x ¦ y . Nach
Denition der induzierten Ordnung existiert ein Uy P T1 , sodass x P Uy und y R Uy . Da D1 pX q eine Basis für
“
T1 ist, sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit Uy P D1 pX q. Es folgt Ac X tUy : y P Ac u H. Also ist
tAc u Y tUy : y P Ac u ein System von bezüglich T abgeschlossenen Mengen mit leerem Gesamtdurchschnitt.
c
c
Da pX, T q kompakt ist, gibt es endliche viel y1 , ... , yn P A , sodass das System tA u Y tUyi : i 1, ... , nu
leeren Schnitt hat. Da D1 pX q unter endlicher Schnittbildung abgeschlossen ist, folgt U : Uy1 X ... X Uyn P
”
D1 pX”q. Es gilt also x P U „ A und damit x P tU P D1 pX q : U „ Au. Da x P A beliebig war, folgt
A tU P D1 pX q : U „ Au.
Weil A kompakt ist, gibt es endlich viele U1 , ... , Un P tU P D1 pX q : U „ Au, sodass A U1 Y ... Y Un ,
und da D1 pX q abgeschlossen unter endlicher Vereinigungsbildung ist, folgt A P D1 pX q.
5. Der vorhergehende Absatz zeigt, dass
Sei andererseits
1. Nach Lemma 3.14 ist jedes oene Upset darstellbar als Vereinigung von clopen Upsets. Nun folgt
D1 pX q eine Basis
U : U „ D1 pX qu T .
mit 5. und der Tatsache, dass
”
upC pX, T , ¤T qu t
der Topologie
T
bildet:
upΩpX, T , ¤T q
t” U
: U
„
6. und 2. Beweist man genauso.
3. und 4. Folgt durch Komplementbildung von 1. bzw. 2.
Proposition 4.24. Seien pX, T1 , T2 q und pY, O1 , O2 q pairwise Stone Spaces, f : X Ñ Y bistetig und sei
T : T1 _ T2 , O : O1 _ O2 . Dann ist f : pX, T , ¤T q Ñ pY, O, ¤O q stetig und ordnungserhaltend.
Beweis. Da f bistetig ist, folgt für alle U P O1 Y O2 , dass f 1 pU q P T1 Y T2 „ T . Da O1 Y O2 eine Subbasis
1
1
f : pX, T q Ñ pY, Oq stetig ist.
f ordnungserhaltend ist, seien x, y P X mit x ¤T1 y und nehmen wir an, dass
f pxq ¦O1 f py q. Dann gibt es eine Menge U P O1 sodass f pxq P U und f py q R U . Damit folgt der Widerspruch:
V : f 1 pU q P T1 und x P V aber y R V , also x ¦T1 y . Also ist f ordnungserhaltend.
für
O
bildet, folgt, dass
Um zu sehen, dass
Wir denieren nun den Funktor
S : PStone Ñ Pries
wiefolgt:
Denition 4.25. Für einen pairwise Stone Space pX, T1 , T2 q sei SpX, T1 , T2 q : pS, T1 _ T2 , ¤T q.
pY, O1 , O2 q ein weiterer pairwise Stone Space und f : X Ñ Y bistetig, dann sei Spf q : f .
1
Die obigen zwei Propositionen zeigen, dass
Ist
S tatsächlich ein Funktor ist. Für die Gegenrichtung benötigen
wir noch folgende Ergebnisse:
Proposition 4.26. Sei pX, T , ¤q ein Priestley Space, und sei Tu : upΩpX, T , ¤q und Td : downΩpX, T , ¤
q. Dann sind Tu und Td Topologien auf X , und pX, Tu , Td q ist ein pairwise Stone Space. Auÿerdem gilt:
1. upC pX, T , ¤q D1 pX, Tu , Td q
2. downC pX, T , ¤q D2 pX, Tu , Td q
29
¤u bzw. ¤d die von Tu bzw. Td induzierte Ordnung, so gilt weiters
¤¤u ¥d
Bezeichnet
3.
Beweis.
Die Mengensysteme
Tu
und
Td
sind beide endlich schnittstabil und beliebig Vereinigungsstabil.
H P Tu und X, H P Td , also sind beide Topologien.
pX, Tu , Td q ist paarweise kompakt, da pX, T q kompakt ist, und Tu Y Td „ T .
Um zu sehen, dass pX, Tu , Td q paarweise Hausdor ist, seien x, y P X mit x y und ohne Beschränkung
der Allgemeinheit x ¦ y . Da pX, T , ¤q ein Priestley Space ist, existiert ein U P upC pX, T , ¤q sodass x P U
c
c
aber y R U . Oensichtich ist nun U ebenfalls clopen und ein Downset; d.h. U P downC pX, T , ¤q. Damit
c
c
c
sind U P Tu und U P Td , U X U H und x P U , y P U . Also ist pX, Tu , Td q paarweise Hausdor.
Dass pX, Tu , Td q paarweise nulldimensional ist folgt aus den (noch zu beweisenden) Punkten 1. und 2.,
Auÿerdem sind
X,
denn: nach Lemma 3.14 lässt sich jedes oene Upset (Downset) als Vereinigung von clopen Upsets (Downsets)
darstellen. Also bildet
upC pX, T , ¤q (downC pX, T , ¤q)
eine Basis für
upΩpX, T , ¤q (downΩpX, T , ¤q).
Wir müssen noch die Punkte 1. bis 3. beweisen.
„ X . Dann gilt:
U P D1 pX, Tu , Td q ðñ U P Tu und U c P Td
ðñ U P upΩpX, T , ¤q und U c P downΩpX, T , ¤q
ðñ U P upC pX, T , ¤q
und damit upC pX, T , ¤q D1 pX, Tu , Td q.
1. Sei
U
2. Beweis verläuft analog Punkt 1.
P X . Dann gilt:
x ¤ y ðñ @U P upΩpX, T , ¤q : px P U ùñ y P U q
ðñ @U P Tu : px P U ùñ y P U q
ðñ x ¤u y
Also folgt ¤¤u . Nun folgt sofort auch ¤¥d .
Proposition 4.27. Seien pX, T , ¤X q und pY, O, ¤Y q zwei Priestley Spaces und Tu , Td , Ou und Od analog
zu Lemma 4.26 deniert. Ist f : pX, T , ¤X q Ñ pY, O, ¤Y q stetig und ordnungserhaltend, dann ist f :
pX, Tu , Td q Ñ pY, Ou , Od q bistetig.
Beweis. Ist f stetig und ordnungserhaltend, so folgt, dass für U P upΩpY, O, ¤Y q Ou und V P downΩpY, O, ¤Y
q Od , dass f 1 pU q P upΩpX, T , ¤X q Tu und f 1 pV q P downΩpX, T , ¤X q Td . Damit ist f biste3. Seien
x, y
tig.
Nun können wir einen Funktor
T : Pries Ñ PStone
denieren:
Ist pX, T , ¤q ein Priestley Space, so sei TpX, T , ¤q : pX, upΩpX, T , ¤q, downΩpX, T , ¤
qq. Ist pY, O, ¤O q ein weiterer Priestley Space und f : X Ñ Y stetig und ordnungserhaltend, so sei Tpf q : f .
Die obigen Ergebnisse zeigen, dass damit T : Pries Ñ PStone ein Funktor ist.
Satz 4.29. (Priestley Duality) Die Funktoren S : PStone Ñ Pries und T : Pries ÑPStone begründen
Denition 4.28.
eine Isomorphie der Kategorien PStone und Pries.
Beweis. Aus Lemma 4.23 folgt, dass TSpX, T , Oq TpX, T _O, ¤T q pX, upΩpX, T _O, ¤T q, downΩpX, T _
O, ¤T qq pX, T , Oq.
Andererseits gilt wegen Lemma 3.14, dass für jeden Priestley Space pX, T , ¤q das System upC pX, T , ¤
q Y downC pX, T , ¤q eine Basis für T bildet, d.h. upΩpX, T , ¤q _ downΩpX, T , ¤q T . Auÿerdem gilt
mit Lemma 4.26, dass ¤¤upΩpX,T ,¤q . Damit folgt STpX, T , ¤q SpX, upΩpX, T , ¤q, downΩpX, T , ¤qq pX, upΩpX, T , ¤q _ downΩpX, T , ¤q, ¤upΩpX,T ,¤q q pX, T , ¤q.
Die anderen Punkte der Denition einer Isomorphie sind klar.
30
Zusammenfassend zeigen die letzten Kapitel:
Korollar 4.30. Die Kategorien KohTop, PStone und Pries sind zueinander isomorph und alle dual zu
der Kategorie DVerb der distributiven Verbände.
4.5
Zusammenhänge
In diesem Abschnitt wird aufbauend auf den Isomorphismen
KopTop PStone Pries
diskutiert, wie
wichtige topologische Eigenschaften in einem dieser Räume in den jeweils anderen beiden charakterisiert
pX, T1 q ein kohärenter topologischer Raum,
pX, T1 , T2 q GpX, T1 q der zugehörige pairwise Stone Space und pX, T , ¤q pX, T1 _ T2 , ¤q SGpX, T1 q
1
2
der zugehörige Priestley Space. Für Y „ X bezeichnen wir mit Y , Y bzw. Y die Abschlüsse bezüglich der
Topologien T , T1 bzw. T2 , und mit SatpY q, Sat1 pY q bzw. Sat2 pY q die Saturation von Y bezüglich T , T1
werden können. Bis zum Ende dieses Abschnittes sei immer
bzw.
T2 .
Satz 4.31. Sei Y
1.
2.
„ X . Dann gilt:
Ó pY q Y 1 Sat2 pY q
Ò pY q Y 2 Sat1 pY q
Insbesondere gilt
Óx x1 Sat2 pxq
2
4. Òx x Sat1 pxq
“
“
1
Beweis. 1. Es gilt Y tU P A1 pX q : Y „ U u tU P downApX q : Y „ U u. Da Ó Y ein abgeschlos1
1
senes Downset ist, also Ó Y P downApX q, folgt Y „ Ó Y . Sei umgekehrt x R Y . Dann gibt es U P Ω1 pX q,
sodass x P U und Y X U H. Da Ω1 pX q upΩpX q ist also U oen und ein Upset in pX, T , ¤q. Also folgt
aus U X Y H, dass auch U X Y H und weil U ein Upset ist, folgt U X Ó Y H. Damit ist x R Ó Y und
1
daher Ó pY q Y .
“
Weiters ist Sat2 pY q tU P Ω2 pX q : Y „ U u “tU P D2 pX q : Y „ U u … “tU P A1 pX q : Y „ U u 1
Y Ó Y . Andererseits ist Ó Y ein abgeschlossenes Downset in pX, T , ¤q und lässt sich daher als Schnitt von
“
1
clopen Downsets darstellen. Wegen D2 pX q downC pX q folgt Y tU P D2 pX q : Y 1 „ U u … Sat2 pY q.
3.
2. Beweist man genauso.
„ X . Dann sind äquivalent:
1. Y ist kompakt in pX, T , ¤q.
2. Y ist paarweise kompakt in pX, T1 , T2 q.
3. Y ist eine kohärente Teilmenge von pX, T1 q.
Beweis. ”1. ô 2.” Es ist T T1 _ T2 . Also ist denitionsgemäÿ Y kompakt in pX, T q genau dann, wenn Y
join-kompakt in pX, T1 , T2 q ist. Die Aussage folgt jetzt sofort über Alexander's Lemma.
”1. ñ 3.” Da Y kompakt in pX, T , ¤q ist, ist pY, T |Y , ¤q ein Priestley Space. Also ist pY, upΩpY, T |Y , ¤qq
ein kohärenter Raum. Oenbar ist upΩpY, T |Y , ¤q … tU X Y : U P upΩpX, T , ¤qu. Ist andererseits U P
upΩpY,ŸT |Y , ¤q, dann ist Y zU abgeschlossen inŸY und daher auch in X . Weiters
ist U ein Upset in Y und
Ÿ
daher pžX pY zU qqX U H. Also folgt U pX zpžX pY zU qqqX Y , wobei X zpžX pY zU qq P upΩpX, T , ¤q. Also
gilt insgesamt upΩpY, T |Y , ¤q tU X Y : U P upΩpX, T , ¤qu tU X Y : U P T1 u T1 |Y . Also ist pY, T1 |Y q
ein kohärenter Raum. Sei nun U P KΩpX q upC pX, T , ¤q. Dann ist U XY P upC pY, T |Y , ¤q KΩpY, T1 |Y q.
