1. Klasse - Schule Brugg

Mathematik –
Theorie
Bezirksschule
1. Klasse
Mathematik -Theorie
1
1. Klasse Bezirksschule
Inhaltsverzeichnis 1. Klasse
A
Unsere Zahlen
1
2
3
Zahlen und Platzhalter für Zahlen
Dezimalbrüche: Stellenwerte rechts von den Einern
Grössen in dezimaler Schreibweise
B
Rechenoperationen I
1
2
3
4
5
6
7
Addition und Subtraktion
Rechenvorteile: Mit List und Tricks macht Rechnen Spass
Schriftliche Addition und Subtraktion
Das Runden von Zahlen und Grössen – Überschlagsberechnungen
Addieren und Subtrahieren im Alltag: Einige Beispiele
Die Verbindung von Addition und Subtraktion – Gleichungen
Addition und Subtraktion: Vermischtes
C
Rechenoperationen II
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Die Multiplikation
Potenzen und Potenzieren - Grosse Zahlen
Die Division
Zur Teilbarkeit von Zahlen
Dezimalbrüche in Divisionsaufgaben
Runden von Quotienten
Dezimalbrüche in Multiplikationsaufgaben
Verbindung der vier Grundrechenarten
Die Grundoperationen im Alltag: Beispiele für Anwendungen
D
Geometrische Grundbegriffe
1
2
3
4
5
6
Linien
Senkrecht und parallel
Das Koordinatensystem
Der Kreis
Vierecke aus Streifen
Umfang
Mathematik -Theorie
4
6
8
10
11
13
15
16
17
20
21
22
23
25
27
29
30
32
34
35
37
40
41
43
46
2
1. Klasse Bezirksschule
E
Flächenmessung und Flächenberechnung
1
2
3
4
Die Masseinheiten der Fläche
Grössenvorstellungen zu Flächeneinheiten
Flächeninhalt von Rechtecken
Dezimale Schreibweise von Flächeninhalten
F
Raummessung und Raumberechnung
1
2
3
4
Quader und Würfel
Die Raummasse
Dezimale Schreibweise der Raummasse
Rauminhalt von Quadern
Mathematik -Theorie
3
47
48
49
50
52
55
57
58
1. Klasse Bezirksschule
A Unsere Zahlen
1
Zahlen und Platzhalter für Zahlen
Aufbau einer Zahl
Eine Zahl besteht aus einzelnen Zeichen, den Ziffern.
Die Zahl 28 besteht beispielsweise aus den Ziffern 2 und 8.
Um alle Zahlen schreiben zu können, braucht es 10 Ziffern:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Zahlenfolgen
Eine beliebige Folge von Zahlen heisst Zahlenfolge.
Die einzelnen Zahlen einer solchen Folge heissen Glieder.
Zahlenfolgen sind für uns nur dann von Interesse, wenn sich ihre
Glieder nach einer Gesetzmässigkeit folgen.
Beispielsweise ist die Sechserreihe eine solche Zahlenfolge:
6 , 12 , 18 , 24 , ... .
Weitere Beispiele von Zahlenfolgen:
a.)
3 , 6 , 9 , 12 , ...
Gesetzmässigkeit: + 3
b.)
1 , 2 , 4 , 7 , 11 , ...
Gesetzmässigkeit: +1 , + 2 , + 3 , ...
c.)
5 , 9 , 12 , 16 , 19 , ...
Gesetzmässigkeit: + 4 , + 3 , + 4 , + 3 , ...
Mathematik -Theorie
4
1. Klasse Bezirksschule
Der Zahlenstrahl
Auf einem Zahlenstrahl (gerade Linie mit Einteilung) lassen sich Zahlen
abbilden.
Der Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen heisst Einheitsstrecke e.
Die gewählte Einheitsstrecke (z.B. 1cm) bleibt auf dem gezeichneten
Zahlenstrahl immer gleich lang!
Einheitsstrecke e
I
0
I
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
7
I
8
I I I I I I I I I I I I I I I I
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Für unmittelbar benachbarte Zahlen gelten folgende Begriffe:
2 ist der Vorgänger von 3
8 ist der Vorgänger von 9
,
,
3 ist der Nachfolger von 2.
9 ist der Nachfolger von 8.
Variable (Platzhalter)
In der Aufgabe 15 + ? = 40 steht das Fragezeichen stellvertretend für eine
gesuchte Zahl.
Anstelle des Fragezeichens verwenden wir in der Mathematik
Kleinbuchstaben (z.B. x, y, z). Diese sogenannten Platzhalter für eine Zahl
nennt man Variablen.
Die obige Aufgabe wird folglich notiert als:
15 + x = 40 , wobei x = 25 ist.
Wird eine Zahl mit einer Variablen multipliziert (malgenommen), wird das
Malzeichen weggelassen. Es gilt beispielsweise: 3· y = 3y.
Term
Gebilde aus Zahlen und/oder Variablen nennt man Terme.
Beispiele dafür sind:
47 - 12 ,
6· x ,
8a + 3b - 9 ,
8x : y .
Für die Variablen kann man Zahlen einsetzen. Wählt man im dritten Beispiel für a = 7 und für b = 2,
erhält man:
8a + 3b - 9 = 8· 7 + 3· 2 - 9 = 56 + 6 – 9 = 53.
Mathematik -Theorie
5
1. Klasse Bezirksschule
2
Dezimalbrüche: Stellenwerte rechts von den Einern
Das Stellenwertsystem
Das Stellenwertsystem ist ein System zur Darstellung von Zahlen durch
Ziffern. Der Wert einer Ziffer hängt dabei von der Stelle (Position) innerhalb
der Zahl ab.
Beispiel:
In der Zahl 47 hat die Ziffer 7 den Wert 7, da sie an der
sogenannten Einerstelle steht, die Ziffer 4 hingegen hat den Wert
40, da sie an der Zehnerstelle steht.
Dieses Stellenwertsystem nennt man Dezimalsystem (Zehnersystem), da der
Wert der Ziffern nach links jeweils zehnmal grösser wird.
In einer Stellenwerttafel lassen sich die natürlichen Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, ...)
darstellen.
Beispiel:
Stellenwerte
(Abkürzung)
a.)
b.)
c.)
d.)
a.) 8'047
b.) 41'903
Millionen
M
Hunderttausender
HT
Zehntausender
ZT
3
1
0
4
1
6
c.) 110'755 d.) 3'066'294
Tausender
T
8
1
0
6
Hunderter
H
0
9
7
2
Zehner
Z
4
0
5
9
Einer
E
7
3
5
4
Die Stellenwerttafel des Dezimalsystems kann nach rechts erweitert werden,
indem die Einer 10-mal kleiner gemacht werden. Dies ergibt Zehntel.
Diese neue Einheit wird wiederum 10-mal kleiner gemacht. Dies ergibt
Hundertstel. Auf diese Weise erhält man die Einheiten rechts von den Einern.
Beispiel:
a.) 1,204
b.) 7,205843
c.) 0,002
d.) 8,07043
Die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ... werden von den Ganzen durch ein
Komma abgetrennt!
Stellenwerte
(Abkürzung)
a.)
b.)
c.)
d.)
Einer
E
1
7
0
8
Mathematik -Theorie
Zehntel
z
2
2
0
0
Hundertstel
h
0
0
0
7
Tausendstel
t
4
5
2
0
6
Zehntausendstel
zt
Hunderttausendstel
ht
Millionstel
m
8
4
3
4
3
1. Klasse Bezirksschule
Diese Zahlen (z.B. 1,204) nennt man Dezimalzahlen oder Dezimalbrüche.
Die Stellen rechts vom Komma nennt man Dezimalen. Bei der Zahl 1,204
sind es 3 Dezimalen: 2 (Zehntel), 0 (Hundertstel) und 4 (Tausendstel).
Dezimalbrüche vergleichen
Mit Hilfe des Stellenwertsystems können wir Dezimalbrüche miteinander
vergleichen.
Dazu zerlegen wir die Dezimalbrüche in ihre dekadischen Einheiten
(z.B. E, z, h, ...) und vergleichen Stelle um Stelle.
Beispiel:
Wir vergleichen 4,5678 mit 4,5687:
4,5678 = 4 E + 5 z + 6 h + 7 t + 8 zt
4,5687 = 4 E + 5 z + 6 h + 8 t + 7 zt
Folgerung:
4,5687 > 4,5678 .
„>“ bedeutet „ist grösser als“
Nullen als Dezimalen
Nullen rechts des Kommas sind zwingend erforderlich, wenn nach der Null
(oder den Nullen) weitere zählende Einheiten kommen.
Beispiele:
5,03 ; 0,008 ; 12,60408.
Nullen rechts des Kommas sind unnötig, wenn hinter ihnen keine zählenden
Einheiten mehr auftauchen.
