Einführung in die Logik

2.2 Logische Gesetze
auch, was für Sätze logisch wahr sein sollen. Technisch gesehen besteht
zwar zwischen einem Schluss und einem Satz selbst dann ein deutlicher
Unterschied, wenn der Satz „Wenn...dann“-Form hat. Es gibt aber zur
Gültigkeit bei Schlüssen ein Gegenstück auf der Ebene der Sätze: die logische Wahrheit.
Logische Wahrheit
Definition „logisch wahr“: Ein Satz ist genau dann logisch wahr, wenn
jede Ersetzung der Inhaltswörter in ihm wieder einen wahren Satz ergibt,
solange man nur die Strukturwörter so lässt, wie sie sind.
Ein Beispiel für einen logisch wahren Satz entsteht, indem man beim
Schluss Nr.2 die Prämissen durch „und“ aneinander koppelt und mit
„Wenn... dann“ mit der Konklusion verbindet (so erzeugt man übrigens
aus jedem gültigen Schluss leicht einen logisch wahren Satz):
„Wenn alle Bären pelzig sind und Ned ein Bär ist, dann ist Ned pelzig.“
Es könnte aber auch noch logisch wahre Sätze von ganz anderer Form
geben. Darauf bereitet der nächste Abschnitt vor.
Übung: Ist der folgende Schluss a) gültig; b) beweiskräftig; c) weder gültig noch
beweiskräftig? „Männer sind grundsätzlich weit weniger intelligent als Frauen;
wenn Männer grundsätzlich weit weniger intelligent sind als Frauen, dann sollten
sie auch weniger Rechte haben als Frauen; also sollten Männer weniger Rechte
haben als Frauen.“
2.2 Logische Gesetze
Logische Gesetze sind fundamentale Sätze, die zu allen Zeiten von vielen
damit Beschäftigten für so plausibel gehalten worden sind, dass sie in
vielen technisch ausgearbeiteten Logiken an irgendeiner ganz tiefen Stelle
eingebaut sind. Es hat jedoch auch bei praktisch jeder Aussage, für die
jemand den Status eines logischen Gesetzes vorgeschlagen hat, ernst zu
nehmende Denker gegeben, die diesen Vorschlag angezweifelt haben,
und dies manchmal erfolgreich. Es könnte deshalb jedes Mal, wenn im
Folgenden der Einfachheit halber der Ausdruck „logisches Gesetz“ vorkommt, streng genommen „vorgebliches logisches Gesetz“ stehen. Es soll
auch nicht darum gehen, alle prominenten Kandidaten für logische Gesetze vorzustellen, sondern lediglich zwei, die schon im Zusammenhang mit
Kap. 3 und 4 besonders wichtig sind:
1. Der Satz vom Nichtwiderspruch
2. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten.
Den Satz vom Nichtwiderspruch formuliert und diskutiert erstmals Aristoteles in einer der später unter dem Titel „Metaphysik“ veröffentlichten
Vorlesungen (104, Buch IV (Γ), Kap. 3, 1005b19–23):
„Es kann ... dasselbe demselben und in derselben Beziehung (und dazu mögen
noch die anderen näheren Bestimmungen hinzugefügt sein, mit denen wir logischen Einwürfen ausweichen) unmöglich zugleich zukommen und nicht zukommen“.
Der Satz vom
Nichtwiderspruch
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2. Logik und logische Gesetze
Subjekt und Prädikat
Aristoteles erklärt einen Beweis für den Nichtwiderspruchssatz aus einem
sehr guten Grund für unmöglich: Er müsste dann ja als Konklusion aus
gewissen Prämissen folgen. Aber er ist einfach zu fundamental, um noch
von weiteren Prämissen abhängen zu dürfen. Man kann nur versuchen,
sich vorzustellen, in was für eine seltsame Situation sich jemand bringt,
der diesen Satz ernsthaft leugnet, und versuchen, ihn damit zu plausibilisieren. Dass sich Aristoteles mit der Rechtfertigung solche Mühe geben
muss, liegt daran, dass vor ihm schon Heraklit – ein ernst zu nehmender
Gegner – an den Nichtwiderspruchssatz offenbar nicht geglaubt hat (vgl.
a.a.O. 1005b25). Später erklärt Hegel Widersprüche für etwas, das in der
Welt vorkommt (vgl. 134, Anmerkung 3 zu Punkt C in Teil I, Buch 2,
Abschn.1, Kap. 2). Vielleicht hat er aber einen ganz anderen Begriff von
Widerspruch, als der, welcher im Zusammenhang mit dem Nichtwiderspruchssatz relevant ist (vgl. dazu z.B. 135, S.12 über den Widerspruch im
Wachstum einer Rose). Inzwischen gibt es technisch auf hohem Niveau
ausgearbeitete formale Logiken, die zeigen sollen, dass man auf den
Nichtwiderspruchssatz auch verzichten kann. Sie sollen in Kap. 8 kurz zur
Sprache kommen.
