Lösung 8

Physik III
Übung 8 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Stand: 20.12.2012
Aufgabe 1 [H,D] LCD
Wie funktionieren LCD-Bildschirme (LCD = Liquid Crystal Display)?
Lösung:
LCD Bildschirme nutzen, wie der Name schon sagt, Flüssigkristalle. Diese sind Substanzen, die
zwar keine Fernordnung (zumindest nicht in jeder Richtung) aufweisen, aber gewisse Eigenschaften von Kristallen aufweisen. Insbesondere sind sie doppelbrechend. Für Displays bzw.
Anzeigeelemente nutzt man sie in der sog. nematischen Phase - hier ordnen sich in kleinen
Volumen alle Moleküle parallel an.
Man baut nun ein Anzeigeelement folgendermaßen auf: Außen befinden sich zwei Polarisatoren, die senkrecht zueinander stehen. Sie lassen so also prinzipiell kein Licht durch. Dazwischen
befindet sich quasi ein kleiner Plattenkondensator bzw. zwei Elektroden, zwischen denen wiederum der Flüssigkristall ist. Die Elektroden sind so konstruiert, dass die Kristallmoleküle in der
Nähe der einen senkrecht zu denen in der Nähe der anderen angeordnet werden. Dazwischen
bildet sich aus den Molekülen eine Helix. Von einer Elektrode ausgehend ist jede Molekülschicht
etwas anders ausgerichtet, bis sie bei der anderen eben senkrecht zur Ursprungsausrichtung stehen. Da die Moleküle wie kleine Polarisatoren wirken, die Licht nur in einer Richtung durchlassen, wird durch diese Helix die Polarisationsrichtung von durchfallendem Licht um 90◦ gedreht
- man kann durch den Aufbau durchsehen.
Legt man nun eine Spannung an die Elektroden an, drehen sich die Moleküle in Feldrichtung
und können dadurch die Polarisationsebene nicht mehr drehen - der Aufbau wird wieder unsichtbar. Je nach Spannung verschieden stark, damit macht man unterschiedliche Graustufen.
Diesen Aufbau nennt man auch “Twisted-Nematic”. Es gibt weitere Bauformen, die u.a. die Kristallmoleküle um mehr als 90 Grad verdrehen, oder ohne Strom Licht durchlassen, dafür aber mit
angelegter Spannung blockieren. Weiterhin gibt es Aufbauten mit “In-Plane-Switching”, bei welchen das elektrische Feld senkrecht zur Lichtrichtung (parallel zum Display) aufgebaut wird.
Farben erzeugt man immer über Farbfilter. Monitore nutzen etwa für ein farbiges Pixel drei SubPixel, Rot, Grün und Blau, welches jedes mit einer eigenen Zelle wie oben beschrieben gesteuert
wird.
1
Aufgabe 2 [H] Brewster2
n1
n2
n3
A light ray is incident from a first material (index of refraction n1 = 1.2) on a flat layer of material 2 (index of refraction
n2 = 1.5). Beneath material 2 is material 3 with index of
refraction n3 . The ray is incident on the material-1-material2 interface at the Brewster angle for this interface. The ray
of light refracted into material 3 happens to arrive on the
material-2-material-3 interface again exactly at the Brewster
angle for that interface.
What is the value of n3 ?
Lösung:
n1
α
β
β
Man kann für den Übergang zwischen Material 1 und Material 2 sowohl eine Bezieung für den Brewster-Winkel α als
auch den Brewster-Winkel β bestimmen. Praktischer ist die
Beziehung für β.
n2
tan β =
n3
n1
n2
Für den zweiten Übergang:
tan β =
n3
n2
tan β = tan β
n1
n3
=
n2
n2
n3 = n1 = 1.2
2
Aufgabe 3 [H] λ/4-Plättchen
Wir wollen ein λ/4-Plättchen herstellen. Dazu nutzen wir doppelbrechendes Kaliumphosphat.
Der Brechungsindex des ordentlichen Strahls beträgt no = 1.5095, der des außerordentlichen
Strahls nao = 1.4684.
a) Wie dick muss unser Plättchen sein? Wir schneiden es es parallel zu den optischen Achsen,
es soll für den senkrechten Einfall von Licht der Wellenlänge λ = 589nm als λ/4-Plättchen
wirken.
b) Wie kann man damit experimentell feststellen, ob einfallendes Licht zirkular polarisiert ist?
Lösung:
a) Die Idee des Plättchens ist ja, das o. und ao. Strahl nach dem Durchgang genau einen Gangunterschied von λ/4 zu haben. Das entspricht einem Phasenunterschied von π/2.
