2. Mechanik

2. Mechanik
Mechanik ist ältester Teil der Physik
Sachverhalte leicht sichtbar und greifbar, tägliche Erfahrung
→ leichtes Erlernen der physikalischen Methodik und Denkweise
Erste Erfahrungen: Pfeil + Bogen, Wurfmaschinen der alten Griechen und Römer
Erste Beschreibung durch Newton ca. 1700
2.1 Einführung
Mechanik:
Gleichgewicht und Bewegung von Körpern im Raum unter dem
Einfluß von Kräften
2.1.1 Einteilung
Abgrenzung
Beispiel
Klassische Mechanik
"Technik"
Auto
Relativitätstheorie
hohe Geschwindigkeiten
Elektron in Braunscher
(Lichtgeschwindigkeit)
Röhre,
Astronomie
Quantenmechanik
"kleinste Körper"
Atome, Moleküle, Kristalle
Wellenmechanik
Wechselwirkung von
"rote Sonne" beim Auf- und
elektromagnetischen Wellen mit
Untergang
Atomen, Molekülen, Kristallen
Klassische Mechanik:
- Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten
- Grenzfall der Quanten- und Wellenmechanik für große Körper
Diese Vorlesung: Klassische Mechanik
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
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2.1.2 Klassische Mechanik
Gebiete
Inhalt
Beispiel
Statik
Kräfte
Balkenwaage
Kinematik
Bewegungsformen
Autofahrt, Wurf
Dynamik
Kräfte als Ursache der Bewegung
Freier Fall, Rakete,
Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
Schwingungen
Reale Beschreibung meist schwierig, deshalb vereinfachte Beschreibung durch Modellkörper
/ siehe auch „Aufbau der Materie – Materialkonstanten“
2.1.3 Modellkörper
Definition
Beispiel
Massepunkt
keine Ausdehnung,nur Masse
Autofahrt (Kinematik)
Starrer Körper
Ausgedehnt, keine Verformung
Balkenwaage (Statik, Dynamik)
Elastischer Körper *
Verformung
Feder
Ideale Flüssigkeit *
keine Reibung
Wasserströmung im Rohr
Ideales Gas *
kein Eigenvolumen
Luftkompression
(*): Mechanik Deformierbarer Medien
Bedeutung der Mechanik: Vorhersage von (Bewegungs-) Zuständen, wenn der
gegenwärtige Zustand (Anfangsbedingungen) bekannt ist.
Beispiel: Vorhersage der Ankunftszeit eines Autos aus Restentfernung und Geschwindigkeit
Problem:
Messung aller Anfangsbedingungen und externer Einflüsse, z.B. Flug eines Luftballons
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Vorgehensweise zur erfolgreichen Lösung von Mechanik Aufgaben
- Skizze
- Reibung ?
- Modellkörper ?
- Aufstellen der Bewegungsgleichung
Fall:
- Statik (a = v = 0)
- Kinematik, Dynamik, Schwingungen T , R , T ↔ R
Falls nicht Statik, Bewegungstyp ?
Kinematik
Dynamik
Betrachte nur a:
- Kraftansatz ΣF = 0 , ΣM = 0
(typisch a gesucht)
- Energieansatz Eges = const.
(meist h oder v gegeben)
- Impulsansatz Σp = const.
(2 Körper stoßen aufeinander)
-a=0
- a = const.
- a ≠ const.
typisch: v, a, t gegeben
bzw. gesucht
(Schwingungen immer mit Kraftansatz)
- Koordinatensystem festlegen und in Skizze einzeichnen und Variablen anpassen
- Lösung dann mit Differential s& = v ; &s& = v& = a bzw. Integral v = ∫ a dt ; s = ∫ v dt =
∫∫ a dt ²
- Anfangs- (t=0) bzw. Endbedingungen einsetzen
PS.: Dies ist lediglich eine grobe Übersicht.
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2.2 Statik des Starren Körpers
Definition: Körper mit genau definierter Form, welche sich nicht (nie) ändert
Bsp:
Stange, Quader
Grenzfall:
z. B. Lineal verbiegen
Anwendung des Modellkörpers „Starrer Körper“ bei technischen Bau- und Maschinenteilen
(Stein, Stange, ...) unter Vernachlässigung von Formänderungen (z.B. Biegung)
Statik umfaßt Systeme, welche sich nicht (mehr) bewegen
Bsp: Balkenwaage vor Auflegen Gewicht und wieder im eingeschwungenen (statischen)
Zustand
weiteres Bsp: Hausbau: Berechnung der Statik aber Dynamik Erdbeben Einsturz
Definition Statik
Ein Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Wirkung aller auf ihn
angreifenden Kräfte Null ist.
Kraft kann z.B. durch Drücken (Gewicht, Lineal), Ziehen (Schnur) und Gewicht auflegen
(Balkenwaage) erzeugt werden. Ein Starrer Körper deformiert sich dabei nicht.
Versuche:
- 2 Seile an Körper: Kraft offensichtlich vektoriell
- Balkenwaage
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2.2.1 Kraft als Vektorielle Größe
Die Kraftwirkung am Starren Körper hängt vom
- Angriffspunkt (A, A')
- Betrag (Größe)
A'
- Richtung
F
A
1N
y
r
des Kraftvektors F ab.
F'
Einheit der Kraft: [F] = N =
kg m
s²
x
JAVA Applett: Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten
Kräfte auf Starren Körper (ausführlich: Vorlesung MB):
- gemeinsamer Angriffspunkt : Schachtel mit 2 Schnüren in 1 Öse
- unterschiedl.
"
:
"
"
2 Ösen
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5
2.2.2 Kräfteaddition
2.2.2.1 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Mehrere Kräfte
z.B. 3 Seile an einer Befestigung
F1
A
Fr
F2 Krafteck:
Kraftvektoren parallel
verschieben
F3
zeichnerisch : Konstruktion mit "Krafteck"
r
r r
r
rechnerisch : Fr = F1 + F2 + F3 + ...
Kräfteaddition
n r
r
Fr = ∑ Fi
i=1
(MS - 1)
JAVA Applett: Gesamtkraft mehrerer Kräfte (Vektoraddition)
Summationszeichen:
n
S = ∑ ai = a1 + a2 + ... + an
i=1
Bsp:
3
S = ∑ i = 1+ 2 + 3 = 6
i=1
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6
r
Fr = 0
Gleichgewicht zweier Kräfte
Versuch:
- Tauziehen
- Feder mit Gewicht → Federkraft = Gewichtskraft
F2
F1
FPlatte
r
r
r
Fr = F1 + F2 = 0 (da Statik !)
r
r
r
r
→ F1 = − F2 → F1 = F2
FGewicht
Versuch: Gewicht auf Tisch / Lineal durchbiegen
Im Gleichgewicht ist Kraft gleich Gegenkraft: FP = - FG → FP + FG = 0 = Fr
Konsequenz: Wenn ein Körper in Ruhe ist, können trotzdem Kräfte auf ihn wirken
Newtonsches Grundgesetz der Statik
Ein Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft : actio = reactio
besser: actio + reactio = 0
andere Formulierung:
Ohne äußere Kraftwirkung verharrt ein Körper in Ruhe (oder er bewegt sich
gleichförmig
(→ Kinematik)
Grundgesetz der Statik
FR = 0
bzw.
Σ Fi = 0
(MS - 2)
Bsp: Ball auf einem Tisch rollen lassen (Ist das noch Statik ?)
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2.2.2.2 Kräfte mit unterschiedlichem Angriffspunkt
Beispiel 2 Angriffspunkte :
Schachtel mit 2 Ösen
Ar
A2
A1
F2
Am Starren Körper kann eine Kraft längs ihrer
Wirkungslinie verschoben werden
F
r
F1
Balkenwaage : Verfahren versagt bei parallelen Kräften, da Schnittpunkt im ∞
Parallele Kräfte
-FH
F1'
A1
F1
A r'
D
l1 l 2
Vorgehensweise:
A2
FH
r
r
r
1. Hilfskraft FH mit (FH − FH = 0)
r
r
2. Konstruiere F1' und F2 '
3. Verschieben auf Wirkungslinie
r
r
r
4. Kräfteparallelogramm ergibt Fr = F1 + F2
Fr
F2
F2'
Hebelgesetz
l1
Die Abstände der Kräfte von der Resultierenden
verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte
l2
Gleichgew.
Unterstützung
F1
F2
JAVA Applett: Hebelgesetz
F1 l 2
=
F2
l1
(MS - 3)
Bsp: l1 ≈ l2 : Balkenwaage, Kinderwippe
l1 >> l2 : Hebel zum Möbelanheben, Brechstange
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Kraft auf Unterlage bei Schiefer Ebene
FH
α
α
FN
h
FG
s
Neigungswinkel
tan α = h / s
Hangabtriebskraft
FH = FG sin α
(MS - 4)
Normalkraft
FN = FG cosα
(Kraft auf Unterlage,
relevant für Gleitreibung)
JAVA Applett: Schiefe Ebene
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2.2.3 Drehmoment
Was bewirkt Kraft auf drehbaren Körper ? Drehung
Bsp: Schraube anziehen mit Gabelschlüssel
M /Nm
Autoreifen: Drehmomentschlüssel
Automotor : Drehmoment
U / 1/min
Wirkt auf einen drehbaren Starren Körper eine Kraft, so erzeugt sie ein Drehmoment.
Drehmoment
r
r r
M = r ×F
[M] = Nm
Das Drehmoment steht senkrecht auf r und F,
(MS - 5)
Anschaulich:
da Vektorprodukt.
Drehmoment
r
r r
r r
Betrag: M = r F sin α = l F
- in Drehachsenrichtung
- erzeugt Drehbewegung
→ Kinematik der Rotation
M
D
α
F
A
α
D
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r
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Beispiel zum Drehmoment
z
1m 
r  
r = 0 
 0 
 
y
M
F
r
0
r  
F = 1N 
0
 
1m   0   0 
r r r     

M = r × F =  0  × 1N  =  0 
 0   0  1Nm 
    

x
Gleichgewichtsbedingung Rotation
Ein drehbarer Starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der angreifenden
Drehmomente Null ergibt, d.h. er dreht sich nicht um seinen Drehpunkt.
Bsp: Balkenwaage
Grundgesetz der Statik für Rotation
r
M
∑ i =0
n
(MS - 6)
i =1
das ist Schwerpunktsbedingung ; vgl. Σ F = 0
Hieraus folgt die Bedingung für den Schwerpunkt eines Starren Körpers. Der Schwerpunkt
ist derjenige Aufhängepunkt, bei dem sich der Starre Körper unter dem Einfluß der
Schwerkraft (Erdanziehungskraft) nicht dreht.
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Schwerpunkt
a
Bsp: Hantel mit masseloser Stange
l1
m1 = m2
l2
m1
m1
S
Aus Gleichgewichtsbedingung und
F1
Hebelgesetz folgt:
F2
0
F1
a⋅ 2
=
=1
F2
2⋅ a
Xs
a
x
Herleitung des Schwerpunktes mit Drehmoment und Schwergewichtsbedingung:
Gesamtdrehmoment = Summe der Einzeldrehmomente: Σ M = 0
r r
da r ⊥ F genügen
Beträge
Nebenbed.: l1 + l2 = a
→ M1 + M2 - Mswp = 0
→ m1 g x1 + m2 g x2 - (m1 + m2) g xs = 0
→ xs =
(x ≡ r)
m1 ⋅ x1 + m2 ⋅ x 2
m1 + m2
Schwerpunkt
xs =
m1 ⋅ 0 + m2 ⋅ a
= a/2
m1 + m2
Schwerpunkt (allgemein)
xs =
y und z analog
∑ m ⋅x
∑m
i
i
(MS - 7)
i
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Experimentelle Schwerpunktsbestimmung
durch Ausbalancieren
- Aufhängen
- Unterlegen einer Stange / Walze
Schwerpunkt:
wichtig bei Flugzeugen, Schiffen, Raketen , ... : "Lastverteilung"
Antriebsloser Flug
Auftriebskraft
Hebelwirkung
Gewichtskraft in Abh. von Schwerpunktlage
ideal
schwanzlastig
kopflastig
Einzelgeräte-Schwerpunkte während Konstruktionsphase über Drehmoment verkoppelt
ergibt den Gesamtschwerpunkt.
Anmerkung:
Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Starren Körpers liegen. Bsp. Ring (Torus)
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2.3 Kinematik
Beobachtung: Körper bewegen sich: Ball, Auto, Karusell, ...
Beschreibung dieser Bewegung durch die Kinematik = Bewegungslehre
Definition:
Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache für die Bewegung zu
betrachten.
Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, die geradlinige Bewegung d.h. die Translation
ist der einfachster Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch
Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.
Beispiel:
- Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.
- Geradeausfahrt auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt
Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation
s(t)
D
Translation
R
Rotation
Modellkörper
Massepunkt
- Translation : Massepunkt
- Rotation
: Massepunkt an steifer, gewichtsloser Stange
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Versuch drehende Balkenwaage
Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung
aus.
Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden
Gegenstände wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder, ... Kreisbewegungen durchführen.
Arten
Bewegung
Koordinatensystem
Beschreibung
Translation
Rotation
Geradlinig
Drehung
Rechtwinklig
Polarkoordinaten
Vektoren
Skalare
r
s
ϕ
Weg
Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)
Massepunkt
Modellkörper
Massepunkt an gewichtloser,
drehbarer Stange
Aufzug
Bsp:
Karusell
Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem
Weg-Zeit-Diagramm
Orts-Diagramm
z
s
t = T0
t = T1
s
r0
y
r1
x
T0
T1 t
wichtig: geeignetes Bezugssystem: kartesische- - Polarkoordinaten !
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Relative Bewegungen
Windstille !
Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?
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2.3.1 Geschwindigkeit
Maß für Wegänderung pro Zeiteinheit : Geschwindigkeit
Def.:
Ortsänderung pro Zeiteinheit
v=
≡ Geschwindigkeit
∆s
=
∆
t
{
Differenz
ds
dt
{
≡ s&
(MK - 1)
Differential
[v] = m
s
r r
bzw. vektoriell v = s&
Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges
Bsp. Ableitung s.u.
Zusammenhang : Weg - Geschwindigkeit - Zeit
s
v
ds / dt = v
s
t
t
v =0
v = const
v
const
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Beispiel: Ableitung (eindimensional)
geg. s(t)
v=
ds
= s&
dt
a=
Beschleunigungstyp
dv
= v& = &s&
dt
1
0
0
t
1
0
0
t²
2t
2
const
t³ *
3t²
6t
≠ const
sinωt
ω cosωt
-ω²sinωt = -ω² s
Schwingung
*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren
Größenordnungen
Vergleich Physik - Technik
Geschwindigkeit
S
+
-
10
-3
1
10
10
3
10
6
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10
9
v / m/s
18
Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet
werden:
Aus (MK 1) : ds = v dt
integrieren = umgekehrte Differentiation, daraus erhält man den Weg
Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben
v = ds / dt | dt
v dt = ds
|∫
→
r
s(t ) =
T1
r
r
v
(
t
)
dt
s
+
0
∫
(MK - 2)
T0
Anwendung Flugzeug: Staudruck-Messgerät mißt nur die Geschwindigkeit → Integration
ergibt s !
Problem Integration und Variable t
T1
Herleitung für v = const. : s = v ∫ dt = v (T1 − T0 ) = v ∆T 
→ s = v t
üblich
T0
Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Meßbeginn !!
r
r
r r
r
Spezialfall: v ≠ v (t ) , d.h. v = const: s (t ) = v ⋅ t + s o
s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0
Beispiel: Auto mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m
T
1
r
r
r
s (t ) = ∫ v (t ) dt + s 0 =
T0
100 s
∫ 10
0
100 s
m
s
dt = 10
m
s
∫ dt
= 10 ms ⋅100 s = 1000 m
0
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Weg - Zeit - Diagramm am Beispiel Zugfahrplan mit ‚Problem’ v(t)
s / km
Weg - Zeit - Diagramm
160
140
120
100
80
v
60
m
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
t / min
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20
aber: Zugzeiten nur Abfahrt - Ankunft, dort v = 0 , dazwischen max. ca. 200 km/h
ds/dt = va
s
v
s
t
vaktuell
v mittel =
s
t
t
Def.: Mittlere Geschwindigkeit
r
r
∆s
vm =
∆t
(MK - 3)
r
r
d s r&
va =
≡s
dt
(MK - 4)
für ∆t → 0 :
Def.:
aktuelle Momentangeschwindigkeit
z.B. die Anzeige durch Tachometer
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2.3.2 Beschleunigung
Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. Auto anfährt ?
Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. ist zeitabhängig.
Def.: Beschleunigung
= Geschwindigkeitsänderung
pro Zeiteinheit
[a] = m/s
Technik:
r
∆v
∆t
{
r
a=
=
Durchschnittswert
a > 0 : Beschleunigung ;
r
dv
dt
{
r r
≡ v& = &s&
(MK - 5)
akt.Momen tan wert
a < 0 : Verzögerung
Zahlenbeispiel siehe obenstehende Tabelle
Zusammenhang Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung - Zeit
s
va
ds/dt = v
s
dv / dt = a
v
t
t
t
v=0
v = const
a =0
v
const
a = const
v
a
const
const
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Vergleich Physik - Technik
Größenordnungen
Beschleunigung
1
10
10
3
10
6
10
9
12
10
a / m/s²
Elektrotechnik: Beschleunigung von geladenen Teilchen :
Strahlung nach Maxwell - Gleichungen : Synchrotonstrahlung
Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration
berechnet werden:
Geschwindigkeit
r
r
r
v (t ) = ∫ a (t ) dt + v 0
(MK - 6)
Weg
r
r
r
s (t ) = ∫ v (t ) dt + s 0
(MK - 7)
Analog für Rotation, statt Weg s den Winkel ϕ verwenden (s.u.) !
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23
2.3.3 Translation
r
Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): s → s (o.B.d.A.)
Def.: Bewegungstyp / -form
Art
Gleichförmig
gleichmäßig
ungleichmäßig
beschleunigt
beschleunigt
a
0
const.
≠ const.
v
Const.
Lineare Änderung, v ∼ t
≠ const.
Bsp.
Auto 100 km/h
Freier Fall
Pendel
→ es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):
2.3.3.1 Gleichförmige Translation
s
Typ: a = 0
va
aus (MK - 6): v = vo
vo
aus (MK - 7): s = ∫vdt = vo t + C
so
t
→
s = vo t + so
(MK – 8)
JAVA Applett: Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Beispiel:
Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht mittlerer Geschwindigkeit, impliziert ∆s /
∆t
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24
2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation
Versuch:
- Ball fallen lassen
- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle
d.i. Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung
s
Typ: a(t) = const
va
Bsp.: Freier Fall
t
aus (MK – 6): v = const. ∫ dt = a t
aus (MK - 7): s = ∫vdt = a∫tdt = ½ a t
2
Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7), so = 0
Geg.
vo = 0
vo ≠ 0
a, t
v = at
v = at + vo
a, s
s = /2 at²
1
s = /2 at² + vo t
1
v = 2as
v = 2 a s + v2o
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
(MK - 9)
25
2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Versuch Pendelschwingungen :
Umkehrpunkt:
Richtungsumkehr von Geschwindigkeit und Beschleunigung
→ ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Typ: a(t) ≠ const. ; a = a(t)
Beispiel: Mechanische Schwingungen
s
v
t
a
Anfangsbed. für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0
geg:
a ∼ cosωt
v = ∫ a dt ∼ sinωt
s = ∫∫ a dt
2
= ∫ v dt ∼ cosωt
s ∼ − a , s ∼ − &s& typ. für Schwingungen
Beispiel
a = kt
Bem: [k] = m/s²
1 2
v = ∫ a dt = k ∫ t dt = kt
2
1
1
s = ∫ v dt = k ∫ t 2 dt = kt 3
2
6
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26
Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf
2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld
a = g = 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = const. → gleichförmig beschleunigte Bewegung,
Modellkörper : Massepunkt
NB:
- Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation
- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)
- g sehr exakt mit Pendeln meßbar, so daß Höhe über Meeresspiegel bestimmbar
Dim
Bez.
Anfangsgeschwindigkeit *
1
Freier Fall
voz = 0
Senkrechter Wurf
voz > 0 nach oben
z
Voy = 0
y
voz < 0 nach unten
2/3
Waagrechter Wurf
vox ≠ 0 voz = 0
Schiefer Wurf
vox und voz ≠ 0
x
 v 0x 


r
(*) : v 0 =  v 0 y 
v 
 0z 
y hier als konstant gewählt, ebenso liegt der Abwurfort im Ursprung !
Beides kann durch lineare Koordinatentransformation (und ggf. Drehung) immer erreicht
werden.
Bei Wurf mit Seitenwind ist y nicht konstant, also zu berücksichtigen !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
27
für die beiden Beispiele gilt :
- a = g aus (MK - 9): v = g t + v 0
r
r
- AB: v (t = 0) = 0 , s (t = 0) = 0
a) Freier Fall
Kinematik
Energiesatz (Vorgriff)
1
s = gt 2 + v 0 t + s0
2
siehe Ekin = Epot
&s& = a = g
1D
mv 2
= mgh
2
für s0 = 0 und v 0 = 0
1
s = gt 2
2
v = 2gs = 2gh
v = gt
s=
v2
2g
1 v2 v2
v
t=
s= g 2 =
g
2 g 2g
v2
1
s = gt 2 ; v = gt ; s =
2g
2
(MK – 10)
d.h. beide Wege führen zum selben Ziel !
wenn aber Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden
weiter
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b) Wurf
vektorielle Betrachtung
Zusammensetzung von
- gleichförmiger Translation und
- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)
z
Anfangsbedingungen (t = 0) :
0
 v ox 
 0 
  r

 r


r
s0 =  0  ; v 0 =  0  ; a 0 =  0 
0 
v 
 − g
 
 oz 


unbeschl. Bew.
−
y
g
gleichm. beschl.Bew.
V0x
x
Achtung: rechtshändiges
Koordinatensystem !
Rechengang: v = ∫adt ; s = ∫vdt
→
 v ox 
 0 


r  
v=  0  +  0 
v 
 − gt
 oz 


gleichförm ig

 v ox t  
 
r 
s= 0  +

v t   −
 oz 

gleichm.beschl.



