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1etv44-2
Permeabilität
Nach Gl.(4.4.53) ist die Permeabilität der Quotient aus Flussdichte und Feldstärke für
einen Arbeitspunkt der Kennlinie. Die Permeabilität ist damit dem Anstieg der Sehne vom
Nullpunkt zum betrachteten Arbeitspunkt auf der Magnetisierungs-Kennlinie proportional.
Die Permeabilität lässt sich punktweise aus der Magnetsierungskennlinie nach Gl.(4.4.53)
berechnen. Dividiert man noch durch die magnetische Feldkonstante errechnet sich die
relative Permeabiltät nach Gl.(4.4.54). In Abb.4.4.27 sind Magnetisierungskennlinie und
daraus bestimmt Permabilität dargestellt. Der Anstieg der Sehne durchläuft ein Maximum
im ansteigenden Teil der Magnetisierungskennlinie. Bei weiterer Steigerung der äußeren
Feldstärke strebt die Permeabilität gegen µ0 .
B
µmax
(B / H)max = µmax
H
µ
µ0
µ0
H
Abb. 4.4.27 Magnetisierungskennlinie und Permeabiltät
Neben der Permeabilität als Anstieg der Sehne vom Koordinatenursprung zum
Arbeitspunkt auf der Magnetisierungskennlinie ist die differenzielle Permeabilität
definiert als Anstieg der Tangente im Arbeitspunkt nach Gl.(4.4.56)
µd =
dB
dH
(4.4.56)
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Die differentielle Permeabiltät wird benutzt, wenn kleine Feldstärkeänderungen um einen
Arbeitspunkt auf der Magnetisierungskennlinie in ihrer Wirkung auf die Flussdichte
betrachtet werden müssen. Für sehr große Feldstärken im Sättigungsbereich gilt µ d = µ0 .
Die Permeabilitätszahl kann durch die magnetische Polarisation J ausgedrückt werden.
Der Sättigungswert Js ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Verlängerung der
Sättigungsgeraden mit der Induktionsachse. Im Sättigungsgebiet gilt:
B = µo H + Js
(4.4.57)
Für den Bereich unterhalb der Sättigung ist J = f(H) und
B = J (H) + µ 0 ⋅ H
(4.4.58)
In Abb.4.4.28 ist die Magnetisierungskennlinie unter Einführung der magnetischen
Polarisation gezeigt.
B
B
1
B = JS + µ 0H
JS
2
Brem
J ( H)
B = J + µ 0H
−Hc
B = µ0H
Hc
H
H
Abb. 4.4.28 Magnetische Polarisation
Abb. 4.4.29 Magnetisierungskennlinien
1 weichmagnetischer Werkstoff
2 hartmagnetischer Werkstoff
In Abb.4.4.29 sind Magnetisierungskennlinien hart- und weichmagnetischer Werkstoffe
dargestellt. Hartmagnetische Werkstoffe haben große Werte der Remanenz Br =
(0.8...1.2)T und hohe koerzitive Feldstärken HC bis 900 kA/m. Sie bestehen aus
speziellen Legierungen ferromagnetischer Stoffe und werden als Dauermagnete
gefertigt. Dauermagnete werden mit steigender Tendenz z. B. im Elektromaschinenbau
zum Aufbau des Magnetfeldes im Luftspalt eingesetzt.
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c)
Verhalten an Grenzflächen unterschiedlicher Permeabilität
Der Lernende kann
- das Verhalten von magnetischer Feldstärke und Flussdichte an Grenzschichten Eisen-Luft erklären
- nachweisen, warum magnetische Feldlinien senkrecht aus Eisenoberflächen austreten
Im stofferfüllten magnetischen Feld werden ferromagnetische und nicht ferromagnetische
Stoffe vorhanden sein. Im Folgenden wollen wir untersuchen, wie sich Feldstärke und
Flussdichte an Grenzflächen unterschiedlicher Permeabilität verhalten. Praktisch kommen
nur Grenzflächen zwischen einem ferromagnetischen Stoff und einem Stoff mit etwa der
Permeabilität µo vor. Wir wollen die technisch wichtige Grenzfläche zwischen Eisen und
Luft betrachten.
Sind die magnetischen Feldvektoren parallel zur Grenzfläche gerichtet und befinden sich
an der Grenzfläche keine stromdurchflossenen Leiter (Abb.4.4.30), dann ergibt das
Durchflutungsgesetz
G
G
∫ H ⋅ ds = 0
(4.4.59)
Es liegt eine Längsschichtung vor. Legen wir den Umlauf an der Grenzfläche mit einer
Länge s im Eisen und in der Luft, dann ergibt Gl.(4.4.59)
v∫ H ⋅ ds = H
Fe
⋅ s − H0 ⋅ s = 0
(4.4.60)
HFe = H0
(4.4.61)
Die Feldstärke in Luft und Eisen bei Längsschichtung ist gleich.
