Bergman-Projektionen und Holomorphe Martingale

JOHANNES KEPLER
UNIVERSITÄT LINZ
Technisch-Naturwissenschaftliche
Fakultät
Bergman-Projektionen und Holomorphe
Martingale
MASTERARBEIT
zur Erlangung des akademischen Grades
Diplom-Ingenieur
im Masterstudium
Mathematik in den Naturwissenschaften
Eingereicht von:
Thomas Märzinger
Angefertigt am:
Institut für Analysis
Beurteilung:
A.Univ.Prof.Dipl.-Ing.Dr. Paul Müller
Linz, April 2015
JKU
i
Zusammenfassung
In dieser Arbeit betrachten wir analytische Funktionen. Genauer gesagt betrachten wir im ersten Abschnitt Funktionen, die auf offenen Mengen analytisch sind. Über diese Funktionen wird der
so genannte Bergman-Raum eingeführt. Des Weiteren werden wir folgende Anwendungen genauer
betrachtet. Zum einen lässt sich mit der Einführung des sogenannten Bergman-Kerns die RiemannAbbildung für einfachzusammenhängende Gebiete berechnen. Zum anderen erhalten wir durch die
Verallgemeinerung des Bergman-Kerns die Bergman-Projektion, ein Werkzeug um Funktionen aus
Lp , durch auf der Einheitsscheibe analytische Funktionen, zu nähern. Im zweiten Abschnitt führen wir das Itô-Integral mit der komplexen Brownschen-Bewegung ein. Diese nützen wir, um ein
Pendant zu analytischen Funktionen im Bereich der Stochastik, die sogenannten holomorphen Martingale, zu definieren und zu untersuchen. Für diese Martingalklasse lassen sich Geltungsbereiche,
unter anderem für die Doob Ungleichung und die Burkholder Ungleichung, auf der gesamten Lp
Skala mit 0 < p < ∞ zeigen.
Abstract
In this paper we consider analytic functions. In the first section we turn our attention to
functions, which are analytic on an open set. We introduce the so called Bergman-space, which
is defined on those functions. Thereafter we take a look at the theory of Bergman-spaces and
consider two applications in detail. On the one hand we investigate a method for calculating
the Riemann-map, by using the so called Bergman-kernel, for simply connected regions. On the
other hand we generalize the Bergman-kernel to the Bergman-projection, which is a useful tool to
project functions from the Lp -space to functions, which are analytic on the unit disk. In the second
section we introduce the Itô-integral and the complex Brownian-motion. We use this to define and
investigate an analogon to analytic functions for stochastics, which are denoted as holomorphic
Martingales. With this tool we can expand the range of validity for Lp with 0 < p < ∞ for
well-known theorems in analysis, as the Doob inequality and the Burkholder inequality.
EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG
iii
Eidesstattliche Erklärung
Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Masterarbeit selbstständig und ohne
fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt
bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe.
Die vorliegende Masterarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten Textdokument identisch.
Ort, Datum
Thomas Märzinger
DANKSAGUNG
v
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei all jenen bedanken die mich beim Schreiben meiner Masterarbeit unterstützt haben. Ganz besonderen Dank möchte ich meinem Betreuer
Herrn Prof. Paul F.X. Müller aussprechen. Danke für die viele Zeit die sie mir gewidmet
haben, die guten Diskussionen und Erläuterungen. Auch möchte ich meiner Familie für
ihre Unterstützung danken. Besonders möchte ich mich auch bei meiner Studienkollegin
Katharina Birner, für den gemeinsamen Weg durch viele Prüfungen und die Zeit die sie
zum Korrekturlesen für mich aufgewendet hat, bedanken.
Inhaltsverzeichnis
Eidesstattliche Erklärung
iii
Danksagung
v
Kapitel 1.
Einleitung
1
Kapitel 2.
Analytische Funktionen
3
2.1.
Vorbereitung
4
2.2.
Der Bergman-Raum
7
2.3.
Bergman-Projektion
20
Kapitel 3.
3.1.
Holomorphes Martingal
25
Stochastische Grundlagen
26
3.1.1.
Einführung
26
3.1.2.
Brownsche-Bewegung
33
3.1.3.
Ito-Integral
35
3.2.
Der komplexe Fall
40
3.2.1.
Komplexe Brownsche-Bewegung
40
3.2.2.
Komplexes Itô-Integral
43
3.2.3.
Holomorphe Martingale
49
3.3.
Anwendungen
51
3.3.1.
Quadratische Variation
51
3.3.2.
Die stochastische Hilbert-Transformation
67
Kapitel 4.
Resümee
Anhang A.
75
Diskussion zur Ungleichung von Bourgain
77
Anhang.
Symbolverzeichnis und Glossar
79
Anhang.
Literaturverzeichnis
81
vii
KAPITEL 1
Einleitung
In dieser Arbeit betrachten wir zwei Teilgebiete der Mathematik. Im ersten Teil liegt
das Hauptaugenmerk auf analytischen Funktionen. Genauer gesagt betrachten wir Funktionen welche auf offenen Mengen von C analytisch sind. Auf dieser Menge von Funktionen
führen wir die Struktur eines linearen Raumes ein, den sogenannten Bergman-Raum. Seine Vollständigkeit und die Verbindung zum Lp -Raum wird genauer betrachtet. Im Fall
p = 2 leiten wir den sogenannten Bergman-Kern her. Dieser findet in seiner Darstellung
als Integralkern oder auch in seiner Darstellung als Partialsumme Anwendungen. Als Partialsumme der Fourier-Reihe lässt sich eine vollständige orthogonale Basis bezüglich eines
einfach zusammenhängenden Gebietes berechnen, woraus wir die Riemann-Abbildung ϕ
bestimmen können. Aus der Darstellung als Integralkern erhalten wir eine Verallgemeinerung des Bergman-Kernes für 1 < p < ∞ zur Bergman-Projektion. Diese bildet Funktionen
aus Lp auf Funktionen analytisch auf der Einheitsscheibe ab. Der zweiten Teil der Arbeit
behandelt holomorphe Martingale. Zu Beginn führen wir die Brownsche-Bewegung, das
Itô-Integral und den Kovarianz-Prozess ein. Im Anschluss betrachten wir den komplexwertigen Fall der Brownschen-Bewegung. Aus den Eigenschaften der Brownschen-Bewegung
und des Kovarianz-Prozesses im komplexen Fall, leiten wir die Darstellung der Itô-Formel
für C her, wobei wir die Spezialfälle für ein konformes Martingal und für harmonische sowie analytische Funktionen betrachten. Aus der Kombination von konformen Martingalen
und analytischen Funktionen definieren wir die Klasse der holomorphen Martingale (Ft ).
Wir betrachten einige grundlegende Eigenschaften holomorpher Martingale. Diese nutzen
wir um etwa zu zeigen, dass die Semimartingale ln |Ft | und |Ft |α für 0 < α ≤ 1 tatsächlich
Submartingale sind und wir beschreiben deren Driftterm genauer. An diesem Punkt haben
wir ein Werkzeug um den Gültigkeitsbereich, von aus der klassischen Analysis bekannten
Sätze, zu erweitern. Wir betrachten die Satzgruppen um Burkhoder, Davis, und Gundy. Im
Besonderen betrachten wir auch die Ungleichung von Bourgain. Am Ende leiten wir noch
aus dem klassischen singulären Integraloperator der Hilbert-Transformation eine Version
für Martingale her, die stochastische Hilbert-Transformation.
1
KAPITEL 2
Analytische Funktionen
3
4
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
2.1. Vorbereitung
In diesem Kapitel folgt eine Zusammenfassung von Sätzen und Definitionen die wir im
Weiteren benötigen. Die Grundlagen zu diesem Kapitel finden sich in Henrici [9], Duren
[4], Duren [5] und Hedenmalm [7]. Für vorbereitende Informationen eignet sich Needham
[15] und Werner [20].
2.1. Definition. Eine Funktion f : D → C mit D ⊂ C offen heißt analytisch oder
holomorph auf dem Punkt z0 ∈ D, wenn der Grenzwert
f 0 (z0 ) = lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
z − z0
existiert. Die Funktion f heißt analytisch auf D, wenn f 0 (z) für alle z ∈ D existiert.
Es sei noch erwähnt, falls f = u + iv analytisch auf D mit u, v : D → R ist, so erfüllt f
∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
1. Lemma. Sei Γ die Randkurve von D und n : Γ → R2 die äußere Normale der Kurve
Γ. Dann gilt für die Bogenlängenparametrisierung
Erste Greensche Identität:
ZZ
ZZ
u∆vdxdy +
∇u∇vdxdy =
D
D
Z
u
∂v
ds.
∂u
Γ
Zweite Greensche Identität:
ZZ
(u∆v − v∆u) dxdy =
D
∂v
∂u
u
−v
ds.
∂u
∂v
Z Γ
2. Satz (Riemannscher Abbildungssatz). Sei D ⊂ C ein einfach zusammenhängendes
Gebiet, so dass ∂D mindestens zwei Randpunkte besitze. Dann existiert eine bijektive,
analytische Abbildung
ϕ : D → D := {z : |z| < 1}.
Sei ζ ∈ D beliebig. Dann ist mit den Bedingungen ϕ (ζ) = 0, ϕ0 (ζ) > 0 die Abbildung f
eindeutig bestimmt.
3. Satz (Randzuordnung konformer Abbildungen). Seien D, D∗ durch stetige Kurven
Γ, Gs berandet. Dann existiert eine eindeutig bestimmte stetige und bijektive Fortsetzung
der Abbildung ϕ̃ : D ∪ Γ → D∗ ∪ Gs .
2.1. VORBEREITUNG
5
4. Satz. Sei D ∈ C einfach zusammenhängend und mit stückweise glattem Rand. Sei
F (·, ζ) : D → D analytisch und bijektiv, so dass F (ζ, ζ) = 0. Dann gilt für die Greensche
Funktion g (z, ζ) des Bereichs D im Punkt ζ
∀z ∈ D : g (z, ζ) = − log |F (z, ζ) |.
5. Satz. Sei D ein durch analytische Jordan-Kurven berandetes Gebiet und sei g (z, ζ)
die Greensche Funktion von D. Dann ist der Bergman-Kern gegeben durch
K(z, ζ) = −
2 ∂2g
.
π ∂z∂ζ
2.2. Definition. (Hardy-Raum Hp (D))
• Hp (D) :=


1
2π
f : D → C analytisch : lim
r→1

2π
R
!1
p
|f reiθ |p dθ


<∞ .
0

• Für f ∈ Hp (D) mit 1 ≤ p < ∞ ist die Norm definiert mit

kf kHp (D) := lim 
r→1
1
2π
Z2π
 p1
|f reiθ |p dθ := lim Mp (r, f ) .
r→1
0
6. Satz. Sei D das Innere einer stückweise glatten positiv orientierten Jordan-Kurve
C und seien f und g analytisch auf dem Abschuss von D. Dann gilt
ZZ
f
(z) g 0 (z)dxdy
D
1
=
2i
Z
f (z) g (z)dz.
C
Beweis. Seien u und v auf dem Abschluss von D reelle differenzierbare Funktionen.
Wir beginnen mit einer aus dem Satz von Stokes folgenden Identität
ZZ Z
udx + vdy =
D
C
∂v
∂u
dxdy.
−
∂x ∂y
Sei nun h = u + iv und wir erhalten
Z
Z
(udx − vdy) + i
h (z) dz =
C
C
Z
(vdx + udy)
C
ZZ =
D
∂v
∂u
−
+
∂x ∂y
+i
∂u ∂v
−
∂x ∂y
dxdy.
Wir schreiben den letzten Teil, mit Hilfe von
1
∂h
=
∂z
2
∂h
∂h
−i
,
∂x
∂y
∂h
1
=
∂z
2
∂h
∂h
+i
,
∂x
∂y
6
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
um in
Z
ZZ
h (z) dz = 2i
D
C
∂h
(z) dxdy.
∂z
Also haben wir somit
ZZ
D
∂h
1
(z) dxdy =
∂z
2i
Z
h (z) dz
C
für reelle differenzierbare Funktionen erhalten. Wir wählen nun für h (z) := f (z) g (z) und
erhalten damit das gewünschte Resultat.
2.2. DER BERGMAN-RAUM
7
2.2. Der Bergman-Raum
Zu Beginn präsentieren wir die Definition des Bergman-Raumes. Wie schon in der
Einleitung erwähnt, besteht der Bergman-Raum aus Funktionen welche, auf dem Gebiet
D analytisch sind. Aus der Definition lässt sich auch ein Zusammenhang zu den Lp (D)
Räumen ablesen. Da der einzige Unterschied in der Einschränkung auf eine zusätzliche
Eigenschaft der Analytizität beruht.
(1) Bp (D) = {f : D → C analytisch :
2.3. Definition.
RR
(2) kf kp := (
D
1
RR
D
|f (z) |p dxdy < ∞},
f ∈ Bp (D),
|f (z) |p dxdy) p
RR
(3) für den Fall p = 2 ist (f, g) :=
D
f (z) g (z)dxdy.
Wir haben also einen Teilraum von Lp (D). In unserer Diskussion wollen wir ein paar
wichtige Eigenschaften des Berman-Raumes überprüfen. Zu Beginn zeigen wir, dass die
Definition die Minkowski-Ungleichung erfüllt. Diese Betrachtung dient als einführende Anwendung der Hölder-Ungleichung. Hierzu nutzen wir Bp (D) ⊂ Lp (D) und dass die Summe von analytischen Funktionen analytisch ist. Somit folgt für f, g ∈ Bp (D), dass auch
f + g ∈ Bp (D) gilt. Wir beginnen mit
ZZ
p
|f (z) + g (z) | dxdy =
ZZ
|f (z) + g (z) |p−1 |f (z) + g (z) |dxdy
D
D
≤
ZZ
|f (z) | · |f (z) + g (z) |p−1 dxdy
D
ZZ
+
|g (z) | · |f (z) + g (z) |p−1 dxdy.
D
Nun nutzen wir die Hölder-Ungleichung kf gk1 ≤ kf kp kgkq für
+
1/p 

≤
1
p
ZZ
|f (z) |p dxdy 
= 1 und erhalten
1/q
ZZ

D
1
q
|f (z) + g (z) |(p−1)q dxdy 
D
1/p 
1/q
ZZ
ZZ
+
|g (z) |p dxdy  
|f (z) + g (z) |(p−1)q dxdy  .

D
Wir verwenden nun p −
D
p
q
p/q
= 1 und kf + gkp
1/p

1/p 
1/p

ZZ
ZZ
ZZ

|f (z) + g (z) |p dxdy  ≤ 
|f (z) |p dxdy  + 
|g (z) |p dxdy 
D
D
D
und erhalten die Minkowski-Ungleichung.
Als Nächstes zeigen wir die Vollständigkeit. Wir definieren nun die Norm für ein Element
8
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
f ∈ Bp (D) mit
1/p

kf kp := 
ZZ
|f (z) |p dxdy 
f ∈ Bp (D) .
D
Wir haben also einen normierten linearen Raum. Im Weiteren wollen wir nun die
Vollständigkeit überprüfen.
7. Lemma. Sei z0 ∈ D und f ∈ Bp (D). Dann gilt
|f (z0 ) | ≤ π
− p1 − p2
δ
kf kp ,
wobei δ der Abstand von z0 zum Rand von D ist.
Beweis. Sei 0 < σ < δ, und sei Dσ : |z − z0 | ≤ σ. Somit ist Dσ eine kompakte Menge,
welche vollständig in D enthalten ist. Also ist
kf kpp
≥
ZZ
p
|f (z) | dxdy =
Zσ Z2π
Dσ
ρ
0
|f z0 + ρeiθ |p dθdρ.
0
Außerdem haben wir
Z2π
0
2π
Z p |f z0 + ρeiθ |p dθ ≥ f z0 + ρeiθ dθ
0
und mit der Mittelwerteigenschaft für analytische Funktionen erhalten wir 2π|f (z0 )|p und
dies ist unabhängig von ρ. Zusammen gilt nun
Zσ Z2π
ρ
0
|f z0 + ρe
iθ
p
p
| dθdρ ≥ 2π|f (z0 )|
0
Zσ
ρdρ = πσ 2 |f (z0 ) |p
0
und wir erhalten
|f (z0 ) | ≤ π
− p1 − p2
δ
kf kp .
8. Satz. Bp (D) ist in der Metrik, welche durch die Norm

1/p
ZZ
kf kp := 
|f |p dxdy 
D
erzeugt wird, vollständig.
Beweis. Sei nun {fn } eine Cauchy-Folge in Bp (D). Also existiert für jedes ε > 0 ein
k = k (ε), so dass
kfn − fm k < ε
für m, n > k,
2.2. DER BERGMAN-RAUM
9
gilt. Wir müssen nun zeigen, dass dann ein Element f ∈ Bp (D) existiert, so dass
kfn − f k → 0
n→∞
für
gilt.
Sei K eine kompakte Teilmenge von D. Wir bezeichnen den Abstand von K zum Rand
von D mit δ. Lemma 7 zeigt, dass
|fn (z) − fm (z) | ≤ π −1/p δ −2/p kfn − fm kp
gilt. Es folgt, dass die Folge gleichmäßig auf K konvergiert. Da dies für jedes K ⊂ D gilt,
haben wir, dass die Folge lokal gleichmäßig auf D konvergiert. Aus der lokalen gleichmäßigen Konvergenz folgt, dass die Grenzfunktion f analytisch auf D ist. Als Nächstes zeigen
wir, dass f ∈ B2 (D) ist. Da {fn } eine Cauchy-Folge ist, ist die Folge kfn kp ≤ µ beschränkt.
Somit ist für jede kompakte Menge K und für jedes n
ZZ
|fn |p dxdy ≤
ZZ
|fn |p dxdy ≤ µp
D
K
und da fn → f gleichmäßig auf K gilt
ZZ
|f (z) |p dxdy ≤ µp .
K
Da aber K ⊂ D beliebig ist folgt, dass
ZZ
|f (z) |p dxdy ≤ µp
D
ist. Wir wissen also, dass für jedes ε > 0 ein k = k (ε) existiert, so dass
ZZ
|fn (z) − fm (z) |p dxdy <
K
εp
,
22p
n, m > k,
gilt. Weil fm → f gleichmäßig auf jedem kompakten K ⊂ D konvergiert, erhalten wir nun
ZZ
|fn (z) − f (z) |p dxdy <
K
εp
2p
n > k.
Da dies für alle K ⊂ D kompakt gilt, gilt auch
kfn − f kp < ε,
n > k.
Also haben wir gezeigt, dass
kfn − f kp → 0
für n → ∞
10
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
gilt und somit auch, dass f ∈ Bp (D) gilt.
Bis jetzt haben wir also gezeigt, dass es sich bei Bp (D) um einen vollständigen linearen
Raum handelt und somit um einen Banachraum. Nun wollen wir zeigen, dass die oben
definierte Norm für p = 2 von einem Skalarprodukt erzeugt wird und es sich somit um
einen Hilbertraum handelt. Wir wählen nun für die Darstellung der Norm
RR
|f |2 dxdy =
D
RR
f f dxdy und betrachten daher
D
ZZ
f gdxdy.
(f, g) :=
D
Um die Voraussetzungen für ein Skalarprodukt,
1
(i) (f, f ) ≥ 0,
[(f, f )] 2 = kf k,
(ii) (f + g, h) = (f, h) + (g, h),
(iii) (af, g) = a (f, g),
(iv) (f, g) = (g, f ),
überprüfen zu können, sollten wir vorher das Integral betrachten. Es könnte ein Problem
darstellen, dass wir das Integral nur für nicht negative Funktionen definiert haben. Wir
überprüfen die Existenz des Integrals mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung. Wir erhalten
aus
ZZ

