2. Hilbertschen Geometrie II: Kongruenzsätze Strecken Kongruenz

2. Hilbertschen Geometrie II: Kongruenzsätze
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln.
Strecken Kongruenz.
Definition. Eine Strecken Kongruenz (oder einfach: Kongruenz) einer Geometrie
(P, G, E) ist jede Beziehung AB ≡ CD zwischen Strecken AB, CD, die alle Axiome
III.1-III.3 der Strecken Kongruenz erfüllen.
Axiom-Gruppe 3: Axiome der Strecken Kongruenz.
Axiom III.1. Seien g, g ′ ∈ G zwei Geraden und A, B, A′ ∈ P Punkte mit A, B ⊲⊳ g
und A′ ⊲⊳ g ′ . Dann gibt es B ′ ∈ P mit AB ≡ A′ B ′ , für Strecken.
Axiom III.2. A′ B ′ ≡ AB und AB ≡ A∗ B ∗ , dann A′ B ′ ≡ A∗ B ∗ , für Strecken.
Axiom III.3. Seien g, g ′ ∈ G zwei Geraden. Weiter seien AB, BC Strecken auf g
und A′ B ′ , B ′ C ′ Strecken auf g ′ mit
A < X > B und B < X > C, für kein X ∈ P
A′ < X ′ > B ′ und B ′ < X ′ > C ′ , für kein X ′ ∈ P.
Dann gilt
AB ≡ A′ B ′ und BC ≡ B ′ C ′ ⇒ AC ≡ A′ C ′
Winkel und Winkel Kongruenz.
Der Umgang mit Winkeln hat seine eigenen Schwierigkeiten. Man muss auch sorgfältig
unterscheiden zwischen einem Winkel per se und seinem Maß. Hier geht es nur um die
Definition von Winkeln und ihren elementaren Eigenschaften - nicht darum wie man sie
mißt.
Um Winkel zu definieren brauchen wir die folgenden beiden Zerlegungssätze:
Satz 1. Sei g ∈ G eine Gerade und A ∈ P ein Punkt mit A ⊲⊳ g. Dann zerlegt A
die Gerade g in zwei Halbgeraden in dem Sinne, dass zwei Punkte B, C ∈ P genau
dann in verschiedenen Halbstrahlen liegen, wenn B < A > C.
Beweis. Klar. ♦
Satz 2. Sei α ∈ E eine Ebene und g ∈ G eine Gerade mit g ⊲⊳ α. Dann zerlegt g die
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§2 Hilbertsche Geometrie II
Ebene α in zwei Halbebenen in dem Sinne, dass zwei Punkte B, C ∈ P genau dann
in verschiedenen Halbebenen liegen, wenn es einen Punkt A ∈ P gibt mit A ⊲⊳ g und
B < A > C.
B’
B
g
C
′
B, B liegen in der gleichen und B, C in verschiedenen Halbebenen
Beweis. Klar. ♦
Bemerkung. Man sagt auch B, B ′ liegen auf der gleichen Seite von g und B, C
liegen auf verschiedenen Seiten von g.
Definition. Ein Winkel ist eine Paar (h, k) von Halbstrahlen, die auf verschiedenen
Geraden einer Ebene α ∈ E liegen und einen gemeinsamen Punkt 0 haben.
s
Bezeichnung. Der durch das Paar (h, k) bestimmte Winkel wird mit
6 (k, h) bezeichnet.
(h, k) oder mit
el
Winkel
res des
Aeusse
eitel
Sch
6
k
en
h
Sc
l
inke
k
W
,k) =
(h
h
des
Inneres
s
Winkel
Schenkel
Bezeichnungen am Winkel
Die Halbstrahlen h, k heißen Schenkel des Winkels und der Punkt 0 heißt Scheitel
des Winkels. Seine h′ , k ′ die Geraden die die Halbstrahlen h bzw. k enthalten.
Dann liegen die Punkte der Halbgerade h alle in einer der beiden Halbebenen von k ′
und ebenso für die Punkte von k. Das Innere des Winkels 6 (h, k) besteht aus allen
Punkten der Ebene α die sowohl in der Halbebene von h liegen die k ′ enhalten als
auch in der Halbebene von k die h′ enthalten. Alle anderen Punkte liegen im Äußeren
des Winkels.
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. Geometrie
Definition. Eine Winkel Kongruenz (oder einfach: Kongruenz) einer Geometrie
(P, G, E) ist jede Beziehung 6 (h, k) ≡ 6 (m, n) zwischen Winkeln 6 (h, k), 6 (m, n), die
alle Axiome III.4-III.5 der Winkel Kongruenz erfüllen.