Mit Gl.(4.4.24)
BFe µFe
(4.4.62)
=
µ0
Bo
Längsschichtung
Querschichtung
G
HFe
µ Fe
G
H0
µ0
s
Abb. 4.4.30 Feldstärkeverhalten bei
Längsschichtung
G
B nFe
A
G
B n0
µFe
µ0
Abb. 4.4.31 Flussdichteverhalten bei Querschichtung
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Stehen die Feldvektoren senkrecht auf der Grenzfläche (Abb.4.4.31) liegt eine
Querschichtung vor. Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes nach Gl.(4.4.02)
ergibt für die Oberfläche eines Volumens an der Grenzfläche:
BFe = B0
(4.4.63)
Die Flussdichten in Eisen und Luft sind bei Querschichtung gleichgroß. Mit Gl.(4.4.24)
erhalten wir für die Feldstärken
HFe µo
=
Ho µFe
(4.4.64)
Betrachten wir nun den Fall nach Abb.4.4.32, dass eine Feldlinie im Eisen unter dem
Winkel αFe auf der Grenzfläche auftrifft. Wir zerlegen die Feldvektoren in Normal- und
Tangentialkomponente, wodurch für die Tangentialkomponenten Längsschichtung und für
die Normalkomponenten Querschichtung vorliegt.
G
B tFe
G
B Fe
G
B nFe
α Fe
µFe
G
G
B n0 ≈ B 0
µ0
Abb. 4.4.32 Feldverhalten bei Schrägschichtung
Gl.(4.4.61) und Gl.(4.4.63) ergeben:
HtFe = Ht0
BnFe = Bn0
(4.4.65)
(4.4.66)
Mit Gl.(4.4.62) erhalten wir für die Tangentialkomponente der Flussdichte in Luft
Bt0 =
µ0
⋅ BtFe
µFe
(4.4.67)
Wegen µFe µ0 wird mit Gl.(4.4.67) Bt0 BtFe und damit B0 ≈ Bn0 .
Treffen Feldlinien im Eisen unter einem Winkel αFe auf die Grenzfläche, dann werden sie
an der Grenzfläche gebrochen. Wegen µFe µ0 existiert in der Luft faktisch keine
Tangentialkomponente der Flussdichte. Die Feldlinien treten damit senkrecht aus
Eisenoberflächen aus.
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4.4.5
Magnetisches Ohmsches Gesetz
Der Lernende kann
- die Analogiebeziehungen zwischen Gleichstromkreis und Magnetkreis angeben
- den magnetischen Knotensatz formulieren und anwenden
- den magnetischen Maschensatz formulieren und anwenden
- die Zählpfeilfestlegungen im Magnetkreis angeben
- die unterschiedliche Zählpfeilbehandlung von Quellenspannung und Durchflutung erklären
- magnetischen Widerstand und magnetischen Leitwert definieren
Die Beschreibung des magnetischen Feld erfolgt durch das Modell des Strömungsfeldes.
Die Begriffe Fluss und Durchflutung stammen aus diesem Modell. Es ist deshalb
naheliegend, da es sich im Magnetfeld nach den Festlegungen in 4.4.1 um zeitlich
konstante Größen handelt, die Verhältnisse des Gleichstromkreises zu verwenden und
die dort verwendeten Begriffe für die Beschreibung des Magnetfeldes zu benutzen.
a)
Magnetischer Knotensatz
Eine der Grundbeziehungen des Magnetfeldes beschreibt den in sich geschlossenen
Verlauf der magnetischen Feldlinien und sagt aus, dass das magnetische Feld quellenfrei
ist.
G G
B
(4.4.68)
∫ ⋅ dA = 0
mit Gl.(4.4G07) G
dΦ = B ⋅ dA = B ⋅ dA ⊥
(4.4.69)
v∫ dΦ = 0
(4.4.70)
∑Φ
(4.4.71)
ist die Aussage von Gl.(4.4.68), dass der Gesamtfluss durch die Hüllfläche eines
Volumens Null ist. Daraus lässt sich der magnetische Knotensatz formulieren:
µ
=0
n
Die algebraische Summen der magnetischen Flüsse durch die Hüllfläche
eine Volumens ist Null.
Hüllfläche
Φ2
Φ1
Φ3
Abb. 4.4.33 Magnetischer Knotensatz
In Abb.4.4.33 umschließt die Hüllfläche
einen magnetischen Knotenpunkt. Für
die Summenbildung wird vereinbart,
dass der aus der Hüllfläche austretende
Fluss positiv gezählt wird. Für Abb.4.432
liefert der magnetische Knotensatz die
Beziehung:
−Φ1 + Φ 2 + Φ 3 = 0
(4.4.72)
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b)
Magnetischer Maschensatz
Das Durchflutungsgesetz lautet nach Gl.(4.4.25)
G G
H
v∫ ⋅ ds = ∑ Iν
Wir zerlegen das Umlaufintegral in eine Summe von Linienintegralen. Die Grenzen der
Linienintegrale beschreiben dabei den in sich geschlossenen Integrationsweg des
Umlaufintegrals.
G
G
G
G
v∫ H ⋅ ds = ∑ ∫ H ⋅ ds
(4.4.73)
In Analogie zum elektrischen Strömungsfeld wird das Linienintegral der magnetischen
Feldstärke magnetische Spannung V genannt. Das Linienintegral der magnetischen
Feldstärke zwischen den Punkten 1 und 2 ist
2 G
G
V12 = ∫ Hds
(4.4.74)
1
Die Maßeinheit der magnetischen Spannung ist:
[V] = [H]⋅[s] = A
(4.4.75)
Beispiel 4.4.04:
Für die Ringkernanordnung der Abb.4.4.34 ist das Umlaufintegral der magnetischen
Feldsstärke zu bestimmen.
