21 Elektromagnetismus und Relativitaet
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Magnetostatik 1. Permanentmagnete 2. Magnetfeld stationärer Ströme 3. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld i. Kräfte im Magnetfeld Lorentzkraft ii. Kräfte zwischen Leitern iii. Kraft auf eine bewegte Ladungen iv. Elektronenoptik v. Halleffekt vi. „Elektrodynamik bewegter Körper“ 4. Materie im Magnetfeld Ströme und Lorentzkraft Elektronen- Elektronenquelle quelle Elektronenstrahl Leiter ziehen sich an, Wenn Strom fließt, d.h. Elektronen sich mit v bewegen r Elektronenstrahl Elektronen werden mit Geschwindigkeit v emittiert: bewegte Ladung = Strom Strom erzeugt Magnetfeld: Anziehung erwartet 1 Woher kommt die Abstoßung? Lorentzkraft: FLo = I L B und anziehend Elektronenstrahl Strom I = ρ v A mit r Ladungsdichte A Querschnitt und v Driftgeschwindigkeit µ L 2 FLo = ILB = µ0 I = 0 ρ 2v 2 A2L 2π r 2π r Zwischen Ladungen gibt es aber noch Coulombkraft FC = Q E Ladung Q in Strahl mit Länge L und Querschnitt A und Ladungsdichte ρ: Q=ρAL E= Q 1 ρV = 2π ε 0 r L 2π ε 0 L 1 F C= QE = 1 ρ 2V 2 2π ε 0 r L E-Feld eines geladenen Stabes Coulombkraft Welche Kraft dominiert? FC FLo Fges Fges = FC − FLo = ( ρV )2 ⎛ 1 ⎜ ⎞ − µ0v 2 ⎟⎟ ⎜ 2π rL ⎝ ε 0 ⎠ mit Definition Lichtgeschwindigkeit c 20 = ( ρV ) ⎛ v ⎞ ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ c0 ⎠ 2π rε 0L ⎝ 2 Fges = 2 1 ε 0 µ0 Abstoßende Wirkung aufgrund der Coulombkraft überwiegt, solange die Geschwindigkeit der Ladungsträger nicht gleich der Lichtgeschwindigkeit ist 2 Bewegtes Elektron und ruhender Leiter q- Elektron bewegt sich mit v0 parallel zu Leiter im Bezugssystem des Labors (S) v0 ρ+ ρ- Strom I v- v+ =0 Leiter ruht für Beobachter im Laborsystem S Strom fließt, Elektronen mit Ladungsdichte ρ- bewegt sich mit vIonen (Atomrümpfe) mit ρ+ sind in Ruhe v+ = 0 Leiter ist neutral ρ+ = ρKraft auf Elektron r r r FLo = q v 0 × B ( ) B= µ0 2π r I= µ0 2π r ρ − v −A FLo = µ0 − − ρ v Aqv 0 Annahme v- = v 0 = v und c -02 = µ0ε 0 2π r FLo = ρ − Aq v 2 2π ε 0 r c 20 Elektron zu Leiter gezogen Ruhendes Elektron und bewegter Leiter qρ′+ v ′+ = -v Elektron ruht im Bezugssystem S‘ ρ′- Strom I‘ v′-=0 Leiter bewegt sich im Koordinatensystem S‘ mit Geschwindigkeit v Geschwindigkeit so gewählt, dass Elektronen (ρ‘-) in Ruhe (einfacher) Draht fliegt an Elektron vorbei, positive Ladungen bewegen sich mit v, Es gibt einen Strom I‘ und Magnetfeld B‘ Kraft auf Elektron FLo = q v B = 0 weil Elektron in Ruhe Elektron wird nicht abgelenkt? Ändert sich die Physik, wenn ich das Bezugssystem ändere? 3 Elektrodynamik bewegter Körper Albert Einstein (1879-1955) Relativitätstheorie: Einsteins Postulate 1. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich. 2. Relativitätsprinzip Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt für alle physikalischen Gesetze. Daraus folgt: Für einen Beobachter gleichzeitige Ereignisse sind nicht unbedingt für einen anderen Beobachter gleichzeitig Zeitdilatation (Schnell bewegte Uhren erscheinen langsamer zu gehen) Längenkontraktion (Schnell bewegte Maßstäbe erscheinen in Bewegungsrichtung verkürzt) 4 Zeitdilatation Zeitmessung durch die Flugzeit eines Lichtimpulses von Quelle zum Spiegel und wieder zurück Uhr1 und Uhr2 ruhen im Bezugsystem des Beobachter Uhr2 bewegt sich relativ zum Beobachter Lichtimpuls legt in Uhr2 aus Sicht des ruhenden Beobachters längeren → Uhr2 tickt langsamer Weg zurück Aus Sicht des bewegten Beobachters tickt Uhr1 langsamer ! vrel α ∆ t2 = c l = c cos α ∆ t1 v ⎞ ⎛ cos⎜ arcsin rel ⎟ c ⎠ ⎝ = ∆ t1 1 v2 1 − rel2 c = γ ∆ t1 Längenkontraktion Die Länge eines bewegten Objektes erscheint in Bewegungsrichtung verkürzt Länge im bewegten Lbew Bezugssystem