HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen

Helmar Bittner
HF-Schaltungstechnik, Teil 1
HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen
März 2016
Inhalt
1.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.4.1
3.4.2
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.3.1.
5.3.2.
5.4.
5.4.1.
5.4.2
6.
6.1.
6.1.1.
6.1.2.
6.1.3.
6.1.4.
6.2.
6.3.
6.4.
Einleitung – Motivation
Zweidrahtleitungen
Leitungsgleichungen
Allgemeine Leitungsparameter
Spezielle Leitungsparameter
Hochfrequenzparameter
Reflektionsfaktor
Eingangsimpedanz einer abgeschlossenen Leitung
Smith-Diagramm
Streuparameter
Definition der Streuparameter
Rechnen mit Streuparametern
Anpassung
Leistungsanpassung
Anpassung mit Leitungen
Anpassung mit Leitungen und konzentrierten Bauelementen
Anpassung mit konzentrierten Bauelementen
Leitungsbauelemente
Ein Leitungsstück
Ein kurzgeschlossener bzw. offener Leitungsstich
Elektromagnetisch verkoppelte Leitungen
Leitungsgleichungen der elektromagnetisch verkoppelten Leitungen
Anwendungen elektromagnetisch verkoppelter Leitungen
Leitungsschaltungen
Wilkinson Teiler
Der λ / 4 - Hybrid
Messung von HF-Parametern
Leistungsmessung
Leistungsmessung über Temperaturmessung
Thermoelektrische Leistungsmessung
Leistungsmessung mit Dioden
Leistungsmessung mit dem Spektrumanalysator, Spektrumanalyse
Messung der Impedanz über die Meßleitung
Messung der Streuparameter, Netzwerkanalysator
Zeitbereichsanalyse, Time Domain Analysis
Literatur
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen
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72
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80
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89
95
99
106
-1-
1. Einleitung – Motivation
Die Hochfrequenztechnik (HF-Technik) ist ein Spezialgebiet der Elektrotechnik und
Elektronik. Der Hochfrequenztechnik ordnet man i.A. elektrotechnische Vorgänge bei hohen
Frequenzen zu, wobei sich im Laufe der Zeit die untere Frequenzgrenze aus dem kHz zum
MHz hin zum GHz Bereich verschoben hat.
Die HF-Technik zeichnet sich dadurch aus, daß die benutzten elektrotechnischen Größen
Spannung u und Strom i jetzt nicht mehr als Gleichsignale bzw. Schwingungen aufgefaßt
werden, sondern als Wellen.
Dadurch verändert sich die Betrachtungsweise entscheidend:
Eine Leitung, die in der klassischen Elektrotechnik zwei Bauelemente miteinander verbindet,
ein Knoten an dem mehrere Bauelemente über ihre Anschlußzuleitungen angeschlossen sind,
ein Meßkabel, daß z.B. die elektrotechnische Größe Spannung u von einem ausgewählten
Punkt einer aufgebauten Schaltung über kürzere oder längere Distanz zu einem Meßgerät
führt, wird jetzt selbst zu einem elektrotechnischen Bauelement.
Ursache dafür ist die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der auf den Leitungen laufenden
Wellen. Sollen z.B. die zwei Bauelemente Induktivität L und Kapazität C einen Resonator
bilden, kann es geschehen, daß die Anschlußleitungen zwischen den Bauelementen aus der
endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit resultierende Phasenverschiebungen der Spannungen
u und der Ströme i erzeugen, die dazu führen, daß der Resonator nicht in die gewünschte
Resonanz gelangt. Ein über einen ohmschen Widerstand R rückgekoppelter Verstärker kann
auf Grund der Anschlußleitungen zum Widerstrand R und der daraus resultierenden
Phasenverschiebung des rückgekoppelten Signals durchaus in die Mitkopplung gelangen. Ein
Meßinstrument das phasenrichtig u und i messen soll, liefert in Abhängigkeit von der Länge
der Meßzuleitung und der Frequenz zu u und i falsche Phasenaussagen. Diese Effekte sind
umso ausgeprägter, desto höher die Frequenz wird.
Eine Welle hat die spezielle Eigenschaft, reflektiert werden zu können.
Dadurch laufen auf einer Leitung i. A. immer
- von links nach rechts hin- und
- von rechts nach links rücklaufende Wellenanteile,
die in Summe die beschreibenden Spannungs- und Stromgrößen u und i liefern.
Der das Verhältnis von rück- zu hinlaufender Welle beschreibende Reflektionsparameter
(klein) p bzw. r ist relativ einfach zu messen und damit ein wichtiger Parameter zur
Beschreibung von Ausbreitungsvorgängen der Wellen auf Leitungen und in elektronischen
Schaltungen.
Es ist außerordentlich kompliziert bei sehr hohen Frequenzen die bekannten
elektrotechnischen Größen u und i zu messen. Dahingegen ist es relativ einfach die
elektrische Leistung P = u ⋅ i zu messen, so daß die Leistung P ein weiterer wichtiger
Parameter der HF-Technik ist.
Die Leistung (groß) P wird über die zentralen Streuparameter S auf eine spezielle Art mit u
und/oder i und mit dem Reflektionsparameter p bzw. r verbunden.
Damit kann zwischen den genannten vier elektrotechnischen Parametern Leistung P ,
Reflektionsparameter p bzw. r , Spannung u und Strom i je nach Aufgabe gewechselt
werden.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Einleitung - Motivation
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Der Reflektionsparameter p bzw. r wird ursächlich von Impedanzverhältnissen an
Stoßstellen der Leitungen zu anderen Leitungen, der Leitungen zu Bauelementen und der
Leitungen zu Schaltungsein- bzw. -ausgängen bestimmt.
Als weiterer wichtiger Parameter der HF-Technik ist also die Impedanz Z zu nennen, die aus
Reflektionsfaktormessungen bestimmt wird und beim Entwurf von HF-Schaltungen eine
große Rolle spielt.
HF-Schaltungen sind eine Kombination aus Leitungen und konzentrierten elektrotechnischen
Bauelementen, wie ohmsche Widerstände R , Kapazitäten C , Induktivitäten L und
elektronischen Bauelementen, wie Dioden, Transistoren, ... .
Ein Bauelement wird konzentriert genannt, wenn seine geometrischen Abmessungen
wesentlich kleiner sind als die Wellenlänge der Welle.
Im ersten Teil dieser Schrift werden die genanten Parameter
- Spannung und Strom u und i ,
- der Reflektionsfaktor p, r ,
- die Impedanz Z ,
- die Leistung P und
- die Streuparameter S
erarbeitet und zueinander in Beziehung gesetzt.
Darauf aufbauend werden passive elektronische Schaltungen entworfen, analysiert und
kombiniert. Zum Schluß werden Meßmethoden zur Bestimmung der o. g. Parameter
dargestellt.
Im zweiten Teil dieser Schrift werden aktive elektronische Grundschaltungen, wie Verstärker,
Oszillatoren und Multiplizierer dargestellt.
Das Ziel ist die Vermittlung des notwendigen Wissens, auf Basis der vorhanden HFMeßtechnik, um elektronische HF-Schaltungen entwickeln zu können.
Es ist nicht Ziel alle Tricks und Kniffe zu zeigen, die zu besten Ergebnissen führen. Es soll
der Bogen zwischen HF-technischen Verfahren mit ihrer Mathematik bis hin zum praktischen
Aufbau einfacher Schaltungen geschlagen werden. Dazu werden stellenweise
Beweisführungen bzw. Ableitungen durchgeführt, die nicht unbedingt für den Umgang mit
den daraus folgenden Ergebnissen notwendig sind, aber durchaus an anderen Stellen
Verwendung finden können.
In dieser Schrift wird nicht der volle Umfang der HF-Technik vermittelt, sondern eher
schaltungstechnische Grundlagen der HF-Technik.
Für Ausbreitungsvorgänge von Wellen in der Luft, in anderen Medien, für Abstrahlung und
Empfang von Wellen werde auf andere Bücher verwiesen, insbesondere auf Simonyi:
Theoretische Elektrotechnik [Simonyi].
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Einleitung - Motivation
-3-
2. Zweidrahtleitungen
In diesem Kapitel werden die Leitungsparameter der in der HF Technik benutzten
Zweidrahtleitung hergeleitet. Eine Zweidrahtleitung besteht aus zwei parallel zueinander
geführten metallischen Drähten. Einige Beispiele zeigt Bild 2.1.
Bild 2.1: Beispiele für Zweidrahtleitungen: Stegleitung, Koaxialleitung, Mikrostreifenleitung
Die Stegleitung wurde früher im Bereich der Rundfunktechnik verwendet. Sie hat nur noch
unwesentliche Bedeutung. Hier sind die zwei in einer Isolierung liegenden, parallel geführten
Drähte noch als solche zu erkennen.
Die Koaxialleitung wird allgemein im Bereich der Meßtechnik verwendet und heute im
Bereich der Rundfunktechnik. Der metallische Mantel dient gleichzeitig als Abschirmung
gegen äußere Störeinflüsse.
Die Mikrostreifenleitung ist im Bereich der HF-Schaltungstechnik verbreitet. Bei der
Mikrostreifenleitung wird ein metallischer Steg über einen durchgehend metallisierten Grund
geführt, der den zweiten Draht darstellt. Zwischen dem metallischem Steg und dem Grund
wird die Welle geführt. Das Substrat zwischen Steg und Grund übernimmt die Isolierung und
die Abstandshaltung beider Drähte.
Die Mikrostreifenleitung ist damit gut auf Leiterplatten installierbar. Leiterplatten sind im
Allgemeinen auch Träger elektronischer Schaltungen. Somit lassen sich
Mikrostreifenleitungen einfach mit konzentrierten elektronischen Bauelementen zu HFSchaltungen verbinden.
Die in den Bildern angegebenen geometrischen und physikalischen Größen dienen im
Weiteren zur Bestimmung der Leitungsparameter.
Daß auf Zweidrahtleitungen Wellen geführt werden können, wurde um das Jahr 1900 durch
das sogenannte Lecher-experiment gezeigt, siehe [Lecher].
Den sinngemäßen Versuchsaufbau zeigt Bild 2.2.
Ein Hochfrequenzgenerator G speist über einen Transformator Tr die angeschlossene Lecherleitung, die aus zwei sehr langen, parallel geführten Drähten besteht.
Der Abstand a zwischen den beiden Drähten ist klein.
Dargestellt ist das rechte Ende der sehr langen Leitung. Die Leitung ist dort elektrisch
geöffnet.
Nun könnte man bei diesem Versuchaufbau vermuten, daß, wegen des offenen Endes, auf der
ganzen Leitung die eingespeiste Wechselspannung anliegt. Dem ist nicht so.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
-4-
Bild 2.2: Experimenteller Nachweis einer Welle
Man schaltet ein Leuchtmittel, wie z.B. eine Glimmlampe E, zwischen beide Drähte.
Eine Glimmlampe wird benutzt, weil ihr Einfluß auf die sich einstellenden Spannungs- und
Stromverhältnisse wegen ihrer Hochohmigkeit sehr gering ist.
Es ergeben sich Orte auf der Leitung an denen die Lampe permanent hell leuchtet und andere
Orte an denen sie nicht leuchtet, was im Bild durch die Strahlenkränze um die Lampen
dargestellt wird. Die Abstände zwischen diesen Stellen sind immer gleich.
Solche Phänomene waren aber bereits in der Mechanik bekannt, z.B. bei der gut
beobachtbaren Wasserwelle, die parallel auf eine Barriere trifft. Auch dort treten an
bestimmten Stellen sogenannte Schwingungsbäuche (Wellenberge -> Lampe leuchtet) und
Schwingungsknoten (Lampe leuchtet nicht) auf. Das Phänomen wurde stehende Welle
genannt und basiert auf der Reflektion einer sich fortbewegenden Welle.
Daraus kann rückwärts gefolgert werden, daß sich auf der Lecher-leitung Wellen ausbreiten,
sich also auf allen Zweidrahtleitungen und anderen Leitungen Wellen ausbreiten können.
Das untere Teilbild 2.2 zeigt die sich einstellenden Spannungs- u(x, t) und Stromverläufe
i(x, t) auf der Lecher-leitung. Das Bild stellt für die Zeit t eine Momentaufnahme dar. Die
Schwingungsbäuche und Knoten verharren für alle Momente an den gezeigten Stellen der
x-Achse. Die Schwingungsbäuche schwellen über der Zeit nur auf und ab, während die
Knoten über der Zeit immer die gleichen Werte u = 0 bzw. i = 0 liefern.
Es kann weiterhin, unter Bezug auf die Wasserwelle, die Wellenlänge λ eingeführt werden,
die sich aus den Abständen aufeinanderfolgender der Wellenbäuche und -knoten ergibt, wobei
λ
die Abfolge von Bauch und Knoten mit stattfindet.
4
In den folgenden Abschnitten werden die Leitungsparameter herausgearbeitet.
Die Herleitungen lehnen sich stark an die Ausführungen in [Simonyi] an.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
-5-
2.1. Leitungsgleichungen
Das Phänomen der Welle auf Leitungen soll nun durch Gleichungen für den Spannungsu(x, t) und Stromverlauf i(x, t) gefaßt werden.
In die Gleichungen gehen die meß- und/oder berechenbaren Größen
- Längswiderstand R ,
1
,
- Ableitwiderstand R ab =
G ab
- Ableit(leit)wert G ab des Dielektrikums,
- die Induktivität L zwischen beiden Drähten der Leitung und
- die Kapazität C des Dielektrikums zwischen beiden Drähten
als bekannte Leitungsparameter ein.
Auf einen sehr kurzen Leitungsabschnitt Δx sollen die erste und zweite Maxwellsche
Gleichung, das Induktionsgesetz und das Durchflutungsgesetz angewendet werden.
Die Ausbreitung der Welle erfolge in x-Richtung.
Anwendung des Induktionsgesetzes, siehe Bild 2.3:
Bild 2.3: Ausgewähltes Flächenelement für die Anwendung des Induktionsgesetzes
Das Induktionsgesetz lautet
G
G
∂B
rotE = −
∂t
(2.1)
G
G
mit E - elektrische Feldstärke, B - Magnetflußdichte und t - Zeit.
G
G
Das Induktionsgesetz werde in die integrale Form umgewandelt, indem rotE und B von
Gleichung (2.1) in der im Bild 2.3 angegebenen Fläche A betrachtet werden, über die dann
integriert wird:
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
-6-
∫
A
G G
∂
rotE ⋅ dA = −
∂t
∫
G G
B ⋅ dA
A
G
G
Mit dem Satz von Stokes wird aus dem Flächenintegral von rotE das Umlaufintegral über E
geformt
G G
G G
∂ G G
(2.2)
rotE ⋅ dA = E ⋅ d l = −
B ⋅ dA ,
∂t
∫
v∫
∫
A
l
A
das einfacher berechenbar ist.
Bei dem Umlauf um die ausgewählte Fläche A wird aus der linken Seite von Gleichung (2.2)
v∫
l
somit
v∫
G G
1
1
E ⋅ d l = − u + ⋅ Δu i + (u + Δu u ) + ⋅ Δu i
2
2
(2.3)
G G
E ⋅ dl =Δu i + Δu u
(2.4)
l
Hierbei ist Δu i der durch den Strom i im Längswiderstand R der zwei Drähte
hervorgerufene Spannungsabfall über der Leitung und kann wie folgt angegeben werden:
Δu i = R '⋅ i ⋅ Δx
mit
R'=
R
Δx
(2.5)
dem auf Δx bezogenen Längswiderstand der Drähte.
Da zu Δu u keine sinnvolle Aussage gemacht werden kann, werde angenommen, daß sich
Δu u aus einer nicht näher bestimmbaren Funktion ergebe. Man kann annehmen, daß Δu u
eine Funktion des Abstands Δx = x1 − x 0 von der linken zur rechten Seite des betrachteten
Leitungsabschnittes sei, siehe Bild 2.4.
Bild 2.4: Näherung einer Kurve durch eine Sekante
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
-7Da der Leitungsabschnitt sehr kurz ist, werden keine signifikanten Veränderungen von u(x)
und i(x) über Δx erwartet. Die unbekannte Funktion u(x) kann daher durch eine
Potenzreihe, hier Taylorreihe, angenommen werden, die schnell konvergiert, Gleichung (2.6).
Æ u(x) = u(x 0 ) +
∂u(x 0 )
1 ∂ 2 u(x 0 )
⋅ (x − x 0 ) +
⋅ (x − x 0 )2 + ...
∂x 0
2! ∂x 02
(2.6)
Weil wiederum Δx sehr klein ist, werde diese Potenzreihe nach dem zweiten Glied
abgebrochen. D.h. der Funktionsverlauf von u(x) um die Entwicklungsstelle x 0 sei mit
hinreichender Genauigkeit durch den Funktionswert an dieser Stelle und seinen Anstieg
beschrieben, siehe u N (x1 ) in Bild 2.4, Gleichung (2.7):
Æ Δu u = u(x1 ) − u(x 0 ) = u(x 0 ) +
∂u(x 0 )
∂u
⋅ (x1 − x 0 ) − u(x 0 ) =
⋅ Δx
∂x 0
∂x
(2.7)
Auf der rechten Seite von Gleichung (2.7) wird die vereinfachende Schreibweise der
Mathematik benutzt.
Die rechte Seite der Gleichung (2.2) drückt die Selbstinduktion in dem betrachteten
Leitungsstück aus. Wegen Δx << λ sehr kurz und Abstand a << λ zwischen beiden
Drähten der Leitung, kann angenommen werden, daß die Gegeninduktion benachbarter
Leitungsstücke vernachlässigbar ist.
Somit läßt sich die rechte Seite von (2.2) zu
−
∂
∂t
∫
A
G G
∂Φ
∂i
B ⋅ dA = −
= − L '⋅ ⋅ Δx
∂t
∂t
mit L ' =
(2.8)
L
bezogene Induktivität
Δx
schreiben.
G G
Der magnetische Fluß Φ = B ⋅ dA und der Strom i hängen über
∫
A
∂Φ
∂i
, u ind = L ⋅ zusammen.
∂t
∂t
u ind ist die in der Fläche A induzierte Spannung. Drückt man Gleichung (2.2.) durch die in
(2.4), (2.5), (2.7) und (2.8) gefundenen Zusammenhänge aus, erhält man
u ind = −
−
∂u
∂i
= R '⋅ i + L '⋅
∂x
∂t
Maschengleichung
(2.9)
eine Differentialgleichung in der die beiden gesuchten Größen u und i enthalten sind.
Um daraus u oder i zu bestimmen, benötigt man eine zweite Gleichung, um beide dann
nach u und i aufzulösen.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
-8Anwendung des Durchflutungsgesetzes, siehe Bild 2.5:
Das Durchflutungsgesetz lautet
G
G G ∂D
rotH = J +
∂t
(2.10)
welches auf beiden Seiten über die im Bild 2.5 angegeben Fläche A integriert wird. Die
Fläche A liegt senkrecht zur Mitte einer Verbindungslinie zwischen beiden Leitungen.
Bild 2.5: Ausgewähltes Flächenelement für die Bild 2.6: Leitungselement als Stromknoten
Anwendung des Durchflutungsgesetzes
Anschließend wird diese Gleichung wieder über den Satz von Stokes, siehe Gleichungen (2.1)
und (2.2), in eine analog zu (2.2) lösende Integralgleichung überführt.
G
G G
⎛ G ∂D ⎞ G
H ⋅dl = ⎜ J +
⎟ ⋅ dA
dt ⎠
⎝
l
A
v∫
∫
(2.11)
G
H ist hierbei die magnetische Feldstärke, die durch den durch die Leitung fließenden Strom i
hervorgerufen wird.
G G
Man sieht, daß das Umlaufintegral H ⋅ dl in der jetzt senkrecht zwischen beiden Drähten
v∫
l
liegenden Fläche A zwei Ströme umfaßt, die durch die Spannung u zwischen diesen Drähten
hervorgerufen wird.
Ein kapazitiver Strom ΔiC wird durch den Verschiebungsfluß mit der
G
Verschiebungsflußdichte D hervorgerufen.
Der durch ohmsche Anteile im Dielektrikum hervorgerufene Ableitstrom Strom ΔiG ab ist mit
G
der Stromdichte J verbunden.
Damit läßt sich das Flächenelement als Stromknoten betrachten und aus Bild 2.5 das Bild 2.6
erzeugen.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
-9Die Knotengleichung lautet:
− i + Δi u ( + i + Δ i i ) = Δ i u + Δ i i = 0
(2.12)
Der gesamte Ableitstrom ist
Δi u = ΔiC + ΔiG ab
(2.13)
mit
ΔiC = C ⋅
(2.14)
und
ΔiG ab
(2.15)
∂u
∂u
= C '⋅ ⋅ Δx
∂t
∂t
u
=
= G ab ⋅ u = G 'ab ⋅ u ⋅ Δx
R ab
G
C
und G 'ab = ab sind wieder die auf die Länge Δx des betrachteten Leitungsstückes
Δx
Δx
bezogenen Größen der Kapazität C und des ohmschen Ableitwertes G ab .
Mit Δii wird analog zu Δu u , Gleichungen (2.6) und (2.7), verfahren, womit
∂i
Δii =
⋅ Δx
(2.16)
∂x
wird. Setzt man Gleichungen (2.14), (2.15) und (2.16) in die Knotengleichung (2.12) ein
erhält man
C' =
−
∂i
∂u
= G 'ab ⋅ u + C '⋅
∂x
∂t
(2.17)
Knotengleichung
eine zweite Differentialgleichung, die die gesuchten Größen u und i enthält.
Die Maschengleichung (2.9) und die Knotengleichung (2.17) können jetzt nach den gesuchten
Größen u und i aufgelöst werden, man spricht von Trennung der Variablen.
Dazu wird wechselweise eine Gleichung nach ∂x differenziert und in die andere Gleichung
eingesetzt. Am Beispiel der Auflösung nach u :
Ableitung der Maschengleichung (2.9) −
∂ 2u
∂x
2
= R'
∂i
∂ ⎛ ∂i ⎞
+ L' ⎜ ⎟ ,
∂x
∂t ⎝ ∂x ⎠
Einsetzen der Knotengleichung (2.17)
−
∂ 2u
∂u ⎞
∂⎛
∂u ⎞
⎛
= − R ' ⎜ G 'ab ⋅ u + C '⋅ ⎟ − L ' ⎜ G 'ab ⋅ u + C '⋅ ⎟
∂t ⎠
∂t ⎝
∂t ⎠
⎝
∂x
2
womit
∂ 2u
∂x
2
= L 'C '
∂ 2u
∂t
2
(
+ R 'C '+ L 'G 'ab
) ∂∂ut + R 'G'ab ⋅ u
und analog
∂ 2i
∂x 2
entstehen.
(2.18)
Telegraphengleichungen
= L 'C '
∂ 2i
∂t 2
(
+ R 'C '+ L 'G 'ab
) ∂∂ti + R 'G'ab ⋅ i
(2.19)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
- 10 Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, bei denen die Variable jeweils zweimal
nach dem Ort und nach der Zeit abgeleitet wird, nennt man Wellengleichungen.
Diese speziellen Wellengleichungen (2.18) und (2.19) werden Telegraphengleichungen
genannt.
Aus den Wellengleichungen (2.18) und (2.19) lassen sich u und i bestimmen.
Man bedient sich dazu der Lösung der Wellengleichung der Ebenen Welle, modifiziert sie
und probiert, ob damit eine sinnvolle Lösung möglich wird:
Für die Ebene Welle, siehe [Simonyi], wurde als die sinnvolle Lösung
u(x, t) = U 0e j(ωt −βx) und i(x, t) = I0e j(ωt −βx)
mit U 0 , I0 , den Beträgen bzw. Startwerten von Spannung und Strom,
ω Kreisfrequenz, ω = 2πf , f Frequenz der Welle und
β der Phasenkonstanten der Welle,
gefunden. u und i sind hierbei komplex sinusförmig.
(2.20)
Es wäre also zweckmäßig, wenn sich eine sinusförmig im Raum ausbreitende Ebene Welle
mit ähnlichen Gleichungen in Leitungen ausbreiten würde.
Dazu werden die Gleichungen (2.20) zu
u(x, t) = U 0 e jωt −γx
und
i(x, t) = I0e jωt −γx
(2.21)
den Wellenfunktionen umgeformt und probiert, ob diese die Wellengleichungen (2.18) und
(2.19) erfüllen.
Es ergeben sich die Ableitungen von u zu
∂ 2u
∂u
∂u
= jω⋅ u ;
= −ω2 ⋅ u ;
= −γ ⋅ u
2
∂t
∂x
∂t
somit nach Einsetzen in Gleichung (2.18)
(
und
∂ 2u
∂x
2
= γ 2u
)
'
γ 2 ⋅ u = −ω2 L 'C '⋅ u + jω R 'C '+ L 'G ab
⋅ u + R 'G 'ab ⋅ u .
Für u ≠ 0 erfüllen alle
γ=±
( R '+ jωL ') ⋅ ( G 'ab + jωC ')
(2.22)
die Wellengleichung (2.18) und analog für i ≠ 0 auch (2.19).
Die Wellenfunktionen (2.21) können also zur Beschreibung der Ausbreitung von Spannung
u(x, t) und Strom i(x, t) entlang der Leitung benutzt werden.
2.2. Allgemeine Leitungsparameter
Es wurden bereits die als bekannt vorausgesetzten Leitungsparameter
Längswiderstand R , Ableitwert G ab des Dielektrikums, Induktivität L und Kapazität C
zwischen den beiden Drähten der Leitung benutzt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
- 11 Sie wurden auf die Länge Δx bezogen und dann als gestrichene Größen R ' , G 'ab , L ' und
C ' dargestellt. Es folgen darauf basierende weitere Parameter.
a) Ausbreitungsparameter
Als erster gefundener Leitungsparameter werde die positive Lösung von (2.22) benutzt:
γ=
( R '+ jωL ') ⋅ ( G 'ab + jωC ')
Fortpflanzungsfaktor
(2.23)
Er wird Fortpflanzungsfaktor genannt, da er angibt, wie sich die Welle entlang des Weges x
in Abhängigkeit von den Leitungsparametern R ' , G 'ab , L ' und C ' ausbreitet.
Da γ eine komplexe Zahl
γ = α + jβ
(2.24)
ist, folgt daraus, z.B. für die Wellenfunktion (2.21) von u(x, t) :
u(x, t) = U 0e jωt −γx = U 0e jωt − (α+ jβ)x = U 0 ⋅ e−αx ⋅ e j(ωt −β x) .
(2.25)
Damit ergeben sich die Bedeutungen α und β zu:
- α als Dämpfungsfaktor, da e−αx eine mit wachsendem Weg x abklingende Funktion ist.
- β als Phasenkonstante, da e j(ωt −βx) der gleiche komplexe Ausdruck ist, der in den
Wellenfunktionen der Ebenen Welle, Gleichung (2.20) steht.
Es werde die Bedeutung der Phasenkonstanten β in den Wellenfunktionen der Leitung nicht
an dieser Stelle hergeleitet, sondern von der Ebenen Welle übernommen, womit
β=
ω 2π
=
v λ
Phasenkonstante
(2.26)
für alle weiteren Ausführungen wird. Hierbei taucht zusätzlich zur bekannten Kreisfrequenz
ω = 2πf und der Wellenlänge λ die Phasengeschwindigkeit bzw.
Ausbreitungsgeschwindigkeit v der Welle auf der Leitung auf.
Damit werden die Vorstellungen zur Ausbreitung einer Welle auf Leitungen erfüllt. Die Welle
kann über α gedämpft werden und verhält sich mit β im Drehzeiger e j(ωt −βx) genauso, wie
die Ebene Welle und alle anderen in der Elektrotechnik bekannten Wellentypen.
Durch einen Koeffizientenvergleich in der komplexen Gleichung
γ = α + jβ =
( R '+ jωL ') ⋅ ( G 'ab + jωC ')
,
(2.27)
die in zwei Gleichungen mit dem Realanteil und dem Imaginäranteil aufgespaltet wird, lassen
sich der Dämpfungsfaktor zu
α=
(
)
1
1
R 'G 'ab − ω2 L 'C ' +
2
2
( R '2 + ω2L '2 )( G 'ab2 + ω2C '2 )
(2.28)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
- 12 -
und die Phasenkonstante zu
β=
(
)
1 2
1
ω L 'C '− R 'G 'ab +
2
2
( R '2 + ω2L '2 )( G'ab2 + ω2C '2 )
(2.29)
berechnen.
b) Wellenwiderstand
An jeder Stelle der Leitung kann man das Verhältnis
ZL (x, t) =
u(x, t)
i(x, t)
bilden, das allgemein Wellenwiderstand genannt wird. Da es komplex ist, stellt es eine
Impedanz dar. Der Index L steht für Leitung, da im Weiteren noch andere Impedanzen
eingeführt werden.
Dieses Verhältnis läßt sich durch Einsetzen der Wellenfunktionen (2.21) in die
Maschengleichung (2.9) oder Knotengleichung (2.17), z.B. in (2.9) zu
γ ⋅ U 0e jωt −γx = R '⋅ I0e jωt −γx + jωL '⋅ I0e jωt −γx
γ ⋅ U 0 = ( R '+ jωL ') ⋅ I0
ZL =
U 0 R '+ jωL '
=
I0
γ
(2.30)
ermitteln. Nach Einsetzen von Gleichung (2.23) wird
ZL =
R '+ jωL '
G 'ab + jωC '
der Wellenwiderstand.
(2.31)
Man erkennt, daß der Wellenwiderstand einer Leitung zu jeder Zeit und an jedem beliebigen
Ort gleich ist.
2.3. Spezielle Leitungsparameter
a) Parameter verlustfreier, idealer Leitungen
Jeder Hersteller ist bemüht, Leitungen herzustellen, die möglichst keine Dämpfung aufweisen.
Durch Dämpfungen entstehen Leistungsverluste. Da in der Hochfrequenztechnik häufig nur
sehr geringe Leistungen empfangen, fortgeleitet oder verteilt werden, führen
Leistungsverluste schnell zum Funktionsverlust.
Bei verlustfreien Leitungen sind der Längswiderstand R ' und der Ableitwert G 'ab Null, so
daß damit
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
- 13 -
- in (2.28) der Verlustfaktor α = 0,
- in (2.29) die Phasenkonstante β = ω L 'C ' ,
(2.32)
ω
1
=
und
β
L 'C '
2π
2π
- mit (2.26) und (2.32) die Wellenlänge λ =
=
β ω L 'C '
- mit (2.26) die Phasengeschwindigkeit v =
- der Wellenwiderstand in (2.31) ZL =
(2.33)
(2.33.a)
L'
C'
(2.34)
wird.
b) Kapazität, Induktivität und Wellenwiderstand ausgewählter Leitungen
Für die Stegleitung und Koaxialleitung, Bild 2.1, lassen sich aus der Geometrie, siehe
[Simonyi], mit den in den Teilbildern dargestellten Größen folgende Induktivitäten und
Kapazitäten berechnen:
μ ⎛d⎞
πε
- Stegleitung:
;
(2.35)
L ' ≈ ln ⎜ ⎟
C' ≈
π ⎝ r0 ⎠
⎛d⎞
ln ⎜ ⎟
⎝ r0 ⎠
- Koaxialleitung:
C' =
2πε
;
⎛ ra ⎞
ln ⎜ ⎟
⎝ ri ⎠
L' =
μ ⎛ ra ⎞
ln ⎜ ⎟
2π ⎝ ri ⎠
(2.36)
Bei der Stegleitung, Gleichung (2.35) stehen Rundungszeichen in den Gleichungen für L '
und C ' . Wären r0 << d und der Raum um die Drähte komplett mit dem gleichen
Dielektrikum ausgefüllt, wären die Gleichungen mit einem Gleichheitszeichen zu versehen.
Da das technische Gebilde Stegleitung im Allgemeinen ein flaches Bandkabel, entsprechend
Bild 2.1, ist, bei dem r0 < d und sich das Feld über das Dielektrikum der Isolierung hinweg in
den umgebenden Raum ausdehnt, ergibt sich die Rundung.
ε und μ sind Materialkonstanten des Dielektrikums.
Die Dielektrizitätszahl ε = ε0 ⋅ ε r beinhaltet die absolute Dielektrizitätskonstante des
As
Vakuums bzw. Luft mit ε0 = 8,86 ⋅10−12
und die relative ε r , die bei herkömmlichen
Vm
Leitungen zwischen ca. 2...5 liegt.
Die Permeabilität μ = μ0 ⋅μ r beinhaltet die absolute Permeabilitätskonstante des Vakuums
Vs
bzw. Luft mit μ0 = 1, 256 ⋅10−6
und die relative μ r , die bei den in herkömmlichen
Am
Leitungen verwendeten Isolierungen immer 1 beträgt, um keine Verluste zu erzeugen.
