Zum Tragverhalten dünnwandiger Profile

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Zum Tragverhalten dünnwandiger Profile
Liangchi Du
Matrikel-Nr.: 36233
Sem.-Gr.: 04MBB
Verantw. Hochschullehrer: Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn
Betreuer:
Prof. Dr. –Ing. habil. Sylvio Simon
1
Inhaltverzeichnis
1. Danksagung...................................................................................................3
2. Einführung.....................................................................................................4
3. Dünnwandige Profile bei Querkraftschub
3.1. Querkraftschub
3.1.1. Vorbemerkungen...............................................................................5
3.1.2. Verteilung der Schubspannung im Querschnitt.............................5
3.1.3. Verlauf der Schubspannung in dünnwandigen Querschnitten.....6
3.2 Schubmittelpunkt......................................................................................7
3.3. FEM-Analyse.............................................................................................9
3.3.1 Querkraft im Schwerpunkt..............................................................13
3.3.1.1 I-Profil
3.3.1.2 U-Profil
3.3.1.3 L-Profil
3.3.1.4 geschlossenes-Kreisrohr-Profil
3.3.1.5 geschlitztes- Kreisrohr-Profil
3.3.1.6 Rechteck-Profil
3.3.2. Querkraft im Schubmittelpunkt.....................................................19
3.3.2.1 Punkt- und doppelsymmetrischen dünnwandige Profile
3.3.2.2 Profile ohne doppeltsymmetrischen Charakter
3.3.2.2.1 U-Profil
3.3.2.2.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil
3.3.2.2.3 L-Profil
4. Dünnwandige Profile bei Torsion
4.1 Vorbemerkungen...........................................................................................24
4 2 wölbfrei und nicht- wölbfrei.........................................................................24
4.3 Saint-Venant‘sche Torsion…………………………………………………25
4.4 FEM-Analyse.................................................................................................30
4.4.1. dünnwandige geschlossene Profile.......................................................30
4.4.1.1 geschlossenes-Kreisrohr-Profil
4.4.1.2 Rechteck-Profil
4.4.2. dümmwandige offene Profile................................................................36
4.4.2.1 I-Profil
4.4.2.2 U-Profil
4.4.2.3 L-Profil
4.4.2.4 geschlitztes- Kreisrohr-Profil
5. Vollprofile
5.1 Kreis- Vollprofile
2
5.1.1 Infolge Querkraft................................................................................47
5.1.2 Infolge Torsion.....................................................................................49
5.2 Rechteck- Vollprofile
5.2.1 Infolge Querkraft................................................................................53
5.2.2 Infolge Torsion.....................................................................................55
6. Zusammenfassung............................................................................................59
7. Modellenverzeichnis.........................................................................................60
8. Quellen………………………………………………………………………...61
3
1. Danksagung
Ich bedanke mich herzlich bei Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn und Prof. Dr.-Ing. habil.
Sylvio Simon für die freundlichen Betreuung.
4
2. Einführung
Dünnwandige Profile haben in der letzten Zeit an wirtschaftlicher und technischer
Bedeutung gewonnen. Sie werden zum Beispiel bei Leitbaukonstruktionen verwendet
oder wo eine sparsame Nutzung von Material angestrebt wird.
In dieser Arbeit werden dünnwandige Profile bei Querkraftschub und Torsion
analysiert. Dies erfolgt durch Modellierung und Berechnung mit dem FEMProgramm "Ansys".
Die Abbildung und Animationen der Ergebnisse erlaubt eine bessere Darstellung des
Tragverhaltens dünnwandiger Profile.
Modellierung: Um die Profile dünnwandig darzustellen, wird das Element Shell63
(Schalenelement) angewendet.
