MHD Wellen

MHD Wellen
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Übersicht:
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Linearisierung der Gleichungen und Fourier-Transformation
Magnetohydrodynamische Wellen
Elektrostatische Wellen in nicht-magnetisierten Plasmen
elektrostatische Wellen in magnetisierten Plasmen
elektromagnetische Wellen in nicht-magnetisierten Plasmen
elektromagnetische Wellen in magnetisierten Plasmen
Voraussetzungen:
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Gültigkeit Magnetohydrodynamik
sonstige abhängig vom Typ der Welle, z.B.
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09.05.2005
welche Teilchensorte kann sich bewegen,
ist das Plasma kalt oder warm?
Space Physics SS 2005 - Kap. 4: MHD-Wellen
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Grundbegriffe
09.05.2005
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Wellengleichung:
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Phasengeschwindigkeit:
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Gruppengeschwindigkeit:
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Dispersionsrelation:
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Linearisierte MHD-Gleichungen
09.05.2005
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Annahmen s. Folie 30 in Kap. 3
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Gleichungen für mittlere Größen und Fluktuationen:
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Verfahren: Fourier-Transformation
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Beispiel für eine Integraltransformation, in diesem Fall:
Ziel: einfaches Verfahren zur Lösung einer DGL
Lösungsverfahren:
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Transformation überführt DGL im Ortsraum in algebraische
Gleichung im Bildraum
Lösung der algebraischen Glg im Bildraum
Rücktransformation in den Ortsraum
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Rechenregeln Fourier
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Faltung:
Faltungssatz: die Fouriertransformierte der Faltung der Funktionen f1
und f2 ist gleich dem Produkt der Fouriertransformierten von f1 und f2:
Verschiebungssatz: die Fouriertransformierte einer um t0 verschobenen
Funktion ist gleich der Fourier-Transformierten der unverschobenen
Funktion multipliziert mit
Linearitätssatz: die Fouriertransformierte der Summe von Funktionen
ist gleich der Summe der Fouriertransformierten der Funktionen:
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Anwendung von Fourier
09.05.2005
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Beispiele für Fourier-Transformationen
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Anwendung Wellengleichung:
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Magnetohydrodynamische Wellen
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niederfrequente Wellen,
Bewegung der Ionen entscheidend, Elektronen werden ignoriert
kaltes Plasma, d.h. keine thermische Bewegung,
Alfven-Welle als Transversalwelle (Ausbreitungsrichtung parallel
zum Feld),
Magnetosonische Welle als Longitudinalwelle
(Ausbreitungsrichtung senkrecht zum Feld),
Wellen in beliebigem Winkel zum Magnetfeld,
anschauliche Konzepte: magnetischer Zug und magnetischer
Druck
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Alfven-Wellen 1
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Grundgleichungen:
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Fouriertransformation und transformiertes Gleichungssystem:
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zusammen gefasstes Gleichungssystem:
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Alfven-Geschwindigkeit:
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Alfven-Wellen 2
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anschauliche Vorstellung: Seil
wie schwingende Seite
rücktreibende Kraft:
magnetischer Zug
Ausbreitung mit der AlfvenGeschwindigkeit
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Alfven-Wellen 3
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Feldlinien sind nicht real, können daher
auch nicht schwingen!
Aber: ein veränderliches magnetisches
Feld erzeugt eine elektromotrische Kraft
(Faraday)
Auf Grund der hohen Leitfähigkeit ergibt
sich daraus ein Strom (Ohm)
Ein Strom erzeugt ein Magnetfeld
(Ampere)
Geometrie (nebenstehend) derart, dass
sich eine sich parallel zum Feld
ausbreitende Transversalwelle ausbildet.
http://www.ss.ncu.edu.tw/~lyu/ResearchWorks/NewSu
bstormOnsetModel/AlfvenWave3D_Fig1_273k.jpg
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Magnetosonische Welle
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Formal:
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Bewegungsgleichung: u_1
Feldgleichungen: Felder und Ströme über u_1 ausdrücken und in
Bewegungsgleichung einsetzen
Zustandsgleichung, da die Wellen eine Kompression des Mediums
erlauben:
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Fourier-Transformation liefert
Dispersionsrelation
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Longitudinalwelle mit
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rücktreibende Kraft: magnetischer Druck
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MHD-Wellen schräg zum Feld
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formal: vollständiges System der Gleichungen für die mittleren
und die fluktuierenden Größen muss gelöst werden:
Hodograph: Polardiagramm in v mit θ als Winkel zwischen
Ausbreitungsrichtung und Magnetfeld
Fast magnetosonic
Alfven
slow magnetosonic
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Elektrostatische Wellen in nichtmagnetisierten Plasmen
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Ursache: lokales Ladungsungleichgewicht in einem quasi-neutralen
Medium
Oszillation von Ladungen
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betrifft nur das elektrische Feld
keine oszillierenden Magnetfeldkomponenten
⇒ elektrostaische Welle
außer in den Ionenwellen werden die Ionen als unendlich schwer
angenommen: sie beteiligen sich nicht an der Bewegung, daher
außer Ionenwellen hochfrequente Wellen.
Fourier-Transformation von Faraday´s Gesetz für die
fluktuierenden Größen liefert
Wellenvektor parallel
zum fluktuierenden
elektrischen Feld
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Plasma Oszillationen
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Ladungsungleichgewicht
erzeugt elektrisches Feld
Bewegungsgleichung:
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Elektronenplasmafrequenz:
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wichtiges Werkzeug in der Plasmadiagnostik: aus der Plasmafrequenz kann die Elektronendichte bestimmt werden (z.B. Korona)
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Elektron-Plasmawellen
(Langmuir-Wellen)
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Plasmaoszillationen:
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Elektron-Plasmawellen:
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kaltes Plasma,
Gruppengeschwindigkeit 0, d.h. die Störung breitet sich nicht aus,
warmes Plasma (zusätzlich thermische Bewegung),
Störung breitet sich aus.