Sind die Leitungen verlustfrei, können mit den Gleichungen (2.34), (2.35) und (2.36) für den
Wellenwiderstand der
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
- 14 -
- Stegleitung
ZL ≈
1 μ ⎛d⎞
ln ⎜ ⎟ für α = 0
π ε ⎝ r0 ⎠
(2.37)
- Koaxialleitung
ZL =
1 μ ⎛ ra ⎞
ln ⎜ ⎟ für α = 0
2π ε ⎝ ri ⎠
(2.38)
angegeben werden.
Für die angegebene verlustfreie Stegleitung und Koaxialleitung, α = 0, läßt sich zur
Phasengeschwindigkeit v ein weiterer wichtiger Zusammenhang herstellen. Setzt man in die
Gleichung zur Phasengeschwindigkeit (2.33) die aus den geometrischen Größen abgeleiteten
Kapazitäten und Induktivitäten (2.35), (2.36) ein, erhält man
v=
1
με
für α = 0 ,
(2.39)
was der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ebenen Welle im gleichen Material entspricht.
Ist das Dielektrikum zwischen den Drähten der Leitung Luft, wird die Phasengeschwindigkeit
m
v = 1/(μ0ε0 ) = c = 300 ⋅106 ⋅
Lichtgeschwindigkeit.
s
c) Felder in Zweidrahtleitungen
In Bild 2.7 ist das prinzipielle Aussehen des elektromagnetischen Wellenfeldes für
Stegleitung und Koaxialleitung über der Stirnseite der Leitungen angegeben.
G
Die elektrische Feldkomponente, ausgedrückt über das Symbol E für elektrische Feldstärke,
ist mit der verwendeten Spannung u verkoppelt. Die magnetische Feldkomponente,
G
ausgedrückt mit dem Symbol H für magnetische Feldstärke, ist mit dem Strom i verkoppelt.
Bei den dargestellten Feldern handelt es sich um die erste ausbreitungsfähige TEM
(transversal-elektro-magnetische) Welle.
TEM heißt, daß die elektrischen und die magnetischen Feldkomponenten senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung, hier x -Richtung, stehen.
Das Feldbild über der Stirnseite der Leitungen hat das gleiche Aussehen, wie das bei
gleichstromtechnischer Beaufschlagung der Leitungen.
Unter den Wellenfeldbildern der Stirnseiten ist in Bild 2.7 das sinngemäße Feldbild für die
G
Feldstärke E in einer Koaxialleitung für eine Momentaufnahme, t = fest, über dem
Ausbreitungsweg x dargestellt. Man erkennt das sinusförmige Auf- und Abschwellen der
G
Feldstärke E über dem Weg.
Die TEM-Welle beginnt ab der Frequenz Null und ist allein ausbreitungsfähig bis zu einer
Grenzfrequenz f G , ab der weitere, sogenannte Hohlleiterwellen einsetzen.
Das Auftreten weiterer Wellentypen ist insofern ungünstig, da damit der Energietransport
empfindlich gestört werden kann. Die Frequenzen für das Auftreten dieser Hohlleiterwellen
lassen sich für Koaxialleitungen mit den in z.B. [Simonyi] dargestellten Methoden zur
Berechnung von Wellen in kreiszylindrische Hohlleitern vornehmen, indem dort die
Randbedingungen zur Koaxialleitung verändert werden.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
- 15 -
Bild 2.7: Wellenfeldbilder in Steg- und Koaxialleitung
Hier werde nur eine aus [Kummer] entnommene Angabe zu Koaxialleitungen dargestellt, mit
der man abschätzen kann, ab welcher Frequenz mit dem Einsetzen dieser zusätzlichen
Wellen gerechnet werden kann.
fG =
1
=
c
λG
λG μ ε
0 0
λ G,H11 ≈ π(ri + ra )
fG ≈
c
π(ri + ra )
(2.39)
(2.40)
(2.41)
r
Diese Gleichungen gelten nach [Kummer] für ein Verhältnis i > 0, 2 .
ra
Man beachte weiterhin, daß die elektrische Feldstärke bestimmte Werte nicht überschreiten
darf, da es sonst zu Funkenentladungen im Feld kommen kann. Der Wert hängt vom
Dielektrikum, von der Form der Drähte und von der Zeitdauer der Beanspruchung ab. In
[Kummer] wird ein Richtwert von ca. 30 kV/cm angegeben.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Zweidrahtleitungen
- 16 -
3. Hochfrequenzparameter
In diesem Kapitel werden die Vorgänge in mathematische Gleichungen gefaßt, die sich auf
Leitungen mit einem irgendwie abgeschlossenen Ende, wie z.B. dem Leerlauf beim Lecherexperiment, Kapitel 2, ergeben.
Hieraus ergeben sich die HF-Parameter - Reflektionsfaktor, Eingangsimpedanz und
Streuparameter.
Da die Parameter immer wieder bei HF-technischen Betrachtungen benötigt werden, wird
zusätzlich das grafische Hilfsmittel Smith-Diagramm eingeführt, mit dem die beiden
Parameter Reflektionsfaktor und Eingangsimpedanz miteinander verknüpft werden können.
Die hier erfolgenden Betrachtungen gelten nicht nur für Zweidrahtleitungen, sondern auch für
Hohl- und dielektrische Wellenleiter, da die im vorigen Kapitel 2 gefundenen Grundgrößen
Verlustfaktor, Phasenkonstante, Phasengeschwindigkeit und Wellenwiderstand auch dort
vorliegen.
3.1. Reflektionsfaktor
Das Lecher-experiment zeigte, daß eine von links- nach rechts hinlaufende Welle am offenen
Ende dieser Leitung zu einer von rechts- nach links rücklaufenden Welle reflektiert wird. Die
Höhe der rücklaufenden Welle wird durch den Reflektionsparameter p ausgedrückt. Er gibt
das Spannungsverhältnis von rücklaufender zu hinlaufender Welle an. Für den
Reflektionsfaktor sind in der Literatur z.B. [Zinke, Peschl, Meinke, ...] auch andere
Schreibweisen, wie z.B. r und Γ gebräuchlich. Hier werde das in [Simonyi] eingeführte
kleine p verwendet.
Der Reflektionsfaktor kann, siehe auch [Simonyi], wie folgt hergeleitet werden:
Die Leitung mit dem Wellenwiderstand ZL werde mit einer Abschlußimpedanz ZV
abgeschlossen, siehe Bild 3.1. Links wird Energie eingespeist, ausgedrückt durch das
Leistungssymbol (groß) P .
ZV kann eine in der Geometrie andere Leitung oder ein konzentriertes Bauelement sein.
Das konzentrierte Bauelement hat geometrische Abmessungen, die wesentlich geringer sind,
als die Wellenlänge λ der auf der Leitung geführten Welle. Die Welle trifft dann auf einen
geometrischen Punkt, in dem die elektrotechnischen Zusammenhänge zwischen der Spannung
u und dem Strom i über das angeschlossene konzentrierte Bauelement, z.B. dem ohmschen
U
U
U
1
Widerstand, der Induktivität und/oder der Kapazität zu
=R,
= jω L ,
=
,
I
I
I jω C
gegeben sind.
Der Index V der Abschlußimpedanz steht für Verbraucher, da die über die Leitung
transportierte Energie in ZV verwertet wird.
Es wird angenommen, der Nachweis wurde bereits durch das Lecher-experiment geführt, daß
die hinlaufende Welle an ZV teilweise oder ganz reflektiert wird. Nach links sei die Leitung
unbegrenzt, um nicht Mehrfachreflektionen zu erzeugen und berücksichtigen zu müssen.
Jede Welle bestehe also aus einer hinlaufenden - u + (x, t) , i + (x, t) und rücklaufenden
Teilwelle u − (x, t) , i − (x, t) , mit den beschreibenden Größen Spannung und Strom.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 17 Die betrachtete Leitung habe weiterhin die Leitungsparameter γ = α + jβ , die unabhängig
von der Ausbreitungsrichtung der Welle sind.
Bild 3.1: Leitung mit Abschlußimpedanz und Strom/Spannungsverläufen für
verschiedene Abschlüsse
Es ergibt sich an jeder Stelle der Leitung vor ZV
u(x, t) = u + (x, t) + u − (x, t)
(3.1)
i(x, t) = i + (x, t) + i − (x, t)
(3.2)
und
mit den aus Kapitel 2, Gleichungen (2.21), bekannten Wellenfunktionen
u + (x, t) = U 0+ e jωt −γ⋅x
Æ
u − (x, t) = U 0− e jωt +γ⋅x
(3.3)
i + (x, t) = I0+ e jωt −γ⋅x
Æ
i − (x, t) = I0− e jωt +γ⋅ x .
(3.4)
und
Die Ausbreitung in negative x-Richtung bewirkt für die rücklaufenden Teilkomponenten die
Vertauschung des Vorzeichens vor γ ⋅ x in den Exponenten der Gleichungen (3.3) und (3.4).
Rechts an der Anschlußstelle A (Betrachtungsstelle), x = 0, von ZL an ZV ergibt sich wegen
e±γ⋅0 = 1
ZV =
u(x = 0) U 0+ + U 0−
=
.
i(x = 0)
I0+ + I0−
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
(3.5)
- 18 -
Die Ströme I0+ und I0− sollen durch die Spannung U und den Wellenwiderstand ZL links an
der Anschlußstelle A ersetzt werden. Dazu werden die Wellenfunktionen (3.3) und (3.4) für
hin- und rücklaufende Welle in die Maschengleichung (2.9) bzw. die Knotengleichung (2.17)
des letzten Kapitels 2 eingesetzt und der Wellenwiderstand entsprechend Abschnitt 2.2.b)
gebildet.
ZL =
Man erhält
U+
(3.6)
I+
für die hinlaufende und
ZL = −
U−
(3.7)
I−
für die rücklaufende Welle. D. h. der Wellenwiderstand ZL hat für die hin- und rücklaufende
Welle ein unterschiedliches Vorzeichen.
Der Reflektionsfaktor ist nach der eingangs getroffenen Definition das Verhältnis
p=
U 0−
U 0+
.
Definition Reflektionsfaktor
(3.8)
Man kann den Reflektionsfaktor jetzt auch durch die Impedanzverhältnisse am Ende der
Leitung ausdrücken, wenn man Gleichung (3.8) zusammen mit (3.6) und (3.7) in (3.5)
einsetzt, womit sich
Z − ZL
p= V
Reflektionsfaktor
(3.9)
ZV + ZL
aus den Impedanzen ZV des Abschlusses und des Wellenwiderstandes ZL der Leitung
ergibt.
Für die ab hier sogenannten Leitungsgleichungen folgen damit aus (3.1) und (3.2)
u(x, t) = U 0+ ⎡e jωt −γ⋅x + p ⋅ e jωt +γ⋅x ⎤
⎣
⎦
(3.10)
Leitungsgleichungen
i(x, t) =
U 0+ ⎡ jωt −γ⋅x
− p ⋅ e jωt +γ⋅ x ⎤
e
⎣
⎦
ZL
.
(3.11)
Im Weiteren sollen die Verläufe von u(x) und i(x) als Momentaufnahme für verschiedene
Spezialfälle mit verlustfreien Leitungen, α = 0 , dargestellt werden.
α = 0 ist der in der HF-Technik gewünschte, herzustellende und gebräuchliche Fall:
Die Leitungsgleichungen lauten für α = 0
2π ⎞
⎛
⎡ j⎛ ωt − 2π x ⎞
j⎜ ωt + x ⎟ ⎤
⎜
⎟
λ ⎠ + p⋅e ⎝
λ ⎠⎥
u(x, t) = U 0+ ⎡e j(ωt −β x) + p ⋅ e j(ωt +βx) ⎤ = U 0+ ⎢⎢e ⎝
⎥
⎣
⎦
⎢⎣
⎥⎦
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
(3.12)
- 19 2π
2π ⎞
⎛
+ ⎡ j⎛⎜ ωt − x ⎞⎟
j⎜ ωt + x ⎟ ⎤
U 0+ ⎡ j(ωt − ßx)
U
λ ⎠ − p⋅e ⎝
λ ⎠ ⎥ (3.13)
i(x, t) =
e
− p ⋅ e j(ωt + ßx) ⎤ = 0 ⎢⎢e ⎝
⎥
⎦ ZL
ZL ⎣
⎢⎣
⎥⎦
Jetzt werden verschiedene Abschlüsse der Leitung dargestellt:
- Für den Leerlauf ZV → ∞ ergibt sich mit (3.9) der Reflektionsfaktor p = 1,
womit die Leitungsgleichungen (3.12) und (3.13) zu
2π
⎡ − j 2π x
j x⎤
⎢e λ + e λ ⎥ = U + ⋅ e jωt ⋅ 2 ⋅ cos ⎛ 2π x ⎞
0
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝ λ ⎠
⎣
⎦
⎛ 2 π ⎞ jωt
u(x, t) = 2 ⋅ U 0+ ⋅ cos ⎜
x ⎟⋅e
⎝ λ ⎠
u(x, t) = U 0+ ⋅ e jωt
(3.14)
und
π⎞
⎛
U+
⎛ 2π ⎞ j⎜⎝ ωt − 2 ⎟⎠
i(x, t) = 2 ⋅ 0 ⋅ sin ⎜
x⎟⋅e
ZL
⎝ λ ⎠
(3.15)
werden.
Diese beiden Gleichungen lassen sich wie folgt interpretieren:
-
-
-
Es entsteht eine stehende Welle. Der Ausdruck
2π
x
λ
steht nicht mehr im Exponenten
des Exponentialausdrucks (Drehzeiger), sondern in Sinus- und Kosinusfunktionen vor
λ
3
dem Drehzeiger. An bestimmten Stellen x = 0, − , −λ, − λ,... hat die Sinusfunktion
2
2
immer den Wert Null, einen Schwingungsknoten. An bestimmten anderen Stellen
λ 3
5
x = − , − λ, − λ,... hat sie immer ein Maximum bzw. Minimum, die sogenannten
4 4
4
Schwingungsbäuche. Für die Kosinusfunktion vertauschen sich die Stellen.
Diese Aussagen sind kennzeichnend für eine stehende Welle, die Schwingung.
Spannung u(x, t) und Strom i(x, t) sind zueinander um 90° phasenverschoben,
π
gekennzeichnet durch den Ausdruck , der die beiden Drehzeiger unterscheidet.
2
D.h. immer wenn die Spannung an einer Stelle der Leitung maximal ist, ist der Strom
Null und umgekehrt.
Die Amplitude der stehenden Welle ist doppelt so groß, wie die der hinlaufenden
Welle, gekennzeichnet durch den Faktor 2.
Die Strom- und Spannungsverläufe vor dem leerlaufenden Ende der Leitung sind als Teilbild
mittig in Bild 3.1 dargestellt. Man vergleiche mit Bild 2.2 zum Lecher-experiment.
- Für eine kurgeschlossene Leitung mit ZV = 0 wird p = -1
womit sich aus den Leitungsgleichungen
π⎞
⎛
⎛ 2π ⎞ j⎜⎝ ωt − 2 ⎟⎠
+
u(x, t) = 2 ⋅ U 0 ⋅ sin ⎜
x ⎟⋅e
⎝ λ
⎠
und
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
(3.16)
- 20 U+
⎛ 2 π ⎞ jωt
i(x, t) = 2 ⋅ 0 ⋅ cos ⎜
x⎟⋅e
ZL
⎝ λ ⎠
(3.17)
ergibt.
Es gelten die Aussagen zum Leerlauf bei Vertauschung von u mit i . Auch hier sind die
Strom- und Spannungsverhältnisse vor dem kurzgeschlossenen Leitungsende im unteren
Teilbild von Bild 3.1 dargestellt.
- Für eine, mit einer beliebigen Abschlußimpedanz ZV abgeschlossene Leitung lassen sich
die Leitungsgleichungen nicht so günstig wie bei Leerlauf und Kurzschluß
zusammenfassen, so daß keine Gleichungen angegeben werden sollen. Es werde auf
Abschnitt 6.2, Meßleitung, verwiesen, wo zumindest der Betrag gebildet wird.
3.2. Eingangsimpedanz einer abgeschlossenen Leitung
Hier wird die Frage nach der Eingangsimpedanz ZE entlang einer Leitung gestellt, siehe auch
[Simonyi, Vielhauer], die mit einer Abschlußimpedanz ZV abgeschlossen wird. Es ist in Bild
u(x)
3.1 bei Division von
zu erkennen, daß die Impedanz an jeder Stelle der Leitung anders
i(x)
ist. Dieses Phänomen man nutzbringend verwenden, z.B. bei der Anpassung in Kapitel 4.
In Bild 3.2 ist das zu berechnende Problem dargestellt.
Bild 3.2: Eingangsimpedanz einer Leitung
Es gilt, wie in Abschnitt 3.1, daß die Leitung nach links unbegrenzt sei und damit keine
Mehrfachreflektionen auftreten und es werden wieder die Leitungsgleichungen (3.10) und
(3.11) zugrundegelegt.
Für die Eingangsimpedanz ZE an der im Bild vereinbarten neuen Stelle A läßt sich damit
schreiben:
+ ⎡ jωt −γ⋅ x
+ p ⋅ e jωt +γ⋅ x ⎤
u(x, t) U 0 ⎣e
⎦
ZE =
=
(3.18)
+
i(x, t) U 0 jωt −γ⋅ x
⎡e
− p ⋅ e jωt +γ⋅x ⎤
⎦
ZL ⎣
In dieser Gleichung wird der Reflektionsfaktor p durch Gleichung (3.9) ersetzt, womit
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 21 ⎡ jωt −γ⋅ x ⎛ ZV − ZL ⎞ jωt +γ⋅ x ⎤
+⎜
⎢e
⎥
⎟⋅e
⎝ ZV + ZL ⎠
⎣
⎦ ⋅Z
ZE =
L
⎡ jωt −γ⋅x ⎛ ZV − ZL ⎞ jωt +γ⋅x ⎤
−⎜
⎢e
⎥
⎟⋅e
Z
Z
+
V
L
⎝
⎠
⎣
⎦
(3.19)
und schließlich an der betrachteten Stelle A mit x = −l ( l -Länge, Abstand zu Null)
(3.20)
Z ⋅ cosh ( γ ⋅ l ) + ZL ⋅ sinh ( γ ⋅ l )
Eingangsimpedanz einer Leitung
ZE = V
ZV
cosh ( γ ⋅ l ) +
sinh ( γ ⋅ l )
ZL
wird. Man spricht hierbei von einer Impedanztransformation über eine Leitung, d.h. der
Transformation einer Impedanz ZV in eine andere Impedanz ZE über eine Leitung mit der
Länge l und dem Wellenwiderstand ZL .
Für verlustfreie Leitungen mit α = 0 wird aus (3.20)
(3.21)
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
ZV ⋅ cos ⎜ l ⎟ + j ⋅ ZL ⋅ sin ⎜ l ⎟
Z ⋅ cos βl + j ⋅ ZL ⋅ sin β l
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠ , α = 0.
ZE = V
=
Z
Z
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
cos β l + j ⋅ V sin β l
cos ⎜ l ⎟ + j ⋅ V sin ⎜ l ⎟
ZL
ZL
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
Da man das Leitungsstück mit der Länge l und dem Abschlußimpedanz ZV als neues
Bauelement ansehen kann, ergibt sich an der Betrachtungsstelle A ein neuer
Reflektionsfaktor. Er wird in Anlehnung an ZE mit p E bezeichnet und errechnet sich zu
Z − ZL
pE = E
ZE + ZL
(3.22)
woraus nach Einsetzen von (3.21), α = 0 ,
2π
2π
− j⋅2⋅ l
⎛ Z − ZL ⎞ − j⋅2⋅ λ l
λ
= p⋅e
pE = ⎜ V
⎟⋅e
+
Z
Z
L⎠
⎝ V
(3.23)
wird.
Während Gleichung (3.21) noch recht unübersichtlich für Interpretationen ist, kann Gleichung
(3.23) wie folgt interpretiert werden:
Der Reflektionsfaktor p am Abschluß x = 0 einer verlustfreien Leitung, α = 0 , wird durch
die Leitung mit der Länge l in A, der Stelle x = −l , zu einem neuen Reflektionsfaktor
2π
p E verändert, dessen Betrag gleich groß ist, der aber in der Phase um −2 ⋅ l im
λ
Uhrzeigersinn gedreht ist.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 22 Da die Berechnung von ZE über (3.20) oder (3.21) recht umständlich ist und ZE über (3.22)
mit p E zusammenhängt ist ein grafisches Mittel entwickelt worden, mit dem diese
Gleichungen berechnet und die Zusammenhänge schnell hergestellt werden können, das
Smith-Diagramm.
3.3. Smith-Diagramm
Das Smith-Diagramm stellt die Beziehungen
t=
S −1
S +1
und
t = e 2⋅ W
(3.24)
mit Z und W als komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar.
Diese Beziehungen tauchen in der HF-Technik recht häufig auf, siehe Gleichungen (3.9),
(3.22) und (3.23). Die t der beiden Gleichungen (3.24) werden in der Gaußschen
Zahlenebene mit unterschiedlichen Festlegungen für die komplexen Zahlen S und W
ausgerechnet und als Graphen einerseits für definierte reelle und imaginäre Anteile und
andererseits für verschiedene Beträge und Winkel dargestellt, siehe Bild 3.3.
Bild 3.3: Bildebenen des Smithdiagramms, Gaußebene links, Widerstandsebene rechts
Die komplexen Zahlen S und W sollen jetzt mit Inhalten aus den im letzten Abschnitt 3.2
behandelten Größen
- Eingangsimpedanz ZE ,
- dem Reflektionsfaktor p E an dieser Stelle und
- dem Reflektionsfaktor p am Abschluß x = 0 der Leitung
gefüllt werden:
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 23 Mit den Leitungsgleichungen (3.10) und (3.11) ergibt sich an jeder Stelle der Leitung die
Impedanz
Z = ZL ⋅
was zu
1 + p ⋅ e2⋅γ⋅ x
(3.25)
1 − p ⋅ e2⋅γ⋅x
ZV 1 + p
=
ZL 1 − p
(3.26)
als Umkehrung der Gleichung (3.9) zum Reflektionsfaktor p am Ende der Leitung und zu
ZE 1 + p ⋅ e−2⋅γ⋅l
=
ZL 1 − p ⋅ e−2⋅γ⋅l
(3.27)
an der Stelle x = −l wird.
Der Reflektionsfaktor p wird jetzt durch p = e ( 0 0 ) und der Fortpflanzungsfaktor γ
durch γ = α + jβ ausgedrückt, womit sich nach Einsetzen in (3.27) das Verhältnis
2 α + jβ
2 ⎡⎣( α 0 −α⋅l ) + j(β0 −β⋅l ) ⎤⎦
ZE 1 + e
=
ZL 1 − e2 ⎡⎣( α0 −α⋅l ) + j(β0 −β⋅l ) ⎤⎦
=
⎡
2π ⎞⎤
⎛
2 ⎢( α 0 −α⋅l ) + j⎜ β0 − l ⎟ ⎥
λ ⎠⎦
⎝
1+ e ⎣
⎡
2π ⎞ ⎤
⎛
2 ⎢( α 0 −α⋅l ) + j⎜ β0 − l ⎟ ⎥
λ ⎠⎦
⎝
1− e ⎣
=
2 u + jv ]
1+ e [
2 u + jv ]
1− e [
ergibt. Dazu wurde folgende Zusammenfassung vorgenommen
2π ⎞
⎛
w = u + jv = ( α 0 − α ⋅ l ) + j ( β0 − β ⋅ l ) = ( α 0 − α ⋅ l ) + j ⎜ β0 −
l⎟ ,
λ ⎠
⎝
daß man schließlich
(3.28)
(3.29)
ZE 1 + e2w
=
= r '+ jx '
ZL 1 − e2w
(3.30)
t = e2w
(3.31)
erhält. Sei jetzt
die erste Gleichung für t . Damit wird aus (3.30)
ZE 1 + t
=
= r '+ jx '
ZL 1 − t
(3.32)
Bei Umstellung von (3.32) erhält man als zweite Gleichung für t :
ZE
−1
(r '+ jx ') − 1
ZL
=
t=
ZE
+ 1 (r '+ jx ') + 1
ZL
Man vergleiche (3.31) und (3.33) mit den Gleichungen (3.24):
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
(3.33)
- 24 t repräsentiert also auf der einen Seite die Reflektionsfaktoren p und p E . Auf der anderen
Z
Seite drückt er das Verhältnis E aus, so daß bei bekannten t und ZL das gesuchte ZE
ZL
zurückrechenbar wird.
Das Smith-Diagramm, siehe Bild 3.3, setzt sich aus den beiden Bildebenen, der Gaußebene
ZE
−1
(r '+ jx ') − 1
ZL
2w
=
t = e , Gleichung (3.31), links, und der Widerstandsebene t =
,
ZE
+
+
(r
'
jx
')
1
+1
ZL
Gleichung (3.33), rechts, zusammen.
Das Smith-Diagramm, siehe Bild 3.3, wird in der Gaußschen Zahlenebene im Bereich der
reellen Zahlen von −1 ≤ Re ≤ 1 und im Bereich der imaginären Zahlen von −1 ≤ jIm ≤ 1
dargestellt. Die linke Darstellung weist die im endgültigen Smith-Diagramm, siehe Bild 3.4,
praktisch nicht sichtbare Gaußsche Zahlenebene aus. Die rechte Darstellung von Bild 3.3
zeigt die Kurven, die im Vordergrund aller Smith-Diagramme stehen. Sie werde hier
Widerstandsebene genannt, da sie auf Gleichung (3.33) fußt, die bezogene Impedanzen
enthält.
Links im Gaußdiagramm ist ein spezieller Fall für t =ˆ p E mit p E = 0, 7 ⋅ e j34° dargestellt.
Somit sind der Betrag B = e(α0 −αl) = 0, 7 und der Winkel ϕ = (β0 + βl) = 34° .
Jedes Smith-Diagramm weist über dem Rahmen, der ein Kreis mit dem Radius 1 ist, eine
Winkeleinteilung auf, Bild 3.3 links. Zusätzlich ist ein weiterer Kreis über dem Rahmen mit
l
2π
l enthält, wird
der Einteilung angebracht. Da das w in (3.31) auch den Ausdruck
λ
λ
daraus eine Drehung im Uhrzeigersinn, siehe folgendes Beispiel. Viele Smith-Diagramme
haben eine Achse an der man die Beträge B des Reflektionsfaktor von 0 bis 1 abnehmen
kann.
Rechts in der Widerstandsebene sind mehrere Graphen dargestellt. Diese Graphen erzeugt
man, wie folgt:
- Entweder hält man r ' konstant und läßt x ' von −∞ bis +∞ laufen. Es entstehen
typische Kreis, die alle einen gemeinsamen Punkt an der Stelle Re = 1 haben. Die
beiden wichtigsten Kreise sind dick gezeichnet. Es handelt sich dabei um den (r ' = 1) Kreis und den (r ' = 0) -Kreis, der auch der Rahmen des Smith-Diagrammes ist.
- Oder es wird x ' konstant gehalten und r ' läuft von 0 bis +∞ . Negative reelle
Widerstände treten bei passiven HF-Schaltungen nicht auf. Es entstehen die typischen
Hyperbeln im Smith-Diagramm.
Der willkürlich in die Darstellungen, Bild 3.3, eingetragene Punkt P repräsentiert links in der
Gaußebene, siehe vorhin, den Reflektionsfaktor p = 0, 7e j34° und rechts in der
Widerstandsebene die zugehörige bezogene Impedanz r '+ jx ' = 1,8 + j ⋅ 2, 27 . Damit kann man
bei bekanntem ZL über Gleichung (3.32) das dazugehörige ZE bestimmen.
Die Zusammenführung beider Teildiagramme des Smithdiagramms zeigt Bild 3.4, in dem ein
konkretes Beispiel berechnet wird.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 25 Das benutzte Smith-Diagramm wurde der Buchbeilage von [Vielhauer] entnommen. Dem
Internet sind viele weitere Smith-Diagramme entnehmbar, denen aber der schräg verlaufende
Graph in der oberen Teilhälfte mit der Einteilung von B fehlt.
Bild 3.4: Ein Smith-Diagramm aus [Vielhauer] mit einem Rechenbeispiel.
Beispiel: Berechnung der Eingangsimpedanz ZE im Smithdiagramm
Gegeben: - ZV = (30-j75) Ω , ZL = 50 Ω , l = 3 cm, f = 2 GHz, siehe Bild 3.3.
- Koaxialleitung verlustfrei und mit Luft gefüllt, d.h. α = 0 , ε r = 1 , μ = μ0 .
Gesucht: ZE
Lösung:
a) Zunächst muß λ bestimmt werden:
Es gilt für verlustfreie Koaxialleitung, α = 0, die Phasenkonstante
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 26 2π
= ω L 'C '
(2.26) und (2.33) .
λ
Die Kapazität und Induktivität betragen
μ ⎛ ra ⎞
2πε
;
C' =
L' =
ln ⎜ ⎟ (2.36).
2π ⎝ ri ⎠
⎛ ra ⎞
ln ⎜ ⎟
⎝ ri ⎠
β=
2π
2π
2π
= με , somit λ =
=
, womit sich für Luftleitung mit
λ
με
μ0ε0
Vs
As
μ0 = 1, 256 ⋅10−6
und ε0 = 8,86 ⋅10−12
die Wellenlänge λ = 15 cm ergibt.
Am
Vm
Damit erhält man
b) Jetzt wird ZE im Smith-Diagramm bestimmt:
Z
(30 − j75)Ω
= 0, 6 − j ⋅1,5 ergibt den Punkt P1 der in
• Das Verhältnis V = r '+ jx ' =
ZL
50Ω
der Widerstandsebene des Smith-Diagramms eingetragen wird. Jetzt könnte man in
der darunterliegenden Gaußebene den zugehörigen Reflektionsfaktor
Z − ZL
p= V
= 0, 7 ⋅ e− j61° ablesen.
ZV + ZL
• Der Reflektionsfaktor p wird nach Gleichung (3.23) durch Drehung des Punktes P1
2π
2π
− j⋅2⋅ l
Z − ZL − j⋅2⋅ λ l
λ in der Gaußebene des
⋅e
= p⋅e
nach der Vorschrift p E = V
ZV + ZL
Smith-Diagramms, im Uhrzeigersinn auf einer Kreisbahn um den Winkel von
2π
l
2 l = 2,513 = 144° bzw. um = 0, 2 verschoben. Es ergibt sich Punkt P2 .
λ
λ
•
•
•
Im Punkt P2 kann nun in der Gaußebene der Reflektionsfaktor p E = 0, 7 ⋅ e j⋅155°
abgelesen werden und in der Widerstandsebene die bezogene Impedanz
ZE
= (r '+ jx ') = (0,18 + j ⋅ 0, 22)Ω , womit sich ZE = (r '+ jx ')ZL = (9 + j ⋅11)Ω ergibt.
ZL
Hier wird noch eine Probe auf Richtigkeit mit der bekannten Gleichung (3.21)
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
ZV ⋅ cos ⎜ l ⎟ + j ⋅ ZL ⋅ sin ⎜ l ⎟
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠ durchgeführt. Man erhält mit ihr
ZE =
Z
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
cos ⎜ l ⎟ + j ⋅ V ⋅ sin ⎜ l ⎟
ZL
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
ZE = (8,9875 + j ⋅11, 09)Ω .
Das mit der grafischen Methode des Rechnens im Smith-Diagramm ermittelte
Ergebnis stimmt gut mit dem rechnerischen überein.
Während hier das Rechnen mit den bekannten Gleichungen für ZE dem Rechnen im SmithDiagramm überlegen ist, wird das nächste Kapitel zeigen, daß man mit dem Rechnen im
Smith-Diagramm schneller zum Ziel kommt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 27 -
3.4. Streuparameter
HF-Schaltungen werden zumeist mit Leitungen verbunden. Diese Leitungen sind i.A. auf
einen bestimmten Wellenwiderstand ZL normiert, z.B. 50 Ω in der Meßtechnik oder 75 Ω
in der Funktechnik.
Mit dem Reflektionsfaktor p ist eine Möglichkeit entstanden, das Eingangsverhalten einer an
eine Leitung angeschlossenen HF-Schaltung zu beschreiben. Es wäre sinnvoll das gesamte
Verhalten einer HF-Schaltung mit solchen Parametern zu beschreiben, den Streuparametern.
3.4.1. Definition der Streuparameter
Die Definition der Streuparameter erfolge an einem Zweitor, siehe Bild 3.5:
Bild 3.5: Zweitor zur Definition der Streuparameter
Ein Zweitor ist eine beliebige HF-Schaltung, die einen Eingang und einen Ausgang hat.