5
3. Dünnwandige Profile bei Querkraftschub
3.1. Querkraftschub
3.1.1. Vorbemerkungen
Beispiele für wesentliche Querkraftbeanspruchung sind:
Bild 3.1
(Quelle: Arbeitsmittel zur Technischen Mechanik 2, Prof. Dr.-Ing. Bernd W. Zastrau, TU Dresden, BIW )
3.1.2. Verteilung der Schubspannung im Querschnitt
Bild 3.2 (Quelle: FHW - FG Technische Mechanik - Prof. Dr.-Ing. Kanz)
6
Q = ∫ τdA
A
Q..Querkraft
A...Fläche
τ ...Schubspannung
3. 1. 3. Verlauf der Schubspannung in dünnwandigen Querschnitten
Annahmen:
•.Querschnitt ist parametrisiert durch umlaufende Koordinate
s
• Schubspannung über Dicke t des Querschnitts
konstant. τ = τ (s )
• Dicke des Querschnittes ist veränderlich
t = t (s )
Bild 3.3
(Quelle: HAW Hamburg – FB MP – Ihlenburg – TM2)
τ (s ) =
QS ( s)
It ( s)
mit I- Flächenträgheitsmoment bzgl.y-Achse
- Statisches Moment bzgl. y-Achse
Verlauf des Schubflusses infolge Querkraft durch den Schubmittelpunkt:
Bild 3.4 U-Profil
Bild 3.5 I-Profil
7
Bild 3.6 L-Profil
Bild 3.7 geschlossenes-Kreisrohr-Profil Bild 3.8 geschlitztes- Kreisrohrprofil-Profil
Bild 3.10 Kreis-Vollprofil
Bild 3.9 Rechteck-Profil
Bild 3.11 Rechteck-Vollprofil
3.2 Schubmittelpunkt
Der Schubmittelpunkt, auch Querkraftmittelpunkt oder Drillruhepunkt genannt, ist
derjenige Punkt eines Profilquerschnitts, durch den die Resultierende der Querkräfte
gehen muss, um eine verdrehungsfreie Krafteinwirkung zu erreichen, bzw. um keine
Torsion auf den Querschnitt auszuüben.
Als Querkräfte werden dabei alle Kräfte verstanden, die auf das Profil aus einer
seitlichen Richtung einwirken. Das einfachste Beispiel ist die Last, die auf einen
aufgebockten U-Träger einwirkt. Der Gegensatz zur Querkraft ist die Längskraft, die
auf die Profil-Fläche in der Längsachse des Profilstrangs oder parallel dazu einwirkt.
Bei doppeltsymmetrischen Profilen (z. B. I-Profile) ist der Schubmittelpunkt identisch
mit dem Schwerpunkt. Bei Profilen mit nur einer Symmetrieachse liegt er auf dieser,
fällt aber nicht mit dem Schwerpunkt zusammen. Bei U-Profilen zum Beispiel liegt er
gegenüber vom Schwerpunkt außerhalb des Profilquerschnittes.
Die Formel zur Berechnung des Schubmittelpunkts einfach symmetrischer
Querschnitte ist:
8
Q × rM = ∫ τ (s ) × r (s ) × t (s )ds
Dabei ist:
Q - Querkraft, rM - Hebelarm der Querkraft zum Mittelpunkt, τ(s)
-Schubspannung im Abschnitt,
r(s) - Hebelarm der Schubspannung zur Biegeachse, t(s) - Dicke des
Abschnitts
S....Schwerpunkt
M....Schubmittelpunkt
Bild 3.12 (Quelle: Technische Mechanik –Festigkeitslehre, Falkutät für Maschinenbau, Uni Paderborn )
•Soll ein Querschnitt nicht durch Torsion, beansprucht werden, so müssen die
Querlasten durch den Schubmittelpunkt M gehen.
•Besitzt der Querschnitt eine Symmetrieachse, dann liegt der Schubmittelpunkt auf
ihr.
•Bei punkt- und doppelsymmetrischen Querschnitten fallen Schubmittelpunkt M und
der Schwerpunkt S zusammen.
9
3.3 FEM-Analyse
Sechs dünnwandige Profilen werden im Programm Ansys modelliert, um die deutliche
Tragverhalten zu anzeigen.
weil die Profile dünnwandig sind, wird die Elementtype Schell 63 (Schalenelement)
im Programm Ansys angewendet.
