Blatt 9 - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
9. Aufgabenblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe in der 47. Kalenderwoche in den Übungen.
Aufgabe 33 Sei (an )n∈N0 ⊂ R eine beschränkte Folge reeller Zahlen, und seien n , n ∈
N0 , unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen auf (Ω, F, P) mit P(n = ±1) = 1/2.
def P
Setze Xn = nk=0 k ak , Fn = σ(Xk : 0 ≤ k ≤ n).
P
2
(a) Zeigen Sie, dass Xn in L2 konvergiert genau dann wenn ∞
k=0 ak < ∞.
def
(b) Berechnen Sie den Varianz-Prozess von Xn , hXin =
Pn−1
k=0
E
2
Xk+1
− Xk2 |Fk .
P
def
2
(c) Nun gelte ∞
k=0 ak = ∞. Für c > 0 sei Tc = inf{n ≥ 0 : |Xn | ≥ c}.
Zeigen Sie, dass P (Tc = ∞) = 0.
def
Hinweis: Wenden Sie den Stoppsatz auf das Martingal X̃n = Xn2 − hXin an.
(d) Folgern Sie, dass unter den Bedingungen von (c) Xn
und −∞ oszilliert.
P-fast sicher zwischen +∞
Aufgabe 34 Sei {Xn }n∈N ein Martingal auf (Ω, F, P) mit gleichmäßig in L1 beschränkten
Inkrementen, d.h. es existiert Y ∈ L1 mit |Xn+1 − Xn | ≤ Y für alle n ∈ N. Zeigen Sie,
dass für P-fast alle ω ∈ Ω entweder
lim Xn (ω) ∈ R
n→∞
existiert, d.h. {Xn (ω)} konvergiert, oder
lim sup Xn (ω) = +∞ und lim inf Xn (ω) = −∞,
n→∞
n→∞
d.h. {Xn (ω)} oszilliert unbeschränkt.
Aufgabe 35 Seien ξn , n ∈ N, unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen auf
def
(Ω, F, P) mit P(ξ1 = 1) = p, P(ξ1 = −1) = 1 − p für ein 0 < p < 1. Setze S0 = 0 und
def
Sn = ξ1 + . . . + ξn . Zeigen Sie:
(a) Ist p = 1/2 (d.h. Sn ist die symmetrische Irrfahrt auf Z), dann gilt
P lim sup Sn = ∞ und lim inf Sn = −∞ = 1.
n→∞
n→∞
(b) Ist p > 1/2, dann gilt
P
lim Sn = ∞ = 1.
n→∞
Aufgabe 36 Sei {Fn }n∈N0 eine Filtrierung auf (Ω, F, P), und sei An ∈ Fn , n ≥ 1.
Beweisen Sie unter Benutzung von Aufgabe 34, dass für P-fast alle ω ∈ Ω gilt
ω ∈ lim sup An
n→∞
genau dann wenn
∞
X
n=1
P (An|Fn−1) (ω) = ∞.