Wechselströme - Physik-Institut

Anleitung zum Physikpraktikum
für Oberstufenlehrpersonen
Wechselströme (WS)
Frühjahrssemester 2017
Physik-Institut der Universität Zürich
Inhaltsverzeichnis
11 Wechselströme (WS)
11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Ziel des Versuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Theoretischer Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Impedanz einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Impedanz eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Kathodenstrahloszilloskop (KO) . . . . . . . . . . . . .
11.3 Experimenteller Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Prinzip der Strom- und Spannungsmessung mit dem KO
11.3.3 Bestimmen der Induktivität (Spule mit Eisenkern) . . .
11.3.4 Bestimmen der Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.5 Frequenzabhängigkeit von ZL und ZC . . . . . . . . . .
11.4 Versuchsbericht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.1
11.1
11.1
11.2
11.2
11.3
11.4
11.5
11.5
11.5
11.6
11.6
11.7
11.7
11
Wechselströme (WS)
4.2
4.2.1
4.2.2
4.4.
4.4.1
4.4.3
11.1
Vorlesungsabschnitt 4, Elektrizität und Magnetismus
Stationäre elektrische Ströme
Bewegte Ladungen - Ströme
Spannungsquellen, Strom - Spannungscharakteristiken, Kirchhoff’sche Gesetze
Zeitabhängige elektrische und magnetische Felder
Die Maxwell’schen Gleichungen
Zeitabhängige Ströme in Stromkreisen
Einleitung
Neben den Ohm’schen Widerständen spielen in Wechselstromkreisen Kondensatoren (Kapazitäten) und Spulen (Induktivitäten) eine wichtige Rolle. Für Ohm’sche Widerstände gilt immer
noch R = konst., mit andern Worten, in Ohm’schen Leitern sind Strom und Spannung in Phase.
In diesem Versuch untersuchen wir die folgenden Fragen:
• Welche Wirkungen haben Induktivitäten und Kapazitäten im Wechselstromkreis?
• Wie sind Strom und Spannung bei diesen Elementen verknüpft?
• Welchen Einfluss hat die Frequenz der Wechselspannung?
Diesen Fragen wollen wir nachgehen, indem wir an einfachen Schaltkreisen mit einem oder
zwei Elementen Spannungs- und Strommessungen durchführen. Wir beschränken uns dabei auf
harmonische Ströme und Spannungen:
V (t) = V0 cos ωt,
Dabei bedeuten:
V0 =
I(t) = I0 cos(ωt − ϕ)
Spannungsamplitude
I0 = Stromamplitude
ω = 2πν = 2π/T = Kreisfrequenz
ϕ = Phasenverschiebung zwischen
Strom und Generatorspannung
11.1.1
Ziel des Versuches
Mit einem Kathodenstrahloszilloskop (KO) lassen sich Spannungen als Funktionen der Zeit
bequem beobachten und bestimmen. Oszilloskope werden deshalb häufig bei der Fehlersuche
und Einstellung von elektrischen Geräten (z.B. Radio, Fernseher, Mikrowellen- und Radargeräte)
eingesetzt. Bei der Überwachung von biologischen Funktionen, die sich in Form von elektrischen
Signalen manifestieren, kann ein KO als Überwachungsgerät dienen (z.B. EEG 1 ,EKG 2 ). Für
komplizierte Anwendungen sind spezielle Geräte entwickelt worden, deren Funktionsweise sich
aber nicht grundsätzlich von der eines einfachen Gerätes unterscheidet.
1
2
EEG = Elektroenzephalographie, Verfahren zur Messung und Aufzeichnung der elektr. Aktivität des Gehirns.
EKG = Elektrokardiographie, Medizinische Methode zur Aufzeichnung der elektr. Vorgänge am Herzen.
11.1
Um die zeitliche Abhängigkeit der Ströme und Spannungen zu beobachten und um uns mit der
Funktionsweise und der Bedienung eines KO vertraut zu machen, werden in diesem Versuch
sämtliche Ströme und Spannungen mit dem KO gemessen. Dabei geht es um:
• Elektrische Stromkreise
• die Regeln von Kirchhoff
• den Wechselstromwiderstand oder die Impedanz
• Messen von Spannung und Strom in Abhängigkeit der Zeit
• Impedanzen vom Ohm’schen Widerstand, einer Spule und eines Kondensators
11.2
11.2.1
Theoretischer Teil
Impedanz einer Spule
Ein Wechselspannungsgenerator mit der
elektromotorischen Kraft V (t) = V0 cos ωt
werde mit einer Spule der Induktivität L in
Serie geschaltet. Wir nehmen an, dass ihr
Ohm’scher Widerstand vernachlässigbar,
also RSpule ≃ 0 sei (ideale Spule).
I
~
Die Induktivität der Spule ist durch ihre
Länge l, die Querschnittsfläche A und die
Windungszahl N bestimmt. Für eine lange
Spule gilt:
V = V0 cos ω t
L
Abbildung 11.1: Stromkreis mit Spule der
Induktivität L.
