Lösung 2

Physik III
Übung 2 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Stand: 20.12.2012
Aufgabe 1 [P] Diskussion: Zyklo oder Synchro?
Warum hat man neben den Zyklotrons noch die Synchrotrons zur Beschleunigung von Teilchen
entwickelt? Was sind Unterschiede/Gemeinsamkeiten?
Lösungshinweise:
In einem Zyklotron gibt es verschiedene Grenzen für die maximale Energie. Zunächst der Durchmesser - will ich die beschleunigten Teilchen schneller machen (ihnen höhere Energie geben),
so muss ich das Zyklotron vergrößern bzw. das Magnetfeld stärker machen. Beides geht nur
bis zu gewissen Grenzen. Weiterhin versagt das Prinzip im relativistischen Geschwindigkeitsbereich, da die beschleunigten Teilchen sich dann nicht mehr synchron zum beschleunigenden
elektrischen Feld bewegen.
In einem Synchrotron dagegen wird der Bahnradius der Teilchen konstant gehalten, dafür variiert das Magnetfeld mit der Zeit. Sind die beschleunigten Teilchen langsam, ist es niedrig.
Während der Beschleunigung wird dann kontinuierlich das Magnetfeld der Magneten, die das
Teilchen auf der Bahn halten vergrößert. Hiermit lassen sich relativistische Energien erreichen,
die größten aktuellen Beschleuniger sind diesen Typs (z.B. LHC/CERN, FAIR/GSI). (Einschub:
Synchrotrons werden ab gewissen Energien dann durch Effekte der Bremsstrahlung limitiert,
dies ist aber nicht Inhalt von Ex III).
Es gibt verschiedene Übergangstypen zwischen beiden Beschleunigern: Das Isochrone Zyklotron, hier verändert sich das Magnetfeld über den Ort, es wird zum Rand des Zyklotrons stärker
und das Synchrozyklotron, bei dem sich die Frequenz des beschleunigenden Feldes mit der Zeit
ändert.
Aufgabe 2 [P] Diskussion: Magnetisches Perpetuum Mobile?
n
s
Betrachte das Bild. Die Kugel wird vom Magneten angezogen, rollt auf der schiefen Ebene nach oben, fällt
durch das Loch und rollt auf der unteren Schiene nach
unten. Dort kommt sie wieder aus dem Loch. Das ganze
wiederholt sich ständig. Das ist ein Perpetuum Mobile!
Oder? Diskutiert!
1
Lösung:
Das geht natürlich nicht! Der Magnet zieht die Kugel ja auch auf der Schiene an. Es ist höchstens
vorstellbar, dass die Kugel durch das Loch fällt, und dann etwa mit einer Schwingung beginnt.
Aufgabe 3 [P] Kreisring schwing!
Eine kreisförmige Leiterschleife mit Radius R befindet sich in einem homogenen Magnetfeld der
Stärke B. Durch die Schleife fließt ein Strom I, wodurch ein magnetisches Dipolmoment erzeugt
wird. Zunächst ist dieses Moment parallel zum Magnetfeld ausgerichtet.
a) Der Kreisring wird um einen kleinen Winkel ausgelenkt. Bestimme eine Bewegungsgleichung
für die Auslenkung des Kreisrings.
b) Wie groß ist Schwingungsfrequenz des Rings?
Lösungshinweise:
a) Wir kennen noch für Drehmomente:
M = J ϕ̈
Für einen Kreisring, der sich um eine Achse durch die Fläche und den Mittelpunkt dreht ist
J = mR2 . Das Drehmoment, welches das Magnetfeld auf diesen Ring ausübt, wenn er um ϕ
ausgelenkt wird, ist:
M = −mm B sin ϕ = −IπR2 B sin ϕ ≈ −IπR2 Bϕ
Die Bewegungsgleichung kann daher wie folgt aufgestellt werden:
mR2 ϕ̈ = − IπR2 Bϕ
mϕ̈ = − IπBϕ
b) Das ist die schon hinlänglich bekannte Schwingungsgleichung. Man kann also den folgenden
Lösungsansatz wählen:
ϕ(t) = A0 sin ωt
Die Kreisfrequenz der Schwingung ist dann
Ç
ω=
IπB
m
,
die Frequenz ist
ν=
ω
2π
r
=
IB
4πm
2
Aufgabe 4 [H] Diskussion: Messung von Suszeptibilitäten
Überlegt euch, wie man Suszeptibilitäten verschiedener Stoffe (u.a. auch von Gasen) messen
kann.
Lösungshinweise:
Für Feststoffe kann man die Methoden nach Gouy oder Faraday einsetzen. Dabei wird die Änderung der Kraft auf eine Probe mit und ohne Magnetfeld gemessen. Bei beiden Verfahren muss
das Magnetfeld inhomogen sein, d.h. einen Gradienten aufweisen. Günstigstenfalls ist dieser
konstant, dies wird etwa bei der Faraday-Methode durch geschickte Form der Magnetpolschuhe
erreicht.
(Vgl. Vorlesung: Wir hatten an eine Balkenwaage auf einer Seite eine Probe des zu messenden
Materials angehängt, mit Gewichten wurde die Waage ins Gleichgewicht gebracht. Die Probe
haben wir dann in ein Magnetfeld gehängt. Wir hätten durch eine Messung der Kraft auf die
Probe die Suszeptibilität quantitativ bestimmen können).
