Physikalische Messtechnik - Institut für Physik

Physikalische Messtechnik
Achim Kittel
Energie- und Halbleiterforschung
Fakultät V, Institut für Physik
Büro: W1A 1-102
Tel.: 0441-798 3539
email: [email protected]
Wintersemester 2005/06
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung in die Sensortechnik
2
1.1. Statische Sensoreigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1. Die Ideale Sensorkennlinie (Soll-Kennlinie) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2. Reale Sensorkennlinie (Ist-Kennlinie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3. Einflüsse durch Störgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Korrektur von statischen Sensorfehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1. Kalibrieren, Skalieren und Modellieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2. Linearisieren in der Messkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.3. Linearisierung und Einflusskorrektur durch das Differenzprinzip . . . . . .
5
1.2.4. Umkehrung des Wirkrichtung durch Gegenkopplung — Kompensationsprinzip 6
2. Auswertung von Messsignalen
2.1. Einige Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . .
2.2. Die vier Schritte der Auswertung einer Messung .
2.2.1. Aufstellung des Modells . . . . . . . . . .
2.2.2. Vorbereiten der Eingangsdaten . . . . . .
2.2.3. Berechnung des vollständigen Ergebnisses
2.2.4. Angabe des Messergebnisses . . . . . . .
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3. Grundlegende Messverfahren
3.1. Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ladungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Messung von Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . .
3.4.1. Bandbreitenbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Messung des Spitzenwerts und Gleichstromäquivalents . . . .
3.5. Widerstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Stromfehler- und Spannungsfehlerschaltung . . . . . . . . . .
3.5.2. Messung mit einer Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Messung durch Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4. Messung kleiner Widerstände durch Vierpunktmessung . . . .
3.6. Messung von Induktivitäten und Kapazitäten . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Messung der Zeitkonstanten bei Ein- und Ausschaltvorgängen
3.6.2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen . . . .
3.6.3. Messung der komplexen Impedanz . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1. Widerstandsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.7.1.1. Wiener-Chintschin-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1.2. Herleitung des Widerstandsrauschen nach Nyquist . . . . . . .
3.7.2. Brownsche Bewegung als stochastischer Prozess . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Weitere Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1. Schrotrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2. Generations-Rekombinationsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.3. Flickerrauschen (1/f-Rauschen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Einfluss eines Filters auf Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10. Methoden zur Rauschunterdrückung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1. Lock-in Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2. Die Funktionsweise eines phasensensitiven Detektors . . . . . . . . . . .
3.10.3. Aufbau eines phasensensitiven Detektors . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.4. Rauschreduktion durch Mittelung von repetierlichen Signalen . . . . . . .
3.10.5. Die Methode der Boxcar-Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11. Methoden zur empfindlichen Messung kleiner Signale . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1. Konzeption des Messaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.2. Begrenzung des Messfeldes bei einer Spannungsmessung . . . . . . . . .
3.11.3. Begrenzung des Messfeldes bei einer Strommessung . . . . . . . . . . . .
3.11.4. Begrenzung des Messfeldes bei einer Widerstandmessung . . . . . . . . .
3.11.5. Mögliche Fehlerquellen und ihre Beseitigung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.5.1. Das Spektrum von möglichen Störquellen . . . . . . . . . . . .
3.12. Sensoren für unterschiedliche physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1. Sensoreffekte zur Umsetzung mechanischer Größen . . . . . . . . . . . .
3.12.1.1. Piezoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1.1.1. Die mechanische Spannung . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1.1.2. Die mechanische Dehnung . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1.1.3. Der direkte piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . .
3.12.1.1.4. Der inverse piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . .
3.12.1.1.5. Kristalleigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1.2. Piezoresistiver Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1.2.1. Einschub: Elektronen im Gitter . . . . . . . . . . . . .
3.12.1.2.2. Beschreibung des piezoresistiven Anteils in Halbleitern
3.12.2. Umsetzung magnetischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2.1. Messung mit Hilfe einer rotierenden Spule . . . . . . . . . . . .
3.12.2.2. Kernsondenmagnetometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2.3. Hall Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2.4. Gauß Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2.5. Magnetoresistiver Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2.6. Supraleitende Magnetfeldsensoren . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2.6.1. Der Josephson-Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2.6.2. Das Superconducting Quantum Interference Device . .
3.12.3. Umsetzung von thermischen Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.3.1. Thermowiderstands-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.3.1.1. Thermowiderstands-Effekt in Metallen . . . . . . . . .
3.12.3.1.2. Thermowiderstands-Effekt in Elementhalbleitern . . .
3.12.3.1.3. Keramikwiderstande als Heißleiter (NTC) . . . . . . .
3.12.3.1.4. Keramikwiderstande als Kaltleiter (PTC) . . . . . . .
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3.12.3.2. Temperatureffekte bei Halbleiterübergängen . . . . . . .
3.12.3.3. Thermoelektrische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.3.4. Pyroelekrische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.4. Umsetzung optischer und strahlungstechnischer Größen . . . . . .
3.12.4.1. Äußerer Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.4.2. Innerer Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.4.2.1. Photowiderstand . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.4.2.2. Photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.4.2.3. Phototransistor . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13. Grundlagen der Magnetischen Kernspinresonanz . . . . . . . . . . . . . .
3.13.1. Klassische Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.1.1. Die Blochgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.1.2. Kontinuierliche Hochfrequenzeinstrahlung . . . . . . . .
3.13.1.3. Einstrahlen von Hochfrequenzpulsen . . . . . . . . . . .
3.13.1.4. Freie Präzession (FID) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.1.5. Spin-Echos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.1.6. T1 -Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.1.7. Vektordiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.2. Sondenkerne zur Bestimmung von lokalen Eigenschaften . . . . .
3.13.2.1. Chemische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.2.2. Dipol-Dipol-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.3. Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.3.1. Aufbau eines Spektrometers . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.3.2. Ein hochauflösendes NMR-Spektrometer in der Realität
3.14. Grundlagen der Rastersondenmikroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14.1. Das Rastertunnelmikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14.1.1. Theoretischer Hintergrund der Rastertunnelmikroskopie .
3.14.2. Das Rasterkraftmikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Operationsverstärker und ihre Grundschaltungen
A.1. Begriffserklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Nicht-invertierender Verstärker . . . . . . . . . . .
A.3. Invertierender Verstärker . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5. Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6. Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7. Differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8. Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9. Logarithmischer Verstärker . . . . . . . . . . . . .
A.10.Instrumentenverstärker . . . . . . . . . . . . . . .
A.11.Impedanzinverter (negative impedance converter —
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NIC)
B. Analog/Digital-Wandler und Digital/Analog-Wandler
B.1. Wandlungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2. Digital/Analog-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1. Stromwägeverfahren . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2. R-2R-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . .
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B.2.3. Pulslängenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.4. 1-bit Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.5. MASH-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3. Analog/Digital-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1. Parallelwandler (Flash-Converter) . . . . . . . . . .
B.3.2. Kaskadenumsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.3. Nachlaufverfahren/Zählverahren . . . . . . . . . .
B.3.4. Wägeverfahren (successive approximation register)
B.3.5. Sägezahnverfahren (single slope integration) . . . .
B.3.6. Dual-Slope-Verfahren (dual-slope integration) . . .
B.3.7. Sigma-Delta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . .
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Vorbemerkung
Das vorliegende Skript diente ursprünglich als Notiz oder besser Gedächtnisstütze für die Vorlesung. Es ist somit sicherlich kein Lehrbuch und an vielen Stellen zu knapp gehalten, um eine
Einarbeitung in ein Stoffgebiet zu ermöglichen. Dennoch hoffe ich, dass ich hiermit eine Hilfestellung geben kann, sich auf eine Prüfung vorzubereiten oder die eine oder andere nützliche
Information zur Verfügung zu stellen.
An dieser Stelle möchte ich mich auch noch herzlich bei Herrn Jens Reemts bedanken, der mit
viel Ausdauer und Sorgfalt das Skript Korrektur gelesen hat.
1
1. Einführung in die Sensortechnik
1.1. Statische Sensoreigenschaften
1.1.1. Die Ideale Sensorkennlinie (Soll-Kennlinie)
Ein Sensor bildet eine Eingangsgröße (= Messgröße) x auf ein Ausgangssignal y ab.
x
y
Sensor
Messgröße
Ausgangsgröße
Damit ergibt sich für den Zusammenhang:
y(x) = y0 +
∆y
(x − x0 )
∆x
(1.1)
Dabei bezeichnet x0 den Messbereichsanfang, x0 + ∆x das Messbereichsende, y0 den Ausgangssignalanfang und ∆ydie Ausgangssignalspanne. Die Empfindlichkeit ist durch die Steigung der
Kennlinie an der entsprechenden Stelle gegeben:
ε(x) =
dy
dx
(1.2)
Diese Größe wird auch als Steilheit bezeichnet und ist bei einer ideal linearen Kennlinie natürlich
konstant.
y0+∆y
ys
y0
x0
x0+∆x
1.1.2. Reale Sensorkennlinie (Ist-Kennlinie)
Der absolute Fehler berechnet sich aus der Differenz von Istwert yi und Sollwert ys :
Fabs = yi − ys
2
(1.3)
Während der relative Fehler auf die Ausgangsspanne bezogen ist:
Frel =
yi − ys
∆ys
(1.4)
Er ist somit dimensionslos. Der absolute Fehler wird oft auf die Eingangsgröße bezogen angegeben,
was bei einem linearen Zusammenhang leicht mit Hilfe der Empfindlichkeit ε angegeben werden
kann:
yi − ys
Fabs,x =
(1.5)
ε
Im Allgemeinen lässt sich der gesamte Fehler in verschiedene Anteile untergliedern:
• Nullpunktsfehler Fnu
• Steigungsfehler Fst
• Linearitätsfehler Fli
Es ergibt sich für die Ist-Kennlinie yi , die Soll-Kennlinie ys und den absolute Fehler Fabs :
∆yi
(x − x0 ) + Fli (x)
∆x
∆ys
ys (x) = y0s +
(x − x0 )
∆x
∆yi − ∆ys
= yi (x) − ys (x) = y0i − y0s +
(x − x0 ) + Fli (x)
| {z } | ∆x {z
}
yi (x) = y0i +
Fabs
Fnu
Fst (x)
3
(1.6)
(1.7)
(1.8)
1.1.3. Einflüsse durch Störgrößen
Bei einer Messung ergeben sich unterschiedliche, störende Einflüsse, wie:
• die Temperatur, wenn nicht gerade die Temperatur gemessen werden soll.
• Luftdruck und Luftfeuchtigkeit.
• mechanische Erschütterung.
• die Versorgungsspannung eines Sensors, eines Verstärkers oder einer Messschaltung.
• elektrische und/oder magnetische Felder (EMV).
• ein und/oder ausgangsseitige Rückwirkung, z.B. durch Belastung einer Quellen mit endlichem Innenwiderstand.
1.1.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler
Hier soll nun im Unterschied zu der häufig betrachteten Situation das Fehlerfortpflanzungsgesetz
nicht für statistisch unabhängige Fehler betrachtet werden sondern für systematische Fehler. Sei
das Signal S, welches gemessen wird, abhängig von den fehlerbehafteten Größen a, b, c in der
Form S = f (a, b, c), so ergibt sich für den gesamten Fehler bei einer systematischen Abweichung
dS =
∂S
∂S
∂S
da +
db +
dc
∂a
∂b
∂c
(1.9)
Sind nur die Beträge bekannt, aber nicht die Vorzeichen der einzelnen Beiträge, so ergibt sich um
ungünstigsten Fall:
∂S ∂S ∂S |dS| = da + db + dc
(1.10)
∂a
∂b
∂c
1.2. Korrektur von statischen Sensorfehlern
Da ein Sensor nie ideal gefertigt werden kann, unterliegen die charakteristischen Sensorparameter
gewisser Streuungen im Produktionsprozess. Die Genauigkeit kann durch Kalibrierung, Skalierung
oder gar Modellierung verbessert werden.
1.2.1. Kalibrieren, Skalieren und Modellieren
Durch Bestimmung eines Messpunktes und Vergleich mit einem anderen Sensor kann ein Punkt
des Messintervalls festgelegt werden und somit durch Abgleich auf den richtigen Ausgabewert eine
Kalibrierung durchgeführt werden. Damit ist es möglich, einen Nullpunktfehler zu minimieren.
Führt man diese Prozedur für zwei Messwerte durch, die möglichst weit entfernt von einander
im Messbereich liegen, so spricht man von einer Skalierung. Hierbei wird der Steigungsfehler
minimiert. Führt man die Prozedur für mehr als zwei Messwerte durch und beschreibt die IstKennlinie durch ein mathematisches Modell, so spricht man von der Modellierung und dabei
können auch noch Linearitätsfehler minimiert werden.
4
1.2.2. Linearisieren in der Messkette
Bei diesem Prinzip wird eine der eigentlichen Messwertwandlung nachgeschaltete Linearisierung
durchgeführt, indem die Umkehrfunktion der nichtlinearen Funktion des Wandlungsprozesses auf
die vom Sensor gelieferte angewandt wird.
4
2
2
2
yk
1
0
Sensor
∆p
Korrekturglied 4
0
0
0
1
Q
2
Dies wird heutzutage meistens elektronische oder im Rechner geschehen, wurde früher aber meist
mechanisch realisiert, durch mechanische Umsetzung mit z.B. Abrollkurven, Hebelwerk,
Beispiele:
1. Huygens hat durch eine Abrollkurve die Schwingungsdauer seiner Pendeluhren von der Auslenkung des Pendels unabhängig gemacht
2. Selbst bei dem exponentielle Zusammenhang zwischen Abstand und Tunnelstrom lässt sich
durch einen logarithmierenden Verstärker wieder eine dem Abstand proportionalen Spannung
erzeugen.
1.2.3. Linearisierung und Einflusskorrektur durch das Differenzprinzip
Zwei gleichartige, nichtlineare Sensoren S1 und S2 werden bei einer um einen Arbeitspunkt (x0 ,
ϑ0 ) herum gegensinnig verschobenen Messgröße x aber gleichsinnig verschobenen Einflussgrößen
ϑ (z.B. Temperatur) durch das Differenzprinzip linearisiert:
ϑ
x
x
S1
y(x,0)
-x
S2
y(-x,0)
∆y
ϑ
Das Differenzsignal ∆y ist linearisiert und weniger stark von der Einflussgröße abhängig als beim
Einzelsensor.
5
Entwicklung von y(±x, ϑ) in eine Taylorreihe:
∂y(x0 , ϑ0 )
∂y(x0 , ϑ0 )
y(x0 ± x, ϑ0 ± ϑ) = y(x0 , ϑ0 ) + ±
x+
ϑ +
∂x
∂ϑ
2
1
∂ y(x0 , ϑ0 ) 2 ∂ 2 y(x0 , ϑ0 ) 2
∂ 2 y(x0 , ϑ0 )
+
±
x +
ϑ ±2
xϑ + O3 (x, ϑ)
2
∂x2
∂ϑ2
∂xϑ
(1.11)
Für das Differenzsignal erhält man:
∆y(x, ϑ) = y(x, ϑ) − y(−x, ϑ) = 2
∂y(x0 , ϑ0 )
∂ 2 y(x0 , ϑ0 )
x+
xϑ + O3 (x, ϑ)
∂x
∂xϑ
(1.12)
Dies hat zur Folge:
• Empfindlichkeit ist verdoppelt
• nur das gemischt quadratisches Glied bleibt übrig
• rein quadratische Glieder entfallen
• das lineare Einflussglied entfällt
y(x,0)+f(ϑ)
y(-x,0)+f(ϑ)
) f(ϑ)
y
∆y
y(x,0)
)
y(-x,0)
x
1.2.4. Umkehrung des Wirkrichtung durch Gegenkopplung —
Kompensationsprinzip
Existiert kein Sensor für eine bestimmte Aufgabenstellung so ist es manchmal dennoch möglich die
interessante Größe zu bestimmen, indem das Wirkprinzip umgekehrt und ein Kompensationsprinzip
angewandt wird.
Beispiel: Ein Sensor der eine kraft in einem elektrischen Strom wandelt existiert nicht,
FM → I
6
aber mit Hilfe einer Tauchspule ist es möglich eine Kraft auszuüben.
I → Fk
Die Kompensationskraft wird der Messkraft entgegengesetzt und so lang verändert bis sie der
Messkraft gleich ist (z.B. Waage, die den Tauchspulenstrom steuert).
FM → Fk
Über den Zusammenhang Fk (I) kann aus I die Messkraft bestimmt werden.
F
M
Tauchspule
Positionsdetektor
N
FM
S
Der Strom Is ist proportional zur Masse, wenn Fk (I) ∝ Is .
Beispiel für einige Anwendungen:
• STM, AFM (im constant current/force mode)
• Hitzdrahtanemometer
• Beschleunigungssensoren
• SQUID-Magnetometer in einer flux-locked loop
7
Is
Regelelektronik
2. Auswertung von Messsignalen
2.1. Einige Begriffsdefinitionen
Messgröße ist diejenige physikalische Größe, der die Messung gilt.
Eingangsgröße ist die Messgröße oder andere Größe, die in die Auswertung der Messung eingeht.
Ergebnisgröße ist die Zielgröße einer Messung und der anschließenden Auswertung.
Messabweichung im Messergebnis sind Folgen der Unvollkommenheit einer Messung. Sie lässt
sich in zwei Teile aufspalten:
Zufällige Messabweichung kommen durch unvorhersagbare räumliche und zeitliche Veränderungen zustande. Der Erwartungswert (Mittelwert) der zufälligen Messabweichung ist
Null.
Systematische Messabweichung besitzen einen bekannten und unbekannten Anteil. Der
bekannte Anteil kann bei der Auswertung korrigiert werden. Der unbekannte Anteil
bleibt als Unsicherheit bestehen.
Fehler → Abweichung Der Begriff Fehler wurde im ursprünglichen Sinne von C.F. Gauß eingeführt und ist heute in der Metrologie in Abweichung umbenannt worden. Der Fehler ist
ein qualitativer Begriff für die Nichterfüllung einer Forderung.
Einflussgrößen und Korrektion sind nicht Gegenstand der Messung, beeinflussen diese aber
(Umgebungstemperatur, Feuchte, Luftdruck,...).
Messunsicherheit ist ein Kennwert, der zum Messergebnis gehört und die Unsicherheit des Wertes, bzw. die Streuung der Werte kennzeichnet. Sie kann durch die Varianz, Standardabweichung oder ein Vielfaches davon angegeben werden.
2.2. Die vier Schritte der Auswertung einer Messung
(Werden in DIN 1319-3 genauer beschrieben)
1. Aufstellung eines Modells, das die Beziehung der interessanten Messgrößen zu allen anderen
beteiligten Größen mathematisch beschreibt.
2. Vorbereitung der gegebenen Messwerte und der anderen verfügbaren Daten.
3. Berechnung des Messergebnisses und der Messunsicherheit der Ergebnisgröße aus den vorbereiteten Daten mit Hilfe des Modells.
4. Angaben des vollständigen Messergebnisses.
8
2.2.1. Aufstellung des Modells
Das Modell beschreibt den Zusammenhang der interessierenden Messgröße mit allen beteiligten
Größen Xi (Eingangsgrößen). Dies setzt ein Verständnis des Experiments voraus.
Zusammenstellung aller relevanter Eingangsgrößen
1. direkt gemessene Messgrößen, z.B. Sensorsignale
2. Korrektionen für Einflussgrößen, z.B. Temperatur, Druck ...
3. andere bei der Auswertung verwendete Größen, wie Skalierungskonstanten, Naturkonstanten
und Kalibrierungsfaktoren.
Modellfunktion
Hat folgende Form:
Y = f (Xi , ..., Xm )
(2.1)
F (Xi , ..., Xm , Y ) = 0
(2.2)
oder implizit:
oder durch eine numerische Approximation in Form eines Algorithmus.
2.2.2. Vorbereiten der Eingangsdaten
Mehrmals gemessene Größen
Der Schätzwert wird aus dem Mittelwert der Messungen bestimmt
n
xi = v i =
i
1X
vij
n
(2.3)
j=1
Das Maß der Unsicherheit u(x) ist in diesem Fall die empirische Standardabweichung
v
u
ni
X
u
1
t
u(xi ) = s(v i ) =
(vij − v i )2
ni (ni − 1)
(2.4)
j=1
Einzelwerte oder wenig Werte
Liegt für den Wert nur ein einziger Wert xi oder ein gegebener Wert (Literaturwert) vor, so muss
die Unsicherheit aus einer anderen Quelle gewonnen werden:
1. aus der Unsicherheit vergleichbarer vorangegangener Messungen
2. aus der Unsicherheit gegebener oder tabellierter Werte
3. oder durch Abschätzung eines oberen und unteren Grenzwertes
Abschätzung eines oberen und unteren Grenzwertes
Für die Abschätzung der oberen und unteren Grenzwerte ai und bi der Einflussgröße xi sowie
deren Unsicherheit u(xi ) gilt:
xi =
ai + bi
2
und
9
bi − ai
u(xi ) = √
12
(2.5)
ai
xi
bi
ai
xi
bi
die Unsicherheit ist eine Näherung aus der Varianz einer Rechteckverteilung zwischen den Werten ai und bi (keine zusätzliche Information
vorhanden). Wechseln die Werte sinusförmig zwischen
√
den Werten hin und her ergibt sich 8 im Nenner.
2.2.3. Berechnung des vollständigen Ergebnisses
Durch Einsetzen in die Modellfunktion erhält man das Ergebnis
y = f (x1 , ..., xm ).
Sind die Werte nicht korreliert, ergibt sich für die Standardunsicherheit (früher Fehlerfortpflanzungsgesetz genannt):
v
um uX ∂f 2
t
u2 (xi ).
(2.6)
u(y) =
∂xi
i=1
Diese vereinfacht sich in einigen wichtigen Spezialfällen:
1. die Modellfunktion ist eine (gewichtete) Summe
q
y = a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm ⇒ u(y) = a21 u2x1 + a22 u2x2 + ... + a2m u2xm .
(2.7)
2. die Modellfunktion ist ein Produkt
x1 x2
u(y)
y=
⇒
=
x3
y
s
u2x1
x1
2
+
u2x2
x2
2
+
u2x3
x3
2
.
(2.8)
Numerische Bestimmung der Standardabweichung
Für die Berechnung reicht es in der Regel aus, die erste Näherung der Ableitung zu kennen
∆i f ≈
∂f
u(xi )
∂xi
(2.9)
somit ergibt sich für die Standardunsicherheit
v
um
uX
u(y) = t (∆i f )2
(2.10)
i=1
mit
∆i f = f
u(xi )
x1 , ...., xi +
, ..., xm
2
10
−f
u(xi )
x1 , ...., xi −
, ..., xm
2
(2.11)
2.2.4. Angabe des Messergebnisses
Form der Angabe
Es gibt verschieden Formen, das Ergebnis einer Messung anzugeben:
1. y, u(y)
2. y, urel (y)
3. Y = y(u(y))
4. Y = y ± u(y)
5. Y = y · (1 ± urel (y))
Signifikante Ziffern
• Die Unsicherheit ist auf zwei Stellen genau anzugeben (in manchen Fällen auch auf drei).
• Die Unsicherheit wird grundsätzlich aufgerundet.
• Der Messwert wird auf dieselbe Anzahl von Stellen gerundet
Beispiel:
Der Messwert betrage y = 5,493523V und die Unsicherheit u(y) = 0,008017. Es werden der
Messwert auf y = 5,4935 und die Unsicherheit auf u(y) = 0,0081 gerundet.
Erweiterte Unsicherheit
Hierunter versteht man eine erhöhte Forderung an den Vertrauensbereich in besonderen Bereichen
der Technik und Medizin. So wird die Standardunsicherheit mit einem Faktor versehen, um die
erweiterte Unsicherheit zu erhalten:
U = k · u(y)
(2.12)
Die Werte liegen dann laut folgender Tabelle mit einer Wahrscheinlichkeit p im Wertebereich
y − U ≤ y ≤ y + U:
Grad des Vertrauens p (%)
68,27
90
95
95,45
99
99,73
11
Erweiterungsfaktor k
1
1,654
1,960
2
2,576
3
3. Grundlegende Messverfahren
In diesem Kapitel werden Messungen einiger elektrischer Größen angesprochen, durch die eine
interessante physikalische Größe gewandelt wird. So werden hier die Messung einer elektrischen
