Simulation der Prozesse

Der Varianz-Gamma
Prozess
Alternative Models for Stock
Prices – Tilman Sayer
Inhalt






Gammaverteilung, VG-Verteilung
Simulation der Prozesse
Aktienpreismodell
Äquivalentes Martingalmaß
Ökonomisches Modell
Optionspreisberechnung
Inhalt






Gammaverteilung, VG-Verteilung
Simulation der Prozesse
Aktienpreismodell
Äquivalentes Martingalmaß
Ökonomisches Modell
Optionspreisberechnung
Allgemein
Allgemein: Varianz-Gamma Modell
Sei Rt = St+1/St Rendite
Es gilt:
2
log(Rt) ~ N(μ,σ V)
2
mit Erwartungswert μ und zufälliger Varianz σ V
V ~ Gamma(γ,c)
Gammaverteilte Zufallsvariable
Sei X ~ Gamma(γ,c), dann ist die Dichte von X
gegeben durch:

 1  cv
c v e
g (v ) 
( )
für x >0 mit
der Gammafunktion Γ(γ)
γ: „Form Parameter“
c: „Ort Parameter“
Gammaverteilte Zufallsvariable
Sei X ~ Gamma(γ,c), dann ist die
Charakteristische Funktion von X gegeben
durch:
 iu 
 X u   1  
c


Momente der Gammaverteilung
Sei X ~ Gamma(γ,c):
Erwartungswert
 /c
2
Varianz
 /c
Schiefe
2/ 
Kurtosis
31  2 /  
Gammaprozess


Gamma
Gamma
X

X
,t  0
Der Gammaprozess t
t
mit Parameter γ, c ist definiert als Prozess mit
X(0) = 0
2. stationäre und unabhängige gammaverteilte
Zuwächse
1.
Gammaprozess
Daraus folgt:
Gamma
Xt
ist Gamma(γt,c) verteilt
Lévy-Tripel eines Gammaprozesses:
  (1  e c )

cx 1
,0, e x 1( x 0) dx

c


Varianz-Gamma Modell
Sei nun Rt = St+1/St die Rendite
Dann gilt:
2
X = (log(Rt) – μ) ~ N(0,σ V) mit der Dichte


f ( x)   e
0
 x 2 /( 2 2v )

/  2v g (v)dv
Varianz-Gamma Modell
Dichte lässt sich über Potenzreihe darstellen
f ( x) 

2 / x 2 / / 

2
2 / 1
2

2 / 1
2
(1 / v) 

K 2 / 1 x 2 / / 
2
mit Bessel Funktion Kw(x) (zweiter Art und
Grad w)

Varianz-Gamma Modell
Charakteristische Funktion für X
  2u 2 

 X (u )  1 
2m 

 m 2 /
mit m = γ/c (Erwartungswert Gammaverteilung)
2
und v = γ/c (Varianz Gammaverteilung)
  vu 

  X (u )  1 
2 

2
2
1 / v
und γ = c
Varianz-Gamma Modell
Charakteristischen Funktion
X ~ VG( , c,0) und L( X | G )  N (0,  2G )
  
 X (u )  E eiuX  E E eiuX

 u 2 2G  
 
| G  E  exp  

2





mit G ~ Gamma(c, c) gilt :


 u  s
g ( s )ds   e
 X (u )   exp  
2 

0
0
2
2
u 2 2 s

2
c c s c 1e cs
ds
 (c )
Momente der VG-Verteilung
Sei X ~ VG(σ,v,0)
2
(V ~ Gamma(c,c) mit v = c/c = 1/c)
Erwartungswert
0
Varianz
2
Schiefe
0
Kurtosis
31   
Bedeutung der Kurtosis v
Bedeutung von v:
Kurtosis bei VG-Verteilung:
Kurtosis bei Normalverteilung:
3(1+v)
3
v kann als Maß für die Dicke der Enden
betrachtet werden
Schätzverfahren - Momentenmethode
Gegeben sind Daten Xi, i = 1,...,N.
Schätzer für σ und v:
2
unverzerrter & konsistenter Schätzer für σ :
2
X
̂ 2   i
N
i
konsistenter Schätzer für v:
 X i4  4
ˆ    3ˆ
 i N 
 