1 
1
2
2
ZZ
ZZ
2
2




|f | dxdy
|g| dxdy
|f g|dxdy ≤
D
D
D
und der Integrierbarkeit von f und g, dass auch |f g| integrierbar ist. Als eine weitere
Möglichkeit um die Existenz eines Skalarprodukts nachzuweisen, zeigen wir die Anwendung
der Polarisationsformel. Hierzu betrachten wir f := u + iv und g := r + is
f g = ur + vs + i(vr − us)
1
(2ur + 2vs + 2i (vr − us))
2
1 2
±
u + v 2 + r2 + s2 + i u2 + v 2 + r2 + s2
2
1
i
1+i 2
= |f + g|2 + |f + ig|2 −
|f | + |g|2 .
2
2
2
=
2.2. DER BERGMAN-RAUM
11
Woraus wir folgende Darstellung erhalten
⇒
ZZ
D
1
i
1+i
f gdxdy := kf + gk2 + kf + igk2 −
kf k2 + kgk2
2
2
2
=
1
i
kf + gk2 − kf − gk2 +
kf + igk2 − kf − igk2 .
4
4
Es existieren alle Integrale auf der rechten Seite und da die Parallelogrammgleichung gilt,
sind die obigen Voraussetzungen erfüllt. Wir haben also gezeigt, dass B2 (D) mit den
Definitionen in 2.3 ein Hilbertraum ist.
9. Satz. Für eine Folge {fn }∞
n=0 von gegebenen linear unabhängigen Elementen eines
unendlich dimensionalen Hilbertraumes H, existiert eine Folge {yn }∞
n=0 ∈ H, so dass für
n = 0, 1, 2, . . . ,
(i) yn ist eine Linearkombination von x0 , x1 , . . . , xn ,
(ii) kyn k = 1,
(iii) (yn , ym ) = 0,
für m 6= n.
Beweis. Wir verwenden das Gram-Schmidt-Verfahren. Für n = 0 wählen wir y0 =
c0 x0 mit c0 = kx0 k−1 , dies ist möglich da {xn } linear unabhängig (l.u.) ist. Als Nächstes
suchen wir
∗
yn+1
= xn+1 −
n
X
ck yk ,
k=0
∗ ,y
so dass yn+1
m = 0 für m = 0, 1, . . . , n. Wir verwenden wieder, dass {xn } l.u. ist und
können somit
yn+1 :=
∗
yn+1
∗
kyn+1 k
wählen. Durch Anwenden der Eigenschaften (ii) und (iii) sehen wir, dass wir
cm = (xn+1 , ym )
erhalten.
Sei nun x ∈ B2 (D) beliebig und {yn } eine orthonormale Folge. Dann werden die
Koeffizienten
ck := (x, yk ) ,
k = 0, 1, . . .
als die Fourier-Koeffizienten von x im System {yn } bezeichnet. Die aus diesen Koeffizienten
konstruierte Reihe
s :=
∞
X
k=0
ck yk
12
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
wird als die Fourier-Reihe von x im System {yn } bezeichnet. Generell ist nicht klar, dass
s = x ist. Daher betrachten wir noch folgende Eigenschaften.
10. Satz. Die Fourier-Reihe s :=
∞
P
ck yk von x ∈ B2 (D) im System {yn } hat folgende
k=0
Eigenschaften:
(i) Die Reihe konvergiert und die Summe erfüllt
(x − s, ym ) = 0,
m = 0, 1, . . .
(ii) und
∞
X
|ck |2 ≤ kxk2 .
k=0
(iii) Für n = 0, 1, 2, . . . und für alle komplexen Zahlen a0 , a1 , . . . gilt, dass
n
n
X
X
ak yk ,
ck yk ≤ x −
x −
k=0
k=0
das heißt die n-te Partialsumme der Fourier-Reihe approximiert das Element x am
besten.
Beweis. Wir beginnen mit (iii) und nutzen, dass das System {yn } orthonormal ist,
2
n
X
ak yk =
x −
x−
k=0
n
X
a k yk , x
k=0
n X
= kxk2 −
−
n
X
!
ak yk
k=0
ak ck + ak ck − |ak |2 ,
k=0
und sei ck = (x, yk ). Falls nun ak = ck ist, gilt
2
n
n
X
X
ck yk = kxk −
|ck |2 .
x −
k=0
k=0
Wir betrachten nun die Differenz
2 2
n
n
n X
X
X
ak yk − x −
ck yk =
|ak |2 − ak ck − ak ck + |ck |2
x −
k=0
k=0
=
k=0
n
X
(ak − ck ) (ak − ck ) ≥ 0
k=0
womit nun (iii) gezeigt ist.
Aus
kxk −
n
X
k=0
2
n
X
|ck | = x −
ck yk ≥ 0
2
k=0
2.2. DER BERGMAN-RAUM
können wir
n
X
13
|ck |2 ≤ kxk2
k=0
für jedes n folgern und somit ist (ii) gezeigt.
Für jedes gegebene ε ≥ 0 existiert ein k > 0, so dass für jedes m > k und n > m
n
X
|cl |2 < ε
l=m
gilt. Nun ist die linke Seite gleich
2
n
X
cl yl ,
l=m
was zeigt, dass die Partialsumme der Fourier-Reihe s eine Cauchy-Folge bildet. Da B2 (D)
vollständig ist, existiert s ∈ B2 (D). Abschließend erhalten wir nun aus
n
X
!
cl yl , ym
= cm
l=0
und n → ∞, dass (s, ym ) = cm folgt, womit nun (i) gezeigt ist.
Um mit einer Fourier-Reihe ein x ∈ B2 (D) zu repräsentieren, ist die Konvergenz alleine
nicht ausreichend, es muss auch
x=
∞
X
(x, yk )yk
∀x ∈ B2 (D)
k=0
erfüllt sein. Ein orthonormales System, welches diese Eigenschaft besitzt, heißt vollständig.
11. Satz. Sei {yn } ein orthonormales System im Hilbertraum B2 (D). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) x =
∞
P
(x, yk ) yk
∀x ∈ B2 (D).
k=0
(ii) Die endlichen Linearkombinationen von yn sind dicht in B2 (D).
(iii) Parseval Gleichung:
∞
X
| (x, yk ) |2 = kxk2
∀x ∈ B2 (D) .
k=0
(iv) Falls (x, yn ) = 0 ∀n ∈ N, dann ist x = 0.
Beweis. Wir setzen (i) als gültig voraus. Für (ii) müssen wir für jedes gegebene ε > 0,
zeigen, dass endlich viele Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an existieren, so dass
n
X
ak yk < ε
x −
k=0
14
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
gilt. Offensichtlich erfüllt eine Partialsumme mit ausreichend hoher Ordnung, aus der
Fourier-Reihe von x, diese Bedingung, womit (ii) gezeigt wurde.
Wir berechnen nun für
n
X
ck yk < ε
x −
k=0
die Norm und erhalten
kxk2 −
n
X
|ck |2 < ε2 .
k=0
Da ε beliebig war, wurde (iii) gezeigt.
∀k ∈ N dann ist kxk = 0 und
Gilt nun die Parseval Gleichung und sei ck = (x, yk ) = 0
somit x = 0, was (vi) zeigt.
Um nun wieder (i) zu erhalten, erinnern wir uns, dass die Fourier-Reihe konvergiert und
wir bezeichnen ihre Summe mit s, womit
(x − s, yn ) = 0
∀n ∈ N
gilt. Somit folgt aus (vi) mit x − s = 0, dass x = s und wir haben (i).
12. Satz. Sei {fn } ein vollständiges orthonormales System in B2 (D). Dann gilt für
jedes f ∈ B2 (D), dass die Fourier-Reihe von f im System {fn } punktweise und auf jeder
kompakten Teilmenge von D gleichmäßig nach f konvergiert.
Beweis. Sei K ⊂ D kompakt und sei δ > 0 der Abstand von K zum Rand von D.
Nach Lemma 7 gilt für z ∈ K und n = 0, 1, . . .
n
X
1
ck fk (z) ≤ √
f (z) −
πδ
k=0
n
X
ck fk .
f −
k=0
Weil nun der Grenzwert der rechten Seite für n → ∞ gleich 0 ist, erfüllt die linke Seite die
Voraussetzungen der gleichmäßigen Konvergenz.
13. Satz. Sei D := {z : |z| < 1}. Dann gilt
vn : D → C, z → z
n
r
n+1
π
!
ist ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum B2 (D).
Beweis. Um die Orthogonalität zu überprüfen, nützen wir z = ρei(θ) und
ZZ
f
D
(z) g 0 (z)dxdy
1
=
2i
Z
f (z) g (z)dz,
C
2.2. DER BERGMAN-RAUM
15
woraus wir
n
m
ZZ
(z , z ) =
z n z m dxdy
1
=
2i (m + 1)
|z|<1
Z
z n z m+1 dz
|z|=1
erhalten. Und mit
i
2i (m + 1)
Z2π
ei(n−m)θ dθ =



0



0
m 6= n
π
(m+1)
m = n,
folgt die Orthogonalität.
Um die Vollständigkeit zu zeigen, verwenden wir Satz 11. Sei f ∈ B2 (D) und da f
auch analytisch in B2 (D) ist, ist f als Potenzreihe darstellbar
f (z) =
∞
X
bn z n
n=0
und diese konvergiert gleichmäßig für |z| ≤ ρ und ρ < 1. Betrachten wir nun
ZZ
f (z) vn (z)dxdy =
ZZ X
∞
r
k
bk z vn (z)dxdy =
|z|≤ρ k=0
|z|≤ρ
π
bn ρ2n+2 ,
n+1
was aus der Orthogonalität folgt.
Nun gilt, für ρ → 1
r
ZZ
(f, vn ) =
f (z) vn (z)dxdy =
π
bn .
n+1
D
Falls also (f, vn ) = 0 für n = 1, 2, . . . gilt, folgt daraus, dass alle bn = 0 sind und somit
f die Null-Funktion ist. Also folgt aus Satz 11 die Vollständigkeit von vn .
Um nun unsere Erkenntnisse auf einfach zusammenhängende Gebiete zu erweitern,
führen wir ein paar einführende Überlegungen durch. Ein Gebiet heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve, welche im Gebiet liegt, nullhomotop ist. Wobei nullhomotop bedeutet, dass ein Integral, einer analytischen Funktion, entlang einer im Gebiet
liegenden, geschlossenen Kurve, Null ist. Für Funktionen in B2 (D) ist die Fourier-Reihe im
System vn auch gleichzeitig die Taylor-Reihe, welche nicht nur punktweise, sondern auch
in der Norm B2 (D) konvergiert. Sei nun also D ein beliebiges einfach zusammenhängendes
Gebiet mit D =
6 C und sei f ∈ B2 (D). Wir werten die Norm von f
ZZ
|f (z) |2 dxdy
D
mit einer Variablentransformation aus. Sei z0 ein Punkt in B2 (D) und sei ϕ : D → D eine
analytische und bijektive Funktion, welche D auf die Einheitsscheibe D abbildet. Wobei
16
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
ϕ[−1] : D → D die inverse Funktion von ϕ bezeichnet. Außerdem sei ϕ (zo ) = 0 und es sei
ϕ0 (z0 ) > 0. Für h = ϕ (z) ∈ D ist nun
ZZ
|f (z) |2 dxdy =
D
ZZ
|f ϕ−1 (h) |2 |ϕ−10 (h) |2 |dh|,
D
was zeigt, dass die Funktion v := f ◦ ϕ[−1] ϕ[−1]0 = f ϕ−10 ◦ ϕ[−1] ∈ B2 (D). Nach
Satz 13 konvergiert die Taylor-Reihe von v, geschrieben als
∞
X
v (h) =
bk vk (h) ,
k=0
sowohl in Norm als auch punktweise, was bedeutet, dass
ZZ n
X
bk vk (h) |dh| → 0,
v (h) −
n → ∞.
k=0
D
Sei nun h = ϕ (z), womit wir sehen, dass
2
ZZ ∞
X
−1
−
bk vk (ϕ (z)) |ϕ0 (z) |2 dxdy
f (z) ϕ0 (z)
k=0
D
2
ZZ ∞
X
0
bk vk (ϕ (z)) ϕ (z) dxdy
=
f (z) −
k=0
D
gilt. Da für n → ∞ die Integrale nach Null streben, lässt sich f , in der Norm von B2 (D),
durch Ausdrücke der Form
s
fk := vk (ϕ (z)) ϕ0 (z) =
k+1
(ϕ (z))k ϕ0 (z)
π
darstellen.
14. Satz. Sei D einfach zusammenhängend mit mindestens zwei Randpunkten. Sei
ϕ : D → D = {z : |z| < 1} durch den Riemannschen Abbildungssatz 2 gegeben. Dann gilt,
dass
r
φn : D → C, z →
n+1
[ϕ (z)]n ϕ0 (z)
π
in B2 (D) ein vollständiges Orthogonalsystem ist.
Beweis. Folgt aus den obigen Überlegungen mit φn = fn .
Im Folgenden wollen wir nun die Bergman-Kern-Funktion einführen. Sei im Weiteren
D 6= C ein Bereich mit ausreichendem Zusammenhang und sei {fm } ein vollständiges
2.2. DER BERGMAN-RAUM
17
orthogonales System in B2 (D). Wenn D einfach zusammenhängend ist, besteht ein Zusammenhang mit der Riemann-Abbildung. Als Erstes zeigen wir, dass die Reihe
∞
X
|fk (t) |2
k=0
gleichmäßig auf jeder kompakten Menge K ⊂ D konvergiert. Für ein fixes t ∈ D sei
hn (z) :=
n
X
fk (z) fk (t)
k=0
hn ∈ B2 (D) mit der Norm
khn k =
( n
X
)1/2
|fk (t) |
2
.
k=0
Aus Lemma 7 folgt nun,
|hn (z) | ≤ √
1
khn k
πδ (z)
wobei δ (z) die Distanz vom Rand von D zu z ist. Im Einzelnen gilt für z = t
|hn (t) | =
n
X
1
|fk (t) |2 = khn k2 ≤ √
khn k,
πδ (t)
k=0
woraus wir
√
πδ (t) khn k ≤ 1
oder
|hn (t) | ≤
1
πδ 2 (t)
erhalten. Da die erhaltene Abschätzung unabhängig von n ist, folgt daraus die Konvergenz
der Reihe
∞
P
|fk (t) |2 für jedes fixe t ∈ D. Aufgrund dieser Konvergenz folgt für jedes fixe
k=0
t ∈ D auch die Konvergenz von
K (z, t) :=
∞
X
fm (z) fm (t),
m=0
als Funktion von z, in der Norm von B2 (D), sowohl punktweise als auch gleichmäßig auf
Kompakta. Wir schreiben im Folgenden K (z, t) = Kt (z).
15. Satz. Für alle f ∈ B2 (D) und alle t ∈ D, gilt
(f, Kt ) = f (t) .
Beweis. Sei
f (z) =
∞
X
k=0
ck fk (z)
18
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
die Fourier-Darstellung von f im System {fk }. Somit ist
(f, Kt ) =
ZZ X
∞
∞
X
fm (t)
m=0
=
∞
X
∞
X
fm (z)fm (t) dxdy
m=0
k=0
D
=
ck fk (z)
∞
X
ZZ
ck
fk (z) fm (z)dxdy
k=0
D
fm (t) cm = f (t) .
m=0
In Satz 15 wurde gezeigt, dass Kt (z) ein reproduzierender Kern ist.
16. Satz. Die Funktion K ist eindeutig bestimmt durch die Reproduktionseigenschaft.
Beweis. Seien K und K ∗ zwei unterschiedliche reproduzierende Kerne. Aus Satz 15
folgt dann
(f, Kt − Kt∗ ) = 0
∀f ∈ B2 (D) .
Dies muss auch für f := Kt − Kt∗ gelten, woraus nun kKt − Kt∗ k = 0 folgt und somit
Kt∗ = Kt für alle t ∈ D.
Die Funktion Kt heißt Bergman-Kern des Gebietes D und ist unabhängig von der Wahl
von {fk }. Falls das Gebiet einfach zusammenhängend ist, ist im Satz 14 ein solches orthonormales System gegeben. Wir wählen die Abbildungsfunktion ϕt mit den Bedingungen
ϕt (t) = 0,
ϕ0t (t) > 0.
Für diese Wahl von ϕt verschwinden alle Terme von Kt (z) :=
∞
P
fm (z) fm (t) bis auf den
m=0
Summanden mit m = 0. Somit erhalten wir aus
s
fm :=
k+1
(ϕt (z))m ϕ0 (z)
π
eine Darstellung für
Kt (z) =
1 0
ϕ (z) ϕ0t (t) .
π t
17. Satz. Sei D ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit t ∈ D und sei ϕt die
Riemann-Abbildung, Satz 2, für D in t normalisiert. Dann ist der Bergman-Kern für D
gegeben durch
K (z, t) =
1 0
ϕ (z) ϕ0t (t) .
π t
2.2. DER BERGMAN-RAUM
19
Mit diesem Ergebnis erhalten wir nun eine Methode um die Riemann-Abbildung für
Jordan-Gebiete D mit glattem Rand zu konstruieren. Wir konstruieren ein orthonormales System {fn } für D, zum Beispiel mit dem Orthonormalisierungsverfahren von GramSchmidt, durch Verwendung von 1, z, z 2 , . . . . Aus Kt (z) :=
∞
P
fm (z) fm (t) berechnen wir
m=0
mit frei wählbarer Genauigkeit K(z, t). Mit der Wahl des Normalisierungspunktes t ∈ D
können wir
ϕ0t (t) =
q
πK (t, t)
berechnen. Abschließend erhalten wir durch
π
ϕt (z) = 0
ϕt (t)
die Riemann-Abbildung.
Zz
K (s, t) ds
t
20
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
2.3. Bergman-Projektion
Bis jetzt haben wir den Bergman-Kern für B2 (D) betrachtet. Im Folgenden wollen wir
dieses Konzept auf Bp (D) für 0 < p < ∞ und D := {z ∈ C : |z| < 1} erweitern. Hierzu sei
σ (. ) immer ein normalisiertes Flächenmaß, so dass
R
dσ = 1 gilt. Die Norm für f ∈ Bp (D)
D
sei im Folgenden durch
1

kf kp := 
Z
p
|f (z) |p dσ  ,
0<p<∞
D
definiert. Für 0 < p < 1 verwenden wir für die Dreiecks-Ungleichung kf +gkpp ≤ kf kpp +kgkpp .
Zuerst zeigen wir, dass die Polynome dicht in Bp (D) liegen.
18. Satz. Die Polynome bilden eine dichte Teilmenge in Bp (D) mit 0 < p < ∞. Für
jede Funktion f ∈ Bp (D) und jedes ε > 0 gibt es ein Polynom Q mit kf − Qkp < ε.
Beweis. Gegeben sei eine Funktion f ∈ Bp (D) und sei fρ (z) = f (ρz) die Erweiterung
von f für 0 < ρ < 1. Jede Funktion fρ ist auf einer größeren Scheibe analytisch, somit kann
f gleichmäßig auf D durch Polynome, die Partialsumme ihrer Taylor-Reihe, approximiert
werden. Also reicht es zu zeigen, dass kf − fρ kp → 0 für ρ → 1 und f ∈ Bp (D) gilt.
Wir schätzen die Norm in Abhängigkeit des Erweiterungsparameters ρ ab. Hierzu sei das
Integral-Mittel

1
Mp (r, f ) := 
2π
Z2π
1/p
|f reiθ |p dθ
,
0 ≤ r < 1,
0
und es ist steigend in r. Außerdem gilt Mp (r, fρ ) = Mp (rρ, f ). Daraus erhalten wir nun
Mpp (r, f − fρ ) ≤ 2p Mpp (r, f ) + Mpp (r, fρ ) ≤ 2p+1 Mpp (r, f ) .
Aus der Voraussetzung f ∈ Bp (D) erhalten wir, dass Mpp (r, f ) integrierbar, über dem
Intervall [0, 1), in Bezug auf das Maß rdr, ist. Nun konvergiert fρ (z) → f (z) gleichmäßig
auf kompakten Teilmengen von D für ρ → 1, woraus wir Mpp (r, f − fρ ) → 0 ∀r ∈ [0, 1)
folgern. Mit Hilfe der dominierten Konvergenz erhalten wir
kf −
fρ kpp
Z1
=2
Mpp (r, f − fρ ) rdr → 0,
für ρ → 1.
0
Wir haben nun gesehen, dass ein f ∈ Bp (D), durch eine Folge von Polynomen, approximiert werden kann. Für den Fall p > 1 kann f durch die Partialsumme der Taylor-Reihe
2.3. BERGMAN-PROJEKTION
21
von f approximiert werden. Den Partialsummenoperator SN , für f analytisch, definieren
wir durch SN f (z) :=
N
P
∞
P
an z n mit f (z) =
an z n . Um die Beschränktheit von SN zu
n=0
n=0
zeigen, benötigen wir die Szegö-Projektion T .
2.4. Definition. Szegö-Projektion
1
T ϕ (z) :=
2π
Z2π
ϕ (t)
dt,
1 − e−it z
z∈D
0
Für 1 < p < ∞ gilt, dass die Szegö-Projektion T : Lp (D) → Bp (D) beschränkt ist.
19. Lemma. Für 1 < p < ∞ gilt SN : Lp (D) → Bp (D) ist beschränkt mit kSN k ≤ C <
∞ und C ist unabhängig von N .
Z2π
|SN f e
iθ
p
| dθ ≤ C
Z2π
|f eiθ |p dθ
0
0
Beweis. Wir wollen die Beschränktheit des Partialsummenoperators für analytische
Funktionen zeigen. Wegen der Darstellung als Taylor-Reihe beschränken wir uns auf den
Fall f (z) := z k für k ≥ 0. Zu zeigen ist, dass sich der Partialsummenoperator durch die
Szegö-Projektion als
SN f (eiθ ) = e−iN θ T eiN θ f (eiθ )
darstellen lässt. Für k > N gilt SN z k
= 0 und für k ≤ N gilt SN z k
= z k . Wir
beginnen mit der rechten Seite und erhalten
e−iN θ T eiN θ f (eiθ ) = e−iN θ T eiN θ e−ikθ = e−iN θ T ei(N −k)θ
e−N θ
=
2π
Z2π
0
ei(N −k)θ
.
1 − e−i(t−θ)
Bis jetzt haben wir die Taylor-Reihe von f (z) bezüglich der Exponenten bei Null gespiegelt
und um N nach rechts verschoben. Da die Taylor-Reihe bei k = 0 beginnt, folgt, dass für
die Exponenten k ≤ N folgt. Aus der oben erhaltenen Integraldarstellung folgt
1
2π
Z2π
0



ei(N −k)θ ,
ei(N −k)θ
=
1 − e−i(t−θ) 


