§2 Die Menge der ganzen Zahlen

§2
Die Menge der ganzen Zahlen
von
Peter Franzke in Berlin
Die Menge der ganzen Zahlen
Das System der natürlichen Zahlen weist einen schwerwiegenden Mangel auf:
Es gibt Zahlen m, n  derart, dass die lineare Gleichung der Form m  x  n keine Lösung in besitzt, wie z. B. die Gleichungen m  x  m und 7  x  3 zeigen.
Diesen Nachteil beseitigt man, indem man den Zahlenraum zu einem neuen
Zahlenraum , Menge der ganzen Zahlen, derart erweitert, dass eine echte
Teilmenge von ist und die Zahlen in dem neuen Zahlenraum denselben Rechengesetzen unterworfen sind wie die in .
Ist die obige Gleichung für das Zahlenpaar (m, n) lösbar, so ist sie das auch für
das Paar (m  a, n  a) . Dieser Sachverhalt führt zu der Idee, den neuen Zahlenraum mit Hilfe einer Äquivalenzrelation auf dem kartesischen Produkt
 : 2 : {(s, t ) | s, t  } zu konstruieren.
Definition: Auf dem kartesischen Produkt 2  {(s, t ) | s, t  }   sei die folgende binäre Relation definiert: Seien (a, b),(c, d )  2 . Dann steht das Paar (a, b)
in Relation zu dem Paar (c, d ) , im Zeichen (a, b) (c,d) , genau dann, wenn
a  d  c  b gilt.
Satz: Die oben definierte Relation
auf

ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis: Zu zeigen sind (i.) die Reflexivität, (ii.) die Symmetrie und (iii.) die Transitivität der Relation :
i.
ii.
(a, b)
(a, b)
2
.
(c, d )  a  d  c  b  c  b  a  d  (c,d)
(a, b),(c,d) 
iii.
(a, b) für alle (a, b) 
a  b  a  b  (a, b)
2
(a, b) für alle
.
(c, d )  (c, d )
(e, f )  a  d  c  b  c  f  e  d 
a d  f  cb f  c  f bc  f b  ed b  a d  f  ed b 
a  f  d  e  b  d  a  f  e  b  (a, b)
(a, b),(c,d),(e.f) 
2
(e, f ) für alle
.
Definition: Die Menge der zu dieser Äquivalenzrelation gehörenden Äquivalenzklassen, die sog. Faktormenge oder Quotientemenge von 2 bzgl. , wird
mit : 2 / :  {[ x, y] | x, y  } bezeichnet. Dabei ist
[ x, y]: {(a, b)  2 | (a, b) (x, y)} die Äquivalenzklasse von ( x, y) bezüglich .
Allgemein gilt für jede Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge der
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Satz: Sei X eine nichtleere Menge und eine Äquivalenzrelation auf X . Die
Menge der Äquivalenzklassen von x  X werde mit X / : {[ x] | x  X } bezeichnet. Dann gilt:
i.
ii.
[ x]   für alle x  X .
X
[ x] .
xX
iii.
[ x] [ y]    x
y  [ x]  [ y] .
Beweis: Aufgrund der Reflexivität von gilt x [ x] für alle x  X , so dass
[ x]   für alle x  X . Ferner ist jedes Element in einer Äquivalenzklasse enthalten. Damit sind die ersten zwei Teilaussagen bewiesen.
Sei [ x]  [ y]   . Dann gibt es ein u  X mit u [ x]  u [y] . Daraus folgt
u x  u y . Symmetrie und Transitivität der Relation führen zu x y .
Nun gelte x y . Sei v [ x] . Dann ist v x  x y , also v y , d. h. v [y] . Daraus
folgt [ x]  [ y] . Analog zeigt man [y]  [x] , so dass [ x]  [ y] . Wenn die Klassen
gleich sind, ist selbstverständlich ihr Durchschnitt nicht leer.
Nach diesem Satz bilden die Äquivalenzklassen von 2 eine sog. Partition von
2
, d. h. 2  {(s, t ) | s, t  } ist eine disjunkte Vereinigung nichtleerer Teilmengen von 2 .
