1 Aussagenlogik und vollständige Induktion

Dr. Siegfried Echterhoff
Analysis 1
Vorlesung WS 08 – 09
1 AUSSAGENLOGIK UND VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
1 Aussagenlogik und vollständige Induktion
Die Mathematik basiert auf einer Reihe von “Axiomen”, d.h. auf mathematischen Aussagen, die als (offensichtlich?) “wahr” angenommen werden, aus denen dann mit Hilfe
logischer Verknüpfungen weitere Aussagen als “wahr” erkannt werden.
Beweisen!
Da eine genaue Darstellung der Axiome sehr aufwendig ist (dies wird vermutlich im 2.
Semester im Modul LLogische Grundlagennnachgeholt), wollen wir uns hier auf Aussagen
stützen die etwa aus dem Schulunterricht bekannt sind, und diese wenn nötig ergänzen.
Was ist ein mathematischer Beweis?
√
√
Sei B eine mathematische Aussage (wie etwa 2 > 1 oder 2 ∈
/ Q).
Wir wollen beweisen, dass B wahr ist. Eine Aussage macht also nur Sinn, wenn man die
Frage nach wahr oder unwahr sinnvoll stellen kann!
Zum Beweis von B finde eine bereichts als wahr erkannte Aussage A und zeige A ⇒ B
(Aus A folgt B).Oft gelingt dies nicht in einem Schritt, sondern wir zeigen eine Kette von
Folgerungen:
A1 ⇒ A2 ⇒ A3 ⇒ . . . ⇒ Al ⇒ B
Die Aussagen A1 , A2 , . . . sind hier bei in der Regel logische Verknüpfungen einer Vielzahl
anderer Aussagen.
Wichtig: Eine Mathematische Aussage ist entweder wahr oder unwahr (niemals beides).
Definition 1.1 (Verknüpfungen von Aussagen, VB)
definieren:
1
Seien A, B Aussagen. Wir
a) Und: A ∧ B ist wahr, genau dann, wenn beide Aussagen A und B wahr sind.
b) Oder: A ∨ B ist wahr, genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen A, B wahr
ist (also auch, wenn A und B wahr ist).
c) Nicht: ¬A ist wahr, genau dann, wenn A nicht wahr ist.
d) Folgt: A ⇒ B ist wahr, genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen A∨B, ¬A
wahr ist (also A ⇒ B wahr, genau dann, wenn (A ∧ B) ∨ (¬A)).
1
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VB: wichtiges für das “Vokabelbuch”
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e) Äquivalenz: A ⇔ B ist genau dann wahr, wenn A und B beide wahr oder unwahr
sind (“⇔” ist somit gleich bedeutend mit gdw 2 ).
Es gilt: (A ⇔ B) ⇔ [(A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A)] ⇔ [(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)]
Die Verknüfungen ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔, lassen sich auch gut in einer Wahrheitstabelle veranschaulichen:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
A⇒B
w
f
w
w
A⇔B
w
f
f
w
¬A
f
f
w
w
Wir werden später fast nie die Zeichen ∧, ∨, ¬ benutzen, sondern fast immer die entsprechenden Worte “und”, “oder” und “nicht”.
Wir benötigen auch Versionen von “und” und “oder” für Systeme von Aussagen.
Definition 1.2 (VB) Sei {Ai |i ∈ I} ein System von Aussagen (I ist beliebige Indexmenge). Wir setzen
a) Für alle: Die Aussage [∀i ∈ I gilt Ai ] ist wahr gdw alle Aussagen Ai wahr sind.
b) Es gibt: Die Aussage [∃i ∈ I mit Ai ] ist wahr gdw mindestens eine der Aussagen Ai
wahr ist.
Beachte: ∀ ist eine Form für ∧ für “viele” Aussagen und ∃ ist Form für ∨ für viele
Aussagen!
Oft findet man auch die Quantoren
∧ Ai (⇔ ∀i ∈ I gilt Ai ) bzw.
i∈I
∨ Ai (⇔ ∃i ∈ I mit Ai ) .
i∈I
Ich benutze dieses aber fast nie!
Allein aus der Definition von ∧, ∨ etc. kann man schon neue Aussagen basteln, z.B.
A ∧ B ⇒ A ∨ B und (A ⇔ B) ⇒ (A ⇒ B)
Aus der Definition der Zeichen folgt, dass diese wahr sind.
Ebenso gelten:
A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
2
genau dann wenn
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und
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Beachte: ∧, ∨ haben Vorrang vor “⇒” und “⇔”!.
