Grundlagen der Elektrotechnik 2 (SMF)

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4 Elektrisches Feld
Potentialfunktion
1 qQ
F~ =
· ~er
·
4πε r2
Coulombsches Gesetz
Stromdichte
J=
(Kraft pro Probledadung)
I
=γE
A
A
m2
(materialunabhängig)
[D] =
C
m2
~ )=
E(P
mehrere Punktladungen
X
i
~
D(r)
=
Spannung
V
m
[J] =
1
Q
~
· 2 · ~er ,
E(r)
=
4πε r
Punktladung
[E] =
(γ = %−1 : spez. Leitfähigkeit)
~ = εE
~
D
Verschiebungsdichte
z
+Q
d
−Q
p~
1
~
E(r)
=−
· ,
4πε r3
Dipol
Wab =
¶
, ϕ(r) =
Q
Q 1
· , Uab =
4πε r
4πε
[U ] = V
µ
1
1
−
ra rb
¶
F~ = q ·
X
~ i,
E
ϕ(P ) =
X Qi
~ i (P ) = 1
E
· ~eri
4πε i ri 2
X
1 X Qi
=
ϕ(ri )
4πε i ri
i
Q 2d cos θ
p~ · ~er 1
·
·
=
r À d, θ = 6 ~r, p~
4πε
r2
4πε r2
Auf der Symmetrieachse y des Dipols wird ϕ null (cos π2 = 0).
homogenes Feld
Uab = E0 (xb − xa ) = ϕ(xa ) − ϕ(xb )
Uab als Arbeit und Potentialdiff., mit xa = 0, xb = x : ϕ(x) = −E0 (x) + ϕ0
lineare Funktion mit Steigung −E0 , E0 und Uab in Richtung ~ex , ϕ0 = ϕ(0) .
Z
~ · dA
~
A: Fläche
[Ψ] = C
Fluss
Ψel = D
[p] = Cm
A
Z
Gaußscher Satz
~ · dA
~=
D
Linienleiter
D(r) =
D=
Hohl- o. Vollkugel
~ r) (wegunabhängig)
F~ (~r) = q E(~
λS 1
·
2π r
σA
2
~
ra
1
Qi
A: geschlossene Oberfläche
λS : Linienladungsdichte, hier const, [λS ] =
σA : Flächenladungsdichte, hier const, [σA ] =
D(r) =
E-Felder geladener Leiter
X
i
A
Drehmoment (Ausrichtung) und Kraftwirkung
F~ (~r) · d~r,
1
1
−
ra rb
Uab = −Uba
ϕ(P ) =
ebene Fläche
Verschiebungsarbeit
µ
Wab
,
q
i
~ = p~ × E
~0
Dipol im homogenen Feld
Drehmoment M
[M ] = Nm
~
Gleiche Kräfte auf Einzellad., p~ richtet sich in Feldrichtung aus, M wird null.
Z~rb
qQ
4πε
mehrere Punktladungen
Näherung für r À 2d, sonst Betrachtung
6
shh
als zwei Punktladungen. Dipole entstehen
hhhh P (0,r,0)
hh(
q
h
durch Polarisation (Vorgang der inneren
(
y
((((
(
s ((
Ladungstrennung im elektr. Feld).
~ ) ?
E(P
µ
¶
~
ez
6
~ ± (r) = ±Q · 1 ~ex ∓ d ~ez
über Einzelladungen: E
4πε r2
r
Dipol im inhomogenen Feld
zum Ort größerer Feldstärke.
Wab =
Uab =
Pb kann so verschoben werden (kreisförmige Äquipotentialflächen einer
Punktladung), daß er mit Q und Pa auf einer Gerade liegt (F~ ⊥ d~r → W = 0).
Q
· ~er
4πr2
Dipolmoment: p~ = 2dQ~ez
Uab = ϕ(~ra ) − ϕ(~rb ),
Punktladung
ri : Abstand von Qi nach P , ~eri : Einheitsvektor von Qi nach P
Dipol
[ϕ] = V
Potientielle Energie aus Verschiebung von ∞ nach P (~r), skalare Feldfkt.
1
~
~ =F
E
q
~ r) · d~r
E(~
∞
As
ε = ε0 εr , elektrische Feldkonstante ε0 = 8,85·10−12 Vm
, c = (ε0 µ0 )− 2
Dielektrizitätskonstante εr = 1 im Vakuum
~r von Punktladung Q nach Probeladung q gerichet.
Elektrische Feldstärke
ϕ(~r) = −
Z~r
1 Q
·
für r < R
4π r2
C
m
C
m2
Kugelradius R, ≡ Punktlad.
~i = 0
E
im Inneren, stationärer Zustand
~
E stets ⊥ Leiter, Oberfläche ist Äquipotentialfläche
Q
Q
As
⇔ U=
⇔ Q=UC
[C] =
= F (Farad)
U
C
V
Z B
~ d~s ; C = Q
~ ) ; Uab =
E
±Q ; E(P
UAB
A
2 Elektroden (Leiter) mit Ladung ±Q, bel. Punkte A, B auf je einer Elektrode
Kapazität
4.8 Schaltverhalten von Kondensatoren
C=
Kondensator laden
R duC
·
+uC (t) = U0
Reihenschaltung U0 , R, C
C dt
µ
¶
−t
uC (t) = U0 1 − e τ
τ = RC, uC (0) = 0, uC (∞) = U0
−t
Parallelschaltung
Cg =
X
i(t) = Imax e τ
¯
duc ¯¯
U0
m=
=
¯
dt t=0
τ
~
Grenzfläche k E
Ci
i
X 1
1
=
Cg
Ci
i
Reihenschaltung
C=ε
C1 C2
C1 + C 2
C1 =
C2 C12
C2 − C12
A
d
uc (t) = Umax e
i(t) = −Imax e
am Arbeitspunkt (U ? , Q? )
inneres E-Feld: E =
Kraft zwischen Kondensatorplatten
F =
U
d
σ=
Q
= const
A
Zylinderkondensator
Energie im Kondensator
Q2
1
1
Wel = CU 2 = QU =
2
2
2C
Wel
wel =
V
Energiedichte
Spannungsänderung
¯2
1 ¯¯ ~
¯
wel (P ) = ε ¯E(P
)¯
2
Laden mit Konstantstrom
(ri ≤ r ≤ ra )
− τt
Imax =
Umax
R
R, τ für Endladung!
Endspg. U∞ = uC (∞),
uC (t) =
I0
·t
C
beide stationär.
I0 = const
Umwandlung in Ersatzquelle und Kapazität
~
H
magn. Feldstärke
[H] =
[Wel ] = J = Ws = Nm
J
[wel ] = 3
m