Die Strahlen brauchen für den Durchgang durch die Platte:
to =
t ao =
π
2
π
2
π
2
d
d
co
d
=
cao
dc
na
dc
=
nao
=ω(t o − t ao )
dc
dc
=ω
−
na nao
c dc
dc
=2π
−
λ na nao
λ
=
= 3.6µm
4(na − nao )
b) Strahlt man zirkular polarisiertes Licht ein, muss nach dem Durchgang durchs λ/4-Plättchen
wieder linear polarisiertes Licht rauskommen. Ob das so ist kann man mit einem Polarisator
relativ leicht nachweisen.
Aufgabe 4 [H] Polarisierend
Wir sind daran interessiert, was passiert, wenn Licht auf einen idealisierten linearen Polarisator
fällt. Welche Polarisationsrichtung und Intensität hat Licht, das hinter dem Polarisator gemessen
wird, wenn es mit Intensität I0 eingestrahlt wird für den Fall von
a) linear polarisiertem Licht, dessen Polarisationsebene gegenüber der vom Polarisator durchgelassenen Komponente um einen Winkel θ gedreht ist
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b) zirkular polarisiertem Licht
c) unpolarisiertem Licht?
Lösung:
In allen Fällen ist die Polarisationsrichtung hinter dem Polarisator gleich der Polarisationsebene
des Polarisators.
a) Das elektrische Feld wird auf die Polarisatorachse projiziert. Wir legen die x-Achse auf die
Polarisatorebene.
~ 0 ·~e P
E=E


E0 cos θ

~0 = 
E
 E0 sin θ 
0
E = E0 cos θ
I = E 2 = I0 cos2 θ
~ nur in x-Richtung zeigt.
Wobei wir in der letzten Zeile ausnutzen, dass E
~ 0 zeitb) Für zirkular polarisiertes Licht geht die Rechnung eigentlich genauso, nur dass jetzt E
abhängig ist und wir für die Intensität also das zeitliche Mittel ausrechnen müssen. Wir legen
~ 0 (t = 0) = E0~e x
unseren Zeitursprung so, dass E
~ 0 ·~e P
E=E


E0 cos ωt

~0 = 
E
 E0 sin ωt 
0
E(t) = E0 cos ωt
I = E 02 (t) =
1
Z2π
2π
E02 cos2 (ωt)d(ωt) =
1
2
I0
0
c) Die Rechnung ähnelt sehr der für zirkular polarisiertes Licht und hat auch dasselbe Ergebnis. Der Unterschied ist mikroskopisch gesehen, dass die Polarisationsrichtungen hier statistisch
variieren und über alle Winkel gleichverteilt sind, anstatt periodisch zu variieren. Wir können
annehmen, dass wir sehr viel länger messen, als die Fluktuationszeit der Polarisationsebene ist
und das Licht somit alle Winkel einmal durchläuft, denn sonst wäre es nicht unpolarisiert. In
diesem Fall können wir das Zeitmittel durch ein Mittel über alle Orientierungen ersetzen. (Wir
nehmen Ergodizität an, ähnlich wie in der Thermodynamik)
¶
1
I = E 02 (t) =
2π
¬
Z2π
E02 cos2 φdφ =
1
2
I0
0
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Aufgabe 5 [H] In den Brunnen gefallen
Eratosthenes, Gelehrter und Vorsteher der berühmten Bibliothek von Alexandria, war schon im
3. Jahrhundert vor Christus in der Lage, den Erdradius recht gut zu bestimmen. In der Stadt
Syene, dem heutigen Assuan, gab es einen berühmten Brunnen, über dem die Sonne am Mittag
der Sommersonnenwende genau im Zenit stand.
In Alexandria, das etwa auf dem gleichen Längengrad liegt, konnte Eratosthenes den Schattenwurf eines Obelisks (oder etwas Ähnlichem, Genaues ist nicht überliefert) zum gleichen Zeitpunkt bestimmen. Dort stand die Sonne (aus heutiger Sicht offensichtlich) nicht exakt senkrecht,
1
des Vollkreises bestimmte.
sondern warf einen Schatten, dessen Winkel Eratosthenes zu 50
Weiterhin kannte er die Entfernung zwischen Syene und Alexandria, sie betrug 5000 Stadien (1
Stadion waren ca 157.5 m). Bestimme aus diesen Angaben den Erdradius.
Lösung:
α
r
α
s
r
Eratosthenes war schon ein kluger Kerl. Links ist
eine Skizze, die im Prinzip alles beweist. Aus geometrischen Gründen (Wechselwinkelsatz) muss
der Winkel zwischen den Radien der beiden Orte der gleiche sein wie der des Schattenwurfs des
Obelisks. Es ergibt sich
s = αr
s
r = = 6267 km
α
Wenn die Werte also richtig überliefert wurden
kann man mit dieser Methode den Erdradius
recht gut bestimmen.