Beispiele:
3,5000 = 3,5 ; 0,050 = 0,05 ; 5,83200 = 5,832.
Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen
Dezimalzahlen können auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden, indem die
Einheitsstrecke e (z.B. e = 1cm) in 10 / 100 / ... kleinere, gleich lange
Abschnitte unterteilt wird.
Beispiel:
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
7,3
Mathematik -Theorie
7
1. Klasse Bezirksschule
3
Grössen in dezimaler Schreibweise
Die Längeneinheiten
Die Normeinheit für die Längenmessung ist der Meter (m).
Für bestimmte Streckenlängen ist die Einheit 1m unpraktisch. Deshalb gibt es
kleinere und grössere Einheiten, welche alle vom Meter abgeleitet werden.
Es gilt:
10 mm
10 cm
10 dm
10 m
10 dam
10 hm
=
=
=
=
=
=
1 mm
1 cm
1 dm
1m
1 dam
1 hm
1 km
(Millimeter)
(Zentimeter)
(Dezimeter)
(Meter)
(Dekameter)
(Hektometer)
(Kilometer)
(Deka- und Hektometer sind Einheiten, die in der Praxis kaum mehr verwendet werden)
Darstellung von Längen mit Dezimalbrüchen bzw gemeinen Brüchen
Beispiele:
Dezimalbruch
gemeiner Bruch
1
1
1
cm = 0,01dm =
dm = 0,001m =
m
10
100
1'
000
1.
1mm = 0,1cm =
2.
1km = ( 10hm = 100dam ) = 1 000m = 10 000dm = 100 000cm =
1 000 000mm
3.
0,03m =
4.
245
km = 0,245km = 245m
1 000
5.
5m8dm = 5,8m
7.
2
3
3
m = 0,3dm =
dm = 3cm = 30mm
100
10
3
m = 2,3m = 23dm
10
Mathematik -Theorie
8
6.
6dm3mm = 6,03dm !
8.
1
5 km = 5,25km = 5 250m
4
1. Klasse Bezirksschule
Unsere Geldeinheit
Die Grundeinheit unserer Währung ist der Schweizer Franken
(CHF / sfr. / Fr.) .
Es gilt:
1 Fr. = 100 Rp. (Rappen)
Geldbeträge gibt man in der Dezimalschreibweise oder als gemischtes Mass
an.
Beispiel:
15,85 Fr.
=
15 Fr. 85 Rp.
.
Gemischtes Mass
Dezimalschreibweise
Die Gewichtseinheiten
Die Grundeinheit für die Gewichtsmessung ist das Kilogramm (kg).
Um verschieden grosse Gewichte angeben zu können, gibt es grössere und
kleinere Einheiten.
Es gilt:
1’000 mg =
1’000 g =
1’000 kg =
1 mg
1g
1 kg
1t
(Milligramm)
(Gramm)
(Kilogramm)
(Tonne)
Gewichte können verschieden notiert werden!
Beispiele:
1 500 g = 1,5 kg = 1 kg 500 g = 1
2.
2 t 84 kg = 2 084 kg = 2,084 t
3
3 kg = 3,75 kg = 3 750 g = 3 kg 750 g
4
3.
Mathematik -Theorie
1
kg
2
1.
9
1. Klasse Bezirksschule
B Rechenoperationen I
1
Addition und Subtraktion
Die Zusammenzählrechnung wird von jetzt an Addition genannt, und das
Zusammenzählen heisst addieren.
Das Wegzählen heisst von jetzt an Subtraktion, und wegzählen nennen wir
subtrahieren.
Die Zahlen, die bei der Addition und der Subtraktion beteiligt sind, besitzen
Fachausdrücke:
7
+
plus
Summand
21
-
minus
Minuend
8
Summand
16
Subtrahend
=
15
gleich
=
gleich
Summe
5
Differenz
(Addition)
(Subtraktion)
Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. Dies kann mit Hilfe
eines Pfeil-Diagrammes gezeigt werden:
36
+ 24
- 24
60
(natürlich gilt auch, dass die Addition die Umkehroperation der Subtraktion ist!)
Um Dezimalzahlen möglichst einfach zu addieren bzw. zu subtrahieren,
zerlegt man sie in dieselben Stelleneinheiten.
Beispiele:
Mathematik -Theorie
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
0,45 + 5,06 = 45 h + 506 h = 551 h = 5,51
5,1 - 3,4 = 51 z - 34 z = 17 z = 1,7
0,02 - 0,0002 = 200 zt - 2 zt = 198 zt = 0,0198
1 - 0,045 = 1 000 t - 45 t = 955 t = 0,955
4,4 + 0,94 = 440 h + 94 h = 534 h = 5,34
10
1. Klasse Bezirksschule
2
Rechenvorteile: Mit List und Tricks macht Rechnen
Spass
Du weisst bereits aus der Primarschule, dass gilt: 4 + 9 = 9 + 4 = 13 .
Man darf also bei einer Addition die Summanden vertauschen.
Allgemein ausgedrückt gilt:
a+b = b+a
Dieses Gesetz heisst Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz.
Beispiel:
Betrachte die folgende Addition: 39 + 27 + 61 .
Statt stur von links nach rechts zu addieren, wenden wir
zuerst das Kommutativgesetz an und vertauschen den
2. und 3. Summanden, damit nachher eine „runde“ Teilsumme
(Zehnerzahl) entsteht.
Die Rechnung lautet nun:
39 + 61 + 27 = 100 + 27 = 127 .
Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion!
Beispiel:
120 - 50 ≠ 50 - 120 .
In einer Summe mit mehr als zwei Summanden dürfen die Summanden
beliebig zu Teilsummen zusammengefasst werden.
Mit Klammern werden die Teilsummen angedeutet.
Beispiel:
25 + 35 + 45 = (25 + 35) + 45 = 60 + 45 = 105
25 + 35 + 45 = 25 + (35 + 45) = 25 + 80 = 105
Allgemein ausgedrückt gilt:
(a + b) + c = a + (b + c)
Dieses Gesetz heisst Verbindungsgesetz oder Assoziativgesetz.
Mathematik -Theorie
11
1. Klasse Bezirksschule
Es ist möglich, dass bei einer Addition sowohl das Kommutativgesetz als
auch das Assoziativgesetz angewendet werden.
Beispiel:
17 + 19 + 16 + 21 = 17 + 16 + 19 + 21 =
Kommutativgesetz
17 + 16 + (19 + 21) = 17 + 16 + 40 =
Assoziativgesetz
(17 + 16) + 40 = 33 + 40 = 73
Assoziativgesetz
Tricks (Vereinfachen von Rechnungen)
Bei der Addition zweier Summanden darf man den einen Summanden um
einen bestimmten Betrag vergrössern, wenn man den andern Summanden
um dieselbe Zahl verkleinert.
- 100
Beispiel:
5 900 + 2 600 = 6 000 + 2 500 = 8 500
+ 100
Bei der Subtraktion darf man den Subtrahenden um einen bestimmten Betrag
vergrössern, wenn man Minuenden auch um dieselbe Zahl vergrössert.
+ 400
Beispiel:
6 100 – 2 600 = 6 500 – 3 000 = 3 500
+ 400
Mathematik -Theorie
12
1. Klasse Bezirksschule
3
Schriftliche Addition und Subtraktion
Bei der schriftlichen Addition werden die Summanden einzeln untereinander
geschrieben, so dass die Einheiten in derselben Spalte zu liegen kommen.
Beispiel:
125 + 76 + 2 890 + 7
--->
THZE
125
+
76
+ 2 890
+
7
Nun bildet man zuerst die Summe der Einer. Ist sie grösser als 9, erfolgt die
Verwandlung und der Übertrag (sog. Behaltewert) zu den Zehnern.
Dann bildet man die Summe der Zehner (inkl. Behaltewert!). Ist sie grösser
als 9, erfolgt die Verwandlung und der Übertrag zu den Hundertern u.s.w. .
Damit Fehler möglichst rasch gefunden werden, müssen die Behaltewerte
unbedingt geschrieben werden!
Die obige Rechnung schriftlich ausgeführt sieht dann wie folgt aus:
125
+
76
+ 2 890
+
7
3 098
Das Vorgehen der schriftlichen Addition lässt sich problemlos auf
Dezimalbrüche übertragen. Damit dieselben Einheiten der Summanden
untereinander stehen, muss das Komma jedes Summanden in derselben
Spalte sein!
Beispiel:
140,3 + 13,86 + 8,666
140,300
+ 13,860
+ 8,666
162,826
Fehlende Stellen werden zur Vereinfachung der Rechnung mit Nullen besetzt!
Mathematik -Theorie
13
1. Klasse Bezirksschule
Bei der schriftlichen Subtraktion werden der Minuend und der Subtrahend/die
Subtrahenden untereinander geschrieben, so dass die Einheiten in derselben
Spalte zu liegen kommen.