In der HF-Technik wird nicht zwangsläufig Ein- und Ausgang unterschieden, sondern man
spricht von Eingängen, den Toren, hier Tor 1 und Tor 2.
An die beiden Tore sind die beiden zuführenden Leitungen mit den Wellenwiderständen ZL1
und ZL2 angeschlossen, die i.A. verlustfrei, α = 0 , sein sollen.
Auf das Tor 1 läuft eine Welle zu, gekennzeichnet durch a1 . Aus dem Tor 1 läuft eine Welle
aus, gekennzeichnet durch b1 . Für das Tor 2 gelten die gleichen Vereinbarungen mit a 2 und
b2 .
Am Tor 1 liegt zwischen den beiden Drähten der Zuleitung die Spannung u1 und es fließt ein
Strom i1 in das Tor. Gleiches gilt wieder mit u 2 und i 2 an Tor 2.
In den jeweiligen Spannungs-Strompaaren u1 , i1 und u 2 , i 2 sind die Spannungen und
Ströme der hin- und rücklaufenden Wellen, entsprechend den Gleichungen mit allgemein
u(x, t) = u + (x, t) + u − (x, t)
(3.1)
i(x, t) = i + (x, t) + i − (x, t)
(3.2)
und
u + (x, t) = U 0+ e jωt −γ⋅x
Æ
u − (x, t) = U 0− e jωt +γ⋅x
(3.3)
i + (x, t) = I0+ e jωt −γ⋅x
Æ
i − (x, t) = I0− e jωt +γ⋅ x ,
(3.4)
enthalten.
In beiden Toren befinden sich die jeweiligen Betrachtungsstellen x = 0, womit in den
Exponenten von (3.3) und (3.4) die γ ⋅ x = 0 werden.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 28 Da e jωt ein konstanter Faktor für die weiteren Betrachtungen und überall gleich ist, werde er
weggelassen.
Die Startwerte U 0 und I0 gelten in den Toren und werden durch U und I ersetzt, wie in
dem Bild 3.5 durch U1 , I1 , U 2 , I 2 ausgedrückt.
In den Toren gelten nun:
Links an Tor 1: U1 =
U1+
Rechts an Tor 2: U 2 =
+ U1− ; I1
U 2+
= I1+
+ U −2 ; I 2
U1+
−
+ I1 mit
I1+
= I +2
= ZL1 und
U +2
−
+ I2 mit
I2+
U1−
= ZL2 und
I1−
= − ZL1 .
U −2
I−2
(3.35)
= − ZL2 . (3.36)
Man vergleiche mit (3.6) und (3.7).
Jetzt werden folgende Definition vorgenommen:
Es seien die Wellengrößen:
U1+
a1 =
= I1+ ZL1 ,
ZL1
U +2
a2 =
= I 2+ ZL2
ZL2
(3.37)
b1 =
U1−
ZL1
= − I1− ZL1 , b 2 =
U −2
ZL2
= −I 2− ZL2
Damit haben die Wellengrößen a und b die Maßeinheit W (Wurzelwatt) und können
wahlweise als Strom und/oder Spannung aufgefaßt werden.
Im Allgemeinen werden mit den Streuparametern zu beschreibende HF-Schaltungen links und
rechts mit gleichen Leitungen gleichen Wellenwiderstands ZL beschaltet. Man spricht auch
davon, daß die Schaltung in eine ZL -Widerstandsumgebung eingebettet werde. Obige
Gleichungen (3.37) gehen mit ZL = ZL1 = ZL2 in
a1 =
U1+
= I1+ ZL ,
ZL
a2 =
U +2
= I+2 ZL
ZL
und
(3.38)
b1 =
U1−
U−
= −I1− ZL , b 2 = 2 = − I−2 ZL
ZL
ZL
über.
Zwischen den beiden Toren wird die HF-Schaltung durch ein lineares Gleichungssystem zu
⎡ b1 ⎤ ⎡ S11 S12 ⎤ ⎡ a1 ⎤
⎢ b ⎥ = ⎢S
⎥⋅⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 S22 ⎦ ⎣ a 2 ⎦
⎡ S11 S12 ⎤
mit der Streumatrix S = ⎢
⎥
⎣S21 S22 ⎦
(3.39)
beschrieben.
Für die mit Gleichung (3.39) eingeführten Streuparameter ergeben sich damit folgende
Bedeutungen:
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 29 b
S11 = 1
a1 für
Eingangsreflektionsfaktor an Tor1, Eingangsreflektionsfaktor
b
S21 = 2
a1 für
Übertragungsfaktor von Tor1 auf Tor2 , Vorwärtsübertragungsfaktor
b
S12 = 1
a 2 für
Übertragungsfaktor von Tor 2 auf Tor1, Rückwärtsübertragungsfaktor
b
S22 = 2
a 2 für
Eingangsreflektionsfaktor an Tor 2, Ausgangsreflektionsfaktor
(3.40)
a 2 =0
a 2 =0
a1 = 0
a1 = 0
Im Sprachgebrauch der HF-Technik sind die fett angegebenen Begriffe üblich.
Die Betrachtungen mit Streuparameter lassen sich auf beliebige Mehrtore erweitern, indem
man die Gleichungen (3.38) und (3.39) um die zusätzlichen Tore erweitert.
Per Definitionen, Gleichungen (3.37)…(3.39), werden die Streuparameter aus Spannungen
und Strömen hergeleitet. Es ist auch sehr häufig notwendig, aus bekannten, z.B aus
Messungen gewonnenen Streuparametern über die zugehörigen hin- und rücklaufenden
Wellengrößen a und b die Spannungen und Ströme in den Toren zu berechnen.
Rückersetzt man U + , U − , I+ und I− in den Gleichungen (3.35) und (3.36) durch a und b
aus den Gleichungen (3.37) bzw. (3.38), erhält man allgemein:
U = U + + U − = ZL ( a + b )
(3.41)
und
I = I+ + I− =
1
(a − b) .
ZL
Man beachte auch die Zählpfeilzuordnungen, insbesondere die jeweils in die Tore
hineindefinierten Ströme, siehe Bild 3.5, mit I1 und I 2 .
Löst man Gleichungen (3.41) nach den a und b auf erhält man rückwärts:
⎞
1⎛ U
a= ⎜
+ ZL ⋅ I ⎟ und b =
⎟
2 ⎜⎝ ZL
⎠
⎞
1⎛ U
− ZL ⋅ I ⎟
⎜
⎟
2 ⎜⎝ ZL
⎠
(3.41.a)
Abweichend zu den Bestimmungsgleichungen (3.37) benutzt man diese Form (3.41.a) häufig
für Berechnungen von U und I aus den a und b .
3.4.2. Rechnen mit Streuparametern
a) Verkettung von Zweitoren
Sind mehrere Zweitore zu verketten, kann man bei bekannten Streuparametern der einzelnen
Schaltungen recht gut die Streuparameter der verketteten Schaltung berechnen. Dafür sollen
die notwendigen Gleichungen hergeleitet werden.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 30 Bild 3.6 zeigt die Aufgabenstellung am Beispiel zweier zu verkettender HF-Schaltungen, die
durch ihre Streuparameter (S-Parameter) charakterisiert sind. Die Angabe l → 0 bedeutet,
daß beide Schaltungen unmittelbar, ohne dazwischenliegende Leitung miteinander verbunden
sind.
Gegeben sind die Streumatrizen der beiden HF-Schaltungen
⎡S
S A = ⎢ 11A
⎣S21A
S12A ⎤
S22A ⎥⎦
S12B ⎤
⎡S
S B = ⎢ 11B
⎥ .
⎣S21B S22B ⎦
(3.42)
Gesucht sind die Streuparameter der verketteten Schaltung.
S ⎤
⎡S
S AB = ⎢ 11 12 ⎥ .
⎣S21 S22 ⎦
Bild 3.6: Verkettung von zwei HF-Schaltungen
Die Aufgabe wird wie folgt gelöst:
Die linearen Streumatrizengleichungen
⎡ b1A ⎤ ⎡ S11A
⎢ b ⎥ = ⎢S
⎣ 2A ⎦ ⎣ 21A
S12A ⎤ ⎡ a1A ⎤
,
⋅
S22A ⎥⎦ ⎢⎣ a 2A ⎥⎦
⎡ b1B ⎤ ⎡ S11B S12B ⎤ ⎡ a1B ⎤
⎢ b ⎥ = ⎢S
⎥⋅⎢
⎥
⎣ 2B ⎦ ⎣ 21B S22B ⎦ ⎣a 2B ⎦
(3.43)
werden in die Transmissionsform
⎡ b 2A ⎤
1 ⎡ − det S A
⎢a ⎥ = S
⎢
⎣ 2A ⎦
12A ⎣ −S11A
S22A ⎤ ⎡ a1A ⎤
,
⋅
1 ⎥⎦ ⎢⎣ b1A ⎥⎦
(3.44)
⎡ b 2B ⎤
1 ⎡ − det S B S22B ⎤ ⎡ a1B ⎤
⋅
⎢a ⎥ = S
⎢
1 ⎥⎦ ⎢⎣ b1B ⎥⎦
⎣ 2B ⎦
12B ⎣ −S11B
mit
det S = S11S22 − S12S21
umgeschrieben.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
(3.45)
- 31 Man erkennt im Bild 3.6, daß a1B = b 2A und b1B = a 2A sind. Damit können die Gleichungen
(3.43) und (3.44) zum Erhalt des Ergebnisses für die Transmission (Übertragung) durch die
Leitung zu
⎡ b 2B ⎤
1
⎢a ⎥ = S S
⎣ 2B ⎦
12A 12B
⎡ − det S B S22B ⎤ ⎡ − det S A
⋅
⎢ −S
1 ⎥⎦ ⎢⎣ −S11A
⎣ 11B
S22A ⎤ ⎡ a1A ⎤
⋅
1 ⎥⎦ ⎢⎣ b1A ⎥⎦
(3.46)
verknüpft werden. Diese Gleichungen (3.46) sind wieder in die Streumatrixschreibweise
umzustellen, womit sich
⎡ b1A ⎤
⎡S11A − S11B det S A
1
⎢b ⎥ = 1 − S S
⎢
S21AS21B
⎣ 2B ⎦
22A 11B ⎣
⎤ ⎡ a1A ⎤
⋅
S22B − S22A d et S B ⎥⎦ ⎢⎣ a 2B ⎥⎦
S12AS12B
(3.47)
⎡ b ⎤ ⎡b ⎤
⎡ a ⎤ ⎡a ⎤
ergibt, bei der ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 1A ⎥ und ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 1A ⎥ sind.
⎣ b 2 ⎦ ⎣ b 2B ⎦
⎣ a 2 ⎦ ⎣a 2B ⎦
Somit lautet die Streumatrix, der aus beiden HF-Schaltungen zusammengesetzten
Gesamtschaltung, siehe auch [Meinke]:
S AB =
⎡S11A − S11B det S A
S21AS21B
1 − S22AS11B ⎢⎣
1
⎤
S22B − S22A d et S B ⎥⎦
S12AS12B
(3.48)
Diese Gleichung läßt sich durch mehrmalige Anwendung auch zur Berechnung von mehr als
zwei miteinander zu verkettenden Schaltungen verwenden.
b) Beispiele zur Berechnung der Streuparameter
Hier werden zwei häufig vorkommende Beispiele, eine Längsimpedanz und eine
Querimpedanz zwischen zwei Leitungen behandelt. Damit soll der Umgang zwischen der
Beschreibung eines HF-Problems im ( U, I ) -Bereich und der daraus erfolgenden Berechnung
der meist aussagekräftigeren Streuparameter gezeigt werden.
Beide HF-Schaltungen sind im Bild 3.7 dargestellt.
Bild 3.7: Zwei HF-Schaltungen mit
links - Längsimpedanz,
rechts - Querimpedanz
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 32 In die Bilder sind die bereits aus diesem Abschnitt 3.4 bekannten Wellengrößen a1 , b1 , a 2 ,
b 2 und Strom-, Spannungsgrößen U1 , I1 , U 2 , I 2 eingetragen. Die untersuchte HFSchaltung, die nur aus der Impedanz Z besteht, erzeugt links als Längsimpedanz einen
Spannungsfall U Z und rechts als Querimpedanz einen Querstrom I Z . Die Angabe l → 0
bedeutet, daß beide HF-Schaltungen eine geometrische Ausdehnung haben sollen, die
wesentlich geringer ist als die Wellenlänge λ der bei der benutzten Frequenz entstehenden
Welle. Damit gelten in diesem Punkt die bekannten Beziehungen der Elektrotechnik für die
U
betrachteten Bauelemente, hier Z = .
I
Zur Längsimpedanz
Zur Querimpedanz
Es gelten zwischen beiden Toren die (U,I)-Klemmengleichungen :
⎡ U 2 ⎤ ⎡1 − Z ⎤ ⎡ U1 ⎤
⎢ I ⎥ = ⎢0 −1 ⎥ ⋅ ⎢ I ⎥
⎦ ⎣ 1⎦
⎣ 2⎦ ⎣
⎡1
⎡U2 ⎤ ⎢
⎢ I ⎥ = ⎢1
⎣ 2⎦
⎣Z
0⎤
⎥ ⋅ ⎡ U1 ⎤
⎢ ⎥
−1⎥ ⎣ I1 ⎦
⎦
(3.49)
Dort werden links und rechts von den Toren die U und I , entsprechend der Gleichungen
(3.41) mit
1
U = ZL ( a + b ) und I =
(a − b)
ZL
zu
⎡ ZL ( a 2 + b 2 ) ⎤
⎡ ZL ( a1 + b1 ) ⎤
⎢
⎥ ⎡1 − Z ⎤ ⎢
⎥
(3.50)
⎢ 1 ( a − b ) ⎥ = ⎢ 0 −1 ⎥ ⋅ ⎢ 1 ( a − b ) ⎥
2
2
1
1
⎣
⎦
⎢ Z
⎥
⎢ Z
⎥
⎣ L
⎦
⎣ L
⎦
⎡ ZL ( a 2 + b 2 ) ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ ZL ( a1 + b1 ) ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎢ 1 ( a − b ) ⎥ = ⎢ 1 −1⎥ ⋅ ⎢ 1 ( a − b ) ⎥
2
2 ⎥
1
1 ⎥
⎢ Z
⎦ ⎢⎣ ZL
⎣ L
⎦ ⎣Z
⎦
ersetzt.
Nach Auflösen der Gleichungen (3.50) in die S-Parameterform erhält man die gesuchten
Streuparameter, vergleiche mit [Meinke]:
⎡ 1
⎢
Z
⎢ 1+ L
Z
S=⎢
⎢ 2
⎢
⎢2+ Z
⎢⎣
ZL
2
2+
Z
ZL
1
Z
1+ L
Z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
1
⎡
⎢−
Z
⎢ 1+ 2
ZL
S=⎢
⎢
2
⎢
⎢ 2 + ZL
⎢⎣
Z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1
−
⎥
Z ⎥
1+ 2
ZL ⎥⎦
2
Z
2+ L
Z
(3.51)
Die hier dargestellte Verfahrensweise ist universell zur Berechnung von beliebigen linearen
HF-Schaltungen einsetzbar, siehe auch Kapitel 5 - Leitungsbauelemente.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 33 Es werde noch ein konkretes Beispiel zur Gewinnung der Streuparameter und ihrer
Interpretation berechnet, siehe Bild 3.8:
Bild 3.8 Reaktiver Tiefpaß
Es sind gegeben:
C = 5 pF, L = 5 nH
Gesucht sind die Beträge des Eingangsreflektionsfaktors S11 und des
Vorwärtsübertragungsfaktors S21 in Abhängigkeit von der Frequenz f .
Lösung:
Es werden zunächst die (U, I) -Klemmengleichungen zwischen beiden Toren 1 und 2 aus
- der Maschengleichung U1 = U L + U 2 ,
- der Knotengleichung I1 + I 2 = IC und
- den beiden Bauelementegleichungen U L = X L ⋅ I1 und U 2 = X C ⋅ IC
berechnet. Aus diesen vier Gleichungen werden U L und IC eliminiert, womit die zwei
Klemmengleichungen mit U1 = U 2 + X L I1 und U 2 = X C ⋅ (I1 + I 2 ) verbleiben.
1
In diesen beiden Gleichungen werden U1 = ZL ⋅ (a1 + b1 ) , I1 =
(a1 − b1 ) ,
ZL
U 2 = ZL ⋅ (a 2 + b 2 ) , I 2 =
1
(a 2 − b 2 ) ersetzt und nach b1 und b 2 aufgelöst, so daß
ZL
sich
⎡ b1 ⎤
1
⎢b ⎥ = 2
⎣ 2 ⎦ ZL + ZL (2X C + X L ) + X C X L
⎡ − Z2L + X L (X C + ZL )
⎤ ⎡a ⎤
2X C ZL
⎥⋅⎢ 1⎥
⋅⎢
⎢⎣
2X C ZL
−(Z2L + X L (− X C + ZL )) ⎥⎦ ⎣a 2 ⎦
1
und X L = j ⋅ 2πfL ersetzt, womit sich die Sj ⋅ 2πfC
Parameter des reaktiven Tiefpasses zu
ergibt. Jetzt werden noch X C =
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 34 L
+ j ⋅ 2πfLZL
C
S11 =
L
1 ⎞
⎛
Z2L + + j ⋅ ⎜ 2πfL −
⎟ ZL
C
πfC ⎠
⎝
− Z2L +
⎧
⎫
ZL
⎪⎪
⎪⎪
πfC
S12 = S21 = − j ⋅ ⎨
⎬
⎪ Z2L + L + j ⋅ ⎛⎜ 2πfL − 1 ⎞⎟ ZL ⎪
C
πfC ⎠
⎝
⎩⎪
⎭⎪
L
− j ⋅ 2πfLZL
C
S22 =
L
1 ⎞
⎛
Z2L + + j ⋅ ⎜ 2πfL −
⎟ ZL
πfC ⎠
C
⎝
− Z2L +
ergeben.
In Bild 3.9 sind die gesuchten Ergebnisse für die Beträge des Eingangsreflektionsfaktors S11
und des Vorwärtsübertragungsfaktors S21 dargestellt.
Bild 3.9: Verläufe der Beträge des Eingangsreflektionsfaktors S11 und des
Vorwärtsübertragungsfaktors S21 des reaktiven Tiefpasses
Das Bild 3.9 zeigt deutlich das Tiefpaßverhalten an. Der Vorwärtsübertragungsfaktor
S21 beginnt bei 1 und knickt bei ca. 300 MHz deutlich ab. Der Eingangsreflektionsfaktor
S11 nimmt dann deutlich zu und endet schließlich bei 1.
Da dieser reaktive Tiefpaß eine Schaltung mit passiven Bauelementen ist, somit keine Energie
verbraucht, sollte die Leistungsbilanz mit Pein = Prück + Paus aufgehen, was sich durch die
2
Summe 1 = S11 + S21
2
für jede beliebige Frequenz bestätigt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, HF-Parameter
- 35 -
4. Anpassung
In diesem Kapitel wird die Anpassung von Leitungen an die Ein- und Ausgänge von HFSchaltungen behandelt. Dieses Problem spielt in der HF-Technik eine große Rolle, da der
Energietransport, schon wegen der häufig sehr kleinen Leistungen, verlustfrei gestaltet
werden muß.
4.1. Leistungsanpassung
Das Ziel ist die Übergabe maximaler Wirkleistung von einer Quelle an eine Senke, siehe
Bild 4.1, vergleiche auch mit [Frohne].
Die Quelle, z.B. der Ausgang einer HF-Schaltung, kann man für die weiteren Untersuchungen
als einen Hochfrequenzgenerator mit Innenwiderstand auffassen. Die Senke, als Eingang
einer nachfolgenden HF-Schaltung, ist gekennzeichnet durch den Eingangswiderstand.
Innenwiderstand und Eingangswiderstand sind Impedanzen.
Bild 4.1: Anpassung der Impedanzen von Quelle und Senke
Im Bild sind:
- U 0 die Quellenspannung des Generators,
- Zi der Innenwiderstand der Quelle,
- U k , Ik die Klemmenspannung, der Klemmenstrom der Quelle,
- Za der Eingangswiderstand der Senke.
Die Angabe l → 0 bedeutet, daß der geometrische Abstand von Quelle und Senke wesentlich
geringer ist als die vorliegende Wellenlänge λ . Damit müssen die auf Leitungen auftretenden
Phasenverschiebungen, siehe Kapitel 3, nicht berücksichtigt werden.
Ziel der Leistungsanpassung ist die Maximierung der Leistung an Za :
Als Leistung Pa an Za ergibt sich nach Bild 4.1:
⎛ Z U ⎞ ⎛ U0 ⎞
Pa = Ik ⋅ U k = ⎜ a 0 ⎟ ⋅ ⎜
⎟
⎝ Za + Zi ⎠ ⎝ Za + Zi ⎠
(4.1)
R a + jX a ) ⋅ U 02
(
Pa =
2
⎡⎣( R a + R i ) + j ( X a + Xi ) ⎤⎦
(4.2)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 36 -
Die Impedanzen werden mit
Zi = R i + jXi und Za = R a + jX a
(4.3)
durch ihre Real- und Imaginäranteile ausgedrückt.
Der Betrag von Gleichung (4.2) liefert die Aussage über die Höhe der entstehenden Leistung
Pa an Za .
Pa =
R a2 + X a2 ⋅ U 02
( R a + R i )2 + ( X a + Xi )2
(4.4)
Pa in Gleichung (4.4) wird für R a = −R i und X a = −Xi maximal und geht → ∞ . Das ist
elektrotechnisch keine sinnvolle Aussage und wird praktisch durch die Abwesenheit negativer
reeller Widerstände R verhindert. Aus Sicht des Imaginäranteils von Gleichung (4.4) kann
zumindest mit X a = −Xi ein maximales Pa mit
Pa max =
R a2 + X a2 ⋅ U 02
( R a + R i )2
(4.5)
erzeugt werden.
Zur Ableitung des notwendigen Verhältnisses von R a zu R i soll noch einmal Gleichung
(4.2) mit der bereits gefundenen Bedingung X a = −Xi für maximale Leistungsübergabe an
Za untersucht werden.
Es ist
⎧⎪
⎫⎪
Ra
Xa
Pa (X a = − Xi ) = ⎨
(4.6)
+j
⋅ U2 .
2
2⎬ 0
( R a + R i ) ⎪⎭
⎪⎩ ( R a + R i )
Der erste Term von Gleichung (4.6) beinhaltet die Wirkleistung und der zweite die
Blindleistung von Pa . In dieser Gleichung können nun mit den bekannten mathematischen
Methoden die Extremwerte bestimmt werden, wie z.B in [Zinke].
Hier werde das Ergebnis numerisch ermittelt, siehe Tafel 4.1.
Tafel 4.1: Leistungswerte für bestimmte Widerstände
Man erkennt in der Tafel, daß der Wirkleistungsanteil ein Maximum für R a = R i hat,
während der Blindleistungsanteil nach einer Hyperbelfunktion für wachsende R a abfällt.
D.h., das mit R a = R i erzielbare Maximum ist ein relatives Maximum. Zusammen mit
X a = −Xi ergibt das die Lösung für die Anpassung einer Quelle an eine Senke.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 37 -
Als Aussage der vorangegangen Betrachtung soll noch einmal formuliert werden:
Maximale Energie kann von einer Quelle zu einer Senke transportiert werden, wenn
Za = Z*i
(4.7.a)
realisiert wird. Z*i ist der konjugiert komplexe Wert von Zi .
D.h. es gelten als Bedingungen für Leistungsanpassung
R a = R i und X a = −Xi ,
(4.7.b)
bezüglich der Real- und Imaginäranteile von Innenwiderstand Zi der Quelle und
Eingangswiderstand Za der Senke.
4.2. Anpassungen mit Leitungen
In diesem Abschnitt wird gezeigt,
a) wie eine Leitung, die i.A. einen reellen Wellenwiderstand ZL hat, an den Eingang
einer HF-Schaltung bzw. an eine andere Leitung, die eine komplexe
Eingangsimpedanz ZV aufweisen kann und
b) wie der Ausgang einer HF-Schaltung, die i.A. einen komplexen Innenwiderstand Zi
aufweist, an eine Leitung mit einem reellen Wellenwiderstand ZL
ohne Leistungsverluste angekoppelt werden kann.
Dazu wird vorausgesetzt, daß die benutzten Leitungen verlustfrei sind, α = 0 .
Die beiden Anpassungen, a) und b), machen den Hauptanteil aller notwendigen Anpassungen
in der HF-Technik aus, da HF-Schaltungen i.A. in eine feste Widerstandsumgebung
eingebettet werden, z.B. 50 Ω in der Meßtechnik und 75 Ω in der Funktechnik.
Alle anderen Fälle können analog behandelt werden.
4.2.a) Eingangsanpassung - Anpassung einer HF-Schaltung an eine Leitung
In der Anpaßschaltung Bild 4.2 ist links die erklärende Zeichnung mit Stegleitungen
dargestellt.
Rechts ist ein konkreter Aufbau in Mikrostreifenleitungstechnik dargestellt. Es ist die
Leiterplattenoberseite mit der Leitungsstruktur zu sehen. Darunter befindet sich das
dielektrische Substrat und darunter der metallisierte Grund, vergleiche mit Bild 2.1.
Rechts von der Anpaßstelle A wirkt eine Eingangsimpedanz ZE = ZE1 || ZE2 . ZE ist dabei
die Impedanz der beiden parallelgeschalteten Eingangsimpedanzen
- ZE1 aus Leitung l1 und ihrer Abschlußimpedanz ZV und
- ZE2 aus Leitung l2 und ihrer Abschlußimpedanz 0 für Kurzschluß oder ∞ für Leerlauf.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 38 -
Bild 4.2: Eingangsanpaßschaltung zwischen einer Leitung und HF-Schaltung
Aus Kapitel 3.2 ist bekannt, daß man die Abschlußimpedanz ZV einer Leitung mittels der
zuführenden Leitung, die den Wellenwiderstand ZL aufweist, über eine bestimmte Länge l1
der Leitung in eine andere Eingangsimpedanz ZE1 transformieren kann.
Die Idee des Anpaßvorgangs kann, wie folgt, beschrieben werden:
-
-
-
Da ZV ≠ ZL , kann man bei bestimmten l1 der zuführenden Leitung zumindest den
Realanteil von ZE1 , rechts von A, dem reellen Wellenwiderstand ZL , links von der
Betrachtungsstelle A, die hier die Anpaßstelle ist, gleich machen.
Es verbleibt der imaginäre Widerstand von ZE1 , rechts von A. Dieser muß rechts von
der Anpaßstelle A durch einen gleich großen, negativen imaginären Widerstand
kompensiert werden. Dazu eignen sich kurzgeschlossene bzw. offene Stichleitungen
mit dem gleichen Wellenwiderstand ZL und der Länge l2 . Mit ihnen kann man
beliebige imaginäre Widerstände ZE2 erzeugen.
Da imaginäre Widerstände oder verlustfreie Leitungen mit ihrem reellen
Wellenwiderstand keine Energie verbrauchen, wird alle links in die Anpaßstelle A
eingespeiste Energie auch rechts an ZV ankommen, d. h. komplett in den Eingang der
an die Leitung angeschlossenen Schaltung gelangen.
Bei der Anpaßschaltung im Bild 4.2 handelt es sich um eine gebräuchliche Parallelanpassung,
da die Impedanzen ZE1 und ZE2 parallelgeschaltet sind. Reihenanpassungen sind in der HFTechnik ungebräuchlicher, da sie technologisch nicht so gut umsetzbar sind. Sie können aber
bei Anwendung der folgenden Gedanken analog behandelt werden.
Bei einer Parallelanpassung, die durch die Parallelschaltung zweier Impedanzen realisiert
wird, multiplizieren sich die Einzelimpedanzen nach anschließender Division durch die
Summe zur Gesamtimpedanz.
Da sich aber Admittanzen als Kehrwerte der Impedanzen zur Gesamtadmittanz addieren,
werden die weiteren Betrachtungen, wegen der einfacheren Handhabung, im
Admittanzbereich fortgeführt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 39 Die Anpaßbedingung in A lautet im Impedanzbereich
ZL = ? = ZE = ZE1 ZE2
oder im Admittanzbereich
YL =
1
1
1
=?=
+
= YE1 + YE2 .
ZL
ZE1 ZE2
(4.8)
(4.9)
Die Schreibweise = ? = bedeutet, daß die so behandelten Gleichungen nicht umgestellt
werden dürfen, sondern, daß die rechte Seite den gleichen Wert, wie die linke Seite erhalten
soll. Da die zweite Gleichung (4.9) zur Darstellung des Anpaßvorgangs benutzt wird, wird sie
in ihre Realanteile Re {...} und Imaginäranteile Im {...} aufgespaltet.
Re {YL } = ? = Re {YE1} + jIm {YE1} + jIm {YE2 }
(4.10)
Dazu wurde vorausgesetzt, daß alle verwendeten Leitungen verlustfrei sind, α = 0 .
Die zuführende Leitung hat damit einen rein reellen Widerstand, vergleiche mit Kapitel 2 und
3, während die offene oder kurzgeschlossene Stichleitung einen rein imaginären Widerstand
hat, so daß
Re {YL } = Re {YE1}
(4.11)
und
Im {YE1} = − Im {YE2 }
für Anpassung erfüllt werden muß. Es sind nach Gleichung (3.21) aus Abschnitt 3.2
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
ZV cos ⎜ l1 ⎟ + jZL sin ⎜ l1 ⎟
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
ZE1 =
⎛ 2π ⎞ Z
⎛ 2π ⎞
cos ⎜ l1 ⎟ + j V sin ⎜ l1 ⎟
ZL
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
(4.12)
und für kurzgeschlossene Stichleitung, bei der das angeschlossene ZV = 0 ist,
⎛ 2π ⎞
ZE2 = j ⋅ ZL tan ⎜ l2 ⎟
⎝ λ ⎠
(4.13)
oder für offene Stichleitung, bei der das angeschlossene ZV → ∞ ist,
⎛ 2π ⎞
ZE2 = − j ⋅ ZL cot ⎜ l2 ⎟ .
⎝ λ ⎠
(4.14)
Aus diesen Gleichungen (4.10) ... (4.14) könnten jetzt die unbekannten Leitungslängen l1 und
l2 ausgerechnet werden. Das trifft auf erhebliche Schwierigkeiten, da die beiden l1 und l2 in
Kosinus- bzw. Sinusfunktionen stehen, also nicht direkt ausrechenbar sind. Hier hilft das
Smith-Diagramm weiter.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 40 Anpassung im Smith-Diagramm am Beispiel, siehe Bild 4.3:
Gegeben: ZV = (10 − j ⋅15)Ω , ZL = 50Ω
l
l
Gesucht: Verhältnisse 1 und 2 bei Parallelanpassung mit leerlaufender Stichleitung
λ
λ
Bild 4.3: Berechnung der Eingangsanpassung einer HF-Schaltung an eine Leitung im
Smith-Diagramm
Lösung:
•
•
l
ist die Lösung frequenzunabhängig
λ
Es wird zur Berechnung von ZE1 , wie im Beispiel aus Kapitel 3.3, das Verhältnis
ZV
(10 − j ⋅15)Ω
= r '+ jx ' =
= 0, 2 − j0,3 gebildet. D.h. ZV wird auf den
ZL
50Ω
Wellenwiderstand der Umgebung, hier der angeschlossenen Leitung mit ZL ,
Wegen der gesuchten Verhältnisse
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 41 -
•
normiert. Hieraus ergibt sich der Punkt P1 , durch den ein Kreis mit seinem
Mittelpunkt im Mittelpunkt des Smith-Diagramms gezogen wird.
Z
Davon muß der Kehrwert L gebildet werden. D.h. die Widerstandsebene des
ZV
Smith-Diagramms wird zur Admittanzebene. Der Kehrwert einer komplexen Zahl
wird im Smithdiagramm dadurch gebildet, daß vom Ausgangspunkt, hier P1 , eine
Linie durch den Mittelpunkt des Smithdiagramms gezogen wird. Der Wert von P1 wird
im Gaußdiagramm mit dem Zirkel abgenommen und auf der anderen Seite der Linie
abgetragen wird. → P2 , der ebenfalls auf der durch P1 gezogenen Kreisbahn liegt.
Beweis: Für den Fall der Belegung der Widerstandsebene des Smith-Diagramms mit
Impedanzen, siehe Beispiel in Kapitel 3.3, wird der Punkt P1 zu
Z
−1
(rz, + jx ,z ) − 1 2w z
ZL
tz =
=
=e
,
,
,
Z
+ 1 (rz + jx z ) + 1
ZL
(4.15)
Gleichungen (3.31) und (3.33) gebildet. Z stehe jetzt für alle möglichen Impedanzen,
z.B. ZV und ZE .