Wird entlang einer Feldlinie integriert
I1
und
1
ist die Feldstärke in einzelnen
Integrationsabschnitten konstant, dann
ist die magnetische Spannung:
s
m
δ
2
3
Θ, Φ
H3
1
H4
V = H∫ ds = H ⋅ s
H2
4
I2
(4.4.76)
Der Ringkern besteht aus 4 Abschnitten
mit unterschiedlicher aber konstanter
Feldstärke, so dass sich das
Umlaufintegral bestimmt zu:
Abb. 4.4.34 Anordnung zum Beispiel 4.4.04
∫ Hds = H ⋅ s + H ⋅ s + H
v∫ Hds = Θ = I ⋅ N + I ⋅ N
1
12
1
2
1
23
2
2
3
⋅ s 34 + H 4 ⋅ s 41
(4.4.77)
(4.4.78)
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Aus Gl.(4.4.77) und Gl.(4.4.78) erhalten wir die allgemeine Beziehung:
G G
H
∫ ds = ∑ V = ∑ I ν = Θ
O
(4.4.79)
O
Aus Gl.4.4.79) folgt der magnetischer Maschensatz:
Θ = ∑V
(4.4.80)
O
Im magnetischen Maschensatz wird zwischen Durchflutung und magnetischer Spannung
unterschieden. Für deren Zählpfeile gilt die folgende Festlegung: Durchflutungszählpfeil,
Flusszählpfeil und Zählpfeile der magnetischen Spannungen sind in der Masche in
gleicher Richtung anzusetzen.
Die Durchflutung wird auch als magnetische Urspannung bezeichnet. In der Zählrichtung
von Durchflutung und magnetischer Spannung liegt der wesentliche Unterschied zum
Gleichstromkreis. Im Gleichstromkreis sind die analogen Größen Quellenspannung und
Spannungsabfall, wobei die beiden Spannungen entgegengesetzte Zählzuordnungen
haben.
c)
Magnetischer Widerstand, magnetischer Leitwert
In Analogie zum Gleichstromkreis wird der Quotient aus magnetischer Spannung und
magnetischem Fluss als magnetischer Widerstand Rm definiert, sein Kehrwert als
magnetischer Leitwert Λ.
V
(4.4.81)
Φ
Φ
1
Λ= =
(4.4.82)
V Rm
Gl.(4.4.81) und Gl.(4.4.82) werden als magnetisches Ohmsches Gesetz bezeichnet.
Magnetischer Widerstand und magnetischer Leitwert haben folgende Maßeinheiten
Rm =
[Rm] = A/Vs
[Λ] = Vs/A
(4.4.83)
(4.4.84)
Für homogene Feldverhältnisse gilt:
V=Hs
Φ=BA
(4.4.85)
(4.4.86)
Wir setzen Gl.(4.4.85) und Gl.(4.4.86) in Gl.(4.4.81) ein und erhalten mit B = µ H
s
µ⋅A
µ⋅A
Λ=
s
Rm =
(4.4.87)
(4.4.88)
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Gl.(4.4.87) und Gl.(4.4.88) entsprechen in ihrem Aufbau der Bemessungsgleichung des
Widerstandes und des Leitwertes im Gleichstromkreis.
d)
Analogiebeziehungen zum elektrischen Gleichstromkreis
Im Folgenden sind die analogen Größen von Gleichstromkreis und Magnetkreis
gegenübergestellt. Mit den Bauelementen Quelle und Widerstand lassen sich
Ersatzschaltungen für die Darstellung des Magnetkreises aufbauen und die Kenntnisse
der Gleichstromkreisberechnung auf die Berechnung magnetischer Kreise anwenden. Die
Analogiebeziehungen sollten Sie für die aktive Lehrstoffaneignung nutzen.
Gleichstromkreis
U
− Uq
Magnetischer Kreis
V
Θ
I
Φ
s
κ⋅A
κ⋅A
G=
s
s
µ⋅A
µ⋅A
Λ=
s
R=
I
Rm =
U
Φ
Rm ; Λ
R
Uq
V
I
Θ
Φ
Tabelle 4.4.01 Analogiebeziehungen zwischen Gleichstrom- und Magnetkreis
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4.4.6
Berechnung magnetischer Kreise
Der Lernende kann
- den Berechnungsalgorithmus für magnetische Kreise angeben
- in unverzweigten magnetischen Kreisen ohne und mit Luftspalt bei vorgegebener Induktion die
Durchflutung berechnen
- in unverzweigten magnetischen Kreisen ohne und mit Luftspalt bei vorgegebener Durchflutung die
Induktion berechnen
- die Berechnung von Induktion und Durchflutung in verzweigten magnetischen Kreisen berechnen
- Ersatzschaltbilder unverzweigter und verzweigter magnetischer Kreise entwickeln
Die Feldlinien des Magnetfeldes sind in sich geschlossen, das Magnetfeld ist quellenfrei.
Das Hüllintegral der magnetischen Flussdichte ist nach Gl.(4.4.02) Null.
Die technische Anwendung des Magnetfeldes setzt aus diesem Grunde magnetische
Kreise voraus, die weitestgehend aus ferromagnetischen Stoffen hergestellt sind und nur
von funktionsbedingten Luftspalten unterbrochen werden.