0 
v ox t



0  = 
0

1 2
1 2
 v oz t − g t 
gt 
2


2

(MK - 11)
r !
Probe: &s&z = − g √
Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
29
Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0
 v0 X 

r 
v=  0 
− gt 



 v0 X t
r 
s=
0
 1
 − g t2
 2






r
Absolutgeschwindigkeit: v = v =
v 2x + v 2y + v 2z 
→ v(t ) =
hier
Fälle:
v 20 x + g² t ²
- t klein : v ≈ vx
- t groß : v ≈ gt
bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welche Bahn fliegt der Massepunkt ?
Bahnkurve
sx = vox t ≡ U
(i)
sz = - 1/2 gt² ≡ V
(ii)
aus (i) t = U / vox
(i’)
z
(i’) in (ii)
V=−
g
g
U2 bzw. z = −
x²
2
2
2 v ox
2 v ox
t=0
v0x
x
das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²
vx
Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve
|v|
vy
2
v = v( x, z) = v ox
+
g²
x²
v 2ox
(1') in v eingesetzt
v
~x
v0x
x
JAVA Applett: Schiefer Wurf
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
30
Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?
Olympia-Schanzen Calgary
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
31
2.3.4 Rotation
Bsp: Pendel, drehbare Balkenwaage
Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange
wichtigste Größe (analog zum Weg s):
Drehwinkel
(MK 12)
ϕ = s /r → s = r ϕ
r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [ϕ] = rad 180° = π
karthesische
Koordinaten
Polarkoordinaten
y
s
D
x
2 Variable: x , y
Winkelgeschwindigkeit
[α] = rad/s²
r
1 Variable ϕ, da r = const.
∆ϕ dϕ
≡
= ϕ&
∆t dt
(MK - 13)
∆ω dω
& =ϕ
&&
=
=ω
∆t dt
(MK - 14)
ω=
[ω] = rad/s
Winkelbeschleunigung
ϕ
α=
Alle Definitionen wie Translation
ϕ , ω , α sind Skalare, keine Vektoren !!
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
32
Zusammenführung Translation - Rotation
(hier nur Skalare bzw.
Beträge)
Translation
Rotation
TR
Weg
s
ϕ
s=rϕ
Geschwindigkeit
v
ω
v=rω
Beschleunigung
a
α
a=rα
(MK -
15)
Bewegungsformen wie Translation :
- gleichförmig
α=0
- gleichmäßig beschleunigt
α = const
- ungleichmäßig beschleunigt
α ≠ const.
Vektorielle Betrachtung
v
a für dt
T2
Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz
r
ω zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn
‚ins Blatt’ hinein
Geschwindigkeit
Tangential zur Bahn
r r r
v=ω×r
(MK - 16)
Zentripetalbeschleunigung
- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)
- meist nur Betrag: a = ω² r interessant
r
r v2
r
a = r = − ω2 r
r
(MK 17)
Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer
Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit. Bedingung für Schwerelosigkeit :
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
33
v²/r = g
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
34
Zentripetalkraft
Ursache der Zentralbewegung (Beschleunigung in Richtung
Zentrifugalkraft
Mittelpunkt)
JAVA Applett: Karussell (Zentripetalkraft)
Zentripetalkraft
D
Zentrifugalkraft
ist Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von außen),
welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also vom
Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
r
m v2
Fzp =
= m ω2 r (≡ m a)
r
r
r
Fzf = − Fzp
(MK - 18)
Coriolis-Kraft
weitere Kraft in bewegten, rotierenden
Systemen. Tritt auf, wenn sich ein Körper
radial nach innen oder außen bewegt
(Scheinkraft)
r
r r
Fc = − 2 m ω × vr
anschauliche Erklärung: Bahngeschwindigkeit hängt vom Abstand von der Drehachse ab,
ein sich nach außen bewegender Körper muß daher Kraft aufwenden, um in Ruhe zu
bleiben.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
35
Versuch: Kugel auf rotierender Platte läuft spiralförmig
nach außen, da sie Corioliskraft nicht aufbringen kann.
Wirkliche Bahn im ruhenden System (mitbewegter
Beobachter) ist eine Gerade
ruhender
Beob.
mitbew. Beob.
v in radialer
Richtung
scheinbare Bahn im rotierenden System (Beobachter
ruhend, außenstehend) ist eine Spirale
Bsp.: - ESP – Sensor
- Hochdruck auf Nordhalbkugel bedingt Ostwind in Mitteleuropa
- Wirbel in der Badewanne
Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung ω = const. ; α = 0
z.B. gleichmäßig drehender Motor
Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit
1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2π entspricht 1 Periode
Drehwinkel (entspr. s = v t )
ϕ = ωt
Periodendauer
T=
f=
Frequenz
1 ω
=
T 2π
N = ϕ / 2π
Anzahl der Umdrehungen
Drehzahl
2π
ω
n=
∆N dN &
dϕ
ω
=
=N=
=
=f
∆t
dt
2π dt 2π
(MK - 19)
Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,
dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz
JAVA Applett: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
36
Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung α = const.
z.B. anlaufender Motor
Winkelgeschwindigkeit
ω=αt
(MK - 20)
Drehwinkel
ϕ = ω t = 1/2 α t²
Analog gleichmäßig beschleunigte Translation
Rotation in karthesischen Koordinaten
IM y
r
 co s ϕ 

Reell: ϕ = ϕ(t ) ; r (ϕ) = R 
 sin ϕ 
v
r
a
r
 − sin ϕ 
 v tangential zu r
v = R 
 cos ϕ 
r r r
a = v& = &s&
r
r
r
 − cos ϕ 
 cos ϕ 
 = − R 
 = − v& = − r
a = R 
 − sin ϕ 
 sin ϕ 
r
a zeigt zur Drehachse
(MK - 21)
r r
v = r&
ϕ
sin
D cos
R
RE x
Imaginäre Schreibweise
Eulerformel : e jα = cos α + j sin α
z = cos x + j sin y = R e jϕ = R e jωt =ˆ s mit ϕ = ω t
z ′ = jω z = v
z′′ = − ω2 z = a
z =Re
jωt
vgl.Schwingung
z
67
8
z& =ˆ v =ˆ j ω R e jωt
&z& =ˆ a =ˆ − ω 2 R e jωt = − ω 2 z
123
(MK - 22)
z
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
37
Zusammenfassung Kinematik
Art
gleichförmig
Gleichförmig
Ungleichförmig
beschleunigt
beschleunigt
0
konstant
nicht konstant
nein
nein
ja
v,ω
const
const * t
v = ∫ a dt , ω = ∫ α dt
s,ϕ
const * t
1/2 const * t²
s = ∫ v dt , ϕ = ∫ ω dt
Beschleunigung
a = a(t) , α = α (t)
alle Anfangswerte hier Null : vo = ωo = so = ϕo = 0
s=rϕ ;v=rω ;a=rα
1D - ggf. Vektoren verwenden
r r r
& =ϕ
&&
Ableitungen, wenn s bzw. ϕ zeitabhängig gegeben: a = v& = &s& ; α = ω
Def. - aktueller Momentanwert aus Differenz
- Mittel- bzw.Durchschnittswert aus Differential (∆t → 0)
z.B.
z.B.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
ds
dt
∆ϕ
ωm =
∆t
va =
38
2.4 Dynamik
Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet, hier wird die
Statik
mit der Kinematik zusammengeführt.
Inhalt: Bewegungsgleichungen - Energie - Impuls, ....
Translation
Rotation
Modellkörper
Massepunkt
Starrer Körper
Grundgesetz
F=ma
M=Jα
Wagen mit Gewicht
Motor
Bsp
Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen !
2.4.1 Translation
2.4.1.1 Newtonsche Gesetze
1. Trägheitsgesetz
Ein Körper bleibt in Ruhe oder er bewegt
sich gleichförmig, wenn keine äußeren
Kräfte auf ihn einwirken oder diese in
Summe Null sind.
Bsp: Gegenstand hinlegen - aber : Erde
dreht sich um sich selbst und um Sonne
anderer Fall:
Autofahrt geradeaus, nicht angeschnallt gegen Baum: Insassen fliegen unbeschleunigt
weiter;
d.h. Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte
Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
39
Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik:
zusammengeführt im
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
40
2. Grundgesetz der Mechanik
Speziell
r
r
F = ma
m = const. (Newton)
(MD - 1)
allgemein
m ≠ const., p: Impuls
r d (mvr ) r
F=
= p&
dt
r
r
r
r
r
d (m v )
& v + m v& = m
& v + ma
Allgemeine Formulierung
=m
dt
& = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)
mit m
Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit
I = ∆Q / ∆t
Fälle: - m = m(t) : Rakete
- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)
vereinfachte Formulierung:
Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die
gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist
Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
41
3. Kraft erzeugt Gegenkraft
aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Σ Fi = 0 ; Bsp. Gewicht auf Unterlage
Erweiterung auf Dynamik:
Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit
bei Fahrt in Kurve merkt man Kräfte bzw. beim Anfahren.
= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte
- Anfahrt Zug: Flasche fällt vom Tisch
- Gasballon in Auto, bremsen - wohin bewegt sich Ballon ?
nach hinten, da Luft sich nach vorne bewegt (vorne größerer Luftdruck)
Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null
Dynamisches Gleichgewicht
Σ Fi = 0
(MD - 2)
auch d’Alembertsches Prinzip
Versuche:
- Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit
- Ball mit Hand unterstützen : Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.
Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?
- Gewicht an Federwage
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,
nimmt das angezeigte Gewicht zu
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,
nimmt das angezeigte Gewicht ab
Bsp. Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, aber Person fühlt sich
unbewegt !
Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
42
Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertsches Prinzipes
r
aus ∑ Fi
=0
r
r
Fb − Ft = 0
(d´Alembert)
(MD - 3)
Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B.Gewichtskraft
Ft = m a
Ft : Trägheitskraft
mit : m : Gesamtmasse des Systemes
a : Beschleunigung des Systemes, für Statik a = 0, siehe NB
Trägkeitskraft
- Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)
- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen
NB:
r
r
es kann auch mit Ft = m a = Fb
gerechnet werden. Dann ist die Dynamik auf der
linken
Seite der Gleichung und die Statik auf der rechten Seite.
Äquivalenzprinzip: Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ?
- träge Masse
: Dynamik - Trägheitskraft
- schwere Masse
: Statik - Gewicht in Ruhe
Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen.
Aufgabe der Dynamik:
Bewegungsgleichung aus Kraftansatz / Energiesatz erstellen und lösen
Mit Dynamik kann Beschleunigung berechnet werden, was mit der Kinematik nicht möglich
ist.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
43
Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip
Freier Fall
Kraftansatz
Energieansatz (Vorgriff)
1) d’Alembert: ΣF = 0
Eges = const
Fb - Ft = 0
Ft = m a
Epot = Ekin
m (Massepunkt)
0
x
FG
Start
2) Kräfte bestimmen
F b = m g = Fg
m g x = ½ m v²
Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)
→ x& = v = 2 g x
3) einsetzen
mg-ma=0
→ a = g = &x&
x(t);v(t) → schwierig
gleichmäßig beschl. Bewegung
& = v = g t, x = ½ g t²
→ x
→ x& = v = 2 g x
Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des
Systems !
Energieansatz erscheint 'leichter', ist aber deutlich aufwendiger aufwendiger,
wenn s(t) und v(t) gesucht ! Das geht am besten mit dem Kraftansatz und Kinematik
Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-GeschwindigkeitsZusammenhang.
Wenn ein Ansatz nicht 'funktioniert', den anderen Ansatz verwenden !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
44
Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle
Kraftansatz: d’Alembert: ΣF = 0
t=0
1) Fb - Ft = 0
0
Ft
x
F
b
2) Kräfte bestimmen
Fb = m G g
mW
Ft = (mw + mG) a
mG
mw + mG = Gesamtmasse des Systems
F
G
3) einsetzen
mG g - (mw + mG)a = 0
→ a=
JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton
mG
⋅g
mW + mG
(Fahrbahnversuch)
Rest: Kinematik
Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation
Stimmt das Ergebnis ?
Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:
a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses ?
b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?
angewandt auf obiges Beispiel:
a) Einheit : [a]= m/s² √
b) Extremfälle
- mw → 0
:a≈g
√
- mw >> mG : a → 0 √
- mG = 0
:a=0
√
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
45
2.4.1.2 Arbeit
Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, die Wirkung wird mit dem
Begriff Arbeit erfaßt:
'umgangssprachlich':
Arbeit = Kraft * Weg
Bsp: Gewicht in Hand und laufen - keine Arbeit wird verrichtet, da Gewicht nur gehalten
wird
(Kraft ⊥ Weg), Maßkrug-Haltewettbewerb Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.
Kraft F
Arbeit
[W] = Nm = J
r r
W = F⋅ s
Konstant
r
s1
r r r
W = ∫ F(s) ⋅ ds
Wegabhängig
(MD - 4)
r
so
Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden
Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies,
Sand
Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt
Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:
r
r s1 r
r r
F = const. : F ∫ ds = F ⋅ s
r
so
SI-fremd :
- kWh = 3,6 MJ
- eV = 1,6 10
-19
(Energiewirtschaft)
J
(Atomphysik)
Arten
Bsp. (Vereinfachung: 1D)
Hubarbeit
Gewichtheben,
Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.
Beschleunigungsarbeit
Anfahren Auto
Reibungsarbeit
Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene
Verformungsarbeit
Feder spannen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
46
Hubarbeit im Schwerefeld der Erde
Annahme: g = const
W hub
→ F = const, Weg klein
W hub = ∫F ds
W hub ~ h
mit F = m g und s = h erhält man
h
→
Hubarbeit
W hub = m g h
(MD - 5)
Versuche:
- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle
- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft * Weg = Arbeit
- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger → Arbeit = konst.
- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-)
Weg
dafür entsprechend länger → Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.
Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodaß auch schwere Gegenstände
hochgehoben werden können
JAVA Applett: Flaschenzug
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
47
Beschleunigungsarbeit
Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und ∆v = 0
Fall: a = const
Fall: a ≠ const
Fbeschl = m a = const
W beschl = ∫F ds = m ∫ads
→ W beschl = m a s
=m ∫
gleichmäßig beschleunigte Translation:
dv
ds
dt
v = 2as
V
=m ∫ dv
nach a auflösen und einsetzen
2
ds
= m ∫ v dv
dt
V1
→
W beschl = m s v²/2s
W beschl = ½ m v²
W beschl =
1
m v 22 − v12
2
(
Achtung: gilt nur, wenn
Immer verwenden, wenn
Anfangsgeschwindigkeit = 0
Anfangsgeschwindigkeit ≠ 0
Bsp:
Wbeschl
m = 2 kg
v1 = 5 m s
v2 = 6 m s
(MD - 6)
)
} ∆ v =1 m s
Wbeschl ~ v 2
1
Wbeschl = m (36 − 25) = 11 J
2
nicht
=
1
m ⋅12 = 1 J !
2
v
Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden,
nicht die beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren !
Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die Differenz gebildet werden.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
48
Spannarbeit (Verformungsarbeit)
z.B. bei Feder
r
s1
Ws
r r r
Aus W = ∫ F(s) ⋅ ds
r
so
Ws ~ x
2
mit s = x
F = F(x) = FF = - D x (Hooke)
x
D : Federkonstante, [D] = N/m
x2
1
D [x ²] xx12 x 22 − x 12
2
(
→ Ws = − D ∫ x dx = −
x1
Spannarbeit
)
x2
Ws = ∫ FF dx = ±
x1
1
D x 22 − x12
2
(
)
(MD - 7)
wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflußter Länge
x = x2 - x1: aktuell gedehneter Weg
+ aus Sicht von außen
- aus Sicht der Feder
- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit
Beispiel : Kraft ist wegabhängig ∼ x; Spannarbeit
1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen W s = ½ D x² = ½ D
2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen
2
W s = D∫ x dx =
1
2
1
1
3
D [x ²] 1 = D (4 − 1) = D
2
2
2
nicht additiv wie bei Hubarbeit !!
Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
49
Reibungsarbeit
Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe Schiefe Ebene: v geringer, da Reibung
Reibung
Fr
Beispiel
Festkörper
µ FN
Flüssigkeit
∼v
Strömungswiderstand (laminar)
Gas
∼ v²
Luftwiderstand (turbulent)
Verformung
deform. Medien
Gleitreibung, FN : Auflagekraft, schiefe Ebene
Feder spannen
(MD -
8)
W r = Fr s
Reibungsarbeit
(MD - 9)
bei wegunabhängiger Reibungskraft
Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt.
Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben Formel 1
- Schutzschild Raumfähren
- Mikrowellenherd
d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft
Fb - Fr - Ft = 0
(MD - 10)
Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung
Reibungsphänomene komplex: - Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren
- Luftwiderstand Golfball
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
50
Beispiel Auto:
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ...
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h : Differenz höhere
Luftreibung
Höchstgeschwindigkeit hängt nur vom Luftwiderstand ab
- Luftwiderstand
(Richtwerte)
Geschwindigskeitsbereich
Reibung
< 50 km/h
vernachlässigbar
50 - 100 km/h
'naja', typ. ~ v
> 100 km/h
typ. ~ v²
2.4.1.3 Energie
Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit
umgewandelt werden kann.
Energiesatz
Eges = const.
(MD - 11)
[E] = J
Eges (To) = Eges (T1)
Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt
sich von alleine ab und springt hoch !
Einheit wie Arbeit
→ Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt
werden!
→ kein Perpetuum mobile
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
51
Energie -
Formel
Beispiel
Arten
Kinetisch
Ekin = ½ m v²
Ekin bei Autounfall
Erot = ½ J ω²
Motor beim Auslaufen
Epot = m g h
Freier Fall
Energie-
Energie-
Speicher
Transport
(Translation)
Rotation
Schwungrad
(2.4.2)
Potentiell
(Erde)
Speicher-
Pumpstation
kraftwerk
Reibung
Siehe Arbeit
Luftwiderstand
Wärme
Ew = c m ∆T
Kochen
Wasser-
Fernwärme
speicher
Elektrisch
Eel = U I t
Leiter = Transport von
Akku
Energie !!
Chemisch
Strahlung
E∼ω
Hochspannungsleitung
Reaktionswärme
Benzin
Tank
Photosynthese,
‘Sonne’
em. Wellen
Solarenergie,
?!?
IR-Thermometer
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
52
Beispiel Kinetische Energie
Setzt man die Kinetische Energie eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt sich
diese bei 140 km/h !!
Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert
ebenfalls quadratisch verlaufen könnte.
Daraus folgt dann ein doppelt so hohes Risiko, wenn die Geschwindigkeit von 100 auf 120
km/h gesteigert wird.
Kinetische Energie bei Autofahrt / -unfall
Ekin /%
(100%= 100 km/h)
400
350
300
250
200
150
~ v²
100
~v
50
physiologische Belastung ~v²*v²
0
100
120
140
160
180
200
220
v / km/h
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
53
Translativer Energiesatz
ohne Reibung
mit Reibung
Ekin(T0) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1)
(MD - 12)
Ekin(T0) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1)
Bem:
- Ereib ~ W reib
- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen
- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer
Abhängigkeit !
- gilt z. B. nicht in Wasserströmung! Ernergie von A nach B kann dort wegabhängig
sein.
Bsp.: Energieumwandlung Epot1 → Ekin → Epot2
a) Würfel im Freien Fall
a)
b)
Versuch :
E pot1
b) Würfel über schiefe Ebene
W
E
h
E kin
G
Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des
Gegenstandes G geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird.
Weitere Verlust durch Aufprall.
Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !
Versuch: Ball / Blatt Papier fallen lassen Ball schneller obwohl Epot gleich
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
54
pot2
Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand
a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1)
mit Er = F s
m g h = ½ m v² + k v² h
k : Reibungskoeffizient
→ v² (½ m + k h) = m g h
→
mg h
m
+ kh
2
v=
Extremfälle:
- keine Reibung (k = 0) :
v=
- große Reibung ( k → ∞ ) :
2 gh √
v→0 √
aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ???
Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier
als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige
Beschleunigung.
b) Kraftansatz
ΣF = 0
→
Fb - Fr - Ft = 0
→
mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt
‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber
Endgeschwindigkeit : a = v& = 0
mg - k v² = 0
→
Extremwerte:
v end =
mg
k
k → 0 : vend → ∞
k → ∞ : vend → 0
√
√
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55
Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall
50
v / m/s
40
30
v = const / a = 0
20
10
mit Luftwiderstand
ohne Luftwiderstand
0
0
20
40
60
80
100
Fallweg / m
v durch Luftwiderstand konstant : Beschleunigung a → 0
weiteres Beispiel Energieansatz:
Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)
Epot = Ekin
mG g h = ½ * (mw + mG) v²
→ v=
2 mG g h
mw + mG
v = v(h) !
Grenzfälle analog Kraftansatz
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56
2.4.1.4 Leistung
weiterer Begriff aus täglichem Leben
P=
„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. :
aus
P=
W
= Fv
t
W
Fs
ds
=
= F
= Fv
t
t
dt
[P] = W = J/s
(Normierung auf Zeit)
„früher“: Auto : PS ;
1 PS = 0,73 kW
Leistung („Arbeit pro Zeit“)
P=
'genaue' Formulierung
∆W
∆t
{
Durchschnitt
=
∆t → 0
dW
dt
{
(MD - 13)
Momen tan
Durchschnittsleistung
Pm =
∆W
∆t
aktuelle Momentanleistung
Pa =
dW
&
= W
dt
(Definitionen analog Kinematik Geschwindigkeit)
erweiterte Betrachtung
r r
d W d( F ⋅ s )
P=
=
=
dt
dt
r& r
F
⋅s
{
r r
+ F⋅ v
0 für F = const
kinetische und potentielle Leistung
Pkin =
Ppot =
d Wkin d ( 21 m v(t )² )
=
dt
dt
d Wpot
dt
=
d (m g x(t ))
dt
=
m = const
=
m = const
1 dv ²
m
= m v v& = m a v = F v
2
dt
mg
dx
= F x& = F v
dt
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57
Wirkungsgrad
η=
Pnutz
<1
Pgesamt
(MD - 14)
Pnutz = Pgesamt - Pverlust
Pnutz :
nutzbare, benutzte Leistung
z.B: Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit
Pgesamt :
Summe aller Einzelleistungen
z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ...
d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert η !
Bsp.: Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,3 t) von 0 auf 100 in 10s zu beschleunigen ?
Pm = ∆W kin /∆t = ½ mv²/ 9,2s = 55 kW ≈ 75 PS
Prospekt VW GOLF FSI 150 PS : ∆t = 9,2s → η ≈ 0.5
Wirkungsgradverminderung durch :
- Reibung
- Schaltzeiten
- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 115
PS ab
- ...
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58
2.4.1.5 Impuls
alltägliches Beispiel: Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung
Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel
Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander
Modellkörper : 2 Massepunkte
Impuls
[p] = kg m/s = Ns
r
r
p= mv
1424
3
Näherung m = const .
,
r r
p& = F
123
(MD - 15)
al lg emeiner Fall
r
allgemein: Vektor p
JAVA Applett:
- Elastischer und unelastischer Stoß
- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung)
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59
Einfachster Fall :
2 harte Kugeln prallen aufeinander
eine ist vor dem Stoß in Ruhe
a) Kraftansatz ΣF = 0
b) Energieansatz Eges = const
v = const. außer bei Zusammenprall
Ekin vor = Ekin nach + Edeformation
d.h. keine Beschleunigung Ft = 0
→ F1 + F2 = 0
1
½ m1v1² + ½ m2v2² = ½ m1v’1² + ½ m2v’2²
d p1
d p2
+
=0
dt
dt
d (p1 + p 2 )
= 0
dt
∫ d (p
Null)
( 1: vor, 2 nach Stoß)
→ p& 1 + p& 2 =
' : nach dem Stoß
dt
mit
+ p2 ) = ∫ 0
dt
=0
(für m = const)
→ p1 + p 2 = p'1 + p' 2 = c
p1 + p 2 = c
Impulserhaltung
d Eges
→ m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2
→ p1 + p 2 = const.
→
(Edeformation hier
r
∑ p = const.
(MD - 16)
i
i
Bsp.:
Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen →
Surfbrett bewegt sich vorwärts !
pStein
pStein = pSurfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt
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pSurfbrett
60
allgemeine Impulsdefinition
F=
aus (MD - 15)
1D, Vektoren ggf. ergänzen
d p d (m v)
& v + mv& = m
&
=
= m
{v + m
{a
dt
dt
Rakete
Newton
zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom
∆m
∆t
{
=
Durchschnitt
Anwendungen:
dm
dt
{
(MD - 15')
&
= m
akt.Momen tan wert
- Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit'
m
m
t
t
- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des
Treibstoffes
Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : I =
∆ Q dQ &
=
= Q
∆t
dt
rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h.
es ist 'egal', ob
- Masse (Mechanik)
- Ladung (ET)
- Wärme (Kap. 3)
- Wellenenergie (Kap. 5)
transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom.
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61
Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen):
Masse
Relevante
Stoß
Merkmal
Fall für
Bsp.
m1 = m2
Größe
v2 = 0
Elastisch*
‘v’ wird
v1’ = 0
Stahlkugeln, Billard,
weitergegeben
v2’ = v1
Reflexion an Wand
Materialeigenschaften
kleben aneinander, Bsp.
Unelastisch*
Gemeinsames v
v1’ = v2’
= v1/2
bleibt
Kugel in Schwamm.
Ekin wird in Verformung
umgewandelt → Wärme
Massenpunkte auf
konstant
Zentral
Vektor-
p
Gerade,
p ist hier ein Skalar
Modellkörper: Starre bzw
eigenschaften
Nicht zentral
r
p
deformierbar Körper
Billard, seitlicher Stoß,
p ist hier ein Vektor
p = dF/dt
ändert
m = m(t)
Rakete
sich
m ändert sich
→ Rakete gibt Treibstoff
ab, v nimmt zu
* : ideale Grenzfälle
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62
2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete
Kinematik / Kraft- / Energieansatz
Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse
- g = const., da niedrige Flughöhe
- keine Reibung
2 Antriebsphasen:
- mit Gasausstoß
- ohne ‘’
h
Antrieb
-slos
, nach Brennschluß
3 Flugphasen
a) beschleunigte Bewegung
b) Senkrechter Wurf nach oben
c) Freier Fall nach unten
b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn
Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und geschwindigkeit verwendet wird.
beschl.
senkr.
Bewegung Wurf
a
b
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freier Fall
t
c
63
a) Start :
beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf :
FAn - FG - Ft = 0
mit FAn : Startschub
FAn – mg – ma = 0
Startbeschleunigung : a S =
FAn
−g
m
bei Brennschluß (t = 5 s)
Geschwindigkeit : vBs = ast
Höhe
1
: hBs = /2 ast²
hier Fan = 2N , m = 0,1kg → as = 10 m/s²
vBs = 50 m/s, hBs = 125m
nach Brennschluß
b) Senkrechter Wurf
Max. Steighöhe: hmax = hbs + hsw
hsw
2
vbs
=
(z.B. aus Energiesatz v = 2 g h )
2g
= 125m
hmax = 250m
nach Gipfelpunkt
c) Freier Fall
aus Energiesatz bzw. Kinematik : v auftreff = 2 g hmax ≈ 70
m
s
tatsächlich geringer, da Reibung
aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz
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64
Impulsansatz
Grundlage aus (MD - 15’):  F =
d p d ( m v)
& v + m v& = m
& v + m a  (*)
=
= m
dt
dt
aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 :
& v + ma
0 = m
m(t)
x
& w
→ m(t ) v& = − m
m
vRakete
vGas = w
dv
dm
=−
w | ⋅ dt
dt
dt
(DGL 2. Sem.)
1
1
dv = −
dm | ⋅ ∫
w
m
1
w
∫ dv
= −∫
1
dm
m
v
= − ln ( m ) + C
w
Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = mo (Startmasse)
→ C = ln(mo)
→
m 
v = w ln  o 
 m 
mit m = m(t) z.B. m(t) = mo - kt > mBS
bis hierher: parallel zur Erdoberfläche
m 
bei Start nach oben : v = w ln  o  − g (h) t
m
Achtung g = g(h) !
max. Höhe: v integrieren, schwierig
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65
Modellrakete:
w = 1000 m/s, mo = 0,1 kg, mBS = 0,08 kg, t = 5 s
→ vBS = 173 m/s
aus Formelsammlung : hBS = 550 m
(50 m/s Kinematik)
(125 m Kinematik)
d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g)
zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz !
m 
Reale Raketen v = w ln  o 
m
w ≈ 3 km/s
1-stufig :
typisch:
mo
≈6
mBS
→ vend ≈ 2w
→ vBS ≈ 6 km/s
also schneller als Treibstoffausstoß !!
aber:
Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert vmin = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht
möglich, da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht
beliebig optimiert werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern
(Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) mit einer dreistufigen Rakete:
Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe:
M M
M
vB = w e ln  01 02 ... 0 Z
 MB1 MB 2 MBZ