Satz 4.32. Sei Y
Insgesamt ist also
Y
eine kohärente Teilmenge.
31
ñ 2.” Sei ∆ : tY zU : U P KΩpY, T1 |Y qu. Wir zeigen, dass ∆ Basis der Topologie T2 |Y ist.
KΩpX, T2 q downC pX, T , ¤q tX zU : U P upC pX, T , ¤qu tX zU : U P KΩpX, T1 qu eine
Basis von T2 . Also reicht es zu zeigen, dass KΩpY, T1 |Y q tU X Y : U P KΩpX, T1 qu, denn dann folgt
∆ tY zU : U P KΩpY, T1 |Y qu tY zpU X Y q : U P KΩpX, T1 qu tY zU : U P KΩpX, T1 qu tY X
U : U P KΩpX, T2 qu und letzters ist eine Basis von T2 |Y . Weil Y eine kohärente Teilmenge ist, folgt
tU X Y : U P KΩpX, T”
1 qu „ KΩpY, T1 |Y q. Sei andererseits U P KΩpY, T1 |Y q. Dann ist U V X Y für ein
V P ΩpX,”T1 q, und V tVi : i P I u für eine gewisse Familie von Basismengen pVi qiPI P KΩ”
pX,n T1 qI . Dann
gilt U tV X Y : i P I u und da U kompakt ist gibt es endlich viele i1 , ... in P I , sodass U j1 tVij X Y u.
”n i
Sei W :
j 1 Vij und damit W P KΩpX, T1 q mit Y X W U . Das war zu zeigen, und es folgt, dass ∆ eine
Basis der Topologie T2 |Y ist.
Nun ist pY, T1 |Y q ein kohärenter Raum und wir haben gerade bewiesen, dass pY, T1 |Y , T2 |Y q sein pairwise
Stone Space ist. Also ist pY, T1 |Y , T2 |Y q paarweise kompakt und daher Y paarweise kompakt in pX, T1 , T2 q.
”3.
Es ist
„ X sind folgende Aussagen äquivalent:
ist clopen in pX, T , ¤q.
ist paarweise clopen in pX, T1 , T2 q.
ist eine doppelt kohärente Teilmenge von pX, T1 q.
Korollar 4.33. Für Y
1.
Y
2.
Y
3.
Y
5
Boolsche Algebren
5.1
Boolschen Algebren und Stone Space
(Stone Duality I)
Denitionsgemäÿ sind Stone Spaces genau die kohärenten Hausdorräume. Auf der anderen Seite kann man
nun die Frage stellen, für welche distributiven Verbände
A
das Spektrum
specpAq
Hausdor ist:
Proposition 5.1. Sei A ein distributiver Verband. Dann ist das Spektrum specpAq genau dann Hausdor,
wenn A eine boolsche Algebra ist.
Beweis. ” ñ ” Es ist A KΩpspecpAqq. In Hausdorräumen sind die kompakten oenen Mengen bezüglich
Komplementbildung abgeschlossen. Oensichtlich deniert
c
eine unäre Operation, sodass
: KΩpspecpAqq Ñ KΩpspecpAqq : K
ÞÑ K c
KΩpspecpAqq zu einer boolschen Algebra wird. Also ist A isomorph zu einer
boolschen Algebra und daher selbst eine boolsche Algebra.
” ð ” Seien I, J P specpAq mit I J und ohne Beschränkung der Allgemeinheit a P I zJ . Aus a ^ a 0 P J folgt a P J und aus a _ a 1 R I folgt a R I . Jetzt folgt J R ηA pa q Q I und I R ηA paq Q J . Auÿerdem
folgt ηA paq X ηA pa q ηA pa ^ a q ηA p0q H, und damit insgesamt die Hausdor-Eigenschaft.
Satz 5.2. (Stone Duality I) Die Cofunktoren spec und KΩ begründen eine Dualität zwischen den Kategorien
der boolschen Algebren und Stone der Stone Spaces.
Bool
Beweis.
Bool ein Teilkategorie von DVerb und Stone eine Teilkategorie von KohTop. Der letzte Satz
spec genau die boolschen Algebren auf Stone Spaces abbildet. Die Dualität folgt nun unmittelbar
Einschränkung der Dualität DVerb KohTop.
Es ist
zeigt, dass
aus der
Damit haben wir auch folgende Repräsentation von boolschen Algebren:
Korollar 5.3. Jede boolsche Algebra ist isomorph zu einer mengentheoretischen Algebra.
Beweis.
Jede boolsche Algebra
A
ist isomorph zu
KΩpspecAq.
Die kompakten oenen Mengen auf einem
Hausdorraum sind unter endlicher Vereinigungs-, Schnitt- und Komplementbildung abgeschlossen, und
formen daher eine mengentheoretische Algebra.
32
Für die weitere Arbeit ist es zweckmäÿig, die topologische Repräsentation von boolschen Algebren nicht
nur über die Menge der Primideale zu haben, sondern auch über die Menge der Primlter. Satz 2.25 liefert
dazu die entscheidende Aussage.
Denition 5.4.
Für
aPA
sei
Für eine boolsche Algebra A
πA paq : tF P specpAq : a P Fu.
bezeichnen wir mit
specpAq
die Menge der Primlter auf
A.
Lemma 5.5. Für eine boolsche Algebra A ist das System tπA paq : a P Au eine Basis einer Topologie T auf
specpAq. Mit dieser Topologie versehen ist specpAq homöomorph zu specpAq und die Abbildung : specpAq Ñ
specpAq, I tx : x P I u ist ein Homöomorphismus. Dabei gilt:
1.
2.
Die Topologie T besteht genau aus den Mengen der Form tF P specpAq : G † Fu für einen Filter G
bzw. G A.
Die kompakten oenen Mengen von specpAq sind genau die Mengen der Form πA paq für ein a P A.
a, b P A so folgt πA paq X πA pbq πA pa ^ bq. Also ist das System tπA paq : a P Au schnittstabil.
specpAq πA p1q und damit ist tπA paq : a P Au Basis einer Topologie. Nach Satz 2.25 ist
: specpAq Ñ specpAq eine involutorische Bijektion. Für a P A gilt πpaq tF : F P specpAq, a P Fu tI P specpAq : a R I u ηA paq. Also induziert eine Bijektion zwischen Basismengen und ist daher ein
Beweis.
Sind
Auÿerdem ist
Homöomorphismus.
specpAq unter gegeben. Das sind genau
: I † F u tF P specpAq : I † Fu für ein
Ideal I . Die Aussage folgt nun, da für alle Ideale I entweder I ein Filter ist oder I A gilt.
2. Die Aussage folgt, da die kompakten oenen Mengen von specpAq durch die Bilder der kompakten
gegeben
oenen Mengen von specpAq (das sind genau die Mengen der Form ηA paq für ein a P A) unter
1. Die Topologie ist durch die Bilder von oenen Mengen von
die Mengen der Form
tJ P specpAq
: I
† J u tF P specpAq
sind.
Denition 5.6.
A sei ab nun specpAq der Raum der Primlter versehen mit der
B eine weitere boolsche Algebra und f : A Ñ B ein Verbandshomomor: specpB q Ñ specpAq.
Für eine boolsche Algebra
soeben denierten Topologie. Ist
phismus, so sei
Satz 5.7.
Dabei gilt:
1.
2.
3.
spec : Bool Ñ Stone
ist ein Cofunktor. Er begründet zusammen mit KΩ die Stone Duality I.
Für jede boolsche Algebra A ist πA : A Ñ KΩspecpAq, πpaq tF P specpAq : a P Fu ein Verbandsisomorphismus. Er hat die bei einer Dualität erforderliche Kommutativitätseigenschaft: πB f KΩspecpf q πA für alle Homomorphismen f : A Ñ B .
Für jeden Stone Space X ist ξX : X Ñ specKΩpX q, ξX pxq : tU P KΩpX q : x P U u ein Homöomorphismus. Er hat die bei einer Dualität erforderliche Kommutativitätseigenschaft: ξY f specKΩpf q ξX für alle Homöomorphismen f : X Ñ Y .
1 . Äquivalent dazu gilt ξX pU q πKΩpX q pU q für alle U P KΩpX q.
Es gilt KΩpξX q πKΩ
pX q
Beweis.
ξA
specpf q : f 1
Wir sind in der Situation von Lemma A.11, wobei
p.q . Also folgt die Dualität.
C
Bool, D Stone, S spec, T KΩ und
T ppp.q q1 q ηA ein Isomorphismus mit der geforderten Kommutativitäts
1
eigenschaft. Es folgt T ppp.q q
q ηA T pp.q q ηA pp.q q1 ηA p.q ηA πA , wobei letzte Gleichheit
1. Wieder mit Lemma A.11 ist
aus dem Beweis von Lemma 5.5 folgt.
ξX pxq tatsächlich immer ein Filter ist. Dass ξX pxq prim ist, folgt
U P KΩpX q entweder U P ξX pxq oder U c P ξX pxq, zusammen mit Korollar 2.26. Es ist ξX pxq P
πKΩpX q pU q ðñ U P ξX pxq ðñ x P U . Also folgt ξX pU q πKΩpX q pU q.
Um zu sehen, dass ξX injektiv ist, seien x, y P X und x y . Da X ein Stone Space ist, gibt es eine Menge
U P KΩpX q, sodass x P U und y R U . Also U P ξX pxq, aber U R ξX py q.
2. + 3. Man überprüft leicht, dass
da für
33
ξX surjektiv ist. Sei dazu F P specKΩpX q. Es ist leicht zu überprüfen, dass dann
„ X : DU P F : U „ Au ein mengentheoretischer Filter auf X ist. Nun gibt es einen feineren
Ultralter G … H. Da X kompakt ist, ist G konvergent gegen ein (eindeutiges) x P X . Also folgt für
alle U P ΩpX q, dass x P U genau dann, wenn U P G. Auÿerdem folgt aus der Maximalität von F, dass
F G X KΩpX q tU P KΩpX q : x P U u ξX pxq.
Also ist ξX bijektiv. Da πKΩpX q die Basis KΩpX q von X bijektiv auf die Basis KΩspecKΩpX q von
specKΩpX q abbildet, folgt wegen ξX pU q πKΩpX q pU q für alle U P KΩpX q, dass ξX auch eine Bijektion
Wir zeigen, dass
H : t A
zwischen Basismengen induziert. Also ist
ξX
ein Homöomorphismus.
Die Kommutativitätseigenschaft folgt nun aus 3. zusammen mit Lemma A.8.
5.2
Boolsche Erweiterungen
Die Stone Duality I liefert nun eine Möglichkeit, aus einem distributiven Verband
zu konstruieren, welche in sehr engem Zusammenhang zu
Denition 5.8.
1.
B
2.
τ :AÑB
Sei
A
A
eine boolsche Algebra
steht.
A ein distributiver Verband. Eine boolsche Erweiterung
von
A ist ein Paar pB, τ q, sodass
ist eine boolsche Algebra.
3. Ist
C
ist ein injektiver Verbandshomomorphismus.
f : A Ñ C ein Verbandshomomorphismus,
g : B Ñ C , sodass f g τ .
eine weitere boolsche Algebra und
eindeutigen Verandshomomorphimus
dann gibt es einen
f
A
C
τ
g
B
Wir zeigen als nächstes die Existenz und Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie) von boolschen Erweiterungen.
Lemma 5.9. Sei A ein distributiver Verband und pB, τ q, pB 1 , τ 1 q boolsche Erweiterungen. Dann existiert
ein eindeutiger Isomorphismus f : B Ñ B 1 , sodass f τ τ 1 .
Beweis. Nehmen wir als Erstes an, dass B eine boolsche Teilalgebra von B 1 und τ τ 1 ist. Wir zeigen, dass
1
1
1
dann schon B B folgt. Sei also B ˆ B eine echte Teilalgebra. Für jedes F P specpB q folgt F X B P specpB q.