1
1
Schätzverfahren – Maximum-Likelihood
Die Parameter direkt (aus Dichte) zu schätzen ist
sehr aufwendig.
Transformation:
θ = uX(mod2π)
Die Dichte der transformierten Zufallsvariable ist
nun:

h( )  1 /( 2 )   1   X (ku) cos( k )
k 1
Mehrdimensionaler V.G. Prozess
Sei X eine mehrdimensionale Zufallsvariable mit
X ~ N(0,ΣV), mit Σ Covarianz-Matrix und
V ~ Gamma(c,c). Für die Charakteristische
Funktion von X gilt nun:
  u u 

 X (u )  1 
2 

T
1 / v
Nachteil: Kurtosis v ist für alle Verteilungen gleich,
Steuerung des Prozesses eingeschränkt
Mehrdimensionaler V.G. Prozess
Schätzer für Σ durch Momentenmethode
Schätzer für v erhält man durch Transformierte
Maximum-Likelihood Schätzung angewandt auf
θi = uXi(mod2π) und

1
h  
  1   X ku cosk 
2
k 1
Inhalt






Gammaverteilung, VG-Verteilung
Simulation der Prozesse
Aktienpreismodell
Äquivalentes Martingalmaß
Ökonomisches Modell
Optionspreisberechnung
Simulation – Gamma Zufallszahlen
Berman‘s Gamma Generator:
1. 2 uniform verteilte Zufallszahlen u1 und u2
1 /(1 a )
1/ a
2. x  u1 und y  u 2
3. Wenn x + y >1  1.
4. 2 uniform verteilte Zufallszahlen u1 und u2
5.  x log( u1u2 ) ist Gamma(a,1) verteilt
Simulation – Gammaprozess
Gamma Prozess:
1. Erzeuge n Gamma(aΔt,b) Zufallszahlen gn
2. Simuliere Gammaprozess Gt mit
G0 = 0
GnΔt = G(n-1)Δt + gn
 Gt ist Gamma(at,b) verteilt
Simulation – Varianz-Gamma Prozess
(Gewinn & Verlust)
Darstellung als Differenz zweier u.i.
gammaverteilter Zufallsvariablen U(t) und W(t)
Y(t) = U(t) - W(t)
U(t) „entspricht“ Gewinn, W(t) „entspricht“ Verlust
  
Erwartungswert für U(t) und W(t):  2v h
 h
Varianz für U(t) und W(t): 2
für Zuwächse über Intervalle der Länge h
2
Simulation – Varianz-Gamma Prozess
(zufälliger Zeitwechsel)
b(G(t)) = Y(t) mit
b(.) Unabhängige Brownsche Bewegung ohne Drift
2
und Varianz σ
G(.) Gamma Prozess bestehend aus u.i.
gammaverteilten Zufallszahlen mit
Erwartungswert h und Varianz v*h
für Zuwächse über Intervalle der Länge h
Simulation – Varianz-Gamma Prozess
(zufälliger Zeitwechsel)
Interpretation:
„Didn‘t have much of a year this year“
„Ökonomische Uhr“
Transformation der Zeiten
Aber:
Zeiten sind zufällig!
Verteilung der Kurzen und Langen Frist
Y (t )
Betrachtung von A(t ) 
, der standardisierten
 t
Zufallsvariablen,
liefert die Charakteristische Funktion
 u 2 
 A( t ) (u )  1 

2t 


t
v
Verteilung der Kurzen und Langen Frist

t
v
 u 2 
 A( t ) (u )  1 
 bedeutet, dass die
2t 

Verteilung von Y(t) sich für große t der
Normalverteilung annähert.
Kurtosis 3(1+v/t)  3 für t  
Compound Poisson Approximation
Darstellung eines VG-Prozesses als

