Die Grundkonzepte der Quantenmechanik illustriert an der

Die Grundkonzepte der Quantenmechanik
illustriert an der Polarisation von Photonen
Frank Wilhelm-Mauch
February 5, 2013
Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken
02. Februar 2013
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Was ist theoretische Physik?
Theoretische Physik entwickelt die quantitative Beschreibung der Natur in mathematischen Modellen.
• Mathematik ist unsere Sprache, theoretische Physik ist aber keine Mathematik
• Ergebnisse sind experimentell testbar, typischerweise werden konkrete Messergebnise vorhergesagt
• es werden aus experimentellen Ergebnissen abstrakte Begriffe gebildet
und wir versuchen, die minimale Grundlage von Naturphänomenen, die
Naturgesetze, zu finden
• neben der althergebrachten theoretischen Physik mit Papier und Bleistift
entwickelt sich die Computerphysik, die Physik der Simulation von Modellen zur Erklärung von Naturphänomenen zur zentralen theoretischen
Disziplin
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Zusammenfassung: Experiment zur Polarisation
In der ersten Vorlesung haben Sie ein Experiment zur Polarisation gesehen und
besprochen. Es handelte sich um eine Anordnung aus drei Polarisatioren, wobei
der erste und der dritte im rechten Winkel zueinander stehen. Ohne den mittleren Polaristor hat diese Anordnung kein Licht durchgelassen. Mit dem mittleren Polarisator geht Licht durch, am meisten, wenn er im 45 Grad-Winkel
zu den beiden anderen Polarisatoren steht und kein Licht, wenn er parallel zu
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einem der Polarisatoren ist. Dieses Experiment kann klassisch erklärt werden,
hier wollen wir aber zeigen, wie es im Photonenbild erklärt werden kann und
damit die Grundkonzepte der Quantenphysik illustrieren.
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Postulate und Grundkontepte der Quantenmechanik
Die Postulate einer Theorie sind die nicht hinterfragten Grundannahmen. Wir
stellen jetzt die wichtigsten Postulate der Quantenphysik vor und diskutieren
sie am Beispiel des Polarisationsexperiments.
3.1
Postulat: Zustände und beobachtbare Größen
Das erste Postulat sagt, dass der Zustand eines physikalischen Objekts im Allgemeinen es nicht erlaubt, Experimente mit absoluter Sicherheit vorherzusagen,
sondern nur Wahrscheinlichkeiten vorgibt. Der Zustand eines einzelnen Quants,
z.B. eines Photons, ist gar nicht messbar.
Für die Polarisation haben sie schon gelernt, dass sie die Richtung des elektrischen Feldes bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle — also
z.B. des Lichts — beschreibt. Wenn die Welle entlang der z-Achse läuft zeigt
die Polarisation darauf senkrecht, also irgendwo in die xy - Ebene und kann
geschrieben werden als zweidimensionaler Vektor
Ex
~
E=
.
Ey
Wenn uns nur die Richtung interessiert, dann können wir einfach die Länge
herausfaktorisieren und erhalten (Zeichnung in Vorlesung)
~ cos α
~
E = E sin α
~ und der x Achse ist. Wir könnten auch
wobei α der Winkel zwischen E
Einheitsvektoren
1
0
êx =
êy =
0
1
einführen und nach den Regeln der Vektoralgebra schreiben
~ = E
~ (Ex êx + Ey êy ) .
E
In der Quantenmechanik machen wir die gleiche Mathematik, geben ihr aber
eine abstraktere Bedeutung. Wir sagen auch, dass die Polarisation in einer Basis
aufgespannt wird, statt êx und êy benutzen wir die Symbole |Hi und |V i (für
Horizontal und Vertikal) und schreiben für den Zustand eines einzelnen Photons
a
|Ψi = a|Hi + b|V i =
.
b
Der Clou ist jetzt, wie wir von diesem abstrakten Zustand dazu kommen,
physikalische Beobachtungen voherzusagen.
