zur axiomatisierung gewisser affiner geometrien - E

ZUR AXIOMATISIERUNG GEWISSER AFFINER
GEOMETRIEN
Autor(en):
Prestel, Alexander
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 27 (1981)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
13.02.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-51743
Nutzungsbedingungen
Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an
den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern.
Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in
Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder
Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den
korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden.
Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung
der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots
auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber.
Haftungsausschluss
Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung
übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder
durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot
zugänglich sind.
Ein Dienst der ETH-Bibliothek
ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz, www.library.ethz.ch
http://www.e-periodica.ch
ZUR AXIOMATISIERUNG GEWISSER
AFFINER GEOMETRIEN
von Alexander Prestel
Professor E. Specker zum 60. Geburtstag gewidmet *)
1.
EINFÜHRUNG UND PROBLEMSTELLUNG
In seiner Arbeit [T] „What is elementary geometry?" stellt A. Tarski
heraus, daß Hilberts bekannte Axiomatisierung [H] des euklidischen
Raumes im Sinne der Pradikatenlogik 1. Stufe nicht „elementar" ist. Dies
2
liegt daran, daß das Stetigkeitsaxiom )
Aussagen liber alle Mengen X und Y macht. Die hier gewahlte Form
besagt inhaltlich, daß auf einer Geraden zwischen zwei nicht-leeren Mengen
immer ein Punkt liegt. Dabei bedeutet
B (xyz):
„Der Punkt y liegt zwischen den
Punkten x und z (unter Einschluß
der Begrenzungspunkte x und z)".
Will man nun die Geometrie
des euklidischen Raumes den Frage
der
Methoden
Logik 1. Stufe zuganglich machen, so bietet
stellungenund
sich an, das Stetigkeitsaxiom nur fur Mengen zu formulieren, die sich
explizit definieren lassen, und zwar unter ausschließlicher Benutzung
geometrischer Grundbegriffe und Quantiflkation nur über Punkte 3 ). Das
heißt, statt des Stetigkeitsaxioms (2. Stufe) 2 fordert man fur jedes Paar
von Formeln cp (x) und \j/ (y)
C2C
x
) Die vorliegeride Arbeit ist eine erweiterte Fassung des Vortrages „Remarks on the
axiomatization of general affine geometry" vom 7. Februar 1980 im Symposium über
Logik und Algorithmic, Zurich.
2
) Die hier verwendete Fassung findet sich nicht bei Hilbert, sondern etwa bei [T],
ist aber dem von Hilbert verwendeten Stetigkeitsaxiom gleichwertig.
3
) Dies schliesst implizit naturlich die Quantifikation iiber Geraden und Ebenen mit
ein, da diese ja durch zwei bzw. drei Punkte eindeutig festgelegt sind.
Die Formeln cp und \j/ durfen dabei selbstverstandlich Parameter ent
halten.
Das nun resultierende Axiomensystem hat nicht mehr wie bei Hilbert
nur den 3 als Modell, vielmehr sind die Modelle genau die euklidischen
Raume R 3 , wobei R ein reell abgeschlossener Korper ist. Die resultierende
Theorie nennt Tarski die „elementare euklidische Geometrie". Das Wort
elementar steht also dafur, daß statt des Stetigkeitsaxioms 2 das Schema
der „elementaren" (d.h.erststufigen) Axiome C 1 gefordert wird.
In [S] fuhrt W. Szmielew analog die elementare hyperbolische und
elementare absolute Geometrie ein.
In alien Fallen sind die Grundbegriffe die Zwischenheziehung B (xyz)
und die Streckenkongruenz D (xyuv) = die Strecke xy ist kongruent zu
der Strecke uv). Wieder sehen die Modelle der elementaren Theorie ahnlich
wie die der klassischen Theorie aus, es ist lediglich der Korper R durch
einen reell abgeschlossenen Korper R zu ersetzen.
