III.3 Lösung der freien Dirac

N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
III.3 Lösung der freien Dirac-Gleichung
Dieser Abschnitt geht auf die Lösungen der Gleichung (III.6) und einige deren Eigenschaften ein,
beginnend mit ebenen Wellen (Abschn. III.3.1). Dann wird die zweite Quantisierung dieser Lösungen
in Abschn. III.3.2 kurz dargestellt. Schließlich befasst sich Abschn. III.3.3 mit zwei Größen, die eine
Lösung charakterisieren.
III.3.1 Wellenlösungen
Da die Dirac-Gleichung eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist, sucht man nach
Lösungen in Form von ebenen Wellen.
Sei also
ψ(x) ∝ u(~
p) e−ip·x/~ ,
(III.20)
wobei der Dirac-Spinor u(~
p) ortsunabhängig ist. Dieser spielt die gleiche Rolle, wie der Polarisationsvektor bei den Lösungen der Maxwell-Gleichungen [vgl. Abschn. IV.2].
Setzt man diesen Ansatz in die Dirac-Gleichung (III.6a) ein, so kommt dank der Beziehung
i∂µ e−ip·x/~ = pµ e−ip·x/~ /~ die Gleichung
γ µ pµ − mc u(~
p) = 6 p − mc u(~
p) = 0.
(III.21a)
Diese Gleichung bedeutet, dass u(~
p) Eigenvektor der Matrix 6 p mit dem Eigenwert mc ist. In der
Standard-Darstellung lautet die Gleichung
!
!
!
(p0 − mc)12
−~
p · ~σ
uA (~
p)
0
=
,
(III.21b)
p~ · ~σ
(−p0 − mc)12
uB (~
p)
0
mit uA (~
p) und uB (~
p) einspaltigen zweikomponentigen Vektoren, während p~ · ~σ ≡ pj σj mit σj den
Pauli-Matrizen. Diese Matrixgleichung gibt sofort
!
!
(p0 − mc)uA (~
p) − p~ · ~σ uB (~
p)
0
=
,
p~ · ~σ uA (~
p) − (p0 + mc)uB (~
p)
0
d.h.
uA (~
p) =
p0
1
p~ · ~σ uB (~
p),
− mc
uB (~
p) =
p0
1
p~ · ~σ uA (~
p).
+ mc
Setzt man die zweite Gleichung in die erste ein, so ergibt sich
uA (~
p) =
(p0 )2
2
1
1
p~ · ~σ uA (~
p) = 0 2
pi σi pj σj uA (~
p).
2
2
−m c
(p ) − m2 c2
Unter Verwendung der Beziehung σi σj = δij 12 + i ijk σk findet man pi σi pj σj = p~ 2 12 , so dass die
letztere Gleichung auch als
p~ 2
uA (~
p) = 0 2
uA (~
p)
(p ) − m2 c2
geschrieben werden kann. Daraus folgt, dass die Komponenten des Vierervektors p im Lösungsansatz (III.20) die Relation p~ 2 = (p0 )2 − m2 c2 erfüllen sollen, d.h.
p
p0 c = ± p~ 2 c2 + m2 c4 = ±Ep~ .
(III.22)
Somit hat die Dirac-Gleichung (III.6a), ähnlich wie die Klein–Gordon-Gleichung (II.4), zwei
Arten von Lösungen, mit „positiver Energie“ (p0 > 0) sowie mit „negativer Energie“ (p0 < 0). Beide
Wellenarten sind durch Viererimpulse p charakterisiert, die der relativistischen Energie–ImpulsBeziehung (p0 )2 = p~ 2 + m2 c2 genügen.
III. Dirac-Gleichung
32
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Bemerkungen:
∗ Alternativ kann man ausgehend von der Matrixgleichung (III.21) sagen, dass diese nur dann
nicht-triviale Lösungen hat, wenn die Determinante der Matrix 6 p − mc14 verschwindet, was sofort
zur Bedingung (III.22) führt.
∗ Natürlich ist es ziemlich bedeutsam, dass die Lösungen mit negativer Energie wieder vorkommen,
obwohl eines der Ziele Diracs bei der Suche nach einer relativistischen Wellengleichung von erster
Ordnung in der Zeit war, solche Lösungen zu vermeiden.
