Summen - ETH Zürich

C. Eicher
Analysis Study Center
ETH Zürich
HS 2015
Summen
Die Summe
P von mehreren Zahlen a1 , a2 , . . . , an kann mit Hilfe des Summenzeichens
geschrieben werden
a1 + a2 + · · · + an =
n
X
ak .
k=1
Hier heisst k Laufvariable oder Summationsindex und k = 1 bzw. k = n ist
ihre untere bzw. obere Grenze. Die Laufvariable wird auch als gebundene
Variable bezeichnet, da sie nicht mehr frei wählbar ist. Sind Zahlen
a11 , a12 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . , amn
durch zwei Indizes bezeichnet, so kann man deren Summe als
a11 + a12 + · · · + a1n
+a21 + a22 + · · · + a2n
+...
+am1 + am2 + · · · + amn =
m
X
(ak1 + ak2 + · · · + akn ) =
k=1
n
m X
X
akl .
k=1 l=1
schreiben.
Der letzte Ausdruck heisst Doppelsumme, darin ist
P
und m
die
äussere Summe.
k=1
Pn
l=1
die innere
Gelöste Aufgabenbeispiele:
1. Seien a1 , a2 , . . . , aN +1 beliebige Zahlen und n ≤ N . Zeige
aN +1 − an .
PN
k=n (ak+1
− ak ) =
Erste Lösung: Wir schreiben die Summe aus
N
X
(ak+1 − ak ) = (an+1 − an ) + (an+2 − an+1 ) + · · · + (aN +1 − aN )
k=n
Bitte wenden!
und beobachten, dass an+1 im ersten Summanden mit −an+1 im zweiten Summanden etc. kürzt
(an+1 − an ) + (an+2 − an+1 ) + · · · + (aN +1 − aN ) = −an + aN +1 .
Man spricht von einer Teleskopsumme.
Zweite Lösung: Wir zeigen nun, wie man das gleiche Resultat ohne Ausschreiben
der Summe erhält. Wir schreiben die Summe von Differenzen als Differenz von
Summen
N
X
(ak+1 − ak ) =
N
X
k=n
ak+1 −
N
X
k=n
ak .
k=n
In der ersten Summe führen wir nun die neue Laufvariable l := k + 1 ein. Weil
k von n bis N läuft, läuft l von n + 1 bis N + 1
N
X
ak+1 =
k=n
N
+1
X
al .
l=n+1
Wenn wir in der Differenz der Summen die Laufvariable der zweiten Summe von
k nach l umbenennen, erhalten wir eine Differenz von Summen über l, die sich
nur in der unteren und oberen Grenze der Laufvariable unterscheiden
!
!
N
N
N
N
+1
X
X
X
X
al = aN +1 − an .
al − an +
al = aN +1 +
al −
l=n+1
l=n+1
l=n+1
l=n
2. Zeige
n
X
(
k=
n
2
k=1 : k gerade
n
+1
2
n−1
n+1
2
2
n gerade
.
n ungerade
Hier ist mit “: k gerade” unter der Summe angezeigt, dass man nur über die
geraden k summiert.
Lösung:
Die der Lösung zu Grunde liegende Idee ist, dass jede gerade natürliche Zahl k
eindeutig als k = 2l für eine natürliche Zahl l geschrieben werden kann. Wir
betrachten zuerst den Fall, wo n gerade ist. Dann läuft l von 1 bis n2 (eine
natürliche Zahl) und wir können die Summe über k als Summe über l schreiben
n
X
k=1 : k gerade
n
k=
2
X
2l .
l=1
Siehe nächstes Blatt!
Wir bemerken nun
n
n
2
X
2
X
2l = 2
l=1
l=1
n n
l=
+1 .
2 2
Im Fall wo n ungerade ist, sind die geraden Zahlen zwischen 1 und n gegeben
(ein Element von N0 ), wir
durch 2, 4, . . . , n − 1. Folglich läuft l von 1 bis n−1
2
können die Summe über k als Summe über l schreiben und erhalten wie im ersten
Fall
n
X
n−1
k=
2
X
l=1
k=1 : k gerade
n−1
2l =
2
n−1
+1
2
=
n−1
2
n+1
2
.
