P3.6.3.2 - LD Didactic
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LD Handblätter Physik Elektrizitätslehre Gleich- und Wechselstromkreise Wechselstromwiderstände P3.6.3.2 Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Spulen und ohmschen Widerständen Versuchsziele g Bestimmung des Gesamtwiderstandes und der Phasenverschiebung bei Reihenschaltung von Spule und Widerstand. g Bestimmung des Gesamtwiderstandes und der Phasenverschiebung bei Parallelschaltung von Spule und Widerstand. Grundlagen UR = R ⋅ I0 ⋅ cos ( ω⋅ t − ϕS ) Liegt an einer idealen Spule mit der Induktivität L eine Wechselspannung U = U0 ⋅ cos ( ω⋅ t ) mit ω = 2π ⋅ f und an der Spule die Spannung (I), π UL = X L ⋅ I0 ⋅ cos ω⋅ t − ϕS + 2 so fließt der Strom I= U0 π ⋅ cos ω⋅ t − ω⋅ L 2 US = R 2 + X L2 ⋅ I0 ⋅ cos ( ω⋅ t ) (VII) wenn ϕS die Bedingung (III) tan ϕS = zu und sagt, dass die Spannung gegenüber dem Strom um 90° phasenverschoben sei (siehe Fig. 1). Die Phasenverschiebung wird häufig in einem Zeigerdiagramm dargestellt. XL R (VIII) erfüllt. US stimmt mit der angelegten Spannung U überein, folglich ist Reihenschaltung U0 = R 2 + X L2 ⋅ I0 Ist die Spule in Reihe mit einem ohmschen Widerstand geschaltet, so fließt durch beide der gleiche Strom. Dieser lässt sich in der Form I = I0 ⋅ cos ( ω⋅ t − ϕS ) (VI) ab. Die Summe dieser beiden Spannungen ist (II) durch die Spule. Man weist daher der Spule einen induktiven Wechselstromwiderstand X L = ω⋅ L (V) (IX), d.h. der Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und Spule lässt sich der Wechselstromwiderstand (IV) darstellen, wobei ϕS zunächst noch unbekannt ist. Am ohmschen Widerstand fällt demnach die Spannung 0214-Sel Fig. 1 1 Wechselstromkreis mit einer Spule (Schaltbild, Zeigerdiagramm und U(t),I(t)-Diagramm) P3.6.3.2 LD Handblätter Physik Die Summe der beiden Ströme ist Geräte 1 Rastersteckplatte, DIN A4 1 STE Widerstand 1 Ω, 2 W 1 STE Widerstand 100 Ω, 2 W 1 Spule mit 500 Windungen 1 Spule mit 1000 Windungen 576 74 577 19 577 32 590 83 590 84 1 Funktionsgenerator S 12 522 621 1 Zweikanal-Oszilloskop 303 2 Messkabel BNC/4 mm 575 211 575 24 IP = 1 R 2 + 1 X L2 ⋅ U0 ⋅ cos ( ω⋅ t − ϕP ) (XIII) mit tanϕP = R XL (XIV). Sie entspricht dem gesamten der Spannungsquelle entnommenen Strom. Also lässt sich der Parallelschaltung aus ohmschem Widerstand und Spule ein Wechselstromwiderstand ZP zuweisen, für den die Beziehung Experimentierkabel 1 1 1 = + ZP R 2 XL2 (XV). gilt. Die Spannung ist in dieser Anordnung um ϕP gegenüber dem Strom phasenverschoben (siehe Fig. 3). ZS = R 2 + X L2 (X) Im Versuch werden der Strom I(t) und die Spannung U(t) in einem Wechselstromkreis als zeitabhängige Größen mit einem Zweikanal-Oszilloskop gemessen. Ein Funktionsgenerator dient als Spannungsquelle mit variabler Amplitude U0 und variabler Frequenz f. Aus den gemessenen Größen wird der Betrag des Gesamtwiderstandes Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Spannung und Strom bestimmt. zuweisen. Die Spannung ist in dieser Anordnung um ϕS gegenüber dem Strom phasenverschoben (siehe Fig. 2). Parallelschaltung Ist die Spule parallel zum ohmschen Widerstand geschaltet, liegt an