3. Klasse - Schule Brugg

Mathematik –
Theorie
Bezirksschule
3. Klasse
Mathematik -Theorie
1
3. Klasse Bezirksschule
Inhaltsverzeichnis 3. Klasse
A
Positive und negative Zahlen
1
2
3
4
5
6
Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden
Ausbau des Koordinatensystems
Operationen der ersten Stufe
Multiplikation
Division
Gleichungen und Ungleichungen
B
Von der Theorie zur Praxis
1
2
3
4
5
6
Beispiele für statistische Untersuchungen
Sinnvolle Genauigkeit
Der Proportionalitätsfaktor
Verhältnisse
Umfang und Flächeninhalt bei Kreis und Kreissektor
Berechnungen am Zylinder
C
Verbindung der Operationen
1
2
3
4
5
Das Ausmultiplizieren von Produkten
Erste Anwendungen
Das Zerlegen von Summen in Faktoren
Binomische Formeln
Algebra - Arithmetik - Geometrie
D
Punkte und Linien mit besonderen Eigenschaften
1
2
3
Abstände
Ortslinien
Ausbau der Ortslinienvorstellung
Mathematik -Theorie
2
4
7
8
10
16
19
23
24
25
27
30
34
35
36
37
38
39
41
43
44
3. Klasse Bezirksschule
E
Kongruenzabbildungen
1
2
3
4
5
Über Abbildungen in der Geometrie
Translation
Rotation
Punktspiegelung
Kongruenzabbildungen: Übersicht und Zusammenfassung
F
Winkelsätze
1
2
3
4
Nebenwinkel und Scheitelwinkel
Fundamentale Sätze über Winkel und Winkelsummen
Winkelsummen von Vielecken
Einige Anwendungen
G
Dreiecke und Kreise
1
2
3
4
5
6
Kreis und Gerade
Seiten und Winkel am Dreieck
Dreieckskonstruktionen mit Höhen
Dreieck und Kreis
Schwerlinien im Dreieck
Vom Dreieck zum Viereck
Mathematik -Theorie
3
45
46
47
48
49
51
52
54
57
59
61
64
67
69
70
3. Klasse Bezirksschule
A Positive und negative Zahlen
1
Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden
Wenn eine Subtraktion ausgeführt wird, bei welcher der Minuend
kleiner als der Subtrahend ist, erhält man als Resultat eine negative
Zahl.
Beispiel:
6 - 8
=
-2
negative Zahl
Die negativen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden links von 0. Die
Zahlen rechts von 0 heissen entsprechend positive Zahlen.
Die Zahl 0 wird zu den positiven Zahlen gezählt.
                             
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
negative Zahlen
positive Zahlen
Es gilt:
Was auf der Zahlengerade weiter links liegt, ist kleiner !
Beispiel:
-5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5
„ist kleiner als“
Mathematik -Theorie
4
3. Klasse Bezirksschule
Zahl und Gegenzahl , Betrag einer Zahl
Eine bestimme Zahl und ihre zugehörige Gegenzahl haben auf der
Zahlengeraden den gleichen Abstand von 0.
Beispiel:
Die Gegenzahl von 5 ist -5 , da der Abstand von 0 je 5 Einheitsstrecken
beträgt.
5e
5e
                             
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Unter dem Begriff „Betrag einer Zahl “ ist der Abstand der Zahl vom Nullpunkt
in Einheitsstrecken gemeint. Als Betragszeichen erhält die Zahl seitlich je
eine vertikale Strecke.
Beispiel:
5
( wird gelesen als : „Betrag von 5“ )
Da ein Abstand immer positiv angegeben wird, ist der Betrag einer Zahl
immer positiv, auch wenn die Zahl selber negativ ist!
Beispiele:
5
= 5
-5
= 5
!
Aus diesem Grunde gilt auch, dass der Betrag einer Zahl immer gleich gross
ist wie der Betrag der zugehörigen Gegenzahl.
Beispiel:
Mathematik -Theorie
5
=
-5
5
3. Klasse Bezirksschule
Mengen und Teilmengen
Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält alle positiven ganzen Zahlen.
Es gilt:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
,
N0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Die Menge Z der ganzen Zahlen enthält alle positiven und negativen ganzen
Zahlen.
Es gilt:
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Die Menge Q der rationalen Zahlen enthält alle positiven und negativen
ganzen Zahlen und Brüche.
Es gilt:
Q = {xx=
a
und a, b ∈ Z }
b
Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen
Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wiederum ist eine Teilmenge der
Menge der rationalen Zahlen.
Es gilt:
N ⊂ Z ⊂ Q
„ist enthalten in“
Jede Zahl kann als Element einer Zahlenmenge angegeben werden. Man
verwendet dafür das Zeichen ∈.
Gehört eine Zahl nicht zu einer bestimmten Zahlenmenge, verwendet man
das Zeichen ∉.
Beispiele:
5∈N
-5 ∉ N
0,5 ∉ N
Mathematik -Theorie
5∈Z
,
-5 ∈ Z
,
,
0,5 ∉ Z
6
5∈Q
,
-5 ∈ Q
,
,
0,5 ∈ Q
3. Klasse Bezirksschule
2
Ausbau des Koordinatensystems
Das bisherige Koordinatensystem war aufgebaut aus
der Rechtsachse und der
Hochachse.
Sowohl die Rechtsachse
(x-Achse) als auch die
Hochachse (y-Achse)
werden durch einen
Zahlenstrahl gebildet.
Verlängert man nun die x-Achse über den Ursprung 0 hinaus nach links und
die y-Achse nach unten, entsteht ein erweitertes Koordinatensystem, welches
aus zwei zueinander senkrecht stehenden Zahlengeraden aufgebaut ist.
Die vier Viertelsebenen heissen Quadranten.
y
7
6
2. Quadrant
1. Quadrant
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-1
-2
3. Quadrant
4. Quadrant
-3
-4
-5
Mathematik -Theorie
7
3. Klasse Bezirksschule
3
Operationen der ersten Stufe
Mit Operationen der ersten Stufe sind die Addition und die Subtraktion
gemeint.
Beide Operationen müssen sowohl mit positiven als auch mit negativen
Zahlen ausgeführt werden können.
Terme von der Form a + b
Wenn für die Variablen a und b sowohl positive als auch negative Zahlen
eingesetzt werden können, ergeben sich vier verschiedene Fälle.
Beispiele:
1
(+5) + (+2) = 5 + 2 = 7
2
(+5) + (-2) = 5 – 2 = 3
3
(-5) + (+2) = -5 + 2 = -3
4
(-5) + (-2) = -5 – 2 = -7
Terme von der Form a - b
Wenn für die Variablen a und b sowohl positive als auch negative Zahlen
eingesetzt werden können, ergeben sich ebenfalls vier verschiedene Fälle.
Beispiele:
Mathematik -Theorie
1
(+5) - (+2) = 5 – 2 = 3
2
(+5) - (-2) = 5 + 2 = 7
3
(-5) - (+2) = -5 – 2 = -7
4
(-5) - (-2) = -5 + 2 = -3
8
!
!
3. Klasse Bezirksschule
Summenterme mit Klammern
Jede Differenz kann als Summe dargestellt werden. So ist beispielweise
15 - 8 nichts anderes als 15 + (-8).
Aus diesem Grunde bezeichnet man Terme als algebraische Summen, auch
wenn negative Operationszeichen enthalten sind.
Beispiel:
24a + 5b – 7c - 2
Wird eine eingeklammerte algebraische Summe addiert, so bleiben beim
Auflösen der Klammer die Vorzeichen des Klammerausdruckes bestehen.
Beispiele:
a + (b + c) = a + b + c
a + (b – c) = a + b – c
5x + (7y + 2) = 5x + 7y + 2
5x + (7y – 2) = 5x + 7y – 2
Wird eine eingeklammerte algebraische Summe subtrahiert, so werden beim
Auflösen der Klammer die Vorzeichen des Klammerausdruckes gekehrt.
Beispiele:
a - (b + c) = a - b - c
a - (b – c) = a - b + c
5x - (7y + 2) = 5x - 7y - 2
5x - (7y – 2) = 5x - 7y + 2
Mathematik -Theorie
9
3. Klasse Bezirksschule
4
Multiplikation
Die Multiplikation zweier Zahlen lässt sich als Addition darstellen:
Beispiele:
5⋅3
=
(-6) ⋅ 5
= (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-6) = -30
5 + 5 + 5 = 15
Ein mehrfaches Addieren gleicher Summanden führt zur Multiplikation!
