Das magnetische Feld

Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik für Maschinenbauingenieure
Praktikumsanleitung
Versuch Nr. 3
Das magnetische Feld
Ort: Arbeitsbereich Optische Kommunikationstechnik (2-03),
Denickestrasse 15, Raum 2555.
Organisation: Dr.-Ing. Hagen Renner, Tel. -3342.
Stand der Versuchsunterlagen: 09. Juni 2005.
Optische Kommunikationstechnik
Optical Communication Technology
1
Magnetische und elektrische Feldgrößen
~ im Vakuum beschreibt die magnetische Induktion oder Flussdichte
Analog zur elektrischen Feldstärke E
~
B das magnetische Feld, dass von einer Leiteranordnung im Vakuum hervorgerufen wird. Die Einheit der
Vs
−4 T ). Der magnetische Feldbeitrag
magnetischen Induktion ist 1T(esla) = m
2 (früher auch 1G(auß) = 10
~ beschrieben (analog zur Polarisation P~ im elektrischen Feld).
der Materie wird über die Magnetisierung M
~ beschreibt die Überlagerung des Vakuum-Feldes mit dem Feldbeitrag der
Die magnetische Feldstärke H
~ = 1B
~ −M
~ . Die Einheit von magnetischem Feld und MagnetisieMaterie gemäß der Materialgleichung H
µ
A
rung ist 1 m
. Die Permeabilitätskonstante µ ist das Produkt aus relativer Permeabilität µr des Mediums und
Vs
−6 V s .
Permeabilität des Vakuums µ0 = 4π10−7 Am
2 = 1.2566 · 10
Am2
Das Erdmagnetfeld beträgt auf der Erdoberfläche gemessen etwa 50µT . Die Remanzinduktion von
kommerziell erhältlichen Permanentmagneten kann etwa 1.5T betragen. Durch Elektromagnete (Spulen)
lassen sich stabile Felder von bis zu einigen zehn Tesla erzeugen (Beispiel Magnetresonanz-Tomographie
(Kernspin-Tomographie): etwa 3T). Deutlich höhere Felder lassen sich nur für extrem kurze Zeiträume erzeugen. Beispielsweise lassen sich durch die schlagartige Entladung von mehreren Kondensatoren, die auf
eine Spannung von einigen zehntausend Volt aufgeladen wurden, über eine einzelne Spulenwicklung Spulenströme von einer Million Ampère erreichen, die ein Magnetfeld im Bereich von 100T erzeugen. Die
dadurch entstehenden Kräfte führen jedoch zu einer sofortigen Zerstörung der Spule.
2 Materie im Magnetfeld
In Materie kann der Ansatz
~ = µH
~ = µr µ0 H
~
B
(1)
begrenzt angewendet werden. Um die Permeabilität als skalare Konstante betrachten zu können, muss das
Material homogen und isotrop sein und lineares Verhalten aufweisen. Man unterteilt Materialien nach ihrem
Verhalten in verschiedene Kategorien.
2.1
Stoffe mit diamagnetischem Verhalten (µr < 1)
Diamagnetismus ist weitgehend temperaturunabhängig und grundsätzlich bei jeder Materie vorhanden. Bei
Anlegen eines Magnetfeldes an einen Diamagneten werden nach der Lenz’schen Regel mikroskopische
oder auch makroskopische Kreisströme so induziert, dass das angelegte Feld abgeschwächt wird. In inhomogenen Magnetfeldern werden Diamagnete in Richtung abnehmender Feldstärke getrieben (z.B.: Cu, Au,
H2 O). Supraleiter 1. Art sind unterhalb einer material- und temperaturabhängigen Grenzfeldstärke ideale
Diamagnete (µr = 0).
2.2
Stoffe mit paramagnetischem Verhalten (µr > 1)
Bei Elementen mit nicht abgeschlossenen Schalen besitzen die Atome auch ohne äußeres Feld ein resultierendes magnetisches Moment. Die Atome können als Elementarmagnete aufgefasst werden, deren Richtung im Raum statistisch verteilt sind. Durch Anlegen eines äußeren Feldes werden die Elementarmagnete
gegen die unordnende Wirkung der Temperatur teilweise ausgerichtet. Paramagnetische Stoffe werden in
inhomogenen Feldern in Richtung wachsender Feldstärke gezogen (z.B.: Fe, Co, Ni, Pd, Pt und Verbindungen/Legierungen, die diese Elemente enthalten (oberhalb der jeweiligen Curie-Temperatur)).
