QVB

Statische Magnetfelder
• In der Antike war natürlich vorkommender Magnetstein und seine
anziehende Wirkung auf Eisen bekannt.
• 12. Jahrhundert: Verwendung von Magneten in der Navigation.
• Pierre de Maricourt 1269: Eine Nadel, die sich in der Nähe eines Magneten
befindet, richtet sich entlang von Linien aus, die an sich
gegenüberliegenden Punkten des Magneten zusammenlaufen. Er nannte
diese Endpunkte Pole.
• Folgezeit: Untersuchung der Kräfte
Nordpol, Südpol
Ungleichnamige Pole ziehen sich an.
Gleichnamige Pole stoßen sich ab.
Magnetische Pole treten immer paarweise auf.
•
Hans Christian Oersted (1820): Elektrischer Strom übt eine Kraft auf eine
Kompassnadel aus
• André-Marie Ampère (1820): Elektrische Ströme üben magnetische Kräfte
aufeinander aus.
Magnetische Wechselwirkung: Kraft, die eine bewegte elektrische Ladung auf
eine andere bewegte elektrische Ladung ausübt.
Die Wechselwirkung wirdr durch ein Feld vermittelt. Ein elektrischer Strom
erzeugt ein Magnetfeld B , durch das auf bewegte Ladungen Kräfte ausgeübt
werden.
r
r r
Lorentzkraft: F = q ⋅ v × B
Eigenschaften:
• Die Kraft tritt nur auf wenn sich das Teilchen bewegt und ist proportional zu v.
• Die Kraft ist proportional zur Ladung q.
r r r r
r r
F
⊥
B
• Es gilt: F ⊥ v ,
und F = qvB sin( v , B ).
r
Einheit von B :
1N
1C ⋅1
m
s
=1
J
−2
=
1Vsm
= 1T (Tesla)
2 −1
Asm s
Richtungssinn: Rechte Hand Regel
r
• Daumen: v r
• Zeigefinger: Br
• Mittelfinger: F
r
Weitere Namen für das Magnetfeld B :
• magnetische Induktion oder
• magnetische Flussdichte
Ein Magnetfeld kann durch Feldlinien beschrieben werden.
Feldlinie: Gedachte Linie, die überall die Richtung des Magnetfeldes hat.
Beispiel:
Magnetfeld eines langen geraden
Leiters
I
r
B
Veranschaulichung des Magnetfeldes
mit Hilfe von Eisenfeilspänen, die sich
entlang des Feldes ausrichten.
Das Ampèresche Gesetz (Durchflutungsgesetz)
Das Linienintegral der magnetischen Feldstärke ist gleich der Stromstärke des
von der Linie umlaufenen Gesamtstromes.
r r
r r
∫ B ⋅ dl = ∫ H ⋅ dl = I
1
µ0
Linie
(in Vakuum oder Luft)
Linie
r
r
r
Magnetische Feldstärke H : B = µ r µ 0 H
−7
−1
Permeabilität: µ 0 = 4π ⋅10 V ⋅ s ⋅ A ⋅ m
−1
Permeabilitätszahl: µ r
Vergleich mit der Maxwell Gleichung: ε 0
r r
∫ E ⋅ dA = Q
Fläche
Beispiel: Magnetfeld eines unendlich langen, stromdurchflossenen Leiters
r
I
1
µ0
r
B
r r
∫ B ⋅ dl = I
Linie
r
⇒
µ 0 I = B ∫ dl = B ⋅ 2πr
Feld −
linie
⇒
B=
µ0 I
2πr
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
q
vD
A
l
Ein Abschnitt eines Drahtes mit der Länge l wird von dem Strom I durchflossen.
Befindet sich der Draht in einem Magnetfeld wirkt auf jede bewegte Ladung die
r
r
r
Lorentzkraft: F = q ⋅ v D × B
Gesamtladung in dem Abschnitt: Q = n ⋅ lA ⋅ q
r
r
r
Kraft auf alle Ladungsträger: F = nlA( q ⋅ v D × B )
Stromstärke in dem Abschnitt: I = n ⋅ q ⋅ A ⋅ v D
r r
r
Damit folgt: F = I ⋅ l × B
Übung: richtig oder falsch?
Zwei unendlich lange, im Abstand d
parallel verlaufende Leiter werden in
gleicher Richtung von Strömen
durchflossen.
• Es wirkt keine Kraft.
• Die Leiter ziehen sich an.
• Die Leiter stoßen sich ab.
