Formelsammlung GET 1

-Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik 1 WS 2001/2002Stromstärke I, i und Stromdichte S (J):
Q
dq
Q = I ⋅t
I=
i (t ) =
t
dt
Spannung U und Potential ϕ:
∫
Q = i(t )dt
U12 = ϕ1 + ϕ 2
U12 =
Parallelschaltung von n gleich großen Widerständen: Rges =
[S ] =  A 
 mm² 
I
S=
A
Zweipolquellen:
Innenwiderstand: U ab = U q − I ⋅ Ri
W12
Q
a)
Leerlauf: I = 0 ⇒ U ab = U q
b)
Kurzschluss: Rv = 0 ⇒ U ab = 0 ⇒ I k =
c)
Belastung: U ab = U q − I ⋅ Ri
Leistung P und Energie W:
T
1
P=
u (t ) ⋅ i (t )dt
T 0
∫
P =U ⋅ I
η=
Pzu
Pab + Pverlust
U²
P=
R
P = I² ⋅ R
p (t ) = u (t ) ⋅ i (t )
∫
W12 = u (t ) ⋅ i (t )dt
Schaltungen:
ν .l
R⋅ A
ν=
κ = ν −1
R=
l
A
Temperaturabhängigkeit von Widerständen:
Ω
∆R R − R
m= const. = = ϑ ϑa K[m] =
K
∆ϑ ϑ −ϑa
Rϑ1 α 1
=
Rϑ 2 α 2
[
]
Rϑ = Rϑa ⋅ 1 + α ϑa ⋅ (ϑ − ϑ a ) + β ⋅ (ϑ − ϑ a ) K[β ] =
2
∑I
zu
n
∑U
k
=
∑I
c) Parallelschaltung: Riges =
G=
κ⋅A
Parallelschaltung von Widerständen:
n
1
1
=
Gges =
Rges
1 Rk
∑
Rϑ = Rϑa ⋅ [1 + α ϑa ⋅ (ϑ − ϑ a )]
1
K2
k
∑I
k
α) Leerlauf: R v → ∞ ⇒ I = I 2 = I 1 =
=0
1
β) Belastung mit Rv: I =
R12 =
1
I1 R2 G1
=
=
I2
R1 G2
I1
R2
=
I ges R1 + R2
I2
R1
=
I ges R1 + R2
I2 =
Riges = Ri1 + Ri 2
U1 R1
R1
=
=
U
R R1 + R2
R1Rv
R1 + Rv
R1 Rv
R1 RV
R1 + Rv
=
R1 Rv
R1 Rv + R 2 ( R1 + Rv )
R2 +
R1 + Rv
c) Ströme:
U1 =
n
R1
R1 + R2
Uv
R
Re
= e =
=
U
R ges R 2 + Re
U
U
=
R R1 + R 2
U
U
=
= I2
Rges R2 + Re
γ) Kurzschluss: R v = 0 ⇒ I k = I 2 = I v =
∑G
ik
1
b) Belastung mir Rv: Rges = R2 + Re = R2 +
Rϑ 2
ϑ2 =
Rϑ1⋅ (τ + ϑ1 ) − τ
=0
∑
n
∑R
Ri
n
a) Leerlauf: U1 = U ⋅
l
1
Reihenschaltung von Widerständen:
n
Uk
R
Rges =
Rk
= k
U ges Rges
1
Riges =
qk
Spannungsteiler:
l
R=
κ⋅A
n
ab
n
∑U
b) Gegenreihenschaltung: U qges = −U q1 + U q 2
Kirchhoffsche Sätze:
Maschensatz:
a) Summenreihenschaltung: U qges =
1
1
αϑ =
K mit[ϑ ] = 1°C
τ +ϑ
1 ( Rϑ − Rϑa )
∆R
m
1
=
=
=
⋅
K[α ] =
(ϑ − ϑa )
Rϑa
Rϑa ⋅ ∆ϑ Rϑa
K
Knotenpunktsatz:
Ri
t1
Ohmsches Gesetz (Ohmscher Widerstand R, elektr. Leitwert G)
1
U = I ⋅R
I =U ⋅ =U ⋅G
[G ] =  1 = 1S  (1 Siemens)
R
Ω

