Lösung - Höhere Mathematik an der TUM

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Mathematik 4 für Physik
(Analysis 3)
Prof. Dr. Simone Warzel
Max Lein
Wintersemester 2009/2010
Lösungsblatt 13
(26.01.2010)
Zentralübung
63. Translationen im Ort und im Impuls
Sei Ta : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn ), (Ta ψ)(x) := ψ(x − a), der Translationsoperator um a ∈ Rn
im Ortsraum und Sb : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn ) der Translationsoperator im Impulsraum, der für
b ∈ Rn durch
(
)
(
)
FSb ψ (k) := Fψ (k − b)
definiert ist.
(a) Begründen Sie, dass Ta und Sb unitäre Operatoren sind.
(b) Begründen Sie, dass Sb dem Multiplikationsoperator mit eib·x entspricht.
(c) Ist Ta Sb gleich Sb Ta ?
Lösung:
(a) Seien a ∈ Rn , φ, ψ ∈ L2 (Rn ). Um den adjungierten Operator auszurechnen, setzen wir in
das Skalarprodukt ein:
∫
∫
⟨
⟩
φ, Ta ψ =
φ(x) (Ta ψ)(x) dx =
φ(x) ψ(x − a) dx
n
n
∫R
∫R
φ(y + a) ψ(y) dy =
=
(T−a φ)(y) ψ(y) dy
Rn
Rn
⟨
⟩
= T−a φ, ψ
Das bedeutet also, dass Ta∗ = T−a ist. Offensichtlich ist T−a = Ta−1 das Inverse zu Ta , denn
z. B. gilt für alle φ ∈ L2 (Rn )
(
)
(
)(
)
T−a Ta φ (x) = Ta φ x − (−a) = φ(x + a − a) = φ(x).
Dass Ta T−a = idL2 (Rn ) ist, zeigt man analog.
Nun zu Translationen im Impulsraum Sb , b ∈ Rn : per definitionem gilt für alle φ ∈ L2 (Rn )
(
)
( )
(
)
(1)
FSb φ (k) = Fφ (k − b) = Tb Fφ (k).
Um Sb∗ auszurechnen, benutzen wir zwei Mal den Satz von Plancherel (P): für alle φ, ψ ∈
L2 (Rn ) gilt
⟨
⟩ (P) ⟨
⟩ (1) ⟨
⟩ ⟨
⟩
φ, Sb ψ = Fφ, FSb ψ = Fφ, Tb Fψ = T−b Fφ, Fψ
⟩ (P) ⟨
⟩
(1) ⟨
= FS−b φ, Fψ = S−b φ, ψ .
Daher gilt auch hier Sb∗ = S−b . Dass S−b = Sb−1 das Inverse zu Sb ist, folgt aus der Definition,
Gleichung (1) sowie T−b = Tb−1 :
(1)
(1)
FS−b Sb φ = T−b FSb φ = T−b Tb Fφ = Fφ
Den Beweis zu Sb S−b = idL2 (Rn ) führt man analog.
1
(b) Sei φ ∈ S(Rn ) ⊂ L2 (Rn ) eine Schwartz-Funktion und b ∈ Rn . Dann können wir die
Fourier-Transformierten als Integral schreiben:
(
)
(
)
)
(1) (
Sb φ (x) = F −1 FSb φ (x) = F −1 Tb Fφ (x)
∫
∫
)
(
1
1
+ix·k
=
e
T
Fφ
(k)
dk
=
e+ix·k (Fφ)(k − b) dk
b
(2π)n/2 Rn
(2π)n/2 Rn
∫
(
)
1
′
=
e+ix·(k +b) (Fφ)(k ′ ) dk ′ = e+ib·x F −1 Fφ (x)
n/2
(2π)
Rn
= e+ib·x φ(x)
Schwartz-Funktionen liegen dicht in L2 (Rn ) und somit gilt das auch für allgemeine Funktionen aus L2 (Rn ) (siehe Erweiterungssatz auf S. 170 des Vorlesungsskripts).
(c) Seien a ∈ Rn , b ∈ Rn und φ ∈ L2 (Rn ) beliebig. Dann gelten per Definition von Ta bzw. nach
Teilaufgabe (b) für Sb
(
)
Ta Sb φ (x) = (Sb φ)(x − a) = eib·(x−a) φ(x − a)
sowie
(
)
Sb Ta φ (x) = eib·x (Ta φ)(x) = eib·x φ(x − a).
Das heißt, falls a · b ̸= 0, unterscheiden sich die Operatoren Ta Sb und Sb Ta . Ganz allgemein
gilt
Ta Sb = e−ia·b Ta Sb .