Definition des Ampère
I1
r
r
B1
r
F2
I2
r
∆l 2
r
Lorentzkraft auf den Leiterabschnitt ∆l 2 :
r r
r
F2 = I 2 ⋅ ∆l 2 × B1 ⇒ F2 = I 2 ⋅ ∆l 2 ⋅ B1
r
Magnetfeld des ersten Leiters am Ort von ∆l 2 :
µ 0 I1
B1 =
2πr
r
µ I
Betrag der Kraft F2 auf das Stromelement I 2 ⋅ ∆l 2 : F2 = I 2 ⋅ ∆l 2 ⋅ 0 1
2πr
µ II
F2 µ 0 I1 I 2
Kraft pro Länge:
=
= 2⋅ 0 ⋅ 1 2
∆l 2
2πr
4π r
Definition: Wenn in zwei geradlinigen, parallelen, langen geraden Leitern, die
einen Abstand von 1m voneinander haben, Ströme gleicher Stärke fließen,
dann ist der Strom in jedem der beiden Leiter genau 1A, wenn die Kraft pro
−7
Einheitslänge von 1m zwischen den Leitern 2 ⋅10 N/m beträgt.
Bewegung einer Punktladung in einem homogenen Magnetfeld
Das Magnetfeld zeigt in die Ebene hinein.
r r
F ⊥ v : Der Betrag der Geschwindigkeit und
r
r
F
somit die kinetische Energie bleiben
konstant. Kreisbahn
r r
B ⊥ v ⇒ F = qvB
2
mv
Zentripetalkraft = Lorentzkraft:
= qvB
r
mv
+q
⇒ r=
qB
 mv 
2π  
qB  2πm
2πr

Zeit für einen Umlauf auf der Kreisbahn: T =
=
=
v
v
qB
r
v
Umlauffrequenz (Zyklotronfrequenz): υ =
1
qB
=
T 2πm
Übungen:
1. Eine Kathodenstrahlröhre befindet
sich waagerecht
in einem Magnetfeld.
r
Der Vektor B zeigt senkrecht nach
oben. Auf welcher der fünf Bahnen
bewegen sich die von der Kathode
emittierten Elektronen?
r
B
2. Richtig oder Falsch?
Durch die magnetische Kraft wird ein geladenes Teilchen nicht beschleunigt,
weil die Kraft senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor wirkt.
3. Ein positiv geladenes Teilchen bewegt sich in einem Magnetfeld nach Norden.
Der Vektor der auf das Teilchen wirkenden Kraft zeigt nordostwärts.
• Das Magnetfeld zeigt nach Westen?
• Das Magnetfeld zeigt in die Ebene hinein?
• Das Magnetfeld zeigt aus der Ebene hinaus?
• Die Kraft kann nicht nach Nordosten zeigen!
Das Zyklotron (Teilchenbeschleuniger)
• Magnetfeld steht senkrecht auf den D’s.
• Zwischen den metallischen D’s besteht
ein Potentialgefälle, welches mit der
Periode T oszilliert.
Bild: http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklotron
• Bei jedem Durchqueren der Lücke wird das geladene Teilchen durch ein
Potentialgefälle ∆ϕ beschleunigt und gewinnt die kinetische Energie:
q ⋅ ∆ϕ = 1 / 2mv 2
• Die maximale Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Außenradius der D’s zu:
mv
r=
qB
⇒
qBr
v=
m
⇒ E kin
1 (qBr ) 2
=
2 m
• typisch: 50 bis 100 Umdrehungen, Protonen: Energie ca. 20 MeV
Wienscher Geschwindigkeitsfilter
• Kombination von einem elektrischen und einem magnetischen Feld.
• Geladene Teilchen, die eine bestimmte Geschwindigkeit besitzen passieren
den Filter unabgelenkt.
+
r
Fmag
r
Fel
r
E
r
v
-
r
Magnetfeld B zeigt in die Ebene hinein
Auf ein Teilchen mit der Ladung q wirken:
r
r r
Fmag = q ⋅ v × B nach oben
r
r
nach unten
Fel = q ⋅ E
q ⋅v⋅ B = q ⋅ E
⇒
v=
E
B
Das Massenspektrometer
Gemessen wird das Verhältnis q/m von Ionen. Ist die Ladung bekannt kann
so z. B. das natürliche Isotopenverhältnis bestimmt werden.
2r
U
- +
+
q
Ionenquelle
1 2
Kinetische Energie der Ionen: qU = mv
. 2
Im Magnetfeld beschreiben die Ionen einen Halbkreis, treffen im Abstand 2r
vom Eintrittsspalt wieder auf und werden detektiert.
2 2 2
mv
r
q B
Aus r =
folgt v 2 =
qB
m2
1 r 2q 2 B 2
⇒ qU = m
2
m2
q B2 2
⇒
=
⋅r
m 2U
Das magnetische Moment
r
B
r
F2
I
b
a
r
F1
Das Kräftepaar übt ein Drehmoment auf die Leiterschleife aus.