Will man dennoch an den Nichtwiderspruchssatz glauben und ihn in
einer Logik verankern, so ist das erste Problem das folgende: Aristoteles
hat nur Subjekt-Prädikat-Aussagen betrachtet, weil er dachte, dass jede
einfache Aussage letztlich eine Subjekt-Prädikat-Aussage ist. Subjekt ist
dabei das, was der Aussage zugrundeliegt, indem darüber gesprochen
wird – ähnlich wie das Satzsubjekt in der Grammatik. Mit „dem Ich“ o.Ä.
hat das Wort „Subjekt“ in der Logik nichts zu tun. Prädikat ist das dem
Subjekt Zugesprochene. Man kann dies das „ti kata tinos”-Prinzip nennen
(„etwas über etwas“). Denn Aristoteles formuliert diese Überzeugung mit
den Worten, jede Aussage sei ein Aussagen „von etwas über etwas“ („tinos
kata tinos“, 58, 6, 17a25f). Eine umfassende Logik sollte diese Beschränkung überwinden. Zum Glück ist es leicht, zu diesem Zweck eine allgemeinere Fassung des Nichtwiderspruchssatzes zu formulieren:
Folgendes ist nicht der Fall: Etwas Bestimmtes ist der Fall, und dasselbe
ist nicht der Fall.
Lassen wir „A“ für einen beliebigen Satz stehen, und kürzen wir die Wendung „es ist nicht der Fall, dass“ durch „nicht:“ ab, so können wir, noch
durchsichtiger, als das Schema des Nichtwiderspruchssatzes festhalten:
nicht: [A und (nicht: A)].
Konsistenzprinzip
und Negationsprinzip
Will man den Nichtwiderspruchssatz in eine Logik einbauen, so sollte
etwas diesem Schema Ähnliches darin die Eigenschaft eines Gesetzes
haben.
Wenn es auch schwer ist, ohne weitere Voraussetzungen zu sagen,
warum man an den Nichtwiderspruchssatz glauben sollte, so lässt sich
doch dafür argumentieren, warum man ihn auf jeden Fall bejahen sollte,
wenn man zwei andere Annahmen macht. Die erste Annahme kann man
das Konsistenzprinzip nennen. Es lautet:
2.2 Logische Gesetze
Konsistenzprinzip
Keine Aussage wird sowohl wahr als auch falsch. Was auch immer
überhaupt einen Wahrheitswert haben kann, kann höchstens einen
Wahrheitswert auf einmal haben.
Als Wahrheitswerte kommen – wenigstens bis Kap. 8 – nur „wahr“ und
„falsch“ in Frage. Auch „falsch“ ist ein Wahrheitswert, und die Behauptung, eine Aussage habe einen Wahrheitswert, ist nicht dasselbe wie die
Behauptung, sie sei wahr.
Wer etwas gegen Widersprüche hat, wird das Konsistenzprinzip plausibel finden. Die zweite Annahme soll eine Verwendungsregel für das Wörtchen „nicht“ vor Sätzen sein (das α ist ein Platzhalter für einen Satz):
Wahrheitswerte
Prinzip NEG (Negationsprinzip)
1 Genau dann, wenn α wahr ist, ist ⎡ nicht: α ⎤ nicht wahr.
2 Genau dann, wenn α nicht wahr ist, ist ⎡ nicht: α ⎤ wahr.
3 Genau dann, wenn α nicht wahr ist, ist α falsch.
Die Wendung „genau dann, wenn“ benutzt man für ein „wenn..., dann“ in
beiden denkbaren Richtungen. Sie ist so wichtig, dass sie mit dem Kürzel
„gdw“ abgekürzt wird. Man kann eine „genau dann, wenn“-Aussage
immer sowohl von rechts nach links als auch von links nach rechts lesen.
So besteht NEG 1 eigentlich aus den folgenden zwei Sätzen:
gdw
Wenn α wahr ist, dann ist ⎡ nicht: α ⎤ nicht wahr.
Wenn ⎡ nicht: α ⎤ nicht wahr ist, dann ist α wahr.
