21 Elektromagnetismus und Relativitaet

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Magnetostatik
1. Permanentmagnete
2. Magnetfeld stationärer Ströme
3. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld
i. Kräfte im Magnetfeld Lorentzkraft
ii. Kräfte zwischen Leitern
iii. Kraft auf eine bewegte Ladungen
iv. Elektronenoptik
v. Halleffekt
vi. „Elektrodynamik bewegter Körper“
4. Materie im Magnetfeld
Ströme und Lorentzkraft
Elektronen- Elektronenquelle
quelle
Elektronenstrahl
Leiter ziehen sich an,
Wenn Strom fließt, d.h.
Elektronen sich mit v
bewegen
r
Elektronenstrahl
Elektronen werden mit Geschwindigkeit v
emittiert: bewegte Ladung = Strom
Strom erzeugt Magnetfeld: Anziehung erwartet
1
Woher kommt die Abstoßung?
Lorentzkraft: FLo = I L B und anziehend
Elektronenstrahl Strom I = ρ v A mit r Ladungsdichte
A Querschnitt und
v Driftgeschwindigkeit
µ
L 2
FLo = ILB = µ0
I = 0 ρ 2v 2 A2L
2π r
2π r
Zwischen Ladungen gibt es aber noch Coulombkraft FC = Q E
Ladung Q in Strahl mit Länge L und Querschnitt A und Ladungsdichte ρ:
Q=ρAL
E=
Q
1 ρV
=
2π ε 0 r L 2π ε 0 L
1
F C= QE =
1
ρ 2V 2
2π ε 0 r
L
E-Feld eines geladenen Stabes
Coulombkraft
Welche Kraft dominiert?
FC
FLo
Fges
Fges = FC − FLo =
( ρV )2 ⎛ 1
⎜
⎞
− µ0v 2 ⎟⎟
⎜
2π rL ⎝ ε 0
⎠
mit Definition Lichtgeschwindigkeit c 20 =
( ρV ) ⎛
v ⎞
⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟
c0 ⎠
2π rε 0L ⎝
2
Fges =
2
1
ε 0 µ0
Abstoßende Wirkung aufgrund der Coulombkraft
überwiegt, solange die Geschwindigkeit der Ladungsträger nicht gleich der Lichtgeschwindigkeit ist
2
Bewegtes Elektron und ruhender Leiter
q-
Elektron bewegt sich mit v0 parallel zu
Leiter im Bezugssystem des Labors (S)
v0
ρ+
ρ-
Strom I
v-
v+ =0
Leiter ruht für Beobachter im Laborsystem S
Strom fließt, Elektronen mit Ladungsdichte ρ- bewegt sich mit vIonen (Atomrümpfe) mit ρ+ sind in Ruhe v+ = 0
Leiter ist neutral ρ+ = ρKraft auf Elektron
r
r
r
FLo = q v 0 × B
(
)
B=
µ0
2π r
I=
µ0
2π r
ρ − v −A
FLo =
µ0 − −
ρ v Aqv 0 Annahme v- = v 0 = v und c -02 = µ0ε 0
2π r
FLo =
ρ − Aq v 2
2π ε 0 r c 20
Elektron zu Leiter gezogen
Ruhendes Elektron und bewegter Leiter
qρ′+
v ′+ = -v
Elektron ruht im Bezugssystem S‘
ρ′-
Strom I‘
v′-=0
Leiter bewegt sich im Koordinatensystem S‘ mit Geschwindigkeit v
Geschwindigkeit so gewählt, dass Elektronen (ρ‘-) in Ruhe (einfacher)
Draht fliegt an Elektron vorbei, positive Ladungen bewegen sich mit v,
Es gibt einen Strom I‘ und Magnetfeld B‘
Kraft auf Elektron
FLo = q v B = 0 weil Elektron in Ruhe
Elektron wird nicht abgelenkt?
Ändert sich die Physik, wenn ich das Bezugssystem ändere?
3
Elektrodynamik bewegter Körper
Albert
Einstein
(1879-1955)
Relativitätstheorie: Einsteins Postulate
1. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen
Inertialsystemen gleich.
2. Relativitätsprinzip
Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt für
alle physikalischen Gesetze.
Daraus folgt:
Für einen Beobachter gleichzeitige Ereignisse sind nicht unbedingt für
einen anderen Beobachter gleichzeitig
Zeitdilatation (Schnell bewegte Uhren erscheinen langsamer zu gehen)
Längenkontraktion
(Schnell bewegte Maßstäbe erscheinen in Bewegungsrichtung verkürzt)
4
Zeitdilatation
Zeitmessung durch die Flugzeit eines Lichtimpulses von Quelle zum
Spiegel und wieder zurück
Uhr1 und Uhr2
ruhen im
Bezugsystem
des Beobachter
Uhr2 bewegt
sich relativ zum
Beobachter
Lichtimpuls legt in Uhr2 aus Sicht des ruhenden Beobachters längeren
→ Uhr2 tickt langsamer
Weg zurück
Aus Sicht des bewegten Beobachters tickt Uhr1 langsamer !
vrel
α
∆ t2 =
c
l
=
c cos α
∆ t1
v ⎞
⎛
cos⎜ arcsin rel ⎟
c ⎠
⎝
= ∆ t1
1
v2
1 − rel2
c
= γ ∆ t1
Längenkontraktion
Die Länge eines bewegten Objektes erscheint in Bewegungsrichtung
verkürzt
Länge im bewegten
Lbew
Bezugssystem
Längenkontraktion:
L=
1− v 2 / c2
scheinbare Länge im
ruhenden Bezugssystem
Ein Bus mit 0.9
c
Blick aus dem Bus
5
Ruhendes Elektron und bewegter Leiter
qρ′+
Elektron ruht im Bezugssystem S‘
ρ′-
v ′+ = -v
Strom I‘
v′-=0
Kraft auf Elektron
FLo = q v B = 0 weil Elektron in Ruhe
Elektron wird nicht abgelenkt
Ändert sich die Physik, wenn ich das Bezugssystem ändere?
