3.2.2.2 a.) Magnetfeld Magnetfeld

Magnetfeld -Berechnung
3.2.2.2 a.) Magnetfeld
Elektr. Strom
„Magnetfeld“
im Vakuum/Luft bzw. in Materialien mit µr = 1
Kraft auf bewegte Ladungen
r
r
r
B = µ0 H
„magnetische Induktion“, magn. Flussdichte: B
r
(magn. Feldstärke, magn. Erregung:
H )
… aus reltivistischer Kraftberechnung bzw. Experiment
I
langer stromdurchfl. Draht:
µI
V
B (r ) = 0
2πr
B
r
F
Richtung von B :
q
r r
(q > 0)
• Kraft ergibt sich aus v u. B !
r
• Kraft ⊥v , zum Draht hin (bzw. von Draht weg)
r
r
r r
⇒ F = q (v × B ) ; B : tangential,
kreisf. Feldlinien um den Draht herum
[
]
B-Feld
Feld einer „elementaren Quelle“ :
Punktladung
kurzes stromduchfl. Element
Superposition
(Feld infinitesimaler Quellen überlagern)
Integral über Ladungsvertlg.
Biot-Savart’sches Gesetz
Ausnutzung der Symmetrie:
Gauß’scher Satz
Durchflutungsgesetz
Potentialdarstellung des Feldes, Lsg. der Poissongl.
Magnetfeld -Berechnung
µ0 I
2πr
−7
/
4π ⋅10 ⋅1000 Vs ⋅ A
= 0.004 T
Bsp.: 1000 A, r = 5 cm; B =
/ m⋅m
2π ⋅ 0.05 A
zum Vergleich:
• Erdmagnetfeld (am Äquator)
≈ 3 10-5 T
• Kernspintomograph (supral. Spule) 1.5 T
Durchflutungsgesetz (vergl. E-Feld, Gauß’scher Satz!)
langer, gerader stromdurchfl. Draht:
E-Feld
B (r ) =
Draht, Zylindersymmetrie : B(r ) ⋅ 2πr = µ 0 I
allg.: geschlossene Kurve, eingeschlossener Strom I
r r
Magnetfeld integriert über geschl Kurve: ∫ B ⋅ d s = µ 0 I
Elektr. Potential: ∆ϕ = −
ρ
ε0
v
r
„Vektorpotential“ ∆A = −µ 0 J
Magnetfeld -Berechnung
1.
Magnetfeld -Berechnung
r r
B
∫ ⋅ d s = µ0 I
Amperesches Durchflutungsgesetz:
2. Biot-Savart’sches Gesetz
punktf. Quelle
Linienquelle –
1
2d-Feldverteilg. ~
2πr
E-Feld
Q
„Linienladung“ λ =
l
1 λ
E (r ) =
ε 0 2πr
Lange Zylinderspule (N Windungen pro Länge l)
außen: B ≈ 0
innen:
homogenes Feld B
Vergleich mit E-Feld :
– 3d-Feldverteilg. ~
E-Feld
„Ladungselement“ d Q
r 1 dQ r
⋅ er
dE =
ε 0 4π rr 2
Richtung:
λ
B=0
l
E(r)
B-Feld
B
langer Draht
I
B (r ) = µ 0
2πr
I
r r
N
B
B ⋅ l + 01
+2
04
+30 = µ 0 N ⋅ I ⇒ B = µ 0 ⋅ I
4
∫ ⋅d s = {
l
innen
links/ rechts/ außen
B (r ) = µ 0
Biot-Savart’sches Gesetz:
r µ I
d B = 0 r 2 sin ϕ d s
⇒
4π r
N ⋅I
2πr
I
I
B-Feld
r r
radial, E || er
dQ rr
r
Strom in Elem. d s
r
r µ I ds r
d B = 0 r 2 × er
4π r
r
ds
B(r)
Ringspule (N Windungen)
r r
∫ B ⋅ d s = B(r ) ⋅ 2πr = µ0 N ⋅ I
1
4πr 2
ϕ
r
r
dB
r r
Richtung:
tangential, B⊥er
r
r r
(und: B⊥Drahtrichtung, B⊥ d s )
r r
r
µ 0 I (d s × er )
B=∫
r2
4π
r