Wir bemerken, dass es für n = 1 kein k gibt, dass die Bedingungen erfüllt. Die
Summe heisst dann leer und ihr Wert ist null. Dieser Fall ist bereits durch die
Formel für allgemeine ungerade n abgedeckt, da n−1
= 0 für n = 1 ist.
2
3. Zeige
n
X
1=
j,k=1 : k≤j
n(n + 1)
.
2
Lösung: Ausführlicher geschrieben ist die linke Seite
n
X
1=
n
X
n
X
1.
j=1 k=1 : k≤j
j,k=1 : k≤j
In der inneren
Pj Summe ist j (aber nicht k) eine freie Variable. Die innere Summe
kann als k=1 geschrieben werden und folglich ist
n
X
n
X
1=
j
n X
X
1=
j=1 k=1
j=1 k=1 : k≤j
n
X
j=
j=1
n(n + 1)
.
2
Bemerkung: Genauso könnte man die linke Seite als
n
X
1=
j,k=1 : k≤j
schreiben. Nun ist
Pn
j=1 : k≤j
n
n
X
X
k=1 j=1 : k≤j
=
Pn
1=
j=k
n
n
X
X
1
k=1 j=1 : k≤j
und folglich
n X
n
X
k=1 j=k
n
X
1=
(n − k + 1) .
k=1
Bitte wenden!
Führen wir die Laufvariable l := n − k + 1 ein, so geht diese von l = n − n + 1 = 1
bis l = n − 1 + 1 = n, also ist
n
n
X
X
n(n + 1)
.
(n − k + 1) =
l=
2
k=1
l=1
(Wir haben verwendet, dass k 7→ l = n − k + 1 eine Bijektion der Indexmenge
{1, 2, . . . , n} mit sich selbst ist.)
4. Zeige
2n+1
X
l=1 : l ungerade
2n + 1
l
= 22n .
Hier sind 2n+1
Binomialkoeffizienten.
l
Lösung: Wenn l durch die ungeraden Zahlen zwischen 1 und 2n+1 läuft, können
wir durch l = 2k + 1 eine neue Laufvariable k einführen, die von 0 bis n läuft.
Also können wir die Summe als
X
2n+1
n X
2n + 1
2n + 1
=
l
2k + 1
l=1 : l ungerade
k=0
schreiben. Mit der Pascal’schen Identität
n X
2n + 1
k=0
2k + 1
2n+1
2k+1
=
2n
2k+1
+
2n
2k
finden wir
X
X
n n n X
2n
2n
2n
2n
=
+
=
+
.
2k
+
1
2k
2k
+
1
2k
k=0
k=0
k=0
2n
Weil 2n+1
= 0 gilt, können wir die obere Grenze der ersten Summe durch n − 1
ersetzen. Nun läuft 2k + 1 durch alle ungeraden Zahlen zwischen 0 und 2n, wenn
k von 0 bis n − 1 läuft, und 2k läuft durch alle geraden Zahlen zwischen 0 und
2n, wenn k von 0 bis n läuft. Also gilt
X
X
n−1 n 2n X
2n
2n
2n
+
=
= (1 + 1)2n = 22n ,
2k
+
1
2k
j
j=0
k=0
k=0
wenn wir den binomischen Lehrsatz verwenden.
5. Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Identität für Binomialkoeffizienten
k X
m+n
m
n
=
.
k
j
k−j
j=0
Siehe nächstes Blatt!
Hinweis: (1 + x)m+n = (1 + x)m (1 + x)n
Lösung:
Der binomische Lehrsatz besagt
N
(1 + x) =
N X
N
l=0
l
xl .
Einsetzen in die im Hinweis gegebene Identität (1 + x)m+n = (1 + x)m (1 + x)n
ergibt
! n !
m+n
m X m + n
X
X n
m
xk =
xj
xi .
(1)
k
j
i
j=0
i=0
k=0
Wir berechnen die rechte Seite mit Hilfe der Cauchy-Produktformel
! m+n k !
m+n
k X X
X X m
m j
n
n
x
xk−j =
xk .
j
k
−
j
j
k
−
j
j=0
j=0
k=0
k=0
(1) ist eine Gleichheit von Polynomen. Diese gilt genau dann, wenn die Koeffizienten gleich sind. Die Gleichheit der Koeffizienten ist die gesuchte Identität
X
k m+n
m
n
=
.
k
j
k
−
j
j=0