Dominant

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In stitu t ftir
G rundtagen und Theorie
der Elektrotechnik
Gufihausstrafie 27/351
A-1040 Wien
Tel. (01) 58801
Vorlesungen iiber
Elektrodynamik
von
A. Prechtl
Wien 2005
Alle Rechte vorbelialten
TU
W I E N
Inhaltsverzeichnis
E IN F U H R U N G
1.1 H istorische E n tw ic k lu n g .................................................................
Urspiung der Begriffe ...........................................................................
Das Entstehen der elektrodynamischen T h e o r ie n ............................
Die Maxwell G leichungen.....................................................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
1.2 D as analytische W e r k z e u g ..............................................................
Bereiche und Orientierungen ..............................................................
Vektoren und Tensoren...........................................................................
K oordinaten..............................................................................................
Raumliclie Ableitungen von Feldern ..................................................
Transformation von Integralen ...........................................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
E IG E N SC H A FT E N EL EK TR O M A G N E TISC H E R FELDER
2.1 G lobale und lokale E ig e n s c h a fte n ...............................................
Das elektromagnetische Feld im engeren S i n n ..................................
Das Strom Ladungs F e l d .....................................................................
Die M axwell-Gleichungen.....................................................................
Verknupfungsbeziehungen.....................................................................
Materialgleichungen ..............................................................................
Erganzungen ftir bewegte K o r p e r ........................................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
2.2 D ie Feldgleichungen in Sonderfallen .........................................
Statische elektrische Feldei- ..................................................................
Stationare elektromagnetische F e ld e r..................................................
Bezogene FeldgroBen und charakteristische P a r a m e te r ...................
Das dominant elektrische Feldsystem ..................................................
Das dominant magnetische Feldsystem ...............................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
2.3 Energie und I m p u ls ...........................................................................
Bilanzglcichungen ftir Energie und I m p u ls .........................................
Elektromagnetische Teilsvstem e...........................................................
Dominant elektrische und dominant magnetische Feldsysteme . . .
Resultierende Krafte und L eistungen..................................................
Ausgewahlte Literatur ............................................................... ...
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S T A T IS C H E U N D ST A T IO N A R E F E L D E R
3.1 E le k tro s ta tik u n d Q u a s i - E l e k tr o s ta t ik .....................................
Allgemeine Eigenschaften des elektrostatischen Feldes und Ladungsverteilungen.................................................................................
Poisson und L aplace-G leiehung........................................................
Darstellungssatze der Potenzialtlieorie...............................................
Randwertprobleme der E le k tro sta tik ..................................................
Formale Losungen elektrostatiseher Randwertprobleme...................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
3.2 S pezielle e le k tro s ta tisc h e F e l d e r ..................................................
Zweidimensionale Losungen der Laplace Gleiehung in kartesischen
Koordinaten ..............................................................................
Zweidimensionale Losungen der Laplace-Gleichung in Polarkoordin a t e n ...........................................................................................
Das elektrostatische V ektorpotenzial..................................................
Ebene Feldprobleme und holomorphe F u nktionen............................
Die Laplace-Gleichung in K ugelkoordinaten......................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
3.3 R e la x a tio n u n d K o n v e k tio n e le k trisc h e r L a d u n g ..................
Die G rundgleichungen...........................................................................
Ladungsrelaxation ohne B ew eg u n g .....................................................
Relaxation und K o n v e k tio n ..................................................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
3.4 S ta tio n a re M a g n e tf e ld e r .................................................................
Allgemeine Eigenschaften des stationaren magnetischen Feldes und
S trom verteilungen.....................................................................
Laplace- und Poisson G le ie h u n g ........................................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
3.5 Spezielle s ta tio n a re M a g n e t f e l d e r ..............................................
Ebene M a g n e tfe ld e r..............................................................................
Drehsymmetrische Magnetfelder ........................................................
Ausgewahlte L ite r a tu r ...........................................................................
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IN D U K T IO N S E R S C H E IN U N G E N
105
4.1 Q u a s ista tio n a re F e l d e r .................................................................... 105
Allgemeine E ig en sch aften ..................................................................... 105
Spezielle Gleichungen ........................................................................... 106
4.2 D iffusion m ag n e tisc h e r F e l d e r ..................................................... 108
Eindringen des magnetischen Flusses in einen H a lb ra u m ................108
S trom verdningung................................................................................. 114
Ausgewahlte L ite r a tu r ........................................................................... 116
5
E L E K T R O M A G N E T IS C H E W E L L E N
117
5.1 G ru n d g leich u n g en u n d P o t e n z i a le ...............................................117
Allgemeine Eigenschaften elektromagnetischer F e ld e r...................... 117
Elektrodynamische P otenziale............................................................... 118
Einfache W ellengleiehungen.................................................................. 120
Der Hertz D i p o l .................................................................................... 123
iii
5.2
5.3
T yp en von
W e lle n ......................................
129
Begriffe und B enennungen.........................................................
129
Fieie ebene R aum w ellen........................................................................ 132
Gefuhrte Wellen in zylindrischen Anordnungen . , ......................... 134
W ellen auf
D o p p e lle itu n g e n .................................... ...
139
Die verlustfreie Doppelleitung .................................... . . » ............... 139
Die verlustbeliaftete D oppelleitung.................................. .................. 141
Die Doppelleitung als Z w eitor...............................................
144
Ausgewahlte
L ite r a tu r ................................................... ................ 145
K apitel 1
Einfuhrung
1.1
H istorische Entw icklung der Begriffe und Theorien der E lektrodynam ik
Ursprung der Begriffe
Elektrische, magnetische und optisclie Erscheinungen waren verniutlich in alien
groBen Kulturen bekannt, bemerkenswerte systematische Unteisucliungen linden
wir jedoch erst im spaten Mittelalter. Int.eressanterweise stainmcn die ersten wichtigen Beitrage nicht aus deni begrifflich einfacheren Bereich der statischen Elektri­
zitat, sondern aus dem Bereich des Magnetismus, zweifellos angeregt durcli die eigenartigen und niitzlichen Eigenschaften des rnagnetischen Kompnsses. Von Pierre
le Pelerin de Maricourt (Petrus Peregrinus), eineni franzosischen Kreuzfahrer, ist
aus dem 13. Jahrhundert eine detaillierte Beschreibung dieses Navigationsinstrumentes iiberliefert. Er untersuclite mit Magnetnadeln aucli naturlichc, in Kugelfar m gebrachte Magnetstcine, fand auf diesen Kugeln die rnagnetischen Meridiane
und bezeichnete ilire Sclmittpunkte als Pole.
William Gilbert (1544 1603), ein englischcr Arzt, gilt als der Pionier auf dem
Gcbiet des Magnetismus und der Elektrizitat. Sein Budi ,,De Magnete
erschienen 1600, stellt nicht nur eine systeinatisclic Diskussion des Magnetismus, im
Speziellen des Erdniagnetismus, dar, auch die Kraft zwischon zwei durcli Reibung
elektrisierte Korper wird untersucht. Diese Kraft nannte er ,,elektrisch” (nach
dem griechischen Wort ,.elckfcron” ftir Bernstein oder eine bernsteinfarbene Mtinzlegierung). Gilbert, fiihrte die Elektrisierung eines Korpers durch Reibung auf das
Entfernen eines Fluids „humour” zurtick, wodurch sich urn den Korper ein besonderer Zustand ,,effluvium” einstellt.
Das 17. und das friihe 18. Jahrhundert bringen ein steigendes Interesse an
elektrostatischen Erscheinungen. Der Englander Stephen Gray trifft 1729 eine Einteilung der Korper in elektrische Leiter und Isolatoren, und Charles Francois de
Cisternay Dufay, franzosischer Hofgartner, gibt 1733 neben der bereits bekannten
anziehenden auch eine abstoCende elektrostatische Kraft an. Diese Beobachtinigen
werden von dem amerikanischen Erfinder und Politiker Benjamin Franklin (1706
1790) systematisiert. Er erkennt zwei Arten von Elektrizitat, spater (1778), nach
einem Vorschlag von Georg Christoph Lichtenberg, mit (+ ) und (-) bezeichnet.
1
2
1
EINFUHRUNG
und formuliert eia Gesetz, das irn Wesentlichen der Erhaltung der elektrischen
Ladung entspricht. Das Experimentieren mit statischer Elektrizitat wird moglich
durch zwei Erfindungen: Der Reibungselektrisiermaschine durch O tto von Gue­
ricke 1663 in Magdeburg und des Kondcnsators
bekanntgeworden als Leydener
Flasche — durch Ewald Georg von Kleist. 1745 in Pommern.
Erstaunlich ist, dass die bereits 1687 von Isaac Newton veroffentlichte Entdeckung des Gravitationsgesetzes bis zur Mitte des 18. Jahrhunderts wenig Einfluss
auf die Vorstellungen uber elektrische Wechselwirkungen nimmt. Es gab zwar einige Spekulationen iiber die Eigenschaften der Krafte zwischen geladenen Korpern,
deutliclier werden die Begriffe jedoch erst urn 1767, als der englische Cheiniker
Joseph Priestley nach einer Anregung Benjamin Franklins zeigt, dass irn Hohlraum einer geladenen geschlossenen Metallschalo auf (neutrale) Testkorper keine
elektrischen Krafte ausgeiibt werden. Er schliefit daraus auf die Giiltigkeit eines
Kraftgeset.zes nach dem Vorbild des Gravitationsgesetzes. Genauere experimentelle Untersuchungen werden von Henry Cavendish (1772) und Charles Augustin
de Coulomb (1785) veroffentlicht; von Coulomb stainmt die klare Formulierung
des elektrostatischen Kraftgesetzes. In den Arbeiten des Franzosen Simeon-Denis
Poisson (1781 1840) findet die inatheinatische Seite der Elektrostatik m it dem
Begriff des Potenzials ihren vorlaufigen Abschluss.
Wahrend sich die Ansichten iiber die elektrostatischen Erscheinungen festigten,
begann die systematische Untersuchung der ,,stromenden” Elektrizitat. Luigi Galvani (1737 1798), Anatom in Bologna, beobachtet am 1780 an einem sezierten
Frosch Muskelkontraktionen, wenn in einer benaclibarten Elektrisiermaschine Funken erzeugt werden. Ahnliche Kontraktionen kann er auch beim Herstellen einer
metallischen Verbindung zwischen Muskehi und Nerven zeigen, wobei sich manche
Metalle besser eignen als andere. Galvani schlieBt daraus, dass ein Fluid, das er
als elektrische Ladung erkennt, durch das Metall voni Nerv zum Muskel transportiert wird und dort die Kontraktion bewirkt. Seine Ergebnisse werden 1791
veroffentlicht. Kurz darauf (1792) verrnutet der Physiker Alessandro Volta (1745
1827) in Pavia den Urspruug des von Galvani beobachteten Effekts im Kontak t zwischen dem Metall und dem feuchten Gewebe. In Weiterverfolgung dieses
Gedankens gelingt ihm uin 1800 die Konstruktion der ersten Batterie, bestehend
aus einer Anordnung von durch feuchte Paste getrennten Kupfer- und Zinkscheiben. Durch grofie Saulen dieser Art zeigt er schliefilich die vollstandige Aquivalenz
mit der statischen Elektrizitat. Erst mit der Erfindung der Volta Saule steht eine zuverlassige Elektrizitatsquelle zur Verfiigung, mit der sich elektrische Strome
kontinuierlich erzeugen lassen.
Die begrifflichen Grundlagen des Magnetismus hatten sich von Gilbert bis zum
Ende des 18. Jahrhunderts kaum weiterentwickelt. Zwar hatte Coulomb sein elektrostatisches Kraftgcsetz auch auf Krafte zwischen magnetischen Polen ausgedehnt
und es entstand auch eine niagnetische Potenzialtheorie, tragfahige Vorstellungen
(iber die Entstehuug der magnetischen Erscheinungen gab es jedoch nicht,. Dies
anderte sich 1820 mit dei- Veroffentlichung einer Beobachtung des danischen Physikers Hans Christian 0rsted: Er bemerkt die Ablenkung einer Kompassnadel in
der Nahe eines stromdurchflossenen Leiters. Bereits 1803 berichtet der italienische
Jurist Gian Dominico Romagnosi in einer Zeitung von der gleichen Entdeckung, die
Nachricht wurde jedoch nicht beachtet. In Frankreich zeigt Francois Arago (1786
1853), dass ein elektrischer Strom hinsichtlich des Anziehens von Eisenfeilspanen
1.1
HISTOIUSCHE ENTW ICKLUNG
3
und beim Magnetisieren von Stahlnadeln wie ein gewohnlicher Magnet wirkt, An­
dre-M arie Ampere (1775 1836) gibt Anziehung und Abstotiung gleichsinnig bzw.
gegensinnig parallel stromdurchflossener Drahte an, Jean Baptiste Biot (1774
1862) und Felix Savart (1791 - 1841) formulieren ein Gesetz fur die Kraft zwischen
stromdurchflossenen Drahtelementen. Das alles geschieht 1820. 1825 legt Ampere
eine ini Wesentlichen vollstandige mathematisclie Fassung der Wechselwirkung stationarer elektrischer Stromc vor und fiihrt die ferromagnelisclien Ersdieiiiungen
auf molekulare Kreisstrome ztiriick.
Die inehr oder weniger ausgepragte Fahigkeit von Stoffen, Elektrizitat zu leiten.
wurde schon frtilier u.a. von Cavendish init einiger Systematik untersucht, eine
quantitative Fassung gelingt jedoch erst deni deutschen Physiker Georg Simon
Ohm (1789 - 1854). Sein 1826 veroffentlichtes Gesetz trug wesentlich zur Klarung
des elektrischen Spannungsbegriffes bei. Dass ein elektrischer Strom in Leitern mit
einer Warmeentwicklung verknupft ist., war auch schon frtiher bekannt, wird aber
ebenfalls erst relativ spat quantitativ formuliert: 1841 von James Prescott Joule
(1818 - 1889) in England.
Das Entstehen der elektrodynam ischen Theorien
Ini Jahr 1813 beruft der Chemiker Humphrey Davy den bis daliin als Buchbinder tiitigen, von den Naturwissenschaften begeisterten Michael Faraday (1791 1807) als seinen Assistenten an die Royal Institution in Loudon. Faraday arbeitet
an vielen Thenien der Physik und der physikalischen Cliemie. Seinen Platz in der
Wissensdiaftsgeschidite gewinnt er vor allem durch die Entdeckung der elektromagnetischen Induktion und durcli die Einfuhrung des Beg riffs der elektrischen und
magnetischen Kraftlinien. Er gilt damit als Begriinder der elektroniagnetischen
Feldvorstellung. Sein Iuduktionsgesetz wird 1831 veroffentJicht. Der BegrifI der
Kraftlinien beeinflusst besonders den schottischen Physiker James Clerk Maxwell
(1831 - 1879), dcssen Forschungen 1864 in einer Formulierung der elektromagnetisclien Gleichungen gipfeln.
Wall rend Faraday in England vorwiegend experimentelle Untersuchungen
durchfiihrte, werden parallel dazu. hauptsitchlich in Deutschland, mathematisclie
Theorien der Elektrizitat und des Magnetismus entwickelt. In diese Periode fallen
Arbeiten von Franz Ernst Neumann (1798 1895) fiber die elektromagnetische
Induktion und von Wilhelm Eduard Weber (1804 1891), dessen auf der Fernwirkungsvorstellung beruliende Elektrodvnamik eine Erklarung fiir die Gesetze von
Coulomb, Ampere und Neumann liefert. Etwa zur gleichen Zeit klaren .Joule und
William Thomson (spater Lord Kelvin of Largs, 1824 - 1907) in England und Her­
mann von Helmholtz (1821 - 1894) in Deutschland die Beziehung der Elektrizitat
zu anderen Energieforinen. Helmholtz, Thomson, Joseph Henry (1797 1878), ein
amerikanischcr Physiker, Gustav Kirchhoff (1824 1887) in Deutschland und Ge­
orge Gabriel Stokes (1819 - 1903) in England weiten die Theoric der elektrischen
Leitung und der Fortpfianzung elektrischer Eft'ekte in leit.fahigen Kor pern aus.
Es gibt zu dieser Zeit. zwei unterschiedlichc Grundeinheiten fiir die elektrische
Stromstarke, eine kommt aus der Elektrostatik und die andere aus dem Maguetismus. Weber und sein Kollege Rudolph Kohlrauscli (1809 1858) bestimmten 1856
das Verhaltnis dieser beiden Einheiten: Es stimmte m it der Lichtgeschwindigkeit
ini leeren Raum uberein. Mit diesem Ergebnis kann Kirchhoff 1857 zeigen, dass
4
1
EINFUHRUNG
sich elektrische Storungen auf eineni idealen Leiter mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Die Verbindung des Elektromagnetismus mit der Optik liegt also urn 1860
auf der Hand. Der letzte entscheidende Schritt wird von Maxwell ausgefiihrt. Ihm
gelingt es, das Licht als eine elektromagnetische Erscheinung in seine Feldtheorie
einzubauen. Nach einer Reihe von Einzelarbeiten veroffentlicht Maxwell 1873 das
zweibandige Werk „ Treatise on Electricity and Magnetism” .
Das groile Verdienst Maxwells liegt in der Synthese der Theorien von Elektri­
zitat, Magnetismus, Warmestrahlung und Optik zu einem geschlossenen Ganzen.
Wichtig dafiir war seine Annahme, dass ein zeitlich sich anderndes elektrisches
Feld ein magnetisches Feld hervorrlift, ahnlich wie Faraday in seinem Induktionsgesetz ein zeitlich sich anderndes Magnetfeld ein elektrisches Feld erzcugen
lasst. Er nimmt weiters an, dass sich die elektrodynainischcn Vorgange in einem
hypothetischen Medium, dem uberall vorhandenen At her („Himmelsluft” ) abspielen. Die Maxwell Gleichungen in ihrer urspriinglichen Form beschreiben die lokale
Dynamik dieses Athers. Mathematisch folgt aus lhnen, dass sich elektrische und
magnetische Krafte nur m it endlicher Geschwindigkeit — eben der Lichtgeschwin­
digkeit
ausbreiten konnen, und auch die Existenz transversaler elektromagnetischer Wellen, die Maxwell mit Lichtwellen idontifizierte. Spatere Ergebnisse der
relativistischen Physik und der Quantentheorie haben das durch die Maxwell
Gleichungen theoretisierte Gebaude nicht erschiittert, eher gefestigt, obwohl sich
die physikalische Interpretation der verwendeten GroCen teilweise geandert hat.
Der Feldbegriff, von Faraday eingefuhrt und von Maxwell in mathematische Form
gebracht, hat sich als auBerordentlich fruclitbar fur die Entwicklung der Physik
erwiesen,
Mit den Maxwell Gleichungen stand den Physikern und auch den in der wachsenden Elektroindustrie tatigen Ingenieuren eine vollstandige Beschreibung des
elektromagnetischen Feldes zur Verfiigung. Trotzdem konnte sich die neue Theorie bis zum Ende des 19. Jahrhunderts nur zogernd durchsezten. Den Ingenieuren
erschien sie als zu esoterisch und rein hypothetisch, fur die Mehrzahl der Physiker schien sie nichts Neues zu bringen, fiir das sich das Aufgeben gewohnter
Vorstellungen lohnte. Anhanger gewinnen die neuen Ideen zuerst in einer Gruppe meist jtingerer Physiker in England, unter ihnen George Francis Fitzgerald
(1851 1901), John Henry Poynting (1852 1914) und Oliver Heaviside (1850 1925). Poynting und Heaviside stellen naliezu gkiichzeitig (1884) und unabhiingig
voneinander einen Energiesat.z fiir das elektromagnetische Feld auf, der lieute als
Poynting Satz bekannt ist. Von Heaviside und dem anierikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs (1839 1903) stam m t die heute meist benutzte, vektoranalytische Schreibweise der Maxwell Gleichungen. Zwei Physiker des deutschsprachigen
Raums erkennen schon in den 70er Jahren die Bedeutung von Maxwells Theorie:
Helmholtz und der Osterreicher Josef Stefan (1835 1893). Besonders Helmholtz
fordert ihre Verbreitung, weil er darin eine Bestatigung seines Naturbildes sieht, die
Zuriickfiihrung aller Erscheinungen auf die Mechanik. Er regt auch seinen Schuler
Heinrich Rudolf Hertz (1857 1894) an, den experimentellen Nachweis des Maxwellschen Verschiebungsstroms zu fiihren. Tatsachlich gelingt Hertz 1887/88 in
einer legendaren Versuchsreihe die Erzeugung, die Freiraumiibertragung und der
Einpfang elektromagnetischer Wellen im Radiofrequenzbereich. Er zeigt auch, dass
sich diese Wellen grundsatzlich gleich wie Lichtwellen verhalten. Die Versuche werden m it grofiem Interesse aufgenommen und bringen gleichzeitig eine Anerkennung
1.1
HISTORISCHE EN TW ICK L UNG
5
der Maxwell Theorie. Das Hauptinteresse der Physik liegt zu dieser Zeit jedoch
nicht bei den elektromagnetischen Eftekten ini freien Raum, sondern man sucht
nacli deren Ursprung in der Struktur der Materie.
Bereits scit der Mitte des 18. Jahrhunderts sind Leuehterscheinungcn bei elek­
trischen Entladungen in verdtimiten Gasen beksmnt. Sie werdeii aber wenig beachtet, ausgenommcn von Faraday, der 1838 eine exakte Beschreibung liefert. Eine
systematisclie Untersuchung beginnt 1850 nacli der Erfindung guter Vakuumpumpen. Zwischen 1896 und 1898 identifiziert Joseph John Thomson (1856 - 1940) in
Cambridge die von der Kathode ausgehendeu Strahlen als einen Strom elektrisch
negativ geladener Teilchen, deren Masse viel kleiner ist als die der leichtesten Atome. Er gilt damit als Entdecker des Elektrons.
Beginnend etwa 1890 arbeitet Wilhelm Wien (1864 1928) in Miinchen an
der Thermodynamik der Wfirmest, rahlung in einem Hohlraum: E r gelangt, zu einem Ausdruck fiir die Energiedichte, der nur bei grofien Frequenzen mit Messungen
iibereinstimmt. Zwei englische Physiker, John William S trutt (Lord Rayleigh, 1842
1919) und James Hopwood Jeans (1877 1946) fiihren bis 1900 ahnliche Untersuchungeu unter Vcrwendung der statistisclien Mechanik durch. Ihre Ergebnisse
gelten nur auf der anderen Seite des Spektrums, bei kleinen Frequenzen. Diese
Unstimmigkeit lost der deutsche Physiker Max Planck (1858 1947) durch die
Formulierung eines Strahlungsgesetzes, dessen Interpretation ihn zu der Tatsache
fiilirt, dass sich elektromagnetische Strahlung der Frequenz / immer nur in ganzzaliligen Vielfaclien kleiner Energieportionen h f ausbreitet. h ist eino universelle
Konstante, das Wirkungsquantum (Planck Konstante). Plancks Ergebnisse, im
Dezember 1900 veroffentlicht, kennzeichrien den Anfang der Quantenphysik.
Nach 1900 wird das von J.J. Thomson entdeckte Eloktron allgomein als ein
universeller Baustein der Materie angesehen. Es ist deshalb verstandlicli, dass zu
Beginn des Jahrhunderts viele Physiker bemuht sind, die elektromagnetischen Ei­
genschaften von Metallen, Isolatoren und Magneten uber das Verlialten von Elektronen zu erklaren. Der bemerkenswerteste Beitrag aus dieser Periode stannnt von
Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) aus Leiden. Seine Elektronentheorie, deren
Zusammenfassung Lorentz 1909 veroffentlicht, wurde zwar durch die Quantent.heorie modifiziert, sie leistet aber aucli heute noch durch ihre holie Erklarungsfahigkeit
und wegen ihrer Anschaulichkeit wertvolle Dienste.
Die begrifflichen Grundlagen der Elektrodynamik wurden nocli durch eine weitere Theorie beeinflusst, durch die spezielle Relativitatstheorie. Gegen Ende des 19.
Jahrhunderts hatte sich in der Physik ein mechanistisches Woltbild durchgesetzt.
So versteht man Licht und andere elektromagnetischen Wellen als die Ausbreitung
transversaler Storungen in einem Medium, deni Ather, ahnlich wie sich der Schall
als die Ausbreitung longitudinaler Storungen in Luft erklaren liisst. Damit stellt
sich die Frage nach der Bewcgung der Erde durch diesen Ather und ob die Lichtgescliwindigkeit, wie sie ein relativ zum Ather bcwegter Beobachter misst, durch
diese Bewegung beeinflusst wird odor nicht. Albert Abraham Micheison (1852 1931) und Edward Williams Morley (1838 - 1923) konnen 1887 durch ein in Cleve­
land mit deni von Micheison erfundenen Interferometer ausgefiihrten Experiment
eine Beeinflussung dieser Art mit grolier Zuverlassigkeit ausschliefien. Dies ist umso interessanter, als Lorentz und der franzosisdie Mathematiker Henri Poincare
(1854 1912) zeigen, dass sich das Ergebnis des Micheison Morley Experiments
mit den Maxwell Gleichungen erklaren lasst, der Ather also kein wesentlicher Be-
6
1
EINFUHR UNG
standteil der Elektrodynamik ist. Damit sind die Grundlagen fur die Ausbildung
unseres heutigen, abstrakten Feldbegriffs geschaffen. Poincare pragt 1904 anlasslich
eines Vortrages in St. Louis, Missouri, erstmals den Ausdruck „Prinzip der Relativitat", und Planck forrnuliert 190G eine relativistische Dynamik; es ist aber Albert
Einstein (1879 1055), der 1905 das (spezielle) Relativitiitsprinzip in seiner allgemeinen Form angibt und m it dessen Namen die relativistische Physik seitdem
untrennbar verbunden bleibt.
Die M axwell Gleichungen
In seiner Veroffentlichung ,,A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”
(Royal Society Transactions, Vol. CLV. Received October 27, — Read December
8 , 1864) stellt J. Clerk Maxwell in „Part I I I ” zum ersten Mai seine elektromagnetischen Gleichungen zusammeu. Zu ihrer Wiedergabe verwende ich die heutc
gebrauchlichen Grofiensymbole im Internationalen Einheitensystem und die vektoranalytischen Differenzialoperatoren grad, div und rot. Sie standen Maxwell in
dieser Form nocli nicht zur Verfiigung. dt bedeutet die partielle Ableitung nach der
Zeit. Komplikationen durch bewegte, elektrisch polarisierbare und magnetisierbare Korper, von Maxwell durchwegs beriicksichtigt, lasse ich weg, behalte aber die
urspriinglichen Gleichungsbezeichnungen bei.
Er beginnt m it seiner zentralen Hypothese: Die gesamte Strouidichte ist die
Summe aus tier Leitungsstromdichte (,,true conduction” ) und dor Vorschicbungsstromdichte (,,variation of electric displacement”),
Jo - J + dtD .
(A)
Dann fiihrt er aus seinem Wirbelmodell des At hers mit // (,,coefficient of ma­
gnetic induction” , hier gleich //.y gesetzt) die magnctische Feldstarke (,,magnetic
intensity”) als proportional zur Wirbeldichte des magnetischen Vektorpoteuzials
(,,electromagnetic momentum” ) ein,
(B)
und verkniipft deren Wirbeldichte mit. der gesamten Stromdichte,
rotH = J 9 -
(C)
Das Faradaysche Induktionsgesetz forrnuliert Maxwell ebenfalls aus seinem dynamischen Athermodell heraus als Darstellung der elektrischen Feldstarke (,.elec­
tromotive force” ) durch das Vektorpotenzial und das Skalarpotenzial (,,electric
potenzial” ),
E — —dt A — gracfip .
(D)
Nach der Verkniipfung der elektrischen Feldstarke mit der elektrischen Flussdichte
(,,electric displacement”) Uber eine Konstante k (hier l / e 0 gesetzt) (,,equations of
electric elasticity” ),
(E)
1.1
HISTORISCHE EN TW ICK L UNG
7
folgen das lokale ohmsche Gesetz (F), die Beziehung der elektrischen Raumladungsdichte (..quantity of free electricity”) zur elektrischen Flussdichte,
q
—div£>.
(G)
und die aus (C) mit (A) und (G) ableitbare Kcmtinuitiitsgleichiing
d,o + div.7 = 0 .
(H)
Weitere Gleichungen betreffen Ausdrucke fiir mechanische Krafte.
Im aclit Jahre spater erschienenen Lehrbucli „Treatise on Electricity and Ma­
gnetism” (Autorisierte deutsclie Ubersetzung: Lehrbuch der Electricitat und des
Magnetismus, Bd 1, 2. Berlin: Springer 1883) verwendet Maxwell daim auch die
von Faraday favorisierte magnetische Flussdicbte („magnetic induction”) B zusamrnen mit einer Verkniipfung, hier als
B =
iiqH
(E:)
geschrieben. Die in seiner Interpretation des magnetischen Vektorpotenzials als
Impulsgiofie notwendige Eigenschaft der Quellenfreiheit,
divj4 = 0 .
(B-)
heute als MaxwellEichuug bckannt. wird explizit angegeben. In don Art. 618 und
619 findet sich schlieBlich eine sehr iibersichtliche Zusamnienstellung der Gleichun­
gen unter Verwendung des Quaternionenkalkiils.
Die heute meist gebrauclite vektoranalytisclie Schreibweise der Gleichungen finden wir ab 1885. Sie stammt von O. Heaviside, der aufierdem das Vektorpotenzial
und das Skalarpotenzial eliniiniert. Fiir den leeren Raum bzw. in nicht elektrisch
polarisierbaren und nicht magnetisierbaren Medien gilt dann im SI
roti? - —i)tB .
divB —0 ,
rot.Jf = d/D + J .
H = —B ,
l*o
divD = o .
D = £<)£.
(I)
(II)
(Ill)
Die Potenzialdarst.ell ungen
B — votA ,
E ——t), .4 - grad^J
(IV)
ergeben sich damit als forinale Konsequenz der Gin. (I), und die lokale Formuiierung der Ladungserhaltimg
(),q + div.7 = 0
(V)
ist in den Gin. (II) ent.halten.
Die relativistische Elektrodynamik bedient sich, uni ilnen Invarianzforderungen gerecht zu werden, o*iner Darstellung der elektromagnetisclien GroBen nicht
im dreidimensionalen Raum. sondern in der vierdimensionalen Raum Zeit. Als
besonders vorteilhaft erweist sich hier die Verwendung des Kalkiils der alternierenden Differenzialformen, weil er die formale Struktur des Elektromagnetismus
1
s
EINFUHRUNG
deutlich hervortreten lasst und anfierdem eine elegante und damit klare Schreibweise ermoglicht. Grundlegende GroBen in dieser Formulierung sind die 2-Form
F des elektromagnetischen Feldes und die 2 -Form G des Strom Lad lings Feldes,
wobei die Koeffizienten von F in Bezug auf ein lokales Inertialsystem die magnetische Flussdichte und die elektrisdie Feldstarke darstellen und die Koeffizienten
von G die magnetische Feldstiirke und die elektrisdie Flussdichte. Im gieichen Sinn
fasst eine 3 Form J die elektrisdie Stromdichto und die Ladungsdidite zusammen
und eine 1 Form V das magnetLsdio Vektorpotenzial und d.xs Skalarpotenzial. Mit
der Operation d der aufieren Ableitung ergeben sich dann fiir die Gleidiungen (I)
und (II)
dF = 0 ,
(I1)
dGaJ.
(IF)
Die Verknupfungen (III) werden mit der Impedanz des leeren Raumes Z q \ / no/£(i = hqcq iiber die * Operation der Hodge Dualitat. die explizit die Mafrbestimmung in der Raumzeit (Messung von Langen- und Zeitintervallen) enthalt,
vorgenommen,
G = *F /Z 0 ■
(HI’)
Die Potenzialdarstellungen (IV) ergeben sich als Konsequenz von (I1) zu
F — dK ,
(IV')
und die lokale Ladungserhaltung (V) folgt aus (II’),
d.7 - 0 ,
(V’)
weil die zweimalige Anwendung der aufieren Ableitung itnmer auf Null fiihrt. Diese
Schreibweise der Maxwell Gleichungen findet sich in der feldphysikalischen Literatur seit den sechziger Jahren.
A usgew ahlte Literatur
Eine ausfiihrliche Darstellung der Geschichte des Elektromagnetismus von den
Anfangen bis 1926 bietet
E. W hittaker: A History of the Theories of Aether and Electricity, vol.
1 , 2. New York: Humanities Press, 1973.
Knapper gehalten, aber gut lesbar und bebildert ist
J. Meya, H.O. Sibum: Das fiinfte Element. Wirkungen und Deutungen
der Elektrizitat. Hamburg: Rowolt Taschenbudi Verlag, 1987.
Zuverliissige biographische Daten finden sidi in
The New Encyclopedia Britannica in 32 vol., 15th ed. Chicago, 1989.
L. Pearce Williams: Michael Faraday. New York: Da Capo Press, 1987
stellt Leben urid Werk von M. Faraday ausfuhrlich dar. Eine besonders einfuhlsam
geschriebene Biographie ist
1.2
(a)
DAS AN ALYTISCH E WERKZEUG
(b )
9
j
< c)
A b b . l . l ; Kurven (a), Flachen (b) und raum liche Bereiche (c) m it inneren Orientiernngen und
konsistent orientierten Randern. In (c) ist speziell eine R echtsschraube angenommen.
I. Tolstoy: James Clerk Maxwell. Edinburgh: Canongate, 1981.
Auch heute noch gut lesbar sind die Arbeiten Maxwells, etwa
J. Clerk Maxwell: A Dynamical Theory of the Electromagnetic field.
Royal Society Transactions, vol. CLV (1864)
und natiirlich das richtimgsweisende Werk
J. Clerk Maxwell: Lehrbuch der Electridt&t und des Magnetismus, Bd.
1, 2. Berlin: Springer. 1883.
1.2
D as analytische W erkzeug
Wir werden uns hier bei der Fonnulierung der elektrodynaniisehen Tlieorie der
vektoranalytischen Hilfsmittel fur den dreidimensionalen euklidischen Raum bedienen, weil diese fiir Ingenieuraufgaben derzeit am besten geeignet erscheinen.
Alle GroBen sind auf ein festes Inertialsystem (,,Laborsystem” ) bezogen, aulier es
wird etwas auderes behauptet. Die Zeit wird durch einen absoluten Parameter dargestellt. Sollten wir Grofien in Bezug auf bewegte Systeme zu interpretieren haben,
werden wir in der Regel stillschweigend nichtrelativistischc Naherungen benutzen.
Bereiche und Orientierungen
Als geometrisclie Objekte im Raum betrachten wir Punkte. Kurven, Flachen und
raumliche Bereiche (Volumina). Sie sind hiiufig mit einer Orieutierung auszustat
ten, d.h. Punkten wird ein Pluszeichen odor ein Minuszeiclien zugeordnet, Kurven
ein Durchlanfsinn, Flachen ein Drehsinn und raunilichen Bereichen ein Schraubsinn. Es handelt sich dabei um sogenannte in n ere O rie n tie ru n g e n , die oline
Bezug auf don unigebenden Raum festgelegt werden konnen.
Der R a n d (N> einer einfachen, orientierten Kurve W besteht aus dem Anfangspunkt
und deni Endpunkt &•!■, &£ ~
+ & 2 (Abb. 1.1a). Wird dem
Anfangspunkt das Minuszeiclien und dem Endpunkt. das Pluszeichen zugeordnet,
so sprechen wir von einer konsistenten Orientierung des Randes. Eine Kurve kann
aus mehreren, auch getrennten Teilen bestelien, ihr vollstandiger Rand wird dann
durch mehrero Punkte gebildet. Der Rand einer geschlossenen Kurve verschwindet,
to
1
EINFUHRUNG
A b b . 1.2: Raumliche Bereiclie (a), Flachen (b) und Kurven (c) m it aufieren (transversalen)
O rientierungen und konsistent orientierten Randern.
&6 = 0. Eine orienticrte Fltiche
besitzt. als Rancl cW im Allgerneinen mehrere
geschlossenen Kurven. Sic sind mit der Fltiche dann konsistent orientiert, wenn
ihr Durdilaufsinn mit deni Drehsinn der Fliidio zusainmcnpasst (Abb. 1.1b). Geschlossenc Flachen sind randlos, '().<// = 0 . Die innere Orientierung eines raumlichen
Bereichs ¥ ist schliefilich durch einen SdiraubKinn, also durch eine Reehtsschraube oder durch eine Linksschraube festgelegt. Sein Rand d t \ bestehend aus einer
oder mehreren gesdilossetien Fliidien, ist dann mit dem Bereich konsistent ori­
entiert, wenn sich der Drehsinn der Flachen bei Annahcrung von innen aus dem
Sdiraubsinn ableitet (Abb. 1.1c).
Nr bon den inneren Orientierungen finden auch noch aufiere (tra n sversa le) O rie n tie ru n g e n von Bereichen Anwendung, wobei riiumlidien Bereichen ein
Pluszeichen oder ein Minuszeidien, Fliidien ein Diirditrittssinn, Kurven ein Unisdilingungssinn und Punkten ein Sdiraubsinn zugeordnet wild. Ist ini Raum ein
Bereich f abgegrenzt und belegen wir beispielsweise den Innenraum mit Plus und
den Aulienraum mit Minus, so weist der Durchtrittssinn des konsistent orientierten
Randes OY von innen liadi aufien, also immer vom Plusbereich zum Minusbereich
(Abb. 1.2a). Ahnlich wird der Umschlingungssinn einer konsistent transversal ori­
entierten Rand luirve d.e/ vom Durchtrittssinn der berandeten Flache /'/ abgeleitet
(Abb. 1.2b). Den Randpimkt.cn 0% einer Kurve % ordnen wir bei konsistenter Ori­
ent ierung jeweils den Sdiraubsinn zu, der sich bei Aniialieriing an den Randpunkt
von innen zusainmeii mit deni Umsdilingungssinn ergibt (Abb. 1.2c).
Bereiche sind nicht immer orientierbar, wie das bekannte Beispiel des Moebius
Bandes zeigt. Wegen der vorausgesetzten euklidisdien Struktur konnen wir aber
fiir den ganzen Raum innner eine einheitliche Orientierung walilen und brauchen
dann nidit zwischen inneren und aufieren Orientierungen von Bereichen zu un
terscheiden, weil jedei inneren Orientierung umkehrbar eindeutig eine aufiere entspricht. Wir werden hier einer iiblidien Konvention folgen und den Raum im Sinn
einer Rechtssdiraube (,,rechtswendig” ) orientieren. Ist nun irgendein raunilicher
Bereich ebenfalls nach einer Reditsschraube innen orientiert, so entspriclit ihm
das Pluszeichen dor aufieren Orientierung, bei einer Linkssdiraube das Minuszeichen. Ahnliches gilt fiir Punkte. Aus dem Durchlaufsiim einer Kurve ergibt sich
mit der universellen Rechtssdiraube ein Umsdilingungssinn und aus deni Drehsinn
1.2
U
DAS AN ALYTISCH E WERKZEUG
einer Flaclie der Durchtrittssinn. Obwohl wir dieser Konvention in der Regel stillschweigend folgen werden, niiissen wir gelegentlich darauf achten, dass es sich dabei
um eine willkiirliehe Festlegung handelt. Dies ist wichtig, wenn die Eigenschaften
phvsikalischer GroBen gegeniiber raumlichen Spiegelungen („P aritat” 1 untersucht
werden.
Vektoren und Tensoren
Zur Darstellung gerichteter GroCcn verwenden wir euklidische Vektoren ini 3 diinensionalen Raum. Sie besitzen einen Betrag und eine Riditung, konnen (bei
passender physikalisclier Dimension) linear kombinierl werden, und zwei Vektoren
a und b sind iiber das komniutative Skalarprodukt a ■b = b ■a oder iiber das
antikoinmutative Vektorprodukt a x b = —b x a initeinander verkniipfbar. Eine
spezielle Linearkombination ist die Zerlegung (Entwicklung) eines Vektors a in
Bezug auf eine Basis, d.h. auf einen im betrachteten Punkt festgelegten Satz von
drei linear unabliangigen Vektoren {ej, e 2 , 63 }:
U = OjC 1 + U'2!'2 +
~ 'y ' (IjCj ■
(1-1)
a \ , «2i
sind die Koeffizienten von a beziiglicli der gewiililten Basis. Wir werden
hier stets Basisvektoren benutzen, die ein orthonormiertes System bilden.
1
0
fur i —j ,
fiir i 7^ j
( 1 .2 )
(S,j lieiBt Kronecker Symbol) und die auBerdem in der angegebenen Reihenfolge
eine Rechtsschraube definieren,
wenn
(i.3)
Permutation
von (1,2,3) ist.
{£ijk heiBt Permutationssymbol). Die Koeffizienten entsprechen dann den Nonnalprojektionen auf die Basisriclitungen,
a, — Ci • a .
i = 1, 2 , 3 ,
(1.4)
fiir das Skalarprodukt und das Vektorprodukt haben wir
(1.5)
und fiir den Betrag gilt bekanntlich
12
1
1
a, ■(b x c) = b • (c x a ) = c ■(a x b )
2
a x (6 x c) = b (a • c)
3
4
5
(axb)-(cxd)
(axb)x(£xd)
EINFUHRUNG
c(a •b)
=
(a ■
c)(b ■
d) —(b ■c)(a •d)
=
O' p x (cxrf)]
=
c[(a x 6) • rf] —d[(a x b) • c]
— b j(<7x d) ■a] —n [ ( f x d) ■
/>]
a x (b x c) + b x (c x a ) + c x (a x b ) — 0
T a b . l . l : Einige Formeln der Vektoralgebra.
Einige Vektorforinelu sind in Tab. 1.1 zusammengestellt.
Neben dem Skalarprodukt und dem Vektorprodukt benotigen wir noch das
nicht.komiiiutative Tensorprodukt a •>'. b. Das entstehende Objekt ist kein Skalar
und kein Vektor, sondern ein spczieller Tensor (zweiter Stufc). Die neun inoglichen
Tensorprodukte von je zwei Vektoren einer ortbonormierten Basis bilden znsammen eine Basis fiir Tensoren, sodass sich ein allgemeiner Tensor (zweiter Stufe) T
als Linearkombination solcher Basiselemente angeben lasst,
T
— T\ i<F] ® ei + T\2^ i 0 e-2 + T\z&\ ® p3 +
7-Jl fi'2 ® Cl +
2e2 ® e2 + T2\i&2 ® p3 +
(1.7)
Tsi(?3 ® ci + 732^3 ® C2 + Tuxes ® £3 = ^
!)}(',
& cj .
',3
Die neun Grofien TtJ sind die Koeffizienteii von T bezt'iglidi der gewahlten Basis. Es
ist sinnvoll. das Tensorprodukt auf die Multiplication von Skalaren mit Vektoren
auszudehnen und mit dem gewohulidien Produkt zu identifizieren,
ciA a = ca= .a'V ,c.
(1.8)
Wir konnen damit Tensoren von links oder von rechts mit einem Vektor iiber das
Skalarprodukt verkniipfen und erhalten dann wicdcr einen Vektor. im Speziellen
(ei ® ej ) - e k = ei ® f ^ e ^ = e ^
'
und im Al l gemei npft -—
J
“
(1.9)
j
j ®
J ( ®« ® ®j) '
= r,j+Q jTik& jifik ~
= Yli,j,k J'ijhkfijkP-i = 52i,j Tijbj&i .
i
(1-10)
Dies liefert eine Beziehung zur Berechnung der Koeffizienten in Bezug auf die
gewiihlte Basis,
% - ei ■T -e3 ■
a^°tS
( i.i i)
Wir nennen einen Tensor synunetrisdi. worm or ein symmetrisches Kocffizientensdiema Tt] - T.Jl besitzt, und antisymrnetriscli, wenn T,j - - T Jt gilt. Diese Ei­
genschaften sind unabbangig von der speziellen (orthoiiormierten) Basiswahl. Ein
1.2
DAS AN ALYTISCH E WERKZEUG
13
spezieller Tensor ist der Einstensoi £ . Seine Koeffizienten sind in jeder orthonormierten Basis durdi das Kroneckersymbol gegeben, also
( 1 .12)
In Verallgemeinerung der Vektoren dienen Tensoren zur Darstellung pbvsikalisdier GroBen, denen. grob gesprochen, mehr als eine R iditung zukommt. Wichtig
dabei ist, dass der Tensor selbst als lokaier Repriisentant. einer physikalischen GrciBe
nicht von der speziellen Basiswahl abhangt. Daraus folgt fiir seine Koeffizienten
eine spezielle Transforniationsvorschrift bei einem Basiswechsel. Die skalare Multiplikation eines Tensors von links oder von reclits mit einem Vektor bewirkt eine
lineare Transformation des Vektors, der dabei i.A. einen anderen Betrag und eine
andere Riditung erhalt. Beispielsweise wird die Perm ittivitat eines linearen anisotropen Dielektrikums durch einen symmetrisdien Tensor e erfasst. Die Beziehung
3
Es gibt also i.A. sedis Permittivitatskoeffizionten, deren Werte von der gewahlten
Basis abhangen. Der Permittivitatstensor fasst sie basisunabhiingig zusammen.
Ein weiteres Beispiel ist der Spannungstensor ct zur Beschreibung der inneren
Kriifteverteilung in Korpern. Ist n ein Einsvektor, so gibt n ■a den zugehorigen
Spannuugsvektor an, also die flachenbezogene Kraft, die an einem Flachenelement
senkredit zu n im betrachteten Punkt angreift.
Das Tensorprodukt lasst sich ohne weiteres auf mehr als zwei Vektoren ausdehnen, und auf dieser Grundlage konnen wir audi Tensoren hoherer Stufe konstruieren. Beispielsweise ist der piezoelektrische Materialtensor
(1.15)
i,j,k
ein Tensor dritter Stufe und der elastische Materialtensor fiir anisotrope Korper
(1.16)
ein Tensor vierter Stufe. Beide Tensoren sind wichtig z.B. fiir die Formulierung
der linearen piezoelektrischen Materialgleichungen.
In einer allgemeinen Klassihkation tnatliernatisclier Objekte zur lokalen Darstellung physikalischer Grofien werden Skalare als Tensoren liulltor Stufe und Vektoren als Tensoren erster Stufe bezeichnet. Ist jedem Punkt eines Boreichs (zu
jedeni Zeitpunkt, in einem Intervall) der Wert eines Tensors zugeordnet., so spreelien wir von einem Tensorfeld, ini Speziellen von einem Skalarfeld oder einem
Vektorfeld. Zentral fiir den Tensorbegriff ist in jedem Fall die Basisunabhangigkeit.
*
14
1
EINFUHRUNG
A b b .1 .3 : K artesische K oordinaten ei­
nes P unktes :'S m it dem O rtsvektor
f in Bezug au f den U rsprung O'. liine kartesische Basis {ex , ey , cz } ist.
raumlich konstant.
K oordinaten
Die Lage von Punkten in unserein dreidimensionalen euklidischen Raum besehreiben wir durch ein spezielles Voktorfeld. den Ortsvektor r. Wir wahlen dazu einen
festen Punkt
als Ursprung und ordnen jedem Punkt. & einen Vektor f zu, dessen Bert rag 17“ - r den Abstain! der beiden Punkte O' und & angibt und dessen
Richtung von O nach & weist. Wird nun im Ursprung eine rechtswendige, orthonormierte Basis { ei,e 2 ,e 3 } = {ex ,e y, t s} festgelegt, so lfisst sich daraus durch
Parallelverschiebung ein fiir den ganzen Raum k o n sta n te s Basisfeld erzeugen.
Wir sprechen in diesem Fall von einem k a rte sisc h e n B asisfeld. Die Zerlegung
f = xc.j: ■+ y e y f s e t
(1 -1 7 )
des Ortsvektors eines Punktes & liefert dessen k a rte sisc h e K o o rd in a te n {.r. y, z]
beziiglich des Ursprungs und beziiglich der gewahlten kartesischen Basis (Abb. 1.3).
Im Prinzip konnte man im dreidimensionalen euklidischen Raum allein mit
kartesischen Koordinaten und kartesischen Basen das Auslangen finden. Es erweist sich aber in den Anwendungen haufig als gunstig, ein der Geometrie des
vorliegendcn Problems besser nngepasstes Koordinatcnsystcm zu benutzen. Von
der Vielzahl der Moglichkoiten warden wir hier die beideii wichtigsten behandeln.
Die K re iszy lin d e rk o o rd in a te n {a. a , ;} eines Punktes & sind in Bezug auf
ein kartesisches Achsenkreuz gexuiiU Abb. 1.4 erklart.
Zwischen den kartesischen Koordinaten des Punktes & und seinen Kreiszylin­
derkoordinaten gilt dann der Zusammenhang
a' — «cos(a) ,
y = ^isin(a) ,
z =z .
(1.18)
Die zugehorige orthonormierte Basis besteht aus drei Einsvekt.oren {ee,e Q,e z } in
Richtung der Koordinatcnzuwachsc. Sie ist im Gegensatz zur kartesischen Basis
{ex , <zy, ez} nicht konstant, sondern iiber
cL, = cos(a)f> + siu(o)Cj, ,
^
ex — cos(a)^t, - sin(o)e„ ,
1.2
DAS ANALYTISCH E W ERKZEUG
15
A b b . 1.4: Kreiszylinderkoordinalen
g > 0, 0 < a < 2ir mid 2 eines Punktes .# . Die Richtungeu der Basisvektoren e e und ea sind ortsabh&ngig.
mit dieser verkniipft. Ist ein Vektor a beziiglich der kartesischen Basis bekannt,
a. = ar e'j + ayev + at et . so konnen wir daraus iiber Gl. (1.4) die Koeffizienten
seiner Darstellung a = aeee +
+ azei in der Lokalen Kreiszylinderbasis Leicht
berechnen. z.B.
<%
^
«„
=
=
ce ■a = [cos(a)eT + sin{a)fiy] • (ar ex + ayey + a-"cV)
ax cos(a) + ay sin(tv) .
