Geometrie Längen und Flächen Planimetrie
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K A P I T E L 4 .1 1 Rechteck Quadrat Parallelogramm Raute, Trapez Winkelfunktionen Dreiecke Pythagoras Allgemein zum Kapitel – Längen und Flächen Unter dem Begriff Länge versteht man die räumliche Ausdehnung in einer Richtung. Eine Länge ist eindimensional. Beispielsweise kann man eine Stadt in der Länge durchqueren. Unter der Länge versteht man auch eine bestimmte räumliche Ausdehnung entlang einer Geraden oder einer Kurve mit Massangabe. Beispiele dafür sind die Länge einer Schranktüre oder die Kantenlänge eines runden Tischblattes. Unter dem Begriff Fläche versteht man einen in zwei Richtungen ausgedehnten Bereich, der eben oder gekrümmt sein kann. Eine Fläche ist zweidimensional. Beispiele dafür sind die ebene Deck- oder die runde Frontfläche eines Empfangskorpusses. Die Planimetrie ist die Geometrie in der Ebene. Sie behandelt unter anderem die Berechnung von Längen und Flächen ebener Figuren. 041_Längen&Flächen_de.indd 1 Kreis, Ellipse Vielecke 4.1 Geometrie Längen und Flächen Planimetrie gemischte Aufgabenstellungen «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt Schreiner Fachrechnen Einleitung Grundlagen 4 Längen und Flächen 16.04.12 10:37 Einleitung Grundlagen 2 K A P I T E L 4 .1 4 Längen und Flächen Schreiner Fachrechnen 4.1.3 Winkelfunktionen Dreiecke Pythagoras 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 gemischte Aufgabenstellungen Kreis, Ellipse Vielecke 4.1.8 3 3 5 5 6 6 8 10 10 11 12 13 15 16 17 17 18 21 22 23 23 29 33 33 35 36 37 37 42 43 43 43 44 44 45 45 46 47 48 Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Parallelogramm Raute, Trapez 4.1.2 Einleitung und Grundlagen Einleitung Masseinheiten – Längeneinheiten Masseinheiten – Flächeneinheiten Formelzeichen Massstäbe Winkel – Winkelgrösse – Winkelart Rechteck und Quadrat Geradlinig begrenzte Flächen Problemlösung in 4 Schritten Aufgabenstellungen Parallelogramm, Raute und Trapez Problemlösung in 4 Schritten Aufgabenstellungen Dreiecke und Satz des Pythagoras Dreieck Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck Problemlösung in 4 Schritten Aufgabenstellungen Winkelfunktionen (Trigonometrie) Grundlagen - rechtwinkliges Dreieck Aufgabenstellungen Regelmässige und unregelmässige Vielecke Regelmässige Vielecke Thema Vieleck – Problemlösung in 4 Schritten Aufgabenstellungen Kreis, Ellipse und zusammengesetzte Flächen Bogenförmig begrenzte Flächen Aufgabenstellungen Gemischte Aufgabenstellungen Vierecke: Übungsaufgaben ohne Text 66 bis 71 Problemstellungen aus der Praxis 72 bis 73 Dreiecke: Übungsaufgaben ohne Text 74 bis 82 Problemstellungen aus der Praxis 83 bis 90 Kreise: Übungsaufgaben ohne Text 91 bis 103 Problemstellungen aus der Praxis 104 bis 106 Problemstellungen aus der Praxis 107 bis 114 Problemstellungen aus der Praxis 115 bis 120 Problemstellungen aus der Praxis 121 bis 122 «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Rechteck Quadrat 4.1.1 Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt Inhaltsverzeichnis 041_Längen&Flächen_de.indd 2 16.04.12 10:37 K A P I T E L 4 .1 3 Schreiner Fachrechnen Einleitung Grundlagen 4 Längen und Flächen 4.1.1 Einleitung und Grundlagen Rechteck Quadrat Parallelogramm Raute, Trapez Dreiecke Pythagoras Winkelfunktionen Vielecke Schlussfolgerung Alle Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter einer Schreinerei haben an ihrem Arbeitsplatz mit Längen und Flächen zu tun. Bei der Massaufnahme, bei der Planerstellung, beim Schreiben der Werkstofflisten, beim Zuschneiden der Materialien, beim Einstellen der Maschinen, beim ­Zusammenbau an der Hobelbank und bei der Montage. Deshalb ist das Metermass unser ständiger Begleiter. gemischte Aufgabenstellungen Kreis, Ellipse Warum braucht der Schreiner Kenntnisse über diese Grössen? Ohne Längen- und Flächenbrechnungen können keine Schreinerarbeiten entstehen. Dies würde bedeuten, dass