Funktionen Injektionen, Surjektionen, Bijektionen

Funktionen
Injektionen, Surjektionen, Bijektionen
Im Folgenden sei
f :A→B
eine Funktion von
A nach B
(wobei
A und B
nicht-leere
Mengen sind).
Injektionen
injektiv
f : A → B ist
, falls jedes y ∈ B höchstens ein
0
0
f (x) = f (x ) folgt x = x . Anders ausgedrückt:
∀x ∈ A ∀x0 ∈ A x 6= x0 → f (x) 6= f (x0 )
Die Funktion
heisst, aus
f : A → B ist das Bild f [A] sozusagen eine Kopie
Injektion f : A → B bildet also A in die Menge B ab.
Bei einer Injektion
Menge
B.
Eine
Urbild hat. Das
Z N
f: →
(
2m
f (m) :=
3−m
Zum Beispiel ist folgende Funktion
von
A
in der
eine Injektion:
m ≥ 0,
falls
sonst.
Surjektionen
f : A → B ist
für jedes y ∈ B
Die Funktion
Das heisst,
surjektiv
, falls jedes
existiert mindestens
y ∈ B mindestens ein Urbild hat.
ein x ∈ A mit f (x) = y . Anders
ausgedrückt:
∀y ∈ B ∃x ∈ A f (x) = y
f : A → B eine Surjektion,
bildet A auf die Menge B ab.
Ist
so ist
Zum Beispiel ist folgende Funktion
f [A] = B , das
f:
N→Z
 √

 √n + 1
f (n) := − n − 1


n
heisst, eine Surjektion
eine Surjektion:
falls
falls
√
n+1∈
√
n−1∈
sonst.
1
N
N
,
,
f :A→B
Bijektionen
bijektiv
f : A → B ist
jedes y ∈ B existiert
y ∈ B genau ein Urbild hat. Das
genau ein x ∈ A mit f (x) = y . Anders ausgedrückt:
∀y ∈ B ∃!x ∈ A f (x) = y
Die Funktion
heisst, für
Somit ist
Ist
f
bijektiv genau dann wenn
f : A → B
, falls jedes
f
sowohl injektiv wie auch surjektiv ist.
eine Bijektion, so ist auch die
deniert durch
Umkehrfunktion f
−1
: B → A,
f −1 : B → A
y 7→ x wobei f (x) = y
f : A → B eine Bijektion, so ist f −1 : B → A ebenfalls eine
−1
Bijektion und es gilt f [A] = B und f
[B] = A ; und ist f : A → B eine Injektion,
dann existiert eine Bijektion zwischen A und f [A].
P
xk
x
Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion e =
k∈N k! eine Bijektion zwischen den
+
x
reellen Zahlen
und den positiven reellen Zahlen
. Die Umkehrfunktion von e
+
ist ln(x), welche dementsprechend eine Bijektion zwischen
und
ist.
eine Funktion. Ist
R
R
R
R
Satz von Cantor-Bernstein
Vielfach ist es schwierig, zwischen zwei Mengen
A
und
B
eine Bijektion anzugeben,
selbst wenn man weiss, dass es eine solche geben muss. Andererseits ist es meist nicht
N ,→ Q
schwierig, Injektionen zu nden. Zum Beispiel ist die Identität
ι :
ι(n) = n, eine Injektion von in ; und schreiben wir rationale
= pq : p ∈ ∧ q ∈ \ {0} ∧ ggT(p, q) = 1 , dann ist
Zahlen in der Form
Q
Z
N Q
N
f
eine Injektion von
p
q
(
2p · 5q
:=
3−p · 5q
falls
, wobei
p ≥ 0,
sonst,
Q N
in
.
Der Satz von Cantor-Bernstein sagt nun, dass mit diesen zwei Injektionen auch eine
Bijektion zwischen
N
und
Q
existiert.
Cantor-Bernstein Theorem: Existiert eine Injektion
jektion
g : B ,→ A,
Bemerkung :
dann existiert eine Bijektion
f : A ,→ B ,
zwischen A und B .
sowie eine In-
Ohne Hilfe des Auswahlaxioms können im Satz von Cantor-Bernstein
die Injektionen nicht durch Surjektionen ersetzt werden. Das heisst, aus Surjektionen
f : A B
und
g : B A kann im Allgemeinen, ohne
A und B konstruiert werden.
keine Bijektion zwischen
2
Hilfe des Auswahlaxioms,