Spannung, des elektrischen Stroms, einer Wechselspannung und eines Wechselstroms, einer Ladung, eines Widerstands, sowie einer Induktivität und Kapazität diskutiert. Im Anschluss daran
schließt sich die Beschreibung einer Brückenschaltung an, gefolgt von unterschiedlichen Wandlerkonzepten, die elektrische Größen in computerkompatible Daten und zurück wandeln. Gegen
Ende des Kapitels werden Quellen für Rauschen angesprochen und Methoden, die Einfluss des
Rauschens auf die Messung reduzieren, diskutiert. Zum Abschluss werden Methoden und Techniken erläutert, die benutzt werden, um kleine empfindliche Signale zu messen und zu verarbeiten.
(Details nachzulesen in Referenz [1,2,3,4].)
3.1. Spannungsmessung
Jede beliebige Spannungsquelle lässt sich durch eine ideale Spannungsquelle V0 mit einem in Serie
geschalteten Innenwiderstand Ri und jedes Spannungsmessgerät als ein ideales Spannungsmessgerät Vm mit einem parallel geschalteten Innenwiderstand Rm darstellen:
Ri
Rm
V0
Spannungsquelle
Vm
Spannungsmessinstrument
Für die gemessene Spannung Vm gilt:
Vm =
Rm
Vi
Rm + Ri
Es ist sofort klar, dass eine Verfälschung des Messwertes durch den Messwiderstand vorhanden
ist, der einen von unendlich verschiedenen Wert aufweist. Eine Mindestforderung ist darin zu sehen,
dass das Folgende gelten muss:
Rm R i
12
Typische Innenwiderstände einiger Spannungsmessinstrumente
Analoges Spannungsmessinstrument
Handmultimeter
Labormultimeter
Elektrometer
20 kΩ/Volt Vollausschlag
20MΩ
1GΩ
10TΩ = 1013 Ω
3.2. Strommessung
Jede beliebige Stromquelle lässt sich durch eine ideale Stromquelle I0 mit einem parallel geschalteten Innenwiderstand Ri und jedes Strommessgerät als ein ideales Strommessgerät I0 mit einem
in Serie geschalteten Innenwiderstand Rm darstellen:
Rm
Ri
I0
Stromquelle
Im
Strommessinstrument
Für den gemessenen Strom Im gilt:
Im = I0 − Ii =
Rm Ri
Ri
I0
V0
1
=
=
I0
I0 =
Rm
Rm + Ri Rm
Rm + Ri
1 + RRmi
Es ist sofort offensichtlich, dass eine Verfälschung des Messwertes durch den Messwiderstand
vorhanden ist, sofern dieser einen von Null verschiedenen Wert aufweist. Eine Mindestforderung
ist darin zu sehen, dass Folgendes gelten muss:
Rm R i
Üblicherweise wird heutzutage die Strommessung mit Hilfe eines Spannungsmessinstrumentes
bewerkstelligt. Hierbei wird der Spannungsabfall an einem bekannten Messwiderstand mit dem
Spannungsmessinstrument gemessen.
Ri
I0
RM
Stromquelle
Rm
Vm
Spannungsmessinstrument
13
Damit ergibt sich für den Messwiderstand RM :
RM Ri
Um die Bedingung bestmöglich zu gewährleisten, kann eine aktive Stromsenke eingesetzt werden, ein so genannter Transimpedanzverstärker. Dabei wird ein Operationsverstärker eingesetzt.
Diese Schaltung besitzt einen nahezu verschwindenden Eingangswiderstand. Der Transimpedanzverstärker besteht im Wesentlichen aus einem Operationsverstärker und einem Gegenkopplungswiderstand.
I
R
-
V
+
Beschreibung der Funktion:
Ein Transimpedanzverstärker setzt einen an seinem Eingang eingespeisten Strom in eine Spannung
um, dabei wird der Einspeisepunkt durch die aktive Verstärkung auf dem gleichen elektrischen Potential gehalten wie die Masse, die an dem nicht invertierenden Eingang des Operationsverstärkers
(OP) angeschlossen ist (weitere Informationen zu Operationsverstärkern und deren Grundschaltungen sind im Anhang A zu finden).
• Der Eingangswiderstand des idealen OPs ist unendlich es fließt kein Strom in den Eingang
(bei hochohmigen Präzisions-OPs liegt der Eingangsstrom im Bereich von 10−15 A)
• Erhöht sich die Eingangsspannung am (-)-Eingang gegenüber der Masse etwas, wird der
Ausgang des OPs negativer.
• Dadurch fließt ein größerer Strom durch den Widerstand R am OP vorbei.
• Es stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem das Potential am -Eingang gleich der Masse ist
Somit ergibt sich die Ausgangsspannung des Transimpedanzverstärkers zu:
V = −IR.
Diese Spannung kann mit einem Voltmeter ausgewertet werden.
3.3. Ladungsmessung
Ladungen sind sehr schwer zu messen, da wie immer beim Messprozess Energie auf das Messsystem
übertragen werden muss. Die dabei auftretende, typischen Energien, die hierbei pro Elementarladung transferiert werden, sind:
Ee = 1, 6 × 10−19 · 0, 1V = 1, 6 × 10−20 J
Die nachfolgende Schaltung verdeutlicht das Messprinzip:
14
(3.1)
Messverstärker
S1
+
S2
-
Ri
=
R1
C1
Vm
C2
Vi
R2
Quelle
Zunächst befindet sich die zu messende Ladung auf der Kapazität C1 , nachdem sie durch Schließen
des Schalters S1 auf diese aufgebracht wurde. Durch Öffnen des Schalters S1 und Schließen von
S2 fließt diese auf die Kapazität C2 ab.
Q1
=
Q̃1 + Q̃2
(3.2)
Q̃1
Q̃2
=
C1
C2
C1 + C2
⇒ Q̃2
C2
VC1 = VC2 ⇒
Q1
(3.3)
(3.4)
Gilt C1 C2 so wird die Ladung, die ursprünglich auf C1 gespeichert war, fast vollständig auf
C2 übertragen. Der Umladeprozess hat einen Spannungssprung der Größe
VC2 =
Q1
Q̃2
=
C2
C1 + C2
(3.5)
zur Folge, der von dem nachfolgenden Messverstärker verstärkt und anschließend gemessen
wird.
3.4. Messung von Wechselspannung und Wechselstrom
3.4.1. Bandbreitenbetrachtungen
Problem:
Die Kapazität der Verkabelung und die Eingangskapazität des Messgeräts bilden zusammen mit
dem Innenwiderstand der Quelle (Messobjekt) einen Tiefpass:
Messverstärker
+
-
Ri
≈
R1
Ci
Vi
R2
Quelle
15
Vm
Beispiel Ein 50Ω-Koaxialkabel hat eine Kapazität von 100pF/m. Bei einem Innenwiderstand von
105 Ω der Quelle ergibt sich als Grenzfrequenz:
f0 =
1
0, 16
= 5
= 16kHz
2πRC
10 Ω · 10−10 F
(3.6)
Eine mögliche Lösung, um den Einfluss der Kabelkapazitäten zu eliminieren, ist den Ausgang des
Messverstärkers, der als Spannungsfolger verschaltet ist, auf die Abschirmung des Koaxialkabels
zu legen. Somit liegt immer das gleiche Potential am Innen- und Außenleiter des Koaxialkabels,
die Kabelkapazität wird also vom niederohmigen Ausgang des Messverstärkers umgeladen.
Messverstärker
+
Ri
Vi
-
CK
Vm
≈
Quelle
Durch diese Maßnahme erhöht sich die Bandbreite bis in die Nähe von ca. 10MHz.
ϕ
A
0°
1
45°
f0
f
90°
f0
f
Eigenschaften:
• Die Bandbreite wird durch die Bandbreite des Operationsverstärkers bestimmt.
• Problem: Es entsteht eine Resonanzüberhöhung und damit eine Schwingungsneigung
Dies lässt sich sehr leicht mit einem Widerstand RK in der Verbindung zum Koaxialkabel beheben. Dieser Widerstand führt zu einer Dämpfung der Schwingung und verbessert damit den
Frequenzgang.
16
Messverstärker
+
Ri
Vi
CK
-
RK
Vm
≈
Quelle
Hier ist der Frequenzgang mit eingefügtem Dämpfungswiderstand zu sehen.
ϕ
A
0°
1
45°
f0
f
90°
f0
f
3.4.2. Messung des Spitzenwerts und Gleichstromäquivalents
Die einfachste Methode den Spitzenwert einer Wechselspannung zu bestimmen, besteht darin,
die Gleichspannung mit Hilfe einer Diode gleichzurichten und dann mit Hilfe einer Kapazität zu
akkumulieren:
D
Vm
Ri
Vi
C
R
≈
Quelle
Der eingefügte Widerstand wird benötigt, damit die Ladung, die sich auf der Kapazität ansammelt
abfliesen kann, da dies nicht rückwärts über die Diode geschehen kann. Aufgrund der Diodenkennlinie ergibt sich am Ausgang folgender Zusammenhang zwischen Vm und Vi :
Spitzenwert
Vm
Vi
17
• Es wird klar, dass sich ein nichtlinearer Zusammenhang ergibt. Kleine Werte von Vi werden
nur verzerrt wiedergegeben.
• Die Diode darf keine große Sperrschichtkapazität aufweisen, da sonst bei hohen Frequenzen
ein Großteil der Wechselspannung über diese koppelt.
R1
R2
D2
D1
-
Ri
Vi
+
≈
Quelle
Die Diode D2 sorgt dafür, dass der Ausgang des Operationsverstärkers um die Diodendurchbruchsspannung höher liegt als der Ausgang der Schaltung, der auf den Eingang zurückgekoppelt wird.
Somit wird die Durchbruchsspannung der Diode D1 effektiv vom Ausgang abgezogen, weshalb die
Spannung am Ausgang tatsächlich bis auf Null zurückgeht.
Um eine bessere Mittelung mit dem Kondenstor zu erreichen, bietet es sich an, eine Vollwellengleichrichtung durchzuführen.
R4
R1
R2
R3
Vi
≈
Vm
D2
D1
Ri
R5
-
-
+
+
Quelle
wobei 2R1 = 2R2 = 2R3 = R4 = R5 gilt.
Funktionsprinzip:
Das Signal wird von einem invertierenden Einweggleichrichter gleichgerichtet und mit doppeltem
Gewicht auf einen invertierenden Addieren gegeben. Dies lässt sich mit folgendem Bild verstehen:
18
Vi
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
VGL
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
Vm
0,0
-0,5
-1,0
Zeit
Für die positive Halbwelle (Vi ≥ 0) gilt:
VGl,n = −
R1
Vi
R2
(3.7)
Die negative Halbwelle wird unterdrückt. Dies lässt sich in folgender Weise ausdrücken:
VGl,p = −
R1 Vi + |Vi |
R2
2
(3.8)
Diese Spannung wird mit doppelter Gewichtung zum Eingangssignal addiert und invertiert
(R1 = R2 ):
Vi + |Vi |
= −|Vi |
(3.9)
Vm = −(Vi + 2VGl,p ) = − Vi − 2
2
• Vollwellengleichrichtung, dadurch bessere Mittelungsmöglichkeit
• Eigenschaften wie die Bandbreite und Linearität werden durch die Bandbreite bzw. Slew
”
Rate“ des Operationsverstärker begrenzt, was zu Verzerrungen führen kann.
Das Gleichstomäquivalent oder der root-mean-square-Wert(RMS-Wert)
Oftmals interessiert der RMS-Wert der Wechselspannung, also der Wert, der als Gleichspannung
zur gleichen umgesetzten Leistung führen würde.
s
Z
1 T 2
Vrms =
V (t)dt
(3.10)
T 0
Dies lässt sich dadurch erreichen, dass man die Eingangsspannung mit einem Vier-QuadrantenMultiplizierer quadriert, dann mit einem Tiefpass oder Integrator integriert und anschließend mit
einem weiteren Vier-Quadranten-Multiplizierer im Rückkopplungszweig die Wurzel zieht. Mit dem
zweiten Multiplizierer wird die Ausgangsspannung des OPV quadriert und mit der Eingangsspannung verglichen. Genauer gesagt, es wird die Ausspannung solange variiert, bis die Eingangsspannung und das Quadrat der Ausgangsspannung gleich sind.
19
Vier-QuadrantenMultiplizierer
R1
x
y
*
*
Vier-QuadrantenMultiplizierer
Ri
Vm
+
C1
≈
Vi
x
y
3.5. Widerstandsmessung
3.5.1. Stromfehler- und Spannungsfehlerschaltung
Bei der Widerstandsmessung müssen Strom und Spannung durch das Bauteil gemessen werden,
dessen Widerstand bestimmt werden soll. Dabei besteht die Schwierigkeit, dass einer der beiden
Größen mit einem Fehler behaftet sein wird:
I
V0
I
R
R
Stromfehlerschaltung
Spannungsfehlerschaltung
Grundsätzlich ergibt sich bei der Widerstandsbestimmung ein gegenüber den Einzelmessungen
erhöhter Fehler, da sich der Messfehler aus den Fehlern der beiden Einzelmessungen zusammensetzt.
In einem Multimeter wird der Widerstand mit Hilfe einer Stromquelle bestimmt, die einen Strom
durch den zu messenden Widerstand treibt, und einem Voltmeter, das den Spannungsabfall über
dem Widerstand misst.
3.5.2. Messung mit einer Stromquelle
Rs
I0
Vm
Spannungsmessinstrument
Stromquelle
20
Da das Voltmeter eine bestimmte Spannung für den Vollausschlag benötigt, wird der Messstrom
den die Stromquelle liefert erhöht, wenn der Messbereich für kleinere Widerstände eingestellt wird.
3.5.3. Messung durch Vergleich
Bei dieser Messmethode wird ein unbekannter Widerstand R2 mit einem bekannten R1 verglichen.
R1
Ri
V1
V0
R2
V2
Beide Widerstande werden von dem gleichen Strom durchflossen, aber nur wenn die Innenwiderstände der Messgeräte deutlich größer sind als die Widerstände R1 und R2 . Der unbekannte
Widerstand R2 ergibt sich aus dem Messergebnis mit:
R2 =
V2
R1
V1
(3.11)
3.5.4. Messung kleiner Widerstände durch Vierpunktmessung
Diese Methode ist wichtig, wenn man so kleine Widerstände messen will, dass die Kabelwiderstände
nicht zu vernachlässigen sind, aber auch wenn eine Probe mit niedrigem Widerstand vermessen
werden soll und Übergangswiderstände von Probe zu Kontaktmaterial sowie Verkabelungen nicht
vernachlässigt werden können.
R k1
Im
I0
R k3
Rm
Vm
R k4
R k2
Die Kabelwiderstände spielen bei dieser Methode keine Rolle, da die Spannungsabfälle an diesen
Widerständen im Versorgungskreis (I0 , Im , Rk1 , Rm und Rk2 ) bei der Messung nicht berücksichtigt
21
werden. Im Spannungsmesskreis (Rk3 , Vm und Rk4 ) wiederum spielen die Widerstände der Kabel
keine Rolle, da der Innenwiderstand des Spannungsmessgeräts hoch ist und somit nahezu kein
Strom in diesem Kreis fließt, also auch kein Spannungsabfall an diesen Widerständen auftritt.
3.6. Messung von Induktivitäten und Kapazitäten
Induktivitäten und Kapazitäten lassen sich mit Hilfe von drei grundsätzlichen Messmethoden bestimmen:
1. Messung der Zeitkonstante bei Ein- und Ausschaltvorgängen
2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen
3. Messung der komplexen Impedanz
3.6.1. Messung der Zeitkonstanten bei Ein- und Ausschaltvorgängen
L
R
V0
C
Vm
R
V0
Vm
Wird ein RC-Tiefpass oder ein LR-Tiefpass mit einer Rechteckspannung angeregt ergibt sich im
Falle des RC-Tiefpasses beim Einschaltvorgang folgende zeitliche Entwicklung der Spannung am
Ausgang:
t
Vout (t) = V0 1 − e− RC
(3.12)
dabei bezeichnet die Spannung V0 die Maximale Eingangsspannung. Im Falle eines LR-Tiefpasses
gilt:
tR
Vout (t) = V0 1 − e− L
(3.13)
Aus diesen Beziehungen lässt sich jeweils die Kapazität bzw. die Induktivität aus der Zeit
bestimmen die vergeht um eine bestimmte Spannung zu erreichen. Es ist aber leicht einzusehen,
dass diese Methode keine allzu große Genauigkeit liefert.
3.6.2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen
R
V0
≈
C
L
Vm
Wird ein Parallelschwingkreis wie in der Darstellung verwendet, lassen sich die Induktivität oder
die Kapazität bestimmen, wenn jeweils die andere Größe bekannt ist. Für den Zusammenhang
22
zwischen Amplitude der Ausgangsspannung und der Anregungsfrequenz gilt:
Aout (ω) = A0 q
ω02
(ω 2 − ω02 )2 +
ω 2 ω02
Q2
(3.14)
und für die Phase gilt:
ϕ(ω) = arctan
1 ωω0
Q ω02 − ω 2
(3.15)
Es ist besser, die Phase zur Messung der Resonanz heranzuziehen, da sich diese deutlich genauer
Messen lässt als die Amplitude, somit werden die Resonanzfrequenz und Güte Q = f0 /B (ein
Maß für die Energieverluste pro Periode; f0 Resonanzfrequenz und B Bandbreite) am Besten aus
der Phase bestimmt.
ϕ(ω0 ) = 0
dϕ(ω) 2Q
=
dω ω=ω0
ω0
(3.16)
(3.17)
3.6.3. Messung der komplexen Impedanz
Für die komplexe Impedanz gilt im Falle eines Kondensators:
i
ωC
(3.18)
ZL = −iωL
(3.19)
ZC = −
und im Falle einer Spule:
Man bestimmt nun den Zusammenhang zwischen dem Strom und der angelegten Spannung bei
einer bestimmten Frequenz und damit die Impedanz. Es gilt:
V (ω) = Z(ω)I.
(3.20)
1 C=
ωZ (3.21)
Z L = ω
(3.22)
Daraus lässt sich die Kapazität
beziehungsweise die Induktivität
bestimmen.
3.7. Rauschen
Unter Rauschen versteht man statistische Fluktuationen, wie sie in Vielteilchensystemen auftreten.
Beispiele hierfür sind die Brownsche Molekularbewegung oder die Fluktuationen durch Elektronen
beim Stromtransport.
23
3.7.1. Widerstandsrauschen
Es wird ein elektrischer Widerstand betrachtet der an einen Verstärker mit einer zwischen den
Frequenzen ω1 und ω2 konstanten Verstärkung angeschlossen ist. Außerhalb dieses Frequenzbereichs sei die Verstärkung gleich Null. Die Elektronen ändern ihre Position und Geschwindigkeit
durch thermische Fluktuationen, weshalb sie eine EMF erzeugen. Es ergibt sich ein fluktuierender
Strom I(t), eine elektromotorische Kraft EMF und eine fluktuierende Spannung V (t). Über die
Kenntnis der Fouriertransformierten kann mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relation auf die Varianz
zurückgeschlossen werden.
3.7.1.1. Wiener-Chintschin-Relation
Die Wiener-Chintschin-Relation verbindet die Autokorrelation mit dem Leistungsspektrum. Wir
definieren die Korrelation als das Ensemblemittel einer Funktion y(t):
C(τ ) = hy(t)y(t + τ )i
(3.23)
C(0) = hy(t)2 i
(3.24)
Dabei stellt die Größe
die Varianz der Funktion y(t) dar, wenn hy(t)i = 0 gilt. Die Funktion C(τ ) lässt sich als
Fourierintegral schreiben:
Z ∞
C(τ ) =
J(ω)eiωτ dω
(3.25)
−∞
J(ω) stellt dabei das Leistungsspektrum oder die spektrale Dichte dar. Die Umkehrfunktion hierzu
lautet:
Z ∞
1
J(ω) =
C(τ )e−iωτ dτ
(3.26)
2π −∞
Diese beiden Gleichungen sind unter dem Namen Wiener-Chintschin-Relation bekannt. Man kann
0
sie leicht beweisen indem man C(τ ) von rechts mit e−iω t multipliziert und über τ integriert:
Z
∞
−iω 0 τ
C(τ )e
Z
dτ
∞
=
−∞
Z
∞
dτ
−∞
Z
0
J(ω)ei(ω−ω )τ dω
(3.27)
−∞
∞
= 2π
J(ω)(δ(ω − ω 0 ))dω
−∞
0
= J(ω )
(3.28)
(3.29)
Die Korrelation C(τ ) ist reell und gerade (Symmetrie erster Art). Bei einer Fouriertransformation
würden nur cos-Terme auftreten. In diesem Fall bedeutet dies, dass auch J(ω) reell und gerade
ist:
C ∗ (τ ) = C(τ )
(3.30)
C(−τ ) = C(τ )
(3.31)
∗
J (ω) = J(ω)
(3.32)
J(−ω) = J(ω)
(3.33)
24
Damit folgt:
hy 2 (t)i = C(0) =
Z
∞
Z
∞
J+ (ω)dω
J(ω)dω =
−∞
(3.34)
0
J+ (ω) ≡ 2J(ω)
(3.35)
Wegen der Symmetrieeigenschaften kann die Fouriertransformation auch als cos-Transformation
geschrieben werden. Es treten also keine sin-Terme auf:
Z ∞
Z ∞
J(ω) cos(ωτ )dω
C(τ ) =
J(ω) cos(ωτ )dω = 2
(3.36)
0
−∞
Z ∞
Z
1 ∞
1
C(τ ) cos(ωτ )dτ =
C(τ ) cos(ωτ )dτ
J(ω) =
(3.37)
2π −∞
π 0
Wenn y(t) stationär und ergodisch ist, ist C(τ ) zeitunabhängig und das Ensemblemittel kann
durch das Zeitmittel ersetzt werden. Dies gilt immer für periodische Funktionen, muss aber für
statistische Fluktuationen gefordert werden. Nun lässt sich schreiben:
Z Θ
1
C(τ ) =
y(t)y(t + τ )dt
(3.38)
2Θ −Θ
Wir setzen:
yΘ ≡
y(t) für − Θ ≤ t ≤ Θ
0
sonst
(3.39)
damit ergibt sich für das Integral:
1
C(τ ) =
2Θ
Z
∞
yΘ (t)yΘ (t + τ )dt
(3.40)
−∞
Durch den Übergang von y(t) nach yΘ (t) führt man einen Fehler von der Größenordnung τ /Θ
ein, der natürlich für Θ → ∞ verschwindet. Für die Fouriertransformierte F (t)
Z ∞
y(t) =
F (ω)eiωτ dω
(3.41)
−∞
von y(t) gilt:
C(τ ) =
=
=
=
=
Z ∞ Z ∞
Z ∞
1
dt
F (ω)eiωt dω
F (ω 0 )eiω(t+τ ) dω
2Θ −∞
−∞
Z ∞
Z−∞
Z ∞
∞
1
0
0 iω 0 t
0
dω
F (ω)F (ω )e dω
ei(ω+ω )t dt
2Θ −∞
−∞
Z ∞
Z−∞
∞
1
0
dω
F (ω)F (ω 0 )eiω t dω 0 2πδ(ω + ω 0 )
2Θ −∞
−∞
Z
π ∞
F (ω)F (−ω)eiωt dω
Θ −∞
Z
π ∞
|F (ω)|2 eiωτ dω
Θ −∞
Setzt man
J(ω) =
π
|F (ω)|2
Θ
25
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.47)
wird klar, dass J(ω) das Leistungsspektrum von y(ω) ist. Es lässt sich zusammenfassen:
Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationen lässt sich die Autokorrelation mit der Rücktransformierten des Leistungsspektrums gleichsetzen.
3.7.1.2. Herleitung des Widerstandsrauschen nach Nyquist
In einem Widerstand entsteht Rauschen durch die thermische Bewegung der Elektronen im Widerstand, die eine fluktuierende EMF V (t) zur Folge hat. Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationen
gilt, dass kurze Korrelationszeiten, d.h. die Elektronen stoßen schnell hintereinander, eine breites
Spektrum des Rauschens zur Folge haben. Das Spektrum reicht hier also zu hohen Frequenzen.
Nyquist leitete sein Theorem analog zu Plancks Ableitung der Schwarzkörperstrahlung ab. Wir betrachten folgenden Aufbau, der aus einem Sender und einem Absorber von Fluktuationen besteht.
R
R
≈ V(t)
≈ V(t)
L
Für die Überlegungen geht man von zwei Spannungsquellen aus, die über eine verlustfreie
Leitung der Länge L miteinander verbunden sind. Sie sind durch die Widerstände und die jeweiligen
Rauschspannungsquellen dargestellt. Die gesamte Anordnung befinde sich im Gleichgewicht, d.h.
es wird ebenso viel elektrische Leistung in den Widerständen absorbiert wie sie emittieren. Damit
sind die beiden Abschlusswiderstände analog zum schwarzen Strahler zu sehen. Eine elektrische
Welle V (r, t) = V0 ekr−ωt , die sich mit der c0 = ωk Geschwindigkeit ausbreitet, wird stehende Moden
ausbilden, wenn die Länge der Verbindung ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge kL = 2πn ist.
Damit ergibt sich für die Anzahl der Moden im Intervall ω bis ω + dω:
∆n =
1
1 dω
dk =
2π
2π c0
(3.48)
~ω
(3.49)
Jede Mode besitzt nach Planck die Energie:
ε(ω) =
e
~ω
kB T
−1
Für ~ω kT lässt sich die Exponentialfunktion in eine Taylor-Reihe entwickeln mit dem Resultat:
ε(ω) = kB T
(3.50)
In jedem Frequenzintervall ω bis ω + dω muss die abgegebene und aufgenommene Leistung gleich
sein. Mit der Anzahl der Moden pro Längeneinheit ergibt sich für die abgegebene bzw. aufgenommene Leistung:
1 dω
1
0
ε(ω) =
ε(ω)dω
(3.51)
P =c
0
2π c
2π
26
Diese Leistung wird in Form einer Rauschspannung aufgebracht. Dementsprechend muss auch ein
V
Strom I = 2R
fließen. Dabei muss der Widerstand zweifach verwendet werden, da zwei für den
Stromfluss in Reihe geschaltet sind. Somit ergibt sich für die elektrische Leistung:
2
Z ∞
1
1
V
2
2
=
J+ (ω)dω
(3.52)
hV i =
RhI i = R
4R2
4R
4R 0
Und für die Leistung im Frequenzintervall ω bis ω + dω:
P
=
J+ (ω) =
J+ (ω)
1
dω =
ε(ω)dω
4R
2π
~ω
2
R
π e k~ω
BT − 1
(3.53)
(3.54)
Für die üblichen Frequenzen bis in den Mikrowellenbereich hinein gilt ~ω kT und somit folgt:
J+ (ω) =
2
kB T R
π
(3.55)
Betrachtet man das Rauschen in einem bestimmten Frequenzband mit genügend tiefen Frequenzen, so ergibt sich:
Z ωmax
ωmax
J+ (ω)dω
= C(0) =
hV 2 iω
(3.56)
min
ωmin
Z ωmax
=
J+ (0)dω
(3.57)
ωmin
Z ωmax
dω
= J+ (0)
(3.58)
ωmin
= J+ (ω)(ωmax − ωmin )
2(ωmax − ωmin )kB T R
=
π
= 4BkB T R
(3.59)
(3.60)
(3.61)
Dabei wurde genutzt, dass die Spektrale Dichte des Rauschens für kleine Frequenzen als konstant
angesehen werden kann und somit gleich der Dichte bei der Frequenz Null ist. B = (ωmax −
ωmin )/2π bezeichnet die Detektionsbandbreite bezeichnet.
3.7.2. Brownsche Bewegung als stochastischer Prozess
Wir betrachten einen markoffschen (von Markoff) stochastischen Prozess. Bei einem derartigen
Prozess yt hängt die Wahrscheinlichkeitsdichte nur von einem Zeitpunkt in der Vergangenheit ab:
f (y, t; y0 , t0 )dy
(3.62)
f (y, t − t0 ; y0 , t0 )dy = f (y, t; y0 , t0 )dy
(3.63)
und sie ist homogen in der Zeit:
Außerdem ändert sich die Größe yt unabhängig in der Zeit:
ytn − ytn−1 , ytn−1 − ytn−2 , ..., yt1 − yt0
27
(3.64)
für beliebige tk mit:
tk < tl
für k < l,
(3.65)
dabei seien die Änderungen wie folgt definiert:
X := ytk − ytl .
(3.66)
Sei die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Zuwachs:
f (X; yl , tk )dX.
(3.67)
Die Änderungen werden als unabhängig bezeichnet, wenn sich die Wahrscheinlichkeitsdichte für
eine beliebige Anzahl von Änderungen als Produkt von einzelnen Verteilungen darstellen lässt:
f (X 1 , ..., X Z ; t1k , t1l , ..., tzp , tzq )dX 1 ...dX z = f (X, t1k , t1l )dX 1 ...f (X; tzp , tzq )dX z
(3.68)
Die Änderungen heißen homogen wenn gilt:
f (X; tl − tk , 0)dX = f (X; tl , tk )dX
(3.69)
Ein markoffscher Prozess,
1. dessen Realisierungen alle den Anfangsbedingungen genügen
2. der homogene und
3. zeitunabhängige Änderungen besitzt
4. und dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung die Gaußverteilung ist
x2
1
exp − 2
f (X; t, 0, 0)dy ≡ f (y, t)dy = √
2σ t
2πσ 2 t
(3.70)
heißt Wienerscher Prozess.
Für die gemittelten Werte gilt dabei
ȳ = 0;
y¯t2 = σ 2 t
(3.71)
Es gilt wegen der Unabhängigkeit der Änderungen:
yt − yτ = 0
(3.72)
Die sich ergebende Varianz der Änderungen hat folgende Abhängigkeit:
σ 2 = 2D =
2kB T
α
(3.73)
Die eindimensionale Brownsche Molekularbewegung ist ein Wienerscher Prozess. Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist die Gaußsche Normalverteilung eine Folge von vielen statistisch unabhängigen, mikroskopischen Einzelverschiebungen.
28
3.8. Weitere Rauschquellen
3.8.1. Schrotrauschen
Diese Art von Rauschen tritt bei der Emission von Elektronen aus einer Glühkathode oder Feldemissionskathode auf. Dies hat wiederum seine Ursache in der Quantisierung der Elektronenladung.
Durch Messungen der Stärke des Schrotrauschens ist es möglich auf die Elementarladung zurückzuschließen. Für den Strom des Schrotrauschens gilt:
2
Ischr
= 2eIa ∆v
(3.74)
Dabei stellt Ia den Strom durch die Anode und ∆v die Bandbreite dar.
3.8.2. Generations-Rekombinationsrauschen