( 1 .2 0 )
Analog lassen sich iiber Gl. (1.11) auch Koeffizienten von Tensoren angeben.
Natiirlich funktioniert dieso Transformation auch in der umgekelirten Riditung.
Fiir den Ortsvoktor bezQglicli 6 liaben wir speziell
r ~ o c g + zet.
(1-21)
Die K ugelkoordinaten {r,6 .a} eines Punkt.es & definieren wir in Bezug auf
A b b . 1.5: Kugelkoordinaten r > 0.
0 < 0 < ir und 0 < rt < 2 tt ernes
Punktes fP1. Die Riclitiingen der Basisvektoren sind ortsabhiiiigig.
V
1
It?
EINFUHRUNG
ein kartesisches Achsenkreuz gcmaB Abb. 1.5. wobei der Zusammenhang
a-—?-sin(0) cos(ct) ,
y = r sin(0) sin(a) ,
r —7-cos(0)
(1.22)
besteht. Die lokale orthoiionnierte Basis wird durch das Tripel {e ,, eg. } von
Einsvektoren in Richtung der Koordinatenzuwachse gebildet. Wir haben hier
er
i:o
ca
sin(0) cosfajf?! + sin(0) s iu fa )^ ■+■cos(0)eJ ,
—cos(0) cos(D)(rx + cos(0) sin(a)f"j, sin {8)g£ ,
- -a h \(a )c x + 003 (0 ) 6 ,, ,
cr
f'j,
Fz
— sin(0 ) cos(o)ry + cos(0 ) cos(o)ro —sin(«)<T„ .
— sin(^) sin(cv)<7,. + cos(0) sin(a)("o + cos(a)eQ,
- cos(0 )er —sin( 0 )fi0 ,
(1.23a)
V(1.23b)
J
womit sich wiederum die Koeffizienten der Darstellungen von Vektoren und Tensoren in kartesischen und Kugelbasen ineinander umrechnen lassen.
Alle hier besprochenen Koordinatensysteme sind orthogonale K o o rd in a te n s y ste m e , d.h. die Tangentenvektoren der Koordinatenlinien in einem Punkt
man erhalt die Koordinatenlinien durch fixieren von je zwei Koordinaten und variieren der dritten
stehen paarweise aufeinander senkrecht und bilden die lokale
Vektorbasis. Falls notig, sind diese Tangentenvektoren zu normieren.
Raum liche A bleitungen von Feldern
Die Formulierung der lokalen Eigenschaften von Feldern erfolgt durch Aussagen
iiber ihre raumliehen Anderungsrateii. Aiigenommen, F ist ein Tensorfeld (Skalar,
Vektor oder Tensor hoherer St.ufe). das im Punkt & mit dem Ortsvektor f den
Wert F ( r ) besitzt. Wir interessieren uus fiir seinen Wert F(r + a) in irgend einem
benachbarten Punkt £? mit dein Ortsvektor a = ae beziiglich
a = |ai ist der
Abstand der beiden Punkte, der Einsvekt.or e gibt die Richtung von & nach 2
an. Das Feld F heiBt in & differenzierbar. wenn ein von a unabhangiger Tensor
G(r) derart existiert, dass
F ( r + a ) ~ F (i7) + a ■G \r ) -f o \d )
fiir o —>0 ,
(1-24)
wobei o ia ) /a —* £ fiir a —* 0. Wenn wir den Rest £ ( a ) weglassen, stellt die rechte
Seite demnach die lineare Approximation von F in der Umgebung des betrachteten
Punktes dar. Aquivaleiit dazu ist die F^stlegung
lixn - F ( f + a p ) - F { r )
a —‘0 a
I
= ^ -G
.|-v ( r )
(1.25)
fiir alle Richtungen c. Das Ausfiihren dieser Vorschrift fiir alle Punkte & eines
Bereiches liefert ein gegoniiber F mn cine Stufo erliohtes Tensorfeld G, den Grad ien te n von F. und c - G(r) ist die zugehorige R ic h tu n g sa b le itu n g in Ric htung
c im betrachteten Punkt. Der Gradient eines Skalarfeldes ist demnach ein Vektorfeld, der Gradient eines Vektorfeldes ein Tensorfeld zweiter Stufe usw.
1.2
DAS AN ALYTISCH E WERKZEUG
17
Die tatsachliche Berecluiung des Gradienteu und der Richt u ngsableitung erfolgt
durch die Anwendung des vektorielleii DifFerenzialoperators V, genannt Nabla. in
der Form
^ ^
G - V« F .
e- G (r) = f • V F if) . . ~ ■V* ® J , & )
(1-26)
Bezeichnen wir in einem orthogonalen Konrdinatensystem mit dem zugehorigen
Basisfeld {«i , , ^3 } die partielle Ableitung nach der Lange auf der i—ten Koordinatenlinie (die beiden anderen Koordinaten sind dabei festzuhalten) mit d ,. so
besitzt Nabla die Zerlegung
V =
(1.27)
I
in kartesischon Koordinaten also
d
Q
+
^v^7.
>
dx
dy+ ® *al d.
V
(L2S)
in Kreiszylinderkoordinaten
y
^
„ d
$0
„ ia
„ d
^z £l“
(1.29)
U r c L
'* ■
und in Kugelkoordinaten
A * * -
V = c,-— + e g - ~ - + ea ——ttttt- 07rJ
r sin( 6l) e/a
U U U "
1.30)
Algebraisch liisst sich Nabla wie ein gewolmlicher Vektor beliandeln (sein Betrag
ist allerdings nicht definiert), seine Eigenschaften alsDifferenzialoperator (Produktregel, Ket.tenregel) miissen wir aber zusatzlich beachten. Insbesondere muss
sein Wirkuugsbcrcich jeweils klar gemaeht werden, wcnn notig durch Abgrenzung
mit Klainmern. Beispielsweise schreiben wir fiir Produkte von Skalarfeldern / und
<) und Vektorfeldcrn / und g
V (/9)
=
( v / ) 9 + /V g ,
v (fa)
=
( v ® / ) s + ( v » ? )•/,
V <g>(/(/) =
-
’§
' P ^ J j(131)
( V f ) * f7 i, f t '! ,7
In seiner Eigenschaft als vektorieller Differenzialoperator konnen wir Nabla mit
Vektorfeldern / als Operanden auch iiber das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt verkntlpfen. Die entstehenden Felder heifien D iverg en z hzw. R o ta tio n und
werden manchmal mit vorgesetzten Operator/eichon „div” bzw. „rot” angegeben,
d iv / =
und
rot/
grad/
=
V-/,
Vx/,
V /,
( 3 )
letztcres fiir den Gradieuten eines Skalarfeldes. Auch den Ausdruck V F mit einem
Tensorfeld F zweiter oder hoherer Stufe nennt man Divergenz von F.
18
1
EINFUHRUNG
Beini Ausfiihren der Differenzialoperationen in speziellen Koordinaten ist gegebenenfalls auf die Ortsablningigkeit der Basisvektoren zu achten. Kartesische
Basen sind immer konstant, fiir Kreiszylinderbasen folgt aber aus Gin. (1.19)
^Of> ^z} =
>
{ce, ea> es} = | e Q, - e e, o | ,
Oj O^
(1.33)
,
und fur Kugelbasen aus Gin. (1.23a), (1.23b)
~ {^rj
dr
0| ,
— {er ,e# ,ea } = |e 0 , —er ,0^| ,
OOc
_i
s
I
i
/ f \ £* \
Q I
{er , e#, ea } = {sin(0)eQ, cos(0)ea , —sin(0)e,. - cos(0)eif>} .
Wir berechnen damit z.B. die Divergenz und die Rotation eines Vektorfeldes / in
kartesischen Koordinaten {(), bedeutet die partielle Ableitung nach der indizierten
I
V -/
= {exdx + evdy + ezdz) ■(f xex + f yey + f zez)
=
V x/
r>
a
4 3 f
(1.34)
n
dxfr + dyfy + &zfz ■
(1-35)
- (exdx + cydy + Fzdz) x (f xex + f yev + f zez)
= ^ ( d yf z - d zf y) + ey {dzf x - d xf z) + ez (dxf y - d y f x)
_____________ _
r
, (1.36)
die Rotation in Kreiszylinderkoordinaten
V x/
^ g 7 T ^ C £ T f^
-
( e ec)e + eQ^ d n + ezdz^j x ( f eec + f 0 en + f zez)
=
- x
Q sA C M T m /ua^tt
+ gad' fa +
+
i _
H
c
^
“1“ ^ ch/ q
6<x&afa
+e* x {cedzfe + ead ,/„ + e ^ / * )
=
c„ Q < 9(4/, - d s/ a j + e Q ( 0 z f L> - 0 e f z ) +
+ez (def« +
oder die Divergenz in Kugelkoordinaten
,
(1-37)
1.2
19
DAS AN ALYTISCH E WERKZEUG
V -/
=
=
1 &0 &Q+ c-o .
r
rsin(fl)
/
J ‘ {[email protected] + fe^O + f n )
er ■ {Srdrfr + e o d rfo + Ca d rfa) +
+
+
• {erd$fr + eefT + egdefo — er.fo + endofn) +
1 fns Ca ■[iirdafr + ea sin{9)fr + e6dafo + ea cos(9)fe+
r sm(0)
+eadaf tt - er sin[0)fo - eg cos(0)/aj
dr { r 2f r)
r2
dp [sin(fl)/o]
rsin(0)
daf a
?’sin(0)
Die wichtigsten raumliehen Ableitungen von Feldern lassen sich anschaulich
interpretieren. So gibt etwa der G radient V / eines Skalarfeldes den Vektor an,
der in Richtung des lokal sta r k s te n A n stieg s der Werte von / zeigt und des­
sen Betrag durch die Anderungsrate von / beziiglich einer Langenskala in dieser
Richtung bestiinmt ist. Auf Flachen / — konst, st.elit dor Gradient senkrecht.
Verschwindet er iiber einem raumliehen Bereich, dann ist das Skalarfeld dort kon­
stant. Die D ivergenz V ■f eines Vektorfeldes erfasst lokal dessert Q ueilendichte.
Reprasentiert / eine Flussgrofie und ist der betrachtete Punkt von einem kleinen
Volumen des Inhalts V umgeben, so gibt (V ■f ) V den durch die Hiille austretenden Fluss an. Felder m it verschwindender Divergenz in einem ganzen Bereich
nennt man dort quellenfrei. Die R o ta tio n (der Rotor) V x / eines Vektorfel­
des steht schliefilich fiir dessen lokale W irbeldichte. In einer Fliissigkeit mit der
Stromungsgeschwindigkeit v gibt z.B. w = V x v/2 die lokale Winkelgeschwindigkeit cUi (grob gesprochen, die Winkelgeschwindigkeit, m it der sich eine kleine, rauhe
Kugel in der Fliissigkeit um sich selbst dreht). Bei Verschwinden der Rotation in
einem ganzen Bereich nennen wir das Vektorfeld dort wirbelfrei.
Raumliche Ableitungen konnen auch mehrfach ausgefiihrt werden, vorausgesetzt, die Felder sind hinreichend oft differenzierbar. Ausgehend von einem Skalarfeld / konnen wir etwa erst, das Gradientenfeld V / und dann dessen Divergenz
bilden,
V ■( v / ) - V2/ .
(1.39a)
Man schreibt dafiir auch
div grad / = A /
und nennt den skalaren Differenzialoperator zweiter Ordnung A Laplace
rator. In kartesischen Koordinaten gilt
2f . 32f . s 2f
° ' fi •
vr-r'2' fr = caYxf
+ d f j + d -J = —2 +, ^° 2f +, —
(1.39b)
Ope­
,,
(1-40)
Wichtig ist in diesem Zusammenhang das identische Verschwinden der Rotation
des Gradienten eines Skalarfeldes,
V x
= rot g rad / = 0 ,
(1-41)
20
1
1
2
3
10
11
12
13
EINFUHRUNG
Suinmen von Feldern
V ( / + fl) = V / + V^
V - ( / + f f ) = V - / + V -g
V x (f + g) = V x / + V x j
Produkt von Skalarfeldern
V (/.9) = / V tf + .9V /
Produkte von Skalarfeldern mit Vektorfeldern
V- ( / f l ) = /V : 5 + f f - V /
V x ( f g ) = / V x ff + (V /) x £
Skalares Produkt von Vektorfeldern
V ( / ■ ) = / ■Vff + j ■V / + / x ( V x j ) + j x ( V x / )
Vektorielle Produkte von Vektorfeldern
V ■( / X g) = g - j y X f ) - f -jV X g ) ^
V x ( / x 5 ) = f V ■g - g V ■f + g - V f - f - V g
Identitiiten
V ■(V /) = V2/ = A/
V x (V /) = 0
V • (V x / ) = 0
V X (V X / ) = V (V • I ) - V 2f
T a b . 1.2: Rechenregeln
Vektorfelder.
fiir r&umliche
A bleitungen. /
und g sind
Skalarfelder, /
und g sind
d.h. G ra d ie n te n feld e r v o n S k a la re n s in d im m e r w irbelfrei, und auch das
identische Verschwinden der Divergenz von der Rotation eines Vektorfeldes,
V-(vx/)=-divrot/-0,
(1.42)
d.h. die R o ta tio n vo n V e k to rfe ld e rn ist im m e r quellenfrei. In Tab. 1.2
sind die wichtigsten Rechenregeln fiir raumliche Ableitungen zusanimengestellt.
Tab. 1.3 zeigt die Darstellungen der am hiiufigsten vorkoniinenden raunilidion
Ableitungen in unseren drei Koordinatensystemen.
Transformation von Integralen
Um globale und lokale Eigenschaften von Feldern in Verbiadung zu bringen, benotigen wir Beziehungen zwischen Integralen uber Bereiche und deren Rander im
d re id im e n sio n a le n e u k lid isc h e n R aum .
Wir betracliten zuerst einen raumlichen Bereich ' f zusanimen m it seinein
vollstandigen, konsistent orientiert.en, stiickweise glatten Rand d'V . .Jedem Punkt
von d Y , ausgenommen auf Ecken und Kanten, ist eindeutig ein v o n in n e n nach
a u fie n weisender Einsnormalenvektor n zugeordnet. Weiters sei F ein Tensorfeld beliebiger Stufe, differenzierbar iiberall in "P einschlieBlich d '¥ . Unter diesen
1.2
DAS ANALYTISCH E WERKZEUG
21
Kartesische Koordinaten x, y, z
C U t £ £ j A '^ O L
V / = Sxdxf + eydyf + ezdzf
V • / = 0x f x + dyfy + dZf Z
v X / = ex {dvf z - d.Jy) + ey(dzf T - dxf z) + ez(dxf y - dyf x )
v 2/ - d l f + d2f + d 'if
Kreiszylinderkoordinaten g, a , z
V / = eedef + ea ~daf + ezdzf
V ■/ = ^ d e(c>fe) + ^ daf a + dzfz
- d-/a ^ + e a ( d z f e - d ef z ) + e z ^[de ( g f a ) - d a f ej
okr
V 2f = - d o W ) + ^ 9 l f + % f
Q
Q2
Kugelkoordinaten r, 0, a
y .
r2
r r r _
JeJ
V / = c.TdTf + e0------ 1- e,
r
r sin (9)
+ dofonW/fll , daJ
9af a
j-sin(^)
rsin(0)
r sin
^ c>p[sin(^)/a] - d Qf 0 , r
dafr
V x / = er -----------— —---------- h e0
r sin(<9)
rsin(0)
V “7 =
r 2 sin(fl)
+
d r { v fa )
, - dr( rfo ) - dgfr
+ ea -------- ---------
r 2sin2(g)
T ab .1 .3 : W ichtige raumliche Ableitungen von Skalarfeldern / und V ek to rfe ld e ru /in kartesischen
K oordinaten, Kreiszylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten.
Voraussetzungen gilt die Green T ra n sfo rm a tio n
J V ft F d V = j
v
r i t &Fd A.
(1-43)
or
Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich daraus fiir ein Vektorfeld »F"NJ = / nach Reduktion des Tensorprodukts auf das Skalarprodukt: Der S a tz vo n G a u fl1,
f
f
/ V / dV= / n - f d A ,
SaJ$ (UOhi
’
(1.44)
{y
__fee.-------------y------ ^
C^i-otv r
t-__
verknttpft die gesamte Quellenstarke von / in Y mit dem Gesamtfluss von / durch
dr.
Eine ahnliche Beziehung gibt es auch zwischen Integralen iiber Flachen s f
und iiber ihre vollstandigen, konsistent orientierten, stiackweise glatten Randkurven d.tf. Bezeichnet n wieder den Einsnonnalenvektor von
und aufierdem s den
1H istorisdi richtiger ware , .Satz von Lagrange-GauB O strogradsky”
i/J/ird
V x / = ee
22
1
EINFUHRUNG
(b)
\
i\ + % = r ,
,c/t +
2=or
,s/i + .e/2 = .« / ,
+ % = A t/
A b b .1.6; Zur Erw eiterung der Satze von GauB (a) und Stokes (b) auf Bereiclie, die von Sprungflachen 3? geschnitten werden.
Einstangentenvektor von ‘d stf (Richtungen entsprechend der konsistenten Orientierungen „rechtswendig’ zugeordnet), so gilt fiir ein raumliches, differenzierbares
Tensorfeld F die K e lv in -T r a n s fo r m a tio n
j ^nx vJ(%Fdj4-
s®Fds.
(1-45)
Auch hier folgt der wichtigste Spezialfall fiir ein Vektorfeld F = f nach Reduktion
des Tensorprodukts auf das Skalarprodukt [(n x V) ■/ = n • (V x / ) ’: Der S a tz
v o n S to ke s 2,
(1.46)
stellt die Verbindung her zwischen der gesainten Wirbelstarke von / auf .a/ und
der Zirkulation von / entlang dsrf.
Schliefilich haben wir unter ahnlichen Voraussetzungen fiir eine orientierte Kur­
ve V mit dem Einstangentenvektor s, dem Anfangspunkt
und dem Endpunkt
£^2 und fiir ein raumliches, differenzierbares Tensorfeld F
(1.47)
wenn F \ und Fo die Werte von F in & 1 bzw. ,^*2 angeben. Diese Aussage entspricht dem Fundanientalsatz der Intogralreclmung.
Haufig stort bei den Anwendungen dieser Integraltransformationen die Voraussetzung iiber die Differenzierbarkeit der Felder. Beispielsweisc gibt es in Feldraumen
oft Flachen
etwa Korperrander oder Wellenfronten —, an denen die Feldgrofien
endliche Sprungunstetigkeiten besitzen: In jedem Punkt einer solchen Sprungflache
2Historisch richtiger ware ..Satz von K elvin-A m pere-H ankel”
1,2
DAS AN ALYTISCH E WERKZEUG
23
9 ' existieren zwar die Grenzwerte F 12' und F 111 der Feldgrofie F bei Annaherune;
an 9 von vorne bzw. von hinten (Oiientierbarkeit. von 9 ' vorausgesetzt), ihre
Differenz
m=z(2)-i li).
(i-48)
der S p ru n g von F. i;;t aber i.A. unglcidi Null und natiirlich ist F auf 9 dann i.A.
audi nicht difiercnzicrbar. Wir werden uns hier auf den Fall solcher Sprungunstetigkeiten im Zusannnenhang mit den Siitzen von Gaufi und Stokes beschranken.
Wird der Bereich Y , auf den Gl. (1.44) angewendet werden soil, von einer
Sprungfiache 9 durchsetzt, so spalten wir nach Abb. 1.6a in zwei Bereiche auf
und schreiben
J V • / dV" + I V • / dV
ri
-
j n ■f d A + J n - f {(,) dA +
%
y
+J n . f - M - J n -f^ d A .
,w2
(1-49)
y '
Insgesamt. ist damit der erweiterte Satz von Gauti
I n - f d A - I V • f d V + j n- I/ ] dA ,
sV
y<
(1.50)
y >
wobei V als V ohne die Punkte von 9 1zu verstehen ist und 9 ' don in V liegenden
Teil von 9 ' bezeichnct.
Ahnlidi konnen wir bei Gl. (1.46) vorgehen, wenn die Fliiche stf von einer
Sprungflache 9 ’ gesclmitten wird. Aufspalten gema.fi Abb. 1.6b liefert
j n ( y x f ) d A + j n ■(V x / ) d ^ =
iVi
a/t
- J s f d s + J s . f ^ d s + J s f d s —j s f ^ d s
v
(1-51)
t?2
oder, nach Zusammenfassen,
j S ■f d s ^ j n • (V x / ) d.4 f J s • [ / I ds ,
(1.52)
worin ¥>'' die Schnittlinie von ,f/ mit 9 und .<rf' den Bereich .c/ ohne die Punkte
von ' angibt. n ist der Einsnormalcnvektor an .«/.
Ausgew ahlte Literatur
Die hier benotigten matheinatischcn Metlioden sind in vielen empfehlenswerten
Mathematikbiichern dargelegt, z.B. in
H.J. Dirschmid: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik, 3. Aufl.
Braunschweig: Vieweg, 1988.
1
21
EINFUHRUNG
Eine altere Darstellung, aber sehr anschaulich und mit vielen Anwendungen ist
F. Ollendorff: Die Welt der Vektoren. Wien: Springer, 1950.
Eine weitgehend vollstandige Zusaramenstellung des traditionellen Materials findet
sich in
Ph.M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, part I, II.
New York: McGraw Hill, 1953.
Angenehm zu lesen ist
D. Lovelock, H. Rund: Tensors, Differential Forms, and Variational
Principles, New York: Wiley, 1975
mit einem bemerkenswert guten Anhang, der den Anschluss an die in der modernen
Feldphysik notigen Hilfsmittel erinoglicht. Sehr empfehlenswert ist auch
Y. Choquet-Bruhat, et.al.: Analysis, Manifolds mid Physics. Amster­
dam: North Holland, 1977.
Dieses Bucli erfordert allerdings eiue gewisse Vertrautheit mit dem gerafften Stil
der neueren mathematischen Fachliteratur.
K apitel 2
Eigenschaften
elektrom agnetischer Felder
2.1
G lobale und lokale E igenschaften
Wir beginnen mit einer Zusammcnstcllung der formalen Eigensdiaften elektromagnetisdier GrofSen, Ausgehend von glolmlon Aussagen lassen sich mit Hilfe der
Intograltransforinationen dataus die zugehorigen lokalen Beziehungen ableiten.
Das elektrom agnetische Feld im engeren Sinn
Unter einem elektromagnetischen Feld im engeren Sinn verstehen wir irgendwelche
raumliehen Verteilungen eloktrisdier Spannungen und magnetisdier Fliisse, d.li. zu
jedem Zeitpunkt wird jeder innen orientierten Kurve % ein Wert U (iS7) der elek­
trisc h en S p a n n u n g und jeder innen orientierten Flaclie .c/ ein Wert <I>[.v/) des
m a g n e tisc h e n F lu sses zugeordnet. Diese Zuordnungen sind linear. Besteht also
insbesondere eine Kurve aus zwei orientierten Teilen
und 'ifo wir schreiben
dafiir
^
oder wird an %' ein Orientierungswedisel vorgenonimen —
wir schreiben dann
anstelle von
— so gilt
U(Vt + tf2) - U(%,) + U(%2) ,
U{-%') = —17(70 ■
(2-1)
Alinlich haben wir fiir magnetisdie Fliisse
^(.f/i + .C/2 ) -
2)
j
# ( —#?) = -$(.<&) •
(2.2)
Zwischen diesen beiden Verteilungen besteht eine dynamisdie Kopplung, ausgedriickt im In d u ktio n sg e se tz: Fiir jede innen orientierte Flache ffJund ihren vollstandigen. konsistent orientierten Rand d,e/ ist die elektrisdie Spannung
U(the/) gleich der zeitlichen Abnalnnerate des magnetischen Flusses $(.<*/),
Uld.cf) =
&(#/) .
(2.3)
Aufierdem sind magnetische Flussverteilungen stets gesdilossen, d.h. es gilt der
S a tz v o m m a g n e tisc h e n H ullenfluss: Fur jedes innen orientierte Voluinen Y
25
2
EIGENSCHAFTEN ELEKTROM AGNETISCHER FELDER
und seinen vollstandigen, konsistent orientierten Rand <97 ist der magnetische
Fluss ${&¥) gleich Null,
$ { dV) = 0 .
jy*.
Ah
(2.4)
Etwas allgetneiner verschwindet der magnetische Fluss sogar an jeder geschlossenen (d.h. randlosen) Fliiche, die nicht notwendig den vollstandigen Rand eines
rtiunilichen Bereichs bilden niuss.
Auf Grundlage der in den Gin. (2.1) und (2.2) ausgedriickten Eigenschaften
lassen sich fiir die Verteilungen der elektrischen Spammng und des magnetischen
Flusses Daistellungen als additive Mengenfunktionen angeben. Wir verwenden
dazu die euklidischen Vektorfelder E der e le k trisch e n F eldstarke und B der
m a g n e tisc h e n F lu ssd ich te und schreiben
&W'
p.
J t-E ds,
${*/) = J n B d A ,
<t?
(2.5)
jaT
wobei s' den Einstangcntenvektor an die Kurve %’ im Durchlaufsinn angibt und,
nach Einfiihrung der Rechtsschraube als einheitlidie Orientierung des Raumes, n
den Einsiionnalenvektor der Flache ■<?/ bezeiclmet, deren Orientierung rechtswendig zugeordnet. Fiir eine bezuglich des zugrundeliegenden Inertialsystems raunifeste, also zusammen mit ihrem Rand zeitlich unveriinderliche Flache liefern dann
die Darstellungen (2.5) zusammen mit dem Induktionsgesetz (2.3) und dem Satz
von Stokes in der Form (1.52)
P. K tX ^ jtn hi
BAA
: V X E + dt B) dA + j s- |£ J ds = 0
(2.6)
w
(dt bezeidinet die partielle Zeitableitung). Diese Gleichung ist nur dann fiir alle
Flachen
und fiir alle Schnittkurven
' von .(■/ mit raumfesten Sprungflachen
, y erfiillbar, wenn die Integranden selbst identisch null sind,
( V x £ + 3, b ) - 0 ,
s
- [ £| = 0,
(2.7)
und zwar fiir beliebige n und fiir beliebige Tangentenvektoren -s an .9'. Damit muss
der Klammerausdruck in (2.7) j als gauzes verschwinden und in (2.7)2 die Tangentialkomponente von [£] bezuglich S '. Letzteres ist gleichbedeutend m it dem
Verschwinden von n x [£?J, wenn wir den Einsnormalenvektor an der Sprungflache
eben falls mit n bezeichnen. Als lokalen A u sd ru c k des In d u k tio n sg e se tze s
haben wir daher
—■--------- ©wefer <>
^^
V x E = -d ,.B ,
K/
n x |£ j = 0 ,
(2.8)
wobei die erste Gleichung lokale Differenzierbarkeit, voraussetzt und die zweite
Gleichung an Sprungflachen gilt. Eine analoge Argumentation fiihrt von Gl. (2.5)a
iiber den Satz von Gaufi in der Form (1.50) zum lokalen A u s d r u c k des S a tze s
v o m m a g n e tisc h e n H iillenfluss,
„.
1
^
^
/V e ru x te *
UqmvS
'
(2.9)
V B = 0 , 7i- [BJ = 0 , ^
giiltig bei lokaler Differenzierbarkeit bzw, an Sprungflachen.
H
~ JkA ’
$
a
2.1
GLOB A L E UND LO KALE EIGENSCHAFTEN
27
Das Strom -Lad ungs~ Feld
Die globale Erfassung von elektrischen Strom- mid Ladungsverteihmgen erfolgt
wiederum durch die linear? Zuordnmig von Grofien zu Bereichen: Zti jedem Zoitpunkt wird jeder transversal orientierten Flache .e/ ein Wert I (.<*'') der elektri­
sc h en S tro m sta rk e und jedem transversal orientierten Volunien Y ein Wert
Q{Y) der e le k trisch e n L adung zugeteilt. Aus der Linearitat folgt insbesondere
I{#/\ + ,c/2) - /(• < ) 4- 1(^2) ■I{ ■&) - - I ( 't f ) .
Q (r l + n ) = Q(-r1) + Q (r 2) ,
Q ( - n = -Q{ry.
(2.io)
Als fmidamentale Eigenschaft haben wir hier die E rh a ltu n g d er elektrischen
L a d u n g : Fiir jedes transversal orientierte Volumen Y und seinen vollstandigen,
konsistent orientierten Rand OY ist die elektrische Stromstarke / ( d V ) gleicli der
zeitliclien Abnahmerate der elektrischen Ladung Q{Y),
I ( d Y ) 5= - Q ( Y ) .
(2.11)
Nach der einheitliclieii Orientierung des Raurns iiber die Reehtssdiraiibe lasso 11
sich die Verteilungen wegen der Eigenschaften (2.10) als Integral? von Vektorfel­
dern J der e lektrisch en S tro m d ic h te und von Skalarfeldern q der elektrischen
L adungsdichte darstellen. Wir werden hier auflerdem flachenlmfte Verteilungen
von Stromen und Ladungen beriicksichtigen, bescliriebeu durch Vektorfelder K
der e le k trisch e n F la c h en stro m d ich te bzw. Skalarfelder cr der elektrisch en
F lachenladungsdichte und definiert auf einer Trager flache -9. Linienstrome,
Linicnladungen und Punktladungen erfahren spiiter eine getrennte Behandlung.
Durch eine Flache .f/ . die entlang der Schnittkurve %’' von .e/ mit -9 von einem
Flachenstrom durchsetzt sein kaun, tritt dann ein Strom der Starke
!(${) ~ J n - J dA + J ( s x n) ■I< ds ,
(2.12)
wobei im ersten Integral n den Einsnormalenvektor an &V. im zweiten Integral n
den Einsnormalenvektor an J / und s den Einstangontonvektor an die Schnittkurve
% ' angibt, alles konsistent orientiert. .c/' bezeichnet ,v/ ohne die Punkte von
.
Ein Volumen Y , das von der Tragerflache y einer Flachenladung geschnitten
werden kann, enthalt die Ladung
Q(Y) = J g d V + I a d A .
(2.13)
Hier bezeichnet _9"' den in Y liegenden Teil von J /' und Y ' ist als Y ohne die
Punkte von <9 " zu verstehen.
Mit den Darstellungen (2.12) und (2.13) liisst sich die Ladungserhaltung lokal formulieren. Uni nicht naher auf die Flachengeometrie eingehen zu miissen,
werden wir hier zunachst auf die Einbeziehung von Fliichenstromen verzichten,
Flachenladungen jedoch beriicksichtigen. EinSetzen in Gl. (2.11) liefert dann mit
2K
2
EIGENSCH AFTEN ELEKTRO M A GNETISCHER FELDER
der Transformation (1.50) fiir raumfeste Bereiche
I(dr) + Q(r) =
j
n j<\A + j t jQ<xv+ Jt
di'
v
j
o&A
y '
= J ( v • J + dtQj dV 4- J {n • [ J J + 9t<r) d ;i ^ 0 ,
y'
$r'
(2.14)
und daraus folgt der lokale A u s d r u c k d er L a d u n g serh a ltu n g (?,Kontinuitatsgleichung” und zugehorige Sprungbedingung ohne Fladienstrome)
V
« iri -
f t,.
(2-15)
Zum Strom Ladungs- Feld gehoren auflerdem Verteilungen der magnetischen
Spannung und des elektrischen Flusses: Zu jedeni Zeitpunkt wird jeder trans­
versal orientierten Kurve {& ein Wert V (tf) der m a g n e tisc h e n S p a n n u n g und
jeder transversal orientierten Flache ,c/ ein Wert <?(.{/) des e le k trisch e n F lus­
ses zugeordnet. Wie auch bisher seien die Zuordnungen zu den Bereichen linear,
insbesondere
V(Y,\ + %V) = V ( % ) + V(y,2) ,
V ( - V ) ■■=- V( Y / ) ,
+ ■***>) =
+ #(.0*2) , H s f ) - - ${£?) ■
(2.16)
Im Einklang mit der Ladungserhaltung sind diese Verteilungen so konzipiert, dass
sie stets folgende Eigenschaften besitzen. Es gilt der A m p e r e -M a x w e ll-S a tz :
Fiir jede transversal orientierte Flache s f und ihren vollstandigen, konsistent ori­
entierten Rand dsrf ist die magnetische Spannung gleidi der Surnme aus der Durchflutung
und der zeitlichen Anderungsrate des elektrischen Flusses,
V {<),?/) = I(.e/) + 'P(.tf) .
(2.17)
Und es gilt der S a tz v o m e le k trisch e n H iillenftuss: Fiir jedes transversal ori­
entierte Volumen V und seinen vollstandigen, konsistent orientierten Rand d 'f iyt
der elektrische Ffluss (&'!') gleidi der elektrischen Ladung
$(&r)-Q{r).
(2 . 18 )
Anwenden von Gl. (2.17) auf einen Rand .0/ = d f fiihrt wegen d s / — d d f
0
und damit V(dstf) = V'(0) = 0 nach Einsetzen von Gl. (2.18) zuriick auf den Satz
von der Erhaltung der elektrischen Ladung, Gl. (2.11).
Der Ubergang zu den lokalen Gleichungen verlauft nach dem iiblichen Sche­
ma. Wir wahlen zuerst eine Rechtssdiraube als einheitliche Raumorientierung,
gehen dann auf Grundlage der Gin. (2.16) mit den euklidischen Vektorfeldern H
der m a g n e tisc h e n F eldstarke und D der e le k trisch e n F lu ssd ic h te zu den
Integraldarstellungen
V{V) = j s - H d s ,
%
«P(.e/) - J n D d A
(2.19)
sf
iiber und setzen diese zusammen mit den Darstellungen (2.12) und (2.13) fiir /(.»'')
bzw. Q ( Y ) in die Gin. (2.17) und (2.18) ein. Raumfeste Bereiche vorausgesetzt.
'fiw x e s -'tL e ^ ? ]
2.1
GLOBALE UND LO KALE EIGENSCHAFTEN
29
erhalten wir so mit den Integraltransformationen (1.50) bzw. (1.52) die Gleichun­
gen
V (ilrf) - /(,«/) -
=
J 5- H da - j n
osn/
J ^ X
■J d A
s.s "
/
/
- U*
/r t
K d5d t J ”
= [ n ( y x H - J - dt5 ) dA - f s ■([/?] - K x « ) ds = 0 ,
'/£ _________
o '1
iP(ar) - Q (r) = f n ■d d A - f Q <iv - f a d A
I
i
I
f
Tkpq-
= j ( v -D - £.) dV + I (n • [51 - a ) dA = 0 ,
~y
(2.20)
^
(2.21)
y
*\
giiltig fiir beliebige Flachen /// und raumliche Bereiche V . Unter Verwendung von
n • K ~ 0 (die Fltichenstromdichte liegt stets tangential zu ihrer Triigerfiache)
folgen daraus sclilleBlieh der lokale A u sd ru c k des A m p e re M a x w e lt-S a tze s
V x H = J + i\D ,
i l x [H] = I\
(2.22)
und der lokale A u sd ru c k des S a tze s v o m ele k trisch e n H iillen flu ss
V ■D = o ,
>1■[£>] = <7 ,
=
(2.23)
jeweils zusammen mit den zugehorigen Sprungbedingungen.
D ie Maxwell Gleichungen
Eine Zusammenstellung der bisher behandelten formalen Eigenschaften elektromagnetisclier Felder zeigt Tab. 2.1. Hervorgelioben sind vier lokale Gleichungen,
iiblicherweise M axw ell G leichungen genannt. Sie bilden zusammen mit den
nodi zu besprechenden Materialgleichungen den Ausgangspunkt fiir die Aufstellung von Differenzialgleicliungen, deren Losung die tatsachliche Berechnung der
Feldgrotien auch in komplizierteren Situationen ernioglicht. Eine wichtige Rolle
spielen dabei auch Bedingungen, denen die Feldgrofien an Bereichsrandern geniigen
miissen. Sie sind aus den angegebenen Sprungbedingungen ableitbar.
Die Maxwell Gleichungen selbst zerfallen in zwei Paare. Das erste Paar enthalt
nur raumliche und zeitliche Ableitungen der Vektorfelder E und B , also der elektrischen Feldstarke und der magnetischen Flussdichte. Tatsachlich bilden diese
beiden Vektorfelder eine Einheit, das elektromagnetische Feld im engeren Sinn,
dessen Aufspaltung in eine elektrische und eine magnetische Komponento von der
Wahl des Inertialsystems abhiingt. In Bezug auf jedes solche System ist lokal die
Wirbeldichte (die Rotation) der elektrischen Feldstarke gleich der zeitlichen Abnahmerate der magnetischen Flussdidite, und die Qtiellendichte (die Divergenz)
der magnetischen Flussdichte ist gleich Null. Es wird damit eine strukturelle Aussage iiber die elektromagnetisehen Feldgrofien getroffen und gleichzeitig festgestellt,
^
g
IiitegraLdarsteUunjjjen (Flachenstiome
Flachenlad ungen unterdriickt)
U(dsf) = - 0 ( s / )
J s • E ds = - ^ J n ■B dA
d.F/
2
$(dT) = 0
und
Maxwell Gleichungen
Sprungbedingungen
an raumfesten Flachen
V x £ - - d tB
n x [£] = 0
V B = 0
n ■[B\ = 0
stf
f n ■B dA = 0
or
3
V( ds f ) = /(.£/) + <?(,£/)
J s • H d.s = /
Qe/
4
sp (ar) = Q ( r )
I (df ) = -Q(V)
of
V x H - 1 + 0 ,5 1
n x [HJ = K
V D -v
n • [I>J =
/
<7
r
J n - J d A = —^ J g d V
a-r
J n ■D d.A
sf
J n ■D d A = J QdV
q-v
5
il ■J d A + ^
V - J = - d tQ
n ■\ J \ = - d t<7
v
FELDER
Tab.2.1: Grundlegende globale und lokale Eigenschaften elektromagnel ischer Felder. Die Feldgroflen sind in Bezug auf ein festes Inertialsystem definiert,
die Bereiclie sind raum fest angeuommen. Die Spnm gbedingnng zur lokalen Ladungserhaltung ist ggf. durcli die Flachendivergenz der F.achenstrom dichte zu
erganzen.
ELEKTROMAGNETISCHER
J
EIGENSCHAFTEN
1
Globale Gleichungen
2.1
GLOBALE UND LO KALE EIGENSCHAFTEN
31
dass zur Beschreibung der elektromagnetischen Erscheinungen nach unserem heutigen Kenntnisstand magnetische Ladungen und magnetische Strome nicht erforderlich sind. 7* 0?-=' “V
Das zweite Gleidmngspaat betrifft die raumliehen und zeitlichen Ableitungen
der Vektorfekler H und D. der magnetischen FeldstJirke bzw. der elektrischen
Flussdichte. Auch diese beiden Felder bilden zusammen eine Einheit. deren Aufspaltung in eine magnetische und in eine elektrisdie Komponente von der Wahl
des Bezugssystems abhangt. Die strukturelle Aussage dieser Gleichungen iiber die
FeldgroBen ist ganz ahnlich denen fiir die Felder E und B , die Wirbeldichte der
magnetischen Feldstarke wird aber zusatzlich durch die elektrisdie Stromdichte
bestimmt, und die Quellendichte der elektrischen Flussdichte ist gleidi der elek­
trischen Ladungsdichte.
In ihrer nackten Form bilden die Maxwell Gleichungen lediglich ein formales
Gertist. Erst durch die Verknupfung der beiden Gleichungspaare entsteht die Be­
schreibung eines dynamischen Systems im Sinne der Feldphysik als Trager von
Energie und Impuls.
Verkniipfungsbeziehungen
Die einfachsten Verkniipfungen zwischen Verteilungen der elektrischeii Spannung
sowie des magnetischen Flusses einerseits und des elektrischen Flusses bzw. der
magnetischen Spannung andererseits linden wir in materiefreien Feld bereichen.
Global erfolgen diese Verkniipfungen iiber die wesentlich geometrieabhangigen Kapazitats- bzw. Induktivitatskoefiizienten. lokal iiber die Beziehungen
D - £qE ,
H = —B .
(2.24)
Obwohl die elektrisdie Feld konstante £o und die magnetische Feldkonstante
als
universelle Konstanteu aufzufasseu sind, ist der ])hysikalische Gehalt dieser Glei­
chungen beachtenswort. Es werden niimlich jewoils Flussdichten mit Feldstarken,
strukturell also vollig unterschiedliche Grolien miteinander in Verbindung gebracht.
Dies erfordert die Einbeziehung geometrischer Eigenschaften, insbesondere der
MaBbestimmung (Metrik), worin sich die phvsikalischen Eigenschaften des Ortsraums widerspiegeln. In Ubereiustimmung m it den Erfahrungen der niakroskopischen Piiysik fiir nicht. extrem weit ausgedehnte Bereiche und fiir nicht cxtreni
holie Energiekonzent-rationed haben wir von Vornherein einen flachen Raum mit
euklidischer MaBbestimmung angenommen und euklidische Vektoren verwendet,
wodurch der geometrische Gehalt in den Hintergrund tritt. In kosmologischen aber
auch in subnuklearen Bereichen ist die euklidische Geometrie als Modell fur die
phvsikalischen Eigenschaften des Ortsratuns nicht mehr brauchbar.
Im Internationalen Einheitensystem wird die magnetische Feldkonstante jiq als
exakter Wert durch die Definition des Ampere fixiert. Die Meter-Definition legt
auBerdem die Lichtgeschwindigkeit co im leeren Raum exakt fest, sodass auch die
elektrisdie Feldkonstante e0 iiber die Maxwell Beziehung
/M>£o<v ~ 1
beliebig genau zu berechnen ist.
(2.25)
2
Z2
EIGENSCHAFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
Wir sehen zunachst von den rnateriellen Tragern ab und denken uns elektri­
sche Lad ungen und Strome kontinuierlich verteilt im leeren Raum, eventuell auch
konzentriert auf Fiachen. Eintragen der Verknilpfungsbeziehungen (2.24) fiir den
leeren Raum in die Maxwell-Gleichungen liefert dann das System
V x l + dt.B
V B
fi o
=
0.
n x [£?]
=
0,
=
0,
n .\B \
=
0,
— n x [£?J
=
K ,
=
a ,
V x B - zodtE = J ,
_
eoV ■E
(2.2C)
W>
=
g,
Eon ■[£ ]
woraus sich die Felder E und B im Prinzip vollstiindig berechneu lassen, wenn J
und Q (bzw. K und a) als Orts- und Zeitfunktionen im ganzen Raum bekannt sind.
Auch Punktladungen und Linienstrome sind hier einbeziehbar. Da nun makroskopische Korper hauptsachlich aus leerem Raum best chon, in dem sich Ladungstrager
wie Elektronen und Kerne quasifrei oder gebunden bewegen, erscheinen die Gin.
(2.26) als der geeignete Ausgangspunkt auch fiir die Beschreibung elektromagnetischer Felder innerhalb von Korpern. Tatsiichlich versuchen Elektronentheorien
in ihren klassischen oder quantenphysikalischen Auspragungen die Verwirklichung
eines solchen Programms, wobei aber zwei wesentliche Aspekte berucksichtigt wer­
den miissen. Erstens sind die Orte und Geschwindigkeiten der Ladungstrager entweder grimdsatzlich oder in ihrer Vielzahl nicht erfassbar und die kombinierten
Prozesse so verwickelt, dass sie sich einer detaillierten Beschreibung entziehen.
Zweitens ist fiir makroskopische Beobaehtungen das mikroskopische elektromagne­
tische Feld mit seinen starken ortlichen und zeitlichen Fluktuationen ohne Bedeutung. Was in der Regel interessicrt, sind Mittelwerte aus Beroichen grofi gegeniiber
atomaren Abmessungen. Man wird also in jedem Fall auf statistische Methoden
gefiihrt.
Bei einem klassischen Modell dieser Art werden beispielsweise Punktladun­
gen betrachtet, zum Teil quasifrei, zum Teil in stabilen Aggregaten („Atomen")
gebunden. Wie die Punktladungen eines Aggregates in ihrer Orts- und Gescliwindigkeitsverteiiung nach auBen wirken, lasst sich mit wachsender Empfindlichkeit
durch Ladungs- und Strommomente in aufsteigender Ordnung, durch sogenannte
Multipolentwicklungen beschreiben. Die solcherart erfassten Ladungen und Strome
sind dann iiber die Maxwell-Gleichungen (2.2G) links mit den stark fluktuierenden
Feldern E und B in den Aggregatzwischenrauinen verbunden. Der entscheidende Schritt zur makroskopischen Betrachtungsweise ist nun eine lineare Mittelung
unter Verwendung von statistischen Verteilungsfunktionen. Das mikroskopische
Modell wird damit auf ein Kontinuumsmodell abgebildet, die beschreibenden Fel­
der werden in makroskopischen Bereichen glatt, also gewissermaBen verschmiert.
Da, wie sich zeigen lasst, die raumlichen und zeitlichen Ableitungen mit dem Mittelungsprozess vertauschen, behalten die Maxwell-Gleichungen grundsatzlich ihre
Form, wobei nun aber E und B die makroskopischen, mittleren Felder („MaxwellFelder” ) bedeuten und die Ladungs- und Stromvorteilungen durch die geglatteten
Multipolentwicklungen zu ersetzen sind,
o
J
g - V •P ,
J + dtP + V x M
(2.27)
2.1
GLOBALE UND LO KALE EIGENSCHAFTEN
33
g und J sind jetzt aiso die Dichten der „wahren", makroskopisch feststellbaren
Ladungen und Stronie, wahrend die restlichen Terme iiber die Vektorfelder P der
e lektrisch en P o la risa tio n und M der M a g n etisie ru n g die makroskopische
Wirkung der Ladungs- und Stroinmornente erster und hoherer Ordnuag als Dich­
ten von ,,fiktiven”, gebundenen Ladungen und Stromen zusammenfassen. Andere
Modelle, die mit unserem mikrophysikalischen Wissen besscr im Einklang stehen
als das klassisclie Punktladungsmodell, fiihren ilbrigens auf formal gleiche makroskopische Maxwell-Gleichungen.
Wesentlich ist die Einfiihrung der Vektorfelder P und M . Da sich makrosko­
pisch von den Ladungs- und Strommoinenten meist nur die der nullten und ersten
Ordnung bemerkbar maclien, lasst sich in der Regel die elektrische P o la risa ­
tio n P als D ich te der s ta tistis c h g e m itte lte n e lektrisch en D ip o lm o m e n te
und die M a g n etisie ru n g M als D ich te d er sta tistisc h g e m itte lte n m a g n e ­
tisc h e n D ip o lm o m e n te interpretieren. Wir werden das im Folgenden stets tun,
um die Stoffgleichungen und die Sprungbedingungen moglichst einfach zu halten.
Nach Eintragen von (2,27) in (2.26), speziell
1 V x B - £0d,E - J + dtP + V x M
e0V ■E =
q-
,
V ■P ,
(2'28?
sehen wir: Wenn die Gin. (2.24) durch die allgemeineren V erkniipfungsbeziehungen
D = EqE + P ,
H = —B - M
Mo
(2.29)
ersetzt werden. lassen sich die Maxwell-Gleichungen in der in Tab. 2.1 angegebenen Form auch zur Beschreibung der makroskopischen Felder im Inneren von
Korpern verwenden. Im Rahmen eines Kontinuuinsmodells sind demnach magne­
tische Spannungen und elektrische Fliisse genauso wohldefinierte Grollen wie elek­
trische Spannungen und magnetische Fliisse.
Wir setzen nun unigekehrt die Verkniipfungsbeziehungen (2.29) in die MaxwellGleichungen und in die zugehorigen Sprungbedingungen aus Tab. 2.1 ein,
V
x E + dtB m 0 ,
V -B
—V x
Vo
=
B - £0dt.E ~
0,
J + dtP + V x M ,
_
e0V • E
=
e - V •P
,
nx[fl
=
0
n[ej
=
0,
— n x [J]
Mo
£0n ■[£]
=
K + n x [MJ ,
=
o - n ■[P] ,
,
(2.30)
was in Verbindung mit den Gin. (2.26) fiir den leeren Raum auf folgende Inter­
pretation fiihrt: In Bezug auf seine Wechselwirkung mit dem makroskopischen
34
2
EIGENSCH AFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
elektromagnetisehen Feld, erfasst in den Vektorfeldern E und B, lasst sich ein
Korper beschreiben darch efFektive, raumlich und flaohenhaft verteilte elektrische
Strome und Ladungen,
J e
- J
+
Jf ,
6C'■I*LL>+■
Ke= K
+
I\f ,
= o + of .
(2.31)
Diese effektiven GroBen bestehen jewel Is aus ,,wahren” und aus ,,fiktiven” Anteilen,
wobei letztere iiber
J f = d, P + V x M ,
qI = - V - P ,
K f = fi x [M] ,
(2-32)
durch die elektrische Polarisation P und durch die Magnetisierung A? bestimnit
sind. dtP heifit Polarisationsstromdichte und V x M Magnetisierungsstromdichte
oder Elementarstromdichte. —V ■P wird auch Polarisationsladungsdichte genannt.
Erwahnen mochte ich noch eine zweite Interpretation, weil aucli sie manchmal
eine Vorstellungsliilfe bietet. Anstelle der Felder H und D konnen wir mit den Verkntipfungsbeziehungen (2.29) aus den Maxwell-Gleichungen und den zugehorigen
Sprungbedingungen auch die Felder B und D eliminieren:
+ iM)dtH
/i0V ■H
V x H - s 0dtE
e0V • E
— r-dt(fi0M ) ,
= - V • (noM) ,
- J + d,P,
- g - V -P ,
n x [£ ]
■0 ,
Mon ■[J?] = - n ■[^0A?] ,
nx[i] = K,
£0n -[E] = a - it - [P] ,
(2.33)
Das Vektorfeld
heiBt in diesem Zusammenhang magnetische Polarisation.