α ϑa
Uq
t2
W = P ⋅t =U ⋅ I ⋅t
R
n
I1 =
R1 ⋅ U ges
Rges
I1 = I
Rv
R1 + Rv
Iv = I
R1
R1 + Rv
U
R2
Die Wheatsonbrücke:
R1 ⋅ R2
R1 + R2
R1 R2
R
=
R1 = R3 2
R3 R4
R4
Widerstandsbestimmung durch Strom- und Spannungsmessung:
Spannungsrichtige Schaltung
Stromrichtige Schaltung
I ges ⋅ R2
R1 + R2
I ges ⋅ R1
R1 + R2
1
bzw.
Rx = Rn
R2
R4
-Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik 1 WS 2001/2002c)
d)
Gemessene Spannung: U = U R
Gemessene Spannung: U = U R + U A
Gemessener Strom: I = I R + IV
Gemessener Strom: I = I R
R′ =
U
UR
U
=
< R =R
I
I R + IV
IR
R′ =
Maschenstromverfahren:
a) Stromquellen beseitigen (bis zum KNP auftrennen)
b) Zweigströme eintragen (Richtung beliebig)
c) Aufzeichnen des Graphen und eintragen eines vollständigen Baumes (Zweige ohne Bauteile
müssen auf dem Baum lieben)
d) Eintragen der Maschenströme I1´ bis Im´ zweckmäßigerweise in Richtung des Zweigstromes im
unabhängigen Zweig
e) Aufstellen der m Maschengleichungen (m=n-(p-1)) für die Maschenströme. Die positive
Zählrichtung wird dabei durch den jeweiligen Maschenstrom bestimmt. Das Vorzeichen der
Kopplungswid. ist somit negativ, wenn die Maschenströme entgegengesetzte Zählrichtung
haben. Das Vorzeichen der Quellspannung ist negativ, wenn die Richtung der Quellspg.
entgegen der Zählrichtung des Maschenstromes der Masche ist. Die äußeren Belastungen gehen
über den Baum.
′
′
M
: ( R1 + R2 + ...) I1 ± R3 I 2 ±
R3 I a
± U q1 = 0
Bsp.:
{1
{
{
1442443
{
Maschengleichung
U UR + U A
=
= R + RA > R
I
IR
U
RV
= R⋅
I
R + RV
Kleiner Messfehler, wenn R<<Rv
Bei Messung kleiner Wid.
oder R′ =
Kleiner Messfehler, wenn R>>Rv
Bei Messung großer Wid.
Leistungsanpassung:
Uq IK
U²
Rv = Ri ⇒ Pv max =
⋅
=
2 2
4 ⋅ Ri
Teilströme vorzeichenrichtig (!) überlagern
Gesamtstrom = Summe aller (vorzeichenrichtiger(!)) Teilströme
η = 50%
Gesamtwid .derMaschen
f)
g)
Ersatzzweipolquellen:
Widerstände, die in Reihe mit einer Stromquelle sind können überbrückt werde.
Widerstände, parallel mit einer Spannungsquelle können aufgetrennt werde.
Kopplungswid .
ÄußereBelastung
Quellspg .
Durch Auflösen der m Maschengleichungen ergeben sich die Maschenströme
Die Zweigströme ergeben sich durch die Überlagerung der Maschenströme
Knotenpotentialverfahren:
U ik = ϕi − ϕ k = I ik ⋅ Rik − U q
⇒
⇒ I ik = (ϕi − ϕ k ± U q ) ⋅ Gik
⇒
Uq = U
R1
R + R2
Ik =
U
R2
Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze:
1.) Sämtliche Stromquellen in äußere Einspeisungen umwandeln (Bis zum KNP auftrennen)
2.) Zählpfeile eintragen (Richtung beliebig)
3.) Umlaufsinn der Maschen eintragen
4.) Aufstellen der Maschengleichungen mittels „Elementarmaschen“
5.) So viele Knotenpunktsgleichungen aufstellen, wie zur Berechnung der unbekannten Ströme
notwendig sind
6.) Gleichungen „ordnen“, Einheiten beseitigen
a)
b)
Das Potential eines willkürlichen KNP wird „Null“ gesetzt.
Es werden p-1 KNP-Sätze angewendet (z.B.: P1 : I a + I 1 − I 4 = 0 )
c)
Ersetzen der Zweigströme durch die Potentiale, Quellspg. u. Leitwerte (z.B.:
I1 = (ϕ 2 − ϕ1 + U q1 ) ⋅ G1
d)
Einsetzen der Gleichungen in b) (z.B.: I a + (ϕ 2 − ϕ 1 + U q1 )G1 − (ϕ 1 − ϕ 0 + U q 4 )G 4 = 0 )
e)
Auflösen des GS nach ϕn in Matrizenschreibweise:
 − I b + U q1 ⋅ G1 
−G3 
G1 + G3
ϕ1 
= 