Dieser Typ des Rauschens tritt durch die spontanen Rekombination von Elektronen und Löchern
in Halbleitern auf. Für den Rauschstrom, der aufgrund von Rekombinationen entsteht gilt:
2
= A(v, T )E 2 ∆v
IRek
(3.75)
Dabei stellt A einen frequenz- und temperaturabhängigen Faktor und E die Feldstärke, die im
Halbleiter herrscht, dar.
3.8.3. Flickerrauschen (1/f-Rauschen)
Dies ist eine häufig zu beobachtende Form von Rauschen, dessen Ursache nicht ganz geklärt
ist. Das Leistungsspektrum von Flickerrauschen fällt mit 1/f ab. Es gab schon einige Versuche
dieses Rauschen zu erklären. Van der Ziel ist der Meinung, es müsste eine ganze Verteilung von
Prozessen mit unterschiedlichen charakteristischen Frequenzen sein. Die Überlagerung dieser mit
den geeigneten Gewichtungsfaktoren führt dann zu einem 1/f -Abfall. Ende der achtziger Jahre wurde eine einfaches Modell, das das 1/f -Rauschen produzieren sollte, von Bak, Tang und
Wiesenfeld vorgestellt. Sie nannten dieses Modell die selbstorganisierte Kritizität (self organized
criticality SOC). Sie hatten dabei einen Sandhaufen vor Augen, auf den immer weiter Sand aufgestreut wird und dadurch immer wieder Lawinen von Sand unterschiedlicher Größe abrutschen.
Das Leistungsspektrum der Lawinen soll 1/f -Rauschen zeigen.
3.9. Einfluss eines Filters auf Rauschen
Filter verändern eine Rauschspannung anders als eine Signalspannung. Um dies zu verstehen wird
ein Rauschen mit dem Spektrum J+ (ω) an den Eingang eines Filters mit der Übertragungsfunktion
A(ω) angelegt. Damit ergibt sich für die Signalspannung Js :
JS,A (ω) = A(ω)JS (ω)
(3.76)
Wird hingegen eine Rauschspannung auf den Eingang des Filters gegeben, dann ergibt sich:
Z ∞
2
|A(ω)|2 J+ (ω)dω
(3.77)
hVa (t)i =
0
29
A(f)
1
0,1
0,01
0,01f0
f0
0,1f0
10f0
100f0
Es soll nun die Rauschspannungen eines Rechteckfilters mit einer bestimmten Bandbreite gleich
der Rauschspannung eines Tiefpassfilters mit einer Bandbreite von ωm bis ωm + ∆ωm sein. Dazu
setzt man an:
2
hVa,m
(t)i
Z
ωm +∆ωm
=
|Am (ω)|2 J+ (ω)dω = A2m hV 2 (t)i∆ωm
(3.78)
ωm
Für weißes Rauschen ergibt sich:
1
= 2
Am
∆ωm
∞
Z
|A(ω)|2 dω
(3.79)
0
Bei einem Tiefpass ist die Übertragungsfunktion:
|A(ω)| = √
1
1 + ω 2 R2 C 2
(3.80)
In die vorherige Formel eingesetzt ergibt sich:
∆ωm
1
= 2
Am
Z
0
∞
√
1
2 1
dω =
π RC
1 + ω 2 R2 C 2
(3.81)
Die Signalbandbreite eines Tiefpassfilters ist:
ωs =
1
RC
Somit ist die effektive Bandbreite der Rauschspannung um einen Faktor
ωm =
2
∆ωS
π
(3.82)
2
π
größer:
(3.83)
Je höher die Ordnung des Filters wird desto geringer wird der Unterschied in der effektiven
Bandbreite.
30
3.10. Methoden zur Rauschunterdrückung
3.10.1. Lock-in Verstärker
Motivation für einen Lock-in Verstärker, einen phasensensitiven Detektor (PSD). Beispiel: Ein
10 kHz-Signal mit 10nV Amplitude soll verstärkt
werden. Der benutzte Verstärker habe eine
√
Verstärkung von 1000, ein Rauschniveau 5nV/ Hz und eine Bandbreite von 100kHz. Das Signal,
das sich somit am Ausgang ergibt hat eine Amplitude:
VS = 1000 · 10nV = 10µV
Die Rauschspannung bei dieser Bandbreite und dem Eingangsrauschen ergibt sich zu:
√
√
VN = 100kHz · 1000 · 5nV / Hz = 1, 6mV
(3.84)
(3.85)
Somit er gibt sich ein Signal/Rausch-Verhältnis:
10µV
VS
=
= 0, 006
VN
1, 6mV
(3.86)
Wird die Bandbreite reduziert lässt sich das Signal/Rausch-Verhältnis verbessern. Wird z.B. ein
guter Filter mit der zentralen Frequenz von 10kHz und einer Bandbreite von 100Hz eingesetzt
(dies entsprich einer Güte von G = f /∆f = 10000/100 = 100), verbessert sich die Situation in
folgender Weise.
√
√
VN = 100Hz · 1000 · 5nV / Hz = 50µV
(3.87)
Nun ergibt sich ein Signal/Rausch-Verhältnis:
VS
10µV
=
= 0, 2
VN
50µV
(3.88)
Aber auch dieses Signal/Rausch-Verhältnis macht es unmöglich das Signal zu messen. Mit einem
phasensensitiven Detektor ist es möglich eine Bandbreite von 0,01Hz zu erreichen:
p
√
VN = 0, 01Hz · 1000 · 5nV / Hz = 0, 5µV
(3.89)
Nun ergibt sich ein Signal/Rausch-Verhältnis:
VS
10µV
=
= 20
VN
0, 5µV
(3.90)
In diesem Fall ist das Signal also um einen Faktor 20 größer als die Rauschspannung und somit
leicht zu detektieren.
3.10.2. Die Funktionsweise eines phasensensitiven Detektors
(Lock-in-Verstärkers)
Die Funktion des Lock-in-Verstärkers lässt sich wie folgt beschreiben: Die zu messende Probe wird
sinusförmig angeregt, so dass das Messsignal mit dieser Anregungsfrequenz moduliert ist:
Vm (t) = Vm0 cos(ωm t + ϕm )
31
(3.91)
Gleichzeitig wird das Modulationssignal dem Lock-in-Verstärker als Referenzsignal zugeführt:
Vr (t) = Vr0 cos(ωr t + ϕr )
(3.92)
Der Lock-in-Verstärker bildet nun:
Z
1 T
Vm0 cos(ωm t + ϕm )Vr0 cos(ωr t + ϕr )dt
T 0
Z
1 T 1
=
Vm0 Vr0 cos(ωm t − ωr t + ϕm − ϕr )dt −
T 0 2
Z
1 T 1
−
Vm0 Vr0 cos(ωm t + ωr t + ϕm + ϕr )dt
T 0 2
Vout =
(3.93)
(3.94)
(3.95)
Das Ausgangssignal besteht also aus zwei Frequenzanteilen. Allerdings werden durch die Tiefpassfilterung alle Signale herausgefiltert, deren Frequenz höher als die Grenzfrequenz ist. Auf diese
Weise bleibt nur die Komponente mit der Frequenzdifferenz übrig sofern, diese Frequenzdifferenz
kleiner als die Grenzfrequenz ist, d.h. die beiden Frequenzen nahezu identisch sind.
Vout =
≈
Z
1 T 1
Vm0 Vr0 cos(ωm t − ωr t + ϕm − ϕr )dt
T 0 2
1
Vm0 Vr0 cos(ϕm − ϕr )dt mit ϕm ≈ ϕr
2
(3.96)
(3.97)
Auf diese weise wird also die Korrelation des Messsignals mit dem Referenzsignal bestimmt. Es
wird klar, dass von einem beliebigen Rauschsignal nur der Teil des Rauschsignals mit berücksichtigt wird, dessen Frequenz in direkter Nachbarschaft zum Referenzsignal liegt. Das bedeutet, man erhält eine sehr enge effektive Bandbreite des gemessenen Bereichs. Da aber auch die
Phasendifferenz zwischen den beiden Signalen eingeht, wird auch eine sich zeitlich ändernde Pasendifferenz herausgemittelt. Häufig wird nicht nur die Amplitude des Messsignals, sondern auch
dessen Phasenlage zum Referenzsignal gemessen. Dies geschieht durch einen zweiten PSD dessen
Referenzsignal um 90 gegenüber dem erste verschoben ist.
V1 = Vm0 cos(ϕm − ϕr )
(3.98)
V2 = Vm0 sin(ϕm − ϕr )
(3.99)
Somit ist es möglich beide Anteile des Eingangsignals zu messen und so die volle Information zu
erhalten.
32
3.10.3. Aufbau eines phasensensitiven Detektors
A
B
+
rauscharmer
Vorverstärker
50/60Hz
Bandsperre
100/120Hz
Bandsperre
Verstärker
90°
Phasenschieber
TiefpassFilter
V1
R und ϕ
Berechnung
Referenz
Sinus oder
TTL
Phasenschieber
PLL
PhaseLocked
Loop
Interner
Oszillator
TiefpassFilter
R
ϕ
V2
Phasensensitiver Detektor
Sinus
TTL
Links oben im Bild sind die beiden Eingänge des Verstärkers zusehen, dabei wird einer der Eingänge
nicht-invertiert und der andere invertiert verstärkt. Dadurch ist es möglich die Differenz aus zwei
Eingangssignalen zu bilden. Dann folgt eine so genannter Bandsperre, dabei handelt es sich um
einen Filter, der es ermöglicht Störungen aus dem Wechselstromnetz (50Hz in vielen Europäischen
Ländern und 60Hz in den USA) heraus zu filtern. Dann folgt noch eine weitere Bandsperre für die
erste Harmonische der Netzfrequenz (100 bzw. 120Hz). Nun wird das Signal nochmals verstärkt
und auf die beiden Multiplikatoren gegeben (symbolisiert durch den Kreis mit einem Kreuz).
Links auf halber Höhe ist der Referenzeingang gezeigt. Hier wird ein externes Referenzsignal
angeschlossen, bei dem es sich um ein sinusförmiges Signal handeln kann oder um Logikpegelsignal
(TTL —Transistor Transistor Logik, bei dem eine Logische Null durch 0V und eine Logische Eins
durch 5V repräsentiert wird). Das Signal wird auf einen so genannten Schmitt-Trigger gegeben
(siehe hierzu Abschnitt A.6, auf Seite 106). Dieser formt aus dem Eingang ein Rechtecksignal
mit steilen Flanken, welches auf eine Phase Locked Loop“(PLL) gegeben wird, welche ein ge”
nau definierten Sinus mit der selben Frequenz und Phase erzeugt. Dieser Sinus wird auf einen
Phasenschieber gegeben, mit dem die Phase um einen beliebigen Betrag geschoben werden kann.
Dieses Signal wird zum Einen nochmals um 90◦ geschoben und dann auf den Multiplizierer und
zum Anderen direkt auf den Multiplizierer als zweiter Operand gegeben. Die Produkte werden
jeweils auf einen Tiefpassfilter zur zeitlichen Mittelung gegeben. Anschließend werden beide Anteile am Ausgang zur Verfügung gestellt. Des weiteren kann auch noch eine Transformation von
kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (V1 , V2 → R, ϕ) durchgeführt werden.
Das Gerät besitzt noch zwei weitere Ausgänge. An diesen werden ein sinusförmiges Signal und
ein TTL-Signal als Referenzsignale ausgeben, um sie für eine synchrone Anregung bei der Messung
zu verwenden.
33
3.10.4. Rauschreduktion durch Mittelung von repetierlichen Signalen
Bei Signalen, die sich immer wieder Wiederholen, kann eine Rauschreduktion dadurch erzielt werden, dass sie mit Hilfe eines Triggersignals mehrfach phasenrichtig“ aufgenommen (digitalisiert)
”
und Messpunkt für Messpunkt gemittelt werden. Dabei reduziert sich die Rauschspannung mit:
1
VN ∝ √ ,
N
(3.100)
wobei N die Anzahl der aufgenommen Messreihen ist. Allerdings muss dabei bedacht werden,
dass dies nicht bis zu einer beliebigen Genauigkeit fortgeführt werden kann, da eine Schwankung
im Triggerzeitpunkt (Jitter) eine Grenze definiert.
Rauschreduktion durch Mittelung
1,0
Signal
0,5
0,0
0
2
4
2
0
-2
4
6
8
10
Signa+Rauschen (S/N=1)
0
2
2
4
6
8
10
nach 10 Mittelungen
1
0
-1
0
2
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
4
6
8
10
nach 100 Mittelungen
0
2
1,0
4
6
8
10
nach 10000 Mittelungen
0,5
0,0
0
2
4
6
8
10
Zeit
3.10.5. Die Methode der Boxcar-Mittelung
Ist ein Messsignal zu schnell um es digitalisieren zu können, besteht die Möglichkeit, wenn sich ein
genauer Triggerpunkt definieren lässt, mit Hilfe eines Abtast/Halteglieds (Sample/Hold-Stage) und
einem variablen, triggerbaren Pulsgenerator das Signal dennoch zu messen. Mittels des Triggers
34
wird der Pulsgenerator getriggert, der ein Puls der Länge τ liefert. Am Ende des Pulses wird
der Messwert in dem Abtast/Halteglied gespeichert und über einen Tiefpassfilter gemittelt. Nach
einer gewählten Anzahl von Mittelungen wird die Pulslänge τ erhöht, bis schließlich der gesamte
zeitliche Verlauf des Messsignals abgetastet wurde.
Rampengenerator
τ
Trigger
Pulsgenerator
R
AHG
C
1,0
0,8
y(t)
0,6
0,4
τ
0,2
0,0
0
2
4
Zeit
6
8
10
3.11. Methoden zur empfindlichen Messung kleiner Signale
3.11.1. Konzeption des Messaufbaus
Messtechnisch stellen
• kleine Spannung
• kleine Ströme
• hohe Impedanzen
sehr große Ansprüche an den Messaufbau. Daher ist in diesen Fällen besondere Sorgfalt bei der
Konzeption des Messaufbaus geboten, um Messfehler zu erkennen und auszuschließen. In diesem
Zusammenhang ist es hilfreich sich mit sogenannten Testfeldern die Anforderungen an den Messaufbau zu verdeutlichen. Jede Spannungs- oder Stromquelle in einem Messproblem, lässt sich als
eine Spannungsquelle mit einem Serienwiderstand auffassen:
35
Ri
V0
Ein Messfeld lässt sich nun dadurch darstellen, dass man in einem doppellogarithmischen Diagramm den Kurzschlussstrom Isc über der Leerlaufspannung V0 aufgeträgt. Geraden konstanten
Innwiderstands R weisen eine Steigung von Eins in diesem Diagramm auf.
1. Zunächst legt man den Punkt fest (Punkt A im Diagramm unten), der sich durch den
Kurzschlussstrom und die Leerlaufspannung ergibt.
2. Dann wird die gewünschte Genauigkeit der Messung festgelegt, z.B. 0,1%. Die Genauigkeit
definiert den Punkt B im Diagramm unten durch den Abstand von Punkt A (drei Dekaden).
3. Das Messfeld ist nun durch die vertikale Line zwischen A und B, der Viertelkreislinie nach
links bis zur Horizontalen (Punkt C im Diagramm) und der horizontalen Verbindungslinie
zwischen A und C begrenzt.
Das Messfeld zeigt nun den minimalen Parallelwiderstand, der zum Erreichen der gewünschten
Genauigkeit notwendig ist, mit dem das Messobjekt belastet werden darf im Punkt B und den
maximalen Serienwiderstand, der sich in der Messleitung befinden darf, in Punkt C.
36
3.11.2. Begrenzung des Messfeldes bei einer Spannungsmessung
Darstellung der für eine Messung unzugänglichen Bereiche bei der Spannungsmessung:
1. Thermospannungen (Blau) können bis in den Bereich von einigen mV hineinreichen. Als
reine Spannungen sind sie natürlich vom Strom unabhängig.
2. Leckströme (Grün) von z.B. 1nA schaffen ebenso einen unzugänglichen Bereich.
3. Der Quellenwiderstandsbereich (Violett) ist der Bereich, der bei einem Eingangswiderstand
des Messgeräts von 10M einen Fehler von 10% oder größer hervorruft.
4. Der letzte Bereich wird durch eine Rauschquelle (Dunkelgrün) unzugänglich gemacht (weiß
oder 1/f).
37
3.11.3. Begrenzung des Messfeldes bei einer Strommessung
Darstellung der für eine Messung unzugängliche Bereiche bei der Strommessung:
1. Spannungsabfall (Blau) an dem zur Strommessung benutzen Messwiderstand.
2. Durch induzierte oder generierte (Triboelektrität) Ströme (Grün) unzugänglicher Bereich.
3. Begrenzung durch Widerstände (Violett) die parallel zum Eingang des Messgerätes liegen
(auch Kabelwiderstände).
4. Durch eine Rauschquelle (Dunkelgrün) unzugänglich gemachter Bereich (weiß oder 1/f).
38
3.11.4. Begrenzung des Messfeldes bei einer Widerstandmessung
Darstellung der für eine Messung unzugängliche Bereiche bei der Widerstandsmessung:
1. Thermospannungen (Blau) können bis in den Bereich von einigen mV hineinreichen. Als
reine Spannungen sind sie natürlich vom Strom unabhängig.
2. Durch induzierte oder generierte (Triboelektrität) Ströme (Grün) unzugänglicher Bereich.
3. Begrenzung durch Widerstände (Violett), die parallel zum Eingang des Messgerätes liegen
(auch Kabelwiderstände).
4. Bereich der durch eine Rauschquelle (Dunkelgrün) unzugänglich gemacht wird (weiß oder
1/f)
5. Bereich, der wegen eines vorhandenen Messkabelwiderstandes (Gelb) unzugänglich ist.
39
3.11.5. Mögliche Fehlerquellen und ihre Beseitigung
Art der Messung
Kleine Spannungen
Kleine Ströme
Messbereich
< 1µV
< 1µA
Anzeichen für
Fehler
Offsetspannung
Wahrscheinliche Ursachen
Thermospannungen
Störspannungen
Magnetische Interferenzen
Offsetstrom
Leckströme in Isolatoren
Messstrom im Messwerk
(Bias)
Dunkelstrom im Detektor
Störströme
Elektrostatische Kopplung
Vibration / Deformation
Niedrige
derstände
Wi-
Hohe Widerstände
< 100mΩ
> 1GΩ
Widerstandoffsets
Kabelwiderstand
Drift
Thermospannungen
Schwankende
Messwerte
Magnetische Interferenz
Ablesung
klein
zu
Belastungswiderstand
(Shunt)
Niedriger Rein des Voltmeters
Offsetströme
Schwankende
Werte
Spannung aus einer Quelle mit hoher
Impedanz
> 1M Ω
Ablesung
klein
Elektrostatische Kopplung
zu
Belastungswiderstand
(Shunt)
Offsetströme
Schwankende
Werte
Elektrostatische Kopplung
Maßnahmen zur Vermeidung
Alle Anschlüsse auf der
gleichen Spannung halten gekrimpte Cu-CuVerbindungen
Verdrillte Leitungen von
Magnetfeldern entfernen oder abschirmen
Gute Isolatoren verwenden, gut reinigen
Picoampèremeter oder
Elektrometer verwenden
Dunkelstrom
unterdrucken oder kompensieren
Hohe Spannungen und
Relativbewegungen der
Kabel dazu vermeiden
Abschirmung
Vibrationen
fernhalten rauscharme Kabel
verwenden
4-Draht
Methode
(Kelvin-Methode)
verwenden
Pulsförmige Testsignale
mit Offsetkompensation
Von Magnetfeldern fernhalten oder abschirmen
Verdrillte Leitungen verwenden
Anschlüsse und Kabel
mit höherem Isolationswiderstand verwenden
Guard-Techniken
verwenden
Spannungsquelle
und
Strommessung verwenden
Offsetströme bei abgeschalteter Testspannung
kompensieren
Hohe Spannungen in der
Nähe sowie Bewegung
des Kabels vermeiden
Anschlüsse und Kabel
mit höherem Isolationswiderstand verwenden
Guard-Techniken
verwenden
Offsetströme bei abgeschalteter Testspannung
kompensieren
Hohe Spannungen in der
Nähe sowie Bewegung
des Kabels vermeiden
Eingangswiderstand Zu geringer Eingangswiderstand Rm führt durch einen Spannungsabfall
am Innenwiderstand Rs des Messobjekts zu einer systematisch zu kleinen Ablesung Vm der
m
Messspannung Vs Vm = RmR+R
Vs .
s
Behebung:
40
Messinstrument oder Vorverstärker mit hoher Eingangsimpedanz wählen.
Isolationswiderstand Durch Isolationsmaterial mit zu geringem Widerstand verringert sich der
effektive Eingangswiderstand bei der Messung (siehe oben).
Behebung:
Sorgfältige Wahl der Messkabel und Design des Messaufbaus.
Offsetspannung Dazu gehören alle Spannungen, die in Serie zu der Messspannung liegen. Beispiele sind im wesentlichen Thermospannungen an Kontaktstellen und magnetisch induzierte
~ A)
~
d(B·
~ dB~ + B
~ dA~ .
Spannungen VB = dφ
=A
dt =
dt
dt
dt
Vs
+
-
-
V E MF
+
+
-
- Vm
Vs
-
+
V E MF
+
+ Vm
Reduktion des Einflusses durch Thermospannungen:
Zweimalige Messungen der Spannung kurz hintereinander (die Temperaturverhältnisse dürfen
sich nicht ändern) mir vertauschten Kabeln.
Vm,1 = Vs + VEM F
(3.101)
Vm,2 = Vs − VEM F
Vm,1 + Vm,2
Vm =
2
(Vs + VEM F ) + (Vs − VEM F )
=
= Vs
2
(3.102)
(3.103)
Reduktion des Einflusses durch induzierte Spannungen:
• minimieren der Fläche A zwischen den Messkabeln
• Bereiche hoher Magnetfelder vermeiden
• Verdrillen der beiden Messkabel führt zu einer Kompensation, da die Richtung des
Normalenvektors der Fläche rotiert.
• Betrag und Richtung zeitlich konstant halten indem die Messleitungen fixiert werden.
Offsetstrom Entstehung in den Eingangsverstärkern von Messverstärkern.
Behebung:
Minimieren durch die Wahl des Messinstrumentes und bei zeitlich konstanten Offsetströmen
Kompensation durch eine externe Stromquelle.
41
Kapazität zur Abschirmleitung Die Kapazität zwischen Innenleiter und der Abschirmung des
Messkabels führen mit dem Innenwiderstand des Messobjekts zu einem störenden Tiefpassverhalten:
τ = Rs CK . Flanken des Messsignals werden verzögert.
Behebung:
Einsetzen einer Guard-Technik, dabei wird die direkte Abschirmung um die Messleitung auf
dem gleichen Potential wie die Messleitung selbst gehalten, dadurch muss die Kapazität der
Messleitung nicht von der hochohmigen Quelle umgeladen werden sondern wird von einem
niederohmigen Messverstärker umgeladen:
Messverstärker
+
Ri
Vi
-
CK
Vm
≈
Quelle
Die neue sich ergebende Zeitkonstante stellt die um die offene Schleifenverstärkung reduzierte ursprüngliche Zeitkonstante dar:
τguard,ef f =
Rs CK
.
Aguard
(3.104)
Ein weiterer wichtiger Vorteil der Guard-Technik ist die Reduktion des effektiven Parallelwiderstands (wie Kabelisolationswiderstände). So kann mit sogenannten Guard-Ringen auf
Platinen der Eingangswiderstand erhöht werden.
Guard-Fläche
Erdschleifen Erdschleifen entstehen durch zu viele und somit überflüssige Verbindungen auf Bezugspotential.
42
Hi
R
Messgerät
Vm
V
Quelle
≈
R
Lo
Erdleitung
Vg
Die in der Erdleitung abfallende Spannung Vg , hervorgerufen durch einen hohen Stromfluss
in der Erdleitung oder durch induktive Einkopplung, führt zu einem Stromfluss IR durch
den Widerstand Rg und damit auch zu einem eventuell nicht zu vernachlässigenden Spannungsabfall in R. Typische Werte sind IR = 1A und R = 100mΩ. Damit ergibt sich als
Spannungsabfall an R und somit als Bezugspunktsdifferenz 100mV.
Behebung:
Erdung des gesamten Aufbaus an einem definierten Punkt
Kapazitiv eingekoppelte Spannungen Jeder ladungstragende Körper kann eine zusätzliche Spannung durch eine kapazitive Einkopplung eines Stroms in dem Messkreis hervorrufen:
I
C
≈
I=C
V
dV
dC
+V
.
dt
dt
(3.105)
Behebung:
Eine um die Messschaltung angebrachte Abschirmung, die geerdet ist, schafft hier Abhilfe.
Rauschen in Strommessinstrumenten Empfindliche Strommessinstrumente bestehen in den meisten Fällen aus Strom/Spannungs-Wandlern.
43
I
Rs
-
Rf
V out
+
Vs
Dabei ergibt sich für das Wandlungsverhältnis
Vout = −IRf = −Vs
Rf
.
Rs
(3.106)
Es ist meistens Rs < Rf und somit ist auch Vs < Vf . Dies kann zu Problemen führen, wenn
man Rauschen des Srom/Spannungswandlers in die Überlegung einbezieht. Das Rauschen
lässt sich damit beschreiben, indem man sich eine Rauschspannungsquelle angeschlossen an
den nichtinvertierenden Eingang vorstellt. Diese Rauschspannung wird dann mit
Rf
Vout,n = Vs 1 +
(3.107)
Rs
verstärkt und somit bei kleinen Quellenwiderständen Rs im Vergleich zu der eigentlichen
Quellenspannung Vs stärker.
Zu Beachten ist, dass eigentlich zu den Widerstanden Rs und Rf streng genommen noch
jeweils eine Kapazität parallel vorhanden ist, was diese Angelegenheit auch noch frequenzabhängig macht.
Behebung:
Keithley empfiehlt bei seinen Strommessinstrumenten bei einer Strommessung auf eine Impedanz der Quelle zu achten, die einen vom Messbereich abhängigen Wert nicht unterschreitet:
Strombereich
pA
nA
µA
mA
Minimaler Quellenwiderstand
1GΩ. . . 100GΩ
1MΩ. . . 100Ω
1kΩ. . . 100kΩ
1Ω. . . 100Ω
Triboelektrische Effekte Kabel bestehen aus mehreren Schichten, die bei einer Bewegung genauer Krümmung gegeneinander Reiben können. Diese Reibung kann, ähnlich der Situation,
wenn ein Fell an einem Kunstoffstab gerieben wird, Ladungstrennung zur Folge haben. Diese
44
Art der Ladungstrennung wird Triboelektrizität genannt. Die entstandene Ladung kann in
den Messkreis abfließen oder in diesen Einkoppeln.
Vermeidung:
• Rauscharme Kabel verwenden
• Vibrationen an den Quellen dämpfen
• Kabel fixieren
3.11.5.1. Das Spektrum von möglichen Störquellen
Das Spektrum von Störsignalen besteht im wesentlichen aus zwei breitbandigen Anteilen, wie
einem 1/f-Anteil bei niedrigen Frequenzen und einem weißen Rauschuntergrund, sowie eventuell
einzelner Spitzen bei Frequenzen:
log A
1/f
weiß
log f
• der Netzfrequenz und deren Harmonischen
• der Störsignalen von Computermonitoren (Zeilenkippfrequenz)
• von Kaskadenschaltungen zur Spannungsvervielfachung
• von Zerhackern in Schaltnetzteilen
• von Taktgebern in Digitalschaltungen
• von benachbarter Radiosendern
u.a.m.
3.12. Sensoren für unterschiedliche physikalische Größen
3.12.1. Sensoreffekte zur Umsetzung mechanischer Größen
3.12.1.1. Piezoelektrischer Effekt
Piezoelektrizität wird die Wechselwirkung zwischen elektrischen Größen wie Polarisation, elektrischem Feld oder Oberflächenladung mit mechanischen Größen wie Spannung und Dehnung.
Piezoelektrizität gibt es nur in zentrosymmetrischen Kristallen, d.h. in Kristallen mit mindestens
45
einer Spiegelebene. Existiert diese Spiegelebene, so tritt entlang der Normalen zu dieser Ebene kein
piezoelektrischer Effekt auf, da alle mechanische Größen in sich überführt werden, während alle
elektrischen Größen ihr Vorzeichen ändern. Somit kann hier kein piezoelektrische Effekt entstehen.
+
-
+ - +
-
+
+ - +
Durch die unterschiedliche Verschiebung der Ladung resultiert ein Dipolmoment in dem Kristall.
Es können vier Effekte unterschieden werden, je nach Richtung der wirkenden Kräfte und nach
Richtung des sich ausbildenden Piezokoeffizienten.
F
F
P
P
F
F
Longitudinaleffekt
Transversaleffekt
F
F
P
P
F
F
Longitudinaler
Schereffekt
Transversaler
Schereffekt
3.12.1.1.1. Die mechanische Spannung Die mechanische Spannung ist als Kraft pro Fläche
definiert und stellt somit einen Tensor zweiter Stufe dar.
46
σ33
A3
σ13
x3
σ23
σ32
σ31
x2
σ11
A1
x1
σ21
σ12
σ22
A2
Die unterschiedlichen Kräfte, welche an den verschiedenen Flächen angreifen ergeben so die
Komponenten des Spannungstensors:
Fi
(3.108)
σij =
Aj
Dabei stellen positive Komponenten den Druck und negative die Zugspannung. Komponenten
mit i 6= jstellen Scherkräfte dar. Im statischen Gleichgewicht gilt σij = σji , da sich sonst ein
resultierendes Drehmoment ergibt, das zu Drehbeschleunigungen führen würde. Das bedeutet,
dass der Spannungstensor ein symmetrischer Tensor ist und sich seine Komponenten auf nur
sechs verschiedene reduzieren.