 .

Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ :
M0
MB
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66
Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben
Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s.
Einstufenrakete
Dreistufenrakete
Nutzlast
Nutzlast MN = 0,04 t
MH = 0,04 t
3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t
Rakete
MR = 8,44 t
Treibstoff Mt = 42,20 t
2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t
1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t
ΣMR = 8,44 t ; ΣMT = 42,20 t
Startmasse M0 = 50,68 t
→ Startmasse M0 = 50,68 t
1. Stufe
Masse bei Zündung M01 = 50,68 t
Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t
∆v1 = 4,21 km/s
2. Stufe
Masse bei Zündung M02 = 2,68 t
Brennschlußmasse MB2 = 0,68 t
∆v2 = 3,71 km/s
3. Stufe
Brennschlußmasse MB = 8,48 t
Masse bei Zündung M03 = 0,28 t
Brennschlußmasse MB3 = 0,08 t
Brennschlußgeschwindigkeit
v BS = 2,7
km  50,68 
ln 

s
 8,48 
∆v3 = 3,39 km/s
Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe
vBS = ∆v1 + ∆v2 + ∆v3
vBS = 4,8 km/s
vBS= 11,31 km/s
Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde
erreichen, da die erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer
gedachten Erdoberfläche) bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes
sind bereits 11,8 km/s nötig, die kosmische Geshwindigkeit der Erde
(„Fluchtgeschwindigkeit“).
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
67
Raketenstart und Flugstabilisierung
Schwierigkeit beim Start : vo = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken !
besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt
SWP oberhalb Unterstützung : labil
SWP
Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff
Seilrolle
Kraft
SWP
SWP
Kraft
Kraft
SWP
Kraft
analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist
Seil :
'Auflagekraft'
SWP
Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung ( Triebwerk dreht sich – Vektorcharakter
des Impulses ) erfordert schnelle Winkelmeß und Regelstrecken.
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68
2.4.2 Rotation
Modellkörper: Starrer Körper
Versuch Fliehkraft
Versuch: Fliehkraftregler
Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere
Kugeln
bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe ?
2.4.2.1. Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Bsp:
Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht ,
daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft'
Zentripetalkraft
Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp
D
r
Praxis: meist nur Betrag interessant
Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender
Beobachter spürt (Fliehkraft)
Zentripetalkraft Fzp
Zentrifugalkraft Fzf
r
r
r
r
m v2
Fr = Fzp = m a = r
r
=
v =r ω
r
r
m ω² r = − FZf
(MD - 17)
Bem.: Fzp ~ ω²
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69
2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz
Modellkörper: starrer Körper
Translation Kraft F → M Drehmoment Rotation :
Drehmoment
m1
r
r
Mg = ∑ M i =
∑
r r
r i × Fi
r1
D
m2
r2
Herleitung eindimensional
1D : F = m a
rF=rma
|r
D
| a = rα (Winkelbeschleunigung)
r
m
→ M = (mr²) α = J α
J : Massenträgheitsmoment,
aus Tabellen bzw. experimentelle Bestimmung
r
bei zusammengesetzten Körpern : Mges =
r
r
M
∑ i = ∑ Ji α
Dynamisches Grundgesetz
[J] = kgm²
r
r
M = J α
(MD - 18)
ΣM=0
(MD - 19)
r
r
Vergleich Translation : F = m a
d’Alembertes Prinzip der Rotation
Vergleich Translation : Σ F = 0
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
70
Massenträgheitsmoment
hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen
Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen → Kapitel Schwingungen
Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen
r
J = ∑ mi ri 2 =
i
z
r2
∫ρr
dV
Vol
Kugel
r
massiv
Jx = Jy = Jz =
dünne Schale
y
2
mr2
5
Jx = Jy = Jz =
2
m r2
3
x
Vollzylinder
1
1
1
m r 2 Jy = Jz = m r 2 +
m l2
2
4
12
Jx =
z
dünner Stab (l >> r)
Jx =
1
1
m r 2 Jy = Jz =
m l2
2
12
dünner Scheibe (l << r)
1
1
m r 2 Jy = Jz = m r 2
2
4
Jx =
Hohlzylinder
ra
y
l
r
i
x
Jx =
1
m ra2 + ri2
2
(
)
Jy = Jz =
1
1 