2
3.2
3.2.1
Postulat: Quantenmessung und Wahrscheinlichkeiten
Die Bornsche Regel
Wie schon oben ausgeführt gibt der Zustand nur Wahrscheinlichkeiten für die
am System durchgeführten Messungen an. Genauer gesagt sind die Zahlen a
und b Wahrscheinlichkeitsamplituden für die Messung der entsprechenden Messgröße, hier der Polarisation. Wahrscheinlichkeitsamplitude bedeutet, dass wir
noch quadrieren müssen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, d.h. der Zustand sagt uns, dass für ein einzelnes Photon (Lichtteilchen) mit der Wahrscheinlichkeit pH = a2 eine horizontale Polarisation und PV = b2 eine vertikale Polarisation herauskommt, d.h. wenn der Polarisator auf horizontal steht kommt
ein Photon mit Wahrscheinlichkeit a2 durch und wird mit Wahrscheinlichkeit
b2 reflektiert. Da die Photonen nur diese beiden Möglichkeiten haben, also
entweder reflektiert oder durchgelassen werden, muss die gesamte Wahrscheinlichkeit a2 +b2 = 1 sein. Wir wissen, dass für jeden Winkel θ gilt cos2 θ+sin2 θ =
1 also können wir schreiben a = cos θ und b = sin θ.
Was heißt es, dass wir nur Wahrscheinlichkeiten angeben können? Nun,
wenn die Photonen aus einem intensiven Lichtstrahl kommen, nicht viel - wenn
ich eine große Zahl N Photonen auf den Polarisator schicke, dann kann ich erwarten, dass etwa N a2 Photonen durchkommen und N b2 reflektiert werden wie in der klassichen Erklärung dieses Experiments. Für ein einzelnes Photon
kann ich aber im Allgemeinen keine zuverlässigen Aussagen machen, ein Experiment an einem einzelnen Photon ist immer mit einer Unsicherheit behaftet. In
einem allgemeinen Quantenzustand ist die Polarisation nicht ’scharf’ definiert.
3.2.2
Die Messung stört den Zustand - Zustandskollaps
Dieses Postulat ist für viele das Ungewöhnlichste: Die Messung beeinflusst den
Zustand des gemessenen Objekts. Nach der Messung ist die gerade gemessene
Größe ja klar definiert - wenn das Photon durchgelassen wurde, dann ist es
horizontal polarisiert, d.h. der Zustand ist dann |ΨT 1 i = |Hi und wenn das
Photon reflektiert wurde, dann ist es im Zustand |ΨR1 i = |V i. Was für die
Polarisation einleuchtend ist, ist manchmal ungewöhnlich - einzelne Quanten
sind einfach so klein, dass sie ohne Störung nicht beobachtet werden können.
3.3
Diskussion des Polarisatorexperiments
Jetzt wollen wir damit die Messung in unseren drei Polarisatoren beschreiben.Der
erste Polarisator ist einfach: Die durchgelassenen Photonen kommen alle horizontal polarisiert an, also im Zustand |ΨT 1 i = |Hi. Der zweite Polarisator ist
jetzt um einen Winkel α gedreht. Wir können die neue Durchlasspolarisation
in Komponenten zerlegen als
cos α
0
|H i = cos α|Hi + sin α|V i =
sin α
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und analog für die reflektierte Richtung
0
|V i = − sin α|Hi + cos α|V i =
sin α
cos α
.
Um jetzt den Vektor |Hi in seine Komponenten entlang der neuen Messrichtungen |H 0 i und |V 0 i zu zerlegen, benutzen wir die senkrechte Projektion, d.h.
wir bilden das Skalarprodukt dieser Vektoren mit |Hi. Für das Skalarprodukt
wurde in der Quantenphysik eine besonders raffinierte Schreibweise eingefährt
|Hi = (hH 0 |Hi) |H 0 i + (hV 0 |Hi) |V 0 i = cos α|H 0 i − sin α|V 0 i.
Jetzt können wir die Bornsche Regel auf den zweiten Polarisator anwenden
und sehen, dass das Photon mit Wahrscheinlichkeit P2 = cos2 α durchgelassen
wird und dann im Zustand |Ψt2 i = |H 0 i ist. Aus dieser Prozedur sehen wir als
Merkregel, dass die Wahrscheinlichkeit, das Photon im entsprechenden Zustand
(hier |H 0 i)zu messen gerade das Quadrat der Projektion des Zustands auf den
Messzustand ist.