Aufgabe 6 [P,D] Polarisation des Himmels
Warum ist das blaue Streulicht des Himmels teilweise polarisiert? Unter welchem Winkel ist
es am stärksten polarisiert und warum? Wie sieht es mit dem Licht des Mondes bei Voll- bzw.
Halbmond aus? Was ist mit dem Licht im dunklen Teil des Mondes? Wofür benutzen Tiere bzw.
Menschen polarisiertes Licht?
Lösung:
Wenn das unpolarisierte Licht unter 90◦ zu seiner Einfallsrichtung gestreut wird, kann eine der
beiden Polarisationsrichtungen nicht gestreut werden (Dipole strahlen nicht in Richtung ihrer
Achse ab bzw. Licht kann keine Transversalwelle sein). Das Licht ist also dann am stärksten
polarisiert, wenn zwischen der Verbindung von Betrachter und Streupunkt sowie der Verbindung
zwischen Sonne und Streupunkt ein rechter Winkel ist.
Generell ist gestreutes bzw. reflektiertes Licht fast immer teilpolarisiert. Der Mond ist mit kleinen Partikeln bedeckt, deshalb ist das Mondlicht aus ganz ähnlichen Gründen wie das Streulicht
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des Himmels teilweise polarisiert. Die stärkste Polarisierung sollte man hier mit einer einfachen
Betrachtung ebenfalls erwarten, wenn der Winkel zwischen Beobachter-Mond-Richtung und
Einfallsrichtung des Lichtes 90◦ beträgt, also bei Halbmond. Das ist auch ungefähr richtig, allerdings ergibt sich bei der komplex strukturierten Mondoberfläche (durch teilweises Eindringen,
verschiedene Korngrößen, Mehrfachreflexion, etc.) in Wirklichkeit noch eine etwas komplizierteres Situation, das das Polarisationsmaximum eher zu 80◦ verschiebt. Astronomen nutzen das
mit komplexen Theorien sowie Laborexperimenten aus, um die Oberflächenbeschaffenheit und
-zusammensetzung einzelner Mondregionen zu erforschen.
Davon abgesehen, kann man polarisiertes Licht bzw. die Polarisierung des Himmels auch für
andere Zwecke verwenden: Angeblich sollen die Wikinger sog. Sonnensteine verwendet haben,
um die Richtung der Sonne zur Navigation auch bei bewölktem Himmel zu ermitteln. Dabei
könnte es sich um Kristalle gehandelt haben, die in irgendeiner Art und Weise die Polarisation
des Himmels nutzen, um den Stand der Sonne zu ermitteln. Aus der Biologie ist nachgewiesen, dass manche Tiere sich an der Polarisation des Lichtes orientieren, um beispielsweise eine
gerade Strecke zu laufen.
Der Mensch verwendet heutzutage polarisiertes Licht in vielfältigen Anwendungen, vom 3DKino, LCD und Reflexionsfilter für Fotos über Spannungsuntersuchungen in Kunststoffen bis
hin zu Polarisationsmikroskopie und Untersuchungen zum Zuckergehalt (verschiedene Zucker
drehen die Polarisationsebene unterschiedlich) in der Biologie.
Aufgabe 7 [P,D] Bierschaumtrübung und Polarbärisierung
Ist der Schaum von dunklem Bier dunkler als der von hellem? Warum sind Salz, Zucker, etc.
weiß wenn große Kristalle derselben Substanzen eigentlich transparent sind? Wann ist das Fell
von Tieren (z.B. Polarbären) weiß, wann ist es farbig? Ist das von Zucker kommende Licht
polarisiert?
Lösung:
Zunächst sollte man nicht erwarten, dass die Helligkeit des Bierschaums mit der Farbe des Bieres
korreliert. Der Schaum besteht in jedem Fall aus kleinen Partikeln, die das Licht durch RayleighStreuung streuen. Tatsächlich findet man aber bei manchen Biersorten doch einen dunkleren
Schaum, und zwar dann, wenn größere absorbierende Partikel im Schaum vorhanden sind.
Laut Gerthsen soll das mit dem Röstgrad der Gerste zusammenhängen. Überprüft haben wir das
selbst nicht, obwohl entsprechende Laborexperimente regelmäßig durchgeführt werden. Leider
sind die Experimentatoren meist zu betrunken, um sinnvolle Ergebnisse zu produzieren.
Salz, Zucker, Schnee, usw. bestehen zumeist aus kleinen Kristalliten, an denen das Licht gestreut
und an Oberflächen auch teilweise reflektiert wird. Dadurch erscheinen eigentlich auch die
meisten Stoffe in der Chemie als weißes Pulver wenn sie nicht stark im sichtbaren Bereich
absorbieren oder fluoreszieren. Wenn man größere Kristalle betrachtet (eine zugefrorene Pfütze
verglichen mit Schnee), sind sie oft durchsichtig.
