2 Prädikatenlogik

Logik für Informatiker
2
Wintersemester 2013/14
Prädikatenlogik
In der Prädikatenlogik kann man die in der Aussagenlogik bereits
betrachteten atomaren Aussagen eleganter formulieren:
A = „Bayern München ist deutscher Fußballmeister“:
deutscher _fussballmeister (’Bayern Muenchen’, 2013 ).
B = „eine Stadt mit mindestens 100000 Einwohnern ist groß“:
grosse_stadt(Stadt) ← einwohner (Stadt, X ) ∧ X ≥ 100000 .
C = „Würzburg hat über 300.000 Einwohner“:
einwohner (’Wuerzburg’, 300000 ).
Dann kann man generische Aussagen machen. Z.B. ist die Formel zu B auf
alle Städte mit mindestens 100000 Einwohnern anwendbar.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
150
Logik für Informatiker
2.1
Wintersemester 2013/14
Grundbegriffe der Prädikatenlogik
Erweiterung der Aussagenlogik um
Variablen–
Funktions–
Prädikaten–
)
U, V, W, X, Y, Z
Symbole
f, g, h
a, b, c
p, q, r
und Quantoren:
• Existenzquantor: ∃,
• Allquantor: ∀.
Die bekannten Junktoren ∧, ∨, ¬ und → sind weiterhin erlaubt.
Wir nehmen im Folgenden meist an, daß Variablensymbole mit
Großbuchstaben beginnen, und daß Funktions– und Prädikatensymbole mit
Kleinbuchstaben beginnen oder in Hochkommata eingeschlossen sind.
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Logik für Informatiker
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Beispiel (Prädikatenlogiche Formeln)
1. Konvergenz, Grenzwert:
limn→∞ f (n) = a ist in der Analysis definiert als
∀ ǫ > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 |f (n) − a| < ǫ.
Hier sind – ausnahmsweise – ǫ, n0 und n Variablensymbole (nur über
diese kann man quantifizieren), 0, a, f , − und || sind
Funktionssymbole, und >, ≥ und < sind Prädikatensymbole.
Funktionssymbole ohne Argumente – wie 0 und a – nennt man auch
Konstantensymbole; ihre Stelligkeit ist 0. f und || sind 1–stellig, − ist
2–stellig. Hier sind auch alle Prädikatensymbole 2–stellig.
Für f (n) = 1/n gilt z.B. limn→∞ f (n) = limn→∞ 1/n = 0 = a.
Für jede vorgegebene reelle Zahl ǫ > 0 existiert ein n0 ∈ IN , etwa
n0 = ⌈1/ǫ⌉ + 1, so daß für alle n ≥ n0 gilt |1/n − 0| < ǫ.
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Logik für Informatiker
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2. Konjunktion:
(∃ Jahr weltmeister (brasilien, Jahr )) ∧
(∀ Jahr ¬weltmeister (nigeria, Jahr ))
• Brasilien war bereits Fußballweltmeister, d.h.:
es gibt ein Jahr, in dem Brasilien Fußballweltmeister war;
• Nigeria aber noch nicht.
3. Implikation:
∀ Stadt ∀X ( grosse_stadt(Stadt) ←
einwohner (Stadt, X ) ∧ X ≥ 100000 )
ist äquivalent zu
∀ Stadt ( grosse_stadt(Stadt) ←
∃X ( einwohner (Stadt, X ) ∧ X ≥ 100000 ) )
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4. Die unendliche Formelmenge M = { Fn | n ∈ IN0 } aus Kapitel 1 mit
W∞
F0 = A1 ∨ A2 ∨ . . . = n=1 An ,
Fn = ¬An , für n ∈ IN+ ,
mit der unendlichen – in der Aussagenlogik eigentlich nicht erlaubten –
Disjunktion F0 kann man für An = p(n) in der Prädikatenlogik als
eine Formel G1 ∧ G2 ausdrücken mit
G1 = ∃n ∈ IN+ p(n),
G2 = ∀n ∈ IN+ ¬p(n).
Auch hier ist – ausnahmsweise – n wieder ein Variablensymbol.
Die unendliche Formelmenge M ′ = { G1 } ∪ { ¬p(n) | n ∈ IN+ }
zeigt, daß der Kompaktheitssatz in der Prädikatenlogik nicht gilt.
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Syntax
Wir setzen folgende abzählbaren Mengen voraus:
• Variablensymbole:
V = { X1 , X2 , . . . },
• Funktionssymbole: F = { f1 , f2 , . . . },
• Prädikatensymbole: P = { p1 , p2 , . . . }.
Jedes Funktions– bzw. Prädikatensymbol hat eine Stelligkeit k ∈ IN0 .
Schöningh schreibt fik , pki , wir schreiben fi /k, pi /k.
Allerdings kann dasselbe Funktions– bzw. Prädikatensymbol in einer
Formel mit unterschiedlichen Stelligkeiten auftreten. In
f (f (a), f (a, a, a))
ist das erste Auftreten von f zweistellig, das zweite einstellig, und das dritte
dreistellig. Eigentlich handelt es sich dabei um unterschiediche
Funktionssymbole f /2, f /1 und f /3 mit demselben Namen f .
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Induktive Definitionen
Terme
1. Jedes Variablensymbol X ∈ V ist ein Term.
2. Ist f ein Funktionssymbol der Stelligkeit k, und sind t1 , . . . , tk
(ebenso viele) Terme, so ist auch f (t1 , . . . , tk ) ein Term.
3. Ist k = 0, so schreibt man kurz f ausstelle von f (), und man nennt f
dann eine Konstante.
Beispiel (Terme)
• f1 (X2 ),
• f3 (f2 , f1 (X3 )).
Stelligkeiten:
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f1
f2
f3
1
0
2
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Formeln
1. Für ein k–stelliges Prädikatensymbol p und Terme t1 , . . . tk ist
p(t1 , . . . , tk ) eine atomare Formel.
Falls k = 0 ist, so schreiben wir kurz p anstelle von p().
2. Für jede Formel F ist auch ¬F eine Formel.
3. Sind F1 und F2 Formeln, so auch (F1 ∧ F2 ) und (F1 ∨ F2 ).
4. Falls X ein Variablensymbol ist und F eine Formel, so sind auch
∃X F und ∀X F Formeln.
Man kann wieder redundante Klammerpaare weglassen, und Teilformeln
werden analog zur Aussagenlogik definiert.
Man könnte weitere Formeln mittels anderer Junktoren bilden, z.B. die
Implikation F1 → F2 . Andererseits könnte man diese Formel auch wie
¬F1 ∨ F2 auffassen.
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Beispiel (Formeln)
1. In der Formel
F = (∃X1 p1 (X1 , f1 (X2 ))) ∨ (∀X2 p2 (X2 , f3 (f2 , f1 (X3 ))))
haben die Prädikatensymbole die folgenden Stelligkeiten:
p1
p2
2
2
2. Man kann auch über Variablensymbole quantifizieren, die nicht in der
betroffenen Formel vorkommen: F = ∀X p(Y ).
3. In der folgenden Implikation bezeichnen die beiden Vorkommen von X
dasselbe: F = ∀X ( student(X) → person(X) ).
4. In F = ∀X ( p(X ) → ∃X q(X) ) bezieht sich die Allquantifizierung
∀X auf p(X), die Existenzquantifizierung ∃X auf q(X). Es gibt
keinen Zusammenhang zwischen den beiden Vorkommen von X.
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158
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Klammerungsregeln
1. Wir nehmen an, daß die Quantoren am stärksten binden. D.h.
QX F ⊗ G bedeutet (QX F ) ⊗ G,
für einen Quantor Q ∈ { ∀, ∃ } und einen Junktor ⊗ ∈ { ∧, ∨, → }.
Z.B. bedeutet
∀X ∀ Y ( ∃Z (p(X, Z) ∧ p(Z, Y )) → p(X, Y ) )
dasselbe wie
∀X ∀ Y ( (∃Z (p(X, Z) ∧ p(Z, Y ))) → p(X, Y ) )
2. Wir nehmen an, daß die Negation stärker bindet als die Konjunktion,
die Disjunktion und die Implikation, und wir nehmen an, daß die
Konjunktion stärker bindet als die Disjunktion (Punkt vor Strich) und
die Implikation, und die Disjunktion stärker als die Implikation. D.h.
F ∨ ¬ G ∧ G′ → H bedeutet (F ∨ ((¬ G) ∧ G′ )) → H.
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Schreibweisen
Die Formel
∀ ǫ > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 |f (n) − a| < ǫ
müßte man eigentlich ausführlich wie folgt schreiben:
∀ǫ ( ǫ ∈ IR ∧ ǫ > 0 →
∃n0 ( n0 ∈ IN ∧
∀n ( n ∈ IN ∧ n ≥ n0 → |f (n) − a| < ǫ ) ) ).
In der Kurzschreibweise wurde implizit angenommen, daß ǫ eine reelle
Zahl ist, und daß n und n0 natürliche Zahlen sind.
Daneben wurde die vereinfachende Infix– bzw. Zirkumfix–Notation für
Funktions– und Prädikatensymbole verwendet.
Manchmal schreibt man anstelle von ∀X F auch ∀X : F ; analog für ∃.
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160
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Infix– und Zirkumfix–Notation
Zur leichteren Lesbarkeit kann man gewisse binäre Funktions– und
Prädikatensymbole in Infix–Notation schreiben.
Anstelle der Präfix–Notation ⊙(t1 , t2 ) schreiben wir dann die
Infix–Notation t1 ⊙ t2 .
Die atomare Formel
|f (n) − a| < ǫ
mit dem binären Prädikatensymbol < und dem binären Funktionssymbol −
würde in Präfix–Notation wie folgt aussehen:
< ( || (−(f (n), a)), ǫ )
Einen Term ||(t) mit dem unären Funktionssymbol || (Betrag) können wir in
Zirkumfix–Notation |t| schreiben.
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Freie und gebundene Variablen
1. Ein Vorkommen einer Variable X in einer Formel F heißt gebunden,
falls X quantifiziert in einer Teilformel von F der Form ∃X G oder
∀X G vorkommt (d.h. im Geltungsbereich eines Quantors über X).
2. Andernfalls heißt das Vorkommen von X frei.
3. Eine Formel F ohne Vorkommen von freien Variablen heißt
geschlossen, oder eine Aussage. Andernfalls heißt F offen.
Beispiel: Die folgende Formel F ist offen:
F = (∃X1 p1 (X1 , f1 (X2 ))) ∨ (∀X2 p2 (X2 , f3 (f2 , f1 (X3 )))).
• Die beiden unterstrichenen Vorkommen der Variablen X1 und X2 sind
gebunden. Alle anderen Vorkommen sind frei.
• Das (einzige) Vorkommen von X3 ist frei.
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Definition (Semantik der Prädikantenlogik)
Eine Struktur ist ein Paar A = (UA , IA ) mit
1. UA ist eine beliebige, nicht–leere Menge, genannt Grundmenge von A,
Grundbereich, Individuenbereich, Universum.
2. IA ist eine partielle Abbildung auf V ∪ F ∪ P mit
• jedem k–stelligen Prädikantensymbol p ∈ P ∩ def (IA ) ist ein
k–stelliges Prädikat IA (p) über UA zugeordnet, d.h. eine Relation
k
IA (p) ⊆ UA
.
• jedem k–stelligen Funktionssymbol f ∈ F ∩ def (IA ) ist eine
k
k–stellige Funktion IA (f ) : UA
→ UA zugeordnet.
• jedem Variablensymbol X ∈ V ∩ def (IA ) ist ein Individuum
IA (X) ∈ UA zugeordnet.
k
Dabei ist UA
die Menge aller k–Tupel mit Komponenten aus UA .
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163
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Der Definitionsbereich def (IA ) der partiellen Abbildung IA ist meist eine
echte Teilmenge von V ∪ F ∪ P:
def (IA ) ⊆ V ∪ F ∪ P.
Die Struktur A paßt zu einer Formel F , falls IA für alle in F
vorkommenden Prädikaten–, Funktions– und Variablensymbole für freie
Variablen definiert ist.
Abkürzung:
IA (α) = αA , für alle α ∈ V ∪ F ∪ P.
Falls α außerhalb des Definitionsbereichs def (IA ) liegt, so ist αA
undefiniert.
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164
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Beispiel (Struktur)
Die folgende Struktur A paßt zur Formel
F = ∀X p(X, f (X)) ∧ q(g(a, Z)).
Die Grundmenge von A und die Interpretation der Prädikaten– und
Funktionssymbole seien wie folgt:
UA
= IN0 = { 0, 1, 2, . . . },
pA
= { (m, n) ∈ IN02 | m < n },
qA
= { (n) ∈ IN01 | n ist eine Primzahl },
f A (n)
= n + 1, d.h. f A ist die Nachfolgerfunktion auf IN0 ,
g A (n, m) = n + m, d.h. g A ist die Additionsfunktion auf IN0 .
Das 0–stellige Funktionssymbol a werde als aA = 2 interpretiert, und die
Variablensymbole als X A = 23, Z A = 3.
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165
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In dieser Struktur A gilt F offensichtlich (die entsprechenden Definitionen
der Semantik folgen noch), denn
• die Nachfolgerfunktion f A paßt zur Kleiner–Relation pA :
p(X, f (X)) entspricht in A dem Vergleich X < X + 1; und
• g A (aA , Z A ) = 2 + 3 = 5 ist in der Primzahl–Relation q A .
Ändert man dagegen q A zu
q
A′
= { (n) ∈ IN01 | n ist eine gerade Zahl },
und läßt den Rest unverändert, so gilt F in der veränderten Struktur A′
nicht, da 5 keine gerade Zahl ist.
Wenn man eine fest vorgegebene Interpretation eines Funktions– oder
Prädikatensymbols betrachten will, dann muß man diese durch Hinzunahme
geeigneter Axiome zu F erzwingen.
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166
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Definition (Semantik der Prädikatenlogik)
Wir betrachten im folgenden Formeln F und zu F passende Strukturen A.
Der Wert A(t) eines Terms t wird induktiv definiert als:
1. A(t) = tA , falls t ∈ V eine Variable ist.
2. A(t) = f A (A(t1 ), . . . , A(tk )), falls t = f (t1 , . . . , tk ) ein komplexer
Term ist.
Eine Herbrand–Struktur bildet alle Terme auf sich selbst ab.
Für X ∈ V und u ∈ UA sei A[X|u] diejenige Struktur B, welche man aus A
erhält, indem man X A auf X B = u ändert und A ansonsten unverändert läßt:
• für alle α ∈ P ∪ F ∪ V \ {X} gilt αB = αA ,
• X B = u (unabhängig von X A ).
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167
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Der Wahrheitswert A(F ) wird dann ebenfalls induktiv definiert:

 1, falls (A(t ), . . . , A(t )) ∈ pA
1
k
A(p(t1 , . . . , tk )) =
 0, sonst
A(¬G)
= ¬A(G),
A(F1 ∧ F2 )
= A(F1 ) ∧ A(F2 ),
A(F1 ∨ F2 )
= A(F1 ) ∨ A(F2 ),

 1, falls für alle u ∈ U gilt A
A
[X|u] (G) = 1
=
 0, sonst

 1, falls es ein u ∈ U gibt mit A
A
[X|u] (G) = 1,
=
 0, sonst
A(∀XG)
A(∃XG)
Damit gilt offensichtlich auch A(F → G) = A(F ) → A(G).
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168
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Die Definitionen für die booleschen Junktoren sind exakt analog zur
Aussagenlogik. Die Fallunterscheidungen könnte man wie folgt abkürzen:
A(p(t1 , . . . , tk )) = (A(t1 ), . . . , A(tk )) ∈ pA ,
A(∀XG)
= ∧u∈UA A[X|u] (G),
A(∃XG)
= ∨u∈UA A[X|u] (G).
1. Ersteres gilt, da der Test e ∈ M auf Elementschaft in einer Menge
einen der Wahrheitswerte 1 oder 0 als Resultat hat.
2. Die – potentiell unendliche – Konjunktion im zweiten Teil ist genau
dann 1, wenn für alle u ∈ UA gilt A[X|u] (G) = 1.
3. Die – potentiell unendliche – Disjunktion im dritten Teil ist genau
dann 1, wenn es (mindestens) ein u ∈ UA gibt mit A[X|u] (G) = 1.
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169
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Die Prädikatenlogik verallgemeinert die Aussagenlogik.
Die atomaren Formeln p der Aussagenlogik entsprechen 0–stelligen
Prädikatensymbolen.
Es gibt es nur zwei mögliche Relationen pA ⊆ UA0 = {( )} :
• Falls pA = {( )} nur das 0–stellige Tupel ( ) enthält, so ist A(p) = 1.
• Falls pA = {} leer ist, so ist A(p) = 0.
In der Aussagenlogik gibt es keine höherstelligen Prädikatensymbole, und
deswegen braucht man auch keine Variablen– bzw. Funktionssymbole um
Terme zu bilden.
Auch die Quantifizierung ist in der Aussagenlogik sinnlos, da es dort keine
Variablensymbole gibt.