III.3.1
a Lösungen positiver oder negativer Energie
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Multipliziert man die Gl. (III.21a) links mit γ 0 , so ergibt sich unter Berücksichtigung der Relationen (III.2) (p0 − pk γ 0 γ k − mcγ 0 )u(~
p) = 0, d.h.
mcγ 0 − pk γ 0 γ k u(~
p) = p0 u(~
p).
Diese Gleichung stellt für jeden p~ eine Eigenwert-Gleichung für die Matrix mcγ 0 − pk γ 0 γ k dar. Nach
Gl. (III.22) sind die möglichen Eigenwerte entweder p0 = +Ep~ /c oder p0 = −Ep~ /c. Da die Matrix
mcγ 0 − pk γ 0 γ k spurlos ist, soll jeder Eigenwert zweimal vorkommen.
Zunächst werden die Lösungen mit „positiver Energie“ p0 > 0 betrachtet und als u(~
p) e−ip·x/~
geschrieben, mit u(~
p) einer Lösung von Gl. (III.21a). Dank der Beziehung
6 p − mc 14 6 p + mc 14 = p2 − m2 c2 14
kann man für den Dirac-Spinor u(~
p) die Form
u(~
p) = N+ (~
p) 6 p + mc u0
annehmen, mit N+ (~
p) ∈ R einer (~
p-abhängigen, vgl. unten) Normierungskonstante und u0 einem
p~-unabhängigen Dirac-Spinor.
Die zwei unabhängigen „Spinzustände“, entsprechend der oben diskutierten zweifachen Entartung des Eigenwerts p0 = +Ep~ /c, werden als
!
ξ±
u0 =
0
gewählt, mit ξ± definiert durch
ξ+ ≡
1
0
!
,
ξ− ≡
0
!
1
.
(III.23)
Mithilfe der Bezeichnung σ ≡ ± lautet die Lösung mit Impuls p~ und „positiver Energie“ p0 > 0
!
ξσ
u(~
p, σ) = N+ (~
p) 6 p + mc
.
(III.24)
0
In der Standard-Darstellung der Dirac-Matrizen lautet diese Lösung
!
Ep~ /c + mc ξσ
u(~
p, σ) = N+ (~
p)
.
p~ · ~σ ξσ
(III.25)
Sei v(~
p) e+ip·x/~ eine Lösung „negativer Energie“, wobei jetzt p0 = +Ep~ /c (dank einer Umbenenµ
nung p → −pµ , vgl. Absch. II.2.1). Man zeigt einfach, dass v(~
p) eine Lösung der Gleichung
γ µ pµ + mc v(~
p) = 6 p + mc v(~
p) = 0.
(III.26)
sein soll. Als Lösungsansatz kann man die Form
v(~
p) = N− (~
p) 6 p − mc v0
annehmen, mit N− (~
p) bzw. v0 einer Normierungskonstante bzw. einem Dirac-Spinor. Für den LetzIII. Dirac-Gleichung
33
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teren sind zwei mögliche unabhängige Wahlen
0
v0 =
ξ∓
!
,
wobei ξ+ und ξ− durch Gl. (III.23) gegeben sind. Somit gilt schließlich für die Lösungen mit Impuls
p~ und „negativer Energie“
!
0
v(~
p, σ) = N− (~
p) 6 p − mc
.
(III.27)
ξ−σ
In der Standard-Darstellung der Dirac-Matrizen lautet dies
!
p~ · ~σ ξ−σ
.
v(~
p, σ) = −N− (~
p)
Ep~ /c + mc ξ−σ
(III.28)
III.3.1
b Lösungen mit p~ = ~0
::::::::::::::::::::::::::::
Für die Lösungen mit p~ = ~0 geben Gl. (III.24) und (III.27) unter Verwendung von 6 p = γ 0 p0 und
p0 = p0 = mc jeweils
!
!
!
(p0 +mc)12
0
ξσ
ξσ
u(~0, σ) = N+ (~0)
= 2mcN+ (~0)
,
0
0
0
(−p0 +mc)12
und
v(~0, σ) = N− (~0)
(p0 −mc)12
0
0
(−p0 −mc)12
!
0
!
= −2mcN− (~0)
ξ−σ
0
ξ−σ
!
.