2
2.3
Ferromagnetische Stoffe (µr À 1)
Bei einigen Elementen und Verbindungen tritt eine starke Wechselwirkung unter den Elementarmagneten
auf, wodurch es zu einer spontanen Ausrichtung dieser Magnete selbst ohne äußeres Feld kommen kann.
Die Ausrichtung ist auf kleine Bereiche (Weiß’sche Bezirke) beschränkt, deren Orientierung ohne äußeres
Feld regellos ist, so dass der Festkörper als Ganzes unmagnetisch erscheint. Bei Anlegen eines äußeren
Feldes verändern sich die Orientierungen und/oder die Ausdehnung der Weiß’schen Bezirke. Ab einer gewissen Stärke des äußeren Feldes verlaufen die Prozesse irreversibel, d.h. auch nach Abschalten des Feldes
bleibt eine Magnetisierung des Materials erhalten (Remanenzinduktion), die erst durch ein Gegenfeld wieder aufgehoben wird. Es tritt eine Hysterese auf (Abb. 1a) (z.B.: Fe, Co, Ni, SmCo5 , Nd2 Fe14 B (unterhalb
der jeweiligen Curie-Temperatur)).
a)
B
b)
hartmagnetisch
BS
BR
HC
B
Neukurve
H
H
weichmagnetisch
Abbildung 1: a) Hysteresekurve mit Sättigungsinduktion BS , Remanenzinduktion BR ,
Koerzitivfeldstärke HC und Neukurve, b) Hysteresekurven für hart- oder weichmagnetische Stoffe
Je nach Öffnung der Hysteresekurve spricht man von hart- und weichmagnetischen Stoffen (Abb. 1b).
Sind alle Elementarmagnete ausgerichtet, kann die Magnetisierung nicht weiter zunehmen (Sättigungsmagnetisierung). Oberhalb der sogenannten Curie-Temperatur gibt es aufgrund der Temperaturenergie keine
spontane Ausrichtung, der Stoff verhält sich paramagnetisch. Für Ferromagnetika geht die Materialgleichung (1) über in
~ = µ0 H
~ +M
~,
B
~ (auch magnetische Polarisation) von der Feldstärke H
~ und von der Vorgewobei die Magnetisierung M
schichte abhängt.
2.4
Antiferromagnetische Stoffe
Unterhalb der Curie-Temperatur sind jeweils benachbarte elementare magnetische Dipole entgegengesetzt
ausgerichtet, so dass sie sich über das gesamte Kristallgitter vollständig kompensieren (z.B.: Cr, Mn (unterhalb der jeweiligen Curie-Temperatur)).
2.5
Ferrimagnetische Stoffe
Nur eine Klasse von Stoffen weist ferrimagnetisches Verhalten auf: Die Ferrite. Die Kristallstruktur besteht
hier aus zwei verschachtelten Untergittern mit unterschiedlich vielen Gitterplätzen. Sind jeweils alle Elementardipole eines Gitters parallel ausgerichtet, die beider Gitter zueinander jedoch antiparallel, so kommt
3
es zu einer unvollständigen Kompensation und es bleibt eine resultierende Magnetisierung (z.B.: Fe3 O4
(unterhalb der Curie-Temperatur)).
3 Kraftwirkung magnetischer Felder
Die magnetische Induktion ist mit einer Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter verknüpft. Steht
das Magnetfeld senkrecht auf einem Leiter der Länge l, so ist die gesamte Kraft betragsmäßig F = I · l ·
~ und senkrecht zur Leiterachse ~l gerichtet ist. Für einen beliebigen Winkel α
B, wobei F~ senkrecht zu B
~
~
zwischen l und B gilt
h
i
~ ,
F~ = I ~l × B
(2)
¯ ¯
¯~¯
¯F ¯ = I · l · B sin α.
