Funktionen Injektionen, Surjektionen, Bijektionen Im Folgenden sei f :A→B eine Funktion von A nach B (wobei A und B nicht-leere Mengen sind). Injektionen injektiv f : A → B ist , falls jedes y ∈ B höchstens ein 0 0 f (x) = f (x ) folgt x = x . Anders ausgedrückt: ∀x ∈ A ∀x0 ∈ A x 6= x0 → f (x) 6= f (x0 ) Die Funktion heisst, aus f : A → B ist das Bild f [A] sozusagen eine Kopie Injektion f : A → B bildet also A in die Menge B ab. Bei einer Injektion Menge B. Eine Urbild hat. Das von A in der f : Z → N eine Injektion: ( 2m falls m ≥ 0, f (m) := −m 3 sonst. Zum Beispiel ist folgende Funktion Surjektionen f : A → B ist für jedes y ∈ B Die Funktion Das heisst, surjektiv , falls jedes existiert mindestens y ∈ B mindestens ein Urbild hat. ein x ∈ A mit f (x) = y . Anders ausgedrückt: ∀y ∈ B ∃x ∈ A f (x) = y f : A → B eine Surjektion, bildet A auf die Menge B ab. Ist so ist Zum Beispiel ist folgende Funktion f [A] = B , f :N→Z √ √n + 1 f (n) := − n − 1 n das heisst, eine Surjektion eine Surjektion: falls falls √ n + 1 ∈ N, √ n − 1 ∈ N, sonst. 1 f :A→B Bijektionen bijektiv y ∈ B genau ein Urbild hat. Das genau ein x ∈ A mit f (x) = y . Anders ausgedrückt: ∀y ∈ B ∃!x ∈ A f (x) = y f : A → B ist jedes y ∈ B existiert Die Funktion heisst, für Somit ist Ist f bijektiv genau dann wenn f : A → B , falls jedes f sowohl injektiv wie auch surjektiv ist. eine Bijektion, so ist auch die deniert durch Umkehrfunktion f −1 : B → A, f −1 : B → A y 7→ x wobei f (x) = y f : A → B eine Bijektion, so ist f −1 : B → A ebenfalls eine −1 Bijektion und es gilt f [A] = B und f [B] = A ; und ist f : A → B eine Injektion, dann existiert eine Bijektion zwischen A und f [A]. P xk x Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion e = k∈N k! eine Bijektion zwischen den + x reellen Zahlen R und den positiven reellen Zahlen R . Die Umkehrfunktion von e + ist ln(x), welche dementsprechend eine Bijektion zwischen R und R ist. eine Funktion. Ist Satz von Cantor-Bernstein Vielfach ist es schwierig, zwischen zwei Mengen A und B eine Bijektion anzugeben, selbst wenn man weiss, dass es eine solche geben muss. Andererseits ist es meist nicht schwierig, Injektionen zu nden. Zum Beispiel ist die Identität ι : N ,→ Q, ι(n) = n, eine Injektion von N in Q; und schreiben wir rationale Q = pq : p ∈ Z ∧ q ∈ N \ {0} ∧ ggT(p, q) = 1 , dann ist Zahlen in der Form f eine Injektion von Q in p q ( 2p · 5q := 3−p · 5q falls wobei p ≥ 0, sonst, N. Der Satz von Cantor-Bernstein sagt nun, dass mit diesen zwei Injektionen auch eine Bijektion zwischen N und Q existiert. Cantor-Bernstein Theorem: Existiert eine Injektion jektion g : B ,→ A, Bemerkung : dann existiert eine Bijektion f : A ,→ B , zwischen A und B . sowie eine In- Ohne Hilfe des Auswahlaxioms können im Satz von Cantor-Bernstein die Injektionen nicht durch Surjektionen ersetzt werden. Das heisst, aus Surjektionen f : A B und g : B A kann im Allgemeinen, ohne A und B konstruiert werden. keine Bijektion zwischen 2 Hilfe des Auswahlaxioms,