Kapitel 8

Der Wiener Prozess und
seltene Ereignisse
Markus Seidler
[email protected]
Inhalt






Normal und rare events
Wiener Prozess
Poisson Prozess
Charakteristik von normal bzw. rare events
Erweiterung der SDE
Momente
Gewöhnliches Ereignis
(normal event)



Betrachtungszeitraum h wird kleiner
 Größe der Ereignisse wird kleiner
Werden fast unbedeutend wenn
h0
aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird nicht
null
Seltenes Ereignis
(rare event)


In stetiger Zeit (h  0)
Wahrscheinlichkeit  0
ABER Größe muss nicht kleiner werden
Kapitel 7

Asset Preis „Überraschunskomponente“

Varianz
E[ t Wt ]   h
 Erwartete Größe

 t Wt
2
2
t
t h
Varianz proportional zu h


Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige Größe 
SELTENES Ereignis
Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe 
GEWÖHNLICHES Ereignis
Modellieren von asset Preisen in
stetiger Zeit

Wiener Prozess (oder Brownsche Bewegung)

Stetiger stochastischer Prozess


Poisson Prozess

Unstetig


Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Ereignissen
und extreme Bewegungen sind selten
(tail area – Normalverteilung)
Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch
seltene Ereignisse
Kombination beider Modelle
Wiener Prozess



Zufallsvariable Wt kann sich nur stetig
verändern
Kleiner Zeitintervall h  kleine Änderungen
von Wt
 Ereignisse gewöhnlich
Wiener Prozess

Wt ist ein quadratisch integrierbares Martingal
mit
W0 = 0 und

E Wt  Ws 

2
 ts
s≤t
Die Abbildungen von Wt sind stetig über t
Eigenschaften Wiener Prozess

Wt hat nicht korrelierende unvorhersehbare
Zunahmen weil es ein Martingal ist
 W hat Null Erwartungswert, weil es bei Null
t
startet
 W hat Varianz t
t
 Da Prozess stetig, gibt es in unendlich kleinen
Intervallen, unendlich kleine Veränderungen
Poisson Prozess

N t gesamte Anzahl an „extremen Schocks“ in
einem Finanzmarkt
 dN t sind die Veränderungen in dt während
einer unendlichen kleinen Zeitperiode
1 mit Wahrschein lichkeit  dt
dN t  
0 mit Wahrschein lichkeit 1  dt
Poisson Prozess

Annahme: Rate der Erscheinungen
während dt =  ist der Prozess definiert
als
M t  N t  t
ist ein quadratisch integrierbares Martingal
Dabei ist
E[ M t ]  0
E[ M t ]²  t
Unterschiede




Die Abbildungen sind unterschiedlich
 Stetige Graphen vs. Sprünge
Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h  0, geht
Richtung null.
D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es zu
diskreten Sprüngen kommt es zu keiner unbegrenzten
Variation im Gegensatz zum Wiener Prozess
Deswegen ist die Definierung des Integrals auch
einfacher.
Charakteristik seltener und
normaler Ereignisse


Kapitel 7: SDE
S k  S k 1  aS k 1, k h   S k 1, k Wk
Annahme: Wk
nur eine endliche Zahl
w1  mit Wahrschein lichkeit  p1
w  mit Wahrschein lichkeit  p
 2
2
Wk  

wm  mit Wahrschein lichkeit  pm

 k Wk
Varianz von
E[ k Wk ]²   k ² h

Da Wk endliche Nummer an Werten
m
Var[ k Wk ]   pi wi ²
i 1
m

 p w ² 
i 1
i
i
k
²h
m
 p w ² 
i
i 1

i
k
²h
Linke Seite proportional zu h
 Jeder Term der Summe ist proportional zu h deswegen
pi wi ²  ci h
wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion darstellt

pi wi ² sind lineare Funktionen von h deswegen
pi (h) wi (h)²  ci h

Laut Merton spezielle exponentiale Formen
wi (h)  wi h r i
pi (h)  p i h
qi
Wobei r und q nicht negative Konstanten sind
und w und p in Abhängigkeit von i oder k,
jedoch nicht von h.

Varianz:
pi wi ²  wi ² pi h2ri hqi
bzw.
wi ² pi h( qi 2ri )  ci h
Das bedeutet:
ci  wi ² pi
qi  2ri  1 und
mit folgenden Einschränkungen für qi und ri

1
0  ri 
2

0  qi  1
Deswegen zwei Arten von Ereignissen:

Gewöhnliche:
1
ri 
2
qi  0
Seltene: r  0
i
qi  1
Normal Event



Annahme:
ri = 0,5
wi wird kleiner,
Größe
wenn h kleiner wird
Wahrscheinlichkeit pi
bleibt konstant
wi  wi h
pi  pi
0,5
 wi h
Smoothness („Glätte“)

Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt verändert.
f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt x0 die ratio f ( x  h)  f ( x )
0
0
endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h.
h


Mit ri = 0,5
Wt  h  Wt wi

h
h
wi
lim
h 0 h
substituiert :
1
 wi lim 0,5  
h 0 h
D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich  Asset
Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.
Rare Event




Mit ri = 0 und qi = 1
Wahrscheinlichkeit verschwindet
wenn h  0
Während die Größe konstant bleibt
Die Abbildung beinhaltet Sprünge,
die nicht kleiner werden.
pi  pi h
wi  wi
Modelle für rare events



 
 
SDE wenn h kleiner wird
dSt  a St ,t dt   St ,t dWt
Rare event fehlt
Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen (Konstante Rate
von Ereignisse, Erwartungswert ungleich null,..)
J t  ( N t  t )



Die Zunahmen J k haben Erwartungswert 0
Multipliziert man J t mit einer zeitabhängigen Konstante wie  2 ( S k 1 , k )
wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig.
Ergebnis:
 2 ( S k 1 , k )J k
SDE für normale und seltene
Events
dSt  aSt ,t dt   St ,t dWt   2 ( S k 1 , k )J k
k  1, 2 ,...... n

wenn h kleiner wird
dSt  aSt ,t dt   St ,t dWt   2 ( St , t )dJ t
Momente

Momente sind verschiedene Erwartungen des
zugrunde liegenden Prozesses




1.
2.
3.
4.
Ordnung: Erwartungswert
Ordnung: Varianz (Darstellung der Volatilität)
Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung
Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“
E[ X t  E[ X t ]]
k  2 , 3, 4 ,
k
Momente


Bei Prozessen mit normalen Ereignissen,
kann man höhere Ordnung (ab zwei)
vernachlässigen. Da sie von h abhängig
sind, konvergieren sie zu null bei h  0.
Bei seltenen Ereignissen können sie
nützliche Informationen liefern, da die
Momente unabhängig von h sind.
Zusammenfassung
dSt  aSt ,t dt   St ,t dWt   2 ( S k 1 , k )J k
k  1, 2 ,...... n
Erwartete
Veränderung
„Große“ Events, die
selten vorkommen
Reguläre Ereignisse
mit bedeutungsloser
Größe
Die Kombination von Wiener und Poisson Prozess kann all
die Störungen darstellen, die einen Finanzmarkt beeinflussen