ELEKTRISCHER DIPOL - Fakult at f ur Physik

Kapitel 5
ELEKTRISCHER DIPOL
Wegen der Linearität der Poisson Gleichung,
∆φ = −ρ/#0 gilt das Superpositionsprinzip:
$ = fc
φ(R)
!
i
Qi
$
|R − $ri |
%
(5.1)
! $"
#
&'
Für Ladungen, die im Raum kontinuierlich
verteilt sind gilt
"
ρ($r) dV
$ = fc
φ(R)
(5.2)
$ − $r|
V |R
"
#
!
ist allerdings die Potentialgleichung nur selten analytisch lösbar. In diesem Fall
bewährt sich die sogenannte Multipolentwicklung. Der Gedanke dahinter ist
folgender: Ist der Aufpunkt P (R) weit entfernt von der Ladungsverteilung, kann
man das Potential in Summanden einfacher Ladungsverteilungen zerlegen. Diese beschreiben das Potential eines Monopols (Punktladung), Dipols
(Punktladungspaar), Quadrupols (Dipolpaar), . . . .
Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei
entgegengesetzt gleichen Ladungen Q im Abstand d. Das elektrische Dipolmoment ist definiert als
p$ = Q d$
!
'$ ()
& '%
&
" #
!
(5.3)
'$
$
Aus der Überlagerung des Potentialfeldes der
beiden Punktladungen ergibt sich das Dipolpotential
φdipol = fc Q
#
1
$
$ − d/2|
|R
−
1
$
$ + d/2|
|R
$
()
"
& '
%#
(5.4)
$ von den entsprechenen Ladungen zum Aufpunkt
$ ± d/2
wobei die Vektoren R
zeigen.
39
40
KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL
Das Bild zeigt den Potentialverlauf (“die potentielle Energie einer
Punktladung”) in der
Umgebung der beiden
Ladungen ±Q.
-2
-1
0
1
2
2
0
-2
2
1
0
-1
-2
In einer Reihen-Entwicklung für R " d erhalten wir
1
1
1
%
=
$
$ ± d/2|
! d!
R
|R
1 ± R·
R2 +
d2
4R2
Damit ergibt sich für (R " d)
φdipol = fc Q
1
1
%
≈
R
1±
! d!
R·
R2
1
≈
R
#
$ · d$
1R
± ....
1∓
2 R2
$ · p$
$ · d$
R
p cosθ
R
=
f
= fc
c
R3
R3
R2
$
(5.5)
ein Potential, das in großer Entfernung (R " d) mit 1/R2 abnimmt.
exakt
2
Die Bilder oben zeigen
die
Potentialverteilung
nach der exakten Gleichung 5.4. Die Bilder
unten zeigen die Potentialverteilung nach der
Näherung 5.5. Die beiden Ladungen befinden
sich bei den Positionen
x = y = 0, z = ±1. Weit
von diesen Positionen (die
Bilder rechts) sind die
Lösungen von Gl. 5.4 und
Gl.5.5 praktisch identisch.
1
10
0
2
1
0
10
1
2
Näherung : R !! d
20
20
20
1
10
1
0
10
20
Näherung : R !! d
0
1
0
10
0
2
2
0
1
2
2
exakt
20
10
1
2
20
20
10
0
10
20
Nabla Operator in Polarkoordinaten
Zur Berechnung des Feldstärkeverlaufs aus Gleichung 5.5 brauchen wir den Na-
41
bla Operator in Polarkoordinaten. Der Nabla in kartesischen Koordinaten ist
$ =
∇
&
êx
∂
∂
∂
, êy , êz
∂x
∂y
∂z
'
(5.6)
In einer beliebigen orthonormalen Basis gilt: ê1 ×ê2 = ê3 , ê2 ×ê3 = ê1 , ê3 ×ê1 = ê2 .
Die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten sind in kartesischer Basis:
êR
= { sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ }
êθ
= { cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ }
êϕ
= { − sin ϕ, cos ϕ, 0 }
radial
(5.7)
tangential an
Längenkreis
(5.8)
(5.9)
tangential an Breitenkreis
Den Differentialoperator in Polarkoordinaten erhalten wir indem wir uns infinitesimale Reisen auf einer (Erd)Kugel
überlegen:
R sin T dM
dR
z
R dT
dT
T
• nach Osten ändert sich nur ϕ,
der Weg = R sin θ dϕ
y
• nach Süden ändert sich nur θ,
der Weg = R dθ
dM
• nach Oben ändert sich nur R,
der Weg = dR
M
x
Damit wird Nabla in Polarkoordinaten:
$ =
∇
&
êR
∂
1 ∂
1
∂
, êθ
, êϕ
∂R
R ∂θ
R sin θ ∂ϕ
'
(5.10)
Mit diesem Ausdruck berechnen wir die Feldstärke in Polarkoordinaten:
$ = −∇φ
$ dipol = −
E
&
1
∂
∂ 1 ∂
,
,
∂R R ∂θ R sin θ ∂ϕ
'
φdipol
(5.11)
wobei wir die Dipolachse entlang der z-Achse ($
p || $z ) legen. Verwenden wir den
Ausdruck (5.5) für das Dipolpotential, ergibt sich eine Rotationssymmetrie des
Feldes um z mit den Feldkomponenten
ER
Eθ
Eϕ
2p cosθ
R3
p sinθ
= fc
R3
= fc
= 0
(5.12)
(5.13)
(5.14)
42
KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL
Potentielle Energie des Dipols im externen Feld
Ein äußeres elektrisches Feld sei durch
die Potentialwerte φ1 und φ2 an den Orten der beiden Dipolladungen charakterisiert. Die potentielle Energie des Dipols in diesem Feld ist
Wpot
= Q(φ1 −φ2 )
$
= Qd$ · ∇φ
$
= −$
p·E
#
$
(5.15)
!