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170
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Definition (Modelle)
1. Eine Struktur A erfüllt eine Formel F , falls A zu F paßt und
A(F ) = 1 ist.
2. Dann sagen wir auch, daß die Formel F in A gilt.
3. Dann ist A ein Modell von F , und wir schreiben auch A |= F .
Herbrand–Strukturen
In der Praxis arbeitet man meist mit geschlossenen Formeln F und
Herbrand–Strukturen A = (UA , IA ) :
1. Ihre Grundmenge UA besteht aus den Termen über den
Funktionssymbolen von F . Terme werden nicht interpretiert.
2. Herbrand–Strukturen können also alleine durch die Interpretation der
Prädikatensymbole charakterisiert werden.
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171
Logik für Informatiker
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Beispiel (Grundmenge UA einer Herbrand–Struktur)
• In der Formel
F = married (a, b) ∧ ∀X (student(X ) → person(X ))
gibt es nur 0–stellige Funktionssymbole (Konstanten); diese bilden die
Grundmenge UA = { a, b }.
• Die Formel
F = p(f (a), g(b))
enthält zwei Konstanten (0–stellige Funktionssymbole) a und b und
zwei einstellige Funktionssymbole f und g. Hier ist die Grundmenge
UA unendlich groß, denn sie enthält alle Terme, die man daraus bilden
kann: UA = { a, b, f (a), f (b), g(a), g(b), f (f (a)), f (g(a)), . . . }.
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172
Logik für Informatiker
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• Die Formel
G = boolean_normalize_knf (−((a, (b; c))), F )
enthält drei Konstanten (0–stellige Funktionssymbole) a, b und c, ein
einstelliges Funktionssymbol ”−”, und zwei zweistellige
Funktionssymbole ”,” und ”;”.
Auch hier ist die Grundmenge UA unendlich groß, denn sie enthält alle
Terme, die man daraus bilden kann:
UA = { a, b, c, −a, . . . , (a, b), (a; b), −(a, (b; c)), . . . }.
Diese Terme bilden Datenstrukturen zur Repräsentation von
aussagenlogischen Formeln. Die entsprechenden Regeln zum
Prädikatensymbol boolean_normalize_knf /2 werten diese Terme
nicht aus; sie operieren nur symbolisch darauf.
Ähnlich kann man auch Listen und Bäume als Terme repräsentieren.
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173
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Variablenbelegungen
• Für geschlossene Formeln F ist die Belegung der Variablen X ∈ V mit
Werten X A ∈ UA irrelevant.
• Für eine quantifizierte Variable X werden sowieso alle Strukturen
A[X|u] für u ∈ UA untersucht – ohne den Wert X A zu beachten.
• Der Wert X A einer Variable X ist nur relevant, falls X mindestens
einmal frei in F vorkommt.
Für die Formel F = ( ∀X p(X) ) ∧ q(X) mit je einem gebundenen
und einem freien Vorkommen des Variablensymbols X, ist X A nur für
das zweite Vorkommen von X relevant. Es gilt pA[X|u] = pA und
A(F ) = ∧u∈UA A[X|u] (p(X)) ∧ A(q(X))
= ∧u∈UA (u) ∈ pA ∧ (X A ) ∈ q A .
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174
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Herbrand–Struktur, Modell)
Wir betrachten die folgende geschlossene Formel F :
F = f ∧ ∀X r,
f = married (a, b),
r = student(X ) → person(X ).
a und b sind verheiratet, und jeder Studierende ist eine Person.
Wir betrachten eine Herbrand–Struktur A. Diese bildet alle
Funktionssymbole auf sich selbst ab. Hier gibt es nur 0–stellige
Funktionssymbole (Konstanten); diese bilden die Grundmenge UA .
UA = { a, b },
αA = α, für alle Konstanten α ∈ UA .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
175
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Wir werden später sehen, daß man das gebundene Variablensymbol X in
∀X r umbenennen könnte, z.B. in Y . Dann würde man die Teilformel
∀ Y ( student(Y ) → person(Y ) )
erhalten, die – entsprechend unserer Anschauung – zu ∀X r äquivalent ist,
da man für X und Y sowieso alle Werte u ∈ UA einsetzen kann.
A interpretiert die Prädikatensymbole wie folgt:
married A = { (a, b) },
student A = { (a), (b) },
person A
= { (a) }.
Diese Interpretationen könnte man durch eine einzige Menge von Atomen
repräsentieren:
I = { married(a, b), student (a), student(b), person(a) }.
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176
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Dann gilt
A(f )
= (a, b) ∈ married A = 1,
A(∀X r) = ∧u∈UA ( (u) ∈ student A → (u) ∈ person A )
= ( (a) ∈ student A → (a) ∈ person A ) ∧
( (b) ∈ student A → (b) ∈ person A ) = 0,
da (b) ∈ student A und (b) 6∈ person A .
Da student und person 1–stellige Prädikatensymbole sind, werden Tupel
1
(u) ∈ UA
mit nur einer Komponente untersucht.
Also ist die untersuchte Struktur A zwar ein Modell von f , aber kein
Modell von ∀X r, und somit auch kein Modell von F .
Die Struktur A paßt zu F auch ohne eine Interpretation X A des
Variablensymbols X anzugeben, da über X quantifiziert wird.
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177
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Herbrand–Struktur, Modell)
Wir betrachten die folgende geschlossene Formel F :
F = f1 ∧ f2 ∧ f3 ∧ ∀X ∀Y ∀Z r,
f1 = father (a, b),
f2 = brother (b, c),
f2 = brother (b, d ),
r = father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z ) → uncle(X , Z ).
Ein Onkel Z von X ist ein Bruder des Vaters Y . Man könnte father und
brother auch mittels zweier Prädikate parent und male definieren.
Wir betrachten wieder eine Herbrand–Struktur A, die die Konstanten (hier
die einzigen Funktionssymbole) in F auf sich selbst abbildet:
UA = { a, b, c, d },
αA = α, für alle Konstanten α ∈ UA .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
178
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
A interpretiert die Prädikatensymbole wie folgt:
father A
= { (a, b) },
brother A = { (b, c), (b, d) },
uncle A
= { (a, c) }.
Für die Variablenbelegung
X A = a, Y A = b, Z A = c,
ist A ein Modell für die Fakten f1 , f2 , f3 , und die Regel r:
A(r) = A(father (X , Y )) ∧ A(brother (Y , Z )) → A(uncle(X , Z ))
= (a, b) ∈ father A ∧ (b, c) ∈ brother A → (a, c) ∈ uncle A
= 1 ∧ 1 → 1 = 1.
Der Wahrheitswert von e ∈ M ist 1, falls e ∈ M gilt, sonst 0.
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179
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die Struktur A[Z|d] interpretiert die Prädikatensymbole wie A.
A[Z|d] ist ebenfalls ein Modell für die Fakten f1 , f2 , f3 .
Da (a, d) 6∈ uncleA , ist A[Z|d] aber kein Modell für die Regel r:
A[Z|d] (r) = A[Z |d] (father (X , Y )) ∧ A[Z |d] (brother (Y , Z ))
→ A[Z |d] (uncle(X , Z ))
= (a, b) ∈ father A ∧ (b, d ) ∈ brother A → (a, d ) ∈ uncle A
= 1 ∧ 1 → 0 = 0.
Also ist A auch kein Modell für die quantifizierte Regel ∀X ∀Y ∀Z r, und
somit auch kein Modell für die komplette Formel F .
Wenn wir die Interpretation von uncle erweitern zu
uncle
A′
= { (a, c), (a, d) }
und sonst alles wie in A belassen, dann erhalten wir ein Modell A′ von F .
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180
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Wintersemester 2013/14
Logische Folgerung, Erfüllbarkeit, Gültigkeit
Seien F und G prädikatenlogische Formeln.
1. G folgt logisch aus F , falls jedes Modell A von F auch ein Modell von
G ist. Dann schreiben wir F |= G.
2. F ist erfüllbar, falls es ein Modell von F gibt.
3. F ist gültig, falls jede zu F passende Struktur ein Modell von F ist.
Man kann die logische Folgerung auf die Erfüllbarkeit bzw. die Gültigkeit
zurückführen:
F |= G ⇐⇒
F ∧ ¬ G ist unerfüllbar ⇐⇒ ¬ (F ∧ ¬ G) ist gültig.
Man kann die bekannten Begriffe auf Formelmengen F ausdehnen.
Eine endliche Formelmenge F = { f1 , . . . , fn } ist dabei äquivalent zu
einer Konjunktion f1 ∧ . . . ∧ fn .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
181
Logik für Informatiker
2.2
Wintersemester 2013/14
Normalformen
Wir werden im folgenden sehen, daß man eine prädikatenlogische Formel
äquivalent umformen kann, so daß alle Quantoren am Anfang der Formel
stehen (Pränexform).
Man kann sogar noch – mittels Skolemfunktionen – alle Existenzquantoren
entfernen (Skolemform). Die Skolemform ist genau dann erfüllbar, wenn die
Ausgangsformel erfüllbar ist.
Die Skolemform kann man dann – wie in der Aussagenlogik – auf
Klauselform bringen (KNF). Darauf können wir dann eine verallgemeinerte
Resolutionsmethode anwenden.
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182
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Definition (Äquivalenz)
Zwei prädikatenlogische Formeln F und G heißen äquivalent,
falls für alle sowohl zu F als auch zu G passenden Strukturen A gilt:
A(F ) = A(G).
Dann schreiben wir F ≡ G.
Satz (Äquivalenz)
1. Negation vertauscht die Quantoren ∀ und ∃:
¬ ∀X F
≡
∃X ¬ F,
¬ ∃X F
≡
∀X ¬ F.
Nicht alle Strukturen passen zu F ist z.B. äquivalent zu
es gibt Strukturen, die nicht zu F passen.
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183
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
2. Falls X in G nicht frei vorkommt:
(QX F ⊗ G)
≡
QX (F ⊗ G),
für einen Quantor Q ∈ { ∀, ∃ } und einen Junktor ⊗ ∈ { ∧, ∨ }.
3. Ausklammern von Quantoren:
(∀X F ∧ ∀X G)
≡
∀X (F ∧ G),
(∃X F ∨ ∃X G)
≡
∃X (F ∨ G).
4. Vertauschen gleichartiger Quantoren:
∀X ∀Y F
≡
∀Y ∀X F,
∃X ∃Y F
≡
∃Y ∃X F.
Dagegen sind die folgenden Formeln im allgemeinen nicht äquivalent:
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(∀XF ∨ ∀XG) 6≡
∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG) 6≡
∃X (F ∧ G).
184
Logik für Informatiker
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Beispiel (Äquivalenz)
1. Nach 1. gilt
¬ ∀X r(X, Y ) ≡ ∃X ¬ r(X, Y ).
2. Da X und Y nicht frei in ¬ q(Z) vorkommen, kann man nach 2. die
Quantoren ∀X und ∃Y sich auf beide Formeln erstrecken lassen:
∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)
≡ ∀X ∃Y (p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)).
Da X frei in q(X) vorkommt, kann man den Quantor ∀X nicht sich auf
beide Formeln erstrecken lassen:
∀X p(X) ∧ q(X) 6≡ ∀X ( p(X) ∧ q(X) ).
3. Für Konjunktionen kann man nach 3. universelle Quantoren ausklammern:
∀X p(X) ∧ ∀X q(X) ≡ ∀X ( p(X) ∧ q(X) ).
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185
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
4. Dagegen kann man unterschiedliche Quantoren im Allgemeinen nicht
vertauschen:
∀X ∃Y F
6≡
∃Y ∀X F.
Für F = Y > X (Infix–Notation) gilt: wenn man > als die
Größer–Relation auf den natürlichen Zahlen interpretiert, d.h.
UA = IN0 = { 0, 1, 2, . . . },
>A = { (m, n) ∈ IN02 | m > n },
dann erfüllt A die Formel ∀X ∃Y F , da es für alle X ∈ IN0 eine
größere Zahl Y ∈ IN0 gibt, während ∃Y ∀X F nicht erfüllt ist,
da es kein Y ∈ IN0 gibt, das größer ist als alle Zahlen X ∈ IN0 :
A(∀X ∃Y F ) = 1 6= 0 = A(∃Y ∀X F ).
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186
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Äquivalenz vs. Implikation
1. F ≡ G gilt genau dann,
wenn F → G und G → F gültig (Tautologien) sind.
2. Aus F ≡ G folgt, daß F → G und G → F gültig sind.
Für die nicht geltenden Äquivalenzen
(∀XF ∨ ∀XG) 6≡
∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG) 6≡
∃X (F ∧ G).
sind zumindest die folgenden Implikationen gültig:
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(∀XF ∨ ∀XG) →
∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG) ←
∃X (F ∧ G).
187
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Definition (Ersetzung von Variablen)
1. Sei F eine Formel, X eine Variable und t ein Term. Dann bezeichnet
F [X|t] diejenige Formel, die man aus F erhält, indem man jedes freie
Vorkommen von X durch t ersetzt.
2. [X|t] wird als Substitution bezeichnet.
3. Eine Folge
θ = [X1 |t1 ] . . . [Xn |tn ]
von Substitutionen wird auch als Substitution bezeichnet.
4. Für eine Formel F bezeichnet F θ die Formel
(((F [X1 |t1 ])[X2 |t2 ]) . . . )[Xn |tn ],
die man durch sukzessive Anwendung der Substitutionen [Xi |ti ] erhält.
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188
Logik für Informatiker
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Beispiel (Substitution)
Sei θ = [X|h(Z)] [Y |U ]. In der folgenden Formel sind die ersten beiden
Vorkommen von X gebunden und werden nicht durch h(Z) ersetzt:
(∀X p(X, f (X), g(Y )) ∨ q(X)) θ =
(∀Xp(X, f (X), g(U )) ∨ q(h(Z))).
Gebundene Umbenennung
Ist F = QX G eine Formel mit einem Quantor Q ∈ { ∃, ∀ } und X ′ eine
Variable, die in G nicht vorkommt, dann gilt
F = QX G ≡ QX ′ G [X|X ′ ].
Beispiel (Gebundene Umbenennung)
Für G = p(X, g(Y, f (X))) gilt
∃Y G
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≡
∃Y ′ G [Y |Y ′ ] = ∃Y ′ p(X, g(Y ′ , f (X))).
189
Logik für Informatiker
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Beispiel (Gebundene Umbenennung)
1. Die folgenden offenen Formeln sind nicht äquivalent:
F = p(X),
G = p(Y ).
Für die Struktur A mit der Grundmenge UA = { 1, 2 } und
pA = { (1) } und der Variablenbelegung X A = 1, Y A = 2 gilt
A(F ) = (1) ∈ pA = 1 6= 0 = (2) ∈ pA = A(G).
2. Die folgenden quantifizierten Formeln sind dagegen äquivalent:
F = ∀ X p(X),
G = ∀ Y p(Y ).
Es gilt G = ∀ Y p(X) [X|Y ].
Für gebundene Vorkommen kann man das Variablensymbol umbenennen.
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190
Logik für Informatiker
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Beispiel (Ausklammern nach gebundener Umbenennung)
1. Die folgenden Formeln sind bekanntermaßen im allgemeinen nicht
äquivalent:
(∀XF ∨ ∀XG) 6≡
∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG) 6≡
∃X (F ∧ G).
2. Sei F = rot(X) und G = blau(X).
• Dann besagt (∀XF ∨ ∀XG) : entweder alle Kugeln sind rot, oder
alle Kugeln sind blau.
• Dagegen besagt ∀X (F ∨ G), daß jede Kugel entweder rot oder
blau ist. Aber es kann sowohl rote als auch blaue Kugeln geben.
In den folgenden Strukturen mit einfarbigen Kugeln unterscheiden sich
auch die Formeln mit der existentiellen Quantifizierung.
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191
Logik für Informatiker
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F1 = (∀Xrot(X) ∨ ∀Xblau(X))
6≡
F2 = ∀X (rot(X) ∨ blau(X)),
G1 = (∃Xrot(X) ∧ ∃Xblau(X))
6≡
G2 = ∃X (rot(X) ∧ blau(X)).
Die folgenden Strukturen Ai mit einfarbigen Kugeln erfüllen G2 nicht,
da es keine Kugeln gibt, die gleichzeitig rot und blau sind.
A1
A2
A3
A1 erfüllt F2 und G1 , aber nicht F1 und G2 , denn jede Kugel ist
entweder rot oder blau (mit Punkt in der Mitte), und es gibt rote und
blaue Kugeln.
A2 und A3 erfüllen F1 und F2 , aber nicht G1 und G2 , denn in beiden
Strukturen haben alle Kugeln dieselbe Farbe, rot bzw. blau.
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192
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
3. Für ein frisches Variablensymbol X ′ , das nicht in (∀XF ∨ ∀XG)
vorkommt, gilt:
(∀XF ∨ ∀XG) ≡ (∀X ′ F [X|X ′ ] ∨ ∀XG)
≡ ∀X ′ (F [X|X ′ ] ∨ ∀XG) ≡ ∀X ′ ∀X (F [X|X ′ ] ∨ G).