⎛ 1 ⎞
ZL
−1
− 1 ⎜⎜ r , + jx , ⎟⎟
2w
z
z⎠
⎝
Z
ty =
=
=e y
ZL
+ 1 ⎜⎛ 1 ⎟⎞ + 1
Z
⎜ r , + jx , ⎟
z⎠
⎝ z
Der Punkt P2
(4.16)
repräsentiert den Kehrwert davon, für die Belegung der Widerstandsebene des SmithDiagramms mit Admittanzen. t y wird umgeformt, womit für den interessierenden
Teil der Gleichung
ty =
(
(
)
rz, + jx ,z + 1
⎡
ty = − ⎢
⎢
⎢⎣
•
)
− rz, + jx ,z + 1
=e
2w y
( rz, + jx,z ) − 1⎤⎥ = −e2w
( rz, + jx,z ) + 1⎥⎥⎦
(4.17)
z
= e j180° ⋅ e2w z = e j180° ⋅ t z
(4.18)
wird, was zu zeigen war.
Damit ist nachgewiesen, daß t z und t y in der Gaußebene des Smithdiagramms um
180° auf einer Kreisbahn um den Mittelpunkt des Smith-Diagramms verschoben sind.
Der Anschluß einer Leitung mit der Länge l an ihren Abschluß mit ZV bewirkt eine
Drehung des in der Gaußebene liegenden Reflektionsfaktors p , siehe Gleichung
(3.23), auf der Kreisbahn in Uhrzeigerrichtung, die durch P1 und P2 geht. Der
Reflektionsfaktor p muß nun in einen Schnittpunkt mit dem (r = 1) -Kreis der
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 42 Admittanzebene des Smithdiagramms gedreht werden. An dieser Stelle wird
Re {YL } = Re {YE1} der Anpaßbedingung, Gleichungen (4.11), erfüllt. Von den
•
beiden möglichen Schnittpunkten wurde in Bild 4.3 der gewählt, der in Drehrichtung
dem Punkt P2 am nächsten liegt, Punkt P3 .
l
Am -Kreis um das Smith-Diagramm kann nun die Drehung von Punkt P2 zu P3 mit
λ
l1
= 0,3135-0,202 = 0,1115 abgelesen werden. Desweiteren kann der zu
λ
kompensierende bezogene Admittanzwert mit –j1,925 abgelesen werden,
→ P4 und die kompensierende Admittanz mit j1,925 im Kompensationspunkt P4' .
•
Die benötigte Admittanz von +j1,925, Punkt P4' , muß nun durch die offene
Stichleitung zur Erfüllung des zweiten Teils Im {YE1} = − Im {YE2 } der
•
•
•
Anpaßbedingung, Gleichung (4.11), erzeugt werden.
Z
∞Ω
Dazu wird zunächst das zu ZE2 gehörende V = r '+ jx ' =
= ∞ gebildet und als
ZL
50Ω
Punkt P5 in die Widerstandsebene des Smith-Diagramms eingetragen. Davon wird der
Kehrwert, siehe vorhin, gebildet → P6 . Der zu P6 gehörende Reflektionsfaktor p
wird nun in Uhrzeigerrichtung auf dem (r = 0)-Kreis in den Punkt P4' gedreht. Die
Drehung erfolgt auf dem (r = 0)-Kreis, da mit Kurzschluß oder Leerlauf
abgeschlossene Leitungen bei Verlustfreiheit, α = 0 , reine imaginäre Widerstände
sind.
l
l
Jetzt kann auf dem -Kreis um das Smith-Diagramm 2 = 0,174 – 0 = 0,174 als
λ
λ
Drehung abgelesen werden.
l
l
Zur Bestätigung der Richtigkeit der Ergebnisse werden 1 = 0,1115 und 2 = 0,174
λ
λ
in die Gleichungen (4.12) und (4.14) eingesetzt und überprüft, ob damit die
Anpaßbedingung (4.10) erfüllt wird. Es ergeben sich mit den Gleichungen (4.12) und
1
= 0, 0204223 − j0, 038609 und
(4.14) die Admittanzen: YE1 =
ZE1
1
YE2 =
= + j0, 0386499 womit die Anpaßbedingung, Gleichung (4.10) zu
ZE2
0,02 = ! = 0,0204223 – j0,038609 + j0,0386499 = 0,0204223 + j0,000044 durch die
grafische Lösung im Smith-Diagramm recht gut erfüllt wird.
4.2.b) Ausgangsanpassung - Anpassung einer Leitung an eine HF-Schaltung
Eine gebräuchliche Parallelanpaßschaltung zeigt Bild 4.4. Auch hier ist links die Zeichnung
zur Erklärung und rechts ein konkreter Aufbau mit Mikrostreifenleitung dargestellt. Der
Innenwiderstand Zi wird durch den Transistor und den Widerstand in Betrachtungspunkt B
stilisiert.
Es werden die gleichen Gedankengänge, wie im vorigen Abschnitt, benutzt.
Es werde wieder vorausgesetzt, daß alle verwendeten Leitungen verlustfrei sind, α = 0 .
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 43 -
Zusätzlich zu den bereits angesprochenen Gedanken spielen zwei Weitere eine Rolle:
Im Bild 4.4 sind zwei Betrachtungspunkte A und B eingetragen.
•
•
Im Punkt B muß die Anpaßbedingung Za = Z*i , somit R a = R i und X a = −Xi ,
Gleichungen (4.7) und Bild 4.1, erfüllt werden.
Im Punkt A muß mit Hilfe von ZL und einer kurzgeschlossenen bzw. leerlaufenden
Stichleitung rechts von A eine Impedanz erzeugt werden, die über die Leitungslänge
l1 transformiert, rechts von B das notwendige Za = Z*i erzeugt.
Bild 4.4: Ausgangsanpaßschaltung zur Anpassung einer Leitung an eine HF-Schaltung
Die Anpassung wird wieder an Hand eines Beispiels im Smith-Diagramm durchgeführt,
Bild 4.5.
Gegeben: Zi = (75 + j100)Ω , ZL = 50 Ω
l
l
Gesucht: 1 und 2 bei Parallelanpassung mit kurzgeschlossener Stichleitung
λ
λ
Lösung : Die Lösung ist wieder frequenzunabhängig.
•
Zi wird auf den Wellenwiderstand ZL der Umgebung normiert.
Z
(75 + j ⋅100)Ω
= 1,5 + j2
→ i = r '+ jx ' =
ZL
50Ω
→ P1 im Impedanzbereich der Widerstandsebene des Smith-Diagramms.
•
Wegen Parallelanpassung wird davon wieder der Kehrwert gebildet → P2 .
Da mit Hilfe der Leitungen l1 und l2 an den konjugiert komplexen Wert von Yi* des
Ausgangswiderstandes Zi der HF-Schaltung angepaßt werden muß, siehe
Anpaßbedingung (4.7), wird der konjugiert komplexe Wert von P2 im
Admittanzbereich der Widerstandsebene des Smith-Diagramms gebildet, → P3 .
•
Durch alle drei Punkte P1 , P2 , P3 wird ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Mittelpunkt
des Smith-Diagramms gezogen.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 44 •
In den Punkt P3 , der in der Schaltung, Bild 4.4, die Betrachtungsstelle B ist, muß nun
die rechts von der Betrachtungsstelle A vorliegende Abschlußadmittanz Y1 mit l1 zu
Yi* transformiert werden. Die Abschlußimpedanz Z1 = ZL ZKS ergibt sich aus der
Parallelschaltung der angeschlossenen Leitung mit ZL und der Eingangsimpedanz
ZKS der kurzgeschlossenen Stichleitung. Hieraus folgt für die Abschlußadmittanz
1
1
Y1 =
+
= YL + YKS . Mit der Leitung l1 gelangt man nur von irgendeinem
ZL ZKS
Punkt P4 nach Punkt P3 auf der Kreisbahn, die durch die drei Punkte P1 , P2 , P3 geht.
Durch YL liegt am Ausgang der Anpaßschaltung eine reelle Admittanz vor. Damit ist
der gesuchte Punkt P4 der Schnittpunkt des genannten Kreises mit dem (r = 1)-Kreis
der Widerstandsebene des Smith-Diagramms. Gewählt wurde der Punkt P4 , der
entlang der im Uhrzeigersinn zu durchfahrenden Kreisbahn dem Punkt P3 am
nächsten liegt.
Bild 4.5: Anpassung einer HF-Schaltung an eine Leitung im Smith-Diagramm
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 45 -
•
Am
l
-Kreis um das Smithdiagramm kann nun die Drehung von Punkt P4 zu P3 mit
λ
l1
= 0,052+(0,5-0,3185) = 0,2335 abgelesen werden.
λ
•
•
•
•
•
Der in P4 verbleibende Imaginärteil von –j1,7 der zu P4' auf den (r=0)-Kreis gezogen
wird, muß durch die kurzgeschlossene Stichleitung mit der Länge l2 erzeugt werden.
Z
0Ω
= 0 gebildet,
Dazu wird zunächst der zu ZKS gehörende Bezug V = r '+ jx ' =
ZL
50Ω
→ P5 . Hiervon wird wegen der Parallelanpassung wieder der Kehrwert benötigt, →
P6 .
Mit der Leitung l2 muß der in P6 entstandene Admittanzwert zu dem in P4'
l
benötigten transformiert werden. Am -Kreis um das Smith-Diagramm kann nun die
λ
l
Drehung von Punkt P6 zu P4' mit 2 = 0,334-0,25 = 0,085 ermittelt werden.
λ
Auch hier soll eine Probe durchgeführt werden. Es ergibt sich mit Gleichung (4.13)
1
YKS =
= − j0, 0343083 , daraus folgt durch Addition der Leitwerte
ZKS
1
Y1 =
= 0.02 − j0, 0343083 was zu Z1 = 12, 6818 + j21, 7546 und eingesetzt in (4.12)
Z1
zu Za = 72, 7056 − j101, 403 wird. Man vergleiche mit Zi = (75 + j100)Ω .
Es zeigt sich, daß mit ZE1 = Z*i , der erforderliche konjugiert komplexe Wert von Zi ,
durch die grafische Berechnung im Smith-Diagramm recht gut erreicht worden ist.
4.3. Anpassung mit Leitungen und konzentrierten Bauelementen
Die Anpassung mit Leitungen ist auf Grund des großen Platzbedarfs und der trotz Annahme
der Verlustfreiheit, α = 0 , dennoch auftretenden Verluste nicht immer optimal.
Mikrostreifenleitungen lassen sich auf Grund der Benutzung von doppelt kaschiertem
Leiterplattenmaterial sehr gut mit konzentrierten Bauelementen verbinden.
Deshalb soll in diesem Abschnitt die kurzgeschlossene bzw. leerlaufende Leitung durch ein
konzentriertes Bauelement ersetzt werden. Es wird das Ziel verfolgt, die Kopplung von
Mikrostreifenleitungen mit konzentrierten Bauelementen einzuführen.
Die benutzten konzentrierten Bauelemente haben geometrische Ausdehnungen, die sehr viel
kleiner als die Wellenlänge λ sind. So können die Bauelemente als geometrische Punkte
aufgefaßt werden, in denen die bekannten elektrotechnischen Beziehungen zwischen der
Spannung u(t) und dem Strom i(t) gelten.
In diesem Abschnitt werden die verlustfreien konzentrierten Bauelemente Induktivität und
Kapazität verwendet. Mit ihnen können die benötigten reaktiven Widerstände realisiert
werden.
Für die Induktivität gilt
u (t)
ZL = L = jωL
(4.22)
i L (t)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 46 und für die Kapazität
u (t)
1
j
ZC = C =
=−
(4.23)
iC (t) jωC
ωC
mit L als Induktivität bzw. C als Kapazität des konzentrierten Bauelements.
Aus dem vorherigen Abschnitt 4.2 ist bekannt, daß man mit der kurzgeschlossenen bzw.
offenen Stichleitung bestimmte imaginäre Widerstände erzeugt. Diese gefundenen imaginären
Widerstände kann man gleichermaßen durch die relevanten konzentrierten Bauelemente,
entsprechend den Gleichungen (4.22) und (4.23), erzeugen.
Beim Umgang mit Mikrostreifenleitungen müssen folgende Zusammenhänge berücksichtigt
werden:
- Das Verhältnis von Leiterstreifenbreite w zur Höhe h des Leiterplattensubstrats,
vergleiche mit Bild 2.1 rechts, die Dielektrizitätskonstante ε r des Substrats und der
Wellenwiderstand ZL der Mikrostreifenleitung hängen voneinander ab.
Durch theoretische und praktische Untersuchungen hat man für
Mikrostreifenleitungen die in den Bildern 4.6 und 4.7 dargestellten Zusammenhänge,
(Nomogramme) ermittelt, z.B. [Meinke, Zinke, Thumm2, Käs, Nibler,…].
Hierbei zeigt Nomogramm 4.6 die gerade genannten Zusammenhänge.
- Ein Verkürzungsfaktor VKF , das Verhältnis von Leiterstreifenbreite w zur Höhe h
des Leiterplattensubstrats, die Dielektrizitätskonstante ε r des Substrats hängen
andererseits entsprechend Nomogramm 4.7 voneinander ab.
c
Mit dem ermittelten Verkürzungsfaktor VKF und der Vakuumwellenlänge λ 0 = ,
f
c Lichtgeschwindigkeit, f Frequenz der Welle, kann die Wellenlänge
λ = Verkürzungsfaktor ⋅ λ 0 = VKF ⋅ λ 0
der sich auf der Mikrostreifenleitung ausbildenden Welle berechnet werden.
Die angegebenen Nomogramme zeigen die Zusammenhänge grafisch, in ausreichender Form.
Bild 4.6: Leitungswellenwiderstand
Bild 4.7: Verkürzungsfaktor VKF
in Abhängigkeit von der Geometrie und Permeabilität, [Käs]
Jetzt können die Schaltungen und die Bauelementewerte für die Beispiele aus dem vorherigen
Abschnitt angegeben werden.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 47 -
Dazu werde ein in der HF-Technik gängiges Leiterplattenmaterial FR4 mit ε r = 4,4 und einer
Substrathöhe h von 1,5 mm ausgewählt. Die Berechnung erfolge für eine Frequenz von
f = 1 GHz und einen Leitungswellenwiderstand ZL = 50 Ω .
Aus den Nomogrammen, Bilder 4.6 und 4.7, ermittelt man
w
• das Verhältnis
= 1,9 durch waagerechtes Hineingehen ins Bild 4.6 entlang der
h
ZL - Linie bei 50 Ω , Schnittpunkt mit dem ( ε r = 4,4)Graphen, Herunterloten des
w
-Achse und Ablesen des Wertes. Die Streifenleiterbreite
Schnittpunktes auf die
h
beträgt demnach w = 2,85 mm.
w
= 1,9 ins
• den Verkürzungsfaktor VKF = 0,55 durch senkrechtes Hineingehen bei
h
Bild 4.7, Bildung des Schnittpunktes mit dem ( ε r = 4,4)Graphen und Ablesen des
zugehörigen Verkürzungsfaktors auf der senkrechten Achse des Diagramms. Hieraus
ergibt sich die Wellenlänge λ = VKF ⋅ λ 0 auf der Mikrostreifenleitung zu
m
300 ⋅106
c
s = 16,5cm .
λ = 0,55 ⋅ = 0,55 ⋅
f
91
10
s
Jetzt können die konkreten Leitungslängen l1 und die Art und die Werte der benutzten
konzentrierten Bauelemente an Stelle der Stichleitungen l2 ausgerechnet werden.
a) Eingangsanpassung - Anpassung der HF-Schaltung an die Leitung
l
Hier wurden, siehe vorheriger Abschnitt, 1 = 0,1115 abgelesen, womit
λ
l
l1 = 0,1115 ⋅ λ = 0,1115 ⋅16,5cm = 1,84cm wird und 2 = 0,174 abgelesen, womit
λ
l2 = 2,87cm wird, wenn die Anpaßschaltung in Mikrostreifentechnik aufgebaut wird.
Die offene Stichleitung l2 werde durch ein konzentriertes Bauelement ersetzt. Dazu wird der
durch die offene Stichleitung zu erzeugende Admittanzwert Wert in P4' abgelesen. Er beträgt
ZL
= ry, + x ,y = j1,925 womit sich das gesuchte Z = -j25,97 Ω ergibt. Ein Vergleich mit den
Z
1
Gleichungen (4.22) und (4.23) zeigt, daß dieses Z nur durch eine Kapazität mit ZC =
jω C
1
= 6,13pF ergibt.
erfüllt wird, woraus sich C =
25,97Ω ⋅ ω
Die Schaltungen mit dem konzentrierten Bauelement sind analog zu Bild 4.2 in Bild 4.8
dargestellt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 48 -
Bild 4.8: Eingangsanpassung mit einem konzentrierten Bauelement
b) Ausgangsanpassung – Anpassung der HF Schaltung an die Leitung
Auch hier wurden, siehe vorheriger Abschnitt die Leitungslängen abgelesen:
l
l
Mit 1 = 0,2335 folgt l1 = 3,85cm und mit 2 = 0,085 → l2 = 1, 4cm ,
λ
λ
wenn die Anpaßschaltung in Mikrostreifentechnik aufgebaut wird.
Hier wird die kurzgeschlossene Stichleitung l2 durch ein konzentriertes Bauelement ersetzt.
Z
Es wird wieder der zu erzeugende Admittanzwert L = -j1,7 in P4' abgelesen, womit sich
Z
Z = j29,412 Ω ergibt und daraus mit Gleichung (4.23) eine Induktivität L = 4,68 nH.
Die Schaltungen mit dem konzentrierten Bauelement sind analog zu Bild 4.4 in Bild 4.9
dargestellt.
Bild 4.9: Ausgangsanpassung mit einem konzentrierten Bauelement
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 49 -
4.4. Anpassung mit konzentrierten Bauelementen
Da Leitungen zur Anpassung von HF-Schaltungen recht raumgreifend sind, benutzt man
gerne ausschließlich konzentrierte Bauelemente, solange dafür noch Bauelemente mit den
erforderlichen Kapazitäts- und Induktivitätswerten verfügbar sind.
Konzentrierte Bauelemente haben weiterhin die Vorteile, daß sie geringere Verluste
aufweisen und daß sie keine periodischen Bauelemente sind, wie Leitungen.
Leitungen sind deshalb periodische Bauelemente, da sie, siehe Gleichung (4.22), mit
1
wachsender Frequenz f ∼ periodisch gleiche Werte am gerade betrachteten Ort x
λ
erzeugen.
Zur Anpassung werden wieder ausschließlich Kapazitäten und Induktivitäten benutzt, da sie
verlustfrei sind. Wie eine kurzgeschlossene oder offene Leitung durch ein konzentriertes
Bauelement ersetzt werden kann, zeigte der vorige Abschnitt 4.3.
Es liegt nahe, daß man auch die verbliebene Leitung durch ein konzentriertes Bauelement
ersetzen kann, was dargestellt werden soll.
Auch hier werden die Betrachtungen, wie in den Abschnitten 4.2 und 4.3, für die zwei
Hauptanwendungsfälle durchgeführt.
4.4.a) Eingangsanpassung - Anpassung einer HF-Schaltung an eine Leitung
Die beiden prinzipiellen Anpaßschaltungen zeigt Bild 4.10.
Bild 4.10: Eingangsanpassung
Links wird die an ZV zu übergebende Leistung P eingespeist.
Die Anpaßschaltungen, siehe Bild 4.10, werden in zwei Fälle unterschieden.
Im Fall 1 liegt der imaginäre Längswiderstand jX1 direkt an der Leitung mit ZL , gefolgt von
dem imaginären Parallelwiderstand jX 2 , während im Fall 2 zunächst der imaginäre
Parallelwiderstand jX1 an der Leitung mit ZL liegt und dann der imaginäre Längswiderstand
jX 2 folgt.
Die anzupassende Impedanz ZV = Re {ZV } + jIm {ZV } wird in ihren Realanteil und
Imaginäranteil aufgespaltet. Jetzt werden die zwei Fälle getrennt voneinander untersucht
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 50 Fall 1: Die Anpaßgleichung im Betrachtungspunkt A lautet:
ZL = jX1 +
jX 2 ( Re {ZV } + jIm {ZV } )
jX 2 + ( Re {ZV } + jIm {ZV } )
(4.24)
Löst man diese komplexe Gleichung (4.24), die sich in eine reelle und eine imaginäre
Gleichung zerlegen läßt, nach X1 und X 2 auf, erhält man zwei Lösungspaare:
X1 =
Im 2 {ZV } + Re {ZV } ( Re {ZV } − ZL ) ⋅ ZL
X2 =
Re {ZV }
(4.25)
Re {ZV } Im 2 {ZV } + Re {ZV } ( Re {ZV } − ZL ) ⋅ ZL − Im {ZV } ZL
ZL − Re {ZV }
oder
X1 = −
X2 = −
Im 2 {ZV } + Re {ZV } ( Re {ZV } − ZL ) ⋅ ZL
Re {ZV }
(4.26)
Re {ZV } Im 2 {ZV } + Re {ZV } ( Re {ZV } − ZL ) ⋅ ZL + Im {ZV } ZL
ZL − Re {ZV }
Beide Lösungspaare unterscheiden sich durch Vorzeichenänderungen vor und innerhalb
der Gleichungen. Das zweite Lösungspaar (4.26) ist nicht das negative erste Lösungspaar
(4.25)!
Die Werte für X1 und X 2 bleiben reell für Im 2 {ZV } + Re {ZV } ( Re {ZV } − ZL ) > 0 im
Wurzelausdruck der Gleichungen (4.25) und (4.26), so daß als Bedingung für die
nutzbringende Anwendung dieser Lösungen
ZL <
Im 2 {ZV }
Re {ZV }
+ Re {ZV }
(4.27)
erfüllt werden muß.
Fall 2: Die Anpaßgleichung im Betrachtungspunkt A lautet:
ZL =
jX1 ⎡⎣ jX 2 + ( Re {ZV } + jIm {ZV } ) ⎤⎦
jX1 + jX 2 + ( Re {ZV } + jIm {ZV } )
(4.28)
→ die zwei Lösungspaare
X1 =
ZL Re {ZV }
ZL − Re {ZV }
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
(4.29)
- 51 X 2 = − Im {ZV } − Re {ZV } ( ZL − Re {ZV } )
oder
X1 = −
ZL Re {ZV }
ZL − Re {ZV }
(4.30)
X 2 = − Im {ZV } + Re {ZV } ( ZL − Re {ZV } ) .
Es ergibt sich als Bedingung für den Erhalt reeller X1 und X 2 :
Re {ZV } < ZL
(4.31)
Mit den Gleichungen sollen die Bauelemente und Werte der Anpaßschaltung des konkreten
Beispiels aus den Abschnitten 4.2 und 4.3 berechnet werden.
Gegeben: ZV = (10 − j ⋅15)Ω , ZL = 50Ω , f = 1 GHz
Gesucht: Bauelemente und Werte für Anpaßschaltung.
Lösung:
Da Re {ZV } < ZL , Ungleichung (4.31), ist, gelten die möglichen Lösungen von Fall 2.
Mit den Gleichungen (4.29) und (4.30) kann man folgende Wertepaare ermitteln:
X1 = 25Ω → L = 4nH ; X 2 = −5Ω → C = 31,8pF
oder
X1 = −25Ω → C = 6,37pF ; X 2 = 35Ω → L = 5,57nH .
4.4.b) Ausgangsanpassung - Anpassung einer Leitung an eine HF-Schaltung
Die beiden prinzipiellen Anpaßschaltungen zeigt Bild 4.11.
Bild 4.11: Ausgangsanpassung
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 52 -
Die Anpaßschaltungen werden wieder in die beiden Fälle, wie bei 4.4.a) unterschieden.
Im Fall 1 liegt der imaginäre Längswiderstand jX1 direkt an Zi der HF-Schaltung, gefolgt
von dem imaginären Parallelwiderstand jX 2 , während im Fall 2 zunächst der imaginäre
Parallelwiderstand jX1 an der HF-Schaltung mit Zi liegt und dann der imaginäre
Längswiderstand jX 2 folgt.
Die anzupassende Impedanz Zi = Re {Zi } + jIm {Zi } wird wieder in ihren Realanteil und
Imaginäranteil aufgespaltet und die zwei Fälle getrennt voneinander untersucht
Fall1 : Die Anpaßgleichung im Betrachtungspunkt B lautet:
Z*i = Re {Zi } − jIm {Zi } = jX1 +
→ die zwei Lösungspaare
jX 2 ZL
jX 2 + ZL
X1 = − Im {Zi } − Re {Zi } ( ZL − Re {Zi } )
X2 =
oder
(4.32)
(4.33)
ZL Re {Zi }
ZL − Re {Zi }
X1 = − Im {Zi } + Re {Zi } ( ZL − Re {Zi } )
X2 = −
ZL Re {Zi }
ZL − Re {Zi }
(4.34)
.
Für den Erhalt reeller Lösungen für X1 und X 2 muß die Bedingung
Re {Zi } < ZL
(4.35)
erfüllt werden.
Fall2 : Die Anpaßgleichung im Betrachtungspunkt B lautet:
Re {Zi } − jIm {Zi } = +
→ die zwei Lösungspaare
jX1 ( jX 2 + ZL )
jX1 + jX 2 + ZL
Re {Zi } Im 2 {Zi } + Re {Zi } ( Re {Zi } − ZL ) ⋅ ZL − Im {Zi } ZL
X1 =
ZL − Re {Zi }
X2 =
Im 2 {Zi } + Re {Zi } ( Re {Zi } − ZL ) ⋅ ZL
Re {Zi }
oder
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
(4.36)
(4.37)
- 53 -
X1 =
− Re {Zi } Im 2 {Zi } + Re {Zi } ( Re {Zi } − ZL ) ⋅ ZL − Im {Zi } ZL
ZL − Re {Zi }
X2 = −
Im 2 {Zi } + Re {Zi } ( Re {Zi } − ZL ) ⋅ ZL
Re {Zi }
(4.38)
.
Hier muß die Bedingung
ZL <
Im 2 {Zi }
+ Re {Zi }
Re {Zi }
(4.39)
für den Erhalt reeller X1 und X 2 erfüllt werden.
Auch hier sollen mit den Gleichungen die Bauelemente und Werte der Anpaßschaltung des
konkreten Beispiels aus den Abschnitten 4.2 und 4.3 berechnet werden.
Gegeben: Zi = (75 + j ⋅100)Ω , ZL = 50Ω , f = 1 GHz
Gesucht: Bauelemente und Werte für Anpaßschaltung.
Lösung:
Im 2 {Zi }
Da ZL <
+ Re {Zi } mit 50 Ω < 208,33 Ω , Ungleichung (4.39), ist, gelten die
Re {Zi }
möglichen Lösungen von Fall 2.
Mit den Gleichungen (4.37) und (4.38) kann man folgende Wertepaare ermitteln:
X1 = −66,93Ω → C = 2, 4pF ; X 2 = 89Ω → L = 14,1nH
oder
X1 = 466,93Ω → L = 73,3nH ; X 2 = −89Ω → C = 1,8pF .
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Anpassung
- 54 -
5. Leitungsbauelemente
In diesem Kapitel soll gezeigt werden, wie man mit Leitungen und daraus zusammengesetzten
Bauelementen bestimmte Funktionen erzielen kann. Hierbei entstehen Resonatoren, Filter,
Leistungsteiler, Phasenschieber, usw. Dazu werden aus der Literatur bekannte
Leitungsstrukturen analysiert und kombiniert. Es wird keine Systematisierung nach
bestimmten Funktionen vorgenommen. Die mathematische Beschreibung mit den (U,I)Klemmengleichungen steht im Vordergrund. Daraus werden die S-Parametergleichungen
entwickelt, die dann interpretiert und an bestimmte Aufgaben angepaßt werden.
Es werde auch für diesen Abschnitt vereinbart, daß alle benutzten Leitungen verlustfrei sind,
d.h. die Dämpfung werde zu α = 0 angenommen.
5.1. Ein Leitungsstück
Ein Leitungsstück der Länge l1 mit dem Wellenwiderstand ZL1 ist Grundbestandteil aller
weiteren Anordnungen. Damit werde es zunächst gesondert behandelt, Bild 5.1.
Bild 5.1 Ein Leitungsstück in ZL - Umgebung
Das Leitungsstück wird, wie alle HF-technischen Schaltungen, in eine Leitungsumgebung mit
ZL eingebettet.
Im oberen Teil des Bildes 5.1 ist die Leitung als Stegleitung dargestellt. In diese Darstellung
lassen sich alle notwendigen elektrotechnischen Größen eintragen.
Im unteren Teil des Bildes sind praktische Ausführungen dieser Leitung in
Mikrostreifentechnik, als Draufsicht auf die Leiterplatte, dargestellt.
w
w
und 1 , wobei h die Substrathöhe der verwendeten Leiterplatte ist, lassen sich
Mit den
h
h
siehe Abschnitt 4.3, Bilder 4.6 und 4.7, die entsprechenden Wellenwiderstände ZL und ZL1
einstellen.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 55 Man beachte, daß der Strom I L2 , im Gegensatz zu den Vereinbarungen, Bild 3.5 in Abschnitt
3.4.1, aus dem Tor 2 heraus definiert ist. Diese abweichende Definition vereinfacht die
folgenden Betrachtungen. Beim Übergang zu den Streuparametergleichungen ist dann bei
Bedarf das Vorzeichen von I L2 in Tor 2 umzudrehen.
Für eine Leitung gelten, siehe Abschnitt 3.1, die Gleichungen (3.1) …(3.4). Jede Spannung
und jeder Strom auf der Leitung setzt sich aus den beiden Teilkomponenten der hin- und
rücklaufenden Welle zusammen:
u(x, t) = u + + u −
(3.1)
i(x, t) = i + + i −
(3.2)
Für die verlustfreie Leitung, α = 0, ergeben sich daraus nach Einsetzen der Wellenfunktionen
U+
U−
(3.3) und (3.4) und mit ZL = 0 (3.6) und − ZL = 0 (3.7)
I0+
I0−
2π ⎞
2π ⎞
⎛
⎛
j⎜ ωt − x ⎟
j⎜ ωt + x ⎟
λ ⎠ + U− ⋅ e ⎝
λ ⎠
u(x, t) = U 0+ ⋅ e ⎝
0
2π ⎞
2π ⎞
⎛
⎛
U 0+ j⎜⎝ ωt − λ x ⎟⎠ U 0− j⎜⎝ ωt + λ x ⎟⎠
⋅e
−
⋅e
.
i(x, t) =
ZL
ZL
(5.0)
An Tor 1 der in Bild 5.1 dargestellten Leitung wird mit x = 0
u L1 (x = 0, t) = U 0+ ⋅ e jωt + U 0− ⋅ e jωt
i L1 (x = 0, t) =
U 0+ jωt U 0− jωt
⋅e −
⋅e
ZL1
ZL1
(5.1)
(5.2)
An Tor 2 wird mit x = l1
2π ⎞
2π ⎞
⎛
⎛
j⎜ ωt − l1 ⎟
j⎜ ωt + l1 ⎟
+
−
λ
λ ⎠
⎠ + U ⋅e ⎝
u L2 (x = l1, t) = U 0 ⋅ e ⎝
0
2π ⎞
2π ⎞
⎛
⎛
U 0+ j⎜⎝ ωt − λ l1 ⎟⎠ U 0− j⎜⎝ ωt + λ l1 ⎟⎠
i L2 (x = l1, t) =
⋅e
−
⋅e
ZL1
ZL1
(5.3)
(5.4)
Aus diesen vier Gleichungen (5.1) bis (5.4) lassen sich U 0+ und U 0− eliminieren. Es fällt
automatisch die Zeitabhängigkeit e jωt heraus, womit aus den zeit- und ortsabhängigen u L1 ,
i L1 , u L2 , i L2 die nur noch ortsabhängigen Größen U L1 , I L1 , U L2 , I L2 werden.