o
 
I d − I c + U q 2 ⋅ G2 
− G3
G + G3 
ϕ2 
{
14
1
44242443
44424443
MatrixDerKnotenpotentiale
Leitwertmatrix
Netzumwandlung:
Widerstandsdreieck in Widerstandsstern
R12 ⋅ R31
R23 ⋅ R12
R31 ⋅ R23
R1 =
; R2 =
; R3 =
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
Widerstandsstern in Widersandsdreieck
R ⋅ R + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
R ⋅ R + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
R ⋅ R + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
; R23 = 1 2
; R23 = 1 2
R12 = 1 2
R3
R1
R2
Überlagerungsmethode:
a) Bis auf eine Quelle alle Spannungs- und Stromquellen kurzschließen bzw. überbrücken (Ri
bleibt erhalten!)
b) Rges und Teilströme I ′( I ′′, I ′′′,...) berechnen
KNPbelastungsströmeUndQuellspg .
Elektrostatisches Feld
Coloumsches Gesetz: F =
1 Q1Q2
⋅
4πε 0 r ²
[F ] = [N ] (F ist die Feldkraft auf eine punktförmige Ladung Q)
Ws

AVs V 
F = Q⋅E
= m =
= 
As
As
m
 As


Die Richtung der elektr. Feldstärke ist gleich der Richtung der Kraft auf eine ruhende pos. Ladung.
Elektrische Feldstärke: E =
F
Q


[E ] =  N
Spannung und Potential: Wird eine Ladung Q um den Weg s im elektrostat. Feld verschoben, so ergibt sich:
2
-Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik 1 WS 2001/2002a)
bei α = 0° : cos α = 1 ⇒ W = Q ⋅ E ⋅ s ∧ W = Q ⋅ U
b)
α beliebig, E = konst. .: U = E ⋅ s ⋅ cos α
c)
α beliebig, E beliebig: U12 = E cos(α )ds
d)
α = 90° , E beliebig: cos α = 0 ⇒ W = 0
U=
1
Q
Q
λ
mit der Linienladungsdichte λ = gilt auch E =
~
l
2πεr
2πεrl r
Berechnung des Pot. eines Pkt. im Abstand r von einer Punktladung Q gegen einen Pkt:
E
U
bzw. E =
s
s
E=
r
2
∫
ϕP =
r0
1
Ermittlung der elektrischen Feldstärke aus der Potentialverteilung: E =
∆ϕ
∆ϕ = ϕ1 − ϕ 2 (Potentiale der
∆n
P
∫
ϕ p = ϕ 0 − E ⋅ ds = ϕ 0 − U 0 P
P0
∞
2
∫
2
∫
∫
∞
∞
∫
∫
U 12 = E ds = E ds + E ds = E ds − E ds = ϕ1 − ϕ 2 Spannungsangabe
1
∞
1
1
Q
4πε
2
ist nur zwischen zwei Punkten möglich, Potentialangabe ist für einen Punkt möglich, jedoch ist ein
dr
∫ r²
=
r0
Q
4πε
1 1
⋅  −
 r r0
D = εE
D1 = ε 1 E
∞
∫
Bezugspunkt nötig ϕ a = E ⋅ ds (Potentialdes Punktes a, wobei ϕ = 0 im ∞ .
a




