2.12 Dreieckskonstruktionen

2.12 Dreieckskonstruktionen
2.12
Dreieckskonstruktionen
2.12.1
△ABC aus a, b und c
1.
2.
3.
4.
53
Strecke AB der Länge c
Kreis um A mit Radius b
Kreis um B mit Radius a
Schnittpunkt der Kreise ist C
Bemerkung: Es entstehen zwei kongruente △ABC.
2.12.2
1.
2.
3.
4.
△ABC aus α, c und β
Strecke AB der Länge c
Winkel α an AB in A
Winkel β an AB in B
Schnittpunkt der Kreise ist C (es entstehen zwei kongruente △ABC)
Bemerkung: Es entstehen zwei kongruente △ABC.
2.12.3
△ABC aus a, β und c
1. Winkel β mit Scheitel B
2. Strecke BA der Länge c abtragen
3. Strecke BC der Länge a abtragen
2.12.4
1.
2.
3.
4.
△ABC aus a, b und α
Strecke AC der Länge b
Winkel α an AC in A
Kreis um C mit Radius b
Schnittpunkt des Kreises mit zweitem Schenkel von α ist B
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC wenn a > b, sonst zwei nichtkongruente △ABC.
2.12.5
1.
2.
3.
4.
△ABC aus b, c und hC
Strecke AB der Länge c
Parallele zu AB im Abstand hC
Kreis um A mit Radius b
Schnittpunkt des Kreises mit der Parallelen ist C
Bemerkung: Es entstehen zwei nichtkongruente △ABC, wenn b > hC , sonst ist eine Konstruktion unmöglich.
2.12.6
1.
2.
3.
4.
△ABC aus c, γ und hC
Strecke AB der Länge c
Parallele zu AB im Abstand hC
Kreis über AB mit Peripheriewinkel γ
Schnittpunkt des Kreises mit der Parallelen ist C
Bemerkung: Es entstehen zwei kongruente △ABC.
54
2 DAS DREIECK
2.12.7
1.
2.
3.
4.
△ABC aus b, sc und c
Strecke AB der Länge c
Kreis um Mc mit Radius sc
Kreis um A mit Radius b
Schnittpunkt der Kreise ist C
Bemerkung: Es entstehen zwei kongruente △ABC.
2.12.8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
△ABC aus sa , sc und c
Strecke AB der Länge c
Kreis um Mc mit Radius 13 sc
Kreis um A mit Radius 23 sa
Schnittpunkt der Kreise ist G
Verlängerung von Mc G über G hinaus
Kreis um G mit Radius 2|Mc G|
Schnittpunkt des Kreises mit Strahl Mc G ist C
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC, wenn c/2, sc /3 und sa /3 Dreiecksungleichung erfüllen,
sonst ist eine Konstruktion unmöglich.
2.12.9
△ABC aus sa , sb und sc
Siehe das Bild auf Seite 40
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
△BG′ G aus 32 sa , 32 sb und 32 sc konstruieren
Parallele zu BG durch G′
Parallele zu BG′ durch G
Schnittpunkt der Parallelen ist C
Kreis um G mit Radius 31 sc
Schnittpunkt des Kreises mit Strahl CG ist Mc
Verdopplung von Mc B über Mc , Schnittpunkt ist A
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC, wenn sa , sb und sc Dreiecksungleichung erfüllen, sonst
ist eine Konstruktion unmöglich.
2.12.10
△ABC aus α, β und p
1. Lösungsweg: Man konstruiert ein △A′ B ′ C nach wsw aus α2 , |A′ B ′ | = a + b + c und β2 . Vom
Punkt C aus trägt man an |CA′ | den Winkel α2 und an |CB ′ | den Winkel β2 an. Es entstehen
zwei Schnittpunkte mit der Strecke A′ B ′ . Das seien A und B. Das △ABC ist das gesuchte.
Begründung: Die Dreiecke △AA′ C und △BB ′ C sind nach Konstruktion gleichschenklig (gleiche
Basiswinkel). Daher ist |A′ C| = |AC| und |B ′ C| = |BC| und damit der Umfang von △ABC
gleich |AC| + |BC| + |AB| = |A′ B ′ | = a + b + c. Außerdem ist ∢CAB = ∢AA′ C + ∢A′ CA = α
und ∢CBA = ∢BB ′ C + ∢B ′ CB = β.