Längenkontraktion: L= 1− v 2 / c2 scheinbare Länge im ruhenden Bezugssystem Ein Bus mit 0.9 c Blick aus dem Bus 5 Ruhendes Elektron und bewegter Leiter qρ′+ Elektron ruht im Bezugssystem S‘ ρ′- v ′+ = -v Strom I‘ v′-=0 Kraft auf Elektron FLo = q v B = 0 weil Elektron in Ruhe Elektron wird nicht abgelenkt Ändert sich die Physik, wenn ich das Bezugssystem ändere? Einstein‘sche Relativitätstheorie: Nein Erklärung: Ruhendes Elektron kann nur durch Coulombkraft angezogen werden Neutraler Leiter im Bezugssystem S muss im Bezugssystem S‘ geladen sein Bewegte Ladungen Ändert sich die Ladung bei der Bewegung wie die Masse? m (v ) = m0 = γ ⋅ m0 v2 1− 2 c Relativistische Massenänderung Ladung ist eine invariante skalare Größe, die unabhängig vom Bezugssystem ist System S Q = Q‘ in System S‘ Experimenteller Nachweis: Erwärmte Materie lädt sich nicht auf 6 Bewegte Ladungsdichte v Länge L Fläche A Länge L‘ Ladungen in Bewegung mit v Ladung Q‘ = Q A‘ = A = A0 (normal auf v) Ladungen in Volumen V= LA In Ruhe v =0 Ladung Q Q = Q' ρ L A = ρ ' L' A ρ'= Fläche A‘ 2 2 Relativistische Längenkontraktion L' = L 1 − v / c ρ 1− v 2 / c2 Ladungsdichte einer Verteilung von bewegten Ladungen ändert sich in derselben Weise wie die relativistische Masse eines Teilchens Bewegter Draht Positive Ladungen in S in Ruhe in S‘ bewegt mit v ρ+ ' = ρ+ 1− v 2 / c2 Ladungsdichte in S‘ Negative Ladungen in S bewegt mit v und in Ruhe in S‘ ρ− = ρ− ' 1− v 2 / c2 Ladungsdichte in S‘ Ladungsdichte ρ‘ in S‘: ρ‘ = ρ+‘ + ρ−‘ Leiter in S neutral: ρ+ = - ρ− ρ ' = ρ+ v 2 / c2 1− v 2 / c2 Der bewegte Leiter ist positiv geladen und erzeugt somit auch ein elektrisches Feld 7 Kraft auf Elektron System S‘ ρ' A E' = 2πε 0 r F'= q ρ + A v 2 / c2 2πε 0 r 1 − v 2 / c 2 Ruhendes Elektron wird von bewegtem positiv geladenen Leiter angezogen: Coulombkraft System S F= ρ − Aq v 2 2π ε 0 r c 2 Bewegtes Elektron wird von Strom in ruhendem Leiter angezogen Lorentzkraft Beträge der beiden Kräfte: F'= F 1− v 2 / c2 Beträge der Kräfte fast gleich, zumindest bei kleinen Geschwindigkeiten Aber Bewegung muss gleich sein Was passiert in den beiden Systemen? Aus Relativitätstheorie: Änderung der transversalen Impulses ist im ruhenden und bewegten System gleich ∆pt = F ∆t bzw. ∆p‘t = F‘ ∆t‘ F ∆t ' 1− v 2 / c2 ∆t ' mit ∆t = 1− v 2 / c2 ⇒ ∆p't = F∆t = ∆pt ∆ p 't = F ' ∆ t ' = In beiden Systemen erfährt das Elektron die gleiche Impulsänderung, d.h. Physik ist in beiden Systemen identisch Laborsystem S: Kraft rein „magnetisch“ Bewegten System S‘: Kraft rein „elektrisch“ 8 Bezugssysteme ρ‘ ≠ 0 ρ =0 E‘ j j B‘ B Bezugssystem S Ladungsdichte = 0 Magnetfeld ≠ 0 Elektrisches Feld = 0 Bezugssystem S‘ Ladungsdichte ≠ 0 Magnetfeld ≠ 0 Elektrisches Feld ≠ 0 Klassische und relativistisch Rechnung Elektronen- Elektronenquelle quelle Relativistisch gerechnet: Koordinatensystem S‘ mit e bewegt: Nur Coulomkraft F‘C Q2 F'= − 2πε 0 rL' Ruhender Beobachter (System S) misst Kraft F F = F ' 1− v 2 / c2 = − r Q2 1− v 2 / c2 2πε 0 rL' L' 1− v 2 / c2 Q2 ⎛ v2 ⎞ ⇒F =− ⎜1− 2 ⎟ c ⎠ 2πε 0 rL ⎝ mit L = Ergebnis der klassischen Rechnung: Fges = ( ρV )2 ⎛ v2 ⎞ Q2 ⎛ v2 ⎞ ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ = − 2π rε 0L ⎝ c0 ⎠ 2π rε 0L ⎝ c0 ⎠ 9 Relativitätstheorie • Ladung ist in ruhendem und bewegten Systemen gleich, nicht aber die Ladungsdichte • Magnetfeld und Lorentzkraft lassen sich mithilfe der Relativitätstheorie aus Coulomb-Gesetz herleiten • Magnetfeld ist prinzipiell keine vom elektrischen Feld unabhängige Eigenschaft sondern entspricht einer Änderung des elektrischen Feldes aufgrund der Lorentzkontraktion • Magnetisches oder elektrisches Feld Frage des Bezugssystems: elektromagnetisches Feld einer bewegten Ladung 10