Die Kraft auf ein infinitesimal kurzes Leiterstück beträgt demnach
h
i
~ .
dF~ = I d~s × B
Im betrachteten Leiterstück (Abb. 2) befindet sich die Ladung dQ, die sich mit der Geschwindigkeit v in
Richtung d~s bewegt
Id~s = dQ~v ,
so dass auf die infinitesimale Ladung dQ die Kraft
h
i
~
dF~ = dQ ~v × B
~
wirkt. Ein Elektron oder Ion mit der Ladung q und der Geschwindigkeit ~v ruft in Gegenwart eines Feldes B
die sogenannte Lorentzkraft
h
i
~
F = q ~v × B
hervor. Sie steht grundsätzlich senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor, so dass durch das Magnetfeld
keine Energie auf die Ladungsträger übertragen wird. Die Kraft auf bewegte Ladungsträger kann mit der
speziellen Relativitätstheorie aus der Coulombkraft auf ruhende Ladungen hergeleitet werden.
B
I
dF
ds
Abbildung 2: Infinitesimales Leitersegment
Da ein stromdurchflossener Leiter selbst ein kreisförmiges Magnetfeld erzeugt (Eigenfeld), das sich mit
dem vorhandenen Feld (Fremdfeld) überlagert, resultiert auf einer Seite des Leiters eine Feldverstärkung, auf
der anderen Seite eine Abschwächung des Feldes. Der Leiter erfährt eine Kraft zur Seite des schwächeren
Magnetfeldes (Abb. 3).
4
Fremdfeld
Eigenfeld
I=0
+
=
B1
B2(I)
F
B= B1+ B2(I)
Abbildung 3: Überlagerung des eines Leiterfeldes mit einem Fremdfeld.
3.1
Halleffekt
Die Ablenkung von Ladungsträgern im Magnetfeld ist die Ursache des sogenannten Halleffektes. Mit
dem Halleffekt können Magnetfelder gemessen oder bei bekanntem Magnetfeld Materialeigenschaften wie
Ladungsträgerdichte und -beweglichkeit bestimmt werden. Für den Fall des dotierten Halbleiters in der
Störstellenerschöpfung kann der Halleffekt näherungsweise aus dem Drude-Modell berechnet werden.
B
-
-
-
-
-
EH
d
+
+
+
-
+
+
I
b
+
UH
Abbildung 4: Hallsonde.
In der in Abbildung 4 dargestellten Anordnung werden Elektronen vom B-Feld zur hinteren Probenseite abgelenkt, bis auf Grund der Ladungstrennung eine Coulombcraft FC entstanden ist, die betragsmäßig
ebensogroß ist wie die Lorentzkraft FL :
FL = FC ,
evB = eEH =
Mit der Elektronendichte n folgt für die Stromdichte j =
UH = −
I
bd
eUH
.
b
= −nev und damit für die Hallspannung
IB
= RH B.