1
Also können wir eine Abbildung µ : specpB q Ñ specpB q, µpFq F X B denieren.
1
Wir zeigen, das µ bijektiv ist. Ist F P specpB q, so folgt, dass tx P B : Dy P F, y ¤ xu ein Filter
1
1
1
auf B ist. Dann gibt es einen Ultralter G P specpB q mit tx P B : Dy P F, y ¤ xu „ G. Nun gilt
1
zwangsläug G X B F, also ist µ surjektiv. Wäre µ nicht injektiv, so gäbe es F, G P specpB q mit F G
1 pFq
und F X B G X B . Wegen τ pAq „ B folgt IF τ IG τ und daher Iτ pFq Iτ pGq . Nun ist aber τ
ein Ultralter auf A und daher Iτ pFq : A Ñ Z2 ein Verbandshomomorphismus. Wegen der Denition der
1
boolschen Erweiterung gibt es genau ein g : B Ñ Z2 , sodass Iτ pFq g τ , also IG IF g . Also ist µ
1
1
1
1
auch injektiv und daher bijektiv.
P specpB 1 q, x P Fu tF P specpB q : x P Fu πB pxq,
wobei die vorletzte Gleichheit aus der Bijektivität der Abbildung µ folgt. Also ist C : µpKΩspecpB qq ˆ
KΩspecpB 1 q, wobei die Ungleichheit aus B ˆ B 1 folgt. Da µ als Bijektion mit der Durschnittbildung kommutiert und KΩspecpB q schnittstabil ist, ist auch C schnittstabil und daher Basis einer Topologie T auf
specpB 1 q. Versehen mit dieser Topologie T ist specpB 1 q homöomorph zu specpB q (versehen mit der Stan1
darttopologie), und die Topologie ΩspecpB q ist echt feiner als T .
Nun gilt für
x
P B , dass µpπB1 pxqq tµpFq
: F
34
x P B 1 zB . Dann ist auch x P B 1 zB , also πB 1 pxq, πB 1 px q P KΩspecpB 1 q aber πB 1 pxq, πB 1 px q R C .
1
Da πB 1 pxq und πB 1 px q kompakt sind bezüglich ΩspecpB q, sind sie auch kompakt bezüglich der gröberen
c
Topologie T . Insbesondere sind sie wegen πB 1 px q πB 1 pxq beide die Komplemente einer kompakten Menge
und daher oen bezüglich T . Also ist πB 1 pxq P C , und das ist der gewünschte Widerspruch.
1 1
Um den Satz zu beweisen, seien pB, τ q und pB , τ q beliebige boolsche Erweiterungen. Wäre τ pAq nicht
dicht in B , so wäre prτ pAqsBool , τ q ebenfalls eine boolsche Erweiterung und nach dem ersten Beweisteil
1
1
1
1
folgt der Widerspruch. Also ist τ pAq dicht in B und τ pAq dicht in B . Da τ : A Ñ B und τ : A Ñ B
1
Verbandshomomorphismen sind, gibt es nach der Denition der boolschen Erweiterung eindeutige f : B Ñ B
1
1
1
1
1
und g : B Ñ B mit f τ τ und g τ τ . Insbesondere folgt f g τ τ und g f τ τ . Also
sind f |τ pAq und g |τ 1 pAq bijektiv und zu einander invers. Daher sind die eindeutigen Fortsetzung f und g von
f |τ pAq und g |τ 1 pAq nach dem extension theorem (Satz 2.38) Isomorphismen.
Sei nun
B pAq die mengentheoretische Algebra
tηA pxq : x P Au KΩspecpAq erzeugt wird.
Satz 5.11. Sei A ein distributiver Verband. Dann ist pB pAq, ηA q die bis auf Isomorphie eindeutige boolsche
Denition 5.10.
auf
specpAq,
Sei
A
ein distributiver Verband. Dann bezeichnet
welche von dem System
Erweiterung von A.
Beweis. B pAq ist als Mengenalgebra eine boolsche Algebra und ηA : A Ñ KΩspecpAq ist ein VerbandsisoηA : A Ñ B pAq ein injektiver Verbandshomomorphismus.
f : A Ñ C ein Verbandshomomorphismus. Ist g : B pAq Ñ C ein
Verbandshomomorphismus, so erfüllt er oenbar genau dann die Bedingung g ηA f , falls g |KΩspecpAq 1 |KΩspecpAq .
f ηA
Nun ist KΩspecpAq ein Bool-dichter Teilverband von B pAq, und f˜ : KΩspecpAq Ñ C , deniert über
1 , ist ein Verbandshomomorphismus. Nach Korollar 2.39 gibt es eine eindeutige Fortsetzung von
˜
f : f ηA
f˜ zu einem Verbandshomomorphismus g : B pAq Ñ C . Also ist pB pAq, ηA q eine boolsche Erweiterung.
morphismus und daher
Sei
C
eine boolsche Algebra und
Die Eindeutigkeit folgt aus vorhergenden Lemma.
6
Closure Algebren
Wir zeigen nun die Dualität von closure Algebren und quasi Esakia Spaces. Dazu erweitern wir die Stone
Duality I zwischen boolschen Algebren und Stone Spaces, sodass sich die gewünschte Dualität ergibt.
Ist pB, q eine closure Algebra, dann sei ΥpB, q : pspecpB q, ΩspecpB q, ¤q, wobei für
F, G P specpB q gilt, dass F ¤ G : ðñ F X B „ G X B . Ist pC, q eine weitere closure Algebra und
f : B Ñ C ein closure Algebren Homomorphismus, dann sei Υpf q : f 1 : specpC q Ñ specpB q.
Denition 6.1.
Wir zeigen nun zwei einfache Lemmata über die Halbordnung
¤, welche im Weiteren öfters benötigt
werden.
Lemma 6.2. Sei pB, q eine closure Algebra und F,G P specpB q. Dann ist F X B „ G X B genau dann,
wenn F X B … G X B Beweis. Da B eine boolsche Algebra ist, gilt für alle a P B und Ultralter H, dass genau eine der folgenden
Aussagen gilt: a P H oder a P H. Daher ist H X A tx P A : x R Hu für alle Ultralter H. Also gilt
F X B „ G X B ðñ p@a P F X B ñ a P G X B q ðñ p@a P G X B ñ a P F X B q ðñ F X B …
G X B.
Lemma 6.3. Sei pB, q eine closure Algebra und ¤ die über Υ denierte Quasiordnung auf specpB q. Dann
gilt für alle a P B : πB pa q Ó πB paq.
Beweis. ” … ” Sei F P Ó πB paq. Dann gibt es G P specpB q, sodass G ¥ F und a P G. Dann folgt auch a P G
auch a P F. Also folgt F P πB pa q.
und wegen F X B … G X B
35
”„”
F P πB pa q und daher a P F. Wir zeigen,
G P specpB q existiert mit G ¥ F und a P G. Sei dazu
Sei andererseits
ein Filter
X : tG „ B : G ist F ilter, G X B Wir suchen maximale Elemente in
ist, sei
F P Ó πB paq,
d.h. wir zeigen, dass
… F X B , a P Gu
bezüglich der Teilmengenrelation. Um zu sehen, dass
X
nicht leer
H : tb P B : Dc P F X B : b ¥ a ^ cu
a P F, dass c ^ a 0 und daher a ¦ c . Da c oen ist, ist c abgeschlossen
und damit folgt auch a ¦ c . Also ist a ^ c 0 für alle c P F X B und es folgt 0 R H. Man sieht jetzt leicht,
dass H ein Filter ist. Auÿerdem gilt für b P F X B , dass b ¥ a ^ b und damit b P H. Da auch a P H, folgt
Für
c P F X B
X
dass
folgt wegen
H P X.
Für eine lineare Teilkette
pHi qiPI P XI ist ”iPI Hi P X eine obere Schranke. Also hat X maximale Elemente.
Nun sind maximale Elemente von
es ein
G P X X specpB q,
X aber auch maximal
G ¥ F sowie a P G.
unter allen Filtern und daher Ultralter. Also gibt
und damit
Im Folgenden ist das nächste Resultat sehr hilfreich.
Lemma 6.4. Sei pX, T , ¤q ein quasi Esakia Space und U „ ApX q eine durch … gerichtete
Menge von
Ÿ “
žp
abgeschlossenen
Mengen,
d.h.
für
alle
A,
B
P
U
gibt
es
C
P
U
mit
C
„
A
X
B
.
Dann
gilt
APU Aq “
pÓ
A
q
.
APU
Ÿ “
“
ž
Beweis.
“ Sei x P p APU Aq . Dann existiert y P APU A mit x ¤ y . Also x P ÓA für alle A P F und damit
x P APU pÓA q.
“
Sei andererseits x P
Teilmenge, dann existiert C P U , sodass
APU pÓA q. IstŸM
“
“ „ U eine endliche “
C „ M. Wegen x P ÓC folgt auch x P žp Mq und damit Òx X M H. Also ist pÒx X AqAP“
U ein Familie
abgeschlossener Teilmengen mit der endlichen Schnitteigenschaft. Da X kompakt ist, folgt Òx X APU A H
Ÿ “
und daher x P žp APU Aq
Proposition 6.5. Sei pB, q eine closure Algebra. Dann ist ΥpB, q ein quasi Esakia Space.
Beweis. Die Relation deniert über F ¤ G ðñ FXB „ GXB ist oenbar eine Quasiordnung auf specpB q.
Auÿerdem ist B eine boolsche Algebra und daher ΥpB, q ein Stone Space. Wir beweisen die Punkte von
Satz 3.18:
Wir zeigen, dass
sei
a P pG X B qzF.
πB paq
ÒF abgeschlossen ist für alle F P specpB q. Sei dazu G R ÒF , also G X B † F X B , und
Dann folgt für alle H ¥ F, dass a R H und damit πB paqX ÒF =H, und G P πB paq. Da
oen ist, folgt die Behauptung.
Die clopen Mengen von
ΥpB, q
sind von der Form
πB paq
für ein
a P B.
Es folgt, dass
Ÿ
žπB a
p q πB pa q
ebenfalls clopen ist.
Proposition 6.6. Seien A und B closure Algebren und f : A Ñ B ein closure Algebren Homomorphismus.
Dann ist Υpf q ein Esakia Homomorphismus.
Beweis. Aus der Stone Duality folgt, dass g : Υpf q stetig ist.
g stark isoton ist, zeigen wir als Erstes, dass für eine clopen
Menge U „ specpAq
Ÿ
g 1 pÓU q Ó g 1 pU q. Es gilt U πA pxq für ein x P A und daher g 1 pžπA pxqq g 1 pπA px qq KΩspecpf qpπA px qq πB pf px qq πB pf pxq q Ó πB pf pxqq Ó KΩspecpf qpπA pxqq Ó g 1 pπA pxqq.
1 pÓx q Ó g1 pxq für alle x P ΥpB q. Da ΥpB q ein Stone Space
Nun ist g genau dann stark isoton, falls g
“
ist, ist x tU P KΩpΥpB qq : x P U u “U PξΥpXq pxq U und daher ist g genau dann stark isoton, falls
Um zu sehen, dass
gilt:
Ÿ “
g 1 pžp
1 “
P
p q U qq Óg p U PξΥpX q pxq U q. Es gilt aber:
£
£
£
£
Ÿ
Ÿ 1
žg pU q
ÓU q g 1 pžp
U qq g 1 p
g 1 pÓU q U PξΥpX q pxq
U PξΥpX q pxq
U PξΥpX q pxq
U PξΥpX q pxq
£
£
Ÿ
Ÿ 1
1
žp
g pU qq žp g p
U qq
U PξΥpX q pxq
U PξΥpX q pxq
U ξΥpX q x
36
wobei Lemma 6.4 verwendet wurde.
Korollar 6.7. Υ : CloAlg Ñ QEas ist ein Cofunktor.
Denition 6.8. Ist pX, T , ¤q ein quasi Esakia Space, dann sei ΞpX, T , ¤q : pKΩpX q, q, wobei U : ÓU
P KΩpX q. Ist pY, O, ¤Y q ein weiterer quasi Esakia Space und f : X Ñ Y ein Esakia HomomorΞpf q : f 1 : KΩpY q Ñ KΩpX q.