σ11 σ12 σ13
↔
σ =  σ12 σ22 σ23 
(3.109)
σ13 σ23 σ33
Zur Vereinfachung wird oftmals anstelle der Tensorschreibweise eine Matrixschreibweise gewählt
dabei geschieht die Zuordnung wie folgt:
Tensorschreibweise
Matrixschreibweise
Damit nimmt die Matrix die folgende

σ11 σ12
 σ12 σ22
σ13 σ23
11
1
22
2
33
3
23;32
4
13;31
5
12;21
6
Gestalt an:



σ13
σ1 σ6 σ5
σ23  →  σ6 σ2 σ4 
σ33
σ5 σ4 σ3
Tensorschreibweise
(3.110)
Matrixschreibweise
3.12.1.1.2. Die mechanische Dehnung Zur Bestimmung der mechanischen Dehnung betrachtet man die infinitesimale Verrückung ui in Richtung xj :
eij =
δui
δxj
(3.111)
↔
Die Verrückung eines Punktes ∆~u im Abstand ∆~x ergibt sich damit zu ∆~u = e ∆~xbzw. ∆ui =
eij ∆xj . Es ist offensichtlich, dass der antisymmetrische Teil des Tensors 12 (eij − eji )eine Drehung
beschreibt, während der symmetrische 12 (eij + eji )eine Verformung beschreibt. Deshalb ist der
↔
↔
eigentliche Dehnungstensor ε der symmetrische Teil des Tensors e :




1
ε11 ε12 ε13
e11
(e12 + e21 ) 12 (e13 + e31 )
2
↔
1

σ2
ε =  ε12 ε22 ε23  :=  12 (e12 + e21 )
(3.112)
2 (e23 + e32 )
1
1
ε13 ε23 ε33
σ3
2 (e13 + e31 ) 2 (e23 + e32 )
47
↔
Der Tensor ε hat nun wiederum nur sechs unabhängige Komponenten, weshalb man auch hier
wieder die übersichtlichere Matrixschreibweise wählt:



ε11 ε12 ε13
ε1
 ε12 ε22 ε23  →  1 ε6
2
1
ε13 ε23 ε33
2 ε5
Tensorschreibweise
1
2 ε6
ε2
1
2 ε4
1
2 ε5
1
2 ε4

(3.113)

ε3
Matrixschreibweise
3.12.1.1.3. Der direkte piezoelektrische Effekt Unter dem direkten piezoelektrischen Effekt
versteht man das Auftreten einer elektrischen PolarisationP~ bei Anwesenheit einer mechanischen
↔
Spannung σ:
↔
↔
P~ = d · σ
bzw. Pi = dijk · σjk
(3.114)
Es gilt die Einsteinkonvention der Summation über die doppelt auftretenden Indizes. Die dijk werden
als piezoelektrische Moduln bezeichnet. Da der Spannungstensor symmetrisch ist kann zwischen
dijk und dikj nicht unterschieden werden. Es gilt dijk = dikj somit existieren nicht 27 sondern 18
unabhängige Komponenten. Üblicherweise wird anstelle der Tensorschreibweise mit drei Indizes
die Matrixschreibweise mit zwei Indizes verwendet (i=1,2,3).



di11 di12 di13
di1
 di12 di22 di23  →  1 di6
2
1
di13 di23 di33
2 di5
Tensorschreibweise
1
2 di6
di2
1
2 di4
1
2 di5
1
2 di4


(3.115)
di3
Matrixschreibweise
Damit ergibt sich für die Polarisation mit den unterschiedlichen Schreibweisen:
Tensornotation: Pi = dijk · σjk (i, j, k= 1...3)
Matrixnotation: Pi = dij · σj (i= 1...3; j =1. . . 6)
3.12.1.1.4. Der inverse piezoelektrische Effekt Hierunter versteht man das Auftreten einer
↔
~
Dehnung ε bei Anwesenheit eines elektrischen FeldesE:
εjk = dijk · Ei
(3.116)
Es ergibt sich wiederum für die unterschiedlichen Schreibweisen:
Tensornotation: εjk = dijk · Ei (i, j, k= 1...3)
Matrixnotation: εj = dij · Ei (i= 1...3; j =1. . . 6)
Dieser Effekt wird bei Schwingquarzen zur Definition einer Frequenz ausgenutzt. Mit einem
Schwingquarz als Sensor sind z.B. Schichtdickenmessgeräte ausgestattet, welche die Verstimmung
der Resonanzfrequenz benutzen um die Massenbelegung des Quarzes und somit die aufgebrachte
Schichtdicke zu bestimmen.
3.12.1.1.5. Kristalleigenschaften Die unterschiedlichen piezoelektrischen Moduln können den
unterschiedlichen Klassen der Effekte zugeordnet werden:
Mit zunehmender Symmetrie der Kristalle nimmt die Anzahl der unabhängigen Komponenten
ab, weshalb bestimmte Effekte dann nicht mehr beobachtet werden können.
48
Longitudinaleffekt
Transversaleffekt
Longitudinaler Schereffekt
Transversaler Schereffekt
d11, d22 , d33
d12, d13 , d21 , d23, d31 , d32
d14, d25 , d36
d15, d16 , d24 , d26, d34 , d36
So sind z.B. die piezoelektrischen Moduln von .α-Quarz


d14
0
0
0 −d14 −2d11 
0
0
0
d11 −d11 0
↔
0
0
d= 0
0
0
0
(3.117)
mit d11 = 2, 3pC/N und d14 = 0, 67pC/N.
Lithiumniobat besitzt eine relativ großen Koeffizienten d33 = 21pC/N. Häufig werden auch
piezoelektrische Keramiken eingesetzt PbZrO3 und PbTiO3 (Perovskit-Struktur).
3.12.1.2. Piezoresistiver Effekt
Der elektrische Widerstand eines Quaderförmigen Körpers ist gegeben durch:
R=
ρ·l
A
(3.118)
Wird eine Kraft auf den Quader ausgeübt so deformiert er sich, wodurch sich eine Widerstandsänderung ergibt:
∆R
∆l ∆A ∆ρ
=
−
+
(3.119)
R
l
A
ρ
mit ε =
∆l
l und
∆A·l
ν = − 2A·∆l
als Querkontraktionszahl folgt:
∆ρ
∆R
= ε(1 + 2ν) +
R
ρ
(3.120)
Hierbei hängt nur der erste Term von der Geometrie ab und der zweite beschreibt den eigentlichen
piezoresistiven Effekt. Bei Metallen wird die Widerstandsänderung im Wesentlichen durch die
Geometrieänderung und in Halbleitern in erster Linie durch den piezoresistiven Teil hervorgerufen.
Ursache des piezoresistiven Effekts in Halbleitern ist die Veränderung der Bandstruktur unter
Druck und somit die Änderung der Konzentration der freien Ladungsträger. Durch eine Änderung
der Krümmung der Leitungsbandkante wird die effektive Masse der freien Ladungsträger und somit
deren Beweglichkeit verändert.
3.12.1.2.1. Einschub: Elektronen im Gitter Die diskreten Energieniveaus in einem einzelnen Atom werden zu Bändern, wenn sich eine Reihe von Atomen in einem bestimmten Abstand
befinden, wie dies bei einem Festkörperkristall (Halbleiter) der Fall ist.
49
E
dis crete energylevels s plit up
in different bands
E
x
x
Je nach Anzahl der zur Verfügung stehenden Elektronen werden die Bänder besetzt. Das oberste
Band, das auf einzelne Atome begrenzt ist wird Valenzband genannt, während das unterste welches
über alle Atome hinwegverläuft Leitungsband genannt wird. Zwischen diesen Bändern befindet sich
das verbotene Band in dem keine besetzbaren Elektronenzustände vorhanden sind.
E (k)
fr ee elec tron
c on duc tio n ban d
Ec
E g =E c -E v
Ev
energ y ga p, ba nd ga p
x
v a lenc e ba nd
k
Die Krümmung der Bänder kann als das Inverse der ,,Masse“ (so genannte effektive Masse)
der Elektronen interpretiert werden.
Durch das Einwirken einer Mechanischen Kraft wird der Abstand in der einen Kristallrichtung
verkürzt und in den anderen Verlängert (oder umgekehrt). Dadurch ändern sich die Bänder und
somit auch die effektiven Massen der Elektronen.
3.12.1.2.2. Beschreibung des piezoresistiven Anteils in Halbleitern Der spezifische Widerstand im Zusammenhang mit elektrischem Feld und Stromdichte muss in einem Kristall prinzipiell
als ein Tensor aufgefasst werden. Dieser nimmt die Form eines Einheitstensors für den Fall an,
dass die Leitfähigkeit isotrop ist:





E1
1 0 0
j1
 E2  = ρ ·  0 1 0   j2 
E3
0 0 1
j3
(3.121)
Wird auf den Kristall eine Kraft ausgeübt, so wird die Isotropie der Leitfähigkeit gestört und es
treten nichtverschwindende Nebendiagonalelemente auf und die Diagonalelemente werden modi-
50
fiziert:
"
E1
E2
E3
#
"
=ρ·
1 + π11 σ1 + π12 (σ2 + σ3 )
π44 σ6
π44 σ5
π44 σ6
1 + π11 σ2 + π12 (σ1 + σ3 )
π44 σ4
π44 σ5
π44 σ4
1 + π11 σ3 + π12 (σ1 + σ2 )
#"
j1
j2
j3
#
(3.122)
Die hauptsächliche Konsequenz besteht darin, dass der Strom nicht mehr in Richtung des herrschenden elektrischen Felds fließen muss.
3.12.2. Umsetzung magnetischer Größen
3.12.2.1. Messung mit Hilfe einer rotierenden Spule
Die einfachste Methode, ein magnetisches Feld zu erzeugen, beruht auf der Ausnutzung der Gleichung für die induzierte Spannung:
Vind = −N
~ · A)
~
d(B
dt
(3.123)
Bei einem konstanten zu messenden Magnetfeld ergibt sich nur die Möglichkeit:
~
Vind = −N B
~
dA
dt
(3.124)
Dies lässt sich z.B. durch eine rotierende Spule realisieren.
3.12.2.2. Kernsondenmagnetometer
Wird ein Material als Kernmatrial in einem Transformator verwendet, dessen Magnetisierungskurve
nichtlinear ist, so kann damit ein extern anliegendes Magnetfeld Hm gemessen werden.
Magnetisierungskurve:
B
H
Mögliche einfache experimentelle Realisierung eines Transformators:
51
Hm
i(t)
V ind(t)
Um die Funktion zu verstehen, sei angenommen, dass die Magnetisierungskurve mit folgender
Gleichung modelliert werden kann:
B(H) = µ0 (H + KH 3 )
(3.125)
Nun wird mit durch einen Stromfluss mit der Frequenz ω das gesamte Magnetfeld H(t) = Hm +
H0 sin(ωt) moduliert. Damit ergibt sich für die magnetische Induktion:
B(t) ≈ µ0 [H(t) + KH(t)3 ]
= µ0 [Hm + H0 sin(ωt) + [Hm + H0 sin(ωt)]3 ]
(3.126)
Nach Ausmultiplizieren und Anwenden von trigonometrischen Rechenregeln ergibt sich für die
induzierte Spannung:
Vind
3K 2
2
∝ H0 ω 1 + 3KHm +
H cos(ωt) +
4 0
3K 2
+3KHm H0 sin(2ωt) −
H cos(3ωt)
4 0
(3.127)
Es ist zu sehen, dass der Term mit der doppelten Anregungsfrequenz proportional zum zu messenden Feld ist:
Vind |2ω ∝ 3Hm ωKH02
(3.128)
Es ist somit auch klar, dass durch eine Erhöhung des Modulationsfeldes und der Frequenz die
Empfindlichkeit in gewissen Grenzen erhöht werden kann.
3.12.2.3. Hall Effekt
Wie allgemein bekannt ist, erfahren
bewegte
Ladungsträger in einem magnetischen Feld die so
~
~
genannte Lorentz-Kraft FL = q ~v × B . Diesen Effekt kann man ausnutzen, um das magnetische
Feld zu messen. Dabei wird eine, sich aufgrund der Lorentz-Kraft ergebende, Spannung gemessen,
die proportional zum anliegenden magnetischen Feld ist.
52
Bm
b
d
VH
l
I0
Der Effekt der sich einstellenden Spannung in einer langen Probe wird Hall-Effekt genannt.
Die sich ergebende Spannung ist:
RH
VH =
IB
(3.129)
d
Es ergibt sich eine Gleichgewichtssituation, wenn die Lorentzkraft gleich der Kraft durch das
elektrische Feld auf den Ladungsträger ist. Das sich einstellende Hallfeld ist:
~ H = − ~v × B
~
E
(3.130)
Damit ergibt sich die Hallspannung zu:
VH = −bvx B
(3.131)
Hier ist vx die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger in x-Richtung. Es besteht folgender
Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit der Ladungsträger und der Stromdichte:
jx,n = nqvx
(3.132)
nbezeichnet hier die Ladungsträgerkonzentration und q die Elementarladung.
Mit
I
jx =
bd
ergibt sich für die Hallspannung
1 1
RH
VH = −
IB =
IB
nq d
d
und somit ergibt sich für den Hallkoeffizienten im Fall negativer Ladungsträger:
1
RH,n = −
nq
VH
Steigung: R H I/d
B
53
(3.133)
(3.134)
(3.135)
Durch dieses sich ergebende Hallfeld werden die Äquipotentialflächen des elektrischen Feldes
gekippt.
+++++++
I
Ex
I
EH
E
----------
Der Winkel, um den die Äquipotentialflächen gekippt wurden, wird als Hallwinkel bezeichnet,
~ ~ EH − ~v × B
vx
tan(θH ) = =
(3.136)
= B = µH B
Ex
~ x
~ x
E
E
wobei µH die so genannte Hallbeweglichkeit ist.
3.12.2.4. Gauß Effekt
Hierunter versteht man die Widerstandsänderung in einer kurzen Probe, die aufgrund einer größeren effektiven Länge der Probe entsteht, da sich durch ein angelegtes Magnetfeld die elektrischen
Feldlinien um den Hallwinkel kippen. Dieser Effekt muss allerdings von dem magnetoresistiven
Effekt, der im nächsten Abschnitt beschrieben wird, unterscheiden werden.
R0 = ρ
l0
b0 d
(3.137)
Vernachlässigt man den störenden Einfluss des Randes kann man ableiten:
l(θH ) =
I0
cos(θH )
b(θH ) = b0 cos(θH )
54
(3.138)
(3.139)
Damit ergibt sich für den Magnetfeld abhängigen Widerstand:
R(θH ) = R0
1
cos2 (θ
H)
= R0 (1 + tan2 (θH ))
(3.140)
Mit der Hallbeweglichkeit folgt:
R(B) = R0 (1 + K(µH B)2 )
(3.141)
Wobei der Faktor K der Geometrie der Probe Rechnung trägt. Der Widerstand zeigt folgende
Abhängigkeit von der magnetischen Induktion:
R(B)
R0
B
Der Effekt kann verstärkt werden, wenn man Kontakte mit Fingern aufbringt, die in die Zwischenräume des gegenüberliegenden Kontaktes hineinreichen.
3.12.2.5. Magnetoresistiver Effekt
Betrachtet wird eine stabförmige Probe, für die l d gilt. Außerdem weise das Material zwei
unterschiedliche spezifische Widerstände ρp und ρs bezüglich der Magnetisierung auf.
B
~ = E
~ p cos(θ) + E
~ s sin(θ)
E
~j = ~jp cos(θ) + ~js sin(θ)
~ p = ρp~jp ; E
~ s = ρs~js
E
55
(3.142)
(3.143)
(3.144)
Durch einsetzen ergibt sich:
ρp − ρs
~
E(θ)
= ~jρs 1 +
cos2 (θ)
ρs
(3.145)
Damit ergibt sich für den Widerstand:
1
1
ρs + (ρp − ρs ) cos2 (θ)
bd
bd
R(θ) =
(3.146)
Hier ist der Widerstand weder von der Größe noch vom Vorzeichen abhängig. Durch Formanisotropie kann der Widerstand von der Größe der Magnetisierung abhängig gemacht werden. Es ergibt
sich ein magnetisch anisotropes Verhalten entlang einer magnetisch harten und einer magnetisch
weichen Achse:
Mx
Mx
+Ms
+Ms
Hc
Hx
-H k
+H k
Hx
-Ms
-Ms
magnetisch hart
magnetisch weich
Entlang der magnetisch weichen Achse gilt für die Feldstärke Hy < Hk :
My (Hy ) = Hy
b
d
Ms
, für Hy < Hk
Hk
hart
H
Ms
θ
Mx
j leicht
(3.147)
My
l
Weist die Magnetisierung eine Komponente in y-Richtung auf so ergibt sich:
und somit:
My
= sin(θ)
Ms
(3.148)
Hy
= sin(θ), für Hy < Hk
Hk
(3.149)
56
durch Umformung erhält man
1−
Hy
Hk
2
= cos2 (θ), für Hy < Hk
(3.150)
und somit ergibt sich für den Widerstand durch Einsetzen in obige Formel:
"
#
Hy 2
1
1
, für Hy < Hk
ρs + (ρp − ρs ) 1 −
R(θ) =
bd
bd
Hk
R =
1
ρs , für Hy > Hk
bd
(3.151)
(3.152)
R
-1
+1
Hy
Hk
Bilden Magnetfeld und Stromrichtung einen Winkel von 45◦ so ergibt sich eine Linearisierung.
Dies kann durch Aufbringen von leitfähigen Metallelektroden (,,Barber Poles“) im 45 Grad Winkel
zur X-Achse erreicht werden.
Barber Pole
Solche Materialien zeichnen sich durch einen großen Magnetowiderstand und eine zur messenden
Feldstärke angepassten Anisotropiefeldstärke Hk aus. Es sind in erster Linie binäre und ternäre
Legierungen aus Ni, Fe und Co, wobei Permalloy (Ni/Fe 81/19) eine besondere Rolle spielt, da
hier keine Magnetostriktion auftritt.
57
3.12.2.6. Supraleitende Magnetfeldsensoren
Cooperpaare:
zwei Elektronen (Fermionen) wechselwirken über Phonen (Gitterverzerrung) ⇒ Bosonen
Bosonenwellenfunktion:
p
Ψ(~r) = ns (~r)eiϕ(~r)
(3.153)
ns (~r) ist dabei die Cooperpaardichte.
Alle Cooperpaare bilden einen makroskopischen Quantenzustand, der sich durch eine Wellenfunktion beschreiben lässt. Das heißt der Zustand wird nicht nur durch eine reelle Größe der
Cooperpaardichte, wie die Dichte des Wassers bei der Beschreibung des Phasenübergangs von
Wasser, sondern zu der korrekten Beschreibung des Zustands benötigt man noch die komplexe
Phase. Die Kohärenzlänge ξ ist die charakteristische Länge auf der sich die Cooperpaardichte
ändern kann.
Der supraleitende Zustand kann durch folgendes Bild als ein Halbleiter interpretiert werden, bei
dem die doppelte Bindungsenergie der Cooperpaare als Bandlücke gedeutet wird. Die in Cooperpaaren kondensierten Elektronen sind Bosenen und können damit auch einen Zustand mehrfach
und nicht nur einfach besetzen.
E
2∆
N(E)
Bei einer Temperatur, die von Null verschieden ist werden einige Cooperpaare thermisch aufgebrochen, weshalb ein Teil der Elektronen Zustände oberhalb der Bandlücke besetzten.
Magnetischer Fluss wird aus dem Inneren des Supraleiters verdrängt. Er kann nur noch Öffnungen durchdringen. Aber dieser Fluss kann nicht jeden beliebigen Wert annehmen, sondern er
58
ist quantisiert. Dies hängt direkt mit der Bosonenwellenfunktion zusammen. Geht man auf einem Ring um die Öffnung im Supraleiter muss die Phase der Wellenfunktion an jedem Ort einen
eundeutigen Wert annehmen.
B
SL
Mit Hilfe der Elektrodynamik lässt sich schreiben:
I
I
I
~ r) · d~s = ~
gradϕ(~r) · d~s
µ0 λ2 ~js (~r) · d~s + A(~
es
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
=0
Flußquant:
=ΦA
(3.154)
2πn~/es
h
Φ0 = = 2.0678 · 10−15 T esla m2
es
(3.155)
3.12.2.6.1. Der Josephson-Kontakt
Sl1
|Ψ|
I
Ψ1
Sl2
Ψ2
x
p
Ψ(r) =
ns (~r)eiϕ(~r)
∂Ψ2
i~
= E2 Ψ2 + KΨ1
∂t
∂Ψ1
i~
= E1 Ψ1 + KΨ2
∂t
59
(3.156)
(3.157)
(3.158)
dns1
dt
dns2
dt
dϕ1
dt
dϕ2
dt
2K √
ns1 ns2 sin(ϕ2 − ϕ1 )
~
2K √
ns1 ns2 sin(ϕ2 − ϕ1 )
= −
~r
E1
K ns2
cos(ϕ2 − ϕ1 ) −
= −
~ ns1
~
r
E2
K ns1
cos(ϕ2 − ϕ1 ) −
= −
~ ns2
~
=
2Kn
sin(ϕ2 − ϕ1 ) → J = JC sin(∆ϕ)
~
2eV
~(ϕ̇2 − ϕ̇1 ) = E2 − E1 → ∆ϕ̇ =
~
ṅs,1 = −ṅs,2 =
J Stromdichte; JC kritische Stromdichte
Josephson-Gleichungen
3.12.2.6.2. Das Superconducting Quantum Interference Device
Strom
Die Strom/Spannungs-Charakterisitik
c
Φ = nΦ0
Versorgungsstrom
Φ = (n+1/2)Φ0
Spannung
60
(3.159)
(3.160)
(3.161)
(3.162)
(3.163)
(3.164)
Zusammenhang zwischen Spannungsabfall und magnetischem Fluss
Φ0
∆V
Spannung
Flußquant
∆Φ
magnetischer Fluß
Da der Zusammenhang zwischen in ein SQUID eingekoppelter magnetischer Fluss und die
Änderung der Spannungsabfalls über das SQUID sich periodisch ändert mit der Periode eines
Flussquants und ist somit natürlich nicht eindeutig. Das bedeutet, dass die Angabe einer Spannung
nicht eindeutig auf einen Fluss abgebildet werden kann. Somit wären nur Änderungen magnetischer
Flüsse im Umfang unter einem halben Flussquant eindeutig messbar.
Um diesen Nachteil auszuräumen, wird die so genannte flux-locked loop verwendet. Dabei
verwendet man zwei, schon eingeführte Prinzipien:
1. ein phasensensitiver Verstärker, um die die Ableitung der Spannungs/Fluss-Beziehung zu
messen
2. das Kompensationsprinzip, um den Fluss dem das SQUID ausgesetzt ist konstant gehalten
wird, in dem der externe Fluss durch eine kleine Spule kompensiert wird.
Das mit einem konstanten Strom versorgten SQUID ist dem externen Magnetfeld ausgesetzt. In
der Nähe befindet sich auch noch eine kleine Spule deren Magnetfeld ebenfalls das SQUID durchdringen kann. Die Spannungsänderungen des SQUIDs werden als Strom durch einen Transformator
und einen Widerstand abgegriffen. Die Spannungsänderungen werden von einem Verstärker vergrößert und mit einer Wechselspannung multipliziert. Außerdem moduliert die Wechselspannung
das Magnetfeld durch das SQUID. Das Produkt der Multiplikation wird zeitgemittelt (tiefpassgefiltert) und einem Ausgangsverstärker zugeführt.
61
lock-in
Trafo
Stromquelle
Ausgang
SQUID
Wechselspannungsquelle
Cryo
Verstärker
Multiplizierer
Integrator
Magnetometer Wir ein SQUID verwendet, um Magnetfelder zu messen lässt sich die Empfindlichkeit weiter steigern, indem ein so genannter Flusstransformator aus einem supraleitenden
Draht benutzt. Wird der Flusstransformator einem magnetischen Feld ausgesetzt, beginnt
in ihm ein Suprastrom zu fließen, der Proportional zur Gesamtfläche des Transformators
und zum Magnetfeld ist. Durch die Mehrfachwicklung direkt über dem SQUID wird and
dieser Stelle ein überhöhtes magnetisches Feld erzeugt, welches dann vom SQUID deutlich
empfindlicher gemessen werden kann.
Gradiometer Ein Gradiometer ist nur auf die Gradienten magnetischer Felder empfindlich. Das
bedeutet, dass der konstante Anteil des Magnetfeldes unterdrückt wird. Die beiden Windungen des hier verwendeten Flusstransformators, die räumlich möglichst weit voneinander
getrennt sind, haben unterschiedlichen Wicklungssinn. Wird nun ein homogenes
R Magnetfeld
~ ·~ndA = 0
angelegt, so ist der fließende Suprastrom Null, da der gesamt Fluss Null ist, da B
(~n ist dabei die Flächennormale der durch den Flusstransformator aufgespannte Fläche A).
Erst ein vertikaler Gradient in der Vertikalkomponente des Magnetfeldes in unten dargestellten Anordnung erzeugt ein Suprastrom.
Voltmeter Wird an den Flusstransformator über einen Widerstand eine Spannung angelegt so
fließt ein Strom durch diesen, welcher wieder ein magnetischen Fluss im SQUID erzeugt, der
proportional zur angelegten Spannung ist. Somit lassen sich sehr empfindlich Spannungen
messen.
62
Flußtransformator
Magnetometer
Gradiometer
Voltmeter
Magnetfelder 10−15 Tesla entspricht dem 1011 ten Teil des Erdmagnetfeldes
Spannungen 10−14 = 10fV ca. 105 mal empfindlicher als die empfindlichsten Halbleitervoltmeter
Energie die mit einer Änderung des Magnetfeldes verbunden ist:
typisch 10−32 Joule Anheben eines Elektrons im Gravitationsfeld um einen Millimeter
Die sensitivsten Messgeräte erreichen das durch die Unschärferelation gesetzte Limit.
63
magnetic field
Earth field
10µT
Urban noise
100nT
10nT
Car at 50 m
Lung particles
1nT
Screwdriver
at 5 m
10pT
Human heart
Skeletal muscles
Fetal heart
Human eye
Transistor
IC chip at 2 m
1pT
Human brain (a)
Transistor die
at 1 m
100fT
100pT
Biomagnetic fields
Enviromental fields
1µT
Human brain
(response)
3.12.3. Umsetzung von thermischen Größen
3.12.3.1. Thermowiderstands-Effekt
Bei allen Materialien weist die spezifische elektrische Leitfähigkeit σ eine Temperaturabhängigkeit
auf, die zur Bestimmung der Temperatur genutzt werden kann. Für die Stromdichte durch ein
Material gilt:
~
~j(T ) = σ(T )E
(3.165)
weiterhin gilt für die Leitfähigkeit:
σ(T ) = qµ(T )n(T )
(3.166)
µ ist die Beweglichkeit der Ladungsträger und n deren Konzentration.
Für nicht-ferromagnetische Metalle erhöht sich der spezifische Widerstand mit T 5 bei tiefen
Temperaturen und nimmt bei Erreichen des absoluten Nullpunkt einen endlichen Wert an.
3.12.3.1.1. Thermowiderstands-Effekt in Metallen Da sich bei Metallen die Anzahl der
freien Elektronen nur sehr wenig mit der Temperatur ändert, ist die Temperaturabhängigkeit
hauptsächlich durch die Änderung der Elektronenbeweglichkeit bestimmt. Bei Temperaturen in
der Nähe des absoluten Nullpunkts ist der Widerstand in Metallen nur durch den durch Verunreinigungen bestimmten Restwiderstand bestimmt (T = 0). Der Widerstand steigt dann für kleine
Temperaturen proportional zu T 5 an, um dann bei höheren Temperaturen annähernd linear zu
steigen.
1. T → 0 Widerstand konstant
64
2. T klein → Widerstand ∝ T 5
3. T groß → Widerstand ∝ T (Temperaturkoeffizienten im Bereich 3, 5...4, 5 · 10−3 /K)
Als Widerstandmaterialien werden meist Edelmetalle verwendet, da diese eine hohe Langzeitstabilität aufweisen. Es kommen Materialien wie Platin, Nickel, Iridium und Molybdän zum Einsatz.
Die Widerstandskennlinie kann in einem Bereich von –200 bis 650˚C wie folgt angegeben
werden:
R(T ) = R0 [1 + αT + βT 2 + γT 3 (T − 100◦ C)]
(3.167)
R0 = 100Ω
α = 3, 90802 · 10−3 (◦ C)−1
β = −5, 802 · 10−7 (◦ C)−2
γ = −4, 27350 · 10−12 (◦ C)−4 für T < 0◦ C
γ = 0(◦ C)−4 für T > 0◦ C
3.12.3.1.2. Thermowiderstands-Effekt in Elementhalbleitern Für die Leitfähigkeit in halbleitenden Materialien gilt, da es in diesen Materialien Löcher und Elektronen gibt:
σ(T ) = q(µn (T )n(T ) + µp (T )p(T ))
(3.168)
Hierbei sind µn und µp die Beweglichkeiten für Elektronen und Löcher und n und p die Ladungsträgerkonzentrationen. Dies ist so zu interpretieren, dass ein Elektronen und ein Löcherstrom fließt.
Meist sind in Halbleitern neben den reinen Elementen des Halbleiters auch noch Verunreinigungen
(Dotieratome) enthalten. Diese befinden sich energetisch in der verbotenen Zone und lassen sich
aufgrund ihrer geringen Abstände zum Valenzband im Falle von so genannten Akzeptor-Atomen
(p-Dotierung) bzw. zum Leitungsband im Falle von Donator-Atomen (n-Dotierung) sehr leicht
ionisieren. Deshalb können die abgegebenen Löcher bzw. Elektronen schon bei relativ niedrigen
Temperaturen zum Stromfluss beitragen. Grob lässt sich das Temperaturverhalten der Konzentration freier Ladungsträger in drei Bereiche unterteilen:
65
1. bei hohen Temperaturen ist die Änderung der Ladungsträgerkonzentration durch eine Anregung über die Bandlücke hinweg bestimmt. Alle Dotieratome sind ionisiert.
2. bei mittleren Temperaturen sind immer noch alle Dotieratome ionisiert. Allerdings sind
Anregungen über die Bandlücke hinweg nicht mehr möglich.
3. Bei tiefen Temperaturen ,,frieren“ die Dotieratome aus. Nun können auch sie nicht mehr
thermisch ionisiert werden.
Schematische Darstellung der Ladungsträgerkonzentration über der Temperatur
Die Leitfähigkeit in Halbleitern ist etwas komplizierter, da man auch noch die Änderung der
Beweglichkeit der Ladungsträger berücksichtigen muss. Bei tiefen Temperaturen nimmt diese erst
zu, um dann bei hohen Temperaturen wieder abzufallen.
3.12.3.1.3. Keramikwiderstande als Heißleiter (NTC) Bei diesen Materialien werden Ladungsträger ebenfalls durch thermisch aktivierte Prozesse generiert. Somit nimmt auch hier der
Widerstand mit der Temperatur ab. Sie bestehen typischerweise aus zwei und dreiwertigen Me8+
tallen und Sauerstoff A2+ B3+
2 O4 die Kristall-Struktur wird Spinell-Struktur genannt. In diesen
Materialien findet Elektronentransport durch so genannten Hopping-Transport (Hüpf-Prozesse)
statt, d.h. Elektronen müssen immer wieder Barrieren überwinden. Der Vorgang kann in diesem
Fall durch Diffusion beschrieben werden:
−WA
(3.169)
D(T ) = D0 (T ) exp
kB T
Mit Hilfe der Einsteinbeziehung ergibt sich für die Beweglichkeit der Ladungsträger:
D0 (T )
−WA
µ(T ) = q
exp
kB T
kB T
66
(3.170)
Dieser Widerstand ist stark nichtlinear und wird in erster Linie für Temperatursicherungen verwendet, wobei er parallel zu einem Verbraucher geschaltet wird und diesen kurzschließt, wenn die
Temperatur zu weit ansteigt. Durch Selbstheizeffekte kann der Widerstand immer weiter abnehmen.
3.12.3.1.4. Keramikwiderstande als Kaltleiter (PTC) Kaltleiter bestehen aus Metalloxidmischkristallen Wie BaO, CaO, SrO und ZrO2 . Sie sind ferroelektrisch und meistens ist ihre
Kristallstruktur eine Perowskitstruktur. Es ergeben sich mikrokristalline Strukturen, bei denen der
Widerstand durch die Leitfähigkeit der Korngrenzen bestimmt wird. In den Korngrenzen baut sich
eine Verarmungszone durch Sauerstoffatome auf, die als Akzeptor wirken und es resultiert eine
Potentialdifferenz Ψ0 . Die Temperaturabhängigkeit hat somit folgende Gestalt:
Ψ0
R(T ) = R0 exp
(3.171)
kB T
Der Widerstand kann sich ohne weiteres um 3 bis 6 Größenordnungen ändern.
3.12.3.2. Temperatureffekte bei Halbleiterübergängen
Die Shockley-Gleichung beschreibt einen idealen pn-Übergang in Halbleitern:
eVD
−1
ID (VD , T ) = IS exp
nkB T
(3.172)
In der Shockley-Gleichung bezeichnet ID den Strom durch die Diode, IS ≈ 10−14 A den Sättigungsstrom, e=1,6·10−19 C die Elementarladung, VD die an die Diode angelegte Spannung, n∈[1...2]
(typischerweise) die so genannte Idealität, kB =1,38·10−23 J/K die Boltzmann-Konstante und
T=293K (Zimmertemperatur) die Temperatur.
Die Diodenkennlinie kann zur Temperaturmessung genutzt werden. Durch Umstellen der Gleichung ergibt sich für den Fall, dass der Strom durch die Diode deutlich größer als der Sättigungsstrom ID Is :
nk
ID
VD =
ln
T
(3.173)
e
Is
Die Steilheit lässt sich durch den Strom durch die Diode einstellen.
Allerdings muss bedacht werden, dass der Sättigungsstrom Is temperaturabhängig ist. Auch diese Temperaturabhängigkeit kann zur Temperaturmessung herangezogen werden. Wird die Diode
von einem konstanten Strom in Durchlassrichtung durchflossen, so ergibt sich eine temperaturbedingte Änderung der Spannung an der Diode (dVD /dT=2mV/K). In Sperrrichtung verdoppelt sich
der Sperrstrom einer Diode, wenn sich die Temperatur der Diode um 10K ändert (Boltzmannfaktor
vgl. Reaktionskinetik in der Chemie).
3.12.3.3. Thermoelektrische Effekte
Ganz allgemein beeinflussen nicht nur elektrische Felder die Bewegung von Ladungsträgern sondern
auch Temperaturgradienten, da ein Unterschied der Temperatur an verschiedenen Orten eine unterschiedliche Diffusionskonstante der Ladungsträger zur Folge hat. So diffundieren Ladungsträger
aus Bereichen hoher Temperatur in Bereiche mit niedrigerer Temperatur. Durch Temperaturunterschiede ergibt sich zunächst ein ausgleichender Diffusionsstrom, der schließlich in einer Spannung
67
im Gleichgewicht resultiert. Somit lässt sich ganz allgemein für die elektrischen Stromdichten ~j
und die Thermostromdichten ~jth schreiben:
~ + β̂ · ∇T
~
~j = σ̂ · E
~ + ξˆ · ∇T
~
~jth = γ̂ · E
(3.174)
(3.175)
σ̂, β̂, γ̂, ξˆ sind kartesische Tensoren 2. Stufe, deren Koeffizienten magnetfeldabhängig sind. Diese
Gleichungen lassen sich auch in folgender Form darstellen:
~ = ρ̂(H)
~ · ~j + Ŝ(H)
~ · ∇T
~
E
~ · ~j + κ̂(H)
~ · ∇T
~
~jth = Π̂(H)
(3.176)
(3.177)
~ und ~jth durch die experimentell leicht
Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass die Größen E
~
~
zu kontrollierenden Größen j und ∇T ausgedrückt werden. Dabei hängen die unterschiedlichen
Tensoren in der folgenden Form miteinander zusammen:
ρ̂ =
1
β̂
γ̂
β̂
, Ŝ = − , Π̂ = , κ̂ = γ̂ · − ξˆ
σ̂
σ̂
σ̂
σ̂
(3.178)
Es sind nicht alle 36 Koeffizienten, die hierbei auftauchen voneinander unabhängig. Durch die
Onsager-Relation der Thermodynamik irreversiebler Prozesse ist ein Teil der Koeffizienten miteinander verknüpft.
~
~
ρik (H)
= ρki (−H)
~
~
κik (H)
= κki (−H)
~
~
Πik (H)
= T Ski (−H)
(3.179)
(3.180)
(3.181)
Somit ergeben sich noch 21 unabhängige Koeffizienten. Aus der ersten dieser Gleichungen
folgt, dass der Longitudinale Magnetowiderstand nur quadratisch vom Magnetfeld abhängen kann
~ 2 ).
ρii (H
Es werden vier unterschiedliche thermoelektrische Effekte unterschieden, zwei longitudinale und
zwei transversale. In der oben eingeführten Notation lassen sich diese wie folgt formulieren:
Longitudinale Effekte
1. Der Peltiereffekt:
jxth
, ∇x T = 0
(3.182)
jx
Der Peltiereffekt beschreibt den Einfluss eines elektrischen Stromes auf einen Wärmestrom.