Geometrie der Modellen
1. I-Profil
h= 100 mm
b= 50 mm
s= 4.5 mm
t= 6.8 mm
Länge.....L=1m=1000mm
S.....Schwerpunkt
M....Schubmittelpunkt
E= 2.1 105 N/mm2
μ= 0.3
Bild 3.13
2. U-Profil
h= 100 mm
b= 50 mm
s = 6 mm
t = 8.5 mm
Länge.....L=1m=1000mm
S.....Schwerpunkt
M....Schubmittelpunkt
R.....Mittelpunkt des Randes
E= 2.1 105 N/mm2
μ= 0.3
Bild 3.14
10
Bemerkung:
Bei der U-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt oder den Schubmittelpunkt direkt
bewirken wollen, soll den Punkt mit den Fachwerk mit der Knoten der Ränder binden
lassen. (Fachwerk.....Elementetype Link1)
Es sieht folgendes aus:
Bei Schwerpunkt:
Bei Schubmittelpunkt:
Bild 3.15
Bild 3.16
3. L-Profil
b1= 100 mm
b2= 63 mm
s = 10 mm
Länge.....L=1m=1000mm
S.....Schwerpunkt
M....Schubmittelpunkt
E= 2.1 105 N/mm2
μ= 0.3
Bild 3.16
Bemerkung:
Bei der L-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt direkt bewirken wollen, soll den
Punkt mit den Fachwerk (Link1) mit der Knoten der Ränder binden lassen.
Bild 3.17
11
4. geschlossenes-Kreisrohr-Profil
r= 50 mm
t= 5 mm
Länge.....L=1m=1000mm
S.....Schwerpunkt
M....Schubmittelpunkt
E= 2.1 105 N/mm2
μ= 0.3
Bild 3.18
Bemerkung:
Bei der geschlossenes-Kreisrohr-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt direkt
bewirken wollen, soll den Punkt mit den Fachwerk (Link1) mit der Knoten der
Ränder binden lassen.
Bild 3.19
5. geschlitztes- Kreisrohr-Profil
r= 50 mm
t= 5 mm
Winkle des Schlitzes= 10
Grad
Länge.....L=1m=1000mm
S.....Schwerpunkt
M....Schubmittelpunkt
E= 2.1 105 N/mm2
μ= 0.3
Bild 3.20
12
Bemerkung:
Bei der geschlitztes- Kreisrohr-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt oder den
Schubmittelpunkt direkt bewirken wollen, soll den Punkt mit den Fachwerk (Link1)
mit der Knoten der Ränder binden lassen.
Bild 3.21
Bild 3.22
6. Rechteck-Profil
a= 100 mm
b= 50 mm
t= 5 mm
Länge.....L=1m=1000mm
S.....Schwerpunkt
M....Schubmittelpunkt
E= 2.1 105 N/mm2
μ= 0.3
Bild 3.23
Bemerkung:
Bei der Rechteck-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt direkt bewirken wollen,
soll den Punkt mit den Fachwerk (Link1) mit der Knoten der Ränder binden lassen.
Bild 3.24
13
3.3.1 Querkraft im Schwerpunkt
Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit
einer Querkraft belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben
werden. (z.B Querkraft= 1000N)
3.3.1.1 I-Profil:
1.Verschiebung
Bild 3.25
2.Verschiebung (Summe)
Bild 3.26
In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft
bewegt. Aus Sicht tritt es keine Torsion auf. Bei Kapitel „3.3.2.1 Punkt- und
14
doppelsymmetrischen dünnwandige Profile“ wird es bewiesen.
3.3.1.2 U-Profil:
1. Verschiebung
Bild 3.27
2.Verschiebung (Summe)
Bild 3.28
In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft
bewegt mit kleiner Torsion.
15
3.3.1.3 L-Profil:
1. Verschiebung
Bild 3.29
2.Verschiebung (Summe)
Bild 3.30
In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft
bewegt mit kleiner Torsion.
16
3.3.1.4 geschlossenes-Kreisrohr-Profil:
1.Verschiebung
Bild 3.31
2.Verschiebung (Summe)
Bild 3.32
In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft
bewegt. Aus Sicht tritt es keine Torsion auf. Bei Kapitel „3.3.2.1 Punkt- und
doppelsymmetrischen dünnwandige Profile“ wird es bewiesen.
17
3.3.1.5 geschlitztes- Kreisrohr-Profil:
1.Verschiebung
Bild 3.33
2.Verschiebung (Summe)
Bild 3.34
In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft
bewegt mit kleiner Torsion.