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Plasma verhält sich adiabatisch, Verteilung gemäß Maxwell:
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Dispersionsrelation in Weltraumplasmen (Bohm-Gross-Gleichung):
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Gruppengeschwindigkeit:
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Ionenakustische Wellen
(Ionenwellen)
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Trägheit der Ionen ⇒ niederfrequent
Analogie: Schallwellen, allerdings findet im verdünnten Plasma
der Impulstransport durch Coloumb-Stöße statt
Bewegungsgleichung (2-Flüssigkeiten!) enthält rechts nur
Druckgradientenkraft und elektromagnetische Kräfte.
Dispersionsrelation:
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Ionenplasmafrequenz:
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Elektrostatische Wellen in
magnetisierten Plasmen
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Unterscheidung in Wellen mit
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longitudinal und transversal beziehen sich auf die Lage des
Wellenvektors relativ zum fluktuierenden elektrischen Feld.
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Wellenvektor parallel zum mittleren Magnetfeld
Wellenvektor senkrecht zum mittleren Magnetfeld
longitudinale Wellen sind elektrostatische Wellen.
Wellen in beliebigem Winkel zum Feld können als Überlagerung
von transversalen und longitudinalen Wellen verstanden
werden.
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Obere Hybrid-Frequenz
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Analogie Elektronenoszillationen:
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Dispersionsrelation:
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nur für Wellen senkrecht zum Feld.
bei Wellen parallel zum Feld verschwindet die Zyklotronfrequenz.
Anschauung: Überlagerung zweier Bewegungen:
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ortsfeste Ionen
kaltes Plasma
Kompression/Dekompression der Elektronen wie in
Plasmaoszillationen,
zusätzlich Gyration: elliptisches Elektronenorbit statt linearer
Bewegung ⇒ zusätzliche rücktreibende Kraft ⇒ höhere Frequenz
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Ionen-Zyklotron Wellen
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niederfrequente Wellen (Ionenbewegung);
Annahme: Wellenvektor nahezu ⊥ zu B (Restkomponente || B
nötig, da sonst keine freie Elektronenbewegung || B möglich);
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Bewegungsgleichung: nur elektromagnetische Kräfte;
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Dispersionsrelation:
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Erklärung: zusätzliche rücktreibende Kraft durch Lorentz.
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Untere Hybrid-Frequenz
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hier Wellenvektor senkrecht zu B, d.h. Elektronenbewegung
eingeschränkt.
Bewegungsgleichung für Ionen unverändert, für Elektronen
dagegen andere Lösung.
Untere Hybrid-Frequenz:
Bewegung wird in Richtung senkrecht zum Feld aufrecht
erhalten, da die Ionenbewegung durch eine ExB-Drift bestimmt
wird.
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Elektromagnetische Wellen in nichtmagnetisierten Plasmen
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elektromagnetische Welle: fluktuierendes elektrisches und
fluktuierendes magnetisches Feld.
nicht-magnetisiertes Plasma: mittleres B verschwindet,
fluktuierende Anteile vorhanden.
Dispersionsrelation:
Brechungsindex (Ausbreitung
nur für n > 0):
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Ionosounding
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wichtiges Werkzeug zur Untersuchung der Ionosphäre
Absorption von Radiowellen bei der Plasmafrequenz des
Mediums ⇒ Bestimmung der Elektronendichte aus Absorption
zwischen Sender und Empfänger
Alternativ: Variation des
Brechungsindex führt zur
Reflektion
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Laufzeit gibt
Reflektionshöhe
Geometrie gibt
Brechungsindex und damit
Elektronendichte
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Elektromagnetische Wellen in
magnetisierten Plasmen
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Charakterisierung durch Richtung des Wellenvektors
relativ zum ungestörten Magnetfeld B0 und zum
fluktuierenden elektrischen Feld E1:
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Elektromagnetische Wellen senkrecht B0:
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gewöhnliche Wellen (O-Wellen): E1 ⎥⎜ B0,
ungewöhnliche (extraordinary) Wellen: E1 ⊥ B0,
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Wellen parallel zum Magnetfeld B0:
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2 Moden: links und rechts zirkular polarisierte Wellen
Whistler (R-Wellen),
L-Wellen
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Elektromagnetische Wellen
senkrecht zum Feld
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Transversalwelle mit k ⊥ E1
ordinary wave: E1⎥⎜B0
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extraordinary wave: E1 ⊥ B0
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Magnetfeld beeinflusst Welle nicht
Dispersionsrelation
Dispersionsrelation:
mixed mode: transversale und longitudinale Komponente, Welle daher
elliptisch polarisiert.
Brechungsindex n=0 für
Existenz eines Stop Bands
Anwendung: Diagnostik planetarer Wellen (z.B. Jupiter)
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Elektromagnetische Wellen parallel
zum Feld: R- und L-Wellen
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links- und rechtshändig
polarisierte Wellen
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Dispersionsrelation
„
Brechungsindex:
Resonanzen:
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R-Welle (pos. Vorzeichen) bei Zyklotronfrequenz (Zyklotronresonanz)
L-Welle bei der Ionenzyklotronfrequenz
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Cutoff-Frequenzen:
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niederfrequenter Bereich R-Welle (Whistler): Magnetosphärendiagnostik
09.05.2005
Space Physics SS 2005 - Kap. 4: MHD-Wellen
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Zusammenfassung
09.05.2005
Space Physics SS 2005 - Kap. 4: MHD-Wellen
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