beiden die gleiche Spannung. Sie hat z.B. die in (I) angegebene Form. Durch den ohmschen Widerstand fließt jetzt der Strom IR = U0 ⋅ cos ( ω⋅ t ) R (XI) Fig. 2 Wechselstromkreis mit Spule und ohmschem Widerstand in Reihenschaltung (Schaltbild, Zeigerdiagramm und U(t),I(t)Diagramm) Fig. 3 Wechselstromkreis mit Spule und ohmschem Widerstand in Parallelschaltung (Schaltbild, Zeigerdiagramm und U(t),I(t)Diagramm) und durch die Spule der Strom IL = U0 π ⋅ cos ω⋅ t − XL 2 (XII) 2 P3.6.3.2 LD Handblätter Physik Aufbau Durchführung Der Versuchsaufbau ist in Fig. 4 dargestellt. – Spule mit 1000 Windungen als Induktivität L in Reihe zum 100-Ω-Widerstand einsetzen. – Funktionsgenerator durch Anschluss des Steckernetzgerätes einschalten und Frequenz 10000 Hz (T = 0,1 ms) einstellen. – Hierzu passende Zeitablenkung am Oszilloskop wählen. – Amplitude des Ausgangssignals auf 5 V einstellen. – Im Kanal II des Oszilloskops Amplitude Um des Signals U ablesen und als Strom I0 = m in die Tabelle eintragen. 1Ω – Zeitabstand ∆t der Nulldurchgänge der beiden Signale ablesen. – Spule durch Spule mit 500 Windungen ersetzen und Messung wiederholen. – Nacheinander beide Spule parallel zum Widerstand schalten und Messung wiederholen. – Weitere Frequenzen gemäß Tab. 1 einstellen und Messungen wiederholen. – Funktionsgenerator als Wechselspannungsquelle schließen und Kurvenform einstellen. – Kanal I des Oszilloskops mit Ausgang des Funktionsgenerators verbinden und in Kanal II den Spannungsabfall am Messwiderstand 1 Ω einspeisen. – Am Oszilloskop Taste DUAL drücken und Kopplung sowie Trigger auf AC stellen. Fig. 4 an- Versuchsaufbau zur Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Spulen und ohmschen Widerständen in Reihenschaltung (oben), in Parallelschaltung (unten) 100-Ω- Messbeispiel U0 = 5,0 V, Rm = 1 Ω, R = 100 Ω Tab. 1: Messdaten zu Frequenz f, Schwingungsdauer T, Windungszahl N, Zeitabstand ∆t und Stromamplitude I0 Reihen schaltung 3 Parallelschaltung N I0 mA ∆t ms I0 mA ∆t ms 1000 5 0,024 50 0,001 500 18,5 0,019 54 0,006 1000 9 0,04 50 0,006 500 30 0,028 64 0,020 1000 20 0,08 56 0,032 500 40 0,04 105 0,08 1000 30 0,12 70 0,10 500 46 0,05 190 0,19 1000 41 0,16 110 0,28 500 48 0,04 380 0,36 1000 42 0,20 210 0,55 500 46 0,05 520 0,65 10 1000 40 0,20 260 0,80 20 1000 42 0,0 300 0,5 f Hz T ms 10000 0,1 5000 0,2 2000 0,5 1000 1 500 2 200 5 100 50 P3.6.3.2 LD Handblätter Physik Auswertung Die Messdaten der Tab. 1 werden wie folgt ausgewertet: Aus dem Zeitabstand ∆t zwischen Spannung und Strom und der Schwingungsdauer T berechnet man die Phasenverschiebung ϕ gemäß ϕ = 360 ⋅ ∆t T und aus den Amplituden U0 und I0 den Betrag des Gesamtwiderstandes gemäß Z = U0 I0 Die Ergebnisse sind in Tab. 2 eingetragen. Dort ist auch der gemäß (III) berechnete induktive Widerstand der jeweils eingesetzten Spulen angegeben. Gerechnet wurde mit den Werten L = 4,25 mH für N = 500 und L = 17 mH für N = 1000. Fig. 5 Gesamtwiderstand ZS der Reihenschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand als Funktion des induktiven Wechselstromwiderstandes XL Messwerte für die Spule mit 1000 Windungen Messwerte für die Spule mit 500 