18
3.3.1.6 Rechteck-Profil:
1.Verschiebung
Bild 3.35
2.Verschiebung (Summe)
Bild3.36
In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft
bewegt. Aus Sicht tritt es keine Torsion auf. Bei Kapitel „3.3.2.1 Punkt- und
doppelsymmetrischen dünnwandige Profile“ wird es bewiesen.
19
3.3.2. Querkraft im Schubmittelpunkt
3.3.2.1 Punkt- und doppelsymmetrischen dünnwandige Profile
(a) I-Profil:
(b) geschlossenes-Kreisrohr-Profil: (c) Rechteck-Profil:
Verschiebung (Vektor)
Bild 3.37
Bild 3.38
Bild 3.39
Bei den punkt/doppeltsymmetrischen Profilen liegt der Schubmittelpunkt auf dem
Schwerpunkt.
In den drei Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft
bewegt, Es tritt keine Torsion auf.
3.3.2.2 Profile ohne doppeltsymmetrischen Charakter
3.3.2.2.1 U-Profil:
In diesem Kapitel soll das Verhalten des Profils bei einer Kraftbelastung im
Schubmittelpunkt, Mittelpunkt des Randes oder Schwerpunkt verglichen werden.
Querkraft im
(a).Schubmittelpunkt
(b). Mittelpunkt des Randes
(c). Schwerpunkt
1. Verschiebung:
Bild 3.40
Bild 3.41
Bild 3.42
20
2. Verschiebung (Summe):
Bild 3.43
Bild 3.44
Bild 3.45
3. Verschiebung (Vektor):
Bild 3.46
Bild 3.47
Bild 3.48
4. Verschiebung (Vektor-Vorn)
Bild 3.49
Bild 3.50
Bild 3.51
Auf den obigen Bildern (unter Bild 3.49) wird gezeigt, dass bei einer Belastung im
Schubmittelpunkt keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die
Richtung bewegt, in der die Kraft wirkt.
Bei den Bildern unter Bild 3.50 und Bild 3.51 wird ersichtlich, dass neben einer Biegung
auch Torsion auftritt.
3.3.2.2.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil
In diesem Kapitel soll das Verhalten des Profils bei einer Kraftbelastung im
Schubmittelpunkt, Mittelpunkt des Randes oder Schwerpunkt verglichen werden.
Querkraft im
(a) Schubmittelpunkt
(b) Mittelpunkt des Randes
21
(c) Schwerpunkt
1.Verschiebung:
Bild 3.52
Bild 3.53
Bild 3.54
Bild 3.56
Bild 3.57
Bild 3.59
Bild 3.60
2.Verschiebung (Summe):
Bild 3.55
3. Verschiebung (Vektor):
Bild 3.58
4. Verschiebung (Vektor-Vorn)
Bild 3.61
Bild 3.62
Bild 3.63
Auf den obigen Bildern unter Bild 3.61 wird gezeigt, dass bei einer Belastung im
Schubmittelpunkt keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die
Richtung bewegt, in der die Kraft wirkt.
Bei den Bildern unter Bild 3.62 und Bild 3.63 wird ersichtlich, dass neben einer Biegung
auch Torsion auftritt.
22
3.3.2.2.3 L-Profil:
In diesem Kapitel soll das Verhalten des Profils bei einer Kraftbelastung im
Schubmittelpunkt oder Schwerpunkt verglichen werden.
Querkraft im
(a) Schubmittelpunkt
(b) Schwerpunkt.
1.Verschiebung:
Bild 3.64
Bild 3.65
2. Verschiebung (Summe)
Bild 3.66
Bild 3.67
3. Verschiebung (Vektor)
Bild 3.68
Bild 3.69
23
4. Verschiebung (Vektor-Vorn)
Bild 3.70
Bild 3.71
Wirkt die Querkraft im Schubmittelpunkt tritt keine Torsion auf. Die Bewegung des
Profils ist nicht entlang der Richtung der angreifenden Kraft, sondern schräg nach
unten, da die Kraft nicht entlang der Hauptachse angreift. Es liegt keine Torsion vor.
Liegt eine Kraftbelastung im Schwerpunkt vor tritt Torsion auf.