0,
Gesamt erhalten wir also für k ≤ N , dass
e−iN θ ei(N −k)θ = e−ikθ
für k ≤ N
sonst .
22
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
gilt und somit folgt
SN f (eiθ ) = e−iN θ T eiN θ f (eiθ ) .
Da T beschränkt ist, ist auch SN ein beschränkter Operator.
20. Satz. Sei X ein beliebiger Banachraum, von auf D analytischen Funktionen f , in
dem die Polynome dicht liegen. Dann gilt kSN f − f k → 0 ∀f ∈ X genau dann, wenn
sup kSN k < ∞.
N ≥1
Beweis. Aus kSN f − f k → 0 ∀f ∈ X folgt, dass sup kSN k < ∞ ∀f . Gesamt erhalten
N
wir somit aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, dass sup kSN k < ∞. Wir
N
nehmen kSN k ≤ C < ∞ ∀N ≥ 1 an. Zu einem gegebenem f ∈ X und ε > 0 wählen wir
ein Polynom Q, so dass kf − Qk < ε gilt. Dann gilt
kSN f − f k ≤ kSN f − SN Qk + kSN Q − f k ≤ (C + 1) ε,
falls N größer als der Grad von Q ist, da in dem Fall SN Q = Q gilt.
21. Satz. Sei 1 < p < ∞. Falls f ∈ Bp (D), dann konvergiert die Partialsumme der
Taylor-Reihe in Norm gegen f .
Beweis. Für den Fall, dass fr (z) = f (rz) analytisch in D ist, können wir die Beschränktheit der Szegö-Projektion anwenden. Wir erhalten somit aus
kSN f kpp
1
=
π
Z1 Z2π
|SN f reiθ |p dθrdr
0 0
1
≤C
π
Z1 Z2π
|f reiθ |p dθrdr = Ckf kpp .
0 0
und mit Satz 7 die Behauptung.
Zur Erinnerung, der Bergman-Kern lautet f (z) = (f, kz ) und für f ∈ Bp (D) lässt er
sich, mit Hilfe von normalisierten Maßen, schreiben als
Z
f (z) =
K (z, ζ) f (ζ) dσ (ζ) ,
D
1
mit K (z, ζ) = 2 .
1 − ζz
Da die Polynome dicht in B1 sind, gilt obige Darstellung für alle f ∈ B1 . Nun betrachten
wir B2 als einen abgeschlossenen Unterraum von L2 = L2 (D) und PB sei eine orthogonale
Projektion von L2 nach B2 . Es gilt also PB f ∈ B2 , falls f ∈ L2 , wir haben also
2.3. BERGMAN-PROJEKTION
f (ζ)
Z
PB f (z) = (PB f (z) , kz ) = (f, kz ) =
D
mit (f − PB f ) ist orthogonal zu kz ∈
23
1 − ζz
2 dσ (ζ) ,
B2 .
2.5. Definition. Bergman-Projektion
f (ζ)
Z
PB f (z) =
D
1 − ζz
2 dσ (ζ)
Bis jetzt haben wir PB auf L1 definiert. PB bildet f ∈ L1 auf eine in D analytische
Funktion ab und jede Funktion f ∈ B1 auf sich selbst. Im Folgenden wollen wir zeigen,
dass PB auf Lp für 1 < p < ∞ beschränkt ist.
22. Lemma. Seien s, r ∈ R mit 1 < t < s. Dann gibt es eine Konstante C, abhängig
von s und t, so dass
Z
t−2
t−s
1 − |ζ|2
2
,
dσ
(ζ)
≤
C
1
−
|z|
|1 − zζ|s
∀z ∈ D.
D
23. Satz. Für 1 < p < ∞ ist die Bergman-Projektion PB ein beschränkter Operator
von Lp nach Bp (D).
Beweis. Auf Grund der Beschränkung von PB → Bp (D) ist PB der Einheitsoperator
auf Bp (D) und PB f ist ∀f ∈ Lp analytisch. Es reicht also aus zu zeigen, dass PB : Lp → Lp
beschränkt ist. Wir erhalten für f ∈ Lp mit
| PB f (z) | ≤
Z
1
p
+
1
q
= 1 und der Hölder-Ungleichung
|1 − ζz|−2 |f (ζ) |dσ (ζ)
D
=
Z 1 − |ζ|2
−1/pq
|1 − ζz|−2 |f (ζ) | 1 − |ζ|2
1/pq
D
≤ J1 (z)1/q J2 (z)1/p ,
mit
J1 (z) =
Z 1 − |ζ|2
−1/p
|1 − zζ|−2 dσ (ζ)
D
und
Z
J2 (z) =
D
|f (ζ) |p |1 − zζ|−2 1 − |ζ|2
1/q
dσ (ζ) .
dσ (ζ)
24
2. ANALYTISCHE FUNKTIONEN
Wir verwenden Lemma 22 mit s = 2 und t = 2 −
1
p
um die Abschätzung
|J1 (z) | ≤ C 1 − |z|2
−1/p
zu erhalten. Woraus nun
Z
D
p
| PB f (z) | dσ (z) ≤
Z
J1 (z)p/q J2 (z) dσ (z)
D
≤C
Z −1/q Z
1 − |z|
2
p
=C
1/q
dσ (ζ) dσ (z)
D
D
Z
|f (ζ) |p |1 − zζ|−2 1 − ζz
|f (ζ) |
2
1 − |ζ|
1/q
p −1/q
(1 − |ζ| )
D
mit einer von p abhängigen positiven Konstante C, folgt.
Z
dσ (ζ) = C
|f (ζ) |p dσ (ζ) ,
D
KAPITEL 3
Holomorphes Martingal
25
26
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
3.1. Stochastische Grundlagen
3.1.1. Einführung. Zu Beginn wollen wir einen kurzen Überblick über die benötigte Theorie geben. Die Grundlagen für unsere Betrachtungen finden sich in Durrett [6],
Karatzas und Shreve [10], Williams [21] und Øksendal [16]. Für vorbereitende Informationen eignet sich Schmidt [18] und Ash [1]. Wir beginnen unsere Betrachtungen mit
stochastischen Prozessen und den zugehörigen Begriffen.
3.1. Definition. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum), (S, S) ein
Messraum, I ⊂ [0, ∞) eine Indexmenge, dann heißt eine Familie
X = (Xt )t∈I
messbarer Abbildungen Xt : Ω → S, t ∈ I stochastischer Prozess.
3.2. Definition. Y heißt Modifikation von X, falls ∀t ≥ 0 P[Xt = Yt ] = 1 gilt.
3.3. Definition. X und Y haben die gleiche endlich dimensionale Verteilung, falls
∀n ∈ N, 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞ mit ti ∈ R und A ⊂ B Rnd
P[(Xt1 , . . . , Xtn ) ∈ A] = P[(Yt1 , . . . , Ytn ) ∈ A]
gilt.
3.4. Definition. X und Y heißen ununterscheidbar, falls fast alle (f.a.) ihrer Pfade
übereinstimmen,
P[Xt = Yt : ∀0 ≤ t < ∞] = 1.
3.5. Definition. Seien X und Y stochastische Prozesse welche auf den W-Räumen
(Ω, F, P) und
Zustandsraum
Ω̃, F̃, P̃
R, B Rd
definiert sind, wobei die stochastischen Prozesse auf denselben
abbilden. Die Prozesse X und Y haben die gleiche endlich
dimensionale Verteilung, falls ∀n ∈ N, 0 ≤ t1 < · · · < tn < ∞ mit ti ∈ R und A ⊂ B Rnd
P[(Xt1 , . . . , Xtn ) ∈ A] = P̃[(Yt1 , . . . , Ytn ) ∈ A]
gilt.
3.6. Definition. Ein stochastischer Prozess X heißt messbar, falls für jedes A ∈
B Rd die Menge {(t, ω) : Xt (ω) ∈ A} ein Element der Produkt-σ-Algebra B ([0, ∞)) ⊗ F
ist.
3.1. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN
27
Wir wollen auch die zum Zeitpunkt t zur Verfügung stehenden Informationen beschreiben. Hierzu führen wir den Begriff der Filtration {Ft } ein.
3.7. Definition. Sei F die σ-Algebra eines W-Raumes (Ω, F, P), dann ist die Filtration {Ft } := {Ft : t ≥ 0} definiert !
als eine nicht fallende Familie von Sub-σ-Algebren von
F und wir setzen F∞ := σ
Ft .
S
t≥0
3.8. Definition. Der stochastische Prozess X heißt an die Filtration {Ft } adaptiert,
falls Xt für jedes t ≥ 0 Ft -messbar ist.
3.9. Definition. Der stochastische Prozess heißt bezüglich der Filtration {Ft } progressiv messbar, falls für alle t ≥ 0 und A ∈ B (Rp ) die Menge {(s, ω) : 0 ≤ s ≤ t, ω ∈
Ω, Xs (ω) ∈ A} ein Element der Produkt-σ-Algebra ist. Anders gesagt, wenn die Abbildung
(s.ω) 7→ Xs (ω) : ([0, t] × Ω, B ([0, t]) ⊗ Ft ) → Rd , B Rd
für alle t ≥ 0 messbar ist.
3.10. Definition. Sei X : Ω → R eine integrierbare Zufallsvariable auf (Ω, F, P),
dann heißt der Wert
Z
E (X) =
X (ω) dP (ω)
Ω
Erwartungswert.
Für die weiteren Betrachtungen benötigen wir eine Möglichkeit stochastische Prozesse
zu verschiedenen Zeiten t zu beschreiben. Wir wissen bereits, dass die Informationen,
welche uns zur Zeit t zur Verfügung stehen, in der Filtration {Ft } beschrieben sind. Seien
für unsere Überlegungen die Zufallsvariable X G-messbar und Y F-messbar mit F ⊂ G.
Wir suchen also einen Zufallsvariable, für die
Z
Z
XdP =
B
Y dP,
∀B ∈ F
B
gilt. Y soll die orthogonale Projektion von X auf F sein. Die Existenz einer solchen Zufallsvariable folgt aus dem Satz von Radon-Nikodym. Die Zufallsvariable Y wird im Folgenden
mit E (X|F) bezeichnet und wir nennen die Zufallsvariable bedingte Erwartung.
3.11. Definition. Sei X ∈ L1 (F) eine Zufallsvariable und F ⊂ G eine Sub-σ-Algebra
von G. Dann ist die Funktion
(i) E (X|F) F-messbar und
(ii)
R
B
E (X|F) dP =
R
XdP,
B
und heißt bedingte Erwartung.
∀B ∈ F
28
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
24. Lemma. Für jede integrierbare Zufallsvariable und jede Sub-σ-Algebra F existiert
die bedingte Erwartung und ist fast sicher (f.s.) eindeutig.
Als Nächstes folgt eine Zusammenfassung der wichtigsten benötigten Eigenschaften
der bedingten Erwartung.
25. Lemma. Die bedingte Erwartung E (X|F) erfüllt folgende Eigenschaften:
(i) Für X ist F-messbar gilt E (X|F) = X.
(ii) Für X ist F-unabhängig gilt E (X|F) = E (X).
(iii) Für Y ist F-messbar und beschränkt gilt E (XY |F) = Y E (X|F).
(iv) Für X ≥ 0 gilt E (X|F) ≥ 0.
(v) |E (X|F) | ≤ E (|X||F).
(vi) E (E (X|F)) = E (X).
(vii) E (. |F) ist linear.
(viii) Für φ ≥ 0 ist konvex, gilt φ (E (X|F)) ≤ E (φ (X) |F).
(ix) kE (X|F) kp ≤ kXkp ,
∀1 ≤ p < ∞.
(x) Sei {Xn }n≥0 eine steigende Folge von nicht negativen Zufallsvariablen. Dann ist
lim E (Xn |F) = E
n→∞
lim Xn |F .
n→∞
(xi) Sei {Xn }n≥0 durch eine Zufallsvariable Y ∈ L1 majorisiert und Xn → X f.s.. Dann
ist
E
lim Xn |F = E (X|F) .
n→∞
Im Folgenden definieren wir den Begriff der Stoppzeit. Eine Stoppzeiten bezeichnet
eine Zufallszeiten τ zu welcher ein Ereignis eintritt. Sie ist bezüglich einer Filtration {Ft }
definiert. Es werden also nur Ereignisse betrachtet, welche mit den, zur Zeit t vorhandenen
Informationen beurteilt werden können. Eine Zufallszeit τ ist eine F-messbare Zufallsvariable mit Werten in [0, ∞].
3.12. Definition. Sei X ein stochastischer Prozess und τ eine Zufallszeit, dann definieren wir die Funktion Xτ auf dem Ereignis {τ < ∞} mit
Xτ (ω) := Xτ (ω) (ω) .
3.13. Definition. Sei also (Ω, F) ein Messraum ausgestattet mit der Filtration {Ft }.
Eine Zufallszeit τ heißt Stoppzeit der Filtration {Ft }, falls ∀t ≥ 0 das Ereignis {τ ≤ t} in
der σ-Algebra Ft enthalten ist.
3.1. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN
29
3.14. Definition. Sei τ eine Stoppzeit von Ft . Die σ-Algebra Fτ enthält all jene
Ereignisse, welche vor der Stoppzeit τ eingetreten sind. Es gilt also A ∈ Fτ , falls A ∈ F
und A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft für alle t ≥ 0 gilt.
Nun führen wir eine Familie von stochastischen Prozessen ein, die sogenannten Martingale. Sie werden über die bedingte Erwartung definiert und in Submartingal, Martingal
und Supermartingal unterteilt.
3.15. Definition. Der Prozess {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} heißt Submartingal ( Supermartingal ), falls ∀ 0 ≤ s < t < ∞ gilt, dass
E (Xt |Fs ) ≥ Xs
(E (Xt |Fs ) ≤ Xs )
P-f.s.
Der Prozess {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} heißt Martingal, falls er sowohl ein Sub- als auch ein
Supermartingal ist.
26. Satz. Sei {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} ein rechts-stetiges Submartingal und es existiert ei
ne Konstante C := sup E Xt+ < ∞, dann existiert der Grenzwert X∞ (ω) := lim Xt (ω)
t→∞
t≥0
für f.a. ω ∈ Ω und E|X∞ | < ∞.
Im Folgenden wollen wir Submartingale Xt genauer beschreiben. Hierzu führen wir
die Doob-Meyer-Zerlegung ein. Sie zerlegt ein Submartingal in ein Martingal Mt und
einen nicht fallenden Prozess At . Dieser nicht fallende Prozess ist für Itô-Integrale von
Interesse. Wir werden diesen Prozess gegen Ende auch als Drift eines Prozesses bezeichnen.
Beginnenwir also
mit der benötigten Terminologie. Sei {Ft } eine gegebene Filtration.
Ft− := σ
T
Fs
s<tS
sind. Ft+ :=
bezeichne die σ-Algebra der Ereignisse, welche bis vor t > 0 eingetreten
Ft+ε bezeichne die σ-Algebra der Ereignisse, welche bis gleich nach t ≥ 0
t>0
eingetreten sind. Wir bezeichnen einen stochastischen Prozess als rechtsstetig für Ft = Ft+
beziehungsweise linksstetig für Ft = Ft− . Zu Beginn ein paar Überlegungen zum diskreten
fall. Eine Zufallsfolge An heißt vorhersehbar, falls sie Fn−1 -messbar ist.
3.16. Definition. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und eine an
∞
die Filtration {Fn }∞
n=0 adaptierte Zufallsfolge {An }n=0 . Die Folge heißt steigend, falls für
P-f.a. ω ∈ Ω 0 = A0 (ω) ≤ A1 (ω) . . . mit E (An ) < ∞ ∀n ∈ N gilt.
3.17. Definition. Eine steigende Folge {An , Fn : n = 0, 1, . . . } heißt natürlich, falls
für jedes beschränkte Martingal {Mn , Fn : n = 0, 1, . . . }
E (MN An ) = E
n
X
k=1
Mk−1 (Ak − Ak−1 ) ,
∀n ≥ 1
30
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
gilt.
Um die beiden obigen Begriffe mit Leben zu füllen, betrachten wir die diskrete Version eines stochastischen Integrals. Sei also Y die Martingaltransformierte von A mit M
definiert durch
Y0 = 0,
und
Yn =
n
X
Ak (Mk − Mk−1 ) ,
n ≥ 1.
k=1
Wir nutzen nun die Martingaltransformierte Y in der Definition 3.17. Damit folgt, dass
eine steigende Folge A genau dann natürlich ist, wenn die Martingaltransformierte Y =
{Yn }∞
n=0 von A für jedes Martingal E (Yn ) = 0 für n ≥ 0 erfüllt. Es gilt auch, dass eine
steigende Zufallsfolge A vorhersehbar ist genau dann, wenn sie natürlich ist. Um dieses
Konzept auf stetige Prozesse zu übertragen, definieren wir nun die beiden Begriffe für den
stetigen Fall.
3.18. Definition. Ein adaptierter Prozess heißt steigend für P-f.a. ω ∈ Ω, falls
• A0 (ω) = 0 und
• t → At (ω) eine nicht fallende rechtsstetige Funktion ist.
Außerdem gilt E (A∞ ) < ∞ ∀t ∈ [0, ∞).
3.19. Definition. Ein steigender Prozess A heißt natürlich, falls für jedes beschränkte
rechtsstetige Martingal {Mt , Ft : 0 ≤ t < ∞}
Z
Z
Ms− dAs ,
Ms dAs = E
E
(0,t]
0<t<∞
(0,t]
gilt.
3.20. Definition. Wir betrachten die Klasse I (Ia ) der Stoppzeiten T der Filtration
{Ft }, für welche P (T < ∞) = 1 ( bzw. P (T < a) = 1 für eine gegebene Zahl a > 0 ) gilt.
Der rechtsstetige Prozess {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} heißt von der Klasse D, falls die Familie
{XT }T ∈I gleichmäßig integrierbar ist und von der Klasse DL, falls die Familie {XT }T ∈Ia
gleichmäßig integrierbar ist.
Hierbei ist die Eigenschaft der Klasse D global und die Klasse DL eine lokale Eigenschaft.
3.21. Definition. Eine Filtration {Ft } erfüllt die üblichen Bedingungen, falls sie
rechtsstetig ist und F0 enthält alle P-Nullmengen in F.
3.1. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN
31
27. Satz (Doob-Meyer Zerlegung). Sei {Ft } so, dass die üblichen Bedingungen 3.21
erfüllt sind. Falls das rechtsstetige Submartingal X = {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} von der Klasse
DL ist, dann lässt sich X zerlegen in Xt = Mt + At mit einem rechtsstetigen Martingal
M = {Mt , Ft : 0 ≤ t < ∞} und einem steigenden Prozess A = {At , Ft : 0 ≤ t < ∞}. Falls
A natürlich gewählt ist, ist die Zerlegung eindeutig. Falls X von der Klasse D ist, dann
ist M ein gleichmäßig integrierbares Martingal und A ist integrierbar.
3.22. Definition. Ein Submartingal {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} heißt regulär, falls für alle
a > 0 und für jede nicht fallende Folge von Stoppzeiten {Tn }∞
n=1 ⊂ Ia mit T = lim Tn ,
n→∞
lim E (XTn ) = E (XT ) gilt.
n→∞
28. Satz. Sei X = {Xt : 0 ≤ t < ∞} ein rechtsstetiges Submartingal der Klasse DL
mit der Filtration {Ft }, welche die üblichen Bedingungen aus Definition 3.21 erfüllt und sei
A = {At : 0 ≤ t < ∞} ein natürlicher steigender Prozess aus der Doob-Meyer Zerlegung.
Der Prozess A ist stetig genau dann, wenn X regulär ist.
3.23. Definition. Sei X = {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} ein rechtsstetiges Martingal. X heißt
quadratintegrierbar, falls EXt2 < ∞ ∀t ≥ 0. Außerdem sei X0 = 0 f.s. , dann schreiben
wir X ∈ M2 oder X ∈ Mc2 , falls X stetig ist.
3.24. Definition. Sei X ∈ M2 , wir definieren die quadratische Variation von X als
den Prozess hXit := At , wobei A die natürliche Zerlegung aus Satz 27 von X 2 ist. hXi ist
also der eindeutige adaptierte natürliche steigende Prozess für den hXi0 = 0 f.s. gilt und
X 2 − hXi ein Martingal ist.
3.25. Definition. Sei X = {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} ein Prozess und für t > 0 fix sei
Π = {t0 , t1 , . . . , tm } mit 0 = t0 ≤ · · · ≤ tm = t eine Partition von [0, t]. Wir definieren die
p-Variation von X für Π mit
(p)
Vt
(Π) =
m
X
|Xtk − Xtk−1 |p .
k=1
3.26. Definition. Für beliebige X, Y ∈ M2 definieren wir ihren Kovarianz-Prozess
hX, Y i mit
hX, Y it :=
1
(hX + Y it − hX − Y it )
4
0 ≤ t < ∞,
des Weiteren ist XY − hX, Y i ein Martingal und es gilt
n
X
i=1
Xti − Xti−1
P
Yti − Yti−1 −
→ hX, Y it .
32
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
X, Y ∈ M2 heißen orthogonal, falls hX, Y i = 0 P-f.s. ∀ 0 ≤ t < ∞.
29. Lemma. Sei X ∈ Mc2 . Für Partitionen Π von [0, t] mit kΠk := max |tk − tk−1 |
1≤k≤m
gilt lim
kΠk→0
(2)
Vt (Π)
= hXit in Verteilung das heißt, dass ∀ε > 0, η > 0, ∃δ > 0, so dass aus
kΠk < δ
(2)
P[|Vt
(π) − hXit | > ε] < η
folgt.
30. Satz. Seien X, Y ∈ Mc2 . Dann gibt es einen eindeutigen {Ft }-adaptierten stetigen
Prozess {At , Ft : 0 ≤ t < ∞} mit beschränkter Variation für den A0 = 0 P-f.s. und
{Xt Yt − At , Ft : 0 ≤ t < ∞} ist ein Martingal gilt. Dieser Prozess ist durch den KovarianzProzess in Definition 3.26 gegeben.
3.27. Definition. Sei X = {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} ein (stetiger) Prozess mit X0 = 0
∞
f.s.. Falls eine nicht fallende Folge von {Tn }∞
n=1 Stoppzeiten von {Ft }n=1 existiert, so dass
(n)
Xt
:= {Xt∧Tn , Ft : 0 ≤ t < ∞} für alle n ≥ 1 ein Martingal ist und P[ lim Tn = ∞] = 1,
dann heißt X ein lokales (stetiges) Martingal und wir schreiben X ∈
n→∞
Mloc
oder für den
stetigen Fall X ∈ Mc,loc
Der folgenden Satz dient als Brücke zwischen den Sätzen für ein lokales Martingal und
den Sätzen für ein Martingal.
31. Satz. Sei X ein lokales Martingal mit rechtsstetigen Pfaden. Falls
!
E sup |Xs |
< ∞,
∀t > 0
s≤t
gilt, dann ist X ein Martingal.
Nun folgt eine, für die restliche Arbeit, wichtige Aussage. Durch die Doob-MeyerZerlegung und der Definition des Kovarianz-Prozesses erhalten wir ein Werkzeug, um
Aussagen über das zukünftige Verhalten von Submartingalen zu treffen. Wobei die DoobMeyer-Zerlegung eine Existenzaussage ist. Aber über das folgende Formelwerk aus ItôCalculus mit Kovarianz-Formel und Itô-Integral für Komposition mit Funktionen haben
wir die Werkzeuge zur Berechnung. Als grundlegender Prozess für den Integrator wird
dazu die Brownsche-Bewegung genützt.
32. Lemma. Sei X, Y ∈ Mc,loc . Dann existiert ein eindeutiger adaptierter stetiger
Prozess hX, Y i von beschränkter Variation, so dass hX, Y i0 = 0 P-f.s. ist und für den
3.1. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN
33
Prozess XY − hX, Y i ∈ Mc,loc gilt. Falls X = Y ist, schreiben wir hXi = hX, Xi und
dieser Prozess ist nicht fallend.
3.28. Definition. Wir bezeichnen den Prozess in Lemma 32 als Kovarianz-Prozess
von X und Y . Mit hXi bezeichnen wir die quadratische Variation von X.
3.29. Definition. Für jedes X ∈ M2 und 0 ≤ t < ∞ definieren wir
kXkt :=
außerdem sei
kXk :=
q
E Xt2 ,
∞
X
kXkn ∧ 1
n=1
2n
.
33. Satz. Unter der, von der Norm aus Definition 3.29, erzeugten Metrik ist M2 ein
vollständiger metrischer Raum und Mc2 ist ein abgeschlossener Unterraum von M2 .
3.1.2. Brownsche-Bewegung.
3.30. Definition. Eine eindimensionale Brownsche-Bewegung ist ein stetiger adaptierter Prozess B = {Bt , Ft : 0 ≤ t < ∞}, welcher auf dem W-Raum (Ω, F, P) definiert ist
und folgende Eigenschaften erfüllt:
• B0 = 0
f.s. ,
• für 0 ≤ s < t sind die Zuwächse Bt − Bs unabhängig von Fs ,
• für 0 ≤ s < t sind die Zuwächse normalverteilt mit N (0, t − s).
Zu Beginn wollen wir einige Sätze zur Existenz von stetigen stochastischen Prozessen
betrachten.
3.31. Definition. Sei R[0,∞) die Menge aller reellwertigen Funktionen auf [0, ∞). Eine
n-dimensionale Zylindermenge in R[0,∞) ist eine Menge der Form
C := {ω ∈ R[0,∞) : (ω (t1 ) , . . . , ω (tn )) ∈ A},
mit ti ∈ [0, ∞), i = 1, . . . , n, und A ∈ B (Rn ). Sei C der Körper der Zylindermengen in
R[0,∞) und sei B R[0,∞) die kleinste σ-Algebra welche C enthält.
3.32. Definition. Sei T eine Menge endlicher Folgen t = (t1 , . . . , tn ) von unterschiedlichen nicht negativer Zahlen mit n ∈ N. Für jedes t mit Länge n sei Qt das Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Rn , B (Rn )), dann heißt die Menge {Qt }t∈T Familie der endlich
dimensionalen Verteilungen.
34
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
3.33. Definition. {Qt }t∈T heißt konsistent, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
• falls s = (ti1 , ti2 , . . . , tin ) eine Permutation von t = (t1 , t2 , . . . , tn ) ist, dann haben
wir für Ai ∈ B (R), i = 1, . . . , n
Qt (A1 × A2 × · · · × An ) = Qs (Ai1 × Ai2 × · · · × Ain ) ,
• falls t = (t1 , t2 , . . . , tn ) mit n ≥ 1, s = (t1 , t2 , . . . , tn−1 ) und A ∈ B Rn−1 , dann
ist
Qt (A × R) = Qs (A) .
34. Satz (Daniell, Kolmogorov). Sei {Qt }t∈T eine konsistente Familie von endlich
dimensionalen Verteilungen. Dann existiert ein W-Maß P auf
R[0,∞) , B R[0,∞)
, so
dass
Qt (A) = P[ω ∈ R[0,∞) : (ω (t1 ) , . . . , ω (tn )) ∈ A],
∀t ∈ T
gilt.
35. Satz (Kolmogorov, Čentsov). Sei {Xt : 0 ≤ t < T } ein Prozess auf dem W-Raum
(Ω, F, P) welcher
E|Xt − Xs |α ≤ C|t − s|1+β ,
0 ≤ s, t ≤ T,
für positive Konstanten α, β und C erfüllt. Dann existiert X̃ = {X̃t : 0 ≤ t < T } eine
stetige Modifikation von X. Diese ist Hölder-stetig mit dem Exponent γ ∈ (0, β/α), das
heißt