Diese Ergebnisse erklären im Nachhinein die Stelle von ξσ in den Dirac-Spinoren u(~
p, σ) (oben) und
v(~
p, σ) (unten).
III.3.1
c Normierung der Lösungen
::::::::::::::::::::::::::::::::::
Bisher wurden die Normierungskonstanten N+ (~
p) und N− (~
p) in den Lösungen (III.24), (III.27)
nicht spezifiziert. Eine im Folgende nützliche Wahl für diese Konstanten ist
1
,
Ep~ /c + mc
N+ (~
p) = p
−1
.
Ep~ /c + mc
N− (~
p) = p
(III.29)
Dies führt zu den Lorentz-invarianten Normierungen
ū(~
p, σ)u(~
p, σ0 ) = 2mc δσσ0 ,
(III.30a)
v̄(~
p, σ)v(~
p, σ0 ) = −2mc δσσ0
(III.30b)
ū(~
p, σ)v(~
p, σ0 ) = v̄(~
p, σ)u(~
p, σ0 ) = 0
(III.30c)
und
mit ū, v̄ den Dirac-adjungierten Spinoren. Betrachtet man statt der Letzteren die hermiteschkonjugierten Spinoren, so lauten die Normierungen
u(~
p, σ)† u(~
p, σ0 ) = v(~
p, σ)† v(~
p, σ0 ) =
2Ep~
δσσ0 .
c
(III.30d)
Beweis der Beziehungen (III.30):
Aufgabe 14
III. Dirac-Gleichung
34
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III.3.1
d Vollständigkeitsrelation
::::::::::::::::::::::::::::::::
Für die Beschreibung von Teilchenstoß-Experimenten, in denen der Spin der beteiligten Teilchen
nicht gemessen wird — entsprechend der Mehrheit der Experimente —, ist es nützlich, die Summe
über Spinzustände19 σ = ± zu kennen. Es gelten die Vollständigkeitsrelationen
X
u(~
p, σ) ū(~
p, σ) = 6 p + mc14
(III.33a)
σ=±
und
X
v(~
p, σ)v̄(~
p, σ) = 6 p − mc14 .
(III.33b)
σ=±
Diese Beziehungen lassen sich einfach nachprüfen. Beispielsweise lautet einer der Beiträge zur
4×4-Matrix auf der linken Seite der Gl. (III.33a) unter Nutzung der Gl. (III.24) und (III.31)
!
ξσ
2
u(~
p, σ) ū(~
p, σ) = N+ (~
p) 6 p + mc14
ξσT 0 6 p + mc14 .
0
!
ξσ
Dabei ist
ξσT 0 gleich einer diagonalen 4×4-Matrix, und zwar
0
!
(
diag(1, 0, 0, 0) für σ = +
ξσ
T
ξσ 0 =
0
diag(0, 1, 0, 0) für σ = −,
!
!
X ξσ
12 0
so dass
ξσT 0 =
. Dann ergibt sich in der Standard-Darstellung
0
0 0
σ=±
!
!
!
0
X
−~
p · ~σ
12 0 (p0 +mc)12
−~
p · ~σ
2 (p +mc)12
.
u(~
p, σ) ū(~
p, σ) = N+ (~
p)
p~ · ~σ
(−p0 +mc)12
0 0
p~ · ~σ
(−p0 +mc)12
σ=±
Dies gibt gerade das Resultat (III.33a).
III.3.2 Zweite Quantisierung der Wellenlösungen
Wie bei den Lösungen der Klein–Gordon-Gleichung erfolgt die korrekte Deutung der Lösungen
der Dirac-Gleichung über die zweite Quantisierung. Dabei wird die allgemeine Lösung der Gleichung
geschrieben als eine Linearkombination aller möglichen ebenen Wellen der Type u(~
p, σ) e−ip·x/~ und
+ip·x/~
v(~
p, σ) e
mit jeweiligen Amplituden:
Z Xh
i
d3 p~
ψ(x) =
.
cp~,σ u(~
p, σ) e−ip·x/~ + dp∗~,σ v(~
p, σ) eip·x/~ p
(2π~)3 2Ep~ /c
σ=±
In einem zweiten Schritt werden diese komplexen Zahlen cp~,σ , dp∗~,σ durch Operatoren ĉp~,σ , dˆp†~,σ mit
geeigneten
Vertauschungsrelationen ersetzt. Man zeigt, da diese Relationen auf Antikommutatoren
· , · beruhen sollen:
ĉp~,σ , ĉ†q~,σ0 = δ (3) (~
p − ~q) δσσ0 ,
dˆp~,σ , dˆ†q~,σ0 = δ (3) (~
p − ~q) δσσ0 ,
(III.34a)
während alle anderen Antikommutatoren verschwinden
ĉp~,σ , ĉq~,σ0 = dˆp~,σ , dˆq~,σ = · · · = 0.