Die Multiplikation lässt sich mit Hilfe eines Operatordiagrammes darstellen:
Beispiele:
⋅3
5
15
⋅5
-6
-30
Operator (Multiplikator)
Wenn der Operator (Multiplikator) eine negative Zahl ist, führt eine
Verkettung von zwei Rechenanweisungen zum Resultat:
-
Multiplikation mit der entsprechenden positiven Zahl
Bildung der Gegenzahl
Beispiel:
⋅ (-4)
8
⋅4
8 ⋅ (-4)
Mathematik -Theorie
-32
Gegenzahl
32
=
oder umgekehrt !
-32
10
3. Klasse Bezirksschule
Auf dieselbe Weise kann das Resultat hergeleitet werden, wenn sowohl der
Multiplikator als auch der Multiplikand negative Zahlen sind:
Beispiel:
⋅ (-2)
-9
⋅2
+18
Gegenzahl
-18
(-9) ⋅ (-2)
=
+18
Somit gelten bei der Multiplikation bezüglich der Vorzeichen folgende
Kurzregeln:
1
+
⋅
+
=
+
2
+
⋅
-
=
-
3
-
⋅
+
=
-
4
-
⋅
-
=
+
Besteht ein Produkt aus mehr als zwei Faktoren, so gelten bezüglich des
Vorzeichens des Resultates folgende Regeln:
-
enthält das Produkt keine oder eine gerade Anzahl negativer Faktoren,
so ist das Resultat positiv
-
enthält das Produkt eine ungerade Anzahl negativer Faktoren, so ist
das Resultat negativ
Beispiele:
3 ⋅ (-4) ⋅ (-2) ⋅ 8 ⋅ (-1) ⋅ 2 ⋅ (-5) = +1’920
(-3) ⋅ (-4) ⋅ (-2) ⋅ 8 ⋅ (-1) ⋅ 2 ⋅ (-5) = -1’920
Mathematik -Theorie
11
3. Klasse Bezirksschule
Potenzen
Eine Potenz ist die verkürzte Schreibweise eines Produktes gleicher
Faktoren. Eine Potenz besteht aus der Basis und dem Exponenten.
Exponent
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 35
Beispiel:
Potenz
Basis
Bezüglich des Rechnens mit Potenzen gelten folgende Regeln:
1
a5 ⋅ a4 = a⋅a⋅a⋅a⋅a ⋅ a⋅a⋅a⋅a = a9
2
a2 ⋅ a ⋅ a6 ⋅ a3 = a12
3
(-a)4 = (-a) ⋅ (-a) ⋅ (-a) ⋅ (-a) = +a4
4
(-a)5 = (-a) ⋅ (-a) ⋅ (-a) ⋅ (-a) ⋅ (-a) = -a5
5
(2a)3 = (2a) ⋅ (2a) ⋅ (2a) = 8a3
6
(-2a)3 = (-2a) ⋅ (-2a) ⋅ (-2a) = -8a3
7
(-2a3) = -2a3 !
8
-(2a)3 = - (2a ⋅ 2a ⋅ 2a) = -8a3
9
a
a a a
a3
( )3 =
⋅
⋅
=
2
2 2 2
8
10
a
a
a
a
a3
( − )3 = ( − ) ⋅ ( − ) ⋅ ( − ) = −
2
2
2
2
8
Mathematik -Theorie
12
( Exponenten werden addiert !)
3. Klasse Bezirksschule
Bei der Division von Potenzen mit der gleichen Basis werden die Exponenten
subtrahiert.
a6 : a2 = a4
Beispiel:
(
a6
a2
=
a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a
a ⋅ a
= a4 )
→ daraus folgt:
a6 : a3 = a3
a6 : a4 = a2
a6 : a5 = a1 = a
a6 : a6 = a0 = 1
!
a6 : a7 = a-1
a6 : a7 =
a
a7
6
=
1
a
a-1 =
1
a
1
a2
a-2 =
1
a2
a6 : a8 = a-2
a6 : a8 =
a
a8
6
=
a6 : a9 = a-3
a6 : a9 =
a
a9
6
=
1
a3
a-3 =
1
Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt folglich die Regel:
a-n
=
Mathematik -Theorie
1
an
13
3. Klasse Bezirksschule
Sehr kleine und sehr grosse Zahlen
Um Streckenlängen im mikroskopischen Bereich angeben zu können,
benötigt man kleinere Längeneinheiten als den Millimeter (mm).
Es gilt:
1
mm
1000
=
1µm
(1 Mikrometer )
1
µm
1000
=
1nm
(1 Nanometer )
→ daraus folgt:
1nm =
=
1
µm
1000
=
1
µm
103
= 10-3 µm
=
1
mm
1000000
1
mm
106
= 10-6 mm
Sehr grosse Zahlen stellt man mit Hilfe von Zehnerpotenzen dar.
Beispiel:
„Wie weit entfernt ist ein Stern, dessen Licht 200 Tage
braucht, bis es die Erde erreicht?“
(Lichtgeschwindigkeit: ca. 300'000 km/s)
Distanz
= 200 Tage ⋅ 300 000 km/s
= 200 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s ⋅ 300 000 km/s
= 5 184 000 000 000 km
= 5 184 ⋅ 109 km
= 5,184 ⋅ 1012 km
Mathematik -Theorie
14
3. Klasse Bezirksschule
Multiplikation von Summen und Differenzen
6 ⋅ ( 2a + 3b )
Beispiele:
5 ⋅ ( 4a - b )
6 ⋅ 2a + 6 ⋅ 3b
=
5 ⋅ 4a - 5 ⋅ b
=
=
=
12a + 18b
20a - 5b
Vorfaktor
Bei der Multiplikation einer Summe bzw. einer Differenz (in Klammer), wird
der Vorfaktor auf die einzelnen Summanden in der Klammer „verteilt“.
Es gilt das sogenannte Verteilungsgesetz oder Distributivgesetz.
Das Distributivgesetz gilt auch, wenn die Summe bzw. Differenz mehr als
zwei Summanden enthält, und wenn der „Vorfaktor“ hinter der Klammer steht.
Beispiele:
1
3 (7a + 2b – c) = 21a + 6b – 3c
( Vorfaktor vorne : das Multiplikationszeichen wird weggelassen ! )
2
(a – 8b + 12c) ⋅ 4 = 4a – 32b + 48c
( „Vorfaktor“ hinten : das Multiplikationszeichen wird nicht weggelassen ! )
Die Multiplikation von Summen und Differenzen ist meistens nur Bestandteil
eines Termes.
Es gilt bei der Vereinfachung eines Termes nach wie vor die Hierarchie-Regel
„Punkt vor Strich“ .
Beispiel:
3 (a + 2b) - 4 (a + 3b) + 2 (a – 5b)
=
3 (a + 2b) - 4 (a + 3b) + 2 (a – 5b)
=
3a + 6b
=
- 4a - 12b
+ 2a – 10b
3a + 6b – 4a – 12b + 2a – 10b
=
a – 16b
Mathematik -Theorie
15
3. Klasse Bezirksschule
5
Division
Die Division zweier Zahlen lässt sich als Umkehroperation der Multiplikation
darstellen:
3 ⋅ 4
Beispiele:
=
(- 3) ⋅ 4
12
=
(-12)
12 : 4
=
3
12 : 3
=
4
(-12) : 4
=
(-12) : (- 3)
(- 3) ⋅ (- 4)
=
12
(- 3)
=
4
12 : (- 4)
=
(- 3)
12 : (- 3)
=
(- 4)
Es gelten bei der Division somit folgende Vorzeichen-Regeln:
1
+
:
+
=
+
2
+
:
-
=
-
3
-
:
+
=
-
4
-
:
-
=
+
Mathematik -Theorie
16
3. Klasse Bezirksschule
Division zweier Brüche
Zwei gemeine Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten
Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
Beispiel:
4
10
: (− ) =
9
21
7
2
4
21
⋅ (− ) =
9
10
3
5
2
7
⋅ (− ) =
3
5
−
14
.
15
Doppelbruch
Ein Doppelbruch ist eine andere Schreibweise für eine Division zweier
Brüche.
Beispiel:
2
3
4
3
2 4
:
=
3 3
=
1
1
2 3
⋅
3 4
1
=
2
1
.
2
Division von 0 , Division durch 0
Die Division von 0 ergibt immer 0.
Beispiel:
0
:
24
=
0
Die Division durch 0 ist nicht definiert !
Beispiel:
Mathematik -Theorie
24
:
0
=
nicht definiert
17
3. Klasse Bezirksschule
Division von Summentermen
Wird ein Summenterm dividiert, so wird jeder einzelne Summand in der
Klammer dividiert.