Brownsche Bewegung mit Gammazeit

Differenz zweier Gammaprozesse
Betrachtung:
Prozesse mit unabhängigen, stationären,
gammaverteilte Zuwächsen (G(t), U(t), W(t))
Compound Poisson Approximation
Theorem
Für einen (Gamma) Prozess Z(t) mit stationären,
unabhängigen, gammaverteilten Zuwächsen
2
mit Erwartungswert μ und Varianz σ gilt:
1. Lévy-Darstellung der Verteilung der Zuwächse
hat keine Gauß-Komponente
2. Lévy-Maß  ( dz )  0, z  0

z 1
2
 (dz )  exp(  ) , z  0,  

 z

Compound Poisson Approximation
Theorem (cont.)
Z(t) ist der Grenzwert für n   eines Compound
Poisson Prozesses mit Ankunftsrate  n / 
und u.i.v Sprünge, deren Größe durch die Dichte
e z /
1( z 1/ n ) ,  n   e  z /  / z dz
1/ n
z n
gegeben wird.
Compound Poisson Approximation
Ergebnis:
1. Z(t) ist reiner Sprungprozess, somit auch G(t)
2. Idee der Compound Poisson Approximation:
Sprünge die kleiner als 1/n sind werden nicht
betrachtet
n   gilt: Ankunftsrate  
Sprunghöhe  0
Approximation VG-Prozess
Corollar
Der VG-Prozess Y(t) ist ein reiner Sprungprozess,
der als Differenz zweier unabhängiger
Compound Poisson Prozesse approximiert
werden kann. Beide Prozesse haben die
Ankunftsrate (1 / v)  n und u.i.v Sprünge, die
durch die Dichte des Theorems beschrieben
werden.
e  z /
 z /
1( z 1/ n ) ,  n   e
/ z dz,     / 2
1/ n
z n
Approximation VG
Corollar (cont.)
Ferner ist das Lévy-Maß des VG-Prozesses
gegeben durch:
F (dx)  e

 x / 
F 0  0
2 /

/  x dx, x  0,
Exakte Struktur der Sprünge
Z(t), als Prozess mit unabhängigen und
stationären gammaverteilten Zuwächsen
für t [0,1], lässt sich auch durch die Sprünge
darstellen.
Ferner ist die gemeinsame Verteilung der
Sprunggrößen gegeben.
Exakte Struktur der Sprünge
Theorem
Für einen Prozess Z(t) mit unabhängigen und
stationären gammaverteilten Zuwächsen mit
2
Erwatungswert μ und Varianz σ und t [0,1] gilt:

Z (t )   J j 1[ 0,t ) (U j )
a.s.
j 1
mit Jj: Größe des j-größten Sprunges
Uj uniform [0,1]-verteilte Zufallsvariable
Exakte Struktur der Sprünge
Theorem (cont.)
Die gemeinsame Verteilung der größten k
Sprünge ist durch folgendes rekursives Schema
gegeben

N ( x )  (  /  )  e
w
/ w dw
x /
es gilt: P J1  x1   exp  N [ x1 ], x1  0,
P( J j  x j | J j 1  x j 1 ,..., J1  x1 )
 exp N [ x j ]  N [ x j 1 ], 0  x j  x j 1
Exakte Struktur der Sprünge
Im Besonderen ist die Verteilungsfunktion der
größten k Sprünge gegeben.
j
k 1
N
(
x
)
 k ( x)  e N [ x ]  (1) j
, x0
j!
j 0
Bemerkung:
Aktienpreise „realistischer“ als Diffusionsprozess
Inhalt






Gammaverteilung, VG-Verteilung
Simulation der Prozesse
Aktienpreismodell
Äquivalentes Martingalmaß
Ökonomisches Modell
Optionspreisberechnung
Aktienpreismodell
Modellierung des Aktienpreises nach BS:


1 2
S (t )  S (0) exp     t  W (t )
2 



Brownsche Bewegung W(t) wird ersetzt
durch Varianz-Gamma Prozess N(t).
Aktienpreismodell
Annahme: Aktienpreisprozess ist ein
Semimartingalprozess“


S (t )  S (0) exp    
i

1


 (u )  ln 

2
  1  u / 2 
1


 t  N (t ) mit


,
der Log-Charakteristischen Funktion
Aktienpreismodell
Alternative Darstellung:
t
S (t )  S (0)     ( / i ) S (t _)dt
0