Proposition 6.9. Ist pX, T , ¤q ein quasi Esakia Sapce, dann ist ΞpX, T , ¤q eine closure Algebra.
Beweis. Da X ein quasi Esakia Space ist, folgt tatsächlich U ÓU P KΩpX q für alle U P KΩpX q. Alle
U
für alle
phismus, dann sei
Axiome folgen nun sofort.
Proposition 6.10. Ist f : X Ñ Y ein Esakia Homomorphismus zwischen zwei Esakia Spaces pX, T , ¤X q
und pY, O, ¤Y q, dann ist Ξpf q ein closure Algebren Homomorphismus.
Beweis. Wegen der Stone Duality ist g : Ξpf q ist ein Verbandshomomorphismus. Es bleibt noch zu zeigen,
dass Abschlüsse erhalten werden:
g pU q g pÓU q f 1 pÓU q Óf 1 pU q g pU q .
Korollar 6.11. Ξ : QEsa Ñ CloAlg ist ein Cofunktor.
Satz 6.12. Die Cofunktoren Ξ und Υ begründen eine Dualität zwischen der Kategorie QEsa und der
Kategorie CloAlg. Dabei gilt
1.
2.
Für jede closure Algebra A ist πA : A Ñ ΞΥpAq, πA pxq tF P specpAq : x P Fu ein closure
Algebren Isomorphismus. Er hat die bei einer Dualität erforderliche Kommutativitätseigenschaft: πB f KΩspecpf q πA für alle Homomorphismen f : A Ñ B .
Für einen quasi Esakia Space X ist ξX : X Ñ ΥΞpX q, ξX pxq tU P KΩpX q : x P U u ein Esakia Isomorphismus. Er hat die bei einer Dualität erforderliche Kommutativitätseigenschaft: ξY f specKΩpf q ξX für alle Homöomorphismen f : X Ñ Y .
Beweis.
πA ein Verbandsisomorphismus ist. Es bleibt zu zeigen, dass
1 die Abschlussoperation erhalten. Wir haben πA pa q Óπ paq πA paq . Ist U P
πA
1 pU q π1 pÓ πA paqq π1 pπApa qq a π1 pU q .
ΞΥpAq so gibt es a P A mit πA paq U und damit πA
A
A
A
2. Wieder mit der Stone Duality I folgt, dass ξX ein Homöomorphismus ist. Es bleibt die starke Isotonie
1
von ξX und ξX zu zeigen. Wegen der Bijektivität ist dies gleichbedeutend dazu, dass sowohl ξX als auch
1
ξX die Ordnung erhalten.
Seien x, y P X und x ¤ y . Wir müssen zeigen, dass ξX pxq ¤ ξX py q. Das ist denitionsgemäÿ genau
dann der Fall, wenn ξX pxq X pKΩpX qq „ ξX py q X pKΩpX qq . Sei also U P ξX pxq X pKΩpX qq . Da die
abgeschlossenen Elemente in KΩpX q genau die Downsets sind und deren Komplemente genau die Upsets,
sind die Upsets genau die oenen Elemente. Es folgt, dass U ein Upset ist und daher y P U . Also folgt
U P ξX py q X pKΩpX qq .
Sei umgekehrt x ¦ y . Dann gibt es ein clopen Upset U mit x P U aber y R U . Also ξX pxq X pKΩpX qq †
ξX py q X pKΩpX qq oder ξX pxq ¦ ξX py q.
Dass πA und ξX die geforderten Kommutativitätseigenschaften haben folgt unmittelbar aus der Stone
sowohl
1. Aus der Stone Duality I folgt, dass
πA
als auch
Duality.
CloAlg
Bool. Da für closure Algebren A und B die Abbildungen πA und πB Isomorphismen
1
sind, ist die Abbildung M orCloAlg pA, B q Ñ M orCloAlg pΞΥpAq, ΞΥpB qq : f Ñ πB f πA bijektiv. Aus der
1
Stone Duality folgt, dass ΞΥpf q πB f πA . Zwangsläug ist Υ injektiv und Ξ surjektiv. Führt man die
analoge Überlegung für Morphismen in QEsa durch erhält man die gewünschte Bijektivität.
Es bleibt die Bijektivität der Funktoren auf den Morphismen zu zeigen. Sämtliche Morphismen in
sind auch Morphismen in
37
7
Heyting Algebren
7.1
Heyting Algebren und Esakia Spaces
(Esakia Duality)
Zum Beweis der Esakia Dualität verwenden wir die schon bewiesene Dualität zwischen closure Algebren
und quasi Esakia Spaces. Wir werden diese Dualität einschränken: Auf der einen Seite auf die Kategorie der
Esakia Spaces und auf der anderen Seite - zwangsläug - auf jene Teilkategorie von
CloAlg, deren Objekte
A sind, für welche ΥpAq ein Esakia Spaces ist. Weiters werden wir sehen, dass
letzter Teilkategorie äquivalent zu Heyt ist, und damit wird insgesamt die gewünschte Dualität Heyt Esa
genau solche closure Algebren
folgen.
Wir beginnen mit zwei Resultaten, welche eine erste Beziehung zwischen closure Algebren und Heyting
Algebren erkennen lassen.
Proposition 7.1. Sei pA, q eine closure Algebra. Dann ist A ein Teilverband von A und eine Heyting
Algebra. Dabei gilt: x Ñ y px ^ y q für alle x, y P A .
Beweis. Dass A ein Teilverband ist, folgt wegen A A zusammen mit der Tatsache, dass A ein
P A . Es gilt weiters x ^ px ^ y q ¤
Teilverband ist. Für alle x, y P A ist tatsächlich px ^ y q
x ^ px ^ y q x ^ px _ y q ¤ y . Also gilt x ^ px ^ y q ¤ y . Sei andererseits a P A mit x ^ a ¤ y . Dann
folgt a ¤ x _ y und daher x ^ y ¤ a , also px ^ y q ¤ pa q a , da a P A . Es folgt a ¤ px ^ y q
und insgesamt x Ñ y px ^ y q
.
Denition 7.2.
eine weitere closure Algebra und
A
A bezeichne A die Heyting Algebra der oenen
f : A Ñ B ein closure Algebrenhomomorphismus, dann
Für eine closure Algebra
Ñ B.
B
f : f |A :
Elemente. Ist
sei
Proposition 7.3. Sei pH, Ñq eine Heyting Algebra. Dann gibt es einen Abschlussoperator auf der boolschen Erweiterung pB pH q, ηH q, sodass B pH q ηH pH q.
A : tηH pxq : x P H u die Bedingungen an die Menge der abgeschlossenen
Elemente erfüllt. Oenbar ist ηH pH q ein Teilverband von B pH q und daher ist auch A ein Teilverband von
B pH q. Es bleibt zu zeigen, dass für jedes a P B pH q die Menge Òa X A ™
ein Minimum besitzt. Da ηH pAq
n
Bool-dicht in B pAq liegt™
folgt, dass jedes a P B pH q von der Form a i1 pηH pxi q _ ηH pyi qq ist. Wir
n
zeigen, dass dann u : p i1 ηH pxi Ñ yi qq minpÒa X Aq. Erstens gilt u P A. Weiters folgt für alle
i 1, ... , n™
, dass η pxi Ñ yi q ^ η pxi q η ppxi Ñ yi q ^ xi q ¤ η pyi q und daher η pxi Ñ yi q ¤ η pxi q Ñ η pyi q. Also
n
folgt u ¥ p i1 η pxi q Ñ η py qq a.
Sei nun b P Òa X A. Dann ist b P ηH pH q, also b ηH py q für ein y P H . Es ist b ¤ a und daher gilt
für alle i 1, ... , n, dass b ¤ ηH pxi q _ ηH pyi q, und damit ηH pyi q ^ ηH pxi q b ^ ηH pxi q ¤ ηH pyi q ðñ
™n
y ^ xi ¤ yi und daher y ¤ xi Ñ yi . Also folgt auch b ηH py q ¤ i1 pηH pxi Ñ yi qq und damit erhalten
wir b ¥ u.
Beweis.
Wir zeigen, dass
Denition 7.4.
H sei B pH q ab nun die soeben denierte closure Algebra. Ist K
f : H Ñ K ein Homomorphismus, dann sei B pf q : B pH q Ñ B pK q der
sodass B pf q ηH ηK f .
Für eine Heyting Algebra
eine weitere Heyting Algebra und
eindeutige Homomorphismus,
Damit erhalten wir unmittelbar:
Korollar 7.5.
Es ist also jede Heyting Algebra
Algebra
A
A.
B
und p.q : CloAlg Ñ Heyt sind Funktoren.
B : Heyt Ñ CloAlg
H
isomorph zu der Heyting Algebra der oenen Elemente einer closure
Diese Repräsentation ist allerdings nicht eindeutig im kategorientheoretischen Sinne; d.h. aus
für zwei closure Algebren
jede Heyting Algebra
H
A
und
B
muss im Allgemeinen nicht
mehrere, nicht isomorphe, closure Algebren
A
mit
A B folgen. Es gibt also für
A H . Allerdings hat, wie im
Folgenden bewiesen wird, bis auf Isomorphie genau eine dieser closure Algebren die Eigenschaft, dass ihr
zugehöriger quasi Esakia Space
ΥpAq
sogar ein Esakia Space ist. Wir denieren daher
38
Denition 7.6.
ΥpAq
Es bezeichne
CloAlg
die Kategorie jener closure Algebren
A,
mit der Eigenschaft, dass
ein Esakia Space ist, zusammen mit closure Algebren Homomorphismen.
Damit erhalten wir unmittelbar:
Korollar 7.7. Die Funktoren Υ : CloAlg Ñ Esa und Ξ : Esa Ñ CloAlg begründen eine Dualität der
Kategorien CloAlg und Esa.
Im Folgenden wird gezeigt, dass CloAlg Heyt gilt.
Lemma 7.8. Sei H eine Heyting Algebra, pB pH q, ηH q ihre boolsche Erweiterung und pX, T , ¤q : ΥpB pH q, q
der zugehörige quasi Esakia Space. Dann ist X ein Esakia Space. Ist A eine weitere closure Algebra mit den
Eigenschaften A H und ΥpAq ist ein Esakia Space, so folgt A B pH q.
Beweis. Wir müssen zeigen, dass ¤ eine Halbordnung ist. Seien F, G P X Ultralter und F X B pH q G X B pH q . Wir müssen zeigen, dass F G. Da F und G Primlter sind, sind ihre Komplemente Primideale.
f : IF und g : IG Verbandshomomorphismen von B pH q in den Z2 . Somit
f˜ : f ηH und g̃ : g ηH Homomorphismen von H in den Z2 . Wegen ηH pAq B pH q und f |BpH q g |BpH q folgt f˜ g̃ . Da B pH q eine boolsche Erweiterung ist, gibt es einen eindeutigen Homomorphismus
h : B pH q Ñ Z2 , sodass f˜ g̃ h ηH , und folglich f g h. Also folgt F G.
Wir zeigen nun die zweite Aussage. Seien A, B closure Algebren mit A B und sodass X : ΥpAq
und Y : ΥpB q Esakia Spaces sind. Wir müssen A B , oder äquivalent X Y , zeigen. Als Esakia Spaces
sind X und Y auch Priestley Spaces.
Denitionsgemäÿ gilt M orEsa pX, Y q „ M orPriest pX, Y q. Ist andererseits f P M orPriest pX, Y q eine Isomorphie, so folgt für alle x, y P X , dass x ¤ y genau dann, wenn f pxq ¤ f py q. Zusammen mit Lemma
2.3 folgt daraus die starke Isotonie von f . Insbesondere ist f P M orEsa pX, Y q. Es folgt, dass X und Y
in der Kategorie Esa genau dann isomorph sind, wenn sie in der Kategorie Priest isomorph sind. LetzDaher sind die Abbildungen
sind
teres ist genau dann der Fall, wenn ihre zugehörigen pairwise Stone Spaces isomorph sind, das ist wiederum genau dann der Fall, wenn die zugehörigen kohärenten Räume isomorph sind, also genau dann wenn
FTpX q pX, upΩpX qq FTpY q pY, upΩpY qq. Nach Lemma 3.14 bilden die kompakten oenen Mengen
upC pX q bzw. upC pY q Basen der Topologien upΩpX q bzw. upΩpY q. Die kompakten oenen Upsets in X bzw.