Beispiel:
(24ab - 18a3b4 + 30ab5) : (-6ab)
=
- 4 + 3a2b3 - 5b4
Faktorisieren von Summentermen
Das Faktorisieren oder Ausklammern des ggT bei Summentermen ist der
umgekehrte Vorgang des Ausmultiplizierens.
(ggT = grösster gemeinsamer Teiler)
Beispiel:
21a4b6 – 91a6b4
7a2b2 ⋅ (3a2b4 – 13a4b2)
=
Faktorisieren
oder
Ausklammern
7a2b2 ⋅ (3a2b4 – 13a4b2)
=
21a4b6 – 91a6b4
Ausmultiplizieren
Mathematik -Theorie
18
3. Klasse Bezirksschule
6
Gleichungen und Ungleichungen
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Bei einer
Aussage muss grundsätzlich feststellbar sein, ob sie wahr oder falsch ist.
Es gibt somit wahre Aussagen und falsche Aussagen. Ist etwas weder eine
wahre noch eine falsche Aussage, handelt es sich um keine Aussage.
Beispiele:
Bern ist die Hauptstadt der Schweiz.
(Wahre Aussage)
88 ist ganzzahlig teilbar durch 10.
(Falsche Aussage)
20x ist kleiner.
(Keine Aussage)
15 + 40 = 55
(Wahre Aussage)
4–1 >5
(Falsche Aussage)
14 – 3 ⋅ 2
(Keine Aussage)
Eine Aussageform ist eine Aussage mit Variable(n). Bei der Ersetzung der
Variablen durch Zahlen entsteht entweder eine wahre oder falsche Aussage.
Beispiel:
8x – 10 = 14
(Aussageform)
x=1
→
8 ⋅ 1 – 10 = 14
(Falsche Aussage)
x=3
→
8 ⋅ 3 – 10 = 14
(Wahre Aussage)
Lösung der Aussageform
Die Zahl, welche beim Einsetzen in die Aussageform eine wahre Aussage
erzeugt, nennen wir Lösung der Aussageform.
Die Grundmenge G einer Aussageform gibt die Zahlen an, welche für die
Variable eingesetzt werden dürfen.
Beispiele:
G = N
(Grundmenge = Menge der natürlichen Zahlen)
G = Z
(Grundmenge = Menge der ganzen Zahlen)
G = Q
(Grundmenge = Menge der rationalen Zahlen)
Die Lösungsmenge L ist eine Teilmenge der Grundmenge. Sie enthält alle
Lösungen der Aussageform.
Mathematik -Theorie
19
3. Klasse Bezirksschule
Gleichungen und Ungleichungen sind entweder Aussagen oder
Aussageformen !
Es gilt:
Schreibt man zwischen zwei Terme ein Gleichheitszeichen /
Ungleichheitszeichen, so entsteht eine Gleichung / Ungleichung. Man
bezeichnet die zwei Terme als linke und rechte Seite der Gleichung /
Ungleichung.
Beispiele:
12 + 8 = 20
(Gleichung / Aussage)
70 - 11 < 60
(Ungleichung / Aussage)
12 + x = 20
(Gleichung / Aussageform)
70 – x < 60
(Ungleichung / Aussageform)
Gleichungen / Ungleichungen lösen mit Methode
Umformungen, welche die Lösungsmenge einer Gleichung / Ungleichung
nicht verändern, nennt man Aequivalenzumformungen (aequivalent =
gleichwertig).
Man löst eine Gleichung / Ungleichung, indem man sie durch
Aequivalenzumformungen schrittweise so weit vereinfacht, bis die Variable
allein und nur auf einer Seite steht.
Meistens sind mehrere Umformungsschritte nötig, wie zum Beispiel
Ausmultiplizieren, Zusammenfassen, Multiplizieren, Dividieren, Addieren oder
Subtrahieren.
Die Umformungsschritte werden rechts von der Gleichung / Ungleichung
hinter einem Hochstrich angegeben.
Beispiel:
5x + 12 = x – 8
-x
4x + 12 = -8
 - 12
4x = -20
:4
Aequivalenzumformungen
x = -5
Mathematik -Theorie
20
3. Klasse Bezirksschule
Beispiel einer Gleichung:
7x – 4 (2x – 6) = 9 – x + 2 (5 – 3x)
 „ausmultiplizieren“
7x – 8x + 24
= 9 – x + 10 – 6x
 „zusammenfassen“
-x + 24
= 19 – 7x
 + 7x
6x + 24
= 19
 -24
6x
= -5
 :6
x
=
−
5
6
G = N
→
L = {}
G = N0
→
L = {}
G = Z
→
L = {}
G = Q
→
L = {− }
5
6
Beispiel einer Ungleichung:
15 – 2 (3x – 1) > 12x – 8 - 2 (4x + 7)
 „ausmultiplizieren“
15 – 6x + 2
> 12x – 8 – 8x - 14
 „zusammenfassen“
17 – 6x
> 4x - 22
 + 6x
17
> 10x - 22
 +22
39
> 10x
 : 10
3,9
> x
G = N
→
L = { 1, 2, 3 }
G = N0
→
L = { 0, 1, 2, 3 }
G = Z
→
L = { 3, 2, 1, 0, -1, ... }
G = Q
→
L = { x | x < 3,9 }
Mathematik -Theorie
21
3. Klasse Bezirksschule
Zahlenrätsel
Zahlenrätsel sind in Textform formulierte Probleme, welche mit Hilfe einer
noch zu bestimmenden Gleichung zu lösen sind. Solche Aufgaben sind oft
nur durch logisch geordnetes Vorgehen lösbar.
Beispiel 1:
„Das Dreifache einer Zahl, um 10 vermehrt, liegt ebensoviel
über 90, wie die Zahl selber unter 70 liegt.
Wie heisst die Zahl?“
3x + 10 - 90
=
3x + 10 – 90
=
70 - x
70 – x
3x – 80
=
70 – x
+x
4x – 80
=
70
 + 80
4x
x
=
=
:4
150
37,5
Die Zahl heisst 37,5.
Beispiel 2:
„Zusammen zählen Mutter und Tochter heute 33 Lebensjahre.
In 18 Jahren wird die Mutter doppelt so alt sein wie die Tochter.
Wie alt ist die Tochter heute?“
Heute
In 18 Jahren
Mutter :
x
x + 18
Tochter :
33 – x
33 – x + 18 = 51 – x
x + 18
=
2 (51 – x)
x + 18
=
102 – 2x
3x + 18
3x
x
=
=
=
 + 2x
 - 18
102
:3
84
28
Die Tochter ist heute 5 Jahre alt.
Mathematik -Theorie
22
3. Klasse Bezirksschule
B Von der Theorie zur Praxis
1
Beispiele für statistische Untersuchungen
Die Statistik ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Sammlung,
Zusammenstellung und Analyse von Zahlenmaterial beschäftigt.
Eine einfach zu berechnende und oft gebrauchte statistische Grösse ist der
Mittelwert.
Sind x1, x2 , ..., xn die Zahlen einer statistischen Erhebung, so ist die Summe
der Werte dividiert durch n das sogenannte arithmetische Mittel ξ .
ξ =
x1 + x2 + ... + xn
n
Sind die x - Werte numerisch (der Zahl nach) angeordnet und n ungerade, so
ist der Zentralwert ~x der Wert, der in der Reihe in der Mitte steht.
Ist n gerade, so ist der Zentralwert ~x das arithmetische Mittel der mittleren
beiden x-Werte.
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert ξ und den Zentralwert ~x
für folgende Werte: 12 / 3 / 5 / 11 / 9 / 2 / 8 / 4 .
ξ =
12 + 3 + 5 + 11 + 9 + 2 + 8 + 4
8
=
54
8
= 6,75
x-Werte numerisch angeordnet:
2 / 3 / 4 / 5 / 7 / 8 / 9 / 12 .
~x
=
Mathematik -Theorie
5+7
2
=
12
2
23
= 6
3. Klasse Bezirksschule
2
Sinnvolle Genauigkeit
Gemessene Werte sind immer mit einem Messfehler behaftet, d.h. sie sind
nur innerhalb eines bestimmten Bereiches genau. Diesen Bereich nennt man
Genauigkeitsintervall.
Beispiel:
Die Länge einer gemessenen Strecke betrage 0,7 m.
Daraus ist zu schliessen, dass die wahre Länge
mindestens 0,65 m und höchstens 0,74999... m beträgt.
0,65 m
≤
0,7 m
<
0,74999... m
Genauigkeitsintervall
Ein geschätzter Wert ist entsprechend mit einem Schätzfehler behaftet.
Die Differenz zwischen dem wahren Wert und dem geschätzten Wert nennt
man den absoluten Fehler. Den Quotienten aus dem absoluten Fehler und
dem wahren Wert nennt man relativen Fehler.