Setzt man das Prinzip NEG voraus, so ist man auch auf den Nichtwiderspruchssatz festgelegt. Das genaue Argument ist in Anhang 2 aufgeführt.
Will man also das Konsistenzprinzip halten, und akzeptiert man die vorgeschlagene Negationsregel, so kauft man auch den Nichtwiderspruchssatz
mit. Allerdings mag gerade dies ein Grund sein, die Negationsregel NEG
nicht zu akzeptieren, wie Kap. 8 zeigen wird.
Was man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten nennt, findet sich nur
wenige Kapitel hinter der Diskussion des Nichtwiderspruchssatzes, nämlich im 7. Kapitel von Buch IV (Γ) von Aristoteles’ „Metaphysik“ ((=104)
1011 b 23 – 25):
„Ebensowenig aber kann zwischen den beiden Gliedern des Widerspruchs etwas
geben, sondern man muss notwendig Eines [= ein Prädikat] von Einem [= einem
Subjekt] entweder bejahen oder verneinen.“ (Übersetzung: Bonitz / Seidl, Ergänzung: N.St.)
Ein „Widerspruch“ ist hier ein kontradiktorischer Gegensatz, also ein
Gegensatz, wie er zwischen „Die Erde ist eine Scheibe“ („A“) und „Es ist
nicht der Fall, dass die Erde eine Scheibe ist“ („nicht: A“) besteht. Man
wird also als Zusammenfassung (unter Abschwächung des „kann nicht“ in
„ist nicht“) die folgenden Schemata hinschreiben:
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
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2. Logik und logische Gesetze
Entweder A oder [nicht: A]
A oder [nicht: A].
Inklusives und
exklusives „oder“
Bivalenzprinzip
bzw.
Normalerweise unterscheiden sich „entweder ... oder“ und bloßes „oder“
in einem wichtigen Punkt, denn man unterscheidet inklusive und exklusive „oder“ -Verbindung:
– das inklusive „oder“ (Alternation, auch: Adjunktion): Die OderVerbindung ist wahr, wenn mindestens einer der beiden damit verbundenen Sätze wahr ist, evtl. aber auch beide; gesprochen „oder“.
– das exklusive „oder“ (Disjunktion): Die Oder-Verbindung ist wahr, wenn
einer der beiden damit verbundenen Sätze wahr ist, aber nicht, wenn
beide es sind; gesprochen: „entweder ... oder“.
Manchmal findet man in der Literatur die Worte „Alternation“ und „Disjunktion“ genau umgekehrt gebraucht, was meiner Meinung nach dem
lateinischen Wortursprung nicht gut entspricht. Man muss also immer
genau hinschauen, was gemeint sein kann (im Zweifelsfall entscheiden die
Formeln). Was den Satz vom ausgeschlossenen Dritten angeht, so ist jedenfalls leicht zu sehen: Es ist ganz gleich, ob man ihn mit inklusivem
oder exklusivem „oder“ formuliert, da ja „A“ und „nicht: A“ ohnehin nicht
zusammen wahr sein können.
Zunächst sieht der Satz vom ausgeschlossenen Dritten so plausibel aus,
dass er fast trivial erscheinen mag. Außerdem gibt es ein gutes Argument,
warum man, wenn man den Nichtwiderspruchssatz bejaht, auch den Satz
vom ausgeschlossenen Dritten bejahen sollte. Es ist ebenfalls in Anhang 2
aufgeführt.
Ebenso wie der Satz vom Nichtwiderspruch eng mit einem Prinzip über
die Wahrheit und Falschheit von Aussagen, nämlich dem Konsistenzprinzip, zusammenhängt, gibt es ein weiteres Prinzip über die Wahrheit und
Falschheit von Aussagen, das eng mit dem Satz vom ausgeschlossenen
Dritten zusammenhängt:
Das Bivalenzprinzip
Jede Aussage hat einen der Wahrheitswerte „wahr“ bzw. „falsch“ ; keine
Aussage bleibt wahrheitswertlos.
Endgültige
Formulierung
Der enge Zusammenhang zwischen Bivalenzprinzip und Satz vom ausgeschlossenen Dritten liegt in ähnlicher Weise auf der Hand wie der zwischen Konsistenzprinzip und Nichtwiderspruchssatz. Trotz des engen
Zusammenhangs ist jedoch zu beachten: Der Satz vom ausgeschlossenen
Dritten und das Bivalenzprinzip sind nicht dasselbe. Und auch das Konsistenzprinzip und der Satz vom Nichtwiderspruch sind nicht dasselbe. Man
findet allerdings in der Literatur verschiedene Erklärungen dafür, inwiefern
sie nicht dasselbe sind. Unumstritten ist: Das Bivalenzprinzip und das
Konsistenzprinzip enthalten explizit die Ausdrücke „wahr“ und „falsch“;
der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und der Nichtwiderspruchssatz
enthalten diese Ausdrücke nicht explizit. Das ist ein klarer Unterschied.