Beispiel:
386 - 124
-->
HZE
386
- 124
Nun wird für jeden Stellenwert von der oberen Ziffer die untere subtrahiert, so
dass die obige Aufgabe schriftlich ausgeführt wie folgt aussieht:
386
- 124
262
Was passiert aber, wenn die untere Ziffer grösser ist als die obere?
Wir wollen für ein solches Beispiel die einzelnen Rechnungsschritte notieren.
Beispiel:
2 823 – 587
2 823
- 587
2 236
1.
Wir leihen einen Zehner (=10 Einer) aus und addieren ihn zu den 3 Einern, was 13 Einer ergibt.
2.
Wir ergänzen 7 Einer auf 13 Einer, was 6 Einer ergibt. Schreibe 6 Einer und gib den geliehenen
Zehner zurück: behalte 1 Zehner.
3.
Wir leihen einen Hunderter (=10 Zehner) aus und addieren ihn zu den 2 Zehnern, was 12 Zehner
ergibt.
4.
Wir ergänzen 8+1 Zehner (=9 Zehner) auf 12 Zehner, was 3 Zehner ergibt. Schreibe 3 Zehner und
gib den geliehenen Hunderter zurück: behalte 1 Hunderter.
5.
1 Hunderter und 5 Hunderter auf 8 Hunderter ergänzen ergibt 2 Hunderter. Schreibe 2 Hunderter.
6.
Ergänze 0 Tausender auf 2 Tausender, was 2 Tausender ergibt. Schreibe 2 Tausender.
Mathematik -Theorie
14
1. Klasse Bezirksschule
4
Das Runden von Zahlen und Grössen
In vielen Situationen ist es sinnvoll, Zahlen oder Grössen (Masszahlen und
Masseinheiten) zu runden.
Beispiel:
Die Einwohnerzahl einer Stadt soll angegeben werden. Da sich diese Zahl fast täglich
verändert, ist es sinnlos, eine Angabe auf einzelne Einwohner genau zu machen. Man
rundet deshalb beispielsweise auf hundert Einwohner genau und notiert:
Die Stadt zählt rund 11'200 Einwohner.
Manchmal ist es auch völlig sinnlos, Zahlen zu runden.
Beispiele: Nicht gerundet werden dürfen
(062/731 45 62)
(810-17000-45)
(269 738)
- Telephonnummern
- Kontonummern
- Autonummern
Vorgehen beim Runden
Für das Runden entscheidend ist die Ziffer hinter der Stelle, auf die
gerundet werden muss.
-
Ist die für das Runden entscheidende Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4 , so wird
abgerundet.
-
Ist die für das Runden entscheidende Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird
aufgerundet.
Beispiele:
1
Auf Hunderter runden:
5 631 ≅ 5 600
2
Auf Zehner runden:
23 466,7 ≅ 23 470
3
Auf Zehntel runden:
12 746 ≅ 12 7
4
Auf 2 Dezimalen runden:
0,9788 ≅ 0,98
5
Auf 3 Dezimalen runden:
5,8996 ≅ 5,900 !
6
Auf cm runden:
6,9206m ≅ 6,92m
7
Auf m runden:
5 561,59m ≅ 5 562m
(unterstrichen ist jeweils die für das Runden entscheidende Stelle)
Mathematik -Theorie
15
1. Klasse Bezirksschule
5
Addieren und Subtrahieren im Alltag
In sogenannten Sätzchenaufgaben (Aufgaben die in Sätzen eingekleidet
sind) wird das situationsbezogene Anwenden der Addition und der
Subtraktion gelernt.
Wichtig ist bei solchen Aufgaben in erster Linie das korrekte Erfassen der
gegebenen Situation, was vor allem ein genaues Lesen der Aufgabenstellung
voraussetzt!
Beispiel:
„Ein Parkhaus hat 1'352 Plätze. Während der Nacht waren 25 Autos
eingestellt. Im Laufe des Vormittags fahren 1'579 Autos hinein und 428
hinaus.
Wie viele Plätze sind um 12 Uhr noch frei?"
Vorgehensweise
1.
2.
Lies die Aufgabe genau durch (eventuell mehrmals).
Überlege dir, welche Rechenoperationen in welcher Reihenfolge
benötigt werden.
Führe die einzelnen Ausrechnungen schrittweise schriftlich aus.
Achte auf eine übersichtliche Darstellung.
Runde gegebenenfalls das Resultat.
Schreibe einen kurzen Antwortsatz.
3.
4.
5.
6.
Lösung der obigen Aufgabe
1 579
428
-
1 151
+
1 151
25
1 176
-
1 352
1 176
176
Um 12 Uhr sind noch 176 Parkplätze frei.
Mathematik -Theorie
16
1. Klasse Bezirksschule
6
Die Verbindung von Addition und Subtraktion Gleichungen
Operieren wir in einem Term sowohl mit der Addition als auch mit der
Subtraktion, ist oft das Setzen von Klammern notwendig, um genau angeben
zu können, in welcher Reihenfolge gerechnet werden soll.
Beispiele:
1.
12 - 5 + 4 - 3 = 8
2.
12 - (5 + 4) - 3 = 0
3.
12 - (5 + 4 - 3) = 6
Die Klammern geben an, dass die Rechnung, die darin enthalten ist,
zuerst ausgeführt werden muss!
Enthält eine Aufgabe ineinander verschachtelte Klammern, so wird zuerst die
innerste Klammer verrechnet.
Beispiel:
(53 - (18 + 5)) - (18 + (13 - 9)) =
(53 - 23) - (18 + 4) =
30 – 22 = 8
Achte auf das
korrekte Setzen des
Gleichheitszeichens!
Vom Term zum Text und vom Text zum Term
Ein gegebener Term kann in Worten ausgedrückt werden (vom Term zum
Text). Dabei muss die Aufgabenstellung absolut verständlich bleiben!
Beispiel:
(3,7 + 5,8) - (2,4 - 1,7)
Achte auf die Klammern!
"Subtrahiere von der Summe von 3,7 und 5,8 die
Differenz von 2,4 und 1,7."
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen Term in Worten auszudrücken!
Mathematik -Theorie
17
1. Klasse Bezirksschule
Umgekehrt ist es auch möglich, einen in Worten formulierten Term als
Zahlen- / Buchstabenausdruck zu schreiben.
Beispiel:
"Von der Differenz der Zahlen 87,32 und 36,18 soll die
Summe von 10,97 und 21,34 subtrahiert werden und zum
Rest die Differenz von 65,12 und 36,75 addiert werden."
(87,32 - 36,18) - (10,97 + 21,34) + (65,12 - 36,75)
Gleichungen
Sind zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden, spricht man
von einer Gleichung. Der Wert auf der linken Seite entspricht dem Wert auf
der rechten Seite.
Beispiel:
25 + 17 = 42
Man kann sich dieses "Gleichgewicht" am Bild einer Balkenwaage vorstellen.
Enthält eine Gleichung eine Variable, muss diese so durch eine Zahl ersetzt
werden, dass die Gleichung erfüllt ist, d.h. beide Seiten gleichwertig sind.
Beispiel:
57 - x = 28
x = 29
Mathematik -Theorie
18
1. Klasse Bezirksschule
Bei Sätzchenaufgaben muss die Gleichung zuerst noch aufgestellt werden.
Beispiel:
"Um welche Zahl muss die Summe von 8,30 und 6,71
vermindert werden, um ihre Differenz zu erhalten?"
(8,30 + 6,71) - x = (8,30 - 6,71)
15,01 - x =
1,59
x = 13,42
Ungleichungen
Sind zwei Terme durch ein Ungleichheitszeichen (<, >) verknüpft, so spricht
man von einer Ungleichung. Der Wert auf der einen Seite muss in diesem
Falle grösser oder kleiner sein als auf der andern Seite.
Beispiele:
5+7 > 2+4
40 - 23 < 40 + 23
Dieses "Ungleichgewicht" lässt sich ebenfalls mit einer Balkenwaage
darstellen.
Enthält eine Ungleichung eine Variable, muss diese durch eine oder mehrere
Zahlen ersetzt werden, so dass die Ungleichung erfüllt ist.
Beispiele:
Mathematik -Theorie
x + 7 < 15
--->
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
25 + x > 48
--->
x > 23
19
1. Klasse Bezirksschule
7
Addition und Subtraktion: Vermischtes
Zahlenfolgen
Zahlen, die nach einem bestimmten Gesetz aufeinanderfolgen, bilden eine
Zahlenfolge. Die einzelnen Zahlen heissen Glieder der Folge.
Beispiele:
1, 4, 7, 10, 13, ...
2, 3, 6, 7, 14, 15, 30, ...
1, 4, 3, 12, 11, 44, 43, ...
