Dichtematrix und verschränkte Zustände

Dichtematrix und
verschränkte Zustände
Felipe Gerhard
Universität Siegen
QM-Seminar, 20/06/2006
20/06/06
Dichtematrix und verschränkte Zustände Felipe Gerhard, Universität Siegen
1
Übersicht
1.
2.
3.
4.
Reine und gemischte Zustände
Dichtematrix eines 2-Zustands-Systems
Definition & Eigenschaften des
Dichteoperators
Gekoppelte Systeme & Verschränkung
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1. Reine und gemischte
Zustände
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Stern-Gerlach-Versuch
1
1
Zwei − Zustands − System: + und −
2
2
Bild: http://www.ktf-split.hr/glossary/en_o.php?def=spin
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Reine Zustände
Ein Zustand heißt rein, wenn er sich schreiben lässt als:
ϕ = a1 +
1
1
+ a2 −
2
2
2
2
mit a 1 + a 2 =1 (Normierung)
oder allgemein:
ϕ =∑ a i Ψi
i
2
mit ∑ a i =1 (Normierung)
i
⇒ definierte Zeit - und Phasenentwicklung
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Gemischte Zustände
• Reine Zustände sind nicht die allgemeinsten Zustände.
• Betrachte zwei unabhängig voneinander präparierte Strahlen:
1
1
, N 2 in − .
2
2
• unabhängig ↔ keine definierte Phasenrelation!
N1 Teilchen im reinen Zustand +
• Um das Gemisch mit einem Zustandsvektor (lin. Superpos.) beschreiben zu
können, müsste der Betrag und relative Phase der a i bekannt sein.
Betrag: W i =
Ni
= ai
N1 + N 2
2
• aber: Es gibt keine definierte Phasenrelation!
⇒ Ein Gemisch (Ensemble) ist analog zu einer vielfachen Präparierung eines
einzelnen Quantensystems, bei dem die Zustände statistisch verteilt auftreten.
⇒ Nicht-reine Zustände heißen gemischte Zustände.
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Gemischte Zustände
• weitere Beispiele:
- Zwei-Niveau-System bei Atomen; thermische Erzeugung
- Polarisation von Photonen
→ Phasenlage ist statistisch verteilt
• Fazit:
rein:
gemischt:
ϕ = ∑ ai Ψi
System in Zuständen ϕi ,
mit ∑ a i = 1
die statistisch mit w i auftreten,
i
2
i
mit ∑ w i = 1 .
i
Zustandsvektor
???
⇒ anderes Konzept einführen!
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2. Dichtematrix eines
2-Zustands-Systems
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Dichtematrix für 2-Zustands-System
N a Teilchen im beliebigen Zustand ϕa , N b in ϕb .
Analog: W i =
Ni
Na + Nb
Führe Dichte-Operator ein:
ρ = Wa ϕa ϕa + Wb ϕb ϕb
Der Dichteoperator enthält alle Informationen über das System.
Das Gemisch ist durch ρ vollständig beschrieben.
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Dichtematrix für 2-Zustands-System
Schreibweise in Matrixform:
1
1
ϕa = a 1 + + a 2 − ;
2
2
⎛1⎞
1
χ1 = + = ⎜ ⎟ ;
2 ⎝0⎠
⇒ ϕa
1
1
ϕb = b1 + + b 2 −
2
2
⎛0⎞
1
χ2 = − = ⎜ ⎟
2 ⎝1⎠
⎛ a1
*
a2 ) = ⎜ *
⎜a a
⎝ 1 2
2
⎛ a1 ⎞ *
ϕa = ⎜ ⎟ ( a 1
⎝ a2 ⎠
⎛ Wa a 1 + Wb b1
⇒ρ=⎜
⎜ W a * a + W b* b
b 1 2
⎝ a 1 2
2
2
a 1a *2 ⎞
2 ⎟
a 2 ⎟⎠
Wa a 1a *2 + Wb b1 b*2 ⎞
2
2 ⎟
Wa a 2 + Wb b 2 ⎟⎠
Spur: tr(ρ) = 1 (gilt auch allgemein)
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3. Definition & Eigenschaften
des Dichteoperators
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Dichtematrix - Definition
ρ := ∑ Wi ψ i ψ i
i
• reine Zustände als Spezialfall:
ρ= ψ ψ
• ψ lässt sich entwickeln: ψ = ∑ ψ n n , wenn
n
{ n } Orthonormal-Basis ist.