Axiom-Gruppe 3: Axiome der Winkel Kongruenz.
Axiom III.4. Es sei ein Winkel 6 (h, k) in einer Ebene α ∈ E und eine Gerade g ′ ∈ G
in einer Ebene α′ ∈ E sowie eine bestimmte Seite von g ′ in α′ gegeben.
Es sei h′ einen Halbstrahl der Geraden g ′ , der vom Punkte O′ ausgeht.
Dann gibt es in der Ebene α′ genau einen Halbstrahl k ′ , so daß
6
(h, k) ≡ 6 (h′ , k ′ )
und zugleich alle inneren Punkte des Winkels
Winkel ist sich selbst kongruent.
6
(h′ , k ′ ) auf der Seite von a′ liegen. Jeder
D.h. 6 (h, k) = 6 (h′ , k ′ ) und 6 (h, k) = 6 (h, k).
Axiom III.5. Wenn für zwei Dreiecke ∆ABC und ∆A′ B ′ C ′ die Kongruenzen
AB ≡ A′ B ′ , AC ≡ A′ C ′ ,
6
BAC ≡ 6 B ′ A′ C ′
gelten, so ist auch stets die Kongruenz
6
ABC ≡ 6 A′ B ′ C ′ .
erfüllt.
Definitionen. Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemein haben, und deren
nicht gemeinsame Schenkel eine gerade Linie bilden, heißen Nebenwinkel. Zwei Winkel
mit gemeinsamem Scheitel, deren Schenkel je eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel.
Ein Winkel, welcher einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt ein rechter Winkel.
Nebenwinkel
Scheitelwinkel
Rechter Winkel
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§2 Hilbertsche Geometrie II
Kongruenz Sätze für Dreiecke.
Im folgenden leiten wir drei Kongruenzsätze aus den Axiomen her.
Definition. Zwei Dreiecke ∆ABC und ∆A′ B ′ C ′ heißen kongruent (Bezeichnung:
∆ABC ≡ ∆A′ B ′ C ′ ), wenn
AB ≡ A′ B ′ , AC ≡ A′ C ′ , BC ≡ B ′ C ′
A ≡ 6 A′ ,
6
6
B ≡ 6 B′,
6
C ≡ 6 C ′.
Satz 12. (1. Kongruenzsatz: SWS)
( AB ≡ A′ B ′ ,
6
A ≡ 6 A′ , AC ≡ A′ C ′ , ) ⇒ ∆ABC ≡ ∆A′ B ′ C ′ .
C
A
C’
D’
B
A’
B’
Beweis von Satz 12
Beweis. Nach Axiom III.5 gilt
6
B ≡ 6 B ′ und
6
C ≡ C ′.
Es bleibt also zu zeigen:
Behauptung. BC ≡ B ′ C ′ .
Angenommen BC ≡ B ′ C ′ gilt nicht.
⇒ es gibt einen Punkt D′ 6= C ′ auf der Geraden B ′ C ′ mit BC ≡ B ′ D′ .
⇒
⇒
6
6
BAC ≡ 6 B ′ A′ D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axiom III.5, angewandt auf die beiden
Dreiecke ∆ABC und ∆A′ B ′ D′ .
BAC ≡ 6 B ′ A′ D′ und 6 BAC ≡ 6 B ′ A′ C ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Voraussetzung)
⇒ Widerspruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (nach Axiom III.4
kann jeder Winkel an einem gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine Weise angetragen werden). ♦
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. Geometrie
Satz 13. (2. Kongruenzssatz: WSW)
( 6 A ≡ 6 A′ , AB ≡ A′ B ′ ,
6
B ≡ 6 B ′ ) ⇒ ∆ABC ≡ ∆A′ B ′ C ′ .
Beweis. Ebenso. ♦
Satz 14. (Gleichheit von Nebenwinkeln) Sei 6 ABC ein Winkel mit Nebenwinkel
6 CBD und sei 6 A′ B ′ C ′ mit Nebenwinkel 6 C ′ B ′ D ′ . Dann gilt
6
ABC ≡ 6 A′ B ′ C ′ ⇒
6
CBD ≡ 6 C ′ B ′ D′ .