Definition (Addition und Multiplikation in
):
 Die binäre Abbildung  :   (Summe zweier ganzer Zahlen) wird
definiert durch [u, v]  [s, t]: [u s, v t ] für alle [u, v],[s, t] .
 Die binäre Abbildung :   (Produkt zweier ganzer Zahlen) wird
definiert durch [u, v] [s, t]: [u s  v  t, u t  v  s] für alle [u, v],[s, t] .
Behauptung: Beide Abbildungen, Addition und Multiplikation, sind abgeschlossen und wohldefiniert, d. h. sie hängen nicht von der Wahl der Repräsentanten
ab. Genauer: Aus (a, b),(a, b) [u, v] und (c,d),(c,d) [s, t] folgt
[a, b]  [c, d ]  [a, b]  [c, d ]  [u, v]  [s, t]  und
[a, b] [c, d ]  [a, b] [c, d ]  [u, v] [s, t]  .
Beweis:
Addition: Seien (a, b) (a, b) und (c,d) (c,d) , d. h. (i) a  b  a  b und
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(ii) c  d   c  d . Addiert man diese beiden Gleichungen und beachtet das Assoziativ- und Kommutativgesetz im Zahlenraum , so erhält man
(a  c)  (b d)  (a c)  (b d) . Also gilt (a  c, b d) (a c, b d) , qed.
Multiplikation: Mit Hilfe der Gleichungen (i) und (ii) erhält man
(a  b)(c  c)  (a  b)(d  d )  (c  d )(a  a)  (c  d )(b  b) 
(a b)(c  c)  (a  b)(d  d )  (c  d )(a  a)  (c d )(b  b) .
Daraus folgt mit dem Assoziativ-Kommutativ- und Distributivgesetz im Zahlenraum
2(ac  bd  ad   bc)  (ac  cb  ad  bd )  (ac  ad   bc  bd ) 
2(ad  bc  ac  bd )  (ac  cb  ad  bd )  (ac  ad   bc  bd ) .
Die „Wegstreichregeln“ in
liefern:
ac  bd  ad   bc  ac  bd   ad  bc , so dass, wie behauptet,
(ac  bd , ad  bc)
(ac  bd , ad   bc) gilt.
Satz: Die nichtleere Menge : 2 /  {[ x, y] | x, y  } bildet zusammen mit der
oben definierten Addition eine abelsche Gruppe ( , ,[1,1])
Beweis: Zu zeigen sind (1.) das Assoziativgesetz, (2.) das Kommutativgesetz, (3.)
die Existenz eines neutralen Elementes sowie (4.) die Existenz inverser Elemente bezüglich der Addition. Man beachte dabei, dass die Gesetze (1.) und (2.) für
alle Zahlen aus gelten:
(1.)
([a, b]  [c, d ])  [e, f ]  [a  c, b d]  [e, f ] 
[(a  c)  e, (b d)  f]  [a  (c e), b (d  f)] 
[a, b]  [c  e, d  f ]  [a, b]  ([c, d ])  [e, f ]) : [a, b]  [c, d ] [e, f ]) für alle
[a, b],[c, d ],[e, f ]  .
(2.)
(3.)
[a, b]  [c, d ]  [a  c, b d]  [c a,d b]  [c, d ]  [a, b] für alle [a, b],[c, d ]  .
gilt (n, n) (m, m) , da n  m  m  n . Sei daher
[r, r ]: {(s, t) | s, t   s  t} . Dann gilt für alle [a, b] 
[a, b]  [r, r]  [a  r, b r ]  [a, b] , da (a  r, b r ) (a, b) , d. h. die Äquivalenzklasse [r , r ] ist das neutrale Element bezüglich der Addition  .
Man wähle als Repräsentanten dieser Äquivalenzklasse das Paar (1,1) .
([s, t ]  [r, r ]  (s, t ) (r, r)  s r  t  r  s  t) )
Für alle n, m
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(4.)