Als (U,I)-Klemmengleichungen in Misch- bzw. Transmissionsform ergeben sich zwischen
den beiden Toren 1 und 2 des Leitungsstücks
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 56 2π
⎡
⎛ j 2π l
−j l ⎞
⎢ 1 ⎜e λ 1 + e λ 1 ⎟
⎢ 2⎜
⎟
⎡ U L2 ⎤ ⎢
⎝
⎠
⎢I ⎥=⎢
⎣ L2 ⎦ ⎢ 1 ⎛ j 2π l1 − j 2π l1 ⎞
⎜ −e λ + e λ ⎟
⎢
⎜
⎟
2Z
⎢⎣ L1 ⎝
⎠
2π
2π ⎞ ⎤
⎛
ZL1 ⎜ j λ l1 − j λ l1 ⎟ ⎥
−e
+e
⎟⎥
2 ⎜
⎝
⎠ ⎥ ⎡ U L1 ⎤
⋅⎢
⎥,
2π ⎞ ⎥ ⎣ I L1 ⎦
⎛ j 2π l
−
j
l
⎥
1
1⎜ λ 1
e
+e λ ⎟ ⎥
⎟
2⎜
⎝
⎠ ⎥⎦
(5.5)
was vereinfacht zu
⎡
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎤
cos ⎜ l1 ⎟
− jZL1 sin ⎜ l1 ⎟ ⎥
⎢
⎡ U L2 ⎤ ⎢
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠ ⎥ ⎡ U L1 ⎤
⋅⎢
⎢I ⎥=⎢
⎥
⎛ 2π ⎞ ⎥ ⎣ IL1 ⎦
⎣ L2 ⎦ − j sin ⎛ 2π l ⎞
cos
l
1⎟
1⎟
⎢
⎥
⎜
⎜
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠ ⎦
⎣ ZL1
(5.6)
wird, siehe auch [Vielhauer].
Bei Verwendung von Mathematikprogrammen , wie Mathematica, Marple, Matlab,
Mathcad,… erweisen sich die Gleichungen (5.5) oftmals als günstiger als die Form (5.6).
Jetzt werden die U und I in den Gleichungen (5.5) und (5.6) , siehe Abschnitt 3.4,
Gleichungen (3.41), durch die Gleichungen
1
⋅ (a1 − b1 )
ZL
U L1 = ZL ⋅ (a1 + b1 ) ,
I L1 =
U L2 = ZL ⋅ (a 2 + b 2 ) ,
I L2 = −
1
⋅ (a 2 − b 2 )
ZL
(5.7)
ersetzt, um die Streuparametergleichungen durch Umstellen nach b1 und b 2 zu erzeugen.
Dabei wird durch das negative Vorzeichen bei I L2 , Gleichungen 5.7, die korrekte
Vorzeichenzuordnung hergestellt, vergleiche mit Bild 3.5 in Abschnitt 3.4.1.
Als Streuparametergleichungen ergeben sich:
⎡ b1 ⎤
1
⋅
(5.8)
⎢b ⎥ =
⎣ 2 ⎦ 2Z Z cos ⎛ 2π l ⎞ + j Z2 + Z2 sin ⎛ 2π l ⎞
⎜
⎜
L1 L
1⎟
L1
L
1⎟
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎡
⎤
⎛ 2π ⎞
2
2
2ZL1ZL
⎢ j ZL1 − ZL sin ⎜ λ l1 ⎟
⎥ ⎡a ⎤
⎝
⎠
⎢
⎥⋅⎢ 1⎥
⋅
⎢
⎛ 2π ⎞ ⎥ a
2ZL1ZL
j Z2L1 − Z2L sin ⎜ l1 ⎟ ⎥ ⎣ 2 ⎦
⎢
⎝ λ ⎠⎦
⎣
(
(
)
)
(
)
Mit einem Leitungsstück der Länge l1 und ZL1 = ZL folgen aus den Gleichungen (5.8) die,
z.B. aus [Meinke], bekannten Gleichungen für ein angepaßtes Leitungsstück zu:
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 57 ⎡
⎡ b1 ⎤ ⎢ 0
⎢ b ⎥ = ⎢ 2π
⎣ 2 ⎦ ⎢ − j l1
⎢⎣e λ
−j
e
2π ⎤
l1
λ ⎥ ⎡a ⎤
1
0
⎥⋅⎢ ⎥
⎥ ⎣a 2 ⎦
⎥⎦
(5.9)
Diese Gleichungen zeigen, daß ein Stück Leitung als Phasenschieber wirkt, womit eine erste
Funktion einer Leitung ausgewiesen werden kann.
Für alle weiteren Ausführungen werden die (U,I)-Klemmengleichungen (5.5) benutzt.
5.2. Ein kurzgeschlossener bzw. offener Leitungsstich
Eine Funktion eines kurzgeschlossenen bzw. offenen Leitungsstichs wurde in Kapitel 4
bereits ausführlich zur Anpassung erläutert. Dort wurden mit diesen Leitungsstichen benötigte
imaginäre Widerstände (Reaktanzen) erzeugt, die letztendlich den verlustfreien
Leistungstransport von einer Quelle zu einer Senke ermöglichen.
Eine andere Funktion ergibt sich aus der Fragestellung, was geschieht, wenn ein solcher
Leitungsstich in den Leistungspfad einer Leitung eingeschaltet wird, siehe Bild 5.2?
Bild 5.2: Ein Leitungsstich im Leistungspfad
In Bild 5.2 ist oben links die zu untersuchende Anordnung in Stegleitungsanordnung, rechts
eine Realisierung in Mikrostreifenleitung und unten die Eingangschaltung zur Berechnung
des Eingangsreflektionsfaktors p = S11 dargestellt.
Die Realisierung in Mikrostreifenleitung zeigt einen kurzgeschlossenen Leitungsstich. Den
Kurzschluß stellt man durch eine Durchkontaktierung am Ende der Leitung zum Grund der
Leiterplatte her.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 58 Zwischen den Toren 1 und 2, die theoretisch den Abstand Null zueinander haben, l → 0 ,
wirkt der Leitungsstich mit seinem Eingangswiderstand ZE1 . Er beeinflußt damit den
Leistungstransport zwischen den beiden Toren nach den Gleichungen (4.13) und (4.14) zu
⎛ 2π ⎞
ZE1 = jZL1 tan ⎜ l1 ⎟ für einen Kurschluß oder
⎝ λ ⎠
⎛ 2π ⎞
ZE1 = − jZL1 cot ⎜ l1 ⎟ für einen Leerlauf
⎝ λ ⎠
(5.10)
(5.11)
am Ende des Leitungsstichs.
1
Bei verschiedenen λ ∼ kann ZE1 die Extremwerte 0 und ±∞ annehmen. Diese
f
Extremwerte treten mit wachsender Frequenz periodisch auf. D.h. für bestimmte Frequenzen,
bei denen ZE1 = 0 ist, wird die in Tor 1 oder 2 eingespeiste Welle komplett reflektiert.
Bei anderen Frequenzen ist ZE1 = ±∞ , die Welle von Tor 1 zu Tor 2 und umgekehrt wird
nicht beeinflußt, also übertragen.
λ
λ
Diese Frequenzstellen ergeben sich für l1 = + k ⋅ mit k = 0,1,2,3,4,…
4
4
Hieraus folgt, das ein solcher Leitungsstich wie ein periodisches Filter wirkt, womit eine
weitere Funktion des Leitungsstichs herausgearbeitet wurde.
Um die Wirkung des Leitungsstichs vollständig gleichungstechnisch zu beschreiben, wird
jetzt wie bei dem Leitungsstück in Abschnitt 5.1 verfahren. Dazu wird nur der Spezialfall, daß
ZL1 = ZL ist, dargestellt, siehe Bild 5.3.
Bild 5.3: Leitungsstich mit den Variablen
Für das Aufstellen der Gleichungen wird der Leitungsstich zunächst als Dreitor aufgefaßt.
Das Tor 3 wird zum Schluß durch die Einführung der Bedingungen für Kurzschluß bzw.
Leerlauf eliminiert.
Es gelten die Maschengleichung U1 = U 2 ,
(5.12)
als Knotengleichungen zwischen den Toren 1 und 2 und an Tor 3
I1 + I 2 = I L1 , I3 = − IL2
(5.13)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 59 und als Leitungsgleichungen des Leitungsstichs.
2π
⎡
⎛ j 2π l
−j l ⎞
⎢ 1 ⎜e λ 1 + e λ 1 ⎟
⎢ 2⎜
⎟
⎡ U3 ⎤ ⎢
⎝
⎠
⎢I ⎥ = ⎢
⎣ L2 ⎦ ⎢ 1 ⎛ j 2π l1 − j 2π l1 ⎞
⎜ −e λ + e λ ⎟
⎢
⎜
⎟
2Z
⎢⎣ L ⎝
⎠
2π
2π ⎞ ⎤
⎛
ZL ⎜ j λ l1 − j λ l1 ⎟ ⎥
−e
+e
⎟⎥
2 ⎜
⎝
⎠ ⎥ ⎡ U1 ⎤
⋅⎢ ⎥
2 π ⎞ ⎥ ⎣ I L1 ⎦
⎛ j 2π l
j
l
−
⎥
1
1⎜ λ 1
e
+e λ ⎟ ⎥
⎟
2⎜
⎝
⎠ ⎥⎦
(5.14)
Nach Eliminieren der inneren Variablen I L1 und I L2 erhält man die (U,I)Klemmengleichungen in Impedanzform zu
⎡
⎤
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
−j
⎢ − jcos ⎜ λ l1 ⎟ − jcos ⎜ λ l1 ⎟
⎥
⎝
⎠
⎝
⎠
⎢
⎥ ⎡ I1 ⎤
⎡ U1 ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
ZL
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
⎢U ⎥ =
jcos
l
jcos
l
j
−
−
−
2
1
1
⎢
⎥ ⋅ ⎢ I2 ⎥ .
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢ ⎥
λ ⎠
λ ⎠
⎛ 2π ⎞ ⎢
⎝
⎝
⎥ ⎢I ⎥
⎢⎣ U3 ⎥⎦ sin ⎜ l1 ⎟
⎣ 3⎦
⎝ λ ⎠⎢
2
π
⎛
⎞⎥
j
j
jcos
l
−
−
−
⎢
1 ⎟⎥
⎜
⎝ λ ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
(5.15)
1
⋅ (a − b) und Umstellen nach den b erhält
ZL
man die Streumatrizengleichungen. In ihnen wird jetzt
(5.16)
- mit b3 = −a 3 der Kurzschluß
- mit b3 = a 3 der Leerlauf
(5.17)
an Tor 3 eingestellt, womit für den Kurzschlußfall die endgültigen Streumatrizengleichungen
Nach Ersetzen der U = ZL ⋅ (a + b) und I =
⎡
⎛ 2π ⎞
− cos ⎜ l1 ⎟
⎢
⎡ b1 ⎤
1
⎝ λ ⎠
⎢
⎢b ⎥ =
⎣ 2 ⎦ cos ⎛ 2π l ⎞ + j2sin ⎛ 2π l ⎞ ⎢ j2sin ⎛ 2π l ⎞
1⎟
1⎟
⎜
⎜
1⎟
⎜
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠ ⎣⎢
⎝ λ ⎠
⎛ 2π ⎞ ⎤
j2sin ⎜ l1 ⎟ ⎥
⎝ λ ⎠ ⎥ ⎡ a1 ⎤
⋅⎢ ⎥
⎛ 2π ⎞ ⎥ ⎣ a 2 ⎦
− cos ⎜ l1 ⎟ ⎥
⎝ λ ⎠⎦
(5.18)
folgen. Die Beträge von S11 = S22 und S21 = S12 sind in Bild 5.4 dargestellt.
l
Bild 5.4 zeigt, daß wegen f ∼ 1 mit wachsender Frequenz die S-Parameter periodisch mit
λ
l1
= 0,5 zwischen 0 und 1 pendeln. Nimmt man S21 als Übertragungsfunktion zwischen
λ
l
Tor1 und 2, kann man den Kurvenverlauf zwischen 1 = 0 und 0,5 als Filterkurve eines
λ
Bandpasses auffassen.
Sind die darüberliegenden Perioden unerwünscht, müssen sie durch einen Tiefpaß
weggefiltert werden.
Man kann dieses Filter wegen seiner Periodizität auch als Kammfilter benutzen.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 60 Für einen leerlaufenden Leitungsstich müßten in Bild 5.4 die Streuparameter S21 und S11
gegeneinander ersetzt werden, womit man dieses Filter als Bandsperre auffassen kann.
l
Bild 5.4: Verlauf der S-Parameter des kurzgeschlossenen Leitungsstichs über 1
λ
Die rechentechnischen Darstellungen für den Leitungsstich erfolgten unter der Festlegung,
daß das ZL1 des Leitungsstichs gleich dem ZL der zuführenden Leitungen sei. Für ZL1 ≠ ZL
verändern sich die Kurven in Bild 5.4 dahingehend, daß sich die Wölbung und Steilheit der
Kurven verändert, wobei die Periodizität beibehalten wird.
5.3. Elektromagnetisch verkoppelte Leitungen
Elektromagnetisch verkoppelte Leitungen sind Leistungstransformatoren, mit denen es
gelingt, elektromagnetische Leistung berührungslos von einer Leitung auf die andere zu
koppeln.
Damit wird zusätzlich zur Funktion der Leistungsübertragung die Funktion der galvanischen
Trennung realisiert.
5.3.1. Leitungsgleichungen der elektromagnetisch verkoppelten Leitungen
Zur Interpretation möglicher Effekte der elektromagnetisch verkoppelten Leitungen müssen
die (U,I)-Klemmengleichungen und die Streumatrizengleichungen hergeleitet werden.
Man geht hierzu, siehe [Bouzianne, Bächtold, Zinke, Meinke, …] von der Ersatzschaltung
eines Leitungselements der Zweidrahtleitung aus, die sich aus den Betrachtungen in Kapitel 2,
Abschnitt 2.1, ergeben. Die Ersatzschaltung ist in Bild 5.5 angegeben. Im Bild 5.5 ist links
das Leitungsmodell eines Leitungselements der Länge Δx angegeben, das alle Parameter der
Zweidrahtleitung enthält. Dabei ist Δx sehr klein und geht gegen Null.
Nach der Vereinbarung, daß in diesem Kapitel nur verlustfreie Leitungen betrachtet werden,
d.h. α = 0 ist, somit der Ableitwert G 'ab = 0 und der Längswiderstand R ' = 0 sind, ergibt sich
das rechts stehende vereinfachte Leitungsmodell mit den verbleibenden Bauelementen L' und
C' , der auf die Länge Δx bezogenen Selbstinduktivität und der Kapazität.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 61 -
Bild 5.5: Leitungsmodell einer Zweidrahtleitung
Jetzt werden zwei solche Leitungselemente elektromagnetisch miteinander verkoppelt, d.h. in
geringem Abstand parallel geführt. Damit können sich die zwischen den Drähten der zwei
Leitungen entstehenden Felder gegenseitig umschlingen.
Bild 5.6. zeigt die entstehende Anordnung.
Bild 5.6: Leitungsmodell von zwei elektromagnetisch verkoppelten Leitungen
Die Beschriftung der zwei Leitungselemente in Bild 5.6 ist die gleiche, wie in Abschnitt 2.1,
um die dort zutreffenden Gleichungen übernehmen zu können. Für Leitung 1 steht der
Index 1 und für Leitung 2 der Index 2.
Zusätzlich tauchen die beiden Koppelbauelemente auf, die auf Δx bezogene Koppelkapazität
C'K und die Gegeninduktivität M ' .
Zur weiteren Vereinfachung werde angenommen, daß die beiden zu verkoppelnden Leitungen
gleich aufgebaut seien, d.h. C' = C1' = C'2 und L' = L'1 + L'2 .
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 62 Analog den Herleitungen in Abschnitt 2.1, Gleichungen (2.9) und (2.17), werden die
zutreffenden Differentialgleichungen für die Leitungen aufgestellt. Es ergeben sich
∂u1
∂i
∂i
= L' 1 + M ' 2 ,
∂t
∂t
∂t
∂u 2
∂
i
∂
i
−
= M ' 1 + L' 2
∂t
∂t
∂t
−
(5.20)
(5.21)
als Spannungsgleichungen und
(
)
∂i
∂u1
∂u
− 1 = C' + C'K
− CK 2 ,
∂t
∂t
∂t
∂i 2
∂u1
∂u 2
−
= −CK
+ C' + C'K
∂t
∂t
∂t
(
(5.22)
)
(5.23)
als Stromgleichungen.
Diese werden voneinander, entsprechend der Herleitung, Gleichungen (2.18) und (2.19) in
Abschnitt 2.1, bezüglich u und i zu den Wellengleichungen entkoppelt:
∂ 2 u1
(
)
(
)
(
)
∂ 2 u1 ⎡ ' '
∂ 2u 2
= ⎡⎢ L' C' + C'K − M 'C'K ⎤⎥
+ ⎢ − LCK + M ' C' + C'K ⎤⎥
⎦ ∂t 2 ⎣
⎦ ∂t 2
∂x 2 ⎣
2
2
∂ 2u 2 ⎡ ' '
' ' ⎤ ∂ u1 ⎡
' '
' '
' ⎤ ∂ u2
= ⎢ M C + C'K − LC
+
−
+
+
M
C
L
C
C
K ⎦⎥
K
K ⎥⎦
∂x 2 ⎣
∂t 2 ⎣⎢
∂t 2
2
2
∂ 2i1 ⎡ ' '
'
' ' ⎤ ∂ i1 ⎡ ' '
' '
' ⎤ ∂ i2
= L C + CK − M CK ⎥
+ − LCK + M C + CK ⎥
⎦ ∂t 2 ⎢⎣
⎦ ∂t 2
∂x 2 ⎢⎣
(
)
(
∂ 2i 2
(
(5.24)
(5.25)
)
(
)
(5.26)
)
(
)
(5.27)
2
2
' '
'
' ' ⎤ ∂ i1 ⎡
' '
' '
' ⎤ ∂ i2
⎡
= M C + CK − LCK ⎥
+ − M CK + L C + CK ⎥
⎦ ∂t 2 ⎢⎣
⎦ ∂t 2
∂x 2 ⎢⎣
Wie in Abschnitt 2.1 werde auch hier angenommen, daß
u = U 0e j(ωt ∓ βx) und
i = I0e j(ωt ∓ βx)
(5.28)
seien, da solche Wellen in die gekoppelte Leitung einlaufen. Wegen der Verlustfreiheit, α = 0 ,
2π
taucht nur die Phasenkonstante β =
im Exponenten der Exponentialfunktion auf.
λ
Es werde damit überprüft, ob die Wellengleichungen (5.24) bis (5.27) sinnvolle Lösungen für
β liefern. Man erhält nach Einsetzen der Wellenfunktionen (5.28), z.B. in die Gleichungen
(5.24) und (5.25):
(
)
(
(
' '
β2 U 01 = ⎡⎢ L' C' + C'K − M 'C'K ⎤⎥ ω2 U 01 + ⎡⎢ − LC
+ M ' C' + C'K
K
⎣
⎦
⎣
2
'
'
'
'
'
2
β U 02 = ⎡⎢ M C + CK − LCK ⎤⎥ ω U 01 + ⎡⎢ − M 'C'K + L' C' + C'K
⎣
⎦
⎣
(
)
)⎤⎥⎦ ω2U02
)⎤⎥⎦ ω2U02
(5.29)
(5.30)
Nach Eliminieren von U 01 und U 02 in (5.29) und (5.30) erhält man vier Lösungen für β :
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 63 ' '
β1/ 2 = ±ω LC
+ M 'C '
(5.31)
β3 / 4 = ±ω
(5.32)
( C' + 2C'K ) + ( L' − M' )
Keine dieser Lösungen erfüllt alle Leitungsgleichungen (5.20)…(5.23) gleichermaßen. Nur
wenn zwischen den β -Gleichungen (5.31) und (5.32) die Beziehung
M' =
' '
LC
K
C' M '
bzw. C'K =
L' − M '
C' + C'K
(5.33)
hergestellt wird, liefern alle Lösungen von β ein konsistentes Ergebnis nach Einsetzen in die
Differentialgleichungen (5.20) …(5.27) der Leitung. Hiermit hat man eine erste
Einschränkung für die Gültigkeit des Leitungsmodells für gekoppelte Leitungen gefunden.
Soll das Modell funktionieren, müssen die Beziehungen zwischen C'K und M ' nach
Gleichung (5.33) eingehalten werden!
Jetzt können die (U, I)-Klemmengleichungen mit den Leitungsgleichungen (5.20)…(5.23)
und den vereinbarten Wellenfunktionen (5.28) hergeleitet werden. Die Leitungsgleichungen
werden damit zu:
'
'
βU 01 = ωLI
01 + ωM I02
(5.34)
'
βU 02 = ωM 'I01 + ωLI
02
(5.35)
βI01 = ω C' + C'K U 01 − ωC'K U 02
(5.36)
(
)
(
)
βI02 = −ωC'K U 01 + ω C' + C'K U 02
(5.37)
In diesen Gleichungen sind immer die Variablen U 01 , U 02 , I01 , I02 beider Leitungen
miteinander vermischt, so daß die weiteren Untersuchungen schwierig werden. Hier existiert
eine vereinfachende Methode, z.B. in [Kummer, Meinke], diese beiden verkoppelten
Leitungen zu zwei neuen Leitungen, in ein Mit- und ein Gegensystem zu entkoppeln. Man
bildet dazu die Summen und Differenzen der Spannungs- und Stromgleichungen des
Gleichungssystems (5.34)…(5.37) und erhält im
- Mitsystem
ω
U ADD = U 01 + U 02 = ⎡⎢ L' + M ' I01 + L' + M ' I02 ⎤⎥ ,
(5.38)
⎦
β⎣
ω
I ADD = I01 + I02 = ⎡ C' U 01 + C' U 02 ⎤
(5.39)
⎦
β⎣
- Gegensystem
ω
USUB = U 01 − U 02 = ⎡⎢ L' − M ' I01 − L' − M ' I02 ⎤⎥ ,
(5.40)
⎦
β⎣
ω
ISUB = I01 − I02 = ⎡⎢ C' + 2C'K U 01 − C' + 2C'K U 02 ⎤⎥ .
(5.41)
⎦
β⎣
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
Man erkennt, daß auf den rechten Seiten der Gleichungen (5.38)…(5.41) genauso Summen
und Differenzen von U 01 , U 02 , I01 , I02 stehen, so daß man die Gleichungen endgültig
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 64 im Mitsystem zu
(
)
(
(
)
ω '
L + M ' I ADD ,
(5.42)
β
ω
I ADD = C' U ADD
(5.43)
β
und im Gegensystem zu
ω '
USUB =
L − M ' ISUB ,
(5.44)
β
ω '
ISUB =
C + 2C'K USUB
(5.45)
β
umformen kann.
Da damit gleichungstechnisch die Entkopplung der originalen Leitungen 1 und 2 in zwei neue
voneinander getrennte Leitungen gelungen ist, können im Mit- und Gegensystem einfachere
Betrachtungen angestellt werden:
Ein einfaches Leitungsstück der Länge l1 wurde bereits in Abschnitt 5.1 beschrieben. Die
dafür gewonnenen Ergebnisse lassen sich auf die beiden entkoppelten Leitungen im Mit- und
Gegensystem übertragen, siehe Bild 5.7.
U ADD =
)
Bild 5.7: Leitungen des Mit- und Gegensystems für eine Länge l1
Mit
u ADD = U 0ADD e j(ωt −βx) , i ADD = I0ADD e j(ωt −βx) ,
(5.46)
uSUB = U 0SUBe j(ωt −βx) , iSUB = I0SUBe j(ωt −βx)
(5.47)
und der Berücksichtigung von hin- und rücklaufenden Wellen ergeben sich, entsprechend
Gleichungen (5.1)…(5.6) für die beiden in Mit- und Gegensystem getrennten Leitungen, die
(U,I)-Klemmengleichungen in Transmissionsschreibweise bzw. Mischform zu:
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 65 ⎡
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎤
cos ⎜ l1 ⎟
− jZLADD sin ⎜ l1 ⎟ ⎥
⎢
⎡ U AADD ⎤ ⎢
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠ ⎥ ⎡ U EADD ⎤
⋅
⎢I
⎥=⎢
⎥ ⎢⎣ IEADD ⎥⎦
j
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
⎣ AADD ⎦ −
sin ⎜ l1 ⎟
cos ⎜ l1 ⎟
⎢
⎥
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎣ ZLADD
⎦
⎡
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎤
cos ⎜ l1 ⎟
− jZLSUB sin ⎜ l1 ⎟ ⎥
⎢
⎡ U ASUB ⎤ ⎢
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠ ⎥ ⎡ U ESUB ⎤
⋅
⎢I
⎥=⎢
⎥ ⎢⎣ IESUB ⎥⎦
j
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
⎣ ASUB ⎦ −
sin ⎜ l1 ⎟
cos ⎜ l1 ⎟
⎢
⎥
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎣ ZLSUB
⎦
(5.48)
(5.49)
Die zur Hinführung ins Mit- und Gegensystem entstandenen Gleichungen (5.42)…(5.45)
enthalten getrennt für das Mit- und das Gegensystem immer U und I . Sie lassen sich somit
in Widerstandsgleichungen umformen, womit man ZLADD und ZLSUB bestimmen kann:
(
2
L' + M '
U
U ADD ω '
β
ZLADD =
L + M' =
=
⇒ Z2LADD = ADD =
'
I ADD β
I 2ADD
C'
ωC
(
(
)
)
U
ω '
β
ZLSUB = SUB =
L − M' =
ISUB β
ω C' + 2C'K
(
)
⇒
Z2LSUB
=
)
( L' − M' )
(C
'
+ 2C'K
)
(5.50)
(5.51)
Nachdem alle Parameter der Klemmengleichungen für die beiden Leitungen im Mit- und
Gegensystem bekannt sind, können mit den linken Teilen der Gleichungen (5.38)…(5.41) die
Beziehungen für die vier Tore der entkoppelten Leitungen, Bild 5.7 und der verkoppelten
Leitungen, siehe Bild 5.6, aufgestellt werden.
U EADD = U1 + U 2 ;
I EADD = I1 + I2 ;
U AADD = U3 + U 4 ;
I AADD = I3 + I4 ;
U ESUB = U1 − U 2 ;
I ESUB = I1 − I 2 ;
U ASUB = U3 − U 4 ;
I ASUB = I3 − I4 .
(5.52)
Die Gleichungen (5.48), (5.49) und (5.52) werden nun zu den (U,I)-Klemmengleichungen der
verkoppelten Leitungen umgeformt, hier in Transmissions- bzw. Mischschreibweise
⎡ U3 ⎤ ⎡ K1
⎢U ⎥ ⎢ 0
⎢ 4⎥ = ⎢
⎢ I3 ⎥ ⎢ K 5
⎢ ⎥ ⎢
⎣ I4 ⎦ ⎣ K 6
0
K2
K1
K6
K3
K1
K5
0
K 3 ⎤ ⎡ U1 ⎤
K 2 ⎥⎥ ⎢⎢ U 2 ⎥⎥
⋅
0 ⎥ ⎢ I1 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
K1 ⎦ ⎣ I2 ⎦
(5.53)
mit
⎛ 2π ⎞
K1 = cos ⎜ l1 ⎟ ,
⎝ λ ⎠
j
⎛ 2π ⎞
K 2 = − ( ZLADD + ZLSUB ) sin ⎜ l1 ⎟ ,
2
⎝ λ ⎠
(5.54)
(5.55)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 66 K3 = −
j
2π
( ZLADD − ZLSUB ) sin ⎛⎜ l1 ⎞⎟ ,
2
⎝ λ ⎠
(5.56)
j ( ZLADD + ZLSUB )
⎛ 2π ⎞
sin ⎜ l1 ⎟ ,
2ZLADD ZLSUB
⎝ λ ⎠
j ( ZLADD − ZLSUB ) ⎛ 2π ⎞
K6 =
sin ⎜ l1 ⎟ .
2ZLADD ZLSUB
⎝ λ ⎠
K5 = −
(5.57)
(5.58)
j
j
⎡
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎤
cos ⎜ l1 ⎟
0
− ( ZLADD + ZLSUB ) sin ⎜ l1 ⎟ − ( ZLADD − ZLSUB ) sin ⎜ l1 ⎟ ⎥
⎢
2
2
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠⎥
⎢
j
j
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎥ ⎡ U ⎤
⎡ U3 ⎤ ⎢
0
cos ⎜ l1 ⎟
− ( ZLADD − ZLSUB ) sin ⎜ l1 ⎟ − ( ZLADD + ZLSUB ) sin ⎜ l1 ⎟ ⎥ ⎢ 1 ⎥
⎢U ⎥ ⎢
2
2
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠⎥ U2
⎢ 4⎥ = ⎢
⋅⎢ ⎥
⎥ ⎢I ⎥
⎢ I3 ⎥ ⎢ j ( ZLADD + ZLSUB ) ⎛ 2π ⎞ j ( ZLADD − ZLSUB ) ⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
1
sin
l
cos
l
0
sin
l
−
⎢
⎥
⎜
⎜
⎢ ⎥
1⎟
1⎟
1⎟
⎢ ⎥
⎜
2ZLADD ZLSUB
2ZLADD ZLSUB
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎥ ⎣ I2 ⎦
⎣ I4 ⎦ ⎢
⎢ j( Z
⎥
j ( ZLADD + ZLSUB ) ⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
LADD − ZLSUB )
⎢
⎥
sin ⎜ l1 ⎟ −
sin ⎜ l1 ⎟
0
cos ⎜ l1 ⎟
2ZLADD ZLSUB
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
⎣⎢ 2ZLADD ZLSUB
⎦⎥
1
(a − b) werden
ZL
die Gleichungen (5.53) nach den b in Streumatrixform aufgelöst. Dabei stellt man schnell
fest, daß dabei praktisch nicht handhabbare Gleichungen entstehen. In diesen Gleichungen
stehen aber häufig Summen oder Differenzen von K 2 , K 5 und K 3 , K 6 . Das
Gleichungssystem würde sich also wesentlich vereinfachen lassen, wenn man
Mit den bekannten Methoden des Ersatzes von U = ZL (a + b) und I =
K 2 = K 5 und K 3 = - K 6
(5.59)
wählt. Dann hängen die Konstanten zu
K5 =
Z2L
K 2 und
ZLADD ZLSUB
K6 = −
Z2L
K3
ZLADD ZLSUB
(5.60)
zusammen, womit als neue Bedingung für die Erzeugung eines brauchbaren Ergebnisses
Z2L
=1
ZLADD ZLSUB
(5.61)
entsteht. Hiermit ergeben sich die Streumatrizengleichungen:
(5.62)
⎡
0
⎢
⎢
K6
⎡ b1 ⎤ ⎢
⎢b ⎥ ⎢
K1 − K 5
⎢ 2⎥ = ⎢
⎢ b3 ⎥ ⎢
K6
⎢ ⎥ ⎢ K1 + K 5 +
K1 − K 5
⎣ b4 ⎦ ⎢
⎢
0
⎢
⎢⎣
K6
K1 − K 5
1
K1 − K 5
0
0
0
0
K1 + K 5 +
K6
K1 − K 5
K6
K1 − K 5
⎤
⎥
⎥
⎥ ⎡ a1 ⎤
1
K1 − K 5 ⎥⎥ ⎢a 2 ⎥
⋅⎢ ⎥
K6 ⎥ ⎢a3 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
K1 − K 5 ⎥ ⎣a 4 ⎦
⎥
0
⎥
⎥⎦
0
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 67 Da die beschriebene verkoppelte Leitung, von beiden Seiten gesehen, ein symmetrisches
Bauelement ist, ist das unsymmetrische Gleichungssystem (5.62) ungewöhnlich. Daher soll
untersucht werden ob
K6
1
K1 + K 5 +
=
bzw. K12 + K 52 + K 62 = 1 .
(5.63)
K1 − K 5 K1 − K 5
Es werden dazu die Konstanten K1 , K 5 , K 6 durch ihre Entsprechungen aus (5.54), (5.57)
und (5.58) ersetzt und zusammengefaßt. Man erhält
Z2L
,
⎠ ZLADD ZLSUB
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
K12 + K 52 + K 62 = cos 2 ⎜ l1 ⎟ + cos 2 ⎜ l1 ⎟ ⋅
⎝ λ
⎝ λ
⎠
(5.63)
was mit der Bedingung (5.61) tatsächlich zu 1 wird.
Jetzt kann man die endgültigen Streumatrizengleichungen zu
⎡ 0
⎡ b1 ⎤
⎢K
⎢b ⎥
1
⎢ 2⎥ =
⋅⎢ 6
⎢ b3 ⎥ K1 − K 5 ⎢ 1
⎢
⎢ ⎥
⎣ b4 ⎦
⎣ 0
K6
1
0
0
0
0
1
K6
0 ⎤ ⎡ a1 ⎤
1 ⎥⎥ ⎢⎢a 2 ⎥⎥
⋅
K6 ⎥ ⎢a3 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
0 ⎦ ⎣a 4 ⎦
(5.64)
angeben, die von der Anordnung und dem Gehalt der Konstanten das gleiche Aussehen, wie
in der Literatur, z.B. [Bouzianne, Meinke, Zinke, ...] haben.