⇒ ρ = ψ ψ = ∑ ψ n ψ*m n m = ∑ ρnm n m
n ,m
• Einzelnes Element über:
n ,m
ρij = i ρ|j = ψi ψ*j
• ρ ist hermitesch!
⇒ ρ besitzt reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenzustände
⇒ ρ lässt sich immer darstellen, so dass die ψ i s orthonormal sind!
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Eigenschaften: Spur
• Definition der Spur: tr(X) = ∑ n X|n
n
• Die Spur ist unabhängig von der gewählten ONB!
• Diagonalelemente = Gesamtwahrscheinlichkeit, ein Teilchen
im Zustand n zu finden (Besetzungswahrscheinlichkeit):
2
ρnn = ∑ Wi ψi ,n ⇒ tr(ρ) = 1
i
Formal :
(
)
tr(ρ) = ∑ n ρ|n = ∑ n ∑ Wi ψi ψi |n
n
n
i
= ∑ Wi n ψi ψi n
n ,i
= ∑ Wi ψi n n ψi
n ,i
(benutze: ∑ n n =  )
n
= ∑ Wi ψi ψ i = ∑ Wi = 1
i
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i
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Eigenschaften: Erwartungswert
• für Observable A gilt: < A >= ∑ Wi ψi A|ψi
i
(für reinen Zustand: < A >= ψ A|ψ )
• Es gilt: <A> = tr(Aρ)
• Beweis: Berechne tr(Aρ) :
(
)
tr(Aρ) = ∑ n Aρ n = ∑ n A ∑ Wi ψi ψ i |n
n
n
i
= ∑ Wi n A|ψi ψi n
n ,i
= ∑ Wi ψi n n A|ψi
n ,i
(benutze: ∑ n n =  )
n
= ∑ Wi ψi A|ψi = < A >
i
⇒ alle Erwartungswerte lassen sich mit der Dichtematrix berechnen!
⇒ Dichtematrix enthält maximal mögl. Information, die man
durch Messungen am System herausbekommen kann!
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Eigenschaften: Charakterisierung
gemischter Zustände
• Es gilt: ρ ≤ 1 (Gleichheit, falls ρ einen reinen Zustand beschreibt).
• Beweis: Berechne ρ :
ρ
(
= tr(ρ2 ) = ∑ n ρρ n = ∑ n ∑ Wi ψi ψ i
n
n
i
)(∑ W ψ
j
j
j
)
ψ j |n
= ∑ Wi Wj n ψi ψ i ψ j ψ j n (benutze: ψi ψ j = δij )
n ,i , j
= ∑ Wi 2 ψi n n ψi
n ,i
= ∑ Wi ψi ψi = ∑ Wi
2
i
2
i
• Wegen Wi ≤ 1 → Wi 2 ≤ 1 → ∑ Wi ≤ ∑ Wi = 1
2
i
i
• Gleichheit nur, falls nur ein einziges Wi = 1
(also liegt ein purer Zustand vor).