Y sind aber gerade die oenen Elemente in der closure Algebra ΞpX q bzw. ΞpY q. Wegen A B folgt also die
Verbandsisomorphie upC pX q upC pY q. Also gibt es einen Verbandsisomorphismus ϕ : upC pX q Ñ upC pY q.
Andererseits sind upC pX q und upC pY q genau die endlichen Elemente der kohärenten Verbände upΩpX q
und upΩpY q. Also gibt es genau eine Fortsetzung von ϕ zu einem kohärenten Verbandshomomorphismus
ϕ̃ : upΩpX q Ñ upΩpY q. Aus der Äquivalenz KohVerbDVerb folgt weiters, dass dieser zwingend ein
Isomorphismus ist. Aus der Dualität KohVerb KohTop folgt nun die Existenz eines eindeutigen stetigen
ψ : Y Ñ X mit der Eigenschaft ϕ̃ ψ 1 , und da ϕ̃ isomorph ist, folgt wiederum zwingend, dass ψ ein
1 |ΩpX q ϕ̃ und der Kohärenz von ϕ̃, folgt auch, dass ψ kohärent
Homöomorphismus ist. Wegen Ωpψ q ψ
ist. Wir erhalten damit die gesuchte Isomorphie FTpX q FTpY q.
Satz 7.9. Die Funktoren B : Heyt Ñ CloAlg und : CloAlg ÑHeyt begründen eine Äquivalenz der
Kategorien Heyt und CloAlg . Dabei gilt:
1. Für alle H P Obj pHeytq ist ηH : H Ñ B pH q , ηH pxq tI P specpH q : x R I u ein Verbandsisomorphismus. Er hat die geforderte Kommutativitätseigenschaft B pf q ηH ηK f für alle Homomorphismen f : H Ñ K .
2. Für alle A P Obj pCloAlg q existiert ein eindeutiger closure Algebrenisomorphismus ϕA : A Ñ B pA q,
sodass ϕA paq ηA paq für alle a P A . Dieser erfüllt ebenfalls die Kommutativitätseigenschaft B pg q ϕA ϕB g für alle closure Algebren Homomorphismen g : A Ñ B .
Beweis.
Bild
H ist ηH : H Ñ B pH q ein injektiver Verbandshomomorphismus mit
BpH q . Also ist ηH : H Ñ BpH q ein Verbandsisomorphismus. Die Kommutativitätseigen-
1. Für eine Heyting Algebra
ηH p H q
schaft ist denitionsgemäÿ erfüllt.
39
A P Obj pCloAlg q. Nach Punkt 1. gilt B pA q A . Auÿerdem sind ΥpAq und ΥpB pA qq Esakia
Spaces. Also folgt mit Lemma 7.8, dass A B pA q. Da ηA pA q dicht in B pA q ist und ηA ein Isomorphis
mus der oenen Elemente ist, ist auch A dicht in A. Also sind A und ηA pA q dichte Teilverbände, ηA
1
injektiv und ηA ebenfalls ein Isomorphimus (zwischen den Verbänden der oenen Elemente). Nach Satz 2.38
und Korollar 2.39 hat ηA eine eindeutige Fortsetzung zu einem Verbandsisomorphismus ϕA : A Ñ B pA q.
Wegen pϕA q ηA folgt mit Satz A.8 auch, dass ϕA diese Kommutativitätseigenschaft hat.
auf den Morphismen zu zeigen. Diese folgt aber schnell,
Es bleibt noch die Bijektivität von B und
da aus dem schon gezeigten unmittelbar folgt, dass pB p.qq : M orHeyt pH, K q Ñ M orHeyt pB pH q , B pK q q,
1
pBpf qq ηK f ηH und Bpp.q q : M orCloAlg pA, B q Ñ M orCloAlg pBpA q, BpB qq, Bpf q ϕB g ϕA1
bijektiv operieren, denn ηH , ηK sowie ϕA , ϕB sind Isomorphismen. Also folgt die Bijektivität von B und
2. Sei
auf den Morphismen.
Korollar 7.10. (Esakia Duality) Die Funktoren
eine Dualität der Kategorien Esa und Heyt.
ΥB : Heyt Ñ Esa
und p.q Ξ : Esa Ñ Heyt begründen
Als interessante Folgerung erhalten wir:
Heyt Esa
Korollar 7.11. Die Dualität
induzieren .
Pries DVerb
wird auch durch jene Funktoren induziert, welche die Dualität
Wir haben die Funktoren SGspec : DVerb ÑPries und KΩFT : Pries Ñ DVerb. Wir zeigen,
KΩFT|Esa p.q Ξ|Esa . Dann folgt notwendigerweise die Aussage. Für einen Esakia Space pX, T , ¤q
gilt KΩFTpX, T , ¤q KΩpX, upΩpX, T , ¤qq upC pX, T , ¤q ΞpX, T , ¤q . Wobei die mittlere Gleichung
aus Proposition 4.19 und Proposition 4.23 folgt. Für einen Morphismus f : X Ñ Y folgt KΩFTpf q f 1 |KΩpX,upΩpX,T ,¤qq f 1 |ΞpX,T ,¤q pf 1 q pΞpf qq .
Beweis.
dass
7.2
Heyting Algebren und pairwise Esakia Spaces
Die Dualität von Heyting Algebren und pairwise Esakia Spaces folgt nun einfach über die Einschränkung
der Isomorphie
Pries PStone
auf eine Isomorphie
Esa PEsa.
Proposition 7.12. Sei pX, T ,¤) ein Priestley Space. Dann ist der zugehörige pairwise Stone Space pX, T1 , T2 q :
TpX, T , ¤q genau dann ein pairwise Esakia Space, falls pX, T , ¤q ein Esakia Space ist.
pX, T1 , T2 q impliziert AT paarweise
clopen in pX, T1 , T2 q genau dann gilt, wenn A clopen in pX, T q impliziert ÓA clopen in pX, T q gilt.
Nach Korollar 4.33 sind die clopen Mengen in pX, T , ¤q genau die paarweise clopen Mengen in pX, T1 , T2 q.
T
Auÿerdem gilt nach Satz 4.31 die Identität A
ÓA . Also folgt die Aussage.
Proposition 7.13. Seien pX, T , ¤X q und pY, O, ¤Y q zwei Esakia Spaces mit zugehörigen pairwise Esakia
Spaces pX, T1 , T2 q : TpX, T , ¤X q und pY, O1 , O2 q : TpY, O, ¤Y q und f : X Ñ Y eine stetige, ordnungserhaltende Abbildung, d.h. f P M orpPriesq. Dann ist f genau dann ein Esakia Homomorphismus, falls f als
Abbildung von pX, T1 , T2 q nach pY, O1 , O2 q ein pairwise Esakia Homomorphismus ist.
T
O
Beweis. Wir müssen zeigen, dass f genau dann stark isoton ist, wenn f ptxu q tf pxqu . Nach Satz 4.31
T
O
ist txu
Òx und tf pxqu Ò f pxq. Nach Lemma 2.3 ist f stark isoton genau dann, wenn f pÒx q Ò f pxq,
T
O
also genau dann, wenn f ptxu q tf pxqu
.
Beweis.
1
Wir müssen zeigen, dass die Aussage A paarweise clopen in
1
2
2
2
2
2
2
Als unmittelbare Konsequenz folgt
Satz 7.14. Die Funktoren T und S induzieren eingeschränkt auf die Kategorien PEsa bzw. Esa eine Isomorphie dieser Kategorien.
40
7.3
Heyting Algebren und kohärente Esakia Spaces
Wir gehen nun ähnlich zum letzten Abschnitt vor und schränken die Isomorphie
um eine Isomorphie
PEsa KohEsa
PStone KohTop
ein,
zu Erhalten.
Proposition 7.15. Sei pX, T1 , T2 q ein pairwise Stone Space. Dann ist der zugehörige kohärente Raum
pX, T1 q FpX, T1 , T2 q genau dann ein kohärenter Esakia Space, falls pX, T1 , T2 q ein pairwise Esakia Space
ist.
Beweis.
Wir müssen zeigen, dass die Aussage Y ist eine doppelt kohärente Teilmengen impliziert
eine doppelt kohärente Teilmenge genau dann gilt, wenn Y
paarweise clopen impliziert
Y
T1
Y
T1
ist
paarweise
clopen gilt. Nach Korollar 4.33 sind aber die doppelt kohärenten Teilmenge genau die paarweise clopen
Teilmengen. Also folgt die Behauptung.
Proposition 7.16. Seien pX, T1 , T2 q und pY, O1 , O2 q pairwise Esakia Spaces und f : X Ñ Y bistetig. Dann
ist f genau dann ein pairwise Esakia Homomorphismus, falls f als Abbildung von pX, T1 q nach pY, O1 q ein
Esakia Homomorphismus ist.
Beweis.
Wir müssen zeigen, dass
x P X , wobei Sat1
und
f ptxu
T2
q tf pxquO
die Saturation bezüglich
Sat1 pf pxqq tf pxqu
O2
T1
bzw.
2
O1
genau dann, wenn
f pSat1 pxqq
Sat1 pf pxqq für alle
T
Sat1 pxq txu
bezeichnet. Nach Korollar 4.33 folgt
2
, also folgt die Behauptung.
Wieder ist eine unmittelbare Konsequenz:
Satz 7.17. Die Funktoren F und G induzieren eingeschränkt auf die Teilkategorien PEsa und KohEsa
eine Isomorphie dieser Kategorien.
Korollar 7.18. Die Kategorien Esa, PEsa und KohEsa sind zueinander isomorph und daher sämtlich
dual zu der Kategorie Heyt der Heyting Algebren.
41
A
Kategorientheorie
Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung der Dualität zwischen nüchternen topologischen Räumen und regulären Verbänden als Grundlage für die Herleitung verschiedener topologischer Repräsentationen algebraischer
Strukturen, unter anderem der Stone Duality und der Esakia Duality. Diese topologischen Repräsentationen sind formal durch Dualitäten von Kategorien gegeben. In diesem Abschnitt werden dazu die benötigten
Begrie aus der Kategorientheorie deniert.
Denition A.1.
Eine
Kategorie C
besteht aus einer Klasse von Objekten, einer Klasse von Morphismen
auf den Morphismen.
Die Klasse von Objekten wird bezeichnet mit Obj pC q.
und einer Verknüpfungsabbildung
1.
M orpC q. Jeder Morphismus hat einen Denitionsdompf q P Obj pC q und einen Bildbereich ranpf q P Obj pC q. Für einen Morphismus mit Denitionsbereich A und Bildbereich B schreiben wir kurz f : A Ñ B . Die Menge aller Morphismen mit
Denitionsbereich A und Bildbereich B wird mit M or pA, B q bezeichnet. Um die Kategorie zu betonen,
wird die Menge der Morphismen f : A Ñ B in der Kategorie C gelegentlich auch mit M orC pA, B q
2. Die Klasse von Morphismen wird bezeichnet mit
bereich
bezeichnet.
. Dabei gilt:
@A, B, C P Obj pC q ist : M orpB, C q M orpA, B q Ñ M orpA, C q, d.h. für alle Morphismen
f : A Ñ B und g : B Ñ C ist g f : A Ñ C ein Morphismus.
ist assoziativ.
Für alle Objekte A existiert ein Identitätsmorphismus, d.h. ein Morphismus idA : A Ñ A, sodass
f idA f und idA g g , wann immer f , g Morphismen und die entsprechenden Ausdrücke
3. Die Verknüpfungsvorschrift
(a)
(b)
(c)
deniert sind.
A, B P Obj pC q einer Kategorie C heiÿen isomorph, i.Z. A B , falls Morphismen f : A Ñ B
Ñ A existieren, sodass f g idB und g f idA .
Zwei Objekte
und
g:B
Beispiel A.2.
Erste Beispiele von Kategorien.