Eisbären haben, wenn man genauer hinschaut, hohle, durchsichtige Haare, die das Licht streuen
und dadurch weiß aussehen. Haare sind generell dünn genug, dass sie, wenn ihnen der Farbstoff
fehlt, weiß erscheinen (sieht man ja auch am Weihnachtsmann). Das heißt, für die Absorption
sind im wesentlichen die Farbstoffmoleküle verantwortlich.
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Das von Zucker kommende Licht ist zumindest teilweise polarisiert, wie jedes gestreute oder
reflektierte Licht. Allerdings tritt bei Zucker wegen der vergleichsweise großen Kristallite keine
reine Rayleigh-Streuung auf. Auch (Mehrfach-)Reflexionen an den vielen Oberflächen stören
das simple Bild.
Aufgabe 8 [P] Optische Aktivität
Beim Durchgang von linear polarisiertem Licht durch einen optisch aktiven Quartz wird die
Polarisationsebene gedreht, wenn das Licht parallel zur optischen Achse läuft. Für Licht der
Wellenlänge λ = 590 nm und einen Kristall der Dicke d = 5 cm beträgt die Drehung α = 108.5◦ .
Diese Drehung lässt sich durch unterschiedliche Brechungsindizes für links- bzw. rechtszirkular
polarisiertes Licht erklären. Wir wissen, dass der mittlere Brechungsindex n̄ = 1.55 ist.
Wie groß ist der Unterschied der Ausbreitungsgeschwindigkeiten von links- bzw. rechtszirkular
polarisiertem Licht?
Lösung:
Man kann linear polarisiertes Licht in einen links- und einen rechts-zirkular polarisierten Strahl
zerlegen. So macht denn auch die Aufgabe Sinn! Die Verkippung der Polarisationsebene kommt
dann durch einen Phasenunterschied der beiden zirkulär polarisierten Teilstrahlen zustande.
α
360◦
α
360◦
2π =ω
d
c1
c
2π =2π d
λ
d
−
c
n 2
1
c
−
n2 ‹
c
Wir kennen den durchschnitlichen Brechungsindex
n̄ =
n1 + n2
2
n1 =2n̄ − n2
n2 =2n̄ − n1
α λ
360◦
d
= 2n̄ − 2n2
n2 =n̄ −
λ
α
2d 360◦
λ α
n1 =n̄ +
◦
2d 360 1
1
δc =c
−
n2 n1
=444m/s
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Aufgabe 9 [P] Polarisatorgedöns
a) Zwischen zwei gekreuzte Polarisatoren wird ein dritter gestellt und gemessen, wieviel Licht
am Ende herauskommt. Berechne die Intensität hinter dem dritten Polarisator als Funktion des
Drehwinkels des mittleren Polarisators.
b) Nun werden zwischen die beiden Polarisatoren N Polarisatoren gestellt, deren Drehwinkel
◦
gleichmäßig auf die 90◦ verteilt sind (sie haben dann einen Winkelabstand von N90+1 ). Berechne
die Intensität hinter dem letzten Polarisator als Funktion von N .
Lösung:
Wir haben nicht dazugeschrieben, dass man unpolarisiertes Licht einstrahlt. Ignoriert man das,
sind alle Ergebnisse einen Faktor 2 größer.
a) Nach dem ersten Polarisator I1 =
I0
2
Nach dem zweiten Polarisator I2 = I1 cos φ =
Nach dem dritten Polarisator I3 = I2 cos2
Stellt man den Polarisator optimal auf
π
4
€π
2
I0 cos2 φ
2
Š
− φ = I2 sin2 φ =
I0 sin2 φ cos2 φ
2
=
I0 sin2 (2φ )
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ein, kommt also ein Achtel der Ausgangsintensität an.
b) Wir definieren φN +1 = 2(Nπ+1) . Beim ersten Polarisator geht wieder die Hälfte verloren. Danach ist das Licht linear polarisiert und wird bei jedem der N + 1 folgenden Polarisatoren mit
dem Faktor cos2 φN verringert
€
Š j I0
I j = cos2 φN
2
2(N +1)
I0
π
I N +1 = cos
2 (N + 1)
2
Für große N kann man den cos in eine Reihe entwickeln
cos x = 1 −
x2
2
Der Grenzwert der Folge für große N ist 1, das kann man mathematisch nicht so leicht sehen, sich aber anschaulich überlegen. Wenn jeder Polarisator nur ein infinitesimales Stück
weitergedreht ist, geht bei der Projektion keine Amplitude verloren sondern es wird nur die
Polarisationsebene ein Stück gedreht. Das macht man sich bei LCDs zu Nutze.
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