Also gilt z.B.
(∀X rot(X) ∨ ∀X blau(X)) ≡ ∀X ′ ∀X (rot(X ′ ) ∨ blau(X)).
Prinzipiell können Kugeln mehrfarbig sein. Wenn es aber eine rote
Kugel r gäbe, die nicht auch blau ist, und eine blaue Kugel b, die nicht
auch rot ist, dann wäre A[X ′ |b][X|r] (rot(X ′ ) ∨ blau(X)) = 0.
4. Für ein frisches Variablensymbol X ′ , das nicht in (∃XF ∧ ∃XG)
vorkommt, gilt analog auch:
(∃XF ∧ ∃XG) ≡ ∃X ′ ∃X (F [X|X ′ ] ∧ G).
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193
Logik für Informatiker
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5. Auch aus einer Implikation kann man nach gebundener Umbenennung
ausklammern:
F = ∀X ( p(X ) → ∃X q(X) )
≡ ∀X ( p(X ) → ∃X ′ q(X ′ ) )
≡ ∀X ∃X ′ ( p(X ) → q(X ′ ) ).
Hier mußte X gebunden in X ′ umbenannt werden, da das Vorkommen
von X in p(X) durch ∀X und das Vorkommen von X in q(X) durch
∃X gebunden waren.
Nach dem Vorziehen des Quantors ∃X ′ erstrecken sich nun beide
Quantoren auf p(X ) → q(X ′ ), also auf beide Teilformeln.
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194
Logik für Informatiker
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Definition (BPF, bereinigte Pränexform)
1. Eine Formel F heißt bereinigt,
• wenn es keine Variable X gibt, die in F sowohl gebunden als auch
frei vorkommt, und
• wenn hinter allen vorkommenden Quantoren verschiedene
Variablen stehen.
2. Eine Formel F heißt Pränex oder in Pränexform, falls sie von der Form
Q1 X1 Q2 X2 . . . Qn Xn G
ist, mit Quantoren Qi ∈ { ∃, ∀ } und Variablen Xi , und falls ferner G
quantorenfrei ist.
Satz (BPF)
Für jede Formel F gibt es eine äquivalente Formel G in BPF.
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195
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
∨
Beispiel (BPF)
Aus
¬ ∀X r(X, Y )
∨
¬ ∀X r(X, Y )
≡ ∃X ′ ¬ r(X ′ , Y ),
∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X)))
¬q(Z)
∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)
≡ ∀X ∃Y ′ (p(X, g(Y ′ , f (X))) ∨ ¬ q(Z)),
folgt:
F
=
(∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)) ∨ ¬ ∀X r(X, Y )
≡
∀X ∃Y ′ ∃X ′ ( p(X, g(Y ′ , f (X))) ∨ ¬ q(Z) ∨ ¬ r(X ′ , Y ) ).
Die Quantoren ∀X und ∃Y beziehen sich nicht auf ¬ ∀X r(X, Y ).
Deswegen benennen wir Y vorne in Y ′ gebunden um und X hinten in X ′ .
Danach können alle Quantoren ganz nach vorne gezogen werden.
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196
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die enstandene Formel in BPF hat immer noch 2 freie Vorkommen von
Variablensymbolen, nämlich Y und Z.
∀X ∃Y ′ ∃X ′
∨
∨
p(X, g(Y ′ , f (X)))
¬ r(X ′ , Y )
¬q(Z)
Die gebundenen Umbenennungen waren erforderlich,
• da X einmal universell und einmal existentiell quantifiziert ist, und
• da sich der Quantor ∃Y ′ nicht auf ¬ r(X ′ , Y ) beziehen soll.
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197
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (BPF)
In der folgenden BPF–Formel F kommt das universell quantifizierte
Variablensymbol Y nur im Regelrumpf von r vor:
F = ∀X ∀Y ∀Z r,
r = father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z ) → uncle(X , Z ).
Dann könnte man den vor r stehenden Allquantor ∀Y auch als
Existenzquantor ∃Y in den Regelrumpf von r ziehen:
∀Y r
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≡
∀Y (¬ (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) ∨ uncle(X , Z ))
≡
∀Y ¬ (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) ∨ uncle(X , Z )
≡
¬ ∃Y (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) ∨ uncle(X , Z )
≡
∃Y (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) → uncle(X , Z ).
198
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Exkurs: Existenzquantor im Regelkopf
Ein Existenzquantor ∃ Y im Kopf einer BPF–Regel,
F = ∀X ( kugel (X ) → ∃ Y farbe(X , Y ) ),
entspricht dagegen einem vor der Regel stehenden Existenzquantor ∃ Y :
F ≡ ∀X ∃ Y ( kugel (X ) → farbe(X , Y ) ).
Für eine vorgegebene Struktur A ergibt er eine Disjunktion im Regelkopf:
A(F ) = ∧u∈UA ( (u) ∈ kugel A → ∨v ∈UA (u, v ) ∈ farbe A ).
Da die Grundmenge U = UA für Herbrand–Strukturen unabhängig von A
ist, könnte man F praktisch wie eine Regel mit einem disjunktiven Kopf
auffassen:
F =
ˆ ∀X ( kugel (X ) → ∨v ∈U farbe(X , v ) ).
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199
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
In der Praxis möchte man allerdings für v ∈ U nur Farben zulassen, etwa
rot, grün, blau. Dann meint man eigentlich die folgende Formel:
∀X ( kugel (X ) →
farbe(X , rot) ∨ farbe(X , grün) ∨ farbe(X , blau) ).
Diese könnte man wieder mit einem Existenzquantor ∃ Y im Regelkopf
ausdrücken,
G = ∀X ( kugel (X ) → ∃ Y (farbe(Y ) ∧ farbe(X , Y )) ).
Man könnte dazu ein 1–stelliges Prädikat farbe, das die zugelassenen
Farben angibt, mit Hilfe geeigneter Formeln definieren.
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200
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Definition (Skolemform)
Zu einer Formel F in BPF erhält man die Skolemform durch Elimination
der Existenzquantoren nach folgendem Schema:
1. Wir betrachten den ersten Existenzquantor in F :
F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn ∃X G.
2. Sei f ein neues bisher in F nicht vorkommendes n–stelliges
Funktionssymbol. Dann setzen wir
F ′ = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn G [X|f (X1 , . . . , Xn )].
Nun eliminieren wir nach demselben Schema alle weiteren
Existenzquantoren in F ′ .
3. Sobald die so erhaltene Formel F ′′ keine Existenzquantoren mehr
enthält, ist sie in Skolemform:
F ′′ = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xk F ∗
mit quantorenfreier Formel F ∗ , die wir Matrix nennen.
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201
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Skolemform)
Wir betrachten die folgende Formel F in BPF:
F
= ∃X ∀Y ∃Z ∀V ∃W ¬p(X, Y, Z, V, W )
F′
=
∀Y ∃Z ∀V ∃W ¬p(a, Y, Z, V, W )
F ′′ =
∀Y
∀V ∃W ¬p(a, Y, f (Y ), V, W )
F ′′′ =
∀Y
∀V
¬p(a, Y, f (Y ), V, g(Y, V )).
Wir ersetzen die existentiell quantifizierten Variablen durch Terme:
• Zuerst ersetzen wir X durch eine frische Konstante a.
• Dann ersetzen wir Z im Scope von Y durch einen Term f (Y ).
• Schließlich ersetzen wir W im Scope von Y und V durch einen Term
g(Y, V ).
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202
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Skolemform)
Das 3–stellige Prädikatensymbol p steht für eine Gruppenoperation;
wir schreiben p(X, Y, Z) anstelle von X ◦ Y = Z (Produkt).
Die folgende Formel beschreibt die Gruppenaxiome zur Existenz eines
links–neutralen Elements (X) und zur Existenz von Links–Inversen (Z):
F = ∃X ( ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X) ).
Wir bringen F zuerst in BPF, und dann mittels zweier Skolemfunktionen e
(0–stellig) und i (1–stellig) in Skolemform F ′ :
F
≡
∃X ∀Y ∃Z ( p(X, Y, Y ) ∧ p(Z, Y, X) ),
F′
=
∀Y ( p(e, Y, Y ) ∧ p(i(Y ), Y, e) ).
Bei der Erzeugung der BPF wurde der bekannte Satz zur Verschiebung der
Quantoren ∀Y und ∃Z angewendet.
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203
Logik für Informatiker
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Definition (Erfüllbarkeitsäquivalenz)
Zwei prädikatenlogische Formeln F und G heißen erfüllbarkeitsäquivalent,
wenn gilt: F ist genau dann erfüllbar, wenn G erfüllbar ist.
F und G müssen nicht dieselben Modelle haben.
Die Erfüllbarkeitsäquivalenz bedeutet aber, daß F und G entweder beide
ein Modell besitzen, oder daß keine der beiden Formeln ein Modell besitzt.
Beispiel (Erfüllbarkeitsäquivalenz)
Indem man die freie Variable X in
G = ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X)
existentiell quantifiziert, erhält man eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel
F = ∃X ( ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X) ).
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204
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Satz (Skolemform)
Eine Formel F in BPF ist genau dann erfüllbar, wenn ihre Skolemform
erfüllbar ist.
Beweis:
Wir betrachten den Eliminationsschritt F 7→ F ′ für den ersten
Existenzquantor:
F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn ∃X G.
1. Annahme: F ′ ist erfüllbar mit einer passenden Struktur A′ , d.h.
A′ (F ′ ) = 1. Dann paßt A′ auch zu F und es gilt
∀u1 , . . . , un ∈ UA′ :
A′[X1 |u1 ]...[Xn |un ] (G[X|f (X1 , . . . , Xn )]) = 1.
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205
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Daraus folgt
∀u1 , . . . , un ∈ UA′ :
A′[X |u ]...[X |u ][X|f A′ (u
1
1
n
n
1 ,... ,un )]
(G) = 1.
Daraus folgt
A′
∀u1 , . . . , un ∈ UA′ : ∃u = f (u1 , . . . , un ) ∈ UA′ :
A′[X1 |u1 ]...[Xn |un ][X|u] (G) = 1.
Daraus folgt
A′ (∀X1 . . . ∀Xn ∃X G) = 1.
Also ist A′ auch ein Modell für F .
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206
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
2. Annahme: F ist erfüllbar mit einer passenden Struktur A,
d.h. A(F ) = 1.
Wir können annehmen, daß IA auf keinen anderen als den in F
vorkommenden Funktionssymbolen, Prädikatensymbolen und freien
Variablen definiert ist.
Dann gilt:
∀u1 , . . . , un ∈ UA : ∃u ∈ UA :
A[X1 |u1 ]...[Xn |un ][X|u] (G) = 1.
Wir erweitern nun die Struktur A zu einer neuen Struktur A′ durch
A′
Definition einer Funktion f mit
f
A′
(u1 , . . . , un ) = u
durch Verwendung des Auswahlaxioms. Es gilt UA′ = UA .
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207
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Daraus folgt
∀u1 , . . . , un ∈ UA′ :
A′[X |u ]...[X |u ][X|f A′ (u
1
1
n
n
1 ,... ,un )]
(G) = 1.
Daraus folgt
∀u1 , . . . , un ∈ UA′ :
A′[X1 |u1 ]...[Xn |un ] (G[X|f (X1 , . . . , Xn )]) = 1.
Daraus folgt
A′ (∀X1 . . . ∀Xn G[X|f (X1 , . . . , Xn )]) = 1.
Also ist A′ ein Modell für F .
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208
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Zusammenfassung (BPF, Skolemform)
1. Für jede Formel F gibt es eine äquivalente Formel G in BPF.
2. F und G haben genau dieselben Modelle.
3. Für jede Formel F gibt es eine Formel H in Skolemform.
• F und H müssen nicht dieselben Modelle haben.
• Insbesondere unterscheiden sich die Modelle in der Regel aufgrund
der Skolemfunktionen in H.
• Die Skolemform H wird durch Elimination der Existenzquantoren
aus der BPF G konstruiert.
4. Eine Formel F ist genau dann erfüllbar, wenn ihre Skolemform H
erfüllbar ist.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
209
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Klauselform
Aus einer Formel F kann man über die Skolemform eine Klauselmenge M
gewinnen. Eine Klausel ist eine Disjunktion prädikatenlogischer Literale.
1. Durch systematisches Umbenennen der gebundenen Variablen in F
bilden wir eine neue, bereinigte Formel F1 , die zu F äquivalent ist.
2. Seien Y1 , . . . , Yn die in F1 vorkommenden freien Variablen.
Dann enthält F2 = ∃Y1 . . . ∃Yn F1 keine ungebundenen Variablen
mehr, und F2 ist erfüllbarkeitsäquivalent zu F1 .
3. Sei F3 = ∀X1 . . . ∀Xm G3 eine Skolemform zu F2 mit der
(quantorenfreien) Matrix G3 . Dann sind alle Variablen in F3 universell
quantifiziert, und F3 ist erfüllbarkeitsäquivalent zu F2 .
4. Man kann die Matrix G3 in eine KNF G4 = ∧ki=1 βi mit Klauseln βi
umformen. Dann ist F4 = ∀X1 . . . ∀Xm G4 zu F3 äquivalent.
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210
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Insgesamt gilt:
• F4 ist erfüllbarkeitsäquivalent zu F , und
• alle Variablen in F4 sind universell quantifiziert.
Die Klauselmenge M = { β1 , . . . , βk } spielt später bei Inferenzmethoden
eine entscheidente Rolle. Man kann mittels der Resolutionsmethode genau
dann die leere Klausel aus M ableiten, wenn F unerfüllbar ist.
Beispiel (Klauselmenge)
Die Formel
G = ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X)
wird zur Klauselmenge
M = { p(e, Y, Y ), p(i(Y ), Y, e) }.
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211
Logik für Informatiker
2.3
Wintersemester 2013/14
Unentscheidbarkeit
Es gibt prädikatenlogische Formeln F , die zwar erfüllbar sind, jedoch nur
unendliche Modelle A = (UA , IA ) besitzen, also solche mit unendlicher
Grundmenge UA :
F = ∀X p(X, f (X)) ∧
∀X ¬p(X, X) ∧
∀X ∀Y ∀Z ( (p(X, Y ) ∧ p(Y, Z)) → p(X, Z) )
Dann gibt es das folgende unendliche Modell A = (UA , IA ) :
UA
= IN0 = { 0, 1, 2, . . . },
pA
= { (m, n) ∈ IN02 | m < n },
f A (n) = n + 1.
Die Formel F besitzt jedoch kein endliches Modell.
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212
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Angenommen B = (UB , IB ) ist ein Modell mit endlicher Grundmenge UB .
Für ein beliebiges Element m0 ∈ UB betrachten wir die Folge
m0 , m1 , m2 , . . . ∈ UB , mit mi+1 = f B (mi ).
Wegen des ersten Konjunktionsgliedes von F gilt
(m0 , m1 ), (m1 , m2 ), . . . , (mi , mi+1 ) ∈ pB , für alle i ∈ IN0 .
Wegen des dritten Konjunktionsgliedes von F ist pB transitiv, d.h.
(mi , mj ) ∈ pB , für alle i, j ∈ IN0 mit i < j.
Da UB endlich ist, muß es zwei Indizes i und j mit i < j geben, mit
mi = mj = m.
Also gibt es (m, m) ∈ pB , im Widerspruch zum zweiten Konjunktionsglied
von F (Irreflexivität).
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213
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Obiges Beispiel zeigt, daß sich die Wahrheitstafelmethode nicht in die
Prädikatenlogik übertragen läßt.
Entscheidbarkeit
Ein (ja/nein–) Problem heißt entscheidbar oder rekursiv, falls es ein
Rechenverfahren gibt (z.B. formuliert als Programm in C++), das für alle
Eingaben immer nach endlicher Zeit stoppt, und dann korrekt “ja” oder
“nein” ausgibt.
Anderenfalls heißt ein Problem unentscheidbar.
Gültigkeitsproblem der Prädikatenlogik:
Gegeben eine prädikatenlogische Formel F .
Frage: Ist F eine gültige Formel ?
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214
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Satz (Church)
Das Gültigkeitsproblem der Prädikatenlogik ist unentscheidbar.
Beweis durch Zurückführung auf das unentscheidbare Postsche
Korrespondenzproblem:
• Gegeben eine endliche Folge (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) von Paaren
xi , yi ∈ {0, 1}+ von nicht–leeren Strings über {0, 1}.
• Frage: Gibt es eine Folge von Indizes i1 , . . . , im ∈ { 1, . . . , n }, mit
m ≥ 1, so daß die Konkatenationen der entsprechenden Strings
übereinstimmen ?
xi1 xi2 . . . xim = yi1 yi2 . . . yim .
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215
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Postsches Korrespondenzproblem)
Sei K = ((x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )) mit
x1 = 1 und y1 = 101,
x2 = 10 und y2 = 00,
x3 = 011 und y3 = 11.