I



2πr
H(r) =
I


r

2πr02
langer Leiter
1
1
2
CU02 → Wel = C (U0 +dU )
2
2
; Kondensatorspannung verhält sich stetig
A
m
r ≥ r0
r0 : Leiterradius
r ≤ r0
~ ↔ übrige Finger
Rechte-Hand-Regel: I ↔ Daumen, H
N
I
Spulenlänge l, N Windungen, einlagig
l
~ ↔ Daumen
Rechte-Hand-Regel: I (in den Windungen) ↔ übrige Finger, H
lange, dünne Spule
Z
du(t)
1
∆U
, u(t) =
i(t) dt , lin. u(t) ; i = C
dt
C
∆t
Bei periodischen u(t) eilt i(t) am idealen Kondensator 90◦ voraus.
Kondensatorgl.
Umax : UC vor Entladebeginn
5 Magnetfelder – magnetische Induktion
U0 → U0+dU ; Wel =
Leistung P 6= ∞
− τt
Anfangsspg. Uanf = uC (0),
1 Q2
·
2 εA
1 Q 1
~
· ·
E(r)
=
2πε l r
graf. τ -Bestimmung
¶
µ
−t
uC (t) = Uanf + (U∞ − Uanf ) 1 − e τ
allgemeine Gleichung
Netzwerk mit 1 Kapazität
2πεl
C=
ln rrai
U0
R
C erscheint bei t = 0 kurzgeschlossen, bei t = ∞ offen.
Entladen
¯
dQ ¯¯
Cd =
dU ¯U ?
differentielle Kapazität
Plattenkondensator
C12 =
Imax =
i(t) = C
Ringspule
2
H=
H=
N
I
2πr
ri + r a ~
r∼
, H im Inneren der Windungen
=
2
magn. Induktion oder Flußdichte
~ = µH
~
B
[B] =
µ = µ 0 µr
magn. Feldkonstante
µ0 = 4π · 10