2. Lösungsweg: Das gesuchte △ABC ist zu jedem △A′ B ′ C ′ mit den gleichen Winkeln α und β
ähnlich. Dann haben alle entsprechenden Strecken das gleiche Verhältnis zueinander. Man kann
das Dreieck also folgendermaßen konstruieren: Man wählt eine beliebige Strecke |A′ B ′ | = c′ und
konstruiert ein △A′ B ′ C ′ aus α, β und c′ . Der Umfang von △A′ B ′ C ′ verhält sich zu dem von
△ABC wie c′ zu c. Hieraus kann man c konstruieren.
2.12 Dreieckskonstruktionen
2.12.11
1.
2.
3.
4.
5.
6.
55
△ABC aus a, hA und hB
Strecke BC der Länge a
Thaleskreis über BC
Kreis um B mit Radius hB
Schnittpunkt der Kreise ergibt Höhenfußpunkt HB
Parallele zu BC im Abstand hA
Schnittpunkt der Parallele mit Verlängerung von CHB ist A
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC wenn hB < a, sonst ist eine Konstruktion unmöglich.
2.12.12
1.
2.
3.
4.
5.
△ABC aus mc , R und hB
Auf Gerade g wird Mc festgelegt, wodurch sich mit Mc O = mc der Punkt O ergibt
Kreis k durch O mit Radius R schneidet g in zwei Punkte A, B
Kreis um Mc mit Radius 2c und Kreis um B mit Radius hB
Schnittpunkt ist Punkt HB
Schnittpunkt der Verlängerung der Geraden AHB mit Kreis k ist C
Bemerkung: Es entstehen zwei ähnliche Dreiecke △ABC wenn R < mc , sonst ist Konstruktion
nicht mglich.
2.12.13
△ABC aus S, c und γ
Hier sei der Flächeninhalt durch ein Quadrat mit Flächeninhalt S gegeben!
S ist als S = xx gegeben. Für das gesuchte Dreieck ist S = ch
, wodurch sich h mithilfe des
2
Strahlensatzes aus xc = xh berechnen lässt. Also soll nun ein Dreieck △ABC aus h, c und γ
2
konstruiert werden.
1.
2.
3.
4.
Strecke c und Parallele g im Abstand h
an A und B zwei Strahle mit dem Winkel 90 − γ = γ ′ abtragen
um diesen Schnittpunkt Kreis durch A und B
Schnittpunkt vom Kreis mit g ist der Punkt C
Bemerkung: Es entstehen zwei ähnliche Dreiecke △ABC.
2.12.14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
△ABC aus hA , sa und α
Strecke BC der Länge a
Thaleskreis über BC
Kreis um B mit Radius hB
Schnittpunkt der Kreise ergibt Höhenfußpunkt HB
Parallele zu BC im Abstand hB
Schnittpunkt der Parallele mit Verlängerung von CHB ist A
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC wenn hA < a, sonst ist eine Konstruktion unmöglich.
56
2 DAS DREIECK
2.12.15
△ABC aus hC , sc und γ
Diese Konstruktion ähnelt der Konstruktion aus zwei Winkeln und einer
dritten Größe (siehe z.B. Konstruktion aus (α, β, c)). Nur daß es sich
beim zweiten Winkel nicht um β oder γ handelt.
Wir konstruieren uns als erstes einen Hilfswinkel ϕ und daraus zusammen
mit γ ein ähnliches Dreieck.
hC
sc
ϕ
1. Rechtwinkliges △ aus hC und sc . Das ergibt den Winkel ϕ.
2. Vorgabe einer beliebigen Strecke c′
3. Konstruktion des △A′ B ′ C ′ aus (γ, ϕ, c′ ):
(a)
(b)
(c)
(d)
Gleichschenkliges Dreieck △A′ B ′ O ′ aus γ und c′ . O ′ ist der Umkreismitelpunkt.
Umkreis von △A′ B ′ O ′
Im Punkt Mc′ (Halbierunspunkt von c) den Winkel ϕ abtragen.
Der Schnittpunkt mit dem Umkreis ist C ′ .
