Skript zum Thema mechanische Energieformen
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Mechanische Energieformen (Kurzüberblick) Energieformeln Energie Für die wichtigsten mechanischen Energieformen haben wir durch Experimente im Unterricht bzw. im Praktikum Berechnungsformeln entwickelt: Es ist ausgesprochen schwierig, den Begriff Energie in allgemeiner Form zu erklären. Tatsächlich ist es ein Kunstbegriff, den sich die Physiker ausgedacht haben, um ein System in die unüberschaubare Fülle von Alltagsbeobachtungen zu bringen. Man könnte Energie vielleicht als Fähigkeit, etwas zu bewirken, bezeichnen. Wir nähern uns dem Begriff zunächst dadurch, dass wir verschiedene Formen, in denen uns Energie begegnet, auflisten. Höhenenergie: wobei: bzw.: Energieformen (auch nicht-mechanische) kinetische Energie: in einer gespannten Feder steckt Spannenergie in einem fahrenden Auto steckt Bewegungsenergie (kinetische Energie) in einem hochgehobenen Ball steckt Höhenenergie in Erdöl steckt chemische Energie in einer Batterie steckt elektrische Energie wobei: Spannenergie: wobei: Energieumwandlung Wir wissen aus der täglichen Erfahrung, dass sich diese Energien ineinander umwandeln lassen. So kann eine gespannte Feder zum Beispiel ein Spielzeugauto beschleunigen oder einen Pfeil abschießen. Die Höhenenergie, die wir am oberen Ende des Skiliftes besitzen, kann in kinetische Energie (Geschwindigkeit) umgewandelt werden. Eine Taschenlampe kann aus der elektrischen Energie in einer Batterie Strahlungsenergie machen. Die Leistung der Physik liegt nun darin, dass es gelang, diese Energie sinnvoll zu quantifizieren. Durch ein gut aufeinander abgestimmtes System von Regeln (Formeln) können wir nicht nur sagen „in dem geworfenen Ball steckt kinetische Energie“, sondern wir können auch angeben, wie viel Energie genau darin steckt. Dies erlaubt wiederum genau Vorhersagen, wie weit und wie hoch der Ball fliegt. Diese quantitative Beherrschung von Energieumwandlungen ist heute eines der zentralen Werkzeuge bei der Planung und Konstruktion von Verkehrsmitteln, Geräten und Maschinen. Mechanische Energieformen (Skript) Eh m g h G h m: Masse des Körpers in kg, g: Erdbeschleunigung (9,81m/s²), h: Höhe in m G: Gewichtskraft des Körpers in N E kin 12 m v 2 m: Masse des Körpers in kg v: Geschwindigkeit des Körpers in m/s E Sp 12 D s 2 D: Federhärte in N/m (gibt an, wie hart die Feder ist) s: Dehnung in m (Strecke, um die die Feder gedehnt wird) Setzt man die entsprechenden Werte in die passende Formel ein, so erhält man den Wert der Energie in der Einheit Joule (J). Das ist die Einheit, in der wir die Energiemenge angeben. Der Witz im ganzen System ist eben, dass 1 J Höhenenergie genauso viel wert ist, wie 1 J kinetische Energie. Bei einer Umwandlung von einer bestimmten Menge Höhenenergie erhalten wir zum Beispiel die gleiche Menge an kinetischer Energie, sofern dabei nichts „verloren“ geht (Prinzip der Energieerhaltung). In vielen Fällen kommt es auch vor, dass eine Energie umgewandelt wird in einen Mix von mehreren Energien. Ein schräg abgeschossener Pfeil erhält ja kinetische Energie und Höhenenergie. In diesem Fall kann man beide Energien einfach zusammenzählen, die Summe der gleichzeitig vorhandenen Energien ist genauso groß wie die Spannenergie, mit der der Pfeil am Anfang abgeschossen wurde (das ist so, als wenn Du einen größeren Geldschein in mehrere kleinere wechselst). Man spricht hier von einer Energiebilanz. 1 Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 Goldene Regel der Mechanik Arbeit Bereits im Mittelalter erkannte man, dass man durch damals übliche Hilfsmittel wie Flaschenzüge oder Rampen zwar die benötigte Kraft reduzieren konnte, dadurch ergaben sich aber auch längere Wegstrecken. Unsere experimentellen Untersuchungen ergeben, dass sich diese beiden Effekte genau aufheben: Wenn wir zum Beispiel bei einer flachen Rampe nur halb so viel Kraft benötigen, um einen Wagen hochzuschieben als an einer steilen Rampe, so ist der Weg an der flachen Rampe dafür auch doppelt so lang. Das Produkt aus Kraft und Weg ist damit für beide Fälle gleich: Wenn wir eine Energie in eine andere überführen, so sprechen wir von Arbeit. Auch dies ist eine quantifizierbare Größe. Der Einfachheit halber geben wir dieser Arbeit W denselben Wert, um den sich die Energie geändert hat. Bsp.: Wenn wir einen Stein so weit hochheben, dass er die Höhenenergie 5 J erhält (diese Energie haben wir ihm quasi per Muskelarbeit aus der Energie in unserem Körper zugeführt), dann haben wir die Arbeit 5 J verrichtet. F s const . wobei: In den meisten Fällen können wir aus der zugeführten oder abgeführten Energie die Arbeit bestimmen. Sollte das nicht gelingen, so hilft meist die Grundformel für mechanische Arbeit: F: benötigte Kraft s: zurückgelegter Weg W Fs Diese Erkenntnis animierte uns übrigens auch zur Formel für mechanische Arbeit im nächsten Kapitel, auf der letztendlich auch die Formel für die Höhenenergie beruht. Aus dieser wiederum haben wir die Formel für die kinetische Energie abgeleitet. Diese altmodische Goldene Regel ist also eine ganz wesentliche Schnittstelle in der Entwicklung unseres Energiekonzeptes. wobei: F: die konstante Kraft, die wir aufwenden s: der Weg in Kraftrichtung, der dabei zurückgelegt wird Leistung Wenn wir die Leistungsfähigkeit eines Sportlers beurteilen, spielt meist nicht nur die verrichtete Arbeit, sondern auch die dafür benötigte Zeit eine Rolle (je kürzer, desto besser). Genauso machen wir das in der Physik. Wir betrachten, wie viel Arbeit pro Zeiteinheit (z. B. pro Sekunde) verrichtet wird. Diesen Wert bezeichnen wir als Leistung: F P wobei: bzw.: s W E t t W: verrichtete Arbeit in J t: dafür benötigte Zeit in s E: umgeformte Energie in J Da verrichtete Arbeit und umgeformte Energie denselben Wert haben, ist es egal, ob man mit der Arbeit oder der Energie rechnet. Die Leistung hat die Einheit W = J/s (Watt) Die ist nicht zu verwechseln mit dem Buchstaben W für die Arbeit (work). Mechanische Energieformen (Skript) 2 Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 Wirkungsgrad Einheitenumrechnung Nicht immer klappt es bei Energieumwandlungen so reibungslos, dass die gesamte Energie, die am Anfang vorhanden war, auch am Ende noch zur Verfügung steht. Wenn wir auf dem Fahrrad fahren und nicht mehr treten, so werden wir über kurz oder lang stehen bleiben, unsere Energie scheint verschwunden. Tatsächlich ist sie nicht weg, sondern wurde aufgrund von Reibung und Luftwiderstand in Wärmeenergie umgebaut, die fein verteilt in der Umgebung für uns nicht mehr wahrnehmbar ist. Wenn wir einen Berg hinunterrollen, wird auch nicht die gesamte Höhenenergie in kinetische Energie umgewandelt, ein Teil ist vielmehr an die Umgebung „verloren gegangen“. Die Tatsache, dass praktisch bei allen Energieumwandlungen in der Praxis am Ende weniger Energie übrig bleibt, als am Anfang vorhanden war, beschreiben wir quantitativ mit dem Begriff Wirkungsgrad. Er gibt an, wie viel Prozent der anfangs vorhandenen (zugeführten) Energie am Schluss noch zur Verfügung steht (genutzt werden kann). Sobald wir mit physikalischen Größen rechnen, können wir auf die Verwendung von Einheiten nicht verzichten. Es spielt eine große Rolle, ob ein Pkw mit 10 m/s oder mit 10 km/h mit einem Hindernis kollidiert. Ebenso macht es einen Unterschied, ob Dir ein Stein von 5 g Masse oder von 5 kg Masse auf den Fuß fällt. Die Verwendung von Einheiten und die Umrechnung derselben macht am Anfang naturgemäß große Schwierigkeiten, deshalb haben wir hier die wichtigsten Umrechnungen an Hand von Beispielen zusammengestellt: E nutz E auf wobei: Geschwindigkeit: Kraft: 5 N 5 kg Energie: 23 J 23 Nm 23 kg m2 23Ws Leistung: 40W 40 Js m s2 2 Nachdem die nutzbare Energie immer kleiner (oder bestenfalls genauso groß) wie die aufgewendete Energie ist (es kann nicht mehr herauskommen als wir hineinstecken), ergibt sich als Ergebnis immer ein Dezimalbruch zwischen 0 und 1, den wir üblicherweise in Prozentschreibweise (zwischen 0 % und 100 %) angeben. Der Wirkungsgrad erhält keine Einheit, er ist ein reiner Zahlenwert. E Pt 10 ms (10 3,6) km 36 km h h (sprich: eta) Enutz: nutzbare Energie am Ende Eauf: aufgewendete Energie am Anfang Wenn man für die Energien jeweils man die gleichwertige Formel: 72 km (72 : 3,6) ms 20 ms h setzt und das t s In den kommentierten Lösungen zu den Beispielaufgaben wird auf die Umrechnung der Einheiten stets sehr ausführlich eingegangen, da diese erfahrungsgemäß die meisten Schwierigkeiten bereitet. kürzt, so erhält Pnutz Pauf Mechanische Energieformen (Skript) 3 Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 200 Nm Vorbemerkung zu den kommentierten Lösungen: 1. 2. 3. 4. 5. 6. N m Nm Nm J 200 J Die linke Spalte enthält den Lösungsweg, wie Du ihn selbst durchführen wirst, die rechte Spalte enthält Hinweise, Hilfestellungen und Erklärungen hierzu, wie sie im Unterricht üblicherweise in mündlicher Form erfolgen. Die Lösungen selber sind sehr ausführlich durchgeführt, natürlich sind auch kürzere Darstellungen erlaubt (durch Zusammenfassung mehrerer Teilschritte). „Viele Wege führen nach Rom.