Für alle [a, b]  gilt [a, b]  [b,a]  [a  b, b a]  [a  b,a  b]  [1,1] . Die
Äquivalenzklasse [b, a] ist demnach invers zur Äquivalenzklasse [a, b]
und umgekehrt. Man schreibt: [b, a]: [a, b] .
Mit Hilfe der Gruppeneigenschaft (4.) lässt sich nunmehr auch in
traktion definieren:
Definition (Subtraktion in
eine Sub-
):
Die binäre Abbildung Θ:   (die Differenz zweier ganzer Zahlen) wird definiert durch [u, v] Θ [s, t]: [u, v]  ([s, t])  [u, v]  [t,s]  [u t, v s] für alle
[u, v],[s, t] .
Wie vielleicht dem geneigten Leser schon bekannt ist, genügt die Subtraktion
im Allgemeinen nicht dem Assoziativ- und auch nicht dem Kommutativgesetz:
Für [e, f ]  [1,1] gilt
([a, b] Θ [c, d ]) Θ [e, f ] = ([a, b]  ([c, d ])) Θ [e, f ] = ([a, b]  [d , c]) Θ [e, f ] =
[a  d , b  c] Θ [e, f ] = [a  d , b  c]  [f,e]  [a  d  f , b  c  e]  [a  d  e, b  c  f ] 
[a, b]  [d  e, c  f ]  [a, b] Θ [c  f , d  e]  [a, b] Θ ([c, d ]  [ f , e])  [a, b] Θ ([c, d ] Θ [e, f ]) .
Für a  d  b  c gilt [a, b] Θ [c, d ] = [a  d , b  c]  [c b,d a]  [c,d]  [b,a] 
[c, d ] Θ [a, b] .
Satz: Die nichtleere Menge : 2 /  {[ x, y] | x, y  } bildet zusammen mit der
oben definierten Multiplikation eine kommutative Halbgruppe ( , ,[1 ,1]) mit
dem neutralen Element (Einselement) [1 ,1] (zur Erinnerung: n ist der eindeutig
bestimmte Nachfolger der natürlichen Zahl n.).
Beweis: Zu zeigen sind (1.) das Assoziativgesetz, (2.) das Kommutativgesetz und
(3.) die Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Multiplikation. Man
beachte dabei insbesondere die Gültigkeit der Distributivgesetze im Zahlenraum :
(1.)
([a, b] [c, d ])
[e, f ]  [ac bd,ad bc] [e, f ] 
[(ac  bd )  e  (bc  ad )  f ,(ac  bd )  f  (bc  ad )  e] 
[ace  bde  bcf  adf , acf  bdf  bce  ade] 
[ace  adf  bde  bcf , ade  acf  bce  bdf ] 
[a  (ce  df )  b  (de  cf ), a  (de  cf )  b  (ce  df )] 
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Die Menge der ganzen Zahlen
[a, b] [ce  df , cf  de]  [a, b]
([c,d] [e,f]) : [a, b] [c,d] [e,f] für alle
[a, b],[c, d ],[e, f ]  .
(2.)
[a, b] [c, d ]  [ac bd,ad bc]  [ca  db, cb  da]  [c, d ] [a, b] für alle
[a, b],[c, d ]  .
(3.)
gilt (a  b) 1  a 1  b  b  a  a  b 1 . Daraus folgt
(a 1  b,a  b 1 ) (a, b) , so dass [a, b] [1 ,1]  [a, b] für alle [a, b]  .
Für alle a, b 
Satz: Die nichtleere Menge : 2 /  {[ x, y] | x, y  } bildet zusammen mit den
oben definierten zweistelligen Abbildungen Addition und Multiplikation einen
kommutativen, unitären Ring ( , ,[1,1], ,[1 ,1]) .