Magnetischen Kreise werden in Transformatoren, in Drosselspulen, in elektrischen
Maschinen (Motoren und Generatoren), in Relais und Schützen verwendet. Der
magnetische Kreis technischer Geräte ist meistens aus Blechen hergestellt. Das hat
einmal technologische Gründe, da sich Bleche im Stanzverfahren einfach auch in
komplizierten Formen herstellen lassen. Zum anderen sind die magnetischen Feldgrößen
oft zeitabhängig, wodurch es zur Induktion von Wirbelströmen im Magnetkreis kommt. Die
von den Wirbelströmen verursachten Wirbelstromverluste können mit einem aus
gegeneinander elektrisch isolierten Blechen aufgebauten Magnetkreis verringert werden.
Diese Induktionsvorgänge werden wir im Kapitel 4.5 behandeln. Ist der Magnetkreis aus
Blechen aufgebaut, so kann ein gegebener Querschnitt A nicht mehr vollständig mit
ferromagnetischem Stoff ausgefüllt werden. Die Bleche weisen eine gewisse Unebenheit
auf und haben die elektrische Isolierschicht. Für den tatsächlich mit ferromagnetischen
Stoff ausgefüllten Querschnitt gilt A Fe < A . Es ergeben sich Eisenfüllfaktoren ϕFe = (0.85
... 0.96).
A
ϕFe = Fe
(4.4.89)
A
Magnetische Kreise kleinerer Geräte sind weitestgehend genormt. Tabelle 4.4.02
stellt die genormten Abmessungen magnetischer Kreis nach DIN 41 302 dar.
Magnetische Kreise können mit den in Tabelle 4.4.01 zusammengestellten
Analogiebeziehungen mit magnetischen Widerständen, magnetischen Leitwerten und
Durchflutungen als Quellen übersichtlich dargestellt werden. Allerdings ist die
Berechnung mit magnetischen Widerständen und Leitwerten wegen der nichtlinearen
Magnetisierungskennlinie und der damit nicht konstanten Permeabilität unzweckmäßig.
Zur Berechnung magnetischer Kreise wird unmittelbar mit der Magnetisierungskennlinie
des verwendeten ferromagnetischen Stoffes gearbeitet. Es werden deshalb auch die
magnetischen Feldgrößen magnetische Flussdichte und magnetische Feldstärke benutzt
und daraus die integralen Feldgrößen magnetischer Fluss und magnetischen Spannung
bestimmt.
Die Aufgabenstellung bei der Magnetkreisberechnung die wir im Rahmen unserer
Betrachtungen durchführen wollen, geht von einem in den Abmessungen bekannten
Magnetkreis aus einem bestimmten ferromagnetischen Material aus. Es soll entweder bei
vorgegebener Flussdichte im Kreis die notwendige Durchflutung
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Genormte Blechschnitte nach DIN 41302
M
EI
c
g
g
c
f
a
b
a
e
b
b
e
d
c
c
U
c
f
c
a
a
a
b
c
e
f
g
d
M 30
30
30
5
20
7
6.5
0.3
M 42
42
42
6
30
12
9
0.5
M 65
65
65
10
45
20
12.5
1.0
M 85
85
85
14.5
56
29
13.5
2.0
EI 30
30
20
5
15
10
5
EI 48
48
32
8
24
16
8
EI 84
84
56
14
42
28
14
EI 150
150
100
25
75
50
25
UI 30
30
40
10
UI 48
48
64
16
UI 75
75
100
25
Tabelle 4.4.02 Genormte Blechschnitte technischer Magnetkreise
oder bei vorgegebener Durchflutung die sich einstellenden Flussdichte im Magnetkreis
berechnet werden. Abb.4.4.35 zeigt den Berechnungsalgorithmus für beide
Aufgabenstellungen.
G G
Φ = B ⋅ dA
∫
B
Φ
Magnetisierungskennlinie
B=f(H)
Θ
I
Θ = I⋅N
Θ=
I
∑
H
G G
V = ∫ H ⋅ ds
G G
Θ = H ⋅ ds
∫
Θ=
∑V
V
V
G G
Θ = ∫ H ⋅ ds
Θ=
V
∑
G G
V = H ⋅ ds
∫
Θ
I
∑
Θ=
I
Θ = I⋅N
H
Abb. 4.4.35 Berechnungsalgorithmus magnetischer Kreise
B
G G
Φ = B ⋅ dA
∫
Φ
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1etv44-2
Im Folgenden wollen wir für einige typische technische Magnetkreise die
Magnetkreisberechnung an Beispielen durchführen.
a)
Unverzweigter magnetischer Kreis aus einheitlichem Stoff
Beispiel 4.4.04:
Gegeben ist ein Magnetkreis nach Abb.4.4.35. Im Magnetkreis (Kern) ist das Magnetfeld
homogen. Der Kern besteht aus Elektroblech V 400-50 A; ϕFe = 0.95
A = 3.5cm2; sm = 28,5cm; N = 737. Für die Induktion B = 1.38T sind Durchflutung und
Spulenstrom zu berechnen.