4. Diese Konstruktion ergibt die Strecke s′c = Mc′ C ′ .
′
5. Ermittlung von c aus der Proportion scc = sc′
c
6. Konstruktion des △ABC aus (γ, hC , c) oder (γ, sc , c) wieder über den Umkreis.
2.12.16
△ABC aus α − β, hC und R
2.12.17
△ABC aus ra , rb und rc
Für die Konstruktion eines Dreiecks aus hA , hB und hC wurde die Proportionalität a · hA =
b · hB = c · hC zur Ermittlung eines ähnlichen Dreiecks benutzt. Suche in diesem Fall eine
ähnliche Proportionalität.
Es gilt
S = ra pA = rb pB = rc pC .
Es sei x beliebig vorgegeben. Aus der Gleichung
ra x = rb y = rc z
lassen sich dann y und z konstruieren. Es sei a′ = y+z, b′ = x+z, c′ = x+y und p′ = 21 (a′ +b′ +c′ ).
Dann ist p′ − a′ = x, p′ − b′ = y und p′ − c′ = z. Das Dreieck mit den Seitenlängen a′ , b′ und c′
ist dem gesuchten Dreieck ähnlich. Konstruiert man ra′ , kann man nach der Gleichung
ra′
a′
=
ra
a
die Strecke a (und analog b und c) konstruieren.
57
2.12 Dreieckskonstruktionen
2.12.18
△ABC aus hA , hB und hC
Die Höhen sind umgekehrt proportional zu den Seitenlängen. Wenn wir S kennen würden,
könnten wir die Seitenlängen aus
2S = ahA = bhB = chC
konstruieren. Wir geben uns ein beliebiges S ′ (z.B. indem wir uns a′ vorgeben) vor und konstruieren die entsprechenden a′ , b′ , c′ . Das gesuchte Dreieck ist dann zu dem mit diesen Seitenlängen
ähnlich.
bf Alte Herleitung:
Es gilt die Dreiecksungleichung a + b > c. Ausgehend von aha = bhb = chc = 2F folgt hieraus
1
1
1
+
>
ha hb
hc
Diese Ungleichung hat die Dimension
aber
ha + hb >
1
L
und ist somit keine Dreiecksungleichung. Aus ihr folgt
ha · hb
hc
was die Dimension L hat und als Dreiecksungleichung interpretiert werden kann. Das Dreieck
△A′ B ′ C ′ mit den Seiten a′ = hb , b′ = ha und c′ = hah·hc b ist dem gesuchten Dreieck △ABC
ähnlich, denn es gilt
hc
a
hb
a′
=
= ha ·hb =
′
c
ha
c
h
c
(und analoge Beziehungen).
Die Konstruktion geht also so:
1. Konstruktion der Länge d =
ha ·hb
hc
aus ha , hb , hc (z.B. mit Strahlensatz).
2. Konstruktion Dreiecks △A′ B ′ C ′ nach sss aus den Seiten hb , ha , d. Damit liegt der Punkt
C = C ′ fest.
3. Konstruktion der Seite AB als Parallele zur Seite A′ B ′ im Abstand hc von C.
Bemerkung: Wählt man hc als kleinste Höhe, ist die Verschiebung der Seite A′ B ′ am kleinsten,
z.B. ist bereits d = c falls △ABC rechtwinklig ist.
2.12.19
△ABC aus r, α und hC
C
1. Punkt A und Strahl AB
2. Parallele zu AB im Abstand hC
3. Winkel α in A abtragen, ergibt C
4. Parallele zu AB im Abstand r
5. Winkel α/2 in A abtragen, ergibt I
6. Kreis um I mir Radius r
7. Tangente durch C an Inkreis ergibt B.
A
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC wenn r < hC .
hC
I
α
2
α
2
r
B
58
2 DAS DREIECK
2.12.20
△ABC aus R, α und hC
R
A
O
α
α
B
Bemerkung: Es entstehen zwei nichtkongruente Dreiecke △ABC und △A′ BC falls hC <
BC = 2R sin α.
2.12.21
C
hC
1. Gleichschenkliges Dreieck aus 2α und R.
Das ergibt die Punkte O, B und C.
2. Umkreis um O mit Radius R.
3. Kreis um C mit Radius hC .
4. Tangente an diesen Kreis aus B schneidet
den Umkreis in A.
A′
△ABC aus hB , a und R
C
HB
1.
2.
3.
4.
5.