Die Verhaltnisse andern sich jedoch wesentlich, wenn man diese Methode
des „Elementarisierens" auf die im folgenden zu beschreibende, etwa bei
Coxeter [C] formulierte, Geometrie anwendet 1 ). Als einziger Grundbegriff
wird jetzt die Zwischenbeziehung B (xyz) verwendet. Die Axiome sind die
iiblicherweise fur B formulierten, die bei Hinzunahme weiterer Axiome fur
die Streckenkongruenz gerade die absolute Geometrie ergeben. Die Modelle
dieser Axiome sind genau die konvexen offenen (nichtleeren) Teilmengen
3
des
mit der vom 3 induzierten Zwischenbeziehung. (Siehe etwa
Klingenberg [K], §9). Bei dieser Axiomatisierung wurde wieder das Stetig
keitsaxiomC2C 2 gefordert.
In [S-TJ „elementarisieren" Szczerba und Tarski diese eben beschriebene
Geometrie, indem sie wieder 2 durch das Schema der Stetigkeitsaxiome
C 1 ersetzen. In [S-TJ findet man eine Axiomatisierung fur den 2
dimensionalenFall durch Axiome mit den folgenden Namen:
R3R
C2C
(=(
R3R
R3R
C2C
A1:
A2:
A3:
A4:
A5:
x
)
identity axiom
transitivity axiom
connectivity axiom
extension axiom
Pasch's axiom
Dort
als deskriptive Geometrie bezeichnet.
A6:
A7:
Desargues' axiom
A8
upper dimension axiom
elementary continuity axioms
lower dimension axiom
:
A9:
x
dabei mit dem oben eingefiihrten Schema C
gleichwertig. Szczerba und Tarski nennen die resultierende Geometrie
„allgemeine affine Geometric" (= GA 2 ). Die Modelle dieses Axiomen
2
systemssind konvexe offene (nicht-leere) Teilmengen von R , wobei R ein
reell abgeschlossener Korper ist. Im Spezialfall R = R sind die konvexen
offenen Teilmengen genau die Modelle von GA 2 . Ist jedoch R#R,so
2
gibt es immer konvexe offene Teilmengen von R , die keine Modelle von
1
GA 2 sind. ) In [S-TJ blieb es ein offenes Problem, diejenigen offenen und
konvexen Teilmengen von 2 zu charakterisieren, die Modelle von GA 2
sind. Wir werden im folgenden zeigen, daß dies in einem gewissen Sinne
nicht moglich ist.
Der Grund dafiir, daß bei dieser Geometrie im Gegensatz zu den vorher
erwahnten die Modellklasse sich nicht verniinftig beschreiben laßt, liegt
1
an der unterschiedlichen Starke des Schemas C in den verschiedenen
Geometrien. In alien betrachteten Geometrien laßt sich eine Koordina
1
tisierungmit einem geordneten Korper R vornehmen. Das Schema C
erzwingt dann in den zuerst betrachteten Geometrien lediglich die Realisier
barkeitrein korpertheoretisch definierbarer Schnitte, dies ist aber mit der
reellen Abgeschlossenheit von R Equivalent. Im Falle der Geometrie GA 2
kann jedoch die „Gestalt" eines Modelles die Realisierung wesentlich
komplizierterer Schnitte erzwingen. Dies kommt zum Ausdruck durch
Das Schema
A9 ist
R2R
das im 2.
und
Abschnitt zu beweisende.
Charakterisierungslemma. Es sei R ein reell abgeschlossener Korper
Sczß2 konvex und offen. S ist genau dann ein Modell von GA 2 ,
wenn in R jeder S-definierbare Schnitt realisiert ist.
Dies soil heißen, daß fur je zwei Formeln (mit Parametern) a (r) und
aus der Sprache eines angeordneten Korpers mit einem zusatzlichen
2-stelligen Pradikat fur S (das wir wie iiblich selbst wieder mit S bezeichnen)
die folgende Aussage in (R, S) gilt:
P
0)
x
) Siehe [S
- 7\] bzw. fur die Beweise [S - T
2 ].
Dieses Lemma zeigt, daß die „Kompliziertheit" der Menge S nicht die
von R iiberschreiten darf, um Modell von GA 2 zu sein. Fur R = R sieht
man damit sofort, daß jedes konvexe offene S ein Modell ist.