5.3.2. Anwendungen elektromagnetisch verkoppelter Leitungen
Die Streumatrizengleichungen (5.64) kennzeichnen einen Richtkoppler, wobei folgende
Aussagen von der Frequenz unabhängig sind:
a) Das Ausgangssignal b1 ist nicht vom Eingangssignal a 4 ,
das Ausgangssignal b 2 ist nicht vom Eingangssignal a 3 ,
das Ausgangssignal b3 ist nicht vom Eingangssignal a 2 ,
das Ausgangssignal b 4 ist nicht vom Eingangssignal a1
abhängig.
Das werde in Bild 5.9 für die Benutzung der gegenüberliegenden Tore 1 und 3
verdeutlicht:
Benutzt man Leitung 1 als Richtungs- bzw. Leistungspfad wird bei linksseitiger
Einspeisung in Tor 1 die Leistung an den Toren 3 und 2 ausgekoppelt, während an Tor 4
keine Leistung auftaucht. Umgekehrt gilt bei rechtsseitiger Einspeisung in Tor 3 die
Auskopplung über die Tore 1 und 4, während an Tor 2 keine Leistung anliegt. Diese
Eigenschaft läßt sich zur richtungsabhängigen Leistungsmessung bzw.
Leistungsverteilung verwenden, wenn man z.B. den Nebenpfad, Leitung 2, als Meßpfad
benutzt.
b) Die Hauptdiagonale der Streuparametermatrix von (5.64) ist mit Nullen besetzt. D.h.
alle Eingangsreflektionsfaktoren S11 = S22 = S33 = S44 = 0 sind, wie gewünscht, Null.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 68 Als eine Funktion der elektromagnetisch verkoppelten Leitungen konnte also die
Richtkopplerfunktion bzw. richtungsabhängige Leistungsverteilung herausgearbeitet werden.
Bild 5.9: Leitungsrichtkopplerprinzip
Um ein Gefühl für die sich einstellenden Größen am Richtkoppler zu erhalten, werde ein
mathematischer Überschlag an einem frei gewählten Stegleitungsmodell durchgeführt, siehe
Bild 5.10.
Bild 5.10: Elektromagnetisch verkoppelte Leitungen für eine Überschlagsrechnung
Im Bild 5.10 sind oben links das Stegleitungsmodell und rechts eine mögliche praktische
Ausführung in Mikrostreifentechnik, als Draufsicht auf die Leiterplatte, gezeigt.
Im Stegleitungsmodell sind die zur Berechnung benutzten geometrischen Größen dargestellt.
Sie betragen für die Überschlagsrechnung r0 = 0,5 mm; d = 5 mm; a = 1,5 mm.
Die rechts angegebenen Größen w als Streifenleiterbreite der zuführenden Leitungen, w1
und s Streifenleiterbreite und Abstand der elektromagnetisch verkoppelten Leitung der Länge
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 69 l1 müssen mit der Substrathöhe h aus den entsprechenden Nomogrammen ermittelt werden.
Genau wie in Abschnitt 4.3, Bilder 4.6 und 4.7, existieren, siehe z.B. [Meinke,
Hoffmann,Thumm2], für elektromagnetisch verkoppelte Leitungen Nomogramme zur
Bestimmung von ZLADD und ZLSUB .
Unten im Bild 5.10 sind die sich einstellenden Kapazitäten dargestellt. Man erkennt, daß die
Ausführung in Mikrostreifentechnik dem in diesem Abschnitt bearbeiteten Modell, Bild 5.6
mit den drei Kapazitäten, gut entspricht. Für Stegleitung läßt das Modell noch die Frage offen,
wie mit den durch das Fragezeichen gekennzeichneten Kapazitäten verfahren werden muß.
In der Überschlagsrechnung werden nur die nicht durch das Fragezeichen gekennzeichneten
Kapazitäten benutzt.
Für ein homogenes Dielektrikum um die Stegleitung gelten, siehe Abschnitt 2.3,
Gleichungen (2.35) und (2.37, die Parametergleichungen
C' =
πε
;
⎛d⎞
ln ⎜ ⎟
⎝ r0 ⎠
L' =
μ ⎛d⎞
ln ⎜ ⎟ ;
π ⎝ r0 ⎠
ZL =
1 μ ⎛d⎞
ln ⎜ ⎟ .
π ε ⎝ r0 ⎠
(5.65)
Als Dielektrikum werde Luft mit ε r = 1 und μ r = 1 angenommen.
Es lassen sich mit den Gleichungen (5.65) und den im Bild 5.10 angegebenen geometrischen
Größen
As
As
Vs
C' = 12 ⋅10−12
C'K = 25,3 ⋅10−12
L' = 0,92 ⋅10−6
;
;
Vm
Vm
Am
für die elektromagnetisch verkoppelten Leitungen berechnen.
Da die beiden verkoppelten Leitungen sehr eng aneinander parallel geführt werden, werde
Vs
M ' = 0, 65 ⋅10−6
, also ein wenig kleiner als L' , abgeschätzt.
Am
Mit den berechneten Werten kann die erste Bedingung (5.33) für die Gültigkeit der Lösungen
zu
C'K =
C' M '
L' − M '
= 28,9 ⋅10−12
As
Vm
abgeschätzt werden, was das oben berechnete C'K mit ca. 13% Abweichung trifft und als
ausreichend angesehen werde.
Z2L
= 1 muß dann
ZLADD ZLSUB
ZL = 158, 4Ω für die Zuleitungen zu den verkoppelten Leitungen gelten. Das kann man mit
Für die Einhaltung der zweiten Bedingung (5.61)
der gleichen Leitung realisieren, wenn aus ZL ein neuer Abstand d = 1,86 mm für die
Zuleitungen berechnet wird.
Die zwei unterschiedlichen Parameter des Richtkopplers sind in Bild 5.12 über der Frequenz
l
f ∼ 1 dargestellt. Stellvertretend werden die Übertragungsfaktoren S21 und S31 an den
λ
Toren 2 und 3 für Einspeisung in Tor 1 angegeben.
Es ist im linken Teilbild gut zu sehen, daß der Hauptteil der Leistung über die
Richtungsleitung zu Tor 3 abgeführt wird und ein kleinerer Teil der Leistung auf die
l
1
1
Nebenleitung zu Tor 2 überkoppelt wird. Für 1 = + k ⋅ ist diese Überkopplung am
2
λ 4
größten. Die Summe der an den Toren 2 und 3 abgeführten Leistungen muß natürlich wieder
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 70 genauso groß sein, wie die eingespeiste, was das rechte Teilbild für die Einspeisung einer
Leistung mit dem Betrag 1 recht gut ausweist.
l
Bild 5.12: Verlauf der S-Parameter des Beispiels für einen Richtkoppler über 1
λ
Um so besser die Bedingungen
Z2L
C' + 2C'K
=
und (5.61)
= 1 = ZL
(5.33)
ZLADD ZLSUB
L' − M '
L' + M '
eingehalten werden, desto besser entspricht die Summenleistung der beiden
Ausgangsleistungen der Eingangsleistung. Werden die Bedingungen nicht eingehalten, wird
auf alle Tore Leistung verteilt.
C'K
C' M '
Durch Variation der Bauelementeparameter L' , C' , M ' , C'K lassen sich unter Einhaltung der
Bedingungen (5.33) und (5.61) zwei Sonderfälle herstellen:
- Die Überkopplung ist sehr schwach → der Leistungsfluß im Leistungs- bzw.
Richtungspfad wird kaum beeinflußt → Nutzung als Richtkoppler für meßtechnische
Belange,
- Sehr starke Verkopplung → im Extremfall wird der Leistungsfluß wechselweise über
den Richtungspfad oder den Nebenpfad verteilt → frequenzabhängige
Leistungsverteilung auf zwei Tore.
Der erste Fall wurde oben behandelt, allerdings nicht in Richtung schwacher Verkopplung
optimiert.
Jetzt werde die frequenzabhängige Leistungsverteilung auf andere Pfade dargestellt. Es wird
der in Bild 5.13 gezeigte, häufig vorkommende Spezialfall untersucht. Er ist in
Mikrostreifentechnik dargestellt.
Auf die Darstellung des Stegleitungsmodells wurde verzichtet. Die folgenden mathematischen
Abschätzungen werden aber am gleichen Stegleitungsmodell wie vorhin durchgeführt.
Links im Bild 5.13 sind in Mikrostreifentechnik elektromagnetisch verkoppelte Leitungen
dargestellt, die an den Toren 3 und 2 mit einem Kurzschluß abgeschlossen sind. Rechts läuft
die gleiche Anordnung an den beiden Toren leer, ist dort also mit dem Widerstand ∞
abgeschlossen.
w
Die Leiterstreifenbreite w1 der verkoppelten Leitungen bestimmt über das Verhältnis 1
h
und die Dielektrizität ε des Leiterplattensubstrats die Bauelementeparameter C' und L' . Der
Abstand s zwischen den elektromagnetisch verkoppelten Leitungen bestimmt zusammen mit
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 71 w1
und ε die Parameter M ' und C'K . Es sei noch einmal darauf verwiesen, daß dafür in
h
z.B. [Meinke, Hoffmann, Thumm2] Nomogramme zur Bestimmung von ZLADD und ZLSUB
der verkoppelten Leitung enthalten sind, die die Parameter C' L' , M ' und C'K beinhalten.
Bild 5.13: Frequenzabhängiger Transformator
Für die in Bild 5.13 verkoppelten Leitungen findet man sehr schnell heraus, daß sich die
ergebenden Gleichungen nur in einer sinnvollen Form vereinfachen lassen, wenn wieder die
angegebenen Bedingungen (5.33) und (5.61) eingehalten werden. Dann erhält man für die
beiden Leitungsanordnungen bei Ersatz
von a 2 = −b 2 und a 3 = − b3 bei Kurzschluß
oder a 2 = b 2 und a 3 = b3 für Leerlauf
an den beiden Toren 1 und 4 nach Eliminieren der verbleibenden b 2 und b3 folgende
Streuparametergleichungen:
⎡ b1 ⎤
1
⎢b ⎥ = ∓
⎣ 4⎦
( K1 − K5 )2
⎡1 + K
K 62 ⎤ ⎡ a1 ⎤
6
⎢
⎥⋅⎢ ⎥
⎢⎣ K 62
1 + K 6 ⎥⎦ ⎣a 4 ⎦
(5.66)
Das liefert mit den im vorherigen Beispiel benutzten Werten für L' , C' , M ' , C'K einer
Stegleitung die im Bild 5.14 dargestellten Ergebnisse. Das Bild ist analog zu Bild 5.12
aufgebaut.
l
Bild 5.14: S-Parameter eines Leitungstransformators in Abhängigkeit von f ∼ 1
λ
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 72 l
l
1 k
Im Bild 5.14 ist links gut zu erkennen, daß für bestimmte Frequenzen f ∼ 1 mit 1 = + ,
λ
λ 4 2
k = 0, 1, 2, ... die links in Tor 1 eingespeiste Leistung nahezu komplett auf Tor 4
l
k
übergekoppelt wird, S41 ist maximal. Für andere Frequenzen 1 = 0 + wird die komplette
2
λ
l ⎡ 1⎤
Leistung reflektiert, S11 → 1 . Betrachtet man nur den Bereich 1 = ⎢0, ⎥ kann man dieses
λ ⎣ 2⎦
Verhalten für einen Bandpaß benutzen, der allerdings für HF-technische Belange recht
breitbandig ist. Die Summe der an den Toren 1 und 4 abgeführten Leistungen muß natürlich
wieder genauso groß, wie die in Tor 1 eingespeiste sein, was das rechte Teilbild für die
Einspeisung einer Leistung mit dem Betrag 1 im Bereich von 0,9…1 ausweist. Da die
Bedingung (5.33) immer noch verletzt ist, ergeben sich die gezeigten Abweichungen vom
Betrag 1.
Mit den in Bild 5.13 dargestellten elektromagnetisch verkoppelten Leitungen werden also
frequenzabhängige Transformatoren realisiert, die galvanische Trennungen von
verschiedenen HF-Schaltungen zulassen.
5.4. Leitungsschaltungen
Miteinander verschaltete Leitungen dienen i.A. dazu, eine eingespeiste Leistung auf
verschiedene Tore nach bestimmten Anforderungen bezüglich der Leistungsführung, der
Leistungsbeträge und der notwendigen Reflektionsparameter zu verteilen. Da Leitungen über
der Frequenz periodische Bauelemente sind, verhalten sich diese Leitungsschaltungen
natürlich genauso periodisch.
λ
Hier spielt der Gedanke eine Rolle, daß Leitungen der Länge positive Effekte bezüglich
4
des zu erzielenden Verhaltens der Schaltung und der Reduzierung des Rechenaufwands
haben. D.h., diese Schaltungen erfüllen ihre Aufgaben immer für eine bestimmte Frequenz
sehr gut und für andere schlecht, was bei der i.A. zu realisierenden Schmalbandigkeit von HFSchaltungen akzeptabel ist.
Die Leitungsschaltungen werden also alle für eine bestimmte Frequenz dimensioniert, bei der
λ
die Leitungslänge ist bzw. Vielfache davon aufweist.
4
5.4.1. Wilkinson Teiler
Der Wilkinson Teiler, z.B. in [Meinke, Heuermann, Vielhauer], siehe Bild 5.15, verteilt per
1
Definition die in Tor 1 eingespeiste Leistung zu jeweils auf die Tore 2 und 3.
2
Alle Tore sind für ZL - Umgebung reflektionsfrei abgeschlossen.
Es gelangt keine Leistung von Tor 2 auf Tor 3 und umgekehrt, man spricht davon, daß die
Tore entkoppelt sind.
Im Bild 5.15 links ist die Darstellung wieder in Stegleitungsform dargestellt, um alle Größen
zur Berechnung eintragen zu können. Rechts ist eine mögliche Realisierung in
Mikrostreifentechnik dargestellt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 73 -
Bild 5.15: Wilkinson Teiler
1
verlangt einen Leitungsknoten mit 3 Leitungen
2
in Tor 1. Reflektionsfreiheit in Tor 1 erhält man rechts von Tor 1 mit zwei Leitungen, deren
parallelgeschalteter Wellenwiderstand ZL ergibt. Speist man Wellen, d.h. Leistung, in die
Tore 2 oder 3 gelangt sie in bestimmten Anteilen auf die anderen Tore und wird reflektiert.
Mit Hilfe der Leitungen zwischen den Toren 1 und 2 bzw. 1 und 3, die den Wellenwiderstand
ZL1 und die Länge l1 aufweisen und eines Bauelements mit dem Wellenwiderstand Z
zwischen den Toren 2 und 3 wird versucht, die Leistungsflüsse so zu steuern, daß das
Bauelement Wilkinson-Teiler bestimmungsgemäß funktionieren kann.
1
gleich sein soll, muß die
Da die Leistungsverteilung auf die Tore 2 und 3 zu
2
Schaltungsstruktur symmetrisch sein, mit einer Symmetrielinie, die die beiden Teilbilder 5.15
waagerecht in zwei gleiche Hälften teilen würde. D.h. die obere und untere Leitung müssen
gleich sein.
Da die Aufgabe mit einem konzentrierten Bauelement Z gelöst werden kann, dessen
räumliche Ausdehnung sehr gering ist, müssen die beiden Leitungen zusammengekrümmt
werden, Bild 5.15 rechts.
Die rechts von ZL1 , l1 und Z stehenden Angaben ergeben sich aus der Lösung der Aufgabe.
Die Idee der Leistungsverteilung zu jeweils
Für das in Bild 5.15 links angegebene Problem können mit den Kenntnissen aus Abschnitt 5.1
folgende Gleichungen angegeben werden
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 74 Leitungsgleichungen
2π
⎡
⎛ j 2π l
−j l ⎞
⎢ 1 ⎜e λ 1 + e λ 1 ⎟
⎢ 2⎜
⎟
⎡ U2 ⎤ ⎢
⎝
⎠
⎢I ⎥ = ⎢
⎣ L2 ⎦ ⎢ 1 ⎛ j 2π l1 − j 2π l1 ⎞
⎜ −e λ + e λ ⎟
⎢
⎜
⎟
2Z
⎢⎣ L1 ⎝
⎠
2π
⎡
⎛ j 2π l
−j l ⎞
⎢ 1 ⎜e λ 1 + e λ 1 ⎟
⎢ 2⎜
⎟
⎡ U3 ⎤ ⎢
⎝
⎠
⎢I ⎥ = ⎢
⎣ L4 ⎦ ⎢ 1 ⎛ j 2π l1 − j 2π l1 ⎞
⎜ −e λ + e λ ⎟
⎢
⎜
⎟
2Z
⎢⎣ L1 ⎝
⎠
Knotengleichungen I1 = IL1 + I L3 ,
2π
2π ⎞ ⎤
⎛
ZL1 ⎜ j λ l1 − j λ l1 ⎟ ⎥
−e
+e
⎟⎥
2 ⎜
⎝
⎠ ⎥ ⎡ U1 ⎤
⋅⎢ ⎥ ,
2 π ⎞ ⎥ ⎣ I L1 ⎦
⎛ j 2π l
1 ⎜ λ 1 − j λ l1 ⎟ ⎥
+e
e
⎟ ⎥
2⎜
⎝
⎠ ⎥⎦
(5.67)
2π
2π ⎞ ⎤
⎛
ZL1 ⎜ j λ l1 − j λ l1 ⎟ ⎥
−e
+e
⎟⎥
2 ⎜
⎝
⎠ ⎥ ⎡ U1 ⎤
⋅⎢ ⎥ ,
2 π ⎞ ⎥ ⎣ I L3 ⎦
⎛ j 2π l
1 ⎜ λ 1 − j λ l1 ⎟ ⎥
+e
e
⎟ ⎥
2⎜
⎝
⎠ ⎥⎦
(5.68)
I L2 + I2 = I Z ,
I3 + I L4 + I Z = 0 ,
Maschengleichung U 2 = U Z + U3 ,
Bauelementegleichung
(5.69)
(5.70)
U Z = Z ⋅ IZ .
(5.71)
Aus diesen 9 Gleichungen werden die ungewünschten 6 Variablen I L1 , I L2 , I L3 , I L4 , U Z ,
I Z eliminiert. Es bleiben 3 (U,I)-Klemmengleichungen mit U1 , U 2 , U3 , I1 , I 2 , I3 . In
1
(a − b) ersetzt und die sich ergebenden
diesen werden U = ZL (a + b) und I =
ZL
Gleichungen in die Streuparameterform nach b1 , b 2 , b3 aufgelöst. Ersetzt man darin l1 =
λ
4
erhält man eine interpretierbare Form zu
(5.72)
⎡ −2Z2 + Z2
L
L1
⎢
2
2
⎢ 2ZL + ZL1
⎡ b1 ⎤ ⎢
⎢ b ⎥ = ⎢ − j2ZL ZL1
⎢ 2 ⎥ ⎢ 2Z2 + Z2
L
L1
⎢⎣ b3 ⎥⎦ ⎢
⎢ − j2Z Z
L L1
⎢
⎢⎣ 2Z2L + Z2L1
− j2ZL ZL1
2Z2L + Z2L1
2Z2L
Z
−
Z + 2ZL 2Z2L + Z2L1
2Z2L
Z
−
Z + 2ZL 2Z2L + Z2L1
⎤
⎥
2Z2L + Z2L1
⎥
⎥ ⎡ a1 ⎤
2Z2L ⎥ ⎢ ⎥
Z
⋅ a2 .
−
Z + 2ZL 2Z2L + Z2L1 ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢⎣ a 3 ⎥⎦
2
2ZL ⎥
Z
⎥
−
Z + 2ZL 2Z2L + Z2L1 ⎦⎥
− j2ZL ZL1
Das Ziel ist eine Streumatrix folgenden Aussehens
⎡ b1 ⎤ ⎡ 0 X X ⎤ ⎡ a1 ⎤
⎢ b ⎥ = ⎢ X 0 0 ⎥ ⋅ ⎢a ⎥ ,
⎢ 2⎥ ⎢
⎥ ⎢ 2⎥
⎢⎣ b3 ⎥⎦ ⎣⎢ X 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ a 3 ⎥⎦
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
(5.73)
- 75 -
wobei X vom Betrag
1
werden soll.
2
Wegen S11 = 0 muß, siehe Gleichung (5.72), −2Z2L + Z2L1 = 0 werden, womit sich
ZL1 = 2 ⋅ ZL ergibt. Ersetzt man ZL1 = 2 ⋅ ZL in (5.72) erhält man
⎡
⎢ 0
⎡ b1 ⎤ ⎢
⎢ b ⎥ = ⎢⎢ − j
⎢ 2⎥
2
⎢⎣ b3 ⎥⎦ ⎢
⎢ j
⎢−
⎢⎣ 2
j
2
Z − 2ZL
2 ( Z + 2ZL )
−
−
Z − 2ZL
2 ( Z + 2ZL )
⎤
j
⎥
2
⎥ ⎡a ⎤
1
Z − 2ZL ⎥ ⎢ ⎥
−
⎥ ⋅ a2
2 ( Z + 2ZL ) ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ a 3 ⎥⎦
Z − 2ZL ⎥
⎥
2 ( Z + 2ZL ) ⎥⎦
−
(5.74)
Alle vier Glieder S22 , S23 , S32 , S33 werden Null, wenn Z = 2ZL gewählt wird, womit sich
die endgültigen Streumatrizengleichungen, wie in der Literatur [Vielhauer, Heuermann], zu
⎡ b1 ⎤
⎡0 1 1 ⎤ ⎡ a1 ⎤
⎢ b ⎥ = − j ⋅ ⎢1 0 0 ⎥ ⋅ ⎢ a ⎥
⎢ 2⎥
⎥ ⎢ 2⎥
2 ⎢
⎢⎣ b3 ⎥⎦
⎢⎣1 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ a 3 ⎥⎦
(5.75)
ergeben.
l
l
1 k
Diese Gleichung (5.75) gilt natürlich nur bei Frequenzen f ∼ 1 mit 1 = + ,
λ
λ 4 2
k = 0, 1, 2, … Für andere Frequenzen wird die in Tor 1 eingespeiste Leistung entsprechend
Bild 5.16 über alle 3 Tore verteilt.
l
Bild 5.16: S-Parameter am Wilkinson Teiler über f ∼ 1
λ
Bild 5.16 zeigt die Leistungsverteilung der zweiten Zeile von Gleichung (5.72) vor dem
λ
Ersatz von l1 = bei Einsatz von ZL1 = 2 ⋅ ZL und Z = 2ZL .
4
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 76 -
S21 entspricht dabei der von Tor 1 auf Tor 2 überkoppelten Leistung,
S22 der in Tor 2 reflektierten Leistung und
S23 der von Tor 3 auf Tor 2 überkoppelten Leistung.
Die Summe der Quadrate der Beträge der Streuparameter entspricht dabei der Leistung.
Während, siehe S21 , die Leistung von Tor 1 relativ frequenzunabhängig an Tor 2 ankommt,
ist der Eingangsreflektionsfaktor S22 an Tor 2 relativ gering. Dahingegen ist die gegenseitige
Verkopplung der beiden zu entkoppelnden Tore 2 und 3 mit S23 teilweise sehr hoch.
Der Wilkinson Teiler arbeitet, wie vorhergesagt, sehr schmalbandig.
5.4.2. Der
λ
-Hybrid
4
λ
-Hybrid, z.B. [Zinke, Gronau, Heuermann], siehe Bild 5.17, dient dazu, Leistung von
4
einem Tor mit dem gleichen Wert auf zwei andere zu verteilen, während das verbleibende
dritte keine Leistung erhält, also entkoppelt ist. Im Bild 5.17 ist oben die Anordnung zur
Berechnung wieder in Stegleitungsform dargestellt, während darunter die Anordnung in
Mikrostreifentechnik zu sehen ist. Die Werte nach den Gleichheitszeichen einiger Variablen ,
sind die Werte, die sich nach der Lösung der Aufgabe ergeben.
Der
λ
-Hybrid liegt folgende Idee zu Grunde:
4
Speist man in ein Tor, z.B. Tor 1, eine Welle, d.h. Leistung, ein, läuft sie in waagerechter
und senkrechter Richtung weiter. An Tor 4 laufen dann zwei Teilwellen ein, die
λ
gegenüber der eingespeisten Welle für l1 = l2 = um 180° phasenverschoben sind und
4
sich dort additiv überlagern. Damit läuft an diesem Tor 4 eine Welle aus.
Betrachtet man die beiden Tore 2 und 3 kommen die aus Tor 1 laufenden Teilwellen
λ
- zu Tor 3 über zwei Teilwege, dem Weg 1 mit einer Leitung der Länge (90°
4
Phasenverschiebung) und der Leitungsimpedanz ZL1 und dem Weg 2 mit 3 Teilleitungen
λ
der Länge 3 ⋅ (270° Phasenverschiebung) und den Leitungsimpedanzen ZL2 , ZL1 ,
4
ZL2 .
λ
λ
- zu Tor 2 über den Weg 1 mit und ZL2 und den Weg 2 mit 3 ⋅ und ZL1 , ZL2 ,
4
4
ZL1 .
- Die Tore 2 und 3 werden also unterschiedlich von Tor 1 gespeist. Die Teilwellen in
den Toren überlagern auf Grund der unterschiedlichen Phasenverschiebung destruktiv.
Damit sollte es gelingen jeweils ein Tor zu entkoppeln.
Dem
Die Aufgaben werden noch einmal in S-Parameterform formuliert:
Es sollen
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 77 - S11 = S22 = S33 = S44 = 0 und
- S13 = S24 = S31 = S42 = 0 oder S12 = S21 = S34 = S43 = 0
realisiert werden.
Bild 5.17: Der
λ
-Hybrid
4
Die Eingangsgleichungen zur Berechnung sind nur Leitungs- und Knotengleichungen:
2π
2π
2π ⎞ ⎤
⎡
⎛ j 2π l
⎛
−j l ⎞
ZL1 ⎜ j λ l1 − j λ l1 ⎟ ⎥
⎢ 1 ⎜e λ 1 + e λ 1 ⎟
−e
+e
⎢ 2⎜
⎟
⎟⎥
2 ⎜
⎡ U3 ⎤ ⎢
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎥ ⎡ U1 ⎤
⋅⎢ ⎥ ,
⎢I ⎥ = ⎢
2 π ⎞ ⎥ ⎣ I L1 ⎦
⎛ j 2π l
⎣ L2 ⎦ ⎢ 1 ⎛ j 2π l1 − j 2π l1 ⎞
1 ⎜ λ 1 − j λ l1 ⎟ ⎥
⎜ −e λ + e λ ⎟
e
+e
⎢
⎜
⎟
⎟ ⎥
2⎜
⎢⎣ 2ZL1 ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
es folgen vier weitere Leitungsgleichungen und
(5.76)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 78 2π
⎡
⎛ j 2π l
−j l ⎞
⎢ 1 ⎜e λ 1 + e λ 1 ⎟
⎢ 2⎜
⎟
⎡ U1 ⎤ ⎢
⎝
⎠
⎢I ⎥ = ⎢
⎣ L8 ⎦ ⎢ 1 ⎛ j 2π l1 − j 2π l1 ⎞
⎜ −e λ + e λ ⎟
⎢
⎜
⎟
2Z
⎢⎣ L2 ⎝
⎠
I1 + I L8 = I L1 ,
2π
2π ⎞ ⎤
⎛
ZL2 ⎜ j λ l1 − j λ l1 ⎟ ⎥
−e
+e
⎟⎥
2 ⎜
⎝
⎠⎥ ⎡ U2 ⎤
⋅⎢
⎥,
2 π ⎞ ⎥ ⎣ I L7 ⎦
⎛ j 2π l
j
l
−
⎥
1
1⎜ λ 1
e
+e λ ⎟ ⎥
⎟
2⎜
⎝
⎠ ⎥⎦
I L2 + I3 = I L3 , I L4 + I4 = IL5 , I L4 + I4 = IL5 .
(5.77)
Aus diesen 12 Gleichungen müssen die 8 Variablen I L1 , I L2 , I L3 , I L4 , I L5 , I L6 , I L7 , I L8
eliminiert werden. Die verbleibenden vier (U, I)-Klemmengleichungen werden zu den
λ
Streuparametergleichungen umgeformt. Nach Ersetzen von l1 = erhält man die benötigten
4
Streuparametergleichungen zu
⎡ b1 ⎤ ⎡ S11
⎢ b ⎥ ⎢S
⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21
⎢ b3 ⎥ ⎢S31
⎢ ⎥ ⎢
⎣ b 4 ⎦ ⎣S41
S14 ⎤ ⎡ a1 ⎤
S22 S23 S24 ⎥⎥ ⎢⎢a 2 ⎥⎥
,
⋅
S32 S33 S34 ⎥ ⎢ a 3 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
S42 S43 S44 ⎦ ⎣a 4 ⎦
S12
S13
(5.78)
(
)
2⎤
⎡
− ⎢ − Z4L1Z4L2 + Z4L Z2L1 − Z2L2 ⎥
⎦,
mit S11 = S22 = S33 = S44 = ⎣
Nenner
2⎤
⎡
− j2ZL ZL1ZL2 ⎢ Z3L1Z2L2 + Z2L Z3L1 − ZL1Z2L2 ⎥
⎣
⎦,
S12 = S21 = S34 = S43 =
Nenner
2⎤
⎡
− j2ZL ZL1Z2L2 ⎢ Z2L1Z2L2 + Z2L − Z2L1 + Z2L2 ⎥
⎣
⎦,
S13 = S24 = S31 = S42 =
Nenner
−4Z2L Z3L1Z3L2
und
S14 = S23 = S32 = S41 =
Nenner
(
)
(
(
Nenner = Z4L1Z4L2 + Z4L Z2L1 − Z2L2
)
2
(
(5.79)
(5.80)
)
(5.81)
(5.82)
)
+ 2Z2L Z2L1Z2L2 Z2L1 + Z2L2 .
Jetzt sollen alle Eingangsreflektionsfaktoren S11 = S22 = S33 = S44 = 0 werden und die
jeweils in waagerechter Linie befindlichen Tore von dem auf der Linie befindlichen
Eingangstor entkoppelt werden, d.h S13 = S24 = S31 = S42 = 0.
Mit den zugehörigen S-Parametern (5.79) und (5.81), die zu Null gesetzt werden, d.h. S11 = 0
und S13 = 0 , müßten ZL1 und ZL2 in Abhängigkeit von ZL berechenbar sein. Man stellt
jedoch schnell fest, daß die Gleichungen (5.79)…(5.82) voneinander abhängig sind. Damit
sind ZL1 und ZL2 nicht explizit berechenbar. Aus den Gleichungen lassen sich aber
verschiedene Zusammenhänge zwischen den drei Variablen ZL1 , ZL2 und ZL herstellen.
Eine sinnvolle Lösung ist z.B.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 79 ZL2 =
ZL ZL1
Z2L
+ Z2L1
.
(5.83)
Werden ZL1 und ZL beliebig festgelegt, läßt sich daraus ZL2 berechnen, um die vorhin
genannten Forderungen zu erfüllen.
Z
Werde ZL1 = ZL gewählt, ergibt sich mit (5.83) ZL2 = L und über (5.78)...(5.82) die aus
2
λ
der Literatur [Zinke, Gronau, Heuermann] bekannte Lösung für den -Hybrid zu
4
⎡ b1 ⎤
⎡0 j 0 1 ⎤ ⎡ a1 ⎤
⎢b ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥ = − 1 ⋅ ⎢ j 0 1 0⎥ ⋅ ⎢a 2 ⎥
⎢ b3 ⎥
2 ⎢0 1 0 j ⎥ ⎢ a 3 ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣1 0 j 0 ⎦ ⎣ a 4 ⎦
⎣ b4 ⎦
(5.84)
bei der die eingespeiste Leistung jeweils hälftig auf die beiden darunter liegenden oder
darüber liegenden Tore verteilt wird, während das Tor auf der waagerechten Einspeiselinie
entkoppelt ist und alle Eingänge reflektionsfrei abgeschlossen sind.
5Z
Wählt man dahingegen z.B. ZL1 = 5ZL , ergeben sich mit (5.83) ZL2 = L die
26
Streuparametergleichungen
⎡ b1 ⎤
⎡0
⎢b ⎥
⎢
⎢ 2 ⎥ = − 1 ⋅ ⎢ j5
⎢ b3 ⎥
26 ⎢ 0
⎢ ⎥
⎢
⎣1
⎣ b4 ⎦
j5
0
0
1
1
0
0
j5
1 ⎤ ⎡ a1 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ a 2 ⎥⎥
⋅
j5⎥ ⎢ a 3 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
0 ⎦ ⎣a 4 ⎦
(5.85)
Damit kann man in technologisch sinnvollen Grenzen, die sich aus der realisierbaren
Geometrie der Leitungen ergibt, die Leistungsverteilung auf die jeweiligen Ausgangstore
nach seinen Anforderungen steuern.