Wir überprüfen z.B. die erste dieser Aussagen mit Hilfe einer Wahrheitstafel:
A B C A ∧ C A ∧ C B ∨ C A ∧ (B ∨ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
w w w
w
w
w
w
w
w
f
w
w
w
w w f
f
w
w
w
w
w f w
w f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f w w
f
f
f
f
f
f w f
f f w
f
f
w
f
f
f
f
f
f
f
f f f
Aus den letzten beiden Spalten folgt also, dass A ∧ (B ∨ C) genau dann wahr ist, wenn
auch (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) wahr ist.
Im Allgemeinen sind die zu beweisenden Aussagen wesentlich komplexer und nicht mit
Wahrheitstafeln zu beweisen! Wir wollen nun ein ersten Beispiel geben:
Beispiel 1.3 Sei N = {1, 2, 3 . . .} die Menge der natürlichen Zahlen. Für m, n ∈ N sagen
wir n > m, falls ein k ∈ N existiert mit n = m + k. Wir behaupten nun die folgende
Aussagen: Sind n, ml, r ∈ N, so gelten
a) Gilt n > l und m > r, so folgt n + m > l + r,
[d.h. ∀n, m, l, r ∈ N gilt (n > l) ∧ (m > r) ⇒ m + n > l + r]
b) Gilt n > l und m > r, so folgt n · m > l · r,
[d.h. ∀n, m, l, r ∈ N gilt (n > l) ∧ (m > r) ⇒ m · n > l · r]
Beweis: a) Da n > l und m > r folgt nach Definition für “>”, dass k1 , k2 ∈ N existiert
mit n = l + k1 , m = r + k2 . Aus den Rechenregeln in N folgt hieraus:
n + m = (l + k1 ) + (r + k2 )
=
(l + r) + (k1 + k2 )
Assoziativgesetz,
=
mit k=k1 +k2 ∈N
(l + r) + k
Kommunitativgesetz
für + in N
Nach Definition für > folgt also n + m > l + r.
Den Beweis von b) lassen wir als einfache Übungsaufgabe.
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Frage: Aus welche wahren Aussagen haben wir uns im obigen Beispiel gestüzt?
1.4 (Methode des indirekten Beweises (VB)) Sei wieder B eine Aussage, die wir
beweisen wollen. Beim indirekten Beweis suchen wir eine unwahre Aussage A und zeigen,
dass die Aussage
¬B ⇒ A
wahr ist. Wenn dies gelingt, so ist B eine wahre Aussage, dann wir haben die Äquivalenz
(¬B ⇒ A) ⇔ (¬A ⇒ B)
und nach Voraussetzung ist ¬A eine wahre Aussage!
[ Beweis von (¬B ⇒ A) ⇔ (¬A ⇒ B) durch Wahrheitstafeln :

A B ¬A ¬B ¬B ⇒ A ¬A ⇒ B

w w f
f
w
w


w
w
w
w f f


f w w
f
w
w
w
f
f
f f w
Beispiel 1.5 (Pythagoras) Erinnerung: rationale Zahlen, und solche, die man als Bruch
n
mit n ∈ Z, m ∈ N schreiben kann. Wir schreiben Q für die Menge aller rationalen Zahm
len.
√
√
2∈
/ Q (in Worten: 2 ist keine rationale Zahl).
Behauptung: Es gilt die Aussage B :=
√
Wir nehmen an, dass ¬B wahr ist, also 2 ∈ Q. Dann existiert n ∈ Z, m ∈ N mit
√
n
2= m
. Wir wollen zeigen, dass hieraus eine unwahre Aussage folgt!
√
n
, so können wir durch Kürzen des Bruches erreichen, dass n oder m ungerade
Ist 2 = m
ist.
√ 2
n 2
n2
Dann folgt: 2 =
2 = m
=m
2
Hieraus folgt: 2m2 = n2 .
Insbesondere folgt n2 gerade, und da Produkte zweiser ungerader Zahlen wieder ungerade
sind, muss auch n gerade sein, d.h. es existiert ein l ∈ Z \ {0} mit n = 2l. Es folgt
2=
4l2
, also m2 = 2l2
m2
und wie oben folgt, dass auch m gerade ist.
Wir haben gezeigt:
√
2 ∈ Q ⇒ ∃m ∈ N mit m gerade ∧ m ungerade
|
{z
}
Diese Aussage ist nicht wahr!
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Für die Durchführung indirekter Beweise ist es wichtig, Aussagen korrekt zu verneinen.
Hier einige Grundregeln:
Lemma 1.6 Es gelten
a) ¬ (A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
b) ¬ (A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
c) ¬ (∀i ∈ I gilt Ai ) ⇔ ∃i ∈ I mit ¬Ai
d) ¬ (∃i ∈ I mit Ai ) ⇔ ∀i ∈ I gilt ¬Ai
Diese Regeln folgen leicht aus den Definitionen!