Mit den „wahrcn” GroBen J und q treten hier als fiktive Groikin neben der elek­
trischen Polarisationsstromdichte dt P und der elektrischen Polarisationsladungs­
dichte —V ■P auch eine magnetische Polarisationsstromdichte r)t \jiqM) und eine
magnetische Polarisationsladungsdichte —V • (fioM) auf. Wir haben hier also fik­
tive magnetische Strome und Ladungen.
M aterialgleichungen
Wie bereits erwahnt und spater noch ausgefiihrt, sind elektroinagnetische Felder
E , B aus den Ladungen und Stromen, den ,.wahren" und den „fiktiven” , irn Prinzip berechenbar. Neben den Feldern o, a, ,7 und K miissen dazu auch die Felder
P und M bekannt sein. Diese Daten liegen jedoch selten vor. Vielmehr stellen
sich die Probleme hiiufiger so, dass Teilinforinationen iiber die Felder vorliegen
beispielsweise elektrische Spannungen zwischen Elektroden, Strome in Spulen, einfallende elektromagnetische Wellen
und daraus andere GroBen bestimmt werden
sollen
etwa resultierendo Strome oder maximale Feldstiirken, Krafte und Leistungen, Eigenschaften gestreuter Wellen oder Ubertragungscharakteristiken. Wei
che Ladungen, Polarisationen oder Magnetisierungen sich dabei in den beteiligten
Korpern einstellen, hangt iiber deren Eigenschaften von den noch unbekannten
Feldern ab. Was wir also in der Regel zusatzlich brauchen, sind mathematische
Modelle fiir das physikalisclie Verhalten der Materialien, aus denen die Korper
aufgebaut sind. Dabei ergeben sich natiirlich Verbindungen zur Festkorperphysik,
zur Plasmaphysik u.A., zu den Werkstoffwissenscliaften im Allgemeinen.
2.1
GLOBALE UND LO KALE EIGENSCHAFTEN
35
Wir werden uns hier in den meisten Fallen auf ganz einfaclie, phanomenologische
Modelle beschranken. die das Materialverhalten weitgehend idealisiert wiedergeben. Ob ein solches Modell brauchbar ist, hangt von der Art des Problems ab, voni
Variationsbereich und den Anderungsrateii der physikalischen Variablen und von
der geforderten Genauigkeit, aber auch davon, ob seine Verwendung zu inathematisch korrekt gestellten Aufgabeu fiihrt, die sicli zudeni mit vertretbarem Aufwand
bewaltigen lassen.
Ein (ruhender) Korper heiBt ideal elektrisch leitfa h ig , wenn die elektrische
Feldstarke in Bezug auf jeden inneren Korperpunkt und unabhiingig von anderen
physikalischen Variablen verschwindet, dort also stets E = 0 gilt. Dies ist zu unterscheiden von einem supraleitenden Zustand, der zusiitzlich das Verschwinden auch
des Magnetfeldes im Korperinneren erfordert. Ein ideal elektrisch isolierend er Korper kann dagegen in keiner Situation eine elektrische Stromdicht.e tragen,
J — 0. Wir sprechen von einem linear hom ogen iso tro p e in fa ch elektrisch
leitfa h ig en K orper, wenn als Beziehung zwischen der elektrischen Stromdichte J und der elektrische Feldstarke E in Bezug auf jeden inneren (ruhenden)
Korperpunkt das lokale ohmsche Gesetz
J = -yE
(2.34)
mit einer konstanten elektrischen Leitfahigkeit y > 0 besteht. Wesentlich fiir
die Linearitat ist, dass j nicht selbst von E abhangt. Weiterhin linear, isotrop
und einfach, aber in h o m o g en elektrisch leitfahig ist ein Material dann, wenn
die Leitfahigkeit auf eine vorgegebene Weise vom O rt abhangt, die skalarwertige
Ortsfunktion y ( r ) also im Vorhinein exp lizit b ekannt ist. Mtissen Temperatureinfliisse beriicksichtigt werden, so kann eine Inhomogenitat dieser Art z.B. auch
- liber ein vorgegebenes Teinperaturfeld zustande kommen. Ahnliches gilt fiir eine
explizite Zeitabhangigkeit, 7 (r, t).
Bedingt durch den kristallinen Aufbau, durch ein Herstellverfahren oder unter
dem Einfluss anderer Felder wie elastisclie Verformungen oder Geschwindigkeitsfelder in stromenden Medien kann eine Richtungsabhangigkeit. eine A n iso tro p ie
von physikalischen Eigenschaften bestehen. Im Fall der elektrischen Leitung liegt
dann J nicht mehr notwendig fiir alle Richtungen j)araUel zu E (es gibt im Allgemeinen in jedem Korperpunkt drei Richtungen, die Leitfahigkeitshauptrichtungen,
fiir die das weiterhin gilt). Liegt weiterhin Linearitat zwischen J und E vor, so
haben wir die Beziehung (2.34) zu ersetzen durch die allgcmeinere Form
J —^ - E
JtusoU cfine, a b e r ctf'****'<■
(2.35)
mit dein Leitfahigkeitstensor 7 , einem moglicherweise explizit orts- und zeitabhiingigen Tensor zweiter Stufe.
Durch die Einbeziehung mechanischer, magnetischer und thermischer Felder in
die Variablenliste lassen sich n ic h t ein fa ch e Leit.ungsvorgange wie jjiezogalvanische, magnetogalvauische oder thermogalvanische Ett'ekte erfassen.
Formale Klassifizierungen almlicher Art erweisen sich auch bei der Darstellung
der dielektrischen und magnetischen Materialeigenschaften als giinstig. So nennen
wir einen (ruhenden) Korper elektrisch n ic h t pola risierb a r oder n ic h t m a gnetisierbar. wenn mit hinreichender Genauigkeit P = 0 bzw. M — 0 fllr alle
30
2
EIGENSCHAFTEN ELEKTROM AGNETISCHER FELDER
K or perpunkte und unabhangig von anderen physikalischen Variable!! vorausgesetzt werden kann. L in e a r isotrope elektrisch e P o la risierb a rkeit oder M a g n etisie rb a rk eit wird durch Materialgleichungen
P = f:0x E
bzw.
M = nH =
---- - B ,
Mo(l + k )
(2.36)
oder, mit Gin. (2.29),
D = eE
bzw.
B-nH
(2.37)
dargestellt, wobei
£ — £()£r ,
M= MOMr ,
£r = 1 + X i Mr = 1 + « •
(2.38)
e heifit Perm ittivitat. er Permittivitatszahl und % elektrische Suszeptibilitat, m ist
die Permeabilitat, Mr die Permeabilitatszahl und n die magnetische Suszeptibilitat.
H o m o g en es Materialverhalten bedeutet dann konstante Werte dieser Materialgrofien, im in h o m o g en en Fall konnen sie auf explizite Weise ortsabhiiugig sein.
N ic h tlin e a r wirkende Stoffe sind mit den gleichen Benennungen der Materialgrofien auch durch Gleichungen der Art (2.37) beschreibbar. falls ein eindeutiger
Zusammenhang zwischen D und E bzw. B und H besteht und falls weiterhin Isotropie vorausgesetzt werden kann. Die Werte der Skalaren £ und m hangen dann
von den Betragen E\ bzw. |/?| ab. Eine Erweiterung der linearen Gleichungen
(2.37) vom isotropen auf den a n iso tro p e n Fall ist unter Verwendung des Perinittivitiitstensors e bzw. des Permeabilitatstensors M moglich, beides Materialtensoren zweiter Stufe:
D = e E,
B*= f i - H .
(2.39)
Naturlich konnen auch hier andere physikalische Felder mit einbezogen werden.
Bedeuten z.B. a den mechanischen Spannungstensor und £ den Verzerrungstensor der linearisierten Elastizitatstheorie, so stellen sich die linearen piezoelektris c h e n M a teria lg leich u n g en in Bezug auf eine korperfeste, orthogonale Basis
3
3
tuXikEk +
Pi -
ffy = £
fc,f=i
E
C iw eu - t
fe=i
U ktie ki ,
n ijkE k
(2'40)
dai . Darin sind die Konstanten Xik die Koeffizienten des elektrischen Suzeptibilitatstensors zweiter Stufe (mit dem Einstensor S ist dann rw
£ = £o(<5
'ry + X) der
zugehorige Permittivitiitstensor), die Konstanten Ily* die Koeffizienten des piezoelektrischen Tensors dritter Stufe und die Konstanten Ciju die Koeffizienten des
elastischen Steifigkeitstensors vierter Stufe. Es bestehen immer die Vertauschungssymmetrieen
Xi h -
Xki
, rijj* — IIj;,
Ci jki
—
Cjt u — Cijik — CkHj ,
2.1
GLOBALE UND LO KALE EIGENSCHAFTEN
37
sodass selbst im allgemeinsten Fall hochstens G unterschiedliche elektrische Suszeptibilitatskoeffizienten, 18 unterschiedliche piezoelektrische Koeffizient.en und 21
unterschiedliche elastische Steifigkeitskoeffizienten existieren. Abhangig von der
Symrnetrieklasse (Kristallklasse), der das Material angehort, reduziert sich die Anzalil der unabluingigen Materialkooffizienten weiter. Beispielsweise gibt es in zentralsymmetrischen (inversionssymmetrischen) Werkstoften iiberhaupt keine nicht
verschwindenden Materialtensoren ungerader Stufe und damit auch keinen piezoelektrischen Effekt.
Materialgleichungen der Form (2.39) oder (2.40) beschreiben das Werkstoffverhalten lokal und instantan, d.h, Wertc physikalischer Grofien werden in einem
Korperpunkt zu einem Zeitpunkt mit Werten andcrer physikalischer GroBen im
selben Korperpunkt zuni selben Zeitpunkt verkniipft. Dies reicht aber nicht, iinxner aus, z.B. dann nicht, wenn ein Wert D(v, t) von alien Werten E{ f ' , t ' ) mit f '
in einer Umgebung von r und t' < t abhangt. N ich tlo ka les Verhalten muss etwa
bei sehr kurzen elektromagnetischen oder akustischen Wellen beriicksichtigt wer­
den, bei Wellenlangen in der Grofienordnung der Gitterkonstanten. N ic h tin s ta n ta n e s Verhalten macht sich vor allem durch molekularo, atomare oder elektronische Tragheitseffekte bei grofien zeitlichen Anderungsrateii, also hohen Frequenzen
benierkbar. Im Allgemeinen benotigt man dann anstelle der Materialfunktionen
Funktionale, d.h. es werden nicht Werte auf Werte, sondern Funktionen auf Werte
abgebildet. In eiufachen Fallen reicht die Aufnahmc riiuinlicher und zeitlicher Ableitungen der FeldgroBen in die Variablenliste aus, oder auch Spektraldarstelhmgen
der Art
D( k , w) = e{jz,w) - E(k, w) ,
B(k, w) =
■H( k , u)
(2.41)
mit Materialtensoren £ und ti, deren Werte vom Ausbreitungsvektor k und von
der Kreisfrequenz w abhangen.
F errom agnetische, ferroelektrische und ahnliche Materialien bilden unterhalb gewisser Grenztemperaturen meist eine Domanenstruktur aus mit typischen
Donianenabmessungen, die im Bereich zwischen einer mikroskopischen und einer
makroskopischen Skala liegen. Wir betrachten die elektrischen und inagnetischen
Felder hier in der Regel wieder als mittlere Felder, beriicksichtigen also nicht die
raumlichen und zeitlichen Fluktuationen zufolge der Domanenstruktur.
Typisch fiir ferromagnetische Stoffe ist die Erscheinung der magnetischen Hysterese und damit die Moglichkeit einer groben Charakterisierung durch Kennwerte wie Remanenzfiussdichte, Koerzitivfeldstarke und Sattigungsmagnetisierung.
H a rtm a g n e tisc h e W e rk sto ffe besitzen vergleichsweise groBe Koerzitivfeldstarken. Ein besonders einfaches mathematisches Modell ist das der sta rre n M agnetisieru n g
B = fi0H + B r ,
B r = fi0M { f ) ,
(2.42)
bei dem das Vektorfeld der Remanenzfiussdichte oder, aquivalent, der Magnetisierung als Ortsfunktion explizit vorgegeben ist, unabhangig von den Werten von
B oder H. Anwcndbar ist diese Materialgleichung haufig fur moderne Dauermagnetwerkstoffe im Bereich H\ < |B r j//(0. W eich m a g n etisch e W e rk sto ffe sind
dagegen durch kleine Koerzitivfeldstarken gekennzeichnet und, wenn Hysterese
2
EIGENSCH AFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
iiberhaupt vernachlassigt werden kann, durch grofie Permeabilitatszahlen unterhalb der Sattigung. Als erste Naherung oder wenn hauptsachlich das Magnetfeld z.B. im angrenzenden Luftraum interessiert, erweist sich oft das Modell des
ideal m a g n etisierb a ren K o rp e rs als brauchbar, d.h. H = 0 in alien inneren
Korperpunkten, unabhiingig von B, natiirlidi nur unterhalb der Sattigung. Ansonsten verwenden wir Materialgleichungen der Focm (2 .37)2 oder (2 .39)2 mit
koristanten oder feldstarke- bzw. flussdichteabhangigett'PenneabilitatsgroBen. Voraussetzung dafiir sind vernachlassigbare Remanenzflussdichten und Koerzitivfeld-
3%T?
Erganzungen fur bew egte Korper
Elektromagnctische GroBen haben wir bislier in Bezug auf ein festgclcgtes Inertialsystem (,,Laborsystem” ) interpretiert und auch alle Korper als ruhend in dieseni
System angenommen. Gibt es bewegte Korper, so sind Erganzungen erforderlich.
Angenommen, in einem Raumbereich ist ein Geschwindigkeitsfeld gegeben, das
jedem Rauinpunkt r zu jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v(f, t) des gerade
doit befindlichen Korperpunktes zuordnet, und zwar in Bezug auf unser festes
Inertialsystem. Ausgehend von den Feldern E, B. H, D, M, P , J und g definieren
wir neue Felder
E' = E + v x B , B'
H ' = H —v x D , D '
f r = M + v x P , P'
J ' = J —VO ,
q'
—B ,
= D ,
= P ,(2 .4 3 )
= o
mit folgenden interessanten Eigenschaften. Sie lassen sicli im Rahmen einer n ich tre la tiv istisc h e n K in e m a tik inteipretieren als die elektrische Feldstarke, die
magnetische Flussdichte usw. in Bezug auf die bewegten Korperpunkte. Wenn wir
also die lokalen elektromagnetisehen GroBen von einem Bczugssystem aus betrachten, das sich momentan mit dem Korperpunkt bewegt, so lassen sich zwar die Werte von B. D. P und o direkt als Werto aus dem festen Raumpunkt ubernelimen, der
gerade mit unserem Korperpunkt zusaminenfallt, die Werte von E, H , M und J
sind jedoch wie angegeben zu transformieren. Tatsadilich stelien die Gin. (2.43) ei­
ne Version fiir kleine Geschwindigkeiten |?7! <£ c() der Lorentz Transformation dar,
die das Transform at ions verbal ten der lokalen elektromagnetisehen GroBen beim
Ubergang von einem Inertialsystem zu einem anderen im Rahmen der relativistischen Physik erfasst.
Als wichtigste Konsequenz dieser Interpretation haben wir lokale M a te r ia l­
gleichungen fur bewegte Korper mit den g e stric h e n e n G ro fien zu formulieren,
also z.B. das lokale ohmsche Gesetz (2.34) in der Form
J ' = 7 E 1,
d.h.
J - vo = 7 (^E + v x B^j
(2.44)
zu schreiben. Verkntipft werden hier in Bezug auf den bewegten Korper die elektri­
sche Feldstarke E ’ und die elektrische Stromdichte J ' . Letztere heiBt auch K o n d u k tio n sstro m d ic h te (Leitungsstromdidite). Zusammen m it der K o n v e k tio n sstro m d ic h te vg bildet sie gemaB Gl. (2 .43)7 die im Laborsystem beobachtete
2.1
GLOB A LE UND LO K ALE EIGENSCHAFTEN
39
Stromdichte J. Davon beeintrachtigt werden naturlich nicht die allgemeinen Verknupfungsbeziehiingen (2.29),
D - S{)E + P = £oE + P'
H = — B —M = — B — M ' + v x P ' .
Ho
(2.45)
Vo
Eine weitere wichtige Konsequenz betrifft die globalen E ig e n sc h a fte n des
elektromagnetischen Feldes, zusammcngefasst in den Satzen der zweiten Spalte
von Tab. 2.1. Sie gelten in der gleichen Form auch fiir Bereiche und deren Rander,
die vom Geschwindigkeitsfeld mitgefiihrt werden, fiir m a te rie lle B ereiche. Allerdings sind in den Integraldarstellungcn dann die gestrichenen Felder zu verwenden.
Bemerkbar macht sich das in den Spannungen und in der Stromstarke,
U {tf) =
J s-E'ds ,
V(tf)=
V
j s -H'ds ,
I ( t f ) = J f i J ’d A .
V
(2.46)
si
Insbesondere ist also einer bewegten Kurve
i.A. ein anderer Wert der elektri­
schen Spannung zugeordnet als der raumfesten Kurve, mit der ‘is? momentan ziisammenfallt. Aufierdem ist bei der Berechnung der zeitlichen Anderungsraten von
Fliissen an materiellen Flachen Folgendes zu beachten. Sei F eine Flussgrofie, F
das Vektorfeld der zugehorigen Flussdichte und t { s / ) die zeitliche Anderungsrate
des Flusses an -v/ ,
r(.tf) = j n -FdA
,
f{.sf) =
-^
v?
jFi F d A
.
( 2 . 47 )
xe/
Im zweiten Integral kann nun die Zeitableitung nicht einfach wie fiir raumfeste
Flachen als partielle Zeitableitung dtF unter das Integral gezogen werden, weil
sich fff mit der Zeit ebenfalls iindert, sondern es gilt die Vertauschungsregel
— J i l F d A ^ j n ■(dfF^j <\A ,
srf
(2.48)
a/
wobei
d$F ^ d , F + v V - F- \ V x ( F x v )
(2.49)
die m itg esch lep p te Z e ita b leitu n g fiir vektorielle Flussdichten bedeutet. Damit
ausgeriistet konnen wir iiber die Satze von Gau8 und Stokes wieder zu den lokalen
F o rm en und den Sprungbedingungen an m a te rie lle n F la ch en iibergehen,
V x E‘ ^
V •B =
V x H' =
V -D .
-dfB ,
0,
J ’ + df D ,
<?,
n x [£ ']
«•[£]
n x \H'}
* .[ 5 |
= 0,
= 0,
= K 1,
=
Jt*J ir
(2.50) a d k x J
K ' ist der konduktive Ariteil der Flachenstromdichte. Die erste dieser Gleichungen,
das lokale Induktionsgesetz, lautet mit (2.43) i und (2.49)
V x {E + v x B ) = - d tB - v V
V
k
B - V x {^BxiJj ,
( P k B) =
( & « $ )
=>
(2.51)
J
^
t ,j
k~ ’
A*
biJs^cShtAiJii?
'T .
<3
2
40
EIGENSCHAFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
worin der zweite Term auf der rechten Seite wegen V ■B ~ 0 verschwindet und
sich der dritte Term rechts mit dem zweiten Term links weghebt. Wir werden also
wieder auf unsere ursprimgliche lokale Form des Induktionsgestzes zuriickgefiihrt.
Ahnliches lasst sich auch ftir die anderen Gleichungen zeigen, unser System ist also
konsistent. Anderungen gegeniiber den Ausdriicken in Tab. 2.1 erfahren lediglich
die Sprungbedingungen, weil sie nun fiir bewegte Sprungfiachen gelt.en. Zusanimenfassend haben wir also bei A n w e s e n h e it bew egter K o r p e r die M a x w e llG leichungen und Sprungbedingungen a n m a te r ie lle n F lachen
V x l
V-B
VxH
V -D
= —dtB ,
= 0,
= J ' + vg + d , D ,
= q,
nx[£]
n- [ B]
f i x [B]
H- [D\
=
=
=
=
vn [ B\ ,
0,
K ' + va
cr ,
vn{D\ ,
(2.52)
(vn — v ■n ist die Normalgeschwindigkeit der Sprungflache) zusammeu mit den
allgemeinen Verknupfungsbeziehu ngen
D = e0E + P .
H —— B - M ' + v x P .
(2.53)
fto
Wir lassen darin die gestriclienen Grofien J 1, K ' und M ' stelien, weil meistens
diese und nicht J, K bzw. M durch Materialgleichungen bestimmt werden.
Ausgewahlte Literatur
Von den vielen empfehlenswerten Biicheru zur elektromagnetischen Feldtheorie
mochte ich besonders hervorheben
H. Hofmann: Das elektromagnetische Feld, 3. Aufi. Wien: Springer,
1986.
J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 2nd ed. New York: Wiley,
1975.
R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: Feynman Vorlesungen iiber
Physik, Bd.2. Munchen: Oldenbourg, 1987.
Das Werk von Hofmann enthalt aufierdem eine sehr klaro Darstellung des Ursprungs und der Bedeutung der fiktiven Strome und Ladungen wie auch der da­
mit verkniipften Modelle. Saubere Begriindungen fiir makroskopische Feldgrofien
in Korpern auf mikrophysikalisclier Basis bietet
S.R. de Groot, L.G. Suttrop: Foundations of Electrodynamics. Amster­
dam: North Holland. 1972.
Allgemeine makroskopische Eigenschaften von Kristallen finden sich besonders gut
lesbar in
J.F. Nye: Physicxd Properties of Crystals. Oxford: Clarendon Press,
1976.
Zum Thema Materialgleichungen ist die Werkstoffiiteratur interessant, besonders
hervorzuheben
2.2
DIE FELDGLEICHUNGEN IN SONDERFALLEN
G. Fasching: Werkstoffe der Elektrotechnik. Wien: Springer, 1984.
Ein Klassiker ist
Ch. Kittel: Einfiihrung in die Festkorjierphysik, 7. Aufl. Miinchon: Oldenbourg, 1988.
2.2
D ie Feldgleichungen in Sonderfallen
Die Kopplungen der Maxwell Gleichungen untereinander erfolgen einerseits iiber
die zeitlicheu Anderungsiaten der Felder, andererseit.s iiber Materialgleichungen
und die Bewegung von Korpcrn. Sind einige dieser Kopplungen schwach oder
iiberhaupt nicht vorhanden, so ergeben sich z.T. betrachtliche Vereinfachungen.
Statische elektrische Felder
Nehmen wir zuerst an, keines der Felder hange vonder Zeitab. Fiirdie Verteilungen der elektrischen Spannung und des elektrischen Flusses giltdann im ganzen
Raum
,
U{dsf ) = 0 ,
0j " n
${dt)=Q{V) ,
und iiber die Integraldarstcllungen folgt
V x E = 0 , n x [Ej = 0 ,
V ■D — o , n - [ D ] = < r .
(2.54)
$,s~j
tt
. ^
(2.55)
Gl. (2.54)j begrundet den elektro sta tisch en Spannungsbegriff, im Speziellen,
dass jeder Kurve
gleicher Orientierung zwischen zwei vorgegebenen Punkten
in einem elektrostatischen Feld der gleiche Wert U{%') der elektrischen Spannung
zugeordnet ist. Aquivalent dazu ist die Aussage der W irbelfreiheit d er elek­
trisc h e n Feldstarke, lokal ausgedriickt in den Gin. (2.55)i,2- Nicht an die Elektrostatik gekniipft ist Gl. (2.54)2. In den zugehorigen lokalen Aussagen (2 .5 5 )3,4
werden die Quellcndichten des elektrischen Flusses festgelegt. Zusatzlich benotigen
wir noch eine Verkniipfung zwischen den Feldern E und D, direkt iiber Materialgleichungen oder iiber die allgemeine Verkniipfungsbeziehung
D = e0E + P .
(2.5C)
P, o und it sind entweder als zeitlich konstante Felder vorgegeben, oder sie hangen
auf bekannte Weise von der elektrischen Feldstarke ab. Feldprobleme dieser Art
werden wir in den Abschnitten 3.1 und 3.2 behandeln.
Stationare elektrom agnetische Felder
Die vorausgesotzte Zeitunabhangigkeit bedeutet fiir die Verteilungen des niagnetischen Flusses und der magnetischen Spannung
$(dV) - 0 ,
oder lokal
v(d*/) - I(sf) ,
(2.57)
2
42
V •B - 0 ,
V x H ^ J ,
EIGENSCH AFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
n • [BJ = 0 ,
n x [# ] = /? .
(2.58)
Gl. (2.57) i ist nicht an die Zeitunabhangigkeit gebunden.Die zugehorigen Gin.
(2.58) 1,2 driicken die universelle Quellenfreihelt der magnetischen Flussdichte aus.
Der Durchflutungssatz (2 .57)2 legt in der lokalen Form (2 .5 8 )3,4 die elektrische
Stromdichte als Wirbeldichte der magnetischen Feldstarke fest. Daraus folgt wei-
I{dT) - 0 ,
V -J - 0 ,
ji - [JJ - 0 ,
(2.59)
die elektrische Stromdichte ist also quellenfrei.Voraussetzungsgemafi andert sich
die Stromverteilung nicht. W ir sprechen deshalb von einem stationaren elektri­
schen Stromungsfeld und nennen ein damit verkniipftes Magnetfeld ebenfalls stationar. Auch „statisches Magnetfeld” oder „Magnetostatik” sind als Benennungen
gebrauchlich, wenn auch i.A. nicht ganz treffend.
Die zusatzlich notwendige Verkniipfung zwischen B und H wird direkt durch
Materialgleichungen geliefert, oder iiber die allgemeine Verkniipfungsbeziehung
H ^
1 B- M .
Mo
(2.60)
M, J und I\ sind im Einklang mit (2.59) entweder als zeitlich konstante Felder
vorgegeben, oder sie hangen auf bekannte Weise von B bzw. H ab. In den Abschnitten 3.4 und 3.5 werden wir diese Feldprobleme genauer untersuchen.
Bezogene FeldgroBen und charakteristische Param eter
In den meisten Anwendungen der elektromagnetischen Theorie kann vollstandige
Zeitunabhangigkeit nicht vorausgesetzt werden. TVotzdem sind fiir unterscliiedliche Klassen von Problenien die Kopplungen zwischen den Gleichungen oft von
ganz unterschiedlichem Gewicht. Um hier einen Ansatzpunkt fiir die Auswahl der
passenden Feldgleichungen zu finden, brauchen wir eine Methode zur Abscliatzung
der relativen GroBenordnungen der einzelnen Terme.
I 11 Bezug auf ein vorliegendes Problem wahlen wir als representative Grofien
L
charakteristische Liinge,
T
charakteristische Dauer,
charakteristische materielle Geschwindigkeit,
vo
charakteristische Werte der Konduktivitat,
7 , e, fi
Perm ittivitat und Pernieabilitat,
charakteristische
Betrage der elektrischen Feldstarke
Eo, Bo
und magnetischen Flussdichte,
und fiihren damit die bezogenen Variablen
E - E / E 0 , B = B / B o , H = H ^ / B 0 , D = D/ ( e E0) ,
J - f / ( j E 0) , § ~ qL/ ( £E0) , K = Kf i / Bo , a = a / ( e E 0) ,
v - v/vn
2.2
DIE FELDGLEICHUNGEN IN SONDERFALLEN
<13
ein, zusammen mit den Differenzialoperatoren
V = LV ,
(2.62)
dt = Tdt .
Weiters verwendcn wir als Abkiirzungen die Relaxationszeitkonstante T r , die elek­
trische Reynoldszahl R e und die Geschwindigkeit c,
Tr -
Rp =
1
ev0
(2.63)
c=
lL
Unsere MaxwelhGleichungen
V x£
V -B
V x B
V -B
= - d tB ,
= 0 ,
= J+dtD,
= q,
n x [BJ
n • [B |
n x [B]
n-lD]
—
vn
= 0 ,
lf\
= K =
a
und die nichtrelativistischen Transformationsboziehimgen
E' = E + v x B ,
H' = H - v x D ,
J' = J — VQ ,
K ' = K —va ,
B' = B ,
D' = D,
Q' = Q ,
a' = a .
(2.65)
lassen sich damit in den bezogenen Formen
\L B 0
d,B,
TEo
-■> « A
V -B = 0 ,
' L
L_
Bo]
Vx H =
J +
cT
cTr
V xB = -
elarvJviQis'
sj>
1o
Ep '
dtD ,
cB q
V D = g,
n x [£] -
M o '
I E0 «n [B]
(2.66)
,
n - [B] = 0 ,
« x \H] = K n •p i = a
Vo Bo
c cB0
,
und
^0^0
{? x B ,
Bo
Wo Bo
H' = B vx D,
c cB0
E' = E +
J ’ = J - \ R c] v q ,
vq Bo
A-' = A' c cB q
B' =- B ,
D' - D ,
(2.67)
e' = e ,
Cr' — O' ,
44
2
EIGENSCH AFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
schreiben. Die als positiv vorausgesetzten Vorfaktoren in den cckigen Einfachklammern stellen typische Kombinationen der Dimension 1 dar. Angenonnnen, die Bezugswerte lassen sich fiir ein vorliegendes Problem mo wahlen, dass die Betrage von
V x £ , di.B, J usw. jeweils die GroBenordnung 1 besitzen. Es bestimmen dann die
Vorfaktoren die Grofienordnungen der einzelnen Terme und damit deren Bedeutung. Wir werden hier die beiden wichtigsten Fiille vereinfachter Feldgleichungen
betrachfcen.
Das dominant elektrische Feldsystem
Nehmen wir zuerst an, die elektrischen FeldgroCen sind fiir die Beschreibung der
dynamischen Vorgange weit wichtiger als die magnetischen. Mit unseren BezugsgroBen lasst sich das durch die Bedingungen
J sr^
| f « l ,
(2.08)
ausdriicken, wodurch die rechten Seiten der Gin. (2 .6 6 ) 1,5 und der zweite Term in
Gl. (2.67) 1 vernachlassigbar klein sind. I11 nicht bezogcnen Variablen folgen darans
die Gleichungen
Vxlaff,
V ■£> = Q;
n x [£] ^ 0 ,
n-\D \=o
(2.69)
und aus Gl. (2 .6 6 )3 ,
V x H = J + dtD ,
(2.70)
folgt allgemein die Kontinuitatsgleichung
v - . ; - - di e.
( 2 .7 1 )
Weiters haben wir die Transformationsbeziehungen
E' ■
— E , D' — D , q' = g , a’ = a ,
H' — H —v y. D , J' = J - vo , K ' ^ K - v o
{2.12)
und noch weitere Gleichungen zur Beschreibung desMaterialverhaltens.
Die Gin. (2.69) sind formal die Gin. (2.55) der Elektrostatik, obwohl nun die
Felder durchaus zeitabhangig sein konnen. Magnetische Felder infolge konvektiven oder konduktiven Ladungstransports sind i.A. vorhanden, ihre Riickwirkung
auf die elektrischen Felder iiber das Induktionsgesetz ist aber unbedeutend. Man
spricht deshalb auch von Q uasi E lektro sta tik. Es ist hier wichtig, Folgendes zu
erkennen: Die Entscheidung, ob eine quasi elektrostatische Situation vorliegt und
damit z.B. der elektrostatische Spanuungsbegriff (Wirbelfreiheit der elektrischen
Feldstarke) anwendbar ist, hiingt nicht allein von den zu erwartenden zeitlichen
Anderungsraten der Felder ab. Beispielsweise ist bei zeitlich rasch veranderlichen
Vorgangen typisch Eq — cB 0 und damit folgt aus (2.68) 1 die Bedingung L/ (cT) <g. 1
Sie kann selbst fiir grofie Frequenzen / - 1/T durchaus erftillt sein. wenn etwa ty­
pische Bauelementabniessungen L hinreichend klein sind. Eine Zusammenstellung
der Gleichungen des dominant elektrischen Feldsystems gibt Tab. 2.2.
2.2
DIE FELDGLEICHUNGEN IN SONDERFALLEN
45
Das dominant m agnetische Feldsystem
Im zweiten Fall sollen die magnetischen FeldgroBen fur die Beschreibung der dynamischen Vorgange weit wichtiger sein als die elektrischen, ausgedriickt mit unseren
Bezugsgrofien durch die Bedingungen
4
cT
cB q
C
cUq
< 1,
(2.73)
und in elektrisch leitfahigen Korpern zusatzlich
Tr /T < 1 ,
Rc
1.
(2.74)
Wegen der letzten Bedingungen sind im Inneren von Korpern keine vvesentlichen
Ladungsansannnlungen moglich. deren Anderungen zu merkbaren Verschiebungsstromen oder Konvektionsstromen fiihren. Aus den Gin. (2.66) folgt damit nach
Riickkehr zu den Originalvariablen
*
V •B = 0 ,
V x tf = j \
sowie
n ■[BJ = 0 ,
n x [J?] - K ,
M o (l
P
^
s jf
(2.75)
oi
V x E = - d ,B ,
a x j£ j = vn\B \ .
(2.7G)
Gl. (2.75)3 impliziert die Quellenfreihcit der elektrischen Stromdichte,
V . / . O .
^
Die allgemeinen nichtrelativistischen Transformationsbqziehungcn reduzieren sich
auf
B’ = B , H' = H ,
E' = E + v x B ,
J'-J,
Vcasca/ eta.'
A" = I< ,
(2.78)
elektrische Ladujigen spielen also in diesem System keine Rolle, und es gibt auch
keine Konvektionsstrome.
Die Gin. (2.75) entsprechen den Gin. (2.58) des stationiiren magnetischen Feldes, nur sind die Felder hier i.A. zeitabhangig. Infolge des Induktionsgesetzes
und wegen der Leitungsstrome gibt es zwar i.A. elektrische Felder, diese wirken
aber hochstens iiber die quellenfreien Leitungsstrome, nicht iiber Verschiebungsstrome auf das Magnetfeld zuriick. Man nennt dieses System deshalb auch quasista tio n iire s elektrom agnetisches Feld. Die zugehorigen Gleichungen sind in
Tab. 2.2 nochmals zusammengestellt.
A usgew ahlte Literatur
R.M. Fano, L.J. Chu. R.B. Adler: Electromagnetic Fields, Energy, and
Forces. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press. 1968
enthiilt eine Diskussion zeitlich veranderliclier Felder mit Hilfe von Zeitreihenentwicklungen. Die Begriffe des dominant elektrischen und des dominant magne­
tischen Feldsystems werden ausfUhrlicli behandelt in der sehr empfelllenswerten
Monographie
■<*_
EIGENSCHAFTEN
ELEKTROMAGNETISCHER
FELDER
T a b . 2 .2 : Gleichungen des dom inant elektrischen und des dom inant magnetischen Feldsystenis. Sie sind noch durch Gleichungen zu erganzen, die das
M aterialverlialten beschreiben. Die Sprungbedingung in Zeile 3 ist oline Flachenstrom forrnuliert.
2.3
ENERGIE UND IMPULS
47
P. Penfield, H.A. Haus: Electrodynamics of Moving Media. Cambridge,
Mass.: M.I.T. Press, 1967.
Zahlreiche Anwendungen bringt
H.H. Woodson, J.R. Melcher: Electromechanical Dynamics, parts I, II,
III. New York: Wiley, 1968.
2.3
E nergie und Im puls
Voin Standpunkt der Feldphysik aus bilden elektromagnetische Felder selbst dynamische Systemo. Sic konnen Energie und Impuls speichorn, fortleiten und auch
mit anderen dynainischen Systemen austauschen. Die Wechselwirkungen, die zu
einem Austausch von Energie und Impuls fiihren, zeigen sich in Leistungen und
Kraften.
Bilanzgleichungen fiir Energie und Impuls
Wir betrachten zuerst ein abstraktes dynamisches System. In der Sprache der Feld­
physik sind GroBen wie Energie und Impuls im Raum oder zumindest in Raumbereichen im Wesentlichen kontinuierlich verteilt. In Bezug auf ein In e r tia ls y ­
s te m ordnen wir dann jedem raumfesten Volumen Y zu jedem Zeitpuukt seinen
E nerg iein h a lt W ( Y ) und seinen Im pulsinha.lt G( Y) zu. Durch jede orientierte Flache .of tritt auiierdem i.A. ein E n erg ieflu ss Q[s&) und ein Im p u lsftu ss
P(.c/), und wir haben i.A. auch mit P ro d u k tio n sra te n R ( Y ) von Energie und
F ( Y ) von Iinpuls zu rechnen. Wie diese Grotien zusaimnenhangen, wird durch die
B ila n zg leich u n g en
v % ( r ) + Q ( d r ) = R(r),
S { Y ) + P{ d Y) = F{Y%
(2.79)
beschrieben, konsistent orientierte Bereichc vorausgesetzt. Gl. (2.79)i besagt, dass
die zeitliche Zunahmerate der in Y enthalt.enen Energie zusammen mit dcin Ener­
giefluss durch den Rand d t genau gedeckt werden muss durch die Rate dor Energieproduktion in V, genannt L eistung. Verschwindet die Energieproduktion fiir
beliebige Bereiche, wie das bei vollstandigen Systemen immer der Fall ist, so ergibt
sich die E rhaltungsgleichung d e r Energie. Analog driickt Gl. (2 .79)2 aus: Die
zeitliche Anderungsrate des in Y enthaltenen Impulses wird zusammen mit dem
Impulsfluss durch d Y genau von der Rate der Impulsproduktion in Y , genannt
K ra ft, gedeckt. Bei vollstandigen Systemen verschwindet immer die Impulspro­
duktion fiir beliebige Bereiche, wir werden dann auf die E rhaltungsgleichung
des Im p u lse s gefiihrt.
Der Ubergang zu den lokalen Fonnen der Bilanzgleichungen gelingt iiber die
Darstellung der GroBen als Integrale von Dichten. W ir werden hier wieder singulare Flachen
mit einbeziehen, die als Trager von Flachenverteilungen bzw.
als Sprungflachen fungieren. Bezeichnet S ? ' den im Raumteil f liegenden Teil von
y und Y ‘ den Bereich Y ohne y , so sclireiben wir
2
48
EIGENSCHAFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
J W(\V , Q{.v/) = Jn- qdA ,
■cs'
R(V) = j r d V + J rs dA
W{T) =
r
(2.80)
mit der E nergiedich te w, der E n erg ieflu ssd ich te q, der (Volums-)
L e istu n g sd ic h te r und der F ld ch en leistu n g sd ich te r s. Flacheneneigien und
zusehoriee Fliisse bleiben hier a niter Betracht. Ahnlich fuhren wir iiber
c c n = J gdV ,
r
P(.c/) = J n
pdA
ai
^2'81^
F { Y ) = J f d v + J IsdA
v
y
die Im p u lsd ic h te g, den Tensor zweiter Stufe V der Im p u ls flu ssd ic h te , die
(Volums-)K ra ftd ic h te f und die F la ch en kra ftd ich te f s ein. Damit foigen aus
den Gin. (2.79) die lokalen B ila n zg leich u n g en von Energie und Impuls und die
zugehorigen Sprungbedingungen an singularen Flachen (Normalgeschwindigkeit
Vn)
fC d tw + V • q = r ,
V i + V - P =/,
-v „ |w ] + n ■[<f] = r s A £
-«„!£] + n - [p] = / s .\ 1
(2.82)
Bei der Untersuchung eines konkreten dynamischen Systems ist nun festzulegen, wie die eingefuhrten Dichten zumindest grundsatzlich von anderen lokalen
Feldvariablen abhangen. Beispielsweise ist fiir ein re in m ech a n isch es, ela stisches M e d iu m mit der Massendichte Qm und dem materiellen Geschwindigkeitsfeld v
9 = Qt,lV,
V - Qmv © V- <j ,
w — kgmv 2 + e ,
a — wv —a -v:,
r = / -v ,
r s — f s-v .
(2.83)
Die Impulsflussdichte, in diesem Fall auchD ru c k te n so r genannt, enthalt neben dem kinetischen Druck gmv © v den negativen elastischen Spannungstensor
ct. Die Energiedichte setzt sich aus der Dichte der k in e tisc h e n E nergie und der
Dichte e der gespeicherten e la stisc h e n E nergie (Verzerrungsenergie) zusammen,
wahrend die Leistungsdichten hier aus den Leistungen allein der Kraftdichten bestehen. Ubrigens erfiillt die Massendichte die lokale Erhaltungsgleichung (Kontinuitatsgleichung)
diQm + V • {vQm) -
0,
(2.84)
und damit folgt aus der lokalen Iinpulsbilanz (2 .8 2 )3,4 die kinetische Grundgleicliung der Kontinuumsmechanik ( 1 . Gesetz von Cauchy)
Qmidtv + v • W ) — V • a
+
/,
-?T■\a \ = / s.
(2.85)
2.3
49
ENERGIE UND IMPULS
Weitere Festlegungen betreffen die Abhangigkeiten der GroBen <7 und e von den
VerformungsgroBen iiber Materialgleichungen.
In etwas komplizierteren Medien, etwa in Gasen bei grofien Dichteauderinigen
oder in thermoelastischen Festkorpern, sind auch thermodynamische Variablen zu
beriicksichtigen. e wird dann zur Dichte der inneren Energie, q enthiilt zusatzlich
die Warmestromdichte, und in den Leistuugsdichten r und r “ kann es weitere
ierm e geben, z.B. infolge Absorption von Strahlung. Auch elektromagnetische
Effekte lassen sich einbeziehen.
In der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit Korpern entstelien Kraf
te und Leistungen. Wenn aber Energie und Impuls universelle Erhaltungsgrofien
sein sollen, deren Produktionsraten fiir ein vollstandiges System immer verschwinden, so muss es entspreehende Energie- mid ImpulsgroBen auch fiir elektromagne­
tische Felder geben. Dass die Einfuhrung solcher GroBen tatsachlich moglich ist
und damit die grundlegenden Erhaltungssatze giiltig bleiben, werden wir gleich
sehen.
Bei der Untersuohung anspruchsvoller Probleme des Verhaltens von Korpern
unter dem Ein H u s k elektromagnetischer Felder ist das Arbeiten mit vollstandigen
Systemen haufig uinstandlich und konkreten Modellbildungen wenig zutraglich. Es
erweist sich dann als hilfreich, ein vollstandiges System in einzelno, m ite in a n d e r
w echselw irkende T eilsystem e aufzuspalten. W ir werden hier in der Regel ein
m a te rie lle s T e ilsy ste m und ein e lektro m a g n etisch es T eilsystem betrachten,
dtwm + V ■q m
dtg m + V - Vm
rm , -w„[wml
- r , - v n [£'m]
dtwe + V • q* = r c ,
dtg e + V ■P e = f e ,
+ n ■\q'm]= r sm ,
+ n ■[£ m]= f sm ,
■ u „ K l + n • [ ^ 1 = ?'se ,
u„l9el + n - l P cl = / ' c ,
(2.8G)
(2.87)
die zusammen ein vollstandiges System bilden, d.h.
w —w m + we , q = q'u + q e ,
P m + P c
( 2 . 88 )
0 = r m + r c ,0 =; r sm + rsc ,
0 - fm+fe,
0 - f am + f se .
(2.89)
g -
qm + q e ,
V =
Die Summen der jeweiligen Dichten und Flussdichten ergeben also die entsprechenden Grofien des vollstandigen Systems. Innerhalb der Teilsysteme wird i.A.
auch Energie und Impuls produziert; aber alles, was davon in einem Teilsystem
auftaucht, muss gemafi Gin. (2.89) im anderen vcrschwinden.
Neben den Erhaltungsgleicliungen fiir die Energie mid den Impuls gibt es auch
eine B rhaltungsgleichung fii r den D rehim puls. Sie wird dann wichtig, wenn
Verteilungen des inneren Drehimpulses (Spin) makroskopisch beriicksichtigt wcrden miissen. Als Produktionsterme in den Teilsystemen ergeben sich dann i.A.
verteilte Drehmomente. Werden innere Drehinipulsverteilungen
d.h. Drehimpulse, die sich durch das makroskopische Geschwindigkeitsfeld und die Massenverteilung allein nicht erfassen lassen
vernachlassigt, was wir hier stets tun wollen,
50
2
EIGENSCH AFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
p
so fordert die Drehimpulserhaltung die S y m m e tr ie des Tensors zweiter Stufe P
d e r Im p u lsflu ssd ic h te f ii r e in vollstandiges S y ste m . Bei einer Aufspaltung
in Teilsysteme konnen die Einzelbeitrage unsymnietrisch sein, ihre Summe muss
aber einen symmetrischen Tensor bilden.
Elektrom agnetische Teilsystem e
Durch die Aufspaltung vollstandiger Systeme in Teilsysteme werden ursprunglich
innere Wechselwirkungen als Energie- und Impulsaustausch zwischen den Teilsysteinen, als Leistungen und Krafte, zumindest teilweise explizit gemacht. Es
gibt mehrere Moglichkeiten einer solchen Aufspaltung, und dainit unterschiediiche
elektromagnetische Teilsysteme.
Im e in fa c h ste n m a k ro sk o p isc h e n M odell erfolgt die Wechselwirkung zwi­
schen Korpern und elektromagnetisehen Feldern allein iiber Ladungen und Strome,
und zwar fiber jene Verteilungen, die gemafi Gin. (2.31) und (2.32) als effektive
Grofien
jf
?
f
0^K \
\
J e = J + dt.P + V x M , K e = K ~ v „ l P ] + 7 ^ J i f f ,
ge = q - ty ■p
a e = a - n ■[PJ ,
(2.90)
3^
s 'f
in der Form (2.30) der Maxwell-Gleichungen fur die Felder E und B vorkommen:
'V x E + dtB
V B
=
0,
n x [£?] —un [£?]
= 0,
n-|B ]
=
^ . j r y '- g e
£oV • E
Jc .
+
=
=
0,
0,
.
= ge
(2.91)
,£o n- [£] = <?e■
Die Sprungbedingungen wurden dabei so erweitert, dass sie auch an bewegten
Flachen gelten, insbesondere an den Oberflachen bewegter Korper. Die Dichten
der Produktionsraten von Energie (Leistungsdichte) und von Impuls (Kraftdichte)
im materiellen Teilsystem sind demgemafi
(2.92)
als einfache Verallgemeinerimg der bekannten Ausdriicke fiir „wahre” Ladungen
und Strome.
Wir fiihren nun ein paar Umformungen durch. Zuerst wird in Gl. (2.92) i J e
durch die linke Seite von Gl. (2.91)s ersetzt, 4
U
,
,,
r e = — J e ■E
<&rdf-<vcr»F
\
0 eiio
U
=
- — E - (v x B ) + e o E - d tE
=
— v ( E x B ) - — B - ( V x E ) + s 0E - d lE 1
v
'
und dann V x £ wegen (2.91) i dVirch —dtB . Dies liefert
\
^
dt ( ^ E 2 +
V2
2fi0 J
J+
V • C ^ - E X p ] = - j e - E = r e .(2.93)
^ }
2.3
ENERGIE UND IMPULS
51
Weiters driicken wir in Gl. (2.92)2 Qe und J e ebenfalls durch die linken Seiten der
Gin. (2.91)5,7 aus und benutzen wieder (2.91)i:
[ r ^ - c f E - .Vj kJ ^ -
sv E
-enE ( v ■E )
( v ■E j J + j j- B x ( v x B ) L „ (d ,E )
x E ) + / ^ B x ( v x b ) I+- e 0dt ( £ x b ) .
Die Identitat fur Vektorfelder / ,
/ x (V x / ) - / (V - / ) - V • Q / 2 <5 - I ® / ) ,
(2.94)
mit dem Einstensor 5 fiihrt schliefilich mit V • B = 0 auf
0t (e0E x b ) + V • ( ^ - E 2 +
= —geE — Je x B = fe .
6
- e0E ® E - ± B <8>B
(2.95)
Die Gin. (2.93) und (2.95) besitzen nun genau die Forinen (2.87) links. Wenn wir
also setzen
qe = — E x B ,
Ho
1 (2.96)
p e — we S £o E & E
B&B,
g e - £qE x B ,
~
~
/j.0
so haben wir damit das zu den Wechselwirkungstennen (2.92) gehorende elektromagnetische Teilsystem gefunden: Energiedichte w e, Energiefhissdichte q e, Impulsdichte g e und Impulsflussdichte Pj des elektromagnetischen Feldes sind identifiziert.
Die mit (2.92) vertraglichen Wechselwirkuugen an Sprungflachen bestimmen
wir am besten durch Einsetzen der Ausdriicke (2.96) in die Sprungbedingungen
(2.87) reclit.s. Spriinge von Produkten lassen sich iiber die Identitat
«'c = ^ E 2 +
B2
2
2/*o
[ /& <71 = 1/1® (a) + { /) ® I
(2.97)
umformen, wobei
< / > - i ( / m + /"> )
(2.98)
das arithmetische Mittel aus den Werten der Feldgrofie / unmittelbar vor und
hinter der Sprungflache bedeutet und in (2.97) das Tensorprodukt auch durch das
Skalarprodukt oder das Vektorprodukt ersetzt werden kann. Unter Verwendung
der Sprungbedingungen (2.91) rechts erhalten wir dann
rsm = -r»e = K e ■(E) ,
/« » =
= a e(E) + K c x (B) .
(2.99)
Bevor wir die dynamischen Eigenschaften des elektromagnetischen Feldes weiter diskutieren, mochte ich auf eine andere Moglichkeit. der Festlegung seiner dynanhschen Grofien eingehen. Die Aufspaltung in ein materielles und ein elektromagnetisches Teilsystem ist namlich keineswegs eindeutig. sondern hangt davon
2
2
52
i fa *
fljQ n r '
/!
j ■
/
EIGENSCHAFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
ab, welche Wechseiwirkting zwischen den Teilsystemen herausgehoben wird. Wir
konnten uns beispielsweise dazu entschlieBen, lediglich die Wechselwirkung iiber
die „wahren” Strome und Ladungen explizit zu machen und demgemafi von den
Leistungs- und Kraftdichten
rm = _ r e = J . £ ,
r*m = - r se = I< ■{E) ,
f m = - f e = gE + J x B . f am = - f sc = o{E) + K x (B)
(2.100)
auszugehen. Unter Verwendung der Maxwell Gleichungen in der urspriinglichen
Form (2.2(i) links erhalten wir daraus zunachst
re
-
d , ( E D j - (dt E ) - D + ( d ,B ) - H + V • ( e
fe
=
dt ( 5
X
x
h)
,
b ) + V • [B ■/ f £ - D ® E - B ® h ) +
( 2.101)
+ ( v ® EJ ■D - ( v ® £?) • H .