Lösung: i1 = 1, i2 = 3, i3 = 2, i4 = 3
x3
x2
x3
x1
z}|{ z }| { z}|{ z }| {
x1 x3 x2 x3 = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 = y1 y3 y2 y3 .
| {z } |{z} |{z} |{z}
y1
y3
y2
y3
Folgerung (Erfüllbarkeitsproblem)
Das Erfüllbarkeitsproblem der Prädikatenlogik
Ist eine gegebene prädikatenlogische Formel F erfüllbar ?
ist ebenfalls unentscheidbar.
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216
Logik für Informatiker
2.4
Wintersemester 2013/14
Herbrand–Theorie
Jacques Herbrand, Kurt Gödel, Thoralf Skolem
Definition (Herbrand–Universum)
Das Herbrand–Universum HUF einer Formel F ist die Menge aller
variablenfreien Terme, die aus Bestandteilen von F gebildet werden
können.
Falls F keine Konstante (d.h., kein 0–stelliges Funktionssymbol) enthält,
so nehmen wir eine beliebige Konstante a zur Konstruktion von HUF hinzu.
Das Herbrand–Universum HUF ist meist unendlich groß, aber man kann es
systematisch konstruieren.
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217
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Induktive Konstruktion:
1. Alle in F vorkommenden Konstanten sind in HUF .
2. Falls F keine Konstanten enthält, so nimmt man eine beliebige
Konstante a zu HUF hinzu.
3. Für jedes in F vorkommende
• n–stellige Funktionssymbol f und
• Terme t1 , . . . , tn ∈ HUF
ist auch der Term f (t1 , . . . , tn ) in HUF .
Für ein 1–stelliges Funktionssymbol f und eine Konstante a setzen wir
• f 0 (a) = a und
• f k+1 (a) = f (f k (a)), für alle k ∈ IN0 .
Z.B. entsteht f 2 (a) = f (f (a)) durch 2–malige Anwendung von f auf a.
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218
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Herbrand–Universum)
Die Formel F = p(f (a), g(b)) enthält zwei Konstanten (0–stellige
Funktionssymbole) a und b und zwei einstellige Funktionssymbole f und g.
Daraus setzen sich die Terme des Herbrand–Universums zusammen.
1. a und b sind in HUF . Da F bereits Konstanten enthält, ist keine
zusätzliche Konstante erforderlich.
2. Mit den Funktionssymbolen f und g kann man weitere Terme bilden.
Die Tatsache, daß a in F nur als Argument von f vorkommt und b nur
als Argument von g ist dabei unerheblich. Auch die “gekreuzten”
Terme f (b) und g(a) sind in HUF .
3. Falls h1 , . . . , hn eine beliebige Folge von Funktionssymbolen ist, mit
hi ∈ {f, g}, so sind auch h1 (. . . (hn (a))) und h1 (. . . (hn (b))) in HUF .
4. HUF = { a, b, f (a), f (b), g(a), g(b), f (f (a)), f (g(a)), . . . }.
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219
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
HUF ist genau dann unendlich groß, wenn F ein n–stelliges
Funktionssymbol mit n ≥ 1 enthält.
Für ein 1–stelliges Funktionssymbol f in F und eine Konstante a ∈ HUF
sind z.B. auch alle Terme f k (a) in HUF .
Beispiel (Herbrand–Universum)
Die Formel F in BPF enthält ein einstelliges Funktionssymbol f :
F
= ∃X p(f (X)),
HUF = { a, f (a), f (f (a)), . . . } = { f k (a) | k ∈ IN0 }.
Da F keine Konstanten enthält, nehmen wir die Konstante a zu HUF hinzu.
Dasselbe Herbrand–Universum würden wir auch für die variablenfreie
Formel F ′ = p(f (a)) erhalten.
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220
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Man kann das Herbrand–Universum HUF wie folgt systematisch als
unendliche Vereinigung endlicher Mengen konstruieren:
1. HU1 sei die Menge aller in F vorkommenden Konstanten,
bzw. HU1 = { a }, falls F keine Konstanten enthält.
′
2. HUk+1
sei die Menge aller Terme f (t1 , . . . , tn ) aus einem in F
vorkommenden n–stelligen Funktionssymbol f und Termen
′
t1 , . . . , tn ∈ HUk , und HUk+1 = HUk ∪ HUk+1
.
3. Dann sind alle Mengen HUk endlich, die Folge (HUk )k∈IN+ ist
aufsteigend, und HUF = ∪∞
k=1 HUk .
Also ist das Herbrand–Universum HUF abzählbar. Man erhält per
Induktion eine injektive Abbildung HUF → IN, indem man sukzessive die
endlichen Mengen HUk+1 \ HUk fortlaufend durchnummeriert.
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221
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Herbrand–Universum)
Die folgende Formel F enthält vier Funktionssymbole:
F = ∀X ∀Y p(a, f (X), g(Y, b)).
a und b sind 0–stellig, und somit Konstanten. f ist 1–stellig, g ist 2–stellig.
HU1
= { a, b },
HU2
= HU1 ∪ { f (a), f (b), g(a, a), g(a, b), g(b, a), g(b, b) },
HUk+1 = HUk ∪ { f (t) | t ∈ HUk } ∪ { g(t1 , t2 ) | t1 , t2 ∈ HUk }.
Sobald eine Formel F mindestens ein n–stelliges Funktionssymbol f ,
mit n ≥ 1, enthält, ist das Herbrand–Universum HUF unendlich groß:
HUF enthält immer eine Konstante, und man kann aus jedem Term
t ∈ HUk+1 \ HUk einen neuen Term f (t, . . . , t) ∈ HUk+2 \ HUk+1 bilden.
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222
Logik für Informatiker
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Definition (Herbrand–Strukturen)
Sei F eine Formel und A = (UA , IA ) eine zu F passende Struktur.
Dann heißt A eine Herbrand–Struktur für F , falls gilt:
1. Die Grundmenge von A ist UA = HUF .
2. Für alle Terme f (t1 , . . . , tn ) ∈ HUF :
A(f (t1 , . . . , tn )) = f A (A(t1 ), . . . , A(tn )) = f (t1 , . . . , tn ).
Terme werden also von Herbrand–Strukturen durch sich selbst interpretiert.
Herbrand–Strukturen für geschlossene Formeln sind vollständig durch die
Interpretation pA der Prädikatensymbole charakterisiert.
Man nennt die entsprechende Menge I eine Herbrand–Interpretation:
I = { p(t1 , . . . , tn ) | t1 , . . . , tn ∈ HUF ∧ (t1 , . . . , tn ) ∈ pA }
Eine Herbrand–Struktur, welche ein Modell für eine Formel F ist, heißt
Herbrand–Modell für F .
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223
Logik für Informatiker
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Beispiel (3–Färbbarkeit)
Gesucht ist eine Färbung der Knoten eines Graphen G = h V, E i mit drei
Farben (rot, grün, blau), so daß adjazente Knoten unterschiedliche Farben
haben:
b
a
d
e
c
Wir repräsentieren die Knoten und Kanten des Graphen als Fakten:
f1 = node(a), f2 = node(b), . . . , f5 = node(e),
e1 = edge(a, b), e2 = edge(a, c), . . . , e6 = edge(d , e).
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224
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
g = ,color (X , red ) ∨ color (X , green) ∨ color (X , blue) ← node(X )
c0 = ← edge(X , Y ) ∧ color (X , C ) ∧ color (Y , C ),
c1 = ← color (X , red ) ∧ color (X , green),
c2 = ← color (X , red ) ∧ color (X , blue),
c3 = ← color (X , green) ∧ color (X , blue).
Die disjunktive Regel g wählt für jeden Knoten eine Farbe aus.
Die Integritätsbedingung c0 verhindert, daß adjazente Knoten die gleiche
Farbe bekommen. Die Integritätsbedingungen c1 , c2 , c3 verhindern, daß ein
Knoten zwei Farben bekommt.
Nebenbemerkung: Jeder planare Graph ist 4–färbbar.
Für allgemeine Graphen ist der Test auf 3–Färbbarkeit N P–vollständig.
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225
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Wir betrachten dann die Formel
F = f1 ∧ . . . ∧ f5 ∧ e1 ∧ . . . ∧ e6 ∧
∀Xg ∧
∀X∀Y ∀C c0 ∧
∀Xc1 ∧ . . . ∧ ∀Xc3 .
F ist äquivalent zur folgenden Formel F ′ in Skolemform:
F ′ = ∀X ∀ Y ∀ C
(f1 ∧ . . . ∧ f5 ∧ e1 ∧ . . . ∧ e6 ∧ g ∧ c0 ∧ . . . ∧ c3 ).
Das Herbrand–Universum ist
HUF = { a, b, c, d, e, red, green, blue }.
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226
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
b
a
d
e
c
Die folgende Herbrand–Interpretation I repräsentiert ein Herbrand–Modell
für die Formel F :
I = { node(a), . . . , node(e), edge(a, b), . . . , edge(d , e),
color (a, red ), color (b, green), color (c, blue),
color (d , red ), color (e, green) }.
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227
Logik für Informatiker
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Die zugehörigen Interpretationen pA der Prädikatensymbole sind folgende:
node A = { (a), . . . , (e) },
edge A = { (a, b), . . . , (d, e) },
color A = { (a, red), (b, green), (c, blue),
(d, red), (e, green) }.
Die Herbrand–Interpretation I faßt diese Mengen pA zu einer einzigen
Menge zusammen.
Damit man die Tupel (t1 , . . . , tn ) ∈ pA korrekt zuordnen kann, werden sie
in I als Atome p(t1 , . . . , tn ) mit Prädikatensymbol notiert:
I = { p(t1 , . . . , tn ) | t1 , . . . , tn ∈ HUF ∧ (t1 , . . . , tn ) ∈ pA }.
Würde man einfach die Vereinigung der Mengen pA benutzen, so könnte
man z.B. nicht wissen, ob ein Paar (t1 , t2 ) zu edge A oder zu color A gehört.
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228
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Satz (Herbrand–Modell)
Eine Aussage F in Skolemform ist genau dann erfüllbar,
wenn F ein Herbrand–Modell besitzt.
Beweis:
1. ⇐: Klar.
2. ⇒: Sei A = (UA , IA ) ein beliebiges Modell für F .
Falls F keine Konstanten enthält und a als zusätzliche Konstante
gewählt wurde, so setzen wir aA = a′ , für ein beliebiges Element
a′ ∈ UA . A ist danach immer noch ein Modell für F .
Wir konstruieren nun aus A eine Herbrand–Struktur B = (UB , IB )
für F , d.h. mit der Grundmenge UB = HUF .
Dazu müssen wir die Prädikatensymbole p aus F interpretieren.
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229
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Sei p ein n–stelliges Prädikatensymbol, und seien t1 , . . . , tn ∈ HUF :
(t1 , . . . , tn ) ∈ pB g.d.w. (A(t1 ), . . . , A(tn )) ∈ pA
Wir zeigen nun, daß B ein Modell für F ist. Mehr noch:
Für jede Aussage G in Skolemform, die aus den Bestandteilen von F
aufgebaut ist, gilt:
A |= G ⇒ B |= G.
Wir führen eine Induktion über die Anzahl n der Allquantoren von G.
n = 0: G enthält keine Quantoren.
Dann haben alle Atome von G unter A und B denselben Wahrheitswert,
und deshalb gilt A(G) = B(G).
n → n + 1: Sei G eine Formel mit n + 1 Allquantoren, und zwar von der
Form G = ∀X H, wobei H nur n Allquantoren enthält.
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230
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Wegen A |= G gilt:
∀ u ∈ UA : A[X|u] (H) = 1.
Insbesondere gilt für alle u = A(t) ∈ UA mit t ∈ HUG :
A[X|A(t)] (H) = 1.
Deshalb gilt:
∀ t ∈ HUG : A(H[X|t]) = A[X|A(t)] (H) = 1.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt nun:
∀ t ∈ HUG : B(H[X|t]) = 1.
Deshalb gilt:
∀ t ∈ HUG : B[X|B(t)] (H) = B(H[X|t]) = 1.
Also gilt B(G) = B(∀X H) = 1.
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231
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Der obige Satz über Herbrand–Modelle wäre falsch, wenn wir nicht eine
frische Konstante a zu HUF hinzunehmen würden, falls F keine
Konstanten enthält – denn dann wäre die Grundmenge HUF = ∅.
Beispiel (Herbrand–Modell)
Für die Formel
F = ∃X p(X)
ist das Herbrand–Universum HUF = { a }, und das einzige
Herbrand–Modell A ist gegeben durch
pA = { (a) }.
Ohne die frische Konstante a könnte man kein Herbrand–Modell bilden, da
F fordert, daß pA mindestens ein Tupel (t), mit t ∈ HUF , enthalten muß.
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232
Logik für Informatiker
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Satz (Löwenheim und Skolem)
Jede erfüllbare Formel F der Prädikatenlogik besitzt ein abzählbares
Modell B = (UB , IB ), d.h. mit einer abzählbaren Grundmenge UB .
Man kann für B ein Herbrand–Modell der Skolemform von F wählen.
Definition (Herbrand–Expansion)
Sei F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn G eine Formel in Skolemform mit der
(quantorenfreien) Matrix G.
Dann ist die Herbrand–Expansion von F definiert als
E(F ) = { G[X1 |t1 ] . . . [Xn |tn ] | t1 , . . . , tn ∈ HUF }.
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233
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Herbrand–Expansion)
Für die folgende Formel F in Skolemform
F = ∀X (f ∧ r),
f = married (a, b),
r = student(X ) → person(X ),
ist HUF = { a, b }, und die Herbrand–Expansion
E(F ) = { married (a, b) ∧ (student(a) → person(a)),
married (a, b) ∧ (student(b) → person(b)) }
hat 2 Elemente, da man das Variablensymbol X mit den zwei Konstanten
aus HUF belegen kann.
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234
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Herbrand–Expansion)
Für die Formel F = ∀X1 ∀X2 ∀X3 G, mit G = F1 ∧ F2 ∧ F3 ∧ F4 ∧ F5 und
F1 = ancestor(X1 , X2 ) ← parent(X1 , X2 ),
F1 = ancestor(X1 , X2 ) ← parent(X1 , X3 ) ∧ ancestor(X3 , X2 ),
F3 = parent(a, b),
F4 = parent(b, c),
F5 = parent(c, d),
git HUF = { a, b, c, d }, und E(F ) hat 43 = 64 Elemente. Eines davon ist
z.B. Gθ = F1 θ ∧ F2 θ ∧ F3 ∧ F4 ∧ F5 , für θ = [X1 |a] [X2 |c] [X3 |b]:
F1 θ = ancestor(a, c) ← parent(a, c),
F2 θ = ancestor(a, c) ← parent(a, b) ∧ ancestor(b, c).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
235
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Falls F Variablensymbole und Funktionssymbole der Stelligkeit n ≥ 1
enthält, so sind HUF und E(F ) unendlich groß.
Beispiel (Herbrand–Expansion)
Für die Formel
F = ∀X1 ∀X2 p(X1 , f (X2 ), g(X1 , X2 ))
in Skolemform erhalten wir die folgende Herbrand–Expansion:
HUF = { a, f (a), g(a, a), f (f (a)), f (g(a, a)),
g(a, f (a)), g(a, g(a, a)),
g(f (a), a), g(f (a), f (a)), g(f (a), g(a, a)),
g(g(a, a), a), g(g(a, a), f (a)), g(g(a, a), g(a, a)), . . . },
E(F ) = { p(t1 , f (t2 ), g(t1 , t2 )) | t1 , t2 ∈ HUF }.
Da F keine Konstante enthält, wurde a zu HUF hinzugenommen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
236
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Im Grunde genommen kann E(F ) als eine – meist unendliche –
aussagenlogische Formelmenge angesehen werden, wenn man die in E(F )
vorkommenden Grundatome als atomare Formeln der Aussagenlogik
auffaßt.
Satz (Gödel, Herbrand und Skolem)
Eine Aussage F in Skolemform ist genau dann unerfüllbar,
wenn es eine endliche Teilmenge von E(F ) gibt,
die (im aussagenlogischen Sinne) unerfüllbar ist.
Beweis:
Mittels des Satzes von Gödel, Herbrand und Skolem und des
Endlichkeitssatzes der Aussagenlogik.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
237
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Semi–Entscheidungsverfahren für die Prädikatenlogik
Gilmore:
Für jede prädikatenlogische Formel F ist die Herbrand–Expansion
E(G) = { G1 , G2 , . . . }
der Skolemform G von F abzählbar, da auch das Herbrand–Universum
HUF abzählbar ist.
F ist genau dann erfüllbar, wenn alle Konjunktionen
G1 ∧ G2 ∧ . . . ∧ Gn ,
mit n ∈ IN+ = { 1, 2, . . . }, erfüllbar sind. Durch sukzessives Testen dieser
Konjunktionen auf Unerfüllbarkeit erhält man also ein Verfahren, welches
für unerfüllbare Formeln F nach endlicher Zeit stoppt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
238
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Für erfüllbare Formeln F terminiert das Verfahren offensichtlich nicht
immer.