ned
Diese Formel darf nur als einfachste Näherung betrachtet werden. Es bleibt z.B. unberücksichtigt, dass die
Elektronen aufgrund der Fermiverteilung jeweils unterschiedliche Geschwindigkeiten besitzen. Aus dem
Vorzeichen der Hallspannung kann auf den vorherrschenden Ladungsträgertyp geschlossen werden. Die
Proportionalität UH ∼ B erlaubt bei Verwendung einer geeichten Hallsonde die Bestimmung unbekannter
Magnetfelder. Die Proportionalitätskonstante RH wird Hallkonstante genannt. Die folgende Tabelle zeigt
die Hallkonstanten verschiedener Metalle und Halbleiter bei Zimmertemperatur:
5
Material
Ag
Al
Au
Cu
Bi
Si∗
RH [10−10 m3 /C]
-0.846
-0.34
-0.697
-0.5
-13500
-6.25·1 06
(∗ dotiert mit 1016 Phosphor-Atomen pro cm3 )
4 Induktionsgesetz
r
~
Wenn ein Leiter mit der Geschwindigkeit ~v = d~
dt durch ein Magnetfeld B bewegt wird, erfahren die Elektronen eine Lorentzkraft und werden in Stabrichtung beschleunigt. Es baut sich eine Raumladung und damit
~ i auf, bis die Lorentzkraft durch die Coulombkraft kompensiert wird:
die Feldstärke E
F~C = F~L
h
i
~ i = Q ~v × B
~
QE
P2
F
B
a
ds
P1
v
Abbildung 5: Durch Induktion ausgeübte Kraft auf Ladungsträger in einem Leiter
P
R2
~ i = ~v × B
~ ist die induzierte elektrische Feldstärke und Ui = E
~ i d~s die induzierte Spannung. Für
E
P1
h
i
h
i
d ~ ~
d~
r
d~
r ~
~
~
~ die in der Zeit dt
den Integranden gilt Ei d~s = dt × B d~s = d~s × dt B = dt BdA. Die Fläche dA,
~ A
~ = dφ ist der Fluss, der vom Leiterelement
vom Leiterelement d~s überstrichen wird, ist [d~s × d~r] und Bd
geschnitten wird. Das Experiment zeigt, dass für die induzierte Spannung nur die Flussänderung maßgebend
ist. Diese kann durch Bewegung einer Leiterschleife oder durch Änderung des Flusses selbst entstehen:
Ui
Ui
Z ~
I h
i
dφ
dB ~
~ d~l
= −
=−
dA +
~v × B
dt
dt
A
C
I
Z
d
~ i d~s = −
~ A
~
=
E
Bd
dt
A
6
5
Maxwell-Gleichungen
Für ruhende Medien lassen sich die Maxwell-Gleichungen wie folgt angeben:
´
H
R ³ dD
~
~
~ dA
~
~ = dD
~
~ ~l =
I)
Hd
+
M
⇔
rot H
dt
dt + M (Durchflutungsgesetz)
C
A
H
R
~ ~l = d Bd
~ A
~
~ = − dB~
II)
Ed
⇔
rot E
(Induktionsgesetz)
dt
dt
C
(3)
A
~ = 0, die aus der Quellenfreiheit des magnetischen Feldes resultiert und den
mit der Nebenbedingung div B
Materialgleichungen
~ = εE
~ + P~ ,
D
~ = 1B
~ −M
~.
H
µ
Sofern homogene und isotrope Medien betrachtet werden, können ε und µ als skalare Konstanten betrachtet
werden.
6 Vorbereitungsaufgaben
1. Skizzieren Sie die Feldlinienverläufe
a) eines Permanentmagneten (Stab, Hufeisen)
und
)
b) zwischen den Polen von zwei Stabmagneten (
c) zwischen zwei Stabmagneten mit Weicheisenring
in
der
Mitte
(
)
J
d)
um
einen
stromdurchflossenen
Leiter
(
) und um zwei parallele stromdurchflossene Leiter
J J N N
J N
(
,
und
). Zeichnen Sie die Kraftrichtungen!
e) bei Überlagerung eines homogenen Feldes mit dem Feld eines senkrecht dazu stehenden stromdurchflossenen Leiters. In welche Richtung zeigt die Kraft?
J J J J
f) für das Feld einer Spule durch Überlagerung der Felder einzelner Leiter N N N N
2. a) Welches magnetische Feld entsteht im Außenraum eines Koaxialkabels, bei dem der Innenleiter
den Strom I und der Außenleiter den Strom -I führt? Warum?
b) Warum werden manche Stromzuführungen verdrillt verlegt?
3. Warum orientieren sich Eisenfeilspäne im Magnetfeld? Wo liegt der Unterschied zum Orientierungsvorgang einer Kompassnadel?
0I
4. Leiten Sie die Gleichung B = µ2πr
für das Feld um einen stromdurchflossenen Leiter aus der integralen Form des Durchflutungsgesetzes (Gl. 3I) ab. Gehen Sie dazu von von der Abwesenheit eines
~ = 0, bzw. D
~ = 0) und einer über dem Leiterquerschnitt A konstanten Stromelektrischen Feldes (E
~ aus.
flussdichte M
5. Kombinieren Sie das Ergebnis aus der vorigen Teilaufgabe mit Gl. 2 um zu einer Formel zu gelangen,
die die Kraft pro Meter Leiterlänge zwischen zwei parallelen stromdurchflossenen Leitern im Abstand
r beschreibt.