Beispiel 1.7 Sei (an )n eine Folge in R. Nach Definition heißt (an )n konvergent, falls
gilt:
Es existiert ein a ∈ R, so dass für alle 0ε ∈ R ein N ∈ N existiert mit |an − a| < ε
∀n ≥ N.
Wir wollen die Aussage (an )n ist konvergent korrekt verneinen, d.h. wir wollen eine brauchbare Aussage finden, die zur Aussage [(an )n ist nicht konvergent] äquivalent ist. Dazu
formulieren wir zunächst die Definition von Konvergenz von (an )n mit Hilfe von “∀” und
“∃”, um dann die Regen aus 1.6 anzuwenden: Es gilt:
(an )n ist konvergent ⇔ ∃a ∈ R mit (∀0 < ε ∈ R gilt (∃N ∈ N mit (∀n ≥ N gilt |an − a| < ε)))
Nach Regeln c) und d) in Lemma 1.6 gilt dann: (an )n ist nicht konvergent ⇔ ∀a ∈
R gilt (∃0 < ε ∈ R mit (∀N ∈ N gilt (∃n ≥ N mit |an − a| < ε))) In Worten: Für alle
a ∈ R exisitert ein ε > 0, so dass für alle N ∈ N ein n ≥ N existiert mit |an − a| ≥ ε.
Das richtige Verneinen mathematischer Aussagen ist nicht immer leicht! Häufig gemachter
Fehler:
Die Verneinung einer Aussage wird mit dem “Gegenteil” einer Aussage gleichgesetzt.
Beispiel: Sei A die Aussage: “Alle Menschen können fliegen”. Eine solche Aussage wird
häufig verneint durch “(Alle) Menschen können nicht fliegen”. Nach 1.6 c) ist die richtige
Verneinung aber: “Es gibt (mindestens) einen Menschen, der nicht fliegen kann”.
Wir kommen nun zu einem wichtigen Beweisprinzip, das uns manchmal erlaubt, unendlich
viele Aussagen gleichzeitig zu beweisen. Wir setzten voraus, dass die natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3 . . .} und N0 = N ∪ {0} und die Rechenregel auf N bekannt sind. Wichtigste
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Eigenschaft von N ist, dass für jede Zahl n ∈ N genau ein Nachfolger n + 1 ∈ N existiert,
und wenn wir mit 1 starten, so durchlaufen wir mit
1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . .
jede natürliche Zahl genau einmal (Peano – Axiom).
1.8 (Prinzip der vollständigen Induktion) Für alle n ∈ N sei An eine Aussage.
Ferner gelte:
I1) (Induktionsanfang) A1 ist wahr
I2) (Induktionsschluss) Für alle n ∈ N gilt: An ⇒ An+1
Dann ist jede der Aussagen An wahr.
Die Idee ist natürliche klar: Um zu sehen, dass An wahr ist, betrachten wir die Schlusskette
A1 ⇒ A2 ⇒ . . . ⇒ An−1 ⇒ An
Da A1 wahr ist, und da mit I2) alle “Pfeile” wahr sind, ist dann auch An wahr.
Beispiel 1.9 Sind n1 , . . . nl Zahlen, so setzen wir
n
X
i=1
i
also ni =i
=
n (n + 1)
(=: An )
2
P1
1 (1 + 1)
Beweis durch vollständige Induktion: I1) n = 1 :
, also ist A1
i=1 i = 1 =
2
wahr.
I2) Wir zeigen für alle n ∈ N : An ⇒ An+1 .
Sei also n fest gewählt und An sei wahr (ist An nicht wahr, so ist nichts zu zeigen. da
dann die Aussage An = An+1 immer wahr ist!). Dann folgt:
! n "
n+1
X
X
=
i + (n + 1)
i=1
i=1
=
An wahr
=
=
=
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n (n + 1)
+ (n + 1)
2
n (n + 1) + 2 (n + 1)
2
(n + 1) (n + 2)
2
(n + 1) ((n + 1) + 1)
2
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d.h. die Aussage An+1 ist auch wahr!
Damit ist der Schritt An ⇒ An+1 ∀n ∈ N bewiesen!
I1) ∧ I2) ⇒ Formel gilt für alle n ∈ N!
Bemerkung: Die Annahme “An ist wahr” im Schritt I2) nennt man auch Induktionsannahme!
Es ist naürlich im Beweis stehts zu kennzeichnen, wo die Annahme eingeht!
1.10 (Wichtig!) Das Prinzip der vollständigen Induktion funktioniert auch, wenn ein
n0 ∈ Z und Aussagen An0 , An0 +1 , An0 +2 , . . . haben. Dann müssen wir zeigen:
I1) An0 ist wahr.