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Eigenschaften: Zeitentwicklung
d
i
ρ(t) = − [ H, ρ] (von-Neumann-Gleichung)
=
dt
d
• Beweis: Berechne ρ(t) :
dt
d
d
ρ(t)= ( ∑ Wi ψi (t) ψi (t) )
dt
dt i
d ψi (t) ⎤
⎡ d ψi (t)
dρ
ψi (t) + ψi (t)
⇔
= ∑ Wi ⎢
⎥
i
dt
dt
d
t
⎣
⎦
• Es gilt:
Benutze Schrödingergleichung i=
d ψi
= Hψi :
dt
i
dρ
i
= − ∑ Wi [ H ψi (t) ψi (t) − ψi (t) ψi (t) H ] = − [ H, ρ]
=
= i
dt
• Lösung für zeitunabhängiges H:
⎛ i
⎞
⎛i
⎞
ρ(t) = exp ⎜ − H(t − t 0 ) ⎟ ⋅ ρ(t 0 ) ⋅ exp ⎜ H ( t − t 0 ) ⎟
⎝ =
⎝=
⎠
⎠
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Dichtematrix: Zusammenfassung
Definition :
ρ = ∑ Wi ψi ψ i
i
Eigenschaften :
A = tr(ρ ⋅ A)
tr(ρ) = 1
d
1
ρ(t) = [ H(t), ρ(t) ]
dt
i=
ρ ≤ 1 (Gleichheit für puren Zustand)
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4. Gekoppelte Systeme und
Verschränkung
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Gekoppelte Systeme
• / =/ ⊗ /2 heißt Tensorprodukt der Teilsysteme / und / ,
wenn zu jedem Paar von Vektoren φ(1) ∈ / und χ(2) ∈ /
ein Vektor in / gehört:
φ(1) ⊗ χ(2)
• Wenn
{ φ (1) } Basis von /
{ φ (1)
i
(Tensorprodukt)
i
⊗ χ j (2)
ist und
{ χ (2) } Basis von / , dann:
i
} Basis von / .
• φ(1) ⊗ χ(2) heißt Produktzustand.
• Es gibt Zustände ψ = ∑ cij φi (1) ⊗ χ j (2) , die sich nicht als Produkt
i,j
φ(1) ⊗ χ(2) schreiben lassen!
⇒ Solche Superpositionen von Produktzuständen heißen
verschränkt oder nicht - separierbar.
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Beispiel für gekoppeltes System
• Beispiel :
Basis von / sei { 1 ; 2 } und von / :
{u
;v}
Abkürzung: φ(1) ⊗ χ(2) = φ, χ
⇒ beliebiger Zustand: ψ = ∑ cij φi ,χ j
i,j
ψ = c1u 1,u + c1v 1,v + c 2 u 2,u + c 2 v 2,v
Ergibt eine Messung am System 1 den Wert 1, so ist der neue Zustand:
ψ ' = c '1u 1,u + c '1v 1,v = 1 ⊗ ( c '1u u + c '1v v
)
← Produktzustand
⇒ Messungen am Untersystem führen auf Produktzustände!
• Betrachtet man die Dynamik von System, werden sich
Produktzustände i.A. in gemischte, d.h. verschränkte Zustände,
entwickeln.
⇒ Verschränkte Systeme sind der Standardfall.
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Beispiel für Verschränkung
1
( 1,u + 2,v )
2
⇒ Eine Messung an System 1 gibt in 50% der Fälle den Wert 1, in 50% den Wert 2.
Betrachte Zustand: ψ =
Aber: Wahrscheinlichkeit bei Messungen an beiden Systemen
ist nicht das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten!
Fall 1: Messung ergibt 1 ⇒ ψ ' = 1,u ⇒ Messung an System 2 ergibt immer u!
Fall 2: Messung ergibt 2 ⇒ ψ ' = 2,v ⇒ Messung an System 2 ergibt immer v!
⇒ Eine Messung an einem System legt den Zustand des anderen eindeutig fest!
(instantan und unabhängig von der räumlichen Entfernung)
• Trotzdem ist keine Informationsübertragung mit v > c möglich.
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Messung am Teilsystem
Fall 1: Produktzustand: ψ = φ(1) ⊗ χ(2)
• Messung einer Observablen an System 1 hängt nur von φ(1) ab
• φ(1) kollabiert zu Eigenfunktion φn (1) .
• Aber: χ(2) ändert sicht nicht!
Fall 2: kein Produktzustand: ψ ≠ φ(1) ⊗ χ(2)
• Es lässt sich kein Zustandsvektor zu einem einzelnen System angeben.
• Zustand des zweiten Teilsystems ändert sich durch die Messung!
• Nach der Messung befindet sich das System in einem Produktzustand,
die Systeme "entkoppeln".
• Ergebnisse von Messungen an den Teilsystemen sind nicht unabhängig,
sondern "korreliert".