1. Die Kategorie
Set hat als Objekte die Klasse aller Mengen und als Morphismen die Klasse sämtlicher
Funktionen. Die Verknüpfung
2. Die Kategorie
Top
ist dabei die klassische Verknüpfung von Funktionen.
aller topologischen Räume zusammen mit stetigen Funktionen als Morphismen.
3. Die meisten algebraischen Strukturen (wie z.B. Ringe, Algebren, Gruppen, Vektorräume, ...) werden
eine Kategorie, wenn man als Morphismen alle Homomorphismen zulässt.
Ñ D besteht aus einer Abbildungsvorschrift für Objekte, T : Obj pC q Ñ
T : M orpC q Ñ M orpD q. Dabei gilt:
Ist f : A Ñ B ein Morphismus in C , so ist T pf q : T pAq Ñ T pB q ein Morphismus in D .
Es ist T pf g q T pf q T pg q, wann immer deniert (wegen 1. ist die linke Seite genau dann deniert,
Denition A.3.
Obj pD q,
1.
2.
Ein
Funktor T : C
und einer Abbildungsvorschrift für Morphismen,
wenn die rechte Seite es ist).
3. Für alle Objekte
A
von
C
gilt:
T pidA q idT pAq .
Ein Funktor besteht daher eigentlich aus zwei Abbildungsvorschriften, eine operiert auf den Objekten, die
Andere auf den Morphismen. Wir werden aber, der allgemeinen Konvention folgend, beide Abbildungsvorschriften mit dem selben Zeichen bezeichnen.
42
Beispiel A.4.
Beispiele zu Funktoren.
1. Der einfachste Funktor ist schlicht der Identitätsfunktor
2. Bezeichnet
idC
einer Kategorie
C
auf sich selbst.
Ring die Kategorie aller Ringe mit Ringhomomorphismen, so bildet der forgetful functor
U : Ring Ñ Set
einen Ring
A
auf die zugrunde liegende Menge ab, und einen Ringhomomorphismus
auf seine zugrunde liegende Funktion. Analog kann der forgetful functor für jede algebraische Struktur
deniert werden
Denition A.5.
für Objekte
M orpD q.
1. Ist
Ein
Cofunktor T : C
T : Obj pC q
Ñ
Obj pD q,
Ñ D besteht analog zu einem Funktor aus einer Abbildungsvorschrift
und einer Abbildungsvorschrift für Morphismen, T : M or pC q Ñ
Dabei gilt:
f : AÑB
2. Es ist
ein Morphismus in
T pf g q T pg q T pf q,
C,
T p f q : T p B q Ñ T p Aq
so ist
ein Morphismus in
D.
wann immer deniert (wieder ist wegen 1. ist die linke Seite genau dann
deniert, wenn die rechte Seite es ist).
3. Für alle Objekte A von
C
gilt:
T pidA q idT pAq .
Als nächstes benötigen wir noch eine Möglichkeit zwei Kategorien miteinander vergleichen zu können. Hier
stellt sich folgende Denition als sinnvoll heraus:
Eine Äquivalenz zwischen zwei Kategorien C und D (i.Z. C D ) besteht aus zwei Funktoren
Ñ D und T : D Ñ C , sodass:
Für alle A P Obj pC q gilt T S pAq A.
Für alle B P Obj pD q gilt ST pB q B .
1
1
1
Für alle A, A P Obj pC q ist S |M or pA,A1 q : M or pA, A q Ñ M or pS pAq, S pA qq bijektiv.
1
1
1
Für alle B, B P Obj pC q ist T |M or pB,B 1 q : M or pB, B q Ñ M or pT pB q, T pB qq bijektiv.
Es existiert eine Abbildung τ : Obj pC q Ñ M or pC q, sodass gilt:
(a) Für alle A P Obj pC q ist τA : τ pAq : A Ñ T S pAq ein Isomorphismus.
1
(b) Für alle f : A Ñ A P M or pC q gilt T S pf q τA τA1 f , d.h. folgendes Diagramm kommutiert:
Denition A.6.
S: C
1.
2.
3.
4.
5.
A
τA
T S pf q
f
A1
6. Es existiert eine Abbildung
τA1
σ : Obj pD q Ñ M orpD q,
T S pA1 q
sodass gilt:
P Obj pD q ist σB : σpB q : B Ñ ST pB q ein Isomorphismus.
1
Für alle g : B Ñ B P M or pD q gilt ST pg q σB σB 1 g .
(a) Für alle
(b)
T S pAq
B
Isomorphismus zwischen den Kategorien C und D (i.Z. C D q, falls in obiger
idA und τB idB gewählt werden kann, d.h. falls für alle A P Obj pC q und f P M orpC q
gilt, dass T S pAq A und T S pf q f , und für alle B P Obj pD q und g P M or pD q gilt, dass ST pB q B und
ST pg q g .
Eine Äquivalenz heiÿt
Denition immer τA
43
Denition A.7.
Eine
Dualität
C und D (i.Z. C D ), ist analog zu einer
T Cofunktoren sind, welche die Bedingungen 1.
zwischen zwei Kategorien
Äquivalenz deniert, mit dem Unterschied dass hier
S
und
bis 6. erfüllen, wobei in 3. und 4. jeweils die Morphismen ihre Richtung ändern.
Als nächstes ein kleines Lemma, dass es gestattet, in gewissen Fällen die Überprüfung des 6. Axioms von
Denition A.6 und A.7 zu vermeiden:
Lemma A.8. Erfüllen mit den Bezeichnungen von Denition A.6 (bzw. Denition A.7) die Funktoren (bzw.
1
Cofunktoren) S und T die Axiome 1. und 5., so folgt aus T pσB q τ T pBq (bzw. T pσB q τ T pB q q für alle
B P Obj pD q, unmittelbar, dass S und T eine Äquivalenz (Dualität) begründen.
Beweis. Wir beweisen die Aussage für Äquivalenzen. Seien B, B 1 P D und f : B Ñ B 1 P M orpD q. Wir
müssen das Axiom 6. beweisen. Es gilt:
ðñ
ðñ
ðñ
T S pT pf qq τT pB q
τT pB1 q T pf q
T ST pf q T pσB q T pσB 1 q T pf q
T pST pf q σB q T pσB 1 f q
ST pf q σB σB 1 f
wegen Axiom 5.
Voraussetzung
da
T ein
Funktor ist
wegen Axiom 4.
Der Beweis für Dualitäten verläuft anolog.
Lemma A.9. Seien C , D und E Kategorien und S : C Ñ D , T : D Ñ C beide Funktoren oder Cofunktoren,
sowie F : D Ñ E und G : E Ñ D beide Funktoren oder Cofunktoren. Sei weiters für alle C P Obj pC ) ein
Isomorphismus τC P M orC pC, T S pC qq und für alle D P Obj pD q ein Isomorphismus σD P M orD pD, GF pDqq
gegeben, sodass:
1
1. Für alle f : C Ñ C P M or pC q ist T S pf q τC τC 1 f .
2.
Für alle g : D Ñ D1 P M orpD q ist GF pgq σD σD1 g.
Für alle C P Obj pC q sei weiters
η C :
#
T pσS pC q q τC
T pσSp1C q q τC
falls S und T Funktoren
falls S und T Cofunktoren
Dann ist ηC ein Isomorphismus und es gilt für f P M orC pC, C 1 q: T GF S pf q ηC
Beweis.
ηC 1 f .
Wir beweisen die Aussage für Funktoren, für Cofunktoren verläuft der Beweis analog. Dass
ηC
ein
Isomorphismus ist, folgt, da Funktoren immer Isomorphismen auf Isomorphismen abbilden, und Verknüpfungen von Isomorphismen wieder Isomorphismen sind. Es gilt:
T GF S pf q ηC
T pσSpC 1 q S pf q σSp1C q q ηC
T pσSpC 1 q q τC 1 f τC T pσSp1C q q T pσSpC q q τC
ηC 1 f
Korollar A.10. Falls mit den Bezeichnungen von Lemma A.9 S und T eine Äquivalenz (Dualität) begründen
und F und G eine Äquivalenz begründen, dann begründen F S : C Ñ E und T G : E Ñ C ebenfalls eine
Äquivalenz (Dualität).
Beweis.
Das letzte Lemma zeigt die Axiome 1., 2., 5., und 6 von Denition A.6 (bzw. A.7). Auÿerdem folgt
die Bijektivität auf den Morphismen unmittelbar.
44
Lemma A.11. Es gelten die Bezeichnungen von Denition A.6 (bzw. Denition A.7) und für alle C P
Obj pC q sei ein Objekt ΞpC q P Obj pD q, mit S pC q ΞpC q, und ein Isomorphismus ξC : S pC q Ñ ΞpC q
gegeben. Dann ist Sr : C Ñ D deniert über SrpC q ΞpC q für alle C P Obj pC q und Srpf q ξC 1 S pf q ξC1
(bzw. Srpf q ξC S pf q ξC11 q) für alle f P M orC pC, C 1 q ein Funktor (bzw. Cofunktor). Er induziert dann
zusammen mit T ebenfalls die gegebene Äquivalenz. Insbesondere gilt:
1
rpf q µC
1. Mit µC : T pξC q τC (bzw. µC : T pξC q τC q gilt: µC ist ein Isomorphismus und µC 1 f T S
1
für alle f P M orC pC, C q.
r pf qλD für alle f P M orD pD, D 1 q.
2. Mit λD : ξT pD q σD gilt: λD ist ein Isomorphismus und λD 1 f ST
Beweis.
Sr ein Funktor (bzw. Cofunktor) ist. Dass Sr bijektiv auf den Morphismen
1
S dies tut und die Abbildung M orC pC, C 1 q Ñ M orC pΞpC q, ΞpC 1 qq : g ÞÑ ξC 1 g ξC
1
ξC S pf q ξC 1 ) ebenfalls isomorph ist. Also bleibt noch 1. und 2. zu beweisen, dann folgt auch
Man sieht leicht, dass
operiert, folgt, da
(bzw.
g
ÞÑ
die Äquivalenz (Dualität).
1. Wir beweisen die Aussage für Funktoren, für Cofunktoren ist der Beweis analog. Wie im Beweis von
Lemma A.9 folgt, dass
µC
isomorph ist. Weiters gilt:
T Srpf q µC
T pξC 1 S pf q ξC1 q T pξC q τC
T pξC 1 q τC 1 f τC1 τC
µC 1 f
2. Beweis verläuft analog.
B
Die Kategorien RVerb und NTop
B.1
Reguläre Verbände
Denition B.1.
Ein
Verband pA, ¤q ist eine beschränkte halbgeordnete Menge (d.h. es existiert ein gröÿtes
a, b P A ein Supremum und ein Inmum existiert. Wir werden
_, das Inmum
mit ^, sowie das kleinste bzw. gröÿte Element mit 0 bzw. 1 bezeichnen.
š
™
und ein kleinstes Element), sodass für je zwei
das Supremum mit
Ist
H B „ A, so bezeichnet
B
bzw.
B
das Supremum bzw. Inmum von
Fallunterscheidungen zu vermeiden denieren wir
•
Ein Verbandshomomorphismus
f : A
š
H : 0 und ™ H : 1.
B,
falls dieses existiert. Um
Ñ B ist eine Abbildung, welche kleinstes und gröÿtes Element,
sowie Inma und Suprema von je zwei Elementen erhält. Wir bezeichnen mit
Verb die Kategorie der
Verbände zusammen mit Verbandshomomorphismen.
•
Ein Verband
A
heiÿt
distributiv,
falls für alle
a, b, c
P A gilt: a _ pb ^ cq pa _ bq ^ pa _ cq. Wir
bezeichnen die Kategorie der distributiven Verbänden zusammen mit Verbandshomomorphismen mit
DVerb.
•
vollständig, falls alle Teilmengen von A ein Supremum
š
š besitzen und die unendliche
x P A und S „ A gilt x ^ S tx ^ y : y P S u. Ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist ein Verbandshomomorphismus, welcher Suprema von sämtlichen
Mengen erhält. Die so denierte Kategorie bezeichnen wir mit VVerb.