Einstein‘sche Relativitätstheorie: Nein
Erklärung:
Ruhendes Elektron kann nur durch Coulombkraft
angezogen werden
Neutraler Leiter im Bezugssystem S muss im
Bezugssystem S‘ geladen sein
Bewegte Ladungen
Ändert sich die Ladung bei der Bewegung wie die Masse?
m (v ) =
m0
= γ ⋅ m0
v2
1− 2
c
Relativistische Massenänderung
Ladung ist eine invariante skalare Größe, die unabhängig
vom Bezugssystem ist
System S Q = Q‘ in System S‘
Experimenteller Nachweis: Erwärmte Materie lädt sich nicht auf
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Bewegte Ladungsdichte
v
Länge L
Fläche
A
Länge L‘
Ladungen in Bewegung mit v
Ladung Q‘ = Q
A‘ = A = A0 (normal auf v)
Ladungen in Volumen V= LA
In Ruhe v =0
Ladung Q
Q = Q'
ρ L A = ρ ' L' A
ρ'=
Fläche
A‘
2
2
Relativistische Längenkontraktion L' = L 1 − v / c
ρ
1− v 2 / c2
Ladungsdichte einer Verteilung von bewegten Ladungen ändert sich in
derselben Weise wie die relativistische Masse eines Teilchens
Bewegter Draht
Positive Ladungen in S in Ruhe in S‘ bewegt mit v
ρ+ ' =
ρ+
1− v 2 / c2
Ladungsdichte in S‘
Negative Ladungen in S bewegt mit v und in Ruhe in S‘
ρ− =
ρ− '
1− v 2 / c2
Ladungsdichte in S‘
Ladungsdichte ρ‘ in S‘: ρ‘ = ρ+‘ + ρ−‘
Leiter in S neutral: ρ+ = - ρ−
ρ ' = ρ+
v 2 / c2
1− v 2 / c2
Der bewegte Leiter ist positiv geladen und erzeugt somit auch
ein elektrisches Feld
7
Kraft auf Elektron
System S‘
ρ' A
E' =
2πε 0 r
F'= q
ρ + A v 2 / c2
2πε 0 r 1 − v 2 / c 2
Ruhendes Elektron wird von bewegtem
positiv geladenen Leiter angezogen:
Coulombkraft
System S
F=
ρ − Aq v 2
2π ε 0 r c 2
Bewegtes Elektron wird von Strom in ruhendem
Leiter angezogen
Lorentzkraft
Beträge der beiden Kräfte:
F'=
F
1− v 2 / c2
Beträge der Kräfte fast gleich, zumindest bei
kleinen Geschwindigkeiten
Aber Bewegung muss gleich sein
Was passiert in den beiden Systemen?
Aus Relativitätstheorie: Änderung der transversalen Impulses ist im
ruhenden und bewegten System gleich
∆pt = F ∆t
bzw.
∆p‘t = F‘ ∆t‘
F
∆t '
1− v 2 / c2
∆t '
mit ∆t =
1− v 2 / c2
⇒ ∆p't = F∆t = ∆pt
∆ p 't = F ' ∆ t ' =
In beiden Systemen erfährt das Elektron die gleiche Impulsänderung,
d.h. Physik ist in beiden Systemen identisch
Laborsystem S: Kraft rein „magnetisch“
Bewegten System S‘: Kraft rein „elektrisch“
8
Bezugssysteme
ρ‘ ≠ 0
ρ =0
E‘
j
j
B‘
B
Bezugssystem S
Ladungsdichte = 0
Magnetfeld ≠ 0
Elektrisches Feld = 0
Bezugssystem S‘
Ladungsdichte ≠ 0
Magnetfeld ≠ 0
Elektrisches Feld ≠ 0
Klassische und relativistisch Rechnung
Elektronen- Elektronenquelle
quelle
Relativistisch gerechnet:
Koordinatensystem S‘ mit e bewegt:
Nur Coulomkraft F‘C
Q2
F'= −
2πε 0 rL'
Ruhender Beobachter (System S) misst Kraft F
F = F ' 1− v 2 / c2 = −
r
Q2
1− v 2 / c2
2πε 0 rL'
L'
1− v 2 / c2
Q2 ⎛
v2 ⎞
⇒F =−
⎜1− 2 ⎟
c ⎠
2πε 0 rL ⎝
mit L =
Ergebnis der klassischen Rechnung:
Fges =
( ρV )2 ⎛
v2 ⎞
Q2 ⎛
v2 ⎞
⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟
⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ = −
2π rε 0L ⎝
c0 ⎠
2π rε 0L ⎝
c0 ⎠
9
Relativitätstheorie
• Ladung ist in ruhendem und bewegten Systemen gleich,
nicht aber die Ladungsdichte
• Magnetfeld und Lorentzkraft lassen sich mithilfe der
Relativitätstheorie aus Coulomb-Gesetz herleiten
• Magnetfeld ist prinzipiell keine vom elektrischen Feld
unabhängige Eigenschaft sondern entspricht einer
Änderung des elektrischen Feldes aufgrund der
Lorentzkontraktion
• Magnetisches oder elektrisches Feld Frage des
Bezugssystems: elektromagnetisches Feld einer
bewegten Ladung
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