Windungen Tab. 2: Aus den Messdaten der Tab. 1 berechnete Werte für den Gesamtwiderstand Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Spannung und Strom Reihen schaltung Parallelschaltung N XL Ω Z Ω ϕ Z Ω ϕ 1000 1068 1000 86° 100 4° 500 267 270 68° 93 22° 1000 534 556 72° 100 11° 500 133,5 167 50° 78 36° 1000 214 250 58° 89 23° 500 53,5 125 29° 48 58° 1000 106,8 167 43° 71 36° 500 26,7 109 18° 26 68° 1000 53,4 122 29° 45 50° 500 13,35 104 7° 13,2 65° 1000 21,4 119 14° 24 40° 500 5,35 109 4° 9,6 47° 100 1000 10,68 125 7° 19,2 29° 50 1000 5,34 119 0° 16,7 9° f Hz 10000 5000 2000 1000 500 200 Fig. 6 Phasenverschiebung ϕS zwischen Spannung und Strom für die Reihenschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand als Funktion des induktiven Wechselstromwiderstandes XL Messwerte für die Spule mit 1000 Windungen Messwerte für die Spule mit 500 Windungen Für die Reihenschaltung ist in Fig. 5 der Wechselstromwiderstand ZS und in Fig. 6 die Phasenverschiebung ϕS zwischen Spannung und Strom in Abhängigkeit vom induktiven Widerstand XL dargestellt. Die durchgezogenen Kurven wurden nach Gl. (X) bzw. nach Gl. (VIII) berechnet. 4 P3.6.3.2 LD Handblätter Physik Die entsprechenden Darstellungen für die Parallelschaltung zeigen Fig. 6 und 7. Hier ergeben sich die durchgezogenen Kurven aus den Gln. (XIV) und (XV). Sie weichen allerdings deutlich von den Messergebnissen ab, da der ohmsche Widerstand der beiden Spulen vernachlässigt blieb. Setzt man für die Spule mit 500 Windungen einen ohmschen Widerstand von RL = 4 Ω und für die Spule mit 1000 Windungen einen ohmschen Widerstand von RL = 18 Ω an, ergeben sich die gestrichelten Kurven. Fig. 7 Gesamtwiderstand ZS der Parallelschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand als Funktion des induktiven Wechselstromwiderstandes XL Messwerte für die Spule mit 1000 Windungen Messwerte für die Spule mit 500 Windungen ––––– gerechnet für ideale Spulen ––––– gerechnet für eine reale Spule mit RL = 18 Ω - - - - - gerechnet für eine reale Spule mit RL = 4 Ω Zusatzinformation Mathematisch eleganter ist die Beschreibung der Reihenbzw. Parallelschaltung aus ohmschem und induktivem Widerstand mit komplexen Größen: Liegt eine Spannung U = U0 ⋅ ei⋅ω⋅t an einer Spule, so hat diese den induktiven Widerstand X L = i ⋅ ω⋅ L . Der Widerstand ZS einer Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand R und induktivem Widerstand ist dann ZS = R + i ⋅ ω⋅ L . Bei einer Parallelschaltung gilt für den Gesamtwiderstand ZP 1 1 1 = + . ZP R i ⋅ ω⋅ L Fig. 8 Phasenverschiebung ϕP zwischen Spannung und Strom für die Parallelschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand als Funktion des induktiven Wechselstromwiderstandes XL Messwerte für Spule mit 1000 Windungen Messwerte für Spule mit 500 Windungen ––––– gerechnet für ideale Spulen ––––– gerechnet für eine reale Spule mit RL = 18 Ω - - - - - gerechnet für eine reale Spule mit RL = 4 Ω LEYBOLD DIDACTIC GMBH Leyboldstrasse 1 D-50354 Hürth Phone: (02233) 604-0 Fax: (02233) 604-222 e-mail: [email protected] by Leybold Didactic GmbH Printed in the Federal Republic of Germany Technical alterations reserved