m  ra2 + ri2 + l2 
4
3


dünnwandiger Hohlzylinder mit ra ≈ ri
dünner Ring(ra ≈ ri, l << r)
Jx =
1
1
m r 2 Jy = Jz = m r 2
2
2
z
Quader
l
Jx =
1
m b2 + h2
12
Jy =
1
m l 2 + h2
12
(
)
Jz =
1
m b2 + l2
12
)
h
y
x
b
(
(
)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
71
Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt
Bsp:
Kugel an Seil – Pendel
Starrer Körper
m
m
d
D
d
D
SWP
Satz von Steiner
Ja = JSWP + m d²
d : Abstand A - SWP
(MD - 20)
Bsp.: MP an gewichtsloser Stange Ja = m d² da JSWP = 0 (s.o.)
2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation
Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad
- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten
- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch
Untersuchung :
Ekin JoJo < Ekin Kugel
(da v geringer)
Wo steckt Energiedifferenz ?
Offenbar in der Rotation !
Epot → Ekin + Erot → Energiespeicher Rotation
Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen (warum gibt’s das nicht
mehr?)
Arbeit
Energieerhaltung
W rot = ∫Mdϕ
Ekin + Epot + Erot = const.
(MD - 21)
Rotationsenergie
Leistung
Erot = 1/2 J ω²
r r
P = M⋅ ω
(vgl. Translation)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
72
2.4.2.4 ‘Hookesches’ Gesetz bei Rotation : Torsionsfeder
Hier nur Beträge, Vektoren ggf. ergänzen
M
F
R
Kreisförmiger Querschnitt , ϕ klein
Verdrillung klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc.
Drehmoment M ∼ ϕ (Translation F ∼ x)
bzw.
F∼ϕ
( M = r x F)
4
bezogen auf Materialstärke : M ∼ ϕ R
4
4
R bringt "viel Steifigkeit" : - R = 1 cm → M ∼ 1 = 1
4
- R = 1,2 cm → M ∼ 1,2 = 2
Drehmoment
Mtor = ± D ϕ
(MD - 22)
Arbeit
W tor = ∫ Mdϕ = ½ D ϕ²
D ≠ D(ϕ)
Vergleich Translation : FFeder = ± D x ; W Feder = ∫ Fdx = ½ D x²
D ≠ D(x)
2.4.2.5 Impuls bei Rotation : Drehimpuls
Drehimpuls [L] = kg m² /s
r
r r r
L = J ω = r ×p
Drehmoment - Drehimpuls
r r&
M =L =
r
&ω
J{
r
+ Jα
(MD - 23)
0 , falls J = const .
Drehimpulserhaltung
v
∑ L = const.
Bsp. Drehimpulserhaltung :
- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff
- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
73
2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung
hiermit erhält man aus der Translation die Formeln der Rotation durch
„Buchstabentauschen“:
s→ϕ
v→ω
a→α
m→J
F→M
p→L
(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)
Translation
Variable/Formel
Rotation
Variable/Formel
Weg
s
Winkel
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
ω
Beschleunigung
a
Winkelbeschleunigung
α
Masse
m
Massenträgheitsmoment
ϕ=s/r
J = Σ mr²
Kraft
F = ma
Drehmoment
M = Jα
Kraftansatz
ΣF = 0
Drehmomentansatz
ΣM = 0
Impuls
Impulserhaltung
Arbeit
p = mv ; p& = F
Σp = const.
W = ∫ Fds
Drehimpuls
L = Jω ; L& = M
Drehimpulserhaltung
ΣL = const.
Arbeit
W = ∫ Mdϕ
Energie
Ekin = 1/2 mv²
Energie
Ekin rot = 1/2 Jω²
Leistung
P=Fv
Leistung
P=Mω
entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
74
3. Schwingungen
Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)
A
mechanische Schwingungen: periodische Bewegung
periodisch = sich wiederholend
t
Bsp: Pendel, Feder
Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.
Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik auf:
- Autofederung
- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht
- EM - Schwingungen → Funkwellen
- Schwingungen bei Regelvorgängen
- Gezeiten
- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...
-...
- Wirtschaft (Zinsen, Aktien, ...)
Zinssatz / %
Hypotheken-Zinssatz
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
1960
1964
1968
1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
Jahr
Fragen:
- Warum haben die (Zinssatz-) ‚Schwingungen’ ca. 2000 aufgehört ?
- Warum ist der Zinssatz 2005 auf historischem Tiefstand ?
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
75
3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel
Vorkenntnisse :
- Kräftezerlegung
- Bewegung von Massepunkten
- Newtonsche Gesetz
- trigonometrische Funktionen
Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen
Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:
Mathematisches Pendel
Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld
Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :
Beobachtung:
- periodische Bewegung um Ruhelage
- Auslenkwinkel ändert sich
- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da
keine anderen Kräfte von außen wirken
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
76
Mathematisches Pendel
mit relevanten Kräften und Definitionen
γ
l
JAVA Applett: Fadenpendel
m
Ft
s
γ
FRK
γ
FG = m g
Eigenschaften des Pendels
- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage
- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l
- punktförmige Masse m
- Winkel γ aus Ruhelage
- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l
- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge
- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g
Vorgehen zur Bewegungsgleichung
- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile
- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen
- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende
Kraft FRK
in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich
- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel γ
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77
Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : Σ F = 0
1) Fb - Ft = 0
2) beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel
Rückstellende Kraft
Fb = FRK = m g sin γ
Trägheitskraft
(SW - 1)
Ft = m &s&
(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)
Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel
s=-lγ →
&s& = − l &γ&
Minuszeichen : entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel
l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel
Trägheitskraft
in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel
Ft = − m l &γ&
(SW - 2)
3) einsetzen (m fällt heraus)
Bewegungsgleichung
l &γ& + g sin γ = 0
(SW - 3)
gesucht : γ(t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel
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78
Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von ϕ und sinϕ kompliziert
für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus γ ungefähr γ (im Bogenmaß)
y
Vergleich: y = sin(x) zu y = x
0,6
y=x
0,5
0,4
y = sin(x)
10°
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x /rad
0,6
bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich
kleine Auslenkung
sin γ ≈ γ
[γ] = rad
→ rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel
FRK ∼ γ
Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sinγ durch γ , ergibt
Harmonische Schwingungsgleichung
&γ& +
g
γ =0
l
(SW - 4)
Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen
Auslenkungen
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79
Als Lösung gesucht :
periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : &f& ~ f
Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion
Experimente
•
Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der
zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel →
Sinusfunktion
•
Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleinigungsmesser) zeigt ebenfalls
einen sinusförmigen Verlauf
Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel)
kann die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !
also Cosinus, da cos(0) = 1
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80
Lösungsansatz
γ(t) = γo cos(ωot)
für zeitabhängige Winkeländerung γ (t)
mit
(SW - 5)
- γo : Anfangsauslenkung
- ωo : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)
Schwingungsdauer T =
1 2π
ω
=
;f = 0
f
ω0
2π
Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:
zuerst ableiten
Geschwindigkeit
ändert periodisch
γ& = − ω o γ o sin(ω o t )
(SW - 6)
Beschleunigung
a = &γ& = − ωo2 γ o cos(ωo t ) = − ω2o γ
14243
(SW - 6')
γ
Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen !
Einsetzen in (SW - 4) − ωo2 γ +
g
g
γ = 0 → ω20 =
l
l
Eigenfrequenz ωo
ωo =
der Mathematischen Pendels
g
l
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(SW - 7)
81
Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da
meßbar
γ
γ
T
t
ωT = 2π
Schwingungen artverwandt mit Rotation :
- Eine Periode entspricht 2 π, hier ω * T Periodendauer ≡ Schwingungsdauer T
- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied
aus SW - 7 folgt damit
Schwingungsdauer
des Mathematischen Pendels bei
TMP = 2 π
kleinen Auslenkungen
l
g
(SW - 8)
Schwingungsdauer
- proportional zur Wurzel aus Pendellänge
- unabhängig von Masse und Amplitude
Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!
Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s
Folgerung:
Harmonische Schwingungen können durch eine Cosinusfunktion mit einer
bestimmten Frequenz beschrieben werden.
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82
Zusammenfassung
Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):
&γ& +
g
γ=0
l
ω20 =
2π
g
; T=
l
ω0
Lösung: γ = γ 0 cos (ωo t )
Merkmale idealer harmonischer Schwingungen
- Gleichung &x& + ωo2 x = 0
- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude
- Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) FRk ~ x
- ωo beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systemes
- ωo ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems
Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden
ebenfalls mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels
Koeffizientenvergleich erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer
reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)
Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.
Hinweis:
Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;
mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.
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83
3.2 Übersicht
allgemein: periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)
Bsp. Pendel: Epot → Ekin → Epot
(trotzdem Kraftansatz verwenden !)
Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente
Anzahl der Komponenten
Form
Ausbreitung
Bsp
wenige
Schwingung
ortsfest
Pendel
1 Körper
Eigenschwingung ωo
im Körper
Stimmgabel
viele
Wellen
Fortpflanzung
Schallwelle
Schwingungsart
harmonisch
Anharmonisch
Mathematische Beschreibung
1 Sinus bzw. Cosinus
beliebig
Bsp:
Pendel,
Rechteck, Ebbe, Flut
LC - Schwingkreis
Pulsschlag, EKG
Schwingungsart
ungedämpft
gedämpft
Annahmen
ideal
mit Verlusten, z.B. Reibung
Bsp
Math. Pendel
Luftwiderstand, Federpendel
Schwingungsart
frei
erzwungen
Merkmal
- System bleibt sich selbst überlassen
- äußere Energiezufuhr
- abklingende Amplitude
- Resonanz
Oszillator
Resonator
Bez.:
Schwingungsüberlagerung
Addition von Schwingungen 1D oder vektoriell
Frequenz
Richtung
parallel
senkrecht
Gleich
Verstärkung / Auslöschung
Lissajous
Verschieden
Schwebung
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84
3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen
3.3.1 Physikalisches Pendel
wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz Σ M = 0 → MRK - MT = 0
Mathematisches Pendel
Physikalisches Pendel
Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt
D
γ
D
r
γ
r
SWP
SWP
FRK
γ
FG
Mathematisches Pendel (mit Drehmomentansatz ΣM = 0, da quasi Rotation, s. o. ):
- Drehmoment MT = J &γ&
- MRK = r × F = − r m g sin γ
- Satz von Steiner: JA = Js + mr²
(MD - 16)
- Aufhängepunkt – Schwerpunkt = r
Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’
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85
dann analog zu (SW 1-4) :
JA &γ& + r m g γ = 0
→ &γ& +
rmg
γ=0
Ja
123
vgl. &γ& + ωo2 γ = 0
ω 2o
Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels
ω o2 =
bei kleinen Auslenkungen
rmg
rmg
=
JA
Js + m r ²
(SW - 9)
Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):
Massepunkt: Js = 0 → ωo =
g
√
r
Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten
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86
3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit
Energieansatz
Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbed. v oder h
→ 1/2 mv² + mgh = const.
mit - h = l (1− cos γ )
γ
l
- γ klein: cosγ ≈ 1 – 1/2 γ² → h ≈ l γ² / 2
v=0
nur E pot
- s = l γ und v = l γ&
h
Vorteile:
v = v max
2
- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v
nur E kin
E kin + E pot
- Ansatz einfacher
→
Schwingungsgleichung
des Mathematischen Pendels bei kleinen
s& ² +
Auslenkungen aus Energiesatz
g
s² = const
l
(SW - 10)
Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot)
ωo² so² sin²(ωot) + g/l so² cos²(ωot) = const
mit ωo² = g/l
g/l so²[sin²(ωot) + cos²(ωot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1 √
g
Vgl. Kraftansatz: &x& + x = 0 mit (SW-10)
l
aus (SW – 10) → s& ² + g s² = const
l
Energieansatz
d
dt
g
→ 2 s& &s& + 2 s s& = 0
l
→ &s& +
g
s=0
l
- auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.
- nicht üblich
- inkompatibel mit LC-Schwingkreis
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87
3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung
Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)
- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kin. Energie)
- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kin. Energie)
Allgemeine Harmonische
&x& + ωo2 x = 0
Schwingungsgleichung
Lösungsansatz :
(SW - 11)
x(t) = c1 cos(ωot+ϕ) + c2 sin(ωot+ϕ)
c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen
Allgemeine Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung
x(t ) = x o cos(ωo t + ϕ ) +
Mit
vo
sin(ωo t + ϕ )
ωo
(SW - 12)
- xo : Anfangsamplitude
- vo : Anfangsgeschwindigkeit
- ωo : Eigenfrequenz
- ϕ : Phase
- Geschwindigkeit v ~ x&
- Beschleunigung a ~ v& ~ &x& = − ωo2 x (ungleichm. beschleunigte
Bew.)
In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :
- nur Anfangsauslenkung : vo = 0
- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0
- gemischt : vo und xo ≠ 0
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88
3.3.4 Komplexe Lösung der Harmonischen
Schwingungsgleichung
eleganterer Lösungsansatz im Hinblick auf gedämpfte und erzwungene Schwingungen:
Harmonische Schwingungsgleichung
&x& + ωo2 x = 0
x = x o e j ωo t
komplexer Lösungsansatz
Ableitungen
x& =
d j ωo t
e
= j ωo e j ω o t = j ωo x
dt
&x& =
d² j ω o t
e
= − ω 2o e j ω o t = − ω o2 x
dt ²
(
(
)
)
√
- so geht’s am schnellsten und einfachsten !
- es werden alle Fälle aus (SW - 12) erfaßt, da e j ω o t = cos (ωo t ) + j sin(ωo t )
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89
3.3.5 Beispiele Harmonischer Schwingungen
3.3.5.1 Federpendel
Feder anfänglich gedehnt
Kraftansatz: Σ F = 0
1) Fb - Ft = 0 → FRK - Ft = 0
FFF = FRK
Ft
2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung
Ft = m &x&
3) &x& +
D
x=0
m
{
Ruhelage 0
x
ω 2o
Feder anfänglich gestaucht
2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x
Ft = − m &x& , da in -x - Richtung
Ft
FFF = FRK
Rest identisch
Probe: - m → ∞ : a → 0 √
Ruhelage 0
x
-D→0:a→0√
JAVA Applett: Federpendel
gilt auch für senkrechte Pendel
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90
3.3.5.2 Torsionspendel
hier gilt nicht v = ω r ,da &γ& nicht konstant
Hier: ωo = γ&
D
Herleitung siehe Übungsaufgabe
mit : MRK = - D γ und MT = J &γ& folgt :
&γ& +
J
γ
D
γ=0
J
{
Ruhelage
ω 20
3.3.5.3 LC – Schwingkreis
siehe E- Technik
UC
&I& + 1 I = 0
LC
{
C
ω 20
L
I
UC ebenfalls periodisch !
JAVA Applett: Elektromagnetischer Schwingkreis
3.3.5.4 Flüssigkeit in U-Rohr
siehe Übungsaufgabe
d' Alembert:
FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)
FT =
m beschl
0
mges &z&
Flüssigkeit: mFL = ρ A h
FRK
mges = ρ A l , l : Gesamtlänge
m ges
mbesch = 2 ρ A z (2, da über- & unterhalb z = 0)
g
→ &z& + 2 z = 0
{l
z
Ft
Vgl. Mathematisches Pendel ωo2 =
g
l
ω o2
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91
3.3.6 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen
(nur Beträge)
Translation
Rotation
Ansatz
ΣF=0
ΣM=0
Variable
Weg x
Winkel γ
Rücktreibende Komponente
FRK = cT x
MRK = cR γ
Trägheitskomponente
FT = m &x&
MT = J &γ&
Eigenfrequenz
Bem.:
ω 2o =
cT
m
ωo2 =
cR
J
- Rücktreibende Komponente ∼ Auslenkung
- Frequenz unabhängig von Amplitude
3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen
Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit
Reibungsphänomene siehe Dynamik
Reibungsarten FR
Gleitreibung
viskos
Newton
FR proportional
Normalkraft
Amplitude
lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar
v = x& = γ&
typ. exponentielle Abnahme (*)
v2
Abnahme, DGL schwer lösbar
(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET !
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92
Bsp: Viskose Reibung
z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. FR ~ x& =ˆ v
d'Alembertscher Ansatz
ΣF = 0
Ft + FR + FRK = 0
Reibungskraft, siehe Tabelle
Mechanisches System :
&x& +
(SW - 13)
b
x& + ω02 x = 0
m
{
2δ
mit
- b : Reibungskonstante
- m : Masse
Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient :
→
δ=
b
2m
&x& + 2 δ x& + ω 20 x = 0
Lösung der DGL (Mathe II, hier nur zur Info)
Ansatz:
einsetzen:
x(t) = xo eλ
t
λ² + 2 δ λ + ωo² = 0
"charakteristisches Polynom"
Lösung der Quadratischen Gleichung: λ² + 2 δ λ + ωo² = 0
λ1/ 2 = δ ± j
ω2o − δ ²
142
43
(*)
ωD < ω o
Folge: Frequenz einer gedämpften Schwingung ist kleiner als die der Ungedämpften !
Kontrolle: keine Dämpfung b = 0 ; λ = j ωo √ (siehe Ansatz)
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93
3 Fälle aus (*)
Bed:
Schwingung
Bem.
Schwingfall
ωo > δ
ja
Kriechfall
ωo < δ
nein
Wurzel komplex
Aperiodischer Grenzfall
ωo = δ
nein
Wurzel Null
Wurzel positiv
(nur Dämpfungsanteil)
Amplitude
Schwingung mit Reibung: Dämpfung
t
Schwache Dämpfung
Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Einhüllende bei schwacher Dämpfung (Abklingen)
Schwingfall - gedämpfte Schwingfrequenz kleiner als Eigenfrequenz ωD = ω02 − δ 2
- exp. Abnahme (Einhüllende) der Amplitude : x ( t ) = x o ⋅
−δt
e
{
jωD t
⋅ e
{
exp . Abnahme Schwingung
- Wann ist Schwingung (Amplitudenverlauf ~ e − δ t ) abgeklungen ?
0
zur Vereinfachung : t = 0 : e = 1
-5
für t > 0 : e ≈ 0,007 d.h. δ t = 5 ist Restamplitude kleiner 1%
→
Abklingdauer
Tabkling =
Versuche :
5
δ
(SW - 14)
- LC-Schwingkreis
- Pohlsches Drehpendel
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94
3.5 Anharmonische Schwingungen
2
Bsp: nichtlineare Feder mit Kraft - Weg-Zusammenhang : F = -D x + n x + ...
siehe auch Statik
analog: nichtlineare Transistor-Kennlinie (Ergebnis: Klirrfaktor bei Verstärkern)
Schwingungsgleichung
&x& + ωo²x + c x2 = 0
(SW - 15)
x(t) = x1 cosωot + x2 cos2ωot
(SW - 16)
Lösung
harmonisch + anharmonisch
Ergebnis : Frequenzvervielfachung
Einfluß eines Nichtlinearen Terms (b) in Abhängigkeit von der Signalamplitude
Klein
Groß
Ampltitude
Ampltitude
8
30
6
25
20
4
15
2
10
0
0
2
4
6
8
10
5
-2
0
-4
-5
x/t
-6
x (Eingang)
y=ax + bx² (Ausgang)
-10
0
2
4
6
8
10
x/t
x (Eingang)
y=ax + bx² (Ausgang)
Signalverzerrung am Ausgang deutlich doppelte Frequenz am Ausgang deutlich
'erkennbar' !
'erkennbar' !
Anwendung: Frequenzverdopplung bei Mikrowellengeneratoren und Lasern
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95
3.6 Erzwungene Schwingungen
Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System
Versuch: Drehpendel
aus Kraftansatz
Schwingungsgleichung
für erzwungene Schwingungen
&x& + 2 δ x& + ωo2 x = Fext
(SW - 17)
Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u.
- Fext = 0 : Freie, gedämpfte Schwingung (s.o.)
- Fext = 2 δ x& : Kompensation der Reibung durch Äußere Kraftzufuhr
z.B. schaukelndes Kind bei konstanter Amplitude
anwachsende Amplitude : Resonanz s.u.
Zeitverhalten
Fext
Kurzzeitig, einmalig
Bsp. Pendel
Fext
„Anschub“- Anfangsbed.
Danach gedämpfte
(‚Schlag’)
Schwingungen
t
Permanent
Fext
z.B. Stimmgabel, Börsencrash
Dauernde Auslenkung
Schwingungsdauer T = ∞
z.B. Festklemmen
t
Periodisch
Wichtigster Fall
Fext
Anregung mit Eigenfrequenz
bzw. „beliebig“
das ist Resonanz
t
Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man
alles Systeminformationen wie ωo und δ
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96
3.6.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit Sinusanregung
Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis
JAVA Applett: Erzwungene Schwingungen (Resonanz)
Schingungsgleichung mit
Dämpfung und Äußerer Anregung
Komplexer Lösungsansatz :
&x& + 2 δ x& + ω20 x =
x = x 0 e j ωext t
Fext j ωext t
e
m
(SW - 18)
(Rechnung hier rein 'informativ , siehe Mathe
II)
(
)
einsetzen:
x 0 − ω2ext + j 2 δ ωext + ω02 =
→ Maximalamplitude :
x0 =
Resonanz ω0 = ωext
Re(x0):
Fext
m ω − ω2ext + j 2 δ ωext
(
2
0
Fext
m
)
Fext
2 δ m ω ext
x0 =
Dämfung → 0 bedeutet Amplitude → ∞ , dies nennt man
'Resonanzkatastrophe'
SchwingungsAmplitude
Erzwungene Schwingungen
Resonanzkatastrophe
Schwache Dämpfung
Mittlere Dämpfung
Starke Dämpfung
0
2
4
6
8
10
12
14
Eigenfrequenz hier 10 Hz
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
16
18
20
Erregerfrequenz /Hz
97
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
98
Resonanzen
- vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.)
- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis)
Meßtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz
Beispiel Schiffsantrieb:
Video Tacoma - Bridge
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
99
Anwendung: Moleküle
Berechnung von Bindungsgrößen durch Anregung
mit em-Wellen geeigneter Frequenz (meist IR) und
Messung der Absorption
→ Bestimmung der Resonanzfrequenz und Berechnung der Bindungs- (= Feder-)
Konstanten
aus &x& +
D
x = Fext (ω)
m
{
ω 2o
’beliebige’ Anregung mathematisch schwierig!
„Dasselbe gibt es in der E-Technik als (R) LC – Schwingkreis“
… praktische Anwendung:
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
100
4. Wärmelehre
Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘
ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau
→ physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig
4.1 Temperatur (Temperature)
Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen
[T] = K
Vergleich Kelvin - °C
K
absoluter Nullpunkt
°C
0
-273
77
-196
Schmelzpunkt H2O
273
0
Siedepunkt H2O
373
100
Siedepunkt N2
Schmelzpunkt Eisen
Sonne innen
Sonne außen
1.800 K
7
10 K
3
6 * 10 K (siehe Kap. Wärmestrahlung)
Der „Erfinder“ & „Konkurrenten“ Celsius und Fahrenheit
^
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
101
Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification)
•
Betriebstemperatur (Operating Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann
•
Lagertemperatur (Storage Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann,
es ist hierbei nicht eingeschaltet und muß vor dem Einschalten in den
Betriebstemperaturbereich gebracht werden.
Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft, die
Temperatur im Inneren liegt höher.
Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C
Typische Betriebstemperaturen :
Bezeichnung
Commercial
Industrial (indoor)
Industrial (outdoor)
Bereich /°C
+5 ... + 50
0 ... +70
25 ... +75
Automotive
-35 ... +85
Military
-55 ... + 125
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
102
Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen:
Zustandsgröße
Anwendung (Beispiel)
Volumen
Flüssigkeits-, Gasthermometer
Längenaus-
Bimetall-Thermostat
dehnung
(Kaffeemaschine)
ungleiche
Thermoelement
Metalle
(Verfahrenstechnik)
Widerstand
Pt100 – Meßtechnik (Industrie)
'Farbe' des
Pyrometer (rotglühender Stahl),
emittierten
siehe Diagramm
Ausführung (Beispiel)
Lichtes
physikalisch –
Temperaturstreifen
chemisch
- Flüssigkristalle reversibel
- chemisch irreversibel
(max. Temperatur)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
103
4.2 Kalorimetrie (Calorimetry)
Wärmemenge (Heat Quantity)
Q = c{
m ∆T
[Q] = J ('Energie')
mit
(WL - 1)
C
m : Masse, [m] = kg
c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte s.u.
C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m)
∆T : Temperaturdifferenz, [T] = K
Anmerkungen
- eigentlich müßte die Formel ∆Q lauten
- Q nicht proportional ∆T falls Phasenübergänge !
Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur
Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch
(2. Hauptsatz Thermodynamik)
Mischungstemperatur
Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc.
miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der
Energieerhaltung ein:
mit m : Masse
c : spez.Wärmekapazität
T : Temperatur vor Mischen
Beispiel
TMisch =
c 1 m1 T1 + c 2 m 2 T2 + ...
c 1 m1 + c 2 m 2 + ...
(WL - 1')
heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen:
4,2
TMisch =
kJ
kJ
⋅ 1 kg ⋅ 353 K + 4,2
⋅ 1 kg ⋅ 293 K
646 K
kgK
kgK
=
= 323 K ≡ 50 °C
kJ
kJ
2
4,2
⋅ 1 kg + 4,2
⋅ 1 kg
kgK
kgK
Übungsaufgabe: Welche Temperatur messen Sie, wenn Sie in 1l 80°C warme Luft einem
10g schweren Eisen-Temperaturfühler mit der Temperatur von 20°C bringen?
‚Unberechenbar’ : Ort und Temperatur der einzelnen Wassermoleküle zu jedem Zeitpunkt
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
104
Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work) → Wärme (Heat)
z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : W el = U I t = Q
zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit:
U I t = c m ∆T → ∆T ~ t
Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) !
Gründe:
- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ...
- mögliche Phasenübergänge
Die Meßkurve läßt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied
Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel
T /°C
lineare Zunahme
Gleichgewichtstemperatur
50
45
Messung
40
35
exp - Fit
30
25
0
10
20
30
40
50
60
T nach Einschalten /min
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
105
Bsp.: Kinetische Energie in Wärme
Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend)
Ekin → Q
→
1
m v2 = Q
2
Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ?
aus (WL - 1)
Q = c m ∆T → ∆T =
Werte:
Q
cm
mauto = 1000 kg
mBremsscheibe = 2 kg
v = 30 m/s → 0 m/s (Achtung, siehe W kin)
ceisen = 500 J/kgK
→
∆T =
mAuto v 2
2 c mBremsscheibe
Einheiten:
→
Achtung:
kg2 m2 K
=K
s 2 J kg

kg m2 
 J =

2
s


∆T ≈ 450 K
Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw.
bei Autorennen mit vielen Kurven !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
106
4.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity)
es gilt:
- cp (p = const)
- cV (V = const)
- c = c(T)
- c(0K) = 0
für Festkörper und Flüssigkeiten cp ≈ cV ≈ c
für Gase
cp > cV
Material
c/
Eisen
J
@ T ≈ 300 K
kg K
500
Holz
2.000
Wasser
4.200
Luft
cp
1.000
cV
720
Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente
(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß)
Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß
C=cm
mit C = C1 + C2 + ...
=
∆Q
∆T
Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell
bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
107
Weitere Wärmekapazitäten
Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß
C=cm
mit C = C1 + C2 + ...
=
∆Q
∆T
Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell
bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet
molare Wärmekapazität
cmol =
C
n
bzw. C = cmol n
n : Stoffmenge [n] = mol . Dies ist eine der 7 Basisgrößen !
Allgemeine Gaskonstante :
R = cpmol - cvmol
Dulong-Petitsche Regel für fast alle Festkörper bei 20 °C :
cmol = 3 NA kB ≈ 25
J
K mol
mit Avogadro-Konstante NA = 6 . 10
23
Boltzmann Konstante kB = 1,4 . 10
1
mol
-23
J
K
d.h. bei Raumtemperatur sind sich die Festkörper relativ ähnlich !
Beispiele : Eisen Fe :
0,056 kg/mol → 1 kg ≡ 18 mol
25
.
.
→ c 1kg = cmol 18 mol → c =
J
⋅ 18 mol
kJ
K mol
= 0,45
vgl. Tabelle !
1 kg
K kg
analog Aluminium (Al) 0,027 kg/mol → c = 0,9
kJ
K kg
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
108
Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder
anderen Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle.
Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien
Hier nur ungefähre Werte aufgeführt !
Spez. Wärmekapazität (300K) /
Luft : 1
kJ
kg K
Aluminium
Eisen
Gold
H20
0,90
0,45
0,13
4,2
650
1.500
1.060
0
400
280
70
967
946
205
2.500
2.700
2.700
100
11.000
6.300
1.700
2.250
23
12
14
kJ
kg K
Schmelztemperatur /°C
spez. Schmelzwärme q
/
kJ
kg
Wärmemenge, um 1 kg von
Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ
Siedetemperatur /°C
spez. Verdampfungswärme r /
kJ
kg
linearer Ausdehnungskoeffizient α /
Volumenausdehnungskoeffizient
10 −6
K
γ /
330
1
K
Festkörper
10
-5
Flüssigkeiten
10
-4
Gase
10
-3
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
109
Bsp.: Geräteerwärmung
Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte
Temperatur ?
Leistung am Transistor (TO-3, Metall): ∆U = 3V , I = 1A
Kunststoffgehäuse 1l Luft , ρ = 1,2 g/l
To = 25°C, Tmax = 75°C -> ∆T = 50K
W elektrisch
=
QWärme
UIt
=
c m ∆T
→
∆T =
Q
cm
→
t=
t=
c Luft mLuft ∆T
UI
1000 ⋅ 0,0012 ⋅ 50
s = 20 s
3⋅1
stimmt das ???
- Einheit: [ t ] =
Bem: -
J kg K 1
Ws
=
=s
kg K 1 1 V A
W
☺
t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse
(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses
vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet !
(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel)
-
Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g):
t=
(c M mM + c K mK
+ c L mL ) ∆T
U ⋅I
=
(450 ⋅ 0,01 + 1000⋅ 0,1 + 1000 ⋅ 0,0012)⋅ 50 s
3
≈ 1800 s = 30 min .
(Ausklammern von ∆T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat)
- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
110
4.3.1 Phasen
fest
flüssig
gasförmig
Form
definiert
Beliebig
bel.
Volumen
def
def.
bel.
Bsp
Metall
Wasser
Luft
Weitere Phasen : flüssigkristalline (s.u.) und Plasma - Phase (s.u.)
Flüssigkristalle
R
X
ε n
R'
ε n
Director n
Chemie und mechanisches
anisotrope Eigenschaften
Äquivalent
- Dielektrizitätskonstante
- Brechungsindex
- Viskosität
- elastische Konstanten
Die flüssigkristalline Phase vereint das
Orientierungsvermögen der festen Phase mit
der Beweglichkeit der flüssigen Phase.
Degree of order
High
Typische Werte :
Solid
(crystal)
Tmelting ### - 100 °C
Tclearing ### + 100 °C
Liquid crystal
phase
Liquid
(isotropic)
Low
Melting
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
Clearing
T
111
Technische Anwendung:
Light
Polarizer
Glass 1 mm
ITO 50 nm
LC 10 µm
Alignment layer 50 nm
LCD
Aufbau eines Displays :
U
Spacer
Analyzer
Funktionsweise am Beispiel einer 90°-TN-Zelle (Twisted Nematic, Drillwinkel 90°)
Außen befinden sich Polari-
Light
sationsfilter, die nur eine
Schwingungsrichtung des
Lichtes durchlassen (Leuchtdichteverlust !). Sie sind auf
Glasplatten befestigt, die zur
Polarizer
Glass
ITO
Alignment
layer
Uon
mechanischen Stabilisierung
und als Trägermaterial für die
übrigen Schichten des Displays dienen. Eine dünne,
durchsichtige Halbleiter-
Alignment
direction
E
Orientation
of polarizer
schicht (ITO) steuert die
Anzeige. An der Orientierungsschicht
richten sich die stäbchenförmigen Flüssigkristalle aus. Die Polfilter sind parallel zueinander
angeordnet, die Orientierungsschichten jedoch um 90° gegeneinander verdreht; dies wird
durch Linien symbolisiert. Die Lichttransmission wird von der nur 10 µm dicken Flüssigkristallschicht gesteuert. Im spannungslosen Fall (links) wird die Polarisationsrichtung des
Lichtes durch die Helixstruktur der Flüssigkristalle so gedreht, daß der untere Polfilter den
Lichtdurchlaß verhindert. Das entsprechende Pixel erscheint dunkel. Legt man an beide ITOSchichten ein Spannung an, die größer ist als die Schwellspannung im Bereich von 2 V, so
richten sich die Flüssigkristalle parallel zum elektrischen Feld aus (links). Schon ca. 0,5 V
oberhalb der Schwellenspannung ist die maximale Ausrichtung erreicht. Die Polarisationsrichtung des Lichtes wird dann nicht mehr gedreht und es kann den unteren Polfilter
passieren: Das Pixel erscheint hell.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
112
Plasma
Unter 'Plasma' versteht man ein gasförmiges Gemisch von freien Elektronen, Ionen und
elektrisch neutralen Teilchen - Atomen, Molekülen und freien Radikalen. Alle Bestandteile
des Plasmas besitzen eine große kinetische Energie, sie sind miteinander jedoch nicht
unbedingt in thermischem Gleichgewicht. Die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen
den einzelnen Teilchen trägt wesentlich zu den Eigenschaften des Systemes bei.
Ein Großteil der im Universum sichtbaren Masse befindet sich im Plasmazustand, z.B. die
Sonne.
Eigenschaften des Plasmas:
- gasähnlich
- Quasineutralität, d.h. im räumlichen und zeitlichen Mittel ist ein Plasma elektrisch neutral
- kinetische Energie >> potentielle Energie durch lokale Ladungsunterschiede
- elektrische ~ und Wärmeleitfähigkeit vorhanden
- Emission von Strahlung
Erzeugung von Plasmen durch äußere Energiezufuhr durch
- Aufheizen
- Zufuhr von Strahlung oder elektrischem Strom
Anwendung Fusionsreaktor
bei der Verschmelzung z.B. 12 D + 12D → 32He + 10n werden 3,3 MeV = 5,3 10
-13
J frei.
Probleme hierbei sind die Plasmaerzeugung (Culomb-Abstoßung der Reaktionspartner
überwinden) und das freiwerdende Neutron.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
113
Anwendung: Plasmadisplay
Die derzeit (2000) einzige kommerziell verfügbare Flachbildtechnologie mit großer
Bilddiagonale (42’’, Auflösung 16:9 VGA) basiert auf dem Plasmaprinzip. Ihre
Funktionsweise verbindet die Lichterzeugung durch den Plasmaeffekt, wie er von
Neonröhren her bekannt ist, mit der Farberzeugung durch Phosphore. Die Effizienz der
Plasmadisplays liegt aber um etwa 2 Größenordnungen unter der von Leuchtstoffröhren.
Das in Plasmadisplays benutzte Xenon besitzt ein Ionisierungspotential von ca. 10 - 20 eV.
Bei einem Druck von etwa 50 kPa erzeugt das Xenon-Plasma eine ultraviolette
Vakuumstrahlung mit Peaks bei Wellenlängen von 148 nm und 172 nm. Die UV-Strahlung
dringt ca. 1 µm tief in die Phosphorschicht ein - im Gegensatz zu ca. 5 µm für Elektronen in
der CRT. Im Phosphor regt die UV-Strahlung geeignete Aktivatoratome im Kristallgitter an.
Diese geben daraufhin sichtbares Licht ab, wobei die typische Abklingzeiten zwischen 1 und
10 ms liegen. Durch passende Materialwahl lassen sich somit RGB-Farben erzeugen.
Anders als bei der CRT muß das Licht der Plasmaanzeige die Phosphorschicht nicht
durchdringen, da es auf der Betrachterseite erzeugt wird. Die einzelnen Pixelspalten sind
durch Trennwände abgeteilt, um ein Übersprechen zu vermeiden.
Verglichen mit LCD besitzen Plasmabildschirme einen größeren Blickwinkel. Zudem sind sie
videotauglich, da sie eine höhere Schaltgeschwindigkeit haben. Nachteilig bei
Plasmadisplays sind ihr großes Gewicht und ihr hoher Stromverbrauch sowie eine RGBPixelgröße, die mit Abmessungen von etwa 1 mm rund dreimal so groß ist wie bei der LCD
und CRT. Für Anwendungen mit großen Betrachtungsabstand und geringer Pixelzahl, wie
etwa beim Fernseher, spielt dies nur eine untergeordnete Rolle. Für hochauflösende CADAnwendungen sind Plasmadisplays indes ungeeignet.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
114
Licht
Zeilen- Halteleitung
(ITO)
Glas
Isolator
MgO
Ne:Xe
Gas
'Barrier Rib'
Phosphor
Spaltenleitung
~ 0,3 mm
Pixel eines Plasma-Displays: Zur Anteuerung von Großdisplays wird eine Wechselspannung
von etwa 500 V und 50 kHz verwendet. Zwischen Zeilen- und Halteleitung liegt ständig eine
subkritische Spannung, welche als Oberflächenladung wirksam wird. Um das Plasma zu
zünden, steuert man zusätzlich die Spaltenleitung an (Matrixprinzip). Ohne Haltespannung
würde das Plasma innerhalb von Mikrosekunden zusammenbrechen. Die UV-Strahlung des
Plasmas bringt die Phosphorschicht im sichtbaren Bereich zum Leuchten. Um das Pixel
wieder auszuschalten, wird ein entgegengerichteter Spannungspuls angelegt, der das
Plasma zusammenbrechen läßt.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
115
4.3.2 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition)
Phasenübergang
T steigend
T fallend
Fest (solid)- flüssig
Schmelzen (melting)
Erstarren (solodify)
Sieden (boil)
Kondensieren (condense)
Sublimation (z.B. Schwefel)
Desublimation
Flüssig (fluid) - gasförmig
fest – gasförmig (gaseous)
Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme
Energetische Betrachtung der Phasenübergänge
T
konstante Wärmemenge pro
Zeiteinheit wird ständig
zugeführt
Verdampfungs T
Versuche: Eiswasser, Wasser
Schmelz T
kochen, T bleibt eine zeitlang
konstant !
Schmelzwärme
Phasenübergang
Verdampfungswärme
T steigend
Wärmemenge aufwenden
T fallend
Wärmemenge wird frei
Schmelz-, Erstarrungswärme
Qsm = q m
Siede-, Kondensationswärme
Qsd = r m
Q bzw. t
(WL - 3)
q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.)
r:
"
Verdampfungswärme
m : Masse
Anwendung : Wärmepumpe
- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit
- int. Wärmeabgabe : Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
116
Druck - Temperatur - Abhängigkeit
Bsp: H2O
p /Pa
Schmelzdruckkurve
10
Wasser
6
Dampfdruckkurve
" 1 at "
Wasserdampf
Eis
10
kritischer
Punkt
2
Tripelpunkt
Sublimationsdruckkurve
1
-100
0
100
300
T /°C
Anmerkungen:
Sublimationsdruckkurve
Eis ↔ Wasserdampf; Beispiel Trockeneis
Schmelzdruckkurve
nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen
Dampfdruckkurve
T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T als am
Meer, Kavitation bei Schiffsschraube
Tripelpunkt
alle 3 Phasen existieren
H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa
kritischer Punkt
nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase durch
Druck verflüssigen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
117
Schmelzen kann lange dauern bei guter Wärmeisolation:
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
118
4.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation)
4.4.1 Ideales Gas
Gilt nur für hohe Temperaturen,
pV=nRT
da T → 0 V = 0 bedingt
(WL - 4)
Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante
- n : Stoffmenge, [n] = mol
- T : Temperatur in K
Messverfahren siehe rechts, im Schlauch
befindet sich eine Flüssigkeit
JAVA Applett: Zustandsänderungen eines idealen Gases
4.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper
allgemein : V = V(T,p)
d.h. Fkt mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung
Volumenveränderung
V(T,p) = Vo ( 1 + γ ∆T - κ ∆p)
(WL - 5)
mit :
Vo, To, po : Ausgangszustand laut DIN bei 20°C (293 K)
V, T, p : aktueller Zustand
∆T = T - To
∆p = p - po
Achtung: ∆ = Aktueller Wert - Ausgangswert
γ : Volumenausdehnungskoeffizient [γ] = 1/K, hier isotrop d.h. γ ≠ γ(x) angenommen !
κ : Kompressibilität [κ] = 1/Pa
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
119
Koeffizienten aus Volumenzuwachs: (Nomenklatur wie partielle Ableitung)
V (p ,T) = Vo + ∆V
totales Differential (in Differenzschreibweise): ∆V = VT ∆T + Vp ∆p
V


