Resonanzverhalten nichtlinearer Oszillatoren

Resonanzverhalten
nichtlinearer Oszillatoren
Fortgeschrittenen Praktikum der TU Darmstadt
Konstantin Ristl und Jan Wagner
Betreuer: Dr. Joachim Holzfuss
Datum: 18. Mai 2009
Erklärung zum fortgeschrittenen Praktikum
Hiermit versichern wir das vorliegende fortgeschrittenen Praktikum ohne Hilfe Dritter
nur mit den angegebenen Quellen und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Stellen, die
aus Quellen entnommen wurden, sind als solche kenntlich gemacht. Diese Arbeit hat in
gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
Darmstadt, den 20. September 2009
( Konstantin Ristl, Jan Wagner)
1
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1
1.2
Erläuterung der wichtigesten Begriffe.............................................................................
Der Versuchsaufbau ........................................................................................................
2 Durchführung
2.1
2.2
2.3
2.4
Vermessen der Diodenspannung .....................................................................................
Analyse der Schwingungstypen.......................................................................................
Resonanzkurve und Bifurkationen ..................................................................................
Phasendiagramm ............................................................................................................
3
3
4
6
6
7
7
7
8
Vermessen der Diodenspannung ..................................................................................... 8
Analyse der Schwingungstypen....................................................................................... 9
Resonanzkurve und Bifurkationen .................................................................................. 13
Phasendiagramm ............................................................................................................ 15
3 Auswertung
3.1
3.2
3.3
3.4
2
1 Grundlagen
1.1 Erläuterung der wichtigesten Begriffe
1.1.1 Resonanz
Eine von außen anliegende periodische Kraft wirkt auf ein System und regt es zu Schwingungen an. Je
näher man der Resonanzfrequenz des Sytems kommt, desto größer ist der Energieübertrag und damit
die Amplitude des Systems. Die Resonanzfrequenz ist die um einen Dämpfungsfaktor minimierte Eigenfrequenz des Systems. Je größer die Dämpfung, desto kleiner ist logischerweise die Resonanzkurve des
Systems. Bei großen Anregungsfrequenzen geht die Resonanz des Systems gegen null, da die Trägheit
überwiegt.
1.1.2 Hysterese
Bei nichtlinearen Oszillatoren ist die Eigenfrequenz eines Systems abhängig von der Anregungsamplitude. Damit kann sich bei der Annäherung an die Resonanzfrequenz diese durch die resonanzbedingte
Vergrößerung der Amplitude verschieben. Dies ist bei Annäherung von hohen und von niegdrigen Frequenzen möglich. Dadurch entstehen bestimmte Gebiete um die eigentliche Resonanzfrequenz, wo zwei
Amplitudenzustände parallel nebeneinander existieren. Durch Störung des Systems ist es möglich aus
dem einen in den anderen Zustand überzugehen.
Abbildung 1.1: Hysterese eines “weichen” Oszillators, wie er bei uns vorliegt, vgl. Kapitel 1.1.3; Quelle:
Versuchsanleitung
1.1.3 nichtlineare Dynamik
In der nichtlinearen Dynamik treten bei Systemänderungen nichtlineare Faktoren auf, die in den Differenzialgleichungen beschrieben werden. Teillösungen des Systems lassen sich dadurch nicht mehr
superponieren. Für kleine Auslekungen lassen sich in der Regel die nichtlinearen Terme vernachlässigen, so dass sich das System harmonisch verhält.
In unserem Versuch haben wir es mit einem “weichen” Oszillator zu tun, der Toda-Gleichung genügt:
ẍ + d ẋ + e x + 1 = a cos(ωt)
(1.1)
3
1.1.4 Bifurkationen
In nichtlinearen Systemen treten Verzweigungen von Zuständen auf, die als Bifurkationen bezeichnet
werden. In Bifurkationsdiagrammen lassen sich diese Verzweigungen sichbar machen, sowie Periodenverdoppelung bei bestimmten Zuständen. Bifurkationen lassen sich an Hand von der Umlaufzahl des
Attraktors im Phasenraum erkennen.