Im 3. Abschnitt folgern wir aus diesem Zusammenhang dann den
folgenden Satz iiber die Nicht-Charakterisierbarkeit :
Satz. Es gibt keine Aussage p in der Sprache der geordneten Korper
mit einem zusdtzlichen 2-stelligen Prddikat S, die genau die konvexen
offenen Teilmengen ScR2 mit R reel! abgeschlossen charakterisiert
(d.h. in (R, S) gilt), die Modelle von GA 2 sind.
2.
Beweis der Charakterisierungslemmas
Wir bedienen uns in diesem Abschnitt der Ausfuhrungen von SzczerbaTarski in [S-T 2 ], ohne sie jeweils im einzelnen zu zitieren.
2
Sei zuerst Sc
offen und konvex, R reell abgeschlossen und in R
sei jeder S-defmierbare Schnitt realisiert. Von den Axiomen von GA 2
bleibt dann fur S lediglich A9 d.h. C 1 zu zeigen. Es seien also die geo
metrischen*) Formeln cp (x) und \jj (y) gegeben. Unter Ausschluß von
trivialen Fallen konnen wir annehmen, daß cp und \j/ zwei nicht-leere
Mengen auf einer Geraden durch Punkte x 0
y 0 mit cp (x 0) und \j/ (y 0 )
definieren. Fur die Koordinaten eines Punktes zeR2 schreiben wir immer
(z f , z"). Es ist nun klar, daß das folgende Verfahren unter Benutzung der
Parameterdarstellung der Punkte der Geraden durch 0 , y 0 einen S
definierbarenSchnitt auf R beschreibt, dessen Realisierung in R mit der
Realisierung des durch cp und \j/ in S definierten Schnittes gleichwertig ist.
Man verandere folgendermaßen die Formeln cp und \j/:
R2R
xO,x
alle Parameter a bzw. Variablen z werden durch (a', a") bzw. (z' z")
ersetzt,
(1)
?
(2) entsprechend werden Quantifikationen Vzp und 3zp
Vz'z"(S (z f , z") => p) bzw. 3zf z" (S (z', z") a p) ersetzt,
die Primformeln B ((u r , u") (v r , v") (w , w"))
3 t(O<t<l AV = tu+ (l-t)w) 2 ),
e
(3)
x
)
ersetzt
durch
D.h. als einziger Grundbegriff tritt die Zwischenbeziehung B auf und die Quanti
fikationlauft nur iiber Punkte.
2
werden
durch
) Eine Gleichung a
?
b
meint naturlich die Konjunktion a' = b r
A
</ = b".
sind
(4)
<p*
f
(x , x") bzw. \j/*
wir schließlich
(/,/') die resultierenden Formeln, so setzen
Die Umkehrung bereitet erheblich großere technische Schwierigkeiten.
a R konvex und offen, R reell abgeschlossen und außerdem S
1
ein Modell von GA 2 . Es gilt jetzt die Richtigkeit von C in Szu beniitzen,
urn zu zeigen, daß in R jeder S-definierbare Schnitt realisierbar ist. Wir
haben also eine Übertragung eines Schnittes von R in das Modell S vor
zunehmenund miissen dort die arithmetischen Operationen geometrisch
Sei dazu S
beschreiben.
klar, daß durch Anwendung von affinen Transformationen im
die folgende Situation keine Beschrankung der Allgemeinheit darstellt:
Es ist
R2R
2
(i) die arithmetischen Formeln a und /? definieren unter Benutzung eines
2-stelligen Pradikates S zwei nicht-leere Teilmengen von R im Inter
vall[0, I],
(ii) die konvexe offene Menge S enthalt die Punkte
e0
= (0,
0),
Wir denken uns jetzt die affine Ebene 2 in die projektive Ebene P#
eingebettet und bilden mit einer projektiven Transformation die uneigent
licheGerade des 2 im P# auf die Gerade durch e^ und e^ ab, wobei e 0 in
sich iiberfiihrt werden soil. Diese Abbildung kann fur (x r , x") eR2 etwa
R2R
/
R2R
durch
/
beschrieben werden. Die Abbildung bildet also den QuadrantenO <x',x"
auf das Dreieck 0 , e^, e^ ab, das im Innern von S liegt. Insbesondere
bildet /das Intervall [0, 1] von R auf die Strecke 0 , e ± ] in Sab 2). Damit
liegen die /-Bilder des durch a und ft definierten Schnittes in S. Es bleibt
also noch die Übersetzung der arithmetischen Operationen in die
geo
eO,e
[eO,e
metrischeSprache von S.
