Funktionen Injektionen, Surjektionen, Bijektionen

Funktionen
Injektionen, Surjektionen, Bijektionen
Im Folgenden sei f : A → B eine Funktion von A nach B, wobei A und B Mengen
sind und B nicht leer ist (falls A leer ist, so erhalten wir die leere Funktion).
Grundbegriffe
Ist f : A → B eine Funktion von A nach B, so heisst A Definitionsbereich von f
und B heisst Wertebereich oder Wertevorrat von f .
Die Menge y ∈ B : ∃x ∈ A(f (x) = y) ist das Bild von A unter der Funktion f
und wird im Folgenden mit f[A] bezeichnet; andere
Notation für das Bild sind f ′′ (A)
oder f (A). Ist y ∈ B, so ist x ∈ A : f (x) = y die Urbildmenge von y.
Injektionen
Die Funktion f : A → B ist injektiv, falls jedes y ∈ B höchstens ein Urbild hat. Das
heisst, aus f (x) = f (x′ ) folgt x = x′ . Anders ausgedrückt:
∀x ∈ A ∀x′ ∈ A x 6= x′ → f (x) 6= f (x′ )
Bei einer Injektion f : A → B ist das Bild f [A] sozusagen eine “Kopie” von A in der
Menge B. Eine Injektion f : A → B bildet also A in die Menge B ab.
Zum Beispiel ist folgende Funktion f : Z → N eine Injektion:
(
2m
falls m ≥ 0,
f (m) :=
−m
3
sonst.
Surjektionen
Die Funktion f : A → B ist surjektiv, falls jedes y ∈ B mindestens ein Urbild hat.
Das heisst, für jedes y ∈ B existiert mindestens ein x ∈ A mit f (x) = y. Anders
ausgedrückt:
∀y ∈ B ∃x ∈ A f (x) = y
Ist f : A → B eine Surjektion, so ist f [A] = B, das heisst, eine Surjektion f : A → B
bildet A auf die Menge B ab.
Zum Beispiel ist folgende Funktion f : N → Z eine Surjektion:
 √
√

 √n + 1 falls √n + 1 ∈ N,
f (n) := − n − 1 falls n − 1 ∈ N,


n
sonst.
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Bijektionen
Die Funktion f : A → B ist bijektiv, falls jedes y ∈ B genau ein Urbild hat. Das
heisst, für jedes y ∈ B existiert genau ein x ∈ A mit f (x) = y. Anders ausgedrückt:
∀y ∈ B ∃!x ∈ A f (x) = y
Somit ist f bijektiv genau dann wenn f sowohl injektiv wie auch surjektiv ist.
Ist f : A → B eine Bijektion, so ist auch die Umkehrfunktion f −1 : B → A,
definiert durch
f −1 : B → A
y 7→ x wobei f (x) = y
eine Funktion. Ist f : A → B eine Bijektion, so ist f −1 : B → A ebenfalls eine
Bijektion und es gilt f [A] = B und f −1 [B] = A ; und ist f : A → B eine Injektion,
dann existiert eine Bijektion zwischen A und f [A].
P
k
Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion ex = k∈N xk! eine Bijektion zwischen den
reellen Zahlen R und den positiven reellen Zahlen R+ . Die Umkehrfunktion von ex
ist ln(x), welche dementsprechend eine Bijektion zwischen R+ und R ist.
Satz von Cantor-Bernstein
Vielfach ist es schwierig, zwischen zwei Mengen A und B eine Bijektion anzugeben,
selbst wenn man weiss, dass es eine solche geben muss. Andererseits ist es meist nicht
schwierig, Injektionen zu finden. Zum Beispiel ist die Identität ι : N ֒→ Q, wobei
ι(n) = n, eine Injektion von N in Q; und schreiben wir rationale Zahlen in der Form
Q = pq : p ∈ Z ∧ q ∈ N \ {0} ∧ ggT(p, q) = 1 , dann ist
f
p
q
:=
(
2p · 5q
3−p · 5q
falls p ≥ 0,
sonst,
eine Injektion von Q in N.
Der Satz von Cantor-Bernstein sagt nun, dass mit diesen zwei Injektionen auch eine
Bijektion zwischen N und Q existiert.
Cantor-Bernstein Theorem: Existiert eine Injektion f : A ֒→ B, sowie eine Injektion g : B ֒→ A, dann existiert eine Bijektion zwischen A und B.
Bemerkung: Ohne Hilfe des Auswahlaxioms können im Satz von Cantor-Bernstein
die Injektionen nicht durch Surjektionen ersetzt werden. Das heisst, aus Surjektionen
f : A ։ B und g : B ։ A kann im Allgemeinen, ohne Hilfe des Auswahlaxioms,
keine Bijektion zwischen A und B konstruiert werden.
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