1.1.5 Chaos
Chaotische Zustände lassen sich nicht berechnen und verhalten sich zufällig. Bei nichtlinearen Systemen
tritt Chaos häufig aus. Die Attraktoren bei solchen Systemen sind nie geschlossen sondern gehen spontan
in neue Zustände über.
1.1.6 Attraktoren
Attraktoren sind Grenzzustände der Trajektorien im Phasenraum. Harmonische und nichtharmonische
Systeme können sich nach endlicher Zeitentwicklung auf periodische Oszillationen einschwingen, die
dann als Attraktoren bezeichnet werden. Ist dies nicht der Fall so herrschen im Allgemeinen chaotische
Zustände. Im dreidimensionalen Fall können sogenannte seltsame Attraktoren entstehen, bei denen das
System ständig zwischen Zuständen und damit Attraktoren wechselt. Dadurch entsteht der Anschein eines nichtchaotischen Zustandes, die Vorhersagbarkeit über die Zustandswechsel ist jedoch nicht gegeben
und das System ist chaotisch.
1.1.7 Lyapunov Exponenten
Die Lyapunov Exponenten beschreiben die zeitliche Zustandsänderung einer Trajektorie. Sind diese positiv so divergieren zwei infinitesimale Zustände nach gewisser Zeit und lassen sich nicht mehr auf den
selben Anfangszustand zurückführen. Bei negativen Lyapunov Exponenten konvergieren die Zustände
gegen einen gemeinsamen Attraktor. Die Lyapunov Exponenten lassen sich mit folgender Gleichung beschreiben:
δx t 2 = δx t 1 · eλi (t 2 −t 1 )
Die Lyapunov Exponenten geben außerdem einen Aufschluss über den Infotmationsgehalt des Systems.
So gibt die Summe über die Exponenten den Wert der Entropie des Systems.
1.2 Der Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau besteht aus der Serienschaltung eines Widerstandes, einer Spule und einer spannungsabhanngigen Kapazitattsdiode. An diese Schaltung wird eine kHz-Wechselspannung angelegt und
die Schaltung damit zu einem Schwinkreis angeregt.
4
Abbildung 1.2: Der Versuchsaufbau ist ein Serienresonanzkreis, bestehend aus einer Spule, einem Widerstand, einer spannungsabhanngigen Kapazitattsdiode und einer angelegten Wechselspannung.
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2 Durchführung
2.1 Vermessen der Diodenspannung
Wir haben zunächst eine Anregungsfrequenz von 100mV eingestellt und entsprechend Diodenspannungen an der Diode vermessen. Da in diesem Anregungsbereich noch keine Hysterese auftritt haben wir nur
wenige Punkte vermessen, die wir für die Auwertung angefittet haben. Das Maximum der Resonanzkurve
wurde bei 150kHz identifiziert.
Frequenz [kHz]
50
100
150
200
250
Diodenspannung [mV]
47
70
310
66
25
Tabelle 2.1: Diodenspannung in Abhängigkeit der Frequenz für 100mV Anregungsspannung
Für eine Anregungsspannung von 1V erwarten wir ein Hystereseverhalten. Durch ausprobieren wurden die Hysteresepunkte festgestellt und anschließend in zwei Richtungen vermessen. Hierbei wurden
Schwankungen außerhalb des Hysteresebereichs ausgemacht, die wir auf Spannungsschwankungen und
Messungenauigkeiten der Geräte zurückführen und auch nicht stark variieren.
Frequenz [kHz]
50
60
67
68
69
70
71
71.825
73
80
100
Diodenspannung [mV]
920
900
780
720
710
710
720
1160
1160
1040
840
Tabelle 2.2: Diodenspannung in Abhängigkeit der Frequenz für 1V Anregungsspannung; gemessen von
niedriger Frequenz beginnend.
6
Frequenz [kHz]
50
60
66.32
68
69
70
71
72
73
80
100
Diodenspannung [mV]
950
900
800
1200
1200
1200
1180
1160
1160
1060
840
Tabelle 2.3: Diodenspannung in Abhängigkeit der Frequenz für 1V Anregungsspannung; gemessen von
hoher Frequenz beginnend.