“ Dargestellt ist jeweils nur einer der möglichen Lösungswege. Ein Indiz dafür, dass Dein abweichender Weg auch richtig ist, ist sicherlich eine Übereinstimmung beim Wert des Endergebnisses. Umfangreichere Aufgaben wurden zugunsten der Nachvollziehbarkeit unter Verwendung von Zwischenergebnissen dargestellt, die, wo nötig, auch gerundet wurden. Dies kann zu abweichenden Endergebnissen führen, was nicht weiter schlimm ist, die Abweichungen sind sicherlich nicht groß. Als Wert für die Erdbeschleunigung wurde aus Gründen der Ökonomie durchgängig der gerundete Wert 10 m/s² verwendet. Dann lässt sich häufig im Kopf rechnen, die Abweichung ist tatsächlich gering (kleiner als 2 %). Die Aufgabensammlung kann nur einen kleinen Ausschnitt über alle möglichen Fragestellungen wiedergeben, wir haben uns bemüht, einen repräsentativen Querschnitt über alle Aufgabetypen und Schwierigkeitsgrade zusammenzustellen. Über Hinweise zu sicherlich vorhandenen Druckfehlern sind wir dankbar. b) Eh m g h Gh Standardformel für Höhenenergie 100 N 0,8 m 80 Nm das Produkt aus Masse m und Erdbeschleunigung g ist gleich der Gewichtskraft G der Koffer befindet sich 0,8 m über der Tischplatte (2,0 m – 1,2 m) = 0,8 m, also h = 0,8 m Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren, N m Nm Nm J 80 J 3. Ein Gewichtheber hat ein Gewicht der Masse 130 kg hochgehoben. Die Höhenenergie des Massenstücks beträgt 1,9 kJ. Wie hoch hat der Gewichtheber das Massenstück gehoben? E h m g h : m g Eh h mg 1,9 kJ h 130 kg 10 m2 Höhenenergie 1. Ein Koffer des Gewichts 100 N steht auf einem 2,0 m hohen Schrank. a) Berechne die Höhenenergie, wenn als Bezugsniveau der Zimmerboden angenommen wird. b) Berechne die Höhenenergie, wenn als Bezugsniveau die Platte eines 1,2 m hohen Tischs genommen wird. a) Standardformel für Höhenenergie Eh m g h das Produkt aus Masse m und Erdbeschleunigung g ist Gh gleich der Gewichtskraft G 100 N 2,0 m der Koffer befindet sich 2,0 m über dem Zimmerboden, also h = 2,0 m Mechanische Energieformen (Skript) Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren, s 1900 J 1300 kg m2 s 1900 Nm 1300 N 1,46 m 4 Standardformel für Höhenenergie. Auflösen nach h. bekannte Werte einsetzen gerundeter Wert für g, Masse immer in kg einsetzen, Vorsicht: Energie ist hier in der Einheit kJ gegeben 1 kJ = 1000 J, die Einheiten müssen noch weiter bearbeitet werden, um sie miteinander zu verrechnen, dargestellt wird nur ein möglicher Weg hierbei J Nm , kg m2 N s N wird gekürzt Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 2 30720 kg m2 kinetische Energie s 1. a) Ein Leichtathlet macht einen 100-Meter-Lauf. Er hat eine Masse von 70 kg und rennt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s. Berechne die kinetische Energie. b) Der Gepard ist ein ausgesprochener Sprinter. Man hat bei einem Gepard (m = 60 kg) für 640 m eine Zeit von 20 s gestoppt. Berechne die kinetische Energie. Standardformel für kinetische Energie E kin 12 m v 2 die halbe Masse ist 35 kg, Geschwindigkeit muss in 35 kg (10 ms ) 2 m eingesetzt werden, s 2 Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit 35 kg 100 m2 m 2 m2 s werden quadriert): s s2 Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren, m2 30720 J 31 kJ s2 3500 J 3,5 kJ 2 E kin 32 ms 1 m v2 2 30 kg ( 32 ms ) 2 2 30 kg 1024 m2 s 2 kg m2 kg m2 s s die Einheit für Energie ist Joule (J), 2 die Geschwindigkeit ist nicht gegeben und muss zunächst separat berechnet werden angegebene Werte einsetzen und Geschwindigkeit berechnen 30,720 kJ 31 kJ Standardformel für kinetische Energie 115740 kg die halbe Masse ist 30 kg, Geschwindigkeit muss m in eingesetzt werden, s Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit m 2 m2 werden quadriert): s s2 Mechanische Energieformen (Skript) 2 2. Berechne die kinetische Energie eines Autos (1,2 t) bei den Geschwindigkeiten: a) 50 km/h (Höchstgeschwindigkeit in der Stadt), b) 120 km/h (Geschwindigkeit auf der Autobahn). die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben, zur v 50 km Berechnung der Energie in J muss sie aber in m/s h eingesetzt werden (für 120 km/h ebenso) Umrechnungsformel von km/h in m/s m (50 : 3,6) s Zwischenergebnis geeignet runden (nicht zu 13,89 ms grob) Standardformel für kinetische Energie E kin 12 m v 2 die halbe Masse ist 0,6 t, Geschwindigkeit muss 0,6 t (13,89 ms ) 2 m in eingesetzt werden, s 2 Masse in kg umrechnen (0,6 t = 600 kg), 600 kg 192,9 m2 Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit s m 2 m2 werden quadriert): s s2 Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren, m2 s s t 640 m 20 s 2 s s die Einheit für Energie ist Joule (J), s runden: kg m2 J , 1000 J 1 kJ v 2 kg m2 kg m2 kg m2 J , 1000 J 1 kJ , geeignet 3500 kg Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren, 115740 J 116 kJ ( b) ... 