V
→ V = Vo  1 + T ∆T + p ∆p 
Vo
Vo


→ V = Vo (1 + γ ∆T + κ ∆p )
1 ∂V
Vo ∂ T p=p o
Volumenausdehnungskoeffizient
γ( T ) =
Kompressibilität
κ(T) = −
1 ∂V
Vo ∂ p T=To
- Prinzipiell können diese Parameter richtungsabhängig sein, wie z.B. bei Verbundstoffen !
- γ und κ sind Temperatur-abhängig !
Typische Werte
γ
/1/K
κ
/1/MPa
Festkörper
10
-5
1
Flüssigkeiten
10
-4
100
Gase
10
-3
10.000
∆T und ∆p verursachen ∆V
Maschinenbau: Gehäuse: V = const: ∆T → ∆p → Kraft F : Spannungen
E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand
→ in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden!
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
120
Näherungen:
Volumenveränderung
V(T) = Vo ( 1 + γ ∆T) ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)
(WL – 5’)
bei konstantem Druck, α : Längenausdehnungskoeffizient
Geometrie
Bei langgestreckten Gegenständen,
z.B. Stäben kann man vereinfachend
nur mit der Längenausdehung
rechnen oder falls nur eine Richtung
für die Aufgabenstellung relevant ist.
Längenausdehnungskoeffizient
L(T) = Lo (1 + α ∆T)
(WL - 6)
(Thermal Coefficient of Expansion, TCE)
[α] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C
Bem.:
- Concorde bei Mach 2,2:
∆L ≈ 30 cm
bei ca. 50m Länge
- Blackbird-Triebwerk (re.)
- α ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten) → α = α(T)
Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung !
- Materialwerte siehe Tabelle
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
121
- (WL - 6) ist eine lineare Näherung (Polynomentwicklung) !
- Längenausdehnung
L(T) = Lo (1 + α ∆T)
- Hookesches Gesetz
F(x) = (0 + Dx)
- E-Technik
R(T) = R25 (1 + α ∆T)
Polynome werden zum Anfitten an experimentelle Werte verwendet. Diese linearen
Gleichungen gelten nur für einen bestimmten und engen Bereich.
Will mans genauer wissen: höheres Polynom, z.B. αPlatin : 6. Grad !
für ∆T und α klein: Flächenausdehnung: A = Ao (1 + 2α ∆T)
Volumenausdehnung: V = Vo (1 + 3α ∆T)
→ γ = 3α
aus: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T) (wer Lust hat, bitte
nachrechnen)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
122
Unterschiedliche Ausdehunungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung:
Thermische Ausdehnung bei IC
(-65°C ... +150°C)
α
/ 10
-6
K
l
/ µm
Vergußmasse
20
43
Polyimid
Silizium
Kleber
40
3,5
40
86
7,5
86
Träger
17
37
10mm
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
123
4.5 Wärmetransport (Heat Transport)
Art
Charaktristik
Wärmestrahlung
Bsp
em-Strahlung (meist IR)
Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer
Materialtransport
Konvektionsheizung (z.B. Luft), PC-
(thermal radiation)
Wärmeströmung
(thermal flow)
Lüfter, Meer: kaltes Wasser unten, oben
(Konvektion)
warm
Wärmeleitung
Energieübertragung
erwünscht
(thermal conduction)
: Kühlkörper
unerwünscht : Thermoskanne
Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt.
4.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow)
Wärmestrom
auch Wärmeabgabe
mit Q = c m ∆T
Φ=
vgl. mit Strom und Ladung
[Φ]= J = W
s
∆Q dQ &
=
=Q
∆t
dt
(WL - 8)
& ∆T + c m ∆T& + c& m ∆T
Φ = cm
≡ Leistung
Bsp.
|
Lüfter
|
Statisches
Abkühlen
|
z.B. Gase, c(T)
oder Phasenübergang
zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik !
& = 0, c& = 0 ) : ∆Q = 90 J in ∆t = 15 s → Φ = 6 W
Bsp: - abkühlender Körper ( m
- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, ∆T = 20 K ( T& = 0 )
& = dm ≈ ∆m = 5 l , Wärmekapazität konstant : c& = 0
m
dt
∆t
min
& ∆T = 1000
Φ = cm
J
kg
⋅ 0,0012 ⋅ 5
⋅ 20 K = 2 W
kg K
60 s
Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar =
Φ
= 1,35 kW/m² (Deutschland 0,7
A
kW/m²)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
124
Analogie Wärmelehre - E-Technik
Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen
Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz !
Wärmelehre
E-Technik
(Gleichstrom)
∆T
U
Potentialdifferenz
Φ
I
Strom
Rth
R
Widerstand
R th =
∆T
Φ
R=
U
I
Ohmsches Gesetz
λ=
1
R th
G=
1
R
Leitwert
T-Differenz
Wärmestrom
Wärmewiderstand
Wärmeleitwert
Mehrere Schichten
'Vergrößerung
1
eines Kühlkörpers'
R th ges
=
Rth ges = ΣRth
Rges = ΣR
Serienschaltung
1
1
+
+ ...
R th1 R th 2
1
1
1
=
+
+ ...
Rges R1 R2
Parallelschaltung
C
Kondensatorkapazität
Wärmekapazität
C
(Serien- und
Parallelschaltung
entsprechend)
Gehäuse
Isolierscheibe
Kühlkörper
Luft
Betrachtung nur in diese Richtung
THL
TGeh.
TIso
TKk.
Pel
TLuft
RLast
= Abgabe an
Umgebungsluft
C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand
Vergleiche mit Aufheizkurve (S. 104) mit der Ladekurve U(t) der Kondensatorspannung eines
RC-Schaltkreises.
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125
2 Fälle des Wärmestroms :
•
permanente Wärmeentwicklung
‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände
berücksichtigen.
Annahme, dass der Aufwärmvorgang abgeschlossen ist.
Typische Aufgabe: - Berechnung der Gleichgewichts-Temperatur
- Berechnung eines Kühlkörpers
•
Einschalt- und Abschaltvorgänge
‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall
‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten
bzw. Einschalten LCD-Tafel
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126
4.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation)
auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper meist vernachlässigbar
im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich
Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme
erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ !
Plancksches Strahlungsgesetz
Φ = σ ε A T4
gilt genau genommen nur im All
(WL - 9)
mit
σ = 5,7 10
-8
W
m2 K 4
(Stefan-Boltzmann - Konstante)
ε = Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper ε ≈ 0,9 ... 0,95 , weiße Fläche ε ≈ 0,5
A : Fläche des Schwarzen Körpers /m²
[T] = K
Achtung: Näherung, gilt nicht, wenn Wände etc. in der Nähe sind!
Plancksches Strahlungsgesetz
Schwarzer Körper mit A = 1m², Emissionsvermögen = 1
Wärmestrom /W
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
200
400
600
800
1000
T /K
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127
Spektrum der Planckschen Strahlung (Black Body Radiation)
Schwarzer Körper
Glühbirnen emittieren ihre Strahlung nur zu einem kleinen Teil (10 %) im sichtbaren Bereich
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128
Spektrum von Schwarzen Körper bei Zimmertemperatur und Sonnenlicht
Das Spektrum der Sonne (s.o.) ergibt eine Oberflächentemperatur von etwa 6000 K.
Die 'Farbe' eines heißen Körpers ist für das menschliche Auge sichtbar, wie obige Spektren
verdeutlichen !
Einen Zusammenhang zwischen Spektrum und menschlichem Farbeindruck liefert die
CIE 1931-Norm:
Die hufeisenförmige Kurve repräsentiert auf ihrem Rand scharfe Spektrallinien, wie z.B.
eines Lasers (s.o.) Im Inneren finden sich ausgedehnte Spektren. Die eingezeichnete Kurve
gibt den Äquivalenzwert der Temperatur eines Schwarzen Strahlers wieder.
Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die
Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender
Temperatur zu erkennen: Rot (600°C) - Gelb
(1100°C) - Weißglut (1300°C)
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129
Das menschliche Sehen ‚passt‘ sich an die Farbe des Umgebungslichtes an, elektronische
Sensoren (CCD, Videokamera, Digitalkamera, ...) benötigen hier einen Weißabgleich, da
unterschiedliche Beleuchtungsquellen !
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130
Wärmestrom durch Wärmestrahlung kleiner Körper in Gegenwart großer Wände
Vorraussetzungen:
(
4
4
Φ = σ ε A TKörper
− TUmgebung
AKörper << Aumgebende Wand
Der Wärmestrom des
(WL - 9')
Wärmestrahlung eines kleinen Körpers
emittiernden Körpers hängt
sehr stark von seiner eigenen
)
Schwarzer Körper mit A = 1m²
Wärmestrom /W
Temperatur ab und nur relativ
3000
T Umgebung = 0°C
gering von der Temperatur
T Umgebung = +20°C
T Umgebung = +80°C
der umgebenden Wand.
2000
Anhaltswert:
1000
TUmgebung = 300 K (27°C)
TKörper = 353 K (80°C)
0
250
300
350
400
450
Φ ≈ 400 W pro m²
500
T Körper /K
Fälle
Wärmeabgabe
TKörper > TUmgebung
(bezogen auf Körper)
Wärmeaufnahme
TKörper < TUmgebung
Für elektronische Bauteile ist die Abgabe von Wärme durch Strahlung praktisch
vernachlässigbar, da ihre Oberfläche im cm²-Bereich liegt, .d.h Φ ≈ 40 mW pro cm²
Dann Formel aus folgendem Beispiel verwenden:
Wieviel Leistung strahlt ein 200°C heißer, schwarzer (ε = 0,95) Kessel mit einer Oberfläche
von 6 m² an eine ihn umgebende, große Halle mit der Wandtemperatur 20°C ab ?
(
)
4
4
Φ = σ ε A TKörper
− TUmgebung
= σ ⋅ 0,95 ⋅ 6 m2
( (473K )
4
− (293K )
4
) ≈ 14 kW
Gemäß WL-9 würden sich 16,3 kW ergeben !
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131
4.5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow)
- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport !
- meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben.
- Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf
Wärmeströmung
& : Massenstrom (vgl. Impuls)
m
Φ=
∆T : T-Differenz ausströmende - angesaugt Luft
∆ Q dQ &
& ∆T
=
=Q=cm
∆t
dt
(WL - 10)
bzw. Flüssigkeit oder Gas
Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den
Wärmestrom berechenen:
Bsp: Wieviel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ?
Lüfter mit 0,1
m3
min
Luft : ∆T = 30 K
(ausgeblasene eingesaugte
Temperatur)
Dichte : 1,2 kg/m³
& ∆T
→Φ=c m
= 1000 J
0,12 kg
30 K
K kg 60 s
= 60 W
Beispiel Lüfter-Spec
Bestellbezeichnung:
0410N-12
Abmessungen:
a x b (mm)
40 x 40
Bautiefe:c(mm)
25
d (mm)
32
e (mm)
4,5
Nennspannung
VDC
24
Volumenstrom m³/h
165
Luftdruck mm H2O
7,2
Stromaufnahme mA
340
Geräuschpegel dBA
44
Lagerungsart
Kugellager
Temperaturbereich
-10 ... + 70
°C
Lebensdauer
in h bei 25°C
51.000
Lebensdauer in h
bei 70°C
40.000
Zulassung
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UL/CSA/TÜV
132
Anwendungen:
In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb
sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist
aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit.
Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr
durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte
Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische
Verbrauchsleistung !
IP Schutznormen - Systeme in schwierigen Umweltbedingungen*
Industriell genutzte Systeme sind anderen Belastungen ausgesetzt, als Desktop PC in einer Büroumgebung.
Staub, Dreck und Wasser sind Umwelteinflüße auf die ein Standard PC recht empfindlich reagiert, die ein
industriell eingesetztes PC Systeme jedoch typischerweise problemlos aushalten muss. (Nicht zuletzt erklärt das
den i.d.R. höheren Preis für Industrie PC gegenüber Standard PC.)
Für den Einsatz in einer Industrieumgebung sind Schutzklassen und Normen definiert, die angeben, welchen
Umweltbelastungen hinsichtlich Berührung, Fremdkörper- und Feuchtigkeitsschutz ein System ausgesetzt
werden kann, ohne Schaden zu nehmen. Definiert werden die Schutzklassen in der IP Norm, DIN EN 60529:
Schutzarten durch Gehäuse (IP Code).
Der IP Code besteht typischerweise aus einer zweistelligen Ziffernkombination, die den jeweiligen Schutzgrad
angibt, z.B. IPxy (oder IP54). Die erste Ziffer x spezifiziert die Schutzklasse für Berührungs- und
Fremdkörperschutz, die zweite Ziffer y den Wasser- und Feuchtigkeitsschutz,
Nachstehende Tabellen (ohne Gewähr) erläutern die Bedeutung der IP Codes:
Tabelle 1: Berührungs- und Fremdkörperschutz
1. Kennziffer
Benennung - Erklärung
0
Nicht geschützt
1
Geschützt gegen feste Fremdkörper 50mm Durchmesser und größer:
Die Objektsonde (Kugel 50mm) darf nicht voll eindringen
2
Geschützt gegen feste Fremdkörper 12.5mm Durchmesser und größer:
Die Objektsonde (Kugel 12.5mm) darf nicht voll eindringen
Hinweis: Typischerweise die Lüftungsschlitze in einem PC Netzteilgehäuse...
3
Geschützt gegen feste Fremdkörper 2.5mm Durchmesser:
Die Objektsonde (Kugel 2.5mm) darf überhaupt nicht eindringen
4
Geschützt gegen feste Fremdkörper 1mm und größer:
Die Objektsonde (Kugel 1mm) darf überhaupt nicht eindringen
5
Staubgeschützt:
Eindringen von Staub ist nicht vollständig verhindert, aber Staub darf nicht in einer solchen
Menge eindringen, daß das Arbeiten des Gerätes oder die Sicherheit beeinträchtigt wird
6
Staubdicht:
Kein Eindringen von Staub bei einem Unterdruck von 20mbar im Gehäuse
*: aus Internet
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133
Tabelle 2: Wasserschutz
2. Kenn- Benennung - Erklärung
ziffer
0
Kein Schutz
1
Geschützt gegen Tropfwasser:
Senkrecht fallende Tropfen dürfen keine schädlichen Wirkungen haben
2
Geschützt gegen Tropfwasser wenn das Gehäuse bis zu 15° geneigt ist:
Senkrecht fallende Tropfen dürfen keine schädlichen Wirkungen haben, wenn das Gehäuse um einen
Winkel bis zu 15° beiderseits der Senkrechten geneigt ist
3
Geschützt gegen Sprühwasser : Wasser, das in einem Winkel bis zu 60° beiderseits der Senkrechten
gesprüht wird, darf keine schädlichen Wirkungen haben
4
Geschützt gegen Spritzwasser: Wasser, das aus jeder Richtung gegen das Gehäuse spritzt, darf
keine schädlichen Wirkungen haben
5
Geschützt gegen Strahlwasser: Wasser, das aus jeder Richtung als Strahl gegen das Gehäuse
gerichtet ist, darf keine schädlichen Wirkungen haben. Hinweis: Entspricht ca. 12.5 Liter/Minute
(Gartenschlauch). Testzeitraum ca. 5 Minuten. (Angabe ohne Gewähr.)
6
Geschützt gegen starkes Strahlwasser: Wasser, das aus jeder Richtung als starker Strahl gegen das
Gehäuse gerichtet ist, darf keine schädlichen Wirkungen haben
7
Geschützt gegen die Wirkungen beim zeitweiligen Untertauchen in Wasser:
Wasser darf nicht in einer Menge eintreten, die schädliche Wirkungen verursacht, wenn das Gehäuse
unter genormten Druck- und Zeitbedingungen zeitweilig im Wasser untergetaucht ist
8
Geschützt gegen die Wirkungen beim dauernden Untertauchen in Wasser:
Wasser darf nicht in einer Menge eintreten, die schädliche Wirkungen verursacht, wenn das Gehäuse
dauernd unter Wasser getaucht ist unter Bedingungen, die zwischen Hersteller und Anwender
vereinbart werden. Die Bedingungen müssen jedoch schwieriger sein als für Kennziffer 7
Übliche Schutzklassen in der Praxis und einige Hinweise:
Für "normale" Industriesysteme in geschlossenen Werkhallen wird üblicherweise der Schutz nach IP54
angeboten = Staubgeschützt + Geschützt gegen Spritzwasser. Für Systeme im Außeneinsatz (Fahrzeuge etc)
wird ein Schutz nach IP65 empfohlen (=Staubdicht + Geschützt gegen Strahlwasser). Schutzklassen <= IP40
bieten nur Schutz gegen Berührungen und sind nur dann sinnvoll, wenn das System seinerseits wieder in ein
Gehäuse (z.B. in einen Schaltschrank) eingebaut wird.
Bei der Verwendung industriell genutzter Systeme wird grundsätzlich empfohlen, auf die IP-Schutzklasse zu
achten. Ein mit IP20 geschütztes System ist z.B. auf einem Gabelstapler im Außenlager ausgesprochen
schlecht aufgehoben. Ein nach IP67 geschütztes System in der Zeiterfassung und Zugangskontrolle ist dagegen
in den meisten Fällen gleichermaßen fehl plaziert - wenn es nicht gerade in einem U-Boot eingesetzt wird.
(Kleiner Witz. Siehe hierzu auch besondere Hinweise zur IP68 Norm am Ende dieser Seite...)
Nicht jedes System kann problemlos mit einer hohen Schutzklasse ausgeliefert werden. Schutzklassen, die
gerade im Wasserschutz einen hohen Schutzgrad bieten sollen, bedingen in den meisten Fällen ein
geschlossenes (gekapseltes) Gehäuse. In einem derartigen Fall ist besonders auf die Wärmeableitung des
Systems zu achten, denn je höher die Prozessorleistung eines PC-Systemes, desto höher ist üblicherweise auch
die abgegebene Verlustleistung, die in Wärme abgegeben wird. In einem geschlossenen Gehäuse kann die
Wärme nicht entweichen - durch Hitzeschäden bedingte Systemausfälle sind dann die Folge. In einem solchen
Anwendungsfall ist der Kühlung besondere Aufmerksamkeit zu schenken, z.B. durch spezielle Wärmetauscher,
die Kühlmöglichkeiten auch in geschossenen Systemen bieten.
Beispiele
Außenleuchte
Einbauleuchte IP44
Außenleuchte IP54
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IP65
134
Bei den Phänomenen der Wärmelehre werden oft (auch unwissentlich) Fehler gemacht :
(aus Prospekt der Fa.
BAUHAUS,)
Der Ausdruck
‚Wärmewiedergewinnung‘
ist physikalisch falsch.
Was stimmt hier nicht ?
Saison
Winter
Winter
Sommer
Sommer
Sommer
Lüfter
Aus
Ein
Aus
Ein
Ein
Aussage
oben wärmer als unten
oben und unten etwa gleich warm
oben und unten etwa gleich warm
Luft wird um etwa 4°C abgekühlt
Heizkostenersparnis
Bewertung
Na ja
FALSCH
Na ja
Wie kann die ‚falsche‘ Aussagen physikalisch erklären ?
- Der Lüfter bewegt die Luft, kann sie aber nicht kühlen
- Die Temperatur erniedrigt sich ‚scheinbar‘ um 4°C
- Geringerer Wärmeverbrauch
Faßt man die Aussagen zusammen, erklärt sich die Beobachtung : Die an einem (menschlichen) Beobachter vorbeiströmende Luft ändert den thermischen Widerstand (der Haut) als
Folge der Wärmeleitung (s.u.). Dieser wird bei einem Übergang Festkörper (Haut) - Fluid
(Luft) mit dem von der Luftgeschwindigkeit abhängenden Wärmeübergangskoeffizient α
ausgedrückt. Erhöht sich die Luftgeschwindigkeit so wird mehr Wärme abgeführt, was ‚man‘
als ‚kühler‘ empfindet. Ein zusätzlicher Effekt ist die beschleunigte Verdunstung (Verdunstungswärme wird vom Körper 'abgezogen‘). Die Heizkostenersparnis ist relativ gering, da
sich an den thermischen Eigenschaften der Wände nichts ändert, lediglich die vertikale
Temperaturverteilung ist in einem kleineren Bereich ausgeglichener.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
135
4.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction)
Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände
gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren
so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab.
Hauptfälle :
- Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid
- Wärmedurchgang durch eine Wand
- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung
4.5.4.1 Wärmeleitung durch Wand
Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw.
TA
welche Leistung wird durch eine Wand in
Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ?
s
A TB
T U
Achtung : Das folgende beschreibt nur einen
T
A
Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine
T
B
R
Analogie
s
Wand, vollständig s.u. !
Wärmestrom analog Ohmschen Gesetz :
x
U
∆T
=I ≡ Φ=
R
R th
Hieraus folgt
Wärmewiderstand
[Rth] =
K
W
Rth =
s : Wanddicke, A : Fläche
λ : Wärmeleitzahl, [λ] =
W
Km
s
1
=
λA kA
(WL - 11)
(Materialeigenschaft)
k : Wärmedurchgangszahl, k = λ ; Anwendung z.B: Baubranche
s
Wärmeleitung
Erhöhte Wärmeabgabe durch Vergrößerung der Oberfläche (Kühl-
Φ=
∆T
λ
= k A (TA − TB ) = k A ∆T = A ∆T
R th
s
(WL - 12)
körper, Rippen bei Elektromotoren)
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136
Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke
[k] =
W
K m2
Material
Wärmeleitzahl λ
Werte für 300 K !
Eis
2,33
Wasser
0,6
Luft
/
W
Km
Wärmedurchgangszahl k
(WL - 13)
/
W
K m2
0,025
Stahl
14
PVC
0,16
Kork
0,05
Ziegel
Glas
Beispiel:
λ
s
k=
1
1,5 (30 cm Hohlziegel)
0,8
5,6 (1 cm) (Doppelglas)
Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ?
Werte : Länge Außenwand 10 m (Ecke), 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1
W/Km²
Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus
Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht
Φ = k A ∆T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W
Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die
Φ
'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet:
Rthges = Rth1 + Rth2 + ...
'Parallelschaltung' :
1
R th ges
=
1
1
+
+ ... (Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’)
R th 1 R th 2
Wärmeleitzahl von Metallen
Wiedemann-Franzsches Gesetz
e: Elementarladung
Wärmeleitfähigkeit λ ∼ elektrischer Leitfähigkeit κ *T
π²
λ Metall =
3
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2
kB 
  κ T
 e 
137
4.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas)
Welche Wärmeleistung wird von einem
Festkörper auf ein Fluid abgegeben ?
A
FK
hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient
Fluid
T
TFK
des Fluids ein !
∆T
TFluid
∆T = TFK - Tfluid
x
Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid
α: Wärmeübergangskoeffizient, [α] = W / m² K
Φ = α A ∆T
(WL - 14)
α = α(vfließ, Medium)
Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid
Rth =
s
1
vgl. Wärmedurchgangswiderstand Rth =
=
λA kA
Metall - Medium
(WL - 15)
α / W/m²K
Luft : ruhend
3 - 30
langsam
30 - 60
schnell
60 - 300
Wasser
1
αA
500 - 5000
Wärmeübergangskoeffizient
für strömende Luft längs einer ebener Wand
 6 + 4⋅ v
α= 
0,78
 7 ⋅ (v )
für v ≤ 5 m s
für v > 5 m s
multiplizieren mit Einheiten
Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ...
- PC mit Wasserkühlung
Hier vernachlässigt: Wärmeübergang FK auf FK
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
138
4.5.4.3 Wärmedurchgang durch Wand
Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid
Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt.
Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeff. α1
T
A
A
λ1
λ
s1
s2
2
T
Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl λ1
B
Wärmeübergang Wand1 - Wand 2 vernachlässigt
Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl λ2
T
Φ
Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeff. α2
innen
außen
x
I
Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I ≡ Φ
Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB
Einzelwiderstände aus (WL - 15)
Wärmestrom innen → außen : Φ =
∆T
∆T
A ∆T
=
=
1
s
s
1
 1 1 1 1
Rthges
+ 1 + 2 +
 + + + 
α1 A λ1 A λ 2 A α2 A
 α1 k1 k 2 α 2 
Näherung : ∆T des Gesamtsystems (ist aber üblich)
Bsp: Zimmerwand (1 m² mit α = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = λ/s = 1 W/m²K)
und 1 cm Gips (k = λ/s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach innen 20 °C
(20K).
Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ?
Wärmedurchgangswiderstand :
 1
1
1
1  1  1 1 1 1  m² K
K
 ⋅ =  + + +  ⋅ 1
R thges = 
+
+
+
= 1,83
W
 α 1 k 1 k 2 α 2  A  6 1 2 6  W m²
→ Wärmestrom pro m²
: Φ = ∆T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W
→ Verlustwärme pro m² und sec : Q = Φ t = 11 J
Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich :
Φ = 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
139
Beispiel Studibude (S. 123): 25 m² bei Φ = 11 W entspricht ca. 275 W, nur ‚Wand’ ergibt
500 W
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
140
4.5.4.4 Wärmeabgabe
Statisches Abkühlen
- es wird keine Wärme nachgeliefert
- T ≠ const, gesucht: T = T(t) ?
Bsp: Eisenwürfel (Fe)
- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K
Fläche des Würfels zur Luft hin:
Fe
30 cm
Luft ruhend
20°C
70°C
A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m²
Näherung:
isoliert aufgeklebt
- TEisen im Würfel räumlich konstant
- Umgebungsluft erwärmt sich nicht
- keine Volumenschrumpfung
- keine Wärmestrahlung
- Materialparameter seien T-unabhängig
- cFK >> cFluid
4
4
Abschätzung der Wärmestrahlung: Φ = k B ε A (TKörper
) ≈ 150 W
− TUmgebung
Wärmeverlust durch Strahlung (TKörper = const.) in der 1. Minute : Q = Φ * t ≈ 9 kJ
Die Wärmestrahlung wird im weiteren vernachlässigt, da sonst die Mathematik deutlich
schwerer wird - bei kleinen ET-Körpern ist dies 'erlaubt'.
Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
141
einerseits:
Φ = dQ / dt
Φ =
→
∆T
R th
differentielle Schreibweise
(Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid)
dQ = α A Tdiff dt
(Wärmeleitung)
(i)
dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge
Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const.
Q=5
W
⋅ 0,45 m² ⋅ 50 K ⋅ 60 s ≈ 7 kJ
m² K
(vgl. mit Wärmestrahlung ! )
andererseits:
dQ = c m dTdiff
mit
(im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge)
(ii)
c = 0,55 J/gK
m = ρV
Energieerhaltung : - Wärme kann nicht verschwinden
- Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels
→ Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein
ΣdQ = 0 →
mit (i) und (ii) folgt :
dQauf + dQab = 0
- dQEisen = dQLuft
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
142
Berechnung der Differenztemperatur:
− c m dTdiff = α A Tdiff dt
→
∫
dTdiff
αA
=−
Tdiff
dt
cm
dTdiff
αA
=−
Tdiff
cm
→ ln Tdiff = −
→ Tdiff = k e
−
vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t)
DGL 1. Ordnung
∫ dt
αA
t + C
cm
|e
αA
t
cm
k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft (hier 50 K bzw. 50°C)
→
Tdiff
k = TEisen(0) - TLuft
TEisen(0)
→
Tdiff = (TEisen( 0 ) − TLuft ) e
−
αA
t
cm
t → ∞ : Tdiff = 0 → TEisen = TLuft
TLuft
t
dann herrscht thermisches
Gleichgewicht
Anwendung :
- Bestimmung von α (ggf. ln - Darstellung)
- Hitzdrahtinstrument z B. als Luftmassenmesser in Vergasern
Strom um T zu halten ~ zur Geschwindigkeit (Eichung notwendig)
Vergleich mit Entladekurve RC-Glied
R : Abflußwiderstand (Rth) ≡ 1/αA
T Eisen
R th
T Luft
C : Speicherelement (CEisen) ≡ c m
UC ≡ Tdiff
UC = U0 ⋅ e
C Eisen
−
1
⋅t
RC
RLuft
(klein,
Kurzschluß)
Benefit:
Aufgaben aus der Wärmelehre können mit Schaltungssimulations-Software gelöst werden !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
143
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
144
Praktisches Beispiel:
In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird
nach 10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ?
Werte für t = 0:
Kaffee :
TK = 70°C , mK = 100 g
Milch :
TM = 10°C , mM = 10 g
TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c
Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt
bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer)
a) Milch sofort hinein
Berechne TMisch
c mK ∆T = c mM ∆T , dann Abkühlen
cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer,
cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch
Mischtemperatur zweier Stoffe : TMisch =
→
TMisch =
cK mK TK + cM mM TM
cK mK + cM mM
(WL - 1')
0,1 kg ⋅ 343 K + 0,01 kg ⋅ 283 K
= 337,5 K = 65,5 °C
0,11 kg
W
; A = 0,003 m² ( Wasseroberfläche, da Kaffeetasse Styroporbecher demzufo lg e vernachlässigt)
m² K
J
c = 4200
; m = 0,11 kg
kg K
α = 10
mit
const =
1
αA
≈ 6 ⋅ 10− 5
cm
s
→
Tdiff = 45,5 K ⋅ e − const. ⋅ t
→
Tdiff = 45,5 K ⋅ e − 0,04 ≈ 44 K
→
TKaffee nach 10 min ≈ 64°C
b) Milch erst nach 10 min hinein
→
Tdiff = 50 K ⋅ e − 0,04 ≈ 48 K
Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen
→ TK nach 10 min = 341 K = 68° C
Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist !
TMisch nach10 min =
0,1 kg ⋅ 341K + 0,01 kg ⋅ 283 K
≈ 336 K = 63 °C
0,11 kg
Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß' dazugibt !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
145
Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und –abgabe (Bsp. Kochen)
Bsp: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung
Gleichgewicht : TKühlkörper = const.
(erreicht bei Abschluß des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.)
Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const.
- kein Lüfter
Ziel:
Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers
in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur
(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen
Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung)
Einerseits:
& =
Q = U I t → dQ = ∆U I dt → Φ = Q
∆
U ⋅I
{
(*)
Verlustlei stung P
mit ∆U : Spannungsabfall am Bauteil
andererseits:
Φ=
dQ &
∆T
=Q=
dt
R th
(**)
mit ∆T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur
→ (*) Φ = Φ (**) :
∆U ⋅I =
∆T
R th
; R th =
∆T
PZufuhr
→ Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur
R th =
TBauelement − TLuft
T
− TLuft
= Bauelement
; R th = R th Bauteil + R th Isolierung, Wärmeleitpaste + R th Kühlkörper
∆U⋅I
Pelektrische Verlustleistung
Bemerkung:
- der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth
- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.)
- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls
(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird.
- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar,
danach ist der Kühlkörper auszulegen !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
146
Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , ∆U = 1V , I = 1 A
→
R th =
TBauelement − TLuft
∆U ⋅I
=
20 K
K
= 20
1W
W
Praxis:
Rth (Kühlkörper) muß kleiner sein als Rth
(berechnet) wegen Kontaktwiderstand
(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste)
etc.
Rth
/ K/W
30
1 mm Alu
10
5
2 mm Alu
1
hier: minimal 30 cm² Alu 2 mm dick
10
30
thermische Widerstand bei gleicher Fläche
A /cm²
Kühlkörperfläche
Rthcontact und PVerlust minimieren
Warum ist für 1 mm dickes Alu der
100
punktförmige
Wärmequelle
größer ?
Temperaturgefälle
Wegen der dünneren Materialstärke kann
die Wärme von einer punktförmigen Quelle
(z.b. Transistor) in der Mitte nicht 'so gut' in
Richtung Rand abgeleitet werden.
Die Temperaturverteilung der Fläche ist
inhomogen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
147
Einfaches Kühlkörperdatenblatt
nichtlinearer Zusammenhang :
- doppelte Kühlkörpergröße ≠ halber thermischer Widerstand
Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2
- 'gilt auch für Preis'
Grund:
- Wärmeausbreitung von Punktquelle aus
- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers
(Einbauort und -lage beachten !)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
148
Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der
- a) Umgebungstemperatur
- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche
a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und
Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter
b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche
mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist
höher)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
149
Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von
Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen
Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu
genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen)
untermauert werden.
Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com)
Die Schaltung ‚reduziert‘
eine Eingangsspannung
von 12 V auf 3,3 V und
liefert ca. 2,5 A
Ohne Kühlkörper
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
150
Mit Kühlköper
Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur
‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca.
12 mm ! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, daß bei einer
Umgebungstemperatur von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht
werden.
Temperaturen /°C
Diode
Kühlkörper
IC
Ohne
Mit
Ohne
Mit
Umgebungs-
30
62
56
61
57
Temperatur
50
82
78
78
73
Zu beachten ist, daß die Simulation mit der Stromversogrung als einziges Bauteil
durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die
Temperatur, so daß hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu
rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
151
Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (aus : www.flomerics.de)
Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse
P
TAustritt = TE int ritt + 3,1 &
V
T : Lufttemperatur /°C
TAustritt
P : Elektrische Verlustleistung /W
V& : Volumenstrom des Lüfters /m³/h
TEintritt
Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse
TInnen = TAußen +
P
k Ak
T : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K
Taußen
Tinnen
Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660)
Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion
Mit Strahlung :
P
TPlatte = TUmgebung + 0,1  
A
0,86
P
Ohne Strahlung : TPlatte = TUmgebung + 0,3  
A
TPlatte
0,80
TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C
TUmgebung : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
A : Fläche der Platine /m²
T
Umgebung
Temperaturänderung bei Wärmedurchgang
TWarm − TKalt =
d
P
λA
T.. : Temperatur /°C
P
Twarm
d : Schichtdicke /m
λ : Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK
P : Wärmestrom durch Fläche A /W
d
Tkalt
A : Fläche des Wärmedurchganges /m²
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
152
4.6 Thermodynamik (Einführung)
(Thermodynamics)
Aufgabe :
Beschreibung makroskopischer (c, α, λ, k, ...) Materieeigenschaften durch
physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.
Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …
Grundlage
Statistik, da sonst pro Mol ca. 10
25
Gleichungen zu lösen wären !
Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad
1
2
k B T → c = c(T)
c1atomig =
3
2
kB T
:
3 x Translation, z.B. He
c2atomig =
5
2
kB T
:
3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2
4.6.1 System-Definitionen
Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch
Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden
können.
System
Definition
Formel
Technisch
keine Wechselwirkung (Ww)
Ab-
oder Materieaustausch
geschlossenes (Teilchenzahl konstant) mit
System
Beispiel
- Eges = W = const
angenähert durch
- n = const.
Dewar-Gefäß
der Umgebung;
(Thermoskanne)
Gesamtenergie (mechanisch,
kein Wärmetransport
elektrisch, ...) konstant
durch Strahlung oder
Wärmeleitung
Geschlossenes Energieaustausch mit der
System
Umgebung zugelassen,
jedoch kein Materieaustausch
Offenes
Energieaustausch und
System
Materieaustausch mit der
Umgebung zugelassen
- Eges = W ≠ const. Wärmebad,
- n = const
- Eges = W ≠ const
- n ≠ const
Kühlkörper
Gehäuse mit Lüfter
wie geschlossenes
System mit
Materialtransport
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
153
4.6.2 Zustands-Definitionen
•
Gleichgewichtszustand
- Zustand, welcher sich von selbst einstellt
- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)
Bsp: Thermisches Gleichgewicht:
Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt
(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt
(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),
z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)
•
Stationärer Zustand
wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß
Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr
- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)
Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)
In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es
werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne
befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.
Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.
Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die
zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können
beispielsweise mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in
Kaffee gießen ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor
Gleichgewichtsverteilung).
Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw.
40 °C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen
irreversiblen Prozeß (s.u.) dar.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
154
Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)
Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende
Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen
Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.
Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis :
Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung
bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K
aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:
c L mL TL + c F mF TF
c L mL + c F mF
aus (WL - 1')
TMisch =
hier : - Luft
mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK
- Fühler
→
mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK
TMisch =
1,2 ⋅ 330 + 5 ⋅ 300
K = 306 K
1,2 + 5
Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !
Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL
auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,
Messgenaiugkeit relativ gering.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
155
4.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik
•
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch
untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch
(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.
Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen !
Thermisches
Gleichgewicht
Dies gilt auch für
mehrere Körper
(Systeme).
Achtung : Die
Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht
‚Umwelt’ ist hier
nicht betrachtet !
Zur Verdeutlichung als Ring →
•
Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik
Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen
Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und
der Wärme Q :
U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :
Innere Energie
= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'
dU = dW + dQ
(WL - 16)
dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird
dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm
Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!
(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)
Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel),
Batterie (irreversibel)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
156
•
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von
einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).
Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer
Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).
Folgerung:
Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden
('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')
physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)
Entropie (Entropy)
[S] = J
K
dS =
dQ
T
(WL - 17)
Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'
Fälle: dS = 0 reversibler Prozeß, kann in beide Richtungen ablaufen
dS > 0 irreversibel, Prozeß läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu
dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur
durch Energieaufwand erzeugt werden !
Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum
der Entropie gekennzeichnet ist.
Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein
fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)
Alle Naturvorgänge verlaufen so, daß die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme
zunimmt.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
157
Beispiele :
- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu
- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest
der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr
'gesagt' werden (s.o.)
Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes
dS ≥ 0
•
(WL - 18)
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null:
S(0K) = 0 J/K
Folgerungen:
- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null
c (T=0) = 0
-6
- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' ≈ 10 K
4.6.4 Zustandsänderungen
•
reversibel
Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß
Energiezufuhr notwendig ist.
Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku
•
irreversibel
Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom
Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.
Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme
2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand
ist nicht mehr möglich (s.o.) !
- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr
kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden
- Entladen Batterie
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
158
4.6.5 Thermodynamik Idealer Gase
reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz
V2
Wrev = ∫ p dV
für p V = n R T
(WL - 19)
V1
Zustandsänderung
Gleichung
p - V - Diagramm
p
Isochor
p
= const.
T
V
p
Isobar
V
= const.
T
V
p
Isotherm
Hyperbel p ~ 1/V
p V = const.
Boyle Mariotte
V
p
Adiabatisch
κ
hier κ =
p V = const
cp
cv
einatomiges Gas: κ =
adiabatisch
isotherm
5
3
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10
V
159
Zustandsänderung
Isochor
isobar
isotherm
adiabatisch
polytrop
Bedingung
V = const
p = const
T = const
S = const
pVκ = const
dQ = 0
Beispiel für Ideales Gas:
Temperaturänderung in
'Luftpumpe'
einem Behälter
(frei) bei äußerer
schnelle Prozesse
Wärmebad
Dewar-Gefäß
Systemen
T-Erhöhung
Wärmeenergie
Q = cv m ∆T
in nichtisolierten
Q = cp m ∆T
Q=W
Q=0
W = p ∆V
W = p ∆V
W = - cv m ∆T
dU = dW + dQ
dQ = dW
dU = - dW
W=0
V2
Arbeit Wrev = ∫ p dV
V1
1. Hauptsatz
(keine mechanische
Arbeit, da V = const))
dU = dQ
κ: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient
dU = dW + dQ
κ = 0 isobare Prozesse
κ = 1 isotherme "
κ → ∞ isochore
"
sonst adiabatisch
Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 25.08.2010 15:49:00
160 / 219
4.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle)
periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als
Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor
p
Isotherm: T = const,
isotherme Expansion
d
a
adiabatische
Kompression
p∼
T hoch
b adiabatische
Expansion
adiabatisch: pVκ = const,
T ≠ const
c
isotherme Kompression
1
(Hyperbel)
V
T niedrig
V
Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !
Teilzyklen:
Beschreibung
a
Formel
Innere Energie konstant
Wärme wird zugeführt
(Isothermal heat supply)
b
∆U = 0
V 
→ ∆ Q = N kB T ln  2 
 V1 
durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U
entnommen, T sinkt
∆W = ∆U = cv m ∆T
(isentropic expansion)
c
wie a, nur Wärme wird abgegeben
(Isothermal heat rejection)
d
wie b, nur T steigt (isentropic compression)
nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein → ∆ S =
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
∫
dQ
= 0
T
161
dQ
Definition : Entropie d S =
; ∆S =
T
b
dQ
T
a
∫
Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge
Energiebilanz
im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge
∆W = - ∆Q
Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt
Wirkungsgrad
η =1 −
[T] = K
Tniedrig
Thoch
<1
(WL - 20)
Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen
reale Maschinen : ηreal < ηcarnot
Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen
kalten und heißen Medien.
Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor
Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :
Tniedrig
= 1−
300 K
= 95 %
6.000 K
- Durch Sonnestrahlung erwärmte Solarzelle : η = 1 −
400 K
= 93 %
6.000 K
- Solarzelle bei Raumtemperatur : η = 1 −
Thoch
Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren
Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr
versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
162
Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor
Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge
Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen
in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit
Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel
eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die
Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
163
Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert
werden:
I
Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der
Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2
II
isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten
Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird
III
adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1
IV
isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem
zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und
Temperaturausgleich abgewartet wird
p - V – Diagramm des Kreisprozesses
p
3
II
Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die
Anfangszustände der vier Teilprozesse
2
∆W
III
4
I
V2
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
1
IV
V1
V
164
Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse
'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder
V1 = 1,5 dm³
V1
=8
V2
- Kompressionsverhältnis
ε=
- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft
T1 = 303 K
- Umgebungsdruck der angesaugten Luft
p1 = 1 bar
- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches
T3 = 1973 K , κ = 1,4
- cV konstant angenommen
Anfangszustand
1
2
3
4
V /dm³
1,5
0,1875
0,1875
1,5
p /bar
1,0
18,38
52,10
2,84
T /K
303
696,1
1973
858,9
Prozeß
I
Berechnung obiger Tabellendaten
κ
2
V 2p = κ1V 1p ; p2 = p1 ⋅ ε κ = 1 bar ⋅ 81,4 = 18,38 bar
V 
T2 = T1  1 
 V2 
II
III
IV
p3 = p2
κ −1
= T1 ε κ − 1 = 303 K ⋅ 80,4 = 696,1 K
T3
1973,0 K
= 18,38 bar ⋅
= 52,1 bar
T2
696,1 K
κ
V 
p
52,10 bar
p 4 = p3  3  = κ3 =
= 2,84 bar
ε
81,4
 V4 
T4 = T1
p4
2,84 bar
= 303 K ⋅
= 858,9 K
p1
1 bar
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
165
Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm
Arbeit
∆W = ∆Q 23 + ∆Q 41
Aufgenommene Wärmemenge
∆Q 23 = m c v (T3 − T2 ) > 0
Abgegebene Wärmemenge
∆Q 41 = m c v (T1 − T4 )< 0
Wärmekapazität des Arbeitsgases
Cv = m c v
Mit : m =
Cv =
p1 V1
p V c
p V
cv
p V 1
; Cv = 1 1 ⋅ v = 1 1 ⋅
= 1 1⋅
Rs T1
T1 Rs
T1 c p − c v
T1 κ − 1
105 1,5 103 N m3
J
= 1,238
2
303 (1,4 − 1) K m
K
Wärmemengen :
→
∆Q23 = 1,238
Nm
⋅ (1973 − 696,1) K = 1580,3 J
K
∆Q23 = 1,238
Nm
⋅ (303 − 858,9 ) K = 688 J
K
∆W = 1580,3 J − 688 J = 892,3 J
Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz f = 4500 min−1
P = ∆W ⋅
f
4500
= 892,3 J
= 33,5 kW
2
60 ⋅ 2 s
denn ∆W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
166
Wirkungsgrad ηrev einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :
Thermodynamischer Wirkungsgrad
ηrev =
(1973 − 303)K = 84,6 %
T3 − T1
=
T3
1973 K
Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors :
Effektiver Wirkungsgrad η = ∆W
∆Q23
= 1+
T −T
∆Q 41
= 1+ 1 4
∆Q23
T3 − T2
=
892,3 J
= 56,5 %
1580,3 J
aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:
folgt
κ −1
I
V 
T1 = T2  2 
 V1 
III
V 
T4 = T3  2 
 V1 
I – III T1 − T4 =  V2 
T2 − T3  V1 
κ −1
κ −1
= 1−
1
1
= 1 − 0,4 = 56,5 %
εκ − 1
8
Der Wirkungsgrad η hängt nur vom Kompressionsverhältnis ε ab !
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
167
Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm
geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern
Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,
weil S eine Zustandsgröße ist.
Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :
Abgabe bei T3 = konst.:
Aufnahme bei T1 = konst.:
Resultierende Entropie – Erzeugung:
→
∆S3 = −
∆Q23
1580,3 J
J
=−
= − 0,801
T3
1973 K
K
∆S1 = −
∆Q41 688 J
J
=
= 2,271
T1
303 K
K
∆S = ∆S1 + ∆S3 = (2,27 − 0,80)
J
J
= 1,47
K
K
∆S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
168
Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV
Adiabatische Prozesse I und III
∆S = 0
Isochore Prozesse
T 
∆SII = Cv ln  3 
 T2 
T 
∆SIV = Cv ln  1  = − ∆SII
 T4 
mit Division von
V 
T1 = T2  2 
 V1 
κ −1
durch
V 
T4 = T3  2 
 V1 
κ −1
siehe Wirkungsgrad
T1 T2
=
T4 T3
erhält man
→
∆SII = 1,238
J  1973 K 
J
 = 1,29
⋅ ln 
K  696,1K 
K
Entropie S(T) – Temperatur -
S
III
Diagramm
IV
II
Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt
zu sein. Die Kurven II und IV laufen
I
proportional zu ln(T)
T1
T2
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
T4
T
T3
169
5. Mechanik Deformierbarer Medien
Deformierbare Medien: Körper, welche sich unter dem Einfluß außerer Kräfte verformen (können).
5.1 Einteilung
Phase
Statik
Dynamik
Modellkörper
Deformation
Schwingungen
deformierbarer Festkörper
(Lineal)
(Lineal an Tischkante)
Hydro-
Hydro-
(Auftrieb Ball in Wasser)
(Wasser in Rohr)
Aero-
Aero-
(Heißluftballon)
(Flugzeug)
fest
flüssig
gas
Ideale Flüssigkeit (*)
Ideales Gas
(*)
(*) reibungsfrei
Zusammenhang zwischen Modellkörper - Form und Volumen
Bsp: Stab, Wasser in Glas, Ballon drücken
Modellkörper
Verschiebbarkeit der Teilchen (Moleküle, Atome)
Festkörper
keine
Deformierbarer FK
‘schwer’
Ideale Fl. + Gas
Modellkörper
reibungsfrei
Form
Volumen
Beispiel
Def. Festkörper
definiert
def.
Lineal
Ideale Flüssigkeit
beliebig
def.
Wasser in Glas
bel.
bel.
Luftballon
Ideales Gas
Festkörper : Moleküle haben "feste" Positionen zueinander
Fl. + Gase : Moleküle beliebig verschiebbar
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
170
5.2 Druck
Ein Gewicht der Masse m und der
m
Auflagefläche F übt über die Gewichtskraft F
'Druck' auf die Unterlage aus
A
F
G
Druck
p=
[p] = N/m² = Pa (Pascal)
Bsp: Wer übt größeren Druck aus ?
F
A
(DM - 1)
Elefant
Nadel
Masse m
5 to
1g
Auflagefläche A
1 m²
0,1 mm²
50 kPa
100 kPa
Druck p
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
171
5.3 Feder
als wichtigstes Beispiel für Deformierbare Medien und zur Erläuterung nichtlinearer Effekte
F
hier nur linearer Bereich, Weg x klein:
Beispiel: Feder
F ~ x
x
Hookesches Gesetz
FF = - D x
(DM - 2)
D : Federkonstante ; [D] = N / m = kg / s²
Aus ΣF = 0:
F =0
F
Fa : äußere Kraft, entgegengesetzt FF
Fa = 0
Fa + FF = 0
Fa > 0
F
F
0
FF = - D x
X
Spannung – Dehnung
→ Fa = D x
p=
l : Anfangslänge, ∆l : Längenänderung
∆l
: relativeLä ngenänderu ng
l
F
∆l
=E
A
l
σ =Eε
(DM - 3)
p : Druck [p] = N/m² = Pa
E : Elastizitätsmodul (Youngscher Modul); [E] = Pa ; E-Modul Metalle: ca. 200 GPa
σ : Spannung (Druck)
ε : Dehnung
A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)
Hookesches Gesetz gilt nur für kleine Dehnungen
Beispiel mit Metallen: σ = 200 GPa 0,1 m/ 100 m → p = σ = 0,2 GPa = 200 MPa
Vergleich: normaler Luftdruck : 100 kPa = 1.000 hPa
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
172
Spannungs - Dehnungs - Diagramm / Messmaschine
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
173
5.4 Grenzflächeneffekte
Kraftwirkung
Kohäsion
in Flüssigkeit
Adhäsion
Flüssigkeit - Festkörper
Kräfte
Benetzung
keine Benetzung
Adhäsion >> Kohäsion
Adhäsion << Kohäsion
Wasser
Quecksilber
Tropfen auf Oberfläche
'Wasser auf Autolack'
Kapillarwirkung
Beispiel
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
174
5.5 Beispiele Deformierbarer Festkörper
Ausführlicher in VL ‚Werkstoffkunde’
Deformationsart
Formänderung
Volumenänderung
Bsp.
Dehnung, Biegung
ja
ja
Feder (+), Stütze (-),Balken
nein
ja
allseitig, unter Wasser
ja
nein
Nieten, Achsen,
Kompression
Scherung, Torsion
(Drillung)
Torsionsfederung
5.5.1 Dehnung
F
A
elastisch
plastisch
F
A
Bruch
l
l
linear (Hook) nichtlinear
l
l
Bereich
Deformation
Bsp : Kugelschreiberfeder
elasitsch
reversibel
leicht dehnen
plastisch
bleibend
stark dehnen
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
175
Linearer Bereich: Hookesches Gesetz
∆l
F
= E
A
l
(DM 2’)
σ =Eε
E : Elastizitätsmodul / Youngscher Modul
[E] = Pa
σ : Spannung / Druck
ε : Dehnung
A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)
l : Länge, ∆l : Längenänderung
E-Modul Metalle: 200 GPa
Biegung
einseitige Einspannung,
Last am Ende des Balkens :
0
'ideal' : s ∼ FG
klein
s
G
Zug
Druck
neutrale
Faser
F = FG + F eigen
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
176
Querdehnung
F
d/2
bei Längs- und Querdehnung kann sich das Volumen ändern.
Kompression
∆V
∆p
= −
V
K
(DM - 4)
Kompressionsmodul [K] = Pa
p
Scherung
F
A
z
statt Strecke Winkel
F
= τ = Gγ
A
(DM - 5)
G : Schubmodul [G] = Pa
y
γ : Winkel (klein : tanγ = γ)
x
Isotrop: Gx = Gy = Gz
Anisotrop: Gx ≠ Gy ≠ Gz
Bsp: Bleistift
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
177
Torsion
Sonderfall der Scherung
M
Verdrillung, klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc.
F
Kreisförmiger Querschnitt: α klein
M∼αR
4
M=-Dα
(DM - 6)
Hooke, Spiralfeder für Schwingungen
4
M Drehmoment, R bringt "viel Steifigkeit"
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
178
5.6 Beispiele für Flüssigkeiten und Gase
Modellkörper: Ideale Flüssigkeit / Ideales Gas
Eigenschaften :
- Ideale Flüssigkeit : Form unbestimmt, Volumen bestimmt, Moleküle reibungsfrei verschiebbar
- Gas: füllt jedes Volumen aus, Moleküle reibungsfrei verschiebbar
Effekte: statische und dynamische Eigenschaften
5.6.1 Statik
Druck: p = F / A
wie Festkörper, nicht vektoriell, wirkt in alle Richtungen
F in Druckgleichung nimmt wegen Eigengewicht zu ==> Auftrieb
Schweredruck Flüssigkeit
V=Ah
p=mg/A=ρVg/A
h
=ρgh
(DM - 7)
JAVA Applett: Schweredruck in Flüssigkeiten
Folgerungen:
- Flüssigkeitsspiegel horizontal wegen Schwerkraft
- Hydrostatisches Paradoxon:
Schweredruck unabhängig von Gefäßform
(h = const.)
h
p = const
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
179
- Kommunizierende Gefäße
h = const.
Falls unterschiedlich: Druckdifferenz bis
h
p = const ==>
h=const
Druck ausgeglichen, dann aber h = const.
"nichts" fließt mehr
Tank
Meßrohr
- Staumauer
p = F/A = ρ g h
→F∼h
h
F
Uhren und Wassertiefe – Definitionen sind oft verwirrend !
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
180
Kompressibilität
aus Festkörper: Druck bewirkt Volumenabnahme
∆V
= − χ ∆p
V
Kompressibilität χ = 1/K
Phase
(DM - 8)
[χ] = 1/Pa
χ / 1/Pa
Modell
Starrer Körper
fest
flüssig
gas
-11
(inkompressibel)
10
-9
inkompressibel
10
-4
kompressibel
10
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
181
Konsequenz aus Kompressibilität
Kolbendruck
p = const
F1
F2
F1 / A 1 = F2 / A 2
A1
A2
Flüssigkeit
Gas
Modell
Technik
inkompressibel
Hydraulik
kompressibel
Pneumatik Preßluft
Anwendung: Kraftübertragung auch ‚um die Ecke’ wie bei elektr. Strom
beliebig krumme Leitungen, Vorteil gegenüber mechanischem Gestänge
Leitungsdichtigkeit: Hydraulik: kritisch, da Verschmutzung
Preßluft: unkritisch, nur Druckverlust
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
182
Schweredruck Gas
Schweredruck Gas komplizierter als Flüssigkeit wegen Kompressibilität
Säule komrimiert darunterliegendes Gas
kompressibel, T = const:
Barometrische Höhenformel: p = po e
-Ch
(DM - 9)
po ≈ 100 kPa Druck am Boden
C = 126 1/m
Konstante
real: T ≠ const : Internationale Höhenformel
Wie ist dieses Bild entstanden ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
183
Auftrieb
entgegengesetzt Erdanziehungskraft
Fo
oben: kleinere Säule wie unten
rechts-links: hebt sich auf
Fu > Fo
h
Fl
,V
Fr = - Fl
FA = Fu - Fo
Fu
= mverdr g
Newton, Masse verdrängtes Vol
=ρAhg
ρ Dichte, Durchschnittswert
=ρgV
(DM - 10)
FG : FA
Körper
Beispiel
>
↓
sinkt
=