24
4. Dünnwandige Profile bei Torsion
4.1 Vorbemerkungen
Beispiele für Torsion:
Papierrolle
Bild 4.1 (Quelle: Festigkeitslehre - klipp und klar, Maritta Petersen, Jens J. Göttsche, ISBN 3-446-40415-5)
4.2 wölbfrei und nicht- wölbfrei
Je nach der Geometrie des Querschnitts können infolge Torsion sowohl
Schubspannung als auch Längsspannungen entstehen. Wenn nur Schubspannung
existieren, dann spricht man von Saint-Venant‘sche Torsion (reiner Torsion).
Längsspannungen können nur entstehen, wenn eine freie Verformung in Längrichtung
nicht möglich ist, das ist die sog. Wölbkrafttorsion (Verwölbung = Verschiebung in
Längsrichtung infolge Torsion).
Bild4.2 (Quelle: Massivbau, Prof.Dr.-Ing.Rudolf Baumgart, Hochschule Darmstadt)
25
Einteilung der Querschnitte (wölbfrei und nicht- wölbfrei)
Bild 4.3 (Quelle: Festigkeitslehre - klipp und klar, Maritta Petersen, Jens J. Göttsche, ISBN 3-446-40415-5)
Wölbfrei sind Kreis-, Kreisringquerschnitte, quadratische Hohlquerschnitte mit
konstanter Wanddicke sowie Querschnitte aus dünnwandigen Querschnittsteilen,
deren Schwerelinien sich in einem Punkt treffen. Beliebige Hohlquerschnitte und
beliebige Vollquerschnitte sind zwar nicht wölbfrei, weisen aber unter
Torsionsbeanspruchung so geringe Verwölbungen auf, dass sie wie wölbfreie
Querschnitte behandelt werden können. Offene dünnwandige Querschnitte sind nicht
wölbfrei und müssen bei Behinderung der Endquerschnitte mit der Theorie der
Wölbkrafttorsion berechnet werden. Die Behinderung der Verwölbung kann durch
Einspannungen, andere Querschnitte, dicke Kopfplatten oder Ähnliches erfolgen.
4.3
Saint-Venant‘sche Torsion:
Nur Schubspannungen
Beispiel: Rechteckrohr, doppelsymmetrisch
Bild 4.4 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)
• Es treten nur Schubspannungen auf
• Der Querschnitt verwölbt sich nicht
26
• Durch Integration des Produktes der Schubspannungen und des Hebelarms zum
Schubmittelpunkt über den Querschnitt erhält man das Torsionsmoment
Bild 4.5 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)
Strahlensatz
Hookesches Gesetz
Gleichgewicht
Torsionsträgekeitsmoment
I T = ∫ r 2 dA
A
Torsionssteifigkeit
GI T
Grenzübergang l gegen 0 + Gleichgewicht:
ϕ ' (x ) =
dϕ M T ( x )
=
dx
GI T
27
Vollquerschnitte
Bild 4.6 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)
Prandtlsche Membrananalogie:
• Torsionsbeanspruchung entspricht Druck
• Torsionsmoment Tv = 2 x das Volumen welches durch die Querschnittsoberfläche
und die Membranoberfläche begrenzt wird
• Die Schubspannungen verlaufen tangential zur Membran, ihr Wert ist gleich der
jeweiligen Neigung der Membran.
Für Vollquerschnitte folgt daraus:
Nährung nach Saint-Venant für Vollquerschnitte
Schubspannungsverteilung bei Vollquerschnitten
Bild 4.7 (Quelle: Skript zur Vorlesung Technische Mechanik Teil 2 Festigkeitslehre, Prof. Dr. Werner Diewald, FH Mannheim)
28
dünnwandige Querschnitte, hier vereinfacht: t=const.
τ •t =
MT
2•Ω
Bild 4.8 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)
Ω = Am = von der Profilmittellinie umschlossene Fläche
τt
= T = „Schubfluss“
Membrananalogie
1. Bredtsche Formel
2. Bredtsche Formel
2. Bredtsche Formel für t nicht konstant
Arbeitssatz
Hook
1. Bredtsche Formel
St. Venant
29
2. Bredtsche Formel
Schubspannungsverteilung bei dünnwandigen Querschnitte.