Für den Betrag gilt: M = F1 ⋅ b = aIB ⋅ b = IAB
Orientierung einer stromdurchflossenen Spule:
r
n
I
r
n =1
r
r
Der Normalenvektor n und das Magnetfeld B schließen den Winkel θ ≠ 90° ein:
r
r
M = F1 ⋅ b sin θ = aIB ⋅ b sin θ = IAB sin θ
n
F2
r
r r
⇒ M = IA ⋅ n × B
I
θ r
r
r r
Spule mit N Windungen: M = NIA ⋅ n × B
θ
B
r
r
r
F1
Magnetisches Moment : p mag = NIA ⋅ n
r r
r
b ⋅ sin θ
Drehmoment: M = p mag × B
Drehimpuls und magnetisches Moment
+q r
v
r
r r
Drehimpuls: L = m ⋅ r × v
⇒
r
r
Magnetisches Moment: p mag
Strom: I =
q
T
Umlaufdauer: T =
⇒ pmag = Iπr 2 =
2πr
v
L = m⋅r ⋅v
r
2
= IA ⋅ n ⇒ p mag = Iπr
⇒ I=
q qv
=
T 2πr
r
qv
1
q
⋅ πr 2 = q ⋅ v ⋅ r =
⋅ L bzw.: pr mag = q ⋅ L
2πr
2
2m
2m
Übungen:
Kann der Drehimpuls eines Teilchens verschieden von Null sein und gleichzeitig
sein magnetisches Moment gleich Null sein?
• ja
• nein
Kann das magnetische Moment eines Teilchens verschieden von Null sein und
gleichzeitig sein Drehimpuls Null sein?
• ja
• nein
Das magnetische Feld von Strömen: Gesetz von Biot und Savart
r
dB
r
Idl
θ
r
r
P
r rr
Idl ×
r µ0
r
⋅
dB =
4π
r2
Vergleich mit elektrischem Feld einer Ladung dq:
r
dE =
r
1 dq r
4πε 0 r 2 r
Magnetfeld einer beliebigen Leiteranordnung in einem Punkt P:
Integration über alle Stromelemente
Beispiel: Magnetfeld einer Leiterschleife
1. Magnetfeld im Koordinatenursprung: Die Schleife liegt in der xy- Ebene:
y
r
Idl
r
r
r r
dl ⊥ r
x
z
B = ∫ dB =
r rr
Idl ×
r µ0
r
dB =
⋅
,
2
4π
r
r r
µ Idl ⋅ sin( dl , r )
dB = 0 ⋅
4π
r2
µ 0 Idl ⋅ sin(90°) µ 0 Idl
dB =
⋅
=
4π
4π r 2
r2
µ0 I
µ0 I
µ0 I
dl
r
=
⋅
2
π
=
∫
2R
4πR 2
4πR 2
2. Magnetfeld in einem Punkt auf der z-Achse:
y
µ0
4π
µ
dB = 0
4π
dB =
r
Idl
dBy
θ
r
r
r θ
dB
R
x
Idl ⋅ sin(90°)
r2
Idl
⋅ 2
(z + R2 )
⋅
Integrieren über alle Stromelemente:
Nur die z-Komponente bleibt übrig.
dBz
dB z = dB ⋅ sin θ
z
µ0
µ0
IR
Idl
R
dl
=
⋅
⋅
⋅
2
2 3/ 2
2
2
2
2
2
2
4π ( z + R )
4π ( z + R ) z + R
z +R
µ
µ0
IR
IR
B z = ∫ dBz = 0 ⋅ 2
dl
=
⋅
⋅ 2πR
2 3/ 2 ∫
2
2 3/ 2
4π ( z + R )
4π ( z + R )
dBz = dB ⋅
R
=
µ 0 2 pmag
⋅ 3
für z >> R : Bz =
4π
z
2 pmag
µ0
µ0
2 IπR 2
Bz =
⋅ 2
=
⋅ 2
2 3/ 2
4π ( z + R )
4π ( z + R 2 ) 3 / 2
Vergleich: Elektrischer Dipol
EDipol
l
1 2 pel
=
⋅ 3=
2πε 0 y
4πε 0 y 3
Q
Übung:
z
y
x
Stromschleife 1
in der yz-Ebene
Stromschleife 2
in der xy-Ebene
Richtig oder falsch?
• Das Drehmoment auf die Stromschleife 2 zeigt nach vorne, aus der Ebene
heraus.
• Das Drehmoment auf die Stromschleife 2 zeigt nach hinten, in die Ebene hinein.
• Es wirkt kein Drehmoment auf die Schleife 2, sondern eine Kraft nach rechts.
• Es wirkt kein Drehmoment auf die Schleife 2, sondern eine Kraft nach links.
• Es wirken weder eine Kraft noch ein Drehmoment, weil die Schleifen senkrecht
zueinander orientiert sind.