I
A
sm
Φ
Abb. 4.4.36 Magnetischer Kreise ohne Luftspalt
1.38 Vs ⋅ 3.5 ⋅ 10 −4 m 2 ⋅ 0.95
= 4.59 ⋅ 10 − 4 Vs
2
m
MKL (Abb.4.4.26)
⇒ HFe = 517A
Φ = B ⋅ A ⋅ ϕFe =
B = 1.38T
Θ = HFe ⋅ s m = 517 A ⋅ 0.285m = 147 A
I=
HFe ⋅ sm Θ 147A
= =
= 0.200A
N
N
737
Beispiel 4.4.05:
Gegeben ist ein Magnetkreis nach Abb.4.4.36. Im Magnetkreis (Kern) ist das Magnetfeld
homogen. Der Kern besteht aus Stahlguss; (ϕFe = 1)
A = 4cm2; sm = 440mm; N = 580. Für den Strom I = 0.2A sind Flussdichte und Fluss zu
berechnen.
I ⋅ N 0.2A ⋅ 580
=
= 264 A / m
sm
0.44m
aus MKL (Abb.4.4.26)
⇒
B = 1.23T
2
−4
1.23 Vs ⋅ 4 ⋅ 10 m ⋅ 1
Φ = B ⋅ A ⋅ ϕ Fe =
= 4.92 ⋅ 10 − 4 Vs
2
m
HFe =
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b)
Unverzweigter zusammengesetzter Kreis
Beispiel 4.4.06:
Gegeben ist ein Magnetkreis nach Abb.4.4.36. Im Magnetkreis (Kern) ist das Magnetfeld
homogen. Der Kern besteht aus Elektroblech V400-50A mit Luftspalt
N = 1000; A = 2cm2; sm = 154mm; ϕFe = 0.9; δ = 1 mm. Für die Flussdichte im Luftspalt
Bo = 1.2T sind Durchflutung und Spulenstrom zu berechnen.
I
A
δ
sm
Φ
Abb. 4.4.37 Magnetischer Kreise mit Luftspalt
Im zusammengesetzten magnetischen Kreis ist der Fluss in Luftspalt und Kern gleich
1.2Vs ⋅ 2 ⋅ 10 −4 m 2
Φ = B o ⋅ A = B Fe ⋅ A ⋅ ϕ Fe =
= 2.4 ⋅ 10 − 4 Vs
m2
B
1.2T
= 1.33T MKL (Abb.4.4.26)
⇒ HFe = 400A/m
B Fe = o =
ϕ Fe 0.95
B
1.2Vs ⋅ Am
= 955000 A / m
Ho = o = 2
µ o m ⋅ 0.4π ⋅ 10 −6 Vs
400 A ⋅ 0.153m 954930 A ⋅ 10 −3 m
Θ = HFe ⋅ s Fe + Ho ⋅ δ =
+
= 1020 A
m
m
Θ =61.6A + 955A = 1020A
Θ 1020 A
I= =
= 1.02A
N
1000
Beispiel 4.4.07:
Gegeben ist ein Magnetkreis nach Abb.4.4.36. Im Magnetkreis (Kern) ist das Magnetfeld
homogen. Der Kern besteht aus Stahlguss mit Luftspalt
N = 1114; A = 6cm2; ϕFe = 1; sFe = 61.9cm; δ = 1 mm. Für den Spulenstrom I = 1A ist die
Flussdichte im Luftspalt zu berechnen.
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Der magnetische Maschensatz liefert:
I ⋅ N = HFe ⋅ sFe + H0 ⋅ δ
mit B0 = µ0 ⋅ H0
B ⋅δ
I ⋅ N = HFe ⋅ sFe + 0
µ0
Aus der Gleichheit des Spulenflusses in Luftspalt und Kern
Φ = Bo ⋅ A = BFe ⋅ A ⋅ ϕFe folgt
Bo = BFe ⋅ ϕFe
B ⋅ϕ ⋅δ
I ⋅ N = HFe ⋅ sFe + Fe Fe
(4.4.90)
µ0
Gl.(4.4.90) ist eine Gleichung mit den zwei Unbekannten BFe und HFe. Zu iher Lösung wird
noch ein zweite Gleichung benötigt, die durch die nichtlineare Magnetisierungskennlinie
BFe = f(HFe) nur grafisch vorhanden ist. Das Gleichungssystem kann also nur grafisch
gelöst werden. Zu diesem Zweck stellen wir Gl.(4.4.90) nach BFe um:
I ⋅ N ⋅ µ0 sFe ⋅ µ0
−
⋅ HFe
(4.4.91)
δ ⋅ ϕFe
δ ⋅ ϕFe
Die Funktion nach Gl.(4.4.91) ist eine Gerade, die mit zwei willkürlich vorgebbaren
Wertepaaren in die Magnetisierungskennlinie eingezeichnet wird. Der Schnittpunkt beiden
Kurven ist die Lösung des Gleichungssystems. In Abb.4.4.38 ist die allgemeine grafische
Lösung dargestellt.
BFe =
BFe
BFe = f(HFe )
BFe ( 0 )
BFeA
MKL
A
BFe =
HFeA
I ⋅ N ⋅ µ0 µ0 ⋅ sFe
−
⋅ HFe
δ ⋅ ϕFe
δ ⋅ ϕFe
HFe ( 0 )
HFe
Abb. 4.4.38 Allgemeine grafische Lösung zu Beispiel 4.4.07
Die Gerade nach Gl.(4.4.91) kann z. B. durch die Wertepaare
I ⋅ N ⋅ µo
I⋅ N
BFe (H Fe = 0) =
und H Fe(BFe = 0) =
bestimmt werden.