Bild 4.9
Bild 4.10
Bild 4.11
geschlossenes-Kreisrohr-Profil
geschlitztes- Kreisrohr-Profil
Rechteck-Profil
Bild 4.12
U-Profil
Bild 4.13
Bild 4.14
L-Profil
I- Profil
30
4.4 FEM-Analyse:
Torsion durch den Mittelpunkt
Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit
einer Torsion belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben
werden.
4.4.1. dünnwandige geschlossene Profile
4.4.1.1 geschlossenes-Kreisrohr-Profil
Es kann nicht direkt im Mittelpunkt eine Torsion gegben.
Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Kreisumfang eine Kraft
entgegen der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen.
36 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=1000N.
1.Verschiebung:
Bild 4.15
31
2.Verschiebung (Summe)
Bild 4.16
3.Verschiebung (Vektor)
Bild 4.17
32
4.Verschiebung (Vektor-Vorn).
Bild 4.18
Jede Elememt bewegt sich entgegen der Uhrzeigerrichtung.
Auf den obigen Bildern unter Bild 4.18 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang
erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.
5.Torsion (Z-Richtung)
Bild 4.19
33
4.4.1.2 Rechteck-Profil
Es kann nicht direkt im Mittelpunkt eine Torsion gegben.
Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Umfang eine Kraft entgegen
der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen.
30 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=+100N.
1.Verschiebung:
Bild 4.20
2.Verschiebung(Summe)
Bild 4.21
34
3.Verschiebung(Vektor)
Bild 4.22
4.Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 4.23
Auf den obigen Bildern unter Bild 4.23 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang
erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.
35
5.Torsion (Z-Richtung)
Bild 4..24
6. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Liniemitte
Bild 4.25
Auf den Bildern wird aufgezeigt, dass bei einer Belastung des Profils im Schwerpunkt
mit einer Torsion eine Verwölbung auftritt. In diesem Fall verschieben sich zwei
Kanten nach außen und die anderen zwei nach innen.
36
4.4.2. dümmwandige offene Profile
4.4.2.1 I-Profil
1.Verschiebung:
Bild 4.26
2. Verschiebung (Summe):
Bild 4.27
37
3. Verschiebung(Vektor)
Bild 4.28
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 4.29
38
5. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Liniemitte
Bild 4.30
Auch bei diesem Profil wird mit den Bildern aufgezeigt, dass bei einer Belastung des
Profils im Schwerpunkt mit einer Torsion eine Verwölbung auftritt. In diesem Fall
verschieben sich zwei Kanten nach außen und die anderen zwei nach innen.
4.4.2.2 U-Profil
Es kann nicht direkt im Schwerpunkt eine Torsion gegben.
Es wird so modelliert, dass eine Kräftepaar auf der oben und unten Seite, um Torsion
zu erzeugen.
1. Verschiebung:
Bild 4.31
39
2. Verschiebung(Summe)
Bild 4.32
Bild 4.33
40
3. Verschiebung(Vektor)
Bild 4.34
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 4.35
Auf den obigen Bildern unter
gewüschte Torsion erzeugen.
Bild 4.35
wird gezeigt, dass die Kräfte erfolgreich
41
5. Verschiebung (Z-Richtung)
Bild 4.36
4.4.2.3 L-Profil
1. Verschiebung
Es kann nicht direkt im Schwerpunkt eine Torsion gegben.
Es wird so modelliert, dass eine Kräftepaar auf dem ober Punkt und der unten Rand,
um Torsion zu erzeugen.
Bild 4..37
42
2. Verschiebung(Summe)
Bild 4.38
3. Verschiebung(Vektor)
Bild 4.39
43
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 4.40
Auf den obigen Bildern unter Bild 4.40 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang
erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.