Hinweis: Der Grund wieso Translationen im Ort um a via Ta und Translationen im Impuls
um b via Sb nicht kommutieren liegt in der Nichtkommutativität von Impuls- und Ortsoperator, die Translationen im Ort bzw. Impuls erzeugen (genau umgekehrt!). Das ist eine
fundamentale Eigenschaft der Quantenmechanik.
2
64. Alle separablen Hilbert-Räume sind isomorph zu ℓ2 (N)
(a) Zeigen Sie, dass jeder separable, unendlich dimensionale Hilbert-Raum H isomorph zu ℓ2 (N)
ist.
(b) Zeigen Sie, dass L2 ([−π, +π]) separabel ist.
Lösung:
(a) In der Vorlesung ist bereits bewiesen worden, dass jeder separable Hilbert-Raum eine abzählbare Orthonormalbasis hat. Per Annahme ist H unendlich-dimensional und daher können
wir die Basis {φn }n∈N durch N indizieren. Wir definieren nun die Abbildung
(
)
U : H −→ ℓ2 (N), φ 7→ ⟨φn , φ⟩H .
Wir müssen Linearität, Bijektion und Wohldefiniertheit überprüfen. U ist linear, denn das
Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente. U ist auch wohldefiniert, denn
∑
2
∑
⟨φn , φ⟩H 2 φn 2
∥φ∥2H = ⟨φ, φ⟩H = n∈N ⟨φn , φ⟩H φn =
H
H
n∈N
∑
⟨(
) (
)⟩
⟨φn , φ⟩H 2 = ⟨φn , φ⟩H , ⟨φn , φ⟩H 2
=
ℓ (N)
n∈N
⟨
⟩
= Uφ, Uφ ℓ2 (N) .
Wir sehen, dass U das Skalarprodukt erhält, U ist also injektiv und zumindest auf im (U)
bijektiv. Die Abbildung ist aber auch invertierbar, wir identifizieren mit jeder quadratintegrablen Folge c = (cn ) den Vektor
∑
U −1 c = φc :=
cn φn .
n∈N
Dass sich jeder Vektor φ ∈ H so schreiben lässt, folgt aus der Basiseigenschaft der {φn }n∈N .
U ist daher nicht nur injektiv, sondern auch surjektiv. Das bedeutet, wir haben einen Isomorphismus U zwischen H und ℓ2 (N) gefunden.
(b) Die Fourier-Transformation
F : L2 ([−π, +π]) −→ ℓ2 (Z)
ist für n ∈ Z definiert über
1
(Ff )(n) :=
2π
∫
+π
−π
⟨
⟩
e−inx f (x) = einx , f L2 ([−π,+π]) .
Da aus der Vorlesung bekannt ist, dass {einx }n∈Z eine Orthonormalbasis bilden (vgl. Analysis 1), können
wir)Teilaufgabe (a) anwenden: wir assoziieren zu f ∈ L2 ([−π, +π]) die Folge
(
Ff := (Ff )(n) n∈Z der Fourier-Koeffizienten.
Nach den Argumenten aus (a) sind diese quadratsummierbar, was man aber auch direkt sehen kann:
⟩
⟨∑
⟨
⟩
inx
inx ∑
ikx
ikx
⟨e
,
f
⟩
e
,
⟨e
,
f
⟩
e
f, f L2 ([−π,+π]) =
2
2
L ([−π,+π])
L ([−π,+π])
n∈Z
k∈Z
L2 ([−π,+π])
∑
=
⟨f, einx ⟩L2 ([−π,+π]) ⟨eikx , f ⟩L2 ([−π,+π]) ⟨einx , eikx ⟩L2 ([−π,+π])
|
{z
}
k,n∈Z
=δkn
∑
∑
⟨
⟩
(Ff )(n)2 = Ff, Ff 2
⟨eikx , f ⟩L2 ([−π,+π]) 2 =
=
ℓ (Z)
n∈Z
n∈Z
3
65. Heisenbergsche Unschärferelation
Seien A, B : H −→ H zwei beschränkte selbstadjungierte Operatoren auf dem Hilbert-Raum
H. Wir definieren den Erwartungswert ⟨A⟩ := ⟨ψ, Aψ⟩ für ψ ∈ H, ∥ψ∥ = 1, sowie die Varianz
⟨
⟩
(∆A)2 := (A − ⟨A⟩)2 .