19
(III.34b)
Diese Bezeichnung wird im Abschn. III.3.3 a unten gerechtfertigt.
III. Dirac-Gleichung
35
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Elementarteilchenphysik
Die Wahl zwischen Kommutatoren — für Teilchen mit ganzzahligem Spin — und Antikommutatoren — für Teilchen mit halbzahligem Spin — ist natürlich nicht beliebig, sondern folgt aus zwei
Forderungen. Erstens soll die Energie positiv sein, so dass den Moden mit „negativer Energie“
Erzeugungsoperatoren assoziiert werden sollen. Dazu soll die Theorie lokal sein, d.h. Operatoren
bezüglich Raumzeit-Punkte x, x0 , getrennt durch ein raumartiges Intervall (x − x0 )2 < 0, sollen
miteinander (anti)kommutieren.
Somit lautet der Dirac-Feldoperator
Z Xh
i
d3 p~
ψ̂(x) =
ĉp~,σ u(~
p, σ) e−ip·x/~ + dˆp†~,σ v(~
p, σ) eip·x/~ p
(2π~)3 2Ep~ /c
σ=±
und dessen Dirac-adjungiertes Feld
Z Xh
i
d3 p~
ˆ
ψ̄ (x) =
ĉp†~,σ ū(~
p, σ) eip·x/~ + dˆp~,σ v̄(~
p, σ) e−ip·x/~ p
.
(2π~)3 2Ep~ /c
σ=±
(III.35a)
(III.35b)
Bemerkung:
des Dirac-Feldes lässt sich aus Gl. (III.30a), (III.34a) und (III.35a)
Die Dimension
erkennen: ψ̂ = L−3/2 , wie bei einer Schrödinger-Wellenfunktion. In einem System natürlicher
Einheiten hat ψ̂ die Dimension von E 3/2 .
Ähnlich wie beim Klein–Gordon-Feld in Abschn. II.3.2 kann man zwei physikalische Operatoren
benutzen, um die Deutung der Leiteroperatoren ĉp~,σ , dˆp~,σ zu erkennen.
Beispielsweise kann man den Hamilton-Operator entsprechend der Dirac-Gleichung schreiben
20
als
Z X
Z Xh
i
†
†
3
ˆ
ˆ
Ĥ =
ĉp~,σ ĉp~,σ − dp~,σ dp~,σ Ep~ d p~ =
ĉp†~,σ ĉp~,σ + dˆp†~,σ dˆp~,σ − δ (3) (~0) Ep~ d3 p~.
(III.36)
σ=±
σ=±
Interpretiert man ĉp~,σ , dˆp~,σ als Vernichtungsoperatoren, und ĉp†~,σ , dˆp†~,σ als Erzeugungsoperatoren,
so sind ĉp†~,σ ĉp~,σ und dˆp†~,σ dˆp~,σ Besetzungszahloperatoren: jede Teilchenart trägt positiv zur Gesamtenergie bei. Interessanterweise kommt der Beitrag des Vakuums hier mit einem Minus-Vorzeichen,
im Vergleich zum Plus-Vorzeichen in Gl. (II.15).
Bemerkungen:
∗ Die einzigen Eigenwerte der Besetzungszahloperatoren ĉp†~,σ ĉp~,σ und dˆp†~,σ dˆp~,σ sind entweder 0 —
entsprechend der Abwesenheit von Teilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ — oder 1. Im Gegensatz
zu den Teilchenoperatoren für Spin-0-Teilchen sind höhere Besetzungszahlen in einer Mode hier nicht
möglich, entsprechend dem Pauli-Prinzip.