→ Semi–Entscheidbarkeit des Unerfüllbarkeitsproblems.
Durch Anwendung des Testverfahrens auf ¬F kann man auf Gültigkeit
testen.
→ Semi–Entscheidbarkeit des Gültigkeitsproblems.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
239
Logik für Informatiker
2.5
Wintersemester 2013/14
Resolution
Wir betrachten eine prädikatenlogische Formel
F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xm G
in Skolemform ohne freie Variablen und mit der Matrix G in KNF.
• Die Matrix G ist quantorenfrei und von der Form G = ∧ki=1 βi .
• Wir untersuchen nun die zugehörige Klauselmenge
M = { β1 , . . . , βk }.
Eine Struktur A heißt Modell für M , falls A ein Modell für F ist.
Wir betrachten eine Klauselmenge M also wie eine KNF zusammen mit
Allquantoren für alle vorkommenden Variablen.
Eine Klausel β = L1 ∨ . . . ∨ Ln wird auch oft als Menge { L1 , . . . , Ln }
von Literalen repräsentiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
240
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Definition (Resolutionsableitung)
Sei M eine Klauselmenge.
Eine Folge K1 , K2 , . . . , Kn von Klauseln nennt man Resolutionsableitung,
falls für alle 1 ≤ i ≤ n gilt:
1. Ki ist eine Grundinstanz einer Klausel K ∈ M ,
d.h. Ki = K[X1 |t1 ] . . . [Xk |tk ], mit t1 , . . . , tk ∈ HUF , oder
2. Ki ist eine (aussagenlogische) Resolvente
zweier Klauseln Ka und Kb mit 1 ≤ a, b ≤ i − 1.
M ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine Resolutionsableitung der leeren
Klausel Kn = 2 gibt.
Dasselbe gilt für die entsprechende prädikatenlogische Formel F .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
241
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Resolution)
Wir betrachten die Klauselmenge M = { F1 , F2 , F3 } mit
F1 = ¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ q(Y ),
F2 = p(Y ),
F3 = ¬p(g(b, X)) ∨ ¬q(b).
Dann kann man
• F1 [X|f (a)] [Y |b] und F2 [Y |f (a)] zu K = { q(b) } resolvieren, und
• F2 [Y |g(b, a)] und F3 [X|a] zu K ′ = { ¬q(b) }.
Aus K und K ′ erhält man schließlich die leere Klausel 2.
Also sind die Klauselmenge M und die zugehörige Formel F unerfüllbar:
F = ∀X ∀ Y (F1 ∧ F2 ∧ F3 ).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
242
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Baumdarstellung:
{ ¬p(X), ¬p(f (a)), q(Y ) }
[X|f (a)] [Y |b]
{ p(Y ) }
[Y |f (a)]
?
{ ¬p(f (a)), q(b) }
{ ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
[Y |g(b, a)]
R
{ p(f (a)) }
{ p(g(b, a)) }
?
{ ¬p(g(b, a)), ¬q(b) }
U U { q(b) }
{ ¬q(b) }
s
[X|a]
+
2
Die Klausel { p(Y ) } wurde in der Resolutionsableitung zweimal benutzt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
243
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
{ ¬p(X), ¬p(f (a)), q(Y ) }
[X|f (a)] [Y |b]
{ p(Y ) }
{ ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
[Y |f (a)]
?
K1 = { ¬A, B }
[Y |g(b, a)]
R
K2 = { A }
K3 = { C }
[X|a]
?
K4 = { ¬C, ¬B }
U U K5 = { B }
K6 = { ¬B }
s
+
K7 = 2
Durch die vollständige Grundinstanziierung auf
A = p(f (a)), B = q(b), C = p(g(b, a)),
wird das Problem auf die Aussagenlogik reduziert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
244
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Aus Effizienzgründen versucht man Substitutionen aber nur auszuführen,
wenn es für den direkt nachfolgenden Resolutionsschritt erforderlich ist.
{ ¬p(X), ¬p(f (a)), q(Y ) }
[X|f (a)]
{ p(Y ) }
[Y |f (a)]
?
[Y |g(b, X)]
{ ¬p(f (a)), q(Y ) }
{ ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
R
{ p(f (a)) }
?
{ p(g(b, X)) } { ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
U U { q(Y ) }
{ ¬q(b) }
[Y |b]
?
?
{ q(b) }
{ ¬q(b) }
s
+
2
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245
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Definition (Unifikator, allgemeinster Unifikator)
Sei θ = [X1 |t1 ] . . . [Xn |tn ] eine Substitution.
1. Für eine endliche Literalmenge
L = { L1 , . . . , Lk }
setzen wir Lθ = { L1 θ, . . . , Lk θ }.
2. θ ist ein Unifikator von L, falls
L1 θ = L2 θ = . . . = Lk θ.
θ
R
θ′
?
γ
3. Ein Unifikator θ von L heißt allgemeinster Unifikator von L,
falls für jeden Unifikator θ ′ von L eine Substitution γ existiert mit
θ ′ = θγ,
d.h. F θ ′ = (F θ)γ für alle Formeln F .
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246
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Allgemeinster Unifikator)
1. θ ist ein allgemeinster Unifikator für die Literalmenge
L = { p(X), p(f (a)) }.
θ ′ ist ein weiterer Unifikator, und es gilt θ ′ = θγ.
θ = [X|f (a)]
R
θ ′ = [X|f (a)] [Y |b]
γ = [Y |b]
?
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247
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
2. θ ist ein allgemeinster Unifikator für die Literalmenge
L = { p(Y ), p(g(b, X)) }.
θ ′ ist ein weiterer Unifikator, und es gilt θ ′ = θγ.
θ = [Y |g(b, X)]
R
θ ′ = [Y |g(b, a)] [X|a]
γ = [X|a]
?
Prof. Dr. Dietmar Seipel
248
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Allgemeinste Unifikatoren sind i.a. nicht eindeutig:
L = { p(X), p(Y ) }
hat z.B. die beiden folgenden allgemeinsten Unifikatoren:
θ1 = [X|Y ],
θ2 = [Y |X].
Es gilt θ1 θ2 = θ2 und θ2 θ1 = θ1 .
Der folgende weitere Unifikator
θ3 = [X|Z][Y |Z]
ist allerdings kein allgemeinster Unifikator.
Es gilt θ1 [Y |Z] = θ3 und θ2 [X|Z] = θ3 .
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249
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die Substitutionen bilden keine Gruppe. Es gibt ein neutrales Element [ ].
Aber für
θ3 = [X|Z][Y |Z]
gibt es z.B. kein Rechts–Inverses γ3 mit
θ3 γ3 = [ ].
Man kann die Anwendung von θ3 nicht rückgängig machen, da man für ein
Z nicht weiß, ob es von einem X oder einem Y herrührt. Ebenso gibt es für
θ4 = [X|a]
kein Rechts–Inverses, da man die Konstante a nicht auf eine Variable X
abbilden kann. Auch für θ1 und θ2 gibt es keine Rechts–Inverse.
Deswegen sind θ1 θ2 = θ2 und θ2 θ1 = θ1 möglich. Interessanterweise gilt
hier außerdem θ1 θ1 = θ1 und θ2 θ2 = θ2 (Idempotenz).
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250
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Unifikationssatz (J.A. Robinson)
Jede unifizierbare Menge von Literalen besitzt auch einen allgemeinsten
Unifikator.
Wir interessieren uns hauptsächlich für denjenigen allgemeinsten
Unifikator, der durch den folgenden Algorithmus bestimmt wird.
Unifikationsalgorithmus
Eingabe: eine endliche, nicht–leere Literalmenge (Literalfolge) L
θ = [ ]; ([ ] ist die leere Substitution, d.h. die identische Abbildung)
while |Lθ| > 1 do begin
durchsuche die Literale in Lθ von links nach rechts, bis die erste
Position gefunden ist, wo sich mindestens zwei Literale L1 und L2
unterscheiden (Prädikaten– oder Argument–Position);
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251
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
if keines der beiden Zeichen an den gefundenen Positionen
ist eine Variable
then stoppe mit der Ausgabe “nicht unifizierbar”
else begin
sei X die an der einen Position gefundene Variable
und t der Term an der anderen Position;
if X kommt in t vor (“Occurs Check”)
then stoppe mit der Ausgabe “nicht unifizierbar”
else θ = θ [X|t];
end;
end;
Ausgabe: θ ist ein allgemeinster Unifikator von L
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252
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Unifikationsalgorithmus)
1. Für die Literalmenge L = { p(X), p(f (a)), p(Y ) } sind die
Prädikatenpositionen alle gleich p.
?
?
?
L = { p(|{z}
X ), p(f (a)), p(|{z}
Y )}
|{z}
6
6
6
Die ersten Unterschiede liegen in den Argumenten. Also setzen wir
θ1 = [X|f (a)] und erhalten Lθ1 = { p(f (a)), p(Y ) }, da die ersten
beiden Atome zusammenfallen.
Mittels θ2 = [Y |f (a)] erhalten wir θ = θ1 θ2 = [X|f (a)][Y |f (a)] und
Lθ = { p(f (a)) }. Wegen |Lθ| = 1 ist θ ein allgemeinster Unifikator.
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253
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
2. Für die Literalmenge L = { L1 , L2 }, mit
L1 = p(f (Z, g(a, Y )), h(Z)),
L2 = p(f (f (U, V ), W ), h(f (a, b))),
sind die ersten unterschiedlichen Positionen X = Z und t = f (U, V ).
Somit erhalten wir θ1 = [Z|f (U, V )].
Für Lθ1 = { L1 θ1 , L2 θ1 }, mit
L1 θ1 = p(f (f (U, V ), g(a, Y )), h(f (U, V ))),
L2 θ1 = L2 ,
sind die ersten unterschiedlichen Positionen X = W und t = g(a, Y ).
Somit erhalten wir θ2 = [W |g(a, Y )].
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254
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Für Lθ1 θ2 = { L1 θ1 θ2 , L2 θ1 θ2 }, mit
L1 θ1 θ2 = p(f (f (U, V ), g(a, Y )), h(f (U, V ))) und
L2 θ1 θ2 = p(f (f (U, V ), g(a, Y )), h(f (a, b))),
sind die ersten unterschiedlichen Positionen X = U und t = a. Somit
erhalten wir θ3 = [U |a]. Abschließend erhalten wir noch θ4 = [V |b].
Insgesamt erhalten wir die Substitution
θ = θ1 θ2 θ3 θ4
= [Z|f (U, V )][W |g(a, Y )][U |a][V |b]
= [Z|f (a, b)][W |g(a, Y )][U |a][V |b],
und
L1 θ = p(f (f (a, b), g(a, Y )), h(f (a, b))) = L2 θ.
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255
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
3. Die Literalmenge L = { p, q } ist nicht unifizierbar,
da die Prädikatensymbole nicht übereinstimmen.
4. Die Literalmenge L = { p(a), p(b) } ist nicht unifizierbar,
da die Argumente unterschiedliche Konstanten sind.
5. Die Literalmenge L = { p(f (X)), p(g(X)) } ist nicht unifizierbar,
da die Funktionssymbole f und g nicht übereinstimmen.
6. Die Literalmenge L = { p(X), p(f (X)) } ist ebenfalls nicht
unifizierbar, denn der Occurs Check stellt fest,
daß der Term t = f (X) die Variable X enthält.
Wenn man X mittels θ = [X|t′ ] durch einen Term t′ ersetzt, etwa
durch t′ = t = f (X), dann enthält p(X)θ = p(t′ ) immer ein Auftreten
des Funktionssymbols f weniger als p(f (X))θ = p(f (t′ )).
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256
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Occurs Check
In P ROLOG wird der Occurs Check aus Effizienzgründen meist
weggelassen, da der auf X zu testende Term t sehr groß sein kann.
?- X = f(X).
X = f(**).
• Das Ergebnis der Unifikation von X und f (X) ist in S WI–P ROLOG die
Substitution [X|f (**)] – aber ohne die sonst übliche Ausgabe true.
• Wie bei Dauerschleifen in herkömmlichen Programmiersprachen wie
JAVA, geht man aber davon aus, daß ein Programmierer in der Praxis
diese fehlerhaften Unifikationen vermeidet.
• Aus rein theoretischer Sicht könnte man über unendlichen
Termstrukturen als Ergebnis die Substitution [X|f (f (f (...)))] angeben,
die X durch einen unendlich tief verschachtelten Term ersetzt.
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257
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Definition (Prädikatenlogische Resolution)
Seien K1 und K2 prädikatenlogische Klauseln.
1. Seien θ1 und θ2 Substitutionen, welche die Variablen von K1 und K2
so umbenennen, daß K1 θ1 und K2 θ2 keine gemeinsamen Variablen
mehr enthalten – wir nennen sie dann variablendisjunkt.
2. Für ein Atom A setzen wir A = ¬A und ¬A = A.
3. Es gebe nun Literale L1 , . . . , Lm ∈ K1 θ1 und L′1 , . . . , L′n ∈ K2 θ2 ,
mit m ≥ 1 und n ≥ 1, so daß
K1
K2
L = { L , . . . , L , L′ , . . . , L′ }
1
m
1
n
unifizierbar ist mit einem allgemeinsten Unifikator θ.
4. Dann ist die folgende prädikatenlogische Klausel K eine
prädikatenlogische Resolvente von K1 und K2 :
U K
K = ((K1 θ1 \{ L1 , . . . , Lm }) ∪ (K2 θ2 \{ L′1 , . . . , L′m }))θ.
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258
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Alternative, abstraktere Formulierung
• 1. und 2. wie oben.
• Für eine Literalmenge L setzen wird L = { L | L ∈ L }.
• Es gebe nun nicht–leere Literalmengen
L1 ⊆ K1 θ1 , L2 ⊆ K2 θ2 ,
so daß L1 ∪ L2 unifizierbar ist mit einem allgemeinsten Unifikator θ.
• Dann ist die prädikatenlogische Klausel
K = ((K1 θ1 \ L1 ) ∪ (K2 θ2 \ L2 ))θ
eine prädikatenlogische Resolvente von K1 und K2 .
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K1
K2
U K
259
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Prädikatenlogische Resolution)
Da die Klauselmenge { K1 , K2 } für die Formel
∀X (p(X) ∧ ¬p(f (X))) ≡ (∀X p(X)) ∧ (∀X ¬p(f (X)))
steht, können wir K1 und K2 variablendisjunkt machen.
K1 = { p(X) }
K1′
?
= { p(X) }
K2 = { ¬p(f (X)) }
K2′
?
= { ¬p(f (U )) }
j
K=2
Wir setzen K1′ = K1 , d.h. θ1 = [ ], und K2′ = K2 θ2 , mit θ2 = [X|U ].
Dann ist θ = [X|f (U )] ein allgemeinster Unifikator für
L = { p(X), p(f (U )) }, und wir erhalten die Resolvente K = 2 = ∅.
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260
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Prädikatenlogische Resolution)
K1 = { p(f (X)), ¬q(Z), p(Z) }
K2 = { ¬p(X), r(g(X), a) }
^
K = { ¬q(f (X)), r(g(f (X)), a) }
Wir setzen
θ1 = [ ],
θ2 = [X|U ],
θ = [U |f (X)] [Z|f (X)].
θ ist ein allgemeinster Unifikator für L = { p(f (X)), p(Z), p(U ) }.
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261
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die Resolutionsmengen werden analog zur Aussagenlogik definiert.
Definition (Resolutionsmengen)
Sei M eine prädikatenlogische Klauselmenge.
Res(M ) = M ∪ { K | K ist eine prädikatenlogische Resolvente
zweier Klauseln K1 , K2 ∈ M }.
Ferner definieren wir:
Res 0 (M )
= M,
Res n+1 (M ) = Res(Res n (M )), für n ≥ 0,
S
∗
Res (M )
= n≥0 Res n (M ).
Es gibt meist sehr viele Resolventen, die wir nicht alle aufzählen können.
Außerdem ist das Variablendisjunkt–Machen nicht eindeutig.
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262
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Resolutionsmengen)
Für die Klauselmenge M = { F1 , F2 , F3 } mit
F1 = ¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ q(Y ),
F2 = p(Y ),
F3 = ¬p(g(b, X)) ∨ ¬q(b),
zur Formel F = ∀X ∀ Y (F1 ∧ F2 ∧ F3 ) erhalten wir folgendes:
• Je nachdem ob wir bei der Resolution von F1 und F2 beide p–Literale
aus F1 gegen F2 = p(Y ) resolvieren oder jeweils nur eines, erhalten
wir drei unterschiedliche Resolventen:
q(Y ), ¬p(f (a)) ∨ q(Y ), ¬p(X) ∨ q(Y ).
• Die Resolution von F2 und F3 über die p–Literale ergibt
¬q(b).
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263
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
• Die Resolution von F1 und F3 über die q–Literale ergibt
¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ ¬p(g(b, X ′ )).
Um die Klauseln variablendisjunkt zu machen, haben X in F3 durch
X ′ ersetzt. Diese Substitution ist natürlich nicht eindeutig.