wir Schreiner ohne Metermass arbeiten müssten. Diese Situation ist unvorstellbar. Bevor eine Haustüre in der Werkstatt hergestellt werden kann, muss der Verkaufspreis der Türe berechnet werden. Dann erhält der Kunde eine Offerte. Wenn der Kunde den Auftrag erteilt, sind die Werkpläne und Werkstofflisten zu erstellen. Alle diese Arbeiten werden auf dem Papier oder am Computer abgewickelt mit Hilfe der Längen- und Flächenmasse. Der Herstellungsprozess in der Werkstatt basiert dann ausschliesslich auf diesen gegebenen Längen- und Flächenmassen. «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt Einleitung 041_Längen&Flächen_de.indd 3 16.04.12 10:37 K A P I T E L 4 .1 4 Längen und Flächen Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt Schreiner Fachrechnen gemischte Aufgabenstellungen 041_Längen&Flächen_de.indd 4 Bibliographie und Quellenverzeichnis –Marxer/Nutsch/Schulz/Spellenberg: Holztechnik – Mathematik Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten, 2001 –Bruder/Schondelmeier: Technische Mathematik – Holz Verlag Gehlen, Bad Homburg vor der Höhe, 1996 –Josef Felder: Rechnen für Schreiner Verband Schweizerischer Schreinermeister und Möbelfabrikanten, Zürich, 1979/1999 –Alfred Böge: Arbeitshilfen und Formeln für das technische ­Studium Verlag Viehweg, Braunschweig, 1990 –Grosses Handbuch der Mathematik Buch und Zeit Verlags-GmbH, Köln, 1969 «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Kreis, Ellipse Vielecke Winkelfunktionen Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Dreiecke Pythagoras Parallelogramm Raute, Trapez Rechteck Quadrat Einleitung Grundlagen 4 16.04.12 10:37 K A P I T E L 4 .1 5 Schreiner Fachrechnen Einleitung Grundlagen 4 Längen und Flächen Rechteck Quadrat Längenmessergebnisse werden in der Basiseinheit Meter (m) angegeben. Weitere Einheiten der Länge sind Kilometer (km), ­ ­Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm) und Mikrometer (μm). Dreiecke Pythagoras Parallelogramm Raute, Trapez Man spricht auch vom metrischen System, im Gegensatz zum heute noch verwendeten englischen System, welches als Längenmasseinheit den Zoll verwendet (1 Zoll 2.54 cm). Auf Werkzeichnungen dürfen Masseinheiten weggelassen werden, sofern festgelegt ist, um welche Einheiten es sich handelt. Beispiel sind unsere VSSM-Werkzeichnungen, bei welchen die Masseinheit in der Regel mm ist. Masseinheiten – Flächeneinheiten Winkelfunktionen Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt Masseinheiten – Längeneinheiten Vielecke Kreis, Ellipse gemischte Aufgabenstellungen «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Flächeninhalte werden in der Basiseinheit Quadratmeter (m2) angegeben. Weitere Einheiten der Fläche sind Quadratkilometer (km2), Quadratzentimeter (cm2) und Quadratmillimeter (mm2). 041_Längen&Flächen_de.indd 5 16.04.12 10:37 Einleitung Grundlagen 6 K A P I T E L 4 .1 4 Längen und Flächen Schreiner Fachrechnen Massstab 1:10 bedeutet beispielsweise, dass die auf der Zeichnung dargestellte Länge 10-mal kleiner ist als die wirkliche Länge, also 1/10 davon. Der abgebildete Vertikalschnitt eines Schubladenmöbels ist also in Wirklichkeit 10-mal so gross wie seine Darstellung auf der Zeichnung. Die Zahl 10 wird in diesem Zusammenhang Verhältniszahl genannt. Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Dreiecke Pythagoras Unter einem Massstab versteht man das Verhältnis zwischen der dargestellten und der wirklichen Länge. Um Längen auf Zeichnungen und Plänen geeignet darstellen zu können, wird ein günstiger Massstab gewählt. Man unterscheidet zwischen Verkleinerungs- und Vergrösserungsmassstäben. gemischte Aufgabenstellungen Kreis, Ellipse Vielecke Winkelfunktionen Massstäbe «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Formelzeichen ersetzen Grössen und dienen zum Rechnen mit Formeln. Sie stehen stellvertretend für das Produkt aus Masszahl und Masseinheit (z.B. h = 1m). Im Zusammenhang mit Längen und Flächen