D2 = ε 2 E
D3 = ε 3 E
D1 ε 1
=
D2 ε 2
∫
Erforderlicher Arbeitsaufwand bei der Verschiebung einer Ladung von a nach b und zurück: W = E ds = 0
Verschiebungsdichte: D = ε ⋅ E mit ε = ε 0 ⋅ ε r ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12
r
Potential in der Nähe von 2 Punktladungen:
Q
Überlagern ergibt ϕ p = ϕ1 + ϕ 2 (algebraische Addition)
ϕ1 / 2 = 1 / 2
4πεr1 / 2
Berechnung des Potentials eines Pkt im Abstand r von einer Linienladung gegen einen Bezugspkt. im
Abstand r0:
λ  r 
λ  r2 
ϕ P = ϕ0 −
ln
Für die Spg. gilt U 12 = ϕ1 − ϕ 2 =
ln 
2πε  r0 
2πε  r1 
Schichtdielektrikum:
Schichtung parallel zur Feldrichtung: E = konst.
U = E1 d = E 2 d = E3 d ⇒ E1 = E 2 = E3
Äquipotentiallinien); ∆n (Normalenabstand der Äquipotentiallinien)
Potential und Spannung:
∫
E dr =
As
(Influenz- bzw. Dielektrizitätskonst.)
Vm
Uq = E ⋅ d =
Berechnung elektrostatischer Felder:
Kugelsymmetrisches Feld:
D1
ε 0 ε r1
⋅d =
D2
ε 0ε r 2
⋅d =
D1 ε 1
=
D3 ε 3
D3
ε 0ε r 3
⋅d
Q = Q1 + Q2 + Q3 = D1 ⋅ A1 + D2 ⋅ A2 + D3 ⋅ A3 = C ges ⋅ U q
Schichtung senkrecht zur Feldrichtung: D = konst.
ψ e1 = ψ e 2 = ψ e3 = ψ e
∫
1
Q
~
E=
4πεr ² r ²
∫
ψ e = Q = D dA = D dA = D 4πr ²
ψ
ψ
Q ψ
= = e1 = e 2 = e3 = D = D1 = D2 = D3
A
A
A
A
A
E1 ε 2 ε r 2
D
D
D
E1 =
E2 =
E3 =
=
=
ε1
ε2
ε3
E 2 ε 2 ε r1
1
Q
mit D = ε ⋅ E folgt:
~
D=
4πr ² r ²
Berechnung der elektr. Feldstärke in einem beliebigen Raumpunkt die durch 2 Punktladungen bewirkt wird:
Q1
E1 =
4πεr1 ²
U q = E1 d1 + E 2 d 2 + E3 d 3 =
Q2
E2 =
4πεr2 ²
n
∑E
Dd
d
d 
 1 + 2 + 3 
ε 0  ε r1 ε r 2 ε r 3 
Q = D ⋅ A = C ges ⋅ U q
Gegeben: Gesamtspannung Gesucht: Feldstärken in den einzelnen Schichten
ε
ε
U
E1 =
E 2 = E1 r1
E3 = E1 r1
ε r1
εr
ε r2
ε r3
d1 +
⋅ d2 +
⋅ d3
Anwendung des Überlagerungsprinzips: E = E1 + E 2 Geom. Add.
Bei mehreren Punkladungen gilt: E =
Bei konst. Querschnitten folgt:
ψe
ε r2
k
ε r3
1
Annahme: l >> r
Zylindersymmetrisches Feld:
∫
ψ e = Q = D dA =
∫
Stirnflächen
∫
∫
Gegeben: Max. zul. Feldstärken der einzelnen Schichten
∫
D dA + D dA , da l>>r, dürfen Stirnflächen vernachlässigt werden
123
123
Q = DdA = D dA = D 2πrl
D d
d
d
U max = zul  1 + 2 + 3
ε 0  ε r1 ε r 2 ε r 3
Kapazität:
Mantelflächen
D=
1
Q
~
2πrl r
3