Beispiel:
Das Gewicht eines Gegenstandes wird auf 2,7 kg
geschätzt. Der wahre Wert lautet 3,0 kg.
absoluter Fehler :
3,0 kg - 2,7 kg
=
0,3 kg
relativer Fehler :
0,3 kg
3,0 kg
=
10%
=
0,1
Wird mit gemessenen Werten operiert gelten folgende zwei Regeln:
-
Bei der Addition und Subtraktion kann das Resultat nicht genauer sein
als das ungenaueste Glied.
Beispiel:
-
14,2 m + 8,156243 m
≅
22,4 m
Bei der Multiplikation und Division kann das Resultat nicht mehr
zuverlässige Ziffern haben als das ungenaueste Glied:
Beispiel:
Mathematik -Theorie
21 000 ⋅ 152
≅
24
3 200 000
3. Klasse Bezirksschule
3
Der Proportionalitätsfaktor
Gehört bei einer Zuordnung zum Doppelten / Dreifachen / ... der ersten
Grösse das Doppelte / Dreifache ... der zweiten Grösse, so nennt man diese
Zuordnung proportionale Zuordnung.
Beispiel:
Gewicht
⋅2
⋅3
Preis
1 kg
4 Fr.
2 kg
8 Fr.
6 kg
24 Fr.
⋅2
⋅3
Bei Berechnungen dieser Art ist jeweils ein Grössenpaar mit zwei einander
zugeordneten Werten gegeben.
Von einem zweiten oder dritten Grössenpaar ist dann nur eine Grösse
gegeben, die zweite muss berechnet werden.
Beispiel:
„1 kg Teigwaren kostet 3 Fr. Wie teuer sind 2 kg / 6 kg ?“
Gewicht, kg
⋅2
⋅3
Preis, Fr.
1
3
2
6
6
18
⋅2
Senkrechte Operatoren
⋅3
⋅3
Waagrechter Operator oder
Proportionalitätsfaktor
Die fehlenden Grössen lassen sich entweder mit Hilfe der senkrechten
Operatoren oder des waagrechten Operators bestimmen.
Der waagrechte Operator wird auch Proportionalitätsfaktor genannt.
Mathematik -Theorie
25
3. Klasse Bezirksschule
Der Proportionalitätsfaktor entspricht oft einer Grösse und weist eine
entsprechende Masseinheit auf.
Beispiele:
Zeit, h
Weg, km
2
160
1
80
„Geschwindigkeit“
km
⋅ 80
h
Es gilt somit folgende Gleichung:
Zeit ( h )
⋅
Geschwindigkeit (
⋅
t
Vol. , cm3
km
h
)
=
v
=
Weg ( km )
s
Gewicht, g
50
320
1
6,4
„Dichte“
⋅ 6,4
g
cm 3
Es gilt somit folgende Gleichung:
Volumen ( cm3 )
V
Mathematik -Theorie
⋅
Dichte (
⋅
26
ρ
g
cm3
)
=
Gewicht ( g )
=
m
3. Klasse Bezirksschule
4
Verhältnisse
In der Mathematik werden Verhältnisse als Quotienten geschrieben. Sie
dienen zum Vergleich zweier Grössen.
Beispiel:
„In einem Kleinbetrieb arbeiten 2 Männer und 3 Frauen.
Das Verhältnis Männer zu Frauen beträgt 2 zu 3 und
wird notiert als 2 : 3 .“
Verhältnisse können durch Erweitern und Kürzen umgeformt werden.
Beispiele:
2:3 = 4:6
( Erweitern )
15 : 6 = 5 : 2
( Kürzen )
Sind bei einem Verhältnis die beiden Zahlen ganzzahlig, und besitzen sie
keinen gemeinsamen, ganzzahligen Teiler ausser 1, so nennt man diese
Form des Verhältnisses die einfachste Form.
Beispiele:
2:3 ,
5:2 ,
13 : 20 ,
1:4
Der Massstab gibt das Verhältnis der Grösse im Modell bzw. in der
zeichnerischen Darstellung zu der Grösse des Originals an.
Beispiel:
Im Massstab 1 : 100'000 entspricht 1cm in der
zeichnerischen Darstellung 1km im Original.
1cm : 1km
=
1cm : 100’000cm
Der Wert eines Verhältnisses entspricht der Zahl, die bei der Division
entsteht.
Beispiel:
Mathematik -Theorie
5:8
=
0,625
27
3. Klasse Bezirksschule
Angaben von Wahrscheinlichkeiten mit Verhältnissen
Die eventuelle Möglichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis unter mehreren
möglichen eintritt, nennt man Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines zufälligen Ereignisses wird
durch den Quotienten aus der Anzahl der günstigen Ereignisse durch die
Anzahl der möglichen Ereignisse bestimmt.
Beispiel:
„Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel
eine 6 zu würfeln ?“
→
Anzahl günstige Ereignisse :
1
(6 )
→
Anzahl mögliche Ereignisse :
6
(1,2,3,4,5,6)
→
Wahrscheinlichkeit :
w = 1:6 =
1
.
6
Mit Hilfe eines Baumdiagrammes können alle Ereignisse eines Zufallsexperimentes dargestellt werden.
Beispiel:
Beim Würfel gibt es 6 mögliche Ereignisse. Folglich hat ein
solches Baumdiagramm 6 Äste. Jeder Ast hat die
Wahrscheinlichkeit
1
Mathematik -Theorie
1
.
6
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
2
3
28
4
5
6
3. Klasse Bezirksschule
Führt man dasselbe Zufallsexperiment mehrfach hintereinander aus, so
spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment.
Beispiel:
„Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel
zweimal hintereinander eine 6 zu würfeln ?“
→
Anzahl günstige Ereignisse :
1
(6-6)
→
Anzahl mögliche Ereignisse :
36
(1-1,1-2,...,1-6,
2-1,2-2,...,2-6,
...,
6-1,6-2,...,6-6)
→
1
Wahrscheinlichkeit :
w = 1 : 36 =
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
2
3
4
. . . . .
1
→
Wahrscheinlichkeit :
Mathematik -Theorie
29
5
1
.
36
6
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
2
w =
3
1 1
•
6
6
4
=
5
6
1
.
36
3. Klasse Bezirksschule
5
Umfang und Flächeninhalt bei Kreis und
Kreissektor
Der Wert des Verhältnisses „Umfang
zu Durchmesser“
ist für alle Kreise gleich.
u
d
In der Mathematik verwendet
man für diese Zahl den griechischen
Buchstaben π (Pi).
Es gilt:
u : d
π
=
=
u : Umfang
r
d : Durchmesser
r : Radius
3,141592654 ...
( π ist ein nicht abbrechender, nicht periodischer Dezimalbruch ! )
Damit gilt für den Umfang eines Kreises folgende Formel:
u
=
d ⋅ π
Beispiel:
Der Durchmesser eines Kreises beträgt d = 15 cm.
Berechne den Umfang u.
u
Mathematik -Theorie
2⋅r ⋅ π
=
=
d ⋅ π
≅
47,12 cm
=
30
15 cm ⋅ π
3. Klasse Bezirksschule
Schreibt man einem Kreis ein
regelmässiges Vieleck ein, so
entspricht dessen Fläche annähernd
der Kreisfläche.
Es gilt:
AV
≅
AK
Je mehr Ecken das regelmässige
Vieleck besitzt, desto genauer wird
die Annäherung!
Ordnet man die Dreiecke des regelmässigen Vieleckes wie unten dargestellt an,
entspricht die Fläche der Figur ungefähr der Fläche eines Rechteckes mit der
u
Länge und der Breite r.
2
r
u
2
Die Kreisfläche entspricht also ungefähr der Fläche aller Dreiecke. Diese Fläche
entspricht ungefähr der Fläche des Rechtecks, das die Figur umschreibt.
Somit gilt:
Mathematik -Theorie
A
=
u
⋅ r
2
=
r ⋅ π ⋅ r
=
31
2⋅ r ⋅ π
2
=
⋅ r
r2 ⋅ π
3. Klasse Bezirksschule
Damit gilt für den Flächeninhalt eines Kreises folgende Formel:
A
r2 ⋅ π
=
Beispiel:
Der Radius eines Kreises beträgt r = 8 cm.
Berechne den Flächeninhalt A.