Beweis: Wie oben gezeigt wurde ist ( , ,[1,1]) eine abelsche Gruppe und
( , ,[1 ,1]) eine kommutative Halbgruppe mit Einselement. Es gilt [1,1]  [1 ,1]
(1  1  1  1) , so dass lediglich ein Distributivgesetz bewiesen werden muss: Zu
zeigen ist
[a, b]
([c, d ]  [e, f ])  [a, b] [c, d ] [a, b] [e, f ] für alle [a, b],[c, d ],[e, f ]  :
[a, b]
([c, d ]  [e, f ])  [a, b] [c  e, d  f ] 
[a  (c  e)  b  (d  f ), a  (d  f )  b  (c  e)]  [ac  ae  bd  bf , ad  af  bc  be] 
[(ac  bd )  (ae  bf ),(bc  ad )  (be  af )]  [ac  bd , ad  bc]  [ae  bf ,af  be] 
[a, b] [c, d ]  [a, b] [e, f ] .
Es gilt. [s, t ]  [m ,1]  (s, t ) (m ,1)  s  1  m  t  s  m  t  s  t . Dieser Sachverhalt führt zur folgenden
Definition: Die Teilmenge  : {[s, t] | [s, t]   s  t}  {[n ,1] | n  } von
die Menge der positiven ganzen Zahlen.
heißt
Satz: Die Menge  der positiven ganzen Zahlen ist gegenüber der Addition
und der Multiplikation abgeschlossen.
Beweis: Für alle [n ,1],[m ,1] 

gilt, da, wie eine kurze Rechnung ergibt,
(n  m ,(1  1)) ((n  m) ,1), [n ,1]  [m ,1]  [n  m ,(1  1)]  [(n  m) ,1]   . Ferner
hat man
[n ,1] [m ,1]  [n  m  11, n 1  m 1]  [(n  m) ,1] 

, da, wie man leicht nach-
rechnet, (n*  m*  11, n* 1  m* 1) ((n  m)* ,1) gilt.
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Die Menge der ganzen Zahlen
Folgerung: Die Abbildung  :   definiert durch n [n* ,1] ist surjektiv und
wegen [n* ,1]  [m* ,1]  (n* ,1)  (m* ,1)  n*  1  m*  1  n  m auch injektiv, also
eine Bijektion. Ferner ist die Abbildung, wie oben gezeigt wurde, strukturerhaltend, das bedeutet [(n  m) ,1]   (n  m)   (n)   (m)  [n ,1]  [m ,1] und
der
[(n  m) ,1]   (n  m)   (n)  (m)  [n ,1] [m ,1] für alle n, m . Die Menge
natürlichen Zahlen kann daher mit der Menge  der positiven ganzen Zahlen
identifiziert werden: n  [n ,1] , [n ,1]  [m ,1]  n  m , [n ,1] [m ,1]  n m . Für
das neutrale Element der Addition definiert man [n, n]: [0,0]  0 .
Es gilt: [s, t ]  [1, n ]  (s, t ) (1, n )  s  n  1  t  s  n  t  s  t . Das führt zur
folgenden
Definition: Die Teilmenge  : {[s, t] | [s, t]   s  t}  {[1, n ] | n  } von
die Menge der negativen ganzen Zahlen.
heißt
Bemerkung: Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen
gegenüber der Multiplikation, wie die folgende Rechnung zeigt:
ist 1  (n  1)  (m  1)  1  n  m*  n  1  m  1  n  m , so dass
[1, n ] [1, m ]  [1  n  m , m  n ]   gilt. Das ist die „klassische“ Regel „Minus
Für alle n, m
mal Minus ergibt Plus“.
Aufgrund der festgelegten Zuordnung n  [n* ,1]   und der Schreibweise
[1, n* ]  [n* ,1]   für die inversen Elemente setzt man [1, n* ]   n und erhält




{[1,1]} 
{1, 2, 3, 4, } {0}  {  4, 3, 2. 1,0,1, 2,3, 4, }: I
,die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen einschließlich der Null.
Um die geometrische Interpretation der einzelnen Äquivalenzklassen zu verbildlichen, trage man entsprechende Zahlenpaare ( x, y) natürlicher Zahlen als
Gitterpunkte in den 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems ein.