Beweisen Sie die Heisenbergsche Unschärferelation,
⟨
⟩
1
≤ (∆A) (∆B).
i[A,
B]
2
Hinweis: Betrachten Sie à := A − ⟨A⟩ sowie B̃ := B − ⟨B⟩ und wenden Sie die CauchySchwarzsche Ungleichung an.
Lösung:
Sei ψ ∈ H, ∥ψ∥ = 1. Da A = A∗ und B = B ∗ selbstadjungiert sind, sind ihre Erwartungswerte
positiv. Z. B. gilt für A
⟨A⟩ = ⟨ψ, Aψ⟩ = ⟨A∗ ψ, ψ⟩ = ⟨Aψ, ψ⟩ = ⟨ψ, Aψ⟩ = ⟨A⟩.
Daher müssen ⟨A⟩ , ⟨B⟩ ∈ R reell sein. Das bedeutet, dass die Operatoren
à := A − ⟨A⟩
B̃ := B − ⟨B⟩ ,
die in der Definition der Varianz vorkommen,
⟨
⟩ ⟨ ⟩
(∆A)2 = (A − ⟨A⟩)2 = Ã2 ,
ebenfalls selbstadjungiert sind.
Wir benötigen für die Herleitung das Faktum, dass der Kommutator zwischen A und B ist gleich
dem Kommutator von à und B̃ ist,
[
] (
)(
) (
)(
)
Ã, B̃ = A − ⟨A⟩ B − ⟨B⟩ − B − ⟨B⟩ A − ⟨A⟩
(
) (
)
= AB − ⟨A⟩ B − ⟨B⟩ A + ⟨A⟩ ⟨B⟩ − BA − ⟨B⟩ A − ⟨A⟩ B + ⟨A⟩ ⟨B⟩
[
]
= A, B .
Daher gilt
⟨[
]⟩ ⟨[
]⟩ ⟨
⟩ ⟨
⟩ i A, B = Ã, B̃ = ψ, ÃB̃ψ − ψ, B̃ Ã ψ ⟨
⟩ ⟨
⟩
≤ Ãψ, B̃ψ + B̃ψ, Ãψ ≤ 2Ãψ B̃ψ √⟨
√⟨
⟩ √⟨
⟩
⟩ √⟨
⟩
2
B̃ψ, B̃ψ = 2 ψ, Ã ψ
ψ, B̃ 2 ψ
= 2 Ãψ, Ãψ
= 2(∆A) (∆B),
woraus sofort die Heisenbergsche Unschärferelation folgt.
Hinweis: Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass man zwei nicht miteinander kommutierende Observablen nicht beliebig genau gleichzeitig messen kann. Bildlich gesprochen stört
die Messung der einen Größe die Messung der anderen. Das gängigste Beispiel sind Orts- und
Impulsoperator.
4
Hausaufgaben
66. Beschränkte und unitäre Operatoren
(a) Sei A : D(A) −→ H ein beschränkter Operator. Zeigen Sie, dass für alle ψ ∈ D(A) gilt:
∥Aψ∥ ≤ ∥A∥ ∥ψ∥
(b) Sei V der Multiplikationsoperator auf L2 (Rn ), welcher zur Funktion V ∈ C(Rn ) mit
supx∈Rn |V (x)| < ∞ assoziiert ist. Begründen Sie, dass V beschränkt ist und berechnen
Sie die Operatornorm.
(c) Seien A, B : H −→ H beschränkte Operatoren. Zeigen Sie, dass gilt:
∥AB∥ ≤ ∥A∥ ∥B∥
Lösung:
(a) Sei ψ ∈ D(A) ein Vektor aus dem Definitionsbereich. Ohne Einschränkung sei ψ ̸= 0. Dann
kann die Operatornorm von unten abgeschätzt werden durch
∥A∥ =
∥Aφ∥
∥Aψ∥
≥
.
∥ψ∥
φ∈D(A)\{0} ∥φ∥
sup
Bringt man ∥ψ∥ auf die andere Seite, folgt sofort
∥Aψ∥ ≤ ∥A∥ ∥ψ∥ .
Hinweis: Man hätte die Operatornorm auch anders definieren können, und zwar als kleinste
obere Schranke M ≥ 0, die
∥Aψ∥ ≤ M ∥ψ∥
erfüllt.
(b) Der Operator V ist beschränkt, denn aus
(V ψ)(x) = V (x) ψ(x) ≤ sup V (y) ψ(x) =: ∥V ∥ ψ(x)
∞
y∈Rn
folgt für alle ψ ∈ L2 (Rn )
∫
2
∥V ψ∥ =
Rn
= ∥V
(V ψ)(x)2 dx ≤
∥2∞
∫
Rn
2
∥V ∥2∞ ψ(x)
2
∥ψ∥ .