(Gesetz: + 3)
(Gesetz: +1 / ⋅2 )
(Gesetz: ⋅4 / -1)
Verknüpfungsdiagramme
Ein Verknüpfungsdiagramm ist eine graphische Darstellung einer Gleichung.
Die Zahlen (in quadratischen Kästchen) und die Operationszeichen
(in Kreisen) werden durch Verbindungslinien verknüpft.
Beispiele:
Gleichung
Verknüpfungsdiagramm
x+y=z
4 + 7 = 11
Gleichung
Verknüpfungsdiagramm
95 – (x +33) = y
95 – (15 +33) = 47
Mathematik -Theorie
20
1. Klasse Bezirksschule
C Rechenoperationen II
1
Die Multiplikation
Die Multiplikation entspricht einer Addition mehrerer gleichenSummanden.
Beispiel:
8 · 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40
Es gelten folgende Bezeichnungen:
8
Multiplikand
(1. Faktor)
·
5
=
40
Produkt
Multiplikator
(2. Faktor)
Wie bei der Addition gelten auch bei der Multiplikation das Kommutativ- und
Assoziativgesetz.
Kommutativgesetz:
8· 5 = 5· 8
Assoziativgesetz:
(8 · 5) · 2 = 8 · (5 · 2)
Mit Hilfe des schriftlichen Multiplikationsverfahren können schwierige
Multiplikationen bewältigt werden.
Beispiel:
2 6 7 ·
9 1 6
1 6 0 2
6 · 267
2 6 7
1 · 267 bzw 10· 267
2 4 0 3
9 · 267 bzw 900· 267
2 4 4’ 5 7 2
Mathematik -Theorie
21
1. Klasse Bezirksschule
2
Potenzen und Potenzieren – Grosse Zahlen
Besteht eine Multiplikation aus lauter gleichen Faktoren, so drückt man es
verkürzt als Potenz aus.
Beispiel:
2 ·
2 ·
2 ·
2 ·
2 ·
2 = 26 = 64
(Die Zahl 2 wird 6 mal mit sich selbst multipliziert)
Es gelten folgende Bezeichnungen:
26
Basis
Potenz
Exponent
Potenzen mit dem Exponenten 2 heissen Quadratzahlen.
Beispiele:
12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 , 42 = 16 , 52 = 25 , 62 = 36 , ...
Potenzen mit der Basis 10 heissen Zehnerpotenzen.
Beispiel:
104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10'000
Grosse Zahlen können mit Hilfe der Zehnerpotenzen viel kürzer geschrieben
werden:
1 000 000
=
1 000 000 000
=
1 000 000 000 000
=
1 000 000 000 000 000 =
106
109
1012
1015
=
=
=
=
1 Million
1 Milliarde
1 Billion
1 Billiarde
Es gilt weiter:
1
2
8 500 000 = 8,5 Millionen = 8,5 · 106
103 · 106 = 1 000 · 1 000 000 = 1 000 000 000 = 10 9
Mathematik -Theorie
22
1. Klasse Bezirksschule
3
Die Division
Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.
Beispiel:
· 7
4
28
:7
Division
Dividieren bedeutet teilen oder messen.
Beispiele:
28 Fr. : 7
= 4 Fr.
28 m : 7 m = 4
(teilen)
(messen)
Es gelten folgende Bezeichnungen:
28
Dividend
:
7
=
4
Divisor
Quotient
Bei schwierigen Divisionsaufgaben verwendet man ein schriftliches
Verfahren.
Beispiel:
1
4
1
5
0
2
2
2
1
6
:
2
7
=
5
3
8
6
0
Es ist wichtig, dass vor dem schriftlichen Dividieren eine Überschlagsrechnung gemacht wird,
um allfällige grobe Rechnungsfehler zu bemerken!
Mathematik -Theorie
23
1. Klasse Bezirksschule
Potenzen mit derselben Basis können problemlos dividiert werden.
Beispiele:
106 : 102 = 1 000 000 : 100 = 10 000 = 104
45 : 43 = (4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4) : (4 ⋅ 4 ⋅ 4) = 4 ⋅ 4 = 42
x8 : x2 = x6
Es gilt:
Der Exponent des Resultates berechnet sich als Differenz
der Exponenten, die Basis bleibt dieselbe.
Wichtige Regeln
1.
Die Operatoren
nicht.
Beispiele:
2.
1 = 18
:1 verändern den Wert einer Zahl
und
18 : 1 = 18
Der Operator · 0 erzeugt als Resultat immer den Wert 0.
Beispiele:
3.
18 ·
· 1 und
18 ·
0 = 0
und
a ·
0 = 0
Die Division durch O ist nicht definiert!
Beispiel:
Mathematik -Theorie
18 : 0 = nicht definiert
24
1. Klasse Bezirksschule
4
Zur Teilbarkeit von Zahlen
Dividiert man eine natürliche Zahl durch eine andere, geht die Rechnung
meistens nicht ganzzahlig auf, und es entsteht ein Rest.
Beispiel:
27 : 6 = 4 , Rest 3 .
Man kann mit Hilfe von Teilbarkeitsregeln prüfen, ob bei der Division durch
eine bestimmte natürliche Zahl ein Rest entsteht oder nicht.
Teilbarkeitsregeln
2:
Eine Zahl ist teilbar durch 2, wenn ihre Einerziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 heisst.
(solche Zahlen nennt man gerade Zahlen)
3:
Eine Zahl ist teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
(die Quersumme wird gebildet, indem die einzelnen Ziffern einer Zahl addiert werden)
4:
Eine Zahl ist teilbar durch 4, wenn ihr Hunderterrest durch 4 teilbar ist.
(der Hunderterrest ist die aus den letzten zwei Ziffern gebildete Zahl / es ist der Rest, der bei
einer Division durch 100 entsteht)
5:
Eine Zahl ist teilbar durch 5, wenn ihre Einerziffer 0 oder 5 heisst.
6:
Eine Zahl ist teilbar durch 6, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
(denn: 6 = 2 ⋅ 3 , und: 2 und 3 sind teilerfremd (haben keinen gemeinsamen Teiler)).
7:
Keine Regel!
8:
Eine Zahl ist teilbar durch 8, wenn ihr Tausenderrest durch 8 teilbar ist.
(der Tausenderrest ist die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl / es ist der Rest, der bei
einer Division durch 1 000 entsteht)
9:
Eine Zahl ist teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
10:
Eine Zahl ist teilbar durch 10, wenn ihre Einerziffer 0 heisst.
12:
Eine Zahl ist teilbar durch 12, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.
(denn: 12 = 3 ⋅ 4 , und: 3 und 4 sind teilerfremd (haben keinen gemeinsamen Teiler)).
25:
Eine Zahl ist teilbar durch 25, wenn ihr Hunderterrest durch 25 teilbar ist.
125:
Eine Zahl ist teilbar durch 125, wenn ihr Tausenderrest durch 125 teilbar ist.
Mathematik -Theorie
25
1. Klasse Bezirksschule
Primzahlen
Als Primzahlen bezeichnet man alle natürlichen Zahlen, die nur durch 1 und
durch sich selbst ohne Rest teilbar sind.
Die erste Primzahl heisst 2. Die weiteren Primzahlen lauten: 3, 5, 7, 11, ...
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Die Häufigkeit nimmt allerdings mit
grösseren Zahlen ab. Eine sehr alte Methode zur Bestimmung von
Primzahlen ist das sogennannte Sieb des Eratosthenes!
Es funktioniert nach folgendem Prinzip:
1.
Man schreibt eine Liste aller natürlichen Zahlen auf, die man überprüfen will:
1
21
41
61
81
2
22
42
62
82
3
23
43
63
83
4
24
44
64
84
5
25
45
65
85
6
26
46
66
86
7
27
47
67
87
8
28
48
68
88
9
29
49
69
89
10
30
50
70
90
11
31
51
71
91
12
32
52
72
92
13
33
53
73
93
14
34
54
74
94
15
35
55
75
95
16
36
56
76
96
17
37
57
77
97
18
38
58
78
98
19 20
39 40
59 60
79 80
99 100
2.
Nun streicht man als erstes die 1 weg, da 1 keine Primzahl ist.
3.
Die Zahl 2 wurde bis jetzt nicht weggestrichen und ist deshalb eine Primzahl!
Wir markieren sie mit einem Kreis.
4.
Wir streichen nun alle Vielfachen von 2 durch, da diese Zahlen sicher keine
Primzahlen sind.
5.
Die Zahl 3 ist die nächste nicht durchgestrichene Zahl und deshalb eine Primzahl!
Wir markieren sie mit einem Kreis.
6.
Wir streichen nun alle Vielfachen von 3 durch, da diese Zahlen sicher keine
Primzahlen sind.
7.