Gesucht: Max. zul. Gesamtspannung
-Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik 1 WS 2001/2002-
Q
=
C=
U
∫ DdA = ∫ ε E dA
∫ E ds ∫ E ds
Plattenkondensator:
Zylinderkondensator:
Da die Kapazität unabhängig von der Ladung und der Spannung ist, beträgt die Ersatzkapazität
C ⋅C
C e = 1 2 Damit ist die an den Klemmen Entnehmbahre Ladung: Qe = C e ⋅ U
C1 + C 2

 As
Einheit [C ] = 1
= 1F  (Farad)
V


U = E ⋅d ∧Q = D⋅ A
⇒
C=
Nach der Entnahme ist die Spannung zwischen den Klemmen 0, die Teilkapazitäten C1 / C 2 weißen jedoch
noch Restladungen auf: (Die Summe der Restspg. muss dabei 0 sein!)
Q′
Q′
U 1′ = 1
U 2′ = 2
Q1′ = Q1 − Qe
Q2′ = Q2 − Qe
C1
C2
εA
d
Q 2πεl
Voraussetzung: l>>ra C =
=
r
U
ln a
ri
Die Reihenschaltung wird mit Q1 ≠ Q2 wird an eine Netzspg. U N angebracht. Welche Ladung wird dabei
Kugelkondensator:
C=
4πεra ri
Q
4πε
=
=
1 1
U
ra − ri
−
ri ra
dem Netz entnommen? mit U 1′/ 2 =
Sonderfall: ra >> ri : C = 4πεri
Q Netz = C e ⋅ ∆U = C e (U N − U ) dann ist Q1′/ 2 = Q1 / 2 + Q Netz
Parallel zur Reihenschaltung mit Q1 ≠ Q2 wird ein Kondensator C 3 geschaltet, der zuvor an der Spannung
Kapazität einer Kugel im freien Raum ( ri = Kugelradius)
U 3 geladen wurde. Welche res. Spannung stellt sich dabei an der Parallelschaltung ein?
Doppelleitung:
Allgemein.: E Zyl =
Q
U res =
2πεlr
′ − U 21
′′ =
Überlagerung: U 12 = U 12
Q
πεl
a−r
⋅ ln

 r 
C=
Q
=
U 12
πεl
a−r
ln

 r 
n
∑C
We =
1
=
C ges
n
∑
1
1
Ck
c
c
(Energieänderung im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ t1
t =0
Fe = F =
∫
U 1 C ges
=
U
C1
Sonderfall: nur zwei Kondensatoren in Reihe C ges =
∫ u (t ) ⋅ i (t )dt
We =
1 εA
U²
2 d²
Ausgleichsvorgang beim Kondensator (Spg., Strom u. Ladung sind zeitlich veränderlich):
du
1
ic = C c
uc =
idt + U 0
dt
C
1
a) Laden eines Kondensators mit konstantem Strom u c = ⋅ I ⋅ t + U 0
C
b) Laden eines Kondensators über einen Widerstand
du
U q = τ ⋅ c + u c mit R ⋅ C = τ (Zeitkonstante)
dt
U = U1 + U 2
U1 C2
=
U 2 C1
Q²
1
CU ² =
2C
2
dWe 1
= ED
2
dV
Kraftwirkung zwischen den geladenen Kondensatorplatten:
1
dC
F = U²
2
ds
Reihenschaltung:
Wenn C1 und C 2 zu Beginn des Ladevorgangs ungeladen sind, ist nach dem Laden:
Q1 = Q2 = Q
dq = Cdu (im instationären Fall)
t =t1
Energiedichte im elektrostatischen Feld:
Qk
C
= k
Q ges C ges
k
1
Qres Qe + Q3
=
C res C e + C 3
Energie im elektrostatischen Feld:
Für die el. Arbeit gilt, wenn U und I konst.: W = U ⋅ I ⋅ t = Q ⋅ U
Laden eines Kondensators (Strom und Spg. sind dabei zeitabhängig):
dWe = uidt = udq
Q = CU (im stationären Zustand)
Kapazität einer Einfachleitung gegen eine leitende Oberfläche:
Vorraussetzung: h>>r
Anwendung des Spiegelprinzips
2πεl
C=
 2h 
ln 
 r 
Schaltungen von Kondensatoren:
Parallelschaltung:
Q1 / 2 = C1 / 2 ⋅ U
Q ges = Q1 + Q2 = U (C1 + C 2 ) = U ⋅ C ges
C ges =
Q′1 / 2
C1 / 2
C1 ⋅ C 2
C1 + C 2
−t