Angenommen, es gibt eine Dichtefunktion w(E, B) derart, dass
d w { E , B ) =D-<\E - H - d B .
(2.102)
Dann gilt
c),w = (d,.E) ■D - (chB ) • H ,
v t s » ( v ® £ ) - z 5 ^ .( v ® b ) -H ,
(2.103)
und die Gin. (2.101) werden zu
r e - dt ( E D - w) + V - ( f i x f l ) ,
/* -
8,
(l? x b )
V • [ ( b ■H + w ) £ - D ® E - B ® t f ] ,
(2.104)
besitzen also wieder die Form lokaler Bilanzgleichungen. Wenn wir schlieBlich setu f = E ■D —ui , qe = E x H ,
f)' = D x B ,
p e ~ ^B ■H +
S - D &E
B q H ,(2.105)
so haben wir dam it ein neues elektromagnetisches Teilsystem definiert. Eine Dich­
tefunktion w(E, B) der benutzten Art gibt es fiir eine recht weit.e Klasse homogener
Materialien — sie konnen durchaus nichtlinear und anisotrop sein — im Speziellen
fiir linear homogen isotrope Werkstoffe mit D —rE, H —B/fi:
*(g.B
(2.106)
Der Spezialfall mit linearen homogenen Materialgleichungen ist iibrigens auch
der historische Ausgangspunkt. Die Energieflussdichte des Systems (2.105) wird
traditionell mit dem Symbol S bezeichnet und heiBt nach ilirem Entdecker
P o y n tin g - Vektor,
S=ExH.
(2.107)
2.3
53
ENERGIE UND IMPULS
Die zu Gl. (2.101)i aquivalente, allein aus den Maxwell Gleichungen folgende Iden­
tita t
E ■dtD 4- H ■d ,B + V ■( e
x
J?) = - J ' E
(2.108)
oder. in integrierter Form,
j ( S ■dtD + H ■0 ,b ) dV + j n - ( E x H ) d A - - J J - E d V
r
B-v
-y
(2.109)
wird heute meist als P o y n tin g -S a tz bezeichnet. Sie bildet, wie wir gesehen haben, die Vorstufe zu einem Energiesatz der Elektrodynamik, d.h. zu einer Bilanzgleichung fiir die Energie eines elektromagnetischen Teilsystems.
Dass es mehrere sinnvolle Moglichkeiten der Definition von Energie- und ImpulsgroBen in elektromagnetischen Feldern gibt, braucht weiters nicht zu storen.
Es ist das vollstandige dynamische System mit seinen Erhaltungsgleichungen, das
physikalisch zahlt! Die Aufspaltung in Teilsysteme liangt von zugrundeliegenden
Modellen ab und kann den im speziellen Fall vorliegenden Wechselwirknngen weitgehend Rechnung tragen, ist letztlich aber willkiirlich. Wichtig ist, dass bei allgemeinen Untersuchungen die Abhangigkeiten insbesondere der Grofien des ma­
teriellen Teilsystems von den elektromagnetischen Variablen nicht zu stark eingeschrankt werden. So konnen wir beispielsweise i.A. nicht voraussetzen, dass
die Impulsflussdichte p m und damit der Spannungstensor oder auch die Energieflussdichte q ,n nur von den inechanisch thennodynamischen Variablen abhangt.
Einschrankungen dieser Art kommen erst den Materialgleichungen zu.
Ein Blick auf die beiden vorgestellten elektromagnetischen Teilsysteme (2.96)
und (2.105) mit (2.10G) zeigt, dass ihre dynamischen Grolien in elektrisch n ic h t
polarisierbaren u n d n ic h t m a g n e tisc h e n M ed ien (D — s 0E , H - B/ t i 0)
iibereinstimmen, insbesondere in materiefreien Bereichen. Weil dies auch fiir alle
anderen gebrauchlichen Systemaufspaltungen gilt, konnen wir dann einfadi von
einer „elektromagnetischen Energie”, einem ,,elektromagnetischen Impuls” usw.
sprechen. Diesen Fall werden wir im Folgenden naher betrachten.
Alle Ausdriicke (2.96) sind, das sei noclnnals bet.ont, in Bezug auf ein Inertialsystem erklart. Sie andern ihre Werte, wenn auf ein dagegen bewegtes Sy
stem iibergegangen wird. Es fallt zunachst auf. dass sich die e lektro m a g n etisch e
E n erg ied ich te w e additiv aus zwei Anteilen zusammensetzt, einem elektrischen
und einem magnetischen. Jeder dieser Summanden lasst sich fiir sich durch quasistatische bzw. quasistationare Betrachtungen gewinnen (langsames Aufladen eines
leeren Kondensators, langsamer Aufbau eines Magnetfeldes in einer leeren S])ule).
Die ,,statischen” Beitrage behalten also auch im allgemeinen Fall ihre Giiltigkeit.
Ahnliches gilt fiir die e lektro m a g n etisch e Im p u lsflu ss d ic h te p e. In einem
rein mechanisch thermodynamischen (ruhenden) Medium bezeichnet man die Im­
pulsflussdichte p meist als Drucktensor oder ihren negativen Wert —P als Span­
nungstensor. Man nennt deshalb —p e nach ihrein Entdecker auch M a xw ell
S p a n n u n g sten so r. Im mechanischen Fall gibt n ■p A die Druckkraft an, die an
einem (kleinen) Flachenstiick des Inhaltes A und der Normalenriclituug it von der
Vorderseite auf die Hinterseite ausgeiibt wird. Eine ahnliche Interpretation liefert
2
54
EIGENSCHAFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
im elektromagnetisehen Feld ein anschauliches Bild. Nehmen wir z.B. den magne­
tischen Teil von V ',
( 2 . 110)
Steht das bet.raohtete Flachenstiick senkrecht. zur Flussdichte, n also parallel oder
antiparallel zu B , B = ± B n , so gilt
( 2 . 111 )
An einem Flachenstiick parallel zur Flussdichte, n ■B = 0, ist dagegen
(2 .1 1 2 )
Wir konnen uns also vorstellen, dass entlang der magnetischen Flussrohren eine
Zugspannung wirkt und senkrecht dazu eine Druckspanmmg gleichen Betrages.
Die elektro m a g n etisch e E n e rg ie flu ssd ic h te q L und die e le k tro m a g n eti­
sche Im p u lsd ic h te y l hsingen wegen /iqCqCq — 1 gemafi
(2.113)
zusammen, eine Beziehung, die in der relativistisehen Elektrodynamik ihre tiefere Begriindung erfahrt. Verglichen mit mechanischen Impulsen makroskopischer
Korper sind elektromagnetische Impulse aufierordentlich klein und deshalb meistens vernachlassigbar.
Dom inant elektrische und dominant m agnetische Feldsysteme
Wenn, wie im Abschnitt 2.2 besprochen, entweder die elektrische oder die magne­
tische Komponente des elektromagnetisehen Feldes deutlich iiberwiegt, ergeben
sich Vereinfachungen.
Fur ein d o m in a n t elektrisch es F e ld sy stem leiten wir ausgehend von
(2.114)
und
(2.115)
fiber die Gin. (2.69) und (2.70) zusammen mit D = £qE + P wieder lokale Bilanzgleichungen der Form (2.87) fiir ein elektromagnetisches Teilsystem ab, wobei
we=
y
ge —
6
E2
,
,
qc= Ex H ,
Pe—
E
2 8 —eoE ® E .
(2.116)
2.3
ENERGIE UND IMPULS
A b b . 2 .1 : Ein KOrper beliebiger Beschaffenheit ist in ein
elektromagnetisclies Feld eingebet.tet. Berechnet werden die zugefilhrte Leistung und die resultierende K raft elektrom agnetischen
Ursprungs.
Diesem Feldtyp ist also insbesondere die Impulsdichte Null zugcordnet.
Bei einem d o m in a n t m a g n e tisc h e n F e ld sy stem gehen wir dagegen aus von
den Wechselwirkungstermen
r™ = - r e = J e - E =
(J+V x
M^ -E
} m = - f e = J e x B = ( j + V x A /)
x
,
B ,
(2.117)
und
r « n = _ r se = K * . ( £ ) = ^
+ jl x
/ « " = - / “ = K e x {§) = ( k + n x [JV/j)
;
x {B) .
(2.118)
Ein elektromagnetisclies Teilsystem folgt daraus iiberdie Gin. (2.75) und (2.70)
zusammen mit H — BI( j,q— M und den Definitionen
we ~ —— B 1 , q e = — E x B ,
2/io
Mo
g' - ^Q,
p< ^ 1 B 26 - — B ® B .
~
2/z0
~
IM)
^2-119)
Demnach verschwindet auch hier die Dichte des Feldimpulses.
Resultierende Krafte und Leistungen
Wir stellen uns einen K o rp e r beliebiger B e s c h a ffe n h e it vor, der im betrachteten Zeitpunkt einen Raumbereich Y endlicher Ausdchnung belegt. Die nahere
U m gebung des Korpers sei m a te rie fre i. Eine geschlossene Flache dY\ verlaufe
ganz in diesem leeren Raum, und zwar so, dass der von ihr berandete Bereich
unseren Korper in seinem Inneren enthalt (Abb. 2.1). Fiir vollstiindige Systeme
ist die Energie eine ErhaltungsgroBe, es gilt also Gl. (2.79) i in der Form
w{%) = ■Q(dn)
( 2 . 120)
2
EIGENSCH AFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
Nun verlauft aber d'/'i ganz im materiefreien Bereich, sodass die Energieflussdichte
q allein durch den elektromagnetisehen Beitrag q e = S = E x H gebildet wird,
unabhilngig von irgendwelchen Aufspaltungen in Teilsysteme. Wenn wir schliefilich
die Flache &f\ auf den Korperrand d f zusammenziehen, so folgt
W(f) - -
f ii •
ar
x i? ) dA .
(2.121)
Die Zufulirrate an Energie fiir den ganzen Korper - die von auflen insgesamt zu g e fu h rte L e istu n g ele k tro m a g n etise h e n U rsprungs ~ lasst sich allein iiber
den Fluss des Poynting Vektors durch die Hiille von aufien nach innen berechnen.
Wichtig ist. dass dazu die Feldgrofien E und H an der aufieren Seite des Ran des
verwendet werden. Einen z u sa tzlic h e n E nerg iea u sta u sch mit der Umgebung
auf n ic h t-e le k tr o m a g n e tis c h e m Weg, z.B. als Warmestrom oder als Leistung
von Kontaktkraften nicht-elektromagnetischen Ursprungs, konnen wir durch einen
zusatzlichen Energieflussterm Qne{OV) beriicksichtigen
W { T ) + Qm ( dV) = - f n - f E x H ^ d A .
dV
(2.122)
Audi der Im p u ls eines vollstandigen Systems ist eine E rhaltungagrofie, d.h.
es gilt Gl. (2.79)2 in der Form
G{%) = ■ P ( d r i) .
(2.123)
Der elektromagnetische Beitrag zum Gesamtimpuls ist fiir nahezu alle technischen
Anwendungen vergleiehsweise extrein klein (im dominant elektrischen oder domi­
nant magnetischen Feldsystem ist er liberhaupt gleich Null), brauclit also praktisch nie beriicksichtigt zu werden. Der
zugeordnete Gesamtimpuls reduziert.
sich damit auf den mechanischen Impuls zufolge der makroskopischen Bewegung
des Korpers,
GCn) = G( V) = / gmv d V .
(2.124)
Weiters verlauft die Flache d 'f\ ganz 1111 materiefreien Bereich, sodass als Impulsflussdichte lediglich die elektromagnetische auftritt, p — p e. Die zeitliche
Anderungsrate des gesamten mechanischen Impulses eines Korpers in Bezug auf
ein Inertialsystem nennt mail iiblicherweise die resultierende Kraft auf den Korper.
Wir haben daher mit
d ( r ) = ~ I emv d V — F fr = - I n - r d A
(2.125)
eine Methode gefunden, die resu ltieren d e K r a ft ele k tro m a g n etise h e n U r­
sp ru n g s F lr auf unseren Korper aus den Feldgrofien im umgebenden Raum zu be­
rechnen. Im Speziellen gilt im d o m in a n t elektrisch en F e ld sy ste m (Gl. (2.116)4)
* - / » ( ■ n - E E ~ \ E 2n ) d A
dr.
(2.126)
2.3
57
ENERGIE UND IMPULS
und im d o m in a n t m a g n e tisc h e n F eld system (Gl. (2 . 119 )4 )
Fr = J j j - ( n - B B or,
dA ,
(2.127)
wobei die Integranden die zugehorigen M a x w e ll-S p a n n u n g sv e k to re n an der
Flache bilden. Es ist bemerkenswert, dass sich die resultierende Kraft elektroma­
gnetischen Urspnnigs auf den Korper allein aus den Feldern E und B an irgendeiner passend gewahlten Hiille 0'1\ finden lasst. B muss allerdings ganz im leeren
RAum verlaufen und darf nur unseren Korper cinsehlieBen. Wir konnen &f\ auch
mit der Korperoberflache d f zusammenfallen lassen und dann fiir E bzw. B in den
Gin. (2.126) oder (2.127) die AuBenwerte an der Oberflache einsetzen. Allerdings
sollte dies nicht zu der Annahme verleiten, dass die Maxwell Spannungsvektoren
als Flachenkrafte an der Oberflache lokalisierbar waren. Sie sind es tatsachlich
i.A. nicht, weil sie einen Impulsfiuss und nicht dessen lokale Senken darstellen.
Denken Sie beispielsweise an einen Korper ohne Ladungen, Strome, elektrische
Polarisation und Magnetisierung in einem elektromagnetischen Feld. Er ist elektromagnetisch iiberhaupt nicht aktiv, trotzdem gibt es an seiner Oberflache i.A. eine Impulsflussdichte, aber natiirlich keine Flachenkraftdichte elektromagnetischen
Ursprungs. Eine Integration iiber die gauze Oberfliiche liefert in diesem Fall im­
mer den Wert Null, und deshalb verschwindet F^. Nur in Sonderfalleu, wenn eine
Korperoberflache eine ideale Senke fur die elektromagnetische Impulsflussdichte
darstellt, sind die Maxwell Spannungsvektoren als dort an dem Korper angreifende Fliichenkraftdichten aufzufassen. Dies gilt z.B. fiir ideal magnetisierbare Korper
in einem stationaren Magnetfeld oder fur stromfreie Leiter in einem elektrostatischen Feld.
In den Anwendungen sind Korper in der Regel nicht frei in ein elektromagnetisches Feld eingebettet, sondern es wirken auf sie noch K r a fte n ich t- elektro­
m a g n e tisc h e n U rsprungs, etwa die Schwerkraft, Lageruiigsreaktionen oder
ahnliches. Wir fassen auch diese zu einer resultierenden Kraft FpK zusammen. Da
sich der inechanische Impuls eines Korpers der Masse m m it dem (iseitabhangigen)
Ortsvektor rm des Massenmittelpunktes beziiglich eines Inertialsystems bekanntlich als G — m rln schreiben liisst, erhalten wir schliefilich als e rste B ew egungsgleichung {,, Schwerpunktsntz ”)
S ( r ) - m?m - F}? + F eR .
(2.128)
Ff{ ist weiterhin iiber die Gin. (2.12G) bzw, (2,127) oder mit dem vollstandigen
Ausdruck fiir p e zu berechnen. Falls erforderlich, kann dY\ auch Korper durclischnoiden, solange an der Schnittfliiche keine elektromagnetischen Felder auftreten und eine dabei freigelegte Schnittkraft (entsprechend dem Impulsfiuss) in F\[c
beriicksichtigt wird.
Hauflg benotigt man zur Beschreibung der Bewegung eines Korpers neben der
resultierenden Kraft auch das resultierende D re h m o m e n t e le k tro m a g n eti­
sc h en U rsprungs T ^ in Bezug auf einen Punkt (/. Durch ein Vorgehen analog
dem bei der Berechnung der resultierenden Kraft und unter den gleichen Voraussetzungen erhalten wir mit dem Abstandsvektor r# vom Bezugspunkt 6 zum
2
58
EIGENSCHAFTEN ELEKTRO M AGNETISCHER FELDER
laufenden Flachenpunkt im d o m in a n t e le k trisch e n F eld system
T ro = J £of ff x ( n - E E -
dA
(2.129)
ar,
und im d o m in a n t m a g n e tisc h e n F eld system
fR
cG =
J yr#
x
■B B -
dA .
(2.130)
ari
ist dann unabhangig vom Bezugspunkt 0 \ wenn die resultiercndo Kraft verschwindet. Verwendet wild T ^ e zusammen mit meist vorhandenen nicht-elektromagnetischen Drehmomenten T ^ e in der zw e ite n B ew egungsgleichung (,,D roll
s a t z ”), in der Regel unter Vernachlassigung des elektromagnetischen Beitrages
und auch des inneren Drehimpulses (Spin) zum gesamten Drehimpuls, der sich
dann auf den rein mechanischen Drehimpuls der makroskopischen Bewegung (Drall)
des Korpers reduziert.
A usgew ahlte Literatur
Die Methode der Aufspaltmig vollstandiger Systeme in Teilsysteme wird ausfuhrlich
behandelt in
P. Penfield. H.A. Haus: Electrodynamics of Moving Media. Cambridge,
Mass.: M.I.T. Press, 1907.
Welche Wechselwirkungstenne (Kraft- und Leistungsdichten) zu welchen Modellvorstellungen gehoren, findet sich besonders klar dargestellt in
H. Hofmann: Das elektromagnetische Feld, 3. Aufl., Wien: Springer,
1986
und in den darin zitierten Originalarbeiten desselben Verfassers.
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1
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Hk62yfv)SW i
K apitel 3
B erechnen statischer und
stationarer Felder
3.1
E lektrostatik und Quasi E lektrostatik
Das elektrische Feld einer Ansaminlung von ruhenden Punktladungen im sonst
vollstandig leeren Raum konnen wir, ausgehend vom Coulomb-Gesetz und dem
Uberlagerungsprinzip, durch einfache Summationen berechnen. Bekanntlich lasst
sich diese Methode auf kontinuierliche Ladungsverteiiungen anwenden, und auch
die makroskopischen Felder in Korpern sind damit berechenbar, vorausgesetzt, wir
kennen tatsachlich alle Ladungen im ganzen Raum
neben den wahren Ladungen
also auch die Polarisationsladungen. Allerdings liegt diese vollstandige Information
nur selten vor: Durch Influenz und Polarisierung entstehen effektive Ladungsver­
teiiungen, die sich in der Regel erst aus dem zu berechnenden Feld bestimmen
lassen. Meistens kennen wir Ladungsverteiiungen nur zum Teil, zusatzlich stehen
aber Daten iiber die Feldgrofien zur Verfiigung. Mit der Fonnulierung von Feldproblemen dieser A rt werden wir uns zuerst beschaftigen.
A llgem eine Eigenschaften des elektrostatischen Feldes und
Ladungsverteiiungen
Verteilungen der elektrischen Spannung £/, des elektrischen Flusses
und der
elektrischen Ladung Q erfiillen im statischen Fall immer die globalen Beziehungen
(2.54),
u(d^) = 0 ,
$ { d V) = Q ( r ) ,
(3.1)
oder, gleichwertig, deren lokale Formen (2.55),
V x I = 0 , n x JI?J = 0 ,
V P = £>, n - l D } = a .
(3.2)
Zusiitzlich besteht noch die allgemeine Verkniipfungsbeziehung (2.56),
D = £0E + P ,
(3.3)
59
GO
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
wobei wir voraussetzen, dass die GroBen q, a und P als zeitlich konstante Felder
vorgegeben sind, oder auf bekannte Weise von E abhangen.
Unser Feldraum sei nun so besehaffen, dass sich irgend zwei Kurven. die gleiche
Anfangspunkte
und gleiche End punkte OP-i besitzen, immer durch eine stetige
Deformation ineinander iiberfuhren lassen (olme dabei den Feldraum zu verlassen).
Wir konnen diese Voraussetzung auch fallen lassen und st.att dessen etwas allgemeiner fordern, dass Gl. (3.1): nicht nur fiir alle vollstandigen Flachenberandungen
d s f , sondern fur jede geschlossene Kurve (jede Kurve r(> mit &€ — 0) gilt. In
beiden Fallen lasst sich die GL (3.1)i oder ihre Verallgemeinerung und die Gin.
(3.2) 1,2 durch die Einfiilirung eines Skalarfeldes ip
wir nennen es ein elektrosta tisc h e s P o te n zia l und schreiben fiir seine Werte <p(r)
formal losen: Fur
jede Kurve V mit dem Anfangspunkt f\ und dem Endpunkt r-y gelte
U(tf) - J s - E d s = <p(ft ) - ipirz) ,
—^ rr> __■)
^ X" t ~ &
—^ /
\
:>
V *vT7 V ~
ivC8sK*'i ^
(2 « P
E = —V<p .
(3.4)
Falls d%' = 0 ist, folgt fj = f 2 und damit U{%’) — 0, Gl. (3.1)i ist also immer
erfiillt. Gl. (3.2)i besteht mit (3.4)2 wegen der Identitiit (1.41), V x (Vy?) = 0. Der
Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen (3.4) wird durch Gl. (1-47) hergestellt. Zwei elektrostatische Potenziale, deren Werte sich im ganzen Feldraum um
die gleiche, beliebige Konstante unterscheiden, liefern die gleiche Spannungsverteilung bzw. Feldstarke.
Die Losung vieler elektrostatischer Aufgaben wird durch die Einfiihrung des
elektrostatischen Potenzials erieichtert, weil Skalarfelder in der Regel einfacher zu
behandeln sind als Vektorfelder.
Die hier verwendeten L a d u n g sverteilu n g en sind stets als m a k ro sk o p is che
M odelle aufzufassen, sie stellen also m a th e m a tisc h e Id e a lisie ru n g e n dar. In
diesem Sinn beschreiben wir Raumladungen durch Dichtefunktionen g(r) und
ahnlich Ladungsverteilungen, die entlang Kurven oder auf Flachen konzentriert
sind, durch Dichten r ( f ) bzw. cr(r) mit Kurven bzw. Flachen als Trager. Manchmal ist auch die Darstellung einer Punktladung Q am O rt r ' als Raumladungsverteilung mit Singularitat niitzlich,
e(r ) = Q 6 ( r - f ') ,
(3.5)
wobei die raumliche Dirac „Funktion:’ 5(f) iiber Testfunktionen f ( r ) cliarakterisiert ist durch
/
m
I 0,
'
“ Js
liegt,
falls r — 0 nicht im Inneren von "V liegt.
Unter Verwendung geeigneter singularer Funktionen lassen sich iibrigens auch
Linien- und Flachenlad ungen auf ahnliche Weise darstellen.
Poisson
und Laplace Gleichung
In einem Feldraum, der ganz mit einem Medium der koustanten Perniittivitat
; ausgefiillt ist (linear homogen isotropes Dielektrikum, insbesondere iin leeren
■
3.1
ELE K TRO STATIK UND QUASI ELE K TRO STATIK
Raum, e = e0) folgt. aus
V-D =
q
,
61
—~
D = sE ,
E = -V ?
(3.7)
fiir das elektrostatische Potenzial <p die P o is so n -G le ic h u n g
Tv c
too^cfcy^
„
V ip — —q/ s
(3.8)
oder, wenn im Feldrauni keine Rauinladung vorhanden ist, die Laplace Gleichung
V2V - 0 .
(3.9)
Die Laplace Gleichung ist eine homogene, die Poisson- Gleichung eine inhomoge­
ne, lineare, partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typus.
Koordinatendarstellungen ftir den Laplace-Operator V 2 sind in Tab. 1.3 angegeBei der Behandlung elektrostatischer Aufgaben haben wir hiiufig Los ungen
der Gin. (3.8) oder (3.9) zu konstruieren, die an den Bereichsrandern bestimmte
Bedingungen erfullen, z.B. vorgegebene Werte aunehmen.
Eine Funktion G( f , f ' ) , die fiir feste f der Gleichung
V '2G(f, f ') - -<5(-r - f ')
(3.10)
geniigt, nennen wir G ru n dldsung des Laplace O perators.
< W
j). £ ’+ c c ^ i t -
0 - < W
V ) - J ^
ist eine solche Grundlosung, aber offensichtlich auch
p r U U a r !! / "
1
.
G(J" f ') t 4 ^ ? — =7j 1 9(r, r' ) ,
(3.12)
falls g ( f , f ' ) fiir feste r die Laplace-Gleichung erfiillt.Multiplication von Gl. (3.10)
mit Q/ e liefert beispielsweise eine Poisson-Gleichung mit der speziellenRaumladungsverteilung (3.5). Aus Gl. (3.11) lasst sich dann der bekannte Ausdruck
<p(r) = G ( f , t ' )Q/ e - 4^ g |? _ p |
(3.13)
ftir das elektrostatische Potenzial einer Punktladung in r ' ablesen.
Um eine Poisson-Gleichung (3.8) mit zugehorigen Randbedingungen zu losen,
konnen wir z.B. so vorgehen: Wir bestimmen zuerst eine partikulitre Losung zu der
vorgegebenen Funktion q(t ), etwa iiber die Grundlosung (3.11) durch das Integral
r
( 3 '1 4 )
zu erstrecken iiber den ganzen Tragerbereich von o. Die Randbedingungen sind da­
mit i.A. natiirlich nicht erfiillt. Es wird dalier eine Losung
der homogenen Glei­
chung, namlich der Laplace-GIeichung, zu iiberlagcrn sein, die eine Korrektur der
Randdaten auf die gewiinschten Werte liefert. Entspreehend Gl. (3.12) werden wir
also auch bei inhomogenen Problemen auf die Laplace Gleichung zuriickgefuhrt.
^
ct-u
^
62
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
Darstellungssatze der Potenzialtheorie
Ich stelle hier einige, fur die folgende Diskussion hilfreiche Ergebnisse der Poten­
zialtheorie zusammen.
Wir betrachten zuerst Skalarfelder und Vektorfelder im g a n zen , d re id im e n ­
sio n a len , e u klid isch en R a u m & mid werden dabei Voraussetzungen iiber
deren stiickweise Stetigkeit, stiickweiae stetige Differenzierbarkeit u.a. treffen. Das
bedeutet, dass Spriinge der Funktionen und ggf. ilirer Ableitungen nur an endlich vielen, stiickweise glatten, geschlossetien Flachen
, . . . , S ’n auftreten. Jede
dieser Flachen sei transversal orientiert und besitze ein Einsnonnalenfeld ft. Die
Operation der R ich tu n g sa b le itu n g in B ezu g a u f n (Normalableitung), wir
bezeichnen sie mit dn ,
d n t n •V ,
(3.15)
ist jeweils auf der Flache, bei Spriingen auf beiden Fljichenseiten erklart. Die Gesamtheit der Flachen fassen wir in .9' —
H---- +
zusammen. Den Ortsvektor
des Aufpunktes (Feldpunktes) in Bezug auf einen festen Ursprung bezeichnen wir
mit r, den des laufenden Punktes (Integrationspunktes) mit r '. Ihr gerichteter
Abstand wird durch R. — r ~ r ', dessen Betrag durch
r
(3.16)
r ’\
abgekiirzt, Bezicht sich ein Funktionswert oder eine Operation auf die Variable r \
so kennzeichnen wir dies in abgekiirzter Schreibweise durch den Akzent, also z.B,
u' - u ( f '), d'n = n' • V'.
Im ganzen Raum & sei ein S ka la rfeld u mit folgenden Eigenschaften erklart:
• u ist stiickweise stetig ditferenzierbar in
• u ist zweimal stetig differenzierbar in
ohne
,
• V2w ist jeweils einseitig stetig nach y fortsetzbar.
Dann gilt in alien nicht auf 5^ gelegenen Punkten von
skalare F elder
die In te g ra lfo rm e l f ii r
*-- -LI *V
'Vdl"-GI ^"'1-M*(j$
<\A' . (3.17)
u lasst sich also vollstandig darstellen durch seinen Wert u.^. im unendlich fernen
Punkt, seine Laplace-Ableitung V 2u, seine Spriinge [m}| und die Spriinge [0nw|
seiner Normalableitung.
Eine almliche Darstellung gibt es auch fiir Vektorfelder v. Sie lassen sich unter sehr schwachen einschrankenden Bedingungen immer in eine Konstante, einen
Gradienten und eine Rotation zerlegen:
Im ganzen Raum 0$ sei ein V ektorfeld v mit folgenden Eigenschaften erklart:
• v ist stiickweise stetig in
• v ist stetig differenzierbar in 3? ohne S' ,
3.1
ELEK TRO STATIK UND QUASI ELEK TRO STATIK
m
• V ■v und V x v sind jeweils einseitig stetig nach S fortsetzbar.
Dann gilt in alien nicht auf S gelegenen Punkten von
d e r V ektoranalysis (Helmholtz Darstellung)
der F u n d a m en ta lsa tz
v — Voo - Vu + V x a ,
(3.18)
wobei v^. der Wert von v im unendlich fernen Punkt ist, und das S ka larpotenzial
u und das V ektorpotenzial a durch
-#
S'
a ^ - L [ 4 V' x v'' dV" + ~
4n J
R
f i n ' x \ v '\ dA '
4w J
St
(3.20)
R
&
gegeben sind. In alien von S verschiedenen Punkten von
tenzial die Bedingung
erfiillt das Vektorpo­
V -o = 0 .
(3.21)
Bei den Anwendungen dieser Darstellungsformeln sind die Felder u bzw. v
meistens nicht im ganzen Raum M erklart, sondern nur in einem Teilgebiet 'V.
z.B. & ohne die durch S ’ berandeten Bereiche. Haufig werden dann im Komplementiirgebiet von Y die Felder u = 0 und v — 0 gesetzt und die Forrneln fiir den
ganzen Raum & angewendet. u und v konnen im Komplementargebiet aber auch
anders festgelegt werden.
Es ist leicht einzusehen, was die. Integralformel (3.17) fiir den ganzen Raum im
Fall des elektrostatischen Potenzials u = ip bedeutet. Wir haben hier, wenn wir
gleich mit effektiven Ladungen im leeren Raum arbeiten. V 2</? = —Qej eo; weiters
—
n • [ V d = - n - l £ l = —<re/ £o> und der Sprung des Potenzials selbst
kann als negative Kontaktspannung interpretiert werden, entstanden durch entgegengesetzt gleich (sehr) grofie Flachenladungen beidseits der Sprungflache. Solch
eine Flachendipolverteilung stellen wir durch die effektive Flachendichte Ae dar
und haben dann [v?5 = Ae/fo- Wenn dieser Beitrag zunachst nicht beriicksichtigt
wird, ist also
1
f Qe{r') dV'
1
f a e{r')AA'
f - f'
(3.22)
die bekannte Formel fiir das elektrostatische Potenzial einer kombinierteu Raumladung und Flachenlad ung, eingebettet in den sonst leeren Raum. Fur die elektrische
Feldstarke v = E verschwindet ein Vektorpotenzial a fiir den ganzen Raum mit
Gl. (3.20) wegen V x £ = 0 und n x [E\ — 0 identisch, wahrend Gl. (3.19) wegen
V-.E — j t o und n- ]£{ = cre/£o mit u - tp wieder auf den Ausdruck (3.22) fiihrt,
von der hier unerheblichen Konstante < p abgesehen. Gl. (3.18), E = E x - V<p, ist
unsere Gl. (3.4), wobei noch ein mogliches Homogenfeld Eoo explizit beriicksiclitigt
wird.
* _tf.fi?] =
...
ffSJ-s'
^
z m
u « , 6)
04
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
A b b . 3 .1 : Raumlicher Bereich 7 .
Sein vollstandiger Rand wird durch
endlidi viele, stiickweise glaLie, gesclilossene Flachen ,V i, . . . . <9'n gf“bildet, d i = & \ 4- ■■• +
Die
auBere FlSclie :S\ kann auch entfallen, sodass 1 den unendlich fertien
P u n k t einsclilietk.
Erfiillt ein Skalarfeld in einem raumliehen Bereich die Laplace-Gleichung, oder
verschwinden fiir ein Vektorfeld dort. dessen Divergenz und Rotation, so spricht
man von einem harmonischeu Skalarfeld bzw. von einem harmonischen Vektorfeld.
Wir werden diese fiir die Potenzialtheorie wichtigen Begriffe etwas praziser fassen.
Sei i ' ein offenes, teilweise oder ganz abgeschlossenes Gebiet des dreidimensio­
nalen euklidischen Raumes
Der unendlich feme Punkt kann auch in 'V liegen,
wenn alle Punkte aufierhalb einer hinreichend groBen Kugel uni den Ursprung
ebenfalls zu "¥ gelioren. Ein in "V erklartes S k a la rfe ld u heiBt dann in ’¥ harm onisch, wenn es
• ini Endliehen zweinial stetig differenzierbar ist und der Laplace-Gleichung
—0 geniigt,
• ini Unendlichen gleichmaBig gegen seinen dortigen Wert
konvergiert.
Ein in V erklartes V ekto rfeld v heiBt in V h a rm o n isch , wenn es
• im Endliehen stetig differenzierbar ist und den Cauchy Riemann Differenzialgleichungen V • v —0 und V x v — () goniigt,
• im Unendlichen gleichmaBig gegen seinen dortigen Wert
konvergiert.
Harmonische Vektorfelder sind die raumliehen Verallgemeinerungen von holomorphen Funktionen iiber der komplexen Ebene.
Fiir harmonische Felder gibt es wichtige Spezialisierungen der Darstellungs­
satze. Wir betrachten dazu einen raumliehen Bereich Y nach deni Muster in
Abb. 3.1 und setzen u = 0, v = 0 im Komplement von V beziiglicli des gan­
zen Raumes
d.h. auBerhalb von
und in den durch 6^2, . . . ,
berandeten
Gebieten. Ist u ein in Y harnionisches Skalarfeld, so folgt aus der Integralformel
(3.17) die im Inneren von Y giiltige G reen -Integralform el
(3.23)
3,1
ELEK TRO STATIK UND QUASI ELEK TRO STATIK
Fiir ein in Y harmonisches Vektorfeld v folgt weitere aus deni Fundainentalsatz
(3.18) die im Inneren von Y giiltige C a u ch y -In teg ra lfo rm el
v —
—Vu + V x a
(3.24)
1 f i i '- v '
,
u - - 4 i J —
dA’
ar
„
I f
iw
yt x v '
R
dA ’
( 32, )
und V • a = 0.
Das Bemerkenswerte an diesen Formeln ist, dass sich harmonische Skalarfelder allein aus den Rand werten des Feldes und seiner Normalableitung berechnen
lassen, und harmonische Vektorfelder allein aus den Randwerten
ein fur die Behandlung von Raadwertaufgaben offensiclitlich wichtiges Ergebnis. Dies bedeutet
allerdings nicht, dass diese Werte an den Randern — man nennt sie C a u c h y D a te n
beliebig vorgegeben werden konnen und daraus harmonische Felder
entstehen. Wir kommen darauf zuriick.
Durch die Green-Integralformel beherrschen wir also insbesondere ein harmo­
nisches Skalarfeld in einem abgeschlossenen Gebiet, wenn wir seine Werte und die
Werte seiner Normalableitung auf dem Rand kennen. Fiir den Sonderfall, dass der
Rand eine Kugel ist, kommt man mit der Kenntnis der Funktionswerte allein aus:
Sei
eine Kugelflache mit dem Radius a, und o soi der Abstand des Aufpunktes (d.h. des Punktes, in dem der Funktionswert berechnet werden soil) vom
Kugehnittelpunkt. Die offenen Gebiete innerlialb und aufierhalb von Jff bezeichnen
wir mit t bzw. Y. Fiir ein in Y einschlieClich Jff stetiges und in Y harmonisches
Skalarfeld u gilt dann das P o is so n -in te g r a l f ii r das K u g elin n ere
u
—
a2 - q 1
j ^ 3 dA' ,
4ira
.ye
0< e<a.
(3.26)
Weiters haben wir fiir ein in t einschlieClich ,)(? stetiges und in Y einschlieClich
des unendlich fernen Punktes harmonisches Skalarfeld u das P o isso n -In te g ra l
fiir das KugelauJSere
u = ( l - - ^ j u 00+
.
J — dA' ,
a <o <oo.
(3.27)
x
Gibt man umgekehrt eine beliebige stetige Funktion u auf
vor und bestimmt
dazu die Funktionswerte in Y aus Gl. (3.26), so ergibt sich ein in Y einschlieClich
stetiges und in Y harmonisches Skalarfeld, das auf -X? die vorgegebenen
Rand werte annimmt. Dasselbe gilt sinngemafi fiir eine auf
und im Unendlichen
vorgegebene Funktion u, die durcli Gl. (3.27) nach Y fortgesetzt wird.
Von Interesse sind auch noch folgende Aussagen iiber die M itte lw e rte harm o n is c h e r Felder: X sei wieder eine Kugelflache mit dem Radius a und Y
das offene, von JfT berandete Innengebiet. 11 und v seien ein Skalarfeld bzw. ein
Vektorfeld, stetig in Y einschlieBlich Jff und harmonisch in V. Dann stiinmen die
GO
3
STATISCH E UND STATIO NARE FELDER
Werte uo und vo von it bzw. v im Kugelmittelpunkt mit den Mittelwerteu iiber T
und den Mittelwerteu iiber 3? uberein,
(3.28)
(3.29)
Zum Abschluss nocli einige Aussagen betreffend die M a x im a u n d M in im a harm o n is c h e r F elder
• Harmonische Skalarfelder und harmonische Vektorfelder, die in einem Teilgebiet ihres Definitionsbereiches konstant bzw. betraglich konstant sind (und
dam it ein lokales Extremum besitzen), sind im ganzen Definitionsbereich
konstant. Daraus folgt:
• Stimmen zwei harmonische Skalarfelder in einem Teilgebiet uberein, so sind
sie iiberall gleich.
• In abgeschlossenen Definitionsbereichen nimmt ein harmonisches Skalarfeld
seine Extrema (Maxima und Minima) und der Betrag eines liarmonischen
Vektorfeldes sein Maximum stets auf dem Rand an. Der unendlich ferne
Punkt kann ebenfalls zum Definitionsbereich gehoren, falls dort keine Quellen
liegen. Daraus folgt:
• Ein harmonisches Skalarfeld ist in einem abgeschlossenen, endliehen Gebiet
konstant, wenn es auf dem Rand konstant ist (Gemeint ist der vollstandige
Rand. Besteht er aus mehreren Teilen, so muss auf alien der gleiche konstante
Wert auftreten). Insbesondere verschwindet es auch im Inneren, wenn alle
Rand werte verschwindcn.
Randwertproblem e der Elektrostatik
Wie wir gesehen haben, lassen sich harmonische Felder im Prinzip aus Randdaten
(Funktionswerten und Werten der Normalableitung) vollstandig berechnen. Fiir
das elektrostatische Potential <p eines ladungsfreien Bereichs bedcutet dies z.B.
die Vorgabe der Werte von
am Rand
etwa der Potenziale von Elektroden
bzw. der Normalenprojektion der elektrischen Feldstarke am Rand. Es ist klar,
dass diese Daten nicht beliebig vorgeschrieben werden konnen: Beispielsweise muss
der elektrische Htillenfluss aus einem ladungsfreien Bereich verschwinden. Nach der
A rt der vorliegenden Randdaten lasst sich eine Einteilung treffen.
Als Grundgebiet legen wir einen Bereich Y nach dem Muster der Abb. 3.1
zugrunde, den wir als leer oder vollstandig mit einem linear homogen isotropen
Medium (s — konst) ausgefiillt, jedenfalls zunachst als ladungsfrei voraussetzen.
Raumladungen in Y werden wir spater beriicksichtigen.
Beim D iric ld e t-P ro b le m wird nach harmonischen Skalarfeldern <p (Losungen
der Laplace-Gleichung (3.9)) mit vorgegebenen Randwerten von ip oder nach har­
monischen Vektorfeldern E (Losungen von V x £ = 0 und V •E - 0) mit vorgege­
benen Tangentialkomponenten E t = —n x (n x E ) am Rand gesucht. Die Aufgabe
3.1
ELE K TRO STATIK UND Q U ASI-ELEKTRO STATIK
67
lasst sich fiir beschrankte wie auch fiir unbeschrankte Gebiete formulieren, wobei
ini zweiteii Fall die Forderung der Harmonitat im Unencilichen und die Vorgabe
des Wertes im unendlich femen Punkt dazukommt.
Das skalare (klassische) D iric h le t-P ro b le m stellt sich wie folgt: Gesuclit
sind stetige Skalarfelder ip im abgeschlossenen Bereich "¥, die im Inneren von ¥
harmonisch sind und auf dem Rand &¥ vorgegebene Werte <p = f annehmen. Das
skalare Diriclilet Problem fiir den Bereich ¥ besitzt zu analytischen Randwerten
/ auf d ¥ gen a u ein e L o su n g tp. Diese ist in ¥ einschlieBlioli des Randes analytisch (Eine reelle Funktion heifit reell analytisch oder kurz a n a lytisc h , wenn sie
in jedem Punkt des Definitionsbereiches beliebig oft stetig difterenzierbar ist und
in jeder Umgebung, die zum Definitions bereich gehort, durch eine absolut konvergente Taylorrcihc dargestellt wird). Besteht d ¥ nur aus der aufieren Flache S ’i
(siehe Abb. 3.1), so sprechen wir vom in n e re n D iric h le t Problem . Fehlt dagegen .9\ und gibt es inindestens eine weitere Flache
dann liegt ein aufieres
D iric h le t-P ro b le m vor. Anstelle des Randwertes auf .9\ wird dann
vorgegeben. Die Losung ist wieder eindeutig.
Beim N e u m a n n -Problem sind harmonische Skalarfelder tp mit vorgeschriebenen Randwerten der Nonnalableitung 0„ tp ~ - E n oder harmonische Vektorfel
der E mit vorgeschriebenen Normalenprojektionen E n — n ■E zu bestimmen.
Wir formulieren das skalare (kla ssisch e) N e u m a n n -P r o b le m : Gesucht
sind stetige Skalarfelder tp im abgeschlossenen Bereich "¥, die im Inneren von
V harmonisch sind und auf dem Rand d ’¥ eine Nonnalableitung dntp mindestens im Sinne gleiclimaiiiger Konvergenz bei Annaherung an d'¥ entlang der
Flachennormale besitzen (daraus folgt die St.etigkeit der Grenzwerte dn<p auf d'¥).
Diese Normaiableitmig dntp ——E n ist vorgegeben. Das skalare Neumann Problem
fiir den Bereich ¥ besitzt zu analytischen Norrnalableitungen - E n auf d 't (En ist
die Normalenprojektion der elektrischen Feldstarke) eine bis auf eine willkiirliche
Konstante ein d e u tig b e stim m te L o su n g tp, sofern die notwendige und hinreichende Integrabilitatsbedingung
(3.30)
erfiillt ist (Satz vom elektrischen Hiillenfiuss). Die Losung ist einschliefilich des
Randes analytisch. Ein in n ere s N e u m a n n P roblem liegt dann vor, wenn d'¥
nur aus der aufieren Flache
besteht (siehe Abb. 3.1). Beim aufieren N e u m a n n P roblem fehlt
und die Integrabilitatsbedingung (3.30) entfallt.
In den Anwendungen kommen haufig auch g em isch te R and w ertp ro b lem e
vor: Es sind dabei auf einem Teil des Randes d"¥ Dirichlet Daten, auf dem restlichen Teil Neumann Daten vorgeschrieben. Unter bestiminten Bedingungen lasst
sich auch dafur die Existenz und Eindeutigkeit von Liisungen nachweisen.
AbschlieBend noch einige Annierkimgen zu ele k tro sta tisch e n R a n d w ertp ro b lem en m it R a u m ladungen. Beim skalaren D iric h le t-P ro b le m werden hier
Losungen tp der Poisson Gleichung (3.8) im Bereicli ¥ gesucht, die auf 0'¥ vorgescliriebene Randwerte / annehmen. Man bestimmt dazu, etwa iiber Gl, (3,14),
eine Partikularlosung tpp und sucht anschliefiend ein in '¥ harmonisclies Skalarfeld
tph., das am Rand d ¥ die Werte von / —i^ a n n im rn t (Dirichlet Problem fur die
Laplace-Gleichung). Dann ist tp = tp), + tpp die eindeutige Losung. Beim skalaren
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
N e u m a n n -P r o b le m wird nach Losungen tp der Poisson Gleiehung in 'V gefragt,
deren Normalableitungen auf d 'f vorgegebene Werte dnip — —E n annelnnen. Notwendig und hinreichend fiir die Existenz einer Losung ist hier die aus dem Satz
vom elektrischen Hiillenfluss tolgende Integrabilitatsbedingung
J En d A - l J gdV - 0 ,
4a
J
.
/
(3.31)
7
t
r
C
^ , i
(/ItiO nQ iv-lQ fen!
r
^
falls d V eine auBere Hiille S '1i enthalt. (Abb. 3.1). Zu einer Partikularlosung <pp,
etwa wieder iiber Gl. (3.14) gewonnen, wiui-dann ein harmonisches Skalarfeld iPh in
bestimmt mit den Normalableitungen\^-Eny - 0 7tip$ au f B Y (Neumann Problem
fiir die Laplace-Gleichung). Die Sunmie V = W + <Pp lost das gesamte Problem
eindeutig bis auf eine additive Konstante.
Formale Losungen elektrostatischer Randwertproblem e
^ r/A u fc u
0
I I
O.Y*^
Q
j
L
/jnnrvLKCXYw ^
4 ^ .
Ausgehend von Grundlosungen (3.12) des Laplace-Operators lassen sich formale Losungen fiir die skalaren Randwertprobleme der Elektrostatik angeben. Ich
mochte das hier skizzieren, ohne auf die Voraussetz ungen im Detail einzugehen.
Wir leiten zuerst zwei Identitaten ab und nehmen dazu im Satz von GauB
(144) das Vektorfeld in der Form f = u V v mit zwei Skala’-f“u °’-" **
■*’
, - , - s
r
/ V • f tiV vl d V = / n • ( u Vv ) dA ,
->j?i
H'V*d|
(3.32)
or
(3.33)
^
*
H
' ( v ”) ] d " = i
‘
Dies ist die e rste G re e n -Id e n tita t. Vertauschen von u und v und subtrahieren
der entstehenden Gleiehung von (3.33) liefert die zw e ite G r e e n -Id e n tita t
M X>
A r
how g& u
■
o
J n y >. n, 1ji3^
- 5 4 ,1 ft,-
_ J (u —
*
r
r
j (u V 2v - v V 2u) dV = I (udnv
I
oi
vdnu) d.A.
(3.34)
Wir gehen nun von der vektoriellen Ortsvariablen r auf r ' iiber und setzen speziell
fiir u das elektrostatische Potenzial <p sowie fiir v eine Grundlosung G( r , r ' ) des
Laplaee-Operators aus Gl. (3.12) ein. Zusammen mit der Poisson -Gleiehung (3.8)
und der Eigenschaft (3.10) einer Grundlosung folgt dann
1
a 7 dv' + /
(Gf^
’ - ^ ° > dA’ ■
(3-35>
Fiir tp — u und Q = 0 ergibt sich daraus, abgesehen von u^,. iibrigens die Green
Integralformel (3.23), wenn wir speziell G = l/(4 irR ), d.li. (3.11) als Grundlosung
wahlen. Jedenfalls ist (3.35) wieder eine Darstellung des elektrostatischeii Potenzials zu einer gegebenen Ladungsdichte q bei bekannten Randwerten von <p und
3.2
69
SPEZIELLE ELEKTROSTATISCHE FELDER
seiner Normalableitung. Die Freiheit in der Wahl von G. ausgedriickt in Gl. (3.12).
kann nun dazu benutzt werden, dem Randintegral je nach vorliegenden Randdaten
eine passende Form zu geben. Beim D iric h le t-P ro b le m fordern wir
G(f. f ' ) — 0 fiir Punkte f ' auf d f
(3.36)
und erhalten
(3.37)
Beitn N e u m a n n -P r o b le m kann zwar d'nG am Rand i.A. nicht Null, aber gleich
einer passenden Konstanten gesetzt werden. Die Grundlosung G
wir nennen
sie in diesen Fallen G reen-F uriktion
hangt also ab von der Art des Problems
und von der Geomet.rie des Feldbereichs "V. Die Bestimmung ihres harmonischen
Anteils g{r,r' ) (siehe Gl. (3.12)) stellt selbst wieder ein Randwertproblem et
wa gleichen Schwierigkeitsgrades dar, so dass fiir die aktuelle Losung eines Pro­
blems mit der formalen Losungsangabe meist nicht viel gewonnen ist. Es sind
vielmehr die Existenz einer Green Funktion und ihre Eigenschaften, die interessieren. Beispielsweise gilt fiir die Green Funktion eines Dirichlet Problems immer
G(r. r' ) = G( f' .r).
Die physikalische Bedeutung der Green- Funktion sehen wir aus ihrer allgemeinen Form (3.12). Der erste Summand (47r|r r"'|) 1 stellt das elektrostatische
Potenzial einer Punktladimg Q am O rt r ' ini ganzen Raum dar, bezogen auf Qj t .
Der zweite Summand <j(f, f ' ) ist dann, bezogen auf den gleichen Wert, das Poten­
zial von Ladungen im Komplementarbereich von 'V . die so verteilt sind, dass die
Randbedingungen fiir G auf d i ' erfiillt sind, z.B. (3.3G) fiir ein Dirichlet Problem.