667 kJ ) 5 s2 2 2 kg m2 kg m2 s s die Einheit für Energie ist Joule (J), 2 kg m2 J , 1000 J 1 kJ , geeignet s runden: 115,740 kJ 116 kJ Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 Energieumwandlungen I (Höhenenergie und kinetische Energie) g h 12 v 2 1. Ein Kind wirft einen Ball senkrecht nach oben. a) Beschreibe die Energieumwandlungen des Balls, nachdem er die Hand des Kindes verlassen hat, in Form einer Tabelle. b) Welche Höhe erreicht der Ball, wenn das Kind den Ball mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 12,0 m/s hochwirft? a) kinetische Energie beim Verlassen der Hand bewegt sich der Ball mit einer bestimmten Geschwindigkeit, er hat also kinetische Energie Höhenenergie am höchsten Punkt ist die gesamte kinetische Energie umgesetzt in Höhenenergie (gut zu erkennen an der Höhe, die der Ball erreicht hat) kinetische Energie kurz vor dem Aufprall auf dem Boden ist die Höhenenergie wieder in kinetische Energie verwandelt, der Ball trifft mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf dem Boden und springt mit einer (geringeren) Geschwindigkeit wieder nach oben Höhenenergie der Ball erreicht nun eine geringere Höhe als beim ersten Mal, dies entspricht auch einer geringeren Höhenenergie usw. nach einigen Hüpfern bleibt der Ball schließlich am Boden liegen, die gesamte Energie ist nicht verschwunden, sie hat sich nur in Form von Wärme in der Umgebung fein verteilt (dazu mehr im II. Kapitel Wärmelehre) b) Eh Ekin m g h 12 m v 2 m g h 12 m v 2 :m h h 1 2 v 2 g 0,5 12 ms 2 10 m2 2 h Nachdem wir die Höhe suchen, muss auch der Faktor g auf der linken Seite nach rechts gebracht werden (durch Division). wir verzichten hier auf ein vollständiges Auflösen und setzen gleich die bekannten Zahlenwerte auf der rechten Seite ein s 72 m2 s 10 m2 s für die Erdbeschleunigung (Ortsfaktor) setzen wir hier den gerundeten Wert 10 m2 ein, ebenso s m kann man den exakten Wert 9,81 2 nehmen s Die Einheit des Ergebnisses ergibt sich korrekt als m („mit Kehrbruch multiplizieren“): m2 s2 2 sm m 7,2 m Anmerkungen zu dieser Aufgabe: Offensichtlich spielt die Masse des Balles hier gar keine Rolle, sie ist nicht gegeben und wird in der Rechung auch nicht benötigt. Ein sichtbares Zeichen dafür ist die Tatsache, dass sich m im dritten Schritt „herausdividieren“ lässt. Wenn Du mit dieser Vorgehensweise Probleme hast, dann verwende einfach einen realistischen Wert für die Masse (z.B. 0,5 kg) und berechne damit zunächst die kinetische Energie. Da diese genauso groß ist, wie die Höhenenergie, kannst Du daraus dann die Höhe berechnen, Du wirst denselben Wert erhalten. Die erreichte Höhenenergie am höchsten Punkt ist genauso groß wie die ursprüngliche kinetische Energie, sofern keine Energie (z.B. durch den Luftwiderstand) abhanden kommt (d.h. in nicht berücksichtigte Energieformen umgesetzt wird) Formeln für Höhen- und kinetische Energie einsetzen beide Seiten der Gleichung durch m dividieren (Äquivalenzumformung, die Gleichheit der beiden Seiten bleibt dabei erhalten) Mechanische Energieformen (Skript) :g Natürlich wird das Kind bei einem schweren Ball wesentlich mehr Kraft benötigen, um ihn mit der Geschwindigkeit 12 m/s zu werfen, die erreichte Höhe ist aber bei dieser Abwurfgeschwindigkeit immer gleich. Man könnte hier auch mit der Formel v 2 g h 6 arbeiten und nach h auflösen. Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 4. Ein Kunstspringer (70 kg) springt von einem 5-Meter-Brett. a) Welche Geschwindigkeit hat er nach 2 m Flugstrecke? b) Aus welcher Höhe muss er abspringen, um die Geschwindigkeit v = 20 m/s beim Auftreffen zu haben? c) Auf das wie vielfache müsste er seine Absprunghöhe steigern, um die 4-fache Endgeschwindigkeit zu erreichen? a) Auf 2 m Flugstrecke verliert der Springer die Eh Ekin entsprechende Höhenenergie, diese wird in kinetische Energie umgewandelt. Zunächst berechnen wir die umgesetzte Eh m g h Höhenenergie mit der Standardformel. einsetzen, Erdbeschleunigung gerun 70 kg 10 m2 2 m Zahlenwerte det (dass es sich um ein 5 m – Brett handelt, spielt s hier übrigens keine Rolle) Zahlen und Einheiten werden jeweils multipliziert m2 1400 kg E kin 1400 kg m2 s E kin 12 m v 2 E kin v2 1 m 2 35 kg 2 40 m2 v 2 s 2 v 40 m2 s v 6,3 ms 35 kg 20 ms 2 2 14000 kg m2 s 2 E h 14000 kg m2 s Eh m g h : (m g ) Eh h mg siehe erste Zeile, die Werte für diese beiden Energien sind gleich, die kombinierte Einheit entspricht übrigens genau der Einheit J Wir formen die Formel für kinetische Energie so 2 um, dass wir v erhalten. Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen und setzen in der linken Seite die nun bekannten Werte ein. 2 14000 kg m2 s 70 kg 10 m2 s h h 20 m Die gesamte Höhenenergie wird bis zum Auftreffen in kinetische Energie umgewandelt. Zunächst berechnen wir die erzielte kinetische Energie mit der Standardformel. Zahlenwerte einsetzen, die Geschwindigkeit muss in m/s eingesetzt werden Zahlen und Einheiten werden jeweils multipliziert, bei der Klammer auch die Einheiten quadrieren. siehe erste Zeile, die Werte für diese beiden Energien sind gleich, die kombinierte Einheit entspricht übrigens genau der Einheit J Wir formen die Formel für Höhenenergie so um, dass wir h erhalten. bekannte Werte einsetzen Die Masse des Springers beträgt 70 kg, gerundeter Wert für die Erdbeschleunigung. Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten lässt m sich kg 2 kürzen. s Die halbe Masse des Springers beträgt 35 kg. 2 s : 12 m Eh Ekin E kin 12 m v 2 s2 2 1400 kg m2 b) c) v2 Vierfache Geschwindigkeit führt zu einer sechzehnfachen kinetischen Energie, da die Geschwindigkeit hier 2 quadratisch eingeht: 4 16 Sechzehnfache kinetische Energie bedeutet auch sechzehnEkin Eh fache Höhenenergie. Sechzehnfache Höhenenergie wird erreicht, wenn die Eh m g h Höhe sechzehnmal so groß ist. Hier sind die Erläuterungen Bestandteil der Lösung. E kin 12 m v 2 Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten lässt sich kg kürzen. Die Geschwindigkeit selbst bekommen wir dadurch, dass wir aus dem obigen Wert „die Wurzel ziehen“ (Taschenrechner) Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten Mechanische Energieformen (Skript) 7 Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 3. Wie weit muss man eine Feder (D = 7,5 N/cm) auseinanderziehen, damit sie eine Spannenergie von 39 J besitzt? Spannenergie 1. Eine Feder der Federhärte 2,70 N/cm wird um 5 cm zusammengedrückt. Berechne die Spannenergie. N N D 2,70 cm 270 m E Sp 12 D s 2 N 750 N D 7,5 cm m Umwandlung der Federhärte auf Basiseinheiten. Wenn man pro cm Dehnung 2,70 N benötigt, dann benötigt man für 1 m Dehnung 270 N (hundertmal so viel, Hookesches Gesetz) Standardformel für Spannenergie E Sp 12 D s 2 : 12 D E Sp 1 2 die halbe Federhärte ist 135 N/m, Dehnung muss in m eingesetzt werden (Basiseinheit) N 0,0025 m 2 Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit 135 m werden quadriert) Zahlenwerte und Einheiten jeweils 0,3375 Nm 2 multiplizieren, N m Nm m N (0,05 m ) 2 135 m 0,3375 J 0,34 J die Einheit für Energie ist Joule (J), geeignet runden Nm J , 2. a) Wie ändert sich die Spannenergie, wenn die Federhärte D einer Feder verdreifacht wird? b) Wie ändert sich die Spannenergie, wenn die Auslenkung s einer Feder verdreifacht wird? Dreifache Federhärte führt zur dreifachen Spannenergie, da die Federhärte D hier linear eingeht. Dreifache Auslenkung führt zur neunfache Spannenergie, E Sp 12 D s 2 2 da die Auslenkung s hier quadratisch eingeht: 3 9 Hier sind die Erläuterungen Bestandteil der Lösung. Die halbe Federhärte beträgt 375 N/m. Beachte die Einheiten. Um hier kürzen zu können, muss man J in Nm umwandeln. 39 Nm s2 N 375 m Jetzt lassen sich die N kürzen. Erinnerung: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. 0,104 m 2 s 2 Zahlenwerte und Einheiten jeweils dividieren. s 0,32 m 32 cm 8 2 dass wir s erhalten. Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen und setzen in der linken Seite die nun bekannten Werte ein. 39 J s2 N 375 m s 0,104m 2 E Sp 12 D s 2 Mechanische Energieformen (Skript) D s2 Umwandlung der Federhärte auf Basiseinheiten. Wenn man pro cm Dehnung 7,5 N benötigt, dann benötigt man für 1 m Dehnung 750 N (hundertmal so viel, Hookesches Gesetz) Wir formen die Formel für Spannenergie so um, Nm Nm m m2 N N m Die Dehnung selbst bekommen wir dadurch, dass wir aus dem obigen Wert „die Wurzel ziehen“ (Taschenrechner) Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten. Sinnvoll runden. Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 Energieumwandlungen II (Spann- , Höhen-, kinetische Energie) 2 18 kg m2 18 J s 4. Mit Hilfe eines Bogens wird ein Pfeil (120 g) aus 1,3 m Höhe senkrecht nach oben geschossen. Er steigt dann 15 m nach oben und fällt anschließend auf den Boden. a) Beschreibe die Energieumwandlungen in Form einer Tabelle. b) Berechne die Spannenergie. c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Pfeils, nachdem er 5,4m nach oben geflogen ist? d) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Pfeils beim Berühren des Bodens? a) Spannenergie im gespannten Bogen steckt die Energie für den ganzen Vorgang kinetische Energie beim Verlassen des Bogens bewegt sich der Pfeil mit einer bestimmten Geschwindigkeit, er hat also kinetische Energie Höhenenergie am höchsten Punkt ist die gesamte kinetische Energie umgesetzt in Höhenenergie (gut zu erkennen an der Höhe, die der Pfeil erreicht hat) kinetische Energie kurz vor dem Aufprall auf dem Boden ist die Höhenenergie wieder in kinetische Energie verwandelt, der Pfeil trifft mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf dem Boden auf der Pfeil bleibt am Boden liegen, die gesamte Energie ist nicht verschwunden, sie hat sich nur in Form von Wärme in der Umgebung fein verteilt (dazu mehr im II. Kapitel Wärmelehre) b) Die Spannenergie am Anfang ist genauso groß E Sp Ekin Eh wie die kinetische Energie direkt nach dem Abschuss und die ist wieder genauso groß wie die erreichte Höhenenergie am höchsten Punkt (wenn man von Verlusten durch Luftwiderstand einmal absieht), das bezeichnen wir als Energieerhaltung. Zunächst berechnen wir die erreichte HöhenEh m g h energie mit der Standardformel. einsetzen, Erdbeschleunigung g m 120 g 10 2 15 m Zahlenwerte gerundet s von g auf Basiseinheit kg umwandeln 0,12 kg 10 m2 15 m Masse (für spätere Umwandlung in J). s Mechanische Energieformen (Skript) Zahlen und Einheiten werden jeweils 2 multipliziert: kg m2 J s siehe erste Zeile, die Werte für diese beiden Energien sind gleich E Sp 18 J c) Ekin Eh 18 J Eh m g h 0,12 kg 10 m2 5,4 m s 2 6,48 kg m2 6,48 J s Ekin 18 J Eh 18 J 6,48 J 11,52 J E kin 12 m v 2 E kin v2 1 m 2 11,52 J v2 60 g 9 : 12 m Hier ist die Situation komplizierter. In einer Höhe von 5,4 m hat der Pfeil noch Geschwindigkeit (also kinetische Energie) aber auch schon Höhe (also Höhenenergie). Beide Energien zusammengezählt ergeben die gesamte Energie, die wiederum der Spannenergie vom Anfang entspricht. Das nennt man eine Energiebilanz. Zunächst berechnen wir die Höhenenergie an dieser Position mit der Standardformel. Zahlenwerte einsetzen, Erdbeschleunigung gerundet, Masse in kg Zahlen und Einheiten werden jeweils multipliziert. Die gemischte Einheit ergibt J. aus Energiebilanz in der ersten Zeile Mit dem Wert aus der vorletzten Zeile für Eh. Das ist nun die Energiemenge, die an dieser Position für die kinetische Energie verbleibt. Wir formen die Formel für kinetische Energie 2 so um, dass wir v erhalten. Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen und setzen in der linken Seite die nun bekannten Werte ein. Die halbe Masse des Pfeils beträgt 60 g. Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 Um die Einheiten miteinander verrechnen zu können, muss man die J umwandeln und die Masse in der Basiseinheit kg angeben. 19,56 kg m2 192 m2 v 2 Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten lässt sich kg kürzen. 326 m2 v 2 v 192 m2 Die Geschwindigkeit selbst bekommen wir dadurch, dass wir aus dem obigen Wert „die Wurzel ziehen“ (Taschenrechner) Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten. Ergebnis passend runden. v 326 m2 2 11,52 kg m2 v s 0,060 kg 2 2 s 2 s v 14 ms 2 v s 0,060 kg 2 s 2 s v 18 ms 2 Um die Einheiten miteinander verrechnen zu können, beläst man die Einheit für Energie, wie zuvor erhalten und gibt die Masse in der Basiseinheit kg an. Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten lässt sich kg kürzen. Die Geschwindigkeit selbst bekommen wir dadurch, dass wir aus dem obigen Wert „die Wurzel ziehen“ (Taschenrechner) Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten. Ergebnis passend runden. d) Ekin Eh h 15 m 1,3 m 16,3 m Eh m g h 0,12 kg 10 m2 16,3 m s 2 19,56 kg m2 s E kin 12 m v E kin v2 1 m 2 2 : 12 m Anmerkung zu dieser Aufgabe: Hier handelt es sich bereits um eine anspruchsvolle Aufgabe, was auch am Umfang ersichtlich ist. Bei genauerem Hinsehen erkennt man, dass die Lösung aus Standardmodulen, wie zum Beispiel dem Berechnen einer Energie aus gegebenen Größen oder der Berechung der Geschwindigkeit aus der kinetischen Energie, zusammengesetzt ist. Wichtig ist hier auch das Bilanzkonzept (siehe b)): Die gesamte Energie, die ein Körper besitzt, kann sich auch auf verschiedene Energiearten verteilen. Eine große Stärke des gesamten Energiekonzeptes liegt darin, dass man die Werte aller beteiligten Energiearten problemlos zu einer Gesamtenergie zusammenzählen kann. In bestimmten Positionen (z.B. Abschuss oder höchster Punkt) besteht dann die Gesamtenergie nur aus einer einzigen Energieart (vor dem