=1




∼

= 1
<
µr ∼ 1


>

∼ 1



À1
relative Permabilität
I
Durchflutungssatz
−7
Lorenzkraft
Θ
[µr ] = 1
paramagnetisch
ferromagnetisch (Fe ...), µr = f (H)
magn. Fluss
Φ=
Z
~ · dA
~
B
wmagn =
k
magn. Energie
[Θ] = A
1 B2
2 µ0 µr
[wmagn ] =
Rand
vonA
[Φ] = Vs = Wb (Weber)
(Ringspannung)
A
dΨ
dΨ di
di
dΦ
=
=
·
=L
[uind ] = V
dt
dt
di dt
dt
N Φ bzw. Ψ sind der Fluss innerhalb der Leiterschleife (Spule)
dA
~ ; Φ = BA ; uind = N A dB +
NB
homogenes B
| {z dt}
| {z dt}
magn. Induktion
Φmax bei B ⊥ A
geschlossene Hüllfläche H
; quellenfreies Wirbelfeld ; keine einzelnen Pole (Unipole)
uind = N
Ruheinduktion
verketteter magn. Fluss (Spulenfluss)
Ψ=N ·Φ
[Ψ] = Vs
Strom wird bei N Windungen der Spule N-mal umschlossen
Φ = const
J 6= const
Lenzsche Regel Ein durch eine Induktionsspannung verursachter Strom ist
stets so gerichtet, dass sein Magnetfeld dem induzierenden Vorgang (Ursache)
entgegen wirkt.
H
unverzweigter magn. Kreis
J
m3
1 2
LI
[Wmagn ] = J = Ws = Nm
2
P < ∞ ; Strom durch Induktivität L stetig
d0 p
R∼ ∼
πf µγ
= 0,3 + s für s > 1, s =
R−
4
Z
I
~ · d~s = d
~ · dA
~ = dΦ
E
B
Induktionsgesetz
dt
dt
[M ] = Nm
α6 B, n~0
1 BL2
·
AL
2 µ0
Skineffekt
A
B = const ; Φ = BA cos α
I
~ · dA
~=0
B
(bei H 6= const im magn. Kreis)
Wmagn = V · wmagn =
bei Spule V = A l;
~l: Leiterlänge durch B,
~ Richtung von I
~ = dA n~0
dA
[V ] = A
I=
magn. Energiedichte
Ik = Θ
~ =m
~ = ~r × F~
M
~ ×B
~ · d~s
H
Kraft über Luftspalt: F =
magn. Moment Leiterschleife m
~ = A · N I · n~0 N Windungen [m] = Am2
n~0 : Normalenvektor zur Leiterschleifenfläche A, ⊥ A, Rechtsschraube mit I
Drehmoment
Vm,ab =
Zb
Vs
=H
A
¶
µ
HL
lE
d+
E für Eisen, L für Luft
N
µE
AL ∼
= AE , Φ = const ; BL ∼
= BE , µE ≡ µr , d: Luftspaltbreite
Luftspalt im magn. Kreis
X
[Λ] =
a
diamagnetisch
~ · d~s =
H
Φ
Vm
Vm,i = Hi li
~
Ladung q mit Geschw. ~v im Magnetfeld B
~
F~ = I · ~l × B
Kraft auf Leiter
Λ=
magn. oder Umlaufspannung
Vs
Vs
= 1,257 · 10−6
Am
Am
(Summe der auf C umfahrenen Ströme)
~
F~ = q · ~v × B
magn. Leitwert
Vakuum
Luft
C
elektr. Durchflutung
Vs
= T (Tesla)
m2
Vs
[µ] = [µ0 ] =
Am
Generatorprinzip
uind (t) = −û sin(ωt) ,
Bewegungsinduktion
û = BA0 N ω
~
N Leiterschleifen der Fläche A0 rotieren mit ω = const im homogen B.
~
A ⊥ B bei t = 0 ; A(t) = A0 cos(ωt) ; Φ(t) = B A0 cos(ωt)
z. B. magn. Fluss im Ringkern
3
(Selbst-) Induktivität
L=
Ψ
,
i
µr = 1 ; L = const
[L] =
Vs
= H (Henry)
A
Kopplung von Spulen
A
NΦ
= µ N2
Querschnittsfläche A
I
l
nur für Luftspule mit µr = 1, bei Ferromagnetikum µr = f (I) ; L = f (I)
lange, dünne Spule
L=
5.11 Schaltverhalten von Induktivitäten
2
Ringspule
L = µ0
N A
2πr
Einschalten Gleichspg.
(l = 2πr, mittlere Feldlinienlänge)
dΨ
dLi
di