Eine Gleichung a=b meint natiirlich die Konjunktion a / =b/ Aa" = b".
) Dabei wird wie iiblich R durch r \-> (r, 0) in 2 eingebettet.
x)
2
R2R
Da wir nur fur nicht-negative re R garantieren konnen, daß ihre
/-Bilder in S liegen, ersetzen wir die Formeln a und /? durch gleichwertige
Formeln (die wir wieder mit a und fi bezeichnen wollen), in denen jedoch
nur iiber die Elemente aus Pr = {r e R r > 0} quantifiziert wird. Es ist
klar, wie dies zu geschehen hat: statt von einem Korperelement r sprechen
wir von einer Aquivalenzklasse (r l9 r 2 y/~ wobei fur r l9 r 29 s l9 s 2 eP
definiert wird
|
9
In den Formeln a und /? taucht jetzt natiirlich das urspriinglich 2-stellige
Pradikat S als vierstelliges auf :
Wir haben also statt (i) jetzt:
a und p enthalten nur Quantifikationen iiber Elemente
Parameter
aus P, das vierstellige Pradikat S((r 9r 2 }, (s l9 s 2 })
aus P,
und definieren nicht-leere Mengen im Intervall [0, I].
(i') die Formeln
Sind nun r,
im Quadranten 0
l
teP gegeben, so laßt sich die Beziehung r
< x' x" bekanntlich rein affin beschreiben:
s9s
9
9
+
st
= t
Wenden wir die projektive Abbildung
/
an, so wird daraus
Bezeichnet dann x © y = z die folgende geometrische Formel
so
ist klar, daß gilt
Analog laßt sich die Multiplikation O von Elementen aus
rein geometrisch in S definieren. Es gilt dann
Es
0,
e^
>
fehlt jetzt noch die Übersetzung von
Wir suchen eine geometrische Formel o{x v x
schaft:
[eO,e
2\2
\y ,y 2 ) mit
1
der Eigen
Die Formel a muß also in S ausdriicken, daß <x1?x 1? x 2 y und (y v y 2 y
die /-Bilder der affinen Koordinaten <rlsr l5 r 2 y und <^i,
eines Punktes
aus S sind. Dabei genugt es natiirlich, wenn
die analog zu ~ mit © in 0 , e^y gebildete Aquivalenz
relationist. Nach Szczerba-Tarski [S-T 2 ], §5 laßt sich eine Formel
K5K
x l9 29 y l9 y 2 e S gerade besagt,
5 (z; x l9 x 2 ;y v y 2 ) angeben, die fur
daß
gilt, wobei
«
[eO,e
z9z
9
x29x
ist. Wir konnen also
setzen.
Nach diesen Ausfuhrungen diirfte klar sein, daß die folgende Über
setzungsvorschriftfur die Formeln a und ft einen geometrisch definierten
Schnitt auf 0 , e^\ liefert, dessen Realisierung in S eine Realisierung des
urspriinglichen Schnittes auf [0, 1] nach sich zieht:
[eO,e
(1) ersetze in a
Vxp bzw. 3xp durch
3x(B (e o^oo) Ax^e^Ap),
w und u?v = w durch u ©v = w
und p Quantifikationen
Vx(B oo*o a x 9* e^ =>p)
bzw.
(2) ersetze die Teilformeln u + v =
bzw. u Q v = w,
(3) ersetze die Teilformeln S ((u i ,u 2 y,(y 1 ,v 2 y) durch g (u l9 u 2 ; v i9 v 2 ).
(4) ersetze Parameter r durch /(r).
3.
Die Nicht-Charakterisierbarkeit
Wir wollen nun den im 1. Abschnitt formulierten Nicht-Charakteri
sierbarkeitssatzbeweisen, indem wir ihn auf ein Resultat von R. Montague
in [Ml zuriickfiihren.