Die Zahl 5 ist die nächste nicht durchgestrichene Zahl und deshalb eine Primzahl!
Wir markieren sie mit einem Kreis.
8.
Wir streichen nun alle Vielfachen von 5 durch, da diese Zahlen sicher keine
Primzahlen sind.
9.
etc.
Die Primzahlen zwischen 1 und 100 heissen:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Mathematik -Theorie
26
1. Klasse Bezirksschule
5
Dezimalbrüche in Divisionsaufgaben
Geht eine Division mit natürlichen Zahlen nicht auf, schreiben wir den
verbleibenden Zahlenwert als Rest.
Beispiel:
248 : 5 = 49 Rest 3
Statt den Rest zu notieren, können wir die Division mit dem Rest fortsetzen
und erhalten so als Resultat eine Dezimalzahl.
Beispiel:
248 : 5 = 49,6
( Rest 3 = 30 Zehntel → 30 Zehntel : 5 = 6 Zehntel = 0,6 )
Bei der Division durch eine Zehnerpotenz (101 = 10, 102 = 100,
103 = 1 000, ...) wird das Komma um so viele Stellen nach links verschoben,
wie die Zehnerpotenz Nullen hat.
Beispiel:
5 867 : 10
= 586,7
5 867 : 100
= 58,67
5 867 : 1 000
= 5,867
←
←
←
5 867 : 10 000 = 0,5867
←
Bei der Division einer Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl führt die
Schreibweise mit den Stellenwerten zum Resultat.
Beispiele:
0,9 : 3 = 9 Zehntel : 3 = 3 Zehntel = 0,3
0,12 : 3 = 12 Hundertstel : 3 = 4 Hundertstel = 0,04
0,2 : 5 = 2 Zehntel : 5 = 20 Hundertstel : 5 = 4 Hundertstel = 0,04
14,4 : 12 = 144 Zehntel : 12 = 12 Zehntel = 1,2
0,288 : 12 = 288 Tausendstel : 12 = 24 Tausendstel = 0,024
Mathematik -Theorie
27
1. Klasse Bezirksschule
Bei der Division durch eine Dezimalzahl formen wir die Aufgabe durch
gleichsinnige Kommaverschiebung so um, dass der Divisor eine natürliche
Zahl wird.
Beispiele:
120 : 0,2 = 120,0→ : 0,2
= 1 200 : 2 = 600
→
30 : 0,005 = 30,000
: 0,005
= 30'000 : 5 = 6'000
→
→
56 : 0,0014 = 56,0000
: 0,0014 = 560'000 : 14 = 40’000
→
→
6,4
: 0,4
= 64 : 4 = 16
→
→
0,96
: 0,08
= 96 : 8 = 12
→
→
0,324 : 0,0008 = 0,3240
: 0,0008
= 3’240 : 8 = 405
→
→
0,12 : 0,3 = 1,2 : 3 = 0,4
Mathematik -Theorie
28
( → Division durch eine natürliche Zahl! )
1. Klasse Bezirksschule
6
Runden von Quotienten
In vielen Divisionsaufgaben ist der Quotient eine Zahl, welche unendlich viele
Stellen nach dem Komma aufweist.
Solche Zahlen nennt man nichtabbrechende Dezimalbrüche.
Beispiel:
120 : 14 = 8,57142857142857142857142857142857...
Bei genauem Betrachten des Quotienten lässt sich zwar eine
Regelmässigkeit erkennen, doch ändert dies nichts an der Tatsache, dass die
Zahl nie abbrechen wird !
In solchen Fällen rundet man den Quotienten, d.h. man bricht nach einer
bestimmten Anzahl Stellen ab. Es gelten dabei die normalen Rundungsregeln. Beachte dabei die Verwendung des Rundungszeichens ( ≅ ) .
Es kann auf verschiedene Arten angegeben werden, wie gerundet werden
soll:
Beispiele:
1.
Berechne auf Hundertstel genau:
4 893 : 712 = 6,872... ≅ 6,87
2.
Berechne auf km genau:
37 412 km : 311 = 120,2... km ≅ 120 km
3.
Berechne auf die nächstkleinere Einheit genau:
893,8 Fr. : 26 = 34,376... Fr. ≅ 34,38 Fr.
4.
Berechne auf l (Liter) genau:
5,1hl : 13 = 510 l : 13 = 39,2... l ≅ 39 l = 0,39 hl
(Achtung:
Mathematik -Theorie
Auch wenn es heisst, dass auf Liter gerundet werden soll,
muss das Schlussresultat doch in der Anfangsmasseinheit,
also Hektoliter, stehen bleiben!)
29
1. Klasse Bezirksschule
7
Dezimalbrüche in Multiplikationsaufgaben
Das Verfahren der schriftlichen Multiplikation kann ebenfalls angewendet
werden, wenn die beiden Faktoren Dezimalbrüche sind.
Es gilt folgende Regel:
Das Produkt zweier Dezimalbrüche weist soviele Stellen nach dem
Komma auf, wie die beiden Faktoren zusammen Dezimalen aufweisen.
2 Dezimalen
Beispiel:
2, 6 3
1 Dezimale
⋅ 1, 8
2 1 0 4
2 6 3
3 Dezimalen
4, 7 3 4
Bei der Multiplikation zweier Dezimalbrüche/Zahlen kann der eine Faktor
mit einer Zehnerpotenz vervielfacht und der andere entsprechend verkleinert
werden, ohne dass sich der Wert des Produktes verändert.
Dies geschieht durch gegensinnige Kommaverschiebung.
Beispiele:
0,08 ⋅ 2,5
⋅ 100
=
8 ⋅ 0,025
=
0,2
: 100
0,003 ⋅ 52 000 = 3 ⋅ 52 = 156
⋅ 1 000
Mathematik -Theorie
: 1 000
30
1. Klasse Bezirksschule
Bei der Multiplikation eines Dezimalbruches mit einer Zehnerpotenz
(101 = 10, 102 = 100, 103 = 1'000, ...) gilt folgende Regel:
Bei der Multiplikation eines Dezimalbruches mit einer Zehnerpotenz erhält
man das Resultat, indem das Komma des Dezimalbruches um soviele
Stellen nach rechts verschoben wird, wie die Zehnerpotenz Nullen besitzt.
Beispiele:
0,4023 ⋅ 10 000 = 4 023
0,00006 ⋅ 108 = 6 000
Es lassen sich verschiedene Produkte bestehend aus einem Dezimalbruch
und einer Zehnerpotenz schreiben, welche alle den gleichen Wert besitzen.
Dies geschieht durch gegensinnige Kommaverschiebung.
Beispiele:
8,3 ⋅ 105 = 0,83 ⋅ 106 = 0,083 ⋅ 107
49,03 ⋅ 103 = 490,3 ⋅ 102 = 0,4903 ⋅ 105
Mathematik -Theorie
31
1. Klasse Bezirksschule
8
Verbindung der vier Grundrechenarten
Die vier Grundrechenarten heissen:
-
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
(+)
(-)
(⋅)
(:) .
Die Grundrechenarten können einzeln oder miteinander verbunden auftreten.
Damit die Reihenfolge der Operationsschritte klar festgelegt werden kann,
gibt es eine sogenannte Hierarchie der Rechenoperationen.
Es gilt:
Die Rechenarten, die in der
Pyramide der Rechenarten
weiter oben stehen, müssen
beim Ausrechnen zuerst
berücksichtigt werden!
• Potenzieren
• Radizieren
• Multiplizieren
• Dividieren
• Addieren
• Subtrahieren
Für die Grundrechenarten gilt folgende Regel:
Die Punktoperationen (Multiplikation / Division) werden vor den
Strichoperationen ( Addition / Subtraktion) ausgeführt!
→
„Punkt vor Strich“
Weiterhin gilt natürlich die Regel, dass Klammern immer zuerst ausgerechnet
werden.
Bei mehreren ineinandergeschachtelten Klammern wird zuerst die innerste
Klammer ausgerechnet.
Mathematik -Theorie
32
1. Klasse Bezirksschule
Beispiele:
1
6 ⋅ 2 + 10 = 12 + 10 = 22
2
12 − 6 : 2 = 12 − 3 = 9
3
6 ⋅ (2 + 10) = 6 ⋅ 12 = 72
4
(12 − 6) : 2 = 6 : 2 = 3
5
3 ⋅ (12 − 4 ⋅ 2) = 3 ⋅ (12 − 8) = 3 ⋅ 4 = 12
6
3 ⋅ 12 − 4 ⋅ 2 = 36 − 8 = 28
7
48 − 36 : (6 − 2) = 48 − 36 : 4 = 48 − 9 = 39
8
( 48 − 36) : (6 − 2) = 12 : 4 = 3
9
24 ⋅ 3 − 2 ⋅ (56 : 4 − 2 ⋅ 3) = 72 − 2 ⋅ (14 − 6) = 72 − 2 ⋅ 8 =
72 − 16 = 56
10
(90 − 2 ⋅ ( 43 − 2 ⋅ 6)) : 7 = (90 − 2 ⋅ ( 43 − 12)) : 7 =
(90 − 2 ⋅ 31) : 7 = (90 − 62) : 7 = 28 : 7 = 4
Mathematik -Theorie
33
1. Klasse Bezirksschule
9
Die Grundoperationen im Alltag : Beispiele
Die 4 Grundoperationen kommen häufig in sogenannten „Sätzliaufgaben“
zur Anwendung.