sind folgende Formelzeichen relevant: Parallelogramm Raute, Trapez Rechteck Quadrat Formelzeichen 041_Längen&Flächen_de.indd 6 16.04.12 10:37 gemischte Aufgabenstellungen 041_Längen&Flächen_de.indd 7 Vielecke Winkelfunktionen Dreiecke Pythagoras Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Parallelogramm Raute, Trapez Rechteck Quadrat Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt K A P I T E L 4 .1 Kreis, Ellipse «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule 4 Längen und Flächen Schreiner Fachrechnen Einleitung Grundlagen 7 16.04.12 10:37 Einleitung Grundlagen 8 K A P I T E L 4 .1 4 Längen und Flächen Schreiner Fachrechnen Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt a) 52°45´ = 52 45´ = 52.75° 60 b) 27.35° = 27° und 0.35 · 60´ = 27°21´ (27 Grad und 21 Minuten) gemischte Aufgabenstellungen Kreis, Ellipse Vielecke Winkelfunktionen Dreiecke Pythagoras Parallelogramm Raute, Trapez Beispiele für Winkelgrössen Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Dreht man einen Strahl um einen Ausgangspunkt, so entsteht ein ­Winkel. Als Drehrichtung wurde die Linksdrehung festgelegt. Eine ­ganze Umdrehung ist in 360 Teile = 360° (Grad) unterteilt. 1° = 60‘ (Winkelminuten). Im Gegensatz zu den Längenmassen sind Winkel nicht ­dezimal unterteilt. Man kann sie aber auch durch Dezimalzahlen ­angeben. «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Rechteck Quadrat Winkel – Winkelgrösse – Winkelart 041_Längen&Flächen_de.indd 8 16.04.12 10:37 gemischte Aufgabenstellungen 041_Längen&Flächen_de.indd 9 Vielecke Winkelfunktionen Dreiecke Pythagoras Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Parallelogramm Raute, Trapez Rechteck Quadrat Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt K A P I T E L 4 .1 Kreis, Ellipse «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule 4 Längen und Flächen Schreiner Fachrechnen Einleitung Grundlagen 9 16.04.12 10:37 Einleitung Grundlagen 10 K A P I T E L 4 .1 4 Längen und Flächen Schreiner Fachrechnen 4.1.2 Rechteck und Quadrat Wichtige Eigenschaften – alle vier Seiten sind gleich lang –die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander – die vier Winkel betragen je 90° –die Summer der Winkel beträgt 360° – beide Diagonalen sind gleich lang Architektur FensterTüren Möbel Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. gemischte Aufgabenstellungen Kreis, Ellipse Vielecke Winkelfunktionen Das Quadrat «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule Wichtige Eigenschaften – je zwei Seiten sind gleich lang –die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander –die vier Winkel betragen je 90° –die Summe der Winkel beträgt 360° –beide Diagonalen sind gleich lang Dreiecke Pythagoras Parallelogramm Raute, Trapez Rechteck Quadrat Das Rechteck Die Rechtecksform wird bei vielen Möbelstücken und Gebrauchsgegenständen (Tischplatten, Türen, Schreibpapier, Briefmarken, Bildschirme etc.) verwendet, da sie oft zweckmässiger ist als andere Formen. Auch Grundrisse von Räumen sind in der Regel rechteckig oder zumindest aus mehreren Rechtecken zusammengesetzt. Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt Geradlinig begrenzte Flächen 041_Längen&Flächen_de.indd 10 16.04.12 10:37 gemischte Aufgabenstellungen 041_Längen&Flächen_de.indd 11 Vielecke Winkelfunktionen Dreiecke Pythagoras Alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung, Aufnahme, Speicherung und Wiedergabe durch irgendwelche Datenträger (EDV, Mikrofilm usw.), auch einzelner Teile, Texte oder Bilder, ist untersagt. Parallelogramm Raute, Trapez Rechteck Quadrat Copyright © 2012 by Genossenschaft Eigenverlag: Bildungsnetz Schweizer Schreiner Keine Haftung für eventuelle Fehler im Inhalt K A P I T E L 4 .1 Kreis, Ellipse «Schreiner Fachrechnen» Lehrmittel für die Grundausbildung an der Berufsfachschule 4 Längen und Flächen Schreiner Fachrechnen Einleitung Grundlagen 11 Problemlösung in 4 Schritten 16.04.12 10:37