Es bestelit hier ein Zusammenhang mit der bekannten Spiegelungsmethode,
Ausgewahlte Literatur
Ein Klassiker der Potenzialtheorie ist
O.D. Kellog: Foundations of Potenzial Theory. Grundlehren Bd. 31.
Berlin: Springer 1967.
Selir viel an traditionellem Material enthalt auch
Ph.M. Morse, H. Feshbacli: Methods of Theoretical Physics, part I, II.
New York: McGraw Hill 1953.
G ut auf die Anwendungen zugeschnitten und angenehm lesbar ist
E. Martensen: Potenzialtheorie. Stuttgart: Teubner 1968.
3.2
Spezielle elek trostatisch e Felder
Einfache Feldprobleme konnen mit traditionellen Methoden der Analysis gelost
werden, kompliziertere Falle verlangen den Einsatz rechnerunterstutzter numerischer Verfahren. Es ist jedoch wichtig zu wissen, dass auch eine numerische Feldberecrhnung in der Regel nur dann erfolgreich verlauft, wenn zumindest die qualitativen Eigenschaften des zu berechnenden Feldes im Vorhinein bekannt sind.
3
70
STATISCHE UND STATIONARE FELDER
A b b . 3.2 ; A ussclinitt einer D arstellung des ebenen elektrischen Feldes zum elektrostatischen
Potenzial (3.43). Die Spuren der Potenzialfliiclieti sind ausgezogen, Param eterw erte ip/C . Die
Vektorlinien der elektrisclien Feldstarke sind strichliert.
Wir werden deshalb in diesem Abschnitt das charakteristische Verhalten typischer
elektrostatischer Felder studieren.
2
Zweidimensionale
Losungen der Laplace-G leichung in kartez
sischen K oordinaten
jtty o c e - ty . •
Das elektrische Feld iu langgestreckten, ladungsfreien Gebieten lasst sich haufig
durch eine TVanslatiousinvarianz derart charakterisieren, dass die Losungen der
Laplace Gleichung fiir das elektrostatische Potenzial in Bezug auf ein kartesisches
Koordinatensystem zwar von der x und der y Koordinate. nicht aber von der
2 Koordinate abhangen.
Wir untersuchen zuerst Losungen, die sicli als Produkt
<f(x,y) ^ X ( x ) Y ( y )
(3.38)
darstellen lassen. Einsetzen in die Laplace- Gleichung liefert nach Division
X " ( x ) / X ( x ) - r Y " { y ) f Y( y ) ,
( '^ f
(3.39)
Yty) -
m (}{
if.
- x w ^ Q y ' Q - 0
4
A
XM
- Yb)
7(j)
3.2
SPEZIELLE ELEKTROSTATISCHE FELDER
71
A b b .3.3: Zwischen zwei planparallelen Elektroden au f N ullpotenzial liegt senkrecht dazu ein
Leiterstreifen, der auf dem P o ten tial werl U gehalten wird. Gesucht ist zunachst das Polenzial
ip im Bereich x > 0, 0 < y < a, wobei tp = 0 Tiir y = 0, y = a und Kir x —* oo sowie tp =? U
fiir x m 0, 0 < y < a. Das Potenzial fiir x < 0 folgt daraus durch Spiegelung an der yz Ebene
{x —►—x).
wobei die linke Seite nicht von y und die rechte Seite nicht von x abhangt. Es kann jL,
deshalb keine der beiden Seiten weder von x noch von y abhangen, sie miissen also
gleich einer Konstanten sein. Wir haben daher
X" ( x ) - k 2X{x) = 0 ,
Y"(y) + k 2Y( y) - 0
(3.40)
mit einer reellen Konstanten k (Ersetzen von k 1 durch —k 2 wiirde lediglich die
Rollen von x und y vertauschen). Die gewolmlichen Differenzialgleichungen (3.40)
haben fiir k ^ 0 allgemeine Losungen der Form
X ( x ) = A ie kx + A 2e~kx ,
Y(y) = B \ cos(ky) + B 2 Sin(ky)
(3.41)
mit freien Konstanten A\ , A 2, B \ , B 2 und k, es ist daher
(fi(x,y) = (A}ekx + A 2e~kx) [Bicos(fcy) -t £?.>sin(fcy)j
(3.42)
eine Losung der Laplace Gleichung, Ihr typisches Verhalten
exponentiell in x — findet sich in der G ru n d fo rm
tp(x,y) = Ce~kx sm(ky)
periodisch in y und
^
(3.43)
mit der zugehorigen elektrischen Feldstarke
E(x, y) — Cke~kx sm{ky)ex —Cke~kx cos(ky)ey ,
'
(3.44)
skizziert in Abb. 3.2. Wir bemerken das Verschwinden von an den Ebenen y =
nir/k fiir ganzzahlige n, sodass damit das elektrostatische Feld zwischen parallelen
Plattenelektroden gleichen Potenzials beschrieben werden kann. Ist umgekelirt a
der Abstand zwischen den Platten. so erfiillen alle Losungen mit k = nitfa die
Rand bed ingungen an den Platten. Durch Li near kombi nation von Losungen (3.43),
oder allgemeiner, (3.42) konnen Randwertaufgaben dieses Typs gelost werden.
Als B e isp ie l untersuchen wir die Anordnung aus Abb. 3.3. Durch die Linearkoinbination
OO
tp(x, y) = ^
Cne~ni'x^a sm(n-Kyfa)
(3-45)
kcwpitucLi /txvn
>fcr
> (j)
a.Jr
C^
r&cL-k I™
/C W X ,
S icL cfe-K
^ ,cL o k r
B x l/ J t k fY h C Lccj1
a u d
/ U O n y , S O <S«(C4r/
L a u .h / c h in n
5jOriS>)y cbo&±
D ie
fo v 'e
in<A£*-» & U o
<W h
L cx^Jc^l
^
lj
, fo2 -.
T2
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
von Losungen (3.43) sind bereits die Randbedingungen bei y = 0, y = a und
x--*oo erfiillt. Die Koeffizienten Cn sind aus der Randbedingung ip - U bei x — 0
zu bestimmen:
(3.46)
<^(0, y) = U = ^ 2 c n sin(niry/a)
besitzt die Form einer Fourier Reihe. Nach Multiplikation mit sin(?7i7ry/o), m
ganzzahlig, und Integration iiber 0 < y < a erhalten wir
=
| 4U/(nn)
0
fiir n ~ 1,3,5,...
fur « = 2,4, G,...
(3.47)
und damit als Losung unserer Aufgabe die Reihe
OO
(p(x, y)
—
|TT
Y
-------g-nirxfa.
„ TXb,.. n7r
s in ( n jr y / a ) ,
(3.48)
Zur Wiedergabe der Werte von ip ist. fiir kleine Werte von x eine grofie Anzalil von
Reihengliedern erforderlich; fiir x > a j~ reicheu offensichtlich wenige Glieder aus.
Es dominiert dann bereits das asymptotische Verhalten fiir x —* oo, dargestellt
durch Gl. (3.43) mit C = AU/it und k = it/a.
Reihen der Art (3.48) lassen sich haufig iiber eine komplexe Darstellung summieren. So konnen wir beispielsweise mit der Abkiirzung Z = exp[—(a; + jy)is!a\
in unserem Fall fur Gl. (3.48) schreiben
<p(x,y)
=
—y Im
£
Z»/n
U — arctan
IT
s i n h ( 7r . t / « )
s i n ( 7r y / a )
- —U Im
(3.49)
es gibt also auch eine geschlossene Losung des Problems.
Verallgemeinerungen sind durchaus moglich, etwa die Vorgabe eines beliebigen,
nicht konstanten Verlaufes <p(0, y) im Intervall 0 < y < a. Die Summe (3.46)
ist dann die Fourierentwicklung dieser Funktion, und die Koeffizienten Cn sind
wie iiblich zu bestimmen. Wie diskrete Werte k - nn/a in unserem Beispiel auf
F o u rier R e ih e n fiihren, deren Koeffizienten von n abhangen, so konnen wir k
auch als kontinuierliehen Parameter auffassen und eine iineare Superposition z.B.
von Losungen (3.43) mit Funktionen C(k) durch Integration iiber k gewinnen. Dies
entspricht einer Losungsdarstellung als F o u rier-In teg ra l. Allgemein gilt fiir den
Aufbau von Losungen aus Fourier Komponenten: Je kleiner die Periodenlange
der Fourier -Komponente in y Richtung (je griiBer k), desto starker klingt der
entsprechende Term in x- Richtung ab.
Zweidimensionale Losungen der Laplace-G leichung in Polarkoordinaten
Andere Klassen von ebenen elektrostatischen Feldern lassen sich durch Anschreiben der Laplace Gleichung in anderen Koordinatensystemen erzeugen. Wir werden
3.2
SPEZIELLE ELEKTRO STATISCH E FELDER
hier noch Losungen in Polarkoordinaten untersuchen, d.h. in Kreiszylinderkoordinaten ohne z Abhangigkeit. Nach Tab. 1.3 haben wir in diesem Fall
„2
I d ( d<p\ , 1 d-<p
n
(3.50)
Ein Produktansatz
(3.51)
ip(g,a) = R{g)S(a)
bringt Gl. (3.50) nach Multiplikation mit Q1 j'~P auf die Form
i
j
L
(
-
R dg \ f dg )
(3.52)
1 , 2 5
1
S da2 1
auf die sich wiederum das Separationsargument anwenden lasst. Wir gelangen so
zu den beiden gewohnlicheu Differenzialgleichungen
g2 R"{l>) + gR'U>)
k 2 R.{g) = 0 ,
(3.53)
S ”{a) + k 2 S(a) = 0
m it der freien Separationskonstanten k 2 und den allgeineinen Losungen
R(g) — Ajg* + A 2g~k ,
(3.54)
5 (a) = B] cos(A,a) + B 2 sin(fca)
oder, fiir A- = 0 ,
&
R (g ) = A i + A-2 l u (a /g ) ,
(3.55)
S ( a ) = B i + B2O 1.
Ai, A*2i B], B 2 mid a > 0 sind freie Konstanten.
Das Potenzial fiir k = 0. erhalten durch Multiplikation von R und 5 aus (3.55),
ist
abgesehen von einer Konstanten — eine Uberlagenmg von drei Ter men.
<Pi(&) - Ci \n(a/g) ,
<p2(a) = C2a ,
<p3 (e,a) = C 3al n(a/ g) ,
(3.5fi)
denen die elektrischen Feldstarken
E\ (o,nj = ~ e g ,
E$(g,a) = C:i
£
=
,
jK i/T a b /U - 3
E 2 (g,a) = ~ — ea ,
Q
In {a/g)
<-Or
(3.57)
entsprechen. <p\ und E\ gehoren offensichtlich zu einer beidseitig unendlich ausgedehnten Linienladung der Dichte r = 2 i:eC\. Die Vektorlinien von E 2 sind dagegen
konzentrische Kreise. Konfigurationen dieser Art sind vor allem fiir Magnetfelder
wichtig (langgestreckte Linienstrome), linden ausschnittsweise aber auch in der
Elektrostatik Verwendung. ipz und £ 3 sind von geringem Interesse fiir die Losung
elektrostatischer Aufgaben: Die Spuren der Potenzialflachen und die Vektorlinien
bilden orthogonale Scliaren von Spiralen.
Wichtiger fiir die Anwendungen sind Losungen, die aus (3.54) folgen. Durch
passende Wahl der Koordinatenflache a — 0 lasst sich eine der beiden Konstanten
B 1, B 2 zu Null machen, sodass Uberlagerungen von Potenzialen der G ru n d fo rm
tp(g,a) —Ckgk cos(fca)
W-S0-.J -
£ 4
(3.58}
‘A &
( % ) U i W & (q/s )
-i A
Kcnskhk J
I
I
-qM%)
,
1 )-- Q < L
lfA ($)= Q O n (% )
(f jf e i)
74
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
mit beliebigen k- Werten und die zugehorige Feldstarke
E{g, a) — Ctckg k ~ 1
cos(A;a)ee + sin(A:a)ea ]
(3.59)
entstehen. Gehort der vollstandige Winkelbereich 0 < a < 2n zum Feldgebiet, so
muss fiir eindeutige Potenzialwert.e die Funktion tp(g,a) jedenfalls 2ir periodisch
in a sein. Dies erfordert ganzzahlige W e rte v o n k.
Je nach Wahl des Wertes von k entstehen unterschiedliche Felder. W ir erhalten
z.B. fiir k = —I Potenzial und Feldstarke
tp(e, a) = C - 1 COS^
,
E( g, a) =
[cos(a)<?e + sin(o)ert]
(3.G0)
eines e le k trisch e n L in ie n d ip o ls mit dem langenbezogenen axialen elektrischen
Moment p‘ = C - i 2tt£, wahrend sich fiir k = 1 ein hom ogenes ele k trisch e s Feld
ergibt,
¥>(01 «) = Ci£>cos(a) ,
E = C \ \ - cos (a)ee + sin(a)eQ] = —C \ex .
(3.61)
k — —2 gehort zu einem ele k trisch e n L in ienqtiadrupol usw.
Weitere niitzliche Konfigurationen ergeben sich durch Uberlagerung, etwa fur
k = 1 und C] ——E q mit k — —1 und C - \ — Eoa2,
•*>((>,&) = - E 0a ^
^
cos(cv) .
(3.62)
Dieses Potenzial gehort fiir g/a > 1 zu einem liomogenen Feld E q = E q?#,
wahrend der Kreiszylinder g = a die Potenzialfliiche <p — 0 bildet. Im Bereich g > a
beschreiben wir also offensichtlich das elektrostatische Feld um einen kreiszylindrischen, stromfreien Leiter, der in ein urspriinglich homogenes Feld Eo senkrecht
zu seiner Achse eingebettet ist.
Die allgem eine U berlagerung von Losungen des Typs (3.54) und (3.55),
eindeutig fiir 0 < a < 2ir, liefert eine Reihe, die wir z.B. in der Form
<p(g, a)
=
Ao + Bo ln(a/£)+
OO
+£
n= I
schreiben.
OO
A nQn sinfwv + /?n) + £
ti= 1
B ng~n sin(jia + j 7l)
(3.63)
3.2
SPEZIELLE ELEKTROSTATISCHE FELDER
75
A bb.3.5: Ausschnitt einer Darstellung des ebenen elektri­
schen Feldes in der Umgebung
der Kante einer diinnen Plat­
te gemaC Gl. (3.G4) mit (1 =
2ir. Die Spurcn der Potenzialflaciien sind ausgezogen, Parameterwerte 9 /C 1 . Die Vektorlitiien der elektrischen Feldstarke
sind strichliert gezeichnet.
Die K o n s ta n te k in Losungen des Typs (3.58) muss n ich t no tw en d ig ganzzahlig sein, wenn nicht das ganze Winkelintervall 0 < a < 2n 2 um elektrostati­
schen Feldgebiet gehort. Als Beispiel dafiir untersuchen wir das qualitative Verhalten des e lektro sta tisch en Feldes in d er U m gebung v o n sc h a rfe n K a n te n
langgestreckter, stromfreicr Leiter (Abb. 3.4). Bei Annaherung an einesolclie Kan­
te wachst der Betrag der elektrischen Feldstarke bekanntlich stark an, und es ist
interessant zu wissen, von welcher Art diese Singularity ist. W ir konnen uns dazu
auf einen kreiszylindrisclien Bereich mit dem (kleinen) Radius a uin die Kante
beschranken und dort Spiegelsymmetrie bezuglich der Ebene a = 0 voraussetzen. Damit sind Linearkombinationen von Losungen des Typs (3.58) brauchbar.
Die Randbedingung ip = 0 fiir a =
2, unabhiingig von g. erfordert dann
cos(fc/?/2) = 0, d.h, es sind Werte k = m r/fl mit ungeradzahligen n zugelassen.
Dies fuhrt auf eine Reihe
00
ifie-.n) =
£
C„(g/a)nv^ cos(nan/p) .
71=1,3,5,...
Die Bestimmung der Koeffizienten Cn, beispielsweise iiber eine Fourier Entwicklung von ip(a, a), lassen wir beiseite. Da der Exponent totj[i stets positiv ist,
envarten wir fiir kleine Werte g/a eine Dominanz des ersten Reihenglieds (Ci 4- 0
vorausgesetzt) und schreiben daher fiir das Potenzial nahe der Kante
<p(g,a) ss Ci ( g/ a )1' 1 J cos(an/f3) ,
g/a
1,
(3.64)
und fiir die zugehorige elektrische Feldstarke
E {0, a ) w ^ ^ ( 0 *
[ - cos(ft?r/(3)ce + sin(a 7r//?)eft] .
An diesem Ergebnis interessiert vor allem die Art der Abhiingigkeit von der bezogenen Radialkoordinate g/a. Fiir 0 < tt, entsprechend einer einspringenden Kante,
3
in
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
ist der Exponent tt/0 1 positiv. Die Feldstarke verschwindet dann bei Annaherung
an die Kante, Fiir /3 > 7r, also an einer ausspringenden Kante, ist der Exponent
dagegen negativ und der Feldstarkebetrag wachst fiir g/a —>0 unbeschrankt. Im
Grenzfall [3 — 2tt {Kante einer diinnen Platte) linden wir die Abhangigkeit in der
Form s/a/i>. Eine Skizze dieses Feldes zeigt Abb. 3.5.
Das elektrostatische Vektorpotenzial
In einem ladungsfreien, einfach zusammenhangenden Bereich konnen wir den Satz
vom elektrischen Htillenfiuss $ { d f ) — 0 und seine lokale Form V ■D = 0 durch
die Einfuhrung eines e le k tro sta tisch e n V ekto rp o ten zia ls V gemali
s,
rr
-
*VxfU?*'
—j
'
D = V xV
(3.65)
erfiillen (rechtswendige Zuordnnngen, Satz von Stokes). Bei Gultigkeit der Mate­
rialgleichungen D = eE mit £ = konst, folgt dann aus V x £? — 0 die Differenzialgleichurig V x (V x V ) — 0 fiir das elektrostatische Vektorpotenzial, analog zur
Laplace-Gleichung V2<^ = 0 fiir das elektrostatische Skalarpotenzial.
Haben wir speziell ein ebenes elektrostatisches Feld vorliegen, mit D und E
parallel zur xy- Ebene und Invariant gegeniiber Verschiebungen entlang der z Achse, so konnen wir das Vektorpotenzial als V = V ez mit V unabhangig von z
voraussetzen. Mit Bezug auf Abb. 3.6 reduzieren sich die Gin. (3.65) auf
U>- 17> V- VxV<%
(3.66)
¥(*/) = e [V'(T-a) - V ^ ) ] , 5 = - e : x W
d.h. der langenbezogene elektrische Fluss durch eine Zylinderflache .a/, deren Spur
in der xy Ebene den Anfangspunkt ?Ti und den Endpunkt r% besitzt, lasst
sich direkt als Differenz der Werte von V in diesen Punkten angeben und ist
unabhangig vom Verlauf von % (ladungsfreier Bereich!). Daraus oder direkt aus Gl.
( 3 .66)2 folgt, dass die Vektorlinien von D in der x y Ebene durch die Linienschar
V — konst, gegeben sind. In einem Medium mit D — eE , £ ~ konst., geniigt die
Funktion V in diesem Fall iiberdies der Laplace -Gleichung V 2 V'- = 0 in der Ebene.
Sind die Felder E oder ip bekannt, lasst sich V aus
E =
= - e , x V( Vf e) *
(3.67)
berechnen. So linden wir beispielsweise, zum Skalarpotenzial (3.64) gehorig,
V( q, a) = - e C iig /a ) ”^ sin(air/P) ,
(3.68)
wobei eine unwesentliche Integrationskonstante null gesetzt wurde. Die Linien V —
konst, entsprechen den in Abb. 3.5 strichliert gczeichneten Vektorlinien.
Ebene Feldprobleme und holomorphe Funktionen
Fiir eine grofie Klasse ebener Feldprobleme sowohl der Elektrostatik wie auch im
stationtiren magnetischen Fall stellt die Funktionentheorie wirksame und elegante
Hilfsinittel bereit. Ich werde die damit verkniipften Techniken hier nicht weiter
ausfiihren. mochte aber kurz einige gruudiegende Tatsachen zusammenstellen.
3.2
SPEZIELLE ELEKTRO STATISCH E FELDER
77
A b b .3 .6 : Zur Bercchiiung des
Flusses aus dem Vektorpotenzial in einem ebenen Feld. '6 ist
die Spur der Zylinderdfiche c/
in der x y -Ebene.
Eine koinplexwertige Fimktion / der komplexen Variablen ( —x + jy .
/(C) - u(x, y ) + jv ( x t y ) ,
(3.69)
heifit in einem Gebiet der komplexen Ebene (die wir mit der x y Ebene identifizieren) ho lo m o rp h , wenn sie dort in jedem Punkt differenzierbar ist. Dies ist
genau dann der Fall, wenn die reellwertigen Funktionen u und v stetig partiell
differenzierbar sind und auBerdem die Cauchy- Riemann Differenzialgleicliungen
dxu - dvv ,
dyu - - d xv
(3.70)
bestelien.
In eineinfladunpfreicn Gebiet eines ehenen elektrostatischen Feldes E - E.rex +
E yey mit D - sE, e ~ konst., und Translationsinvarianz beziiglich £ reduzieren
sich die Gleic:hungen V ■D = 0 und V x E = 0 auf
«
die mit u — E 3. und v — — E y genau den Cauchy-Riemann-Gleichungen (3.70)
entsprechen. Stetige part.ielle Differenzierbarkeit vorausgesetzt, definieren wir also
durch
(3.72)
E ( 0 = E x {x,y) - j Ey{x, y)
eine in la d u n g sfreien G ebieten holomorphe Funktion. Eine zugehorjge Stammfunktion
F(Q = ip{x,y) +;ix{*,y) ,
(3.73)
erklart iiber
c
F (0 = -
J E { a d<' + F{Co) ,
E{0 = - F f(Q ,
(3.74)
0>
JT f
i
’ j --
^
V -v
3
7$
i
J
.
' O/ j
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
durch Integration in der komplexen Ebene tiber eine Kurve von £o nach £, nennen wir ko m plexes P o te n zia l. F ist im Holomorphiegebiet von E ebenfalls
holomorph, aber i.A. nur dann eindeutig, wenn das Gebiet e in fa c h zu sa m m e n h a n g e n d ist. Wir werden das hier voraussetzen
gegebenenfalls sind Schnitte zu legen. Allgomein gilt fiir die Ableitung einer holomorphen Funktion (3.73)
+V
F ' = d*V +
= -jdyV + dyX
£fc)-ST%r)
(3'75)
in unserem Fall mit (3.74)^und (3.72) also
“ ~ *4
cj /tT
3e x = - d xip =
dyX ,
E y = —dyip — dx% ■
(3.76)
Wir erkennen damit in tp — Re(F) das elektrostatische Potenzial, wahrend \ =
Im (F) mit der in den Gin. (3.66) eingefiihrten Funktion V gernafi \ — - V / e zusammenhangt, d.h. mit dem elektrostatischen Vektorpotenzial des ebenen Feldes.
Ist
eine Kurve in der Feldebene mit dem Anfangspunkt Ci und dem Endpunkt
£2 , so liefert der Realteil von F(Ci) F(<£>) die elektrische Spannung entlang %\
und der Imaginarteil, multipliziert m it e. den langenbezogenen elektrischen Fluss
(s. Abb. 3.6).
Bestechend bei der Verwendung holomorpher Funktionen ist einerseits, dass
viele technisoh brauchbare Feldkonfigurationen durch formal recht einfache komplexe Potenziale dargestellt werden. Unser Kantenfeld (3.64) lasst sich z.B. aus
F « ) = C 1( C /o r /fl
(3.77)
gewinnen. Fiir weitere Beispiele verweise ich auf die angegebene Literatur. Andererseits vermittelt eine holomorphe Funktion w — f ( Q eine k o n fo r m e A bbildung zwischen der C Ebene und der w Ebene. Wir nennen eine Abbildung
konform, wenn sie, ausgenommen in einzelnen kritischen Punkten, winkeltreu ist.
Aus einem orthogonalen Netz, wie es z.B. durch die Spuren der Potenzial flachen
und die Vektorlinien der Feldstarke eines Homogenfeldes gebildet wird, entsteht
durch eine solche Abbildung wieder ein orthogonales, i.A. aber krummliniges Netz,
etwa wie in Abb. 3.5. Ausgehend von vorliegenden Konturen, d.h. Spuren von zylindrischen Leiteroberflachen, lassen sich konforme Abbildungen systematisch konstruieren und damit die zugehorigen Liniensysteme bzw. das komplexe Potenzial
finden. Ein Beispiel dafiir ist der Schwarz Christoffel Abbildungssatz zur Beliand
lung von Feldern in polygonal begrenzten Bereichen. Auch hier verweise ich auf
die Literatur.
D ie Laplace-G leichung in K ugelkoordinaten
Die Methode der Variablentrennung erweist sich auch bei der Behandlung raumlicher Potenzialaufgaben oft als brauchbar. Welche Klassen von Funktionen dabei
entstehen, hangt. von dem verwendeten Koordinatensystem ab. Neben den kartesischen Koordinaten, den Kreiszylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten gibt
es noch eine ganze Reihe anderer raumlicher Koordinatensysteme, die ebenfalls
eine Separation der Laplace-Gleichung gestatten. Wir werden hier beispielhaft die
Laplace Gleichung in Kugelkoordinaten untersuchen.
3.2
SPEZIELLE ELEKTROSTATISCHE FELDER
Wir suchen nach Losungen der
(r,9,a) (Tab. 1.3),
79
Laplace Gleiehung
1
r 2 sin(0) 98
+
in Kugelkoordinaten
d % = 0 . (3.78)
r 2 sin2{8 ) 'do2
Durch Eintragen des Produktansatzes
(3.79)
<p{r,0,a) = R{r)P(9)Q(a)
und Multiplikation mit r 2 sin2(8 ) / ( RPQ) folgt zunachst
sin2(6 )
2d i? \
sin(0) d
~ R aK' d ^ J + P d 8
—m
- ^ = 0 .
gda2
(3.80)
Die a Abhangigkeit ist im letzten Term isoliert, der deshalb gleich einer Kons­
tanten, wir schreiben sie als —n r , sein muss. Division durch sin2(i9) fiihrt dann
weiter auf
IA
R dr V
d rJ
+
P sin ( 8) <18
sur{9)
= 0,
(3.81)
worm nun der erste Term nur von r, die beiden restlichcn Ternic nur von 8
abhangen. Mit einer giinstigen Schreibweise n(n -I-1) fiir die hier eutstehende Separationskonstante ergeben sich schliefilich die drei gewohnlichen Dift'erenzialgloicliungen
d / 2d R \
d ' ,J“" '
d r \ dr J
n(n + 1)/? = 0 ,
sin(0) &9 sia(e)w
+
n ( n
+
1 )
-
m
P = 0.
sin (8 )
(3.82)
£ O + m »O -0.
dev2
Die allgemeine Losung von GL (3.82)i fiir den Radial toil /?. lasst sich leiclit finden,
R(r) - A ir" * A 2r
,
(3.83)
mit Integrationskonstanten A i, A 2. Als allgemeine Losung von Gl. (3.82)3 haben
Q(a) = B i cos(ma) 4- B 2 sinfm a) .
(3.84)
Gehort das ganze Winkelintervall 0 < a < 2 w zum Feld bereich, so muss, wenn
das Potenzial eindeutig sein soil, Q(a) jedenfalls 2~ periodisch sein, und damit
sind nur ganzzahlige m zugelassen. Liegt speziell Invariant gegeniiber Dreliungen
um die z Achse vor (Azimutalsymmetrie), dann kann ein eindeutiges Potenzial
uberhaupt nicht von a abhiingen, was in Gl. (3.84) m it rn — 0 erfasst wird (Die
allgemeine Losung von (3.82)3 fiir m = 0 ist Q(a) = B \ + B%a).
Es verbleibt nodi Gl. (3.82)2- Wir interessieren uns hier speziell fiir die Falle
m = 0, 1,2,... und nehrnen iiberdies an, dass das gauze Polarwinkelintervall
8U
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
0 < 0 < tt zum Feldbereich gehort. Dann sind fiir n ebenfalls nur Werte n —
0 ,1 ,2 ,. .. zugelassen, und Losungen von Gl. (3.82)2 lassen sich in der Form
P{9) = P™ (cob(0)] ,
m <n
(3.85)
darstellen mit zu g eo rd n eten L e g e n d re-F u n k tio n e n P™(C) erster Art des Ar­
guments £ = cos(0), m ter Ordnung und n ten Grades, beispielsweise
P$tt) = 1 ,
p ,0(0 = C = CO S (6) ,
P I (C) =
= S i n (0) ,
P2 i 0 = I (3C2 - l) - -J [3cos(20) + 1] ,
(3 gc)
P ^ O ^ v /F ^ ^ s in ^ ) ,
P | ( C ) = 3 ( 1 - C 2)
|l - c o s ( 2 0 ) | -
Die zugeordneten Legendre Funktionen 0 ter Ordnung P ° ( 0 =: Pti ( 0 — durch
sie werden azimutalsynmietrische Felder beschrieben — heifien fiir n = 0,1,2,...
L eg en d re-P o lyn o m e. Sie lassen sich durch
I
fin
'
" = 0’1' 2—
(3-87>
darstellen, und daraus folgen die Funktionen P™ ((,) iiber
P “(0 - (1 - C2)m/2 ^ P J . C ) ,
m *0,1 , . . ■
,» -
(3.88)
Manchmal ist es auch vorteilhaft, die Funktionen P™ cos(0)] mit cos(?n«) und
sin(m a) aus Gl. (3.84) zu K u g e lfta c h e n fu n k tio n e n Ynm(0,a) zu kombinieren.
Gehort nicht das gauze Polarwinkelintervall 0 < 0 < ir zum interessierenden
Feldbereich, so muss n nicht notwendig ganzzahlig sein. Dieser Fall tritt z.B. bei der
Unt.ersuchung des elektrostatischen Feldes in der Umgebung einer Kreiskegelspitze
auf.
Abhiingig von den Zalilen m und n und von den Integrationskonstanten ergeben
sich unterschiedliche Feldkonfigurationen. Im einfachsten, nichttrivialen Fall, n —
m = 0, erhalten wir aus Gl. (3.79) mit (3.83) bis (3.86)
V(r) = C / r ,
(3.89)
also das P o te n zia l e in e r P u n k tla d u n g im Ursprung. Zu n - 1, in = 0 gehoren
Potenziale des Typs
ip(r.8 ) — Crcos(Q) ,
Q
9 (r,0 ) — ~o c°s(0) ,
(3.90)
entsprechend einem ho m o g en en ele k trisch e n Feld in z -Richtung bzw. dem Feld
eines * -gerichteten e le k trisch e n D ipols im Ursprung. Fiir n — m — 1 haben wir,
wieder nach r Abhangigkeit unterschieden,
3.2
SPEZIELLE ELEKTRO STATISCH E FELDER
81
■t =
A b b . 3.7 : Im sonst leeren
Raum befindel sich eine homogen elektrisch polarisierte
Kugel. Gesucht ist das zugehorige elektrische Feld.
)
P -P C j ,
P = co n st.
<p(r, 9, a) = r sin(0) [Ci cos(a) + C 2 sin(a))
tp(r, 9, a) = Sli^ — [Ci cos{a) +
sin(a)] .
(3.91)
(3.91) 1, uberlagert mit (3.90) i, entspricht einem homogenen elektrischen Feld allgemeiner Richtung mit den kartesischen Koeffizienten E x = —C\ , E y - —C 2 ,
E ; - - C. Die Oberlagerung von (3.91)2 und (3.90)2 liefert dagegen wieder das
Potenzial eines elektrischen Punktdipols im Ursprung, aber allgemeiuer Richtung.
mit den kartesischen Koeffizienten {px ,Py ,Pz) ~ 47T£0(C |, C2, C3 ) des elektrischen
Moments. Durch Uberlagerung von Losungen zu n — 2 proportional 1 /r 3 lasst
sich das Potenzial von beliebig orientierten elektrisch en Q uadrupolen darstelle.11. usw.
Zur Befriedigung der Randbedingungen wird man haufig L o su n g e n d ieser
G ru n d typ en iiberlagem mussen, i.A. sogar in der Form einer unendlichen Reihe,
etwa
(3.92)
n=0
fiir Feldkonfigurationen invariant gegenliber Dreliungen um die z Achse. Besteht
der Feldbereich aus mehreren Teilen (z.B. unterschiedlicher Dielektrika), so ist fiir
jeden Bereich eine Losung zunachst. allgemein zu konstruieren und dann an den
Bereichsrandern anzupassen.
Betrachten wir dazu ein B eispiel: Gesucht ist das elektrische Feld e in e r
hom ogen elektrisch p o la risie rte n K u g el im sonst leeren Raum. Wir legen
dazu ein Koordinatensystem mit dem Ursprung in das Kugelzentrum und die z
Achse in Polarisationsrichtung, sodass P = P cz (Abb. 3.7). Zu unterscheiden sind
hier die Bereiche r < a und r > a. Wegen D — E + P mit P — konst, genugt das
elektrostatische Potenzial in beiden Bereichen der Laplace-Gleichung, und an der
Grenze r = a mussen die Sprungbedingungen n x [25| = 0, n • [5 ] = 0 gelten. Aus
der ersten dieser Bedingungen folgt \ip\ — konst., wir setzen o.B.d.A,
— 0. Die
^ w e ite Bedingung liefert [eo^rB Pr ~ Pcoa( 6 ) mit E r = —drip, d.h. eine fiktive
82
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
iz
V
A b b .3 .8: (a) Elektrisches Feld einer homogen polarisierten Kugel (Abb. 3.7) nacli Gin. (3.96).
Potenzialschritt P a /{ 12£o). (b) Eine Kugel aus dielektrischem M aterial, £> ~ 4. wird in ein
hotnogenes elektrisches Feld E i »" E ie - gebracht. Resultiereiicle Potenzialverteilung nach Gl.
(3.100). Potenzialschritt E ia jA .
Fliichenladung der Dichte a* ~ Pcos(0). Weiters verlangen wir Beschranktheit des
Potenzials im ganzen Raum. Unser Feldproblein lasst sich damit so formulioren:
V 2y? = 0 fiir 0 < r < a und r > a ,
ip beschrankt fiir r —0 und r —>oo ,
tpW —
{dr V ) ™
—0 ,
-
(drtpY1* =
-
P C O S ( 0 )/£O
\
> fiir r — a .
j
(3.93)
Die Feldkonfiguration ist jedenfalls azimutalsynimetrisch (unabhaugig von a).
Wir haben deshalb Losungen der allgemeinen Form (3.92) zu erwarten, wobei
wegen der Beschranktheitsbedingung B n = 0 fiir 0 < r < a und A n — 0 fiir
r > a gelten muss (j4o hefert eine unwesentliche Konstante). Weiters lasst ein
Blick auf die Sprungbedingung fiir die Normalableitung vermuten, dass mit n — 1
das Auslangen zu finden ist, weil Pi°[cos(0)’ — cos(0) genau die vorgeschriebene
Winkelabhiingigkeit wiedergibt. Wir versuchen also
<p{r, 9) — ;4rcos(0)
fiir 0 < r < a ,
y>(r, 9) = B r 2 cos(0) fiir r > a .
(3.94)
Lassen sich die Konstanten A und B aus den beiden Sprungbedingungen widerspruchsfrei bestimmen, so ist das Problem eindeutig gelost. Tatsachlich erhalten
wir
3.2
SPEZIELLE ELEKTROSTATISCHE FELDER
( B/ a 2) cos(0) - j4acos(0) = 0 ,
—( 2B/ a 3 )cos( 6 ) - j4 c o s ( 0 ) = ~(P/so)cos(0) ,
83
(3.95)
giiltig fiir alle 0, und daraus A = P/(Zsn), B = PdA/{ 3e0)- Unsere Losung ist
somit
P /j 'r
P
tp(r,9) = 7
cos(0 ) = - — z ,
3^0 Q
i>£o
0 < r < a ,
-
r > a .
<3 -9 ( i)
v M ) = 3^ ( “ ) COSm = 3 T o i l ) " '
wozu die elektrische Feldstarke
P
E - —-— ez , 0 < r < a ,
3^o
£ =
f - V [2cos(0)er + sin(0)euj ,
ofo \ r /
r >a
(3.J7)
gehort.
Dieses Ergebnis, dargestellt in Abb. 3.8a, ist bemerkenswert, Erstens entspricht
das Feld im AufSenraum r > a genau dem eines Dipols im Ursprung mit dem
Moment p = PAira3 / ‘S. Zweitens erweist sich die F eldstarke im In n e n r a u m
r < a als hom ogen und antiparallel zur vorgegebenen Polarisation, E — —
wahrend D - e0E + P — (2/3)P parallel zu P liegt. Ein Verhalten dieser Art
ist selbst bei homogenem P niclit immer zu erwarten, sondern ist eine speziel­
le Eigenschaft von Ellipsoiden (mit i.A. anderen Vorfaktoren), insbesondere von
Kugeln.
Mit unserem Beispiel haben wir gleichzeitig eine R e ih e ah n lich er Feldaufgaben gelost. Angcnommen, wir nennen die in (3.96) und (3.97) angegebenen Potenziale und Feldstarken <pj bzw. Ey und iiberlagern nun ein 2 gerichtetes Homogenfeld E '2 — E^e* mit dem zugehorigen Potenzial <p2{r,
— —E 2rcos(0) — - E 2 z.
Im Innenraum herrscht dann die konstante Feldstarke E = E c t - E 2 + E\ —
[E2 P/(3£o)]ej) wahrend im Aufienraum Ey mit wachsendem r abklingt, E sich
dabei also dem uberlagerten Homogenfeld E^ annahert. Jetzt kommt der wichtige
Schritt: Die Werte der Polarisation werden so eingestellt, dass sie einer vorgegebenen Materialgleichung P -= P( E) —sie kann durcliaus nichtlinear sein
geniigen.
Wir erkennen: Wird eine K ugel aus d ie le k trisc h e m M a teria l, das der Glei­
chung P = P( E) genugt, in ein homogenes elektrisches Feld E 2 — Eocz gebracht,
so stellt sich im Kugelinneren wieder ein homogenes elektrisches Feld E = E c z
ein, dessen Wert sich aus dem Zusanunenhang
3£0(E 2 - E ) = P{E)
(3.98)
bestimmen lasst. Dies gilt grundsatzlich auch fiir Ellipsoide, wobei allerdings die
Richtung von E im Inneren nur dann mit der Richtung von E 2 ubereinstimmt,
wenn eine der Hauptachsen parallel zu &> liegt. Gl. (3.98) ist zu modifiziercn.
Eine lineare Materialgleichung P(E) —to(tr 1)E, rechts in (3.98) eingesetzt,
liefert speziell
E = - ^ - £ 2,
£r + 2
P = J ^ 3 e0E 2 .
?(e) * %
£r + 2
(3.99)
3
m
STATISCHE UND STAT10N ARE FELDER
Aus (3.9G) folgt dann nach Uberlagerung des Potenzials <P2 {r, 0 ) ~ —E'>t cos(0)
die Verteilung
(3.100)
skizziert in Abb. 3.8b. Nach einem formalen Grenzubergang er —> oo ist darin
tibrigens auch der Fall einer leitfa h ig en K u g el im urspriinglich homogenen elek
trischen Feld enthalten. Wenn wir schlieiilich in (3.100) s r durch l / s r ersetzen,
so erhalten wir den Fall eines k u g e lfd rm ig en H o h lra u m s in einem didcktri­
schen Material der Permittivitatszahl er , falls das ungestorte Feld (ohne Hohlraum) homogen ist. Die Feldstarke E im Hohlraum ist wieder raumlich konstant
und gegeniiber E 2 uin den Faktor 3£r / ( l + 2er) erhoht.
A usgew ahlte Literatur
Eine gute Diskussion prototypischer elektrostatischer Felder bringt
R.M. Fano, L.J. Chu, R.B. Adler: Electromagnetic Fields, Energy, and
Forces. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 19G8,
mit einem etwas anspruchsvolleren mathematischen Apparat auch
J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 2nd ed. New York: Wiley,
1975.
Fiir die Grundlagen und Techniken der konformen Abbildung ist beispielsweise
G.F. Carrier. M. Krook, C.E. Pearson: Functions of a Complex Varia­
ble. New York: McGraw Hill, 1966
empfehlenswert. Zahlreiche Anwendungen finden Sie in
H. Prinz: Hochspannungsfeldcr. Miinchen: Oldenbourg. 1969.
3.3
R elaxation und K onvektion elektrischer La­
dung
Wir werden in diesem Abschnitt den Ausgleich und die Ansammhmg elektrischer
Ladungen in schwach leitfahigen, dielektrischen Korpcrn makroskopisch uutersuchen, olme und mit Einschluss der Bewegung. Die wichtigsten Ergebnisse dabei
sind nicht an quasi elektrostatische Situationen gebunden.
D ie Grundgleichungen
W ir setzen zunachst die Gleichungen des dominant elektrischen Feldsystems als
anwendbar voraus, also (Tab. 2.2)
/
R E L A X A TIO N UND KO NVEKTIO N ELEKTRISCH ER LADUNG
Transform atorol
P T F E (Teflon)
2 ,1
4,3- 10-J
IQ-4
1 0 -6
10_ n
IQ -15
^0
10
12 e0
80 £0
11 eo
2 ,2^o
2 £0
Tr/ S
Vo/Re in m /s fiir
L = 1cm
(10-19)
( 10 17)
(1,5- 10 s)
4 , 0 - 10‘1
6,7. 1 0 - 11
2,5■IQ- 7
7 • 10 "°
10~4
i—*
56 ■10°
85
O
Kupfer
Germanium
Silizium
reines Wasser
Galliumaisenid
£
4^
7 /S m - 1
1—
*
3.3
102
2
5 - 10“ 3
2 ■104
G ■1 0 -7
T a b .3.1: W erte bei 20°C der K onduktivital 7 , der Perm itLivitat r, d er R elaxationskonstanten
T r und der charakteristischen Geschwindigkeit v o / R e. Die D aten fiir H albleiter (Ge. Si, GaAs)
gelten fiir reine Eigenleitung.
Jy\<UkmJokyl-
V X E —0 ,
f i x (£] = 0 .
- '- = e '
* ■ & = *•
(3.101)
. J = -dtQ, n-\J\ = -d,cr.
Die Sprungbedingung zur Kontinuitatsgleichung der elektrischen Ladung gilt in
der angegebenen Form fiir raumfeste Sprungflachen und vernachlassigbare Flachenstrome. Zur Beschreibung des Materialverhaltens werden wir in der Regel die Glei­
chungen
D-sE,
J = -)E i gv
(3.102)
heranziehen, m it £ und 7 als bekannten Ortsfunktionen (isotropes, lineares, i.A.
aber inhomogenes Mat.eriaiverhalten). Die elektrische Stromdichte J besteht aus
dem konduktiven Anteil 7 E (Konduktionsstromdichte) und dem konvektiven Anteil gv (Konvektionsstromdichte), wobei das materielle Geschwindigkeitsfeld v
ebenfalls als bekannt vorausgesetzt wird.
Ist das Material zusatzlich auch homogen (e u n d 7 k o n sta n t), so lasst sich
mit. (3.102) und (3.101)3 die Stromdichte aus der Kontinuitatsgleichung (3.101)5
eliminieren. Wir erhalten dann die R ela xa tio n sg leich u n g S
dtQ + V - ((w)+ % = 0
(3,103)
zur Berechnung der Raumladungsverteilung, haufig der Ausgangspunkt fiir die
Losung eines (quasi )e!ektrostatischen Feldproblems.
Es ist aufschlussreich, die Relaxationsgleichung unter Einfuhrung charakteristischer Werte L fiir Langen, T fiir Dauern und uo fiir materielle Geschwindigkeiten
sowie mit V = LV, Bt — T'dt und v = v / vq in der bezogenen Form
^
dtg + tf eV ■(gv) + g = 0
zu schreiben, wobei die R e la x a tio n sze itk o n sta n te
(3.104)
Tr
und die elektrisch e
86
3
STATISCHE UND STA T IO N A R E FELDER
0-..U!
Abb.3.9: Eine Scliicht aus linearem , inhoinogenem M aterial ist beidseitig m it M etal lelektroden
belegt. Es wird das Entstelien von R aum laduugen untersucht.
R e y n o ld sza h l R f ,
'r
■LH -— £ i “ p T- t
7
7L
(3.105)
als KenngroBen auftreten. Sehen wir vom zweiten Term in Gl. (3.104) zunachst ab,
so folgt fiir groi3e Relaxationszeitkonstanten Tr*3>T naherungsweise 0tg as (J: Die
Ladungsverteilung andert sich nicht im Zeitmafistab T - ein typisches Verhalten
sehr guter Isolatoren. Umgokehrt relaxiert fiir T r -C T eine vorhandene Raumladung sofort, und es gilt g — 0. So verhalten sich elektrische Leiter. Der zweite
Term in Gl. (3.104) — er wird wesentlich fiir R, > 1 — erfasst den konvektiven
Ladungstransport. Tab. 3.1 gibt die Keungrofien fur einige Stoffe an.
Die Relaxationsgleichung (3.103) gilt nur fiir konstante Konduktivitat und Perniittivitat. Sind 7 und £ als Ortsfunktion bekannt, so folgt aus (3 . 101 )3,5 und
(3.102) eine Gleichung <j
(3.106)
dt [V ■(ei?)] + V - [v V - (eE )] + V • ( 7 e ) - 0
fiir die elektrische Feldstarke, oder, wenn wir iiber die allgemeine Losung E — —V<p
von (3.101) das elektrostatische Potenzial einfiihren,
(3.107)
eine Gleichung fiir dieses Potenzial. Meist lasst sich die Behandlung spezieller
Aufgaben jeaoch iibersichtlicher gestalten, wenn direkt vou den Gin. (3.101) und
(3.102) ausgegangen wird.
Ladungsrelaxation ohne Bewegung
W ir set.zen zunachst ruhende Korper voraus. In Bereich mit homogenen Materialeigenschaften gilt dann die Relaxationsgleichungen (3.103) m it v — 0, deren
17
yi'&j nu'i E
- ~ U|>
\3 j o ~ ) )
3.3
R E LAXATIO N UND KO NVEKTIO N ELEK TM SC H ER LADUNG
(3-/03 W l
fferfitc
jh u
@ oag)n:
87
^ §■-* f R$ -»9 JF>
T
allgemeine Losung sich sofort angeben lasst,
f!-> f T RdtQ + Q = 0 :
£ (f,t) = g(f,0)e~t/T,i .
(3.108)
Eine anfangiich vorhandene Raumladung verschwindet exponential! mit der Relaxationszeitkonstanten Tj> = e/ j . I m In n e r e n eines linearen, hom ogenen
M a te ria ls gibt es im sta tio n a re n Z u sta n d k e in e U berschussladungen. Ladungsansammlungen konnen nur an Materialinliomogenitaten auftreten, etwa an
Grenzflachen zwischen Korpern unterschiedlicher Eigenschaften. Da bei der Herleitung der Relaxationsgleiehung die Bedingung V x E = 0 nicht benotigt wird,
ist dieses Ergebnis ubrigens nicht an quasi elektrostatische Felder gebunden.
Wesentlich ist dagegen die vorausgesetztc Homogenitat des Materials, wie folgendes B eisp iel zeigt: Zwischen zwei parallelen Plattenelektroden, Plattenflache
A , befindet sich ein inhomogenes, schwach elektrisch leitfahiges Dielektrikum
(Abb. 3.9). Perm ittivitat und Konduktivitat. sind als Ortsfunktion e(.x‘) bzw. j ( x )
vorgeschrieben. Wir vernachlassigen Streuungen an den Riindern, setzen alle Felf ({) der als Funktionen von (x, t) voraus, und die gerichteten Grofien als senkrecht
'
<7^
zu den Plattenebenen. Eintragen der Materialgleichungen D(x, t ) = e(x)E(x, t)
j
und J{x, t) = 7 (x)E(x,t) in die Kontinuitatsgleichung i)TJ + 8 ,0 — 0 liefert mit
V
dxD = o die Gleichung entsprechend (3.100) und ein erstes Integral,
YQAJ ■ T(d) * ^ f/4 )
dt \dx{eE)] + dx {yE) - 0
:
e(x)dtE(x, t) -(- 'y(x)E(x,t) = f{t) ,
(3.109)
mit einer zu bestinimenden Zeitfunktion f(t). Wir erkennen in (3.109)-2 die Aussago des Ampere Maxwell--Satzes, konnen also f (t ) sofort mit i (t)/A identifizieren.
Ortat'
HI l *^ K
/ai x = H
Oder wit*
wir ir&mrotiHpti
verwenden rlin
die Nnrnncrnonlnmino'fln
Sprungbedingungen (3 . 1101)^0
bei
0 mn«r
(oder Koi
bei t
x—
= /rl
d),
j?
d t d (t.) + J (0, t) - i(t)/A = 0 ,
e(O)0,E(O,t) + 7 (0)£(0,«) = i(t )/ A ,
was genau Gl. (3.109) bei z
Weiters gilt
(3.110)
0 liefert. Daraus folgt durch Vergleich f i t ) = i{t)/A.
d
u{t) - j E(x, t) d.T ,
o
q(x , t)
= ( \ [£-(:i:)£(:r, t)] .
(3.111)
Ist die Anordnung urspriinglich ungeladen, so werden sich nach Anlegen einer
Spannung nicht nur Fliichenladungen der Dichten <j\ und (Tn einstellen, sondern
infolge der i.A. inhomogenen Materialeigenschaften auch Raumladungen der Dichte q. Beispielsweise erhalten wir mit u{t) — U — konst, im stationaren Zustand
t —* oo mit i(t) —>/ = konst, aus (3.109)2 und (3.111)
A'f(x) !