7
6. Wie groß ist die Kraft pro Meter Leiterlänge zwischen zwei parallelen Linienleitern, die im Abstand
von
a)
1 m von je 10 A
b)
10 cm von je 10 kA
durchflossen werden?
7. Halleffekt
a) Erklären Sie Prinzip und Wirkung einer Hallsonde!
b) In welche Richtung werden Elektronen, bzw. Defektelektronen abgelenkt?
c) Warum muss die Länge der Hallsonde deutlich größer als die Breite der Sonde sein?
d) Schätzen Sie die Hallspannung eines Leiters mit quadratischer Querschnittsfläche (1 mm x 1 mm)
in einem Magnetfeld von 0.1 T und einem Strom I von 1 mA für jeweils einen Halbleiter und ein
Metall Ihrer Wahl ab. Sind Metalle oder Halbleiter besser geeignet für den Einsatz in Hallsonden?
8. Ist die datenspeichernde Schicht von Disketten, Videokassetten und Magnetstreifenkarten hart- oder
weichmagnetisch?
9. Leiten Sie aus dem integralen Induktionsgesetz (Gl. 3II) eine Gleichung mit den Größen Spannung
ui und magnetischem Fluss φ ab.
10. Der bei einer Flussänderung induzierte Spannungsstoß ist ein Maß für die Änderung der magnetischen Induktion. Wird z.B. eine Spule aus dem Luftspalt eines Magnetkreises in den feldfreien Raum
gebracht, so kann man damit die magnetische Induktion im Luftspalt messen.
a) Welcher Zusammenhang besteht dabei zwischen der Höhe des Spannungsstoßes und der Spulendimensionierung (Fläche, Windungszahl)?
b) Wie sieht der Spannungsstoß in der Spule aus, wenn die Spule von einem feldfreien Punkt A
durch den Luftspalt zu einem gegenüberliegenden feldfreien Punkt B bewegt wird? Skizzieren Sie
den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung und des magnetischen Flusses durch die Spule, unter
der Annahme, dass der Luftspaltdurchmeser etwa den doppelten Spulendurchmesser beträgt.
c) Wie ist der zeitliche Verlauf von magnetischem Fluss und induzierter Spannung, wenn die Spule im Luftspalt um eine Achse gedreht wird, die in der Spulenebene liegt ? Skizzieren Sie den Verlauf
beider Größen.
11. Wie groß ist das Erdmagnetfeld?
Magnetfelder welcher Stärke können im Labor erzeugt werden?
8
7
Versuchsanleitung
Achtung:
Vor Einschalten der Netzgeräte sind die Spannungen auf Null zu stellen und nach dem Einschalten langsam zu erhöhen, bis der gewünschte Strom erreicht ist. Vor Abschalten oder Entfernen von Kabeln sind die
Spannungen ebenso langsam wieder auf Null zu stellen. Auf keinen Fall eine Spule unter Last vom Netzgerät trennen! (Warum?)
Bei Verwendung der Multimeter zur Spannungs- und Strommessung ist vor Einschalten der Quellen
unbedingt auf eine korrekte Verwendung der Multimeter-Eingänge zu achten! (Welchen Innenwiderstand
hat ein ideales Strom- bzw. ein Spannungsmessgerät?)
Zum Aufnehmen der Ströme in Spule und Leiterschleife sind Multimeter als Strommesser einzusetzen.
Zum Aufnehmen der Induktion mit der Hallsonde und zum Auswerten der aufintegrierten induzierten Spannung sind Multimeter als Spannungsmesser einzusetzen.
Alle Messreihen sind zu protokollieren und graphisch aufzutragen.
7.1
Magnetfeldmessung
1. Bestimmen Sie qualitativ mit einer Hallsonde die magnetische Induktion zwischen den Schenkeln
eines Hufeisenmagneten und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Skizze aus 6.1.a.
