4 Elektrisches Feld Potentialfunktion 1 qQ F~ = · ~er · 4πε r2 Coulombsches Gesetz Stromdichte J= (Kraft pro Probledadung) I =γE A A m2 (materialunabhängig) [D] = C m2 ~ )= E(P mehrere Punktladungen X i ~ D(r) = Spannung V m [J] = 1 Q ~ · 2 · ~er , E(r) = 4πε r Punktladung [E] = (γ = %−1 : spez. Leitfähigkeit) ~ = εE ~ D Verschiebungsdichte z +Q d −Q p~ 1 ~ E(r) =− · , 4πε r3 Dipol Wab = ¶ , ϕ(r) = Q Q 1 · , Uab = 4πε r 4πε [U ] = V µ 1 1 − ra rb ¶ F~ = q · X ~ i, E ϕ(P ) = X Qi ~ i (P ) = 1 E · ~eri 4πε i ri 2 X 1 X Qi = ϕ(ri ) 4πε i ri i Q 2d cos θ p~ · ~er 1 · · = r À d, θ = 6 ~r, p~ 4πε r2 4πε r2 Auf der Symmetrieachse y des Dipols wird ϕ null (cos π2 = 0). homogenes Feld Uab = E0 (xb − xa ) = ϕ(xa ) − ϕ(xb ) Uab als Arbeit und Potentialdiff., mit xa = 0, xb = x : ϕ(x) = −E0 (x) + ϕ0 lineare Funktion mit Steigung −E0 , E0 und Uab in Richtung ~ex , ϕ0 = ϕ(0) . Z ~ · dA ~ A: Fläche [Ψ] = C Fluss Ψel = D [p] = Cm A Z Gaußscher Satz ~ · dA ~= D Linienleiter D(r) = D= Hohl- o. Vollkugel ~ r) (wegunabhängig) F~ (~r) = q E(~ λS 1 · 2π r σA 2 ~ ra 1 Qi A: geschlossene Oberfläche λS : Linienladungsdichte, hier const, [λS ] = σA : Flächenladungsdichte, hier const, [σA ] = D(r) = E-Felder geladener Leiter X i A Drehmoment (Ausrichtung) und Kraftwirkung F~ (~r) · d~r, 1 1 − ra rb Uab = −Uba ϕ(P ) = ebene Fläche Verschiebungsarbeit µ Wab , q i ~ = p~ × E ~0 Dipol im homogenen Feld Drehmoment M [M ] = Nm ~ Gleiche Kräfte auf Einzellad., p~ richtet sich in Feldrichtung aus, M wird null. Z~rb qQ 4πε mehrere Punktladungen Näherung für r À 2d, sonst Betrachtung 6 shh als zwei Punktladungen. Dipole entstehen hhhh P (0,r,0) hh( q h durch Polarisation (Vorgang der inneren ( y (((( ( s (( Ladungstrennung im elektr. Feld). ~ ) ? E(P µ ¶ ~ ez 6 ~ ± (r) = ±Q · 1 ~ex ∓ d ~ez über Einzelladungen: E 4πε r2 r Dipol im inhomogenen Feld zum Ort größerer Feldstärke. Wab = Uab = Pb kann so verschoben werden (kreisförmige Äquipotentialflächen einer Punktladung), daß er mit Q und Pa auf einer Gerade liegt (F~ ⊥ d~r → W = 0). Q · ~er 4πr2 Dipolmoment: p~ = 2dQ~ez Uab = ϕ(~ra ) − ϕ(~rb ), Punktladung ri : Abstand von Qi nach P , ~eri : Einheitsvektor von Qi nach P Dipol [ϕ] = V Potientielle Energie aus Verschiebung von ∞ nach P (~r), skalare Feldfkt. 