2.2 Analyse der Schwingungstypen
Hier wurde über den Widerstand die Spannung abgegriffen um die dazu proportionale Stromstärke
zu erhalten. Die Anregungsspannung und die Resonanzspannung wurden mit einer PC-Software aufgenommen und dargestellt sowie eine schnelle Fouriertransformation (Leistungsspektrum) durchgeführt.
Außerdem wurden beide Spannungen auf dem Oszilloskop im Phasenraum betrachtet; hier konnte man
die Attraktoren der Schwingungsformen beobachten.
2.3 Resonanzkurve und Bifurkationen
Für die Resonanzkurve wurde der Sinusgenerator auf den Sweepmodus umgestellt. Dies bedeutet, dass
der Frequenzbereich von 50-550kHz periodisch durchfahren wird. Das Sweepsignal wird auf den XEingang am Oszilloskop aufgetragen. Die x-Achse des Oszilloskop lässt sich genau auf die 500kHz verteilen, so dass diese Frequenzgeeicht ist und man die Amplitude für jede Frequenz auslesen kann.
Bei den dargestellten Resonanzkurven ließen sich schon Frequenzverdoppelung und chaotische Zustände erkennen. Da jedoch die gesamte Amplitude als Fläche dargestellt wurde, war eine quantitiative
Analyse der Bifurkationen nicht möglich. Deshalb wurde ein zur Anregung synchrones Rechteckssignal
über einen Pulsgenerator auf den Z-Eingang des Oszilloskop gegeben. Dadurch war nicht die gesamte
Amplitude des Schwingung beobachtbar, sondern nur einen Punkt. Auf dem Oszilloskop war jetzt das
Bifurkationsdiagramm deutlich erkennbar.
2.4 Phasendiagramm
Durch die klaren Bifurkationsdiagramme und die geeichte x-Achse konnte jetzt ein Bild des gesamten Phasenraums erstellt werden. Hierzu wurde das Bifurkationsdiagramm in 1-Volt Schritten für den
Frequenzbereich von 50 kHz bis 550 kHz analysiert und die entsprechenden Zustände in ein Phasendiagramm eingetragen. Vermessen wurde von 0 Volt bis 20 Volt.
7
3 Auswertung
3.1 Vermessen der Diodenspannung
Wie schon in der Durchführung erwartet ergibt sich für eine Anregungsspannung von 100mV eine typische Resonanzkurve. Die Messpunkte wurden mit einer allgemeinen Resonanzamplitudenfunktion für
harmonische Oszilatoren gefittet:
A(w f ) =
1
F0
m
Æ
(w02 − w 2f )2 + 4w 2f β 2
Da sich die Potentiale der nichtlinearen Oszillatoren in diesem Anregungsbereich noch stark an dem
quatratischen des harmonischen Oszillators orientieren, reichen unsere fünf Messpunkte aus um die
Resonanzamplitudenfunktion anzufitten. Man erkennt die asymptotische Näherung an die null bei hohen
Frequenzen, die wie schon erwähnt auf die Trägheit des Oszillators zurückzuführen ist.
350
Resonanzkurve
300
Spannung / mV
250
200
150
100
50
0
0
100
200
300
Frequenz / kHz
400
500
Abbildung 3.1: Resonanzkurve in Abhängigkeit der Frequenz bei 100mV Anregungsspannung; Der gedämpfte nichtlineare Oszillator verhält sich bei kleinen Anregungsspannungen wie ein
harmonischer Oszillator.
Bei einer Anregungsspannung von 1V konnte man den Sprung durch die Hysterese deutlich am Messgerät erkennen; innerhalb von wenigen Millivolt änderung am kritischen Punkt änderte sich die Diodenspannung schlagartig. Wie man gut in Abbildung 1.1.2 erkennnen kann, ändert sich die Diodenspannung
8
plötzlich bei der Annäherung von niedrigen Frequenzen bei 71,825 kHz und bei 66,32kHz für die Annhäherung von hohen Frequenzen.