Wir erhalten also die folgenden Resolutionsmengen:
Res 0 (M ) = M,
Res 1 (M ) = M ∪ { ¬p(f (a)) ∨ q(Y ), ¬p(X) ∨ q(Y ), q(Y ), ¬q(b),
¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ ¬p(g(b, X ′ )) },
Res 2 (M ) = Res 1 (M ) ∪ { 2, . . . }.
Res 2 (M ) enthält hier – neben der leeren Klausel 2 – weitere Resolventen,
die wir nicht alle aufzählen wollen.
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264
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Resolutionssatz der Prädikatenlogik
Sei F eine prädikatenlogische Formel in Skolemform ohne freie Variablen
und mit (quantorenfreier) Matrix in KNF, und sei M die zugehörige
Klauselmenge.
F ist genau dann unerfüllbar, wenn 2 ∈ Res ∗ (M ).
Eine Resolutionsableitung verwendet immer nur endlich viele Klauseln.
Deswegen ist der Kompaktheitssatz entscheident, der besagt, daß eine
unerfüllbare Formelmenge bereits eine endliche unerfüllbare Teilmenge
haben muß.
Der Beweis des Resolutionssatzes erfolgt durch Lifting des
aussagenlogischen Satzes.
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265
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Lifting–Lemma
Seien K1 und K2 zwei prädikatenlogische Klauseln, und seien K1′ und K2′
beliebige Grundinstanzen von K1 bzw. K2 .
• Sei K ′ eine Resolvente von K1′ und K2′ im aussagenlogischen Sinn.
• Dann gibt es eine prädikatenlogische Resolvente K von K1 und K2 ,
so daß K ′ eine Grundinstanz von K ist.
K1
K2
j
?
K1′
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K
j ?
′
K
?
K2′
266
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Lifting–Lemma)
{ p(f (X)), ¬q(Z), p(Z) }
{ ¬p(X), r(g(X), a) }
j
θ1 = [X|b] [Z|f (b)]
θ2 = [X|f (b)]
{ ¬q(f (X)), r(g(f (X)), a)
?
?
{ p(f (b)), ¬q(f (b)), p(f (b)) }
{ ¬p(f (b)), r(g(f (b)), a) }
j
?
{ ¬q(f (b)), r(g(f (b)), a)
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267
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Resolution mit Gruppenaxiomen)
Wir schreiben p(X, Y, Z) anstelle von X ◦ Y = Z (Produkt).
(1) Abgeschlossenheit:
∀X∀Y ∃Z p(X, Y, Z).
(2) Assoziativität:
∀U ∀V ∀W ∀X∀Y ∀Z
( p(X, Y, U ) ∧ p(Y, Z, V ) → (p(X, V, W ) ↔ p(U, Z, W ) ).
äquivalent: ∀ . . . ( X ◦ (Y ◦ Z) = W ↔ (X ◦ Y ) ◦ Z = W ).
(3) Existenz eines links–neutralen Elements (X) und Existenz von
Links–Inversen (Z):
∃X ∀Y (p(X, Y, Y ) ∧ ∃Z p(Z, Y, X)).
äquivalent: ∃X ∀Y ((X ◦ Y = Y ) ∧ ∃Z (Z ◦ Y = X)).
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268
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
(4) Existenz von Rechts–Inversen:
∃X ∀Y (p(X, Y, Y ) ∧ ∃Z p(Y, Z, X)).
äquivalent: ∃X ∀Y ((X ◦ Y = Y ) ∧ ∃Z (Y ◦ Z = X)).
Es stellt sich heraus, daß man die Existenz von Rechts–Inversen nicht
separat in einem Axiom fordern muß, da sie bereits aus den anderen
Gruppenaxiomen (1), (2) und (3) folgt.
Um dies zu zeigen, betrachten wir die Negation von (4).
Diese ist äquivalent zur BPF
∀X ∃Y ∀Z (¬p(X, Y, Y ) ∨ ¬p(Y, Z, X)).
• Da Z nicht in der Teilformel p(X, Y, Y ) vorkommt, kann man in (4)
den Existenzquantor ∃Z nach vorne ziehen.
• Die Negation vertauscht All– und Existenzquantoren, und sie
verwandelt nach De Morgan eine Konjunktion in eine Disjunktion.
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269
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die Formel zur Assoziativität wird z.B. schematisch wie folgt umgeformt:
∀...
∀...
∀...
∀...
( α → (A ↔ B) ) ≡
( α → ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)) ) ≡
( α → ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) ) ≡
( (α ∧ B → A) ∧ (α ∧ A → B) ).
Es wurde zweimal verwendet, daß ein negiertes Literal ¬B im Kopf einer
Regel als B in den Rumpf verschoben werden kann:
∀ . . . ( α → (A ∨ ¬B) ) ≡
∀ . . . ( ¬ α ∨ A ∨ ¬B ) ≡
∀ . . . ( α ∧ B → A ).
Wir erhalten also aus (2) zwei Implikationen.
Die Folgerung { (1), (2), (3) } |= (4) gilt genau dann, wenn
{ (1), (2), (3), ¬(4) } unerfüllbar ist.
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270
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Klauselform von (1) ∧ (2) ∧ (3) ∧ ¬(4) mit Skolemfunktionen m, e, i, j:
(1) Abgeschlossenheit:
(a) { p(X, Y, m(X, Y )) }.
(2) Assoziativität:
(b) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(X, V, W ), p(U, Z, W ) },
(c) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(U, Z, W ), p(X, V, W ) }.
(3) Existenz eines links–neutralen Elements e und Existenz von
Links–Inversen i(Y ) für Gruppenelemente Y :
(d) { p(e, Y, Y ) },
(e) { p(i(Y ), Y, e) }.
(4) Negation der Existenz von Rechts–Inversen:
(f) { ¬p(X, j(X), j(X)), ¬p(j(X), Z, X) }.
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271
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Resolutionsherleitung der leeren Klausel
(f ) { ¬p(X, j(X), j(X)), ¬p(j(X), Z, X) }
|
(d) { p(e, Y, Y ) }
↓ ւ
{ ¬p(j(e), Z, e) }
|
(b) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(X, V, W ), p(U, Z, W ) }
↓ ւ
{ ¬p(X, Y, j(e)), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(X, V, e) }
|
(e) { p(i(Y ), Y, e) }
↓ ւ
{ ¬p(i(V ), W, j(e)), ¬p(W, Z, V ) }
|
(d) { p(e, Y, Y ) }
↓ ւ
{ ¬p(i(V ), e, j(e)) }
Prof. Dr. Dietmar Seipel
272
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
|
(c) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(U, Z, W ), p(X, V, W ) }
↓ ւ
{ ¬p(i(V ), Y, U ), ¬p(Y, Z, e), ¬p(U, Z, j(e)) }
|
(d) { p(e, Y, Y ) }
↓ ւ
{ ¬p(i(V ), Y, e), ¬p(Y, j(e), e) }
|
(e) { p(i(Y ), Y, e) }
↓ ւ
{ ¬p(i(V ), i(j(e)), e) }
|
(e) { p(i(Y ), Y, e) }
↓ ւ
2
Also folgt das vierte Gruppenaxiom aus den ersten dreien:
(1) ∧ (2) ∧ (3) |= (4).
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273
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Da wir in diesem Beispiel ausschließlich Horn–Klauseln vorliegen haben,
können wir die Resolutionsherleitung auch in Implikationsnotation schreiben:
(f ) ← p(X, j(X), j(X)) ∧ p(j(X), Z, X)
|
(d) p(e, Y, Y )
↓ ւ
← p(j(e), Z, e)
|
(b) p(U, Z, W ) ← p(X, Y, U ) ∧ p(Y, Z, V ) ∧ p(X, V, W )
↓ ւ
← p(X, Y, j(e)) ∧ p(Y, Z, V ) ∧ p(X, V, e)
|
(e) p(i(Y ), Y, e)
↓ ւ
← p(i(V ), W, j(e)) ∧ p(W, Z, V )
|
(d) p(e, Y, Y )
↓ ւ
← p(i(V ), e, j(e))
Prof. Dr. Dietmar Seipel
274
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
|
(c) p(X, V, W ) ← p(X, Y, U ) ∧ p(Y, Z, V ) ∧ p(U, Z, W )
↓ ւ
← p(i(V ), Y, U ) ∧ p(Y, Z, e) ∧ p(U, Z, j(e))
|
(d) p(e, Y, Y )
↓ ւ
← p(i(V ), Y, e) ∧ p(Y, j(e), e)
|
(e) p(i(Y ), Y, e)
↓ ւ
← p(i(V ), i(j(e)), e)
|
(e) p(i(Y ), Y, e)
↓ ւ
2
Es handelt sich um eine lineare Herleitung von Goals. Bis auf den ersten
Schritt wird immer zuerst das rechteste Atom des Goal–Rumpfes resolviert.
Wenn man zuerst mit (b) und dann mit (d) resolvieren würde, dann wäre
dies – wie bei der SLD–Resolution – immer der Fall.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
275
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Prädikatenlogik der zweiten Stufe (PL2)
Die Prädikatenlogik ist zwar ausdrucksstärker als die Aussagenlogik.
Aber trotzdem kann auch im Rahmen der Prädikatenlogik nicht jede
mathematische Aussage formuliert werden.
Wir erhalten eine noch größere Ausdrucksstärke, wenn wir zusätzlich
Quantifizierungen über
• Prädikaten– und
• Funktionssymbolen
erlauben.
Beispiel (PL2)
F = ∀p ∃f ∀X p(f (X)).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
276
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Exkurs: Induktionsaxiom der natürlichen Zahlen in PL2
Das Induktionsaxiom wurde ursprünglich in der PL2 formuliert:
∀p ( p(0) ∧ ∀N (N ∈ IN0 ∧ p(N ) → p(s(N ))) →
∀N (N ∈ IN0 → p(N )) ).
Es verwendet ein 1–stelliges Funktionssymbol s zur Bezeichnung des
Nachfolgers einer natürlichen Zahl, und es quantifiziert über ein 1–stelliges
Prädikatensymbol p.
Das Axiom besagt, daß jede induktive Teilmenge von IN0 – beschrieben
durch das Prädikat p – gleich IN0 sein muß:
• Falls p für die Zahl 0 gilt, und
• falls für alle N ∈ IN0 aus p(N ) auch p(s(N )) folgt,
d.h., wenn p für N gilt, dann gilt p auch für N + 1,
• dann gilt p für alle N ∈ IN0 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
277
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Peano–Axiome der natürlichen Zahlen
(P1)
∀N ¬ (s(N ) ≡ 0),
(P2)
∀N ∀M (s(N ) ≡ s(M ) → N ≡ M ),
(P3)
∀p ( p(0) ∧ ∀N (p(N ) → p(s(N ))) → ∀N p(N ) ).
(P3) ist eine verkürzte Version des Induktionsaxioms in der PL2.
Zusätzlich muß das Gleichheitsprädikat ≡ geeignet axiomatisiert werden.
Dann sind alle Modelle A der Gesamtformelmenge F isomorph.
Z.B. gibt es das (eindeutige) Herbrand–Modell mit der Grundmenge
HUF = { 0, s(0), s(s(0)), . . . } = { sn (0) | n ∈ IN0 }.
Das Herbrand–Modell repräsentiert eine natürliche Zahl n ∈ IN als einen
Term sn (0) mit n Auftreten des Funktionssymbols s.
Wir setzen dazu s0 (0) = 0 und sn+1 (0) = s(sn (0)), für n ∈ IN0 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
278
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Ein anderes Modell A, das von John von Neumann vorgeschlagen wurde,
repräsentiert eine natürliche Zahl n ∈ IN als eine Menge.
Dazu werden die Terme sn (0) aus HUF folgendermaßen interpretiert:
0A
= ∅,
s(t)A = tA ∪ {tA }.
Wenn wir (sn (0))A = sn schreiben, dann erhalten wir:
s0
= ∅,
s1
= s0 ∪ { s0 } = ∅ ∪ { ∅ } = { ∅ } = { s0 },
s2
= s1 ∪ { s1 } = { ∅, { ∅ } } = { s0 , s1 },
sn+1 = sn ∪ { sn } = { s0 , s1 , . . . , sn }.
Man kann dagegen zeigen, daß jede Axiomatisierung der natürlichen
Zahlen als Peano–Struktur im Rahmen der PL1 Nicht–Standardmodelle
aller unendlichen Kardinalitäten zuläßt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
279
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Mathematische Theorien
Eine Theorie ist eine Menge T von Formeln (möglicherweise beschränkt
auf solche Formeln, die nur aus bestimmten vorgegebenen Bestandteilen –
z.B. bestimmten Prädikaten– und Funktionssymbolen – aufgebaut ist), die
gegenüber Folgerbarkeit abgeschlossen ist. D.h., falls
{ F1 , . . . , Fn } ⊆ T
gilt und
F eine Folgerung aus { F1 , . . . , Fn } ist,
dann gilt auch
F ∈T
Die Formeln F ∈ T heißen auch Sätze der Theorie.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
280
Logik für Informatiker
Prof. Dr. Dietmar Seipel
Wintersemester 2013/14
281
Logik für Informatiker
2.6
Wintersemester 2013/14
Hyperresolution für Hornformeln
Eine prädikatenlogische Klausel K = L1 ∨ . . . ∨ Ln ist eine Hornklausel,
falls maximal ein Literal Li positiv ist – wie in der Aussagenlogik.
Es gibt auch wieder drei interessante Spezialfälle;
im folgenden seien A und B1 , . . . , Bm prädikatenlogische Atome:
• Eine (definite) Regel ist eine Hornklausel K = A ∨ ¬B1 ∨ . . . ∨ ¬Bm
mit genau einem positiven Literal.
• Ein (definites) Fakt ist eine Regel K = A ohne negative Literale (m = 0).
• Eine Goal (Ziel, Anfrage) ist eine Hornklausel K = ¬B1 ∨ . . . ∨ ¬Bm
ohne positives Literal.
Ein definites Logikprogramm ist eine Menge von definiten Regeln (bzw.
Fakten) in Implikations–Notation.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
282
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
In der Logikprogrammierung verwendet man – aufgrund der Regeln von De
Morgan – für Hornklauseln folgende Implikations–Notation:
Fakt:
A,
Regel: A ← B1 ∧ . . . ∧ Bm , m ≥ 0,
Goal: ← B1 ∧ . . . ∧ Bm , m ≥ 0.
Regeln und Fakten:
• Das Atom A heißt Kopf einer Regel r = A ← β.
• Die Konjunktion β = B1 ∧ . . . ∧ Bm ist der Rumpf der Regel r.
Die Atome Bi , mit 1 ≤ i ≤ m, heißen Rumpfatome.
• Falls m = 0 ist, so wird die Regel mit dem Fakt A gleichgesetzt.
Goals werden bei der SLD–Resolution für Anfragen benutzt; in diesem
Abschnitt zur Hyperresolution verwenden wir keine Goals.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
283
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
DATALOG–Programme: verwendet in Deduktiven Datenbanken
In der Aussagenlogik enthalten Hornformeln keine Variablensymbole.
Als Erweiterung betrachten wir nun in der Prädikatenlogik Hornformeln,
bei denen jedes Variablensymbol in mindestens einem Rumpfatom
vorkommt. Solche Hornformeln nennen wir bereichsbeschränkt.
Eine Menge von bereichsbeschränkten Hornformeln in
Implikationsnotation nennen wir DATALOG–Programm.
• Im strengen Sinne können DATALOG–Programme P auch keine
Funktionssymbole enthalten. Dann ist das Herbrand–Universum HUP
endlich, und es können nur endlich viele Atome abgeleitet werden.
• In praktischen Anwendungen verwendet man aber oft die Erweiterung
um Funktionssymbole namens DATALOGfun . Dann liegt es am
Programmierer, Dauerschleifen bei der Ableitung zu vermeiden.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
284
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (DATALOG–Programm)
Die folgenden Regeln bilden ein DATALOG–Programm P zur Berechnung
der Vorfahren (ancestor ) aufgrund der Eltern–Relation (parent):
ancestor(X, Y ) ← parent(X, Y ),
ancestor(X, Y ) ← parent(X, Z) ∧ ancestor(Z, Y ).
Zugehörige Eltern–Fakten:
parent(a, b), parent(b, c), parent(c, d).
Jeder Elternteil ist ein Vorfahre (Regel 1), und jeder Vorfahre der Eltern ist
ebenfalls ein Vorfahre (Regel 2).
In P ROLOG sind auch Regeln sinnvoll, bei denen Variablensymbole nur im
Kopf vorkommen – wie z.B. das Fakt zu hres_iteration/3 am Ende
dieses Abschnittes.
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285
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Hyperresolution
Die sukzessive, n–fache Anwendung der binären Resolution auf eine Regel
A ← B1 ∧ . . . ∧ Bn und geeignete Fakten Ai nennt man Hyperresolution.
Die Rumpfatome Bi werden sukzessive mit den Fakten Ai resolviert.