P
ω :

|X̃t (ω) − X̃s (ω) |
≤ δ
 = 1,
γ
|t − s|
0<t−s<h(ω)
sup
s,t∈[0,T ]
wobei h (ω) f.s. eine positive Zufallsvariable und δ > 0 ist.
Im Folgenden betrachten wir einige Sätze, welche einen stetigen stochastischen Prozess
als Brownsche-Bewegung verifizieren.
36. Satz. Sei X ein stetiges lokales Martingal auf (Ft )t≥0 , so dass X adaptiert auf
(Ft ) ist. Falls hXit = t ∀t ≥ 0 gilt, so ist X eine Brownsche-Bewegung.
(1)
(d)
37. Satz (P. Lévy). Sei X = {Xt = Xt , . . . , Xt
, Ft , 0 ≤ t < ∞} ein stetiger
adaptierter Prozess in Rd , so dass für jede Komponente 1 ≤ k ≤ d, der Prozess
(k)
Mt
(k)
:= Xt
(k)
− X0 :
0 ≤ t < ∞,
3.1. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN
35
ein stetiges lokales Martingal in Abhängigkeit von {Ft } ist und der Kovarianz-Prozess
erfüllt
D
M (k) , M (j)
E
t
1 ≤ k, j ≤ d.
= δkj t :
Dann ist {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} eine d-dimensionale Brownsche-Bewegung.
(1)
(d)
38. Satz (F. B. Knight). Sei M = {Mt = Mt , . . . , Mt
D
stetiger adaptierter Prozess mit M (i) ∈ Mc,loc , lim M (i)
t→∞
D
M (i) , M (j)
E
t
1 ≤ i 6= j ≤ d,
= 0,
E
t
=∞
, Ft : 0 ≤ t < ∞} ein
P-f.s. und
0 ≤ t < ∞.
Dann definieren wir
n
Ti (s) = inf t ≥ 0 :
D
M (i)
E
o
t
>s ,
0 ≤ s < ∞,
1 ≤ i ≤ d,
so dass für alle i und s, die Zufallszeit Ti (s) eine Stoppzeit für die Filtration {Ft } ist.
Unter diesen Voraussetzungen sind die Prozesse
(i)
Bs(i) := MTi (s) ,
0 ≤ s < ∞,
1 ≤ i ≤ d,
unabhängige eindimensionale Brownsche-Bewegungen.
3.1.3. Ito-Integral.
3.34. Definition. Ein stetiges Semimartingal X = {Xt , Ft : 0 ≤ t < ∞} ist ein
adaptierter Prozess, welcher P-f.s. eine Zerlegung der Form
Xt = X0 + Mt + Bt ,
0≤t<∞
besitzt, wobei M = {Mt , Ft : 0 ≤ t < ∞} ∈ Mc,loc und B = {Bt , Ft : 0 ≤ t < ∞} die
Differenz zweier stetiger nicht fallender adaptierter Prozesse {A±
t , Ft : 0 ≤ t < ∞}:
−
Bt = A+
t − At ,
0 ≤ t < ∞,
−
+
mit A±
0 = 0, P-f.s. ist. Dabei sei At die positive Variation und At die negative Variation.
39. Satz. Sei Xt := Xt1 , . . . , Xtd
ein stetiges Semimartingal und f : R2 → R hat
stetige zweite partielle Ableitungen, dann gilt
f (Xt ) − f (X0 ) =
d Z
X
i=1 0
t
Di f
(Xs ) dXsi
d
1 X
+
2 i,j=1
Zt
0
D
Dij f (Xs ) d X i , X j
E
s
.
36
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
40. Satz. Sei Xt :=
Xt1 , . . . , Xtd
und seien die Xti stetige Semimartingale wobei
Xtc+1 , . . . , Xtd von lokaler beschränkter Variation sind. Dann gilt
f (Xt ) − f (X0 ) =
d Z
X
t
Di f
(Xs ) dXsi
i=1 0
c
1 X
+
2 i,j=1
Zt
D
Dij f (Xs ) d X i , X j
E
s
,
0
falls alle benötigten partiellen Ableitungen existieren.
41. Satz (Martingal Darstellung). Sei Bt := (B1 (t) , . . . , Bn (t)) eine n-dimensionale
(n)
Brownsche-Bewegung und Mt ∈ L2 Ft , P ein Martingal für alle t ≥ 0. Dann existiert
ein eindeutiger stochastischer Prozess g (s, ω) für den
(i) (t, ω) → g (t, ω) ist B × F-messbar,
(ii) g (t, ω) ist Ft -adaptiert,
!
(iii) E
Rt
g (t, ω)2 dt
< ∞,
0
für alle t ≥ 0 gilt und
Zt
∀t ≥ 0 f.s. .
g (s, ω) dBs
Mt (ω) = E (M0 ) +
0
42. Satz (Partielle Integration). Seien Xt , Yt zwei stetige Semimartingale wie in der
Definition 3.34 mit den Zerlegungen Xt := X0 + Mt + Bt und Yt := Y0 + M̃t + B̃t , dann
gilt
Xt Yt − X0 Y0 =
Zt
Zt
Xs dYs +
0
D
Ys dXs + M, M̃
E
t
.
0
43. Satz (Itô-Isometrie). Sei g wie in Satz 41, dann gilt


2 
 T
ZT
Z


E  g (t, ω)  = E  g (t, ω)2  .
S
S
44. Lemma. Seien M = {Mt , Ft : 0 ≤ t < ∞} und N = {Nt , Ft : 0 ≤ t < ∞} zwei
stochastische Prozesse mit M, N ∈ Mc2 und seien X, Y bezüglich Ft progressiv messbare
Prozesse. Dann sind ItM (X) :=
Rt
0
Xs dMs und ItN (Y ) :=
Rt
0
Ys dNs ebenfalls in Mc2 und es
gilt
D
ItM
(X) , ItN
(Y )
Zt
E
t
=
Xs Ys d hM, N is ,
t ≥ 0, P-f.s. .
0
n
(1)
(2)
(d)
45. Satz. Sei M := Mt := Mt , Mt , . . . , Mt
(i)
W-Raum (Ω, F, P). Wobei Mt
D
o
, Ft ; 0 ≤ t < ∞ definiert auf dem
∈ Mc,loc für alle 1 ≤ i ≤ d gilt. Sei für 1 ≤ i, j ≤ d
der Kovarianz-Prozess M (i) , M (j)
E
t
(ω) eine absolut stetige Funktion von t für P-f.a.
3.1. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN
37
ω. Dann existiert eine Erweiterung Ω̃, F̃, P̃ von (Ω, F, P). Auf dieser Erweiterung sind
eine d-dimensionale Brownsche-Bewegung
n
(1)
(2)
(d)
W := Wt := Wt , Wt , . . . , Wt
o
, F̃t ; 0 ≤ t < ∞
und eine Matrix
X=
(i,k) d
Xt
, F̃t ; 0
i,k=1
≤t<∞
von adaptierten Prozessen definiert. Für diese gilt
 t

Z 2
P̃ 
Xs(i,k) ds < ∞ = 1,
1 ≤ i, k ≤ d,
0 ≤ t < ∞,
0
und die Darstellungen
(i)
Mt
=
d Z
X
t
Xs(i,k) dWs(k) ,
1 ≤ i ≤ d,
0≤t<∞
k=1 0
und
D
M
(i)
,M
(j)
E
t
=
d Z
X
t
Xs(i,k) Xs(j,k) ds,
1 ≤ i, j ≤ d,
0≤t<∞
k=1 0
P̃-f.s..
46. Lemma. Sei {Xt , Ft } ein Martingal und g eine konvexe Funktion. Falls g (Xt )
integrierbar für alle t ≥ 0, dann ist {g (Xt ) , Ft } ein Submartingal.
Beweis. Dies zeigen wir indem wir die Jensensche-Ungleichung benutzen. Für eine
konvexe Funktion g und eine integrierbare Zufallsvariable X folgt für den Erwartungswert
g (E (X)) ≤ E (g (X)) .
Wir nutzen die Martingaleigenschaft und die Jensensche-Ungleichung und erhalten
E (g (Xt+1 ) |Ft ) ≥ g (E (Xt+1 |Ft ))
= g (Xt ) .
47. Satz (Doob Ungleichung). Sei 1 < p ≤ ∞ und F ∈ Lp (Ω). Dann erfüllt die
Martingal-Maximal-Funktion
F ∗ = sup |Fs |,
s>0
Fs = E (F |Fs ) ,
Ft∗ = sup |Fs |
s≤t
38
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
die Ungleichungen
E Ft∗p ≤
p
p−1
p
E (|Ft |p ) ,
E (F ∗p ) ≤
und
p
p−1
p
E (|F |p ) .
Beweis. Sei Fs ein stetiges Martingal, dann ist für p ≥ 1 der Term |Fs |p mit Lemma 46
und der Wahl g (Fs ) = |Fs |p ein Submartingal. Mit der Stoppzeit τ = inf{s0 : |Fs0 | > λ} ∧ t
gilt E (Ft |Fτ ) = Fτ . Da Ft stetige Pfade besitzt, haben wir für die Ereignisse {Fτ = λ} ⊆
{τ < ∞} = {F ∗ > λ}. Hiermit und aus der Definition 3.11 der bedingten Erwartung folgt
Z
λP (Ft∗ > λ) =
λdP
{Ft∗ >λ}
Z
≤
|Fτ |dP
{τ <t}
= E 1{τ <t} |Fτ |
= E 1{τ <t} |E (F∞ |Fτ ) |
≤ E E 1{τ <t} |F∞ |Fτ |
= E 1{τ <t} |Ft | .
Für den Beginn der Betrachtung nutzen wir, um sicher endlich zu bleiben, dass
P (Ft∗ ∧ n > λ) ≤ P (Ft∗ > λ) ,
für n ∈ N
gilt.
Wir integrieren und nutzen Fubini
E ((Ft∗ ∧ n)p ) =
Z∞
pλp−1 P ((Ft∗ ∧ n) > λ) dλ
0
≤
Z∞