Ein Verband heiÿt
Distributivität erfüllt ist, d.h. für alle
•
•
Ist
A
ein vollständiger Verband, so heiÿt ein vollständiger Verbandshomomorphismus
Punkt auf A. Wir bezeichen die Menge aller Punkte auf A mit ptpAq.
ppxq
Ñ Z2 ein
regulär, falls für alle x, y P A mit x y ein Punkt p P ptpAq existiert
ppyq. Die Kategorie der regulären Verbände zusammen mit vollständigen Verbandshomo-
Ein vollständiger Verband heiÿt
mit
p: A
morphismen bezeichnen wir
RVerb.
45
Denition B.2.
•
•
Sei
A
ein Verband.
„ A heiÿt Ideal, falls
1. 0 P I .
2. Für alle a, b P I ist auch a _ b P I .
3. Für alle a P I und b ¤ a ist auch b P I .
Ein Ideal I heiÿt echt, falls I A
Ein
I
Primideal, falls für alle a, b P A aus a ^ b P I folgt, dass a P I
• Ein echtes Ideal I heiÿt maximal, falls es kein echt gröÿeres echtes Ideal J ‰ I gibt.
•
Ein echtes Ideal
•
Für
xPA
I
heiÿt
denieren wir die Menge
oder
b P I.
Óx : ty P A : y ¤ xu. Dann ist Óx ein Ideal, und wird (das von x
erzeugte) Hauptideal genannt.
• Ein x P A heiÿt Primelement, falls Óx ein Primideal ist.
š
Bemerkung B.3. š
Ist I Óx ein Hauptideal, so ist x I
š
P I . Ein Ideal I ist daher genau dann ein
P I . In diesem Fall ist I Ó p I q.
Lemma B.4. Die Bedingung a _ pb ^ cq pa _ bq ^ pa _ cq ist äquivalent zu ihrer dualen Bedingung
a ^ pb _ cq pa ^ bq _ pa ^ cq.
Beweis. Sei a _ pb ^ cq pa _ bq ^ pa _ cq für alle a, b, c P A erfüllt. Dann folgt
pa ^ bq _ pa ^ cq ppa ^ bq_aq ^ ppa ^ bq _ cq
a ^ ppa _ cq ^ pb _ cqq
wegen pa ^ bq _ a a
pa ^ pa _ cqq ^ pb _ cq
a ^ pb _ cq
wegen a ^ pa _ cq a
I
Hauptideal, falls
Die andere Richtung sieht man genauso.
Lemma B.5. Sei A ein vollständiger Verband und I „ A. Dann gilt: I ist Kern eines Verbandshomomorphismuses f : A Ñ Z2 genau dann, wenn I ein Primideal ist.
Beweis. ” ñ ” Wegen f p0q 0 und f p1q 1 folgt 0 P I und 1 R I . Weiters folgt für a, b P I und c ¤ a, dass
f paq
f pbq 0 und damit f pa _ bq f paq _ f pbq 0, also a _ b P I , sowie f pcq ¤ f paq 0, also c P I .
a, b P A mit a ^ b P I folgt 0 f pa ^ bq f paq^ f pbq. In Z2 ist das Inmum
zweier Elemente aber genau dann Null, wenn zumindest eine der beiden Null ist. Also folgt a P I oder b P I .
” ð ” Deniere f : II . Dann ist f p0q 0 und f p1q 1. Weiters ist f pa ^ bq 0 genau dann, wenn
a ^ b P I und daher genau dann, wenn a P I oder b P I . Also ist f pa ^ bq 0 genau dann, wenn f paq 0
oder f pbq 0 und daher f pa ^ bq f paq ^ f pbq. Analog sieht man auch, dass f Suprema erhält.
Lemma B.6. Sei A ein vollständiger Verband und I „ A. Dann gilt: I ist Kern eines Punktes genau dann,
Damit ist I ein echtes Ideal. Für
c
wenn I ein primes Hauptideal ist.
š
š
Beweis. ” ñ ” Nach Lemma B.5 ist I ein Primideal. Weiters folgt pp kerppqq ppkerppqq 0 und damit
š
I P I.
”ð”
Nach Lemma B.5 ist
dpdaIHauptIdealq
Damit erhält
p
I
Kern eines Verbandshomomorphismuses
ª
ppS q 0
ðñ @s P S : ppsq 0
ðñ S „ kerppq I
ª
ðñ S P I
ª
ðñ pp S q 0
p : A Ñ Z2 .
da
I ein
Nun gilt für
Hauptideal ist
sämtliche Suprema und ist daher ein vollständiger Verbandshomomorphismus.
46
S
„A
B.2
Nüchterne topologische Räume
Denition B.7.
Sei
X
ein topologischer Raum und
A
„
X.
Dann heiÿt
disjunkten, nicht leeren und in der Spurtopologie oenen Teilmengen von
Denition B.8.
Ein topologischer Raum X heiÿt
A
A
irreduzibel,
falls keine zwei
existieren.
nüchtern, falls jede nicht leere, irreduzible und abgeschlos-
sene Menge der Abschluss eines eindeutigen Elementes ist. Wir bezeichnen die Kategorie der nüchternen
topologischen Räume, zusammen mit stetigen Funktionen als Morphismen, mit
NTop.
Wir beweisen zwei kurze Lemmata über die vorangehenden Denitionen.
Lemma B.9. A „ X ist genau dann irreduzibel, falls aus
Spurtopologie folgt, dass B A oder C A.
Beweis.
A und B, C „ A abgeschlossen in der
Folgt aus der Denition über Komplementbildung.
Lemma B.10. Für einen topologischen Raum X gilt: T2
Beweis.
BYC
ùñ
:chtern
nu
ùñ
T0
In Hausdorräumen sind die nicht leeren, abgeschlossenen und irreduziblen Mengen genau die ein-
punktigen Mengen. Diese sind gleichzeitig der Abschluss ihres (eindeutigen) Elementes. Also sind Hausdorräume nüchtern.
Umgekehrt sind Abschlüsse von einpunktigen Mengen immer irreduzibel, da jede in der Spurtopologie
txu den Punkt x enthält. Daher folgt für nüchterne Räume aus x y
txu tyu, womit aber x und y durch zumindest eine oene Menge getrennt werden können. Damit
oene und nicht leere Teilmenge von
immer
erfüllen nüchterne Räume immer
C
T0 .
Die Dualität
NTop RVerb nun
Ω : NTop Ñ RVerb. Im zweiten
Wir leiten die Dualität
in drei Schritten her. Im ersten Schritt konstruieren wir einen
Schritt versehen wir für alle reguläre Verbände A die Menge
ptpAq mit einer Topologie, und zeigen, dass für reguläre Verbände A ein Verbandsisomorphismus ΦA : A Ñ
ΩptpAq existiert und für nüchterne Räume X ein Homöomorphismus ΨX : X Ñ ptΩpX q existiert. Im letzten
Schritt wird schlieÿlich der Cofunktor pt : RVerb Ñ NTop konstruiert.
Cofunktor
Der Cofunktor Ω : Top Ñ RVerb
Denition C.1.
Für einen topologischen Raum
weiterer topologischer Raum und
f :X
ÑY
X
bezeichne
ΩpX q das System der oenen Mengen. Ist Y ein
Ωpf q : f 1 : ΩpY q Ñ ΩpX q.
eine stetige Abbildung, dann sei
Proposition C.2. Sei X ein topologischer Raum. Dann ist pΩpX q, „q ein regulärer Verband. Dabei gilt:
X und U c irreduzibel ist.
2. Für alle x P X ist die Abbildung U ÞÑ IU pxq ein Punkt auf ΩpX q.
Beweis. Es ist H P ΩpX q das kleinste Element und X P ΩpX q das gröÿte Element. Weiters ist die Topologie
ΩpX q unter endlicher Schnitt- und beliebiger Vereinigungsbildung abgeschlossen. Da diese Operationen gerade die Inma bzw. Suprema denieren, folgt, dass ΩpX q ein Verband ist, welcher beliebige Suprema besitzt.
Die unendliche Distributivität folgt nun aus elementarer Mengentheorie. Also ist ΩpX q ein vollständiger
1.
Ein U P ΩpX q ist genau dann ein Primelement, falls U
Verband.
” ñ ” Ist U ein Primelement, so folgt X R Ó U , also U X . Um zu sehen, dass U c irreduzibel ist,
c
c
c
seien V, W „ U oen in der Spurtopologie, disjunkt und nicht leer. Dann ist V Ṽ X U , W W̃ X U
mit gewissen Ṽ , W̃ P ΩpX q. Nun folgt der Widerspruch: Ṽ , W̃ R ÓU aber Ṽ X W̃ P ÓU
” ð ” Wegen U X folgt X R Ó U . Seien weiters A, B P ΩpX q, A, B R Ó U aber A X B P Ó U . Es folgt
c
c
c
c
der Widerspruch A X U H B X U und A X B X U H und daher U reduzibel.
1.
47
c
P
X . Dann ist txu irreduzibel und txu X . Also ist nach dem ersten Beweisteil daher
txuc P ΩpX q ein Primelement. Nach Lemma B.6 gibt es einen Punkt p auf ΩpX q, sodass
2. Sei nun
x
kerppq Ó ptxu
q
aaaaaaaadddddddddaa
c
ðñ
ppV q 0 ô V „ txu
ðñ
ppV q 0 ô V X txu H
ðñ
ppV q 0 ô x R V
ðñ
ppV q IV pxq
Es bleibt zu zeigen, dass ΩpX q regulär ist. Seien dazu U, V P ΩpX q mit U V , und sei ohne Beschränkung
der Allgemeinheit U † V . Dann gibt es x P U zV und ppW q : IW pxq ist ein Punkt auf ΩpX q. Es folgt
ppU q 1 0 ppV q.
Proposition C.3. Seien X und Y topologische Räume und f : X Ñ Y eine stetige Abbildung. Dann ist
Ωpf q f 1 : ΩpY q Ñ ΩpX q ein vollständiger Verbandshomomorphismus.
Beweis. Es gilt f 1 pHq H und f 1 pY q X . Auÿerdem ist die Urbildbildung mit Schnitten und Vereinic
df f ddddddddaaaaaaaaaaaa
gungen verträglich, und daher erhält
f 1
sämtlich Inma und Suprema.
Damit folgt unmittelbar:
Korollar C.4.
Ω : Top Ñ RVerb
ist ein Cofunktor.
Oenbar gilt dann auch:
Korollar C.5.
Ω : NTop Ñ RVerb
Die Isomorphismen ΦA und
Denition C.6.
Sei
A
ist ein Cofunktor.
ΨX
ein vollständiger Verband und
a P A.
Dann sei
ΦA paq : tp P ptpAq | ppaq 1u.
Lemma C.7. Für einen regulären Verband A ist 4 ΦA : A Ñ PpptpAqq ein injektiver vollständiger Verbandshomomorphismus. Daher ist das Bild ΦA pAq ein regulärer Verband und ΦA : A Ñ ΦA pAq ist ein vollständiger
Verbandsisomorphismus. Insbesondere ist das System ΦA pAq tΦA paq : a P Au eine Topologie auf ptpAq.
Beweis.
pp0q 0 und pp1q 1 ist, folgt ΦA p0)=H und ΦA p1q pt”
pAq.
š
ΦA beliebige Suprema erhält, sei S „ A. Wir müssen zeigen, dass ΦA pS q ΦA p S q.
Da für alle Punkte
Um zu sehen, dass
pP
¤
ðñ Ds P S : ppsq 1
ª
ðñ tppsq : s P S u 1
ª
ðñ pp S q 1
ª
ðñ p P ΦA p S q
Um zu sehen, dass ΦA endliche Inma erhält seien x, y P A. Dann gilt
p P ΦA pxq X ΦA py q ðñ p P ΦA pxq und p P ΦA py q
ðñ ppxq ppyq 1
ðñ ppx ^ yq 1
ðñ p P ΦA px ^ yq
4P
ΦA pS q
bezeichnet hier die Potenzmenge.
48
ΦA ein vollständiger Verbandshomomorphismus. Um zu sehen, dass ΦA injektiv ist, seien x, y P A
y. Da A regulär ist, gibt es einen Punkt p auf A mit ppxq ppyq, also sei ohne Beschränkung der
Allgemeinheit ppxq 0 und ppy q 1. Damit folgt p P ΦA py q und p R ΦA pxq, also ΦA pxq ΦA py q .