Flüssigkeiten und Gase können durchaus auch nach der oben genannten Methode vermessen
werden indem man die jeweilige Substanz in ein Gefäß füllt, und das Gefäß statt des Feststoffes
in das Magnetfeld hängt.
Daneben gibt es noch die Steighöhenmethode, bei der sich die zu messende Flüssigkeit (auch
möglich für Gase) in einem U-Rohr befindet. Eine Hälfte des Rohres befindet sich im magnetischen Feld, dadurch verändert sich (bei dia/para/ferro-magnetischen Materialien) der Flüssigkeitspegel. Daraus kann dann die Suszeptibilität bestimmt werden.
Aufgabe 5 [P] Homer und das Magnetfeld
I
Wenn man um einen Torus (ähnlich einem Donut) Draht wickelt, erhält man eine Toroidspule oder Kreisringspule. Das Innere des Torus hat
den Radius ri = 1cm, ein Kreis durch den Mittelpunkt der Röhre den Radius R = 20cm. Im Inneren der Spule sei zunächst ein Vakuum, die Spule
hat N = 2000 Wicklungen.
R
ri
a) Bestimme mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes
das Magnetfeld an einem Punkt im Inneren der
Ringröhre. Wie groß ist das Feld außerhalb der
Toroidspule?
Der Torus wird nun mit flüssigem Sauerstoff gefüllt (χm = 4 × 10−3 ).
b) Wie groß ist die Magnetisierung M in der Mitte des Querschnitts der Röhre?
c) Wie groß ist das Magnetfeld B dort nun?
c) Berechne die prozentuale Zunahme des Magnetfeldes an dieser Stelle, die der flüssige Sauerstoff verursacht.
3
Lösungshinweise:
a) Ampère’sches Gesetz
I
~ · ~dl = µ0 I c
B
C
Wir legen den Ursprung des Koordinatensystems auf den Mittelpunkt des Torus.
Für einen beliebigen Weg ganz außerhalb des Torus (r > R + ri ) heben sich die Ströme durch
die von diesem Weg begrenzten Fläche immer auf. Daher ist das Magnetfeld null.
Für Wege im inneren des Torus (r < R − ri ) gibt es gar keine Ströme durch die eingeschlossene
Fläche. Das Magnetfeld ist hier ebenfalls null.
Spannend ist also nur der Bereich im Querschnitt des Torus. Aus Symmetriegründen bietet es
sich an, als Weg einen Kreis zu wählen, zu diesem Weg ist das Magnetfeld in dieser Anordnung unter den üblichen Näherungen immer tangential zum Weg (das steckt man durch die
Symmetrie von außen in die Rechnung hinein).
Dann gilt
I
~ · ~dl = B2πr = µ0 I c = µ0 N I
B
C
B=
µ0 N I
2πr
b) In a) wurde quasi B0 berechnet.
M = χm H =
χ m B0
µ0
=
χm N I
2πr
c)
B = µ0 (1 + χm )H = (1 + χm )
µ0 N I
2πr
d)
B − B0
B0
=
µ0 χ m N I
2πr
µ0 N I
2πr
= χm = 0.004 = 0.4 %
4
Aufgabe 6 [H] Forces in magnetic fields (again...)
y
a) A positron with a kinetic energy of 2 keV moves into
~ of magnitude 0.1 T. The
a uniform magnetic field B
velocity vector and the magnetic field enclose an angle
of 89◦ . Find period, pitch and radius of the path of the
positron.
b
5 cm
a
Clue: Pitch means the distance between two adjacent
turns of the particle.
3 cm
x
b) The wire depicted in the figure carries a current I =
~ = (0, 0, 1 T)> is
2 A from a to b. A magnetic field B
present. Calculate the magnetic force (magnitude and
direction) on the wire. Compare the result to the force
on a wire that connects a and b directly.
Lösungshinweise:
α = 89◦
m = 9.1 × 10−31 kg
a) Zunächst berechnen wir den Radius durch Gleichsetzen von Zentripetalkraft und der magnetischen Lorentzkraft, die das Positron auf der Kreisbahn hält. Da für die Lorentzkraft nur die
Komponente der Geschwindigkeit eine Rolle spielt, die senkrecht zum Magnetfeld ist, können
wir die Bewegung in eine Überlagerung aus einer energieerhaltenden Kreisbewegung senkrecht
zum Feld und einer gleichförmigen Bewegung parallel zum Feld beschreiben.
m
v2
r
=qv B sin α
r=
=
mv
qB sin α
p
2Em
qB sin α
=1.5 mm
Für die restlichen Größen brauchen wir die Geschwindigkeitskomponenten parallel und senkrecht zum Feld:
r
~
B
2E
cos α
v k =~
v · = v cos α =
B
m
r
2E
v ⊥ =v sin α =
sin α
m
5
Die Periode ergibt sich aus der Geschwindigkeit auf der Kreisbahn
T=
2πr
v⊥
=
2πm
qB sin2 α
= 3.5 × 10−10 s
Das Wort pitch steht in diesem Zusammenhang für die Steighöhe der Helix, also die parallele
Verschiebung zwischen zwei Kreisbahnen.
r
p = vk T =
2E
m
cos α
2πm
qB sin2 α
= 0.17 mm
b) Es gilt
~
F~ =I ~L × B
~L1 =3 cm ~e x
~L2 =5 cm ~e y
~ + ~L2 × B
~)
F~ab =I(~L1 × B