U
A
J
(J )
E{ x )
Sj
e(x)= jTk(x) , TR(x)=^
o
y(x) ’ (Q>
(3.112)
,
und im Speziellen fur 5 (3:) = £ = konst., j ( x ) —70(1 + a x / d ),
U ) . .'.C l u a ( 3 ^ 0 ^ J
Q )cm 4
flu I (/()
(3 ) o m a
(3 JM X ) :
;
E & ft)-1
h [ £ b ) E ( x ,t) ]*
1 6,,t )
- 7%
-> E f a i i ) - yA ~ ^ )
’T T T L /. ,
*
■m
3
^
STAT1SCHE UND STATIONARE FELDER
U
a
- d{ 1 + ax/ d) ' ln(l + a) ’
e(‘r;i “
eU
a2
d*( 1 + a x / d )2 ' ln(l + a) '
(3.113)
Feldstarke und Ladungsdichte liangen nicht von 70 ab. Auch bei guten Isolatoren
kann sich deshalb nach hinreichend langer Zeit durch Materialinhomogenitaten
etwa zufolge eines Temperaturgradienten — eine erhebliche Raumladung einstellen, die insbesondere bei einer plotzlichen Spannungsumkehr zu erhohten dielektrischen Beanspruchiingeii fiilirt. Ist i(t) ein sinusformiger Wechselstrom der
Kreisfrequenz u> m it der komplexen Amplitude £, so folgt aus den Gin. (3.109)2
und (3 . 111)2 fiir die komplexe Amplitude p(;r) der Raumladungsdichte
T r (x )
1 +j uiTR(x)
T 'r ^X)
A [1 + ju)Tx(x)\
(3.114)
wobei TR(x) — e(x)/'f(x), wie vorher, die ortsabhangige Relaxationszeitkonstante bedeutet. Mit wachsender Frequenz wird die Raumladungsdichte kleiner, weil
wahrend Periodendauern klein gegen T r keine merkbare Ladungsansammlung
moglich ist.
R elaxation und Konvektion
Fur ein m it dem Geschwindigkeitsfeld v( f , t ) in Bewegung befindliches Materi­
al gilt bei konstanten Werten der Perinittivitat e und der Konduktivitat 7 die
Relaxationsgleichung (3.103),
T r [d,g + V • (gv) + n = Q,
(3.115)
mit der Relaxationszeitkonstanteu T r = e / j . Die Kombination in der eckigen
Klammer ist die mitgeschleppte Zeitableitung fiir skalare Dichten, in unserem Fall
fiir q. Sie tritt, wie sich durch Anwendung des Satzes von Gaufi zeigen lasst, dann
auf, wenn die gewohnliche Zeitableitung unter das Integral iiber ein materielles,
d.h. durch die materielle Bewegung mitgefiihrtes Volumen gezogen wird. Bedeutet
Y ein solclies Volumen, so ist Gl. (3.115) die lokale Form von
TRQ (-r) + Q ( Y ) M 0 ,
Q( V) =
J gdV .
(3.110)
r
Die Losung von Gl. (3.116}i iiefert wieder einen zeitlich exponentiell abklingenden
Verlauf, woraus wir schlieBen: In einem homogenen Material strebt die elektrische
Ladung jedes materiellen Volumenelements, das sich auch bewegen und verformen
kann, gegen Null, sofern keine raumlich verteilte Ladungsinjektion erfolgt. Soil
elektrische Raumladung in einem Medium m it der Geschwindigkeit Wq iiber eine
Strecke L transportiort. werden, so darf sie im Zeitintervall L / v 0 nicht wesentlich
relaxieren, d.h. es muss T r > L / v 0 , also R e — T rvq/ L > 1 sein. Dies erklart die
Bedeutung der elektrischen Reynoldszahl R e.
Ein B e isp ie l soil die stationare Konvektion elektrischer Ladung verdeutlichen:
Ein langer, elektrisch polarisiejrbarer und schwach elektrisch leitfahiger, kreiszylindrischer Korper aus linearem, homogenem, isotropem Material liegt in einem
s./if4
^ s
3.3
R E L A X A TIO N UND KO NVEKTION ELEKTRISCH ER LADUNG
t
1 1
1 1
1
1
fIt
89
1
A b b . 3 .1 0 : Em kreiszylindrisclier Kor]x>r aus; scliwach elektiiscli leitfaliigem M aterial rotiert m it der Winkelgescliwindigkeit £2 um seine Achse in
einem asym ptotiscli liomogenen elektrischen Feld. Um Ver
wechslungen m it der Ladungsdichte e zu vernieiden, wird
die liadialkoordinate mit r bezeichnet.
y
X
transversalen, ursprimglich homogenen elektrisclien Feld (Abb. 3.10) und dreht
sich mit der konstanten Geschwindigkeit Q um seine raumfeste Achse. Wir wollen
die Verteilungen der Ladung und des Stroms und die elektrische Feldstarke im
stationaren Zustand bestiminen.
Im stationiiren Zustand ist jedenfalls g — 0, es konnen liochstens Flachenladungen an r = a auftreten. Damit gibt es an der Mantelflache zwar keine konduktiven,
i.A. aber konvektive Flachenstrome. Wir werden die zugehorige Randbedingung,
ausgehend von der Gleichung
^ ? jj- J &
n-
^ J a dA + J »•[J J dA
.o'
=0
(3.117)
Bf
fur materielle Flachen stf, direkt formulieren: Die Koordinaten eines materiellen Punktes an der Mantelflache sind {r = a,Q' = ao H I2t,z}', ein niaterielles
Flachenelement ist dA = adaodz, und deshalb gilt m it a(a, t) — cr(ao +
n = er und J ' = J (wegen g — 0 )
d_
dt
J ad A
J <r(fto +!?t,t)adaodz
=
=
J (di.ff + Qdacr) dA — J J r dA .
si
(3.118)
.o'
Im stationaren Fall {dto — 0) haben wir damit die Randbedingung
r = a :
Jr = Qdaa
(3,119)
zu erfiillen: Der auf die Mantelflache zufiiefiende Konduktionsstrom wird als Konvektionsstrom abtransportiert. Ansonsten gelten die Grundgleichungen (3.101),
wobei die Sprungbedingung zur Kontinuitatsgleichung durch (3.119) zu ersetzen
ist, zusammen mit g — 0 und den Materialgleichungen D —eE, J ~ 7 E fiir r < a
und D - EqE, J —0 fiir r > a. Nach Einfiihrung des elektrostatischen Potenzials
iiber E —
formulieren wir das Problem:
3
STATISCHE UND STATIO NARE FELDER
r < a. r > a : rdr (rdr<p) + d'^tp - 0 ,
<f{r. a ) ist 2tv periodisch in a ,
E r - - 8 rip , E a = ~^:dnip ;
r — 0 :ip ist beschrankt;
r —+ oo :ip —►—Eqt sin(fv)
(Homogenfeld E(ttty);
r = a :
J T = Qdau , J r = —7 drtp^- ,
a = —£qdrip^ + edr<p(l) , ip1-2^—(p'1-1' .
(3.120)
Losungen der Laplace-Gleichung in Kreiszylinderkoordinaten lassen sich wie besprodien systematiscli konstruieren. Mit. ctwas Erfahrung gehen wir direkt von
den Ansatzen
r
<a :
r >a :
tp =
—Eor [C\ cos(o) -I- Si sin(a')]
,
tp = —Eoa | - sin(a) + - [C> cos(a) + S 2 sin(a)] J
(3.121)
aus. Sie erfiillen die Differenzialgleichung. die Periodizitatsbedingung und die Bedingungen fiir r = 0 und r —* 00. Die Konstanten C \, S i, C 2 und S-j folgen aus
den Bedingungen bei r = a, giiltig fiir jcdes at. zu
P _ p _
2ffi?e____
/?
Cl
- C 2- 1 + (1+0)2R2
. p
_ 0_ ^
u _
e - £r . Rc
-
£n
7^ ‘
Sy = 1 + S2 = (1 + 0)R rC l .
(3‘122)
Die Losung (3.121) 1 fur das Zylinderimiere stellt ein homogenes elektrisches Feld
der Starke E\ dar,
E = E 1 [sin(5)ex + cos(<J)ejy] ,
2 /3ReE 0_
1
y/ 1 + (1 + P) 2R%
(l+j8)Bc
(3123)
das gegeniiber deni urspriinglichen Homogenfeld E^Cy urn den Winkel S entgegen
der Drehrichtung des Zylinders verdreht ist. Fiir R e = 0 (fi = 0) verschwindet das
innere Feld (Abschirmung durch Flaclienladungen), wahrend das aufiere Feld die
Form
E t — Eo (l + a2/ / 2)sin(a) ,
E a ~ Eo (l - a 2j r 2) cos(»)
(3.124)
fiir einen stromfreien, leitenden Kreiszylinderimtransversalen elektrischen Feld
annimmt. Dagegen entspricht fiir R e —> 00 (Cl —* 00) die Feldverteilung der eines
ideal isolierenden Kreiszylinders im Transversalfeld,
r < a : E — i^ r E o ^ ,
r > a : E r = E0 (l V
sm(a) ,
e’-+i r J
1
(3.125)
E a ^ £ 0 ( l + f ^ r t t ) cos (a) .
Insbesondere bleibt in diesem Greuzfall fiir eT - 1 das urspriingliche Homogenfeld
erhalten.
3.4
STA TIO N A R Y M AGNETFELDER
91
Abschliefiend berechnen wir noch das langenbezogene, resultierende Drehmo­
ment T ' = T'e* aus Gl. (2.129) (Indizes weggelassen), das vom elektrischen Feld
auf den rotierenden Zylinder ausgeiibt wird. Einsetzen der aufieren Randfeldstarke
E r — Eq [(1 - S2) sin(a) - C 2 cos(«)' ,
E a — E 0 [(1 + S2) cos(a) - C 2 sin(cv)’
(3.126)
zusammen mit r = n,er in
27T
f'
=
J e ner x
0
1 . ^ . 1
Er (E rer + E aea ) - ^ (E 2 + E'^) er a da =
o
271
-I
e0a E TE acz da
liefert nach Integration
T ‘ = -27r£0E^a2C2e^ ,
(3.128)
mit Cj2 aus Gl. (3.122) i. Das Drehmoment, entgegen Q = /2e, gerichtet, wirkt
bremsend. Sein Betrag verschwindet fiir R c — {) (Q — 0) und fur i?e —►oo (.f? —>
oo) und besitzt ein Maximum bei (1+/S2)i?^ = 1, d.h. |/2| = 7/(e+£o)- Wir konnen
uns iibrigens auch vorstellen, dass das eingepragte elektrische Feld Ey rotiert. Das
berechnete Drehmoment sucht dann den Zylinder mit dem Feld zu drehen, wobei
Q die relative Winkelgeschwindigkeit bezeiclmet.
A usgewahlte Literatur
Ausfiihrliches Material zur Relaxation und Konvektion elektrischer Ladung vom
makroskopischen Standpunkt und eine Reihe von Beispielen dazu enthalt
H.H. Woodson, J.R. Melcher: Electromechanical Dynamics, Part II.
New York: Wiley, 1968.
3.4
Stationare M agnetfelder
Die Behandlung magnetischer Felder, die an zeitunabhangige Stromverteil ungen
gekoppelt sind, weist eine Reihe formaler Ahnlichkeiten mit den elektrostatischen
Methoden auf. Der physikalische Charakter der Felder kann jedoch ganz unterschiedlich sein. So hat etwa im Gegensatz zur elektrischen die magnetische Feld­
starke im Allgemeinen Wirbel, wahrend die magnetische Flussdichte stets quellenfrei ist: Es gibt keine wahren magnetischen Ladungen.
Ist im sonst vollstandig leeren Raum ein System von stationaren Linienstromen
gegeben, so lasst sich die magnetische Flussdichte an jedem Ort nach dem Uberlagerungsprinzip durch Summation der Beitrage aller Linienstromelemente berech­
nen (Biot Savart Formel). Bekanntlich lasst sich dieses Verfahren auf flachenhaft
und raumlich verteilte stationare Strome erweitern. Auch die makroskopischen Fel­
der in Korpern sind im Prinzip so berechenbar, vorausgesetzt, es ist tatsachlich die
Stromverteilung iiberall im Raum bekannt, neben den wahren Stromen also auch
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
die fiktiven Strome in magnetisierten Korpern. Meistens liegt diese vollstandige
Information nicht vor, sondern es sind nur die wahren Strome bekannt, zusatzlich
aber Daten iiber die Feldgrofien an Bereichsrandern und die Materialgleichungen.
Allgem eine Eigenschaften des stationaren m agnetischen Fel­
des und Strom verteilungen
Verteilungen des magnetischen Flusses 4>, der magnetischen Spannung V und des
elektrischen Stoms I geniigen im zeitunabhangigen Fall den globalen B e zie h u n gen (2.57),
$ { 3 Y) - 0 ,
V( ds / ) - /(.e/) ,
(3.129)
oder, gleichwertig, den lokalen F o rm e n (2.58)
V ■B = 0 ,
V xH = J,
• [Bj = 0 ,
nx[Hj~K.
(3.130)
Daneben besteht die a llg em ein e V erknupfungsbeziehung (2.60),
H —— B - M .
Mo
(3.131)
Wir sctzen voraus, dass die GroBen J , K und M als zeitlich konstante Felder
vorgegeben sind, oder auf bekannte Weise von B bzw. H abhangen. Die S tr o m ve rte ilu n g muss zusatzlich qu ellen frei sein, d.h. (s. (2.59))
l [ d f ) - 0,
V -/-0,
n ■[jj] =0 .
(3.132)
Die Quellenfreiheit des magnetischen Flusses lasstsich als universelle Eigenschaft noch etwas allgemeiner formulieren: Gl. (3.129)] gilt nicht nur fiir den
vollstandigen Rand d Y eines Bereiches Y . sondern fiir jede geschlossene (d.h.
randlose) Flache (jede Flache s f mit 'd.<J — 0).
Durch die Einfiihrung eines weiteren Vektorfeldes A( f ) ^ des m a g n e tisc h e n
V ektorpotenzials, sind die Gin. (3.129)] und (3.130)^2 ganz allgemein formal zu
lflsen: Fiir jede Flache .5/ mit dem Rand d,e/ gelte
<P(,s/) = J i i
si
B d A = J s - A d s , B =■ V x A .
(3.133)
ds/
Fiir d&i — 0 verschwindet das zweite Integral, Gl. (3.129)] ist also immer erfiillt.
Gl. (3-130) 1 besteht mit Gl. (3,133)2 wegen der Identitat (1.42), V • (V x A) — 0.
Der Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen (3.133) wird durch den Satz
von Stokes (1.46) hergestellt.
Ausgehend von einer gegebenen Verteilung des magnetischen Flusses wird
durch die Gin. (3.133) nur iiber die Wirbelstarke bzw. die Rotation des magneti­
schen Vektorpotenzials verfiigt, d.h. zwei Felder A und A' mit gleicher Rotation
liefern die gleiche Flussdichte B = V x A' = V x A. Ihre Differenz ist wirbelfrei,
V x (A' — A) = 0, und lasst sich daher immer als Gradient eines Skalarfeldes C
3.4
STATIO NARE M AGNETFELDER
darstellen, A! — A = VC. Ist also A ein zu B gehorendes magnetisches Vektorpo­
tenzial. so fiihrt auch
A' = A + S?C
(3.134)
mit einem beliebigen (differenzierbaren) Skalarfeld auf die gleiche Flussdichte B.
Wir nennen den Ubergang von einem Vektorpotenzial A zu einem aiideren Vektorpotenzial A ' gemali Gl. (3.134) eine E ic h tr a n s fo r m a tio n (Die Addition ei­
ner Konstanten zum Skalarfeld des elektrostatischen Potenzials ist ebenfalls eine
Eichtransformation). In der Regel ist es gunstig, die durch die Eichtransformation
gebotene Freiheit zur weiteren Festlegung des Vektorpotenzials zu benutzen. Da es
hier nur auf die Rotation von A ankonnnt, konnen wir im Speziellen die Divergenz
von A passend wahlen, beispielsweise in Form der M a xw e ll E ichung
V • j4 —0 ,
(3.135)
auch Coulomb -Eichung genannt. Spater, wenn wir elektromagnetische Wellen be­
trachten, wird sich eine andere Eichung als vorteilhafter erweisen. Eindeutig ist
das Vektorpotenzial allerdings auch durch die Maxwell Eichung nicht, weil iinmer
noch eine Eichtransformation (3.134) mit einem harmonischen Skalarfeld C (d.h.
V 2C — 0) moglich ist. Zusatzliche Festlegungen an den Bereichsgrenzen oder im
unendlich fernen Punkt schaffen Eindeutigkeit.
Eine ahnliche Argumentation lasst sich iibrigens auch auf stationare Stromverteilungcn anwenden: Um die Bedingungen (3.132) der Quellenfreiheit allgemein
zu erfiillen, wird ein vektorielles ,,StrompotenziaF, die magnetische Feldstarke H.
derart eingefiihrt, dass J — V x H gilt. Die Eichung erfolgt dann mit der Vcrknupfungsbeziehung (3.131) bzw. uber Materialgleichungen.
In speziellen Fallen gibt es noch eine weitere Moglichkeit der Darstellung des
Magnetfeldes durch ein Potenzial. Wenn namlich die magnetische Spannung an je­
der geschlossenen Kurve ini betrachteten Bereich verschwindet, der ganze B e re ic h
also stro m fre i is t, konnen wir analog zur Elektrostatik auch ein m a g n etisch es
S ka larpotenzial tp\i benutzen: Fiir jede Kurve W mit dem Anfangspunkt f i und
dem Endpunkt r 2 gilt dann
V^) J * ~
~
"
~ V'A/
Y
(t^), H
- -V^aj ,
(3.136)
womit die Bedingungen V ( 8 .e/) = 0 bzw. V x f f ^ O fiir stromfreie Bereiche allge­
mein erfullt sind. Da die magnetische Spannung in einem ideal m agnetisierbaren K o rp e r entlang jeder Kurve verschwindet, stellen solche Korper insbesondere
einen B ereich k o n s ta n te n m a g n e tisc h e n S k a la rp o ten zia ls dar. Sie sind im
Inneren notwendig stromfrei.
Laplace- und P oisson-G lei chung
Nehmen wir zunachst an, der Feldrauin ist ganz mit einem homogenen, linearen,
isotropen Medium der Permeabilitat // ausgefiillt (insbesondere im leeren Raum.
fi — fio). Aus
V x i? ~ J ,
H = BJn ,
B
x A
(3.137)
—
v—
-
i
94
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
& ( % £ ) V \ f t ,y u/ ty f ;x t f - -
folgt zunachst mit der Identitat 13 aus Tab. 1.2
£
- f t
f- 7~)
$jt££tw & r\ cU& V / 4
V x ( V x i ) = V( V • A) - V 2A =* n J .
(3.138)
Die Maxwell -Eichung V ■A = 0 fuhrt. dann auf die P o is so n -G le ic h u n g f i i r das
*=£> m a g n e tisc h e V ektorpotenzial,
V 2A = - f i J ,
(3.139)
und in stromfreien Bereichen auf die L a p la ce-G leich u n g
V 2A = 0 .
(3.140)
Bei Verwendung kartesischer Koordinaten erhalten wir daraus fiir jede der Projektionen A T, A y, A z eine gewohnlichePoisson bzw, Laplace-Gleichung.(Aber Vors ic h t: Die Projektionen A L>. A (y, A , inKreiszylinderkoordinaten oder A r , A$, A,t
in Kugelkoordinaten geniigen i.A, fur sich nicht einer gewohnlichen Poisson bzw.
Laplace Gleichung fur Skalarfelder, weil die Basisvektoren ortsabhangig sind}.
Wie in der Elektrostatik konnen wir deshalb auch Grundlosungen des LaplaceOperators angeben, und insbesondere eine partikulare Losung von Gl. (3.139)
analog zu Gl. (3.14) iiber das Integral
= f
4n J \r — r '\
Y
= f
47v J
(3.141)
R
r
berechneu, wobei wir den Ortsvektor des Aufpunktes in Bezug auf einen festen
Ursprung mit f bezeichnen, den des laufenden Punktes (Integrationspunktes) mit
f ’. Ihren gerichteten Abstand kiirzen wir wie friiher (s. Gl. (3.16)) durcli R —
f f ‘ ab. dessen Betrag durch R - |f f'j. Die Integration ist iiber den ganzen
Tiagerbereich von J zu erstrecken. Um die Randbedingungen erfiillen zu konnen,
wird i.A. noch eine Losung Af,.{r) der Laplace-Gleichung (3.140) zu iiberlagern
sein. Wenn jedoch der Feldbereich den ganzen Raum darstellt, ein einheitlicher
Permeabilitatswert. fi besteht und J die Stromverteilung im ganzen Raum erfasst,
so gibt das Integral (3.141) bereits die vollstandige Losung an.
Beim Berechnen der zum Vektorpotenzial (3.141) gehorenden Flussdichte ist zu
beachten, dass die riiumliche Ableitung in Bezug auf die Feldpunkte (Aufpunkte)
r bei festen Quellpunkten f ' zu nehmen ist,
B p{r)
=
'dV'
V x A p( f ) = £ V x j —
R
'V
=
- £ / / , x ( ^ ) dv'•r
(3142)
WegeiVsVi?-1 = —e it/R ^ U it ea — R/R. erhalten wir
s »= £
v f e 1--
'=
r
/ ^
dV" ’
+ q ? J v ( y- V )
<3143)
=
C r - r ’J
e l
R1
)
3.5
SPEZIELLE STATIO N ARE M AGNETFELDER
die bekannte Formel zur Berechnung der magnetischen Flussdichte zu gegebenen
Stromverteilungen im ganzen Raum mit
= konst. Durch Spezialisieruug auf
LinienstrSme, J c\VI s d s , folgt daraus die Biot-Savart-Formel
■jf
fiir die magnetische Flussdichte zu einem Linienstrom der Starke I entlang einer
Kurve 'rf in Richtung des Tangenten-Einsvektors s.
Ist der betrachtete Feldraum, ausgefiillt mit einem Medium der konstanten
Permeabilitat //, e in fa c h zu sa m m e n h a n g e n d und stro m frei. so konnen wir
auch ein m a g n e tisc h e s S ka larpotenzial ip^ einfuhren. Aus
V-B=0,
B = nH ,
H — —V<pa/
folgt dann die Laplace-Gleichung
VVw=0.
m 7/
0
(3.145)
/n
~ v
^
(3.146)
Die bisherigen Ergebnisse lassen sich mit den im Abschnitt 3.1 besprochenen Darstellungssatzen der Potenzialtheorie in einen allgeineineren Zusammenhang bringen. So begrundet beispielsweise der Fundamentalsatz (3.18) unter den
genannten Voraussetzungen die Einfiihrung geeigneter Skalar- und Vektorpotenziale, In stromfreien Gebieten konstanter skalarer Permeabilitiit (insbesondere im
leeren Raum) sind B und H iiberdies harmonische Vektorfelder und damit gemafi
der Cauchy Integralformel (3.24) und (3.25) allein aus den Randwerten bereclienbar. Bemerkenswert sind in diesem Zusammenhang die Aussagen iiber die Mittelwerte harmonischer Felder, insbesondere (3.29), und iiber deren Maxima und
Minima. Auch Dirichlet , Neumann- und gemischte Randwertprobleme lassen sich
sinngemaB formulieren.
Ausgewahlte Literatur
E. Martensen: Potenzialtheorie, Stuttgart: Teubner, 1968
ist gut lesbar und enthalt vollstandige Formulierungen der Raudwertproblenie fiir
Vektorfelder. Empfehlenswert ist auch hier
K. Simonyi: Theoretische Elektivtechnik, 4. Aufl. Berlin: VEB Verlag,
1971.
3.5
S pezielle stationare M agnetfelder
In diesem Abschnitt werden wir magnetische Felder untersuclien, die durch spezi­
elle Symmetrien ausgezciclmet sind. Liegen beispielsweise in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem die magnetische Flussdichte und die magnetische
Feldstarke iii jedem Punkt parallel zur ay- Ebene und liegt iiberdies Translationsinvarianz entlang der 2 Achse vor, so sprechen wir von einem ebenen Magnetfeld.
Invarianz gegeniiber Drehungen um eine Achse kennzeichnet rotationssymmetrisclie Felder.
A J*
^ - 3*
96
->
STATISCHE UND STATIONARE FELDER
✓
K3= K, c o s (k x - a92) e z
■V
Y / / / / / / / / / / / / / / / / / y ////Y < < //J /////////////a
v /////y ////y ////A l v l ; ■' / / / / / / / / / / z y s / / / / / / / / / / / / / / / / f r / / / / / A
v % 7 ^
*<*'
7*. J x ^ V ^
VJ \
]<! =K, cos{ k x —19, ) e z
A b b .3 . J 1 : Die Bereiche y < 0 utid y > a sind ideal m agnet isierbar und tragen an ihrer Oberflache
j-g eric h tete, raumlich sinusformig verteilte Flachenstrom e. Die Anordiiung ist in x - und z Richtung beidseitig unendlich ausgedehnt. Gesucht ist das magnetische Feld im Spalt 0 < y < a.
Ebene M agnetfelder
$0r)~
Zu magnetischen Feldern mit der Flussdichte B stets parallel zu einer festen Ebene
— wir wahlen dafiir die .rty-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems
und
m it Invarianz gegeniiber Verschiebnngen normal zu dieser Ebene, d.h. entlang der
z-Achse. gehoren z -g e r ic h te te m a g n e tisc h e V ektorpotenziale A ™ A c, und
z -g e r ic h te te S tro m v erte ilu n g en , unabhangig von der 2 -Koordinate. Mit Bezug
auf Abb. 3.6 erhalten wir dann aus den Gin. (3.133)
\f-M
$ { s f) = t [A{fa) - A {ri)] ,
Va -
d.h. der langenbezogeno magnetische Fluss durch eine Zylinderfiiiche stf , deren
Spur ‘6 in der xy-Ebene den Anfangspunkt jrj und deu Endpunkt
besitzt,
lasst sich direkt als Differenz der Werte A des Vektorpotenzials angeben und ist
unabhangig vom Verlauf von . Die Vektorlinien von B in der x y Ebene, die
F lu sslin ie n , sind demnach die L in ie n A = k o n s t.
In k a rte sisc h e n K o o rd in a te n reduzieren sich unsere lokalen Grundgleichun­
gen (3.130) j t3 und (3.147)2 wegen der Uiiabliangigkeit von dor z Koordinate zu­
sammen mit J — Je> auf
A
&
(3.147)
B = - e z x Vj4
7
dxBx + dyBy — 0 , dgffy
—()xA
B x = By A , By
dyHx - J ,
(3.148)
wobei die beiden letzten Gleichungen offensichtlich die erste Gleiehung losen. Gilt
nun ini betrachteten Feldbereich die Materialgleiehung B - fiH m it // - konst.,
so geniigt die Funktion A der zweidimensionalen Poisson Gleiehung
K A + O -A -
,
4
(3.149)
in stromfreien Bereichen der zweidimensionalen Laplace-Gleichung. Die Konstruktion von Losungen kann daher ganz ahnlich wie bei elektrostatischen Feldern erfolgen.
( 3 j A2 o ) ;
y+ Q -V ? -o> o!x^(
(
(3 ,1 ^ 7 );
i
2x& Yi
A>\
)*
e } )--
^
* J jA $ -J * A e £
-J d^ 3 +
A
^
J2?
i'W''
- 2#
) ] — [ $ U - $ jA J
3.5
SPEZIELLE STATIONARE MAGNETFELDER
97
Als B e isp ie l untersuchen wir das magnetische Feld im ebenen Spalt zwischen
zwei hochpermeablen Korpern, deren Oberflachen mit raumlich sinusformig verteilten, gegeneinander verschobenen Flaclienstroinen belegt sind (Abb. 3.11). Es
handelt sich dabei urn das Grundmodell von Luftspaltfeldern, wic sie in vielen elektromechanischen Wandlern verwendet werden. Die Fliichenstroine repriisentieren
in der Regel in Nuten eingebettete Wicklungen. Die Lange tp — 7r/k heifit Polteilung.
Der Spaltbereich ist stromfrei, es gilt daher mit Gl. (3.149) die zweidimensionale Laplace-Gleichung^fiir A im Gebiet 0 < y < a. Weiters verschwindet
die magnetische Feldstarke in den ideal magnetisierbareu Teilen. Dies liefert iiber
n x [/f] = K und Gl. (3.148)3 die Randbedingungen bei y ~ 0+ und y = a - . Wir
haben also das R a n d w ertp ro b lem
3
0< y <a :
y = 0+
:
y - a:
d%A + dyA — 0 ,
dyA — -fio K i cos(fc.7,‘ - i?i) ,
dyA = hqK-2 cos(kx - %h)
-
---- -
(3.151)
nahe m it einer komplexwertigen Funktion A(y). Unscr Problem lasst sich dann als
Kl =
,
= MoK 2
K 2 - k 2e~}i>i
(3-152)
(3.153)
formulieren, wobei die komplexen Konstanten C } und C 2 der allgemeinen Losung
A(y) - C 1e~ky + C2eky
(3.154)
von Gl. (3.152)i aus den Bedingungen (3.152)2,3 zu bestimmen sind. Wir erhalten
A{y) -
cosh \k(a - y)] + k 2cosh(fc;i/)| ,
(3.155)
und mit (3.153) nach Eintragen in den Ansatz (3.151) schlieClich
>}
+ k 2COS! '( W cos( k x - t i 2) } ■
' sinh(/ra)
- ------- ------ / -----
0&C4r\ /!
A (z ,y ) = Re [ A (y )c ^ ]
A'(0) - - fi0K i ,
£
(3.150)
zu losen.
Die Randbedingungen legen einen Ansatz der Form
A"(y) - k2A(y) - 0 ,
«
(3.15(5)
Daraus lasst sich iiber die Gin. (3.148)3,4 die magnetische Flussdichte in jedem
Punkt des Feldraums 0 < y < a berechnen. Langenbezogene magnetische Fliisse
sind wegen Gl. (3.147)i direkt als Differenzen der Werte von A angebbar; graphische Darstellungen in Form von Vektorlinien der magnetischen Flussdichte entsprechen den Linienscharen A =■ konst. Auswertungen dieser Art sehen Sie in
Abb. 3.12.
fb)
K2 =Koos(kx)eI
(c)
K ] = K eos(kx)ci,
Id)
k = r r / t p , r,, = 2 a
, I\’> = — K c o s ( k x )cz
>
Kj =K oos(kx)el , k = ir/T
r,, =2a
A b b .3. 1 2 : M agnetische Felder gemaQ Gl. (3.156) im L uftspalt der A nordnung aus Abb. 3.11
fiir unterschiedliche Flachenstrom verteilungen. Die Vektorlinien sind m it den bezogenen W erten
A ( x ,y ) / A o , j4o = ^o /f/|fctanh(fco)j beschriftet.
3.5
SPEZIELLE STATIO N ARE M AGNETFELDER
99
A b b . 3 .1 3 : Zur Berechnurtg
der latigenbezogeneri Kriifle in
der Aiiordnung aus Abb. 3.11
Bei den Anwendungen von ebenen Spaltfeldern in elekfcromeclianischen Wtuidlern ist die Im p u lsflu ssd ic h te
Pe
~
=
^ - B 28 - — B ® B
2 fi0
~
Mu
+ Sv® Ev) + {B l + B l) c, S' ez -
2 ~ [iB l ~ B l)
~ 2B xB y (ex <8>cy +&y® ex)}
(3.157)
von Bedeutung, wobei im vorliegenden Fall
1
(B l + B l ) ~
2(10 K~ T
Mo
4smh2(/ra)
fca) I
(cosh[2fc(a —t/)] —cos(2kx —2 $ i)]■
I li'i [cosh(2A:j/) —cos(2fcx- -
j+
+ 2 R \ K '2 [cosh[/c(a - 2y)\ cos(i?i - tV2) —cosh(fca) cos(2fcr —
—1?2)] 1
(3.158)
die Energiedichte darstellt und
-Mo
I
4sinli~(A:a) I
—cosh[2fc(a —iy)] cos(2kx —2i)\)| +
4-A'l [1 —cosh(2/cj/) cos(2fcx —2i?2 )] +
+ 2 K \K 2 [cosh(fca)cos(i?i —$ 2 )—
—cosh[fc(a —2y)\ cos(2fcr - 1?] —1J2 )] | 1
~Mo B*B v
&
1
(3.159)
=
fL , \
{ K i sinh[2A:(a
4sinh (A;a) I
- ?/)] sin(2 k x - 2tf,) -
h 'j sinh(2/ty) sin(2/ca- —2x?2) +
4 2A | A'2 [sinh(7ca)sin(t9i ■- # 2)+
+ sinli[A(a —2y)\ sin(2fcx —$ 1 —^ 2)] 1 •
(3.160)
100
3
STATISCHE UND STATIONARE FELDER
W ir bemerken Periodizitaten in x Riditung mit der Periodenlange tp — ir/k.
Fijr die Ermittlung der Krafte, die von den beiden Korpern aufeinander ausgeiibt
werden, berechnen wir den Impulsfluss durch einen Streifen der Breite rp parallel
zur x z Ebene, sonst aber beliebiger Lage (Abb, 3.13).
Bezogen auf die Lange in z Richtung folgt dafiir aus den Gin. (3.157), (3.159)
und (3,160)
Fp f
=
—
J
ey * v j dx =
&Q
MoTp
K f 4- A'.j f- 2A'i A'o cosh(fca) cos(i?j
4 sinh" (ka)
$ 2 )]
unabhangig von xq und i/o• Tatsachlich stellt. Fv ' wegen der Impulsbilanz die
langenbezogene Kraft dar, die auf den unteren Teilkorper iiber eine Polteilung ausgeiibt wird. Ihre y-Koniponente bedeutet eine Nornialkraft, ihre x- Komponente
eine Schubkraft. Die Norraalkraft kann sowohl anziehend (Teilbilder (a) bis (c) in
Abb. 3.12) wie auch abstoBend (Teilbild (d)) wirken. Eine anziehende Norraalkraft
besteht iibrigens auch dann, wenn einer der beiden Flachenstrome verschwindet
(Teilbild (a)). Scliubkriifte gibt es nur, wenn die Flachenstrome gegeneinander
verschoben sind (Teilbild (c)).
In den Anwendungen sind die Verschiebungswinkel haufig zeitabhangig. Mit
u t + ■djo und
= wf + i92o liegen beispielsweise Stromverteilungen als
Sinuswellen vor, die mit der Geschwindigkeit to/k in x-Richtung laufen. Erzeugt
werden solche Wellen etwa durch Mehrphasensysteme von Sinusstomen in raumlich
geeignet verteilten Leitern.
Sind die erzeugenden Strome des Spaltfeldes raumlich nicht sinusformig verteilt, so konnen wir Losungen (3.156) mit variablen Werten k als Fourier-Reihen
oder als Fourier- Integrale iiberlagern.
Fiir die Berechnung ebener magnetischer Felder lasst sich in stromfreien Bereichen auch ein S ka la rp o ten zia l verwenden. Die Formulierung der Randwertprobleme gestaltet sich ganz ahnlich wie in der Elektrostatik. Holomorphe Funktionen
zur Darstellung k o m p le xe r P o te n zia le sind ebenfalls mit Vorteil einsetzbar, ins­
besondere zur Bereclmung magnetischer Felder in polygonal begrenzten Bereichen.
Drehsym m etrische M agnetfelder
Wir untersuchen hier stationare magnetische Felder, die sich durch Drehsymmetrie
bezuglich einer festen Achse
wir wahlen dafiir die z Achse von Kreiszylinderko­
ordinaten
auszeichnen. Dazu gehoren speziell rein azimutale Felder H — Haea
m it H„ unabhangig von a , die mit stationaren Stromverteilungen J = J peB+ J zez,
V • J = 0, verknupft sind. Sie lassen sich in der Regel direkt mit Hilfe des Durchflutungssatzes angeben.
Etwas anspruchsvoller in ihrer Behandlung sind Felder des Typs H - H gt e ■+
mit H q und H~ unabhangig von «. Sie gehoren zu Stromverteilungen J ■=■•
V*t
3.5
SPEZIELLE STATIO NARE M AGNETFELDER
^
x-.
101
£
o
J ( q, z)ea, insbesondere zu Ringspulen beliebiger Querschnittsform. Ist das Mate­
rial im Feldraum isotrop, so reicht zur Darstellung der magnetischen Flussdichte
iiber B — V x A ein Vektorpotenzial A — A(g, z)ea aus:
B„ = ~ d zA ,
V
B . = 1 de(gA) .
e
(3.162)
2-
H — konst, vorausgesetzt. folgt damit aus V x B = fiJ die Differeuzialgleichung
8
dg
19_
q Bq
(QA)
d2A
+ d ^~
-
7
f l J
(3.163)
fur die Funktion A, die iibrigens nicht die Form der Poisson Gleiehung fiir einen
Skalar besitzt.
Losungen von (3.163) konnen wie iiblich als Uberlagerung von partikularen
Losungen (beispielsweise —fi,Ig2/ 3 oder —fiJ z 2/ 2 in Bereichen mit J — konst.)
und Losungen der homogenen Gleiehung
d
do
1 d
Q dQ[gA)
(3.164)
angegeben werden. In stromfreien Bereichen gilt direkt Gl. (3.164). Sie lasst sich
durch den Produktansatz A(q, z) = R ( q ) Z ( z ) in die beiden gewohnlichen Differenzialgleichungen
+ X2R = 0 ,
Z" - X 2Z = 0
(3.165)
mit einer Separationskonstanten A2 iiberfuhren. Gl. (3.165)2 besitzt mit reellen
Werten k die Losungen
X= k
X = jk
: Z (z) -= C, eki + C 2c~k: ,
: Z (z) ~ Ci cos(kz) + C2 Sln(kz) ,
(3.166)
die qualitativ unterschiedliche z Abhangigkeiten darst.ellen. Ist der Feldraum z.B.
in z Richtung beidseitig unendlich ausgedehnt, so komint fiir beschrankte Werte
von A nur die Losung (3.1fi6)a unci damit A = j k in Frage. Gl. (3.165) i ist mit
C — Ag und u2 — 1 eine spezielle Form der Bessel Difterenzialgleichung fiir eine
Funktion /(£ ),
c2r + c/' + (c2 - v1)f = o.
(3.167)
Ihre Losungen sind die Bessel Funktionen erster Art J „ ( 0 UI1d zweiter Art 1 ^ (0 ,
die sich fiir imaginare Argumente auch als modifizierte Bessel Funktion erster Art
und zweiter Art K„ angeben lassen. In unserem Fall sind da her mit reellen
Werten k
X —k
A —j k
: R (e) = D, Ji (kg) + D XY { (kg) ,
: R(g) = D \I\(kg ) + D zK \(ke)
(3.168)
Losungen fiir den Radialteil, Die genannten Bessel-Funktionen verhalten sich fiir
C —*0 geniafi
J d A .2 _
__ ("
-) _ .
~P V*(?«&(£?) I $
* "P - h[ 3 M
y j
i f i b
102
3
STATISCHE UND STATIONARE FELDER
M O ~ ', ( 0 * (C/2)"/I> + 1)
-7rY0( 0 « 2A'0(C) ~ - 2 ln(C) ,
, ^
-7rY „(0 « 2/C(C) » r(i/)(2/C )" ,
-1, -2 ...,
Re(v) > 0 ,
und fiir |£| —* oo geinafi
*A'(C) « \ /2/(7rQ cos(C -
- 7r/4) ,
^ ( C ) ~ \/2/(7rC) sin(C - W 2 - 7r/4) ,
J„(C) * eVVSjF?, |arc(Ql < t t /2 ,
A '„«) « e_ c v/7r/(2C) , |arc(C)| < 3tt/2 .
v k /2
|arcfC)| < tt ,
|arc(C)| < 7r ,
(3.170)
Weiters gilt, wenn F„ irgendoine der Funktionen J„, Y,,, J„ oder e3*’JK„ bedeutet,
die Ableitungsbeziehung
(3.171)
F l = F u^ - V
-Fv .
Das Grenzverhalten (3.169) bzw. (3.170) bringt. weitere Einschrankungen. Gehort
z.B. die s-Achse (g — 0) zurnindest abschnittsweise zum Feldbereich, so ist in
(3.168) notwendig D> = 0. Fiir einen radial aufien unbegrenzteu Feld raum schliefien wir dagegen in (3.168)2 auf D\ = 0.
Angenommen, der Feldbereich euthalt dieganze z- -Achse und ist fiir q < Qq mit
einem festen Radius go stromfrei. Eine passende Losung dafiir, mit Sinusverlauf
in z Richtung, ist
A (g,z) = [C\ c°s(fc*) + C -2 sin(fcz)] Ii(kg) ,
g < go ,
(3.172)
m it noch freien Konstanten C i, C> und k. Wie iiblich, hvssen sich daraus durch
lineare Uberlagerung allgemeinere Losungen linden, etwa m it diskreten Werten
k =■ mr/a, n € No, als Reihe
CO
A (0,z) =■
[Ci„ cos(}tir*/a) -I- C 2„ sin(tt7rz/a)] I](iing/a) ,
(3.173)
H =0
oder mit kontinuierlichen Werten k und Funktionen C\ (k), Co(fc) als Integral
A{ q, z ) = f \C\{k)vos{kz) + C-z{k)sxn{kz)\I\(ko)dk .
k
(3.174)
Zu dieser Integraldarstellung gehoren gemali (3.162) die Flussdichtekoeffizienten
A;2
B 0( g , z )
=
J [Ci (fc) sin(/ci) —
C^ ( k )
cos(fc^) /j ( kg) k dfc ,
k]
kf
B z (q, z ) = I [Ci(A:) cos(kz) -I- C2(fc) sin(A:r)j Io(kg)kdk .
Als A n w en d u n g betrachten wir folgendes Problem: Entlang der
die magnetische Flussdichte bekannt,
B t{0,z)=b(z),
(3.175)
z
Achse ist
(3.176)
3.5
103
SPEZIELLE STATIONARE MAGNETFELDER
etwa durch Auswertung der Biot Savart Formel fiir Kreisstrome hi FeJdpunkten
auf der Achse. Gesucht ist das magnetische Feld in einer stromfreien Umgebung
0 < Q < Qq der Achse. Wir gehen aus von der reellen Fourier-Integraldarstellung
der gegebenen Funktion I>(z),
OO
5 ^(0 , z) — b(z) — J [cj(k) cos(kz)
4 C2(/r)sin(fcz)] dfc ,
i 7°
i 7
ci(fc) = — / b(z) cos(kz) dz ,
n J
co(fc)-= — I b(z) sin(A:i:) dz ,
n J
-o o
(3-177)
-o o
und erhalten durch Vergleich mit dem Ausdruck (3.175)2 fiir g = 0, k\ = 0,
k2 —* oo wegen /o(0) = 1 die Funktionen C l (k) und 6%(A:)
OO
OO
^ J b(z)cos(kz)dz
C i(k) =
, C2(k) =
J b{z) sin(fcz) dz
—OO
.(3.178)
—OO
Das gesuchte Vektorpotenzial besitzt somit die Form
OO
CO
A (e ,z) = J d k ^ ^ -
J b (z')c o s{k {z- z ')] d z ’ .
(3.179)
-x
0
Mit Hilfe der Potenzreilienentwicklung
00
If /2'l2n
M O -K W -E ^ V n + D
n =0
'
P ' 18")
lasst sich (3.179) weiter zu
00
2 n
A (e ,z) = § £
°°
00
J d * * 2" /
71=0
0
t>(z ')c°s[k(z - z')\ d z1
(3.181)
—oo
nmforinen. Andererseits folgt aus (3.177)
oo
b(z) --
i
oo
J dk J b(z') cos [*(s 0
2 '] dz' ,
-o o
J dk k2n J b{z') cos [k{z - z’)} d z’ ,
0
-oo
(3J82)
insgesarnt also
^ * > = 2 2 . „ !(„ + !)!
n=0
v
'
•
(3-18-1)
Dies ist eine Potenzreihenentwicklung in g fiir das gesuchte Vektorpotenzial.
10'i
3
STATISCHE UND STATIO N ARE FELDER
A usgew ahlte Literatur
Neben den bereits erwalinten Werken
.I D. Jackson: Classical Electrodynamics, 2nd ed. New York: Wiley,
1975,
K. Simonyi: Theoretische Elektrotechnik, 4. Aufl. Beilin: VEB Verlag,
1971
empfehle ich hier besonders
F. Ollendorff: Berechnung •m.agnctischcr Felder. Wien: Springer, 19D2.
K ap itel 4
Induktionserscheinungen
und W irbelstrom e
4.1
Q uasistationare Felder
Bei der Beschreibung des Verhaltens zeitlich veranderlieher magnetischer Fliisse
und elektrischer Strome in ausgedehnten, elektrisch gut leitfahigen Korpern spielt
das Induktionsgesetz eine wichtige Rolle. Verschiebungsstrome sind dagegen kaum
von Bedeutung und brauchen deshalb in der Regel nicht beriicksichtigt zu werden.
Allgem eine Eigenschaften
Wir setzen in diesem Kapitel die Giiltigkeit der Gleichungen des dominant magnetischen Feldsystems voraus (Tab. 2.2). Verteilungen des magnetischen Flusses
4>, der magnetischen Spannung V, des elektrischen Stroms I und der elektrischen
Spannung U besitzen demnach die allgemeinen Eigenschaften
(4.1)
Elektrische Ladungen spielen in diesem Feldsystem keine Rolle. elektrische Stromverteilungen sind stets quellenfrei. Wegen des Induktionsgosetzes ist der elektro­
statische SpannungsbegrifF hier i.A. nicht anwendbar, d.h. elektrische Spannungen
konnen i.A. nicht als Differenzen skalarer Potenzialwerte angegeben werden. Beachten Sie, dass die Gin. (4.1) auch fiir bewegte Bereiche und ihre Rander gelten.
Der Ubergang zu den lokalen Formen erfolgt mit den bekannten Integraltransformationen. Wir erhalten (Tab. 2.2)
V B = 0 ,
n ■[B] = 0 ,
V xH = J,
n x | H] = K ,
V x E = - d tB , n x
= w„[S] .
(4.2)
Zu erganzen sind diese Gleichungen durch Verkniipfungsbeziehungen und Materi­
algleichungen, fur deren Formulierung bei Anwesenheit bewegter Korper die Transformationseigenschaften dominant magnetischer Felder (Tab. 2.2),
105
4
IND UKTIONSERSCHEINUNGEN
B ' = B , H' = H ,
E' = E + v x B ,
J' = J ,
K’= K ,
(4.3)
bedeutsam sind. Fiir lineare, isotrope Werkstoffe folgt daraus insbesondere
B = fiH ,
J — 7 E ' - 7 (E + v x B ) ,
(4.4)
wobei wir hier in der Regel das Geschwindigkeitsfeld v (r, t) als bekaunt voraussetzen.
Ahnlich wie im stationaren Fall lassen sich auch hier durch die Einfuhrung
des m a g n e tisc h e n V ektorpotenzials A ( f.t) die Gin. (4.1) i und (4.2) 1.2 formal
losen, falls fiir jede Flache s / mit dem Rand d.oZ gilt
J s -A d s
</>(.(-/) = j n ■B d A =
.
' , ..,
=>
B —V x A .
(4.5)
Eintragen in die lokale Form (4.2) 5 des Induktionsgesetzes liefert danu
= 0»
,
V x ( £ + 3(J4 ) = 0
’—
I
I
t & d e f f r c i '■W'1 e ''HA/
=*-
E = - d tA - V ( p t
(4.6)
d.h. das Feld E + d,A ist wirbelfrei und deshalb als Gradient eines Skalarfeldes
—ip darstellbar. Im dominant magnetischen Feldsystem konnen wir in der Regel
^ _ 0 setzen und aufierdem die Maxwell Eichung wahlen,
V.i=0.
f>4 J, 4 ^
,4.7)
Dies impliziert V • E = 0 und setzt im Zusaminenhang mit dem lokalen ohmschen
flpfiptvz
= -fE wegen
wf»crpn V
X7 *• .7
Gesetz J —
J = fl
0 die Knnst.aii?
Konstanz der K’nnrhiktivitsSf-.
Konduktivitat '■
7v vnr^nc
voraus.
J. 7>
Spezielle Gleichungen
—
A v-E
;j
Uni uns einen ersten Uberblick iiber die erfiissten Vorgange zu verschaffen, werden wir die einfadien Materialgleichungen (4.4) m it konstanten Werten /; und 7
verwendeii und aus den Grundgleichungen (4.2) alle Felder bis auf die magneti­
sche Flussdichte und die Geschwindigkeit eliminieren. Wir erhalten zunaehst durch
Einsetzen vonJ[4.4)i in (4.2);; und von (4 .4)2 in (4.2);
_0
t
0
J
-
V-S-
1 - w 1 - ^
~ —V x B 1 - V x J - V x
(vx
B ) = - d tB ,
(4.8)
und daraus
x (V x B) + V x (£ x B) = dtB ,
(4.9)
oder, unter Benutzung von Gl. (4.2) 1,
— V2Z? = 3,B + V x ( B x v) .
M7
--------- ------ 1—
(4.10)
Diese Gleichung
sie wild im Zusammenhang m it magnetohydrodynamischen
Erscheinungen B u lla rd -G le ic h u n g genannt
beschreibt die Verteilung inagnetischer Fliisse in elektrisch leitfahigen, bewegten Medien mit konstanten, skalaren
Werten der Permeabilitat und der elektrischen Konduktivitat.
f^) ■=-77
( a)
—1
,
\
u)
; J -> ~
^
v \P ‘ ~
^
-J
A
-1
—> <7Vy <3 -
7
“M ^
i
1
A -i M -■>-'A -1 r~. - 1\ 17i>
" VAr| ~ V'U)~X)X
) -■
f
A1'
-4^ /?
-
ft-?**
£
?
*
($
f"
-
J + % ( ^ b ) -h Q
=)
178 - Ji
w* (8**?)