−1
pλp−1 
λ

0
=

|Ft | 

p
p−1

(FZt∗ ∧n)
pλp−2 dλ
 dP

0
Ω
=

|Ft |dP
 dλ
{(Ft∗ ∧n)>λ}

Z

Z
Z
|Ft | (Ft∗ ∧ n)p−1 dP.
Ω
Um die Hölder-Ungleichung zu nutzen, sei der konjugierte Exponent q =
1
1
E ((F ∗ ∧ n)p ) ≤ q (E (|Ft |p )) p (E ((F ∗ ∧ n)p )) q
p
p−1 ,
womit wir
3.1. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN
39
erhalten. Aus 1 − 1/q = (p − p + 1)/p = 1/p folgt
E ((Ft∗ ∧ n)p )
1− 1q
1
= E ((Ft∗ ∧ n)p ) p ≤
1
p
(E (|Ft |p )) p .
p−1
Mit n → ∞ folgt
1
E ((Ft∗ )p ) p ≤
1
p
(E (|Ft |p )) p
p−1
und mit t → ∞ erhalten wir mit monotoner Konvergenz
1
E ((F ∗ )p ) p ≤
was zu zeigen war.
1
p
(E (|F |p )) p ,
p−1
Der rote Faden über den strukturellen Aufbau dieses Teils wurde angelehnt an Karatzas
und Shreve [10] und mit Hilfe von Durrett [6], Øksendal [16] und Muscalu und Schlag
[13] ergänzt.
40
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
3.2. Der komplexe Fall
In den folgenden Abschnitten betrachten wir die zuvor eingeführten Begriffe und
das Formelwerk rund um Itô im Komplexen. Aus der Dichtefunktion der BrownschenBewegung zeigen wir die Eigenschaften der komplexen Brownschen-Bewegung. Wir betrachten den Kovarianz-Prozess für C, wobei wir die Eigenschaft konform einführen. Aus
der Itô-Formel im zweidimensionalen berechnen wir den allgemeinen komplexen Fall, sowie die Fälle konformer Martingale und konformer Martingale mit harmonischen Funktionen und mit analytischen Funktionen. Aus der Kombination von konformen Martingalen
und analytischen Funktionen betrachten wir vorbereitend die partielle Integration und
den Kovarianz-Prozess. Wir nutzen diese aufwendige Vorbereitung um mit der Klasse der
holomorphen Martingalen zu arbeiten. Für Submartingale, welche aus holomorphen Martingalen generiert werden, können wir dank unserer Vorbereitung den Driftterm ablesen.
Somit sind wir in der Lage, ohne großen weiteren Aufwand, Aussagen über das zeitliche
Verhalten, von aus holomorphen Martingalen erzeugten Submartingalen, zu beschreiben.
3.2.1. Komplexe Brownsche-Bewegung. Die Grundlagen für die Betrachtungen
in diesem Abschnitt finden sich in Cass [3], Varopoulos [19], Williams [21], Muscalu und
Wilhelm [13]. Zunächst führen wir die Brownsche-Bewegung im komplexen Zahlenraum
ein und danach überprüfen wir einige grundlegende Eigenschaften. Seien also im Folgenden
(1)
Xt
(2)
und Xt
unabhängige eindimensionale Brownsche-Bewegungen, also erhalten wir aus
pX (i) (t; x, y) := √
t
1 −(x−y)2 /2t
e
2πt
(i)
t > 0,
(1)
mit y = 0 die Dichtefunktion von Xt . Folglich erfüllen Xt
x, y ∈ R
(2)
und Xt
folgende Punkte:
(i)
• X0 = 0 f.s. .
(i)
• Xt
hat unabhängige Zuwächse.
(i)
(i)
• Die Zuwächse Xt − Xs , 0 ≤ s < t sind N (0, t − s) verteilt.
(i)
• Xt
ist f.s. stetig.
(1)
Im Weiteren betrachten wir den stochastischen Prozess Bt := Xt
(2)
+ iXt . Zu Beginn
(1)
betrachten wir einige Überlegungen zur Dichtefunktion von Bt . Da Xt
(2)
und Xt
unab-
hängig sind und wir die komplexe-Zahlenebene mit R2 identifizieren können, erhalten wir
aus
2
2
1 −(x +y )
pX (1) (t; x, 0) pX (2) (t; y, 0) =
e 2t
2πt
t
t
1 −z·z
1 −|z|2
=
e 2t =
e 2t := pBt (t; z = x + iy, 0)
2πt
2πt
3.2. DER KOMPLEXE FALL
41
die Dichtefunktion für Bt . Somit können wir den Erwartungswert und die Varianz von Bt
berechnen. Wir nutzen die Darstellung der komplexen Brownschen-Bewegung als Summe
von zwei unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen. Somit erhalten wir für den
Erwartungswert
(1)
E (Bt ) = E Xt
(2)
+ iE Xt
=0
und für die Varianz folgt mit Hilfe von Var[Xt ] = E Xt2 − E (Xt )2 und E (Bt ) = 0
(1)2
Var[Bt ] = E Bt · Bt = E Xt
(2)2
+ E Xt
(1)
(2)
= Var[Xt ] + Var[Xt ] = 2t.
Wir benötigen im Folgenden auch die Kovarianz-Funktion
Cov (Bt , Bs ) := E (Bt Bs ) − E (Bt ) E (Bs ) .
Von oben wissen wir, dass E (Bt ) = 0 ist, deshalb betrachten wir nur
(1)
Cov Bt , Bs = E Bt Bs = E (Xt
(1)
(1)
(2)
− iXt )(Xs(1) + iXs(2) )
(1)
(2)
(2)
= E Xt Xs(1) + iXt Xs(2) − iXt Xs(1) + Xt Xs(2)
(1)
(2)
(2)
= E Xt Xs(1) + iE Xt Xs(2) − iE Xt Xs(1) + E Xt Xs(2)
= 2 min (s, t) .
(1)
48. Lemma. Der stochastische Prozess Bt := Xt
(2)
+ iXt
ist eine komplexwertige
Brownsche-Bewegung.
Beweis. Wir zeigen, dass Bt die oben angeführten Voraussetzungen für die BrownscheBewegung erfüllt.
• B0 = 0 f.s. folgt aus E (B0 ) = 0 und Cov (B0 , B0 ) = 0.
• Bt hat unabhängige Zuwächse, dies folgt mit der Zerlegung von [0, t]
0 ≤ t1 < t2 < · · · < tk ≤ t
und aus der Kovarianz-Funktion. Wir nutzen also, dass für einen Gauß-Prozess
aus der Unkorreliertheit die Unabhängigkeit folgt. Mit i < j erhalten wir
Cov (Xti − Xti−1 )(Xtj − Xtj−1 ) = E (Xti − Xti−1 )(Xtj − Xtj−1 )
= E Xti Xtj − Xti Xtj−1 − Xti−1 Xtj + Xti−1 Xtj−1
42
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
und aus der Linearität von E folgt
E Xti Xtj − E Xti Xtj−1 − E Xti−1 Xtj + E Xti−1 Xtj−1
=2ti − 2ti − 2ti−1 + 2ti−1 = 0.
• Zu zeigen ist, dass die Zuwächse Bt − Bs , 0 ≤ s < t, N (0, 2(t − s))-verteilt
sind. Wir haben Bt ist N (0, 2t) verteilt und Bs ist N (0, 2s) verteilt und da eine
Linearkombination von normalverteilten Zufallsvariablen normalverteilt ist, gilt
Bt − Bs ist N (0, 2(t − s)) verteilt.
• Bt ist stetig folgt aus der Stetigkeit von Xt1 und Xt2 .
Wir zeigen nun die Rotations- und Translationsinvarianz der Brownschen-Bewegung.
49. Lemma. Sei Bt eine komplexwertige Brownsche-Bewegung und h, z ∈ C mit zz = 1,
dann sind Bt + h und zBt ebenfalls Brownsche-Bewegungen.
• Wir betrachten zunächst den Fall Bt + h. Die Dichte ist
Beweis.
1 − |x+h−y−h|
1 − |x−y|
2t
e
=
e 2t = pBt (t; x, y)
2πt
2πt
pBt +h (t; x, y) = pBt (t; x + h, y + h) =
und die Voraussetzungen der Brownsche-Bewegung sind erfüllt.
• Für den Fall zBt ist die Dichte gegeben durch
pzBt (t; x, y) = pBt (t; zx, zy) =
1 − |zx−zy|
1 − |z(x−y)|
1 − |x−y|
2t
2t
=
=
e
e
e 2t = pBt (t; x, y)
2πt
2πt
2πt
und somit folgen die Voraussetzungen der Brownschen-Bewegung.
Wir wollen nun noch den Satz 37 auf den Fall der komplexen Brownschen-Bewegung
verallgemeinern. Hierzu betrachten wir den Kovarianz-Prozess 3.26.
(1)
50. Lemma. Seien Bt
(1,1)
:= Xt
(1,2)
+ iXt
(2)
und Bt
(2,1)
(2,2)
:= Xt
+ iXt
(i,j)
mit Xt
reellwertige Martingale, dann gilt
D
B (1) , B (2)
E
D
t
= X (1,1) + iX (1,2) , X (2,1) + iX (2,2)
E
t
.
Wir verwenden nun die Linearität und erhalten
D
D
X (1,1) , X (2,1)
= X
(1,1)
,X
(2,1)
E
D
t
E
+ iX (1,2) , iX (2,2)
D
t
− X
(1,2)
,X
(2,2)
E
E
t
D
t
+ iX (1,2) , X (2,1)
+i
D
X
(1,2)
,X
(2,1)
E
D
t
E
t
+ X (1,1) , iX (2,2)
D
+ X
(1,1)
,X
(2,2)
E
t
E
t
3.2. DER KOMPLEXE FALL
43
E
D
und der Kovarianz-Prozess ist gegeben durch B (1) , B (2) .
t
3.35. Definition. Ein stetiges komplexwertiges Martingal Mt heißt konformes Martingal, falls hM, M it = 0 gilt.
51. Lemma. Sei Bt ein komplexwertiger stetiger adaptierter Prozess. Bt ist genau dann
eine komplexe Brownsche-Bewegung, wenn
• Bt ein konformes lokales Martingal ist,
•
D
B, B
E
t
= 2t.
3.2.2. Komplexes Itô-Integral. Wir wollen nun den zweidimensionalen Fall der
Itô-Formel, für ein f (z) ∈ C 2 mit z := x + iy ∈ C nutzen, um die Version für die komplexe
Zahlenebene zu erhalten. Vorbereitend betrachten wir die Differentialoperatoren für f
1
2
∂f :=
(3.2.1)
∂f
∂f
−i
∂x
∂y
,
∂f :=
1
2
∂f
∂f
+i
∂x
∂y
.
Folgende Kombinationen der Operatoren werden wir benutzen
1
∂∂f = ∂
2
(3.2.2)
∂f
∂f
−i
∂x
∂y
1
∂∂f = ∂
2
(3.2.3)
1
∂∂f = ∂
2
(3.2.4)
1
=
4
∂f
∂f
+i
∂x
∂y
∂f
∂f
+i
∂x
∂y
1
=
4
∂2f
∂2f
∂2f
−
2i
−
∂x2
∂x∂y
∂y 2
1
=
4
∂2f
∂2f
+
∂x2
∂y 2
!
,
!
,
∂2f
∂2f
∂2f
+
2i
−
∂x2
∂x∂y
∂y 2
!
.
Außerdem betrachten wir noch einige Kovarianz-Prozesse mit Zt := Xt + iYt und Xt , Yt
sind reellwertige Martingale, woraus nun
hZ, Zit = hX, Xit − hY, Y it + i hX, Y it + i hY, Xit
(3.2.5)
D
Z, Z
(3.2.6)
D
(3.2.7)
(1)
Z, Z
(d)
folgt. Für Xt , . . . , Xt
(3.2.8)
E
t
E
t
= hX, Xit + hY, Y it
= hX, Xit − hY, Y it − i hX, Y it − i hY, Xit
stetige Semimartingale und f : Rd → R ∈ C 2 gilt
f (Xt ) − f (X0 ) =
d Z
X
i=1 0
t
Di f
(Xs ) dXs(i)
d
1 X
+
2 ij=1
Zt
0
D
Dij f (Xs ) d X (i) , X (j)
E
s
.
44
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
52. Satz (Itô für C). Sei Zt ein stetiges komplexwertiges Martingal und f ∈ C 2 , dann
gilt
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
Zt
∂f (Zs ) dZs
∂f (Zs ) dZs +
0
0
 t

Z
Zt
D
E
1
+  ∂∂f (Zs ) d hZ, Zis + ∂∂f (Zs ) d Z, Z 
2
s
0
0
Zt
D
∂∂f (Zs ) d Z, Z
+
E
s
.
0
(1)
(2)
Beweis. Seien Xt , Xt
stetige reellwertige Martingale und f : Rd → R ∈ C 2 gilt.
Wir zeigen dass, die Itô Formel für d = 2 von der komplexen Version in Satz 52 erfüllt
wird.
(I) Wir betrachten den ersten Teil der rechten Seite und mit Gleichung 3.2.1 erhalten
wir
Zt
Zt
∂f (Zs ) dZs =
∂f (Zs ) dZs +
0
0
Zt
1
2
0
Zt
0
∂f
∂f
(1)
(2)
−
i
d
X
+
iX
+
s
s
∂x(1)
∂x(2)
∂f
dXs(1) +
∂x(1)
Zt
0
Zt
0
1
2
∂f
∂f
(1)
(2)
+
i
d
X
−
iX
=
s
s
∂x(1)
∂x(2)
∂f
dXs(2) .
∂x(2)
(II) Für den zweiten Teil der rechten Seite betrachten wir zuerst den linken Teil der
Klammer mit den Gleichungen 3.2.2 und 3.2.5
1
2
Zt
1
∂∂f (Zs ) d hZ, Zis =
8
0
Zt
0
1
+
8
Zt
0
1
+
8
Zt
0
1
+
8
Zt
0
∂2f
∂2f
∂2f
−
2i
−
∂x(1)2
∂x(1) ∂x(2) ∂x(2)2
!
D
d X (1) , X (1)
∂2f
∂2f
∂2f
− (1)2 + 2i (1) (2) + (2)2
∂x
∂x ∂x
∂x
∂2f
∂2f
∂2f
−
2i
−
∂x(1)2
∂x(1) ∂x(2) ∂x(2)2
!
∂2f
∂2f
∂2f
−
2i
−
∂x(1)2
∂x(1) ∂x(2) ∂x(2)2
!
!
E
D
s
d X (2) , X (2)
D
id X (1) , X (2)
D
id X (2) , X (1)
E
s
E
s
E
s
.
3.2. DER KOMPLEXE FALL
45
Für den rechten Teil der Klammer erhalten wir mit Hilfe der Gleichungen 3.2.4 und
3.2.7
1
2
Zt
D
∂∂f (Zs ) d Z, Z
1
=
8
E
s
0
Zt
0
1
+
8
Zt
0
1
+
8
Zt
0
1
+
8
!
∂2f
∂2f
∂2f
+
2i
−
∂x(1)2
∂x(1) ∂x(2) ∂x(2)2
Zt
0
D
d X (1) , X (1)
∂2f
∂2f
∂2f
− (1)2 − 2i (1) (2) + (2)2
∂x
∂x ∂x
∂x
!
∂2f
∂2f
∂2f
− (1)2 − 2i (1) (2) + (2)2
∂x
∂x ∂x
∂x
!
∂2f
∂2f
∂2f
− (1)2 − 2i (1) (2) + (2)2
∂x
∂x ∂x
∂x
!
D
E
s
d X (2) , X (2)
E
D
id X (1) , X (2)
D
id X (2) , X (1)
s
E
s
E
s
.
Gesamt erhalten wir für den zweiten Teil
 t
Z
1
2
Zt
∂∂f (Zs ) d hZ, Zis +
∂∂f (Zs ) d Z, Z
Zt
∂2f
∂2f
−
∂x(1)2 ∂x(2)2
0
1
+
4
Zt
Zt
0
1
+
4
!
Zt
0
∂2f
−2i (1) (2)
∂x ∂x
!
∂2f
−2i (1) (2)
∂x ∂x
!
D
d X (1) , X (1)
∂2f
∂2f
− (1)2 + (2)2
∂x
∂x
0
1
+
4
E
s

0
0
1
=
4

D
!
E
s
D
d X (2) , X (2)
D
id X (1) , X (2)
D
id X (2) , X (1)
E
s
E
s
E
s
.
(III) Wir betrachten nun den dritten Teil der rechten Seite von Satz 52 mit Hilfe der
Gleichungen 3.2.3 und 3.2.6
Zt
D
∂∂f (Zs ) d Z, Z
E
s
1
=
4
Zt
0
1
=
4
∂2f
∂2f
+
∂x(1)2 ∂x(2)2
0
Zt
0
∂2f
∂2f
+
∂x(1)2 ∂x(2)2
!
D
d X (1) , X (1)
E
1
+
s
4
!
d
Zt
0
D
X (1) , X (1)
E
s
D
+ X (2) , X (2)
∂2f
∂2f
+
∂x(1)2 ∂x(2)2
!
D
E s
d X (2) , X (2)
E
s
.
46
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
Wir erhalten somit gesamt
I + II + III
Zt
=
0
1
+
4
∂f
dXs(1) +
∂x(1)
Zt
Zt
∂2f
−2i (1) (2)
∂x ∂x
0
1
+
4
Zt
2 Z
X
i=1 0
t
!
D
d X (1) , X (1)
Zt
1
+
s
4
E
∂2f
∂2f
− (1)2 + (2)2
∂x
∂x
0
!
D
id X (1) , X (2)
Zt
1
+
s
4
E
0
∂2f
∂2f
+
∂x(1)2 ∂x(2)2
0
=
0
∂f
dXs(2)
∂x(2)
∂2f
∂2f
−
∂x(1)2 ∂x(2)2
0
1
+
4
Zt
!
D
d X
(1)
,X
(1)
∂2f
−2i (1) (2)
∂x ∂x
Zt
1
+
s
4
E
∂2f
∂2f
+
∂x(1)2 ∂x(2)2
0
2
∂f
1 X
(i)
dX
+
s
2 ij=1
∂x(i)
Zt
0
!
!
D
d X (2) , X (2)
D
id X (2) , X (1)
!
D
E
s
E
d X (2) , X (2)
s
E
s
D
E
∂2f
(i)
(j)
d
X
,
X
.
s
∂x(i) ∂x(j)
53. Korollar. Sei Zt : Ω → C ein stetiges konformes Martingal und f ∈ C 2 , dann
gilt
Zt
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
∂f (Zs ) dZs
∂f (Zs ) dZs +
0
0
Zt
D
∂∂f (Zs ) d Z, Z
+
E
s
.
0
Beweis. Wir verwenden
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
Zt
∂f (Zs ) dZs +
0
∂f (Zs ) dZs
0
 t

Z
Zt
D
E
1
+
∂∂f (Zs ) d hZ, Zis + ∂∂f (Zs ) d Z, Z 
2
s
0
Zt
0
D
∂∂f (Zs ) d Z, Z
+
E
s
0
und, dass für ein konformes Martingal
hZ, Zit = 0 ⇒ hX, Xit = hY, Y it und hX, Y it = − hY, Xit
3.2. DER KOMPLEXE FALL
D
gilt. Somit gilt auch Z, Z
E
t
47
= 0 und wir erhalten
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
Zt
∂f (Zs ) dZs
∂f (Zs ) dZs +
0
0
Zt
D
∂∂f (Zs ) d Z, Z
+
E
s
.
0
54. Korollar. Sei Zt : Ω → C ein stetiges konformes Martingal und f sei harmonisch,
dann gilt
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
Zt
∂f (Zs ) dZs +
0
∂f (Zs ) dZs .
0
Beweis. Mit der Gleichung 3.2.3 und f ist harmonisch, erhalten wir
1
∂∂f =
4
Somit ist auch
∂2f
∂2f
+
∂x2
∂y 2
Zt
D
∂∂f (Zs ) d Z, Z
!
= 0.
E
s
=0
0
und wir erhalten
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
Zt
∂f (Zs ) dZs +
0
∂f (Zs ) dZs .
0
55. Korollar. Sei Zt : Ω → C ein stetiges konformes Martingal und f sei analytisch,
dann gilt
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
f 0 (Zs ) dZs .
0
Beweis. Aus f analytisch erhalten wir
∂f
∂f
∂f
∂f
+i
=0⇒
=i .
∂x
∂y
∂y
∂x
48
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
Es gilt also
Zt
Zt
∂f (Zs ) dZs +
0
Zt
1
2
∂f (Zs ) dZs =
0
∂f
∂f
−i
∂x
∂y
Zt
1
2
dZs +
0
∂f
∂f
+i
∂x
∂y
dZs
0
Zt
1
2
=
∂f
∂f
dZs +
− i2
∂x
∂x
Zt
∂f
∂f
dZs
+ i2
∂x
∂x
1
2
∂f
∂f
dZs
−
∂x ∂x
0
0
Zt
1
2
=
∂f
∂f
dZs +
+
∂x ∂x
Zt
1
2
0
0
Zt
f 0 (Zs ) dZs .
=
0
56. Lemma (Partielle Integration). Seien Rt , St : Ω → C zwei holomorphe Martingale,
dann gilt
Rt St − R0 S0 =
Zt
Zt
Ss dRs +
0
Rs dSs .
0
Beweis. Wir betrachten den Fall f (z) := z 2 mit z := x + iy und erhalten somit
0
z 2 = 2x + 2iy = 2 (z). Aus Lemma 55 folgt
Zt2
−
Z02
Zt
2Zs dZs .
=
0
(1)
Wir setzen Zt
(2)
:= (Rt − St ) und betrachten
:= (Rt + St ) und Zt
1 1 (1) (2)
(1)
(2)
f Zt
− f Zt
−
f Z0 − f Z0
4
4
1
1
=
(Rt + St )2 − (Rt − St )2 −
(Rt + St )2 − (Rt − St )2 = Rt St − R0 S0 .
4
4
Nun benutzen wir die Darstellung als Itô-Integral und erhalten
 t
Z
1
2
(Rs + Ss ) d (Rs + Ss ) −
Zt
0