1 ~ ~ =F E q ~ r) · d~r E(~ ∞ As ε = ε0 εr , elektrische Feldkonstante ε0 = 8,85·10−12 Vm , c = (ε0 µ0 )− 2 Dielektrizitätskonstante εr = 1 im Vakuum ~r von Punktladung Q nach Probeladung q gerichet. Elektrische Feldstärke ϕ(~r) = − Z~r 1 Q · für r < R 4π r2 C m C m2 Kugelradius R, ≡ Punktlad. ~i = 0 E im Inneren, stationärer Zustand ~ E stets ⊥ Leiter, Oberfläche ist Äquipotentialfläche Q Q As ⇔ U= ⇔ Q=UC [C] = = F (Farad) U C V Z B ~ d~s ; C = Q ~ ) ; Uab = E ±Q ; E(P UAB A 2 Elektroden (Leiter) mit Ladung ±Q, bel. Punkte A, B auf je einer Elektrode Kapazität 4.8 Schaltverhalten von Kondensatoren C= Kondensator laden R duC · +uC (t) = U0 Reihenschaltung U0 , R, C C dt µ ¶ −t uC (t) = U0 1 − e τ τ = RC, uC (0) = 0, uC (∞) = U0 −t Parallelschaltung Cg = X i(t) = Imax e τ ¯ duc ¯¯ U0 m= = ¯ dt t=0 τ ~ Grenzfläche k E Ci i X 1 1 = Cg Ci i Reihenschaltung C=ε C1 C2 C1 + C 2 C1 = C2 C12 C2 − C12 A d uc (t) = Umax e i(t) = −Imax e am Arbeitspunkt (U ? , Q? ) inneres E-Feld: E = Kraft zwischen Kondensatorplatten F = U d σ= Q = const A Zylinderkondensator Energie im Kondensator Q2 1 1 Wel = CU 2 = QU = 2 2 2C Wel wel = V Energiedichte Spannungsänderung ¯2 1 ¯¯ ~ ¯ wel (P ) = ε ¯E(P )¯ 2 Laden mit Konstantstrom (ri ≤ r ≤ ra ) − τt Imax = Umax R R, τ für Endladung! Endspg. U∞ = uC (∞), uC (t) = I0 ·t C beide stationär. I0 = const Umwandlung in Ersatzquelle und Kapazität ~ H magn. Feldstärke [H] = [Wel ] = J = Ws = Nm J [wel ] = 3 m I 2πr H(r) = I r 2πr02 langer Leiter 1 1 2 CU02 → Wel = C (U0 +dU ) 2 2 ; Kondensatorspannung verhält sich stetig A m r ≥ r0 r0 : Leiterradius r ≤ r0 ~ ↔ übrige Finger Rechte-Hand-Regel: I ↔ Daumen, H N I Spulenlänge l, N Windungen, einlagig l ~ ↔ Daumen Rechte-Hand-Regel: I (in den Windungen) ↔ übrige Finger, H lange, dünne Spule Z du(t) 1 ∆U , u(t) = i(t) dt , lin. u(t) ; i = C dt C ∆t Bei periodischen u(t) eilt i(t) am idealen Kondensator 90◦ voraus. Kondensatorgl. Umax : UC vor Entladebeginn 5 Magnetfelder – magnetische Induktion U0 → U0+dU ; Wel = Leistung P 6= ∞ − τt Anfangsspg. Uanf = uC (0), 1 Q2 · 2 εA 1 Q 1 ~ · · E(r) = 2πε l r graf. τ -Bestimmung ¶ µ −t uC (t) = Uanf + (U∞ − Uanf ) 1 − e τ allgemeine Gleichung Netzwerk mit 1 Kapazität 2πεl C= ln rrai U0 R C erscheint bei t = 0 kurzgeschlossen, bei t = ∞ offen. Entladen ¯ dQ ¯¯ Cd = dU ¯U ? differentielle Kapazität Plattenkondensator C12 = Imax = i(t) = C Ringspule 2 H= H= N I 2πr ri + r a ~ r∼ , H im Inneren der Windungen = 2 magn. Induktion oder Flußdichte ~ = µH ~ B [B] = µ = µ 0 µr magn. Feldkonstante µ0 = 4π · 10 =1 ∼ = 1 < µr ∼ 1 > ∼ 1 À1 relative Permabilität I Durchflutungssatz −7 Lorenzkraft Θ [µr ] = 1 paramagnetisch ferromagnetisch (Fe ...), µr = f (H) magn. Fluss Φ= Z ~ · dA ~ B wmagn = k magn. Energie [Θ] = A 1 B2 2 µ0 µr [wmagn ] = Rand vonA [Φ] = Vs = Wb (Weber) (Ringspannung) A