Gleichschenkliges △OBC aus R und a
Umkreis
Kreis um B mit Radius hB
Thaleskreis über a
Schnittpunkt beider Kreise ist der Fußpunkt HB
der Höhe hB
6. Gerade durch C und HB schneidet Umkreis in A
2.12.22
a
O
R
B
hB
A
△ABC aus r, R und c
1. Gleichschenkliges △ABO aus R und c.
2. (Zwei)
pParallele g zu AB im Abstand r.
3. d = R(R − 2r) konstruieren (z.B. mit
Kathetensatz)
4. Kreis k um O mit Radius d.
5. Schnittpunkt von g mit k ist I.
6. Inkreis um I
7. Tangente an Inkreis aus A ergibt C
(Schnittpunkt mit Umkreis)
C
d
2r
A
I
O d
r
B
r
I
Bemerkung: Es entstehen zwei nichtkongruente △ABC und △ABC ′
C
Bemerkung: Für diese Konstruktion wird die Eulerformel d2 = R(R − 2r) benötigt, die den
Abstand d = OI angibt, der für gegebene r und R festgelegt ist.
59
2.12 Dreieckskonstruktionen
2.12.23
1.
2.
3.
4.
△ABC aus p, ra und b
Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten p und ra ergibt Winkel α/2.
Von A aus Winkel α abtragen.
Von A aus Strecke b abtragen, ergibt C.
Von C aus Tangentte an Ankreis.
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC,
2.12.24
1.
2.
3.
4.
5.
△ABC aus α, p und r
Rechtwinkliges Dreieck mit Kathete r und Winkel α/2.
Rechtwinkliges Dreieck mit Kathete p und Winkel α/2 in Ähnlichkeitslage.
Von A aus Winkel α abtragen.
Inkreis und Ankreis zeichnen.
Gemeins. Tangente an beide Kreise schneidet Schenkel von α in den Punkten B und C.
Bemerkung: Es entstehen zwei △ABC aus zwei gemeinsamen Tangenten an die Kreise.
2.12.25
1.
2.
3.
4.
△ABC aus α, p und a
Rechtwinkliges Dreieck mit Kathete p und Winkel α/2.
Vom Eckpunkt a abtragen. Im Abstand pA von A Senkrechte ergibt Länge r.
Inkreis und Ankreis zeichnen.
Gemeins. Tangente an beide Kreise schneidet Schenkel von α in zwei Punkten B und C.
Bemerkung: Es entsteht ein △ABC,
2.12.26
△ABC aus R, p und a
Aus R und a konstruieren wir den Winkel α. Dann ist das Problem auf die Konstruktion aus
(α, p, a) zurückgeführt.
2.12.27
△ABC aus R, pA und c
C
1. Gleichschenkliges △ABO aus c und R.
2. Umkreis um O mit Radius R.
3. Mittelsenkrechte auf AB. X sei Schnittpunkt mit
Umkreis.
4. Senkrechte g auf AB im Abstand AIc = pA vom
Punkt A.
5. Kreis k um X mit Radius XB.
6. Schnittpunkt von k und g ist Inkreismittelpunkt
I.
7. Inkreis um I mit Radius IIc .
8. Tangenten aus A und B an Inkreis.
9. Schnittpunkt der Tangenten mit Umkreis ist C.
O
I
R
r
A
pA
Ic
X
c
2
B
60
2 DAS DREIECK
2.12.28
△ABC aus R, p und c
Diese Konstruktion geht ähnlich der Konstruktion aus (R, pA , c), nur daß anstelle des Inkreises
der Ankreis betrachtet werden muß.
1. Gleichschenkliges △ABO aus c und R.
2. Umkreis um O mit Radius R.
3. Mittelsenkrechte auf AB. X sei Schnittpunkt mit
Umkreis.
4. Senkrechte g auf Gerade AB im Abstand AAB = p
vom Punkt A.
5. Kreis k um X mit Radius XB.
6. Schnittpunkte von k und g sind Mittelpunkte der
Ankreise IA und IA′ .
7. Ankreise mit Radien IA AB und IA′ AB .
8. Tangenten von A und B an Ankreise ergeben C
und C ′ . Es entstehen zwei kongruente Dreiecke.
′
IA
x′
ra′
X
C
C′
O
x
R
mc
A
c
2
B pc
IA
ra
AB