rein rechnerische Aufgaben

rein rechnerische Aufgaben
1. Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Winkel 36◦ bei der Spitze. Die
Winkelhalbierende eines Basiswinkels treffe den gegenüberliegenden Schenkel im
Punkt P . Zeige anhand einer übersichtlichen Skizze, daß der Punkt P den Schenkel
nach dem Goldenen Schnitt teilt!
(Hinweis: Verwende ähnliche Dreiecke!)
Lösung:
2. Der Unterschied der Längen der Abschnitte einer nach dem Goldenen Schnitt geteilten Strecke beträgt 5 cm. Wie lang ist diese Strecke und wie groß sind ihre Abschnitte?
√
Lösung: Strecke: 5 · ( 5 + 2) cm; Abschnitte:
5
2
√
· ( 5 + 3) cm,
5
2
√
· ( 5 + 1) cm
3. Dem Quadrat ABCD der Seitenlänge 1 wird wie in der Zeichnung ein Halbkreis
umbeschrieben. Zeige durch Rechnung: B teilt die Strecke [AE] im Verhältnis des
goldenen Schnitts.
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D
C
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r
A
Lösung: Es ist r =
√
5
2
also
AB
AE
=
1√
1
+ 25
2
r
=
√
5−1
2
B
E
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4. ABCDE ist ein regelmäßiges Fünfeck, d. h.
seine Seiten sind gleich lang, seine Innenwinkel gleich groß.
(a) Begründe:
i. <
) DAC =<
) QCD =<
) ACE
ii. Die Dreiecke ADC und AQC sind
gleichschenklig.
iii. Die Dreiecke ADC und CQD sind
ähnlich.
iv. AD : DC = CQ : QD
(b) Begründe, daß Q die Strecke AD im
goldenen Schnitt teilt.
1
A
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R
E
S
Q
B
T
P
D
C
Lösung: (a) (i) Umfangswinkelsatz für Sehnen gleicher Länge. (ii) Aus der Regularität des Fünfecks ergibt sich z. B., daß EAD ∼
= BCA, deswegen ist ADC gleichschenklig. AQC ist
wegen der Identität aus (i) gleichwinklig “. (iii) Übereinstimmung in drei Winkeln.
”
(iv) Folge der Ähnlichkeit.
(b) Ersetze in der Proportion DC und CQ durch AQ.
5. Im Dreieck ABC teilt der Punkt Q die Seite
[AB] im goldenen Schnitt. Ferner gilt AQ =
CQ = BC.
A.....
(a) Zeige, daß die Dreiecke ABC und CQB
ähnlich sind und berechne alle Innenwinkel des Dreiecks ABC.
(b) Beschreibe wie man, ausgehend von
diesem Dreieck, ein reguläres Fünfeck
konstruieren kann.
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Q
B
C
Lösung: (a) Weil Q die Strecke [AB] im goldenen Schnitt teilt und wegen der Gleichheiten AQ =
CQ = BC ergibt sich AB : BC = CQ : QB. Also sind ABC und CQB ähnlich.
Daraus ergibt sich <
) α = 360 und <
) β =<
) γ = 720 .
(b) Das Fünfeck erhält man z. B. durch Antragen der 720 -Winkel im Mittelpunkt eines
Kreises.
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