2. Bestimmen Sie mit der Hallsonde im Luftspalt des aus Spule, Schenkeln und Polschuhen bestehenden magnetischen Kreises (Elektromagneten) die Hysteresekurve für das Eisenkernmaterial, also die
magnetische Induktion als Funktion des magnetischen Feldes, das proportional zum Spulenstrom ist.
Tragen Sie die gemessene Induktion über dem Strom auf, wobei Sie den Strom in Schritten von
höchstens 0.5A von 2.5A auf -2.5A reduzieren und danach wieder bis auf 2.5A erhöhen.
7.2
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
Überprüfen Sie die Homogenität des Feldes über der Querschnittsfläche der Polschuhe und in der Umgebung
des Luftspaltes. Skizzieren Sie hierzu grob die magnetische Induktion B als Funktion des Abstandes vom
Mittelpunkt der Polschuh-Querschnittsfläche.
Bringen Sie die am Aufbau befestigte Leiterschleife in den Luftspalt des Elektromagneten und stellen
Sie einen Spulenstrom von etwa 2.5A ein.
Bestimmen Sie anschließend die ablenkende Kraft als Funktion des Stromes durch die Leiterschleife
im Bereich -5A bis 5A und stellen Sie diese graphisch dar. Zur Vermeidung eines systematischen Fehlers
ist der Leiter durch Heben und Senken des Kraftmessers in der Mitte der Polschuh-Querschnittsfläche zu
halten (Warum?)
Nehmen Sie an, das magnetische Feld sei zwischen den Polschuhen homogen und Null außerhalb. Bestimmen Sie den Polschuhdurchmesser aus den aufgenommenen Messdaten und vergleichen Sie diesen mit
dem tatsächlichen Durchmesser. Diskutieren Sie das Ergebnis.
7.3
Bewegungsinduktion
Schließen Sie die kleine Probespule an die Integratorschaltung an und bringen Sie sie vollständig in den
Luftspalt des Elektromagneten. Aktivieren Sie den Integrator und bringen Sie die Spule in den feldfrei9
en Raum. Der aufintegrierten Spannungsstoß (vgl. 6.10) kann mit einem Multimeter als Spannungsmesser am Ausgang der Integratorschaltung abgelesen werden, wobei der eingestellte Verstärkungsfaktor zu
berücksichtigen ist. Bestimmen Sie die Windungszahl der Probespule anhand der Spulenfläche und dem
aufgenommenen Spannungsstoß. Wiederholen Sie das Experiment mehrfach und verwenden Sie den Mittelwert der aufgenommenen Spannungsstöße. Achtung: Der Betrag des aufintegrierten Spannungsstoßes ist
prinzipiell unabhängig von der Geschwindigkeit, mit der die Spule bewegt wird. Sollte sich eine Geschwindigkeitsabhängigkeit beobachten lassen, ist der Verstärkungsfaktor vermutlich zu groß gewählt, so dass es
zu einem Sättigungseffekt kommt und ein verfälschter Wert aufgenommen wird.
7.4
Homogenität des Magnetfeldes im Inneren einer Spule
Die magnetische Induktion im Inneren einer Spule ist mit Hilfe einer Hallsonde aufzunehmen. Verwenden
Sie hierzu die auf einem Wagen montierte Hallsonde, um Messwerte im Abstand von 10mm aufzunehmen,
wobei die Messung deutlich außerhalb der Spule beginnen und ebenfalls deutlich außerhalb der Spule enden
soll (nutzen Sie den vollen Verschiebebereich des Wagens). Der Strom in der Spule soll dabei 5A betragen.
Diskutieren Sie das Ergebnis anhand der graphischen Darstellung der Messwerte.
Literatur
[1] E. Philippow, “Grundlagen der Elektrotechnik”, 10. Auflage (Verlag Technik, Berlin 2000).
[2] W. Ameling, “Grundlagen der Elektrotechnik I/II”, 4. Auflage (Vieweg, Braunschweig 1988).
[3] R. Paul, “Elektrotechnik Bd. 1, Bd. 2”, 3. Auflage (Springer, Berlin 1993/1994).
[4] K. Lunze, “Einführung in die Elektrotechnik”, 13. Auflage (Verlag Technik, Berlin 1991).
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