Geometrie Modul 4b

Geometrie Modul 4b
WS 2015/16
Mi 10-12 HS 1
Benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock,
rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
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28.10. V1
04.11. V2
Geometrische Grundbegriffe
Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien
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11.11. V3
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18.11. V4
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25.11. V5
02.12. V6
09.12. V7
Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze,
Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke,
Haus der Vierecke, Symmetrien)
Rechtwinklige Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit)
Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis)
Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
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16.12. V8
13.01. V9
Kongruenzabbildungen - Symmetrie
Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen
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20.01. V10
Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische
Körper, Kugel)
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27.01. V11
Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern,
Rauminhalt und Oberfläche der Kugel)
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03.02. V12
Zusammenfassung
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12.02. (Freitag)
14-16 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2)
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V6 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
• 1 Rechtwinklige Dreiecke
• 2 Rechtwinklige Dreiecke lassen sich in ähnliche
Dreiecke zerlegen.
• 3 In ähnlichen Dreiecken lassen sich Proportionen
zwischen den Seitenlängen finden.
• 4 Mit Hilfe dieser Proportionen lassen sich die
Flächensätze ableiten: Kathetensatz, Höhensatz, Satz
des Pythagoras.
Quellen: Scheid/Schwarz: Elemente der Geometrie. Krauter:
Erlebnis Elementargeometrie. Beutelspacher/Wagner: Wie man
durch eine Postkarte steigt.
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1 Rechtwinklige Dreiecke
Jedes Dreieck im Halbkreis
ist ein rechtwinkliges
Dreieck.
(Bestimmungslinie
Halbkreis; Satz des Thales)
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Begriffe und Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck
4
2 Rechtwinklige Dreiecke lassen sich in
ähnliche Dreiecke zerlegen
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• Rechtwinklige Dreiecke
lassen sich (entlang der
Höhe) in zwei
zueinander ähnliche
Dreiecke zerlegen.
• Diese sind auch zum
Ausgangsdreieck
ähnlich.
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• Zwei Dreiecke sind ähnlich,
wenn gleichliegende
Winkel und die
Längenverhältnisse
entsprechender Seiten
gleich groß sind.
• Zueinander ähnliche
Dreiecke können stets
in eine sogenannte
Ähnlichkeitslage
gebracht werden.
Diese macht die
paarweise Parallelität
der Seiten deutlich.
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∆ ABC ~ ∆ A‘B‘C‘
• Die Ähnlichkeitslage
verdeutlicht:
– α = α’
– β = β’ (Stufenwinkel
an geschnittenen
Parallelen)
– γ = γ’ (Stufenwinkel
an geschnittenen
Parallelen)
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Ähnliche Dreiecke
Übereinstimmung in zwei
Winkeln
Übereinstimmung in einem
Winkel und dem Verhältnis
der anliegenden Seiten
Übereinstimmung in zwei
entsprechenden
Seitenverhältnissen
Übereinstimmung im Verhältnis
zweier Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite
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3 In ähnlichen Dreiecken lassen sich
Proportionen zwischen den Seitenlängen
finden.
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• Die Höhe zerlegt
rechtwinklige Dreiecke in
Teildreiecke, die
zueinander und zum
Ausgangsdreieck ähnlich
sind.
• In ähnlichen Dreiecken
lassen sich Proportionen
zwischen den
Seitenlängen finden.
• Diese führen uns zu den
Flächensätzen am
Dreieck.
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• So gelten bei Beachtung der
Beziehungen zwischen den
Seitenlängen des
Ausgangsdreiecks und der
Teildreiecke folgende
Proportionen:
• c : b = b : q, c : a = a : p und
q:h=h:p
• Bildet man jeweils das
Produkt der Innen- und
Außenglieder, erhält man:
• b2 = c · q, a2 = c · p und
• h2 = p · q
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4 Mit Hilfe dieser Proportionen lassen
sich die Flächensätze ableiten
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b2 = c · q, a2 = c · p
• Die geometrische
Interpretation dieser
Gleichungen führt zum
Kathetensatz (Satz des
Euklid) und zum
Höhensatz.
h2 = p · q
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• Denkt man sich die
Zeichnungen zum Satz des
Euklid so übereinandergelegt,
dass die großen rechtwinkligen
Dreiecke aufeinander fallen, so
ergänzen sich die zugehörigen
Rechtecke offenbar zum
Quadrat der Seitenlänge c.
• Man kann vermuten, dass die
Summe der Flächeninhalte der
Kathetenquadrate eines
rechtwinkligen Dreiecks dem
Flächeninhalt des Quadrats
über der Hyptonenuse
entspricht.
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•
•
•
a2 = c · p und b2 = c · q
a 2 + b2 = c · p + c · q
a2 + b2 = c · (p + q)
a 2 + b2 = c · c
a 2 + b2 = c 2
• Bildet man die Summe
der Flächeninhalte der
Kathetenquadrate und
vergleicht diese mit
dem Flächeninalt des
Hypothenusenquadrats,
bestätigt sich die
ausgesprochene
Vermutung.
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Altindischer Ergänzungsbeweis
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• Wenn für ein ∆ ABC gilt: a2
+ b2 = c2, so ist es
rechtwinklig und die Seite
c ist seine Hypotenuse.
• Diese Erkenntnis machten
sich die Ägypter schon
2000 v.u. Z. zu Nutze, um
z. B. für ihre Bauwerke
rechte Winkel zu erzeugen.
• Es wurde z. B. festgestellt,
dass die natürlichen
Zahlen 3, 4, 5 die
pythagoreische Gleichung
erfüllen:
32 + 4 2 = 5 2
• Es gibt unendlich viele
pythagoreische
Zahlentripel.
Einige Beispiele: (5; 12;
13), (7; 24; 25), (15; 8; 17),
(9; 40; 41)
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• Die ägyptischen
Seilspanner knüpften in
ein Seil in gleichem
Abstand voneinander 13
Knoten, sodass 12
gleichlange Strecken
entstanden. Dieses Seil
spannten sie zwischen
dem 1., dem 4., dem 8.
und dem letzten Knoten.
Beim 4. Knoten entstand
auf diese Weise ein
rechter Winkel.
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eine typische Anwendungsaufgabe für den Satz des Pythagoras
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Aufgabe zur Übung, Woche vom 30.11.-04.12.15
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• Fazit …
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