C
A
C’
D
B
A’
B’
D’
Beweis von Satz 14
Beweis. Es gibt Punkte A′ , C ′ , D′ ∈ P auf den durch B ′ gehenden Schenkeln mit
AB ≡ A′ B ′ , CB ≡ C ′ B ′ , DB ≡ D′ B ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Axiom II.1)
⇒ ∆ABC ≡ ∆A′ B ′ C ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Satz 12)
⇒ AC ≡ A′ C ′ und
BAC ≡ 6 B ′ A′ C ′ . . . . . . (Definition von Kongruenz von Dreiecken)
6
Weiter ist AD ≡ A′ D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Axiom III.3)
⇒ ∆CAD ≡ ∆C ′ A′ D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Satz 12)
⇒ CD ≡ C ′ D′ und
⇒
6
6
ADC ≡ 6 A′ D′ C ′ . . . . . (Definition von Kongruenz von Dreiecken)
CBD ≡ 6 C ′ B ′ D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Axiom III.5
angewandt
auf
die
Dreiecke
∆BCD
und
∆B ′ C ′ D′ )
Dies beweist Satz 14. ♦
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§2 Hilbertsche Geometrie II
Satz 15. (Winkel Addition und Subtraktion) Es seien h, k, l und h′ , k ′ , l′ je drei
von einem Punkte O bzw. O′ ausgehende und in einer Ebene α bzw. α′ liegende
Halbstrahlen. h, k und h′ , k ′ mögen gleichzeitig entweder auf derselben Seite oder auf
verschiedenen Seiten von l bzw. l′ liegen. Dann gilt:
( 6 (h, l) ≡ 6 (h′ , l′ ) und
6
(k, l) ≡ 6 (k ′ , l′ ) ) ⇒
K
k
(h, k) ≡ 6 (h′ , k ′ ).
K’
H
k
h
0
6
H’
h’
L
l
0’
l’
L
Beweis zu Satz 15
Beweis. O.B.d.A. liege h, k auf der gleichen Seite von ℓ. Somit liegt (nach Voraussetzung) auch h′ , k ′ auf der gleichen Seite von ℓ′ . (Der andere Fall folgt dann durch
Anwendung von Satz 14 aus diesem Fall).
Entweder verläuft h im Winkel 6 (k, ℓ) oder k im Winkel 6 (h, ℓ). O.B.d.A. liege h
im Winkel 6 (h, ℓ). Wähle auf den Schenkeln k, k ′ , ℓ, ℓ′ die Punkte K, K ′ , L, L′ so, dass
OK ≡ O′ K ′ und OL ≡ O′ L′
Dann sieht man leicht, dass h die Strecke KL in einem Punkt H schneidet.
⇒ Es gibt H ′ auf h′ mit OH ≡ O′ H ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Axiom III.1)
⇒
OLH ≡ 6 O′ L′ H ′ ,
6
⇒
6
6
OLK ≡ 6 O′ L′ K ′ ,
LH ≡ L′ H ′ , LK ≡ L′ K ′ . . . . . . (Satz 12
für ∆OLH und ∆O′ L′ H ′ bzw. ∆OLK und ∆O′ L′ K ′ )
OKL ≡ 6 O′ K ′ L′ .
⇒ H ′ liegt auf L′ K ′
(dies folgt aus den beiden ersten Winkelkongruenzen, denn, jeder Winkel kann an einen
Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine Weise angetragen werden
(Axiom III.4) und H ′ und K ′ liegen, nach Voraussetzung, auf derselben Seite von ℓ′ ).
⇒ HK ≡ H ′ K ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Axiom II.3
und der beiden genannten Streckenkongruenzen)
⇒
6
(h, k) ≡ 6 (h′ , k ′ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Axiom II.5,
und OK ≡ O′ K ′ , HK ≡ H ′ K ′ und 6 OKL ≡ 6 O′ K ′ L′ ) ♦
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. Geometrie
Satz 16. (Winkel Teilung) Sei 6 (h, k) ein Winkel in der Ebene α und 6 (h′ , k ′ ) ein
Winkel in der Ebene α′ mit 6 (h, k) ≡ 6 (hp rime, k ′ ). Weiter sei ℓ ein Halbstrahl in
α, der vom Scheitel des Winkels 6 (h, k) ausgeht und in seinem Innern verläuft.
Dann gibt es genau einen Halbstrahl ℓ′ ⊲⊳ α′ α′ , der vom Scheitel des Winkels
ausgeht und in seinem Innern so verläuft, dass
6
(h, ℓ) ≡ 6 (h′ , ℓ′ ) und
6
6
(h′ , k ′ )
(h, k) ≡ 6 (k ′ , ℓ′ ).
Beweis. Wie Beweis von Satz 15. ♦
Den folgenden Satz brauchen wir für den 3. Kongruenzsatz.