Sei n ein Eigenwert eines Operators ĉ† ĉ, wobei ĉ und ĉ† antikommutieren, und |ni ein zugehöriger
Eigenvektor: ĉ† ĉ|ni = n|ni. Aus {ĉ, ĉ† } = 1̂ folgt n|ni = (1̂ − ĉĉ† )|ni = |ni − ĉĉ† |ni. Wenn n 6= 0,
dann gilt |ni = n−1 ĉ† ĉ|ni, so dass ĉĉ† |ni = n−1 ĉĉ† ĉ† ĉ|ni = 0, wobei die zweite Gleichung aus
ĉ† ĉ† = 21 {ĉ† , ĉ† } = 0 folgt. Somit bleibt n|ni = |ni, d.h. n = 1.
Allgemeiner lassen sich Teilchen mit ganzzahligem Spin durch kommutierende Operatoren beschreiben, was zu einer Bose–Einstein-Statistik führt: sie sind also Bosonen. Dagegen sollen Teilchen mit
halbzahligem Spin durch antikommutierende Operatoren beschrieben werden, und genügen deshalb
der Fermi–Dirac-Statistik: solche Teilchen sind Fermionen.
∗ In supersymmetrischen Theorien entspricht jedem bosonischen Freiheitsgrad ein fermionischer
Freiheitsgrad. Dank den entgegengesetzten Vorzeichen der bosonischen und fermionischen Beiträge
zur Vakuumsenergie verschwindet dann die Letztere.
20
Durch die Feldoperatoren ausgedrückt lautet der Hamilton-Operator
Z
Z
~ + mc ψ̂(t, ~
~ + mc γ 0 ψ̂(t, ~
Ĥ = ~c ψ̄ˆ(t, ~
x) −i~γ · ∇
x ) d3 ~
x = ~c ψ̂(t, ~
x)† −iγ 0~γ · ∇
x ) d3 ~
x.
~
~
III. Dirac-Gleichung
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Elementarteilchenphysik
Multipliziert man die Dirac-Gleichung (III.6a) von links mit ψ̄(x), und die Dirac-adjungierte
Gleichung (III.19) von rechts mit ψ(x), und addiert man beide Gleichungen, so findet man
i∂µ ψ̄(x)γ µ ψ(x) = 0,
entsprechend einer Kontinuitätsgleichung für die Viererstromdichte
i~
µ
jDirac
(x) ≡
ψ̄(x)γ µ ψ(x).
2m
Z
i~
Somit ist
ψ̄(t, ~x)γ 0 ψ(t, ~x) d3 ~x eine Erhaltungsgröße. Aus Gl. (III.35) folgt
2m
Z Xh
Z
i
i~
0
3
ˆ
ψ̄ (t, ~x)γ ψ̂(t, ~x) d ~x =
ĉp†~,σ ĉp~,σ − dˆp†~,σ dˆp~,σ d3 p~,
N̂ =
2m
σ=±
(III.37)
(III.38)
d.h. die beiden Teilchenarten tragen mit entgegengesetzten Vorzeichen zur Erhaltungsgröße bei:
ˆ dˆ† -Operatoren beschriebenen Teilchen sind die Antiteilchen zu denen, die durch ĉ, ĉ†
die mit d,
beschrieben sind.
0
Bemerkung: Im Gegensatz zur 0-Komponente der Klein–Gordon-Viererstromdichte (II.8) ist jDirac
(x)
0
0
immer eine positiv definite reelle Zahl. Somit kann ρDirac (x) ≡ jDirac (x)/c als eine Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, ähnlich der mit einer Schrödinger-Wellenfunktion assoziierten
Wahrscheinlichkeitsdichte.
Zusammenfassend wirken die verschiedenen Leiteroperatoren wie folgt:
• ĉp~,σ vernichtet ein Teilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ, das also im Anfangszustand
eines Stoßprozesses vorhanden sein muss. Somit steht dieser Vernichter für ein einlaufendes
Teilchen.
• ĉp†~,σ erzeugt ein Teilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ, das sich also im Endzustand einer
Kollision befinden wird: dieser Erzeugungsoperator repräsentiert ein auslaufendes Teilchen.
• dˆp~,σ vernichtet ein (in einem Streuprozess) einlaufendes Antiteilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ.
• dˆp†~,σ erzeugt ein (in einem Streuprozess) auslaufendes Antiteilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ.
III. Dirac-Gleichung
37