Bei diesen Aufgaben muss gemäss den schriftlichen Anweisungen in der
Aufgabenstellung die „Rechnung“ (Term / Gleichung) selber aufgestellt
werden.
Beispiel:
„2,5kg Teigwaren kosten 6,40Fr. Wie teuer ist 1kg?“
→
6,5 Fr. : 2,5
= 2,6 Fr.
Es ist wichtig, dass beim Lösen solcher Aufgaben auf eine übersichtliche
Darstellung geachtet wird! Es gilt, folgende Punkte zu beachten:
1.
Aufgabe in Teilschritte gliedern und diese klar trennen
2.
Masseinheiten korrekt verwenden
3.
Keine Schlauchrechnungen notieren
4.
Teilresultate einfach unterstreichen, Schlussresultat doppelt.
5.
Eventuell einen kurzen Antwortsatz schreiben.
Beispiel:
(Beispiel: 2 ⋅ 3 = 6 + 4 = 10 : 5 = 2 → falsch!)
„Ein Strasse von 5,340 km Länge soll beiderseits mit Bäumen
bepflanzt werden, die 12 m Abstand voneinander haben. Wie
viele Bäume sind nötig, wenn der erste und letzte Baum je 6 m
vom Anfang bzw. Ende der Allee entfernt sind?“
5,340 km = 5 340 m
5 340 m - 2 ⋅ 6 m = 5 340 m - 12 m = 5 328 m
5 328 m : 12 m = 444 (Abstände)
→
445 Bäume
2 ⋅ 445 Bäume = 890 Bäume
Mathematik -Theorie
34
1. Klasse Bezirksschule
D Geometrische Grundbegriffe
1
Linien
Es gibt verschiedene Arten von Linien: gekrümmte und gerade Linien,
offene und geschlossene Linien, unendlich lange und endlich lange Linien.
Da geometrische Fachbegriffe eindeutig sein müssen, wird das
Wort "Linie" als solches nicht verwendet.
Es gilt:
→
Eine gerade, unendlich lange Linie wird als Gerade bezeichnet.
(Durch zwei Punkte ist die Lage einer Geraden bestimmt! )
→
Eine gerade, endlich lange Linie wird als Strecke bezeichnet.
(Durch einen Anfangs- und einen Endpunkt ist die Lage einer Strecke bestimmt! )
Bezüglich der Kennzeichnung gilt:
P
→
Punkte werden mit Grossbuchstaben
gekennzeichnet.
→
Geraden werden auf zwei Arten gekennzeichnet:
→
A
B
1
Mit Kleinbuchstaben
2
Durch Angabe zweier Punkte, die auf der Geraden liegen
Strecken werden auf zwei Arten gekennzeichnet:
1
Mit Kleinbuchstaben
2
Durch Angabe des Anfangs- und Endpunktes
(überstrichen!)
Mathematik -Theorie
g
g = AB
D
s
35
s = CD
C
1. Klasse Bezirksschule
Streckenlängen mit dem Zirkel abtragen
Sind im Buch Streckenlängen gegeben, welche im Heft verwendet werden
müssen, so gilt:
1.
Die Strecken im Buch mit dem Lineal messen und ins Heft übernommen
(inkl. Anschrift!).
2.
Die ins Heft übernommenen Strecken mit dem Zirkel abmessen und
weiterverwenden.
Häufig werden Streckenlängen addiert oder subtrahiert .
Dies erfolgt mit Hilfe des Zirkels auf einer sogenannten Trägergeraden.
Beispiel:
„Konstruiere eine Strecke mit der Länge 2a - b, wenn
die Teilstrecken a und b gegeben sind.“
a
b
2a - b
a
a
b
→
→
Mathematik -Theorie
g
Die positiven Streckenlängen oben anschreiben, die negativen unten !
Die Lösungsstrecke rot zeichnen und oben beschriften.
36
1. Klasse Bezirksschule
2
Senkrecht und parallel
Lassen wir einen Gegenstand aus der Luft fallen, so beschreibt er einen
geraden Weg von oben nach unten. Er fällt vertikal oder lotrecht.
Ist die Unterlage horizontal oder waagrecht, so trifft der Körper senkrecht
zur Unterlage auf.
Die Flugrichtung und die Unterlage stehen senkrecht, rechtwinklig oder
orthogonal zueinander.
Es gilt:
→
Horizontal / waagrecht und vertikal / lotrecht
sind Richtungen von Geraden.
→
Senkrecht zu / rechtwinklig zu / orthogonal zu
sind Relationen (Beziehungen) zwischen Geraden.
Vertikal / Lotrecht
Senkrecht zu / Rechtwinklig zu /
Orthogonal zu
Horizontal / Waagrecht
(„Rechtwinkligkeitszeichen“)
Mathematik -Theorie
37
1. Klasse Bezirksschule
Mit dem Geodreieck wird die Rechtwinkligkeit von Geraden überprüft und
werden zueinander senkrechte Geraden konstruiert.
Beispiel:
"Zeichne durch den Punkt P eine Gerade h, welche senkrecht zur
Geraden g steht."
g
P
h
Die Rechtwinkligkeit von Geraden wird beim Schnittpunkt der beiden
Geraden mit dem sogenannten Rechtwinkligkeitszeichen markiert.
Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander, so notiert man:
Mathematik -Theorie
38
g ⊥ h
.
1. Klasse Bezirksschule
Verlaufen zwei Geraden in immer gleichem Abstand zueinander, so sind
sie parallel zueinander.
Beispiele:
Bahnschienen auf gerader Strecke , Notenlinien .
Die Konstruktion einer Parallelen durch einen Punkt zu einer Geraden erfolgt
mit Geodreieck und Lineal.
Beispiel:
"Konstruiere eine Parallele h durch den Punkt P zu der Geraden g."
P
//
h
//
g
Die Parallelität von Geraden wird mit dem sogenannten Parallelitätszeichen
auf den Geraden markiert.
Sind zwei Geraden parallel zueinander, so notiert man:
Mathematik -Theorie
39
g // h
.
1. Klasse Bezirksschule
3
Das Koordinatensystem
Damit man sich in der Zeichenebene orientieren kann, legt man ein Gitternetz
aus waagrechten und lotrechten parallelen Geraden an.
Jeder Schnittpunkt einer horizontalen und vertikalen Geraden definiert eine
bestimmte Lage.
Damit die Lage eindeutig ist, braucht es eine waagrechte und eine lotrechte
Achse als Ausgangsgeraden.
Diese beiden Achsen nennt man Rechtsachse oder x-Achse in der
horizontalen Richtung und Hochachse oder y-Achse in der vertikalen
Richtung.
Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der sogenannte Nullpunkt.
Jedem Punkt im Koordinatensystem kann nun ein Zahlenpaar (x/y)
zugeordnet werden. Die Variable x steht für die 1. Koordinate oder die
Rechtsachsenzahl, die Variable y für die 2. Koordinate oder die
Hochachsenzahl.
Die 1. Koordinate gibt den Abstand in horizontaler Richtung von der y-Achse
an, die 2. Koordinate gibt den Abstand in vertikaler Richtung von der x-Achse
an.
Mathematik -Theorie
40
1. Klasse Bezirksschule
4
Der Kreis
Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem
festen Punkt M den gleichen Abstand r haben.
Dabei ist M der Mittelpunkt oder das Zentrum des Kreises und r der Radius
des Kreises.
Der Kreis wird häufig auch als Kreislinie k bezeichnet.
M
r
k
Verbindet man zwei Punkte P und Q auf der Kreislinie geradlinig, so erhält
man eine Sehne s.
Die Kreislinie wird dadurch in zwei Kreisbögen b1 und b2 unterteilt.
b2
P
M
s
b1
Q
Mathematik -Theorie
41
1. Klasse Bezirksschule
Eine durch den Mittelpunkt M hindurch verlaufende Sehne nennt man
Durchmesser d des Kreises.
Der Durchmesser ist doppelt so gross wie der Radius und halbiert sowohl
die Kreislinie k als auch die Kreisfläche.
d
M
k
Aufgabe:
„Zeichne die Punkte A und B mit IABI = 5cm. Konstruiere alle
Punkte, die 4 cm von A und 2 cm von B entfernt sind.“
P1
A
B
P2
Mathematik -Theorie
42
1. Klasse Bezirksschule
5
Vierecke aus Streifen
Zwei parallele Geraden begrenzen einen Streifen.