schwebt Mostwaage
<
↑
steigt Gas- , Heißluftballon
Stein
JAVA Applett: Auftriebskraft in Flüssigkeiten
Ein U-Boot vom Boden kann nicht auftauchen da Fu fehlt !
Theoretisch, da in Praxis runder Rumpf
Fo
Fu = 0
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
184
Ideales Gasgesetz
pV=nRT
(DM - 11)
pV=NkT
n : Anzahl Mol, 1 Mol = 22,4 l z.B. 28g N2
R : Gaskonstante 8,3 J/Mol K
N : Anzahl Teilchen
k : Boltzmann Konstante 1,4 10
-23
J/K
[T] = K absoluter Nullpunkt : 0 K
Ideales Gas nur Modell für höhere Temepraturen, da für T = 0 das Volumen Null wäre!
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
185
5.6.2 Dynamik
allgemein:
Massefluß m
Strömungsfeld
A1
komplex da vektoriell
Geschw. v
A2
Transport von Materie durch Druckdifferenz
analog: Ladung (Strom), Wärme
Hydrodynamik
Vorr: inkompressible Materie, gilt auch für Gase bis ca. 1/3 Schallgeschwindigkeit
Materiestrom
Volumen
V=Avt
Volumenstrom
I = ∆V / ∆t = dV / dt = A v
Massefluß
m=ρV
Massestrom m' = ρ A v
aus s = v t
aus ∆m / ∆t
Fluß durch Flächenelement: m' = ∫A ρ v dA
analog anwendbar auf:
- Ladungen (Strom)
- Wärmetransport
- Diffusion
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
186
Durchfluß durch Röhren
- technisch wichtigster Fall
- Massen- und Volumenerhaltung:
m = const.
- da inkompressibel
V = const.
Kontinuitätsgleichung
v1
A v = const
v2
(DM - 12)
A1
A1 v1 = A2 v2 A groß - v klein und umgekehrt
A2
Bernoulli - Gleichung für horizontale Rohre
parallel zur Erdoberfläche
rechts: langsamer als links wegen
z
Kontinuitätsgleichung
A2, v2
Bernoulli-Gleichung
p2
p1
2
p + ½ ρ v = po = const
A1, v1
x
Epot
(DM - 13)
+ Ekin
Die Bernoulli-Gleichung ist ein Erhaltungsgesetz, welches aus dem Energiesatz folgt.
Druckmessung
Rechts: Anwendung Staudruckmesser bei
dynam. Druck
Gesamtdruck
Flugzeugen
stat. Druck
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
187
Anwendungen der Bernoulli - Gleichung
1. Auslaufen aus Gefäß
p
großes Volumen,
v1
kleiner Ausfluß
1
h = const.
h
2
Druck
v2
p
Ort
Betriebs = Luftdruck
Schweredruck
Dynamischer Druck
1
2
p
p
ρgh
0
1/2 ρ v1²
1/2 ρ v2²
v1 aus Kontinuitätsgleichung: A1 v1 = A2 v2
2
→ 1/2 ρ v2²( A2/A1) + ρ g h = 1/2 ρ v2²
A2 << A1 :
ρ g h = 1/2 ρ v²
→ v = 2gh
analog Freier Fall
2. Parfümzerstäuber
pLuft = p + 1/2 ρ v²
v
pL
→ p < pLuft
Gewicht Wassersäule vernachlässigt
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
188
Dynamischer Auftrieb
Beispiel : Flügel
po
dyn. FA
Weg länger
Folge aus Bernoulli
v größer --> p kleiner
dyn. Auftrieb aus p = F/A
Strecke länger, damit kein Vakuum hinter
pu
Flügel entsteht müssen beide Teile
gleichzeitig ‘ankommen’ : Kinematik s = v t
Bernoulli:
2
2
po + ½ ρ vo = pu + ½ ρ vu
2
2
→ ∆p = ½ ρ (vo - vu ) > 0
dyn
Fa
2
= cA ρ/2 A v
(DM - 14)
cA = Auftriebsbeiwert (vgl cW : Widerstandsbeiwert)
Frage zu obiger Skizze: Warum bzw. wie kann ein Flugzeug auf dem Rücken fliegen ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
189
Reale Strömungen
mit Reibung zwischen Molekülen
Fälle:
laminar
turbulent
v nimmt zu
rechenbar
‘komplex’
Laminare Strömung in Rohren
Hagen-Poiseuillsches Gesetz
r
Flüssigkeitsstrom I = ∆V / ∆t
R
4
v
I ∼ p/l R
(DM - 15)
l : Länge des Rohres
p : Druckabfall entlang l
Folgerung:
4
- Durchflussvolumen besser durch R- als durch p-Erhöhung steigern, da R
- Druckabfall in Rohren
Ursache: Reibungsverluste
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
190
Anhang
Koordinatensysteme
Kartesische Koordinaten
Beispiele
eindimensional
Zweidimensional
dreidimensional
Mechanik
gerader, ebener Weg
ebene Kurve
Steilkurve
E-Technik
Leitung
Flächenleiter
Funkwellen
Maschinenbau
Stab
gebogener Stab
Kasten
Mathematik
Skalar
Vektor
Vektor
Physik
Skalar (1D)
Vektor (2-3D)
Beschreibung
Zahlenwert * Einheit
Zahlenwert * Einheit * Richtung
Beispiel
Zeit
Geschwindigkeit, Kraft
Spezielle, problemangepaßte Koordinaten
Reduktion der Dimensionen ==> Vereinfachung der Rechnung
Bsp: Weg zur Wasserstelle in der Wüste mit Karte und Kompass
vorbei ! Karthesisch: 3 Werte notwendig
y
N
W
- x-Richtung,
O
x
- Weg in x-Richtung
r
- y-Richtung
S
y
α
x
Koordinaten
Beispiel
mit Fehler (übertrieben)
polar : 1 Wert ‘Richtung α
Polar -
Kugel -
Zylinder -
Drehbewegung
Funkwellen
Gewinde
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
191
Vektoren
r
Schreibweise: a
r
definiert durch Betrag ( | a | ) und Richtung mit beliebigem Anfangspunkt d.h. verschiebbar
z
az
Komponentenschreibweise:
 ax 
r  
a=  a y 
a 
 z
r
a =
a
verschoben
y
ay
a2x + a2y + a2z
Richtung (2-dim): tan α =
ay
ax
ax
x
Addition
a
b
Eindimensional
c
∑u
b
y
(3-dim. analog)
r r r
= 0: a + b − c = 0
r
r r
c = a+b
r
c
Zweidimensional
c=a+b
a
x
Anwendung:
2 Kräfte an einem Angriffspunkt
Komponentenschreibweise:
Beispiel
Achtung:
 c x   ax + bx 

r   
c =  c y  =  ay + by 
c  a + b 
 z  z z
r 2 r 0
a =   ; b =  
0
 1
r 2 + 0
 =
c = 
 0 + 1
 2
 