N2 · A
V ·s
[L] = 1
= 1H (Henry)
(11.1)
l
A
L kann stark vergrössert werden, wenn ein magnetisierbarer Kern in die Spule geschoben wird.
Es gilt dann:
N2 · A
L = µµ0
l
L = µ0
Hier ist µ0 = 4π · 10−7 (Vs/Am) die Induktionskonstante und µ die magnetische Permeabilität
des Eisens (µFe ≫ 1).
Für den obigen Kreis gilt die 2. Kirchhoffsche Regel (Maschenregel). Diese liefert den Zusammenhang zwischen der Spannung V (t) und dem Strom I(t). Sie lautet:
dI
=0
dt
Die Lösung dieser Differentialgleichung erhält man nach einmaliger Integration:
V0 cos ωt − L ·
V0
V0
π
sin ωt =
cos(ωt − ϕ) wobei ϕ = +
(11.2)
ωL
ωL
2
Der Strom ist gegen die Spannung um ϕ = π/2 phasenverschoben (vgl. Abbildung 11.2).
I(t) =
11.2
V
I
V0
V0
ωL
φ
ω
t
t
I = I0 cos (ω t-φ )
V = V0 cos ω t
Abbildung 11.2: Spannung und Strom in Abhängigkeit von der Zeit bei einer Spule.
Vergleicht man die Gleichung (11.2) für sin ωt = 1 mit der Definition des Widerstandes (I =
V /R), so erkennt man, dass die Grösse ωL die Rolle eines Widerstandes spielt. Man nennt ωL
die Impedanz ZL oder den Wechselstromwiderstand einer idealen Spule (RSpule ≃ 0) mit der
Induktivität L:
ZL = ωL
d.h. ZL ∝ ω
(11.3)
Allgemein wird der Wechselstromwiderstand für ein Element i folgendermassen definiert:
Zi =
V0
Spannungsamplitude
=
I0
Stromamplitude
(11.4)
Frage 1: Eine 10 cm lange Spule habe eine Querschnittsfläche A von 4 cm2 und 2000
Windungen. Wie gross ist ihre Induktivität L (Gleichung (11.1))?
11.2.2
Impedanz eines Kondensators
Wie die Selbstinduktion stellt auch der
Kondensator einen Wechselstromwiderstand dar. Die 2. Kirchhoffsche Regel
lautet für den nebenstehenden Stromkreis:
I
~
Q
C
Wir leiten diese Gleichung einmal nach der
Zeit ab:
(
)
I
dQ
−ωV0 sin ωt =
=I
C
dt
C
V = V0 cos ω t
V0 cos ωt = VC =
Abbildung 11.3: Stromkreis mit Kondensator der Kapazität C.
und erhalten:
I = −ωCV0 sin ωt = ωCV0 cos (ωt − ϕ)
11.3
wobei
ϕ=−
π
2
(11.5)
Daraus folgt für die Impedanz ZC eines Kondensators:
1
1
d.h. ZC ∝
(11.6)
ωC
ω
Der Strom ist gegen die Spannung um ϕ = −π/2 phasenverschoben (vgl. Abbildung 11.4).
ZC =
I
V
V0 ω C
V0
φ
ω
t
t
I = I0 cos (ω t-φ )
V = V0 cos ω t
Abbildung 11.4: Spannung und Strom in Abhängigkeit von der Zeit bei einem Kondensator.
11.2.3
Kathodenstrahloszilloskop (KO)
Im Versuch sollen alle Ströme und Spannungen mit dem KO gemessen werden. Wir wollen
deshalb die prinzipielle Arbeitsweise vom Kathodenstrahloszilloskop kurz beschreiben (Abb.
11.5).
y
Plattenpaare
Kathode
Elektronenstrahl
Leuchtschirm
Anode
x
Heizung
Leuchtfleck
_ +
Vy
Vx
Abbildung 11.5: Schematische Darstellung von einem Kathodenstrahloszilloskop.
In einem evakuierten Glaskolben werden die aus der geheizten Kathode (glühender Draht) emittierten Elektronen gegen die mit einem kleinen Loch versehene Anode beschleunigt. So wird
ein feiner Elektronenstrahl erzeugt. Der Strahl durchläuft dann 2 senkrecht zueinanderstehende
Plattenpaare und trifft schliesslich auf den Leuchtschirm, wo er einen Leuchtfleck erzeugt. Wird
an das eine oder andere Plattenpaar eine Spannung angelegt, so stösst die negativ geladene
Platte den Strahl ab, während die positive ihn anzieht. Dadurch wird der Strahl in horizontaler respektive vertikaler Richtung abgelenkt. Die Ablenkung ist proportional zur angelegten
Spannung: Ablenkung x ∝ Vx , Ablenkung y ∝ Vy . Für den normalen Gebrauch des Oszilloskops
wird intern an das x-Plattenpaar eine sogenannte Sägezahnspannung angelegt, welche linear mit
11.4
der Zeit bis zu einem Maximalwert ansteigt und sehr rasch auf den Anfangswert zurückgeht
(Abbildung 11.6).
Vx
t
Abbildung 11.6: Sägezahnspannung für x-Ablenkung.