Π=
2. Der Seebeckeffekt:
Ex
, jx = 0
(3.183)
∇x T
Hier wird der Effekts eines Gradienten in der Temperatur auf ein elektrisches Feld beschrieben.
S=
Peltier- und Seebeckeffekt sind über die Thomson-Relation miteinander verknüpft
Π=T ·S
68
(3.184)
Transversale Effekte
1. Der Ettingshauseneffekt:
ε=
1 ∇y T
·
,
Bz
jx
jyth = jy = ∇x T = 0
(3.185)
Unter Vermittlung eines magnetischen Feldes in z-Richtung ergibt sich durch ein Stromfluss
in x-Richtung ein Temperaturgradient in y-Richtung.
2. Der Nernsteffekt:
Ey
1
·
, jx = jy = jyth = 0
(3.186)
Bz ∇x T
Hier verursacht unter Vermittlung eines Magnetfeldes in z-Richtung ein Gradient in der
Temperatur in x-Richtung ein elektrisches Feld in y-Richtung.
ε=
Zur Temperaturmessung wird in erster Linie der Seebeckeffekt genutzt. Dabei wird die sich
einstellende Spannung bei Kontakt mit einem Material mit einem anderen Seebeckkoeffzienten vermessen.
Metall
Sb
Fe
Cd
Cu
Thermoelektrische Spannungsreihe
Ag
Pb, Al
Hg, Pt
Ni
Bi
Thermoelektrische
Materialkombination
Cu – Cu
Cu – Ag
Cu – Au
Cu - Pb/Sn
Cu – Si
Cu – Kovar
Cu – CuO
Seebeck-Koeffzient [mV/100K]
4.7
1.7
0.8
0.7
0.65
0.4
0
-1.5
-7.3
Koeffizienten nach Keithley
Thermoelektrisches Potential
0,2µV/K
0,3µV/K
0,3µV/K
1–3µ/K
400µV/K
40–75µV/K
1000µV/K
3.12.3.4. Pyroelekrische Effekte
In manchen unsymmetrischen Kristallen mit polaren Achsen tritt spontan eine elektrische Polarisation auf. Die temperaturabhängige Änderung dieser Polarisation wird als pyroelektrischer Effekt
69
bezeichnet. Damit resultiert auch eine temperaturabhängige Änderung der Oberflächenladung, die
sich durch aufgebrachte Ladungen messen lassen.
Auch hier wird der Effekt als linearer Effekt durch eine Koeffizientenmatrix charakterisiert:
↔
∆P~ = p T · ∆T~
(3.187)
Für die Spannungsänderung ergibt sich, wenn man nur eine Richtung berücksichtigt:
|∆V | =
pT,x · A
· ∆T~
C
(3.188)
Dabei bezeichnet A die Querschnittsfläche und C die Kapazität des Pyroelektrikums.
3.12.4. Umsetzung optischer und strahlungstechnischer Größen
3.12.4.1. Äußerer Photoeffekt
λG =
E = h · ν ≥ ΦA + Φ
(3.189)
1, 24µm
h·c
=
ΦA + Φ
(ΦA + Φ)[eV ]
(3.190)
Die Photozelle reagiert fast instantan auf die einfallenden Photonen. Es sind daher Frequenzen bis
10GHz messbar. Durch Einfüllen eines Edelgases kann man über Ionisation eine Verstärkung des
Signals erreichen, allerdings mit dem Nachteil, dass die Zelle langsamer reagiert, da das Neutralisieren der Ionen Zeit braucht (Totzeit, wie beim Geiger-Müller Zählrohr). Eine deutliche Verstärkung
kann durch Einfügen zusätzlicher Elektroden, sogenannter Dynoden, die auf einem Potential zwischen Kathode und Anode gehalten werden, erfolgen. Durch Sekundärelektronenerzeugung erfolgt
dann die Vervielfachung.
Experimenteller Aufbau beim externen Photoeffekt
I
V
Anode
Photokathode
70
Kennlinie des externen Photoeffekt
I/µA
6
2000 lx
5
4
3
1000 lx
2
500 lx
1
20
100
V/V
Vervielfachung der Photoelektronen durch einen Photomultiplier
Die aus der Photokathode ausgelösten Elektronen werden durch eine Hochspannung zur ersten
Dynode hin beschleunigt, beim Auftreffen auf diese Dynode schlagen die Elektronen zusätzliche
frei, dadurch erhöht sich die Anzahl der freien Elektronen. Durch die weitere Verschaltung von
Dynoden wird dieser Effekt mehrfach hintereinander ausgenutzt (Verstärkungen liegen im Bereich
103 – 108 ). Somit werden Empfindlichkeiten von 0,1 bis 10A/lx erreicht. Durch Laufzeitunterschiede weitet sich allerdings der Impuls immer weiter auf, so dass die zeitauflösung darunter leidet
(Laufzeit im Bereich 8–135ns, Anstiegszeit 1–10ns). Die Spannungen an den einzelnen Dynoden
wird durch eine Widerstandkaskade erzeugt.
Eine Abwandlung des Photomulitpliers ist der Kanalvervielfacher. Hierbei wird die Spannung
durch eine widerstandbehaftete Beschichtung des Kannals kontinuierlich verändert.
71
Kanalvervielfacher
Durch eine parallele Anordnung vieler (104 –107 ), kleiner (∅10 − 25µm) dieser Kanäle ist es
möglich eine Ortsauflösung zu erreichen. Ein weitere Effekt dieser Anordnung besteht in einer
deutlich kürzeren Ansprechzeit (1ns bei Verstärkung 108 ).
Mikrokanalplatten
3.12.4.2. Innerer Photoeffekt
3.12.4.2.1. Photowiderstand Beim Photowiderstand ändert sich die Leitfähigkeit des Widerstands dadurch, dass durch die absorbierten Photonen Elektronen aus dem Valenzband in das
Leitungsband angeregt werden. Damit erhöht sich die Konzentration der frei beweglichen Ladungsträger und der Strom durch den Photowiderstand erhöht sich bei gleichbleibender angelegter
Spannung.
I = enµEA
(3.191)
Dabei ist e die Elementarladung, n die Konzentration der freien Ladungsträger, µ deren Beweglichkeit, E das angelegte elektrische Feld (V /d) und A die Querschnittsfäche.
72
Banddiagramm von Halbleitern
3.12.4.2.2. Photodiode Es gibt grundsätzlich zwei Betriebsarten für eine Photodiode:
1. ohne angelegte Spannung an der Diode. Hier wird der generierte Photostrom über einen
Lastwiderstand abgeleitet und der Spannungsabfall an diesem als Messgröße verwendet.
2. Es wird eine Spannung in Rückwärtsrichtung angelegt um die generierten Ladungsträger
abzusaugen“.
”
Der spannungslose Fall:
Hier besteht der Vorteil, dass durch ein geringeres Rauschen sich eine erhöhte Nachweisempfindlichkeit ergibt. Der Nachteil besteht allerdings in einer lengsamen Ansprechziet im Bereich
einiger zig Millisekunden.
Prinzipielle Beschaltung des Photoelements
Kennline des Photoelements
Reale Beschaltung des Photoelements
Ersatzschaltbild
73
Der Fall mit angelegter Rückwärtsspannung:
Wie schon erwähnt kann durch anlegen einer Rückwärstspannung die Ansprechgeschwindigkeit deutlich gesteigert werden. Außerdem ist es möglich durch eine Lawinenvervielfachung der
Ladungsträger, eine Verstärkung des Photostroms zu erreichen.
Kennline des Photodiode
Prinzipielle Beschaltung des Photodiode
Reale Beschaltung der Photodiode
Beschaltung zur Auswertung von Lichtpulsen
Sonderbauformen von Photodioden:
74
Aufbau eines postionssensitiven Detektors (PSD)
Prinzipielle Beschaltung des PSDs
3.12.4.2.3. Phototransistor
Aufbau eines Phototranssistors
Ersatzschaltbild des Phototransisitors
Kennline des Phototransistors
Beschaltung eines Phototransisitors
75
3.13. Grundlagen der Magnetischen Kernspinresonanz
3.13.1. Klassische Behandlung
Im ersten Abschnitt dieses Kapitels soll eine einfache klassische Betrachtung der magnetischen
Kernresonanz vorgestellt werden, die in der Lage ist, die Physik in einfacher Form darzustellen. Aber
wie so oft reicht diese Darstellung nicht aus, um die Einzelheiten der magnetischen Kernresonanz
zu verstehen.
3.13.1.1. Die Blochgleichungen
Die Atomkerne besitzen ein magnetisches Dipolmoment, den Spin µ
~ . Klassisch wir dies oft mit der
Rotation eines geladenen Teilchens verglichen, welches das Drehmoment J~ besitzt. Damit ergibt
~ Der Proportionalitätsfaktor wird gyromagnetisches Verhältnis genannt
sich der Spin zu µ
~ = γ J.
und ist eine quantenmechanische, kernspezifische Größe. Das diese Erklärung nicht ganz richtig
sein kann, sieht man an der Tatsache, dass auch das Neutron, welches natürlich keine Ladung
trägt, ebenfalls einen Spin besitzt.
~ 0,
Zunächst betrachten wir uns die Bewegungsgleichung eines Spins im äußeren Magnetfeld B
d ~
~ 0 und µ
~ So ergibt sich folgende
indem wir das Drehmoment berücksichtigen dt J = J~ × B
~ = γ J.
Differentialgleichung:
~0
µ
~˙ = µ
~ ×γB
(3.192)
oder in Komponentendarstellung, wenn das angelegte äußere Magnetfeld nur eine Komponente in
~ 0 = {0, 0, B0 }besitzt:
z-Richtung B
µ̇x = γ B0 µy
(3.193)
µ̇y = −γ B0 µx
(3.194)
µ̇z = 0
(3.195)
Benutzt man die Definition µ+ = µx + iµy , so lässt sich die Lösung der Differentialgleichung
wie folgt darstellen:
µ+ = µ+ (0) exp(iω0 t)
(3.196)
ω0 = −γB0
(3.197)
µx = µ(0) cos(ω0 t)
(3.198)
µy = µ(0) sin(ω0 t)
(3.199)
µz = const.
(3.200)
mit
eine mögliche Lösung besitzt die Form:
~ 0 = {0, 0, B0 } mit einer
Im Laborsystem präzediert ein klassischer Dipol um das Magnetfeld B
Lamor- Frequenz ω
~ 0 = {0, 0, ω0 }
76
Für die weiteren Betrachtungen ist es sehr nützlich in das rotierende Koordinatensystem zu
wechseln. Somit ergibt sich für die Zeitentwicklung des magnetischen Dipolmoments, wenn das
Koordinatensystem mit ω
~ ≈ω
~ 0 rotiert:
d 0
d
µ
~ = µ
~ −ω
~ ×µ
~
dt
dt
(3.201)
~0 =
Im Fall des frei präzedierenden Kernspins lautet die Transformationsgleichung mit µ
~˙ = µ
~ ×γ B
−~
µ×ω
~ 0 und ∆~
ω=ω
~0 − ω
~:
d 0
µ
~ = ∆~
ω×µ
~.
(3.202)
dt
Nachdem wir bisher nur die Bewegung des Magnetischen Moments in einem konstanten äußeren
Feld betrachtet haben, soll nun der Fall eines konstanten Magnetfelds in z-Richtung und einem
überlagerten zirkular polarisiertem, magnetischen Wechselfeld in der x/y-Ebene betrachtet werden:
~
B(t)
= {B1 sin(ωt), B1 cos(ωt), B0 }
(3.203)
Somit ergibt sich mit Hilfe der Transformationsgleichung für die Präzessionsgleichung
d 0
~0 × µ
µ
~ = −γ B
~
dt
(3.204)
~ 0 im rotierenden
wobei das Koordinatensystem mit ω
~ = {0, 0, ω}rotiert. Das effektive Magnetfeld B
Koordinatensystem lässt sich wie folgt formulieren:
~ 0 = {0, B1 , B0 + ω }
B
γ
0
~
ω
~ ef f = −γ B = {0, ω1 , ∆ω}
(3.205)
(3.206)
wobei ω1 = −γB1 gilt. Im resonanten Fall ω
~ = ω
~ 0 sieht der Kernspin im rotierenden Koordinatensystem ein statisches Feld in y-Richtung, um welches er präzediert. Im Experiment werden
natürlich nicht einzelne Kernspins gemessen sondern ganze Ensembles, die eine makroskopische
Magnetisierung repräsentieren:
X
~ =
M
µ
~i
(3.207)
i
Für die makroskopische Bewegungsgleichung der frei präzedierenden Spins ergibt sich:
d ~
~
M =ω
~ ef f × M
dt
77
(3.208)
und in Komponentenschreibweise lässt sich formulieren:
Ṁx = −∆ω My + ω1 Mz
(3.209)
Ṁy = ∆ω Mx
(3.210)
Ṁz = −ω1 Mx
(3.211)
Da die Spins sich in einem Festkörper befinden sind sie in der Realität natürlich nicht frei, sondern sie wechselwirken mit dem Gitter. Dies führt zu einer Gleichgewichtsmagnetisierung der Form
~ 0 = {0, 0, M0 }. Wird im Experiment ein Zustand M
~ (t = 0) 6= M
~ 0 präpariert, dann wird dieser
M
Zustand exponentiell mit der Spin-Gitter-Relaxationszeit T1 dem Gleichgewichtszustand zustreben,
während die Komponenten Mx und My mit der Spin-Spin-Relaxationszeit T2 auf Null abfallen.
Dieser Vorgang kann durch phänomenologische Dämpfungsterme in der Bewegungsgleichung beschrieben werden:
Ṁx = −∆ω My + ω1 Mz −
1
Mx
T2
1
My
T2
1
= −ω1 Mx − (Mz − M0 )
T1
(3.212)
Ṁy = ∆ω Mx −
(3.213)
Ṁz
(3.214)
3.13.1.2. Kontinuierliche Hochfrequenzeinstrahlung
Zunächst soll der Fall einer kontinuierlichen Hochfrequenzeinstrahlung betrachtet werden. Dies
~˙ 0 = 0:
führt zu einem stationären Betrachtung der Blochgleichungen M
Mx =
My =
Mz =
T2 ω 1
M0
1 + (T2 ∆ω)2 + T1 T2 ω12
T22 ∆ωω1
Mx
1 + (T2 ∆ω)2 + T1 T2 ω12
1 + (T2 ∆ω)2 ω1
M0
1 + (T2 ∆ω)2 + T1 T2 ω12
(3.215)
(3.216)
(3.217)
Somit ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den einzelnen Komponenten der Magnetisierung und der Frequenzverstimmung:
78
3.13.1.3. Einstrahlen von Hochfrequenzpulsen
Mit Hilfe der Blochgleichungen kann man die Zeitentwicklung der Magnetisierung bei Einstrahlung
von Hochfrequenzpulsen unter den vereinfachenden Annahmen, dass die Einstrahlung resonant
ω
~ =ω
~ 0 erfolgt und unter Vernachlässigung der Relaxation (T1 = T2 = ∞). Setzen wir an, dass
~ (t = 0) = {0, 0, M0 }gilt, wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Hochfrequenzpuls eingeschaltet wird:
M
~ (t) = {M0 sin(ω1 t), 0, M0 cos(ωt)}
M
und nach dem Ausschalten nach der Zeit tp :
bei ω1 tp =
π
2
~ (tp ) = {M0 , 0, 0}
(90˚-Puls): M
~ (tp ) = {0, 0, −M0 }
und bei ω1 tp = π (180˚-Puls): M
Die Verhältnisse bei einem 90˚-Puls in Vektordarstellung:
79
(3.218)
3.13.1.4. Freie Präzession (FID)
~ (t = 0) = {M0 , 0, 0}
Durch Einstrahlen eines 90˚-Pulses sei die Magnetisierung in den Zustand M
präpariert worden. Nun Relaxieren die im Experiment gemessenen Größen Mx (t) und My (t) und
man erhält folgende Zeitentwicklung:
t
Mx (t) = M0 cos(∆ωt) exp
T2
t
Mx (t) = M0 sin(∆ωt) exp
T2
(3.219)
(3.220)
3.13.1.5. Spin-Echos
Wird nach einer Zeit τ nach dem Einstrahlen eines 90˚-Pulses ein 180˚-Puls (Pulslänge tp = ωπ1 τ ) entlang der y-Achse des rotierenden Koordinatensystems eingestrahlt, so kann aus den BlochGleichungen abgeleitet werden, dass Mx (τ ) sein Vorzeichen wechselt, während My (τ ) unverändert
bleibt. Man erhält ein Echo nach einer Zeit von 2τ :
Mx (2τ ) = −M0 exp
Mx (2τ ) = 0
80
−2τ
T2
(3.221)
(3.222)
Somit eignet sich die Messung der Echo-Signalamplitude in Abhängigkeit von τ zur Bestimmung
der Spin-Spin-Relaxationszeit T2 .
3.13.1.6. T1 -Messung
Die Spin-Gitter-Relaxationszeit T1 lässt sich messen, indem man zunächst einen 180˚-Puls und
nach der Wartezeitτ den Momentanwert von Mz (τ )durch einen 90˚-Puls abfragt, indem dieser in
eine messbare Quermagnetisierung gewandelt wird. Der Anfangswert der freien Präzission (FID)
ist ein Maß für die teilweise zurückrelaxierte z-Magnetisierung:
−τ
Mz (τ ) = −M0 1 − 2 exp
T1
Mx (2τ ) = 0
(3.223)
(3.224)
3.13.1.7. Vektordiagramme
Die Vorgänge im rotierenden Koordinatensystem lassen sich durch folgende Vektordiagramme
veranschaulichen. Beginnend mit (a) wird durch ein 90˚-Puls die Magnetisierung in die x/y-Ebene
geklappt (b). Dort beginnt sie mit einer freien Präzession. Dabei ergibt sich durch eine Dispersion
ein Auseinanderlaufen der unterschiedlichen Spins (c). Durch anlegen eines 180˚-Pulses werden
die x-Komponenten ins negative geklappt (d). In der Folge laufen nun die einzelnen Spins wieder
zusammen (e), weshalb dann ein Echo gemessen werden kann.
81
3.13.2. Sondenkerne zur Bestimmung von lokalen Eigenschaften
Für die NMR an organischen Systemen werden bestimmte Kerne, als so genannte Sondenkerne
verwendet, die dazu benutz werden, um in einer lokalen Umgebung die Magnetfeldverhältnisse zu
untersuchen. Hierfür wird wie schon erwähnt das Proton 1 H (I=1/2, γ/2π = 42,5759 MHz/T)
, das Deuteron 2 H (I=1, γ/2π = 6,54 MHz/T) und das Kohlenstoffisotop 13 C (I=1/2, γ/2π =
10,70 MHz/T). Außerdem spielen 14 N, 15 N, 17 O, 19 F, 31 P und 35 Cl eine gewisse Rolle.
Dabei erfahren die Kerne die wichtigsten Wechselwirkungen wie chemische Verschiebung (,,chemical shift (CS)“) und die Dipol-Dipol-Wechselwirkung (D). Diese sollen im Folgenden etwas
erläutert werden.
3.13.2.1. Chemische Verschiebung
Durch die Elektronen in der Atomhülle wird die Wirkung des angelegten Magnetfelds reduziert,
indem in der Elektronenhülle Abschirmströme angeworfen werden.
Allerdings ist auch der umgekehrte Fall denkbar, wie er beim Benzol zu beobachten ist. Hier
wird das externe Magnetfeld durch ein induzierter Ringstrom im π-Elektronensystem verursacht
allerdings führt das zu einer Feldüberhöhung im Außenbereich des Kohlenstoffrings und somit auch
am Ort der Protonen, die nun ein erhöhtes Magnetfeld und somit ein chemische Verschiebung zu
höheren Frequenzen zeigen. Die typische Frequenzänderung durch die Hüllenelektronen beträgt
200ppm, was etwa bei einem Magnetfeld von ca. 7T einer Frequenz von 15kHz entspricht.
82
3.13.2.2. Dipol-Dipol-Wechselwirkung
Durch die Wechselwirkung der Dipole untereinander kann das erfahrene Magnetfeld der einzelnen
Dipole unterschiedliche sein:
Betrachten werden zwei chemisch gebundene Dipole
so lässt sich leicht verstehen, dass abhängig von der Stellung des Dipols B das effektive Magnetfeld am Ort des Dipols A ist. Es ergeben sich vier verschiedene Konfigurationen in dieser
Situation:
83
Es sind nun nur solche Übergänge erlaubt, bei denen eine Spin sich umkehrt, aber nicht mehr
als einer. Somit gibt es zwei Übergänge, einer bei einem Flip des Kerns A und einen bei einem Flip
des Kerns B. Somit ergeben sich vier Linien. Die Absorptionslinie des Kerns A ist in zwei Linien
aufgespalten, die um die ursprüngliche liegen ähnliches gilt für die Linien des Kerns B:
Bei drei gebundenen Kernen verkompliziert sich die Situation natürlich:
Hierbei ergeben sich folgende unterschiedliche Konfigurationen wenn man den Dipol des Kerns A
festhält:
Betrachtet man wieder die unterschiedlichen erlaubten Übergänge und ihre zugehörigen Linien
ergibt sich folgendes Bild:
84
Somit ist klar, dass die recht komplexe Niveauaufspaltung dazu genutzt werden kann, um die
chemische Struktur von Molekülen mit Hilfe der Sondenkerne aufzuklären. Da die Verschiebung
wie oben erwähnt linear mit dem Magnetfeld anwächst, die Unterscheidung unterschiedlicher
Frequenzen aber durch die endliche Beobachtungsdauer (Relaxationsprozesse) begrenz ist, ist
einleuchtend, dass zur Steigerung der Auflösung von NMR-Spektrometer ein höheres Magnetfeld
benötigt wird.
3.13.3. Experimente
3.13.3.1. Aufbau eines Spektrometers
Die Methoden die bei der Realisierung des Spektrometers zum Einsatz kommen sind uns wohl
vertraut. Die Probe ist im linken Teil des Bildes dargestellt allerdings ohne den umgebenden
85
supraleitenden Magneten. Die Probe ist von der Sende- und Empfangsspule umgeben, welche teil
eines Schwingkreises darstellet, der ein nichtlinearen Verstärker für die Resonanzfrequenz darstellt,
die auf die Anregungsfrequenz des Sondenkerns abgestimmt ist.
Ein Frequenzgenerator (in der Mitte des Bildes dargestellt) liefert das Hochfrequenzsignal, welches mit einem Rechteckpuls multipliziert wird. Diese Hochfrequenzpuls wird verstärkt und auf
die Sendespule gegeben, Diese fungiert gleichzeitig als Empfangsspule und gibt ihr Signal an einen
Vorverstärker ab. Nach dem Vorverstärker wird das empfangene Signal mit einem Referenzsignal
des Hochfrequenzgenerators multipliziert und Tiefpass gefiltert. Ebenso wird das Signal mit dem
um 90˚ phasenverschobenen HF-Generatorsignal multipliziert und Tiefpass gefiltert. Diese beiden Aufbereitungen stellen somit ein ,,Zweiphasen phasensensitiven Detektor“ dar. Damit ist es
möglich das Signal (Realteil) wie auch die Quadratur (Imaginärteil) des Signals zu messen. Beides
wiederum wird von einem Computer erfasst und einer weiteren Verarbeitung zugeführt.
3.13.3.2. Ein hochauflösendes NMR-Spektrometer in der Realität
Spectrometer facts
Height: 21 feet
Weight: 16 tons (equal to about 12 Volkswagen New Beetles)
Diameter: 8 feet
Miles of superconducting wire: 180 miles, or enough to stretch from Richland to Seattle
Cost: $7.2 million
Years in development: 9
86
Bore size: 65 millimeters, or about two inches, compared with a narrow-bore magnet’s 51 millimeter size at room temperature
Magnet’s stored energy: 27 megajoules (equivalent to a 30-ton truck driven at 100 mph)
Power: 21.14 tesla - more than 10 times stronger than the most powerful magnetic resonance
imagers used in hospitals
Liquid nitrogen stored around magnet: 1,000 liters or about 2,800 12-ounce cans of soda pop
Liquid helium stored around magnet: 1,500 liters or about 4,300 12-ounce cans of soda pop
Superconductivity temperature: 2.2 degrees Kelvin, or 270 degrees below zero
Manufacturer: Oxford Instruments of Oxford, England, and Varian Inc. of Palo Alto, Calif.
87
3.14. Grundlagen der Rastersondenmikroskopie
Die Rastersondenmikroskopie gehört sicherlich zu einem der sich am schnellsten entwickelnden
Bereiche der Physik. Unter dem Begriff Sondenmikroskopie finden sich ganz unterschiedliche Prinzipien wieder, denen gemein ist, dass eine mikroskopisch kleine Sonde — Tunnelspitze im Falle
der Rastertunnelmikroskopie RTM (scanning tunneling microscope STM), eine Spitze im Falle
der Rasterkraftmikroskopie RKM (atomic force microscope (AFM) oder scanning force microscope (SFM)), eine magnetische Spitze im Falle eines Rastermagentmikroskops RMM(magnetic force
microscope (MFM)), einem winzigen Thermometer im Falle der Rasterthermomikroskops RThM
(scanning thermo microscope (SThM)), eine winzige Elektrode im Falle der Rasterelektrochemischenmikroskps RECM (scanning electrochemical microscope (SECM), einer dünn ausgezogenem
Lichtwellenleiters im Falle eines Rasternahfeldmikroskop (near field optical microscope (SNOM))
nur um ein paar zu nennen — dicht über eine Oberfläche geführt wird.
TRANSPORT
(dynamisch)
STM
Tunneln
SThM Wärmeleitung
SNOM Nahfeldoptik
SNAM Nahfeldakustik
SICM
Sonde
Ionenleitung
Probe
88
FELDER
(statisch)
van der Waals
Repulsion
AFM
chem. Bindung
LFM
Reibung
Coulomb SCM
magn. Kraft
MFM
Funktionsweise RXM
 Aufbau
z
piezoelektrische
Stellglieder (x,y,z)
y
Wechselwirkung
Sonde
Probe
x
Steuerung
+Regelung
 Abbildung
Sonde
Probe
ungeregelt
= Höhe konstant
• WW variiert
geregelt
= Abstand konstant
• WW konstant
3.14.1. Das Rastertunnelmikroskop
Das erste erfolgreiche Experiment zum Nachweis eines abstandsabhängigen Tunnelstromes konnte
am 18. März 1981 durchgeführt werden. Gerd Binnig und Heinrich Rohrer, die das Experiment
am IBM Forschungslabor in Rüschlikon (Schweiz) durchführten und das Rastertunnelmikroskop
letztlich auch zum einsetzbaren Instrument machten, erhielten hierfür 1986 den Nobelpreis in
Physik.
Heinrich Rohrer
Gerd Binnig
89
3.14.1.1. Theoretischer Hintergrund der Rastertunnelmikroskopie
Das Problem der Tunnelvorgangs lässt sich mit Hilfe der stationären Schrödinger Gleichung beschreiben. Dabei setzen wir folgenden Verlauf des Potentials an:
90
V(x)
Bereich II
Bereich I
V0
V(x)=0
für x<0
Bereich III
V(x)=0
für x>d
V(x)=V0
für 0<x<d
0
d
x
Somit ergibt sich für die Schrödingergleichung:
~2
∂2
2m ∂x2
b
HΨ(x)
= EΨ(x)
(3.225)
Ψ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x)
(3.226)
∂2
Ψ(x) = k 2 Ψ(x)
∂x2
(3.227)
wobei für k gilt:
r
2m
(E − V (x))
(3.228)
~2
Die Lösungen lassen sich nun abschnittsweise ansetzen. Somit ergibt sich für den Bereich I:
k=
Ψ1 (x) = Aeikx + Be−ikx
(3.229)
−ikx
(3.230)
ikx
Ψ3 (x) = F e
+ Ge
da hier das Potential V (x) = 0 ist ergibt sich:
r
k=
2mE
~2
(3.231)
Im Bereich III wird die Welle nur auslaufen, da es ja nur einen transmittierte Welle gibt, ergibt
sich für Gl. (3.230):
Ψ3 (x) = F eikx
(3.232)
Im Bereich II wird k nach Gl.(3.228) imaginär da E − V (x) < 0 ist somit ergibt sich:
r
2m
κx
−κx
Ψ2 (x) = Ce + De
mit
κ=
(V0 − E)
~2
(3.233)
Nun müssen noch die Lösungen in den verschiedenen Bereichen stetig und stetig differenzierbar
fortgesetzt werden, d.h. für die Wellenfunktion ergibt sich:

für x < 0
 Aeikx + Be−ikx
Ceκx + De−κx
für 0 < x < d
Ψ(x) =
(3.234)

ikx
Fe
für x > d
91
Damit ergibt sich ein Gleichungssystem mit Hilfe dessen die Koeffizienten bestimmte werden
können:
A+B = C +D
(3.235)
ik(A − B) = κ(C − D)
(3.236)
κd
−κd
Ce De
κCe
κd
−κd
− κDe
ikd
= Fe
(3.237)
ikd
= ikF e
(3.238)
Für den so gennaten Transmissionsamplitude Γ ergibt sich:
F
4ikκe−ika eκd
= 2κd
A
e (k + iκ)2 − (k − iκ)2
Γ(E) =
(3.239)
Durch quadrieren ergibt sich der Transmissionskoeffizient, der die Transmissionswahscheinlichkeit
darstellt
2
−1
F (k 2 + κ2 )2 sinh2 (κd)
2
T = |Γ(E)| = = 1 +
(3.240)
A
4k 2 κ2
4E(V0 − E) −1
= 1+ 2
(3.241)
V0 sinh2 (κd)
In der Rastertunnelmikroskopie ist die Näherung κd 1 gegeben, dann ergibt sich für sinh(κd) ∼
1/2eκd . Für den Transmissionskoeffizeineten ergibt sich in dieser Näherung
T =
16k 2 κ2 −2κd
e
(k 2 + κ2 )2
(3.242)
Für den Tunnelstrom ergibt sich somit
It ∝ T ∼ e−2d/~
√
2m(V0 (x)−E)
(3.243)
Der Tunnelstrom nimmt also exponentiell mit dem Abstand ab. Setzt man hier die üblichen Werte
V0 ≈ 5eV und d ≈ 5Å ein, so ergibt eine Verbreiterung der Barriere um 1Å eine Erniedrigung des
Tunnelstroms um eine Größenordnung.
V(x)
Bereich II
Bereich I
V0
0
Bereich III
d
92
x
Die hier vorgestellte Darstellung stellt eine starke Vereinfachung der tatsächlichen Verhältnisse
dar. Eine umfassendere Theorie die auch deutlich realistischer ist, stammt von Tersoff und Hamann.
Dabei wird berücksichtigt, dass der Tunnelprozess aus einem Metall in ein anderen Stoff stattfindet
und dass es sich bei einem der beiden Objekte um eine Spitze bei dem anderen annähernd um
eine Ebene handelt.
Das STM von Binning und Rohrer
93
Die Elektrodenanordnung eines Röhrchen-Scanners, der meisteingesetzten Rastereinheit
Eine 7×7 Rekonstruktion einer Si[111]-Oberfläche
94
Herstellung eines Rings von Atomen
95
96
3.14.2. Das Rasterkraftmikroskop
Bei der Rasterkraftmikroskopie (RKM) wird als Wechselwirkung zwischen Sonde und Probe, die
zur Abbildung genutzt wird, die Kraftwechselwirkung benutzt. Sie ist somit im Gegensatz zur
Rastertunnelmikroskopie auch auf nichtleitende Proben anzuwenden. Die RKM wurde 1986 von
Gerd Binnig ca. fünf Jahre nach dem STM entwickelt. Um die Kraftwechselwirkung zu messen
verwendete einen Biegebalken, an dessen Ende eine mikroskopisch kleine Spitze angebracht war.
97
Skizze des Aufbau des ersten RKMs von Binnig
Heutzutage wird die Biegung des Biegebalkens nicht wie in der oberen Darstellung mit Hilfe einer
Tunnelspitze ausgewertet, sondern mittels eines Lichtzeigers ausgesandt von einem Halbleiterlaser
und detektiert mit Hilfe einer Vierquadranten PIN-Diode, die aus vier dicht benachbarten PINDioden aufgebaut ist (siehe Seite 73), oder mit einem positionsempfindlichen Detektors (PSDs
siehe Seite 74).
Prinzip des Lichtzeigers
98
Bild einer Rasterkraftmikroskopspitze
Abstandsabhängigkeit der Verschiedenen Wechselwirkungen
RKM das auf einem Uhrenquarz beruht, die Detektion erfolgt durch Resonanzverschiebung
99
durch die Wechselwirkung
Bild einer Rasterkraftmikroskopspitze im Transmissionselektronenmikroskop, um den atomaren
Aufbau aufzuklären
100
Bild einer RKM-Spitz aufgebaut aus einem gespaltenem Siliziumeinkristall
101
A. Operationsverstärker und ihre
Grundschaltungen
Elektronische Schaltungen lassen sich mit unterschiedlichen kommerziell angebotenen Programmen simulieren. Eine Möglichkeit, sich damit in der Praxis zu beschäftigen, besteht mit einer kostenlos angebotenen Studentenversion des Programms PSpice von der Firma ORCAD, die unter [6]
zu finden ist. Da ein Operationsverstärker (OPV) heute in vielen Anwendungen bei Messproblemen
eingesetzt wird, soll hier kurz auf ihn eingegangen werden. Ein OPV ist ein Differenzverstärker,
der die Spannungsdifferenz an seinen beiden Eingängen verstärkt und am Ausgang ausgibt. Er
besitzt einen nichtinvertierenden (+) und einen invertierenden (-) Eingang.
Nichtinvertierender Eingang
+
Vd
Invertierender Eingang
Vn
Io
Ausgang
Vp
Vo
A.1. Begriffserklärung
Differenzverstärkung ist die Verstärkung des Eingangsdifferenzsignals des OPVs ohne zusätzliche Beschaltung — also ohne Gegenkopplung.
Gleichtaktunterdrückung charakterisiert die Reaktion der Ausgangsspannung auf eine Spannung, die an beiden Eingängen der OPV gleichzeitig angelegt wird — also ohne eine Differenzspannung zwischen den beiden Eingängen.
3dB-Bandbreite bezeichnet die untere Grenzfrequenz des OPVs, bei der die Verstärkung um 3dB
(einen Faktor ) zurückgegangen ist.
Verstärkungs-Bandbreite-Produkt Ein OPV weist eine Frequenzkompensation auf die verhindert, dass der mehrstufige Verstärker eine Phasenschiebungen aufweist, die größer als 180
ist. Würde diese auftreten, könnte es zu einer Mitkopplung (positive Rückkopplung) kommen, die ein Aufschwingen wegen der damit verbundenen Instabilität zur Folge haben kann.
Aus diesem Grund wird der Frequenzgang gezielt beschnitten. Dies geschieht in solcher Weise, dass das Produkt der oberen Grenzfrequenz und der Verstärkung eine Konstante bilden
(siehe Abb.), welche als Verstärkung-Bandbreite-Produkt bezeichnet wird.
102
AD
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
Frequenz [Hz]
Differenzeingangswiderstand bezeichnet den Widerstand zwischen den beiden Differenzeingängen.
Gleichtakteingangswiderstand ist der Widerstand, der von jedem der beiden Eingänge zur Masse hin vorhanden ist.
Eingangsruhestrom ist der Strom, der in die Eingänge hinein oder aus den Eingängen heraus
fließt, ohne eine Spannung (Null) an die Eingänge anzulegen.
Offsetspannung bezeichnet die Spannung, die am Eingang als Spannungsdifferenz anliegen muss,
um die Ausgangsspannung, welche von einer Asymmetrie innerhalb des Verstärkers herrührt,
zu Null zu kompensieren.
Offsetspannungsdrift ist die Änderung der Offsetspannung bei einer Änderung der Umgebungstemperatur.
Betriebsspannungsdurchgriff bezeichnet die Auswirkung einer Variation der Versorgungsspannungen auf die Ausgangsspannung des OPV.
Gleichtaktaussteuerbarkeit gibt den Eingangsspannungsbereich an, innerhalb dessen Spannungen gleichzeitig an die Eingänge gelegt werden können und der Ausgang noch eine korrekte
Verstärkung der Eingangsspannungsdifferenz darstellt.
Ausgangsaussteuerbarkeit bezeichnet die möglichen Ausgangsspannungen, die der OPV liefern
kann.
Maximaler Ausgangsstrom bezeichnet den maximalen Strom, der dem OPV entnommen werden kann. Die meisten OPVs besitzen eine Ausgangsstrombegrenzung, weshalb sie kurzschlussfest sind.
Ausgangswiderstand charakterisiert den Widerstand des Ausgangs. Wird der Ausgangs als Spannungsquelle angesehen, ist der Ausgangswiderstand der Innenwiderstand der Spannungsquelle.
103
Betriebsstromaufnahme gibt den Strom an, den der OPV der Spannungversorgung entnimmt,
wenn keine Last am Ausgang des OPVs angeschlossen ist.
Typische Werte zweier Standardoperationsverstärker mit Eingangsstufen, die aus
bipolaren und Feldeffekttransistoren aufgebaut sind (Versorgungsspannung ±15V)
Parameter
Differenzverstärkung
Gleichtaktunterdrückung
3dB-Bandbreite (untere Grenzfrequenz)
Verstärkungs-Bandbreit-Produkt
Differenzeingangswiderstand
Gleichtakteingangswiderstand
Eingangsruhestrom
Offsetspannung
Offsetspannungsdrift
Betriebsspannungsdurchgriff
Gleichtaktaussteuerbarkeit
Ausgangsaussteuerbarkeit
Maximaler Ausgangsstrom
Ausgangswiderstand
Betriebsstromaufnahme
Symbol
AD
G
fgA
ft
rD
rGl
IB
VO
∆VO /ϑ
∆VO /∆Vb
VGl,max
Va,max
Ia,max
ra
Ib
µA741 (bipolar)
10 × 5
3 × 104
10Hz
1MHz
106 Ω
109 Ω
80nA
1mV
6µV/K
15µV/V
13V
13V
20mA
1kΩ
1,7mA
TL081 (FET)
2 × 105
2 × 104
30Hz
3MHz
1012 Ω
1014 Ω
30pA
5mV
10µV/K
50µV/V
14,5V ;-12V
13V
20mA
100Ω
1,4mA
A.2. Nicht-invertierender Verstärker
+
-
R1
V in
V out
R2
Die Verstärkung des nichtinvertierenden Operationsverstärkers kann dadurch hergeleitet werden,
dass man wieder von einem idealen OP ausgeht. Sobald sich die kleinste Differenz zwischen invertierendem und nicht-invertierendem Eingang ergibt wird der Ausgang verändert. Ist die Spannung
am nichtinvertierenden Eingang größer als die am nicht-invertierenden Eingang vergrößert sich due
Ausgangsspannung. Da die Ausgangsspannng über den Spannungsteiler R1 und R2 auf den invertierenden Eingang Rückgekoppelt wird, beträgt die Spannung am nicht-invertierenden Eingang
V− = R2 /R1 + R2 . Somit wird sich der Ausgang so lange Verändern, bis V− gleich der Spannung
V+ = Vin ist. Somit ist also die Ausgangsspannung um den Faktor R1 + R2 /R2 = 1 + R1 /R2
größer als die Eingangsspannung.
Vout
R1 + R2
R2
=
=
+1
Vin
R2
R1
= rD + R 2
A =
Rin
Rout = ra
(A.1)
(A.2)
(A.3)
104
A.3. Invertierender Verstärker
R2
R1
+
V in
V out
Um die Verstärkung des invertierenden Operationsverstärkers herzuleiten, argumentiert man über
den Strom der in den Eingang hineinfließt. Da die Spannung am invertierenden Eingang virtuell
auf Masse liegt, ergibt sich für den Eingangsstrom Iin = Vin /R1 . Derselbe Strom muss allerdings
auch über den Rückkopplungswiderstand R2 weiter in Richtung Ausgang fließen. Der Ausgang
nimmt eine negative Spannung ein, wenn die Eingangsspannung positiv ist, damit der Strom zum
Ausgang abfließen kann und dennoch die Spannung V− Null bezogen auf die Masse ist. Umden
Strom aber unter dieser Bedingung abfließen zu lassen muss der Ausgang Vout R2 = −Vin R1 sein.
Damit ergibt sich:
Vout
R2
=−
Vin
R1
= R1
A =
Rin
(A.4)
(A.5)
Rout = ra
(A.6)
A.4. Addierer
V in1
R1
RN
R2
+
V in2
V out
Für das Verständnis des Addierers betrachtet man sich die beiden Ströme die durch die beiden
Widerstande am Eingang R1 und R2 in den Eingang hinein Fließen. Wie beim invertierenden
Verstärker diskutiert muss die Summe der Ströme auch wieder über den Gegenkopplungswiderstand
RN abfließen. Somit ergibt sich die Bedingung V1 /R1 + V2 /R2 = −Vout . Eswird deutlich, dass
eine gewichtete Summe gebildet werden kann, wenn man die beiden Widerstände unterschiedlich
wählt. Selbstverständlich können auch mehr als nur zwei Widerstände am Eingang liegen, um die
die Summe über mehr Summanden zu bilden.
−Vout =
RN
RN
V1 +
V2
R1
R2
105
(A.7)
A.5. Subtrahierer
RN
R1
V inN
V inP
+
R2
V out
RP
Beim Subtrahierer Handelt es sich eigentlich um die Kombination eines invertierenden und eines nicht-invertierenden Verstärker, wobei der nich-tinvertierendeneinen Eingangsspannungsteiler
aufweist. Das Arbeitsprintip lässt sich am einfachsten Verstehen, wenn man jeweils eine der Eingangsspannungen zu Null wählt. Wird VinP = 0 gesetzt hat man einen invertierenden Verstärker
vorliegen, wobei die Verstärkung durch AN = −RN /R1 gegeben ist. Wird dagegen VinN = 0
gewählt liegt stellt sich der Ausgang wieder so ein, so dass V− = V+ ergibt. Daraus folgt
V− = VinP R2 /(R2 + RP ) = Vout R1 /(RN + R1 ) = V+ und damit ergibt sich für RRN1 = RR2P
RN
(VinP − VinN )
R1
(A.8)
RP
1 + RN /R1 RN
VinP −
VinN
1 + RP /R2 R1
R2
(A.9)
Vout =
im Allgemeinen:
Vout =
A.6. Schmitt-Trigger
Ein Schmitt-Trigger dient zur Umsetzung eines beliebigen analogen Signals in ein Signal mit zwei
Niveaus (in ein digitales Signal). So lässt sich z.B. ein Triggersignal erzeugen, das zum exakten
Bestimmung eines Zeitpunkts genutzt werden kann. Somit können Zeitabstände für bestimmte
Ereignisse bestimmt werden. Durch ein Mitteln eines repetierlichen Signals kann er genutzt werden,
in dem diese phasensynchron überlagerung werden, um eine Rauschreduktion durchzuführen.
V out
V out,max
R2
R1
V in
V in
+
-
V out
106
V out,min
Die Hysterese, welche die Ausgangskennlinie aufweist und die durch die Beschaltung eingestellt
werden kann, verhindert bei einem endlichen Rauschpegel, der geringer als die Differenz der beiden
Schaltschwellen ist, dass sofort nach einem Hin- ein Rückschaltprozess stattfindet.
Vino n = −
R1
Vout,min ;
R2
Vino f f = −
R1
Vout,max
R2
(A.10)
A.7. Differentiator
R
C
+
V in
V out
Auch hier geht man beim idealen OP davon aus, dass kein Strom in den invertierenden Eingang
fließt. Somit muss der Strom Iin durch den Kondensator am Eingang ebenfalls vollständig durch
den Rückkopplungswiderstand abfließen. Somit ergibt sich:
C
dVin Vout
+
= 0.
dt
R
(A.11)
Durch Umstellen resultiert für die Ausgangsspannung
Vout = −RC
dVin
.
dt
(A.12)
Die Verstärkung kann analog zum invertierenden Verstärker angesetzt werden. Wobei die Impedanz
des Eingangswiderstands“, dem Kondensator, Z = 1/iωC beträgt
”
|A| = −iωRC
(A.13)
Bei hohen Fraquenzen
1
(A.14)
2πRC
ist die Amplitude annähernd frequenzunabhängig und proportional zu der Ableitung der Eingangsspannung.
f
A.8. Integrator
C
R
V in
+
V out
107
Der Eingangsstrom Iin kann hier nur auf den Kondensator fließen. Auch hier wird der Ausgang
so lange abgesenkt, dass wiederum der invertierende Eingang auf virtueller Masse liegt. Somit ist
die Ausgangsspannung die negative Kondensatorspannung
Z t
Q
1
0
0
VC =
(A.15)
Iin (t )dt + V0 .
=
C
C
0
Da Iin = Vin /R ist, ergibt sich für die Ausgangsspannung
Z t
1
Vout = −
Vin (t0 )dt0 + V0 .
RC 0
(A.16)
Die Verstärkung kann analog zum invertierenden Verstärker angesetzt werden. Wobei die Impedanz
des Eingangswiderstands“, dem Kondensator, Z = 1/iωC beträgt
”
1
|A| =
(A.17)
−iωRC
Bei niedrigen Fraquenzen
1
(A.18)
2πRC
ist die Amplitude annähernd frequenzunabhängig und proportional zum Integral der Eingangsspannung.
f
A.9. Logarithmischer Verstärker
D
R
V in
+
V out
Hierbei handelt es sich um eine Abwandlung des invertierenden Verstärkers bei dem der Gegenkopplungswiderstand durch eine Diode ersetzt wurde. Auch hier wird der Eingangsstrom durch
die Rückkopplungsdiode abgeleitet. Damit muss der Ausgang eine Spannung annehmen um den
entsprechenden Strom durch die Diode zu treiben. Es gilt aber nicht das ohmsche Gesetz für den
Zusammenhang zwischen Strom und Spannung sondern die Diodenkennlinie:
qV
D −1
kB T
ID (VD ) = IO e
(A.19)
Damit hängt natürlich die Spannung und somit auch die Ausgangsspannung des logarithmischen
Verstärkers über die Umkehrfunktion vom Eingangsstrom ab:
kB T
Vin
Vout = −
ln
(A.20)
q
I0 R
Für Vin > 0, kB ist die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und T die Temperatur ( kBq T ≈
20mV).
108
A.10. Instrumentenverstärker
+
V inN
R3
R3
R2
-
R1
+
V out
R2
+
R3
R3
V inP
Ein Instrumentenverstärker besitzt einen hohen Eingangswiderstand (Rin ≈ rD ) und die Ausgangsspannung ist sehr präzise proportional zur Differenz der Eingangsspannungen :
1
Vout = (VInP − VInN ) 1 + 2
(A.21)
2πRC
Er wird für Messaufgaben eingesetzt, bei denen es auf einen hohen Eingangswiderstand und präzise
Verstärkung ankommt.
A.11. Impedanzinverter (negative impedance converter — NIC)
Iin
Vin
R3
+
R2
R1
Hier gilt wieder, dass die beiden EingangsspannungenV− und V+ gleich sein müssen. Damit ergibt
sich:
Vin
Vin = I1 R1 = I2 R1 → I2 =
(A.22)
R1
I1 = I2 da kein Strom in den invertierenden Eingang fließt. Da ebenfalls kein Strom in den nichtinvertierenden Eingang fließt gilt:
(R1 + R2 )I2 + R3 Iin − Vin = 0
(A.23)
setzt man GL. A.22 für I2 ein und formt sie um, ergibt sich
Vin = −Iin R3
109
R1
.
R2
(A.24)
Für den Eingangswiderstand ergibt sich so:
R1
Vin
= Rin = −R3
Iin
R2
(A.25)
Von außen gesehen liegt hier ein negativer ohmscher Widerstand −R1 vor. Prinzipiell lassen sich
auch negative Induktivitäten und Kapatizitäten bilden indem man einen entsprechende Spule oder
Kondensator Anstelle des Widerstandes R1 setzt. Eingesetzt wird ein NIC z.B. als Energiequelle
in Schwingkreisen. Es lassen sich auch die immer vorhandenen ohmschen Lasten durch Parallelschaltung eines veränderlichen NICs kompensieren.
110
B. Analog/Digital-Wandler und
Digital/Analog-Wandler
B.1. Wandlungsfehler
Nullpunktfehler(Offset-Fehler) Diese Art von Fehler bezeichnet die Abweichung der Ausgangsspannung vom Wert Null im Falle, dass der digitale Wert Null gewandelt wird.
Skalierungsfehler Der Skalierungsfehler bezeichnet die Abweichung des tatsächlich überstrichenen Ausgabebereichs der analogen Spannungen gegenüber dem angegebenen Ausgangsspannungsbereich.
Linearitätsfehler Dieser Fehler bezeichnet die Abweichung der für jeden einzelnen Wert ausgegebenen Spannung von der Geraden durch die beiden Endpunkte, welche durch den größten
und kleinsten gewandelten Wert gebildet wird.
Monotoniefehler Diese gibt an ob und in welchem Maße die Monotonität des Ausgangssignals
bei ansteigendem digitalen Werten gestört ist.
Skalierungsfehler
reale Wandlungskurve
Monotoniefehler
Offset-Fehler
Linearitätsfehler
Ideale Wandlungskurve
B.2. Digital/Analog-Wandler