A
=
r2 ⋅ π
=
64 cm2 ⋅ π
=
( 8 cm ) 2 ⋅ π
≅
201,06 cm2
Berechnen des Radius r aus dem Umfang u bzw. dem Flächeninhalt A
u
=
2⋅r⋅π
u
2⋅π
=
r
A
=
r2⋅π
 :π
A
π
=
r2

=
r
A
π
Mathematik -Theorie
 :(2⋅π)
32
3. Klasse Bezirksschule
Der Kreissektor
Der im Winkelfeld des Zentriwinkels α
liegende Teil der Kreisfläche nennt man
Kreissektor.
Er wird von zwei Radien und einem Bogen
begrenzt.
r
M
b
As
α
r
Es gilt folgende Formel für die Kreissektorfläche As :
AS
r2 ⋅ π ⋅ α
360
=
Es gilt folgende Formel für die Bogenlänge b :
b
=
2 ⋅r ⋅ π ⋅ α
360
Mathematik -Theorie
33
3. Klasse Bezirksschule
6
Berechnungen am Zylinder
Der gerade Kreiszylinder ist ein Körper mit zwei zueinander kongruenten und
parallelen Kreisflächen, der Grundfläche G und der Deckfläche D.
Die seitliche Begrenzungsfläche heisst Mantelfläche M. Sie steht senkrecht zu
der Grund- und Deckfläche.
Untenstehend rechts ist das Netz eines Kreiszylinders abgebildet. Die
Mantelfläche M ergibt abgerollt eine Rechtecksfläche!
D
D
r
r
u=2⋅r⋅π
M
h
h
G
M
r
r
G
Es gelten für den Kreiszylinder folgende Formeln:
u⋅h
=
O
=
G+D+M
=
V
=
G⋅h
r2 ⋅ π ⋅ h
Mathematik -Theorie
=
2⋅r⋅π⋅h
M
=
2⋅G + M
34
=
2 ⋅ r2 ⋅ π + 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ h
3. Klasse Bezirksschule
C Die Verbindung der Operationen
1
Das Ausmultiplizieren von Produkten
Unter Ausmultiplizieren versteht man die Umwandlung eines Produktes in
eine Summe.
Beim Ausmultiplizieren eines Produktes bestehend aus einem Vorfaktor und
einem Klammerausdruck gilt das Distributivgesetz.
a ⋅ (b+c)
=
a⋅b + a⋅c
=
ab + ac
Das Produkt zweier Klammerausdrücke wird berechnet, indem jedes Glied
der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert wird.
(a+b) ⋅ (c+d)
=
a⋅c + a⋅d + b⋅c + b⋅d
=
ac + ad + bc + bd
Beweis:
a⋅d
b⋅d
d
a⋅c
b⋅c
c
a
Mathematik -Theorie
b
35
3. Klasse Bezirksschule
2
Erste Anwendungen
Das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken wird beispielsweise beim
Lösen von Gleichungen angewendet.
Beispiel 1 :
(4x – 5) (2x – 3)
=
8x (x + 1)
8x2 – 12x – 10x + 15 =
8x2 + 8x
 - 8x2
- 22x + 15
=
8x
 + 22x
15
=
30x
 : 30
0,5
=
x
L = { 0,5 }
Beispiel 2 :
„Die eine Seite eines Rechtecks ist 5cm länger als die
andere. Verlängert man die kürzere Seite um 3cm und
verkürzt die andere um 1cm, so erhält man ein Rechteck
gleichen Flächeninhalts. Bestimme die Seitenlängen.“
x
x+3
x+5
x+4
→
Mathematik -Theorie
(x + 5) x
=
(x + 4) (x + 3)
x2 + 5x
=
x2 + 7x + 12  - x2
5x
=
7x + 12
 - 5x
0
=
2x + 12
 - 12
-12
=
2x
 :2
-6
=
x
Die Aufgabe hat eine algebraische,
aber keine geometrische Lösung !
36
3. Klasse Bezirksschule
3
Das Zerlegen von Summen in Faktoren
Das Zerlegen einer Summe in Faktoren ist das Gegenteil des Ausmultiplizierens.
Man spricht bei diesem Umformungsschritt auch von „Faktorisieren“ oder
„Ausklammern“.
Es gilt:
„Ausmultiplizieren“
3 (a + b)
=
3a + 3b
3a + 3b
=
3 (a + b)
„Faktorisieren“
Es gibt verschiedene Arten der Faktorzerlegung:
1.
Ausklammern des ggT :
6a2b + 12ab - 9b3
2.
=
3 (x - y) + b (x - y)
=
(x - y) (3 + b)
Zerlegen in zwei Klammern durch „Probieren“ :
x2 + 3x + 2
4.
3b (2a2 + 4a - 3b2)
Faktorisieren in zwei Schritten :
3x - 3y + bx - by
3.
=
=
(x + 2) (x + 1)
Ausklammern des ggt und Zerlegen in zwei Klammern :
2x3 - 10x2 - 28x
Mathematik -Theorie
=
2x (x2 - 5x - 14)
37
=
2x (x + 2) (x - 7)
3. Klasse Bezirksschule
4
Binomische Formeln
Die binomischen Formeln stellen einen wichtigen Sonderfall der Multiplikation
von zwei Summen dar.
Der Begriff „binomisch“ drückt aus, dass es sich um Summen bestehend aus
zwei Summanden handelt (lat. bis = doppelt , nomen = Name).
Es gelten die folgenden 3 binomischen Formeln:
1
(a + b) 2
=
(a + b) (a + b)
=
a2 + 2ab + b2
2
(a - b) 2
=
(a – b) (a – b)
=
a2 - 2ab + b2
3
(a + b) (a - b)
=
a2 - b2
Beispiele:
1.
(3x + 2y)2 = (3x + 2y) (3x + 2y) = 9 x 2 + 12xy + 4y 2
2.
( x − 7)2 = ( x − 7) ( x − 7) = x 2 − 14x + 49
3.
( x 3 + 5) ( x 3 − 5) = x 6 − 25
4.
16a 2 + 40ab + 25b 2 = ( 4a + 5b) ( 4a + 5b) = (4a + 5b)2
5.
4u2 − 4uv + v 2 = (2u − v ) (2u − v ) = (2u − v )2
6.
x 4 y 2 − 9z 6 = ( x 2 y + 3 z3 ) ( x 2 y − 3 z3 )
Mathematik -Theorie
38
3. Klasse Bezirksschule
5
Algebra – Arithmetik - Geometrie
Quadratische Gleichungen lösen
Eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine
Lösung haben.
Beispiele:
1
x2 = 9
x = +3 / -3
L = { +3 ; -3 }
2
x2 – 6x + 9
= 0
(x – 3) (x – 3) = 0
x
= +3
L
3
= { +3 }
x2 = -1
L = { }
Der Kreisring
Das Gebiet, das von zwei konzentrischen Kreisen begrenzt wird, heisst
Kreisring.
Den Flächeninhalt des Kreisrings erhält man als Differenz der beiden
Kreisflächen.
A
b
ri
ra
b :
2
2
=
ra ⋅ π − ri ⋅ π
=
π ⋅ (ra − ri )
=
π ⋅ (ra + ri ) ⋅ (ra − ri )
2
2
Ringbreite
Mathematik -Theorie
39
3. Klasse Bezirksschule
Der Hohlzylinder
„Stanzt“ man aus einem geraden Kreiszylinder einen zweiten Zylinder mit
kleinerer Grundfläche aber gleichem Kreismittelpunkt aus, so bildet der
Restkörper einen Hohlzylinder.
Die Grund- und Deckfläche wird von zwei kongruenten Kreisringen gebildet.
Das Volumen des Hohlzylinders erhält man als Differenz der beiden
Zylindervolumina.
V
=
Va − Vi
=
Ga ⋅ h − Gi ⋅ h
=
ra ⋅ π ⋅ h − ri ⋅ π ⋅ h
=
(ra − ri ) ⋅ π ⋅ h
=
(ra + ri ) ⋅ (ra − ri ) ⋅ π ⋅ h
2
2
2
2
ri
ra
Mathematik -Theorie
40
3. Klasse Bezirksschule
D Punkte und Linien mit besonderen
Lageeigenschaften
1
Abstände
Unter dem Abstand a eines Punktes P von einer Geraden g versteht man die
kürzestmögliche Verbindungsstrecke von P nach g.
Fällt man von P aus das Lot auf g, so erhält man den Schnittpunkt F.
F ist der Fusspunkt des Lotes durch P auf g. Die Lotstrecke PF ist der
gesuchte Abstand a, da sie die kürzestmögliche Verbindungsstrecke ist.
P
g
a = PF
F
Lot
Unter dem Abstand a eines Punktes P von einem Kreis k versteht man die
kürzestmögliche Verbindungsstrecke von P nach k.