Abschuss – Spannenergie, direkt nach dem Abschuss – kinetische Energie, höchster Punkt – Höhenenergie), siehe Aufgabe a). Die kinetische Energie beim Auftreffen ist genauso groß wie die Höhenenergie im höchsten Punkt bezogen auf den Boden. Da der Pfeil aber aus 1,3 m Höhe abgeschossen wurde, ist die gesamte Höhenenergie größer als die in a) berechnete (hier hatten wir uns auf den Abschusspunkt bezogen). Der höchste Punkt in der Bewegung des Pfeils liegt damit 16,3 m über dem Boden. Zunächst berechnen wir die gesamte Höhenenergie an dieser Position mit der Standardformel. Zahlenwerte einsetzen, Erdbeschleunigung gerundet, Masse in kg Zahlen und Einheiten werden jeweils multipliziert. Die gemischte Einheit entspricht J. Wir formen die Formel für kinetische 2 Energie so um, dass wir v erhalten. Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen und setzen in der linken Seite die nun bekannten Werte ein. Mechanische Energieformen (Skript) 10 Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 Arbeit W Brems F s 2 385865 kg m2 6. Ein Auto (m = 1,0 t) der Geschwindigkeit 100 km/h wird auf einem Bremsweg von 90 m bis zum Stillstand heruntergebremst. a) Berechne die mittlere Bremskraft. b) Wie lange wäre der Bremsweg gewesen, wenn das Auto bei gleicher Bremskraft halb so schnell gewesen wäre (keine Rechnung)? a) die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben, zur v 100 km h Berechnung der Energie in J muss sie aber in m/s eingesetzt werden Umrechnungsformel von km/h in m/s (100 : 3,6) ms Zwischenergebnis geeignet runden (nicht zu 27,78 ms grob) Wir berechnen zunächst die kinetische Energie, E kin 12 m v 2 die das Auto vor dem Abbremsen hat. die halbe Masse ist 0,5 t, Geschwindigkeit muss 0,5 t (27,78 ms ) 2 m in eingesetzt werden, s 2 Masse in kg umrechnen (0,5 t = 500 kg), 500 kg 771,73 m2 Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit s m 2 m2 werden quadriert): , s s2 Zwischenergebnis geeignet runden 2 Zahlenwerte und Einheiten jeweils m 385865 kg 2 multiplizieren, s F 90 m F 4287 kg m2 s s 4287 N 4,3 kN WBrems F s :s E kin 12 m v 2 E kin,neu 14 E kin,alt W Brems E kin Bei der halben Geschwindigkeit beträgt die kinetische Energie nur noch ein Viertel des ursprünglichen Werts (v geht quadratisch in die 1 2 14 ). Berechnung ein 2 Damit beträgt auch die Bremsarbeit nur noch ein Viertel des ursprünglichen Werts. W Brems , neu 14 W Brems , alt W Brems F s s Brems ,neu 14 s Brems ,alt Wenn die Kraft konstant bleibt, dann reduziert sich der Weg s auf ein Viertel des ursprünglichen Werts. Anmerkung zu Aufgabe b) Da das Auto bis zum Stillstand abgebremst wird, wird die gesamte kinetische Energie umgesetzt (letztendlich in Wärme der Bremsen). Die Bremsarbeit ist damit genauso groß wie die ursprüngliche kinetische Energie. Standardformel für Arbeit. Wir formen um nach der gesuchten Kraft. Mechanische Energieformen (Skript) Die Einheit m lässt sich einmal kürzen. Die verbleibende gemischte Einheit entspricht N. sinnvoll runden, der Wert entspricht übrigens einer Vollbremsung auf trockener Straße b) WBrems Ekin Jetzt kann man die Zahlenwerte einsetzen. Der Wert für die Bremsarbeit ist identisch mit dem Wert für die kinetische Energie. Man hätte den Wert für die Energie auch bereits vorher runden können. Die Argumentationskette beruht stets auf dem mathematischen Prinzip, dass sich der Wert eines Produkt verdoppelt, verdreifacht, ... , wenn man einen Faktor verdoppelt, verdreifacht, ... und die anderen Faktoren beibehält. Ein Quadrat im Term bedeutet ja, dass dieser Faktor zweifach vorkommt. Wird er z.B. verdoppelt, so vervierfacht sich der Wert des Produkt, für Bruchteile wie im Beispiel gilt das natürlich sinngemäß. 11 Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 7. Ein Bierfass (56 kg) rollt eine 4,5 m lange schiefe Ebene herunter. Die Reibung wird vernachlässigt. Wie groß ist die Hangabtriebskraft, wenn das Bierfass am Schluss eine Geschwindigkeit von 5 m/s hat? 2 28 kg 25 m2 s 2 700 kg m2 700 J s W Beschleunigung E kin W Beschleunigung 700 J WBeschl . F s 2 0,050 kg 100 m2 die halbe Masse ist 28 kg, Geschwindigkeit m muss in eingesetzt werden, s Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit werden quadriert) 28 kg (5 ms ) 2 W Beschl . F s 700 J F 4,5 m 700 Nm F 4,5 m F 156 N 50 g (10 ms ) 2 Wir berechnen zunächst die kinetische Energie, die das Fass beim Hinunterrollen erhält. E kin 12 m v 2 :s s 2 5,0 kg m2 5,0 J s W Sp E Sp E kin Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren, W Sp 5,0 J Da das Bierfass vom Stillstand aus beschleunigt wird, muss die gesamte kinetische Energie durch Beschleunigungsarbeit aufgebracht werden. b) E Sp 12 D s 2 : 12 D Standardformel für Arbeit. Wir formen um nach der gesuchten Kraft. Jetzt kann man die Zahlenwerte einsetzen. Der Wert für die Bremsarbeit ist identisch mit dem Wert für die kinetische Energie. Um die Einheiten zusammenfassen zu können, wandelt man J in Nm um. E Sp 1 2 Jetzt kann man m kürzen. Taschenrechner. Geeignet runden. 