Es soll eine kurzer Überblick über die unterschiedlichen Methoden gegeben werden, wie eine
digital vorliegende Zahl, meist in einem der verschiedenen Binärcodes, in eine mehr oder weniger
kontinuierliche Spannung gewandelt werden kann.
B.2.1. Stromwägeverfahren
Hierbei werden mit Hilfe einer Präzisionsspannungsquelle über Widerstände Ströme auf einen
Addierer (vgl. A.4 auf Seite 105) gegeben, der die binär abgestuften Ströme aufaddiert.
111
R0
R1
R2
R3
R i=2iR 0
RN
V ref
+
V out
Binärwerte
Probleme:
Genauigkeit der Widerstände Bei einem 8-Bit-Wandler werden Widerstände mit einer Genauigkeit von 1/256 also ca. 0,4%, bei 12-Bit-Wandlern 1/4096 ca. 0,024% und bei 16-BitWandler 1/65567 ca. 0,0015% benötigt. Dies ist technisch nur äußerst schwierig zu realisieren.
Werte der Widerstände Die Werte der Widerstände weisen eine sehr große Spanne auf. Zum
Beispiel werden für einen 16-bit Wandler Werte über fünf Größenordnungen benötigt, was
bei der Halbleiterfertigung in der Integration große Probleme mit sich bringt.
B.2.2. R-2R-Wandler
Auch hier werden mit Hilfe einer Präzisionsspannungsquelle über Widerstände Ströme auf einen
Addierer (vgl. A.4 auf Seite 105) gegeben, allerdings wird hier eine günstigere Anordnung der
Widerstände gewählt. Daraus resultiert ein entscheidender Vorteil: Für diesen Typ besitzen die
verwendeten Widerstände nicht so einen großen Wertebereich wie bei dem vorher besprochenen
DA-Wandler nach dem Stromwägeverfahren.
R 14
R 25
R 13
R 24
R 12
R 23
R 21
R 22
R 2X=2R 1X
R 11
V ref
+
V out
Binärwerte
Vorteil: Die Widerständen weisen nur einen Unterschied um einen Faktor 2 auf, dadurch ist dieses
Design kompatibel zu einer Integration in einem Standardprozess.
B.2.3. Pulslängenmodulation
Die vorhergenannten Wandler haben einige entscheidende Probleme
• Beim Umschalten des höchstwertigen Bits (MSB most significant bit) können große Störsignale entstehen. Je höher die Auflösung desto schwieriger ist dieses Problem in den Griff zu
bekommen.
112
• Die Linearität macht mit steigender Auflösung Schwierigkeiten.
• Die Kosten steigen deutlich überproportional mit der Auflösung
Die Probleme können umgangen werden, wenn das Ausgangssignal zwischen zwei Werten hin- und
herschaltet, dabei die Pulslänge moduliert wird und anschließend das Signal gemittelt wird.
V
t
Probleme
Bei starken Pulslängenunterschieden ergeben sich Probleme bei der Genauigkeit der Pulslängen,
da die Bandbreite über einen weiten Bereich definiert sein muss. Außerdem ergeben sich Schwierigkeiten beim Filtern; es können niederfrequente Störungen auftreten.
B.2.4. 1-bit Wandler
Bei diesem Verfahren wird die Abtastfrequenz um Datenbitbreite vervielfacht und dann auf einen
Pulsdichtemodulator gegeben und anschließend integriert. Somit werden die einzelnen Bits sukzessive ausgegeben, wobei der Pulsdichtenmodulator garantiert, dass eine bestimmte untere Frequenz
nicht unterschritten wird. Es ergibt sich für die Auflösung bei einer Oversamplingrate r:
nAuf l. = log2 (r).
(B.1)
Prinzip des Oversamplings:
Die Auflösung des DA-Wandlers kann dadurch gesteigert werde, dass man Werte zwischen den
Digitalisierungsstufen mit Hilfe einer statistischen Gewichtung annähert, dabei wird entsprechend
dem Zahlenwert die Wahrscheinlichkeit der höher- oder niedrigerwertigen Ausgabe gewichtet.
Durch Mittelung der verrauschten“ Ausgabe ergeben sich dann die Zwischenwerte. Zur Illustra”
tion wir das Signal eines 3-Bit DA-Wandlers mit Hilfe eines 2-Bit DA-Wandlers mit zusätzlichem
Rauschen und einem nachgeschalteten Integrator nachgebildet.
Ausgabe eines 3-Bit Wandlers
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Ausgabe eines 2-Bit Wandlers
mit Dithering
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Zeit
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Zeit
Nach einer Tiefpassfilterung entsteht aus der Ausgabe des 2-Bit Wandlers, der verrauscht wurde
(Dithering) wieder eine gute Reproduktion des 3-Bit Signals.
113
Ausgabe eines 2-Bit Wandlers mit
Dithering und Tiefpassfilterung
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Zeit
B.2.5. MASH-Verfahren
MASH steht für Multi-Stage noise SHaping. Bei diesem Verfahren handelt es sich um ein Pulsweitenmodulationsverfahren, bei dem die Pulsweite von einem k-Bit Wandler angesteuert wird. Da
k klein ist, gibt es noch keine Probleme mit der Genauigkeit. Andererseits können hier schon 2k
verschiedene Pulsweiten dargestellt werden. Somit ergibt sich für die Auflösung eines derartigen
Wandlers:
nAuf l. = kW andler + moversampling .
(B.2)
Beispiel:
Bei einem Pulsweitenmodulator mit 4-Bit, der bei einer Frequenz von 45,1MHz arbeitet (1024faches Oversampling), ergeben sich bei 44,1kHz eine Auflösung von 14Bit und bei 5kHz ergeben
sich 17Bit.
B.3. Analog/Digital-Wandler
Auch hier besteht die Hauptschwierigkeit, einen guten Kompromiss zwischen Geschwindigkeit,
Präzision und technischem Aufwand (Kosten) zu finden.
B.3.1. Parallelwandler (Flash-Converter)
1/2R
+
V ref
R
+
R
+
R
+
R
+
R
+
R
+
1/2R
-
7
6
5
Prioritätskodierer
4
3
2
1
0
V in
114
3-Bit
Binärwert
Bei diesem Verfahren wird die Eingangsspannung mit Werten, die durch Spannungsteilung aus
einer präzisen Referenzspannung gewonnen werden, mit Hilfe von Komparatoren verglichen. Dabei
geben die Komparatoren deren Vergleichspannung kleiner ist als die Eingangsspannung eine logische Eins am Ausgang aus. Die Eingänge des Prioritätskodierers invertieren das Signal bestimmen
daraus den zugehörigen Binärwert, indem der hochwertigste Eingang der gerade eine logische Eins
zeigt binär codiert wird.
Logiktafel für einen Prioritätskodierer
Eingangsspannung
Vin /VLSB
0
1
2
3
4
5
6
7
k7
0
0
0
0
0
0
0
1
Komparatorzustände
k6 k5 k4 k3 k2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k1
0
1
1
1
1
1
1
1
Dualzahl
z3 z2 z1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Dezimal
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
B.3.2. Kaskadenumsetzer
V in
Abtast/HalteGlied
V ref
5-Bit
ADU
parallel
5-Bit
DAU
+
-
z9z8z7z6z5
+
x32
5-Bit
ADU
parallel
z4z3z2z1z0
Beim Kaskadenumsetzer werden zwei Parallelwandler eingesetzt, wobei die Summe der Auflösungen dann die Gesamtauflösung bestimmt. Es wird der erste ADC (analog/digital converter) zur
Wandlung der höherwertigen N1-Bits eingesetzt. Der gewandelte Wert wird mit Hilfe eines DACs
(digital/analog converter) zurückgewandelt und vom Eingangssignal abgezogen. Dabei ist es wichtig, dass das Eingangssignal analog in einem Abtast/Halteglied (sample and hold stage) zwischengespeichert wird. Die um den Faktor 2N 1 , N1 bezeichnet die Auflösung des ersten ADCs, verstärkte
Differenz wird nun wiederum einem ADC zugeführt, um die niederwertigeren N2-Bits zu wandeln.
Die Auflösung Nges ergibt sich:
Nges = N 1 + N 2.
(B.3)
Vorteile: Es werden nur (2N 1 + 2N 2 ) Komparatoren und nicht 2(N 1 + N 2) benötigt.
Beispiel: Bei N1=5 und N2=5 werden nur 64 Komparatoren benötigt anstelle von 1024.
Probleme
• Durch eine schlechte Linearität des ersten ADCs kann es dazu kommen, dass der zweite ADC
übersteuert wird, was zu fehlenden Werten (missing codes) führen kann. Diesem Problem
kann dadurch begegnet werden, dass der zweite ADC mit einem erweiterten Auflösungsbereich, einem zusätzlichen Bit, ausgestattet wird und die Differenz nur um den Faktor
115
2(N1-1) verstärkt wird. Es ergibt sich eine Redundanz im mittleren Bereich, die auf digitaler
Seite korrigiert wird.
B.3.3. Nachlaufverfahren/Zählverahren
V in
Abtast/HalteGlied
Komparator
+
auf/ab
-
N-Bit DAC
N-Bit Aufwärts/
Abwärts Zähler
Takt
N-Bit
Bus
V ref
zN-1 z~z2z1z0
Der in dem Abtast/Halteglied (SHS Sample and Hold Stage) gespeicherte Wert wird durch den
Komparator mit einem Wert aus einem DAC verglichen. Der Ausgang des Komparators entscheidet
ob der Zähler aufwärts oder abwärts zählt. Ist der Zählerstand zu hoch so liefert der DAC eine zu
hohe Ausgangsspannung und der Komparatorausgang wird logisch Null weshalb der Zähler nun
abwärts zählt bis der Zählerstand einen zu kleinen Wert repräsentiert, dann wird wieder aufwärts
gezählt.
Vorteile:
• Diese Art von Wandler sind schnell.
• Es ist keine aufwändige Steuerlogik notwendig wie bei dem im nächsten Abschnitt beschriebenen Wandler.
Probleme:
• Der Wandler kommt bei erreichen der zu wandelnden Wertes nicht zur Ruhe, sondern
schwankt immer um das LSB.
• Es wird ein DAC mit überall monotoner Charakteristik benötigt sonst wird er an dieser
nichtmonotonen Stelle eingefangen“.
”
• Der Wandler braucht im Extremfall bis zu 2NTTakt um einen Wert zu wandeln. Er ist also
bei Sprüngen des Eingangssignals nicht in der Lage, diesen schnell zu folgen.
B.3.4. Wägeverfahren (successive approximation register)
V in
Abtast/HalteGlied
Komparator
+
N-Bit SukzessivesApproximationsRegister
-
N-Bit DAC
N-Bit
Bus
V ref
zN-1 z~z2z1z0
Der Wandler ist dem im vorherigen Abschnitt sehr ähnlich, allerdings ist der Auf-/Abwärtszähler
durch eine Steuerlogik ersetzt. Dabei wird eine Art Intervallschachtelung durchgeführt um den
zu wandelnden Wert anzunähern. Dabei wird sukzessive ein Bit nach dem anderen, beginnend
116
mit dem MSB, gesetzt und geprüft. Wenn der Wert aus dem SHS kleiner ist als der durch den
DAC gewandelten Wert wird das Bit wieder zurückgesetzt. Im anderen Fall bleibt es gesetzt.
Anschließend wird das nächste Bit geprüft.
Vorteil
• Der Verfahren ist schneller als das Nachfolgeverfahren.
B.3.5. Sägezahnverfahren (single slope integration)
+
V in
Komparatoren
&
+
&
Zähler
-
Sägezahngenerator
QuarzOszillator
zN-1 z~z2z1z0
V ref
Bei diesem Wandler handelt es sich um eine Spannung/Zeit-Umsetzung, wobei die Zeit mit
einem Zähler, der von einem Quarzoszillator gespeist wird, bestimmt wird. Ein Sägezahngenerator liefert einen genau definierten Spannungsanstieg. Bei einem Wert der Sägezahnspannung,
die durch den unteren Komparator definiert wird, beginnt der Zähler loszulaufen. Erreicht die
Sägezahnspannung die Eingangsspannung, wird der Zähler gestoppt. Je höher die Eingangsspannung, desto länger läuft der Zähler. Die beiden Komparatoren bilden in Verbindung mit dem
ersten UND-Gatter einen Fensterdiskriminator. Der Ausgang des Fensterdiskriminators, der EINS
ist, wenn die Sägezahnspannung zwischen Masse und Eingangsspannung ist, wird in dem zweiten
UND-Gatter mit dem Takt eines Quarzoszillators verknüpft und dann auf den Zählereingang gegeben. Es kommen somit nur Taktpulse auf den Zähler, wenn die Sägezahnspannung innerhalb
des Fensters liegt.
Vorteile
• Es wird kein DAC und SHS benötigt.
Probleme
• Der Sägezahngenerator muss extrem präzise arbeiten. Das schließt auch eine sehr präzise
Referenzspannung ein. Die Sägezahnspannung wird aus einem Integrator gewonnen, der mit
einer Kapazität aufgebaut ist. In die Genauigkeit geht der Wert der Kapazität linear ein.
Dieser weist allerdings starke Alterungseffekte auf, wodurch es sehr schwierig ist, eine höhere
Genauigkeit als 0,1
• Der Quarzoszillator muss sehr präzise arbeiten.
B.3.6. Dual-Slope-Verfahren (dual-slope integration)
Die Nachteile des Sägezahnverfahrens werden bei diesem Verfahren weitestgehend umgangen,
weshalb es das vorherige vollständig abgelöst hat.
117
S3
S1
R
-
V in
+
C
Schalter
Steuerung
-
+
Komparator
Integrator
&
S2
V ref
zN-1 z~z2z1z0
+
V int
Zähler
t1
t2
t2
t
Integration von V in
Integration von V ref
Das Wandlungsverfahren besteht aus zwei Phasen. Das Verfahren ist im Bild oben illustriert.
In der ersten Phase wird das Eingangssignal mit Hilfe des Integrators über eine konstante Zeit t1
aufintegriert (S1 geschlossen, S2 und S3 geöffnet). Die Ausgangsspannung Vint des Integrators
wird dabei negativ und der Betrag ist proportional zur Eingangsspannung. Dabei wird die Zeit
durch eine bestimmte Anzahl von Pulsen aus einem Pulsgenerator bestimmt.
Z
Vin
1 2
Vin dt = −
(Zmax + 1)T.
(B.4)
Vint (t1 ) =
τ 0
τ
Anschließend wird in der zweiten Phase über einen Schalter S1 der Eingang abgekoppelt und über
einen zweiten Schalter S2 die Referenzspannung Vref, welche zur Eingangsspannung invertiert
ist, auf den Eingang des Integrators gelegt (S3 geöffnet). Nun wird die Referenzspannung so
lange integriert bis die Ausgangsspannung des Integrators Null ist, was mit dem Komparator
festgestellt wird. Die Zeitspanne t2 die für diese zweite Integrationsphase benötigt wird mit Hilfe
des Pulsgenerators und einem Zähler bestimmt.
t2 = Z · T =
τ
Vref
|Vint (t1 )|.
(B.5)
Die Zeit t2 ist proportional zur Eingangsspannung und somit wird der Zählerstand als gewandelter
Wert ausgegeben.
Vin
(B.6)
Z = (Zmax + 1)
Vref
Parameter, die im vorherigen Verfahren noch kritisch in das Wandlungsergebnis eingegangen sind,
wie z.B. die Frequenz des Pulsgenerator und die für die Integration verwendete Kapazität, kürzen
sich in der Abhängigkeit des Wandlungsergebnisses bei diesem Verfahren heraus. Das bedeutet die
Genauigkeiten der Kapazität und des Pulsgenerators spielen keine Rolle. Damit ist dieses Verfahren
grundsätzlich mit höherer Präzision zu realisieren.
Eigenschaften
118
• Ergebnis nicht vom Takt abhängig
• Ergebnis nicht von τ = RC ab
• Wenig anfällig gegen Störspannung. Alle Frequenzen 1/t1 mit ihren Vielfachen werden unterdrückt.
• Referenzspannungsquelle muss die geforderte Präzision haben
• Integrationskondensator sollte keine Spannungshysterese und nur geringe Leckströme aufweisen (als Dielektrikum z.B. Polystyrol).
• Wandler ist billig herzustellen
Einsatz
Das Verfahren wird in den meisten Multimetern (Hand- und Labormultimetern) mit einer Auflösung
von 3,5 bis 7,5 Dezimalstellen eingesetzt.
B.3.7. Sigma-Delta-Verfahren
(Literatur [7,8])
I ref
zN-1 z~z2z1z0
FET-Schalter
R
V in
negativ
Komparator
-
C
+
D-Register
+
-
Integrator
D
Q
C
Q
R
Zähler 2
&
Zähler 1
Bei dem Σ∆-Verfahren handelt es sich um ein integrierendes Verfahren, bei dem die Eingangsspannung mit einem Strom aus einer Referenzstromquelle ausbalanciert wird. Der Strom von der
Eingangsspannung wird mit dem Strom aus der Referenzstromquelle addiert und auf einen Integrator gegeben. Der Komparator vergleicht den Ausgang mit einem Bezugspunkt, welcher hier
Masse ist. Der Ausgang des Komparators wird auf ein D-Flipflop gegeben, welches den Zustand
des Eingangs zwischenspeichert bis ein neuer Taktzyklus beginnt, welcher vom Taktgenerator abgeleitet wird. Steht an dem Ausgang des D-Flipflops eine logische Eins, so wird der Takt auch
auf den Zähler 2 gegeben, der die Pulsdauer des Komparators ausmisst. Der Zähler 1, welcher
permanent mit den Taktpulsen versorgt wird steuert den Ablauf indem er Zähler 2 rücksetzt und
den Wert des Zählers in dem Ausgangsregister, ein D-Register, zwischenspeichert.
Eigenschaften
• Kein Aliasing bei der Umwandlung, da nicht abgetastet wird, außer bei zu niedriger Wahl
der Abtastfrequenz
• Prinzipbedingt gibt es keine fehlenden Codes
119
• Wandlerverhalte ist absolut monoton und linear
• Unempfindlich gegen steile Flanken, gegen Rauschen und gegen hochfrequente Störungen
120
Literaturverzeichnis
[1] Hans-Rolf Tränkler, Ernst Obermeier: Sensortechnik, (Springer, Berlin,1998) ISBN:
3540586407
[2] Johannes Niebuhr, Gerhard Lindner: Physikalische Meßtechnik mit Sensoren (Oldenbourg,2001) ISBN: 3486270079
[3] Ed.: Joseph F. Keithley: Low Level Measurements Handbook (Keithley Instruments
Inc.,1998)
[4] Othmar Marti und Alfred Plettl: Vorlesungsskrip Physikalische Elektronik und Messtechnik,
(Universität Ulm, Ulm, 2004).
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/PhysikalischeElektronik/Phys Elektr/Phys Elektr.pdf
[5] Paul Horowitz and Winfield Hill: The Art of Electronics, second edition (Cambridge University Press, Cambriddge, 1999) ISBN 0-521-37095-7.
[6] Ulrich Tietze und Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik, achte Auflage (SpringerVerlag, Berlin, 1986) ISBN 3-540-16720.
[7] Ralf Kories und Heinz Schmidt-Walter: Taschenbuch der Elektronik (Verlag Harry Deutsch,
Frankfurt, 2000) ISBN 3-8171-1626-8.
[8] PSpice 9.1 Studentenversion herunterzuladen unter:
http://www.orcad.com/Product/Simulation/PSpice/download.asp
[9] Beschreibung eines Sigma/Delta-Wandlers des Halbleiterherstellers Analog Device:
http://www.analog.com/support/standard linear/seminar material/practical design techniques/Section3.pdf
[10] Beschreibung eines Sigma/Delta-Wandlers von Jim Thompson:
http://www.ee.washington.edu/conselec/CE/kuhn/onebit/primer.htm
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