A ∨ ¬B1 ∨ ¬B2 ∨ . . . ∨ ¬Bn
θ1
A1
?9
(A ∨
¬B2 ∨ . . . ∨ ¬Bn ) θ1
θ2
..?9
.
A2
..
.
?9
(A ∨
¬Bn ) θ1 . . . θn−1
θn
An
?9
A θ1 . . . θn
Wir nennen das berechnete Fakt A θ1 . . . θn eine Hyperresolvente.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
286
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
DATALOG–Fakten enthalten keine Variablensymbole.
Deswegen muß man die Fakten Ai und die zwischendurch erhaltenen
Regeln nicht variablendisjunkt machen.
Es genügt Substitutionen θi zu finden, so daß
(Bi θ1 . . . θi−1 ) θi = Ai .
Wir bezeichen
θ = θ1 . . . θn
als die berechnete Substitution. Die berechnete Hyperresolvente
Aθ
ist dann automatisch auch ein Fakt ohne Variablensymbole,
da ja alle Variablensymbole aus dem Regelkopf A in den Rumpfatomen Bi
enthalten sind und somit von θ grundinstanziiert werden.
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287
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Hyperresolution)
Für das DATALOG–Programm P mit den Regeln
anc(X, Y ) ← par(X, Y ),
anc(X, Y ) ← par(X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
und den Eltern–Fakten
par(a, b),
par(b, c),
par(c, d),
erhalten wir folgendes:
1. Die Fakten aus P werden mittels einer Hyperresolution durch n = 0
Anwendungen der binären Resolution abgeleitet.
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288
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
2. Dann kann aus dem Fakt par (b, c) und der ersten Regel ein Fakt
anc(b, c) abgeleitet werden:
anc(X, Y ) ← par (X, Y )
θ1 = [X|b] [Y |c]
par (b, c)
?)
anc(b, c)
Die berechnete Substitution ist
θ = θ1 = [X|b] [Y |c],
und es wird anc(X, Y )θ = anc(b, c) abgeleitet.
Ebenso werden die Fakten anc(a, b) und anc(c, d) abgeleitet.
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289
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
3. Danach kann aus den Fakten par (a, b) und anc(b, c) und der zweiten
Regel das Fakt anc(a, c) abgeleitet werden:
anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y )
θ1 = [X|a] [Z|b]
?9
anc(a, Y ) ← anc(b, Y )
θ1 = [Y |c]
par (a, b)
anc(b, c)
?9
anc(a, c)
Die berechnete Substitution ist
θ = θ1 θ2 = [X|a] [Z|b] [Y |c],
und es wird anc(X, Y )θ = anc(a, c) abgeleitet.
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290
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Ebenso kann das Fakt anc(b, d) abgeleitet werden.
4. Zuletzt kann aus dem Fakt anc(b, d) das Fakt anc(a, d) abgeleitet
werden:
anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y )
θ1 = [X|a] [Z|b]
?9
anc(a, Y ) ← anc(b, Y )
θ1 = [Y |d]
par (a, b)
anc(b, d)
?9
anc(a, d)
Insgesamt haben wir also die folgenden anc–Fakten abgeleitet:
anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d), anc(a, c), anc(b, d), anc(a, d).
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291
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
In Iteration n ≥ 2 werden also die anc–Fakten zu den Pfaden der Länge
n − 1 in der Vorfahrenhierarchie abgeleitet:
dY
6
c
I
6
b
6
a
Die durchgezogenen Linien zeigen die par –Fakten und die entsprechenden
anc–Fakten zu den Pfaden der Länge 1.
Die gestrichelten Linien zeigen die anc–Fakten zu den Pfaden der Länge 2
und 3. Das Fakt anc(a, d ) zur Länge 3 wird in Iteration 4 aus par (a, b) und
anc(b, d ) abgeleitet.
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292
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Hyperresolutionsmengen
Sei P ein DATALOG–Programm und I eine Herbrand–Interpretation.
1. Hres(P, I) ist die Menge aller Hyperresolventen, die man aus den
Regeln aus P und den Fakten aus I herleiten kann:
2. Also besteht Hres(P, I) aus allen Grundatomen Aθ, so daß es eine
Regel A ← B1 ∧ . . . ∧ Bn ∈ P gibt, mit Bi θ ∈ I, für alle 1 ≤ i ≤ n.
3. Man könnte auch sagen: Hres(P, I) besteht aus allen Grundatomen A,
so daß es eine Grundinstanz A ← B1 ∧ . . . ∧ Bn einer Regel aus P
gibt, mit Bi ∈ I, für alle 1 ≤ i ≤ n.
4. Wenn gnd (P ) die Menge dieser Grundinstanzen ist, dann gilt:
Hres(P, I) = { A | A ← β ∈ gnd (P ) ∧ I |= β }.
Für ein festes P , schreibt man anstelle von Hres(P, I) oft auch Hres P (I).
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293
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Man kann auch wieder Potenzen Hres n (P ) bilden:
Hres 0 (P )
= ∅,
Hres n+1 (P ) = Hres(P, Hres n (P )),
S
∗
Hres (P )
= n∈IN+ Hres n (P ).
Offensichtlich gilt auch hier die Monotonie–Eigenschaft:
P ⊆ P ′ ∧ I ⊆ I ′ ⇒ Hres(P, I) ⊆ Hres(P ′ , I ′ ).
Also kann man wieder durch vollständige Induktion folgendes zeigen:
Hres n (P ) ⊆ Hres n+1 (P ).
Wir schreiben Fakten in den Hyperresolutionsmengen als Atome.
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294
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Hyperresolutionsmengen)
Für das DATALOG–Programm P mit den Regeln
anc(X, Y ) ← par(X, Y ),
anc(X, Y ) ← par(X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
und den Eltern–Fakten
par(a, b), par(b, c), par(c, d),
erhalten wir folgendes:
Hres 0 (P ) = ∅,
Hres 1 (P ) = { par (a, b), par (b, c), par (c, d) },
Hres 2 (P ) = Hres 1 (P ) ∪ { anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d) },
Hres 3 (P ) = Hres 2 (P ) ∪ { anc(a, c), anc(b, d) },
Hres 4 (P ) = Hres 3 (P ) ∪ { anc(a, d) }.
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295
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Man kann die Definition der Hyperresolutionsmenge Hres(P, I) auf ein
beliebiges definites Logikprogramm P anwenden,
Hres(P, I) = { A | A ← β ∈ gnd (P ) ∧ I |= β },
selbst wenn P nicht bereichsbeschränkt ist und Funktionssymbole enthält.
• Wenn ein Regelkopf Variablensymbole enthält, die nicht im
Regelrumpf vorkommen, dann kann man diese in den zur Ableitung
benutzten Grundinstanzen A ← β ∈ gnd (P ) mit I |= β unabhängig
von I mit allen Termen des Herbranduniversums HUP instanziieren.
• Dann kann man manchmal unabhängig von I sehr viele Atome A
ableiten.
• Wenn HUP unendlich ist, dann kann das nicht mehr berechnet werden.
In diesem Fall müßte man alternativ Nicht–Grundatome ableiten.
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296
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Für das definite Logikprogramm P mit den Regeln
anc(X, X),
anc(X, Y ) ← par(X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
und den Eltern–Fakten
par(a, b), par(b, c), par(c, d),
gibt es sehr viele Grundinstanzen des Faktes anc(X, X), die man zur
Ableitung benutzen kann, nämlich eines für jedes Element des
Herbranduniversums HUP = { a, b, c, d } :
anc(a, a), anc(b, b), anc(c, c), anc(d, d).
Diese sind unabhängig von I, da ihr leerer Rumpf β immer gilt.
Wenn das Herbranduniversum HUP noch größer wäre, dann wären das
entsprechend mehr.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
297
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Dagegen kann man für
I = { par (a, b), par (b, c), par (c, d),
anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d) }
nur die folgenden Grundinstanzen der zweiten Regel zur Ableitung
benutzen:
anc(a, c) ← par(a, b) ∧ anc(b, c),
anc(b, d) ← par(b, c) ∧ anc(c, d).
Diese hängen von I ab.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
298
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Theorem 2.1 (Charakterisierung von Herbrand–Modellen)
Sei P ein definites Logikprogramm. Eine Herbrand–Interpretation I von P
ist ein Herbrand–Modell von P , g.d.w. gilt Hres(P, I) ⊆ I.
Beweis:
“⇐” Sei I eine Herbrand–Interpretation von P mit Hres(P, I) ⊆ I.
Sei A ← β eine Grundinstanz einer Regel aus P mit I |= β.
Dann gilt A ∈ Hres(P, I), und wegen Hres(P, I) ⊆ I folgt A ∈ I.
Also ist I ein Herbrand–Modell von P .
“⇒” Sei I ein Herbrand–Modell von P .
Für jedes A ∈ Hres(P, I) gibt es eine Grundinstanz einer Regel
A ← β aus P mit I |= β. Da I ein Herbrand–Modell von P ist, folgt
sofort A ∈ I. Also gilt Hres(P, I) ⊆ I.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
299
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Minimales Herbrand–Modell
Für ein definites Logikprogramm P kann man folgendes zeigen:
1. Jedes Herbrand–Modell muß Hres ∗ (P ) enthalten.
2. Hres ∗ (P ) ist ein Herbrand–Modell:
Hres(P, Hres ∗ (P )) ⊆ Hres ∗ (P ).
Also ist Hres ∗ (P ) das eindeutige minimale Herbrand–Modell von P .
Wir bezeichnen es mit MP .
Für DATALOG–Programme ist Hres ∗ (P ) endlich, und es kann effizient
berechnet werden. Im allgemeinen kann Hres ∗ (P ) unendlich sein.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
300
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
2.7
SLD–Resolution
Die SLD–Resolution (Linear Resolution with Selection Function for
Definite Clauses) wurde ursprünglich zum automatischen Theorembeweisen
für allgemeine Klauseln verwendet, vgl. J.A. Robinson (1965).
• Sei s eine Selektionsfunktion, die aus jedem Goal ein Atom auswählt.
• Sei G ein Goal und r = A ← β eine definite Regel:
G = ← β1 ∧ B ∧ β2 .
Dabei seien β1 und β2 Konjunktionen von Atomen und s(G) = B das
von s selektierte Atom. Falls M GU (A, B) = θ existiert, dann heißt
G′ = ← ( β1 ∧ β ∧ β2 ) θ
eine Resolvente von G und r bezüglich s.
Falls r ein Fakt ist (d.h. β ist leer), dann ist G′ um ein Atom kürzer als G.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
301
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die SLD–Resolution ergibt sich aus der binären Resolution der PL1.
Bekanntlich ist ein Goal G = ← β1 ∧ B ∧ β2 äquivalent zu einer
Disjunktion
α1 = ¬β1 ∨ ¬B ∨ ¬β2 ,
und eine Regel r = A ← β ist äquivalent zu einer Disjunktion
α2 = A ∨ ¬β.
Durch die bekannte binäre Resolution der PL1 erhält man mittels eines
allgemeinsten Unifikators θ von A und B eine neue Disjunktion
α = (¬β1 ∨ ¬β ∨ ¬β2 )θ,
die wieder einem Goal G′ = ← ( β1 ∧ β ∧ β2 ) θ entspricht.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
302
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
SLD–Widerlegung
Sei P ein definites Logikprogramm und Q eine Anfrage.
• Eine SLD–Widerlegung von h P, Q i ist eine endliche Folge
h Gi i0≤i≤n , wobei G0 = Q und Gn = 2,
von Goals zusammen mit einer Folge h ri i1≤i≤n von Regeln und einer
Folge h θi i1≤i≤n von Substitutionen, wobei für alle 1 ≤ i ≤ n gilt:
– ri ist eine Variante einer Regel aus P ,
– Gi ist eine Resolvente aus Gi−1 und ri bezüglich s, und
– θi ist der benutzte allgemeinste Unifikator.
θ = θ1 · θ2 · . . . · θn heißt Antwortsubstitution.
• Die SLD–Widerlegung einer atomaren Anfrage Q = ← A ist
äquivalent zu dem Beweis, daß die Instanz Aθ, welche man Antwort
nennt, aus P abgeleitet werden kann.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
303
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
• Ein SLD–Widerlegungsbaum veranschaulicht eine SLD–Widerlegung:
G0
?
G1
?
G2
?
r1
r2
r3
G3
..
.
..
.
rn
?
Gn = 2
Man kann eine SLD–Widerlegung natürlich auch einfach als eine
r1
r2
r3
rn
lineare Kette G0 −→
G1 −→
G2 −→
. . . −→
Gn = 2 repräsentieren,
wenn man die Kanten mit den verwendeten Regeln markiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
304
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (SLD–Resolution)
Für das DATALOG–Programm P = { r, f1 , f2 }, mit
r = p ← a ∧ b,
f1 = a,
f2 = b,
erhalten wir mit der Selektionsfunktion sl eine SLD–Widerlegung zum
Goal Q = ← p.
←p
?
←a∧b
?
←b
?
2
Prof. Dr. Dietmar Seipel
r
f1
f2
305
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
In Klauselschreibweise
r = p ∨ ¬a ∨ ¬b,
f1 = a,
f2 = b,
erhalten wir folgende Folge von binären Resolutionen zum Goal Q = ¬p :
¬p
r
?
¬a ∨ ¬b
f1
?
¬b
f2
?
2
Prof. Dr. Dietmar Seipel
306
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Nicht–Lineare Resolution
Für die inkonsistente Klauselmenge
F = { p ∨ q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ q, ¬p ∨ ¬q }
gibt es keine lineare Widerlegung, aber folgende Resolutionsableitung:
p∨q
p ∨ ¬q ¬p ∨ q
Rp
¬p ∨ ¬q
R¬p
s
+
2
Diese Klauselmenge ist keine Hornklauselmenge.
Für eine inkonsistente Hornklauselmenge gibt es immer eine lineare
Ableitung der leeren Klausel, die mit einer Integritätsbedingung startet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
307
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Neue Notation für Substitutionen
Wir schreiben eine Substitution [X1 |t1 , . . . Xn |tn ], bei der alle Ersetzungen
parallel angewendet werden, als Menge θ = { X1 7→ t1 , . . . , Xn 7→ tn }.
θ definiert eine Abbildung von einer Struktur t auf eine neue Struktur tθ:
• Für eine Konstante c gilt cθ = t.
• Für eine Variable X erhalten wir Xθ = t, falls es eine Ersetzung
X 7→ t ∈ θ gibt, und ansonsten Xθ = X.
• Für eine komplexe Struktur gilt f (t1 , . . . , tn )θ = f (t1 θ, . . . , tn θ).
Dann entspricht die Substitution θ1 = [X|Z][Z|Y ] der Substitution
[X|Y, Z|Y ], da X zuerst durch Y und dieses dann durch Z ersetzt wird.
Sie ist damit verschieden von θ2 = [X|Z, Z|Y ].
Für t = f (X, Y, Z) gilt z.B. tθ1 = f (Y, Y, Y ) und tθ2 = f (Z, Y, Y ).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
308
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (SLD–Resolution)
Wir betrachten das nicht–rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, f1 , f2 , f3 , f4 } und die Anfrage Q = ← grandparent(X, Z):
r = grandparent(X, Z) ← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z),
f1 = parent(’Elizabeth’, ’Queen Mum’),
f2 = parent(’Elizabeth’, ’George’),
f3 = parent(’Charles’, ’Elizabeth’),
f4 = parent(’William’, ’Charles’).
Aus G0 = Q erhält man mittels r und θ1 = ∅ die Resolvente
G1 = ← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z).
’Queen Mum’
’George’
f1
f2
’Elizabeth’
f3
’Charles’
f4
’William’
Daraus kann man mit der Selektionsfunktion sl , welche stets das linkeste
Literal eines Goals auswählt, z.B. folgende SLD–Widerlegungen erhalten:
Prof. Dr. Dietmar Seipel
309
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
• Mittels f3 und θ2 = { X 7→ ’Charles’, Y 7→ ’Elizabeth’ } erhalten wir
G2 = ← parent(’Elizabeth’, Z).
– Mittels f1 und θ3 = { Z 7→ ’Queen Mum’ } erhalten wir G3 = 2
und die Antwortsubstitution
θ = { X 7→ ’Charles’, Y 7→ ’Elizabeth’, Z 7→ ’Queen Mum’ }.
– Mittels f2 und θ3 = { Z 7→ ’George’ } erhalten wir ebenfalls
G3 = 2; nun ist die Antwortsubstitution
θ ′ = { X 7→ ’Charles’, Y 7→ ’Elizabeth’, Z 7→ ’George’ }.
• Mittels f4 und f3 erhalten wir aus G1 die Antwortsubstitution
θ ′′ = { X 7→ ’William’, Y 7→ ’Charles’, Z 7→ ’Elizabeth’ }.
Später werden wir alle SLD–Widerlegungen in einem SLD–Baum
zusammenfassen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
310
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (SLD–Resolution)
Betrachten wir das rekursive, definite Logikprogramm P = { r, e, f } mit
den folgenden Regeln (bzw. Fakten):
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e = anc(X, X),
f = par (a, b).