Eine zu einem Streifen orthogonale Strecke, welche die beiden Parallelen
verbindet, nennt man Breite des Streifens.
b
❘❘
b : Breite des Streifens
❘❘
Durch den Schnitt zweier Streifen entstehen Vierecke (es entstehen vier
Schnittpunkte!).
Je nach Breite und Lage der zwei Streifen entstehen verschiedene Vierecke.
1.
Durch den Schnitt zweier gleich breiten
Streifen, welche senkrecht zueinander
stehen, entsteht ein Quadrat.
2.
Durch den Schnitt zweier gleich breiten
Streifen in beliebiger Lage entsteht ein
Rhombus / eine Raute.
3.
Durch den Schnitt zweier ungleich breiten
Streifen, welche senkrecht zueinander
stehen, entsteht ein Rechteck.
4.
Durch den Schnitt zweier ungleich breiten
Streifen in beliebiger Lage entsteht ein
Parallelogramm.
Mathematik -Theorie
43
1. Klasse Bezirksschule
Eigenschaften dieser speziellen Vierecke
Quadrat:
-
s
Alle vier Seiten sind gleich lang.
Alle vier Winkel sind rechte Winkel (90°).
Die Diagonalen stehen senkrecht zueinander.
Die Diagonalen sind gleich lang.
Die Diagonalen halbieren einander.
s
s
s
Rhombus:
Rechteck:
- Alle vier Seiten sind gleich lang.
- Die Gegenseiten sind parallel.
- Die Diagonalen stehen senkrecht
zueinander.
- Die Diagonalen halbieren einander.
-
Die Gegenseiten sind gleich lang.
Alle vier Winkel sind rechte Winkel.
Die Diagonalen sind gleich lang.
Die Diagonalen halbieren einander.
s
s
s
s
a
b
b
a
Parallelogramm:
- Die Gegenseiten sind gleich lang.
- Die Gegenseiten sind parallel.
- Die Diagonalen halbieren einander.
a
b
b
a
Mathematik -Theorie
44
1. Klasse Bezirksschule
Abstand oder Entfernung
-
Als Abstand oder Entfernung zweier Punkte P und Q bezeichnet man die Länge der
Strecke PQ.
Q
P
-
Als Abstand ( ≠ Entfernung ) eines Punktes P von einer Geraden g bezeichnet man
den Abstand des Punktes P vom Fusspunkt F des Lotes von P auf die Gerade g.
P
g
F
-
Als Abstand zweier parallelen Geraden g und h bezeichnet man den Abstand eines
Punktes P ∈ g von h.
P
g
F
h
Mathematik -Theorie
45
1. Klasse Bezirksschule
6
Umfang
Die Länge der Begrenzungslinie einer ebenen Figur nennt man Umfang u.
Der Umfang eines Vielecks (Dreieck, Viereck, Fünfeck, ...) ist gleich der
Summe seiner Seitenlängen.
Beispiel:
D
d
E
Achtung!
e
Die Beschriftung eines
Vielecks erfolgt im
Gegenuhrzeigersinn !
c
A
C
a
b
B
u
=
a + b + c + d + e
Wichtig sind vor allem die Umfangsformeln für Rechteck und Quadrat.
a
D
Rechteck:
u = 2⋅(a+b)
b
b
a
A
Quadrat:
D
u = 4⋅s
s
s
A
Mathematik -Theorie
C
46
B
C
s
s
B
1. Klasse Bezirksschule
E Flächenmessung und
Flächenberechnung
1
Die Masseinheiten der Fläche
Wenn wir etwas messen, so bestimmen wir immer, wie oft eine als
Masseinheit gewählte Grösse in der zu messenden Grösse Platz hat.
Solche Masseinheiten sind zum Beispiel für die Längenmessung der Meter
oder für die Gewichtsmessung das Kilogramm .
Auch zur Flächenmessung braucht es solche Masseinheiten. Da viele
Flächen rechtwinklig sind, hat man als Normfigur für die Flächenmessung das
Quadrat gewählt.
Die Masseinheiten der Flächenmessung sind Quadrate mit den Seitenlängen
1mm , 1cm , 1dm , 1m und 1km.
Die Fläche dieser Quadrate wird entsprechend angegeben mit
1mm2 , 1cm2 , 1dm2 , 1m2 und 1km2 .
Zwei weitere Flächenmasse sind gebräuchlich: 1a ( 1 Are ) mit der
Seitenlänge 10m und 1ha ( 1 Hektare ) mit der Seitenlänge 100m.
Es gilt:
1dm
1 km2 wird gelesen als
„ein Quadratkilometer“ !
1 km2
=
100 ha
1 ha
=
100 a
1a
=
100 m2
1 m2
=
100 dm2
1 dm2
=
100 cm2
1 cm2
=
100 mm2
Mathematik -Theorie
2
1m = 10dm
2
1m =
2
100dm
47
1m =
10dm
1. Klasse Bezirksschule
2
Grössenvorstellungen zu Flächeneinheiten
Es ist wichtig, dass man eine Grössenvorstellung der verschiedenen
Flächeneinheiten hat. Man sollte sich ungefähr vorstellen können, wie
gross zum Beispiel 1m2 oder 1 a ist.
Die Grösse verschiedenster Flächen (Grundstücke, Zimmer, ...) kann
nur dann sinnvoll geschätzt werden, wenn man die verschiedenen
Flächeneinheiten als Vergleichsgrössen herbeiziehen kann.
Beispiel:
Der Rasenplatz unserer Schule ist etwa 80 m lang
und 40 m breit.
Die Fläche beträgt also 3 200 m2.
→
Das sind 32 a oder gerundet etwa
1
ha.
3
40 m
10 m
1 a = 100 m
2
10 m
80 m
Mathematik -Theorie
48
1. Klasse Bezirksschule
3
Flächeninhalt von Rechtecken
Für die Berechnung des Flächeninhaltes von Rechtecken gilt folgende
Formel:
A
=
a
a ⋅ b
A
A : Flächeninhalt
a : Länge
b
b : Breite
lat. area = freier, ebener Platz
Beispiel:
Der Flächeninhalt des unten abgebildeten Rechteckes
beträgt 40 cm2, da es aus 40 Einheitsquadraten mit der
Fläche 1 cm2 besteht.
1 cm2
5 cm
8 cm
Aus der Angabe der Seitenlängen des Rechtecks lässt sich
der Flächeninhalt viel einfacher bestimmen, als durch
Abzählen der einzelnen Quadrate :
Länge a
= 8 cm
Breite b
= 5 cm
Fläche A = a ⋅ b
Mathematik -Theorie
49
=
8 cm ⋅ 5 cm
=
40 cm2
1. Klasse Bezirksschule
4
Dezimale Schreibweise von Flächeninhalten
In vielen Aufgaben sind die gegebenen Flächenangaben in verschiedenen
Masseinheiten geschrieben.
Da das Operieren mit Flächen oft nur möglich ist, wenn alle Angaben in
derselben Masseinheit stehen, müssen die verschiedenen Flächeneinheiten
umgewandelt werden können, d.h. in grösseren und kleineren
Flächeneinheiten angegeben werden können!
Dies erfolgt mit Hilfe einer Umwandlungstabelle, in welcher der gegebene
Flächeninhalt zuerst korrekt in die Spalten eingetragen wird (eine Spalte
enthält immer 2 Ziffern, da die Umwandlungszahl bei Flächeneinheiten 100
ist!).
Danach kann der gegebene Flächeninhalt durch Verschieben des Kommas
nach rechts oder links problemlos in kleineren oder grösseren
Flächeneinheiten angegeben werden.
Umwandlungstabelle (Beispiele):
km2
ha
a
m2
dm2
cm2
mm2
1 km2 =
01
00
00
00
00
00
00
= 100 ha = 10 000 a = ...
1 mm2 =
00
00
00
00
00
00
01
= 0,01 cm 2 = 0,0001 dm 2 = ...
980 dm 2 =
00
00
00
09
80
00
00
= 9,8 m 2 = 0,098 a = 98 000 cm 2 = ...
58 400 m 2 =
00
05
84
00
00
00
00
= 0,0584 km 2 = 5,84 ha = 584 a = ...
0,012 km 2 =
00
01
20
00
00
00
00
= 1,2 ha = 120 a = 12 000 m 2 = ...
205,08 a =
00
02
05
08
00
00
00
= 0,020508 km 2 = 2,0508 ha = ...
703 000 mm 2 =
00
00
00
00
70
30
00
= 7 030 cm 2 = 70,3 dm 2 = ...