Die Gerade durch P und den Kreismittelpunkt M schneidet den Kreis k im
Punkt S. Die Strecke PS ist der gesuchte Abstand a, da sie die
kürzestmögliche Verbindungsstrecke ist.
k
M
S
a = PS
P
Mathematik -Theorie
41
3. Klasse Bezirksschule
Unter dem Abstand a eines Kreises k1 von einem Kreis k2 versteht man die
kürzestmögliche Verbindungsstrecke von k1 nach k2.
Die Gerade durch die Kreismittelpunkte M1 und M2 schneidet den Kreis k1 im
Punkt S1 und den Kreis k2 im Punkt S2. Die Strecke S1S2 ist der gesuchte
Abstand a, da sie die kürzestmögliche Verbindungsstrecke ist.
k2
k1
S2
S1
a = S1S2
M2
M1
Unter dem Abstand a zweier parallelen Geraden g und h versteht man die
kürzestmögliche Verbindungsstrecke von g nach h.
Fällt man das Lot auf g und h, so erhält man die Schnittpunkte F1 und F2.
Die Strecke F1F2 ist der gesuchte Abstand a, da sie die kürzestmögliche
Verbindungsstrecke ist.
g
F1
a = F1F2
h
F2
Mathematik -Theorie
42
3. Klasse Bezirksschule
2
Ortslinien
Unter dem Begriff Ortslinie versteht man eine Menge von Punkten, welche
eine bestimmte Lagebedingung erfüllen.
Beispiele:
1
Kreis k (Kreislinie):
Menge aller Punkte, die von einem
gegebenen Punkt M den gleichen
Abstand r haben.
k
M
r
a
2
Mittelsenkrechte m:
Menge aller Punkte, die von zwei
gegebenen Punkten A und B je den
gleichen Abstand haben.
a
A
B
m
3
Parallelenpaar p1, p2 :
Menge aller Punkte, die von einer
gegebenen Geraden g den
gleichen Abstand a haben.
a
p1
a
g
p2
4
Mittelparallele m:
Menge aller Punkte, die von zwei
gegebenen Parallelen g und h den
gleichen Abstand a haben.
a
g
a
m
h
5
Winkelhalbierende w:
Menge aller Punkte, die von zwei
einander schneidenden Geraden
g und h je den gleichen Abstand
haben.
h
w
a
a
g
Mathematik -Theorie
43
3. Klasse Bezirksschule
3
Ausbau der Ortslinienvorstellung
Beispiel:
Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen IABI = 8,5cm
und IBCI = 5,0cm.
Markiere nun die Menge aller Punkte P, welche folgende
4 Bedingungen zugleich erfüllen:
1. P liegt im Rechteck ABCD
2. IAPI > IBPI
3. P liegt näher bei CD als bei CB
4. IPCI  IBCI
D
C
m
A
B
w
m
Mathematik -Theorie
44
3. Klasse Bezirksschule
E Kongruenzabbildungen
1
Über Abbildungen in der Geometrie
Eine geometrische Abbildung ordnet jedem Punkt einer Originalfigur
eindeutig einen Punkt der entsprechenden Bildfigur zu.
Sind Original- und Bildfigur kongruent (deckungsgleich), nennt man die
entsprechende Abbildung Kongruenzabbildung.
Folgende Abbildungen sind Kongruenzabbildungen:
-
Achsen- oder Geradenspiegelung
-
Rotation (Drehung)
-
Translation (Parallelverschiebung)
-
Punktspiegelung
Beispiel:
Achsen- oder Geradenspiegelung
g
C
B
Originaldreieck
ABC
B’
Bilddreieck
A’B’C’
A
C’
A’
Mathematik -Theorie
45
3. Klasse Bezirksschule
2
Die Translation (Parallelverschiebung)
Eine geometrische Abbildung, bei der alle Punkte der Originalfigur um
denselben Betrag in dieselbe Richtung verschoben werden, heisst
Translation oder Parallelverschiebung.
Eine Translation kann beschrieben werden durch den sogenannten
Verschiebungspfeil v. Dessen Länge gibt die Distanz, die Pfeilspitze die
Richtung der Verschiebung an.
Beispiel:
v
C’
//
C
A’
//
A
B’
//
B
-
Die Verschiebungsrichtungen AA’ , BB’ und CC’
sind parallel.
-
Die Verschiebungsbeträge AA’ , BB’ und CC’
sind gleich gross.
Mathematik -Theorie
46
3. Klasse Bezirksschule
3
Die Rotation (Drehung)
Werden sämtliche Punkte einer Figur um denselben Winkel um einen Punkt Z
gedreht, so nennt man diese Abbildung eine Rotation oder Drehung.
Eine Rotation ist festgelegt durch den Drehpunkt Z und den Drehwinkel α.
Die Drehrichtung wird dabei wie folgt definiert:
-
D Z , +60° : Drehung um 60° im Gegenuhrzeigersinn um Z.
-
D Z , -60° : Drehung um 60° im Uhrzeigersinn um Z.
Beispiel:
Mathematik -Theorie
D Z , -120°
47
3. Klasse Bezirksschule
4
Die Punktspiegelung
Werden sämtliche Punkte einer Figur um 180° um einen Punkt Z gedreht, so
nennt man diese Abbildung eine Punktspiegelung.
Der Begriff ergibt sich aus der Tatsache, dass Original-, Bild- und Drehpunkt
auf einer Geraden liegen, und die Strecke vom Original- zum Bildpunkt durch
den Drehpunkt halbiert wird.
Beispiel:
Punktsymmetrie
Eine geometrische Figur, welche durch eine Drehung um 180° um einen
Punkt Z mit sich selber zur Deckung gebracht werden kann, heisst
punktsymmetrisch. Der Punkt Z ist das Symmetriezentrum.
Beispiele:
Mathematik -Theorie
48
3. Klasse Bezirksschule
5
Kongruenzabbildungen : Übersicht und
Zusammenfassung
Fixpunkte und Fixgeraden
Punkte, die bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet werden, heissen
Fixpunkte.
Geraden, die bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet werden, heissen
Fixgeraden.
Beispiele:
Die Punkte A und C sind Fixpunkte. Sie werden bei der Achsenspiegelung
an g auf sich selbst abgebildet. Es gilt deshalb: A = A’ und C = C’ .
Die Gerade AB ist eine Fixgerade. Sie wird bei der Achsenspiegelung
an g auf sich selbst abgebildet. Es gilt deshalb: AB = A’B’ .
Mathematik -Theorie
49
3. Klasse Bezirksschule
Kongruenzabbildungen
- Abbildungen, welche die Streckenlängen der Originalfigur unverändert
lassen, nennen wir längentreu.
- Abbildungen, welche die Winkelgrössen nicht verändern, nennen wir
winkeltreu.
- Abbildungen, welche den Orientierungssinn beibehalten, nennen wir
orientierungstreu.
Die uns bekannten Abbildungen Geradenspiegelung, Translation, Rotation
und Punktspiegelung sind alle längentreu und winkeltreu. Ausser der
Geradenspiegelung sind auch alle orientierungstreu
Da eine längentreue Abbildung die Form und Grösse einer Figur nicht
verändert, sind Original- und Bildfigur bei den erwähnten Abbildungen
kongruent (lat. congruens = übereinstimmend).
Man nennt diese Abbildungen deshalb Kongruenzabbildung.
Symmetrien
- Wir nennen eine Figur achsensymmetrisch (geradensymmetrisch), wenn
sie bei der Spiegelung an einer Achse g auf sich selbst abgebildet wird.
- Wir nennen eine Figur punktsymmetrisch, wenn sie bei der Spiegelung an
einem Symmetriezentrum Z auf sich selbst abgebildet wird.
- Wir nennen eine Figur drehsymmetrisch, wenn sie bei der Drehung um
einen Punkt D und um den Winkel α auf sich selber abgebildet wird.
Beispiele:
achsensymmetrische Figur
Mathematik -Theorie
punktsymmetrische Figur
50
drehsymmetrische Figur
3. Klasse Bezirksschule
F Winkelsätze
1
Nebenwinkel und Scheitelwinkel
Zwei nicht parallele Geraden bilden stets vier Schnittwinkel. Dabei unterscheidet man zwischen Scheitel- und Nebenwinkeln.
Beispiel :
α
β
γ
δ
Nebenwinkel
Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen sich zu 180°.
α1 + β1 = 180°
α2 + β2 = 180°
α3 + β3 = 180°
α4 + β4 = 180°
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich gross.
γ1 = δ1
Mathematik -Theorie
γ2 = δ2
γ3 = δ3
51
γ4 = δ4
3. Klasse Bezirksschule
2
Fundamentale Sätze über Winkel und Winkelsummen
Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten,
entstehen 8 Schnittwinkel.