 S t _ e
N s

1
0 s t
Sprung in N der Höhe ΔN  Sprung in S der
Höhe
S (t _)e
N s

1
Aktienpreismodell
Alternative Darstellung:
 N (; dt , dx)  1N
t
 s , N s ( ) (dt , dx)
s ( )  0
s
S (t )  S (0)       / i S (t _)dt
0

 S (t _)e
[ 0 ,t ] x
x

 1   ; ds, dx 
N
Inhalt






Gammaverteilung, VG-Verteilung
Simulation der Prozesse
Aktienpreismodell
Äquivalentes Martingalmaß
Ökonomisches Modell
Optionspreisberechnung
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Annahme:
Es existiert ein Bond mit Laufzeit T und
Nennwert 1. Sein Preis wird bestimmt
-r(T-t)
durch e
.
Mit konstanter Zinsrate r.
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Für Q äquivalent zu P gilt:
-rt
1. e S(t) ist ein Q-Martingal
2. Preis einer Call-Option Wt mit Laufzeit T und
Strike K ist gegeben durch:

S (T )  K  

 r (T  t )
 Et e
 (t )S (T )  K  
Wt  E e
Q
t
 r (T  t )

Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Q wird bestimmt durch die Radon-Nikodym
Ableitung von Q mit Bezug zu P und der
„Maßwechseldichte“
 dQ

 (t )  E 
| Ft 
 dP

P
Frage: λ(t)?
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Preisprozess S(t)


S (t )  S (0) exp    
i



 t  N (t )


mit N(t):
1. N(0) = 0
2. unabhängige und stationäre Zuwächse
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
N(t) ist ein „Spezielles Semimartingal“, d.h.


N  N0  N C  x   N  v  A
Da N0 = 0 und N keine stetige MartingalC
Komponente besitzt, ist N = 0, und somit
N (t )  x  (   v)  A
N
mit den Kenndaten(A,C,v)
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Durch den Maßwechsel von P zu Q, ändern sich
die Kenngrößen von N (als Q Martingal)
A'  h( x)(Y  1)  v
C  0
v  Yv
mit einer Funktion Y, die die Sprünge umgewichtet
und
h( x)  x1 x 1
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Da Q und P zueinander äquivalent sind, muss Y
strikt positiv sein.
Y (; t , x)  e
Frage: Ψ(w;t,x)?
 ( ;t , x )
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Mit Hilfe des Doléan-Dade Exponentials ξ(X) für
ein Semimartingale X



(

,
s
,
x
)
 ( X )t  exp    e
 1 dsK (dx)     , s, N s 


s

t
[
0
,
t
]
x





und einer Taylorapproximation von Ψ in 0 folgt
 ( , t , x)   ( , t ) x  e( , t , x)
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
 ( , t , x)   ( , t ) x  e( , t , x)
bzw.:  ( , t , x)   ( , t ) x da die meisten
Sprunghöhen sehr klein sind, e  0
Frage: α(w,t)
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Daraus folgt nun, dass die Maßwechseldichte λ
sich approximativ darstellen lässt als
t


( , s )  

 (t )  exp    ( , s )N s   
ds 
 i  
0
 s t
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Das Maß Q wird bestimmt durch
-rt
„e S(t) ist ein Q-Martingal“. Somit gilt nun, dass
-rt
e λ(t)S(t) ein P-Martingal ist

e  (t ) S (t )  S (0) exp    ( , s )   N s 
 s t
   r   / i t
 rt
  ( , s )  
  
ds 
 i  
0
t
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
e  rt  (t ) S (t )  S (0) (t ) exp   r   / i t
t
  ( , s) 
  ( , s)    
  
ds  0 
ds 
0
i
 i 

 
t
mit
t

   , s     
 (t )  exp   ( , s)   N s   
ds 
 s t
0

i
 
ein P-Martingal, muss nun für (μ-r) folgendes
gelten:
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
  ( , s ) 
 
  ( , s )    
  r  
     

i
 i 
i


bzw: (α konstant)
 
 
     
  r        

i
i 
 i 
und somit gilt für λ
N ( t )   / i t
 (t )  e
Äquivalentes Martingal Maß für VGProzess
Ergebnis:
Der Maßwechsel wird also durch folgende
Gleichungen bestimmt
 