λ
Der -Hybrid stellt also einen Richtkoppler, wie die elektromagnetisch gekoppelte Leitung,
4
Abschnitt 5.3 dar.
Man beachte dabei aber, daß bei der elektromagnetisch verkoppelten und richtig
dimensionierten Leitung die Entkopplung frequenzunabhängig ist, während sie für den
l
l
λ
1 k
-Hybrid nur für die Frequenzen gilt, bei denen f ∼ 1 mit 1 = + und
4
λ
λ 4 2
k = 0, 1, 2, … ist.
λ
Der -Hybrid kann genau wie die Leitung als Filter oder Resonator verwendet werden.
4
λ
Beim -Hybrid entfällt jedoch die galvanische Trennung der Ein- und Ausgänge.
4
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Leitungsbauelemente
- 80 -
6. Messung von HF-Parametern
In der NF-Technik können alle zu messenden Größen auf die Grundgrößen Strom und
Spannung zurückgeführt werden. Auf Grund der dort vorherrschenden großen Wellenlängen
sind der Meßort und das Meßgerät, auch wenn sie einige Meter auseinanderliegen, nur ein
Punkt auf der Ortskoordinate einer Welle.
In der HF-Technik ändern sich über sehr kurze Wege insbesondere die Phasen sehr schnell,
aber durch Dämpfungen auch die Beträge der zu messenden Strom- und Spannungsgrößen.
Die Messung wird also problematisch.
In der HF-Technik lassen sich aber andere Größen, wie Leistung, Reflektionsfaktor,
Impedanz und Streuparameter mit einfachen Mitteln, messen. Diese Methoden und Geräte
werden im Folgenden dargestellt.
Die Messung der HF-Parametern wird nur so weit behandelt, daß man eine Vorstellung von
den Meßtechniken und Geräten erhält. Daher können in diesem Abschnitt nicht alle speziellen
Ausführungen der darzustellenden Meßmethoden und Geräte erläutert werden.
Durch die Beschreibungen soll der praktische Umgang mit den benötigten Geräten erleichtert
werden.
In diesem Kapitel wird, wie in allen anderen, davon ausgegangen, daß die Welle, die alle HFParameter bestimmt, stationär sei.
6.1. Leistungsmessung
6.1.1. Leistungsmessung über Temperaturmessung
Das Prinzip dieser Messung wird am Kalorimeter, siehe z.B. Bild 5.1 und [Kummer, Fischer]
dargestellt.
Bild 6.1: Leistungsmessung mit Kalorimeter
Über einen Hohlleiter, der den reellen Wellenwiderstand ZL hat, wird eine Welle mit der
Leistung PHF einem ohmschen Widerstand am Ende des Hohlleiters zugeführt und dort in
Wärme umgewandelt. Wegen R V = ZL ist dieser Vorgang reflektionsfrei.
Dieser ohmsche Abschlußwiderstand R V ist so speziell gestaltet, hier keilförmig, um nicht
Zusatzreflektionen aus schlechter Feldanpassung zu erzeugen. Die entstehende Wärme heizt
das Wasser im Gefäß auf und kann dann z.B. über eine Durchflußmessung gemessen werden.
Es gilt, siehe [Kummer],
PHF = cp ⋅
m
⋅ ΔT
t
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 81 mit
cp als spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeit,
z.B. gilt cp = 4,187
J
für Wasser bei 15°C
kg ⋅ K
m
kg
als Massestrom (durchgeleitete Masse pro Zeiteinheit) in
und
t
s
ΔT als Temperaturunterschied zwischen eingeleiteter und abgeleiteter Flüssigkeit.
Die angegebene Leistungsgleichung ergibt sich aus der allgemeinen Energiegleichung für
thermische Energie
Diese Messung wird für Eichzwecke benutzt und ist typischerweise im Wattbereich
angesiedelt.
6.1.2. Thermoelektrische Leistungsmessung
Diese Messung basiert auf dem thermoelektrischen Effekt. Beim thermoelektrischen Effekt
entsteht eine Spannung bei Erwärmung der Verbindungsstelle zweier unterschiedlicher
leitfähiger Stoffe. Bild 6.2 zeigt eine mögliche, prinzipielle Anordnung auf Basis zweier
Silizium-Tantal Thermoelemente [Kummer, Fischer, Käs] für eine Leistungseinspeisung über
Zweidrahtleitung.
Bild 6.2: Prinzipschaltung einer thermoelektrischen Leistungsmessung
Die Funktion dieser Leistungsmessung kann wie folgt erklärt werden:
Die über eine Leitung mit dem Wellenwiderstand ZL eingespeiste HF-Leistung PHF erwärmt
die Tantalnitritwiderstände. Damit entsteht an der Verbindung zum n-dotierten Silizium die
Thermogleichspannung U Th. .
Die an den beiden Thermoelementen entstehende Thermospannung addiert sich wegen der
Reihenschaltung zur leistungsproportionalen Ausgangsspannung U P .
Die Ausgangsspannung U P wird über den Kondensator C ausgekoppelt, der für die
eingespeiste HF-Leistung einen Kurzschluß darstellt.
Um keine Reflektionen im Eingang des Leistungsmessers zu erzeugen, muß die Impedanz
jedes Thermoelements, wegen der HF-technischen Parallelschaltung der Thermoelemente,
2ZL sein. Zwischen Thermospannung und Temperatur des Tantals wird, siehe [Kummer],
der Zusammenhang
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 82 -
⎛T ⎞
α = A + Bln ⎜ ⎟
⎝ T0 ⎠
α als Thermospannung, z.B. in
mit
(6.1)
μV
,
K
A, B Konstanten und
T, T0 der Umgebungs- und der Temperatur des Tantals,
angegeben.
[Kummer] entnimmt man folgende typische Kennwerte:
Leistungsbereich: 0,3 μW ≤ PHF ≤ 100 mW
Frequenzbereich: 10MHz ≤ f ≤ 50 GHz
ΔP
Abweichung:
< 10 %
PHF
Die angegebenen Grenzen sind Anhaltswerte, keine absolut feststehenden Größen und werden
insbesondere für die Frequenz f zu immer höheren Grenzen hin verschoben.
6.1.3. Leistungsmessung mit Dioden
Die Prinzipschaltung für Zweidrahtleitung, siehe auch [Kummer, Käs], zeigt Bild 6.3.
Bild 6.3: Prinzipschaltung des Diodenleistungsmessers
Das Prinzip soll unter den Eingangsannahmen, daß
- ZD >> ZV ,
Z ( C || R ) << ZD , mit ZD als Impedanz der Diode und
- die eingespeiste HF-Leistung einfrequent sei,
erläutert werden:
-
Die über eine Leitung mit dem Wellenwiderstand ZL eingespeiste HF-Leistung PHF erwärmt
den Abschlußwiderstand ZV = ZL reflektionsfrei.
Dabei entsteht am Abschlußwiderstand ZV die zu nutzende Wechselspannung
u = ± PHF (t) ⋅ ZV .
(6.2)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 83 Diese Wechselspannung u liegt an der nachfolgenden Reihenschaltung an, bestehend aus der
Diode D und der Parallelschaltung des Widerstandes R mit dem Kondensator C.
Wegen ZD >> ZV beeinflußt die nachfolgende Schaltung die an R V erzeugte
Wechselspannung u nur unwesentlich.
Wegen der Parallelschaltung aus R und C mit der Impedanz Z ( C || R ) << ZD , liegt praktisch
die gesamte Wechselspannung u zu u D an der Diode D an.
→
u D = u = ± PHF (t) ⋅ ZV .
(6.3)
Eine Diode ist bekanntlich ein Bauelement, bei dem der Zusammenhang zwischen
Diodenstrom i D und Diodenspannung u D nichtlinear ist. Er läßt sich durch eine Potenzreihe
mit
2
i D = K 0 + K1 ⋅ u D + K 2 ⋅ u D
+ K 3 ⋅ u 3D + ...
(6.4)
nähern.
Bild 6.4 zeigt die Näherung einer möglichen Diodenkennlinie durch die einzelnen Glieder.
Bild 6.4: Näherung einer möglichen Diodenkennlinie im Nulldurchgang
Man hofft, daß diese Reihe konvergiert, d.h. daß die Beträge der aufeinanderfolgenden
Glieder immer kleiner werden. Auch hier werde angenommen, daß das gelte. Um die
Konstanten K 0 , K1 , K 2 , K 3 , … mit einem gewissen Gehalt zu füllen, werde bei den
weiteren Ausführungen von der Gleichstromkennlinie der Diode ausgegangen, die allgemein
z.B. [Reinhold, Tietze] zu
⎧ uD
⎫
⎧
1⎛u
⎪ UT
⎪
⎪u
i D = IS ⎨e
− 1⎬ = IS ⎨ D + ⎜ D
⎪
⎪
⎪⎩ U T 2! ⎝ U T
⎩
⎭
2
3
⎫
⎞
1 ⎛ uD ⎞
⎪
⎟ + ⎜
⎟ + ...⎬
⎠ 3! ⎝ U T ⎠
⎪⎭
(6.5)
angegeben wird. Auf der rechten Seite von Gleichung (6.5) ist die Näherung durch eine
Taylorreihe mit der Entwicklungsstelle Null angegeben. In dieser Gleichung ist IS der
bekannte Sättigungsstrom und U T die Temperaturspannung von ca. 25 … 35 mV.
Für eine sinusförmige Aussteuerung u D = uˆ D ⋅ sin ( ωt ) der Diode mit der eingespeisten
einfrequenten HF-Leistung PHF im Nulldurchgang erhält man
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 84 ⎧ uˆ ⋅ sin(ωt) 1 ⎛ uˆ
⎪
+ ⋅⎜ D
i D = IS ⎨ D
U
2 ⎝ UT
T
⎪⎩
2
3
⎫
⎞
1 ⎛ uˆ D ⎞
⎪
2
3
⋅
ω
+
⋅
⋅
ω
+
sin
(
t)
sin
(
t)
...
⎬ .
⎟
⎜
⎟
6 ⎝ UT ⎠
⎠
⎪⎭
Die dargestellten drei Glieder liefern folgende Beiträge zu i D :
û
- Lineares Glied i D1 = IS ⋅ D ⋅ sin(ωt)
UT
2
(6.7)
2
I ⎛ uˆ ⎞
I ⎛ uˆ ⎞ 1
- quadratisches Glied i D2 = S ⋅ ⎜ D ⎟ ⋅ sin 2 (ωt) = S ⋅ ⎜ D ⎟ ⋅ (1 − cos(2ωt) )
2 ⎝ UT ⎠
2 ⎝ UT ⎠ 2
3
(6.6)
(6.8)
3
I ⎛ uˆ ⎞
I ⎛ uˆ ⎞ 1
- kubisches Glied i D3 = S ⋅ ⎜ D ⎟ ⋅ sin 3 (ωt) = S ⋅ ⎜ D ⎟ ⋅ ( 3sin(ωt) − sin(3ωt) ) (6.9)
6 ⎝ UT ⎠
6 ⎝ UT ⎠ 4
Über den Kondensator C werden alle Wechselglieder, d.h. alle Vielfachen der Hochfrequenz
ω kurzgeschlossen und entfallen für eine Ausgangsspannungserzeugung U PHF .
Der Kondensator wird bei geringer Aussteuerung nur durch das quadratische Gleichglied
I D2 =
IS
4U T2
2
uˆ D
auf eine Gleichspannung U PHF aufgeladen.
Wegen
uˆ 2 = uˆ 2 = Pˆ ⋅ Z
D
HF
V
(6.10)
(6.11)
wird die Ausgangsspannung des Diodenleistungsmessers
U PHF ∼ I D2 ∼ PHF
(6.12)
proportional der Eingangsleistung.
Der dem Kondensator C parallelgeschaltete Widerstand R dient dazu, den Kondensator
kontinuierlich zu entladen, damit er langsamen Leistungsänderungen der Eingangsleistung
PHF folgen kann.
Mit dem vierten Glied der Potenz 4 der Taylorreihe und weiteren geradzahligen Gliedern
entstehen weitere Gleichglieder mit den Potenzen û 4D , û 6D , .... Diese verfälschen das
gewünschte Ergebnis der Leistungsmessung. Auf die dabei auftauchen Probleme wird speziell
im Kapitel 9, Multiplizierer, eingegangen.
Hier soll nur angedeutet werden, daß man bei Vorliegen einer Kennlinie, die der
Gleichstromkennlinie entspricht, Möglichkeiten hat, diese Fehler auszuschalten:
- Eine erste Möglichkeit wäre die Konstruktion von Dioden mit möglichst
quadratischer ( i D , u D ) -Kennlinie für den gewünschten Arbeitsfrequenzbereich.
-
û D
< 1 zu wählen. Damit konvergiert
UT
û
die Taylorreihe umso besser, desto kleiner das Verhältnis D wird.
UT
Eine andere Möglichkeit besteht hier darin,
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 85 Nachdem die Funktion des Diodenleistungsmessers bekannt ist, kann man daran gehen, die
oben genannten Eingangsvoraussetzungen aufzuweichen, um die Funktion unter nicht idealen
Bedingen herauszuarbeiten. Das ist nicht mehr Inhalt dieser Beschreibungen.
Als typische Kennwerte werden, siehe [Kummer], angegeben:
Leistungsbereich: 0,1 nW ≤ PHF ≤ 10 μW
Frequenzbereich: 10MHz ≤ f ≤ 50 GHz(110GHz)
ΔP
< 20 %
Abweichung:
PHF
Auch hier werden die Grenzen zu immer höheren Frequenzen verschoben.
Die angegebene Abweichung von ca. 20 % erscheint sehr hoch. Hier werde darauf verwiesen,
daß die in den weiteren Abschnitten dieses Kapitels auf diesem Meßprinzip arbeitenden
Verfahren meist auf Relativmessungen basieren. Damit geht dieser Fehler als systematischer
Fehler ein und wird automatisch ausgemerzt.
Es ist jedoch darauf zu achten, daß im Arbeitsbereich (Dynamikbereich) der Zusammenhang
U PHF ∼ PHF der Diode sehr linear sein sollte, um bei großen Leistungsunterschieden mit
geringen Fehlern detektieren zu können.
6.1.4. Leistungsmessung mit dem Spektrumanalysator, Spektrumanalyse
Bei der Spektrumsanalyse wird die absolute Leistung, die z.B. ein HF-Bauteil abgibt, über
einen ausgewählten Frequenzbereich gemessen und angezeigt. Damit kann z.B. festgestellt
werden, ob das Bauteil, wie vorgesehen, in dem ihm vorgegebenen Frequenzbereich arbeitet
und außerhalb davon keine Störungen verursacht. Diese Messungen werden i.A.
leitungsgebunden an den Toren der Bauteile durchgeführt.
Bei Untersuchung der Abstrahlung in den Raum bzw. Einstrahlung ins Bauteil verwendet man
speziell konstruierte und kalibrierte Meßantennen, die entsprechend anzuschließen sind. Der
nutzbare Frequenzbereich eines Spektrumanalysator beginnt allgemein bei einer sehr kleinen
Frequenz und endet bei entsprechend geforderten oberen Mikrowellenfrequenzen im GHzBereich.
Eine Prinzipschaltung eines Spektrumanalysators, z.B. [Käs,Thumm1] entnehmbar, zeigt
Bild 6.5.
Bei einem Spektrumanalysator wird aus der aufgenommenen Leistung mit
u Meß = ± PHF (t) ⋅ ZV , Gleichung (6.3), eine Meßspannung u Meß (t) erzeugt. Das Signal
u Meß (t) wird über einem Multiplizierer X mit Hilfe eines durchstimmbaren
Oszillatorsignals u LO (t) auf ein festes Zwischenfrequenzsignal u ZF (t) umgesetzt (gemischt).
Der Spektrumanalysator entspricht damit einem Radioempfänger nach dem Heterodynprinzip
(durchstimmbarer Oszillator, feste Zwischenfrequenz).
In der HF-Technik hat sich für den zur Multiplikation notwendigen Oszillator die
Bezeichnung lokaler Oszillator (local oscillator) LO eingebürgert.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 86 -
Bild 6.5: Blockschaltbild eines Spektrumanalysators
Das Prinzip der Multiplikation bzw. Frequenzumsetzung bzw. Mischung soll mit einigen
Gleichungen erläutert werden:
Sei
u Meß (t) =
uˆ meßk ⋅ sin ( ωmeßk t + σmeßk )
(6.13)
∑
k
ein Signalgemisch, das aus einer Summe von k Sinusfunktionen bestehe, k = 1… ∞ . Hierbei
sind û meßk die Amplituden, ωMeßk die Kreisfrequenzen mit ωmeßk = 2πf meßk , f Meßk die
Frequenzen und σMeßk die Startwinkel der Sinusfunktionen.
Die durchstimmbare Oszillatorfrequenz sei
u LO (t) = uˆ LO ⋅ sin ( ωLO t + σLO )
(6.14)
mit den gleichen Bedeutungen der Parameter, wie bei (6.13). û LO wird zur Messung von
û Meß konstant gehalten. Die beiden Signale aus den Gleichungen (6.13) und (6.14) werden
miteinander multipliziert (gemischt), in diesem Fall frequenzumgesetzt, womit sich das
Zwischenfrequenzsignal zu
u ZF (t) = u Meß (t) ⋅ u LO (t) =
uˆ Meßk ⋅ uˆ LO
=
cos ⎡⎣( ωmeßk − ωLO ) t + ( σMeßk − σLO ) ⎤⎦ −
2
k
∑
(6.15)
{
}
− cos ⎡⎣( ωmeßk + ωLO ) t + ( σMeßk + σLO ) ⎤⎦
ergibt.
An Hand dieser Gleichung (6.15) können mehrere Effekte am Spektrumanalysator erläutert
werden, siehe Bild 6.6 und Tafel 6.1:
In Bild 6.6 ist zur Erläuterung eine willkürliche Frequenzaufteilung der einzelnen
Frequenzbänder des Spektrumanalysators vorgenommen.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 87 Der zu analysierende Frequenzbereich betrage ωMeß = 0 … 4 GHz.
Die Zwischenfrequenz werde auf ωZF = 5 GHz festgelegt.
Die Frequenz des Lokaloszillators wird in einem Frequenzbereich von ωLO von 5 … 9 GHz
variiert.
Bild 6.6: Frequenzbänder am Spektrumanalysator
Tafel 6.1: Ergebnisse aus Gleichung (6.15)
Gewünscht ist zunächst der Wegfall eines Terms der Gleichung (6.15), i.A. des
( ωMeßk + ωLO ) -Anteils, der bei der getroffenen Wahl der Frequenzen nicht in der ZF
(Zwischenfrequenz) auftaucht, siehe Tafel 6.1.
Die untere Frequenzgrenze des Spektrumanalysators ergibt sich aus der Bandbreite B des ZFFilters. Bei Meßfrequenzen ωMeß bei Null werden beide Terme von Gleichung (6.15) in den
Zwischenfrequenzbereich umgesetzt, erste Zeile von Tafel 6.1. Damit verdoppelt sich der
Wert von u ZF im Gegensatz zu allen anderen Frequenzumsetzungen außerhalb des
Filterbereichs B / 2 des ZF-Filters, wo nur der gewünschte ( ωMeßk − ωLO ) -Term wirksam
wird. Das Ergebnis wird verfälscht und müßte korrigiert werden. Folglich legt man die untere
Frequenzgrenze des analysierbaren Meßsignals auf B / 2 fest, womit die Bandbreite B des
ZF-Filters die untere Frequenzgrenze des Spektrumanalysators mitbestimmt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 88 Der gewünschte erste Anteil ( ωMeßk − ωLO ) von Gleichung (6.15) liefert wegen der
Achsialsymmetrie der Kosinusfunktion cos α = cos(−α) zwei Lösungen im ZF-Bereich.
Es tauchen nachfolgende Frequenzanteile des Meßsignals u Meß (t) im ZF-Signal u ZF (t) auf:
ωMeß1 : ωZF = ωLO − ωMeß1
cos(−α) und
ωMeß2 : ωZF = ωMeß2 − ωLO
cos(α)
In Tafel 6.1 sind für bestimmte ωLO diese Frequenzen ωMeß1 und ωMeß2 der
Frequenzkomponenten des Meßsignals u Meß (t) dargestellt.
Tafel 6.1 macht deutlich, daß bei der Wahl der Frequenzbereiche, entsprechend Bild 6.5, zwei
Frequenzbereiche mit ωMeß1 = 0 … 4 GHz und ωMeß2 = 10 … 14 GHz durch das ZF-Filter
ausgefiltert werden können. Davon kann nur der erste ωMeß1 das ZF-Filter passieren, wenn in
den Eingang des Spektrumanalysators ein Tiefpaß mit 4 GHz oberer Frequenz geschaltet
wird. Gleichermaßen könnte mit einem Hochpaß der obere Frequenzbereich von 10…14 GHz
in die ZF gefiltert werden und das Hineinspiegeln des unteren verhindert werden.
Eins dieser beiden möglichen Meßfrequenzbänder nennt man jeweils Spiegelfrequenzband.
Es wird durch die genannten Filtermaßnahmen unterdrückt. Die geringsten Probleme mit
Spiegelfrequenzen entstehen bei Wahl der Frequenzen entsprechend Bild 6.6.
Das Zwischenfrequenzsignal u ZF (t) wird mindestens noch einmal in ein
geringerfrequenteres Signal umgesetzt.
Im Zwischenfrequenzsignal u ZF (t) sind die gesuchten Parameter û Meßk und σMeßk der
Signalkomponenten des zu analysierenden Meßsignal enthalten. Sie werden i.A.
rechentechnisch ermittelt, in Leistungswerte rückgewandelt und über der zugehörigen
Frequenz dargestellt.
Die mit dem Spektrumanalysator gemessenen Leistungen werden in dBm, mit 0 dBm = 1 mW
und im 10er-Logarithmus
P/ dBm = 10 lg ( P/ mW )
(6.16)
angegeben.
Die meisten Spektrumanalysatoren ermitteln nicht die Winkel σMeßk , der im Meßsignal
enthaltenen Signalkomponenten.
An Spektrumanalysatoren ist die Bandbreite B einstellbar. Bei großen Bandbreiten B
verschmieren die im die ZF-Bereich liegenden einzelnen Signalkomponenten des Meßsignals
zu einer Signalkomponente, womit nur die Leistungsangabe ohne Winkelangabe sinnvoll ist.
Umso kleiner man die Bandbreite B wählt, desto kleiner wird die am Spektrumanalysator
angegebene Leistung bei Analyse sehr ausgeprägter schmalbandiger Frequenzkomponenten.
Unmittelbar im Zusammenhang mit der Bandbreite B steht die Meßzeit (sweep time,
measuring time). Umso geringer B des Zwischenfrequenzfilters gewählt wird, desto länger
wird die Meßzeit. Das ausgewählte Frequenzband wird mit einer größeren Zahl Messungen
belegt. Bekanntlich vergrößert sich auch die Einschwingzeit von Filtern, hier die des
ZF-Filters bei Verringern der Bandbreite B .
Am Spektrumanalysator kann man in den technisch vorgegebenen Grenzen
Meßfrequenzbänder einstellen, gekennzeichnet durch eine untere Meßfrequenz ωu und eine
obere Meßfrequenz ωo . Diese Meßfrequenzbänder richten sich nach den Vorgaben aus der zu
absolvierenden Messung.
Meßfrequenzband [ ωu , ωo ] , Bandbreite B des ZF-Filters und die Meßzeit beeinflussen sich
gegenseitig. Folglich hat der Spektrumanalysator zunächst nach jedem Einschalten und der
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 89 Wahl des Meßfrequenzbandes eine spezielle Grundeinstellung (default), die auf dem
Bildschirm in angemessener Zeit ein Meßergebnis darstellt.
6.2. Messung der Impedanz über die Meßleitung
Es gilt, siehe Abschnitt 3.1, Bild 3.1 und Gleichung (3.9), der Reflektionsfaktor
Z − ZL
p= V
(3.9)
ZV + ZL
für eine, mit einer Impedanz ZV abgeschlossene Leitung des Wellenwiderstandes ZL an der
Anschlußstelle (x = 0) von ZV an ZL .
Ist ZL bekannt, kann der Reflektionsfaktor p gemessen werden und die am Ende der Leitung
befindliche unbekannte Impedanz zu
⎛ 1+ p ⎞
ZV = ⎜
⎟ ⋅ ZL
⎝ 1− p ⎠
(6.17)
bestimmt werden.
Die Impedanzmessung wird also auf eine Reflektionsfaktormessung zurückgeführt.
Die Messung des Reflektionsfaktors basiert auf einer sogenannten Meßleitung, siehe Bild 6.7
und der mathematischen Nutzung der darauf auftretenden Phänomene bei Reflektion der
Welle an der zu bestimmenden Abschlußimpedanz ZV .
Bild 6.7: verschiedene Meßleitungen
Im Bild 6.7 sind zwei Meßleitungen, links als luftgefüllte Koaxialleitung und rechts als
luftgefüllte Hohlleitung, dargestellt. Die Aussagen zum Reflektionsfaktor bei der
Zweidrahtleitung, Abschnitt 3.1, gelten analog auch zum Hohlleiter.
Das E-Feld einer Koaxialleitung verläuft radialsymmetrisch, vergleiche mit Bild 2.7, von der
Seele zum Mantel. Bei einem Abschluß der Meßleitung mit einem zu vermessenden
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 90 Abschlußwiderstand ZV , Bild 6.7 unten, entsteht eine stehende Welle in der Meßleitung mit
dem stilisierten elektrischen Feldstärkeverlauf E .
Die Leitung ist entlang einer Längslinie geschlitzt. Das elektrische Feld innerhalb der
Meßleitung schließt sich durch einen Strom im Mantel, der parallel zum Längsschlitz fließt.
Damit wird das Feld nur unwesentlich durch den Schlitz beeinflußt.
In diesen Schlitz wird ein Stift, ähnlich einem Herz’schen Dipol, eingeführt, der das
elektrische Feld in Form einer kleinen Leistung abgreift. Die entnommene Leistung ist
proportional dem Wert der elektrischen Feldstärke. Der Meßstift beeinflußt das
elektromagnetische Feld in der Meßleitung durch seine Anordnung und kleine Geometrie
ebenfalls nur punktuell und unwesentlich.
Unter der Meßleitung ist ein Lineal angebracht, z.B. mit Null an der Anschlußstelle zur
unbekannten Impedanz. Auf dem Lineal wird die Stellung des Meßstiftes abgelesen.
Bild 6.8 zeigt die Meßschaltung zur Messung des Reflektionsfaktors
Bild 6.8: Messung des Reflektionsfaktors mit einer Meßleitung
Ein Generator, der eine Welle mit einer bestimmten Frequenz ω bzw. einer zugehörigen
Wellenlänge λ erzeugt, speist über eine Einwegleitung die Meßleitung mit der unbekannten
Abschlußimpedanz ZV . An dem Meßstift ist ein Leistungsmeßkopf angeschlossen, z.B. der
Diodenleistungsmesser, entsprechend Abschnitt 6.1.3 , der eine der Eingangsleistung
proportionale Ausgangsgleichspannung erzeugt. Die Einwegleitung dient zur Verhinderung
von Mehrfachreflektionen, die die Messung verfälschen würden. Sie schützt weiterhin den
Generators vor der an ZV reflektierten Leistung. Die reflektierte Leistung wird z.B. über
Richtkoppler, Abschnitt 5.3, in einen elektromagnetischen Sumpf geführt, wo sie in Wärme
umgewandelt wird.
Im Folgenden werden die Beziehungen zum Ermitteln des Reflektionsfaktors p abgeleitet:
Auf der Meßleitung, die wieder verlustfrei, α = 0, sein soll, gelten die Leitungsgleichungen
(3.10), (3.11) zu
u(x, t) = U 0+ ⎡e jωt − ßx + p ⋅ e jωt + ßx ⎤
(6.18)
⎣
⎦
und
U+
i(x, t) = 0 ⎡e jωt − ßx − p ⋅ e jωt + ßx ⎤ .
(6.19)
⎦
ZL ⎣
Über den Meßstift, der immer in Richtung der E-Feldlinien liegt, wird eine kleine, dem Wert
der elektrischen Feldstärke proportionale Leistung abgegriffen. Diese wird im
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 91 Leistungsmeßkopf zu einer leistungsproportionalen Ausgangsspannung U PHF umgewandelt,
die dann weiterverarbeitet wird. Die Spannung u(x, t) , Gleichung (6.18), entspricht der
Feldstärke des elektrischen Feldes. Sie wird folglich quadriert, siehe auch [Kummer]:
(
u 2 (x, t) = U 0+ 2 1 + p B ⋅ e
j(ϕp + 2βx)
)e
− j2(ωt − ßx)
.
(6.20)
Dabei wurde der Reflektionsfaktor p durch die exponentielle Schreibweise
p = p B e jϕ P
mit p B als Betrag und
ϕp als Winkel
(6.21)
des Reflektionsfaktors ersetzt.
Da der Leistungsmeßkopf, z. B. der Diodenleistungsmesser, die dem Betrag der
Eingangsleistung proportionale Ausgangsspannung U PHF erzeugt, wird von Gleichung (6.20)
der Betrag gebildet.
U 2 (x) = u 2 (x, t) = U 0+ 2 ⎡1 + 2p B cos(ϕp + 2β x) + p 2B ⎤
⎣
⎦
(6.22)
Aus dieser Gleichung (6.22) können p B und ϕp bestimmt werden.
Bestimmung des Betrags p B des Reflektionsfaktors:
Bei Veränderung der Stellung des Meßstiftes längs der Meßleitung lassen sich bestimmte
Orte finden, bei denen U 2 (x) maximal oder minimal wird.
Es ergibt sich ein
maximales U 2max (l1 ) für einen Ort l1 an dem cos(ϕp + 2β l1 ) = 1
und ein
(6.23)
(6.24)
minimales U 2min (l2 ) für einen anderen Ort l2 an dem cos(ϕp + 2βl2 ) = −1
wird.
Aus Gleichung (6.22) werden damit bei Verzicht auf das Mitschreiben der Orte l1 und l2
U 2max = U 0+ 2 (1 + p B )
2
(6.25)
und
U 2min = U 0+ 2 (1 − p B ) .
2
(6.26)
U 2max und U 2min werden über den Leistungsmeßkopf meßtechnisch bestimmt. Setzt man
Gleichungen (6.25) und (6.26) zueinander in Bezug wird
⎛ 1 − pB ⎞
m =
=⎜
⎟
U 2min ⎝ 1 + p B ⎠
2
U 2max
2
(6.27)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 92 -
mit m als Anpassungsmaß. Diese Gleichung mit den gemessenen U 2max und U 2min kann
nach dem gesuchten p B aufgelöst werden
U
1 − min
U max
1− m
.
(6.28)
=
pB =
1 + m 1 + U min
U max
In der HF-Technik ist das Stehwellenverhältnis SWR (standing wave ratio) mit
SWR =
U max
U min
(6.29)
gebräuchlicher. Hiermit ergibt sich
U max
−1
U min
SWR − 1
pB =
=
.
U max
SWR
1
+
+1
U min
(6.30)
Bestimmung des Winkels ϕp des Reflektionsfaktors:
Der Winkel ϕp wird über drei Werte bestimmt.
Das sind die zur Generatorfrequenz gehörende Wellenlänge λ der Leitung und zwei
Punkte l0 und l2 , die alle auf dem Lineal der Meßleitung abgelesen werden. Diese drei
Werte werden über zwei Messungen bestimmt. Bild 6.9 illustriert diese zwei Messungen.
Bild 6.9: Ermittlung der Werte für die Bestimmung des Winkels des Reflektionsfaktors
Im Bild 6.9 sind bereits konkrete Meßergebnisse für die insgesamte Bestimmung des
Reflektionsfaktors dargestellt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 93 Zur Winkelbestimmung wird in einer Messung 1 am Ende der Meßleitung, Bild 6.8, ZV
durch einen Kurzschluß ersetzt. Er erzeugt auf der Meßleitung die in Bild 6.9 gezeigte,
stehende Welle. Von ihr ist der Betrag der Spannung dargestellt, die dem elektrischen Feld
proportional ist. Der Betrag der Spannung erreicht periodisch die Nullinie der x-Achse. Der
λ
Abstand zweier aufeinanderfolgender Stellen beträgt .
2
Es wird auf dem feststehenden Lineal der Meßleitung, x-Achse, ein Ort l0 abgelesen, in
dem der Betrag der Spannung Null wird und aus dem Abstand zweier aufeinanderfolgender
λ
Nullstellen die Wellenlänge .
2
In der zweiten Messung 2 wird der Kurzschluß durch das Bauelement mit dem unbekannten
ZV ersetzt. Dabei entsteht der spezielle Stehwellenverlauf der Messung 2 aus dem das
U
Stehwellenverhältnis SWR = max unmittelbar berechenbar wird.