I2) ∀n ≥ n0 gilt: An ⇒ An+1 ,
wir erhalten dann die Schlusskette
An0 ⇒ An0 +1 ⇒ . . . ⇒ An−1 ⇒ An ⇒ . . .
Beispiel 1.11 (Geometrische Summe, VB) Für eine beliebiege (reelle) Zahl x und
n ∈ N0 setzte
. . x}
x0 := 1 und xn := x
| .{z
n-mal
Dann gilt für alle n ∈ N0 und für alle 1 6= x ∈ R:
n
X
xi =
i=0
Beweis durch vollständige Induktion:
P
0+1
I1) n = 0 : 0i=0 xi = x0 = 1 und 1−x
=
1−x
def
1 − xn+1
1−x
1−x
1−x
=1
I2) n → n + 1: Sei n ≥ 0 gegeben und die Formel sei wahr für n. Dann folgt für n + 1:
"
! n
n+1
X
X
i
i
x
=
x + xn+1
i=0
i=0
=
Annahme
=
=
=
also folgt die Aussage für n + 1!
10
1 − xn+1
+ xn+1
1−x
1 − xn+1 + (1 − x) xx+1
1−x
n+1
1−x
+ xx+1 − xx+2
1−x
1 − xx+2
1−x
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1.12 Das Induktionsprinzip wird oft auch für sogenannte rekursive Definitionen genutzt,
um z.B. so etwas wie xn := x
. . x} zu vermeiden!
| .{z
n–mal
0
Beispiel: Wir definieren x := 1, und ist xn bereits definiert für n ≥ 0, so definieren wir
xn = (xn ) · x.
Beispiel: Wir definieren 0! := 1 und ist n! für n ∈ N0 bereits definiert, so setzten wir
(n + 1)! = (n + 1) ·
n!
n!=1·2·3·...·n
n!
Definition 1.13 (Binomialkoeffizient) Für k, n ∈ N0 setzte nk = k!(n−k)!
, falls k ≤ n
n
n
und k := 0, falls k > n. Die Zahlen k heißen Binomialkeoffizienten.
Beachte: Sind n ≥ k ≥ 1, so gilt
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
n
=
k
k(k − 1) . . . 2 · 1
+ n−1
. Dies
Lemma 1.14 (Pascalsche Dreieck) Für alle 1 ≤ k ≤ n gilt nk = n−1
k−1
k
bedeutet, dass die Binomialkoeffizienten im sogenannten Pascalschen Dreieck angeordnet
werden können:
Es gilt immer:
n
0
=
n
n
=1
n!
= 1 und n−1
Beweis: Ist k = n, so liefert Einsetzten auf beiden Seiten: nn = n!0!
+
n−1
n−1
= 1 + 0 = 1. Sei also 1 ≤ k ≤ n. Dann gilt:
n
(n − 1)!
k(n − 1)! + (n − k)(n − 1)
n−1
n−1
(n − 1)!
+
=
+
=
(k − 1)!(n − k)! k!(n − 1 − k)!
k!(n − 1)!
k−1
k
n(n − 1)!
n
n!
=
=
=
k!(n − k)!
k!(n − k)!
k
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Satz 1.15 (Binomische Formel) Für alle x, y ∈ R und n ∈ N0 gilt:
n
(x + y) =
n X
n
k=0
k
xk y n−k
Beweis durch vollständige Induktion nach n:
P
I1) n = 0 : (x + y)0 = 1 und 0k=0 k0 xk y 0−k = 00 x0 y 0 = 1. X
I2) Die Formel sei wahr für gegebene n ≥ 0. Dann folgt daraus
(x + y)n+1
=
=
Annahme
=
=
Index in erster
Summe um eine
(x + y)n · (x + y)
! n "
X n
xk y n−k (x + y)
k
k=0
n
n X n
X
n k n+1−k
k+1 n−k
+
x y
x y
k
k
k=0
k=0
n n+1 X
X
n k n+1−k
n k n+1−k
x y
x y
+
k
k
k=1
k=0
Stelle verschoben
=
=
1.14
=
=
n n
n
n n+1 0 X
n 0 n+1
k n+1−k
x y
+
xy
+
x y +
k
k
−
1
n
0
k=1
n X
n + 1 k n−k
n+1
x y
x
+
+ y n+1
k
k=1
n n + 1 n+1 0 X n + 1 k n+1−k
0 0 n+1
xy
+
x y +
x y
0
n+1
k
k=1
n+1 X
n + 1 k n+1−k
x y
k
k=0
Also gilt die Formel für n + 1.
12
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