Der dritte Polarisator geht jetzt ganz analog: Er steht ja senkrecht auf dem
ersten, nimmt also den Winkel π/2−α mit dem mittleren Polarisator ein. Damit
finden wir, in analog zum ersten
π
π
− α |H 0 i + sin
− α |V 0 i = sin α|H 0 i + cos α|V 0 i
|H 00 i = cos
2
2
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das Photon durchgelassen wird,
nehmen wir jetzt die oben entwickelte Regel: Die Projektion des Zustands auf
den Messzustand ist gerade sin α, also haben wir die Gesamtwahrscheinlichkeit,
dass ein Photon beide Polarisatoren passiert von
P = P2 P3 = cos2 α sin2 α =
1
sin2 2α.
4
Dies deckt sich mit den Beobachtungen: Bei α = 0 (erste beide Polarisatoren
parallel) kommt das photon nicht durch den dritten Polarisator, bei α = π/2
nicht durch den zweiten. Ist α = π/4, dann ist die Wahrscheinlichkeit am Höchsten, nämlich 1/4 - das Photon kommt mit 50%-Wahrscheinlichkeit je durch
Polarisator 2 und 3.
Was haben wir gesehen? Wir sehen direkt, wie die Messung das Photon stört.
Wenn es diese Störung nicht gäbe, dann könnte das Photon niemals den dritten
Polarisator passieren - dieses Experiment, im Photonenbild interpretiert, weist
also direkt nach, dass die Beobachtung eines Quantensystems dessen Zustand
stört.
4
Die Unschärferelation
Eine wichtige und oft zitierte Eigenschaft der Quantenmechanik ist die Heisenbergsche Unschärferelation. Sie besagt, dass bestimmte Paare von Messgrößen,
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das meistzitierte Beispiel sind Ort und Impuls, nicht gleichzeitig scharf gemessen
werden können. Wir wollen dies am Beispiel der Polarisation diskutieren.
Wir starten wie oben von einem allgemeinen Zustand
|Ψi=cos θ|Hi+sin θ|Vi.
Wir vergleichen die Messung an einem entlang der hier gewählten Achsen
ausgerichteten Polarisator mit einem um 45 Grad gedrehten.
Wir haben das Messergebnis mit durchlassen bzw. reflektieren beschrieben.
Um sinnvolle Zahlenwerte zu haben, ordnen wir dem Ergebnis ’durchlassen’
den Wert +1 und dem Ergebnis ’reflektieren’ den Wert -1 zu. Wenn wir das
Experiment oft wiederholen, wird ein Anteil cos2 θdurchgelassen und ein Anteil
von sin2 θ reflektiert. Im Schnitt erhalten wir also
hP1 i = cos2 θ − sin2 θ = cos 2θ.
Zur Berechnung der Unsicherheit (der Standardabweichung) benötigen wir
die den Erwartungswert des Quadrates, also
2
P1 = cos2 θ + (−1)2 sin2 θ = 1.
Damit ist die Standardabweichung
q
p
2
∆P1 = hP12 i − hP1 i = 1 − cos2 2θ = |sin 2θ| .
Jetzt schauen wir uns die um 45 Grad gedrehte Messung an. Wir haben oben
gelernt, wie wir die neuen horizontalen und vertikalen Zustände hinschreiben
0
|H45
i =
0
|V45
i =
1
√ (|Hi + |V i)
2
1
√ (−|Hi + |V i) .
2
0
Die Wahrscheinlichkeit, am Zustand |Ψi den Wert +1, also H45
messen, ist
damit
2
1
1
1
1
PH45 = √ cos θ + √ sin θ = (1 + 2 sin θ cos θ) = (1 + sin 2θ) .
2
2
2
2
Und für -1 haben wir analog
PV 45 =
1
(1 − sin 2θ) .
2
Wir oben können wir den Durchschnittswert der Messung ausrechnen als
hP2 i =
1
1
(1 + sin 2θ) − (1 − sin 2θ) = sin 2θ.
2
2
5
Und wie oben finden wir die Standardabweichung
p
∆P2 = 1 − sin2 2θ = |cos 2θ| .
Damit ist das Produkt der Standardabweichungen
∆P1 ∆P2 =
1
|sin 4θ| .
2
Wir sehen also, dass je kleiner ∆P1 wird, desto größer wird ∆P2 .Wenn ich
die Unsicherheit einer Messung verkleinere, vergrößere ich die andere. Dass
das Produkt durchaus null werden kann, liegt daran, dass Polarisation eine
andere Messung ist, als Impuls und Ort. Das lernen Sie dann im richtigen
Physikstudium.
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