Alle Paare der Äquivalenzklasse [n ,1] (bzw. [1, m ] ) liegen auf der Geraden mit
der Gleichung x  y  n (bzw. y  x  m ) und der Steigung 1. Die Punktepaare der
Äquivalenzklasse [1,1] befinden sich alle auf der 1. Winkelhalbierenden. Schneidet man die Gerade mit der horizontalen Achse (bzw. mit der mit negativen
statt positiven Zahlen versehenden vertikalen Achse), so wird die Zuordnungsvorschrift [n ,1]  n (bzw. [1, m ]  m bzw. [1,1]  0 ) „sichtbar“.
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Die Menge der ganzen Zahlen
9
[1,7]
8
[1,6]
[1,5]
[1,4]
7
[1,3]
6
[1,2]
5
[1,1]
[2,1]
4
3
[3,1]
2
1
0
0
1
2
3
Abb. 1: Graphische Darstellung einiger Äquivalenzklassen im
4
5

Zusammenfassung: Es seien s, t  . Nach dem Trichotomiegesetz bezüglich der
Ordnungsrelation auf gibt es die drei folgenden Fälle:
a) s  t . Daraus folgt [s, t ]  [t, s]  [1,1]  0 .
b) s  t . Dann gibt es ein n  mit s  n  t . Daraus folgt s  1  n*  t und die
Zuordnung [s, t ]  [n* ,1]  n .
c) s  t . Dann gibt es ein m mit s  m  t . Daraus folgt s  m  t  1 und
die Zuordnung [s, t ]  [1, m* ]  [m* ,1]  m .
Folglich ist jeder Äquivalenzklasse aus genau ein Element aus
I  {  4, 3, 2.  1,0,1, 2,3, 4, } zugeordnet und umgekehrt, so dass diese beiden
Zahlenmengen bijektiv aufeinander abgebildet werden. Die binären Verknüpfen  und sind gerade so gewählt und definiert worden, dass die Gültigkeit
des Assoziativgesetzes, des Kommutativgesetzes sowie des Distributivgesetzes
im Zahlenraum auf den Bereich der ganzen Zahlen übertragen wird. Diese
Vorgehensweise, der man sich immer wieder bei Erweiterungen von Zahlenbereichen bedient, nennt man in der Mathematik „Permanenzprinzip“.
Somit ist der Zahlenraum
eingebettet im Zahlenraum
(  I ).
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Die Menge der ganzen Zahlen
„Herausgeholt“ hat man dabei die Existenz eines eindeutig bestimmten Nullelementes [1,1]  0 , die eines eindeutig bestimmten Einselementes [1 ,1]  1
und die Existenz der eindeutig bestimmten inversen Elemente. Nunmehr ist
jede lineare Gleichung der Form [a, b]  [ x, y]  [c, d ]  u  z  v in eindeutig
lösbar:
Die Addition des Inversen [b, a] von links liefert nach einigen Schritten die Lösung [x, y]  [b  c, a  d ] :
[b,a]  ([a, b]  [ x, y])  ([b,a]  [a, b])  [ x, y]  [1,1]  [ x, y]  [ x, y ] 
Ass.
[b, a]  [c, d ]  [b  c, a  d ] .
Ist [ x, y] eine weitere Lösung der Gleichung, dann gilt
[a, b]  [ x, y]  [a, b]  [ x, y]  [c, d ] . Addiert man, wie oben, das Inverse von [a, b]
,so erhält man nach einigen Schritten die „Wegstreichregel“, so dass
[ x, y]  [ x, y] gilt.
Die Rechnung in I liefert die eindeutige Lösung z  v  (u)  v  u :
(u)  (u  z)  (( u)  u)  z  0  z  z  ( u)  v  v ( u)  v u
Anzumerken ist noch, dass das Mysterium und die Rätselhaftigkeit der negativen Zahlen, die keine materielle Entsprechung in unserer Welt finden, sondern
nur gedankliche Objekte sind, den Mathematiker Michael Stifel, der diese Zahlen erstmals im Jahr 1544 erwähnt, veranlasst hat, von numeri absurdi zu sprechen.
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