u c (t ≥ 0) = U q 1 − e τ


C
n
Reihenshaltung von Kondensatoren mit versch. Ladungen ( Q1 ≠ Q2 )
Sonderfall: n-gleiche Kondensatoren in Reihe C ges =
ic (t ≥ 0) = C
1

 (Spannung am Kondensator)


−t
e τ Uq =
Uq
τ
R
Stationäres Strömungsfeld in Leitern:
4
−t
e τ (Strom beim Kondensator)
-Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik 1 WS 2001/20022
∫
∫
U 12 = E ds = ϕ1 − ϕ 2
1
Zusammenhang zwischen der magn. Feldstärke und der magn. Flussdichte: B = µ ⋅ H wobei µ = µ 0 ⋅ µ r
∫ S dA = 0 (KNP-Satz)
I = S dA
Vs
(Permeabilität des Vakuums)
µ r (Permeabilitätszahl (Stoffeinfluss))
Am
Stoffunterteilung:
a) diamagnetische Stoffe µ r < 1 (z.B. Cu, Ag, H2O)
µ 0 = 1,256 ⋅ 10 −6
U
I
für das Homogenfeld gilt: E =
und S =
d
A
Zusammenhang zwischen der el. Feldstärke und der Stromdichte (S):
l
U UκA
I
U
mit R =
I=
=
⇒ =κ
⇒ S =κ ⋅E
R
l
A
l
κ⋅A
Ermittlung des Leitwertes aus der Kapazität der Elektrodenanordnung:
Kapazität C =
∫
∫
ε E dA
Q
=
U
E ds
C ε
=
G κ
⇒
Bsp.:
Leitwert G =
⇒
a) Plattenkondensator: C =
G=
∫
∫
d
κ εA κA
=
G= ⋅
d
ε d
2πεl
R
ln 
r
R Isol .
S=
I
4πr ²
E=
Übergangswiderstand RÜ =
Halbkugelerder:
S=
E=
R2
I
R2
dr
I  1
∫ Edr = 2πκ ∫ r ² = 2πκ  R
R1
S
κ
=
G=
2πκl
R
ln 
r
Λm =
1
R1
S
κ
−
I⋅N
l
[H ] = 1 A 
 m
I
4πκr ²

(magn. Leitwert)
n
∑V = ∫ H dl
k
Θ=
n
∑H
k
⋅ lk
1
Berechnung von magn. Feldern: (Vorraussetzung: µ r = konst. = 1 )
H=
Mit e I :Einheitsvektor der pos. Stromrichtung; r : Vektor des Abstands
=
I
2πκr ²
1
R2




I 
⋅  e I × r  Außerhalb Leiter

2πr ² 
I 
⋅  e I × r  Innerhalb
H=

2πR ² 
a) Magnetfeld eines stromdurchflossenen Einzelleiters
1
I
I
~
Ba = µ 0 ⋅ H a
Ha =
H a max =
2πR
2πr r
I
r
~r
Bi = µ 0 ⋅ H i
H i max =
Hi = I ⋅
2πR
2πR ²
b) Magnetfeld zweier paralleler mit entgegengesetzter Stromrichtung durchflossener Leiter
1 1
 + 
r r 
2 
 1
c) Magnetfeld zweier paralleler mit gleicher Stromrichtung durchflossener Leiter
H1/ 2 =
[V ] = [1A]
I
2πr1 / 2
H = H1 + H 2 =
I
2π
1 1
 − 
r r 
2 
 1
d) Magnetfeld über den Querschnitt eines Koaxialkabels
R ² − r²
r
I
I
r ≤ ri : H 1 = I
ri ≤ r ≤ Ri : H 2 =
Ri ≤ r ≤ R : H 3 =
⋅ a
2πri ²
2πr
2πr Ra ² − Ri ²
H1/ 2 =
Magnetischer Fluss Φ und magn. Flussdichte (Induktion) B :
Der magn. Fluss wird dargestellt durch die Gesamtheit der magn. Feldlinien. Er beschr. einen Zustand
[Φ ] = [1Vs = 1Wb] (Weber)
Die Flächendichte des magn. Flusses bezeichnet man als magn. Flussdichte (Induktion)
Φ
B=
[B] = 1 Vs = 1T  (Tesla)
Allg. gilt: Φ = B dA = B cos αdA
A