Wpot
Wpot
Wpot
!
!
"
$ liegt.
ist Null, wenn p$ ⊥ E
$
ist ein Minimum für p$ || E.
$
ist ein Maximum für −$
p || E.
Kräfte auf einen Dipol im externen Feld
Im Feld sind die Kräfte auf die Einzel$ 1 und
ladungen des Dipols F$1 = +Q E
$ 2.
F$2 = −Q E
!
$
Im homogenen Feld sind die
$1 = E
$ 2 = E,
$
Feldstärken gleich, E
die resultierende Kraft ist gleich Null,
aber ein Drehmoment wirkt auf den
Dipol
#
!
$ = p$ × E
$
D
"
Im inhomogenen Feld ist die resultierende Kraft
(
)
$ − E($
$ r + d)
$ r)
F$1 + F$2 = Q E($
= p$
!
$
$
dE
d$r
&
#
wobei
Fx
Fy
Fz
*
+
= Q Ex+ −Ex− = p$ · grad Ex
*
+
= Q Ey+ −Ey− = p$ · grad Ey
*
+
= Q Ez+ −Ez− = p$ · grad Ez
!
"
%
$ r den Vektorgradienten dar. Im inhomogenen Feld erfährt der
Dabei stellt dE/d$
43
5.1. MOLEKULARE DIPOLE
Dipol ein Drehmoment und eine Kraft in Richtung wachsender Feldstärke.
Fx
Fy
Fz
∂Ex
∂Ex
∂Ex
+ py
+ pz
∂x
∂y
∂z
∂Ey
∂Ey
∂Ey
+ py
+ pz
= p$ · grad Ey = px
∂x
∂y
∂z
∂Ez
∂Ez
∂Ez
+ py
+ pz
= p$ · grad Ez = px
∂x
∂y
∂z
= p$ · grad Ex = px
Elektrischer Quadrupol
Vier Monopole mit der Gesamtladung
Null stellt man als eine Überlagerung
zweier Dipole dar
#
$ + $a/2) − φdipol (R
$ − $a/2)
φ = φdipol (R
Quadupolbeiträge
und
Beiträge
höherer Ordnung verwendet man als
Maß für die Abweichung einer Ladungsverteilung von der Kugelsymmetrie.
5.1
!
!
"
Molekulare Dipole
Moleküle mit permanentem Dipolmoment, z.B. H2 O werden im
Feld ausgerichtet. Dabei entsteht
eine
makroskopische
Polarisation
(Orientierungspolarisation).
Anwendung z.B. im gezielten Aussortieren
von Wassertröpfchen. (Sortieren von
Zellen, Chromosomen, die mit Farbstoff
gelabelt und daher optisch erkennbar
sind, und die stark verdünnt sich auif
einzelne Tropfen verteilen.
$
"
#
$
! "
#
!
"
!
#
"
%
#
Unpolare Moleküle, z.B. CO2 tragen kein permanentes Dipolmoment, aber in ihnen wird in einem äußeren Feld ein Dipolmoment induziert. Ein weiters Beispiel
für induziertes Dipolmoment wäre ein O-Atom, das einem H + begegnet .
Die Kraft des Feldes von H + auf das induzierte Dipolmoment im neutralen OAtom ist beobachtbar. Das induzierte Dipolmoment in einem einzelnen Atom
$ Liegt das Feld entbeschreiben wir über die Polarisierbarkeit α mit p$ = α E.
lang z, dann wandern die Ladungsschwerpunkte um den Betrag |$z | auseinander,
sodass p$ = q $z .
44
KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL
5.2
Methode der Bildladungen
Wir betrachten das Feld eines Dipols
(2 Punktladungen mit q1 = −q2 ).
#
Wir wählen eine Äquipotentialfläche und
belegen diese mit einer dünnen, leitenden
Schicht. Nichts ändert sich am Bild der Feldlinienverteilung! Aber wir haben mit diesem
gedanklichen Ansatz ein neues Problem der
Elektrostatik gelöst. Wie sieht das Feld zwischen einer Punktladung und dieser leitenden
Schicht aus? Im Fall des Dipols ist diese leitende Schicht eine hyperbolische Oberfläche.
#
$
%
"
!
Links (oder rechts) vom Leiter können wir das Volumen mit einem Leiter
oder einem Isolator füllen, es ändert nichts an der Verteilung des Feldes im
rechten (bzw. linken) Raum.
Das Feld ist so, als ob eine Bildladung entgegengesetzten Vorzeichens
hinter der Leiterfläche läge, in einem Abstand, so dass die Feldlinien
senkrecht in die Leiteroberfläche münden.
#
!
$
#
#
$
#
%
"
%
!
"
$
Warum verschwindet die Tangentialkomponente des E-Feldes
an der Oberfläche
im statischen Fall? Sonst würde ein Strom fließen, bis sich die Ladungen im
Leiter so verteilt haben, dass die Tangentialkomponente verschwindet.