Satz 17. (Winkel Vergleichung) Seien Z1 , Z2 ∈ P zwei Punkte, die in verschiedenen
Halbebenen einer Geraden XY liegen. Dann gilt:
( XZ1 ≡ XZ2 und Y Z1 ≡ Y Z2 ) ⇒
.
6
XY Z1 ≡ 6 XY Z2 .
X
Z1
Z2
Y
Beweis zu Satz 17
Beweis. Die Dreiecke ∆Z1 XZ2 und ∆Z1 Y Z2 sind gleichschenklig
⇒
⇒
XZ1 Z2 ≡ 6 XZ2 Z1 und
6
6
6
Y Z1 Z2 ≡ 6 Y Z2 Z1 . . . . . . . . . . . . . (Axiom II.5 und III.5)
XZ1 Y ≡ 6 XZ2 Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (nach Satz 15)
⇒ 6 XY Z1 ≡ 6 XY Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Axiom III.5)
(Hier haben wir haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass X bzw. Y nicht auf
Z1 Z2 liegen. Dien anderen Fälle erledigen sich sogar noch einfacher). ♦
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§2 Hilbertsche Geometrie II
Satz 18. (3. Kongruenzsatz: SSS)
( AB ≡ A′ B ′ , BC ≡ B ′ C ′ , AC ≡ A′ C ′ ) ⇒ ∆ABC ≡ ∆A′ B ′ C ′ .
C
C’
B’
B
B
0
A
B"
A’
Beweis zu Satz 18
Beweis. Wir tragen den Winkel
Seiten an.
6
BAC an den Halbstrahl A′ C ′ in A′ nach beiden
Auf dem Schenkel der mit B ′ auf der gleichen Seite von A′ C ′ liegt, wählen wir den
Punkt B0 so, dass A′ B0 ≡ AB; und auf dem anderen freien Schenkel sei B ′′ so gewählt,
dass A′ B ′′ ≡ AB.
⇒ BC ≡ B0 C ′ und BC ≡ B ′′ C ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Satz 12)
⇒ A′ B ′′ ≡ A′ B0 , B ′′ C ′ ≡ B0 C ′ und A′ B ′′ ≡ A′ B ′ , B ′′ ≡ B ′ C ′ . . . . . . (Axiom III.2)
⇒ die Vorausetzungen von Satz 17 treffen sowohl auf ∆A′ B ′′ C ′ und ∆A′ B0 C ′ als
auch auf ∆A′ B ′′ C ′ und ∆A′ B ′ C ′ zu
⇒
6
B ′′ A′ C ′ ≡ 6 B0 A′ C ′ und
6
B ′′ A′ C ′ ≡ 6 B ′ A′ C ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Satz 17)
⇒ Halbstrahl A′ B0 stimmt mit Halbstrahl A′ B ′ überein . . . .
(nach Axiom III.4)
kann jeder Winkel an einer Ebene nur auf eine Weise angetragen werden kann)
⇒ der zu 6 BAC kongruente an A′ C ′ nach der betreffenden Seite angetragene Winkel
ist der Winkel 6 B ′ A′ C ′ .
⇒ Satz 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Satz 12,
6 BAC ≡ 6 B ′ A′ C ′ und den vorausgesetzten Streckenkongruenzen) ♦
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. Geometrie
Anhang. Euklidische Geometrie.
Definition. Eine Hilbertsche Geometrie (P, G, E) heißt Euklidische Geometrie, wenn
sie neben allen Axiomen der Gruppen 1-3 auch alle Axiome der Gruppen 4 und 5 erfüllt.
Gruppe 4: Axiome der Parallelen.
Axiom IV. Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb a: dann gibt
es in der durch a und A bestimmten Ebene höchstens eine Gerade, die durch A läuft
und a nicht schneidet.
Gruppe 5: Axiome der Stetigkeit.
Axiom V.1. (Axiom des Messens) Seien A, B und C, D irgendwelche Strecken, so
gibt es eine Anzahl n derart, daß das n-malige Hintereinander-Abtragen der Strecke CD
von A aus, auf den durch B gehenden Halbstrahl über den Punkt B hinausführt.
Axiom V.2. (Lineare Vollständigkeit) Das System der Punkte einer Geraden mit
seinen Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen ist keiner solchen Erweiterung fähig, bei
welcher die zwischen den vorigen Elementen bestehenden Beziehungen sowie auch die aus
den Axiomen I-III folgenden Grundeigenschaften der linearen Anordnung und Kongruenz
und Axiom V.1 erhalten bleiben.
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