Daher ist ∥V ∥ ≤ supy∈Rn |V (y)| = ∥V ∥∞ . Wir werden zeigen, dass die Operatornorm
gerade gleich ∥V ∥∞ ist. Sei ε > 0. Dann existiert ein x0 ∈ Rn derart, dass
|V (x0 )| ≥ ∥V ∥∞ − ε
erfüllt ist. Die Folge (δn )n∈N ⊆ L1 (Rn ),
1 (x−x0 )2
δn (x) := √ e n2 ,
n π
√
ist eine Dirac-Folge für δx0 (siehe Aufgabe 51). Dann ist ( δn )n∈N ⊂ L2 (Rn ) eine Folge von
L2 -Funktionen, für die gilt
)1/2
√ ⟩ (∫
√ √⟨ √
V δn =
V δn , V δn =
|V (x)|2 δn (x) dx
R
n→∞ −−−→ V (x0 ) ≥ ∥V ∥∞ − ε.
Somit erhalten wir
∥V ∥∞ − ε ≤ ∥V ∥ ≤ ∥V ∥∞ .
Da ε > 0 beliebig gewählt war, schließen wir, dass ∥V ∥ = ∥V ∥∞ ist.
5
(c) Wir setzen die Definition von der Operatornorm ein und nutzen Teilaufgabe (a) aus:
∥AB∥ = sup ∥ABψ∥ = sup ∥A(Bψ)∥
∥ψ∥=1
∥ψ∥=1
(a)
(
)
≤ sup ∥A∥ ∥Bψ∥ = ∥A∥ sup ∥Bψ∥ = ∥A∥ ∥B∥
∥ψ∥=1
∥ψ∥=1
6
67. Unitäre Operatoren
Seien U, V : H −→ H unitäre Operatoren.
(a) Zeigen Sie, dass U V ebenfalls unitär ist.
(b) Für alle φ, ψ ∈ H gilt ⟨φ, ψ⟩ = ⟨U φ, U ψ⟩.
(c) Für alle ψ ∈ H gilt ∥U ψ∥ = ∥ψ∥.
(d) Zeigen Sie, dass ∥U ∥ = 1 ist.
Lösung:
(a) U unitär bedeutet, dass das Inverse durch den adjungierten Operator gegeben ist. Dann ist
auch das Produkt unitär, denn
(
)−1
(
)∗
.
U V = V ∗ U ∗ = V −1 U −1 = U V
(b) Seien φ, ψ ∈ H. Dann bilden wir das Skalarprodukt von U φ und U ψ und rechnen nach:
⟨
⟩ ⟨
⟩ ⟨
⟩ ⟨
⟩
U φ, U ψ = U ∗ U φ, ψ = U −1 U φ, ψ = φ, ψ .
(c) Das folgt sofort aus (b): für alle φ ∈ H gilt
(b)
∥U φ∥2 = ⟨U φ, U φ⟩ = ⟨φ, φ⟩ = ∥φ∥2 .
(d) Aus der Definition der Operatornorm und Teilaufgabe (c) folgt
∥U ∥ =
∥U ψ∥
(c)
= sup ∥U ψ∥ = sup ∥ψ∥ = 1.
∥ψ∥=1
∥ψ∥=1
ψ∈H\{0} ∥ψ∥
sup
7
68. Unitarität des freien Propagators
Sei Ut : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn ), t ∈ R, die Zeitentwicklung der freien Schrödinger-Gleichung,
welcher durch
Ut ψ := F −1 e−i
k2
t
2
Fψ
eindeutig definiert ist (vgl. Aufgabe 56). Begründen Sie, dass Ut für alle t ∈ R unitär ist.
Lösung:
F : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn ) und somit auch F ∗ = F −1 sind unitäre Abbildungen. Um zu zeigen,
dass Ut = F −1 e−i
k2
t
2
F unitär ist, müssen mit Hinblick auf Aufgabe 67 (a) zeigen, dass der Mulk2
tiplikationsoperator, der durch die Funktion e−i 2 t definiert wird, unitär ist. In der Quantenmechanik nennt man einen solchen Operator ‘Multiplikation mit einer Phase,’ da die Funktion
Betrag 1 hat.
Seien φ̂, ψ̂ ∈ L2 (Rn ). Dann errechnen wir den adjungierten Operator,
∫
∫
2
⟩
⟨
( −i k2 t )
k2
−i k2 t
ψ̂ =
φ̂(k) e 2 ψ̂ (k) dk =
φ̂(k) e−i 2 t ψ̂(k) dk
φ̂, e
n
Rn
∫R
( +i k2 t )
⟨ +i k2 t
⟩
=
e 2 φ̂ (k) ψ̂(k) dk = e 2 φ̂, ψ̂ .
