t - Bewertung

Optionspreismodelle
Notationen











St:
X:
T:
t:
ST:
r:
C:
P:
c:
p:
s:
Burkhard Weiss
aktueller Aktienkurs
Ausübungspreis
(Rest-)laufzeit der Option
Bewertungszeitpunkt
Aktienkurs bei Verfall
risikofreier Zinssatz
Preis einer amerikanischen Call-Option
Preis einer amerikanischen Put-Option
Preis einer europäischen Call-Option
Preis einer europäischen Put-Option
Volatilität
Futures & Optionen
Folie 2
Optionen Preisgrenzen
 Obergrenzen
 Call
 amerikanisch
 europäisch
 Put
 amerikanisch
 europäisch
 Untergrenzen
 Call
 amerikanisch
 europäisch
 Put
 amerikanisch
 europäisch
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Futures & Optionen
Folie 3
Obergrenzen
 Call
 Das Recht ... ... zum Ausübungspreis zu kaufen.
Optionspreis kann nicht höher sein als der Kurs des Basiswerts
c  S und C  S
Wird die Grenze verletzt, ist ein risikoloser Gewinn möglich!
• !!!Arbitrage !!!
• durch Long Underlying und Short Call
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Futures & Optionen
Folie 4
Obergrenzen
 Put
 Das Recht ... ... zum Ausübungspreis zu verkaufen.
 Amerikanisch: Optionspreis kann nicht höher sein als der
Ausübungspreis
P X
 Europäisch:
p  Xe
 r T t 
 Keine vorzeitge Ausübung möglich
 bei Grenzverletzung Arbitrage (1. Verkauf des europäischen Puts;
2. erhaltene Prämie zum risikofreien Zinssatz anlegen)
Burkhard Weiss
Futures & Optionen
Folie 5
Untergrenzen
 Call für „non-dividend-paying“ Basiswert
c  S  Xe
Beispiel:
S = 20
X = 18
c = 3,00
r = 10 %
T- t = 1 Jahre
 r T t 
und C  S  Xe
 r T t 
S  Xe r (Tt )  20  18e 0,1  3,71
3,71 > 3,00
Short Aktie und Long Call
 Kassenflus s :  20  3  17
 Verzinst nach einem Jahr : 17e 0,1  18,79
Zum Verfallstag:
– wenn die Aktie über 18 notiert
Call ausüben und Short Aktie schliessen: -18,00 + 18,79=0,79
– wenn die Aktie unter 18 (zB bei 17 ) notiert
Call verfällt und Short Aktie wird geschlossen: -17+18,79=1,79
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Futures & Optionen
Folie 6
Untergrenzen
 Europäischer Put für „non-dividendpaying“ Basiswert
p  Xe  r T  t   S
Beispiel:
S = 37
X = 40
p = 1,00
r =5%
T- t = 0,5 Jahre
Xer (Tt )  S  40e 0,050,5  37  2,01
2,01 > 1,00
Short Cash , Long Aktie und Long Put
 Kassenfluss :  37  1  38
 Kredit über die Laufzeit : 38e 0,050,5  38,96
Zum Verfallstag:
– wenn die Aktie unter 40 notiert
Put ausüben (Aktie verkaufen) und Kredit zurückzahlen: +40,00 – 38,96 = 1,04
– wenn die Aktie über 40 (zB bei 42 ) notiert
Put verfällt und Aktie verkaufen: -38,96 + 42 = 3,04
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Futures & Optionen
Folie 7
Vorzeitige Ausübung (amerikanischer) Optionen
 non-dividend-paying underlying
 Call
 keine vorzeite Ausübung
 Put
 Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung, wenn Put
 deep in-the-money,
 der risikolose Zinssatz hoch
 die implizite Volatilität
und
niedrig ist.
 dividend paying underlying
 Call
 Wenn geringer Zeitwert und
 kurz vor Dividendenauszahlung