Ebenso klar ist, dass es sich bei Bivalenzprinzip und Konsistenzprinzip um
Aussagen über Aussagen handelt. Denn dasjenige, wovon man sagt, es sei
wahr oder falsch, sind Aussagen. Statt „Aussage“ könnte auch „Satz“ oder
2.2 Logische Gesetze
„Urteil“ stehen; eine Differenzierung kann bis Kap. 4.2 warten. Man nennt
solche Aussagen über Aussagen metasprachliche Aussagen (eine genauere
Klärung dieses Ausdrucks erfolgt in Kap. 5.2). Kompliziert wird die Sache
dadurch, dass der unumstrittene Unterschied die Vermutung nahe legt, der
Satz vom ausgeschlossenen Dritten und der Nichtwiderspruchssatz seien
demgegenüber nicht Aussagen über Aussagen, sondern einfache Aussagen
über die Welt. Manchmal wird das in der Literatur so vertreten. Dies
scheint mir aber nicht richtig zu sein. Denn es ist zwischen dem Schema
des Nichtwiderspruchssatzes bzw. dem Schema des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten und den beiden Sätzen selbst zu unterscheiden:
„nicht: (A und [nicht: A])“ ist überhaupt kein Satz, sondern nur ein Schema,
denn „A“ ist nur ein Platzhalter ohne konkreten Inhalt. Deshalb kann
„nicht: (A und [nicht: A]“ gar keinen Wahrheitswert haben. Dasselbe gilt
für das Schema „A oder (nicht: A)“. Konkrete Instanzen dieser Schemata
wie „Es ist nicht der Fall, dass Hans groß ist und dass Hans nicht groß ist“
oder „Hans ist groß oder Hans ist nicht groß“ sind zwar logisch wahr; aber
sie sind nicht allgemein genug, um als logische Gesetze gelten zu können.
Dafür sind sie viel zu speziell. Beim Nichtwiderspruchssatz und beim Satz
vom ausgeschlossenen Dritten sollte es sich aber um logische Gesetze
handeln.
Die vorangegangene Überlegung führt dazu, den Nichtwiderspruchssatz und den Satz vom ausgeschlossenen Dritten wie folgt zu formulieren:
1. Nichtwiderspruchssatz:
Jede Aussage der Form ⎡ nicht: (A und [nicht: A]) ⎤ ist logisch wahr.
2. Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
Jede Aussage der Form ⎡ A oder [nicht: A] ⎤ ist logisch wahr.
Damit stellt sich aber heraus: Auch der Nichtwiderspruchssatz und der
Satz vom ausgeschlossenen Dritten sind Aussagen über Aussagen. In ihnen
ist sogar von logischer Wahrheit die Rede und damit indirekt auch wieder
von Wahrheit, denn in der Definition des Ausdrucks „logisch wahr“ (vgl.
Kap. 2.1) kommt das Wort „wahr“ vor.
Schon Aristoteles hat einen engen Zusammenhang zwischen Bivalenzprinzip und Satz vom ausgeschlossenen Dritten gesehen. So bringt
sofort der nächste Satz nach der Formulierung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten zu dessen Begründung die traditionelle Definition der
Wahrheit als einer Eigenschaft von Aussagen (a.a.O. 1011 b 26–28):
„Zu sagen nämlich, das Seiende sei nicht oder das Nicht-Seiende sei, ist falsch;
dagegen zu sagen, das Seiende sei und das Nicht-Seiende sei nicht, ist wahr.“
Eine kurze Formel dafür ist dadurch berühmt geworden, dass Thomas von
Aquin sie im 13. Jahrhundert in lateinischer Übersetzung in seinem Werk
„De veritate“ („Über die Wahrheit“, 122) zitiert hat als „veritas est adaequatio rei et intellectûs“: Wahrheit ist Übereinstimmung von Sache und
Verstand. Etwas moderner kann man diesen Gedanken umformulieren zu:
Wahrheit ist Übereinstimmung (Korrespondenz) der Wirklichkeit mit dem
– in einer Aussage geäußerten – Gedanken. Man spricht deshalb von Adäquations- oder Korrespondenztheorie der Wahrheit. Vertritt man diesen
Wahrheit
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