1200
Frequenzerhöhung
Frequenzerniedrigung
Spannung / mV
1100
1000
900
800
700
50
60
70
80
Frequenz / kHz
90
100
Abbildung 3.2: Hystereseeffekt bei 1V Anregungsspannung; Es gibt einen deutlichen Unterschied zwischen der Annäherung von hohen Frequenzen und von niedrigen.
3.2 Analyse der Schwingungstypen
??
bei 1.2V
Bei einer Anregungsspannung von 1.2 V finden wir eine einfache periodische Schwingung. Gut zu erkennen sind die Oberwellen in der FFT. Trotz Umlaufzahl 1 ist der Attraktor nicht kreisförmig, was sich
mit den entstandenen Oberwellen erkären lässt.
9
bei 1,95V
Bei einer Anregungsspannung von 1.95V können wir eine Periodenverdoppelung zum vorigen Zustand
beobachten. Der Attraktor teilt sich auf in zwei fast identische Wege. Das lässt sich auch in der Wellenfunktion beobachten; die Unterschiede sind nur bei näherem Hinsehen erkennbar, so dass auf eine
Periodenverdoppelung geschlossen werden kann. In der FFT lassen sich dadurch Zustände bei 2n f beobachten.
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bei 2.3V
Bei einer Anregungsspannung von 2.3V lässt sich nochmals eine Periodenverdoppelung feststellen, was
sich jetzt deutlicher in der Wellenfunktion widerspiegelt. Der Attraktor hat jetzt 4 Umläufe; eine Periodenvervierfachung liegt vor. In der FFT lassen sich dadurch Zustände bei 2n f und 4n f beobachten.
bei 3V
Bei einer Anregungsspannung von 3V beobachten wir nun Chaos. Es bildet sich ein seltsamer Attraktor
aus, bei dem man glaubt, das noch stabile Zustände vorliegen. Betrachtet man jedoch die Wellenfunktion, so stellt man fest das sich bestimmte Bereiche wiederholen. Jedoch ist der Abstand und die Länge
dieser periodischen Bereiche zufällig und folgt keinem Muster; es ist chaotisch. In der FFT lässt sich das
chaotische Bild bestätigen; hier gibt es keine klaren Linien sondern eine eher kontinuierliche Verteilung
der Frequenzen.
11
bei 6.4V
Bei einer Anregungsspannung von 6.4V stellen wir eine Periodenverdreifachung fest. Die Umlaufzahl des
Attraktors ist enstprechend 3. In der FFT lassen sich dadurch Zustände bei 3n f beobachten.
12
bei 9.5V
Bei einer Anregungsspannung von 9.5V können wir wieder eine Periodenverdoppelung zum vorigen
Zustand beobachten. Der Attraktor teilt sich erneuert in zwei fast identische Wege auf. Auch hier sind
die Unterschiede in der Wellenfunktion kaum bemerkbar. In der FFT lassen sich dadurch Zustände bei
n
f und 6n f beobachten.
3
3.3 Resonanzkurve und Bifurkationen
3.3.1 Resonanzkurve
Hier sehen wir die Resonanzkurve für 100mV. Gut erkennbar ist der noch fast symmetrische Resonanzbereich und das Abklingen für große Frequenzen. Da in diesem Anregungsbereich noch keine Hysterese
auftritt, wie schon in Abschnitt 2.1 gezeigt, treten hier noch keine Bifurkationen auf.
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Abbildung 3.3: Resonanzkurve bei geringer Anregung; die obere Kante des Bildes stellt die Resonanzkurve des angeregten Oszillators dar.
Bei einer Anregung von 1V erkennen wir eine deutliche Assymetrie der Resonanz. Die schon in Abschnitt 2.1 bezeugte Hysterese ist hier gut erkennbar. Auerdem finden wir chaotische und periodenverdoppelnde Bereiche bei niedrigen Frequenzen, die wir mit diesem Bild qualitativ noch nicht differieren
können, da sie sich überlagern. Bereits jetzt lässt sich eine Periodenverdopplung in Form einer auftretenden Blase feststellen.