U min
Jetzt wird auf dem Lineal der Meßleitung, in einem Minimum dieses Stehwellenverlaufs,
ein anderer Ort l2 abgelesen.
Folgende Angaben lassen sich machen:
Die Orte l0 der Minima der ersten Messung befinden sich immer an den Stellen
λ
l0 = −n ⋅ mit n = 0, 1, 2, 3, … .
(6.31)
2
Die Orte l2 der Minima der zweiten Messung ergeben sich nach den Gleichungen (6.22)
und (6.24), wenn cos(ϕp + 2βl2 ) = −1 erfüllt wird. Das trifft für alle Winkel
( ϕP + 2β ⋅ l2 ) = (2m + 1)π
mit m = ± 0, 1, 2, 3, …
den ungeradzahligen Vielfachen von π zu.
In Gleichung (6.32) wird die Phasenkonstante β =
2π
ersetzt und nach ϕp aufgelöst.
λ
2π
⋅ l2
λ
l2 kann aus l0 und einer Längendifferenz Δl zu l2 = l0 + Δl ersetzt werden.
2π
2π
4π
ϕP = (2m + 1)π − 2 ⋅ ( l0 + Δl ) = ±2mπ + π − 2 l0 −
Δl
λ
λ
λ
λ
Ersetzt man mit (6.31) l0 = −n ⋅ , erhält man
2
4π
ϕP = ±2mπ + π + 2πn −
Δl .
λ
Hierin entfallen alle Vielfachen von 2π , so daß sich
ϕP = (2m + 1)π − 2
ϕP = π −
4π
Δl
λ
(6.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
(6.36)
ergibt.
Man beachte dabei, daß Δl vorzeichenbehaftet ist. Das Vorzeichen von Δl ist negativ,
wenn l2 links von l0 liegt und ist positiv, wenn l2 rechts von l0 liegt.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 94 Nach Erhalt des in Betrag p B und Phase ϕp vollständig bestimmten
Eingangsreflektionsfaktors p = p Be jϕP , kann die unbekannte Impedanz ZV aus Gleichung
⎛ 1+ p ⎞
(6.17) zu ZV = ⎜
⎟ ⋅ ZL berechnet werden.
⎝ 1− p ⎠
Gestaltet man den Generator der Meßschaltung, Bild 6.8, durchstimmbar, kann die Impedanz
1
ZV des unbekannten Bauelements über der Frequenz f ∼ vermessen werden.
λ
Jetzt wird aus dem konkreten Beispiel des Bildes 6.9 die unbekannte Impedanz ZV berechnet:
Die Meßleitung habe einen Wellenwiderstand ZL = 50Ω .
Es läßt sich aus der Messung 2 das Stehwellenverhältnis, Gleichung (6.29) zu
U
8,8
SWR = max =
= 7,33 bestimmen. Eingesetzt in (6.30) wird der Betrag des
U min 1, 2
SWR − 1
= 0, 76 .
Reflektionsfaktors p B =
SWR + 1
Zur Bestimmung des Winkels werden aus Messung 1 die Wellenlänge
λ
= 4, 25 − 1, 75 = 2,5
2
auf dem Lineal der Meßleitung abgelesen → λ = 5 und ein l0 = 6,75.
Nach der Messung 2 wird Δl = l2 − l0 durch Ablesen von l2 = 4,6 zu Δl = 4, 6 − 6, 75 = −2,15
berechnet.
4π
Δl erhält man ϕP = 5,4.
Eingesetzt in Gleichung (6.36) ϕP = π −
λ
⎛ 1+ p ⎞
Damit kann man über Gleichung (6.17) ZV = ⎜
⎟ ⋅ ZL = (34,6 – j95,83) Ω berechnen.
⎝ 1− p ⎠
Der tatsächliche Wert von ZV betrug ZV = (30 – j90) Ω .
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 95 -
6.3. Messung der Streuparameter, Netzwerkanalysator
Die Streuparameter können mit bestimmten Einschränkungen, mit der Meßleitung und den
Messungen aus Abschnitt 6.2 ermittelt werden.
Bild 6.10: Meßschaltungen der Meßleitung zur Ermittlung der Streuparameter
Hierbei wird das zu untersuchende HF-Bauteil (DUT - device under test), dessen S-Parameter
zu ermitteln sind, an die Meßschaltung mit Meßleitung aus Bild 6.8 angeschlossen. Dann
werden drei aufeinanderfolgende Reflektionsfaktormessungen, entsprechend Abschnitt 6.2,
durchgeführt. Das zu untersuchende HF-Bauteil wird nacheinander mit den drei definierten
und gut realisierbaren Impedanzen ZV = ZL , dem Wellenwiderstand der Umgebung des HFBauteils, ZV = 0 , dem Kurzschluß KS und ZV → ∞ , dem Leerlauf LL, abgeschlossen,
Bild 6.10.
Aus den drei Messungen lassen sich die Eingangsreflektionsfaktoren
- p50 , Messung 1 mit ZL als Abschlußwiderstand,
- p KS , Messung 2 mit Kurzschluß KS und
- p LL , Messung 3 mit leerlaufendem Abschluß LL,
ermitteln.
In den drei Eingangsreflektionsfaktoren p50 , p KS und p LL sind die S-Parameter des
auszumessenden HF-Bauteils (DUT) enthalten.
Bild 6.11: Verdeutlichung der mathematischen Zusammenhänge zur S-Parameterbestimmung
Es gelten am Bauteil, siehe Gleichungen (3.39) aus Abschnitt 3.4.1 und Bild 6.11 links, die
Streuparametergleichungen,
b1 = S11 ⋅ a1 + S12 ⋅ a 2
b 2 = S21 ⋅ a1 + S22 ⋅ a 2
(3.39)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 96 von denen die unbekannten S11 , S12 , S21 , S22 über die drei zu messenden
Eingangsreflektionsfaktoren p50 , p KS , p LL bestimmt werden sollen.
Durch die unterschiedliche Beschaltung des Ausgangs Tor 2 mit den Wellengrößen a 2 und
b
b 2 ergeben sich verschiedene Verhältnisse 1 = p50 oder p KS oder p LL .
a1
- Bei Messung 1 mit angeschlossenem ZL am DUT erhält man bei Aufstellung des
Zusammenhangs zwischen U 2 und I 2 , Bild 6.11 rechts, U 2 = − ZL ⋅ I 2 .
Hierin werden, siehe Gleichungen (3.41), U 2 und I 2 durch die bekannten Zusammenhänge
1
U 2 = ZL ( a 2 + b 2 ) , I 2 =
( a 2 − b2 ) ersetzt, womit sich a 2 + b2 = −a 2 + b2 , also
ZL
a 2 = 0 ergibt.
Nach Einsetzen von a 2 = 0 in die Gleichungen (3.39) erhält man erwartungsgemäß
b
p50 = S11 = 1
a1
und
b2
= S21 .
a1
(6.37)
- Bei Messung 2 mit Kurzschluß ZL am Ausgang Tor 2 vom DUT ist a 2 = −b 2 ,
woraus sich nach Einsetzen in Gleichungen (3.39)
S S
b
p KS = S11 − 12 21 = 1
1 + S22 a1
(6.38)
ergibt.
- Bei der Messung 3 mit dem Leerlauf LL am Ausgang vom DUT wird a 2 = b 2 ,
womit man wieder nach Einsetzen in (3.39)
S S
b
p LL = S11 − 12 21 = 1
−1 + S22 a1
(6.39)
erhält.
Diese drei Gleichungen (6.37)…(6.39) lassen sich mit den aus den
Reflektionsfaktormessungen ermittelten p50 , p KS , p LL nach den unbekannten S11 , S12S21 ,
S22 auflösen, so daß die S-Parameter zu
S11 = p50
S12S21 =
S22 =
(6.40)
(
2
2 p50
− p50 p KS − p50 p LL + p KSp LL
p KS − p LL
2p50 − p KS − p LL
pKS − p LL
)
(6.41)
(6.42)
berechnet werden können.
Leider kann man bei einer Eingangsreflektionsfaktormessung, unabhängig davon wie viele
Messungen man noch durchführt, das Produkt S12S21 nicht nach S12 oder S21 trennen,
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 97 sondern S12S21 nur zusammen bestimmen. Bei symmetrischen Bauelementen, die von beiden
Toren gesehen gleich aufgebaut sind, spielt das keine Rolle, da dann S12 = S21 , womit
S21 = Gleichung(6.41) wird.
Sollte das Bauelement asymmetrisch sein, kann man zumindest die Beträge S12 und S21
durch eine zweimalige Messung der Amplitude der Stehwelle ermitteln. Dazu wird in einer
Messung 1 die Meßleitung mit einem Kurzschluß abgeschlossen und die Amplitude der
Stehwelle bestimmt. In der Messung 2 wird die Meßleitung am Ausgang des DUT
angeschlossen und an ihrem Ausgang wieder mit einem Kurzschluß abgeschlossen. Es wird
auch hier die Amplitude der Stehwelle bestimmt. Das Verhältnis der beiden Amplituden am
Ausgang vom DUT und ohne DUT ist S21 . Dann kann das DUT umgedreht werden und
S12 gleichermaßen bestimmt werden. Hier ist darauf zu achten, daß bei der zweiten Messung
Mehrfachreflektionen zwischen dem Ausgang des DUT und dem Kurzschluß der Meßleitung
auftreten, die noch herausgerechnet werden müssen.
Sollte S12 sehr klein sein, kann die Bestimmung von S22 sehr ungenau werden. Es empfiehlt
sich dann ebenfalls das DUT umzudrehen und S22 wie S11 zu bestimmen.
Die Messungen mit der Meßleitung sind sehr umständlich und zeitaufwendig.
Desweiteren scheitert noch die unabhängige Bestimmung von S12 und S21 .
Daher wurde der Netzwerkanalysator entwickelt, der alle Streuparameter schnell ermitteln
hilft. Eine Prinzipschaltung, z.B. [Thumm1, Käs], zeigt Bild 6.12.
Bild 6.12: Blockschaltbild eines Zweitor-Netzwerkanalysators
Ein Oszillator 1 erzeugt die zur Messung benötigte Energie. Die diese Energie beschreibende
Größe sei u LO1 (t) . Diese Energie wird geteilt und über einen Kanal dem auszumessenden
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 98 HF-Bauteil DUT zugeführt und über einen zweiten Kanal als u a1 a1 einem ersten
Multiplizierer.
Die dem DUT zugeführte Energie wird über einem Richtkoppler geleitet, vergleiche mit
Abschnitt 5.3 und 5.4.2. Der Richtkoppler koppelt einen prozentualen Anteil dieser Energie
auf einen elektromagnetischen Sumpf, gekennzeichnet durch den Widerstand R = ZL ,
während der andere Teil dem DUT zugeführt wird.
Am DUT wird bei Fehlanpassung ein Teil der eingespeisten Energie reflektiert. Die
Auskopplung eines gleichprozentualen Anteils der zurückgeworfenen Energie erfolgt über
den anderen Zweig des Richtkopplers zu u b1 (t) b1 und wird einem zweiten Multiplizierer
zugeführt.
Die verbleibende, über die Zuleitung zum Meßobjekt DUT reflektierte Energie, muß
natürlich, z.B. wieder über eine Einwegleitung, vernichtet werden, was im Bild 6.12 nicht
ausgewiesen ist.
Die aus dem DUT auslaufende Energie wird einem zweiten Richtkoppler zugeführt, der die
auslaufende Energie zu u b2 (t) b 2 über einen dritten Pfad einem dritten Multiplizierer
zuführt, während der verbleibende Rest über zwei Sümpfe R = ZL vernichtet wird.
Der Oszillator 1 ist mit einem Oszillator 2, gekennzeichnet durch u LO2 (t) , in der Form
gekoppelt, daß die Differenz beider Oszillatorfrequenzen ωLO1 − ωLO2 = ωZF immer eine
konstante Zwischenfrequenz ZF wird, vergleiche mit Abschnitt 6.1.4, Spektrumanalysator.
Das Signal u LO2 (t) des zweiten Oszillators wird über die drei Multiplizierer mit den
Meßgrößen u a1 a1 , u b1 (t) b1 und u b2 (t) b 2 multipliziert, die alle ωLO1 -frequent sind.
Die Multiplikation wird hier zur Frequenzumsetzung auf Signale mit einer geringeren
Zwischenfrequenz ωZF benutzt.
Es ergibt sich analog (6.15) ein Zwischenfrequenzsignal
u ZF (t) = u LO1 (t) ⋅ u LO (t) =
uˆ LO1 ⋅ uˆ LO2
cos ⎡⎣( ωLO1 − ωLO2 ) t + ( σLO1 − σLO2 ) ⎤⎦ −
=
2
k
∑
(6.43)
{
}
− cos ⎡⎣( ωLO1 + ωLO2 ) t + ( σLO1 + σLO2 ) ⎤⎦
von dem der zweite Anteil durch Filter eliminiert wird. Bei dieser Gleichung entsprechen
û LO1 den Amplituden û a1 , û b1 oder û b2
ωLO1 den Frequenzen ωa1 , ωb1 oder ωb2 und
σLO1 den Winkeln σa1 , σb1 oder σb2
der zu messenden Größen a1 , b1 und b 2 .
Da das Zwischenfrequenzsignal u ZF (t) so niederfrequent ist, daß es im Allgemeinen mit
digital-rechentechnischen Mitteln auswertbar ist, werden aus den ermittelten Größen a1 , b1
b
b
und b 2 die Streuparameter S11 = 1 und S21 = 2 in Betrag und Phase berechnet.
a1
a1
Diese werden in der Anzeige des Netzwerkanalysators über dem jeweils zu analysierenden
Frequenzbereich dargestellt. Er ist, wie der Spektrumanalysator, nach Anforderungen frei
zwischen einer unteren und einer oberen Grenzfrequenz einstellbar.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 99 Bei Ausmessung der anderen beiden Reflektionsparameter S12 und S22 wird das DUT
gedreht und die Messung gleichermaßen durchgeführt. I.A. geschieht das innerhalb des
Netzwerkanalysators durch Umschalter.
Mit den zwei gekoppelten Dämpfungsgliedern läßt sich die zur Messung notwendige Energie
variieren, so daß die S-Parameter auch in Abhängigkeit von der Aussteuerung des DUT
ermittelt werden können.
Es werden die in der HF-Technik üblichen Größen angegeben, die zur Charakterisierung von
Richtkopplern benutzt werden:
- Koppeldämpfung – Maß für die Vorwärtsauskopplung des Anteils Δa1 aus der
eingespeisten a1 -Welle.
⎛ Δa ⎞
(6.44)
a K / dB = 20 lg ⎜ 1 ⎟
⎝ a1 ⎠
- Richtschärfe (Directivity) – Maß für die Rückwärtsauskopplung des Anteils Δb1
aus dem Δa1 Anteil der Welle.
⎛ Δb ⎞
D / dB = 20 lg ⎜ 1 ⎟
⎝ Δa1 ⎠
- Analog zur Richtschärfe existiert die Richtdämpfung:
⎛ Δa ⎞
a r/ dB = 20 lg ⎜ 1 ⎟
⎝ Δb1 ⎠
(6.45)
(6.46)
Beim Netzwerkanalysator wird der ausgewählte Meßanalysebereich durch eine bestimmte
Anzahl gleichabständiger Meßpunkte auf der Frequenzachse unterteilt. Der
Netzwerkanalysator ist also kein wobbelndes, sondern ein über der Frequenz diskret
arbeitendes Meßgerät.
Ein Netzwerkanalysator mißt die Dämpfungen und Phasenänderungen der Welle über die
Zuleitungen von den Toren des Netzwerkanalysators zum DUT mit. Um diese Fehler nicht
nachträglich aus seinen Messungen herausrechnen zu müssen, wird der Netzwerkanalysator
an den Anschlüssen zum DUT kalibriert. Damit werden diese Fehler vor den eigentlichen
Messungen bestimmt und im Netzwerkanalysator nach erfolgter Messung aus dem
Meßergebnis herausgerechnet. Auf die Kalibrierung wird hier nicht eingegangen.
6.4. Zeitbereichsanalyse, Time Domain Analysis TDA
Mit der Zeitbereichanalyse sollen mögliche Reflektionsstellen in zu untersuchenden HFSchaltungen bezüglich des Ortes und der Art untersucht werden.
Dazu wird z.B. ein Impuls in einen Eingang der HF-Schaltung gesendet und der rücklaufende
Impuls bezüglich seiner Laufzeit und seiner Impulsform analysiert.
Das Problem wird beispielhaft im Bild 6.13 skizziert.
Im Bild ist oben die zu untersuchende HF-technische Anordnung einer
Koaxialleitungsverzweigung mit unterschiedlichen Abschlüssen, gekennzeichnet durch die
Bauelemente Widerstand, Induktivität und Kapazität, dargestellt. An den Orten der
Verzweigung und der Abschlüsse können bei schlechter Impedanz- und/oder Feldanpassung
störende Reflektionen erzeugt werden. Wenn nicht bekannt ist, welche Stelle im Aufbau die
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 100 Störung verursacht, kann durch die Zeitbereichsanalyse über Laufzeitmessungen diese Stelle
ermittelt werden. Dazu muß natürlich der geometrische Aufbau der Anordnung bekannt sein.
Bild 6.13: Zeitbereichsanalyse
Bei der Zeitbereichsanalyse, siehe Bild 6.13, wird zu einer Zeit t 0 = 0 ein Impuls in die zu
untersuchende Anordnung gespeist und die Impulsantwort aufgezeichnet. Dazu dienen die
beiden Meßausgänge a1 und b1 eines, in den Eingang der Anordnung gelegten
Richtkopplers, vergleiche mit Abschnitt 5.3.2. Die Größe a1 steht für die Leistung der
einlaufenden Welle und b1 für die der reflektierten, siehe Abschnitt 3.4.1.
Die Entfernungen zu den möglichen Reflektionsstellen sind unter der Meßanordnung entlang
einer x-Achse abgetragen.
Im unteren Teilbild sind die Zeitverläufe des eingespeisten Impulses und der möglichen
Impulsantworten entlang einer t-Zeitachse dargestellt. Bei der Darstellung der Impulsantwort
sind verschiedene Impulsantworten der drei möglichen Reflektionsstellen angegeben.
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeiten des einlaufenden Impulses entlang der Leitungen
bekannt sind, lassen sich rückwärts die Entfernungen s zu den Reflektionsstellen über die
s
Geschwindigkeitsgleichung v =
bei den abgelesenen Zeitdifferenzen Δt berechnen. Es ist
Δt
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 101 zu beachten, daß der Impuls zunächst zur Reflektionsstelle läuft und dort zurückgeworfen
wird, so daß die korrekte Gleichung zur Wegberechnung
s=
v ⋅ Δt
2
(6.47)
lauten muß.
Es sind unterschiedliche Formen von Impulsantworten dargestellt, die man hinsichtlich der
Art der Reflektion zu interpretieren versucht, im Weiteren.
Die Darstellungen der Impulsantworten sind stark idealisiert. Schon wegen auftretenden
Dämpfungen und möglicher Mehrfachreflektionen kann sich der Impulsantwortschrieb
wesentlich verändern.
Im Mikrowellenbereich besteht das eigentliche Problem der Zeitbereichsanalyse in der
Erzeugung des Impulses und der Aufzeichnung der Impulsantworten.
Die Erzeugung eines definierten Impulses mit einer bestimmten Höhe und einer bestimmten
Zeitdauer, die kurz genug ist, auch noch eine Zeitdauermessung zuzulassen, ist sehr
kompliziert.
Die Aufzeichnung der sehr kurzen Impulsantwort mit strom- bzw. spannungsmessenden
Geräten ist im Mikrowellenbereich praktisch unmöglich.
Ein Zahlenbeispiel:
Gewählt werde die Untersuchung einer HF-technischen Anordnung auf Basis von
Koaxialleitungen mit einer relativen Dielektrizität ε r = 2,5.
Diese Anordnung arbeite bei einer Frequenz von f = 2 GHz im Bereich der gängigen
Kommunikationsfrequenzen von GSM900, GSM1800, UMTS, LTE.
Gewünscht ist eine Wegauflösung von Δs = 0,5 mm.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf der Koaxialleitung beträgt, siehe Abschnitt
2.3.a),
1
1
c
m
= 198, 74 ⋅106
.
v=
=
=
s
με
μ0ε0ε r
εr
v
= 99, 4mm . Da häufig die
f
Leitungslängen im Bereich dieser Wellenlänge liegen, ergibt sich der o.g. Wunsch einer
Wegauflösung von Δs = 0,5 mm.
Mit Gleichung (6.47) erhält man eine notwendige Zeitauflösung von
2Δs
Δt =
= 5, 032 ⋅10−12 s . Das entspricht einer zugehörigen Frequenz
v
1
f Δt =
= 198,74 GHz.
Δt
Triggerschaltungen haben i.A. wesentlich größere Ansprechverzögerungen im ns-Bereich.
Analog-Digital-Wandler können so hohe Abtastfrequenzen f Δt nicht realisieren.
Die zu f = 2 GHz gehörende Wellenlänge beträgt λ =
Um dennoch einen Impuls zu erzeugen und die zugehörige Impulsantwort darzustellen,
bedient man sich eines Phänomens der Signalanalyse:
Aus der Signalanalyse ist bekannt, daß ein Impuls in einem diskretisierten Zeitbereich, der
Meßzeit TM = m ⋅ Δt a , nach einer Diskreten Fouriertransformation (DFT) im Fourierbereich
ein kontinuierliches Fourierspektrum mit einem Amplitudenspektrum und Phasenspektrum
aufweist.
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 102 Δt a ist dabei die Abtastperiode zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abtastwerten mit
1
Δt a = , f a Abtastfrequenz.
fa
Der Impuls wird diskret durch
⎧h für i = i I
u I (i ⋅ Δt a ) = ⎨
⎩ 0 sonst
(6.48)
beschrieben. 0 ≤ i ≤ m − 1 , i ganzzahlig.
Die Gleichung zur Berechnung der DFT lautet allgemein, siehe auch [Bittner]:
Fd (a) :=
m −1
∑ u(iΔt a ) ⋅e
−j
2π
⋅a ⋅i
m
(6.49)
i =0
mit u(iΔt a ) = u I (iΔt a ) . Die Transformationsvariable a ist eine Periodenzahl mit
T
a = M = TM ⋅ f . f ist die bekannte Transformationsvariable der Fouriertransformation und
T
hier die Frequenz. a ∼ f ist beliebig reell und wird benutzt, um die Ergebnisse der
Fouriertransformation dimensionslos zu gestalten.
Die Fouriertransformation des Impulses ergibt mit (6.48) und (6.49) die kontinuierliche
Fouriertransformierte:
FdI (a) = h ⋅ e
−j
2π
⋅a ⋅i I
m
(6.50)
Wählt man die Stelle des Impulses an der Stelle i I = 0 ( t 0 = 0), d.h. zu Beginn der Meßzeit,
ergibt sich für jede beliebige Periodenzahl a ( f ) eine Konstante
FdI (a,i I = 0) = h .
(6.51)
Das gilt natürlich auch für eine mit a = a n diskret dargestellte Fouriertransformierte, wobei
a n = ± 0, 1, 2, 3, ...beliebige ganze Zahlen sind.
Die DFT wird allgemein als Hintransformation bezeichnet.
Abweichend zum Impuls erzeugt die DFT eines Sinussignals mit der Amplitude ûS , der
Periodenzahl s und dem Startwinkel σS als Fouriertransformierte in der Meßzeit TM
⎧
⎡
⎤
⎡
⎤⎫
π⎞
π⎞
⎛
⎛
ûS ⎪ sin π(s − a) j⎢⎣(s − a)⎜⎝ π− m ⎟⎠ +σS ⎥⎦ sin π(s + a) − j⎢⎣(s + a)⎜⎝ π− m ⎟⎠ +σS ⎥⎦ ⎪
−
FdSin =
e
e
⎨
⎬ . (6.52)
π
2 j ⎪ sin π (s − a)
⎪
sin (s + a)
m
m
⎩
⎭
Dabei ist analog zur Periodenzahl a
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 103 T
s = M = TM ⋅ fS = m ⋅ Δt a ⋅ fS ,
TS
die Periodenzahl des Sinussignals mit der Sinussignalfrequenz fS =
1
und TS der
TS
Periodendauer des Sinussignals.
Wählt man analog zu a n die Periodendauer des Sinussignals s = s n ganzzahlig,
s n = 0, 1, 2, 3, ..., erhält man im Fourierspektrum der DFT eine Linie bei der Periode a n = s n
und ansonsten Nullen, Zeilen 1 und 2 von Gleichung (6.53).
Nur für s n = 0 ergibt sich eine Linie anderer Höhe bei a n = 0 , siehe dritte Zeile von
Gleichung (6.53).
π⎞
⎛
⎧
j σ −
⎪ uˆ S m ⋅ e jσs − 0 = uˆ S m ⋅ e ⎜⎝ s 2 ⎟⎠ für a = s und s ≠ 0
n
n
n
⎪ 2j
2
⎪
⎪
Fd (a n ) = ⎨
0 für a n ≠ s n
⎪
⎪
ûS
m ⋅ e jσS − m ⋅ e− jσS = uˆ S ⋅ m ⋅ sin σS für s n = 0
⎪
2j
⎪
⎩
{
}
{
(6.53)
}
Folglich kann ein Impuls im mit ganzzahligen a n diskretisierten Fourierbereich durch das
Fourierspektrum einer Summe von Sinussignalen, mit Ausnahme des Wertes an der Stelle
a n = 0 , dargestellt werden.
Dafür ist, vergleiche (6.51) mit oberster Zeile von (6.53),
⎛
π⎞
j⎜ σs − ⎟
û
2⎠
h = S m⋅e ⎝
2
(6.54)
zu wählen, was dadurch gelingt, daß σs =
π
2
gewählt wird.
Wenn ein Impuls im diskretisierten Fourierbereich durch nacheinander
fouriertransformierte, gleich große Sinussignale bestimmten Frequenzabstands
dargestellt werden kann, kann auch die Impulsantwort durch aufeinanderfolgende
Aufzeichnen der reflektierten Sinussignale in Amplitude und Phase zusammengesetzt
werden. Über eine Rücktransformation aus dem Fourierbereich in den Zeitbereich
erhält man die gesuchte Impulsantwort.
Die Rechenvorschrift zur Rücktransformation (Inverse Diskrete Fouriertransformation IDFT) lautet, siehe [Bittner],
m −1
2π
j ⋅a n ⋅i
1
u(iΔt a ) :=
Fd (a n ) ⋅ e m
m a =0
n
∑
(6.55)
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 104 wobei hier i = 0,1, 2,..., m − 1 ganzzahlig ist, da für die dargestellten Zusammenhänge ein
Impuls vorlag, der durch einen Ausgangsdatensatz, Gleichung (6.48), von m - Werten in der
Meßzeit TM beschrieben wurde.
Für das durch die Gleichungen (6.48)...(6.55) beschriebene Vorgehen ist der
Netzwerkanalysator vorzüglich geeignet.
Er erzeugt an diskreten gleichabständigen Frequenzstellen ein Sinussignal und zeichnet bei
der Messung des Eingangsreflektionsfaktors S11 die Amplituden und Phasen des
eingespeisten Signals a1 und des reflektierten Signals b1 an der jeweiligen Frequenzstelle
auf.
Nach der Messung aller Frequenzstellen läßt sich daraus softwaretechnisch über die IDFT die
Impulsantwort des synthetisch eingespeisten Impulses zurückrechnen.
Zum Umgang mit dem Fehler an der Stelle a n = s n = 0 werde auf die entsprechenden
Aussagen der Hersteller von Netzwerkanalysatoren verwiesen. Dieser Fehler ist sowohl ein
hardwaretechnisches als auch ein verfahrenstechnisches Problem. Er kann
verfahrenstechnisch korrigiert werden oder wird in Kauf genommen.
Jetzt werde das zu Beginn dieses Abschnittes angefangene Zahlenbeispiel mit der
gewünschten Wegauflösung Δs = 0,5 mm zum Ende geführt:
Es stehe ein Netzwerkanalysator mit einem Meßanalyseband - Frequenzband von ca.
50 MHz ... 40 GHz zur Verfügung.
Dieser Netzwerkanalysator kann im ausgewählten und/oder zur Verfügung stehenden
Frequenzband an 500 gleichabständigen Frequenzstellen den Eingangsreflektionsfaktor S11
messen und die gewonnenen Amplituden und Phasen von a1 und b1 speichern.
Das zur Verfügung stehende Frequenzband von 0 MHz ... 40 GHz werde somit
gleichabständig durch die 500 zur Verfügung stehenden Frequenzstellen mit
40GHz
Δf =
= 80MHz geteilt.
500
Der Netzwerkanalysator wird, entsprechend Bild 6.13, an die zu untersuchende Anordnung
angeschlossen und die 500 aufeinanderfolgenden a1 und b1 aufgezeichnet. Es liegen damit
⎡ m ⎤
die Meßergebnisse im Bereich ⎢ 0, − 1⎥ , m = 1000 vor. Die Diskrete Fouriertransformation
⎣ 2 ⎦
DFT ist, siehe [Bittner], periodisch mit m . Die noch notwendigen Funktionswerte im Bereich
⎡m
⎤
⎢⎣ 2 , m − 1⎥⎦ ergeben sich zu
Fd (m − a n ) := Fd* (a n )
(6.56)
⎡ m ⎤
aus den konjugiert komplexen Werten des Bereichs ⎢ 0, − 1⎥ .
⎣ 2 ⎦
Aus den m = 1000 Fourierwerten ergeben sich nach der IDFT m = 1000 Zeitwerte mit einer
Periode Δt a . Diese Periode ergibt sich aus der oberen Frequenzgrenze des
f
m
Netzwerkanalysators, die signalanalytisch der Abtastfrequenz a = 40GHz
entspricht,
2
2
1
= 12,5 ⋅10−12 s.
zu Δt a =
fa
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 105 D.h., der verwendete Netzwerkanalysator erzielt nach Gleichung (6.47) nur eine
v ⋅ Δt a
= 1,24 mm. Um die Auflösung zu verbessern, müßte die obere
Wegauflösung Δs =
2
Frequenzgrenze des Netzwerkanalysators erhöht werden.
Die Anzahl m der Meßwerte bestimmt die erreichbaren Reflektionsorte, d.h. die erzielbare
Meßtiefe. Die Meßtiefe beträgt für das Beispiel s = 1,24 m .
In Bild 6.13 sind unten verschiedene Impulsantworten dargestellt.
Man hat durch praktische Untersuchungen, siehe [Rohde1], festgestellt, daß unterschiedliche
Abschlußimpedanzen in den Reflektionsstellen unterschiedliche geformte Impulsantworten
erzeugen. Daraus läßt sich ein Katalog mit verschiedenen Impulsantworten erstellen.
Vergleicht man die Formen der gemessenen Impulsantworten aus Bild 6.13 mit denen des
Katalogs, siehe Bild 6.14, entnommen aus [Rohde1], lassen sich Zuordnungen vornehmen.
Bild 6.14: Formen von Impulsantworten bei unterschiedlichen Reflektionsimpedanzen
Der in Bild 6.14 nicht dargestellte Eingangsimpuls a1 wurde an der Stelle t = 0 eingespeist.
Die Impulsantworten b1 befinden sich immer an der gleichen Stelle der Zeitachse, womit der
Reflektionsort jeweils die gleiche Entfernung zur Einspeisestelle des Eingangsimpulses hat.
Die unteren beiden Darstellungen des Bildes 6.14 basieren auf Abschlüssen mit den
angegebenen Reaktanzen in Reihe mit einem reellen Leitungswellenwiderstand ZL = 50Ω .
H. Bittner: HF-Schaltungstechnik mit passiven Bauelementen, Messung von HF-Parametern
- 106 -
Literatur:
Avago
AVAGO Technologies: A Low Noise High Intercept Point Amplifier for
1930 to 1990 MHz using the ATF 33143 PHEMT.
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Frohne, Löcherer, Müller: Grundlagen der Elektrotechnik.
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Gronau: Höchstfrequenztechnik.
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Heyermann: HF-Technik.
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Meinke, Gundlach: Taschenbuch der HF-Technik.
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Nibler und Andere: HF-Schaltungstechnik.
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Reinhold: Elektronische Schaltungstechnik, Grundlagen der
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Rohde&Schwarz Applikationsschrift 1EZ44_1D:
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Thumm, Wiesbeck, Kern: HF-Meßtechnik – Verfahren und Meßsysteme.
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Thumm: Hoch- und Höchstfrequenz-Halbleiterschaltungen.
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H. Bittner: HF-Schaltungstechnik, Literatur