4.4.2.4 geschlitztes- Kreisrohr-Profil
(a) geschlitztes(fest)
Kreisrohr-Profil
(b) geschlitztesKreisrohr-Profil
(frei)
beide Seiten frei gelagert
Verschiebung in
gegenseitige
Richtungen definiert
eine Seite des Profils im Wand fest
eingespannt
eine Torsion durch den Mittelpunkt
(Krafte
der
entgegen
der
Uhrzeigerrichtung statt Torsion)
44
1. Verschiebung
Bild 4.41
Bild 4.42
2. Verschiebung (Summe)
Bild 4.43
Bild 4.44
3. Verschiebung (Vektor)
Bild 4.45
Bild 4.46
45
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 4.47
Bild 4.48
5.Torsion(Z-Richtung)
Bild 4.49
Bild 4.50
6. Verschiebung (Z-Richtung)
Bild 4.51
Bild 4.52
46
6. Verschiebung (Z-Richtung) (Zoom)
Bild 4.53
Bild 4.54
Bei des Falls 1, rotiert der Körper selber nicht leicht, weil eine Seite im Wand
eingespannt wird.
Bei der Fall 2, wird es eine typische torsion angezeigt, weil die beide Seite frei sind,
nur mit definierter Verschiebung.
47
5. Vollprofile
5.1 Kreis- Vollprofile
FEM-Analyse
Weil das Profil Vollprofil ist, wird mit der Elementtype Solid 95 im Programm Ansys
modelliert.
Geometrie der Modellen
r= 20 mm
Länge...L= 500 mm
S...Schwerpunkt
M...Schubmittelpunkt
Bild 5.1
5.1.1
Infolge Querkraft
Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit
einer Querkraft belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben
werden. (z.B Querkraft= 10000N)
.1.Verschiebung
Bild 5.2
48
2. Verschiebung(Summe)
Bild 5.3
3. Verschiebung(Vektor)
Bild 5.4
49
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 5.5
Auf den obigen Bildern wird gezeigt, dass bei einer Belastung im Schubmittelpunkt
keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die Richtung bewegt, in
der die Kraft wirkt.
5.1.2
Infolge Torsion
Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Mittelpunkt der anderen Seite mit
einer Torsion belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben
werden.
Bei der Solidelement, gibt es keine Möglichkeit direkt eine Torsion zu aufbringen.
Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Kreisumfang eine Kraft
entgegen der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen.
32 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=100N.
.
50
1.Verschiebung
Bild 5.6
2. Verschiebung (Summe)
Bild 5.7
51
3. Verschiebung(Vektor)
Bild 5.8
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 5.9
Auf den obigen Bildern unter Bild 5.9 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den
Kreisumfang erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.
52
5. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Liniemitte.
Bild 5.10
Keine Wölbung.
Das Kreis-Vollprofil ist wölbfrei.
6. bei Linienmitte, Schubspannung (YZ) bei Zylinderkoordinaten
Bild 5.11
Bild 5.12
Auf den obigen Bildern unter Bild 5.11 wird gezeigt, dass die Schupannung entlang der
Radiusrichtung immer größer wird. (Bild 5.12 Theoretische Schubspannnungsverlauf)
53
5.2 Rechteck- Vollprofile
FEM-Analyse
Weil das Profil Vollprofil ist, wird mit der Elementtype Solid 95 im Programm Ansys
modelliert.
Geometrie der Modellen
a=100 mm
b = 50 mm
Länge...L= 500 mm
S...Schwerpunkt
M...Schubmittelpunkt
Bild 5.13
5.2.1
Infolge Querkraft
Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit
einer Querkraft belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben
werden. (z.B Querkraft= 1000N)
1. .Verschiebung
Bild 5.14
54
2. Verschiebung(Summe)
Bild 5.15
3.Verschiebung(Vektor)
Bild 5.16
55
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 5.17
Auf den obigen Bildern wird gezeigt, dass bei einer Belastung im Schubmittelpunkt
keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die Richtung bewegt, in
der die Kraft wirkt.
5.2.2
Infolge Torsion
Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Mittelpunkt der anderen Seite mit
einer Torsion belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben
werden.
Bei der Solidelement, gibt es keine Möglichkeit direkt eine Torsion zu aufbringen.
Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Umfang eine Kraft entgegen
der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen.
60 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=+100N.
56
1. Verschiebung
Bild 5.18
2. Verschiebung(Summe)
Bild 5.19
57
3. Verschiebung(Vektor)
Bild 5.20
4. Verschiebung(Vektor-Vorn)
Bild 5.21
Auf den obigen Bildern unter Bild 5.21 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang
erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.