8. Eine Kugel mit der Masse 100 g prallt waagrecht mit einer Geschwindigkeit von 10,0 m/s auf eine Feder (D = 250 N/m). a) Berechne die Spannarbeit, die beim Aufprall verrichtet wird. b) Um welche Strecke wurde die Feder zusammengepresst? a) Mechanische Energieformen (Skript) Wir berechnen zunächst die kinetische Energie, mit der die Kugel auf die Feder prallt. E kin 12 m v 2 D s2 Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren, Da die Kugel bis zum Stillstand abgebremst wird, geht die kinetische Energie ganz in Spannenergie über. Die Spannarbeit ist damit genauso groß wie die ursprüngliche kinetische Energie. Wir formen die Formel für kinetische Energie so 2 um, dass wir v erhalten. Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen und setzen in der linken Seite die nun bekannten Werte ein. 5,0 J s2 N 125 m Die halbe Federhärte beträgt 125 N/m. Beachte die Einheiten. Um hier kürzen zu können, muss man J in Nm umwandeln. 5,0 Nm s2 N 125 m Jetzt lassen sich die N kürzen. Erinnerung: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. 0,04 m 2 s 2 Zahlenwerte und Einheiten jeweils dividieren. s 0,04m 2 s 0,2 m 20 cm 12 die halbe Masse ist 50 g, Geschwindigkeit muss m in eingesetzt werden, s Masse in kg umrechnen (50 g = 0,050 kg), Zahl und Einheit werden quadriert Nm Nm m m2 N N m Den Weg selbst bekommen wir durch „Wurzel ziehen“ (Taschenrechner) Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten. Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 G Pers . m Pers . g Leistung und Wirkungsgrad 6 75 kg 10 m2 1. Ein Gewichtheber hebt im Reißen 110 kg in 1,35 s auf eine Höhe von 2,15 m. Wie groß ist die Hubleistung? Zunächst berechnen wir die umgesetzte Eh m g h Höhenenergie mit der Standardformel. einsetzen, Erdbeschleunigung m 110 kg 10 2 2,15 m Zahlenwerte gerundet s 2 Zahlen und Einheiten werden jeweils 2365 kg m2 2365 J multipliziert s Standardformel für Leistung. Die Hubarbeit W E Wh ist identisch mit der erreichten HöhenP h h energie Eh. t t Energie in J, Zeit in s einsetzen. 2365 J s 4500 kg 1,8 kW 20000 N 4500 N 24500 N Eh G h 24500 N 34 m 833000 Nm 833 kJ W E P h h t t 833 kJ 24,5 kW 34 s J W (Watt, nicht zu s verwechseln mit der Bezeichnung für Arbeit) Geeignet runden. Das sind übrigens ungefähr 2,5 PS (alte Einheit). P nutz Pauf Pauf Nach t auflösen. Zahlenwerte einsetzen. s s („Kehrbruch!“) Einheiten: m m Das kann man auch ohne Rechnung angeben. Mechanische Energieformen (Skript) Gesamtgewicht ergibt sich aus Leergewicht des Aufzugs plus Gewicht der Personen. Zahlenwerte einsetzen, Leergewicht gleich in Basiseinheit N umwandeln: 1 kN = 1000 N Nun haben wir die gesamte Gewichtskraft. Nun können wir die Höhenenergie berechnen. Kraft in N, Höhe in m einsetzen. Einheit umrechnen: Nm = J, 1000 J = 1 kJ Standardformel für Leistung. Die Hubarbeit Wh ist identisch mit der erreichten Höhenenergie Eh. Zahlenwerte einsetzen und berechnen. kJ Einheiten: kW (Kilowatt: 1000 W) s Anmerkung: Man kann in dieser Aufgabe schneller direkt mit der Geschwindigkeit W v rechnen: P Ft s F st F v , wobei F hier gleich G ist. t Einheit umrechnen: 3. Eine Aufzugkabine mit Leergewicht von 20 kN befördert 6 Personen mit einer durchschnittlichen Masse von 75 kg pro Person mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1,0 m/s um 34 m nach oben. a) Berechne die Leistung, die der Motor abgibt. b) Der Wirkungsgrad des Motors beträgt 65%. Berechne die Leistung, die der Motor aufnimmt. Die Geschwindigkeit ist bekannt. Wir werden s daraus zunächst die Fahrzeit berechnen. v t t v t s :v s 34 m t v 1,0 ms 34 s 4500 N G Gleer G Pers . 1,35 s 1752 Js 1752W m s2 Wir berechnen zunächst in mehreren Schritten die gesamte Gewichtskraft G. 6 Personen a 75 kg, gerundeter Wert für Erdbeschleunigung g Gemischte Einheit entspricht N. 13 Pnutz Standardformel für Wirkungsgrad. Die Abgabeleistung Pnutz haben wir in Aufgabe a) berechnet. Umformen nach Pauf. 24,5 kW 38 kW 0,65 Wirkungsgrad als Dezimalzahl eingeben: 65 % = 0,65. Der Wirkungsgrad ist eine reine Zahl und besitzt keine Einheit. Gymnasium Marktoberdorf Physik 8 Mechanische Energieformen (Skript) 14 Gymnasium Marktoberdorf Physik 8