dΨ dΨ di di dΦ = = · =L [uind ] = V dt dt di dt dt N Φ bzw. Ψ sind der Fluss innerhalb der Leiterschleife (Spule) dA ~ ; Φ = BA ; uind = N A dB + NB homogenes B | {z dt} | {z dt} magn. Induktion Φmax bei B ⊥ A geschlossene Hüllfläche H ; quellenfreies Wirbelfeld ; keine einzelnen Pole (Unipole) uind = N Ruheinduktion verketteter magn. Fluss (Spulenfluss) Ψ=N ·Φ [Ψ] = Vs Strom wird bei N Windungen der Spule N-mal umschlossen Φ = const J 6= const Lenzsche Regel Ein durch eine Induktionsspannung verursachter Strom ist stets so gerichtet, dass sein Magnetfeld dem induzierenden Vorgang (Ursache) entgegen wirkt. H unverzweigter magn. Kreis J m3 1 2 LI [Wmagn ] = J = Ws = Nm 2 P < ∞ ; Strom durch Induktivität L stetig d0 p R∼ ∼ πf µγ = 0,3 + s für s > 1, s = R− 4 Z I ~ · d~s = d ~ · dA ~ = dΦ E B Induktionsgesetz dt dt [M ] = Nm α6 B, n~0 1 BL2 · AL 2 µ0 Skineffekt A B = const ; Φ = BA cos α I ~ · dA ~=0 B (bei H 6= const im magn. Kreis) Wmagn = V · wmagn = bei Spule V = A l; ~l: Leiterlänge durch B, ~ Richtung von I ~ = dA n~0 dA [V ] = A I= magn. Energiedichte Ik = Θ ~ =m ~ = ~r × F~ M ~ ×B ~ · d~s H Kraft über Luftspalt: F = magn. Moment Leiterschleife m ~ = A · N I · n~0 N Windungen [m] = Am2 n~0 : Normalenvektor zur Leiterschleifenfläche A, ⊥ A, Rechtsschraube mit I Drehmoment Vm,ab = Zb Vs =H A ¶ µ HL lE d+ E für Eisen, L für Luft N µE AL ∼ = AE , Φ = const ; BL ∼ = BE , µE ≡ µr , d: Luftspaltbreite Luftspalt im magn. Kreis X [Λ] = a diamagnetisch ~ · d~s = H Φ Vm Vm,i = Hi li ~ Ladung q mit Geschw. ~v im Magnetfeld B ~ F~ = I · ~l × B Kraft auf Leiter Λ= magn. oder Umlaufspannung Vs Vs = 1,257 · 10−6 Am Am (Summe der auf C umfahrenen Ströme) ~ F~ = q · ~v × B magn. Leitwert Vakuum Luft C elektr. Durchflutung Vs = T (Tesla) m2 Vs [µ] = [µ0 ] = Am Generatorprinzip uind (t) = −û sin(ωt) , Bewegungsinduktion û = BA0 N ω ~ N Leiterschleifen der Fläche A0 rotieren mit ω = const im homogen B. ~ A ⊥ B bei t = 0 ; A(t) = A0 cos(ωt) ; Φ(t) = B A0 cos(ωt) z. B. magn. Fluss im Ringkern 3 (Selbst-) Induktivität L= Ψ , i µr = 1 ; L = const [L] = Vs = H (Henry) A Kopplung von Spulen A NΦ = µ N2 Querschnittsfläche A I l nur für Luftspule mit µr = 1, bei Ferromagnetikum µr = f (I) ; L = f (I) lange, dünne Spule L= 5.11 Schaltverhalten von Induktivitäten 2 Ringspule L = µ0 N A 2πr Einschalten Gleichspg. (l = 2πr, mittlere Feldlinienlänge) dΨ dLi di dL dL = =L +i =L+i di di di di di Bei µr 6= 1 sind Ψ und L f (i), Ld ist die Tangentensteigung von Ψ = f (i). differentielle Induktivität Ld = Ausschalten Gleichspg. allgemein