58
5. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Mitte des geschnittenen Profils
Rechteck-Vollprofil
Verwölbung
Kreis-Vollprofil
Wölbfrei
Bild 5.22
Bild 5.23
Die beiden oben dargestellten Bilder zeigen die Begriffe „Verwölbung“ und
„wölbfrei“.
Beim Rechteck-Vollprofils tritt „Verwölbung“ auf. Zwei Kanten verschieben sich
nach vorn, die anderen beiden nach hinten.
Das Kreis-Vollprofil dreht sich gleichmäßig und ist somit wölbfrei.
6. bei der Mitte des geschnittenen Profils, Schubspannung (YZ) bei der
Zylinder-Koordinaten
Bild 5.24
Bild 5.25
Auf den obigen Bildern unter Bild 5.24 wird gezeigt, dass die Schupannung von den
Mittelpunkt nach außen lansam größer wird. (Bild 5.25 Theoretische Schubspannnungsverlauf)
59
6. Zusammenfassung
Mit der Finite-Element-Methode im Programm Ansys wurden die dünnwandige
Profile modelliert. Dadurch werden die Tragverhalten dünnwandiger Profile
angezeigt und die Kenntnisse sind besser darzustellen und zu verstehen.
60
7. Modellenverzeichnis
1. I-Profil
1.1. I-Profil(Querkraft)
1.2. I-Profil(Torsion)
2. U-Profil
2.1.U-Profil(Querkraft)
2.1.1.U-Profil(Schwerpunkt)
2.1.2.U-Profil(Rand)
2.1.3.U-Profil(Schubmittelpunkt)
2.2 U-Profil(Torsion)
3. L-Profil
3.1.L-Profil(Querkraft)
3.1.1.L-Profil(Schwerpunkt)
3.1.2.L-Profil(Schubmittelpunkt)
3.2.L-Profil(Torsion)
4. geschlossenes-Kreisrohr-Profil
4.1 geschlossenes-Kreisrohr-Profil (Querkraft)
4.2 geschlossenes-Kreisrohr-Profil (Torsion)
5. geschlitztes- Kreisrohr-Profil
5.1 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Querkraft)
5.1.1 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Schwerpunkt)
5.1.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Rand)
5.1.3 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Schubmittelpunkt)
5.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Torsion)
5.2.1 geschlitztes- Kreisrohr-Profil(fest)
5.2.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil(frei)
6.Rechteck-Profil
6.1 Rechteck-Profil(Querkraft)
6.2. Rechteck-Profil (Torsion)
7.Kreis-Vollprofil
7.1.Kreis-Vollprofil (Querkraft)
7.2.Kreis-Vollprofil (Torsion)
8.Rechteck-Vollprofil
8.1 Rechteck- Vollprofil (Querkraft)
8.2 Rechteck- Vollprofil (Torsion)
61
8. Quellen
Vorlesungsnotiz der Technischen Mechanik, Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn,
HTWK Leipzig
FEM-Praktilum(E-Learning), Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn, HTWK Leipzig
Technischen Mechanik (Band 2 Festigkeitslehre), Peter Hagedorn, Verlag Harri
Deutsch
Technischen Mechanik, Göldner Pfefferkorn, Fachbuchverlag, Leipzig
Taschenbuch der Technischen Mechanik, Winkler Aurich, Fachbuchverlag,
Leipzig
Arbeitsmittel zur Technischen Mechanik 2, Prof. Dr.-Ing. Bernd W. Zastrau, TU
Dresden, BIW
Skript zur Vorlesung Technische Mechanik Teil 2 Festigkeitslehre, Prof. Dr.
Werner Diewald, FH Mannheim
HAW Hamburg – FB MP – Ihlenburg – TM2
Wikipedia…Schubmittelpunkt
Technische Mechanik –Festigkeitslehre, Falkutät für Maschinenbau, Uni
Paderborn
Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen
Festigkeitslehre - klipp und klar, Maritta Petersen, Jens J. Göttsche, ISBN
3-446-40415-5
Massivbau, Prof.Dr.-Ing.Rudolf Baumgart, Hochschule Darmstadt
Technischen Mechanik, Fischer/Güther,Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie
Leipzig. Stuttgart
62
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