2 ha 3 a =
00
02
03
00
00
00
00
= 2,03 ha = 203 a = ...
1 km2 2 a 37 dm 2 =
01
00
02
00
37
00
00
= 1,00020037 km 2 = ...
Flächeninhalt
Mathematik -Theorie
50
Dezimale Schreibweise(n)
1. Klasse Bezirksschule
Bei Sätzchenaufgaben geht es aber nicht nur um die korrekte Umwandlung
der Flächenangaben, sondern in erster Linie um eine übersichtliche und
korrekte Darstellung der einzelnen Rechnungsschritte.
Beispiel:
„Herr Meier besitzt zwei Grundstücke. Das erste hat eine
Fläche von 0,2 ha, das zweite ist 80 m lang und 55 m breit.
Er will die beiden Grundstücke gegen ein einziges Stück
eintauschen, welches 40 m breit ist.
Wie breit wird das neue Grundstück sein?“
A1 = 0,2 ha = 20 a = 2 000 m2
A2 = a ⋅ b =
A3 =
80 m ⋅ 55 m = 4 400 m2
A1 + A2 = 2 000 m2 + 4 400 m2 = 6 400 m2
a = A3 : b = 6 400 m2 : 40 m = 160 m
Das neue Grundstück wird 160 m breit sein.
Mathematik -Theorie
51
1. Klasse Bezirksschule
F Raummessung und
Raumberechnung
1
Quader und Würfel
Der Quader ist ein Körper, welcher von drei Paaren kongruenter (form- und
flächengleicher) und paralleler Rechtecke begrenzt wird.
Der Quader wird wie folgt beschriftet:
H
G
E
c
Die Beschriftung der Eckpunkte
erfolgt im Gegenuhrzeigersinn,
zuerst in der Grundfläche, dann in
der Deckfläche!
F
D
C
b
A
Achtung:
a
B
a :
Länge des Quaders
b :
Breite des Quaders
c :
Höhe des Quaders
Die obige Darstellung des dreidimensionalen Quaders auf dem
zweidimensionalen Zeichenblatt nennt man Schrägbild.
Im Schrägbild erscheint die vordere Seitenfläche des Quaders als unverkürztes Rechteck. Die Breite hingegen wird in einem Winkel von 45° zur
Länge abgetragen und halbiert.
Die unsichtbaren Kanten werden gestrichelt gezeichnet!
Mathematik -Theorie
52
1. Klasse Bezirksschule
Der Würfel ist ein besonderer Quader. Er wird von sechs kongruenten
Quadraten begrenzt.
Für die Kantenlänge des
Würfels wird meistens
der Kleinbuchstabe s
verwendet.
s
s
s
Schneidet man ein Quadermodell entlang seiner Kanten auf und breitet
sämtliche Seitenflächen aneinanderhängend in der Ebene aus, erhält man
das Netz oder die Abwicklung eines Quaders.
Beim Würfel gibt es genau 11 verschiedene Netze:
Mathematik -Theorie
53
1. Klasse Bezirksschule
Der Quader besitzt 12 Kanten, wobei jeweils 4 Kanten parallel und gleich
lang sind.
a
b
b
a
c
c
c
a
c
b
b
a
Die Kantenlänge k des Quaders beträgt:
k
=
4 ⋅ ( a + b + c )
Der Quader besitzt 6 Begrenzungsflächen, wobei jeweils 2 Flächen parallel
und kongruent sind.
c
b
a
Die Oberfläche O des Quaders beträgt:
O
=
2 ⋅ ( a⋅b + a⋅c + b⋅c )
Mathematik -Theorie
54
1. Klasse Bezirksschule
2
Die Raummasse
So wie Längen mit Längeneinheiten und Flächen mit Flächeneinheiten
gemessen werden, wird der Rauminhalt oder das Volumen von Körpern mit
Raumeinheiten gemessen.
Diese Raumeinheiten sind Würfel mit den Einheitsstrecken 1 mm, 1 cm,
1 dm, 1 m oder 1 km als Kantenlänge.
Hat ein Würfel die Kantenlänge : 1 mm , 1 cm , 1 dm , 1 m , 1 km ,
so heisst sein Rauminhalt :
1 mm3 , 1 cm3 , 1 dm3 , 1 m3 , 1 km3 .
3
( 1 mm wird gelesen als „1 Kubikmillimeter“ )
Die Umwandlungszahl bei den
Raumeinheiten ist 1 000 !
( →
10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1 000 )
Es gilt:
1 cm3
=
1 000 mm3
1 dm3
=
1 000 cm3
1 m3
=
1 000 dm3
Der Rauminhalt sehr grosser Körper (z.B. Planeten) wird auch in km3
angegeben, wobei gilt:
1 km3
.
=
1 000 m ⋅ 1 000 m ⋅ 1 000 m
Mathematik -Theorie
55
=
1 000 000 000 m3
=
109 m3
1. Klasse Bezirksschule
Hohlmasse
Zum Messen von Flüssigkeiten werden die sogenannten Hohlmasse
verwendet.
Das Hohlmass gibt den Rauminhalt an, welchen eine Flüssigkeit einnimmt.
Hohlmasse sind der Milliliter ( ml ) , der Zentiliter ( cl ) , der Deziliter ( dl ) ,
der Liter ( l ) und der Hektoliter ( hl ).
Es gilt :
1 cl
=
10 ml
1 dl
=
10 cl
1l
=
10 dl
1 hl
=
100 l
Raummasse und Hohlmasse können
ineinander umgewandelt werden.
Es gilt :
1 dm3
Beispiele:
1 dl
1 m3
Mathematik -Theorie
=
=
=
1l
0,1 l
=
1 000 dm3
56
0,1 dm3
=
=
1 000 l
100 cm3
=
10 hl
1. Klasse Bezirksschule
3
Dezimale Schreibweise der Raummasse
In vielen Aufgaben sind die gegebenen Raumangaben in verschiedenen
Masseinheiten geschrieben.
Da das Operieren mit Rauminhalten oft nur möglich ist, wenn alle Angaben in
derselben Masseinheit stehen, müssen die verschiedenen Raumeinheiten
umgewandelt werden können, d.h. in grösseren und kleineren Raumeinheiten
angegeben werden können!
Dies erfolgt mit Hilfe einer Umwandlungstabelle, in welcher der gegebene
Rauminhalt zuerst korrekt in die Spalten eingetragen wird (eine Spalte enthält
immer 3 Ziffern, da die Umwandlungszahl bei Raumeinheiten 1’000 ist!).
Danach kann der gegebene Rauminhalt durch Verschieben des Kommas
nach rechts oder links problemlos in kleineren oder grösseren Raumeinheiten
angegeben werden.
Umwandlungstabelle (Beispiele):
m3
dm3
cm3
mm3
1 m3 = 001
000
000
000
= 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = ...
1 mm3 = 000
000
000
001
= 0,001 cm3 = 0,000001 dm3 = ...
980 dm3 = 000
980
000
000
= 0,98 m3 = 980 000 cm3 = ...
5 840 cm3 = 000
005
840
000
= 0,00584 m3 = 5,84 dm3 = ...
0,012 m3 = 000
012
000
000
= 12 dm3 = 12 000 cm3 = ...
20 508 mm3 = 000
000
020
508
= 20,508 cm3 = 0,020508 dm3 = ...
2 m3 3 dm3 = 002
003
000
000
= 2,003 m3 = 2 003 dm3 = ...
1 dm3 2 cm3 34 mm3 = 000
001
002
034
= 1,002034 dm3 = 1 002,034 cm3 = ...
Rauminhalt
Mathematik -Theorie
Dezimale Schreibweise(n)
57
1. Klasse Bezirksschule
4
Rauminhalt von Quadern
Der Rauminhalt oder das Volumen eines Quaders berechnet sich nach
folgender Formel:
V
=
a : Länge des Quaders
b : Breite des Quaders
c : Höhe des Quaders
a ⋅ b ⋅ c
Beispiel:
„Berechne das Volumen eines Quaders mit den
Massen a = 5 cm , b = 2 cm und c = 3 cm.“
c
a
V
Mathematik -Theorie
b
=
a ⋅ b ⋅ c
=
5 cm ⋅ 2 cm ⋅ 3 cm
=
30 cm3
58
1. Klasse Bezirksschule
Anwendungen
Beispiel:
„Ein quaderförmiges Schwimmbad ist 50 m lang, 25 m
breit und 2,20 m tief.
Wie viele Liter Wasser sind notwendig, um das Becken
bis 20 cm unter den oberen Rand zu füllen?“
VWasser
Mathematik -Theorie
=
a ⋅ b ⋅ c
=
50 m ⋅ 20 m ⋅ 2 m
=
2 000 m3
=
2 000 000 dm3
=
2 000 000 l
59
1. Klasse Bezirksschule