 

0.06
5 cm B

 

=I  −3 cm B  =  −0.1  N
0
0
Für den direkten Weg gibt es den Vektor L3 = (3 cm, 5 cm, 0)> . Damit ist
F~d i r = F~a b
Allgemein spielt es bei konstantem Strom keine Rolle, wie die Ladungen ihr Ziel erreichen.
Wichtig ist nur der End-zu-End-Vektor der Leitung.
Aufgabe 7 [H] Hall-Effekt
In einem magnetischen Feld in z-Richtung Bz = 0.65 T wird ein Metallstreifen eingebracht.
Er ist d = 150 µm breit und b = 10 µm dick (Dicke verläuft in z-Richtung). Der Länge nach
(senkrecht zu Breite und Dicke) fließt ein Strom von I = 23 A durch den Leiter.
a) Wie groß ist die Potentialdifferenz quer zum Strom (entlang der Breite)? (Ladungsträgerdichte im Streifen: n = 8.47 × 1028 m13 )
b) Wie groß ist das Verhältnis aus dieser Feldstärke und einer Feldstärke Ec , die den Strom I
treibt? (Spezifischer Widerstand des Metalls: 1.69 × 10−8 Ωm
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Lösungshinweise:
a) Die Lorentzkraft steht hier senkrecht zu B-Feld und Stromfluss, sie zeigt in Richtung der Breite. Das ausgebildete Potential erzeugt ein elektrisches Feld, das diese Kraft gerade kompensiert.
Skalar betrachtet gilt
Fel =Eq =
U
d
q
Fl =qv d B
U =v d Bd
Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen kann man über Stromdichte j =
dichte bestimmen.
vd =
j
nq
=
I
A
und Ladungsträger-
I
bdnq
Eingesetzt:
U=
IB
bnq
= 1.1 × 10−4 V
b) l ist die Länge des Metalls in Richtung des Stroms. Wir verwende das Ohmsche Gesetz Uc =
RI = ρ Al
Ec =
E
Ec
=
Uc
B
ρnq
l
=
RI
l
=
ρI
bd
= 2.8 × 10−3
Aufgabe 8 [H] Curie und das Magnetfeld
a) Zeige mit Hilfe des Curie’schen Gesetzes, dass für die Suszeptibilität eines paramagnetischen
m µ M
Stoffes gilt χm = m3kT0 s .
b) Berechne die Sättigungsmagnetisierung von Aluminium.
c) Berechne χm für Aluminium bei T = 300K.
Hinweis: Dichte von Aluminium ρal = 2.7g/cm3 , molare Masse Mal = 27g/mol, das magnetische
Moment ist ein Bohr’sches Magneton.
Lösungshinweise:Diese Aufgabe haben wir aus dem Tipler entlehnt, der Folgendes als CurieGesetz definiert
M=
mm B0
3kB T
Ms
7
In anderen Büchern, z.B. Gerthsen, findet man auch oft
C
χ=
T
als Curie-Gesetz. Teilaufgabe a) macht natürlich nur für die erste Version Sinn.
a)
M=
χm B0
µ0
mm µ0 Ms
χm =
3kB T
b)
Ms = nmm =
NAρal
Mal
µ b = 5.58 × 105
A
m
c)
χm =
mm µ0 Ms
3kB T
= 5.23 × 104
Aufgabe 9 [H] Quadratur des Kreises
Durch einen Kreis mit Radius r und ein Quadrat der Kantenlänge 2r fließt der gleiche Strom I.
Wie groß ist das Verhältnis der Magnetfelder im Mittelpunkt des Kreises bzw. des Quadrates?
Lösungshinweise:
Für den Kreis integriert man bei Biot-Savart einfach über den gesamten Umfang, der Strom
fließt immer tangential zum Radius:
B=
µ0
4π
µ0 I
I2πr =
2r
Für das Quadrat berechnet man das Feld eines Leiterstücks (z.B. mit der Formel aus der ersten
Übung) mit y0 = x 0 = r = 2L :
B=
µ0 I
4π y0
(− Ç
1
−Ç
y02
1 + (L−x
2
0)
1
1+
y02
)
x 02
µ0 I
1
1
(− p − p )
4πr
2
2
µ0 I
=− p
2 2πr
=
Für alle 4 Seiten:
µ0 I
|Bq | = 4 p
=
2 2πr
p
2µ0 I
πr
8