(Rs − Ss ) d (Rs − Ss )
0

 t
Z
Zt
Zt
Zt
1
=
Rs dRs + Ss dRs + Rs dSs + Ss dSs 
2
0

1
+ −
2
0
Zt
0
Zt
Rs dRs +
0
0
Zt
Ss dRs +
0
0
Rs dSs −
Zt

Zt
Ss dSs  =
0
Zt
Ss dRs +
0
Rs dSs .
0
3.2. DER KOMPLEXE FALL
49
57. Lemma. Falls Zt ein lokales konformes Martingal mit Werten in einer Menge E
und f analytisch auf E, dann ist f (Zt ) ein lokales konformes Martingal mit
f (Zt ) − f (Z0 ) =
Zt
f 0 (Zs ) dZs ,
0
D
f (Z) , f (Z)
Zt
E
t
=
D
f 0 (Zs ) f 0 (Zs )d Z, Z
E
s
.
0
Beweis. Die Darstellung von f (Zt ) folgt aus Korollar 55.
Wir betrachten nun den Kovarianz-Prozess und erhalten mit Lemma 44
D
f (Zt ) , f (Zt )
*Zt
E
t
Zt
0
f (Zs ) dZs ,
=
0
Zt
=
+
f 0 (Z
s )dZs
0
t
D
f 0 (Zs ) f 0 (Zs )d Z, Z
E
s
.
0
3.2.3. Holomorphe Martingale. Wir wollen Martingale in der komplexen Zahlenebene betrachten, insbesondere holomorphe Martingale. Durch die Möglichkeit Martingale
durch ein Itô-Integral der Form aus Satz 41 darzustellen und der Version des Itô-Integrals
für analytische Funktionen werden wir auf die Definition des holomorphen Martingals
geführt.
3.36. Definition. Sei
! F : (Ω, F, P) → C eine integrierbare Zufallsvariable mit der
σ-Algebra F := σ
S
t≥0
Ft
und P das Wiener-Maß. Falls ein komplexwertiger Prozess Xs
existiert so, dass sich F als
Z∞
(3.2.9)
F = F0 +
Xs dZs
0
schreiben lässt, dann heißt F holomorphe Zufallsvariable.
Wir bezeichnen im Folgenden den Teilraum von Lp (Ω), welcher alle holomorphen
Zufallsvariablen enthält, mit H p (Ω).
3.37. Definition. Für eine gegebene Zufallsvariable F ∈ H p (Ω) bezeichnen wir
Ft := E (F |Ft )
als das holomorphe Martingal korrespondierend zu F .
50
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
Durch Anwenden der Definition 3.37 auf Definition 3.36 erhalten wir die gewünschte
Darstellung für holomorphe Martingale
Zt
Ft = F0 +
Xs dZs
F∞ = F.
mit
0
58. Lemma. Holomorphe Zufallsvariablen bleiben unter Anwendung von
(i) Stoppzeiten,
(ii) punktweiser Multiplikation,
(iii) Verknüpfungen mit ganzen Funktionen,
erhalten.
Beweis.
Zu (i): Gegeben sei eine Ft -Stoppzeit ρ : Ω → R+ und die von der Stoppzeit
erzeugte σ-Algebra Fρ . Dann gilt
Zρ
Z∞
Xs dZs = F0 +
Fρ = F0 +
1{s<ρ} Xs dZs = E (F |Fρ ) .
0
0
Wir haben also, dass holomorphe Zufallsvariablen unter Anwendung von Stopp
zeiten erhalten bleiben und 1{s<ρ} Xs ein Ft -adaptierter Prozess ist.
Zu (ii): Seien F, G ∈ H 2 (Ω) mit der Itô-Darstellung
Z∞
Z∞
Xs dZs ,
F = F0 +
(3.2.10)
und
Ys dZs .
G = G0 +
0
0
Wir betrachten F G mit Lemma 56 und erhalten
Z∞
Z∞
F G = F0 G0 +
(3.2.11)
Gs dFs .
Fs dGs +
0
0
Da mit Gleichung 3.2.10
dFs = Xs dZs
und
dGs = Ys dZs
gilt, erhalten wir aus Gleichung 3.2.11
Z∞
F G = F0 G0 +
(Fs Ys + Gs Xs ) dZs .
0
Also ist F G eine holomorphe Zufallsvariable und es gilt überdies
Ft Gt = E (F G|Ft )
3.3. ANWENDUNGEN
51
ist ein holomorphes Martingal.
Zu (iii): Sei f : C → C analytisch und F eine holomorphe Zufallsvariable so, dass f (F )
integrierbar ist. Aus Lemma 55 erhalten wir
Z∞
f (F ) = f (F0 ) +
f 0 (Fs ) dZs .
0
Somit ist f (F ) eine holomorphe Zufallsvariable und
f (Ft ) = E (f (F ) |Ft )
ist ein holomorphes Martingal.
3.3. Anwendungen
Wir haben gesehen unter welchen Operationen ein holomorphes Martingal wieder ein
holomorphes Martingal ist. In den weiteren Betrachtungen wollen wir nun die Früchte
unserer Mühen ernten. Wie eingangs schon erwähnt, kann aus dem Itô-Formalismus die
Drift eines Submartingals abgelesen werden. Wir beschreiben im Folgenden nun unter
welchen Operationen wir ein Submartingal erhalten und wie wir die Drift erkennen. Die
Grunglagen zu diesem Abschnitt finden sich in Durrett [6] und Varopoulos [19] basierend
auf Maurey [11] und [12].
3.3.1. Quadratische Variation. Zu Beginn wollen wir ein paar Kovarianz-Prozesse
betrachten, die wir im Folgenden benötigen werden.
59. Lemma. Seien Ft , Gt zwei integrierbare komplexwertige Martingale mit den Darstellungen
Ft − F0 =
Z∞
Xs dZs + Ys dZs ,
Gt − G0 =
Z∞
Us dZs + Vs dZs .
0
0
Sei F G ∈ L1 (Ω), dann ist der Kovarianz-Prozess gegeben durch
hF, Git = 2
Zt
(Us Ys + Vs Xs ) ds.
0
52
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
Beweis. Wir verwenden Satz 45, Lemma 51 und Lemma 57 und erhalten
hF, Git =
Zt
D
Us Ys d Z, Z
Zt
E
s
D
Vs Xs d Z, Z
+
0
E
s
0
Zt
Zt
Us Ys 2ds +
=
0
Vs Xs 2ds
0
Zt
(Us Ys + Vs Xs ) 2ds.
=
0
60. Lemma. Sei Rt ein reellwertiges Semimartingal, welches durch das stochastische
Integral
Rt − R0 =
Zt
Zt
Ys dZs + Ys dZs +
Cs ds
0
0
gegeben ist, wobei Ys ein komplexwertiger adaptierter stochastischer Prozess ist und Cs
reellwertig und von beschränkter Variation ist. Die quadratische Variation von Rt ist dann
gegeben durch
hRit = 4
Zt
|Ys |2 ds.
0
D
Beweis. Wir verwenden Lemma 59 mit R, R
D
hRit = R, R
E
t
Zt =2
E
t
und erhalten
Zt
Ys Ys + Ys Ys ds = 4
0
|Ys |2 ds.
0
61. Satz. Sei F ∈ H 1 (Ω) mit dem Itô-Integral
Z∞
F = F0 +
Xs dZs
0
2
und sei g ∈ C 2 : R+ → R. Falls g |Ft |
2
g |Ft |
Zt
−2
g
0
2
|Ft |
gleichmäßig integrierbar ist, dann ist
2
|Xs | ds − 2
0
Zt
g 00 |Fs |2 |Fs Xs |2 ds
0
ein Martingal, das mit dem stochastischen Integral
2
g |F0 |
Zt
+
0
g 0 |Fs |2
Fs Xs dZs + Fs Xs dZs
3.3. ANWENDUNGEN
53
übereinstimmt. Falls
g 0 (t) + g 00 (t) t ≥ 0
gilt, dann ist g |Ft |2 ein Submartingal.
Beweis. Wir erhalten durch partielle Integration Lemma 42 eine Darstellung als ItôIntegral für
2
2
|Ft | = Ft Ft = |F0 | +
Zt
Zt
0
D
Ft dFt + Ft , Ft
Ft dFt +
E
t
.
0
Nun betrachten wir den Kovarianz-Prozess
D
F, F
Zt
E
Xs Xs ds = 2
=2
t
Zt
0
|Xs |2 ds,
0
daraus und mit dFs = Xs dZs folgt
2
Zt
2
|Ft | = Ft Ft = |F0 | +
Zt
Fs Xs dZs + Fs Xs dZs + 2
0
|Xs |2 ds.
0
Mit Lemma 60 erhalten wir die quadratische Variation
D
|F |
2
Zt
E
t
=2
|Fs Xs |2 ds.
0
2
Da g ∈ C 2 : R+ → R und g |Ft |
gleichmäßig integrierbar ist, erhalten wir mit der Itô-
Formel
2
g |Ft |
2
− g |F0 |
Zt
g
=
0
|Fs |
2
1
d|Fs | +
2
2
0
Zt
D
g 00 |Fs |2 d |F |2
0
Wir benutzen im Folgenden

d|Fs |2 = d |F0 |2 +
Zt
Zt
Fs Xs dZs + Fs Xs dZs + 2
0
0
= Fs Xs dZs + Fs Xs dZs + 2|Xs |2 ds
und

D
d |F |2
E
s
Zt
= d 2

|Fs Xs |2 ds
0
= 2|Fs Xs |2 ds

|Xs |2 ds
E
s
.
54
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
und die Darstellung der Itô-Formel und erhalten
2
g |Ft |
Zt
−2
g
0
2
|Fs |
2
|Xs | ds − 2
2
= g |F0 |
g 00 |Fs |2 |Fs Xs |2 ds
0
0
Zt
Zt
+
g 0 |Fs |2
Fs Xs dZs + Fs Xs dZs .
0
Wir betrachten noch den linken Teil der obigen Gleichung
Zt
g
2
0
|Fs |
2
2
|Xs | ds + 2
Zt
g 00 |Fs |2 |Fs Xs |2 ds.
0
0
Hieraus erhalten wir die folgende Darstellung
2
Zt g 0 |Fs |2 |Xs |2 + g 00 |Fs |2 |Fs Xs |2 ds
0
für den Korrekturterm, um aus g |Fs |2 ein Martingal zu erhalten. Somit erhalten wir
2|Xs |2 g 0 |Fs |2 + g 00 |Fs |2 |Fs |2
als Dichte für die Drift, woraus für g 0 (t) + g 00 (t) t ≥ 0 g |Ft |2
ist ein Submartingal
folgt.
Wie wir im Beweis der Doob Ungleichung Satz 47 gesehen haben, ist für den Fall, dass
Ft ein Martingal ist, |Ft |p für 1 ≤ p < ∞ ein Submartingal. Im folgenden Satz können wir,
dank der Eigenschaften von holomorphen Martingalen, den Bereich für ein Submartingal
auf 0 < α ≤ 1 erweitern.
62. Satz. Sei F ∈ H 1 (Ω), mit der Itô-Darstellung
Z∞
F = F0 +
Xs dZs .
0
Für 0 < α ≤ 1 ist der Prozess (|Ft |α ) ein Submartingal und

α2
E|Ft |α = E |Fs |α +
2
Zt

|Xs |2 |Fs |α−2 ds .
0
Der Martingal-Anteil von |Ft |α ist gegeben durch
α2
2
Zt
0
|Ft |α−2 Fs Xs dZs + Fs Xs dZs .
3.3. ANWENDUNGEN
55
Die Drift von |Ft |α ist gegeben durch
α2
|F0 | +
2
α
Zt
|Xs |2 |Fs |α−2 ds.
0
α
Beweis. Wir schreiben |Fs |α = g |Ft |2 mit g (t) = t 2 . Dann gilt
α α
g (t) = t 2 −1 ,
2
α
g (t) =
2
0
00
α
α
− 1 t 2 −2 .
2
Nun nützen wir die Itô-Formel aus Satz 61
2
g |Ft |
Zt
−2
g
0
2
|Fs |
2
|Xs | ds − 2
Zt
g 00 |Fs |2 |Fs Xs |2 ds
0
0
für den Martingal-Anteil und
2
g |F0 |
Zt
+
g 0 |Fs |2
Fs Xs dZs + Fs Xs dZs
0
für die Drift. Wir setzen nun
g
0
|Fs |
2
α
= |Fs |α−2 ,
2
g
00
2
|Fs |
α
=
2
α
− 1 |Fs |α−4
2
in die Drift ein und erhalten für dessen Dichte
α−2
α|Fs |
α
− 1 |Fs |α−4 |Fs |2 |Xs |2 .
|Xs | + α
2
2
Woraus nun
α2
|Fs |α−2 |Xs |2
2
folgt. Für den Erwartungswert folgt nun aus der erhaltenen Beschreibung der Drift, dass
 t



t
Z 2
2 Z
α
α
E|Ft |α = E|F0 | + E 
|Fs |α−2 |Xs |2 ds = E |Fs |α +
|Xs |2 |Fs |α−2 ds .
2
2
0
0
Wir verwenden Satz 61 um den Martingal-Anteil von |Ft |α mit
α
|F0 | +
Zt
g 0 |Fs |2
Fs Xs dZs + Fs Xs dZs
0
und
g 0 |Fs |2 =
α
|Fs |α−2
2
56
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
zu erhalten. Zusammen haben wir also
α2
2
Zt
|Ft |α−2 Fs Xs dZs + Fs Xs dZs .
0
Im Folgenden wollen wir ein paar Anwendungen zu unseren bisherigen Überlegungen
betrachten. Hierzu definieren wir den Begriff subharmonisch. Wir nennen eine Funktion
subharmonisch, falls
g (z) ≤
1
|B (z, r) |
Z
g (ω) dA (ω)
B(z,r)
oder
g (t) ≤
1
|∂B (z, r) |
Z
g (ω) ds (ω)
∂B(z,r)
gilt. Wobei B (z, r) die Kugel mit Radius r um den Punkt z und dA (ω) ein Flächenmaß,
beziehungsweise ds (ω) ein Längenmaß, bezeichnet. Wenn wir uns an die Definition 3.15
für ein Submartingal
Xs ≤ E (Xt |Fs )
erinnern, sehen wir, dass beide Begriffe dieselbe Eigenschaft beschreiben. Wir betrachten
nun im Folgenden f ∈ H10 (T) ⊂ L1 (T). Die harmonische Fortsetzung von f , gegeben
durch P ∗f , ist analytisch in D mit f (0) = 0 und P ist der Poissonkern. Jetzt besagt der
folgende Satz, dass die Abbildung
ω 7→ |z + f (ω) |α ,
0<α≤1
ein Submartingal ist. Für eine harmonische Funktion g (ω) gilt für 1 ≤ p < ∞, dass
|g (ω) |p subharmonisch ist. Nun können wir aber für eine analytische Funktion g (ω), mit
Hilfe von holomorphen Martingalen, zeigen, dass die Funktion |g (ω) |α für 0 < α < ∞
subharmonisch ist. Wir betrachten jetzt den erweiterten Bereich 0 < α ≤ 1.
63. Satz. Sei z ∈ C und f ∈ H10 (T). Dann gilt für 0 < α ≤ 1
|z|α ≤
Z
|z + f (ζ) |α dm (ζ) .
T
Beweis. Seien z ∈ C und f ∈ H10 fix. Nun definieren wir das holomorphe Martingal
F ∈ H 1 (Ω) durch
Ft = z + f (Zt∧τ ) .
3.3. ANWENDUNGEN
57
Da mit Satz 62 |Ft |α = |z + f (Zt∧τ ) |α ein Submartingal ist und E (F ) = z und da Zτ
gleichmäßig auf T verteilt ist, erhalten wir mit Satz 62
|z α | = |E (F ) |α ≤ E|F |α =
Z
|z + f (ζ) |α dm (ζ) .
T
Nun betrachten wir wie die Maximalfunktion, in unseren Anwendungen, durch die
Ungleichungen im Satz von Doob 47, kontrolliert wird.
64. Satz. Sei F ∈ H 1 (Ω) und 0 < α ≤ 1. Dann gilt
|E (F ) |α ≤ E (|F |α ) ,
und
E (sup |Ft |α ) ≤ eE (|F |α ) .
Beweis. Wir betrachten |E (F ) |α , mit Hilfe von Satz 62 folgt
α2
|E (F ) | = |F0 | ≤ |F0 | +
2
α
α
α
Zt
|Xs |2 |Fs |α−2 ds
0
α
= E (|F | |Ft ) −−−→ E (|F |α ) ,
t→∞
die erste Ungleichung. Für die zweite Ungleichung wenden wir Satz 47 auf das Submartingal
|Ft |α/p an. Wir betrachten
α
k sup |Ft | p kLp ≤
α
p
kF p kLp
p−1
und erhalten daraus

1
p
Z α p

sup |Ft | p dP  ≤
p 
p−1
Ω
p
p
p−1
Z F
α
p
p
p
dP 
Ω
E (sup |Ft |α ) ≤
Da
1

p
p−1
p
E (|F |α ) .
fallend für p → ∞ ist, gilt
inf
1<p<∞
p
p−1
p
= lim
p→∞
womit wir die zweite Ungleichung gezeigt haben.
p
p−1
p
= e,
Die Satzgruppen von Burkholder, Davis, Gundy verbinden die quadratische Variation
mit der Maximalfunktion. Für F ∈ H 1 (Ω) mit der Itô-Darstellung aus Gleichung 3.2.9 sei
58
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
im Folgenden für 0 < α ≤ 1 der Term S(α) definiert durch
Z∞

α
S(α) (F ) = |F0 |2 +
2
1
2
2
|Xs | ds .
0
Zudem gilt
E ((sup |Ft |)α ) ≤ E S(α) (F )α ≤ E (sup |Ft |α ) .
α
Mit Satz 64 folgt E S(α)
< E (|F |) und diese Hälfte der Burkholder Davis Ungleichung
beweisen wir mit Hilfe des Itô-Calculus.
65. Satz. Sei F ∈ H 1 (Ω) mit der Darstellung aus Gleichung 3.2.9 und sei S(α) wie
oben. Dann gilt
α
E S(α)
(F ) ≤ Cα E (|F |α ) ,
wobei Cα = e1−α/2 ist.
Beweis. Mit Satz 62 erhalten wir die Drift für das Submartingal |Ft |α . Für 0 < t < ∞
haben wir also
α
E|Ft | = |F0 | + E
2
α
α
Zt
|Xs |2 |Fs |α−2 ds.
0
Wir erhalten somit für t → ∞
α
|F0 | + E
2
α
Z∞
|Xs |2 |Fs |2−α ds = E (|F |α ) .
0
Im nächsten Schritt wollen wir eine Abschätzung für S(α) (F ) finden. Wir beginnen also
mit
α
|F0 | +
2
2
Z∞
2
2
±2∓α
|Xs | ds = |F0 | |F0 |
Z∞
+
0
|Xs |2 |Fs |±2∓α ds
0

α
≤ sup |Ft |2−α |F0 |α +
2
t≥0
Z∞

|Xs |2 |Fs |α−2 ds .
0
Nun bearbeiten wir die Darstellung der erhaltenen Ungleichung um die Hölder-Ungleichung
kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLq anwenden zu können. Der erste Schritt ist

α
|F0 |2 +
2
Z∞
0
α
2


α
|Xs |2 ds ≤ sup |Ft |2−α |F0 |α +
2
t≥0
Z∞
0
 α
2
2
α−2
|Xs | |Fs |
ds ,
3.3. ANWENDUNGEN
59
nun integrieren wir über Ω mit dP und erhalten
Z∞

Z
α
|F0 |2 +
2
α

2
|Xs |2 ds dP ≤
0
Ω
Z
Ω

α
sup |Ft |2−α |F0 |α +
2
t≥0
Z∞
 α
2
|Xs |2 |Fs |α−2 ds dP.
0
Jetzt können wir die Hölder-Ungleichung mit p = 2/ (2 − α) und q = 2/α auf die rechte
Seite anwenden

Z
α
E S(α)
(F ) ≤ 
(2−α) α
2
!
sup |Ft |
dP
t≥0
Ω
 2−α
2
2
2−α
 
 α2
α 2
2 α
Z
Z∞
α
 

|F0 |α +
|Xs |2 |Fs |α−2 ds
dP .