Der Leuchtfleck bewegt sich deshalb mit konstanter Geschwindigkeit von links nach rechts und
springt rasch wieder nach links zurück. Legt man nun an das y-Plattenpaar eine beliebige Spannung (z.B. eine Sinusspannung) an, so gibt die Kurve auf dem Schirm eine grafische Darstellung
der Spannung Vy (t). Um gleichzeitig zwei Spannungen zu messen, wird im Versuch ein 2-StrahlKO verwendet. So lassen sich z.B. Phasenverschiebungen leicht zeigen (siehe Experimenteller
Teil). Heute werden auch moderne digitale Oszilloskope verwendet. Diese verwandeln die Spannungen in digitale Werte und speichern diese. Daraus werden dann die entsprechenden Kurven
berechnet und auf dem Bildschirm dargestellt.
11.3
Experimenteller Teil
11.3.1
Aufgabenstellung
1. Bestimmen der Kapazität eines Kondensators
2. Bestimmen der Induktivität einer Spule mit Eisenkern
3. Untersuchen der Frequenzabhängigkeit des Wechselstromwiderstandes von Kondensator
und Spule
11.3.2
Prinzip der Strom- und Spannungsmessung mit dem KO
Zuerst wird die Bedienung des KO vom Assistenten erklärt und demonstriert.
Mit dem KO lassen sich nur Spannungen
direkt messen. Ein Strom kann indirekt aus
dem Spannungsabfall an einem Ohm’schen
Widerstand R bestimmt werden:
I
V = V0 cos ω t
Generator
~
Z
KO (VZ )
I=
Kanal 1
VR
,
R
I0 =
VR0
R
(11.7)
R
Abbildung 11.7: Schaltung für die Messung
von Strom und Spannung mit dem KO.
KO (VR)
Kanal 2
11.5
R muss dabei wesentlich kleiner sein als Z, damit die Spannungsmessung an Z nicht verfälscht
wird. Falls R ≪ Z, so ist VZ + VR ≃ VZ und die Spannung an Z kann, wie skizziert, gemessen
werden. Mit dem 2-Strahl-KO können Strom und Spannung gleichzeitig dargestellt werden.
11.3.3
Bestimmen der Induktivität (Spule mit Eisenkern)
Generatoreinstellung:
I
V0 = 5V
V = V0 cos ω t
Generator
~
ν = 1000Hz
L
KO (VL )
R = 22Ω
Kanal 1
R
Abbildung 11.8: Schaltung zur Messung der
Induktivität der Spule.
KO (VR)
Kanal 2
Vorgehen:
1. Man beobachte auf dem KO-Schirm die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, indem man die beiden Kurven übereinander schiebt. Das Resultat ist zu skizzieren.
2. Man misst mit dem KO die Amplituden von VL und VR .
3. Nach Gleichung (11.7) berechnet man die Stromamplitude.
4. Nach Gleichung (11.4) lässt sich dann ZL bestimmen.
5. Berechnen Sie L mit Gleichung (11.3), wobei ω = 2πν ist.
11.3.4
Bestimmen der Kapazität
Vorgehen:
1. Man beobachte auf dem KO-Schirm die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, indem man die beiden Kurven übereinander schiebt. Das Resultat ist zu skizzieren.
2. Man misst mit dem KO die Amplituden der Spannungen VC und VR .
3. Nach Gleichung (11.7) berechnet man die Stromamplitude.
4. Nach Gleichung (11.4) lässt sich dann ZC bestimmen.
5. Berechnen Sie C aus Gleichung (11.6), wobei ω = 2πν ist.
11.6
Generatoreinstellung:
I
V0 = 5V
V = V0 cos ω t
Generator
~
KO (VC )
ν = 500Hz
C
R = 22Ω
Kanal 1
R
Abbildung 11.9: Schaltung zur Messung der
Kapazität.
KO (VR)
Kanal 2
11.3.5
Frequenzabhängigkeit von ZL und ZC
Verwenden Sie die gleichen Schaltungen wie für die Bestimmung der Induktivität und der Kapazität. Verwenden Sie die Spule mit Eisenkern. Messen Sie die Strom- und Spannungsamplituden
in Funktion der Frequenz. Wählen Sie folgende Frequenzwerte
für ZL ν = 500/l000/2000/3000 Hz,
für ZC ν = 20/50/150/250/500/750 Hz,
und stellen Sie die Messwerte in einer übersichtlichen Tabelle zusammen.
ZL (ν) und ZC (ν) werden nach Gleichung (11.4) berechnet und als Funktionen von ω auf Millimeterpapier aufgezeichnet.
11.4
Versuchsbericht
Der Bericht soll das Folgende enthalten:
1. Berechnung der Induktivität (Frage l).
2. Skizzen der Versuchsanordnungen.
3. Skizzen der beobachteten Phasenverschiebungen bei Kapazität und Induktivität.
4. Berechnung der gesuchten Kapazität.
5. Berechnung der gesuchten Induktivität.
6. Frequenzabhängigkeit von ZL und ZC :
• Tabelle der Messwerte
• grafische Darstellungen von ZL (ν) und ZC (ν)
11.7