Abbildung 3.4: Resonanzkurve bei höherer Anregung; auf der linken Seite des Bildes ist die Aufteilung in
Oberschwingungen deutlich zu erkennen. So gibt es mehrere stabile Zustände
3.3.2 Bifurkation
Wie zu erwarten sehen wir bei geringer Amplitude eine klare Bifurkationskurve (Abbildung 3.5). Bei
kleinen Frequenzen (links) beginnt sie mit einer Frequenz, durchläuft anschließend zwei Frequenzverdopplungen und mündet letztendlich wieder bei einfacher Frequenz. Die Frequenzverdopplung lässt sich
auf die Oberschwingungen zurückführen.
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Abbildung 3.5: Bifurkationskurve bei geringer Anregung; von links (geringe Frequenz) nach rechts (hohe
Frequenz) erkennen wir die Aufspaltung in zwei, anschließend in vier Schwingungen, bis
wieder zwei Schwingungen auftreten und letztlich wieder eine. Dies ist eine Folge der
Bifurkation
Bei größerer Anregung haben wir weiterhin auftretende Frequenzverdopplungen, die allerdings durch
Bereiche des Chaos getrennt sind. Dies kommt zustande, da in diesen bereichen kein stabiler Schwingungszustand mehr existiert.
Abbildung 3.6: Bifurkationskurve bei höherer Anregung; neben Bereichen meherer Oberschwingungen
(wie aus der gering angeregten Kurve bekannt) erkennen wir bei höherer Anregung verrauschte Bereiche. Diese sind chaotisch.
3.4 Phasendiagramm
Auf dem Phasendiagramm ist die Anzahl der Schwingungen über die Frequenz und Amplitude der Anregung aufgetragen. Wir sehen deutlich, dass die Schwingungen nach Rechts und links aus dem Diagramm
wandern und mittig neue Oberschwingungen entstehen. Merkwürdig ist dabei die am rechten Rand vorherschende Verschiebung der Oberschwingungen in einen Bereich kleinerer Frequenzen. Wir erwarten,
dass dies am Messaufbau liegt.
Des weiteren sind im Phasendiagramm die Punkte aufgetragen, an denen wir in Abschnitt ?? unsere
Attraktoren gemessen haben.
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Abbildung 3.7: Phasendiagramm; für das Phasendiagramm wurden Bifurkationskurven unterschiedlicher
Anregung (y-Achse) über den Frequenzbereich von 50-550kHz (x-Achse) ausgewertet. Die
unterschiedliche Anzahl der Schwingungen ist dabei farblich markiert (siehe Legende).
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Literaturverzeichnis
[MES, 2008] “Messtechnik” von Dr. Kerstin Sonnabend
(Skript zur Vorlesung SS2008 an der technischen Universität Darmstadt)
[Anleitung NLD] Anleitung des Versuchs “Resonanzverhalten nichtlinearer Oszillatoren”, Stand 18. Mai
2009
[Demtröder IV] Experimentalphysik 4 (2. Auflage)
Author: Prof. Dr. Wolfgang Demtröder
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Abbildungsverzeichnis
1.1 Hysterese eines “weichen” Oszillators - Quelle: Versuchsanleitung . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Versuchsaufbau, aus dem Anleitungsblatt des Versuchs „Resonanzverhalten nichtlinearer
Oszillatoren“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Resonanzkurve bei 100mV Anregungsspannung; Erstellt von Jan Wagner
lizensiert unter cc-by-sa (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/) . . . . . . .
3.2 Hystereseeffekt bei 1V Anregungsspannung; Erstellt von Jan Wagner
lizensiert unter cc-by-sa (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/) . . . . . . .
3.3 Resonanzkurve bei geringer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Resonanzkurve bei höherer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Bifurkationskurve bei geringer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Bifurkationskurve bei höherer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Phasendiagramm; Erstellt von Konstantin Ristl
lizensiert unter cc-by-sa (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/) . . . . . . .
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14
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15
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