dL
dL
=
=L +i
=L+i
di
di
di
di
di
Bei µr 6= 1 sind Ψ und L f (i), Ld ist die Tangentensteigung von Ψ = f (i).
differentielle Induktivität
Ld =
Ausschalten Gleichspg.
allgemein Gleichspg.
uL (0) = U0
uL (∞) = 0
− τt
Imax : Strom vor Ausschalten
− τt
Umax = Imax ·REntladestromkreis
REntl → ∞ ⇒ uL (t) → −∞ τ → 0
µ
¶
−t
iL (t) = IA + (IE − IA ) 1 − e τ
τ=
L
R
−t
U∆ = R (IE − IA )
uL (t) = U∆ e τ
Anfangsstrom IA = iL (t < 0), Endstrom IE = iL (t → ∞), beide stationär.
R: Reihenwiderstand für t ≥ 0, Schaltvorgang bei t = 0.
Sp. 1 mit i1 , Sp. 2 unbesch., gem. Fluss Φ21 (1 wirkt auf 2 )
dΦ21
di1
dΨ21
= N2
= L21
Φ21 ≤ Φ1
u2 (t) =
dt
dt
dt
Nur bei µr = 1 gültig (Eisenkern führt zu gleichen Ψ durch beide Spulen).
Netzwerk mit 1 Induktivität
Spannungsstoß
Umwandlung in Ersatzquelle und Induktivität
Z t2
uL (t) dt = Ψ2 − Ψ1
t1
2: Ort der Wirkung, 1 der Ursache
di1
di2
+ L12
dt
dt
di2
di1
+ L21
u2 (t) = R2 i2 (t) + L2
dt
dt
Trafogleichungen u1 (t) = R1 i1 (t) + L1
iL (t) = Imax e
uL (t) = −Umax e
Fremdinduktion
L21
− τt
Tangente an iL (t = 0) erreicht imax bei t = τ .
L erscheint bei t = 0 offen, bei t = ∞ kurzgeschlossen.
Selbstinduktion
N Φ = LI bzw. N Φ(t) = Li(t)
für Φ ∼ I ; µr = const
Stromänderungen in einer Spule erzeugen eine Induktionsspannung.
¢
¡
di
uL (t) = L : i(t) = ı̂ sin(ωt) ; uL (t) = û cos(ω + t) = û sin ωt + π2
dt
Die Spannung eilt dem Strom um π2 ≡ 90◦ voraus.
gegenseitige Induktivität
U0
L diL
·
+ iL =
Reihenschaltung U0 , R, L
R dt
R
µ
¶
U0
L
−t
imax =
τ=
iL (t) = imax 1 − e τ
R
R
uL (t) = U0 e
(diff.) Induktivität bestimmen In tabellarischer Aufstellung: B-Werte vorgeben. HFe aus Materialkennlinie. Ψ = N A B bei homogenen Feld. I = g(HFe ),
abhängig von Leiteranordnung. Ψ = f (I) zeichnen, Ld ist die Tangentensteigung
dieser Kurve.
Ψ21
=
i1
di
di
di
(Reihenschaltung)
uL (t) = L1 + L2 + 2 L12
dt
dt
dt
(
> 0 Wicklungen gleichsinnig
L12
< 0 Wicklungen gegensinnig
A Mathematik
~a = O → A, ~b = O → B, ~c = A → B
¯ ¯¯ ¯
¯ ¯¯ ¯
Skalarprodukt
~a · ~b = ax bx + ay by + az bz = ¯~a¯ ¯~b¯ cos α = c
¯

 ¯
¯ ex ey ez ¯
a y bz − a z by
¯
¯
Kreuzprodukt
~a × ~b =  az bx − ax bz  = ¯¯ ax ay az ¯¯ = ~c
¯ bx by bz ¯
a x by − a y bx
¯ ¯¯ ¯
¯ ¯¯ ¯
Bei α = 90◦ (~a ⊥ ~b) −→
|~c| = ¯~a¯ ¯~b¯ sin α
Rechte-Hand-Regel: Daumen ↔ ~a, Zeigefinger ↔ ~b, Mittelfinger
↔ ~c
fset2smf,7. Juli 2001
Verbindungsvektor
Spule 1 primär
Spule 2 sekundär
Ψ11
Ψ12
Ψ21
Ψ22
, L12 ≡
, L21 ≡
, L2 ≡
i1
i2
i1
i2
Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 , Ψ2 = Ψ22 + Ψ21 , R1 , R2 : Wicklungswiderstände
L1 ≡
L12 = L21 wenn beide Spulen im selben, nicht ferromagnetischen Medium.
4
~c = ~b − ~a
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