Die Winkel innerhalb der Parallelen heissen innere Winkel,
die Winkel ausserhalb der Parallelen heissen äussere Winkel.
β’
γ’
α’
δ’
//
β
γ
//
α
δ
Innere Winkel :
α , β , γ’ , δ’
Äussere Winkel :
α’ , β’ , γ , δ
Stufenwinkel
Einen inneren und einen äusseren
Winkel auf derselben Seite der
schneidenden Geraden nennt man
Stufenwinkel. Sie sind gleich gross.
α = α’ ,
γ = γ’ ,
β = β’ ,
δ = δ’
Wechselwinkel
Zwei innere oder zwei äussere
Winkel auf verschiedenen Seiten
der schneidenden geraden heissen
Wechselwinkel. Sie sind gleich gross.
α = γ’ ,
β = δ’ ,
γ = α’ ,
δ = β’
Mathematik -Theorie
52
3. Klasse Bezirksschule
Winkelsumme im Dreieck
C
γ
Es gilt für jedes Dreieck:
b
α + β + γ
=
180°
a
β
α
A
B
c
Besondere Dreiecke
α
- Ein gleichseitiges Dreieck hat drei
gleich lange Seiten und drei
gleich grosse Winkel (je 60°).
s
s
α
α
s
- Ein gleichschenkliges Dreieck hat
zwei gleich lange Seiten
(Schenkel) und zwei gleich grosse
Winkel (Basiswinkel).
s
s
α
α
b
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat
einen Winkel von 90°.
- Ein rechtwinklig-gleichschenkliges
Dreieck hat einen rechten Winkel,
zwei gleich lange Seiten und die
Basiswinkel sind je 45°.
Mathematik -Theorie
53
s
45°
s
45°
3. Klasse Bezirksschule
3
Winkelsummen von Vielecken (n-Ecken)
Um die Innenwinkelsumme, abgekürzt Winkelsumme, eines beliebigen
n-Eckes zu bestimmen, greift man auf die Winkelsumme des Dreiecks
zurück.
C
Es gilt:
α + β + γ
γ
b
= 180°
a
α
A
β
B
c
Durch die Unterteilung eines n-Eckes in Teildreiecke lässt sich dessen
Winkelsumme auf einfache Weise bestimmen.
D
Beispiele:
δ
C
γ2
Innenwinkelsumme im Viereck =
( α1 + γ2 + δ ) + ( α2 + β + γ1 ) =
A
2 ⋅ 180° = 360°
γ1
α1
α2
β
B
D
δ
Innenwinkelsumme im Fünfeck =
( ε1 + γ3 + δ ) + ( α1 + γ2 + ε2 ) +
E
( α2 + β + γ1 ) =
γ3
γ2
ε1
ε2
3 ⋅ 180° = 540°
α1
A
α2
Mathematik -Theorie
γ1
β
B
Es gilt:
Innenwinkelsumme im n-Eck
C
=
54
( n – 2 ) ⋅ 180°
3. Klasse Bezirksschule
Regelmässige Vielecke (regelmässige n-Ecke)
Bei regelmässigen Vielecken sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel
gleich gross.
Beispiele:
s3
s1
s1
α1
α1
α1
α2
α2
s1
α1
α3
α3
s2
s2
α1
α1
s1
α2
s1
s3
s3
s2
α3
s1
α3
s3
Regelmässiges Sechseck
Regelmässiges Dreieck
Regelmässiges Viereck
( gleichseitiges Dreieck )
( Quadrat )
Die Grösse des Innenwinkels α im regelmässigen Vieleck lässt sich aus der
Innenwinkelsumme und der Anzahl Eckpunkte berechnen.
Innenwinkel α
Es gilt:
=
( n − 2 ) ⋅ 180°
n
Beispiel:
Im regelmässigen Sechseck beträgt ein Innenwinkel somit:
α
=
( 6 − 2 ) ⋅ 180°
6
Mathematik -Theorie
=
720°
6
55
=
120° .
3. Klasse Bezirksschule
Allen regelmässigen Vielecken ist gemeinsam, dass deren Eckpunkte auf einer
Kreislinie liegen.
Beispiele:
M
M
ε
A
B
ε
A
B
M
A
ε
B
Verbindet man die Endpunkte einer Seite (z.B. A und B ) des regelmässigen
Vielecks mit dem Mittelpunkt M des Kreises, so entsteht mit diesem als
Scheitelpunkt ein sogenannter Mittelpunkts- oder Zentriwinkel ε.
Die Grösse des Zentriwinkels ε im regelmässigen Vieleck lässt sich aus der
Grösse des Vollwinkels (360°) und der Anzahl Eckpunkte berechnen.
Zentriwinkel ε
Es gilt:
=
360°
n
Beispiel:
Im regelmässigen Sechseck beträgt ein Zentriwinkel somit:
ε
=
360°
6
=
60° .
Für Innenwinkel und Zentriwinkel eines regelmässigen Vieleckes gilt folgende
Gesetzmässigkeit:
α + ε
=
Mathematik -Theorie
180°
56
3. Klasse Bezirksschule
4
Einige Anwendungen
Aussenwinkel
Ein Aussenwinkel ist der Winkel zwischen einer Seite und der Verlängerung
der Nachbarseite.
γ* ist ein Aussenwinkel von γ
Es gilt :
+
Aussenwinkel
=
180°
α
+
α*
=
180°
β
+
β*
=
180°
γ
+
γ*
=
180°
Innenwinkel
α
+
β
α
+
α*
→
γ
+
=
180°
=
180°
β
+
γ
=
α*
→
α
+
β
=
γ*
→
α
+
γ
=
β*
sowie:
Mathematik -Theorie
57
3. Klasse Bezirksschule
Der Satz des Thales
Werden in einem Kreis die beiden Endpunkte eines Durchmessers geradlinig
mit einem beliebigen anderen Punkt der Peripherie verbunden, entsteht ein
rechter Winkel.
Beweis:
2α + 2β =
180°
2(α + β) =
180°
α + β
90°
=
Mathematik -Theorie
58
3. Klasse Bezirksschule
G Dreiecke und Kreise
1
Kreis und Gerade
Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet.
Beispiel:
A
g ∩ k = {A, B}
Sekante
B
g
k
Die Strecke AB heisst Sehne.
Eine Zentrale ist eine Gerade, die durch den Mittelpunkt eines Kreises
verläuft.
Beispiel:
Zentrale
M
g
k
Eine Passante ist eine Gerade, die mit einem Kreis keinen Punkt gemeinsam
hat.
Passante
Beispiel:
g ∩k = { }
g
k
Mathematik -Theorie
59
3. Klasse Bezirksschule
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in einem Punkt berührt.
Diesen Punkt nennt man Berührpunkt.
Eine Tangente steht im Berührpunkt immer senkrecht zum Kreisradius.
Beispiel:
Tangente
r
g
M
k
Konstruktion der Tangente durch einen Punkt P an einen Kreis k
Konstruktionsbericht:
1.
Thaleskreis (Tk) über PM
2.
Tk ∩ k = { T }
3.
PT = t
Mathematik -Theorie
60
3. Klasse Bezirksschule
2
Seiten und Winkel am Dreieck
Beschriftung eines Dreiecks
Seite a liegt gegenüber des
Eckpunktes A , etc.
Beschriftung der Eckpunkte,
Seiten und Winkel erfolgt im
Gegenuhrzeigersinn!
Dreieckskonstruktionen aus Seiten und Winkeln
Dreiecke lassen sich eindeutig konstruieren, wenn einer der vier folgenden
Fälle gegeben ist:
1
Gegeben sind alle drei Seiten (sss).
Beispiel:
a = 5cm ,
k2
Mathematik -Theorie
c = 7cm
Konstruktionsbericht :
k1
C
1.
c = AB
2.
k1 (B, a) ∩ k2 (A, b) = { C }
a
b
A
b = 4cm ,
c
B
61
3. Klasse Bezirksschule
2
Gegeben sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (sws).
Beispiel:
c = 6cm ,
b = 5cm ,
g
α = 70°
Konstruktionsbericht :
C
k
b
1.
c = AB
2.
< α in A an c → g
3.
k (A, b) ∩ g = { C }
α
A
3
B
c
Gegeben sind eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (wsw).
Beispiel:
c = 6cm ,
α = 80° ,
Konstruktionsbericht :
g1
g2
C
α
A
Mathematik -Theorie
β = 30°
β
1.
c = AB
2.
< α in A an c → g1
3.
< β in B an c → g2
4.
g1 ∩ g2 = { C }
B
c
62
3. Klasse Bezirksschule
4
Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel, der der grösseren Seite
gegenüber liegt (Ssw).
