Prinzip der virtuellen Verschiebung
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1 Elektrostatik 52 Prinzip der virtuellen Verschiebung Wir verwenden hier das Prinzip der virtuellen Verschiebung (PVV) zur Berechnung der Kraft auf einen Körper im elektrostatischen Feld. Beim PVV wird der Körper, auf den die zu berechnende Kraft wirkt, virtuell“ d.h. nur ” gedacht um ein infinitesimales Stück δs verschoben. Diese gedachte Verschiebung bewirkt virtuelle Energieänderungen im gesamten, betrachteten System. Dabei gilt (wie immer) der Energieerhaltungssatz, der besagt, dass sich die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems mit der Zeit nicht ändert bzw. dass die Summe der Änderungen aller auftretenden Energieformen im abgeschlossenen System (z.B. kinetische, potentielle, elektrische, thermische, chemische Energie) gleich null ist. Die Änderungen der Energieformen, die hier für uns in der Elektrostatik von Interesse sind, sind: • δWQuelle . . . Energieänderung einer Versorgungsquelle • δWFeld ist äquivalent zu δWKapazitaet . . . Änderung der in einem elektrischen Feld bzw. in einer Kapazität gespeicherten Energie • δWmech . . . Differenzielle mechanische Arbeit Man findet nun i.A. zwei (unwsesntlich) verschiedene Überlegungen zum Aufstellen für die Energiebilanz. (Welche Sie davon wählen, steht in Ihrer Entscheidungsfreiheit. Sie werden bemerken, dass beide Zugänge Diskussionen aufwerfen): 1. Summe aller Energieänderungen gleich Null � δWi = 0 (1) i δWmech = F δs Anmerkung: F zeigt in die Richtung, in die der Körper fällt, wenn man ihn nicht festhält. Die virtuelle Verschiebung des Körpers ist in alle Richtungen möglich. Die differenzielle mechanische Arbeit berechnet sich dabei einfach wie in Glg. (1). Verschiebt man den Körper parallel zur Kraftwirkung dann ist δWmech • positiv, bei Verschiebung in Kraftrichtung. • negativ, bei Verschiebung entgegen Kraftrichtung (vgl. Abb.) 1 Elektrostatik 53 Stellen Sie sich hier δWmech als Änderung eines mechanischen Energiereservoirs“ vor. Der ” Vorteil dieser Methode ist, dass man auch die Richtung der Kraftwirkung im Ergebnis erhält. Ist das Ergebnis für die Kraft positiv, dann zeigt die Kraft, die auf den Körper wirkt, in Verschiebungsrichtung, ist sie negativ, dann zeigt sie entgegen die Verschiebungsrichtung. 2. Zugeführte mechanische Energie gleich Summe aller Energieänderungen � δWmech = δWi (2) i δWmech = Fmech δs F = Fmech Beträge sind gleich! Richtung durch Pfeile berücksichtigt! Diese Methode ist vermutlich intuitiver, da man ja eine mechanische Kraft aufbringen muss um den Körper verschieben zu können. Beachten Sie aber, dass man für diese Methode die Richtung der Kraft kennen, und Fmech in die entgegengesetzte Richtung von F zeigen muss. Daher sind auch in Glg. (2) im Gegensatz zu Glg. (1) für die Berechnung von δWmech Skalare und nicht Vektoren verwendet. Anwendung des PVV Um die Kraft F mit dem PVV zu berechnen, drückt man nun alle anderen auftretenden Engergieänderungen in Abhängigkeit von δs aus, stellt die Energiebilanz auf, dividiert die so erhaltene Gleichung durch δs und löst die Gleichung nach F auf. Im Folgenden wird die Kraft, die auf zwei Kondensatorplatten wirkt, berechnet. Der Vollständigkeit halber sind hier verschiedene Möglichkeiten und deren Varianten durchgerechnet. Verwenden Sie einfach die Variante, die Ihnen am Logischsten, Einfachsten oder am Schnellsten erscheint. 1 Elektrostatik 54 1.27 Kraftwirkung im elektrischen Feld Möglichkeit I: Kondensator wird vor der virtuellen Verschiebung der Kondensatorplatte(n) von der Quelle getrennt. 1 Elektrostatik 55 1 Elektrostatik 56 1 Elektrostatik 57 Möglichkeit II: Kondensator wird vor der virtuellen Verschiebung der Kondensatorplatte(n) nicht von der Quelle getrennt. 1 Elektrostatik 1.28 Kraft auf Grenzflächen 58 1 Elektrostatik 1.29 Zylinderkondensator als Waage 59 1 Elektrostatik 60 1 Elektrostatik 61