 m²
A
A
∫
 A
1
wobei N Windungszahl und l Leiterlänge
Magnetische Spannung V : Im Homogenfeld gilt V = H ⋅ l
[Λ m ] = 1 Vs = 1H 
Durchflutungsgesetz: Θ =
Magnetisches Feld
Magnetische Feldstärke H : H =
1
µ⋅A
=
Rm
l
a) Θ = I b) Θ = I − I = 0
Reihenschaltung von magn. Widerständen: Θ = ΦRm1 + ΦRm 2 = V1 + V2 (vgl. el. Stromkreis I ⋅ R = U )
R
ln 
r
1
=
=  
2πκl
G
1
U
=
I
4πκr0
I
2πr ²
U 12 =



A
m
1
l
=1 = 
(magn. Widerstand) [Rm ] = 1
Rm =
Vs H 
µ⋅A
 Vs m²

 Am
c) Θ = I 1 + I 2 − I 3 + I 4
κ
⋅C
ε
εA
B = µ 0 ⋅ H (da µ r ≈ 1 )
c) ferromagnetische Stoffe µ r >> 1 µ r = f ( H ) (siehe Hystereseschleife)
Koerzitivfeldstärke klein Æ magn. Weich ; Remanenz klein Æ magn. Hart
I⋅N
Θ
Durchflutung, Durchflutungsgesetz: Φ =
Θ = I ⋅ N (Durchflutung, magn. Erregung)
=
l
Rm
µ⋅A
κ E dA
I
=
U
E ds
b) Isolationswert eines Einleiterkabels: C =
Kugelerder:
b) paramagnetische Stoffe µ r > 1 (z.B. Al, Luft)
∫
I
2πr1 / 2
H = H1 + H 2 =
I
2π
e) Magn. Fluss in einem konzentrischen Ring um einen stromdurchflossenen Leiter
5
r ≥ Ra : H 4 = 0
-Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik 1 WS 2001/2002
 (magn. Fluss im Ring)


A
f) Magn. Fluss zwischen den beiden Leitern einer stromdurchfl. Doppelleitung der Länge l
∫
Φ = BdA =
R
µ0 ⋅ l
⋅ I ⋅ ln a
2π
 Ri
 a − r0 
µ ⋅l

Φ 1 / 2 = 0 ⋅ I ⋅ ln

2π
 r0 
Magnetische Kreise mit Eisen
a) Geschlossener Eisenkreis: H Fe =
Φ ges = 2 ⋅ Φ 1 / 2
 a − r0
µ ⋅l
= 0 ⋅ I ⋅ ln
π
 r0
Θ
ÆM.K.Æ B Fe
l Fe
Φ Fe = AFe ⋅ BFe
c) Ruhende Leiterschleife im zeitl. veränderl. Magnetfeld: u i = − N ⋅
d) Erzeugung einer Wechselspannung: u i = 21⋅ 4
a ⋅4
r2
⋅ N4
⋅ω
B ⋅ sin(ϖt )
4⋅3
uˆi