2
0
Ω
Nun vereinfachen wir die Exponenten

!α
Z
sup |Ft |2−α

2
t≥0
Ω
1− α  
 α
2
2
Z
Z∞
α
α
2
α−2 




dP
|F0 | +
|Xs | |Fs |
ds dP
!!1− α
2
=
0
Ω
E sup |Ft |α
α
(E|F |α ) 2 .
t≥0
Wir können jetzt Satz 64 nutzen und erhalten
!!1− α
2
α
E S(α)
(F ) ≤
E sup |Ft |α
α
(E|F |α ) 2
t≥0
α
α
≤ (eE|F |α )1− 2 (E|F |α ) 2
α
= e1− 2 E|F |α .
Nun wenden wir uns einem bekannten Problem über sogenannte “beste Konstanten”
zu. Das Grundproblem ist gegeben durch die Ungleichung von Bourgain ( Bourgain’s
complex convexity inequality ), siehe Bourgain [2]. Bestimme für f ∈ H10 (T) das kleinste
β 2 > 0 so, dass
Z 1 + β 2 |f |2
1
T
für alle f ∈
H10 (T)
gilt. Ersetzt man
2
dm ≤
Z
|1 + f |dm
T
H10 (T)
Ungleichung für kein endliches β gültig.
durch den Oberraum L10 (T), so ist die Bourgain
60
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
3.38. Gegenbeispiel (Bourgain in L10 ). Sei f ∈ L10 mit
f :=



1
für den oberen Halbkreis,


−1
für den unteren Halbkreis.
Es wird β 2 ≤ 1/4 als allgemeine Schranke vermutet. Bekannt ist bis jetzt β 2 ≤ 1/6 siehe
Müller [14]. Wir zeigen über die Itô-Formel die Bourgain Ungleichung für β 2 ≤ 1/4−0, 043
was noch einer Abweichung von c.a. 17% entspricht.
66. Satz. Sei F ∈ H 1 (Ω), mit Ft =
Rt
Xs dZs . Dann ist der Prozess 1 + |Ft |2
1/2
ein
0
Submartingal und für 0 < t < ∞ gilt
E 1 + |Ft |2
1
2
Zt

1
= E 1 +
2
0
|Xs |2
(1 + |Fs
1
|2 ) 2
|Fs |2
2−
1 + |Fs |2

!
ds .
Beweis. Wir benutzen Satz 61 und betrachten g |Ft |2 := 1 + |Ft |2
Funktion g (r) := 1 + r
1
2
2
1
2
mit Hilfe der
und den Ableitungen
g 0 (r) =
− 1
1
1 + r2 2 ,
2
3
1
g 00 (r) = − (1 + r)− 2 .
4
Mit Satz 61 ist
g |Ft |
2
− g |F0 |
2
−2
Zt
g
0
2
|Fs |
2
|Xs | ds − 2
0
Zt
g 00 Fs |2 |Fs Xs |2 ds
0
ein Martingal mit Erwartungswert 0. Im nächsten Schritt ermitteln wir die einzelnen Terme
dieses Martingals. Sei F0 = 0 womit g |F0 |2 = 1 gilt. Die Dichte der Drift ist gegeben
durch
2g 0 |Fs |2 |Xs |2 + 2g 00 |Fs |2 |Fs Xs |2 .
Wir setzen für g 0 und g 00 ein und erhalten
1 + |Fs |2
− 1
2
|Xs |2 −
− 3
1
1 + |Fs |2 2 |Fs |2 |Xs |2
2
− 1
−1
1
1 + |Fs |2 2 |Xs |2 2 − 1 + |Fs |2
|Fs |2
2
=
≥ 0.
Somit ist das Semimartingal 1 + |Ft |2
1
2
ein Submartingal. Für den Erwartungswert er-
halten wir somit
E 1 + |Ft |2
1
2

= E g |F0 |2 +
Zt
0

−1
− 1
1
1 + |Fs |2 2 |Xs |2 2 − 1 + |Fs |2
|Fs |2 ds .
2
3.3. ANWENDUNGEN
61
Nun setzen wir für g ein, woraus

1
E 1 +
2
Zt
|Xs |2
0
(1 + |Fs |2 ) 2
|Fs |2
2−
1 + |Fs |2
1
!

ds
folgt.
67. Lemma. Für β 2 ≤
1
2
−1 + 21/2 und ∀ω ∈ C gilt
β2
(1 + β 2 |ω|2 )
1
2
1
,
2|1 + ω|
≤
ω ∈ C.
Beweis. Wir betrachten die Ungleichung mit der Darstellung ω = reiθ , r ≥ 0 und
θ ∈ [0, 2π]. Daraus folgt
β2
β2
=
1
(1 + β 2 |ω|2 ) 2
1
(1 + β 2 ωω) 2
β2
=
1
(1 + β 2 r2 ) 2
für die linke Seite und
1
1
=
1
2|1 + ω|
2 ((1 + ω) (1 + ω)) 2
1
=
1
2 (1 + 2r cos (θ) + r2 ) 2
für die rechte Seite. Nun betrachten wir
inf
θ∈[0,2π]
!
1
2 (1 + 2r cos (θ) + r2 )
1
2
1
=
und mit 1 + 2r + r2 = (1 + r)2 folgt
1
1
≤
.
2 (1 + r)
2|1 + ω|
Wir suchen also für welche β 2 und r ≥ 0
β2
(1 +
1
β 2 r2 ) 2
≤
1
2 (1 + r)
gilt. Sei im Folgenden
β2
g (r) :=
1
(1 + β 2 r2 ) 2
und
f (r) :=
1
2 (1 + 2r + r2 ) 2
1
.
2 (1 + r)
62
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
Da sich f wie 1/x verhält, können wir als Erstes Schranken für f (0) = 1/2 und für
lim f (r) = 0
r→∞
ablesen. Somit suchen wir Werte für β 2 , für welche g (0) ≤ 1/2 gilt und f von g höchstens
in einem Punkt berührt und nicht geschnitten wird. Betrachten wir also g = f und suchen
das kleinste β 2 , für welches f von g geschnitten wird. Aus
β2
(1 + β 2 r2 )
1
2
=
1
2 (1 + r)
2β 2 (1 + r) = 1 + β 2 r2
1
2
4β 4 (1 + r)2 = 1 + β 2 r2
4β 4 1 + 2r + r2 = 1 + β 2 r2
r2 4β 4 − β 2 + r8β 4 + 4β 4 − 1 = 0
erhalten wir
r1,2 β
2
−4β 4 ± −β 2 + 4β 4 + 4β 6
=
−β 2 + 4β 4
1
2
.
Da wir eine Lösung r ∈ R suchen, muss
−β 2 + 4β 4 + 4β 6 ≥ 0
gelten. Wir erhalten also folgende β 2 :
(i) β 2 = 0,
(ii) β 2 =
(iii) β 2 =
1
2
1
2
−1 + 2 2 ,
−1 − 2 2 .
1
1
Wegen den zuvor ermittelten Grenzen ist β 2 =
1
2
1
1
−1 + 2 2
die einzige Möglichkeit. Wir
setzen also in r1,2 ein und erhalten
r1
1
2
1
−1 + 2 2
= 2 1 + 22
und
r2
Wir haben also ein
β2
1
2
−1 + 2
1
2
1
= 2 1 + 22 .
gefunden, mit dem f von g nur in einem Punkt doppelt berührt wird
und g (0) ≤ 1/2 gilt. Also haben wir für β 2 ≤
1
2
1
−1 + 2 2
die Ungleichung gezeigt.
68. Satz. Sei F ∈ H 1 (Ω) mit EF = 0. Dann gilt für β 2 ≤
E 1 + β 2 |F |2
1
2
≤ E (|1 + F |) .
1
2
−1 + 21/2 , dass
3.3. ANWENDUNGEN
Beweis. Sei
Zt
Ft =
63
0<t<∞
Xs dZs ,
0
die Darstellung von F durch ein stochastisches Integral. Nach Satz 62 haben wir

1
E (|1 + F |) = E 1 +
2
Zt

|Xs |2
ds
|1 + F |
0
für die rechte Seite. Nun verwenden wir Satz 66 für die linke Seite und erhalten daraus
E 1 + β 2 |Ft |2
1
2

β2
= E 1 +
2

≤ E 1 + β 2
Für β 2 ≤
1
2
Zt
|Xs |2
β 2 |Fs |2
2−
1 + β 2 |Fs |2
1
0
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2
Zt
|Xs |2
0
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2

!
ds

1
ds .
−1 + 21/2 gilt folgende Ungleichung
β2
(1 + β 2 |ω|2 )
≤
1
2
1
,
2|1 + ω|
ω ∈ C.
Wir wählen ω = Fs und multiplizieren die Ungleichung mit |Xs |2 und erhalten
β 2 |Xs |2
≤
1
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2
Gesamt erhalten wir somit für β 2 ≤
1
2
|Xs |2
.
2|1 + Fs |
−1 + 21/2
E 1 + β 2 |F |2
1
2
≤ E (|1 + F |) .
Im Folgenden betrachten wir Satz 68 mit F = f (Zτ ) für Funktionen f ∈ H10 (T) und
der Stoppzeit τ = inf{t > 0 : |Zτ | > 1}.
69. Satz. Sei f ∈ H10 (T), z ∈ C und β 2 ≤
Z 2
2
2
|z| + β |f |
1
2
1
2
dm ≤
T
−1 + 21/2 . Dann gilt
Z
|z + f |dm.
T
Beweis. Wir wählen f ∈ H10 (T) fix, z ∈ C und τ = inf{t > 0 : |Zτ | > 1}. Nun setzen
wir F = f (Zτ ). Dann ist F ∈ H 1 (Ω) mit E (F ) = 0. Nach Satz 68 haben wir somit
E |z|2 + β 2 |F |2
1
2
≤ E|z + F |.
64
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
Falls Zτ gleichmäßig auf T verteilt ist, gilt
E |z|2 + β 2 |F |2
1
2
Z =
|z|2 + β 2 |f |2
1
2
dm
T
und
E|z + F | =
Z
|z + f |dm.
T
70. Satz. Sei F ∈ H 1 (Ω) mit der Itô-Darstellung
Z∞
F = F0 +
Xs dZs .
0
Sei 0 < α ≤ 1, dann ist ∀ε > 0 der Prozess ln ε + |Ft |2 ein Submartingal. Das zugehörige
Martingal ist
ln ε + |Ft |
2
− 2ε
Zt
|Xs |2 ε + |Fs |2
−2
ds
0
und es ist gegeben durch die Darstellung
ln (ε) +
Zt ε + |Fs |2
−1 Fs Xs dZs + Fs Xs dZs .
0
Beweis. Wir wählen g (r) = ln (ε + r), somit ist g |Ft |2 = ln ε + |Ft |2 , woraus wir
nun
g 0 (r) = (ε + r)−1 ,
g 00 (r) = − (ε + r)−2
erhalten. Aus Satz 61 folgt
2
g |Ft |
−2
Zt
g
0
2
|Fs |
2
|Xs | ds − 2
0
Zt
g 00 |Fs |2 |Fs Xs |2 ds
0
ist ein Martingal. Wir setzen nun r = |Fs |2 in g 0 und g 00 ein und erhalten daraus
2
ln ε + |Ft |
−2
Z t 2
ε + |Fs |
−1
2
|Xs | − ε + |Fs |
0
woraus wir die Dichte der Drift
2
2
|Xs |2
|Fs Xs |2
−
2
ε + |Fs |2
(ε + |Fs |2 )2
−2
2
|Fs Xs |
ds,
3.3. ANWENDUNGEN
65
erhalten. Wegen |Fs |2 = Fs Fs = Fs Fs = |Fs |2 erhalten wir
|Xs |2 ε + |Fs |2 − |Fs |2 |Xs |2
|Xs |2
|Fs |2 |Xs |2
=
2
2
−
2
ε + |Fs |2
(ε + |Fs |2 )2
(ε + |Fs |2 )2
=2
ε|Xs |2
.
(ε + |Fs |2 )2
Da laut Voraussetzung F0 = 0 ist, erhalten wir g |F0 |2 = ln (ε) und das Martingal von
ln ε + |Ft |2 folgt aus Satz 61 mit
Zt
ln (ε) +
Fs Xs dZs + Fs Xs dZs
ε + |Fs |2
0
.
Als abschließende Diskussion zu diesem Themenbereich betrachten wir die in Satz 68
gezeigte Ungleichung von Bourgain mit einer alternative Methode. Die hier präsentierten
Informationen stammen aus privaten Diskussionen über diese Problematik. Wie bereits
erwähnt, wird als allgemeiner Gültigkeitsbereich der Ungleichung β ≤ 1/2 vermutet. Die
folgende Version, für eine spezielle Klasse von Funktionen f ∈ H10 , für welche β ≤ 1/2
gezeigt wird, stammt von A.Univ.Prof.DI.Dr. Michael Schmuckenschläger aus dem Jahr
1994.
71. Satz (Schmuckenschläger). Sei g (z) := az, dann gilt für δ ≤ 1/2
Z T
2
1 + δ|g|
1
2
dm ≤
Z
|1 + g|dm.
T
Bemerkenswert sind im folgenden Beweis zwei Punkte. Nach der Anwendung der
Jensen-Ungleichung wird über ein Integral die Abhängigkeit von θ entfernt. Und die abschließende Abschätzung wird durch die Lösung einer Randwertaufgabe erreicht.
Beweis von Schmuckenschläger. Sei f (z) = |1 + az|, dann ist ∆f = a2 /f und
folglich
 τ
Z
a2
E 0 (f (Bτ )) − E 0 (f (B0 )) = E 0 
2
0

1
dt .
|1 + aBt |
1. |1 + aBt | ≤ 1 + a, also
a2
a2
E f (Bτ ) ≥ 1 +
E 0 (τ ) = 1 +
≥
2 (1 + a)
4 (1 + a)
0
r
1
1 + a2 .
4
66
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
2. Aufgrund der Rotationsinvarianz der Brownschen-Bewegung gilt
 τ 2π
Z Z
a2
E 0 f (Bτ ) − 1 = E 
2
0 0

dθ 
1
dt .
iθ
|1 + ae Bt | 2π
Nach der Jensen-Ungleichung ist
E0
Zτ Z2π
0 0
Zτ
1
dθ
dt ≥ E 0
iθ
|1 + 2ae Bt | 2π
− 12
 2π
Z
dθ

 1 + a2 |Bt |2 + 2a< eiθ Bt
dt
2π
0
Zτ
= E0
0
1
dt.
1 + a2 |Bt |2
p
0
Nun ist
1
u (z) := E z
2
Zτ
p
0
1
dt
1 + a2 |Bt |2
die Lösung der Poisson Gleichung
∆u (z) = − 1 + a2 |z|2
− 1
2
,
mit u|∂D = 0.
Da u rotationssymmetrisch ist, folgt mit r = |z|:
1
1
u00 + u0 = − √
r
1 + a2 r 2
und die Lösung dieser Differentialgleichung ist unter den Nebenbedingungen u (1) = 0,
u0 (0) = 0 gegeben durch
!
√
2 r2
p
1 p
1
+
1
+
a
√
u (r) =
1 + a2 − 1 + a2 r2 + log
.
a
1 + 1 + a2
Also
u (0) =
1 p
2
2 − 1 + log
√
1
+
a
a2
1 + 1 + a2
und schließlich:
0
E f (Bτ ) ≥
p
1+
a2
− log
Sei
h (x) :=
√
1 + x − log
1+
1+
√
√
1+x
−
2
dann gilt für x ≥ 0: h0 (x) ≥ 0 i.e.
0
E f (Bτ ) ≥
1 + a2
.
2
r
1
1 + a2
2
r
1
1 + x,
2
3.3. ANWENDUNGEN
67
1
2
ist auch die bestmögliche Konstante, denn zweimalige Differentiation von E 0 f (Bτ )
√
bzw. 1 + δa2 nach a liefert:
und
Z2π
0
sin2 (θ)
(1 +
a2
dθ
2π
+ 2a cos(θ))
3
2
δ
bzw.
3
,
(1 + δa2 ) 2
folglich nehmen die zweiten Ableitungen im Punkt a = 0 die Werte
1
2
bzw. δ an, und da
sowohl die beiden Funktionen als auch deren Ableitung im Nullpunkt übereinstimmen,
folgt: δ ≤ 12 .
3. Im n dimensionalen Fall gilt:
n−1 2 0
E f (Bτ ) = 1 +
a E
2
0
Zτ
1
dt ≥ 1 + u (0) a2 (n − 1)
|1 + aBτ |
0
wobei u die Lösung der Differentialgleichung
n−1 2 0
a E
u +
2
00
Zτ
0
1
dt ≥ 1 + u (0) a2 (n − 1)
|1 + aBt |
unter den Nebenbedingung u (1) = 0 und u0 (0) = 0 ist. In diesem Fall ist
Z1 Zt
u (0) =
0 0
t1−n sn−1
1
√
dsdt ≥
2
2
n
1−a s
Z1
√
0
t
t3 a2
1
+
3 dt
1 + a2 t2 n + 2 (1 + a2 t2 ) 2
und damit
!
2 + a2
√
−2 .
1 + a2
n + 1 p
n−1
E 0 f (Bτ ) ≥ 1 +
1 + a2 − 1 +
n
n (n + 2)
r
Falls n ≥ 4, dann ist dies größer oder gleich
2
1 + 2a u (0) = 1 +
1−
1
n
p
1+
a2
1
+ log a +
a
1+ 1−
q
a+
1
n
a2 . Im Fall n = 3 ist
p
1+
a2
r
−2≥
2
1 + a2 .
3
ist auch die bestmögliche Konstante.
3.3.2. Die stochastische Hilbert-Transformation. Bevor wir uns um die Definition der stochastischen Hilbert-Transformation kümmern, wollen wir einige einführende Überlegungen anstellen. Zuerst betrachten wir einige Eigenschaften der klassischen
Hilbert-Transformation für f ∈ L2 (R)
Z∞
(HR f ) (s) :=
−∞
f (t)
dt =
s−t
1
∗ f (s) .
t
68
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
Wobei das Integral als
Z∞
PV−∞
f (t)
dt = lim
ε→0
s−t
f (t)
dt
s−t
Z
{|s−t|≥ε}
zu verstehen ist. Auf die gleiche Art erhalten wir die klassische Hilbert-Transformation für
f ∈ L2 (T). Für die Faltung benutzen wir tan (t/2)−1 und erhalten
!
HT f =
1
∗ f (s)
tan 2t
Zπ
= PV−π
1
t−s
2
tan
f (t) dt.
Woraus wir für f (z) = z n mit z ∈ T und n ∈ Z
HT z n = −i sign (n) z n
erhalten.
Wir betrachten nun die klassische Hilbert-Transformierte für g ∈ H20 (T). Da g ∈ H20 (T)
ist ihre Fourier-Reihe gegeben durch
g (z) =
∞
X
cn z n
n=1
und mit der Linearität von HT folgt
HT g = HT
∞
X
i=1
cn z n =
∞
X
cn HT z n = −ig.
i=1
Die Hilbert-Transformation ist ein beschränkter Operator und
HT : Lp (T) → Lp (T) ,
1 < p < ∞.
Außerdem ist
H (af + bg) = aHf + bHg
linear und es gilt
H (f ∗ g) = Hf ∗ g = f ∗ Hg.
Die Definition für die stochastische Hilbert-Transformation sollte somit auch dieselben
Eigenschaften erfüllen. Wir bezeichnen im Folgenden Bs :=
(1)
dimensionale Brownsche-Bewegung und Zs := Bs
(1)
(2)
(2)
+ iBs
(1)
(2)
Bs , Bs
als die zwei-
als die komplexe und Zs :=
Bs −iBs als die komplex konjugierte Brownsche-Bewegung, wobei Zt und Zt unabhängig
sind.
3.3. ANWENDUNGEN
69
3.39. Definition. Sei F ∈ L2 (Ω) mit der Darstellung
Z∞
F = F0 +
Xs dZs + Ys dZs
0
als stochastisches Integral. Seien Xs , Ys komplexwertige adaptierte Prozesse. Wir definieren
die stochastische Hilbert-Transformation durch
Z∞
HF =
(−i) Xs dZs + iYs dZs .
0
Wir erhalten also, für G ∈ H 2 (Ω) mit E (G) = 0, die Identität
HG = −iG.
72. Satz. Sei F ∈ L2 (Ω) mit E (F ) = 0. Dann gilt
E |F |2 = E |HF |2
und
F + iHF ∈ H 2 (Ω) .
Beweis. Aus Lemma 59 erhalten wir

E |HF |2 = E HF HF = E (hHF i) = E 2
Z∞

(−i) Xs (−i) Xs + iYs iYs ds ,
0
womit
Z∞

E 2

|Xs |2 + |Ys |2 ds = E (hF i) = E |F |2
0
folgt. Somit haben wir E |HF |2 = E |F |2 gezeigt. Für den zweiten Teil betrachten wir
Z∞
F + iHF =
0
Z∞
=
∞