 
     
  r        

i
i 
N ( t )   / i t
 (t )  e

Wt  Et e
 r (T t )

i

 (t )S (T )  K 


Inhalt






Gammaverteilung, VG-Verteilung
Simulation der Prozesse
Aktienpreismodell
Äquivalentes Martingalmaß
Ökonomisches Modell
Optionspreisberechnung
Ökonomisches Modell
N ( t )   / i t
Modellwirtschaft in der  (t )  e
der Maßwechselprozess ist und α als relative
Risikoabneigung eines stellvertretenden
Agenten/Handelnden betrachtet werden kann.
Ökonomisches Modell
Ökonomie besteht aus:
 einer Aktie mit Preisprozess S(t)
 Risikoloser Bond mit Laufzeit T, Nennwert 1 und
Preisprozess B(t)
 δ „persönlicher Abzinsfaktor“
Ökonomisches Modell
Agent wählt Konsumfunktion c(t) und versucht

 t
E e U (c(t ))dt zu maximieren.

0

Nutzenfunktion U (c))  (1 /  )c mit relativer
Risikoabneigung 1  
Budget-Beschränkung: Konsum wird
ausschließlich durch Gewinne finanziert
Ökonomisches Modell
Firma zahlt Dividende D(t) an Aktionäre (Agent)
D(t )  D(0) exp t  ( / i)  N (t )
Ökonomisches Modell
In einer solchen Ökonomie gilt für den
Aktienprozess:


Et  e   s t U ' D( s ) D( s )ds 
 t

S (t ) 
U ' D(t ) 
D(t )
S (t ) 
    ( / i)  ( / i)
Ökonomisches Modell
Bond:
B(t )  e
 (T t )[  (1 )   ( 1)  ( / i )   (( 1) / i )]

konstanter
, risikoloser Zins r
Maßwechselprozess:
 1
 e D(T )

 (t )  E  P rT
 1 
 E e D(T ) 
 rT
P
t


 (t )  exp  1N (t )  ( 1) / i t 
Inhalt






Gammaverteilung, VG-Verteilung
Simulation der Prozesse
Aktienpreismodell
Äquivalentes Martingalmaß
Ökonomisches Modell
Optionspreisberechnung
Optionspreisberechnung
Preis einer Call-Option Wt mit Laufzeit T und
Strike K ist gegeben durch

Wt  E e
Q
t
 r (T t )
S (T )  K  

bzw.: Wt  E e
für Laufzeit t
Q
t

 rt
S (t )  K  

Optionspreisberechnung
Es gilt für


S (t )  S (0) exp    
i

 

mit      
i
i


 t  N (t )



     
  
r

 i 
2



1 1      / 2  




St  S0 exp N t  r   ln
t 
2

1  / 2  

  v


Optionspreisberechnung
Weiterhin gilt für den Maßwechsel
t
v
 
N ( t )  ln 1/ 1 2 / 2
 (t )  e

Damit gilt für den Optionspreis nun

W  E e  (t )S (t )  K 
P
 rt


Optionspreisberechnung

W  E e  (t )S (t )  K 
P

 rt

Integrieren mit Bezug zur Dichte von N(t) (bedingt
auf die gammaverteilt Zufallsvariable G) liefert:
 1     
W (G )  S 0 
2

2
 1 
 Ke 
 2
 rt
2
t /
   2 G / 2  d

 e

     G 

 G


t /v
  2G / 2  d

 e

 G 
 G


Optionspreisberechnung
Durch Integration von G mit Bezug zur
Gammadichte erhält man:

t / v 1  g
g e
W   W g 
dg
(t / )
0
Numerische Lösung der Integration nur für kleine
Werte t/v notwendig.
t/v groß  N (t ) / t approximativ N(0,1)
Optionspreisberechnung
Für N(t) approximativ N(0,1) gilt:
W  S0e
  2 t / 2
 Ke
1  v    / 2
 rt  2t / 2
t /v
2
1  v

2
/2
d1 
 d 
t /v
2


2

ln( S 0 / K )  r  (1 / v) ln 1  v    / 2 / 1  v 2 / 2
d1 

     t

 t


d 2  d1   t
Ende