δ ⋅ ϕFe
s Fe
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Für die Werte des Beispiels 4.4.07 erhalten wir:
I ⋅ N ⋅ µ o 1A ⋅ 1114 ⋅ 0.4π ⋅ 10 −6 Vs
=
= 1.40T
δ ⋅ ϕFe
1 ⋅ 10 −3 m ⋅ 1 ⋅ Am
1A ⋅ 1114
I⋅N
H Fe(BFe = 0) =
=
= 1800 A / m
lFe
0.619m
In Abb.4.4.39 ist die Gerade nach Gl.(4.4.91) in die Magnetisierungskennlinie nach
Abb.4.4.26 eingetragen. Der Schnittpunkt der beiden Kurven ergibt die Lösung:
BFe (H Fe = 0) =
B FeA = 1.21T
HFeA = 250A/m
B/T
1.6
b
a
1.4
1.2
1.0
0.8
c
0.6
0.4
0.2
Kurve a und c: 400
Kurve b: 20 40 60
1200
800
80 100
1600
2000
2400
H
A /m
Abb. 4.4.39 Grafische Lösung zu Beispiel 4.4.07
Die gesuchte Luftspaltinduktion ist
Bo = BFe ⋅ ϕFe = 1.21T ⋅ 1 = 1.21T
c)
Verzweigte magnetische Kreise
Verzweigt sich der magnetische Kreis, so gilt für den Verzweigungspunkt der
magnetische Knotensatz nach Gl.(4.4.71). Die vorzeichenbehaftete Summe aller Flüsse
an einem Verzweigungspunkt ist Null.
∑Φ
µ
=0
(4.4.92)
In verzweigten magnetischen Kreisen verzweigen sich allerdings die Feldlinien nicht,
Feldlinien des magnetischen Feldes sind auch in verzweigten Kreisen in sich
geschlossene Linien für die der magnetische Maschensatz angewendet wird.
Θ = ∑V
(4.4.93)
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244
1etv44-2
In Abb.4.4.40 ist ein verzweigter magnetischer Kreis dargestellt. Für den
Verzweigungspunkt, der als magnetischer Knotenpunkt bezeichnet wird liefert Gl.(4.4.92)
−Φ1 + Φ 2 + Φ 3 = 0
(4.4.94)
Für die weitere Behandlung ist es zweckmäßig, den verzweigten Kreis in unverzweigte
Teilkreise zu zerlegen. Die Ersatzschaltung in Abb.4.4.41 zeigt die Vorgehensweise.
Gehen wir von homogenen Feldern in den einzelnen Teilen des magnetischen Kreises
aus, so gilt für den Mittelschenkel (1)
Φ1 = B1 ⋅ A1
(4.4.95)
Trennen wir den Mittelschenkel an der gestrichelten Linie, dann gilt für den linken Teil:
Φ 3 = B1 ⋅ A13 und für den rechten Teil:
Φ 2 = B1 ⋅ A12
Wir erhalten zwei unverzweigte magnetische Kreise mit den Flüssen Φ 2 und Φ 3 , die wie
in 4.4.6 a) und b) berechnet werden können. Genormte magnetische Kreise sind
symmetrisch aufgebaut, so dass die Induktion in allen Querschnitten des Kerns gleich ist.
Die gestrichelte Linie in Abb.4.4.40 halbiert damit den Kern in zwei gleiche unverzweigte
magnetische Kreise. Daher ist nur die Berechnung eines unverzweigten Teilkreises
notwendig. Auftrennen des Kreises an der Mittellinie.
Φ2
Φ3
sFe3
3
2
Θ
sFe2
Φ1
A
Θ
1
Abb. 4.4.40 Verzweigter magnetischer Kreis
Rm1
Φ3
Rm3
Φ1
Rm2
Θ
Φ2
Φ3
Rm3
Rm13
Θ
Φ2
Rm12
Rm2
Θ
Abb. 4.4.41 Ersatzschaltbilder des verzweigten magnetischen Kreises
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Für diesen Fall gilt:
Aus
Rm1 = Rm13IIRm12 =
Rm13 = Rm12
Rm13 ⋅ Rm12
wird damit
Rm13 + Rm12
Rm13 = Rm12 = 2Rm1
Beispiel 4.4.08:
Gegeben ist ein Magnetkreis nach Abb.4.4.40. Im Magnetkreis (Kern) ist das Magnetfeld
homogen. Der Kern besteht aus Elektroblech V400-50A
N = 1000; A1 = 25cm2; A2 = A3 = 12.5cm2; ϕFe = 0.97; sFe2 = sFe3 = 30cm.
a) Es sind die Flüsse in den Schenkeln zu berechnen.
b) Für die Flussdichte im Kern B = 1.2T ist der Spulenstrom I zu berechnen.