Z
Xs dZs + Ys dZs + i  (−i) Xs dZs + iYs dZs 
0
Xs dZs + Ys dZs + Xs dZs − Ys dZs = 2
0
Z∞
Xs dZs .
0
Im Weiteren wollen wir die sogenannte Doob-Projektion und ihre Komposition mit der
Hilbert-Transformierten betrachten. Im Folgenden bezeichnen wir mit
P (z, ζ) =
1 − |z|2
,
|ζ − z|2
z ∈ D,
ζ∈T
70
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
den Poisson-Kern. Außerdem sei
τr = inf{t > 0 : |Zt | > r},
0<r≤1
eine steigende Familie von Stoppzeiten und sei Fτr die von τr erzeugte σ-Algebra. Da
P (z, ζ) harmonisch in z ist, erhalten wir für z = Zτr aus der Itô-Darstellung mit P (0, ζ) = 1
Zτr
P (Zτr , ζ) = 1 +
(3.3.1)
∂ P (Zt , ζ) dZt + ∂ P (Zt , ζ) dZt
0
und dem bedingten Erwartungswert für r > s
E (P (Zτr , ζ) |Fτs ) = 1 +
(3.3.2)
Zτs
∂ P (Zτr , ζ) dZt + ∂ P (Zτr , ζ) dZt = P (Zτs , ζ) .
0
3.40. Definition. Seien 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < s < 1 fix und wir wählen die Menge
Sps := {F ∈ Lp (Ω) : F = E (F |Fτs )}. Für F ∈ Sps definieren wir die Doob-Projektion als
N (F ) (ζ) = lim E (F P (Zτr , ζ)) ,
r→1
ζ ∈ T.
Wir stellen noch ein paar Überlegungen für den Grenzwert r → 1 an. Bis jetzt haben
wir
N (F ) (ζ) = lim E (F P (Zτr , ζ)) = lim E (E (F |Fτs ) P (Zτr , ζ)) .
r→1
r→1
Nun nutzen wir die Darstellung des Poisson-Kern als bedingte Erwartung, Gleichung 3.3.2,
woraus wir für r > s
lim E (E (E (F |Fτs ) P (Zτr , ζ) |Fτs )) = lim E (E (F |Fτs ) E (P (Zτr , ζ) |Fτs ))
r→1
r→1
= E (F P (Zτs , ζ))
erhalten. Wir sehen also, dass der Grenzwert, durch die Gleichung 3.3.2, in der Definition
3.40, für r ≥ s stabilisiert wird. Somit ist N (F ) auf der Menge Sps wohldefiniert. Wir
wollen nun für 1 ≤ p ≤ ∞ eine Erweiterung von N auf Lp (Ω). Hierzu betrachten wir für
F ∈ Lp (Ω) und 0 < s < 1
Gs = E (F |Fτs ) ,
G = E (F |Fτ ) .
Für 0 < r < 1 folgt aus Gleichung 3.3.1, dass E (P (Zτr , ζ)) = 1 und somit ist P (Zτr , ζ)
eine Dichtefunktion im Wiener-Raum. Außerdem haben wir mit Minkowski
E (|Gs | P (Zτr , ζ))p ≤ E (|Gs |p P (Zτr , ζ)) .
3.3. ANWENDUNGEN
71
Wir wollen nun eine Abschätzung für die Norm von N (F ) für F ∈ Lp (Ω) finden. Hierzu
setzen wir N (Gs ) (ζ) = E (Gs P (Zτr , ζ)) für s ≤ r < 1 und erhalten
kN (F ) kpLp (T) =
Z
|E (|Gs | P (Zτr , ζ)) |p dm (ζ) ≤
Z
E (|Gs |p P (Zτr , ζ)) dm (ζ)
T
T


Z
= E  |Gs |p P (Zτr , ζ) dm (ζ) = E (|Gs |p ) = kE (F |Fτ ) kpLp (Ω) ,
T
wodurch wir eine Abschätzung der Norm haben. Somit haben wir auf dem Abschluss von
span{Sps : 0 < s < 1}, bezüglich der Lp -Norm, eine eindeutige Erweiterung von N . Wir
definieren deshalb mit G = E (F |Fτ ) für F ∈ Lp (Ω) eine Fortsetzung von N auf Lp (Ω)
durch
N (F ) = N (G) .
Im Folgenden betrachten wir nun die Fourier-Reihe von N (F ). Zuvor wollen wir einen
kurzen Ausflug in die Betrachtungsweise als Skalarprodukt machen. Hierzu definieren die
folgende Transformation M (g) := g (Zτ ). Nun können wir mit den Operatoren N und M
zwischen den Grundbereichen T und Ω wechseln. Es gilt nach Durrett [6] Kapitel 7.4
Z
Z
N (F ) gdm =
F M (g) dP.
Ω
T
Dies können wir nun in der Notation eines Skalarprodukt schreiben als
hN (F ) , giT = hF, M (g)iΩ .
Wir werden diesen Zusammenhang für g (z) = z n nutzen.
73. Satz. Sei F ∈ Lp (Ω) und cn = E F Zτ−n
. Dann ist die Fourier-Reihe von N (F )
1
gegeben durch
N (F ) (ζ) =
∞
X
cn ζ n ,
n=−∞
und die Partialsummen sind auf
Lp (T)
konvergent.
Beweis. Sei F ∈ Lp (Ω), dann ist N (F ) ∈ Lp (T). Wir wählen für g (ζ) = ζ −n ∈ Lq (T)
mit 1/p + 1/q = 1. Für g (ζ) ist die harmonische Erweiterung gegeben mit
Z
g (z) =
P (z, ζ) g (ζ) dm (ζ) .
T
Außerdem wählen wir Gs = E (F |Fτs ), woraus wir N (Gs ) (ζ) = E (Gs P (Zτs , ζ)) wie zuvor
erhalten. Wir nutzen nun diese Informationen und schreiben den nten Fourier-Koeffizienten
72
3. HOLOMORPHES MARTINGAL
als
Z
Z
E (Gs P (Zτs , ζ)) g (ζ) dm (ζ) .
N (F ) (ζ) g (ζ) dm (ζ) = lim
s→1
T
T
Nun tauschen wir die Integrationsreihenfolge woraus


Z
lim E Gs
= cn
P (Zτs , ζ) g (ζ) dm (ζ) = lim E (Gs g (Zτ1 )) = E F Zτ−n
1
s→1
s→1
T
folgt.
Aus den bisherigen Überlegungen können wir auch die Reproduktionseigenschaft folgern. Für ein f ∈ Lp (T) setzen wir F = f (Zτ ) und da Zτ auf T gleichverteilt ist, folgt für
alle g ∈ Lq (Ω), dass
Z
Z
N (f (Zτ )) gdm = E (f (Zτ ) g (Zτ )) =
T
f gdm
T
gilt. Da g ∈ Lq beliebig war, erhalten wir für f ∈ Lp (T)
N (f (Zτ )) = f
und somit ist N eine Projektion.
74. Satz. Sei F ∈ L2 (Ω), dann gilt
N (HF ) = HT (N F ) .
Für f ∈ L2 (T) gilt
H (f (Zτ1 )) = (HT f ) (Zτ1 ) .
Beweis. Sei F ∈ L2 (Ω) und wir wählen o.B.d.A E (F ) = 0. Nun setzen wir
cn = E F Zτ−n
1
und dn = E HF Zτ−n
.
1
Aus Satz 73 folgt
N (F ) e
iα
∞
X
= E (F ) +
cn einα
n=−∞
und
N (HF ) eiα =
∞
X
dn einα .
n=−∞
Wir wollen im Folgenden die Koeffizienten cn und dn vergleichen. Hierzu wählen wir
G1 , G2 ∈ H 2 (Ω) so, dass
F = G1 + G2
3.3. ANWENDUNGEN
73
gilt, mit E (G1 ) = E (G2 ) = 0. Aus der Definition 3.39 folgt
HF = (−i) G1 + iG2 .
Für Zτn1 ∈ T gilt Zτ−n
= Zτn1 , somit ist cn = E F Zτn1
1
und dn = E HF Zτn1 . Aus der
Kovarianz-Formel 57 erhalten wir für n ∈ N
E F Zτn1 = E G1 Zτn1 + E G2 Zτn1 = E G2 Zτn1
und
E F Zτn1 = E G1 Zτn1 + E G2 Zτn1 = E G1 Zτn1 .
Das Gleiche gilt für die Hilbert-Transformierte und wir erhalten
E H (F ) Zτn1 = −iE G2 Zτn1 ,
E H (F ) Zτn1 = iE G1 Zτn1 ,
n ∈ N.
Womit für die Koeffizienten
dn = −iE G2 Zτn1 = −i sign (n) E G2 Zτn1 = −i sign (n) cn
und
dn = iE G1 Zτn1 = −i sign (n) E G1 Zτn1 = −i sign (n) cn
für n ∈ N folgt. Aus der Definition der klassischen Hilbert-Transformation
HT einα = −i sign (n) einα
und der Fourier-Reihe von N (HF ) folgt
N (HF ) e
iα
=
∞
X
dn einα
n=−∞
=
∞
X
−i sign (n) cn einα
n=−∞
=
∞
X
cn HT einα = HT (N F ) .
n=−∞
Der zweite Teil des Satzes folgt aus der Projektionseigenschaft.
KAPITEL 4
Resümee
Wir betrachten nun diese Arbeit im Überblick. Im ersten Teil wurde die Norm des
Bergman-Raumes als Integral über einem Gebiet D eingeführt. Diese ist vollständig und
im Fall p = 2 von einem Skalarprodukt induziert. Weiters haben wir gezeigt, dass für
p = 2 die Bedingungen für einen Hilbert-Raum erfüllt sind. Dies nutzten wir, um eine
vollständige orthogonale Basis zu erhalten. Als Algorithmus zur Berechnung der Basis
wurde das Verfahren von Gram-Schmidt verwendet. In Henrici [9] §18.4 wird auch ein
numerisch stabilerer Algorithmus beschrieben. Über die Fourier-Koeffizienten erhalten wir
den Bergman-Kern für das entsprechende Gebiet. Daraus erhalten wir die Riemann Abbildung ϕ für Gebiete, die durch eine Jordan-Kurve berandet sind. Als Beispiel für eine
Anwendung betrachten wir ein Dirichlet-Randwertproblem auf einem mit einer JordanKurve Γ berandeten Gebiet D. Sei u (z) die Lösung des Problems und ϕ : D ∪ Γ → D ∪ T
mit der Randwertfunktion ψ. Dann ist die Lösung gegeben durch
u (z) =
1
2πi
Z
ψ (t)
1 − |ϕ (z) |2 ϕ0 (t)
dt.
|ϕ (t) − ϕ (z) |2 ϕ (t)
Γ
Wenn wir nun für eine Brownsche-Bewegung die Verteilung der Austrittswahrscheinlichkeit
aus dem Gebiet D in einem Intervall I von Γ bestimmen wollen, setzen wir die Randwertfunktion ψ (t) = 1 für t ∈ I und 0 sonst. Für Details siehe Henrici [9] §15.4. Danach haben
wir den Bergman-Kern auf die Bergman-Projektion erweitert. Die Bergman-Projektion
PB ist für 1 < p < ∞ ein beschränkter Operator von Lp → Bp . Im zweiten Teil wurden
zu Beginn die allgemeinen stochastischen Grundlagen zusammengefasst. Dann wurde die
Brownsche-Bewegung in C eingeführt und ihre Eigenschaften gezeigt. Auch betrachteten
wir die quadratische Variation, den Kovarianz-Prozess und die Itô-Formel für die komplexe
Zahlenebene. Über die Darstellung von Martingalen als Itô-Integral und der Version für
analytische Funktionen definierten wir eine Klasse von Martingalen, die sogenannten holomorphen Martingale. Holomorphe Martingale bleiben unter Anwendung von Stoppzeiten,
punktweiser Multiplikation und Verknüpfung mit ganzen Funktionen erhalten. Danach
betrachteten wir das aus holomorphen Martingalen erzeugte Semimartingal |Ft |α . Wir
75
76
4. RESÜMEE
berechneten die quadratische Variation und den Kovarianz-Prozess für das erzeugte Semimartingal. Dies haben wir auf eine Reihe von Abschätzungen angewendet. Dabei wurde
zu Beginn der Bereich zur Generierung von Submartingalen aus holomorphen Martingalen
auf 0 < α ≤ 1 erweitert. Dies konnten wir nutzen um Aussagen für die Satzgruppe um
Davis, Burkholder und Gundy in diesem Bereich von α zu zeigen. Außerdem betrachteten
wir die Konstante in der Ungleichung von Bourgain. Wir zeigten die Gültigkeit der Ungleichung für eine Konstante β 2 ≤ 1/4 − 0, 043. Zum Schluss beschäftigten wir uns noch mit
der Möglichkeit zwischen analytischen und stochastischen Methoden zu wechseln. Hierzu
haben wir die Hilbert-Transformation auf Lp und H p definiert. Sie erzeugt die harmonisch
konjugierte Funktion und ist am Rand der Einheitsscheibe T definiert. Für eine genauere
Betrachtung sei u (z) : D → R harmonisch mit z ∈ D und der Darstellung
u (z) =
Z2π
1
2π
P (r, θ − t) φ (t) dt
0
als Poisson-Integral. Hieraus erhalten wir die analytische Vervollständigung
1
f (z) = u (z) + iv (z) =
2π
Z2π it
e +z
eit − z
φ (t) dt
0
für v (0) = 0. Nun ist die harmonisch konjugierte Funktion von φ (θ) gegeben durch
iθ
φ̃ (θ) = lim v re
r→1
1
=
PV2π
Z2π
θ−t
cot
φ (t) dt = HT φ.
2
0
Wählen wir nun Gt = u (Zt ) für 0 ≤ t ≤ τ mit τ = inf{t : |Zt | > 1} und Zt ist eine
zweidimensionale Brownsche-Bewegung. Wir erhalten daraus die Darstellungen
t∧τ
Z
Gt∧τ = u (0) +
∇u (Zs ) · dZs
0
und
HGt∧τ
t∧τ
Z

0

0
1
−1 0

 ∇u (Zs ) · dZs
als Itô-Integral. Hierzu haben wir gesehen, dass F = G + iHG ein holomorphes Martingal
ist und mit der Doob-Projektion
N F eiθ = E F |Zτ = eiθ
haben wir einen Weg zurück von Ω nach T.
ANHANG A
Diskussion zur Ungleichung von Bourgain
Sei F ∈ H 1 (Ω) mit EF = 0. Dann gilt für β 2 ≤
E 1 + β 2 |F |2
1
2
1
2
−1 + 21/2 , dass
≤ E (|1 + F |) .
Um die Abschätzung für den Gültigkeitsbereich von β 2 zu erhalten, wurde die Ungleichung

β2
E 1 +
2
Zt
|Xs |2
0
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2
!

β 2 |Fs |2
 ≤ E 1 + β 2
2−
1 + β 2 |Fs |2
1
Zt
|Xs |2
0
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2

1
ds
betrachtet. Hierbei haben wir uns zum Zeigen der Ungleichung auf das Abschätzen der
Integranden beschränkt und
0≤
β 2 |Fs |2
1 + β 2 |Fs |2
verwendet. In unserer weiteren Diskussion wollen wir die so erhaltene Abschätzung
(A.0.3)
β2
2
|Xs |2
1
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2
β 2 |Fs |2
2−
1 + β 2 |Fs |2
!!
|Xs |2
≤ β2
1
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2
als Schranke verwenden. Um unseren Gültigkeitsbereich zu vergrößern betrachten wir
β2
2
|Xs |2
β 2 |Fs |2
2−
1 + β 2 |Fs |2
1
(1 + β 2 |Fs |2 ) 2
!!
≤
|Xs |2
.
2|1 + Fs |
Um weitere Aussagen zu erhalten, nutzen wir Ft ∈ H 1 (Ω). Wir beschränken uns bei der
weiteren Betrachtung auf folgende stochastische Prozesse. Sei der stochastische Prozess Ft
eine Verknüpfungen einer analytischen Funktion mit der Brownschen-Bewegung, also
Zt
Ft := f (Zt ) =
f 0 (Zs ) dZs .
0
Im Weiteren betrachten wir also
|Ft |2 = |f (Zt ) |2
und
|Xs |2 = |f 0 (Zs ) |2 .
Außerdem fordern wir auch
0 < sup |f 0 (Zs ) |2 < ∞.
s≥0
77
78
A. DISKUSSION ZUR UNGLEICHUNG VON BOURGAIN
Unter diesen Voraussetzungen können wir die betrachtete Ungleichung schreiben als
β2
(1 + β 2 |f (Zs ) |2 )
−
1
2
1
β 4 |f (Zs ) |2
≤
.
2 (1 + β 2 |f (Z ) |2 )
)
|
2|1
+
f
(Zs ) |
s
s
2 sup |f 0 (Z
s≥0
Nun wählen wir f (Zs ) := ω ∈ C mit ω beliebig aber fix und wir schreiben für das
Supremum sup |f 0 (Zs ) |2 := z ∈ R. Mit der Darstellung von ω = reiθ mit r > 0 und
s≥0
θ ∈ [0, 2π) erhalten wir
β2
(1 + β 2 r2 )
−
1
2
β 4 r2
1
≤
1 .
2z (1 + β 2 r2 )
2 (1 + 2r cos (θ) + r2 ) 2
Um θ zu eliminieren, schätzen wir den rechten Teil mit
1
sup
θ∈[0,2π)
2 (1 + 2r cos (θ) + r2 )
1
2
1
1
≤
1
2 (1 + r)
2 (1 + 2r cos (θ) + r2 ) 2
=
ab. Unter diesen Voraussetzungen betrachten wir die Ungleichung
β2
(1 + β 2 r2 )
1
2
−
β 4 r2
1
≤
.
2
2
2z (1 + β r )
2 (1 + r)
Für den Fall lim erhalten wir das β 2 aus Satz 68. Aber für den Fall z < ∞ können wir
z→∞
für jedes z ein größeres β 2 , mit der gleichen Idee wie in Lemma 67, finden. Wir wählen
also unser gewünschtes z fix. Im nächsten Schritt lösen wir
β2
(A.0.4)
1
(1 + β 2 r2 ) 2
−
1
β 4 r2
−
= 0.
2
2
2z (1 + β r ) 2 (1 + r)
Genauer gesagt, suchen wir für unser gewähltes z das kleinste β > 0, welches die Gleichung
A.0.4 für r β 2 löst. Das heißt, wir lösen im ersten Schritt die Gleichung nach r auf. Im
zweiten Schritt bestimmen wir das kleinste β ∈ R+ , so dass r eine reelle Lösung besitzt.
Aus diesen Überlegungen wollen wir nun folgende Vermutungen formulieren.
A.1. Vermutung. Sei F ∈ H 1 (Ω) mit EF = 0 und der Darstellung
Zt
Ft := f (Zt ) =
f 0 (Zs ) dZs .
0
Wobei f eine analytische Funktion mit 0 < sup |f 0 (Zs ) |2 < ∞ ist. Dann gibt es für jedes
s≥0
sup
s≥0
|f 0 (Z
s
) |2
ein
β̃ 2
≥
1
2
−1 +
21/2
, so dass für alle β 2 ≤ β̃ 2
E 1 + β 2 |F |2
gilt.
1
2
≤ E (|1 + F |)
Symbolverzeichnis und Glossar
E (. )
ist der Erwartungswert der Zufallsvariable , Seite 27
K (z, t) , Kt (z) ist der Bergman-Kern , Seite 18
SN
ist der Partialsummenoperator , Seite 21
T
ist die Szegö-Projektion , Seite 21
X, Xt , . . .
sind stochastische Prozesse , Seite 26
Bp (D)
ist der Bergman-Raum für das entsprechende Gebiet , Seite 7
Cov (. )
ist die Kovarianz-Funktion der Zufallsvariable , Seite 41
Γ
ist eine parametrisierte Kurve , Seite 4
HR , HT
ist die klassische Hilbert-Transformation für das Grundgebiet , Seite 68
Hp (D)
ist der Hardy-Raum , Seite 5
H p (Ω)
ist der Raum der holomorphen Zufallsvariablen , Seite 49
M2
ist der Raum der quadratisch integrierbaren Martingale , Seite 31
Mc2
ist der Raum der stetigen quadratisch integrierbaren Martingale , Seite 31
Mc,loc
ist der Raum der stetigen lokalen Martingale , Seite 33
Mp (r, f )
ist die Mittelwert-Funktion , Seite 5
(Ω, F, P)
ist ein W-Raum , Seite 26
PB
ist die Bergman-Projektion , Seite 23
P
ist der Poisson-Kern , Seite 70
(S, S)
ist ein Messraum , Seite 26
Var[. ]
ist die Varianz der Zufallsvariable , Seite 41
C
ist die komplexe Zahlenebene , Seite 4
D
ist die offene Einheitsscheibe , Seite 4
H10
ist der Hardy-Raum mit Mittelwert 0 , Seite 57
Rn
ist der n-dimensionale Euklidische Raum , Seite 4
T
ist der Einheitskreis , Seite 57
hX, Y i
ist der Kovarianz-Prozess , Seite 32
h. it
ist die quadratische Variation , Seite 31
D
ist ein Gebiet , Seite 4
F
ist eine σ-Algebra , Seite 26
79
80
Symbolverzeichnis und Glossar
Ft
ist eine steigende folge von Sub-σ-Algebren , Seite 27
H
ist die stochastische Hilbert-Transformation , Seite 69
K
ist eine kompakte Menge , Seite 10
δ
ist die Abstandsfunktion , Seite 8
k. kHp (D)
ist die Norm im Hardy-Raum , Seite 5
∂D
ist der Rand des Gebietes D , Seite 4
pXt (t; x, 0)
ist die Dichtefunktion der Brownschen-Bewegung , Seite 40
pXt (t; x, y)
ist der Gauß-Kern , Seite 40
σ (. )
ist ein normalisiertes Flächenmaß , Seite 20
ϕ
ist die Riemannsche Abbildung , Seite 17
{fm }
ist ein vollständiges orthogonales System , Seite 17
dm
ist ein normalisiertes Maß auf T , Seite 57
Literaturverzeichnis
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