Dazu betrachten wir zuerst einen reell abgeschlossenen Korper R mit
einer Teilmenge N, die die folgenden Bedingungen erfullen soil:
OeN und reN '=> r + leN
=>
(b) r seN,r <s
(c) (\/reR, r>o) (3teN) t < r < t +
(a)
9
r+l<s
1
Die Menge N enthalt dann alle naturlichen Zahlen, ist jedoch, falls R
nicht-archimedisch ist, nicht eindeutig festgelegt. Mit Hilfe von N definieren
wir die folgende Teilmenge S* von R 2 :
wobei A t das Innere des Dreieckes mit den Eckpunkten (0, 0) =
0,
mit Einschluß der offenen Strecke von 0 nach ut bezeichnet,
Wegen (a)-(c) ist S* offensichtlich konvex und offen.
Lemma. Es sei R reell abgeschlossen und N a R erfWile (a)-(c). Dann
ist S* genau dann ein Modell yon GA 2 , falls in R jeder N-definierbare
Schnitt realisiert ist. 1 )
Beweis. Dieses Lemma folgt unmittelbar aus dem Charakterisierungs
lemma,wenn man beachtet daß nicht nur S5 mit Hilfe von N, sondern
x Dies ist
analog zu S-definierbar zu verstehen, d.h. jetzt darf in den definierenden
)
arithmetischen Formeln a und S ein zusatzliches 1-stelliges Pradikat fur A^benutzt werden.
auch umgekehrt N mit Hilfe von
namlich fiir t e R, 0 < t
S%
definiert werden kann. Es gilt
d.h. die Gerade durch (0, 0) und (t, 1) reicht in S* bis zum Rand des Kreises
mit dem Radius 2.
q.e.d.
Wir konnen jetzt den Satz beweisen : Angenommen, es gabe eine Aussage
p der Sprache der angeordneten Korper mit einem zusatzlichen 2-stelligen
Pradikat fur S, so daß fiir Sc 2 mit S konvex und offen und R reell
abgeschlossen S genau dann ein Modell von GA 2 ist, falls p in (R, S) gilt.
Fur jedes N c R, das (a)-(c) erfiillt, heißt dies speziell
R2R
wobei man p* aus p erhalt, indem man die Definition von S* in p fur das
Pradikat S einsetzt. p* hat jetzt das zusatzliche Pradikat N. Mit dem
letzten Lemma erhalten wir dann :
Ist R reell abgeschlossen und hat N <^ R
die Eigenschaften (a)-(c), so ist genau dann
in R jeder iV-defmierbare Schnitt realisiert,
falls in (R, N) die einzelne Aussage p* gilt.
Dies widerspricht jedoch Theorem 8 zusammen mit Theorem 6 in [M].
Montague zeigt namlich dort in Theorem 6, daß die Theorie der reell ab
geschlossenenKorper R mit Teilpradikat N mit (a)-(c), in dem jeder
i\f-deiinierbare Schnitt realisiert ist, „strongly semantically closed" ist.
Nach Theorem 8 impliziert dies, daß das Schema der „reellen Abgeschlossen
heit"zusammen mit endlich vielen anderen Aussagen (z.B. (a)-(c) und p*)
nicht ausreicht, diese Theorie zu axiomatisieren.
4.
1.
SCHLUSSBEMERKUNGEN
Der eben bewiesene Satz laßt sich verscharfen zu
Satz'. Es gibt keine Aussage p der schwachen 2. Stufe fiir angeordnete
Korper mit zusdtzlichem 2-stelligen Pradikat S, so dass fiir konvexe offene
Teilmengen ScR2 und R reell abgeschlossen S genau dann ein Modell
von GA 2 ist, falls p in (R, S) gilt.
Dabei meint „schwache 2. Stufe", daß auch Quantifikationen iiber
endliche Folgen von Korperelementen zugelassen sind.