ex
Sex
t  D  X  C St , X, T, r,s

 Put
 Wenn geringer Zeitwert und
 kurz nach Dividendenauszahlung
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Futures & Optionen
Folie 8
Put-Call-Parität - Allgemein
 Zeigt den Zusammenhang zwischen dem Wert eines
Put und jenem eines Call auf denselben Basiswert
(underlying).
 daraus folgt:
 Ist die Put-Call-Parität nicht im Gleichgewicht sind Arbitragegewinne
realisierbar (Gewinnmöglichkeiten ohne Kapitaleinsatz.
 Der Preis eines Put kann aus dem Preis eines Call errechnet werden.
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Futures & Optionen
Folie 9
Wertebereiche von Optionen
 Long Call
max (ST – X, 0)
 Short Call
– max (ST – X, 0) = max (X – ST, 0)
 Long Put
max (X – ST, 0)
 Short Put
– max (X – ST, 0) = max (ST – X, 0)
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Futures & Optionen
Folie 10
Exkurs: Zinsrechnung
 Einfache Verzinsung
K0...Startkapital
K1...Endkapital
r ...Zinssatz
n ...Zinsperioden
 K0=1.000; r=10%  K1=1.000·(1+0,1)=1.100
 Unterjährige Verzinsung
 K0=1.000; r=10%; n=4  K1=1.000·(1+0,1/4)^4=1.103,81
 Kontinuierliche Verzinsung
 Kapital wird unendlich oft (unterjährig) verzinst
n
 r
lim 1    e c
n 
 n
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r=100%
n
1
100
1000
10000
100000
1000000
unendlich
Futures & Optionen
(1 + r/n)n
2.0000000
2.7048138
2.7169239
2.7181459
2.7182682
2.7182805
2.7182818
Folie 11
Put-Call-Parität - Gleichung
p S  c  X e
Portfolio A
 r(T - t)
Portfolio B
 Portfolio A:
 Eine europäische Put-Option und eine Aktie:
p +S
 Portfolio B:
 Eine europäische Call-Option und Barkapital
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Futures & Optionen
c  Xe
 r(T - t)
Folie 12
Put-Call-Parität - Gleichung
 Portfolio A am Verfallstag:
p + ST = max { 0, X - ST } + ST = max { ST, X }
 Portfolio B am Verfallstag:
c + X = max { 0, ST - X } + X = max { X, ST }
Portf A = Portf B
max { ST, X } = max { X, ST }
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Futures & Optionen
Folie 13
Modelle – Bewertungsvoraussetzungen
 keine Transaktions- und Informationskosten
 Geldanlage und Geldaufnahme zum risikofreien Zinssatz ist immer
möglich
 Kassageschäfte werden sofort erfüllt
 Marktteilnehmer handeln immer rational
 es besteht freier Marktzugang
 funktionierender Markt (keine Arbitragemöglichkeit)
 Leerverkäufe sind immer möglich
 alle Verpflichtungen werden immer erfüllt
 keine gesetzlichen Preisbeschränkungen
 Wertpapiere sind beliebig oft teilbar
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Futures & Optionen
Folie 14
Optionspreismodelle – Überblick
 Binomialmodell
Annahme: Die zukünftige Aktienkursentwicklung folgt einer
zweiwertigen (=binomialen) Verteilung.
 Black & Scholes - Modell
Annahme: Der zukünftigen Aktienkursentwicklung liegt ein
kontinuierliches Aktienkursmodell zugrunde.
Ausschüttung
nein
ja
Europäisch
Call
Put
Amerikanisch
Call
Put
B&S
B&S
B&S
Binomial
B&S*
B&S*
Binomial
Binomial
B&S*... Black`sche Korrektur