Rn
( k 2 )∗
k2
Das bedeutet e−i 2 t = e+i 2 t . Andererseits ist das Adjungierte auch das Inverse,
(
e−i
k2
t
2
)−1
= e+i
k2
k2
t
2
( k 2 )∗
= e−i 2 t ,
und wir haben gezeigt, dass e−i 2 t unitär ist. Dann ist aber auch Ut als Hintereinanderausführung dreier unitärer Abbildungen unitär.
8
69. Der diskrete Laplace-Operator
Gegeben sei der Hilbert-Raum der quadratsummierbaren Folgen auf Z,
{
}
∑
ℓ2 (Z) := ψ : Z −→ C n∈Z |ψ(n)|2 < ∞ ,
versehen mit dem Skalarprodukt
⟨ψ, φ⟩ :=
∑
ψ(n)φ(n).
n∈Z
Für a ∈ Z sei
Ta : ℓ2 (Z) −→ ℓ2 (Z), (Ta ψ)(n) := ψ(n − a)
der Translationsoperator und
∆ : ℓ2 (Z) −→ ℓ2 (Z), (∆ψ)(n) := ψ(n + 1) + ψ(n − 1) − 2ψ(n)
der Laplace-Operator.
(a) Berechnen Sie Ta∗ und begründen Sie, dass Ta unitär ist.
(b) Berechnen Sie ∆∗ .
(c) Bestimmen Sie εk , so dass
n ∈ Z, k ∈ [−π, +π],
ψk (n) := eikn ,
die Eigenwertgleichung
(∆ψk )(n) = εk ψk (n)
erfüllt. Ist ψk ∈ ℓ2 (Z)?
Lösung:
(a) Der Beweis, dass Ta unitär ist, funktioniert analog zu Aufgabe 63: seien φ, ψ ∈ ℓ2 (Z) und
a ∈ Z. Der adjungierte Operator Ta∗ ist dann T−a ,
∑
∑
⟨
⟩ ∑
φ(n) (Ta ψ)(n) =
φ(n) ψ(n − a) =
φ(k + a) ψ(k)
φ, Ta ψ =
n∈Z
=
∑
n∈Z
⟨
⟩
(T−a φ)(k) ψ(k) = T−a φ, ψ .
k∈Z
k∈Z
T−a ist aber auch das Inverse zu Ta , denn z. B. gilt
(
)
T−a Ta φ (n) = (Ta φ)(n + a) = φ(n + a − a) = φ(n)
für alle φ ∈ ℓ2 (Z) und n ∈ Z. Also ist Ta unitär.
(b) Wir werden sehen, dass der diskrete Laplace-Operator selbstadjungiert ist: für alle φ, ψ ∈
ℓ2 (Z) gilt
∑
⟨
⟩ ∑
(
)
φ, ∆ψ =
φ(n) (∆ψ)(n) =
φ(n) ψ(n + 1) + ψ(n − 1) − 2ψ(n)
n∈Z
=
∑
n∈Z
=
n∈Z
φ(n − 1) ψ(n) +
∑(
n∈Z
∑
n∈Z
φ(n + 1) ψ(n) − 2
∑
φ(n) ψ(n)
n∈Z
∑
)
φ(n − 1) + φ(n + 1) − 2φ(n) ψ(n) =
(∆φ)(n) ψ(n)
⟨
⟩
= ∆φ, ψ .
n∈Z
Es gilt also ∆∗ = ∆, der diskrete Laplace-Operator ist selbstadjungiert.
9
(c) Wir wenden ∆ auf die Folge ψk mit Einträgen ψk (n) = eikn an, k ∈ [−π, +π] und erhalten
(∆ψk )(n) = ψk (n + 1) + ψk (n − 1) − 2ψk (n) = eik(n+1) + eik(n−1) − 2eikn
(
)
(
)
= eik + e−ik − 2 eikn = 2 cos k − 2 eikn =: εk ψk (n).
Da aber |ψk (n)| = eikn = 1 unabhängig von n ∈ Z ist, kann ψk nicht quadratsummierbar
sein. Denn eine notwendige Bedinungung dafür ist, dass ψk (n) → 0 geht, wenn n → ±∞.
Das heißt ψk ist ein Pseudoeigenvektor – ‘Pseudo’ deshalb, da er nicht im Vektorraum ℓ2 (Z)
liegt.
10