a)
Φ 2 = B ⋅ A 2 ⋅ ϕFe = 1.2T ⋅ 12.5 ⋅ 10−4 m2 ⋅ 0.97 = 1.46mVs
Φ 3 = B ⋅ A 3 ⋅ ϕFe = 1.2T ⋅ 12.5 ⋅ 10−4 m2 ⋅ 0.97 = 1.46mVs
Φ1 = Φ 2 + Φ 3 = 2 ⋅ Φ 2 = 2.91mVs
b)
B = 1.2T
aus Magnetisierungskennlinie H = 240A/m
Θ = I ⋅ N = H ⋅ sFe2
Θ = I ⋅ N = H ⋅ sFe3
I=
H ⋅ sFe2 240A ⋅ 0.3m
=
= 45mA
N
m ⋅ 1000
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4.4.7
Energie im magnetischen Feld
Der Lernende kann
- erklären, warum in einem magnetischen Kreis Energie gespeichert wird
- die magnetische Energie und die magnetische Energiedichte formelmäßig angeben
- die analogen Beziehungen zwischen elektrischer und magnetischer Feldenergie angeben
- das Größenverhältnis zwischen technisch realisierbarer magnetischer und elektrischer Energiedichte
nennen
Um die im magnetischen Feld gespeicherte Energie zu bestimmen, führen wir folgenden
Versuch nach Abb.4.4.42 durch. Eine Ringkernspule wird zum Zeitpunkt t = 0 über einen
Widerstand R an eine Gleichspannungsquelle geschaltet. Der ohmsche
Spulenwiderstand soll bei den folgenden Betrachtungen vernachlässigt werden. Strom i,
die Spulenspannung uL und die Spannung über dem Widerstand uR werden
messtechnisch mit aufgezeichnet.
uR
t=0
R
i
Uq
sm
A
uL
N
Abb. 4.4.42 Versuch zur Bestimmung der magnetischen Energie
Es ergeben sich die Zeitverläufe des Stromes und der Spannungen nach Abb.4.4.43, die
wir in Kapitel 6 auch berechnen werden. Die Zeitkonstante T ist dabei eine konstante Zeit,
die durch die Parameter der Spule und durch den Widerstand R bestimmt wird.
i, u
i
I∞
Uq
uR
uL
i, uL , uR
1
2
3
Abb. 4.4.43 Zeitverläufe von Strom und Spannungen beim
Einschalten der Ringkernspule
4
t/T
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Nach dem Einschalten fließt der Strom i durch die Spule und über der Spule ist eine
Spannung uL vorhanden. Nach der Zeit t ≈ 3 ⋅ T ist der stationäre Zustand erreicht.
Da während des Einschaltvorgangs an der Spule Strom und Spannung vorhanden sind
und von der Spule keine Energie abgegeben wird, muss in der Spule Energie gespeichert
werden. Im Folgenden wollen wir die während des Einschaltvorgangs in der Spule
gespeicherten Energie berechnen. Während des Einschaltvorgangs 0 ≤ t < ∞ ändert sich
die Energie von W1 auf W2.
W2
∆W =
∫
W1
∞
dW = ∫ uL ⋅ i ⋅ dt
(4.4.96)
0
Zwischen der Spulenspannung uL und dem Magnetfeld in der Ringkernspule besteht der
Zusammenhang nach Gl.(4.4.97), die sich aus der Wirkung des Induktionsgesetzes
ergibt, das wir in Kapitel 4.5 behandeln werden.
dΦ
(4.4.97)
dt
Zwischen Fluss im Ringkern und Spulenstrom besteht nach Gl.(4.4.15), (4.4.80) und
(4.4.81) der Zusammenhang
Φ
i=
(4.4.98)
N⋅ Λ
uL = N ⋅
Mit Gl.(4.4.97) und (4.498) berechnet sich die gespeicherte Energie nach Gl.(4.4.99),
wobei für den Spulenfluss gilt: t = 0 Φ = 0; t → ∞ Φ = Φ 0 .
∞
1
∆W = ∫ uL ⋅ i ⋅ dt =
Λ
0
Φo
Φ0
Φ2
Φ 02
=
=
d
⋅Φ
⋅
Φ
∫0
Λ⋅2 0
Λ⋅2
(4.4.99)
Setzen wir in der Ringkernspule homogene Feldverhältnisse an, dann gilt:
Λ=
µ⋅A
sm
∆W =
Φ0 = B ⋅ A
B2 ⋅ A 2 ⋅ sm B2 ⋅ A ⋅ sm
=
2⋅µ⋅ A
2⋅µ
(4.4.100)
Führen wir die Energiedichte wm als die auf das Volumen V = sm ⋅ A des Ringkerns
bezogene gespeicherte Energie ein, erhalten wir:
wm =
∆W
B2 ⋅ A ⋅ sm
=
V
2 ⋅ µ ⋅ sm ⋅ A
wm =
B2
B ⋅ H µ ⋅ H2
=
=
2⋅µ
2
2
(4.4.101)
Gl.(4.4.101) gilt auch für inhomogene Felder, da nur die Feldgrößen B und H enthalten
sind, die einem Raumpunkt zugeordnet werden können:
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Die Energie ist entsprechend der Flussdichte und Feldstärkeverteilung im Magnetfeld
verteilt. Im homogenen Magnetfeld ergibt sich damit gleichmäßige Energieverteilung.
Vergleicht man die technisch realisierbaren Energiedichten im magnetischen und
elektrischen Feld, so ergeben sich gravierende Unterschiede:
Im Luftspalt einer elektrischen Maschine können B = 1.5 T unproblematisch erzeugt
werden. Zwischen den Platten eines Luftkondensators ist wegen der
Durchschlagfestigkeit der Luft die maximale Feldstärke Emax = 30 kV/cm .
