Skalarprodukt Fortsetzung

Skalarprodukt
Fortsetzung
~b
Mit dem Skalarprodukt ~a · ~b kann der Winkel berechnet werden,
den zwei Vektoren miteinander einschließen.
α
~a
Zunächst untersuchen wir das Skalarprodukt ~a ·~b zweier kollinearer
Vektoren.
~a · ~b = | ~a | · ~a ◦ · | ~b | · ~b ◦
~b
~a
~a ◦ ist der zu ~a gehörige Einheitsvektor. Das ist ein Vektor, der
mit ~a in der Richtung übereinstimmt, jedoch die Länge 1 hat.
= | ~a | · | ~b | · ~|a ◦{z
· ~b ◦}
1
= | ~a | · | ~b |
~a ◦ =
~a ◦
~a
1
~a
| ~a |
~a = | ~a | ~a ◦
oder
Es gilt: ~a ◦ · ~b ◦ = 1
Beweis?
In diesem Fall ist das Skalarprodukt also lediglich das Produkt der
Längen der Vektoren. Für die Behandlung des allgemeinen Falls
stellen wir ~b als Summe zweier Vektoren ~x und ~y dar:
~a · ~b = ~a · (~x + ~y )
= ~a · ~x + ~a · ~y
|{z}
0
= | ~a | · | ~x |
~b
~y
(~a ⊥ ~y )
α
(~a und ~x kollinear, siehe oben)
~a · ~b = | ~a | · | ~b | · cos α
( cos α =
| ~x |
| ~b |
~x
·
~a
| ~x | = | ~b | · cos α )
oder
Die Formel ~a · ~b = | ~a | · | ~b | · cos α ist auch für α > 90◦
gültig.
~b
β
α
−~a
~a
~a · ~b = − (− ~a ) · ~b
= − | − ~a | · | ~b | · cos β
= | ~a | · | ~b | · cos α
1. Welchen Winkel bilden die Vektoren ~a und ~b ?
 
 
 
 
1
2
2
−1
~
~







1
−3
−5
5
a) ~a =
, b=
b) ~a =
, b=
1
4
3
−2
2. Berechne die Innenwinkel des Dreiecks A(2 | 4 | 3), B(6 | 0 | −4) und
C(5 | −4 | 2).


7
3. Welche Winkel bildet ~a =  4 mit den Koordinatenachsen?
−4
c Roolfs
1
( − cos(180◦ − α) = cos α )
| {z }
β
Lösungen:
1. a) 71,2◦
b) 167,8◦
2. 48,9◦ ;
62,7◦ ;
68,4◦
3. 38,9◦ ;
63,3◦ ;
116,4◦
Zusammenhang zwischen Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel
~b
~c
α
λ~a
·
~a
Erläutere:
cos α =
λ | ~a |
|~b |
für positives λ
~a · ~b = ~a · (λ~a + ~c )
= λ~a 2
λ =
cos α =
~a · ~b
|~a |
2
beachte: |~a | =
√
~a 2
=⇒
~a 2 = |~a | 2
~a · ~b
|~a ||~b |
1. Welchen Winkel bilden die Vektoren ~a und ~b ?
 
 
 
 
1
3
1
−2
a) ~a = 1, ~b = −4
b) ~a = −6, ~b =  5
1
2
2
−2
2. Berechne die Innenwinkel des Dreiecks A(2 | 4 | 3), B(6 | 0 | −4) und
C(5 | −4 | 2).


6
3. Welche Winkel bildet ~a =  5 mit den Koordinatenachsen?
−5
c Roolfs
2
Lösungen:
1. a) 83,8◦
b) 168,2◦
2. 48,9◦ ;
62,7◦ ;
68,4◦
3. 49,7◦ ;
57,4◦ ;
122,6◦
Zum Skalarprodukt
b~7
b~6
b~5
b~4
b~3
b~2
α
b~1 · ~a = | b~1 | · | ~a |
·
~
b1
~a
(gilt stets für kollineare Vektoren)
= b~2 · ~a = b~3 · ~a = b~4 · ~a = . . .
c Roolfs
3
Zusammenhang zwischen Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel
~b
·
λ~a − ~b
α
λ~a
~a
Erläutere:
~b ⊥ λ~a − ~b
...
~b 2
λ =
~a · ~b
cos α =
...
cos α =
| ~b |
| ~b |
=
| λ~a |
λ |~a |
für positives λ
~a · ~b
|~a ||~b |
beachte: |~b | =
p
~b 2
=⇒
~b 2 = |~b | 2
1. Welchen Winkel bilden die Vektoren ~a und ~b ?
 
 
 
 
−2
1
3
1
b) ~a = −6, ~b =  5
a) ~a = 1, ~b = −4
1
2
2
−2
2. Berechne die Innenwinkel des Dreiecks A(2 | 4 | 3), B(6 | 0 | −4) und
C(5 | −4 | 2).

6
3. Welche Winkel bildet ~a =  5 mit den Koordinatenachsen?
−5

c Roolfs
4
Lösungen:
1. a) 83,8◦
b) 168,2◦
2. 48,9◦ ;
62,7◦ ;
68,4◦
3. 49,7◦ ;
57,4◦ ;
122,6◦
Zusammenhang zwischen Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel
~b
~b ◦
~b ◦ − λ~a ◦
α
λ~a ◦
·
~a ◦
~a
Erläutere:
cos α =
| λ~a ◦ |
= λ
◦
| ~b |
~b ◦ − λ~a ◦ ⊥ ~a ◦
...
λ = ~a ◦ · ~b ◦
cos α = ~a ◦ · ~b ◦ =
beachte: ~a ◦ · ~a ◦ = 1
~b
~a
·
| ~a | | ~b |
~a · ~b = | ~a | · | ~b | · cos α
1. Welchen Winkel bilden die Vektoren ~a und ~b ?
 
 
 
 
1
3
1
−2
a) ~a = 1, ~b = −4
b) ~a = −6, ~b =  5
1
2
2
−2
2. Berechne die Innenwinkel des Dreiecks A(2 | 4 | 3), B(6 | 0 | −4) und
C(5 | −4 | 2).


6
3. Welche Winkel bildet ~a =  5 mit den Koordinatenachsen?
−5
c Roolfs
5
Lösungen:
1. a) 83,8◦
b) 168,2◦
2. 48,9◦ ;
62,7◦ ;
68,4◦
3. 49,7◦ ;
57,4◦ ;
122,6◦
Skalarprodukt
Sei ~a ⊥ ~b und ~a + ~b = ~c.
a) Quadriere und interpretiere das Ergebnis.
b) Multipliziere beide Seiten mit ~b und interpretiere das Ergebnis.
c Roolfs
6