Das System ΦA pAq ist als Bild eines vollständigen Verbandshomomorphismuses unter beliebigen Suprema
und endlichen Inma abgeschlossen, also für sich ein vollständiger Verband. Oensichtlich ist nun ΦA : A Ñ
ΦA pAq bijektiv und daher ein vollständiger Verbandsisomorphismus. Insbesondere ist A ΦA pAq, und da A
regulär ist, ist auch ΦA pAq regulär.
Die letzte Aussage folgt einfach über die Tatsache, dass in PpptpAqq Suprema bzw. Inma über VereiniAlso ist
mit
x
gungen bzw. Schnitte gegeben sind.
Ab nun sei
ptpAq
Denition C.8.
Sei
immer mit der Topologie
X
ΦA pAq
versehen.
ein topologischer Raum. Dann sei
ΨX : X
Ñ ptpΩpX qq, ΨX pxqpU q IU pxq.
Satz C.9. Sei X ein topologischer Raum. Dann ist ΨX genau dann bijektiv, wenn X nüchtern ist. In diesem
Fall ist ΨX ein Homöomorphismus und es gilt ΨX pU q ΦΩpX q pU q für alle U P ΩpX q.
ist injektiv genau dann, wenn es für alle x, y P X mit x y eine oene Menge U gibt, sodass
U genau einen der beiden Punkte x oder y enthählt. Dies ist genau dann der Fall, wenn aus x y immer
txu tyu folgt.
ΨX ist surjektiv genau dann, wenn aus p P ptΩpX q folgt p P ΨX pX q. Nun gilt ptΩpX q tIÓU :
U P ΩpX q, U ist Primelementu sowie ΨX pX q tU ÞÑ IU pxq : x P X u tIÓtxuc : x P X u. Also gilt
Beweis. ΨX
ptΩpX q ΨX pX q genau dann, wenn alle Primelemente von ΩpX q von der Form txu
c
für ein
xPX
sind. Mit
Lemma C.2 ist dies äquivalent dazu, dass alle irreduziblen, abgeschlossenen und nichtleeren Mengen von der
Form
txu sind.
Insgesamt gilt daher:
ΨX
ist bijektiv genau dann, wenn alle irreduziblen, abgeschlossenen und nicht leeren
txu für genau ein x P X sind, also genau dann, wenn X nüchtern ist.
Nach Satz C.2 ist ΩpX q regulär, und damit ΦΩpX q : ΩpX q Ñ ΩptΩpX q bijektiv. Also sind alle oenen
Mengen von ptΩpX q von der Form ΦΩpX q pU q für genau ein U P ΩpX q. Es folgt
Mengen von der Form
1
1
Ψ
X pΦΩpX q pU qq ΨX ptp P ptΩpX q : ppU q 1uq
tx P X
tx P X
U
Insbesondere induziert die bijektive Abbildung
ΩptΩpX q
ΨX
: ΨX pxqpU q 1u
: x P Uu
auch eine Bijektion zwischen den Topologien
ΩpX q
und
und ist daher ein Homöomorphismus.
Der Cofunktor pt
Proposition C.10. Sei A ein regulärer Verband. Dann ist ptpAq nüchtern.
Beweis.
Nach Korollar C.9 reicht es zu zeigen, dass
Um die Surjektivität zu sehen sei
p P ptΩptpAq.
ΨptpAq
bijektiv ist.
Dann ist
ª
kerppq Ó p
š
kerppq „ ΩptpAq
ein Hauptideal und daher
kerppqq.
š
kerppq P ΩptpAq und A regulär ist, gibt es genau
kerppq ΦA paq. Als Kern eines
š ein a P A, sodass
Punktes ist ker ppq auch ein Primideal, und damit
kerppq P ΩptpAq ein š
Primelement, und, da ΦA : A Ñ
1
ΩptpAq ein vollständiger Verbandsisomorphismus
š ist, ist auch a ΦA p kerppqq ein Primelement. Also
existiert (genau) ein Punkt q P ptpAq, sodass
kerpq q Óa .
Da
49
Es bleibt zu zeigen, dass
ΨptpAq pq q p.
dddddddddddddddddd ΨptpAq pq q p
Es ist
s
š
Es gilt:
ðñ
ðñ
ðñ
ðñ
ª
kerpΨptpAq pq qq kerppq
kerpΨptpAq pq qq pkerppqq
tqu ΦA paq
c
1
s : ΦA ptq u q a
c
tb P A : ΦA pbq „ tquc u und
ΦA pbq „ tq u
c
und daher
s
š
tb P A : b ¤ au a.
Um die Injektivität zu zeigen, seien
Allgemeinheit ein
a P A,
p, q
ffffffffffffffffffff
ª
ðñ
ðñ
ðñ
ðñ
P ptpAq
mit
R ΦA pbq
q pbq 0
b P kerpq q
b¤a
q
p
q.
Dann existiert ohne Beschränkung der
sodass:
ddddddddddddddddddd
ppaq 0
ùñ p R Φpaq
ùñ Φpaq „ tpuc
ùñ tpuc tquc
ùñ Ψppq Ψpqq
und
und
und
q paq 1
P Φpaq
c
Φpaq † tq u
dddddddddddddddddddddddd
q
Proposition C.11. Seien X und Y nüchterne topologische Räume und f : ΩpY q Ñ ΩpX q eine Abbildung. Dann existiert genau dann eine stetige Funktion g : X Ñ Y mit g1 f , falls f ein vollständiger
Verbandshomomorphismus ist. In diesem Fall ist g eindeutig.
Beweis. ” ñ ” Es wurde bereits gezeigt, dass g1 ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist.
1
” ð ” Sei g : X Ñ Y , g pxq : Ψ
Y pΨX pxq f q und sei U P ΩpY q. Dann folgt
g 1 pU q tx P X : Ψ1 pΨX pxq f q P U u
Y
tx P X : ΨX pxq f P ΨY pU qu
tx P X : ΨX pxq f P ΦΩpY q pU qu
tx P X : ΨX pxq f pU q 1u
tx P X : If pU q pxq 1u
tx P X : x P f pU qu
f pU q
Also hat
g
die gewünschten Eigenschaften.
Um die Eindeutigkeit zu sehen, seien
sei
x P X.
Dann folgt
g, h stetig, sodass g 1 pU q h1 pU q f pU q für alle U
P ΩpY q, und
x P g 1 ptg pxquq h1 ptg pxquq
ùñ hpxq P tgpxqu
ùñ thpxqu „ tgpxqu
Analog folgt auch tg pxqu „ thpxqu und insgesamt thpxqu tg pxqu. Aus der Nüchternheit von Y
hpxq g pxq.
50
folgt daraus
A sei wie gehabt ptpAq der nüchterne topologische Raum der
f : A Ñ B ein vollständiger Verbandshomomorphismus,
1
dann ist ΦB f ΦA : ΩptpAq Ñ ΩptpB q ebenfalls ein vollständiger Verbandshomomorphismus und ptpf q :
1
ptpB q Ñ ptpAq sei die eindeutige stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass pptpf qq1 ΦB f Φ
A .
Denition C.12.
Punkte. Ist
B
Für einen regulären Verband
ein weiterer regulärer Verband und
Dann folgt
Korollar C.13.
pt : RVerb Ñ NTop
ist ein Cofunktor.
Die Dualität
Satz C.14. Die Cofunktoren Ω und pt begründen eine Dualität zwischen der Kategorie der nüchternen
topologischen Räume NTop und der Kategorie der regulären Verbänden RVerb. Dabei gilt:
1.
2.
Für alle regulären Verbände A ist ΦA : A Ñ ΩptpAq ein vollständiger Verbandsisomorphismus. Er hat
die bei einer Dualität geforderte Kommutativitätseigenschaft Ωptpf q ΦA ΦB f für alle vollständigen
Verbandshomomorphismus f : A Ñ B .
Für alle nüchternen topologischen Räume X ist ΨX : X Ñ ptΩpX q ein Homöomorphismus. Er hat
die bei einer Dualität geforderte Kommutativitätseigenschaft ptΩpgq ΨX ΨY g für alle stetigen
Funktionen g : X Ñ Y .
Beweis.
1. Dass
ΦA
ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist, wurde bereits bewiesen. Die Kommu-
tativitätseigenschaft folgt sofort aus der Denition.
2. Dass
ΨX
ein Homöomorphismus ist, wurde ebenfalls schon bewiesen. Um die Kommutativitätseigen-
schaft zu beweisen, reicht es nach Lemma A.8 zu zeigen, dass
Ωp Ψ X q
Satz C.9.
ΦΩp1X q . Dies folgt aber sofort aus
X und Y nüchterne
f : ΩpY q Ñ ΩpX q
Bijektivität von Ω auf den
Es bleibt die Bijektivität der Cofunktoren auf den Morphismen zu zeigen. Sind
topologische Räume, dann gibt es für jeden vollständigen Verbandshomomorphismus
genau eine stetige Funktion
g : X
Ñ
Y
mit
Ωpg q
Morphismen.
g 1
f.
Es folgt die
pt auf den Morphismen folgt durch folgende Überlegung: Die Morphismen in M orpA, B q
M orpΩptpAq, ΩptpB qq über die Abbildung χpf q 1
ΦB f Φ
.
Nun
gilt
nach
Denition
C.12
Ωpt
p
f
q
χ
p
f
q. Da nun χ : M orpA, B q Ñ M orpΩptpAq, ΩptpB qq
A
bijektiv, und Ω : M or pptpB q, ptpAqq Ñ M or pΩptpAq, ΩptpB qq bijektiv, folgt auch die Bijektivität von
pt : M orpA, B q Ñ M orpptpB q, ptpAqq.
Die Bijektivität von
stehen in bijektiver Beziehung zu den Morphismen in
51
D
Übersicht der Kategorien
Zeichen
Verb
VVerb
RVerb
KohVerb
DVerb
Heyt
Bool
CloAlg
CloAlg*
NTop
KohTop
Stone
PStone
QPries
Pries
QEsa
Esa
PEsa
KohEsa
E
Objekte
Morphismen
Verbände
Verbandshomomorphismen
vollständige Verbände
vollständige Verbandshomomorphismen
reguläre Verbände
vollständige Verbandshomomorphismen
kohärente Verbände
kohärente Verbandshomomorphismen
distributive Verbände
Verbandshomomorphismen
Heyting Algebren
Verbandshomomorphismen
boolsche Algebren
Verbandshomomorphismen
closure Algebren
closure Algebren Homomorphismen
A P Obj pCloAlg q : ΥpAq P Obj pEsaq
closure Algebren Homomorphismen
nüchterne Topologien
stetige Abbildungen
kohärente Topologien
kohärente Abbildungen
Stone Spaces
stetige Abbildungen
pairwise Stone Space
bistetige Abbildungen
quasi Priestley Spaces
stetige, ordnungserhaltende Abbildungen
Priestley Spaces
stetige, ordnungserhaltende Abbildungen
quasi Esakia Spaces
Esakia Homomorphismen
Esakia Spaces
Esakia Homomorphismen
pairwise Esakia Spaces
pairwise Esakia Homomorphismen
kohärente Esakia Spaces
kohärente Esakia Homomorphismen
Übersicht der Äquivalenzen und Dualitäten
QEsa
…
Esa
CloAlg … CloAlg
DVerb …
Heyt
… Bool
RVerb … KohVerb
NTop … KohTop … KohEsa … Stone
PStone …
PEsa
Pries
…
Esa
52
Literatur
[1] GURAM BEZHANISHVILI, NICK BEZHANISHVILI, DAVID GABELAIA, and ALEXANDER KURZ.
Bitopological duality for distributive lattices and heyting algebras.
Science, 20(03):359393, 2010.
[2] Leo Esakia. Topological kripke models.
[3] Peter Johnstone.
Stone Spaces.
[4] Saunders Mac Lane.
Mathematical Structures in Computer
Soviet Math. Dokl., 15:147151, 1974.
Cambridge University Press, 1982.
Categories for the Working Mathematician.
Springer-Verlag, 1971.
[5] Hillary Priestley. Representation of distributive lattices by means of ordered stone spaces.
Math. Soc., 2:186190, 1970.
53
Bull. London