e) Unipolarmaschine: u i = B ⋅ π ⋅ n ⋅ R 2
Induktivität:
Ψ N ⋅Φ N²
L=
=
=
I
I
Rm
VFe = H Fe ⋅ l Fe
b) Eisenkreis mit Luftspalt: Θ = I ⋅ N = VFe + V L = H Fe ⋅ l Fe + H L ⋅ δ ( δ =Luftspalt)
ui = − N ⋅
Aufgabenstellungen: a) Φ
B Fe → M .K . → H Fe → l Fe → VFe → Θ
=2N4
⋅I
{ → AFe → {
14
3
{
{
Verzweigte magn. Kreise: KNP-Satz:
∑Φ
k
=0
Maschensatz:
Quellspannung U q
Magn. Fluss Φ
Magn. Wid. Rm
Strom I
El. Wid. R
Magn. Spg. Vk = H k ⋅ l k
El. Spg. U k = E k ⋅ l k
m
∑ Θ{ = ∑V = ∑ H
1
Analogien:
Durchflutung Θ
I ⋅N
i
1
i
Streufluss: Φ σ 1 , Φ σ 2
( )
F4
=2
I l43
×B
1
⇒
F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α
144
42444
3
Lorentzkraft
c) Kraft zwischen parallelen stromdurchflossenen Leitern: F1 = F2 = F = I 1 ⋅ I 2 ⋅
µ0 ⋅ l
2πa
Richtung:
F = I ⋅ (l × B)
Induktionsgesetz:
Ei = v ⋅ B ⋅ sin α
b
Spg. zwischen den Leitereneden
a
I ⋅B
d
RH =
µ0 ⋅ l
π
 a−r
+
ln
  r 
µ
(Hallkonstante)
κ
6
Selbsinduktionsspg.: u i1 / 2 = − L1 / 2 ⋅
di1 / 2
dt
Gesamtfluss: Φ 1 , Φ 2
Φ 2 = Φ 21 + Φ σ 2
σ + σ 2 + σ1 ⋅σ 2
σ = 1
≈ σ1 +σ 2
(1 + σ 1 )(1 + σ 2 )
N1 / 2 ⋅ Φ σ 1 / 2
= σ 1 / 2 ⋅ L1 / 2
I1 / 2
Φ 12 ⋅ Φ 21
=
Φ1 ⋅ Φ 2
M
L1 ⋅ L2
Elektronen im E- und B-Feld: F = e E + v × B 


F = Q⋅ v× B
b) Hallspannung: U H = RH ⋅
N1 ⋅ N 2
Rm12
di1 / 2
dt
Φ 1 = Φ 12 + Φ σ 1
Φ
= σ 1/ 2
Φ1/ 2
Kopplungsfaktor: k m =
Q n⋅e⋅ A⋅l
b) Kraft auf im Magnetfeld bewegte Ladungen: F = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sin α mit I = =
(n = Dichte der
t
t
Ladungsträger (cm³) ; e = Elementarladung; A = Leiterquerschnitt; l= Leitungslänge im Magnetfeld)
∫
Doppelleitung: L ges = La + 2 Li =
Streuinduktivitäten: Lσ 1 / 2 =
3 Finger Re gelDer Re chtenHand
U i = (v × B)dl = vBl sin α = −U q
l
µ⋅A
Gegeninduktionsspg.: u i12 / 21 = − M ⋅
a) Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im mag. Feld: F = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sin α
a) Bewegung eines Leiters im ruhenden Magnetfeld: Ei = v × B
(Henry)
Rm =
Gegeninduktivität: M 12 = M 21 = M =
⋅ li
1
Kräfte im mag. Feld:
( )

N² ⋅ µ ⋅ A
lm
Streufaktor: σ 1 / 2
l
= v (Geschw. der Ladungsträger) ⇒ F = n ⋅ e ⋅ A ⋅ l ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α
t
 A
Gegeninduktivität und Streuung:
m
k
[L] = 1 Vs = 1H 
dΦ −di
=
= −u l
dt
dt
Ringspule: L =
=2N4
⋅I
BL → µ 0 → H L → δ → VL → Θ
b) Φ
{ → AL → {
14
3
{
{
n
dΦ − dΨ
=
= −u q
dt
dt
Streufaktor: σ = 1 − k m2
 a 2 b3 − a 3 b 2 


a × b =  a 3 b1 − a1b3 
a b −a b 
2 1 
 1 2
1

4