Lösungsvorschlag Aufg. 7

Lösungsvorschläge zu Aufgabe 7 der
Vortragsübungen.
Seien A und B Mengen und f : A → B eine Abbildung.
a) Angenommen, es existiere ein g : B → A mit g ◦ f = IdA , d.h. g(f (x)) = x
für alle x ∈ A . Falls f (x1 ) = f (x2 ), so folgt g(f (x1 )) = g(f (x2 )), also
x1 = x2 . Dann ist f also injektiv. Umgekehrt nehmen wir nun an, dass A
nicht die leere Menge und f injektiv ist. Dann induziert f : A → f (A) eine
Bijektion; bezeichne f −1 : f (A) → A die Umkehrabbildung.
Weiterhin wählen wir irgendein festes x0 ∈ A (das geht, weil A nicht leer
ist) und definieren g : B → A wie folgt:
g(y) := f −1 (y) falls y ∈ f (A),
g(y) := x0 sonst.
(1)
(2)
Dann folgt per Konstruktion von g, dass g ◦ f = IdA .
Bemerkung: Ist A die leere Menge, so existiert genau eine Abbildung
f : A → B (die triviale Abbildung, die sich von alleine definiert). Diese
ist natürlich injektiv; aber im Falle, dass außerdem B nicht leer ist, existiert keine einzige Abbildung g : B → A. Also ist es formal wichtig,
vorauszusetzen, dass A nicht leer ist.
b) Wir nehmen zunächst an, dass eine Abbildung g : B → A existiert, so dass
f ◦ g = IdB . Zu gegebenem y ∈ B erhalten wir f (g(y)) = y; also liegt y im
Bild von f ; folglich ist f surjektiv.
Umgekehrt, falls f surjektiv ist, existiert zu jedem y ∈ Y mindestens ein
x ∈ X mit f (x) = y. Dann ist also die Menge fy := {x ∈ X|f (x) = y}
nicht leer für jedes y ∈ B; daher können wir einfach irgendein Element von
fy auswählen; dieses nennen wir g(y). Dies definiert dann eine Abbildung
g : B → A mit f (g(y)) = y für alle y ∈ B.
c) Seien nun A und B endlich mit der selben Anzahl n von Elementen (sei
z.B. n = 8 und bestehe A aus 8 Schrauben und B aus 8 Tassen). Falls
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wir nun eine injektive Abbildung f : A → B haben, so hat also auch f (A)
genau n Elemente (da f : A → f (A) dann bijektiv ist und Bijektionen die
Elementeanzahl bewaren). Dann ist also f (A) eine Teilmenge von B in der
n Elemente liegen; das müssen dann schon alle Elemente von B sein. Man
veranschauliche sich das Ergebnis anhand des erwähnten Beispiels.
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