Wir skizzieren den Beweis: Falls es eine solche Aussage p gabe, so
wurde p insbesondere in (R, S^) gelten. Ersetzen wir S* in p durch seine
Definition, so erhalten wir eine Aussage p* der schwachen 2. Stufe, die in
(R, N) gelten wlirde. Aus Lemma 1 und 2 bei Apt in [A] laßt sich nun (mit
einigem technischen Aufwand) folgern, daß es eine Zahl n > 2 gibt, so
definierten reellen Zahlen einen reell abgeschlos
daß die durch A
R
R
bilden, in dem einerseits p* gelten wurde, der
senenTeilkorper n von
aber andererseits nicht alle N-definierbaren Schnitte realisiert. Damit
miißte einerseits pin (R n ,
gelten, andererseits ist aber S^ nach dem
Lemma im 3. Abschnitt kein Modell von GA 2 .
Es sei noch bemerkt, daß die Lemmata 1 und 2 bei Apt unter der Vor
aussetzungV = L bewiesen werden. Der Satz' behalt dann jedoch auch
ohne diese Voraussetzung seine Giiltigkeit.
s^)
2. Die Menge S^ wurde schon von Szczerba und Tarski beniitzt, um
die Unentscheidbarkeit von GA 2 zu beweisen. Weiterhin wurde dieses
Modell in Prestel-Szczerba [P-S] beniitzt, um zu zeigen, daß die Menge
derjenigen Aussagen, die in alien Modellen von GA 2 liber R gelten (d.h. in
2
denen das Stetigkeitsaxiom
der 2. Stufe gilt) nicht rekursive axioma
tisiertwerden kann (also insbesondere großer als die Theorie GA 2 ist).
Dies heißt insbesondere, daß das „Elementarisierungsverfahren" hier zu
einer echt schwacheren Theorie fiihren muß. Schließlich wurde von Schwab
hauserin [Sch] fur archimedisch geordnete, reell abgeschlossene Korper R
eine Charakterisierung derjenigen S^ angekiindigt, die Modelle von GA 2
sind. Diese Charakterisierung folgt ebenfalls aus dem Lemma im 3.
C2C
Abschnitt.
3. Es bleibt eine Frage aus [S-TJ ungelost, namlich, ob GA
2 eine
endlich axiomatisierbare Obertheorie besitzt.
4. Bei R. Fritsch und U. Friedrichsdorf mochte ich mich fiir viele
informative und anregende Gesprache zu dem Thema dieser Arbeit
bedanken.
LITERATUR
[A]
Apt, K. R. Non-finite axiomatizability of the second order arithmetic. Bull.
[C]
Coxeter, H. S. M. Non-Euclidean geometry. Toronto 1942.
Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie. Leipzig 1913.
Klingenberg, W. Grundlagen der Geometrie. Mannheim 1971.
Acad. Polon. Sci. 20 (1972), 347-348.
[H]
[K]
[M]
Montague, R. Semantical closure and non finite axiomatizability I. In : Infinitistic
[P-S]
Prestel, A. and L. W. Szczerba. Non-axiomatizability of real general affine
Methods, Warschau 1961, 286-302.
geometry. Fund. Math. 104 (1979), 193-202.
Schwabhauser, W. A class of undecidable models of general affine geometry.
Abstract, presented at the Int. Congress on Logic, Methodology and Philosophy
of Science, Hannover 1979.
[S-TJ Szczerba, L. W. and A. Tarski. Metamathematical properties of some affine
geometries. In : Logic, Methodology and Philosophy of Science, Proc. 1964
Int. Congress, Amsterdam 1965, 166-178.
Metamathematical discussion of some affine geometries. Fund. Math. 104
[S-T 2 ]
[Sch]
(1979), 155-192.
[S]
[X]
Szmielew, W. Some metamathematical problems concerning elementary hyper
bolicgeometry. In : The axiomatic method with special reference to geometry
and physics. Ed. L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski, Amsterdam 1959, 30-52.
Tarski, A. What is elementary geometry. In : The axiomatic method with special
reference to geometry and physics. Ed. L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski,
Amsterdam 1959, 16-29.
(Recu le 9 septembre 1980)
Alexander Prestel
Fakultat fiir Mathematik
Universitat Konstanz
Postfach 5560
West Germany