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Futures & Optionen
Folie 15
Binomialmodell - Prinzip
 Der Aktienkurs kann steigen oder fallen und
 der Wert des Portfolios steigt trotzdem um den risikofreien
Zinssatz
 Risikopräferenzen spielen deshalb bei der Bewertung
keine Rolle
Dt
Portfolio Kurs gestiegen
Portfolio
}
bei risikofreier Bewertung gilt:
Portfolio = Portfolio Kurs gestiegen
Kurs gefallen
Portfolio Kurs gefallen
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Futures & Optionen
Folie 16
Binomialmodell - Prinzip
u•S = 100 USD
d•S = 25 USD
Dt = Zeit
S= 50 USD uS = 100 USD
X= 50 USD dS = 25 USD
r = 25 %
Dt = Zeit
ges.: n = Anzahl der Aktien
}
Aktienkurs verdoppelt oder
halbiert sich während
des Zeitraums ²t.
Portfolio - Kurs gestiegen:
Dt
(n•u S – Cu)
n•u S – Cu
Portfolio
(n•S – C)
n=
= n•d S – Cd
Cu – Cd
(u S–dS)
Portfolio - Kurs gefallen:
(n•d S – Cd)
Portfolio - Kurs gestiegen:
Dt
(n•100 – 50)
Portfolio
n=
(n•50 – C)
Portfolio - Kurs gefallen:
(n• 25 – 0)
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n•100 – Cu
Futures & Optionen
n=
= n•25 – Cd
50 – 0
( 100 – 25 )
50
=
75
2
3
Folie 17
Binomialmodell - Prinzip
Allgemein:
Portfolio mal risikoloser Zinsatz = Portf - Kurs gestiegen = Portf - Kurs gefallen
(n  50 – C)  1,25 = ( 2  100 – 50 ) = ( 2  25 – 0 )
3
3
Eingesetzt:
(
50
2
 50 – C )  1,25 =
3
3
Umgewandelt und ausgerechnet:
C = 20
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Futures & Optionen
Folie 18
Binomialmodell - Berechnung
Dt
u•S
p
p
...Wahrscheinlichkeit, daß der Kurs steigt
1 - p ...Wahrscheinlichkeit, daß der Kurs fällt
S
1–p
d•S
Dt
Dt
Dt
u3S
u2S
u2dS
uS
udS
S
ud2S
dS
d2S
d3S
Je mehr Zeitintervalle, desto genauer wird der Optionspreis
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Futures & Optionen
Folie 19
Binomialmodell - Berechnung
u  es
1
d
u
S = 600,- USD
X = 610,- USD
T-t = 1 Monat
Dt = 1/3 Monat
s = 25 %
r = 7,2 %
Dt
ue
0,25 1/36
 1,043
1
d
 0,959
1,043
679,8
652,1
625,5
625,5
600
600
575,5
575,5
551,9
Burkhard Weiss
Futures & Optionen
529,4
Folie 20
Binomialmodell - Berechnung
Cu  p + Cd  (1 – p)
C=
r Dt
e
e r •Dt – d
p=
u–d
e0,0721/36 – 0,959
p=
= 0,51
1,043 – 0,959
69,8  0,51 + 15,5  (1 – 0,51)
C=
= 43,3
0,0721/36
e
652,1
625,5
600
43,3
600
26
15,3
Callpreis = 15,30 USD
7,9
575,5
4
p
1–p
679,8
679,8 – 610
69,8
625,5
625,5 – 610
15,5
575,5
575,5 – 610
0
551,9
0
Burkhard Weiss
S-X
C Cd Cu
Futures & Optionen
529,4
529,4 – 610
0
Folie 21
Black & Scholes-Modell
 Im Black & Scholes-Modell ist der Preis einer Option
eine mathematische Funktion aus





Aktienkurs (S)
Ausübungspreis (X)
Restlaufzeit (T-t)
Volatilität (s) und
Zinsen (r)
Burkhard Weiss
Futures & Optionen
Folie 22
Black & Scholes-Modell
Call:
c  S  Nd1  – e rT t   X  Nd 2 
d1 
2


S
s
 
  T  t 
ln     r 
2 
X 
s
T - t 
d 2  d1  s 
Put:
Burkhard Weiss
• Aktienkurs (S)
• Ausübungspreis (X)
• Restlaufzeit (T-t)
• Volatilität (s) und
• Zinsen (r)
T - t 
p  e rTt   X  N– d 2  – S  N– d1 
Futures & Optionen
Folie 23