$
)
f V- i7* f
4.1
QUASISTATION ARE FELDER
107
v
'i t . y
A b b .4.1 : Ah der Grenzflaclie x = 0 des Halbraumes
x > 0 zum leeren Raum wird zum Z eitpunkt t = 0
sprungartig Hip konstante lriagrn'tisrlif Fpldst.iirkf Ho
tangential angelegt. Gesucht sind die anschlieliend sich
einslellenden Fluss- und Stromverteilungen.
7.
X
'Y/S*
Im Grenzfall fty —►oc ist die rechte Seite von Gl. (4.10) gleich Null, was
dem Verschwinden der mitgeschleppten Zeitableitung (2.49) der magnetischen
Flussdichte entspricht. Die Flussverteilung wird dann durch die Bewegung vollstandig mitgeschleppt, erscheint also gleiclisam in dem Korper eingefroren: Jede
Flache, deren Rand ganz im Korper verlauft, halt ihren magnetischen Fluss fest
— eine Vorstellung, die allgeniein fiir Vorgange anwendbar ist, die in einer Anordnung mit einer charakteristischen Lange L ablaufen und deren charakteristische
Dauer klein gegen die D iffu sio n sze itk o n sta n te
(4.11)
ist. In Spulen entspricht die Diffusionszeitkonstante der Zeitkonstanten Induktivitat durch Widerstand.
Im allgemeineu Fall findet ein Diffusionsprozess statt, bei dem ein magnetischer Fluss begleitet von elektrischen Stromen in den Korper eindringt oder sich
innerhalb des Korpers ausgleicht. Ist das Geschwindigkeitsfeld ini Speziellen zeitulmbhangig, so kann sich ein Gleichgewichtszustand einstellen zwischen den Effekten
des Mitschleppens und der Diffusion. Die zeitlicli konstante Flussverteilung wird
dann durch die Gleichung
— V 2B = V x (B
X V)
(4.12)
besclirieben.
Wenn es im Feldbereich keine bewegten, elektrisch leitfahigen Korper gibt,
dann reduziert sich Gl. (4.10) auf die vektorielle D iffu s io n s gleichung
V2S =
.
(4.13)
Wir erhalten daraus bei Verwendung kartesischer Koordinaten fur jede der Ko­
effizienten B x , By und B z eine gewolmliche Difi'usionsgleicliung vom Tyi> der
Wiirmeleitungsgleichung (lineare partielle Differenzialgleiehung zweiter Ordnung
vom parabolischen Typ). Vorsicht: Bei Verwendung von Kreiszylinderkoordina­
ten oder Kugelkoordinaten entsteht aus der linken Seite von Gl. (4.13) i.A. nicht
der skalare Laplace-Ausdruck fiir die entsprechenden Koeffizienten.
Ahnliche Uberlegungen wie fiir die magnetische Flussdichte lassen sich auch fiir
die anderen beteiligten Felder anstellen. So geniigen etwa die elektrische Stroin-
108
4
IND UKTIONSERSCHEIN UNGEN
dichte J und das magnetische Vektorpotenzial A im Fall v = 0 jeweils einer vektoriellen DiiFusionsgleichung der Form (4.13).
4.2
D iffusion m agnetischer Felder
Hauptsachlich anhand von Beispielen werden wir im Folgenden die Diffusion magnetischer Fltisse und die dam it verkniipften Stromverteilungen, meist Wirbelstroine genannt, untersuchen.
Eindringen des m agnetischen Flusses in einen Halbraum
Wir betrachten zuerst m it Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem einen
Halbraum x > 0 , urspriinglich feldfrei und durch die konstanten Materialparameter fi und 7 charakterisiert (Abb. 4.1). Durch eine passende Stromverteilung
in x < 0 wird zum Zeitpunkt t = 0 sp ru n g a rtig die k o n s ta n te T angentialfeldstarke H = Hoey angelegt, etwa durch einen Flachenstrom konstanter
Dichte K — K e z parallel zur Grenzflache. Fur den anschliefienden Ausgleichsvorgang erwarten wir Felder B = B{x, t)cy und J = J{x, t)ez, haben also die
Diffusionsgleichung (4.13)
d'*B =
h j dtB
(4.14)
unter deu Rand- und Anfangsbedingungen
xs0,(>0:
B =- B{) — fiHa ;
x > U,t= 0+ : B = 0
x■
—*t <x : B = 0 ;
(4.15)
zu losen. Nach Einfuhrung einer Bezugsliinge L, der Diffusionszeit.konstanten T,i
(Gl. (4.11)) als Bezugsdauer und der Wahl bezogener Langen- und Zeitkoordinaten
gemafi
x = £L ,
t - rT d „ Td st. ii-yL2
(4-1C)
liegt das R a n d -A n fa n g sw e rtp r o b le m fiir die Funktion
rj - B {x ,t) vor:
4 > 0, r > 0 : d2B = dr B ;
£ = 0, t > 0 : B = B 0 ;£ -» 00 : B ^ 0 ;
£ > 0,r = 0+ : B = 0 .
K
'
Es gibt mehrerc Losungsmoglichkeiten fiir Probleme dieser Art. Eine davon ist
die Anwendung der einseitigen Laplace-Transformation auf die Zeitvariable. Wir
definieren
(4.18)
B { ^ s ) = ^ { B [ ^ t ]}
und fiihren damit das Problem (4.17) auf das einfache Randwertproblem
B"(£,;s) = sB (^\s) ,
B(Q;s) = B 0/ s ,
B (oo;s)= -0
(4-19)
4.2
100
DIFFUSION MAGNETISCHER FELDER
t/T a
1.0
B
Bn
0 .5-
\
1
\ 0.1
0+
h
\
N
l/Tj
</T<
x /L
A b b .4 .2 : Verlauf der niagnelisclien Flussdichte B und der elektrischen Strom dichte J ini Halbraum aus Abb. 4.1, Ausgewertet sind die Gin. (4.23) und (4.24). Die DifTusionszeitkonstante T<(
ist durcli Gl. (4.16)3 gegeben.
zuriick, wobei die Laplace Variable s die Rolle eines Parameters iibernimmt. Die
Losung von (4.19) lasst sich leicht angeben,
(4.20)
und liefert nach Riicktransformation in den Zeitbereich
- Z?0erfc
B [ ^ t ] = B 0S T 1
l f c (
(4.21)
2 7 ?
)
mit der komplementaren Fehlerfunktion erfc,
OO
erfc ( 0 = -^= [ e~1' d/: = 1 - erf(C) ,
J
(4.22)
erf(C) = ^ /
e
dt .
4
INDUKTIONSERSCHEINUNGEN
Mit (4.16) folgt aus (4.21) in den urspriinglichen Variablen fiir die Flussdichte
B = B (x, t)ev ,
B (x, t) = Boerfc ( j ^
j ,
(4.23)
und fiir die Stromdichte iiber Gl. (4.8)i
J = J (x ,t)e z ,
J (x ,t) = ± d xB = - H o ^ e x p
•
(4-24)
Zugehorige Auswertungen zeigt Abb. 4.2. Als Langeninafistab wird dabei irgendeine Bezugslange L und, dam it vcrkniipft, als Bezugsdauer die Diffusionszeitkonstanto
(Gl. (4.1fi):i) gewahlt. Wir bemerken das folgende typische Verhalten:
Unmittelbar nach dem Feldstiirkesprung am Rand gibt es im Inneren des Korpers
noch keinen magnetischen Fluss - er wird durch den entstehenden, am Rand konzentrierten elektrischen Strom abgeschirmt. Ein deutliches Eindringen des Flusses
bis zum Randabstand L lasst sich erst nach Ablauf etwa eines Intervalls T,i feststellen. Die elektrische Stromdichte im Randabstand L nimmt zunachst zu, erreicht
ein Betragsmaximuin zur Zeit Zd/2 unci nimmt dann wieder ab, urn nach dem
vollstandigen Eindringen des Flusses ganz zu verschwinden. Je grofier die Wer­
te der Permeabilitat und der Konduktivitat sind, desto langsamer verlauft der
Diffusionsprozess.
Das sprungartige Anlegen der Randfeldstarke ist natiirlich eine Idealisierung.
Sie ist dann gerechtfertigt, wenn mit Bezug auf den gewahlten LangenmaCstab L
die tatsachliche Anstiegszeit als klein gegen die Diffusionszeitkonstante T j vorausgesetzt werden kann. In diesem Sinn ist auch der unendlich grofie Wert der Strom­
dichte bei x
0, t ^ 0 + zu verstehen, also das Ausbilden eines Flachenstroms:
Der notwendig entstehende Abschirinstrom wird urspriinglich in einer Randschicht
der Dicke
L zusammengedrangt.
Im Gegensatz zu Wellengleichungen sind parabolischen Gleichungen des Typs
(4.14) formal unendlich grofie Signalausbreitungsgeschwindigkeiten zugeordnet:
Die Information iiber das Anlegen des Feldstarkesprungs ist nacli Ablauf eines
beliebig kleinen Zeitintervalls bereits iiberall im Korper vorhanden
eine Konsequenz der Vernachlassigung von Verschiebungsstromen im dominant magnetischen
Feldsystem.
Weitere Einsioht.en folgen nach Einbringen einer zweiten charakteristischen
Dauer in den Diffusionsprozess. Wir untersuchen dazu wieder die Ausbildung des
magnetischen Flusses und des elektrischen Stroms im Halbraum aus Abb. 4.1
mit einer tangential anliegenden, ze itlic h s in u s fo r m ig v e rla u fe n d e n m a g n e ­
tisc h e n R a n d fe ld sta rk e
H - H ey , H (0, t) ~ Ho cos(ut)
(4.25)
im eingeschwungenen Zustand. Eintragen des Ansatzes fiir eine godampfte Sinuswelle,
B - Bfly ,
B (x, t.) - Re
kx)} ,
(4.26)
(k ist i.A. komplex) in die Diffusionsgleiehung (4.14) liefert die Bedingung
ilr.
k2 = - j m u :
i
r
_i* D«e
,
J—
k = ± ( 1 - j ) /S , 6=
,
i f u t A.)
a V tq u
d Jsfc * ) -
_
f f JU s * *
|
(4.27)
^
I
_
_
_
^
_
■"*- ^'
-
4.2
DIFFUSION MAGNETISCHER FELDER
A b b . 4 .3 : Verlauf
der magnetischen
Flussdichte
B
im
H albraum
aus Abb. 4.1 zu
unterschiedlichen
Zeitpunkten beim
Anliegen
einer
zeitlich sinusformigeu, tangentialen
Randfeldstarke.
Ausgewertet
ist
Gl.
4.28.
Die
elektrische Stromdichte J verlauft
analog,
zeitlich
uin
—37t / ( 4u>)
gegen iiber
B
verschoben. Strichliort
gezeichnet
sind die Hiillkurven
x /6
und aus der Randbedingung (4.25) > folgt
“ tiH$. Die Konstante <5 heifit aus
gleich ersichtlichen GrOnden E in d rin g tie fe. Von den beiden Vorzeichen in (4.27)->
fiihrt das negative im Ansatz (4.26) auf ein exponent idles Anwachsen mit zunehmendem x. Dieser Fall ist wegen des fehlenden zweit.en Randes auszuschliefien. Als
Losung ergibt sich demnach fiir die magnetische Flussdichte
B = B(x,t)ey ,
B(x,t)
=
R e [ B 0e ~ ^ s+^ t~x^
=
B0c~x/5 cos(wt - x/S) ,
^
(4.28)
und iiber Gl. (4.8) i fur die elektrische Stromdichte
A J = J(x,t)et ,
J{x,t)
=
R e | - ^ - ^ H 0e - l/5+JM - l/5 ) |
/2
(4.29)
- H 0-— e~x/ s cos(ut —x/S + tt/4) .
o
Eine Auswertung zeigt Abb. 4.3. Sie sehen das raumlich im Wesentlichen exponentiell mit dem Randabstand abklingende Verhalten, charakterisiert durch die
frequenzabhtingige Eindringtiefe & aus Gl. (4.27)-}. Es ist demnach nicht moglich,
magnetische Wechselfliisse in massive, elektrisch leitfahige Korper wesent.lich iiber
die Eindringtiefe hinaus eindringeii zu lassen — das Korperinnere wird durcli die
entstehenden Wirbelstrome abgeschirmt.
Die Wirbelstrome sind mit Joule-Verllisten verkniipft, die wir am einfachsten iiber den zeitlichen Mittelwert des Poynting-Flusses aus dem umgebenden
Raum in unseren Korper berechnen: Da keine anderen Energieformen beteiligt
sind, wird die iiber das elektromagnetische Feld im Mittel einflieBende Energie
=
«v>
J 5- - h i
^
v^
)
^
.
HE
4
IND UKTIONSERSCHEINUNGEN
A b b .4 .4 : An einer m agnetisierbaren und elek­
trisch Leitfaliigen Schicht der Dicke d mit
Abmessungen in y- und 2-R ichtung 3 > d
liegt beidseitig tangential cine zeitlich sinusformige, magnetische Feldstarke. Gesuoht
sind die Fluss- und Strom verteilungen in der
Schicht.
vollstandig in Warme umgesetzt. Uber E — ( J / j ) e z, H = (B /fi)e y, ex x {£)] = 0
und er x \H \ = 0 erhalten wir zunachst aus den Gin. (4.28) und (4.29) fiir den
Augenbliekswert des Poynting Vektors bei x = 0
S = E x H = S (x ,t)e x ,
1
H 2\/2
5(0. t) = — J (0 ,t)H (0 ,t) — ——— cos(wf) cos(w£ + 7r / 4 ) ,
7
70
und daraus den zeitlichen Mittelwert
p " = 5 (o
(4.30)
(o n
als Verlustleistung, bezogen auf den Inhalt der Randfiache. Die Joule Verluste,
auch Wirbelstroni'verluste genannt, steigen demnach quadratisch mit der R-andfeldstarke unci verhalten sich proportional zu yfui und zu y /fi/ 7 .
Soli ein niagnetisierbarer Korper zur Fiihrung eines magnetischen Wcchselfiusses verwendet werden, so muss die Eindringtiefe quer zur Flussrichtung mindestens
die GroBenordnung der kleinsten Querabmessung besitzen. Dies ist durch eine hinreichend kleine elektrische Leitfahigkeit erreiehbar, aber auch durcli die Schichtung
des Korpers aus gegeneinander elektrisch isolierten und parallel zur Flussrichtung
gelegenen Blechen zu Blechpaketen (L a m e llie ru n g ). Um die erforderliche Blechdicke und die auftretenden Wirbelstromverluste abscluitzen zu konnen, betrachten
wir gemafi Abb. 4.4 anstelle des Halbraums eine S c h ic h t d e r D icke d m it beid­
se itig ta n g e n tia l anliegender, ze itlic h s in u s fo r m ig v e rla u fe n d e r R a n d fe ld s ta r k e (4.25).
Ein Losungsansatz entsprechend (4.26) fiir die Diffusionsgleichung (4.14) lie­
fert unter Beriicksichtigung beider Vorzpichen vou k aus (4.27) und wegen der
Symmetriebedingung B ( x,t.) = B (x ,t) die Losung
B =■ B e v ,
=
B (x ,t) — Re Jz?(a.‘)ej“ s ,
(!-» /*
( « 2)
mit der Eindringtiefe 8 aus Gl. (4.27)3. Dazu gehort die elektrische Stromdichte
4.2
DIFFUSION MAGNETISCHER FELDER.
(M
(a)
0
113
0.25
0.50
0.75
1.00
-50"
d /o
A b b .4 .5 : Magnetischer Fluss und W irbelstrom verluste in d er Schichl aus Abb. 4.4.
(a) O rtskurve der komplexen, bezogenen Flussam plitude in Abliangigkeit vom P aram eter d /8
(W erte in Klam m ern). Ausgewertet ist Gl. (4.35).
(b) Bczogetie Joule-V erluste als Funktion von d /5 (Gl. (4.30)). Der Funktionswert 1 entspricht
der dicken Schichl d
S.
.1 = J e s ,
- Re
,
J W - -H „ k sb‘| ^ L ,
cos(fca/2 )
(4.33)
Fiir die Abschatzung der erforderlichen Blechdicke ist es interessant zu wissen,
wie groC der j/-gerichtete m a g n e tisc h e F lu ss in der Schicht ist. Wir berechnen,
bezogen auf die Lange in -Richtung,
d/2
0'(t.) =
j
B { x ,t)d a = Re <PVut] ,
r 'i/2
2B
— —7—tan(A:d/2 ) ,
(4.34)
fc
also fiir die komplexe Amplitude, bezogen auf den Wert Bod ohne Flussverdrangung,
$>’
Bod
tan(fce£/2 )kd
1 —j d
kd/2
2 ~~
2
6
(4.35)
Eine Auswertung in Abliangigkeit von d/5 in der komplexen Ebene zeigt Abb.
4.5a. Gegeniiber der vollstandigen Durchdringung (kleine Frequenzen bzw. Leitfahigkeiten) betriigt die Abnahme der Flussamplitude bei gleicher Randfeldstarke
ftir d = 6 (Blechdicke gleich der Eindringtiefe) etwa 2%, der Phasenverschiebungswinkel .jedoch bereits -9 .4 °.
114
4
INDUKTIONSERSCHEINUNGEN
A b b . 4 .6 : liinfaches Mu
dell
zur
Uutersuclmng
der
Strom verdrangung
in
wechselstromdurchflossenen
Leiteni.
Die W irb elstro m verlu ste lassen sich durch Integration der Joule- Leistungsdichte J 2/ 7 iiber das Plattenvolumen oder direkt aus dem Poynting Fluss durch
die beiden Randebenen bestimnien. Wir erhalten, bezogen auf den Flacheninhalt
in der y^-Ebene,
u/ j / r\ , ’
-
P» = ^
Re r -tan(fcrf/2)1 = flg sinhfrf/J) - sm(d/S) ^
7S2
t-j m-r
kdj2
7 5 cosh (d/5) + cos (d/5)
ausgewertet in Abhangigkeit von d/5 in Abb. 4.5b. Direkt ablesbar ist daraus der
Verlauf der Verluste mit der Schichtdicke d, bezogen auf die Werte im Grenzfall
der dicken Schicht, unter sonst gleichen Bedingungen.
Der Effekt der Flussverdrangung wird u.a. zur Abschirmung raumlicher Be­
reiche gegeniiber Wechselfeldern technisch genutzt. Die kontrollierte Ausbildung
von Wirbelstromen findet Anwendung in induktiven Heizungen. Durch passende
Frequenzwahl lasst sich dabei die Eindringtiefe und damit die ortliche Verteilung
der Warmequellcn in einem Werkstiiek gezielt beeinflussen.
4 % -Si Eisen
Leitungskupfer
Eir idringtiefe <5
50 Hz
1kHz
1MHz
0,77mm 0,17mm
5/zm
!),50mm 2 , 10 mm 67/im
Diffusioilszeitkon stante Tj
lm
0 .1 mm
1cm
0 ,11 ms
1 , 1s
3h
0,70/is 7,0ms
70s
T a b .4 ,1 : Typisehe W erte der Eindringtiefp und der DifTiisionszeitkonstanten fiir 20DC nach Gin.
(4.27)3 und (4.16)s .
Stromverdrangung
Elektrischer Gleichstrom verteilt sich in einem Loiter i.A. gleichformig iiber den zur
Verfugung stelienden Querschnitt. Dies gilt nicht fiir Wechselstroni: Bei hoheren
Frequenzen wird der Strom aus dein Leiterinneren an den Rand gedrangt. Wir wer­
den diese Induktionserscheinung, Stromverdrangung genannt, anhand eines einfachen Modells untersuchen.
Ein stabformiger, nicht magnetisierbarer L e tte r m it rechteckigem Q uer­
s c h n itt verlauft in d e r e in s e itig o ffe n e n N u t eines ideal magnetisierbaren, in
4.2
DIFFUSION MA GNETISCHER FELDER
115
2- Richtung elektrisch nicht leitfahigen (aus Blechen geschichteten) Korpers. Der
Leiter trage insgesamt den Sinusstrom
t(t) = Re (jy/2e>ui) .
'/rfjj.jfy)
(4.37)
Mit Riicksicht auf die Geometrie des Problems erwarten wir im Bereich x > 0,
0 < y < b die magnetische Feldstarke und Flussdichte y-gerichtet, die elektri- ( ^ J l {) .
sche Stromdichte im Leiter 2 -gericht,et, und Abhangigkeiten nur von x und t. Zur
Berechnung der Flussvcrdraugung im Leiter ist daher wieder die Diffusionsgleichung (4.14) zu losen, wobei Randbedingungen bei x — 0 und x = h durch den
Durdifiutungssatz geliefcrt werden,
$ ( h i '■)*■
Hffa )' i
£ (0 ,i) = 0 ,
B {h,t) = n o i(t)/b.
^
Ein Ansatz
B = B ( x , t)cy .
B (x. t) = Re
, .=■$&)(&>(&&)
(4.3D)
fiir den eingeschwungenen Zustand liefert dann fiir die komplexwertige Funktion
B (x) das Problem
B"{x) = j flolw B (x) ,
5(0 ) - 0 ,
B(li) = f i o l ^ f b ^
(4.40)
*-»-«/*■ < = £ ■
<«*>
und dazu die Losung
m -
Die zugehorige elektrische S tro m d ic h te folgt dam it wie iiblich aus Gl. (4.8)i,
J - J (x , t)ez ,
J ( , ;) =
k
bh
"Z .
.J(r, t) = Re [ . / ( x ) ^ ] ,
h
.
sin(fc/i)
(4.42)
Wahrend sich fiir k —>0, cl.h. w —> 0 die gleichformige Stromverteilung mit der
Dichte I\/2 /(b h ) ergibt. finden wir mit wachsender Frequenz tatsachlich ein Zusainmendrangen des Stroms am freien Leiterrand x = h. Das Leiterinnere einschliefilich des Randes bei x = 0 wird dagegen zunelnnend strom- und flussfrei.
Im Grenzfall w -» o o tritt der gesamte, vorgegebeno Strom als Flachenstrom am
Rand x — h auf.
Der EfFekt der S tro m v erd ra n g u n g bewirkt gegeniiber der gleichformigen Ver­
teilung grofiere Jo u le Verluste, global gesehen also in Bezug auf den gefiihrten
Strom eine W id ersta n d szu n a fcm e des Leiterstabes. Um dazu quantitative Aussagen madien zu konnen, berechnen wir den Energiefluss durch die Hulle in den
Leiter. Eine nicht verschwindende Normalkomponente des Poynting Vektors tritt
nur bei x — h auf, deshalb ergibt sich mit E (h) = J {h )/ 7 und H (h) - £?(/i) / / / 0 =
I\/2 /b fur den A ug en b licksw ert des E n e rg ie flu sse s in d en L e ite r
- 6 5 ,(M )
=
6 Re [£(fe)e»'“ ‘ Re [tf(/i)eJU,(]
=
^b R e^E (h )H * {h ) + E {h)H (h)ej '2^
,
{4‘43)
J ^
*
116
4
INDUKTIONSERSCHEINUNGEN
A b b . 4 .7 : O rtskurve der
bezogenen inneren Impodanz des Leiters aus Abb.
4.6 in Abhangigkeit vom
P aram eter h/5 (W erte in
K lam m ern). Strichliert gezeichnet ist die A sym ptote
Re(Z’/R;>
bestehend aus einem zeitlichen Mittclwert — der auf die Leiterliinge bezogenen, im
zeitlichen Mittel in Warme umgesetzten Wirkleistung P'
und einer liberlagerten
Schwingung der doppelten Frequenz. Wie in der elementaren Wechselstromtedinik lasst sich daher, bezogen auf die Leitorlange, eine k o m p le xe S c h e in leistu n g
S ' definieren, deren Realteil die langenbezogene Wirkleistung P ' und deren Imaginarteil die langenbezogene Blindleistung Q' liefert,
S ' = ^bE{h)H *(h)
i ^ f c /i c o t( M ) ,
P ' = Re(S') , Q' - Im (S') ,
und damit auch die langenbezogene, komplexe in n e re Im p e d a n z des Leiters,
Z ' = S 'f\ I 2 = R'0khcot(kh) ,
Hq = l/ijh ti) ,
k = (l~ j)/6 .
(4.45)
R'a ist der langenbezogene Widerstand ohne Stromverdrangung. Eine Darstel
lung als Ortskurve mit h/5 als Parameter gibt Abb. 4.7. Im Grenzfall kh —* 0
(u> —> 0) stimmt die innere Impedanz mit dem Widerstand ohne Stroinverdrangung iiberein. Mit wachsender Frequenz nelimen sowohl ihr Realteil
er ist fiir die
Joule Verluste verantwortlich - wie auch ihr Iinaginarteil
die innere Reaktanz
des Leiters
zu, asymptotisch proportional zu y/uj.
A usgew ahlte Literatur
Eine gute Behandlung der Diffusion magnetischer Felder mit Anwendung enthalt
H.H. Woodson, J.R. Melclier: Electromechanical Dynamics, Part II.
New York: Wiley, 1968.
In der Monographic
R.L. Stoll: The Analysis of Eddy Currents. Oxford: Clarendon, 1974
werden analytische und numerische Methoden der Wirbelstromberechnung entwickelt.
K ap itel 5
Elektrom agnetische W ellen
5.1
G rundgleichungen und P oten ziale
Elektrische und magnetische Felder, die wir in diesem Kapitel untersuchen, sind
sowohl iiber das Induktionsgesetz wie auch iiber Verschiebungsstrome im AmpereMaxwell Satz so eng gekoppelt, dass keine der beiden Komponenten als dominant
betrachtet werden kann. Wir werden deshalb eine allgemeine Losungstheorie fiir die
vollstandigen Maxwell Gleichungen entwickeln, uns dabei aber auf ruhende Korper
und ganz einfaches Materialverhalten beschranken. Anhand des Hertz Dipols las­
sen sich einige wichtige Eigenschaften von Strahlungsfeldern untcrsuchen.
Allgem eine Eigenschaften elektrom agnetischer Felder
Ausgchend von den Betrachtungen im Abschnitt 2.1 fassen wir zuerst die allgemeinen Eigenschaften elektromagnetischer Felder zusammen. Verteilungen der
e lektrisch en S p a n n u n g und des m a g n e tisc h e n F lv^ses erfiillen stets das I n ­
d u k tio n sg e se tz und den S a tz v o m m a g n e tisc h e n H u lle n flu s s ,
u( d.tf) +
${.<?/)
=
o,
$(& y)
=
o,
(5.1)
konsistente Orientierungen der Boreiche vorausgesetzt. Nach Darstellung der Verteilungen durch euklidische Vektorfelder folgen daraus die lokalen Bezieliungen
V x E + dtB = 0 ,
n x |£ | = 0 ,
V •£ - 0 ,
n • \B} = 0 .
(5.2)
Verteilungen der m a g n e tisc h e n S p a n n u n g und des ele k trisch e n F lusses sind
andererseits so konzipiert, dass sie zusammen mit Verteilungen ele k trisch e r S tr o ­
m e und L a dungen immer dem A m p ere M a x w e ll-S a tz und dem S a tz vo m
e lektrisch en H u lle n flu ss geniigen,
V{dtf) - # (* /)
=
I{sf) ,
*{& ?)
-
Q vn,
(5.3)
117
118
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
falls die Bereiche wieder konsistent orientiert sind. Der Satz von der E rhaltu n g der e lektrisch en L adung ist darin enthalten. Lokal ergeben sich nach
Einfuhrung der lokalen Reprasentanten die Beziehungen
&
V x H ~ d tD - J ,
V • D -= g ,
A*
n x [H] - K ,
n ■0 J
- a.
(5.4)
Mit physikalischem Gehalt ausgestattet wird dieses formale Geriist durch Einbringen der Eigenscliaften des Raurnes und von Korpern als Triiger des Strom Ladungs-Feldes, ausgedriickt in den Verkniipfungsbeziehungen und in Material­
gleichungen.
T
Elektrodynam ische Potenziale
IS
u fe)-
In einfachen Fallen lasst sich das System der Maxwell -Gleichungen direkt mit den
Feldstarken oder Flussdichten als abhangige Variablen losen. Haufig erweist es
sich, wie in Kapitel 3 deutlich wurde, jedoch als gunstig, Potenziale einzufiihren
und damit die Bedingungen (5.1) bzw. (5.2) im Vorhinein zu erfiillen.
& Zunachst lasst sich Gl. (5 .2)3 durch die Einfuhrung eines Vektorpotenzials A
iiber die Darstellung B ^ V x A formal losen. Eintragen in (5.2) i weist dann
wegen V x ( £ + d, A) 0 das Vektorfeld E + dtA als wirbelfrei aus, es ist somit
als (negativer) Gradient eines Skalarpotenzials <p darstellbar. Fiir jede raumfeste
Kurve %’ mit dem Anfangspunkt & i und dem Endpunkt £^2-, und fiir jede Flache
mit dem Rand d.v/ haben wir dann
f
-
a «■
f*)u[V)= js-E6s= ~ j 5-A d s +ip { & i)-ip { & 2) , E= dtA - V < p ,
#{^) = J n B d A ^ I s - ld s ,
rr-JfcO
fi~'M-ffail
€
=
B =V xA .
<5'5)
Im Rahmen einer nichtrelativistischen Kinematik gilt die Darstellung (5 .5)3 auch
fiir bewegte Fb'ichen, wahrend Gl. (5.5)i fiir mit der Geschwindigkeit v bewegte
Kurven wegen E r — E + v x B durch
)
u(v) =J s-e'ds= - A J s■i ds+(v■i l <p)3?i
(5.G)
zu ersetzen ist.
Durch die elektrodynamischen Potenziale A, ip sind zwar die Felder E , B eindeutig festgelegt, die Umkehrung gilt aber nicht. Wenn namlich die Potenziale
unter Verwendung eines hinreichend glatten, sonst aber beliebigen Skalarfeldes C
genannt Eichfunktion
einer Eichtransformation
A* = A + VC ,
^ - i p - dtC
(5.7)
unterworfen werden, so bestimmen die neuen Potenziale A'. Kp’ offensichtlich die
gleichen Felder E, B wie die alten. Die damit gewonnene Freiheit in der Wahl der
Potenziale gilt es vorteilhaft zu nutzen.
5.1
GRUNDGLEICHUNGEN UND POTENTIALE
Angenommen, die Strom- und Ladungsverteilung ist mit den Feldern J und Q
§bekannt, und der Feldraum ist mit einem Medium ausgefiillt, das sicli zumindest ^ 3 gi j ^ =>
bereichsweise durch konstante skalare Werte der Perm ittivitat £ und der Permeabi- /*
4
litat /; charakterisleren lasst (Zusammen mit /< = no und £ = £q konnen wir speziell
auch die effektiven Strom- und Ladungsverteiiungen J e, <j’ erfassen). Eintragen
I J
L
zuerst der Materialgleichungen H — B / /i, D = e E und dann der Potenzialdarstellungen (5 .5 )2,4 in die Gin. (5.4) 1.3 fuhrt auf die Beziehungen
'$2A - VV ■A - n sd fA - fi£Vdtip — - ) iJ ,
/ J
Ay
V 2<p 4- dtV - A = - o /e ,
die sich auch in der Form
V 2A - fi£d'2A - W
(5.8)
C
V ■A + p£dtip
(5.9)
V “V —i'td'tV + dt V ■A + iA£dt<p — —q/e
schreiben lassen. Durch eine passende Eichung konnen diese Gleichungen nun ver- "(fv JlA "tf V1-} - S
einfacht werden. So ist es manchmal vorteilhaft, die bcreits im Fall stationarer und
quasistationarer Felder eingefuhrte M a xw e ll E ich u n g
V*f
V -A = 0
)
it
(5.10)
zu benutzen. Tatsachlich lasst sich eine Eichfunktion C angeben, die es gestattet.
von einer belicbigen Eichung auf die Maxwell Eichung iiberzugehen. Gtinstig dabei
ist, dass das Skalarpotenzial if gemafi Gl. (5 .8)2 mit (5.10) eine Poisson Gleiehung
v2y?—-q!£
it
(5.11)
wie in der Elektrostatik erfiillt (daher auch die verbreitet.e Benennung ,.Coulomb
Eichung”). Ausgehend von Gl. (5.8) 1 lasst sich dann zeigen, dass das Vektorpo­
tenzial A fiir eine im ganzen Raum
gegebene Stromverteilung der Gleiehung
V2A - {isdfA - - fiJt .
Jt — J + V
/
V ' ■J '
i\V'
AitR
(5.12)
mit der quellenfreien (,,transversalen” ) Stromdichte ./< genUgt.
Haufiger findet sich in den Anwendungen eine durch die Form der Gin. (5.9)
nahegelegte Eichung. Gentigen niimlich die Potenziale der Bedingung
(5.13)
L o r e n tz -E ic h u n g genannt, so wird die Entkopplung in Form zweier inhomogener
Wellengleichimgen
V 2A — fied'fA ~ - f i J ,
V V —f i e d f t f ~
(5.14)
- q/ e
erreicht. Wenn die Potenziale A, (p nicht die Bedingung (5.13) erfiillen, dann
konnen sie durch die Transformation (5.7) mit einer Eichfunktion C, die eine
Losung der inhomogenen Wellengleichung
(5.15)
V 2C - tiEdfC = - V - A - n£dt<p
\
fW 'jUeh{ 4>
v’jii v
r% -
' c ] J
lC] , 0
^
ia)
]?i\ v1fV-£^4
--(^
fS-vtyAfy****?
m
5
ELEKTRO M AGNETISCHE W ELLEN
y2~)
S ,
'i)
-•>
?
. -j ->
i
darstellt, auf die gewiinschte Form gebracht werden. B e a c h te n Sie: Durch die
Lorentz-Eichung sind die Potenziale noch nicht eindeutig festgelegt. Es sind immer
noch Eichtransforinationen (5.7) mit Funktionen C moglich, die der homogenen
Wellengleichung V 2C — [isdfC — 0 geniigen.
-s
pV(V*1?)
'
•
1
=>
------- ^
Einfache W ellengleichungen
'
~^
'
In Medien mit konstanten, skalaren Werten der Permeabilitiit ft und der Perrnittivitiit e, insbesondere im leeren Raum, fiihren unsere Grundgleichungen (5.2) und
(5.4),
'
f a ) V x E + 8tB = 0 ,
Co) V x B - fiedtE =
V ■%
0,
p)
p^Cv-f)- v f
, V -E ^gft,
(5-l c )
nach Elimination von entweder B oder E auf
fa) V 2E - n e d fE = V q/ z + f i d j ,
$ ) V 2D — fiedfD = V{? + nedtJ ,
3) V 2B - n £ d 2B = - f i V x J ,
I\
(5-17)
(Ci)V2H - fi£d2H = - V x J .
Die strukturelle Verwandtschaft dieser Gleichungen fiir bekannte Strom- und La­
dungsverteilungen ist offensichtlich. Auch das Vektorpotenzial A erfiillt wegen
(5.12) i oder (5.14) i eine Gleichung dieses Typs, das Skalarpotenzial tp bei Lorentz
Eichung eine entsprechende Gleichung (5.14)j fiir skalare Felder. Ihre Grundform
( V2 ~
w =~f
(5-18)
w /-i-A
mit reellwertigen Funktionen
w (r,t) und f ( r ,t ) und reellen Konstanten c heiBt
y * (v* P y’fJt v?K&)~ P
inhotnogene W ellengleichung, im Fall / = 0 homogene Wellengleichung oder
—Y—>
zn \ / ' l ( V ) c J kurz Wellengleichung. Sie gilt
unter den genannten Voraussetzungen und mit der
^
^ '
A u sb reitu n g sg esch w in d ig keit
'/J£'k &■- i?
(2.) 17
V x t-»
/
^
^
E/
pi f-lV-£JtE - 3
/P *
C=1(Fi.irj)
direkt fiir ein Lorentz-geeichtes^Skalarpotenzial, aber auch fiir die k a rte sisc h e n
Koeffizienten der Vektorfelder A , E , B , D. H . Der in Klammern gesetzte Differenzialoperator in Gl. (5.18) heifit d ’A le m b e rt-O p e ra to r. Eine Funktion G{f, f ‘, t , ? ),
die fiir feste r, t der Gleichung
,
,
\
(5.20)
1
- vf< '
/ /_A n ')
/
”
=>
J*
geniigt, nennen wir G ru n d ld su n g des d ’A tem b e rt-O p e ra to rs. Wie sich zeigen
lasst, etwa durch Anwendung der Fourier-TVansformation, ist
( V
'
G ( r ,r ’, t , t r ) = 47r|f_ f ,t^
-H-\f-r>\jc)
r - y -A ^-V C
; ( v V - / * 4 ,c ) - - 5 £ i U y _
yVcJb ^
(5.21)
L
^
~==^ _ ------- ■==
5.1
GRUNDGLEICHUNGEN UND POTENTIALE
(a)
t
121
(b) L* #
A b b .5 .1 : Veranschaulichung d er K ausalitatsbedingung (5.22).
I
eine solehe Grundlosung, aber offensichtlidi auch jede Funktion, die daraus durch
Addition einer Losung g ( f , r ' , t , t ' ) fiir feste r. t der homogenen Wellengleichung
entsteht. Im Zusammenhang mit Rand- und Anfangswertproblemen werden Grundlosungen auch G re e n -F u n k tio n e n genannt. Ini Speziellen ist tier Ausdruck (5.21)
die Green Funktion der Wellengleichung fiir den unbegrenzten, vollstandigen Raum.
Sie beschreibt, wie sich die von einem singularen Ereignis im Raum Zeit Punkt
(f ' , t ' ) ausgehende Welle ausbreitet. Raum Zeit Punkte (v. t). fiir die (5.21) mit
festem (r ' , t ') Werte ungleich Null liefert-, ijegen auf dem Halbkegel
(5.22)
in dOr-vierdimensionalen Raum Zeit, Liclitkegel genannt (Abb. 5.1a). Er enthalt
alle Punkte (f, t). die eine zum Zeitpunkt t' am Ort r ' ausgesandte Welle erreichen
kann. Umgekehrt konnen nur solche Ereignidse ( f \ t ' ) ein Signal in einem festen
Raum Zeit- Punkt (r, /,) liefern, welche die Kegelbedingung (5.22) erfiillen (Abb.
5.2b).
Ahnlich wie fur die Poisson -Gleichung konnen wir auch fiir die inhotnogene
Wcllengleichung (5.18) partikuliiro Losungen durch lineare Uberlagerung mit Hilfe
von Grundlosungen in der Form
(5.23)
wp{ f , t)
angeben, wobei die Integration iiber den gesamten Tragerbereich der ,,Quellenfunktion” / in der Raum Zeit zu erstrecken ist. Wenn es sich bei der verwendeten
Grundlosung uni die Green Funktion eines vorliegenden Problems handelt, dann
haben wir damit bereits die vollstiindige Losung gefunden
zuinindest aber auf
Quadraturen zuriickgefiihrt. Beispielsweise liefert der Ausdruck (5.21) in (5.23)
nach Integration iiber t' die partikulare Losung
wp(r,t) =
J
r
- j f - f ’\/c)
■dV1
47r|r —r r\
(&J
J
jb *
X
(5.24)
& /c r
re & h
X
/jr ^
lo n g
n u r t* & - r
se&e nc^^oln^'l (<a)/h QcLouaUrct'&/»&(
t/
0 L * ' c 2 Scin'JU
d lo /C
H<Xo 4
Qa & d U r c L UQ 1,o r
f t ) /U ^si /vtOn
fto r k o m r n l-
.
122
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
die gleichzeitig die vollstandige formale Losung fiir den unbegrenzten Raum darstellt. Wir bemerken die Ahnlichkeit zu entsprechenden Losungen der Poisson ■■
Gleiehung (z.B. (3.14)): allerdings erscheint die Zeitvariable um den Betrag v —
f '\ / c riickdatiert, also genati uin die Zeitspanne, die das Signal benotigt, uni vom
Ort ?' an den Ort. r z u gelangen. Man nennt: die Darstellung (5.24) deshalb auclj
retardierte Darstellung und schreibt mit R ~ I?7- r ' | vereinfacht
(5.25)
beispielsweise fiir Lorentz ■geeichte elektrodynamische Potenziale als partikulare
Losungen der Gin. (5.14)
(5.26)
^ ~ 47T
T- J
f R dV> > V ~ —47Tf fJ R dV" •
In Anwendungen liegen sehr oft zeitlich sinusforinig sich andernde Feldgrofien
vor. die wir vorteilhaft, in der Form
w(f, t) ~ Re [w (f )eJU"] ,
f ( f , t ) = K e [ l ( f ) e ^ 1]
(5-27)
m it komplexwertigen Ampiitudenfunktionen w {r) bzw. f ( f ) schreiben. Damit ist
/ ( r t - |r —f '\ / c ) = Re [ / ( f '
;
(5.28)
und mit der Kreiswellenzahl k = w}c ergibt sich aus Gl. (5.24) 4
f ( r ' )e
"pi?) = J
■Y
47T1^ — v'\
<IV' .
(5.29}
Im Speziellen besitzen die Amplitudenfunktionen der elektrodynamischen Poten­
ziale (5.26) dann die haufig verwendeten, k o m p le x e n D a r s te llu n g e n 1
M n = f J j j n - w - 77r* v ,
-y
1
f
r - jk \r - r '\
(5.30)
Umfasst der Feldbereich nicht den ganzen, einheitlich durch die konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit c gekennzeiclineten Raum, sondern gibt es Rander, so
sind den partikularen Losungen zur Erfiillung der vorgeschriebenen Randbedingungen i.A. noch Losungen der homogenen Wellengleichung zu iiberlagern.
'Tatsaclilich wird nur A(f) benotigt, da sich <p(f) daraus iiber die Lorentz-Eichung (5.13) in
komplexer Form, V ■A = —juifisifi, bereclinen lasst.
IP-T^ J
I— ■) uj>p ( W ~
/A
C-ML
C 'r lr 1-y'l
r
'Lif
J-f-
r
Cr)
£,TtF^ro
$!y ‘
5.1
123
GRUNDGLEICHUNGEN UND POTENTIALE
Der Hertz Dipol
Um einige grundlegende Eigenschaften der Erzeugung und Ausbreitung elektro­
magnetischer Wellen kennenzulernen, werden wir ini Folgenden das elektromagnetisclie Feld eines schwingeuden elektrischen Dipols untersuchen.
Stellen wir uns zuerst eine kontinuierliche Dipolverteilung im leeren Raum vor,
charakterisiert durch das Polarisationsfeld P (r,t). Diesem entspricht die fiktive
Ladungsdichte gf = —V -P und die fiktive Stromdichte
=- d,P. Durch Einsetzen
in (5.26) und Vertauschen der Ableitungen mit der Integration ergibt sich2
•v
V
wobei die Retardation mit t' = t —R/ c q, cq — \
/
zu erfolgen liat. Es ist
in diesem Zusammenhang iiblich, den H e r tz - V e k to r II als ein weiteres Potenzial
einzufuhren, durch das die elektrodynamischen Potenziale A und tp auf einfache
Weise geiniifi
L
4
£-■ a Z
1
A = ^ d ,
fi,
v --V-fl
/
(5.32)
co
ausgedriickt werden konnen. Der Vergleich mit (5.31) liefert
I
(5'33>
y
das Hertz-Vektorfeld geniigt demnach offensichtlich der inhomogenen Wellenglei­
chung
-?>
v 2n -
Co
-
v vV
-p/so •
^ r 4 ^/ )ini ■- ~- %w
(5.34)
10
Nehmen wir nun an, ein ele k trisch e r D ipol mit dem zeitlich veranderlichen
elektrischen Moment pit) ist im U rsprung plaziert. Er ist als singuliire Verteilung
durch die elektrische Polarisation
(5 .35 )
darstellbar und erzeugt gemafi Gl. (5.33) das Hertz Vektorfeld
f5( - ) =
,
, . = |f | / 4 ’
(5.36)
4tr£0r
Unsere Aufgabe — die Berechiiung des elektromagnetischen Feldes eines elektri­
schen Dipols
ist damit f ii r beliebige Z eita b h a n g ig keit im P r in zip geldst,
2Die Vertuusclibarkeil der Integration m it der Zeitableitung in (5.31)i ist klar. Dass V '- als
V- in (5.31)2 vor das Integral gezogen werden kann. erfordert im direkten Beweis eine etwas
ausfiihrlicliere Rechnung m it Voraussetzungeu iiber die B eschranktheit von P fiir wachsende |r|.
Abgesehen von einem zeitunabhangigen Anteil lasst sich (5.31)2 ab e r auch aus (5.31)i uber die
Lorentz-Eichung (5.13) gewinnen.
jy' A r pT<-l¥ ! ) .
4T& J
y-
,
flur
I
124
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
weil sich aus dem Hertz Vektorfeld iiber die Gin. (5.32) die elektrodynamischen
Potenziale und daraus die Feldvektoren £ und B ableiten lassen. Es ist aber interessant, den speziellen Fall des Dipols m it s in u s fd r m ig sc h w in g en d e m M o m e n t
p(t) — Re [p e ]
(5.37)
niiher zu untersuchen, wobei wir im eingeschwungenen Zustand alle Felder F (r, t)
nach dem Muster
(5.38)
F{f , t ) = R e [ £ ( f ) ^ " ‘ ]
ihreiben und direkt mit den komplexwcrtigen, ortsabhangigen Amplitudenfunktionen F ( f ) arbeiten. Fiir den Hertz Vektor folgt dann aus (5.36)
peJw(/.-r/c0)
fi(r, t) = Re
p
m n = 4-ksq
e~3kr
-
r
(5.39)
k - w/c0 ,
was einer auslaufenden, harxnonischen Kugelwelle der Kreiswellenzahl k entspricht:
Die Flachen konstant.er Phase sind im Ursprung zentrierte Kugeln, die mit der
Lichtgeschwindigkeit Co wachsen. Uber die Gleichungen (5.32) erhalten wir daraus
zuniichst fur die elektrodynamischen Potenziale
p jk e -jkr
47T£o CqT°0
- (V -P ( 1
jk \
ip — —V ■n — - — ( —r n— J
4tt£o \ r z
r )
C U * $ p d T r t(b e n .-~
■
a fc c c g c ti^ y
(5.40)
-jk r
und schliefilich aus den Gin. (5.5 )2,4 unter Verwendung von V(er -p) — —eT x (er x
p )/r fiir die magnetische Flussdichte und die elektrischc Feldstiirke3
G
er x p
B
=
V xA =
E
=
—jojA — Vip
)u("
G>
a + ii
r
.1
to
Ajfe ! •LiTI £*>"C
:LzP
yA (x'’) e
,-jkr
4jt£o
—
Co
(5.41)
3erer - p - p
^
jk e
4-£o y 7
cr x (cr x £ )
k2c i kr
47T£o
r
Die magnetische Flussdichtelinien sind demnach koaxiale Kreise mit dem Zentrum
auf der Dipolachse, B liegt insbesondere orthogonal zur radialen Ausbreitungsrichtung er (TM Welle). Die elektrische Feldstarke liegt dagegen in der durch er und p
aufgespannten Ebene und besitzt i.A. eine Komponente in Ausbreitungsrichtung.
Im Grenzfall k —*0, d.h. w -> 0 , verschwinden A uikI B, wahrend <p und E das
statische Feld eines elektrischen Dipols angeben:
, ‘o f
<i>(r
d i 1 Lr
tp -
‘/ M -
e, -p
E =
47T£0r - ’
3cr e,. ■p - p
(5.42)
4lT£or3
Dieser elektrostatische Feldcharakter dominiert auch fur w > 0 die N a h zo n e
E kann wegen (5.16)3, d-li- E. ~ —j(c y /'jj)V x C, aucli direkt aus B_ berechnet werden.
>{
A
-
;L,
-j
rjL
~
£ ± T 4 . 4 k l - ^ i
L>T&
r J c
il
,
- [g i
H'
cjrfoY1
-jLr c
jlr
£
« t =lT/8
wt=ft/4
7.
/>
/tv
(
/
'-V
p(t),
u / r
/
/
/
/
A b b .5.2: Elektrom agnetisches Feld zu unterschiedlichen Zeitpunkten um einen elektrischen Dipol m it zeitlich sinusformig verlaufendem elektrischem Moment. D argestellt sind die Spuren von
RotationsHachen, die jeweils Bereiche konstanten elektrischen Flusses 'P begrenzen (Param eterw erte '2'l'/(kp) m it p(t) — pcos(u,'t)e: ) Diese Spuren represent ieren gleichzeitig Vektorlinien der
elektrischen Feldstarke.
y
cz-
C-=
> f
Itr<<A
y
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
12 fl
~ '(«A
«A
M
2E r«A
kr -C 1 , d.h. den Feldbereich bis zu Abstanden r von Quelle, die klein gegen die
Wellenlange A = 2n/k sind:
/>
ts
er x p jk
B = —:------ — ,
47T£oJ‘2 Co
J c l i 'e " - * ] -
kr <c 1 .
(5.43)
Den GroBenordnungen nach sind elektrische Feldstarke und magnetische Flussdiclite in dieser Zone iiber i?| « (Ax/co) |i?| verkniipft.
Ganz anders verhalt sich das elektromagnetische Feld in der F e m z o n e kr » 1,
auch Strahlungszone genannt, d.h. in Abstanden r von der Quelle, die grofi gegen
die Wellenlange A — 2n/k sind: Unter Beibehaltnng nur der fiihrcnden Terme in
den Ausdriicken (5.41) erhalten wir
-- { ( f M i ' i * * )
B =
n e ^)J -
-j fr fl* F * +■
3erer •p - p
E — — ----~ ~ ,
4tt£o?''
er x p k2e jhr
4tt£o
cor
E = -
er x (e,. x p) k 2e jkr
4jt£o
r
(5.44)
B und E stehen zwar nach wie vor senkrecht aufeinander, beide Vektoren liegen
nun aber auch senkrecht zur radialen Ausbreitungsrichtung er (TEM Wellen). Aufierdem klingen ihre Amplituden mit wachsendem Abstand r nur mehr proportio­
nal zu 1jr ab. Dieses Verhalten ist typiscli fiir elektromagnetische Strahlungsfelder
punktformiger Quellen. Eine Darstellung des Feldes, die alle Zonen umfasst, sehen
Sie in Abb. 5.2.