Mit den Gl.(4.4.101) und (4.3.69) erhält man:
wm =
B2
1.52 V 2 s2 ⋅ Am
= 4
= 900000Ws / m3
−6
2 ⋅ µo m ⋅ 2 ⋅ 0.4π ⋅ 10 Vs
εo ⋅ E2 8.85 ⋅ 10−12 As ⋅ 302 ⋅ 106 V 2
=
= 40Ws / m3
−4
2
2
Vm ⋅ 10 m
w m 900000
=
= 22500
we
40
we =
(4.4.102)
(4.4.103)
(4.4.104)
Für technische Energiewandlungen wird aus diesem Grund gegenwärtig ausschließlich
das Magnetfeld verwendet.
4.4.8
Kräfte im Magnetfeld
Der Lernende kann
- die Lorentzkraft erklären, formelmäßig angeben und die Richtung der Kraft bestimmen
- die möglichen Richtungszuordnungen zwischen Geschwindigkeits- und Flussdichtevektor angeben
und die daraus resultierenden Ladungsbewegungen erklären
- Kräfte auf stromdurchflossene Leiter aus der Lorentzkraft begründen
- Kräfte auf gerade stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld konstanter Dichte berechnen
- Kräfte auf magnetische Trennflächen energetisch begründen und Kräfte im Luftspalt magnetischer
Kreise bei homogenem Luftspaltfeld und gegebener Luftspaltfläche berechnen
- Kräfte auf Magnete im Magnetfeld erklären und für homogene Verhältnisse berechnen
Die Energiedichte nach Gl.(4.4.101) bringt die Arbeitsfähigkeit pro Volumen zum
Ausdruck. Mit Hilfe des Magnetfeldes können damit mechanischer Kräfte erzeugt werden.
Wegen der hohen Energiedichte gegenüber dem elektrischen Feld basieren alle
elektromechanischen Energiewandler: Motoren, Generatoren, Hubmagnete, Schütze,
Relais u. a. auf der Verwendung des magnetischen Feldes.
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a)
Kräfte auf bewegte Ladungen
Im Gegensatz zum elektrischen Feld treten im Magnetfeld Kräfte nur auf
G
bewegte Ladungen
auf. Bewegt sich die Ladung Q mit der Geschwindigkeit v im Feld der
G
Flussdichte B so kann die Kraft auf die Ladung (Lorentzkraft)
nach Gl.(4.4.105) bestimmt werden. Zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und dem
Flussdichtevektor vermittelt das vektorielle Produkt oder Kreuzprodukt:
G
G G
F = Q ⋅ (v xB)
(4.4.105)
Die Kraft hat den Betrag
G G
F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin )v;B
(4.4.106)
Die Richtung des Kraftvektors (Abb.4.4.44) wird durch das Kreuzprodukt
bestimmt.
G G
Zur Bestimmung der Richtung des Kreuzproduktvektors v xB benutzt man Daumen,
Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand nach Abb.4.4.45.
G
v
G
F
G
B
G
B
G
F
α
Q
G
v
Abb. 4.4.44 Lorentzkraft
Abb. 4.4.45 Bestimmung der Kraftrichtung
der Lorentzkraft
Dabei ist die Zuordnung der Finger:
G
Daumen:
vG
Zeigefinger B
G
Mittelfinger F
G
G
Die Kraft steht senkrecht auf der von v und B gebildeten Fläche und bildet damit sowohl
zum Geschwindigkeitsvektor als auch zum Flussdichtevektor einen rechten Winkel. Da
der Kraftvektor immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor ist, kann die Kraft nur
ablenkend wirken, aber nicht geschwindigkeitserhöhend oder
Lorentz, Hendrick Antoon (1853 - 1928), niederländischer Physiker
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bremsend. In der Richtungszuordnung von Geschwindigkeits- und Flussdichtevektor
lassen sich drei Fälle unterscheiden, die in Tabelle 4.4.03 zusammengestellt sind.
G G
v,B richtungsgleich
G G
v,B zueinander senkrecht
F=0
Die GLadung wird zur Kreisbahn abgelenkt,
da F immer radial wirkt
Die Ladung führt eine Schraubenbahn
aus:
Kreisbahn durch senkrechte
Komponente,
Fortbewegung durch richtungsgleiche
Komponente der Geschwindigkeit.
G G
v,B beliebiger Winkel
Tabelle 4.4.03 Ladungsbewegung im Magnetfeld
Beispiel 4.4.09:
G
Die Ladung q mit MasseG m und der Geschwindigkeit v wird senkrecht in ein homogenes
Magnetfeld der Dichte B bewegt. Es ist die Kreisbahn zu berechnen.
Da die Vektoren der Geschwindigkeit und der Flussdichte senkrecht zueinander sind,
bewegt sich die Ladung in einer Ebene. In Abb.4.4.46 sind die Verhältnisse dargestellt.
+
q
G
v0
R
q
G
B
G + G
F
F
G z
v1
G
v2
Abb. 4.4.46 Zur Berechnung der Kreisbahn nach Beispiel 4.4.09
G
und die
Auf die Ladung mit
der
Masse
m
wirken
im
Magnetfeld
die
Lorentzkraft
F
G
Zentrifugalkraft Fz . Der Radius R der Kreisbahn ergibt sich bei Betragsgleichheit der
beiden Kräfte.
G G
F + Fz = 0
FZ = F
(4.4.107)