Gleichspg. uL (0) = U0 uL (∞) = 0 − τt Imax : Strom vor Ausschalten − τt Umax = Imax ·REntladestromkreis REntl → ∞ ⇒ uL (t) → −∞ τ → 0 µ ¶ −t iL (t) = IA + (IE − IA ) 1 − e τ τ= L R −t U∆ = R (IE − IA ) uL (t) = U∆ e τ Anfangsstrom IA = iL (t < 0), Endstrom IE = iL (t → ∞), beide stationär. R: Reihenwiderstand für t ≥ 0, Schaltvorgang bei t = 0. Sp. 1 mit i1 , Sp. 2 unbesch., gem. Fluss Φ21 (1 wirkt auf 2 ) dΦ21 di1 dΨ21 = N2 = L21 Φ21 ≤ Φ1 u2 (t) = dt dt dt Nur bei µr = 1 gültig (Eisenkern führt zu gleichen Ψ durch beide Spulen). Netzwerk mit 1 Induktivität Spannungsstoß Umwandlung in Ersatzquelle und Induktivität Z t2 uL (t) dt = Ψ2 − Ψ1 t1 2: Ort der Wirkung, 1 der Ursache di1 di2 + L12 dt dt di2 di1 + L21 u2 (t) = R2 i2 (t) + L2 dt dt Trafogleichungen u1 (t) = R1 i1 (t) + L1 iL (t) = Imax e uL (t) = −Umax e Fremdinduktion L21 − τt Tangente an iL (t = 0) erreicht imax bei t = τ . L erscheint bei t = 0 offen, bei t = ∞ kurzgeschlossen. Selbstinduktion N Φ = LI bzw. N Φ(t) = Li(t) für Φ ∼ I ; µr = const Stromänderungen in einer Spule erzeugen eine Induktionsspannung. ¢ ¡ di uL (t) = L : i(t) = ı̂ sin(ωt) ; uL (t) = û cos(ω + t) = û sin ωt + π2 dt Die Spannung eilt dem Strom um π2 ≡ 90◦ voraus. gegenseitige Induktivität U0 L diL · + iL = Reihenschaltung U0 , R, L R dt R µ ¶ U0 L −t imax = τ= iL (t) = imax 1 − e τ R R uL (t) = U0 e (diff.) Induktivität bestimmen In tabellarischer Aufstellung: B-Werte vorgeben. HFe aus Materialkennlinie. Ψ = N A B bei homogenen Feld. I = g(HFe ), abhängig von Leiteranordnung. Ψ = f (I) zeichnen, Ld ist die Tangentensteigung dieser Kurve. Ψ21 = i1 di di di (Reihenschaltung) uL (t) = L1 + L2 + 2 L12 dt dt dt ( > 0 Wicklungen gleichsinnig L12 < 0 Wicklungen gegensinnig A Mathematik ~a = O → A, ~b = O → B, ~c = A → B ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ Skalarprodukt ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz = ¯~a¯ ¯~b¯ cos α = c ¯ ¯ ¯ ex ey ez ¯ a y bz − a z by ¯ ¯ Kreuzprodukt ~a × ~b = az bx − ax bz = ¯¯ ax ay az ¯¯ = ~c ¯ bx by bz ¯ a x by − a y bx ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ Bei α = 90◦ (~a ⊥ ~b) −→ |~c| = ¯~a¯ ¯~b¯ sin α Rechte-Hand-Regel: Daumen ↔ ~a, Zeigefinger ↔ ~b, Mittelfinger ↔ ~c fset2smf,7. Juli 2001 Verbindungsvektor Spule 1 primär Spule 2 sekundär Ψ11 Ψ12 Ψ21 Ψ22 , L12 ≡ , L21 ≡ , L2 ≡ i1 i2 i1 i2 Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 , Ψ2 = Ψ22 + Ψ21 , R1 , R2 : Wicklungswiderstände L1 ≡ L12 = L21 wenn beide Spulen im selben, nicht ferromagnetischen Medium. 4 ~c = ~b − ~a