 1
Addition gilt nur bei linearen Zusammenhängen
z.B. Hookesches Gesetz (Feder) für kleine Wege
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
192
Subtraktion analog
Kräftezerlegung
b
c
(umgekehrte Addition)
y
Anwendung: Hangabtriebskraft
a
x
Multiplikation
mit Skalar
a
r
r
c = ka
k=3
c
Ergebnis: Vektor
c=3a
Anwendung: Einheitsvektor
Skalarprodukt
b
r r
r r
a ⋅ b = a b cosα
a
Ergebnis: Skalar (Zahl)
r r
a ⋅ b = 4 ⋅ 3 cos30o = 10,4
r r
Anwendung: Arbeit W = F ⋅ s
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
193
Vektorprodukt
c
r
r r
c = a ×b
r r r
c = a b sinα
(Mittelfinger)
(Kreuzprodukt)
b
(Zeigefinger)
r
c = Flächeninhalt
c
a
(Daumen)
Merkregel: Rechte Hand
Ergebnis: Vektor
r
c = 3 ⋅ 4 sin 30o = 6
Anwendung: - Mechanik : Drehmoment
r r r
M=r × F
r
r r
FL = Q v × B
- ET: Lorentzkraft
 a x   b x   a y bz − az b y 

r r r     
Komponentenschreibweise: c = a × b =  ay  ×  by  =  az bx − ax bz 
a  b   a b − a b 
y x
 z  z  x y
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
194
Kräftepaar
F
2 gleich große, entgegengesetzte Kräfte mit verschiedenem
Angriffspunkt
a/2
D
a/2
Bsp: - Gabelschlüssel
- Schraubendreher
Drehmoment: M = a/2 F + a/2 F = a F
r
r r
Betrag des Drehmomentes: M = a F
F
Beispiel:
Kräftepaar beim Gabelschlüssel
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
195
Physikalische Modellbildung mit der Feder
Das Feder - Masse - System ist einer der wichtigsten Modelle in der Atom-, Molekül- und
Kristallphysik.
Es kann z.B. die Wärmeausdehnung von Stoffen (siehe Wärmelehre) ausgehend von atomaren
Eigenschaften berechnet werden.
Grundlage:
- Hookesches Gesetz
- Feder - Masse – System
– Schwingungen
G
Anwendung: Berechnung von Bindungsgrößen
Moleküle
Kristalle
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
196
Übertragungseinflüsse nichtlinearer Kennlinien
Klein
groß
1,5
Amplitude
25
20
(Nl klein)
15
0,5
0
-0,5
0
5
10
Ampltitude
Ampltitude
1
10
5
0
-5 0
-1
-1,5
(Amplitude mittel)
-15
x (Eingang)
x/t
y=ax + bx² (Ausgang)
8
30
6
25
2
0
0
5
10
15
10
5
0
-5 0
-4
-6
x (Eingang)
x/t
y=ax + bx² (Ausgang)
20
4
-2
10
-10
Ampltitude
Anteil (b)
Ampltitude
Nichtlinearer
5
-10
5
10
x (Eingang)
x/t
y=ax + bx² (Ausgang)
x (Eingang)
x/t
y=ax + bx² (Ausgang)
Hier ist die doppelte Frequenz
deutlich 'sichtbar'
Konsequenz:
Bei großen Amplituden bzw. Intensitäten 'verläßt' man den linearen Bereich. Die dann
auftretenden Nichtlinearitäten verursachen eine Frequenzvervielfachung
Technische Anwendung
gewünscht : Lasermaterialbearbeitung, Laserfusion (Anpassung der Laserwellenlänge an
Material)
unerwünscht : Klirrfaktor bei Verstärkern (Maß für Oberwellenanteil)
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
197
Ortsfestes - mitbewegtes Bezugssystem
ICE
Koordinatensystem
s
s
von außen
t
s
t
s
s
t
t
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
198
Beispiel Messung und Optimierung Luftwiderstand Auto
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
199
Laminare und turbulente Strömung am Seitenfenster
Verringerung der Kosten durch erste Messungen im Wasser
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
200
Beispiel Luftwiderstand Golfball
Beispiel Berechnung Auftrieb und Luftwiderstand Flugzeug
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
201
Potentielle Energie am Beispiel Landkarte
Einfacher Weg
Geschlossener Weg
z /m
z /m
430
400
250
400
0
300
0
600
s /m
Weg bergauf = Hubarbeit
1200
s /m
Weg mit Rückkehr an Ausgangspunkt:
Gesamtarbeit = 0
d.h. aufgewendete (bergauf) und gewonnene
(bergab) Arbeit addieren sich zu Null
Wh
Epot
Wh
Epot
F
0
0
300
s /m
Hubarbeit ↔ Potentielle Energie
0
600
1200
s /m
geschlossener Weg : W hub ges = E pot ges = 0
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
202
Kraft als Ableitung der Energie :
- Umkehrfall zu Integration MD - 4 (siehe Mathe 2)
- 1D
F = grad E
- Erde F =
d Epot
dx
=
d (m g x )
= mg
dx
vgl. ET : E = - grad U
- gilt nur für 'Konservative' Felder wie Erdschwerefeld und Elektrisches Feld
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
203
Bsp: Silvesterrakete
Rakete (m = 0,1 kg = const. (Näherung) ) soll senkrecht nach oben starten (v Gas = w = 5 km/s).
Bewegungsgleichung aus Kraft-Impuls-Zusammenhang :
mo g = F = dp/dt = dm/dt w - mo a
( Betragsmäßig ; '-' ,da entgegengesetzt zu vgas )
Welcher Gasausstoß dm/dt ist erforderlich, damit die Rakete über dem Startplatz schwebt ?
keine Beschleunigung : a = 0
→ m0 g =
→
dm
w
dt
dm
m g 0,1⋅ 10 kg m s
1 kg
= 0 =
=
2
dt
w
5000 m s
5000 s
Wie groß ist die Beschleunigung bei 3* so großem Gasausstoß wie beim Schweben ?
m0 g =
.
dm
w − m0 a
dt
Schweben
m0 g = 3
dm m0 g
=
dt
w
(s.o.)
m0 g
w − m0 a
w
→
g = 3 g−a
→
a=2g
Nach Brennschluß fliegt die Rakete (m nunmehr 0,08 kg) mit 20 m/s und explodiert in 2 Teile.
Teil 1 wiegt 0,03 kg und fliegt mit 40 m/s und Teil 2 mit 30 m/s. Welchen Winkel schließen die
(gerade) Flugbahnen der beiden Bruchstücke ein ?
Impulserhaltung
vor Explosion:
po = mv = 0,08 20 kgm/s = 1,6 kgm/s
nach
p1 = 0,03 40 kgm/s = 1,2 kgm/s
p2 = 0,05 30 kgm/s = 1,5 kgm/s
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
204
bis hierher nur Beträge, entscheidend aber
Kreise um Endpunkte
Richtungen :
r
r
r
po = p1 + p2
p1
p2
α2
α1
p0
α1 und α2 gesucht
zeichnerische Lösung : 46° + 61° = 107°
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
205
Weitere Wärmekapazitäten
molare Wärmekapazität
cmol =
C
n
bzw. C = cmol n
n : Stoffmenge [n] = mol . Dies ist eine der 7 Basisgrößen !
Allgemeine Gaskonstante :
R = cpmol - cvmol
Dulong-Petitsche Regel für fast alle Festkörper bei 20 °C :
cmol = 3 NA kB ≈ 25
J
K mol
mit Avogadro-Konstante NA = 6 . 10
23
Boltzmann Konstante kB = 1,4 . 10
1
mol
-23
J
K
d.h. bei Raumtemperatur sind sich die Festkörper relativ ähnlich !
Beispiele : Eisen Fe :
0,056 kg/mol → 1 kg ≡ 18 mol
25
.
.
→ c 1kg = cmol 18 mol → c =
J
⋅ 18 mol
kJ
K mol
= 0,45
vgl. Tabelle !
1 kg
K kg
analog Aluminium (Al) 0,027 kg/mol → c = 0,9
kJ
K kg
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
206
Druck - Temperatur - Abhängigkeit
Bsp: H2O
p /Pa
Schmelzdruckkurve
10
Wasser
6
Dampfdruckkurve
" 1 at "
Wasserdampf
Eis
10
kritischer
Punkt
2
Tripelpunkt
Sublimationsdruckkurve
1
-100
0
100
300
T /°C
Anmerkungen:
Sublimationsdruckkurve
Eis ↔ Wasserdampf; Beispiel Trockeneis
Schmelzdruckkurve
nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen
Dampfdruckkurve
T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T als am
Meer, Kavitation bei Schiffsschraube
Tripelpunkt
alle 3 Phasen existieren
H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa
kritischer Punkt
nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase durch
Druck verflüssigen
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
207
Plancksches Strahlungsgesetz
Schwarzer Körper mit A = 1m², Emissionsvermögen = 1
Wärmestrom /W
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
200
400
600
800
1000
T /K
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
208
Spektrum der Planckschen Strahlung (Black Body Radiation)
Schwarzer Körper
Glühbirnen emittieren ihre Strahlung nur zu einem kleinen Teil (10 %) im sichtbaren Bereich
Spektrum von Schwarzen Körper bei Zimmertemperatur und Sonnenlicht
Das Spektrum der Sonne (s.o.) ergibt eine Oberflächentemperatur von etwa 6000 K.
Die 'Farbe' eines heißen Körpers ist für das menschliche Auge sichtbar, wie obige Spektren
verdeutlichen !
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
209
Einen Zusammenhang zwischen Spektrum und menschlichem Farbeindruck liefert die CIE 1931Norm:
Die hufeisenförmige Kurve repräsentiert auf ihrem Rand scharfe Spektrallinien, wie z.B. eines
Lasers (s.o.) Im Inneren finden sich ausgedehnte Spektren. Die eingezeichnete Kurve gibt den
Äquivalenzwert der Temperatur eines Schwarzen Strahlers wieder.
Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die
Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender
Temperatur zu erkennen: Rot (600°C) - Gelb
(1100°C) - Weißglut (1300°C)
Das menschliche Sehen ‚passt‘ sich an die Farbe des Umgebungslichtes an, elektronische
Sensoren (CCD, Videokamera, Digitalkamera, ...) benötigen hier einen Weißabgleich, da
unterschiedliche Beleuchtungsquellen !
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
210
Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren
 2
 1
1. Geben Sie Betrag und Richtung der Vektoren an: vr 1 =  2  ; vr 2 =  0  ; vr 3 =  2 
0
 
 1
3
 
 
2. Addieren Sie die Kräfte bzw. Vektoren und geben Sie Betrag und Richtung an. a) und b) auch
graphisch.
r 1 r
a) a =   ; b =
1
3
 1 

r   r 
r  2  r  − 1 r  3 
 1
  b) a =   ; b = 
 ; c =   c) a =  4  ; b =  − 2 
 − 1
 1
 − 2
 4
5
 3 
 


r  4
3. Zerlegen Sie die Kraft in 2 orthogonale Kraftvektoren (Rechnung und Zeichnung) F =  
2
r
r
4. Auf einen Starren Körper, welcher den Weg s zurücklegt wirkt die Kraft F . Wie groß ist die
Arbeit? ([s] = m ; [F] = N)
r 2 r
a) s =   ; F =
 1
3
 
2
r 0 r
b) s =   ; F =
 1
1000 


 0 
r  1 r  5 
5. Berechnen Sie das Drehmoment und vergleichen Sie 4) und 5) . r =   ; F =  
2
6
6. Berechnen Sie die Hangabtriebskraft für einen Winkel von 30° und einen runden Körper der
Masse 1 kg .
7. Berechnen Sie den Schwerpunkt: 3 gleiche Massen im gleichseitigen Dreieck und masselose
Stangen
8. Bei welchem Flüssigkeitsstand ist die Standfestigkeit einer Getränkedose am größten, d.h. der
Schwerpunkt am tiefsten? Idealisierung: Dünnwandige Zylinderdose, welche am Anfang ganz
voll ist. Masse Dose < Masse Getränk (voll).
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
211
Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren - Lösungen
1.
Betrag
v1
2
Richtung
0° (xy)
v2
5
xy : 0°
xz : 26,6°
2.
 4
r 2
r  4
r  
a) c =   ; b) c =   ; c) c =  2 
0
3
8
 
3.
r  4 r 0
Fx =   ; Fy =  
0
 2
4.
a)
W = 8 Nm
b)
W = 0 Nm
5.
 0 
r 

M= 0 
 − 4


r
r r
M = r F sin ϕ = 5
v3
14
xy (Azimut): 63,4°
xy auf z (Elevation) 53,3°
(Elevation : Vektor ( 5 /3) )
r
61 sin13,5o = 4 = M
M und W haben dieselbe Einheit aber Vektor und Skalar!
6.
FH = 5 N
7. für normale Gewichtsverhältnisse : xs = L/2 ; ys ≈ 0,3 L
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
212
Übungsblatt Kinematik 1
1. 2 Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 80km/h und v2 = 100km/h auf der
rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t=0 ist das 1. Auto 250m vor
dem 2. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat das 2. Auto das 1. um 50m überholt?
Lsg.: t=54s, s = 1500m
2. Der ICE erreicht eine Geschwindigkeit von 250 km/h innerhalb 600s. Zum Abbremsen benötigt
er 140s, bei einer Notbremsung nur 60s. Wie groß sind die durchschnittlichen
Beschleunigungen?
Lsg.: a /m/s² : 0,116 / -0,5 / -1,16
3. Sie lassen einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den
Aufschlag. Wie tief ist der Brunnen? Bis zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht
berechnen?
Lsg.: Annahme t = 3,14s ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgeschwindigkeit 5%
4. Sie schießen eine Billardkugel über einen Tisch der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem
Boden ist horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Geschwindigkeit der Kugel an
der Tischkante?
Lsg.: v = 2,24m/s
5. Skispringen Obersdorf: Die (waagrechte) Absprunggeschwindigkeit beträgt 72km/h, die
Landepiste hat ein Gefälle von 45°. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die Flugzeit
und die Sprungweite (ohne Schanzentisch) gesucht.
Lsg.: a = 113m ; t = 4s
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
213
Übungsblatt Kinematik 2
1. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer eines erdnahen Satelliten
(g=const.). Erklären Sie die Schwerelosigkeit.
Lsg.: T = 84min ; v = 8km/s
2. Sie sind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realistische Aufnahmen zeigen zu
können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwerelosigkeit. Aus Budgetgründen können Sie
natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern. Welche Möglichkeit
bleibt Ihnen? Versuchen Sie dies ausgehend von Ihrer Erfahrung als Autofahrer bei Fahrten
über eine Kuppe und dem schiefen Wurf (Fitten Parabel - Kreis) anzudenken.
Lsg.: Kreisbahn ar = g mit v = 300m/s ; Viertelkreis 47s Filmzeit
3. Sie lassen eine Kugel (ohne Luftwiderstand) aus einem Ballon fallen, der sich in 30km Höhe
befindet. Die Erdbeschleunigung ist höhenabhängig nach der Formel b = g(R/r)² mit g = 10m/s²,
Erdradius R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit welcher
Geschwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie dies mit der
Rechnung mit konstanter Erdbeschleunigung 10m/s². Ansatz: g(R/r)² + a = 0.
mit g=const: g = 10 m/s: t = 77,46s ; v = 774,6m/s, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall mit
adaptierter Fallbeschleunigung.
4. Ein Motor erreicht nach 60s eine Drehzahl von 7200/min bei gleichmäßiger Beschleunigung.
Ein an ihm befestigte Scheibe hat den Durchmesser 1,2m. Berechnen Sie die
Winkelbeschleunigung, die Umfangsgeschwindigkeit nach 30s und die Anzahl der
Umdrehungen nach 10s.
Lsg.: α = 12,6 1/s² ; v = 226m/s ; N = 100
5. Ein Motor hat 15s nach dem Anlaufen 500 Umdrehungen durchgeführt. Das Anlaufen ist
während der ersten 5 Sekunden gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig. Wie ist
hoch ist die Drehzahl des Motors?
Lsg.: N = 40 1/s
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
214
Übungsblatt Dynamik
1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im
Elektrischen und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder Energieansatz.
r
r
r
r
r
Formeln: Fel = − e E ; Epot = − e U ; Fmag = − e v × B
a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV (Elektron ruht zu
5
Beginn).
v = 10 km/s
b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld der
Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform.
Parabel
c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es mit
einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus?
Kreis, Arbeit = 0
2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m1 und m2 befestigt.
Berechnen Sie die Beschleunigung
a) bei masseloser Rolle
b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r
a =
a =
m1 − m2
⋅g
m1 + m2
m1 − m 2
m1 + m2 +
J
r2
⋅g
3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei
innerhalb von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit (ideal)
216 kJ
4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber wegen des
Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den Reibungskoeffizienten µ
mit 0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen?
61,2 m
5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und
fahren 1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N. Zeichnen Sie
den zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder?
8s
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
215
Übungsblatt Schwingungen
1. Simulieren Sie Schwingungsphänomene mit dem Computer (z.B. EXCEL):
Dämpfung - Erzwungene und anharmonische Schwingungen - Überlagerung
2. Weisen Sie nach, daß beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes
²
(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + ωo s² = const) ist.
3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe Vorlesung)
auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche meßtechnische Bedeutung hat ein
Torsionspendel?
4. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr
(siehe Vorlesung) auf, Eigenfrequenz ?
5. Sie bohren ein Loch durch die Erde (senkrecht, durch den Erdmittelpunkt). Wenn Sie einen
Gegenstand hineinbringen und loslassen, wird er durch die Erdanziehungskraft hineingezogen
(
a=
r
g
R
mit R = 6400km, g = 10m/s², Abstand r vom Erdmittelpunkt, ohne Reibung etc.).
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie sie
(Bewegungsform, relevante Parameter)
b) Vergleichen Sie die Zeit, die der Gegenstand zu Durchqueren der Erde und zurück braucht
mit der Umlaufzeit eines niedrigfliegenden Erdsatelliten (Übungsblatt Kinematik)
"etwa gleich groß"
6. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an
einem Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem
Mathematischen Pendel.
2
Lsg: /√3 eines gleichlangen M. P.
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
216
7. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, daß der längere Teil
hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten.
Stellen Sie die Bewegungsgleichung und und vergleichen Sie diese "einmalige" Bewegung mit
einer Harmonischen Schwingung.
8. Ein Teilchen der Ladung q und der Masse m befindet sich im homogenen Feld eines senkrecht
zur Erde stehenden genügend großen Plattenkondensators (Abstand d). An diesem liegt eine
Wechselspannung an, so daß eine Kraft F = qUmax/d cosωt horizontal und die
Erdanziehungskraft vertikal wirkt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und integrieren
diese.
9. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder,
Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er wird
von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt.
Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses
(reibungsfrei).
25 cm
10. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im Wasser.
Zeigen Sie, daß das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung) durchführt,
wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird.
11. Ein Federpendel besitzt zur Zeit t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit 10cm/s
und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die Kreisfrequenz der
Schwingung?
7,07 cm
2 1/s
Ein 2-atomiges Molekül kann durch ein Feder-Masse-Modell beschrieben werden. 2 harte Kugeln
der Einzelmassen 1,67 10
-27
kg sind mit einer Feder (D = 510 N/m) verbunden.
Achten Sie auf die Bewegung des Schwerpunktes, hier tritt sonst ein Faktor 2 auf !
a) Eigenfrequenz des Moleküls
1,24 10
14
Hz
b) In welchem Wellenlängenbereich liegt diese?
c) Welche meßtechnische Bedeutung hat dies?
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
217
Übungsblatt Wärmelehre
1. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)
2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen
‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C
-6
(α = 10 10 1/K) ?
28 mm
3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es
wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wieviel höher steht das Wasser
-3
nach dem Aufwärmen auf 30°C (γ = 0,18 10 1/K) ?
36 mm
4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem
Tauchsieder erwärmt.
a) Welche Energie muß dem Wasser zugeführt werden ?
75 MJ
b) Wieviel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ?
21 kWh
Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:
a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?
b) Wieviel Liter Luft muß mindestens vorhanden sein, damit der Meßfehler bei Bedingungen wie
im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
218
Übungsblatt Deformierbare Medien
1. Eine auf einer Platte senkrecht stehende Feder mit der Feder-konstanten D = 100 N/m ist 5 cm
gespannt. Auf Ihr liegt ein Gewicht (50g). Die Feder wird freigegeben, das Gewicht bewegt sich
senkrecht nach oben.
a) Welche Idealisierungen verwenden Sie?
b) Welche Bewegungsformen treten auf?
c) Welche Höhe oberhalb des Ruhezustandes der Feder erreicht das
Gewicht?
25 cm
d) Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht das Gewicht, wo?
2. Ein Flugzeug hat ein Startgewicht von 100t. Wie groß muß die Flü-gelfläche minimal sein, damit
das Flugzeug überhaupt abheben kann?
a) statisch
10 m²
b) dynamisch (vstart = 300 km/h , cA = 0,01)
22000 m²
3. Wie hoch ist die maximale Förderhöhe einer Saugpumpe (vgl. Saugen mit Spritze). Warum
können Bäume höher wachsen?
10 m
4. Eine Feder der Länge L und der Federkonstanten D wird in der Mitte durchtrennt. Die beiden
Hälften werden an ihren losen Enden ideal miteinander verbunden. Wie groß ist die
Federkonstante D|| dieser 'Parallelschaltung', wenn vorher und nachher um dieselbe Strecke x
gedehnt werden soll?
D|| = 4D
5. Wie lange kann ein Stahldrahtseil, welches an einem Ende aufge-hängt ist, maximal sein,
bevor es unter seinem Eigengewicht zer-reißt (Zugfestigkeit/Bruchspannung 0,7 kN/mm² , ρ= 7
kg/dm³)?
10 km
6. Vergleichen Sie einen Vollstab mit einem Rohr bzgl. ihres Verhaltens bei Torsion (R = 2 cm).
Bsp. Ri = 1,5cm: 30% weniger Steifigkeit, 56% weniger Gewicht
Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010
219