Interessant ist in diesem Zusammenhang die U n tersu ch u n g des E nergieflu s s e s im elektromagnetisehen Feld, lokal reprasentiert durch den Poynting
Vektor (Energieflussdichte)
■t
S = E x H = Re ( E e >wt) x Re (jfe**")
-
Ref \ e
x H +
ig x H c ^ 1
(5.45)
oder dessen zeitlichen Mittelwert
{ S ) = R e (5 ) ,
S= -E xH
.
(5.46)
Einsetzen der berechneten Felder E und H = B j n o aus Gin. (5.41) liefert
<S> =
ICr x p |2 c0 A:4
„
32ir2e0
(5.47)
also einen radial nach an Ben gerichteten Energiefluss, der entlang der Dipolachse
verschwindet. In ein Raumwinkelelement dS7 (Abb. 5.3a) wird demnach die Wirkleistung dP = eT ■( 5 ) r 2df2 abgestrahlt. Die raum w inkelbezogene S trahlungsleistu n g (\er x p |2 = |p | 2 sin 2 (0 ))
~
d n =e'
13\ 2 \2\2cOk4 . 2/n\
(s)r =
(5.48)
5.1
GRUNDGLEICHUNGEN UND POTENTIALE
127
(b)
’
~ s i n 3 (9)
A b b .5.3: (a) Z ur Definition des Raumwinkelelements. (b) W inkelverteilung der raumwinkelbezogenen Strahlungsleistung (StrahlstSrke) des strahlenden elektrisclien Punktdipols nach Gl.
(5.48).
irri optischen Bereich auch S tra h lsta rk e genannt (Abb. 5.3b), ist — typisch fiir
Punktstrahler
unabhangig von r. Schliefilich ergibt sich fiir die g e sa m te S tra h ­
lu n g sleistu n g durch Integration uber den vollen Raunivvinkel
Ippco/c4
127T£o
U12 1
(5.49)
12?r
Die universelle Konstante
(5.50)
7
&0
= \ ---- — /ioco = ------ = 370,730. ..Q
V £0
Sq Co
1
heifit c h a ra kte ristisc h e Im p e d a n z des leeren R aum es.
Der Hertz Dipol kann als M odell f ii r o ffen e A n te n n e n dienen, deren Abmessungen klein gegeniiber der Wellenlange A - 2 n /k - c0/ / der ausgesandten
elektromagnetischen Strahlung sind. Nelimeti wir zuerst an, elektrische Ladung
wird lediglich an den Stellen £ — ±£/2 gespcichert und uber eine geeignete Doppelleitung als Sinusstrom mit dem Effektivwert I zugefiihrt (Abb. 5.4a). Im eingeschwungonen Zustand gilt dann fur die komplexe Amplitude des elektrisclien
Moments
p — - j\f2 It,tw e . ,
"S
.
(5.51)
und damit iiber Gl. (5.49) und k = 2ir/X fur die gesamte Strahlungsleistung,
ausgedriickt durch den Speisestrom,
p = f ( ! ) 2^ -
(5'52>
Es ist iiblich, diese Beziehung fiir Vergleichszwecke in der Form
P = R SI 2
Rs = ~
(£>
(5-53)
128
(a)
5
ELEKTRO M AGNETISCHE W ELLEN
(M
M
q —
CM
r(z.t)
i(z,L)
M
q —
i= lV 2 cos(£jt)
L a d u n g sb eleg u n g
S tr o m b elegung
A b b . 5.4: Zwei Strahler, fiir die der H ertz-D ipol u n ter d er V oraussetzung t <S A als Model I
dienen kann.
zu schreiben und den S tra h lu n g sw id e rsta n d R s des Hertz Dipols als Kenngrofle einzufiihren (Beachten Sie die Voraussetzung i <C A). Soil der Strahler durch
einen Ersatz Zweipol dargestellt werden, so gibt R s den zugehorigen Wirkwiderstand an. Die vollstandige Ersatzimpedanz enthalt auBerdem einen (kapazitiven)
Blindwiderstand.
Der Strahlungswiderstand hangt von der konstruktiven Gestaltung des Strahlers ab. Angenommen, die Ladungsspeicherung erfolgt nicht nur an den Stellen
z = —£/ 2 , sondern gleichformig verteilfc iiber zwei kurze Schenkel der Lange
f / 2 <c A/ 2 (Abb. 5.4b). Ausgehend von einem zeitiich sinusformigen Speisestrom
mit dem Effektivwert I haben wir in diesem Fall fiir die Ladungsbelegung und das
elektrische Moment
r —± / \ / 2 /(a;£/ 2 )sm(urt) fiir z ^ 0 ,
ej2
I v2 C
ze2r(z, t ) dz = — - sin(w*)e* = Re (pe3*1) ,
/
- e/2
p — —jy /2 n /(2 b j)c z ,
was iiber Gl. (5.51) wieder auf einen Ausdruck der Form (5.53)i fiihrt, allerdings
mit einem geandcrten Wert fiir den Strahlungswiderstand:
P = R s l2 ,
Rs = ~ ( j )
Z„ .
(5.55)
Lineare Antermen bis zu Langen P < 0 , 2A sind mit diesem Modell quantitativ
hinreichend genau beschreibbar.
Ahnliche Uberlegungen lassen sich auch fiir magnetische Dipole anstellen. Unterstiitzt werden wir dabei durch eine Beobachtung, die eine iiber diese spezielle
Anwendung weit hinausgehende Bedeutung besitzt: Das System der quellenfreie n M a x w e ll-G le ic h u n g e n zusammen mit den quellenfreien Sprungbedingungen
und den allgemeinen Verkniipfungsbeziehungen,
5.2
TYPEN VON WELLEN
V x l + dt.B = 0 ,
fix [£ ] = 0 ,
V ■B = 0 ,
n-[Bj=0,
129
V x H - dtD = 0 , n x [H] = 0 ,
V •D = 0 ,
n - [£ ] = 0 ,
(5'56)
D — £qE + P ,
H = B /no - M ,
wird durch die F itzg era ld - T ra n sfo rm a tio n
E
HZq ,
H -
-E /Z 0 ,
B —* - D Z q , 5 —►B/Zo ,
P - M/co ,
^ ^
M -► - P c o
offensichtlich in sich selbst ubergefiihrt. Aus einer bereits gefundenen Losung
lasst sich daher iiber die Fitzgerald Transformation eine neue Losung gewinuen,
namlich die des dualen elektro m a g n etisch en Problem s.
Nelnnen wir also an. der elektrische Dipol des Hertz Strahlers wird durch einen
m a g n etisch en D ipol ersetzt. W ir erhalten dann beispielsweise die Energiestromdichte S = E x H
sie stellt wegen (5 .57 )i ,2 eine Invariante der Fitzgerald
Transformation dar ■
— aus dem entsprechenden Ausdruck fiir den elektrischen
Dipol uber die Substitution p(t) —►m(t)/cQ des elektrischen Moments pit) durch
das magnetische Moment m (t) gemafi (5.57)5. Ein mit der komplexen Amplitu­
de m schwingender magnetischer Dipol strahlt also nach Gl. (5.49) insgesamt die
Leistung
P = ® £rZ »
(5.58)
ab. Das Modell des magnetischen Dipols bum zur Darstellung einer Stromschleife
mit der Schleifenflache A verwendet werden, deren Abmessuiigen klein gegen die
Wcllenlange A sind und fiir die, wenn sie mit dem Effektivwert I sinusstromdurchflossen ist, der Zusammenhang |m| — 1^/2 A besteht. Auch Strahiern dieser Art
lasst sich ein Strahlungswiderstand zuordnen.
5.2 T ypen von W ellen
Wellenerscheinungen spielen eine aulSerordcntlich wichtige Rolle in vielen, ganz
unterschiedlichen Zweigen der Physik und der Technik. Ich werde deshalb den
Wellenbegriff und die zugehorigen Klassifizierungen und Benennungen zunachst
etwas allgemeiner fassen, als dies in der elektromagnetischen Theorie iiblich ist.
Begriffe und Benennungen
Wir betrachten Zustandsanderungen in raumlich und zeitlich kontinuierlich beschriebenen physikalischen Systemen. Solch eine Zustandsiinderung nennen wir
130
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
allgemein dann eine W elle, wenn sie sich als einsinnige ortliche Verlagerung eines
bestimmten Zustandes mit der Zeit beschreiben lasst.
Wellen konnen nach unterschiedlicheu Gesichtspunkten eingeteilt werden, bei­
spielsweise in freie und in gefiihrtc Wellen. Die A u sb re itu n g fr e ie r W ellen
erfolgt auf ein-, zwei- oder dreidimensionalen Tragern. Reicht zur Beschreibung
ihrer Ortsabhiiiigigkeit eine einzige Ortskoordinate aus, so sprechen wir von ei­
ner e in fa c h e n W elle. Dies gilt natiirlich fiir alle Wellen auf eindiinensionalen
Tragern, aber auch auf zweidimensionalen Tragern fiir gerade W ellen (Zustandsgroiien sind konstant langs paralleler Geradeu) und fiir K re isw e llen (Zustandsgrofien sind konstant auf konzentrischen Kreisen), ebenso auf dreidimensionalen
Tragern fiir ebene W ellen , K r e is z y lin d e r -W e lle n und K u g e l-W e lle n . bei
denen die Zustandsgrofien jeweils auf parallelen Ebenen, auf koaxialen Kreiszylindern bzw. auf konzentrischen Kugeln konstant sind. Freie Wellen auf dreidi­
mensionalen Tragern nennt man dann R aum w ellen, wenn sie ausdriicklich von
Oberflachenwellen unterschieden werden sollen. Ahnlicli lieifien freie Wellen auf
zweidimensionalen Tragern F ld ch en w ellen , um sie ausdriicklich von Kantenwellen zu unterscheiden.
Im Gegensatz zu freien Wellen sprechen wir von g e fiih rte n W ellen , wenn die
Ausbreitung infolge von Grenzbedingungen an Grenzflachen oder Grenzlinien auf
drei- bzw. zweidimensionalen IVagern nur entlang dieser Grenzen erfolgt. Schlielit
die fuhrende Grenze die Welle zumindest auf zwei Seiten ein, so heifit die gefiihrte
Welle K analw elle. Wenn dagegen die fuhrende Grenze nur an einer Seite vorlianden ist und die Welle mit wachsender Entfernung von diesem Rand verschwindet,
dann liegt eine R a n d w elle vor. Bei den Randwellen unterscheidcn wir noch zwi­
schen G ren zsch ich tw ellen (einseitig von einer Grenzflache zwischen zwei materiellen Tragern gefiihrt), O berflachenw ellen (die einseitig fuhrende Grenze ist
eine freie Oberfliiche) und K a n te n w e lle n (der Rand ist eine Kante, also die Begrenzung eines zweidimensionalen Tragers).
Haufig sind die maCgebenden Zustandsgrofien von Wellen raumlich gerichteto
Griifien, die Wellen also durcli spezielle Vektorfelder darstellbar, Liegt die Richtung
einer solchen Zustandsgrofie iiberall parallel oder antiparallel zur Ausbreitungsrichtung, so heifit die Welle longitudinal. Liegt sie dagegen iiberall senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung, so heiCt die Welle transversal. Ti’ansversale Wellen nennt
man insbesondere dann lin ea r po la risiert, wenn sich die Richtung der Zustandsgrtifie wahrend der Ausbreitung nicht andert. Im Zusarnmenhang mit Sinuswellen
ist auKerdem der Begriff der elliptischen Polarisation mit den Grenzfallen der linearen und der zirkularen Polarisation gebrauehlich. Wir kommen darauf zuriick.
Wellen lassen sich auch durch ihren Zeitverlauf charakterisieren. Entspricht
z.B, der zeitliche Verlauf einer Welle an jedem festen O rt einer Sinusschwingung
einheitlicher Frequenz, so nennt man sie allgemein S in u sw elle. Der Nullphasenwinkel dieser Sinusschwingungen, aber auch ihre Amplitude, ist i.A. ortsabhangig.
Beispielsweise stellt ein Vektorfeld der Form
F(r, t) - Re
(5.59)
mit einem konstanten, i.A. komplexen Vektor & eine ebene S in u sw e lle dar, wo­
bei u> die reelle K reisfreq u en z, 7 den k o m p le x e n A u sb re itu n g sk o e ffizie n te n
und der reelle Einsvektor k die A u sb re itu n g sric h tu n g der Welle angibt. Die
5.2
131
TYPEN VON WELLEN
>
—
F
F
A b b .5.5: Zirkular polarisierte, transversal? Sinuswellen. Die Bezeichnungen F, u , k mid J? =
folgen der D arstellung (5.59), ui > 0, 0 > 0. An jedem festen O rt gilt |F = const.
(a) Positive H elizitat (linkszirkulare Polarisation), i i x / = j-:?.
(b) Negative Helizitat (rechtszirkulare Polarisation), t7 x f = - j & .
Atifspaltung des komplexen Ausbreitungskoeffizienten in Real- und Imaginarteil,
7 = a + jfi,
(5.GO)
liefert den D am pfungskoeffizienten a und den P hasenkoeffizienten fl. Bei
ungedainpften Sinuswellen (cv - 0) heittt. der Phasenkoeffizient auch K reisw ellenzahl, wofiir der Buchstabe k anstelle von i'i gebrauchlich ist,
(5.G1)
Diese Darstellungsform wird nianclimal aucli fiir gedfunpfte ebene Sinuswellen mit
einer ,,komplexen Kreiswellenzahl” k = -77 verwendet. Den Quotienten Kreisfiequenz durch Phasenkoeffizient,
(5.62)
nennt man A u sbreitungsgeschw indigkeit der Sinuswelle, falls er nicht von u
bzw. fi abhangt. d.h. wenn ft proportional zu w ist. Hfingt dieser Quotient dagegen von uj bzw. (3 ab, so heilit die Welle dispergierend (oder dispersiv), mid man
unterscheidet zwischen der P hasengeschw indigkeit cph —w/f.1 und der Gruppengeschw indigkeit cgT —dw/d/?. Diese Begriffe werden wir spater ausfiihrlicher
behandeln.
Die durch Gl. (5.59) dargestellte ebene Sinuswelle ist offensichtlich longitudi­
n al fiir k x
= I) und tra n sversa l fiir R ■& = 0. Sie ist lin ear po la risieri,
falls .0* x 0 = 0 . Stellen wir namlich 0 durch reelle Vektoren .0 ' und 0 " als
0 s; 0 ' + j 0 " dar, so bedeutet diese Bedingung .0 ' x 0 " — 0, also die Parallelitiit von
und
Damit liisst sich & darstellen als & - FoeJX° mit einem
reellen Vektor F0l und wir erhalten aus (5.59) F( f, t) — FoRe [er^1
Die
Richtung der ZustandsgroCe ist unabhangig von f und t.
Die Welle ist dagegen zirk u la r polarisiert, wenn &
= 0. Die Aufepaltung
von 0 in Realteil 0 ' und Imaginarteil .0" liefert in diesem Fall 0 ■0 — 0 ' ■
IZ2
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
- ,9 " ■.9 " + 2 j.? ' • .0 " = 0, also die beiden Bedingungen \£ '\ = | ^ " ,
■
J?" — 0: Die reellen Vektoren
und .9 ” besitzen den gleichen Betrag, sie stehen
senkrecht zueinander und in einer transversalen Welle aufierdem senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung k . Damit ist an jedem festen Ort die Zustandsgroiie F dem
Betrag nach konst.ant, sie liegt in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
und ihre Richtung dreht sicli mit der Kreisfrequenz w. Der Drehsinn zusammen
mit der Ausbreitungsrichtung bestimmt die H e lizita t der zirkular polarisierten.
transversalen Sinuswelle (Abb. 5.5): Bilden sie eine Rechtsschraube, so sprechen
wir von positiver Helizitat (positivem Drehsinn, einer linkszirkular polarisierteji
Welle). Bei einer Linksschraube besitzt die Welle negative Helizitat (negativen
Drehsinn, ist rechtszirkular polarisiert). Lineare und zirkuiare Polarisation sind
Grenzfalle der ellip tisc h e n P o la r is a tio n einer Sinuswelle.
Freie ebene Raumwellen
W ir untersuchen zunachst den einfachsten Typ elektromagnetischer Wellen in nicht
leitfahigen Medien konstanter Perm ittivitat e und Permeabilitat //, insbesondere
also ini leeren Raum. Ausgehend von den liomogenen Maxwell Gleichungen
V x E + fidtH —0 , V • E = 0 ,
= 0
(5-C3)
fragen wir nach Bedingungen fiir die Existeuz von Feldern E(Q) und H(0), die von
O rt und Zeit nur iiber eine Phasenfunktion
_>
y> E M
—) If ''
J / ___ ^
Si- —(’f t’f ) ~ $
. , Ir.>
0{r, t) — ct. - i i - r
(5.64)
m it einer konstanten Geschwindigkeit c und einem konstanten Einsvektor k abhangen. Die Flachen konstanter Phase B sind offensichtlich parallele Ebenen mit dem
Einsnormalenvektor it, die parallel zu sich selbst mit der Geschwindigkeit a laufen.
|WegenX/Q — - k und 3,8 -= c folgt zunachs
- V ■E — it - — — — ( k- e } = 0
d£>_ ad v
)
^§(& )= ^
‘4 1
=
—>
= ™ (/i-tf) = 0
k
- E = const,
K H -const.
(5<55)
Die Komponenten von E und H in Ausbreitungsrichtung miissen demnach koiiKtan t sein. Sie nchmen nicht am Ausbreitungsvorgang teil und wir konnen sie ohne
Beschrankung der Allgemeinheit nullsetzen,
K •E = 0 ,
R ■H —A) .
(5 . 6 6 )
Dies ist unser erstes Ergebnis: Dieebene elektromagnetische Welle ist unter den
genannten Voraussetzungen n otw en dig tran sversal. Weiters liefern die Gin.
(5-63)!, 3
__
-______: __________________ _
■€?
5.2
133
TYPEN VON WELLEN
A b b .5 .6 : Pliasenflaclic und gegenseitige Lageder Vektoren E , H ,flin einer ebenen elekLruinugiuiLiiicliuii WelU; gmnillJ Gin. (0.08).
K X
dE
d9
dH
k x E — ncH j
de
d9
k x E —ucH = const,
0
„ dH
dE
d
k x H + £ci?j = 0
KX
+£Cd e ^ T e
k x H + scE — const,
(5.67)
oder, wenn die Integrationskonstanten wieder nullgesetzt werden (sie repriisentieren
t.ransversale Felder, die nicht am Ausbreitungsvorgang teilnehmen),
k
xE
ficH = 0 ,
il x H + scE — 0 . ~p
$ V&'i -yWc H
(5.08)
Das gleichzeitige Bestehen dieser beiden Bedingimgen ist nur dann moglich, wenn £c
die M a x w e ll-B e z ie h u n g f.'
<7
+ A.
(5.69)
fi£C — 1
yl
£C
77>
-- <P
/
■*' — -/'■C
tc /
erfiillt ist. Dies legt den Wert der A usb reitu n g sg eseh w in d ig keit c fest. Auflerdem bilden die drei Vektoren E , H , k ein orthogonales D reibein und sind in
dieser Reihenfolge nach einer Rechtsschraube orientiert (Abb. 5.6). Mit der chara k te ristisc h e n Im p ed a n z des freien Raums,
(5.70)
konnen wir die Bedingungen (5.C8) auch in der Form
i
-*
1
-*
1
—
® H = — k x E oder B = - it x E
oder
- c l
(5.71)
E = Zii x H
oder D = — R. x H
c
schreiben: Jede transversal? elektrische ebene Welle ist notwendig von einer ma­
gnetischen Welle gleich er F o rm begleitet und umgekehrt. Daraus rcsultiert ein
E n e rg ie flu ss im elektromagnetisehen Feld, lokal dargestellt durch den Poynting
Vektor
s fix u ''~vi
'T '
(5.72)
S -=■ E x H — - E 2k = Z H 2k .
- d
IT7
(A* ic■
/A }ue ■
/{
?-o
-> 5 = ~ E K
J
J
134
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
Ein wichtiger Spezialfall ist die ebene S in u sw elle in einem elektrisch nicht
leitfahigen Medium mit konstanten Werten fi und f ,
<f<rj ^ ^
~ € -£
K^
E{6) = Re \ge>M] ,
# (0 ) - Re b f v H
.
(5.73)
Der Vergleich mit der Darstellung (5.61) weist sie als ungedainpfte Welle aus mit
der Kreiswellenzahl k und der Ausbreitungsgeschwindigkeit c = u / k , wobei die
i.A. komplexen Amplitudenvektoren S’, J f die Bedingungen k ■£ = 0, k ■ = 0,
y ? — ti y &j Z erfiillen. Die Welle ist demnach transversal und i.A. elliptisch
polarisiert. Im Fall einer zirkularen Polarisation gilt iiberdies k x £ — ± j £ und
damit
= ± 0 j Z . Es ist dann |i?| ~ Z\H \ - const, womit aus Gl. (5.72)
folgt: In einem ebenen, zirkular polarisierten Wellenfeld ist die Energieflussdiclite
riiumlicli und zeitlich konstant.
Gefuhrte W ellen in zylindrischen Anordnungen
Neben den freien ebenen Raumwellen sind fiir die Anwendungen insbesondere
gcfiihrte Wellen wichtig, die sich entlang von GrenzHachen in translationsinvariant.en Anordnungen in Richtung der Translationsaehse ausbreiten. Ein typisches
Beispiel dafiir sind elektromagnetische Wellen in geraden inetallischen Hohlleitern
(Abb. 5.7), aber auch Wellen in Koaxialkabeln, entlang paralleler Driihte oder
in Lichtwellenleitern. Wir werden hier der Einfachheit halber die zylin d risc h e n
R a n d fla c h e n als ideal e le k trisch leitfahig voraussetzen und fiir ein eventuell
im Feldraum vorhandenes Medium verschwindende elektrische Leitfahigkeit sowie
konstante Werte der Pennittivitiit. und Permeabilitat annehmen.
Zur Untersuchung der A u sbreitungsbedingungen spalten wir die Feldvektoren E und H , den raumliehen Differenzialoperator V und die Rotorgleichungen
V x E + ,iOtH = 0 ,
V x H - ndtE = 0
(5.74)
beziiglich der Ausbreitungsrichtung ez in transversale und longitudinale Komponenten auf. Dies liefert mit
E - E± + c~Et ,
die Gleichungen
H = H_ + Ss H: ,
V = Vj. -I- czdt
(5.75)
5.2
TYPEN VON WELLEN
135
dzE± - (I.d,.cz x H± = V ± E Z ,
azH± + eQtSs x E ± = V ±H Z ,
(5-76)
V i x E ± - -fj.dtH zez ,
V ± x H ± = £dtE set
.
J
(577)
Aus den Divergenzgleichungen
V •E = 0 ,
V ■H = 0
\
^
^ ~
(5.78)
folgt andererseits
V x • E ± = ~ d zE z ,
V ± • H ± = - d zH z .
(5.79)
Uberdies haben die Feldstiirken wegen der vorausgesetzten idealen Leitfahigkeit
des Randes die „ ideal m etallisch en Randbedingungen”
ii x E — 0 ,
n •H —0
(5.80)
zu erfullen, woraus zusammen mit (5.76)2 speziell fiir E z und Hz die Bedingungen
Ez — 0 ,
dnH z = 0
am Rand
(5.81)
folgen.
Aus dieseu Gleichungen lasst sich zunachst ein spezieller Losungstyp erkennen,
charakterisiert durch das identische Verschwinden der longitudinalen Feldkoinponenten, E z = 0 und H z — 0. Dieser Wellentyp (Modus) heifit tran sversal elek­
trom agnetische W elle
kurz T E M - W elle , weil nur transversal zur Aus­
breitungsrichtung gelegene Feldkoinponenten existieren. Wie aus den Gin. (5.77)
und (5.79) ersichtlich, gentigen diese Koinponcnten dann in jedem Querschnitt
^ = const und zu jedem Zeitpunkt jeweils den Bedingungen
Vxx£a = 0 ,
V x -^l-0,
Vi x
Vi •
= 0,
0 ,
(5-82)
wie sic auch fiir statische bzw. stationare ebene Felder geltcn. In ihrer z und t
Abhiingigkeit erfullen sie andererseits, wie aus den Gin. (5.70) folgt, die einfachen
Wellengleichu ligen
4 (d \ —fi£c%) E± = 0 ,
) H_ — 0 .
(5.83)
Falls also eine Wellenausbreitung dieser Art stattlindet, erfolgt sie, wie fiir ebe­
ne Wellen in einem unbegrenzten Medium, mit der konstanten Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 1/^/jJs. und die transversalen Feldkomponent.en geniigen der
Bedingung (5.68) init k = ez, insbesondere E± • Hj_ — 0.
Der statische bzw. stationare Charakter der transversalen Felder hat eine widitige Konsequcnz: T E M -W e lle n konnen in idealen H o h lle ite m m it e in ­
fach zusam m enhangendem Q u ersch n itt nicht existieren. Wegen der idea­
len Leitfahigkeit des begrenzten Korpers stellt seine Kontur fiir das ebene elektro­
statische Problem namlich eine Linie konstanten Potenzials dar, womit die elektri­
sche Feldstarke im ganzen einfach zusammenhangenden Gebiet verschwindet (Abb.
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
(ai
A b b .5 .8 : Ein idealer, einfacher Hohlleiter kann keine TEM Wellen fiihren (a). E ssin d dazu zwei
oder mehrere Leiter notwendig (b).
5.8a). Um TEM Wellen fiihren zu konnen, sind zw ei oder m ehrere Z ylin derflach en notwendig. Koaxialkabel oder parallele Driihte sind typische Strnktu
ren, die als dominanten Modus solche Wellen tragcn konnen, wobei der wesentlich
transversale Feldcharakter auch bei nichtidealen Rand bedingungen und nichtidealen Medien erhalten bleibt. Damit lasst sich in jeder Ebene z — const und zu
jedem Zeitpunkt wegunabliangig die elektrische Spannung zwischen den Leitern
definieron, und fur jeden Leiter lasst sich der Strom erklaren, was eine vereinfachte Behandlung im Rahmen der sogenannten Leitungstheorie ermoglicht. Wir
kommen darauf zuriick.
Zur Untersuchung einer umfassenderen Klasse von Losungen setzen wir verallgenieinerte ebene Sinuswellen der Form
E( x, y , z, t) = Re
(5.84)
y, z, t) - Re
an, wobei die Vektoren £ und
i.A. komplexwertig sind. Mit den Gin. (5.76) lassen sich dann die transversalen Feldkonjponenten durch die longitudinalen vollstan­
dig ausdrucken,
( kVj_£z - w f i e z x V ± J ^ ) ,
i ± = ----- J
lieu* — k * \
>
( kV±JPz + ueex x V j . ^
—kz V
/
<5 '8 5 )
und, wie zusammen m it den Gin. (5.77) folgt, haben die longitudinalen Komponenten den Gleichungen
( V i + n e u 2 - k2) £ , = 0 ,
( V i + fieuj'2 - k 2) JT, - 0
(5.80)
zu geniigen. Um Losungen der gewiinschteii Art (5.84) zu bestimmen, sind zuerst
die Gin, (5.86) unter den vorliegenden Randbedingungen zu losen und dann fiber
(5.85) die transversalen Feldkomponenten zu berechnen. Der Sonderfall £z — 0,
M i — 0, namlich TEM Wellen, ist darin mit
TEM Wellen:
k = uii/JH
(5.87)
5.2
137
TYPEN VON WELLEN
enthalten.
Die Gin. (5.8G) zusammen mit den Randbedingungen (5.81),
<£ = 0 ,
dnJP; = 0 ,
(5.88)
an einer festgelegten, ideal leitfahigen Kontur bestiinmen jeweils cin Randwertpro­
blem fiir (?- bzw. -yfi. Da als Folge der ideal metallisohen Randbedingungen die
beiden Randwertprobleme nicht. gekoppelt sind, zerfalleu die zugehdrigen Wellenfelder auf natiirliche Weise in zwei unabhangige Wellensysteme:
T ransversal m a g n e tisc h e ( T M ) W ellen ,
iiberall J f 7 — 0 ; am Rand
=0.
^
T ransversal elektrische ( T E ) W ellen,
iiberall Ss — 0; am Rand dnJ?\
0 .
(5.90)
Die unterschiedlichen TM und TE Wellen bilden zusammen mit der TEM Welle,
falls diese existieren kann, ein vollstandiges S y s te m z u r B eschreibung elektro m a g n e tisc h e r W ellen in idealen W e lle n le ite m .
Mit der Abkiirzung
k2
- /zew2 - k 2
(5.91)
erhalten wir zunachst aus den Gin. (5.85) fiir die beiden Wellen
TM:
=
TE:
K
,
(5.92)
sowie den Zusammenhang der transversalcn Komponentcn
4 = e i x4/2,
(5.93)
wobei
TM:
_ k _ kc [Jt
Z ■
eu>
wVf ?
TE:
Z
_ fUiJ _ w
Hi
(5.94)
die jeweilige, f u r T M u n d T E un tersch ied lieh e W ellen im p ed a n z bedeutet.
Weiters schreiben wir die Differenzialgleichungen (5.86) mit $ —
fiir TM bzw.
\t> —
fiir TE und die Randbedingungen aus (5.89) bzw. (5.90) in der Form
TM:
(V ^ + k2) $ — 0 ,
Randbedingung
<? = (),
TE:
(V 2 + k2) 9 = 0 ,
Randbedingung dn
= 0.
(5.95)
Es wird damit jeweils auch ein E igenw ertproblem definiert, d.h. L o su n g en
gibt es n u r fiir ein e diskrete u n e n d lic h e Folge v o n E ig e n w e rte n k ?,,
is — 1 ,2 ,3 ..., die von der Quersclmittsform des Wellenleiters abhangen. Die zugehorigen Eigenfunktionen
sie bilden i.A. ein ortliogonales Funktionensyr
stem
sind die M o d en des idealen Wellenleiters.
138
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
A b b .5 .9 : Beispiel fiir die Beziehuiig zwischen den Kreiswellenzahlen k und den Kreisfrequeir/.en u (Dispersionsbeziehung (5.07)) fiir einen idealen
Wellenleiter. a n , uj-2- ■■■ sind
die G renz-K reisfrequenzen der
untcrschicdlichen Moden. Die
Anstiego geben die G ruppengeschwindigkeit an.
Fiir eine gegebene Querschnittsform lassen sich also durch das Losen des Eigenwertproblems die Eigeuwerte tc2 grundsatzlich berechnen. Sie sind. wie sich zeigen
lasst, immer nichtncgativ. Wir konnen deshalb zu jedem Eigenwert und damit zu
jedem Wellentyp (Modus) eine G renz—K reisfrequ en z
(5.96)
K,jC ,
definieren und die Beziehung (5.91) zwischen der Kreisfrequenz w und der Kreiswellenzahl k, die D ispersionsbeziehun g fiir den u ten Modus, in der Form
k=
\/w2 -
(5.97)
schreiben. Der i'-te Modus stellt denmach nur dann eine sich ausbreitende Welle
dar, wenn er mit einer K reisfrequ en z oberhalb se in e r G ren z-K reisfreq u en z
angeregt wird (Abb. 5.9), und zu jeder Kreisfrequenz gibt es i.A. nur eine endliche
Anzahl sich ausbreitender Moden. Man wird haufig Abmessungen und Form des
Wellenleiters so wahlen, dass bei der gewunscliten Frequenz nur der niedrigste
Modus vorkommt.
Wie Gl. (5.97) zeigt, ist. zu einer gegebenen Kreisfrequenz die Kreiswellenzahl
der K analwelle stets kleiner als der entsprechende Wert utfc der freien Welle bei
gleichem Medium, die zugehorige Wellenlange also stets groBer. Damit liegt die
Phasengeschw indigkeit
ui
Cph~ k ~
(5.98)
\ A - CM *
oberhalb des Wertes c fiir den unbegrenzton Raum, kann also durchaus auch den
Wert co — l / ^ / / ()c() der Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum iiberstcigen. Die
G ruppengeschw indigkeit
^
dw
I
= T k = cr ~
(5.99)
5.3
WELLEN AUF DOPPELLEITUNGEN
W>
ist dagegen stets kleiner als c. wobei der Zusammenhang cpi, ■cgT = <? besteht. Bei
Annaherung von oben an die Grenz-Kreisfrequenz wachst die Phasengeschwindigkeit iiber alle Grenzen, die Gruppengeschwindigkeit dagegen verschwindet.
5.3
W ellen au f D oppelleitungen
Entlang zylindrischer Strukturen mit zwei oder mehreren fiihrenden Randern kon­
nen sich elektromagnetische Wellen im TEM Modus ausbreiten, der, wie wir gesehen liaben, starke Ahnlichkeit mit freien Wellen aufweist. Da wegen ties transver­
salen Feldcharakters magnetische und elektrische Fliisse in Ausbreitungsrichtung
nicht auftreten, lassen sich zu jedem Zeitpunkt in jedem Querschnitt Leiterstroine
und elektrische Spannungen zwischen den Leitern eindeutig definieren. In den Leitungsgleichungen werden diese Strome und Spannungen miteinander verkniipft.
D ie verlustfreie Doppelleitung
Wir betrachten zuerst eine ideale, v e rlu stfre ie D oppelleitung, eingebettet in
ein ausgcdehntes, elektrisch nicht leitfahiges Medium konstanter Permeabilitat und
Permittivitat. An den LeiteroberHiichen sollen ideal metallische Rand bedingungen
herrschen, d.h. wir setzen das Leitcrinnere als feldfrei voraus. In jeder Ebene 2 —
const gilt dann im TEM-Modus mit Ausbreitung in z Richtung (Ghi. (5.82))
Vx x E±_ = 0 ,
Vx • E± = 0 ,
n x E± — 0 ,
V± x H±. = 0 , V x • H± = 0 , n • H± = 0 ,
ez x E± — (icH±
bzw,
e~ x
(5.100)
= —scE± ,
sodass sich iiber eine Kurve %’ in dieser Ebene (Abb. 5.10a) die elektrische Span­
nung U(z, t) und der auf die axiale Lange bezogene magnetische Fluss $'(z. t)
zwischen den Leitern
U(z,t.) -
j
es ■E± ds ,
$' {z,t) ■=
J {e: x es) ■^ H ± d s
(5.101)
unabhangig vom Verlauf der Kurve angeben lassen. Umschliefit weiters in derselben
Ebene die Kurve d y / genau einen Leiter, so liaben wir mit der magnetischen Span­
nung V(z, t) und dem langenbezogenen elektrischen Fluss '&'(z,t) entlang dsrf sowie mit der elektrischen Stromstarke I(z, t) und der langenbezogenen elektrischen
Ladung Q' (z,t) (entgegengesetzt gleich groC auf den beiden Leitern) als Ausdruck
des Ampere Maxwell- Satzes und des Satzes vom elektrischen Hiillenfluss
I ( z, t ) - V ( z , t ) -
j
es - H ± d s ,
8e/
Q'{z, t.) =
=
f
X
Fz) ■el5. d.s .
(5.102)
Aus den Gin. (5,101) und (5.102) lassen sich zusammen mit den beiden letzten
Gin. (5.100) ubrigens die Zusannnenhange
U =c$',
I = cQ'
(bzw . V = c $ ' )
(5.103)
5
140
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
dz
A b b .5 .1 0 : (a) Q uerschnitt einer Doppelleitung m it orientierteii K urven zur Festlegung der Spannungen und langenbezogenen Fliisse. (b) Fiir die direkl.e A ufstellutig der Leituiigsgleiclimigen
wird eine Scheibe zwischen zwei benachbarten Q uerschnitlen betrachtet.
fiir eine in positiver
Richtung laufende TEM Welle ablesen (Ausbreitung in
negativer z Richtung: c —+ —c). Wir werden aber hier eine aquivalente Aussage
direkt ableiten durch Betrachtung eines infinitesimal langen Leitungsabsclmitts
(Abb. 5.10b). Die Anwendung des Induktiousgesetzes auf die Kontur d.<a" und des
Satzes von der Erhaltung der elektrischen Ladung auf die Hiille d f liefert
a U + dt $ ' - 0 ,
d j + d,Q ' = 0
(bzw. dzV + dt !?' = 0) .
(5.104)
Wegen der Linearitat des Problems (/;. und z konstant) konnen wir weiters im
Einklang mit (5.101) und (5.102) P ro p o rtio n a litd t zw isch e n d en S p a n n u n g en
u n d F liissen voraussetzen,
r = Q' = C'U ,
- L 'V - V I ,
(5.105)
wobei C die langenbezogene Kapazitat (den K apazitatsbelag) und V die langenbezogene Induktivitiit (den In d u k tiv ita tsb e la g ) angibt. Unter Verwendung der
Gin. (5.101) und (5.102) und der beiden lctzten Gin. (5.100) oder unter Verwendung der Gin. (5.103) folgt die fiir ideale, v e rlu stfre ie L e itu n g e n giiltige Beziehung
L 'C ' = n e ^ t l f c 2 .
(5.106)
Eintragen von (5.105) in (5.104) liefert schliefilich die gesuchten L eitungsgleich ungen f u r eine ideale, v e rlu stfre ie D o p p elleitu n g .
i\U + L 'd tI = 0 ,
I
i^B
J*U L Li U l - - #
r**(-
cJjU
d ,I + C'c),U = 0 .
(5.107)
Stromstarke I{z. t) und elektrische Spannung U(z,t) entlang der Leitung geniigen
damit jeweils e in fa c h e n W ellengleichungen
(d* -
7 = 0,
(d* -
U=0
(5.108)
5.3
WELLEN AUF DOPPELLEITUNGEN
m
A b b .5.11: E rsatzschaltung ftir del) infinitesimal langen A bschnitt einer verlustbehaFteten Doppelleitung. Der W iderstandsbelag R ' beriicksiclitigt den Langswiderstand beider Leiter, der Leilwertbelag G1 der Q nerleitw ert zwisclien den Leitern.
mit den allgem einen Losungen
/(z . £)
I\{ct —Z) -I- I‘2((-t “I- z) ,
U ( z , t ) - U i ( c t - z ) + U2(ct, + z) .
(5-109)
Zwischen den sonst beliebigen Funktionen I\, U] bzw. I2, U-2
sie stellen Wellen
dar, die mit der Ausbreitmigsgeschwindigkeit c in die positive bzw. in die negative
z Richtung laufen
besteht der Zusammenhang
Ui = Z w h ,
U-2 - - Z w h ,
Zw - ' / L ' / C ' ,
(5.110)
wobei Zw W ellenim pedanz d e r Leitung genannt wird.
D ie verlustbehaftete D oppelleitung
Der TEM-Modus und die daran geknupften Festlegungen (5.101) und (5.102)
sind auch dann nocli brauchbar, wenn die idealisierenden Voraussetzungen nur
niiherungsweise erfiillt sind, wenn also beispielsweise Verluste entlang der Leitung durch ihren Langswiderstand und durch Querstrome zwischen den Leitern
beriicksichtigt werden mtissen. Wir untersuchen im Folgenden eine derart v e r­
lustbehaftete D oppelleitun g und setzen dabei weiterhin koustante Werte C des
K apazitatsbelags und U des Induktivitdtsbelags voraus, fiihren aber zusatzlich
einen konstanten W iderstan dsbelag R’ und eine konstanten L eitw ertbelag G'
ein. Ausgehend von der Ersatzschaltung Abb. 5.11 fiir einen infinitesimal langen
Leitungsabschnitt, ergeben sich auf elemontare Weise die Gleichungen
(a )
dzU + L 'dtI + R 'l = 0
d j + C'dtU + G’U = 0, (X)
(5.111)
die fiir R! = 0 , G' = 0 in
die Ausdrucke (5.107) iibergehen. Stromstarke und
elektrische Spannung geniigen jeweils einfachen Telegraphengleichungen
0
- L'C'd? -
(R'C' +
[d; - L'C 'dJ -
(R 'C ' +
*
- [ ) t - L ' c ' t f - i ' f i t - e f c '4
G 'V ) dt - R'G'] I — 0 ,
G'L') dt - R'G'} U = 0 .
P '[d J trU - § ‘u ]
-« ■
(5' 112)
142
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
Es werden damit gedampfte, i.A. dispergierende Wellen beschrieben.
Fiir die Anwendnngen besonders wichtig sind eingeschwungene Zustande
I(z, t ) = Re [ / ( * ) > / ,
U(z,t) = Re [u(z)V 2ejwt]
(5.113)
mit komplexen, ortsabhangigen EfFektivwerten I_(z) und U_(z), erfasst durch die
Gin. (5.111) in der Form
dzU{s) + Z !l{z) = 0 , dzI(z) + Y!U{z) = 0 ,
Z' = R ' + ju L 1 ,
Y ' = G '+ jujC' .
(5.114)
Z ' ist der Langsim pedanzbelag, Y 1 der Q ueradm ittanzbelag der Leitung bei
der Kreisfiequenz u . Die zugehorigen allgemeineii Losungen
I(z) = l xe ~ ^ + LpT* ,
U(z) = U 1e~1>*+ Us el4
(5.115)
mit dem kom plexen A u sbreitungskoeffizienten
7 = V S ' - y / ( G ' + j u C ' ) ( R ' + jLjI/ )
(5.116)
beschreiben die Uberlagerung einer vorlaufenden ( /,, t/j) und einer riicklaufenden
(L}, U'j)- gedampften Sinuswelle. wobei die Zusammenhange
H i = Z WL i ,
y.2 = - Z w L 2 ,
Z w = y /¥ /Y '
(5.117)
mit der W ellenim pedanz Z_w der Leitung bestehen. Festgelegt werden die
Koeffizienten
J 2 und U_x, U_2 durch die vorgeschriebenen Bedingungen fiir die
Stromc und Spannungen am Eingang und am Ausgang der Leitung.
Der Phasenkoeffizient 13 — Im(7 ) erweist sich
anders als bei der verlustfreien Leitung
bei der verlustbehafteten Leitung i.A. als nicht propor­
tional zur Kreisfiequenz to. d.h. die Wellen sind dispergierend: Die Fourier
Komponenten eines allgemeinen Signals besitzen unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten cvh = u>/8, sodass die Signalform nicht erhalten bleibt, sondern verz e r r t wird. Erfiillen allerdings die Leitungsparamet.er die Bedingung
L '/R ' = C '/G 1 ,
(5.118)
so erhalten wir den Ausdruck (5.116) speziell zu
7 = cv + j/3 ,
q = \/R 'G ' .
/J SfujV L 'C ' .
(5.110)
Die Wellen sind zwar nach wie vor gedampft, aber nicht dispergierend. Wir sprechen in diesem Fall von einer verzerru n g sfreien Leitung. Die Bedingung (5.118)
lasst sich beispielsweise durch gezielte Beeinflussung des Induktivitatsbelags V
herstellen.
Wir kehren zum allgemeinen Fall zuriick. Angenommen, am Eingang einer
Leitung der Lange t liegt eine Sinusspannung mit dem komplexen Effektivwert
U_(0), wahrend der Ausgang durch eine Impedanz Z_A abgeschlosseu ist (Abb.
5.3
M3
WELLEN AUF DOPPELLEITUNGEN
1( 0 )
1( 2 )
1 (0
m o
11(7)
UIO)
i
2
r
A b b .5 .1 2 : Am Eingang einer Leitung, die m it d er Jm pedanz Z_A abgeschlossen ist, liegt eine Sinusspannung. Es wird die Strom- und Spannungsverteilung entlang der Leitung im eingeschwungenen Zustand bestim mt.
5.12). Mit der Bedingung U(£) = Z_AI_(£) folgt dann aus den Gin. (5.115) und
(5.117) fiir die Koeffizienten
Hi
=
z w Li
(Z A + Z W)U( 0)
(.Z A + Z w ) + { ZA - Z w ) e - W
{ZA + Z w )e>(
Z_A cosh(7 ^) + Z w sinh{7 £)
u2 =
- z w i.2 =
U{ 0)
2
{zA - z .w )im
(Z A + Z w )<W + ( Z A - Z w )
(ZA - Z w )e~^
Z_A cosh(7 f) 4- Z_w sinh(7 ^)
(5.120)
U(Q)
2
Gilt speziell Z_A = Z w , ist also die Leitung m it ih rer W ellenim pedanz abge­
schlossen, so verschwinden die Koeffizienten I 2, U2 und wir haben U1 =- Z WI X ~
U( 0 ): Es gibt n ur eine hinlaufende, keine riicklaufende W elle, als ob die
Leitung unendlich lang ware. Im Allgemeinen muss jedoch zur Erfiillung der Bedingung U(() = Z AI_{H) auch die riicklaufende Welle bcstehen. Eintragen der Koef­
fizienten (5.120) in die Gin. (5.115) liefert fiir die Strom- und Spannungsverteilung
entlang der Leitung
I(z) =
Z A sinh [7(1 - ;)] + Z_w cosh [7 (1 - 2 )]
lA cosh(7 ^) + Z w sinh( 7 <?)
?7(0)
i-W
(5.121)
Z A cosh(7 f) -I- Z w sinh(7 <!)
und speziell bei einem Abschluss Z_A — Z w bzw. fur eine unendlich lange Leitung
L{z)
K( 0 ) . _ ,
'w
U(z) = U( 0)e
7z
(5.122)
Kann die Leitung iiberdies als verlustfrei vorausgesetzt werden. d.h. 7 - jfi j27r/A und Z_w reell, so andern sich bei Abschluss mit Zw die Betrage der Ef-
144
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
A b b .5 .1 3 : VerhaJtnis der A usgangsspannung U_(l) zur Eingaugsspannung £/(0) und Eingangsimpedanz Z_E einer Jeerlaufenden, verlustlosen Leitung als Funktionen der Leitungsl&nge t. X = c / f
mit c — 1j s / L ' C ' ist die Wellenliinge, und Z w = y /L '/C * ist die Wellen impedanz.
fektivwerte von Strom und Spannung entlang der Leitung nicht. Bei energietechnischen Leitungen, die fiir fine Spannung U ausgelegt sind, wird dieser Fall zur
Charaktcrisierung lierangezogen und
Pnat = U2/ Z w
.
(5.123)
als n a tu rlic h e L e istu n g bezeichnet.
D ie D oppelleitung als Zweitor
Manchmal ist vorteilhaft, eine Leitung der Lange I in ihrer Gesamtheit als Zweitor
zu betrachten. Wie aus den Gin. (5.115) und (5.117) folgt, sind die kornplexen
Effektivwerte der Strome und Spannungen am Eingang und am Ausgang dann
iiber die Z w eitorgleichungen beispielsweise in der P r im a r fo r m (Ketteuform,
Bezugssinne wie in Abb. 5.12)
' U(0) '
m
.
cosh(7 £)
sinh (7 l ) Z w
sinh (7 i)jZ_w
cosh(7 ^)
m
(5 .1 2 4 )
m
miteinander verkniipft.
Abschliefiend betrachten wir zwei Sonderfalle bei v e rlu stfre ie n Leitungen
(7 — jO =
Z w reell). Fiir eine leerla u fen d e, d.h. am Ende offene L e i­
tu n g folgt m it I_(£) — 0 aus den Gin. (5.124) fiir das Spannungsverhaltnis und die
Ei ngangsi mped anz
m
mo)
1
cos (27t^ /A )
E (0)
Z ,,=
LB
L(0 )
- j Z w cot(2Tr£/\) — - jZ \v cot(w£/c) ,
(5.125)
dargestellt in Abb. 5.13. Besonders bemerkenswert ist, dass der Betrag des Span.
■
U (o ) -
f f l '
V (£ )
-
) U (£ )
5.3
W ELLEN AUF DOPPELLEITUNGEN
nungseffektivwerts am Ende der Leitung i.A. grofier ist als am Anfang4, fur £ —
A/4, C = 3A/4 usw. tritt sogar eine resonanzartige Uberhohung der Ausgangsspannung auf. Tatsachlich stellt eine Leitung dieser Art, wie aus dem Verlauf der
Eingangsimpedanz Z_E und dem Zusammenhang A = c / f ersichtlich, ein Element
dar, das mit wachsender Lange bzw. Frequenz eine abwechsclndo Folgt' von Roilienund Parallelresonanzen durchlauft.
Ein ahnliches Verhalten finden wir bei einer am Ende kurzgeschlossenen
Leitung. Sie besitzt, Verlustfreiheit vorausgesetzt, die Eingangsimpedanz
ZE =
= jZ w tan(27Tf/A) - j Z w ta n (uf/c) ,
(5.12G)
kann also je nach Lange und Frequenz als Reilien- oder als Parallelresonanzkreis
wirken.
A usgew ahlte Literatur
Zum tiefergehenden Studium der klassischen Theorie des Elektromagnetismus empfchle ich
J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 2nd ed. New York: Wiley,
1975,
K. Simonyi: Theoretische Elektrotech.nik, 4. Aufl. Berlin: VEB Verlag,
1971.
Starker teclmiscli orientiert und didaktisch sehr gut aufbereitet sind die zwei Bande
H.-G. Unger: Elektromagnetische Theorie fiir die Hochfrequenztechnik,
2. Aufl., Teil 1 u. 2. Heidelberg: Hiithig, 1988.
Mit starkem Bezug auf mnnerische Teclmiken finden Sie in
D.S. Jones: Methods in Electromagnetic Wave Propagation. Oxford:
Clarendon, 1979
eine Fiille von Material.
^ (j(o) ~ Sirih
x(o)-
-TG2) -
c o b V > [ ^ < u ) 'i ( £ )
<}
-- o M > ( ( l e ) z ( e )
4 Bei sehr langen, schwach gedampfteii Leitungen ISsst sich die Spannutigsuberhohung aucli
schon bei niedrigen Frequenzen beobachten. Sie wird im Zusamm enhang mit energieteclinischen
U bertragungsleitungen FerrunLt Effekt genannt.
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