Beispiel:
c = 5cm ,
b = 6cm ,
g
β = 50°
Konstruktionsbericht :
C
k
1.
c = AB
2.
< β in B an c → g
3.
k (A, b) ∩ g = { C }
b
β
A
c
B
Kongruenzsätze
Kongruenzsätze geben Bedingungen an, dass geometrische Figuren
kongruent sind. Besonders wichtig sind die Kongruenzsätze für Dreiecke.
1. Kongruenzsatz (sss) :
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen der
drei Seiten übereinstimmen.
2. Kongruenzsatz (sws) :
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen
zweier Seiten und in der Grösse des eingeschlossenen
Winkels übereinstimmen.
3. Kongruenzsatz (wsw) :
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge einer
Seite und der Grösse der der Seite anliegenden Winkeln
übereinstimmen.
4. Kongruenzsatz (Ssw) :
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier
Seiten und der Grösse des Winkels, der der längeren Seite
gegenüberliegt, übereinstimmen.
Mathematik -Theorie
63
3. Klasse Bezirksschule
3
Dreieckskonstruktionen mit Höhen
Die Höhen im Dreieck
Die Höhen im Dreieck sind Geraden, welche durch einen Eckpunkt verlaufen
und rechtwinklig zur gegenüberliegenden Seite stehen.
Jedes Dreieck besitzt drei Höhen : ha , hb und hc .
Häufig wird der Begriff Höhe für die Strecken AHa , BHb und CHc
verwendet.
Ha , Hb und Hc sind die Höhenfusspunkte.
Die Bezeichnungen ha , hb und hc
stehen dann auch für die Strecken
bzw. deren Längen.
C
Hb
Die drei Höhen eines Dreiecks
schneiden sich immer in einem
Punkt, dem sogenannten
Höhenschnittpunkt H.
hc
b
Ha
Der Höhenschnittpunkt H liegt bei
spitzwinkligen Dreiecken
A
innerhalb des Dreiecks.
a
H
ha
hb
c
Hc
B
Bei stumpfwinkligen Dreiecken
liegt der Höhenschnittpunkt H
ausserhalb des Dreiecks.
Bei rechtwinkligen Dreiecken fällt
der Höhenschnittpunkt H mit dem
Eckpunkt zusammen, wo der
rechte Winkel liegt.
Mathematik -Theorie
64
3. Klasse Bezirksschule
Dreieckskonstruktionen mit Höhen
Werden für Dreieckskonstruktionen Höhen vorgegeben, so sind meistens
Parallelen als Ortslinien von Bedeutung.
Beispiel :
Konstruiere Dreiecke, für welche gilt : c = 6cm , hc = 5cm.
C
Konstruktionsbericht :
p
Die Ecke C liegt irgendwo
auf der Parallelen zu c
im Abstand hc
hc
c
A
1.
c = AB
2.
p // c im Abstand hc
3.
C ∈ p
B
Konstruiere ein Dreieck, für welches gilt : c = 6cm , hc = 5cm und
α = 65°.
g
C
Konstruktionsbericht :
p
hc
1.
c = AB
2.
p // c im Abstand hc
3.
< α in A an c → g
4.
g ∩ p = {C}
α
A
Mathematik -Theorie
c
B
65
3. Klasse Bezirksschule
Das Mittendreieck
Verbindet man in einem Dreieck ABC die drei Seitenmitten Ma, Mb und Mc
miteinander, entsteht das sogenannte Mittendreieck.
Es gelten folgende Beziehungen:
-
Die Seiten des Dreiecks ABC sind parallel zu den Seiten des Mittendreiecks.
-
Die Seiten des Dreiecks ABC sind doppelt so lang wie die Seiten des Mittendreiecks.
-
Das Mittendreieck und das Dreieck ABC sind ähnlich (form-, aber nicht
flächengleich).
-
Das Mittendreieck und die drei Teildreiecke sind kongruent (form- und
flächengleich).
-
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist viermal grösser als der Flächeninhalt des
Mittendreiecks.
Mathematik -Theorie
66
3. Klasse Bezirksschule
4
Dreieck und Kreis
Die Mittelsenkrechten ma, mb und mc eines Dreiecks schneiden sich immer in
einem Punkt, dem sogenannten Umkreismittelpunkt M.
C
mc
b
mb
ma
M
A
Umkreis
a
r
B
c
Umkreisradius r
Die Lage des Umkreismittelpunktes ist durch die Form des Dreiecks vorgegeben:
-
Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
-
Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt ausserhalb des Dreiecks.
-
Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt in der Mitte der Seite, die
dem rechten Winkel gegenüber liegt (Thaleskreis !).
Mathematik -Theorie
67
3. Klasse Bezirksschule
Die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ eines Dreiecks schneiden sich immer
in einem Punkt, dem sogenannten Inkreismittelpunkt O.
Wb
Wa
Inkreis
ρ
Wc
Inkreisradius ρ
Beachte:
Die Punkte W a, W b und W c kennzeichnen die Schnittpunkte der
Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ mit den Dreiecksseiten a, b und c !
Es sind nicht die Inkreisberührpunkte!
Mathematik -Theorie
68
3. Klasse Bezirksschule
5
Schwerelinien im Dreieck
Geraden, die in einem Dreieck durch die Mitte einer Seite und den
gegenüberliegenden Eckpunkt führen, nennt man Seitenhalbierende oder
Schwerelinien sa, sb und sc.
Meistens wird der Begriff ‚Seitenhalbierende’ für die Strecken AMa , BMb
und CMc verwendet.
Die Bezeichnungen sa, sb und sc stehen dann für die Strecken bzw. deren
Längen.
Die drei Seitenhalbierenden sa, sb und sc eines Dreiecks schneiden sich
immer in einem Punkt, dem sogenannten Schwerpunkt S.
Der Schwerpunkt S teilt jede der drei Seitenhalbierenden sa, sb und sc im
Verhältnis 2 : 1. Die Teilstrecke von S zum Eckpunkt ist immer doppelt so
lang, wie diejenige von S zum Mittelpunkt der Dreiecksseite.
C
sc
Mb
sa
A
Mathematik -Theorie
S
Mc
69
Ma
sb
B
3. Klasse Bezirksschule
6
Vom Dreieck zum Viereck
Verbindet man vier Punkte, von denen keine drei auf einer Geraden liegen,
durch einen geschlossenen Streckenzug ohne Überschneidungen, so
entsteht ein Viereck.
In Bezug auf die Beschriftung eines Viereckes gilt:
-
Die Ecken werden wie bei allen ebenen Vielecken mit grossen Buchstaben
A, B, C und D bezeichnet.
-
Die Seiten erhalten die Namen der zugehörigen Strecken oder werden mit
kleinen Buchstaben benannt.
Dabei gilt für alle Vierecke - im Gegensatz zum Dreieck:
a = AB, b = BC, c = CD, d = AD.
-
Die Winkel werden durch kleine griechische Buchstaben gekennzeichnet:
α bei A, ß bei B, γ bei C und δ bei D.
-
Jedes Viereck hat zwei Diagonalen (Strecke zwischen zwei nicht benachbarten
Punkten). Es gilt für jedes Viereck: e = AC , f = BD .
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen wird mit E bezeichnet.
E
Mathematik -Theorie
70
3. Klasse Bezirksschule
Eigenschaften spezieller Vierecke
Quadrat:
-
s
Alle vier Seiten sind gleich lang.
Alle vier Winkel sind rechte Winkel (90°).
Die Diagonalen stehen senkrecht zueinander.
Die Diagonalen sind gleich lang.
Die Diagonalen halbieren einander.
s
s
s
Rhombus:
Rechteck:
- Alle vier Seiten sind gleich lang.
- Die Gegenseiten sind parallel.
- Die Diagonalen stehen senkrecht
zueinander.
- Die Diagonalen halbieren einander.
-
Die Gegenseiten sind gleich lang.
Alle vier Winkel sind rechte Winkel.
Die Diagonalen sind gleich lang.
Die Diagonalen halbieren einander.
s
s
s
s
a
b
b
a
Parallelogramm:
- Die Gegenseiten sind gleich lang.
- Die Gegenseiten sind parallel.
- Die Diagonalen halbieren einander.
a
b
b
a
Mathematik -Theorie
71
3. Klasse Bezirksschule
Das Trapez
Ein Trapez hat stets zwei parallele Seiten.
E
Für die Fläche eines Trapezes gilt folgende Formel:
A
=
a + c
⋅ h
2
Mathematik -Theorie
=
m ⋅ h
72
3. Klasse Bezirksschule