Funktionen Injektionen, Surjektionen, Bijektionen Im Folgenden sei f : A → B eine Funktion von A nach B (wobei A und B nicht-leere Mengen sind). Injektionen Die Funktion f : A → B ist injektiv, falls jedes y ∈ B höchstens ein Urbild hat. Das heisst, aus f (x) = f (x0 ) folgt x = x0 . Anders ausgedrückt: ¡ ¢ ∀x ∈ A ∀x0 ∈ A x 6= x0 → f (x) 6= f (x0 ) Bei einer Injektion f : A → B ist das Bild f [A] sozusagen eine “Kopie” von A in der Menge B. Eine Injektion f : A → B bildet also A in die Menge B ab. Zum Beispiel ist folgende Funktion f : Z → N eine Injektion: ( 2m falls m ≥ 0, f (m) := −m 3 sonst. Surjektionen Die Funktion f : A → B ist surjektiv, falls jedes y ∈ B mindestens ein Urbild hat. Das heisst, für jedes y ∈ B existiert mindestens ein x ∈ A mit f (x) = y. Anders ausgedrückt: ¡ ¢ ∀y ∈ B ∃x ∈ A f (x) = y Ist f : A → B eine Surjektion, so ist f [A] = B, das heisst, eine Surjektion f : A → B bildet A auf die Menge B ab. Zum Beispiel ist folgende Funktion f : N → Z eine Surjektion: √ √ √n + 1 falls √n + 1 ∈ N, f (n) := − n − 1 falls n − 1 ∈ N, n sonst. 1 Bijektionen Die Funktion f : A → B ist bijektiv, falls jedes y ∈ B genau ein Urbild hat. Das heisst, für jedes y ∈ B existiert genau ein x ∈ A mit f (x) = y. Anders ausgedrückt: ¡ ¢ ∀y ∈ B ∃!x ∈ A f (x) = y Somit ist f bijektiv genau dann wenn f sowohl injektiv wie auch surjektiv ist. Ist f : A → B eine Bijektion, so ist auch die Umkehrfunktion f −1 : B → A, definiert durch f −1 : B → A y 7→ x wobei f (x) = y eine Funktion. Ist f : A → B eine Bijektion, so ist f −1 : B → A ebenfalls eine Bijektion und es gilt f [A] = B und f −1 [B] = A ; und ist f : A → B eine Injektion, dann existiert eine Bijektion zwischen A und f [A]. P k Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion ex = k∈N xk! eine Bijektion zwischen den reellen Zahlen R und den positiven reellen Zahlen R+ . Die Umkehrfunktion von ex ist ln(x), welche dementsprechend eine Bijektion zwischen R+ und R ist. Satz von Cantor-Bernstein Vielfach ist es schwierig, zwischen zwei Mengen A und B eine Bijektion anzugeben, selbst wenn man weiss, dass es eine solche geben muss. Andererseits ist es meist nicht schwierig, Injektionen zu finden. Zum Beispiel ist die Identität ι : N ,→ Q, wobei ι(n) = n, eine Injektion von N in Q; und schreiben wir rationale Zahlen in der Form ª © Q = pq : p ∈ Z ∧ q ∈ N \ {0} ∧ ggT(p, q) = 1 , dann ist f ¡p¢ q ( 2p · 5q := 3−p · 5q falls p ≥ 0, sonst, eine Injektion von Q in N. Der Satz von Cantor-Bernstein sagt nun, dass mit diesen zwei Injektionen auch eine Bijektion zwischen N und Q existiert. Cantor-Bernstein Theorem: Existiert eine Injektion f : A ,→ B, sowie eine Injektion g : B ,→ A, dann existiert eine Bijektion zwischen A und B. Bemerkung: Ohne Hilfe des Auswahlaxioms können im Satz von Cantor-Bernstein die Injektionen nicht durch Surjektionen ersetzt werden. Das heisst, aus Surjektionen f : A ³ B und g : B ³ A kann im Allgemeinen, ohne Hilfe des Auswahlaxioms, keine Bijektion zwischen A und B konstruiert werden. 2