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Physikalische Realisierung
Experimente, für die die Quantenphysik Verschränkung voraussagt:
• Wheeler (1946): Annihilation von Positron und Elektron
→ Paar von Photonen mit entgegengesetzten Polarisationen
(experimentell durchgeführt von Wu/Shaknov (1949))
• Clauser-Horne-Shimony-Holt (1969): Anregung von Atomen
→ Drehimpuls bleibt bei Kaskade erhalten
→ beide Photonen sind (über Polarisation) verschränkt
(experimentell durchgeführt mit Ca-Atomen: Kocher-Commins (1966),
Clauser-Freedman (1972), Hg-Atome: Fry-Thompson (1976))
J=0
551 nm
J=1
423 nm
J=0
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Physikalische Realisierung II
• Dissoziation eines Moleküls im Singlett-Zustand:
→ zwei Atome (Gesamtspin 0)
(experimentell u.a.: Lamehi-Rachti-Mittig (1976))
• Burnham-Weinberg (1970):
"spontaneous parametric down - conversion"
→ in speziellen nicht-linearen Kristallen entsteht
ein Paar von Photonen aus einem Photon (ν 0 =ν1 +ν 2 ).
→ Photonen sind in ihrer Polarisation und Richtung verschränkt.
(experimentell: Mandel-Ghosh (1987))
Laser
verschränkte Photonen
Kristall
Bild oben: Paul Kwiat und Michael Reck, Institut für Experimentalphysik, Universität Wien
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Verborgene Variablen?
• Instantane Festlegung eines Zustands durch Messung an einem
weit entfernten Zustand? Gibt es eine "spukhafte Fernwirkung" (Einstein)?
• Korrelationen zwischen zwei Systemen aus der klassischen Welt durchaus bekannt.
• Lassen sich Quantenkorrelationen vielleicht durch einen bisher
unentdeckten verborgenen Parameter erklären, der den Zustand
der beiden Teilsysteme festlegt? (Einstein-Podolsky-Rosen, 1935)
• Lokalität: Eine lokale Operation kann auch nur lokale Auswirkungen haben.
⇒ Es muss also schon vor der Trennung der Teilchen festgelegt gewesen sein, welche
Messergebnisse auftreten werden ("verborgener Parameter").
• Annahme eines verborgenen Parameters führt auf Bellsche Ungleichungen.
• Bellsche Ungleichungen wurden experimentell widerlegt!
(>100σ-Signifikanz, Shih (1983))
⇒ Die Welt ist nicht lokal - realistisch!
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Erwin Schrödinger:
„Verschränkung ist nicht irgendein,
sondern geradezu das charakteristische
Merkmal der Quantenmechanik.“
Und sonst?!
• Verschränkung mit mehr als zwei Teilchen
(GHZ, Greenberger-Horne-Zeilinger)
• Quantenkryptographie
• Quantencomputing
• Quantenteleportation
• Quantenwaschmittel
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Erwin Schrödinger:
„Verschränkung ist nicht irgendein,
sondern geradezu das charakteristische
Merkmal der Quantenmechanik.“
Und sonst?!
• Verschränkung mit mehr als zwei Teilchen
(GHZ, Greenberger-Horne-Zeilinger)
• Quantenkryptographie
• Quantencomputing
• Quantenteleportation
• Quantenwaschmittel
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Danke für die Aufmerksamkeit!
Literatur :
• Schleich, Wolfgang : Quantum Optics in Phase Space, Kapitel 2, Wiley-VCH, Berlin, 2001
• Blum, Karl: Density Matrix Theory and Applications, Kapitel 1-3, Plenum Press, New York, 1981
• Audretsch, Jürgen (Hrsg.): Entangled World, John Wiley and Sons Ltd., Chichester, 2003
• Aczel, Amir: Entanglement, Band 6, Springer, Berlin/Heidelberg, 2004
• Hub, Jochen: Die klassische Welt, Seminarvortrag Akademie Rot an der Rot, Rot, 2004
• "Quantenverschränkung", Wikipedia, abgerufen: 15. Juni 2006,
URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Quantenverschränkung
• Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Band 6, Springer, Berlin/Heidelberg, 2004
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