Zur Vereinfachung benutzen wir anstelle der üblichen bereichsbeschränkten
Regel
e′ = anc(X, Y ) ← par (X, Y )
das Fakt e = anc(X, X) mit Variablen zusammen mit der rekursiven
Regel r. Dadurch wird hier anc als die reflexive, transitive Hülle von par
berechnet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
311
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Dann kann das Goal G0 = ← anc(X, b) von allen Selektionsfunktionen
mittels der Regel r zu
G1 = ← A1 ∧ A2 ,
mit A1 = par (X, Z ′ ) und A2 = anc(Z ′ , b), resolviert werden.
Sei sl (sr ) die Selektionsfunktion, welche stets das linkeste (rechteste)
Literal eines Goals auswählt.
1. sl wählt das erste (linkeste) Atom A1 = par (X, Z ′ ) in G1 .
Dieses kann nur mit dem Fakt f = A = par (a, b) resolviert werden.
Mit M GU (A1 , A) = { X 7→ a, Z ′ 7→ b } erhält man das verkürzte Goal
G2 = ← anc(b, b).
Eine weitere Resolution mit dem Fakt e würde die leere Klausel
G3 = ← 2 liefern, und somit die Antwort anc(a, b).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
312
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
2. sr wählt das zweite (rechteste) Atom A2 = anc(Z ′ , b) in G1 .
Dieses kann mit Varianten
r ′′ = anc(X ′′ , Y ′′ ) ← par (X ′′ , Z ′′ ) ∧ anc(Z ′′ , Y ′′ ),
e′′ = anc(X ′′ , X ′′ ),
der Regeln r bzw. e resolviert werden. Sei A′′ jeweils deren Regelkopf.
• Mit r ′′ , A′′ = anc(X ′′ , Y ′′ ) und
M GU (A2 , A′′ ) = { X ′′ 7→ Z ′ , Y ′′ 7→ b }
erhält man das verlängerte Goal
G′2 = ← par (X, Z ′ ) ∧ par (Z ′ , Z ′′ ) ∧ anc(Z ′′ , b).
• Mit e′′ , A′′ = anc(X ′′ , X ′′ ) und
M GU (A2 , A′′ ) = { X ′′ 7→ b, Z ′ 7→ b }
erhält man das verkürzte Goal
G′′2 = ← par (X, b).
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313
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Eine weitere Resolution mit dem Fakt f würde
M GU (par (X, b), f ) = { X 7→ a }
und die leere Klausel G′′3 = ← 2 liefern, und somit die Antwort
anc(a, b).
Mittels des Faktes e kann das Goal G0 = ← anc(X, Y ) von allen
Selektionsfunktionen zur leeren Klausel G′1 = ← 2 resolviert werden.
Dabei wird
M GU (anc(X, Y ), anc(X, X)) = { Y 7→ X }
berechnet, und somit die Antwort anc(X, X).
Diese Antwort enthält noch das Variablensymbol X. Also kann die
SLD–Resolution Nicht–Grundatome als Antworten ableiten.
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314
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (SLD–Widerlegungsbäume)
Wir betrachten weiterhin das definite Logikprogramm P = { r, e, f },
jetzt aber mit den Anfragen
Q1 = ← anc(X, b),
Q2 = ← anc(X, Y ).
Die Regeln (bzw. Fakten) sind folgende:
r
=
anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e
=
anc(X, X),
f
=
par (a, b).
Anders als in Q1 , ist in Q2 auch die zweite Argumentposition mit einem
Variablensysmbol – hier Y – belegt. Deswegen kann eine Antwort
berechnet werden, die noch Variablensymbole enthält.
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315
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Im folgenden werden ein SLD–Widerlegungsbaum T1 für Q1 und die
zugehörige Grundversion T1 θ angegeben:
T1 :
← anc(X, b)
?9
← par (X, Z ′ ) ∧ anc(Z ′ , b)
?9
← anc(b, b)
r ′ = anc(X ′ , Y ′ ) ← par (X ′ , Z ′ ) ∧ anc(Z ′ , Y ′ )
θ1 = { X ′ 7→ X, Y ′ 7→ b }
f ′ = par (a, b)
θ2 = { X 7→ a, Z ′ 7→ b }
e′ = anc(X ′′ , X ′′ )
?9
2
θ3 = { X ′′ 7→ b }
Die berechnete Antwort ist anc(a, b).
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316
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die Grundinstanz für die berechnete Antwort anc(a, b) ist folgende:
T1 θ:
← anc(a, b)
?9
← par (a, b) ∧ anc(b, b)
?9
← anc(b, b)
?9
2
Prof. Dr. Dietmar Seipel
r ′ θ = anc(a, b) ← par (a, b) ∧ anc(b, b)
f ′ θ = par (a, b)
e′ θ = anc(b, b)
θ = θ1 · θ2 · θ3 = { X 7→ a, X ′ 7→ a,
X ′′ 7→ b, Y ′ 7→ b, Z ′ 7→ b }
317
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Die SLD–Resolution kann auch nicht–bereichsbeschränkte definite
Logikprogramme mit Funktionssymbolen behandeln.
Sie hat keine Probleme mit Fakten, die Variablen enthalten, wie etwa
e = anc(X, X).
T2 :
← anc(X, Y )
?)
2
e = anc(X, X)
θ = { Y 7→ X }
Allerdings ist die erzeugte Antwortsubstitution θ dann unter Umständen
keine Grundsubstitution. Im obigem Beispiel für Q2 = ← anc(X, Y ) ist
die berechnete Antwort anc(X, X) dann ein Fakt mit Variablen, das zeigt,
daß die beiden Grundinstanzen anc(a, a) und anc(b, b) aus P ableitbar sind.
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318
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Listenkonkatenation
In der Logik dienen Terme als Datenstruktur. Eine Liste [1, 2, 3] wird als
Term list(1 , list(2 , list(3 , nil ))) repräsentiert. Dabei ist list ein 2–stelliges
Funktionssymbol, und nil ist ein 0–stelliges Funktionssymbol, das das
Listenende markiert.
Die folgenden Regeln können zwei Listen Xs und Ys mittels des Aufrufs
← append (Xs, Ys, Zs) zu einer Liste Zs konkatenieren:
append (list(X , Xs), Ys, list(X , Zs)) ←
append (Xs, Ys, Zs),
append (nil , Ys, Ys).
X
Xs
Ys
Zs
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319
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (SLD–Widerlegungsbaum)
← append (list(1 , list(2 , nil )), list(3 , nil ), Zs) r1
?
9
θ1
← append (list(2 , nil ), list(3 , nil ), Zs1 )
?
9
θ2
← append (nil , list(3 , nil ), Zs2 )
?
9
r2
f3
θ3
2
r1 = append(list(X1 , Xs1 ), Ys1 , list(X1 , Zs1 )) ← append(Xs1 , Ys1 , Zs1 ),
r2 = append(list(X2 , Xs2 ), Ys2 , list(X2 , Zs2 )) ← append(Xs2 , Ys2 , Zs2 ),
f3 = append(nil, Ys3 , Ys3 ).
θ1 = { X1 7→ 1, Xs1 7→ list(2 , nil), Ys1 7→ list(3 , nil), Zs 7→ list(1 , Zs1 ) },
θ2 = { X2 7→ 2, Xs2 7→ nil, Ys2 7→ list(3 , nil), Zs1 7→ list(2 , Zs2 ) },
θ3 = { Ys3 7→ list(3 , nil), Zs2 7→ Ys3 = list(3 , nil) }.
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320
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Im Endergebnis θ = θ1 · θ2 · θ3 gilt
Zs 7→ list(1 , Zs1 ) 7→ list(1 , list(2 , Zs2 ))
7→ list(1 , list(2 , list(3 , nil ))).
Die berechnete Antwort ist also
append (list(1 , list(2 , nil )), list(3 , nil ), Zs)θ =
append (list(1 , list(2 , nil )), list(3 , nil ), list(1 , list(2 , list(3 , nil )))),
denn die Konkatenation der Listen [1, 2] und [3] liefert die Liste [1, 2, 3].
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321
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Vollständigkeit und Korrektheit der SLD–Resolution
Sei P ein definites Logikprogramm und Q = ← A eine atomare Anfrage.
1. Es gibt genau dann eine SLD–Widerlegung mit der Antwort Aθ,
wenn Aθ im minimalen Modell MP von P liegt.
2. Dieses Resultat ist unabhängig von der verwendeten
Selektionsfunktion s.
P ROLOG verwendet immer die Selektionsfunktion sl , welche stets das
linkeste (erste) Literal eines Goals auswählt.
Durch Umstellung der Atome in den Regelrümpfen kann der
Programmierer de facto eine andere Selektionsfunktion simulieren.
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322
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
SLD–Bäume
Sei P ein definites Logikprogramm, Q eine Anfrage und s eine
Selektionsfunktion.
s
Der SLD–Baum TP,Q
faßt alle möglichen SLD–Ableitungen zusammen:
s
1. Die Knoten von TP,Q
sind mit Goals markiert,
s
und die Kanten von TP,Q
sind mit Regeln r ∈ P markiert.
s
2. Die Wurzel von TP,Q
ist mit Q markiert.
3. Ein Knoten v, der mit einem Goal G markiert ist, hat für jede
SLD–Resolvente G′ , die man aus G und einer Regel r ∈ P bezüglich s
bilden kann, einen Nachfolgerknoten v ′ .
4. Dieser ist mit G′ markiert, und die Kante h v, v ′ i ist mit r markiert.
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323
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Jeder mit dem Goal G = 2 endende Ast eines SLD–Baumes entspricht
einer SLD–Widerlegung bzw. einem SLD–Widerlegungsbaum:
• Die Blätter dieser Äste werden als erfolgreich (success) markiert.
• Alle anderen Blätter werden als erfolglos (failure) markiert.
• Daneben kann es noch unendliche Äste im Baum geben.
s1
s2
Zwei SLD–Bäume TP,Q
und TP,Q
zu unterschiedlichen
Selektionsfunktionen s1 , s2 haben immer dieselben Antworten
(success–Äste).
Sie unterscheiden sich aber in der Regel hinsichtlich ihrer failure–Äste bzw.
ihrer unendlichen Äste.
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324
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (SLD–Bäume)
Wir betrachten das nicht–rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, f1 , f2 , f3 , f4 } und die Anfrage Q = ← grandparent(X, Z):
r = grandparent(X, Z) ← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z),
f1 = parent(’Elizabeth’, ’Queen Mum’),
f2 = parent(’Elizabeth’, ’George’),
f3 = parent(’Charles’, ’Elizabeth’),
f4 = parent(’William’, ’Charles’).
In diesem Falle sind alle SLD–Bäume – unabhängig von der
Selektionsfunktion – endlich.
sl
Wir zeigen unten den SLD–Baum TP,Q
zur Selektionsfunktion sl .
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325
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
← grandparent(X, Z)
r
?
← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z)
f1
9
f2
← parent(’Queen Mum’, Z )
← parent(’George’, Z )
failure
failure
)
2
{ X 7→ ’Charles’,
Y 7→ ’Elizabeth’,
Z 7→ ’Queen Mum’ }
success
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f3
f4
j
z
← parent(’Elizabeth’, Z )
f1
f2
?
2
{X →
7 ’Charles’,
Y 7→ ’Elizabeth’,
Z →
7 ’George’ }
success
← parent(’Charles’, Z )
f3
?
2
{X →
7 ’William’,
Y →
7 ’Charles’,
Z 7→ ’Elizabeth’ }
success
326
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (SLD–Bäume)
Wir betrachten wieder das rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, e, f } und die Anfrage Q = ← anc(X, b):
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e = anc(X, X),
f = par (a, b).
Die SLD–Bäume zu den Selektionsfunktionen sl bzw. sr haben dieselben
Antworten (success–Äste).
• Allerdings ist in diesem Falle Tl endlich,
• wohingegen Tr unendliche Äste hat.
Für sr könnte man in obigem Beispiel die unendlichen Äste vermeiden,
indem man die Reihenfolge der Rumpfatome invertiert.
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327
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Der SLD–Baum Tl zur Selektionsfunktion sl ist endlich:
← anc(X, b)
Tl :
r
← par (X, Z ′ ) ∧ anc(Z ′ , b)
f
?
← anc(b, b)
r
← par (b, Z ′′ ) ∧ anc(Z ′′ , b)
failure
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e
R
2
{ X 7→ b }
success
e
R
2
{ X 7→ a }
success
328
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Der SLD–Baum Tr zur Selektionsfunktion sr ist unendlich, hat aber die
gleichen Antwortsubstitutionen in den success–Blättern wie Tl :
← anc(X, b)
Tr :
r
e
R
← par (X, Z ′ ) ∧ anc(Z ′ , b)
r
e
←
par (X, Z ′ )
∧
par (Z ′ , Z ′′ )
r
)
← par (X, Z ′ ) ∧ par (Z ′ , Z ′′ )
∧ par(Z ′′ , Z ′′′ ) ∧ anc(Z ′′′ , b)
r
e
R
∧
R
anc(Z ′′ , b)
2
{ X 7→ b }
success
← par (X, b)
e
f
s
R
← par (X, Z ′ ) ∧ par (Z ′ , b)
f
?
2
{ X 7→ a }
success
← par (X, a)
failure
(unendlicher Ast)
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329
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Steuerung der SLD–Resolution
Der Logikprogrammierer kann bei gegebener Selektionsfunktion durch
• die Reihenfolge der Regeln und
• die Reihenfolge der Rumpfatome in den Regeln
die Abarbeitung steuern:
• Wenn wir in unserem letzten Beispiel die Regel e vor die Regel r
stellen, dann wandern im neuen SLD–Baum Tr′ zur Selektionsfunktion
sr die mit e markierten Kanten vor die mit r markierten.
• Bei Backtracking findet der LWR–Durchlauf von Tr′ nun die beiden
Antworten, bevor der unendliche Ast zu einer Dauerschleife führt.
• Wenn wir dagegen die Reihenfolge der Rumpfatome von r vertauschen,
dann hat der neue SLD–Baum Tr′′ zu sr dieselbe Struktur wie der alte
SLD–Baum Tl zu sl : r ′′ = anc(X, Y ) ← anc(Z, Y ) ∧ par (X, Z).
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330
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
• Generell ist es am besten die nicht–rekursive Regel e vor die rekursive
Regel r zu stellen:
e = anc(X, X),
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ).
• Für die Standard–Selektionsfunktion sl sollte in der rekursiven Regel r
der nicht–rekursive Aufruf par (X, Z) vor dem rekursiven Aufruf
anc(Z, Y ) stehen. Dies garantiert die Terminierung für azyklische
par –Relationen.
• Bei zyklischer par –Relation enthält der SLD–Baum Tl aber leider
trotzdem unendliche Äste. Für die Fakten
f1 = par (a, b),
f2 = par (b, a),
und die Anfrage Q = ← anc(a, Y ) generiert die alternierende
Verwendung von f1 und f2 abwechselnd die Antworten Y 7→ a und Y 7→ b.
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331
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
← anc(a, Y )
Tl :
e
r
R
2
← par (a, Z ′ ) ∧ anc(Z ′ , Y )
{Y →
7 a}
success
f1
?
← anc(b, Y )
e
r
R
2
← par (b, Z ′′ ) ∧ anc(Z ′′ , Y )
{ Y 7→ b }
f2
success
?
← anc(a, Y )
(unendlicher Ast)
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332
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
Beispiel (Redundanz in SLD–Bäumen)
Wir betrachten nun das etwas erweiterte rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, e, f1 , f2 } und die Anfrage Q = ← anc(X, Y ):
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e = anc(X, X),
f1 = par (a, b), f2 = par (b, c).
Der SLD–Baum Tl zur Selektionsfunktion sl ist endlich.
Die success–Äste leiten der Reihe nach die folgenden Grundinstanzen ab:
• success–Äste 1 bis 3: tc(a, c), tc(a, b), tc(b, c);
• success–Ast 4: tc(a, a), tc(b, b), tc(c, c).
Die Unteranfrage ← anc(c, Y ) wurde redundant in zwei success–Ästen
(1 und 3) mit Y 7→ c beantwortet. Derartige Redundanz tritt bei Graphen
mit längeren Ketten (hier: a → b → c) noch verstärkt auf.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
333
Logik für Informatiker
Wintersemester 2013/14
← anc(X, Y )
Tl :
r
e
R
2
← par (X, Z ′ ) ∧ anc(Z ′ , Y )
{ X 7→ Y }
success
f1
f2
R
← anc(b, Y )
r
e
←
par (b, Z ′′ )
f2
∧
← anc(c, Y )
r
R
anc(Z ′′ , Y
par (c, Z ′′ )
2
)
←
{ X 7→ a, Y 7→ b }
success
?
e
R
∧
z
anc(Z ′′ , Y
failure
2
)
{ X 7→ b, Y 7→ c }
success
← anc(c, Y )
r
e
R
← par (c, Z ′′′ ) ∧ anc(Z ′′′ , Y ) 2
{ X 7→ a, Y 7→ c }
failure
success
Prof. Dr. Dietmar Seipel
334